Avaliação das larguras efectivas de lajes de betão para ... · AASHTO) b i – largura da laje (Leg. ... 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 93 6 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

Avaliação das larguras efectivas de lajes de

betão para tabuleiros atirantados mistos

Filipe Torres Tavares

Dissertação para obtenção do grau de mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Prof. José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientador: Prof. José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Vogal: Prof. João Sérgio Nobre Duarte Cruz

Outubro, 2009

I

RESUMO

O objectivo da presente dissertação consiste em avaliar a largura efectiva de laje de

betão a utilizar na análise de tabuleiros atirantados com secção transversal mista aço-

betão do tipo bi-viga.

A frequente utilização de elementos de barra para simular tanto a laje de betão como

as vigas metálicas do tabuleiro, requer a definição das larguras efectivas para a laje.

Esta largura depende não só do efeito de flexão devido às cargas verticais como da

compressão introduzida no tabuleiro pela ancoragem sucessiva dos tirantes.

São apresentadas as disposições regulamentares para a quantificação das larguras

efectivas de lajes de tabuleiros mistos, e demonstrada a dificuldade da sua aplicação

ao caso particular das pontes atirantadas mistas. Assim, procedeu-se ao cálculo das

larguras efectivas para diversos tabuleiros atirantados mistos, a partir dos resultados

da análise elástica linear de modelos tridimensionais, e considerando o faseamento

construtivo e a aplicação das sobrecargas de utilização, com várias distribuições e

incrementos até atingir o nível de carga corresponde ao Estado Limite Último.

Desenvolveu-se 15 modelos geometricamente semelhantes, mas com diferenças a

nível das ligações tirante-tabuleiro, do faseamento construtivo, dos níveis de carga e

sua geometria de aplicação. Os resultados destes modelos permitiram avaliar as

principais causas que afectam os valores da largura efectiva no tabuleiro, e

conduziram a uma proposta para as larguras efectivas da laje, a considerar na análise

e dimensionamento dos tabuleiros atirantados mistos estudados.

II

III

ABSTRACT

The present dissertation aims the evaluation of the effective slab width to be used in

cable-stayed bridge longitudinal analysis, with a composite double girder steel-concrete

deck.

The use of beam finite elements to simulate both the slab and the main girders the

composite deck requires the effective slab width definition. This slab width depends not

only of the deck bending effect, produced by the vertical loads, but also of the

compressive forces, introduced on the deck by the stays anchorages.

The work revues the general rules for effective slab width evaluation, as shows they

can not be applied to the particular case of composite cable-stayed bridges. Therefore,

effective widths of several composite cable-stayed bridges were evaluated, based on

3D finite element model results, and considering the construction stages, the live loads

with different patterns and increments up to Ultimate Limit State.

Several finite element models were developed for the effective width definition, in order

to account for different subsets of parameters such as the stay to deck anchorage

points, the construction stages, load patterns and load levels. The effects of those

parameters on the effective slab widths were assessed based on model results. Based

on the impact assessment, a criterion for effective slab widths of composite decks

studied was proposed.

IV

PONTES ATIRANTADAS MISTAS – AVALIAÇÃO DE LARGURAS EFECTIVAS

V

PALAVRAS CHAVE – KEYWORDS

Ponte atirantada mista Composite cable-stayed

Analise elástica linear Linear elastic analysis

Método construtivo Construction Method

Largura efectiva Effective slab width

Modelo tridimensional Three-dimensional model

Esforço axial global Global axial force

Flexão Global Global bending moment effect

VI

VII

AGRADECIMENTOS

Ao professor José Joaquim Oliveira Pedro, queria agradecer de uma forma muito

especial e sincera, por toda a disponibilidade, profissionalismo, interesse, entusiasmo

e incentivo, demonstrando desde o início deste trabalho, que contribuíram de uma

forma determinante para a sua realização. Aproveito a oportunidade também para lhe

desejar muita saúde, sorte e realização a nível profissional e pessoal.

De igual forma, agradeço profundamente aos meus irmãos, por todo o apoio e

incentivo que foi prestado ao longo da realização deste trabalho.

Aos meus pais, o meu vastíssimo muito obrigado pelos seus incessantes sacrifícios e

toda a paciência em me animar nos dias mais difíceis.

Agradeço a todos os meus amigos pelo interesse e apoio demonstrados e pela

compreensão que demonstraram aquando das minhas ausências.

Aproveito também para agradecer a esta instituição universitária, Instituto Superior

Técnico, e a todos os docentes que, embora não tenham participado directamente na

realização deste trabalho, contribuíram para a minha actual formação.

Por fim, quero agradecer, de uma forma geral a todos os que contribuíram, de forma

directa ou indirecta, para a realização e conclusão da presente dissertação.

VIII

IX

SIMBOLOGIA

A – área da secção do tirante;

beff – largura efectiva

b – largura de uma secção transversal; largura de um tabuleiro

b0 – largura de laje de betão do tabuleiro, entre o eixo da viga metálica e o bordo livre

da laje.

bei – largura efectiva do banzo para cada lado da alma do perfil ou fila de conectores

bfs – largura do banzo superior do perfil metálico (Leg. AASHTO)

bi – largura da laje (Leg. AASHTO); dimensão transversal do elemento finito i

bs – coeficiente de minoração utilizado no calculo da largura efectiva para secções

sobre os apoios (Leg. AASHTO)

bf – coeficiente de minoração utilizado no calculo da largura efectiva para secções a

meio vão (Leg. AASHTO)

bmi – largura efectiva (Leg. AASHTO)

d0 – altura do tabuleiro (Leg. AASHTO)

cp – carga permanente do tabuleiro

sob – sobrecarga uniforme no tabuleiro

sob1, sc1 – sobrecarga uniforme aplicada em toda a extensão do tabuleiro

sob2, sc2 – sobrecarga uniforme aplicada no vão central.

e – espessura da parede do elemento finito de cabo; espessura da laje de betão

e1, e2 – espessura da parede da secção das torres; espessura da laje de betão

de – diâmetro exterior do elemento finito de cabo;

Eco – módulo de elasticidade tangente na origem do betão.

Es – módulo de elasticidade do aço estrutural

Ee – modulo de elasticidade do aço dos tirantes

Et – modulo de elasticidade equivalente do tirante

X

F – resultante das tensões aplicadas na laje

fy – tensão de cedência do betão

fsy – tensão de cedência do aço estrutural

fc – tensão de rotura do betão à compressão

fcc – tensão de rotura do betão à compressão obtida num ensaio de compressão

uniaxial

fcd – valor de dimensionamento da tensão de rotura do betão à compressão

fcm – valor médio da tensão de rotura do betão à compressão

fptk – tensão de rotura do aço dos tirantes

qmax – carga distribuída máxima aplicada no tabuleiro

L – comprimento inicial do tirante; comprimento

Le, Leq – comprimento de viga efectiva

li - comprimento de viga efectiva (Leg. AASHTO)

Lh – projecção horizontal do comprimento do tirante

tw – espessura da alma do perfil metálico

tf – espessura do banzo superior do perfil metálico

ts – espessura da laje

L – variação de comprimento do tirante; deformação imposta no tirante

Lh – variação da projecção horizontal do comprimento do tirante

N – variação do esforço axial aplicado no tirante

– coeficiente de Poisson

– peso específico do material

c – peso específico do betão

α – coeficiente de dilatação térmica do material

αi – ângulo do tirante com a horizontal

c – extensão do betão

s – extensão do aço

co – extensão de compressão do betão correspondente à tensão máxima

XI

λ, λ1, λ2, λ3, λ4 – parâmetros de carga

0 – deformação/deslocamento inicial vertical do tirante

– tensão instalada

i – tensão normais aplicadas na secção do elemento i.

x – tensões normais aplicadas na secção da laje

max – tensões normal máxima aplicada na secção da laje;

med – tensões media aplicada entre o topo e a base do elemento finito;

max

medσ – tensões média aplicada entre o topo e a base do elemento finito, mas máxima

transversalmente.

adm – tensão máxima admissível em serviço num tirante

N0 – esforço axial aplicado no tirante num instante inicial

Qi – esforço axial aplicado no tabuleiro na secção i.

DIN – German deutsche Norm

AASHTO – American Association of the State Highway and Transportation Officials

EC – Regulamentação Europeia dos Eurocódigos

ELU – Estado limite último

XII

XIII

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ................................................................................................. 1

1.2 OBJECTIVOS DO TRABALHO ............................................................................................... 3

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ........................................................................................... 4

2 CONCEPÇÃO E MÉTODOS CONSTRUTIVOS

2.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 7

2.2 MÉTODOS CONSTRUTIVOS ................................................................................................. 14

2.2.1 Considerações Gerais ............................................................................................ 14

2.2.2 Construção por Avanços Sucessivos .................................................................... 15

3 MODELAÇÃO E ANÁLISE ESTRUTURAL

3.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 21

3.2 MODELAÇÃO DOS MATERIAIS ............................................................................................ 22

3.2.1 Considerações Gerais ............................................................................................ 22

3.2.2 Aço Estrutural ......................................................................................................... 23

3.2.3 Betão ...................................................................................................................... 23

3.2.4 Efeitos diferidos ...................................................................................................... 25

3.3 ELEMENTO DE CABO ............................................................................................................ 26

3.3.1 Considerações gerais ............................................................................................ 26

3.3.2 Módulo de Elasticidade Equivalente ...................................................................... 26

3.4 DESCRIÇÃO DO MODELO DE CÁLCULO ............................................................................ 29

3.4.1 Configuração longitudinal ...................................................................................... 29

3.4.2 Tirantes .................................................................................................................. 31

3.4.3 Pilares e Torres ...................................................................................................... 34

3.4.4 Tabuleiro ................................................................................................................ 35

3.4.5 Resumo dos materiais nos elementos do modelo ................................................. 42

XIV

3.4.6 Discretização do Modelo ........................................................................................ 42

3.5 SEQUÊNCIA DE CONSTRUÇÃO ........................................................................................... 44

3.6 GEOMETRIA INICIAL E FORÇAS NOS TIRANTES............................................................... 46

3.7 CARREGAMENTOS ............................................................................................................... 48

3.7.1 Cargas permanentes .............................................................................................. 48

3.7.2 Sobrecargas de tráfego.......................................................................................... 49

3.7.3 Esquemas de Carregamento ................................................................................. 49

4 LARGURAS EFECTIVAS EM LAJES DE BETÃO

4.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 53

4.2 DETERMINAÇÃO DA LARGURA EFECTIVA ......................................................................... 64

4.2.1 Conceitos gerais .................................................................................................... 64

4.2.2 Utilização de elementos finitos .............................................................................. 65

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

5.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 69

5.2 INFLUÊNCIA DA LIGAÇÃO TIRANTE – TABULEIRO NA LARGURA EFECTIVA ................. 70

5.3 INFLUÊNCIA DOS APOIOS INTERMÉDIOS NA LARGURA EFECTIVA ............................... 77

5.4 INFLUÊNCIA DO CARREGAMENTO NA DISTRIBUIÇÃO DAS LARGURAS EFECTIVAS ... 82

5.4.1 Influência da geometria de aplicação da sobrecarga ............................................ 83

5.4.2 Influência dos parâmetros de carga ....................................................................... 87

5.5 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS COM OS PROPOSTOS POR BYERS ...... 93

6 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

6.1 CONCLUSÕES DO TRABALHO ............................................................................................. 101

6.2 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ........................................................................................ 104

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................... 105

ANEXOS

ANEXO A – SEQUÊNCIA DE OPERAÇÕES CONSTRUTIVAS .................................................... 108

ANEXO B – RESULTADOS OBTIDOS NOS MODELOS ESTUDADOS ........................................ 112

XV

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 – Funcionamento estrutural típico de uma ponte de tirantes. ........................... 7

Figura 2.2- Evolução do sistema de atirantamento [14]. .................................................... 8

Figura 2.3 - Configurações do sistema de suspensão em pontes de tirantes [14]. ............ 9

Figura 2.4 - Ponte Severin, em Colónia (Alemanha) [15]. .................................................. 10

Figura 2.5 - Annacis, em Vancouver (Canadá) [15]. ........................................................... 10

Figura 2.6 - Theodor Heuss, em Düsseldorf (Alemanha) [15]. ........................................... 10

Figura 2.7 - Ponte de Strömsund, (Suécia) [15]. ................................................................. 11

Figura 2.8 - Ponte de Silka-Harbour, (Alaska) [15]. ............................................................ 13

Figura 2.9 - Concepção típica de uma secção mista de uma ponte atirantada: (a) grelha

metálica; (b) laje de betão executada com painéis pré-fabricados [14]. ...... 14

Figura 2.10 - Ponte Sunningesund: construção do tabuleiro, por avanços sucessivos [15]

........................................................................................................................ 17

Figura 2.11 - Ponte de Kap Shui Mun: esquerda - construção do vão central pelo método

de avanços sucessivos; direita - sistema de elevação dos segmentos do

tabuleiro [14]. ................................................................................................ 19

Figura 2.12 - Ponte de Lanaye (Bélgica) [15]. .................................................................... 19

Figura 3.1 – Esquema genérico que traduz as modificações das relações constitutivas do

aço e betão resultantes da minoração das propriedades resistentes. ........ 24

Figura 3.2 – Elemento de cabo [6] ...................................................................................... 27

Figura 3.3 – Lei Constitutiva dos tirantes [14]. .................................................................... 28

Figura 3.4 - Alçado esquemático da estrutura mista utilizada no presente estudo. ........... 30

Figura 3.5 – Configuração longitudinal do modelo de estudo. ............................................ 30

Figura 3.6 – Esquema tipo das secções utilizadas na modelação dos tirantes. ................ 31

Figura 3.7 – Determinação da área necessária para cada tirante. ..................................... 32

Figura 3.8 – Identificação dos tirantes. ............................................................................... 32

Figura 3.9 – Variação da geometria da secção da torre. .................................................... 34

Figura 3.10 – Esboço esquemático da secção transversal do tabuleiro utilizada no modelo

de estudo [14]. .............................................................................................. 36

Figura 3.11 – Dimensões das vigas longitudinais e transversais. ...................................... 36

XVI

Figura 3.12 – Esquema representativo da variação da espessura da laje. ........................ 37

Figura 3.13 – Imagem do tabuleiro antes da translação dos elementos finitos. ................. 39

Figura 3.14 – Imagem do tabuleiro após a translação dos elementos para as posições

pretendidas. .................................................................................................. 40

Figura 3.15 – Pormenor da ligação das vigas transversais à viga principal. ...................... 40

Figura 3.16 – Pormenor da diferença de espessura das lajes. .......................................... 40

Figura 3.17 – Pormenor da ligação dos tirantes ao tabuleiro. Esquerda – apresentação

exacta da posição dos elementos finitos; Direita – apresentação dos

mesmos elementos no modo extrute view. .................................................. 41

Figura 3.18 – Esquemas de aplicação das sobrecargas no tabuleiro. ............................... 50

Figura 3.19 – Esquemas de incremento dos carregamentos para atingir o estado limite

último da estrutura. ....................................................................................... 51

Figura 4.1 – Representação esquemática da distribuição de tensões numa laje de uma

viga mista. .................................................................................................... 53

Figura 4.2 – Conceito de largura efectiva ........................................................................... 53

Figura 4.3 – Comparação da determinação da largura efectiva da laje para uma

compressão axial concentrada, segundo as especificações DIM 1075 e

AASHTO [3]. ................................................................................................. 55

Figura 4.4 – Determinação da largura efectiva de uma viga mista segundo o EC4 [10].... 56

Figura 4.5 – Esboço esquemático da secção transversal mista. ........................................ 57

Figura 4.6 – Secções transversais e correspondentes larguras efectivas, bmi. .................. 59

Figura 4.7 – Valores dos coeficientes bs e bf ...................................................................... 60

Figura 4.8 – Determinação de comprimentos efectivos, Le, em tabuleiros atirantados ...... 61

Figura 4.9 – Diagrama de momentos resultantes de uma carga unitária na secção média

do tramo central. .......................................................................................... 62

Figura 4.10 – Largura efectiva proposta por Byers et al. para a laje de betão do tabuleiro

de uma ponte atirantada mista [3] ................................................................ 63

Figura 4.11 – Conceito de largura efectiva de viga mista aço/betão [14]. .......................... 64

Figura 4.12 – Esquema tipo da variação de tensões na secção de cada elemento. ......... 66

Figura 4.13 – Esquema representativo utilizado na determinação da largura efectiva. ..... 67

Figura 5.1 – Largura Efectiva e esforços normais na laje do tabuleiro, para a actuação das

cargas permanentes..................................................................................... 72

Figura 5.2 – Diagramas de tensões reais e simplificados na laje para a acção da carga

permanente, utilizados para definição de beff. ............................................ 73

XVII

Figura 5.3 – Diagrama de momentos aplicado na viga metálica após o retensionamento

dos tirantes (Mod.B). Momentos negativos nos pontos onde ocorre a ligação

do tirante ...................................................................................................... 74

Figura 5.4 – Largura Efectiva e esforços normais na laje do tabuleiro, para a actuação das


Figura 5.5 – Largura Efectiva e esforços normais na laje do tabuleiro, para a acção das


Figura 5.6 – Largura efectiva e esforços normais na laje do tabuleiro para a actuação da

carga permanente (a vermelho) e para a actuação da sobrecarga em todo o

tabuleiro (a azul). .......................................................................................... 84

Figura 5.7 – Largura efectiva e esforço axial da laje do tabuleiro para a actuação da

sobrecarga do tipo1 (aplicação em todo o tabuleiro) e para a actuação da

sobrecarga do tipo 2 (aplicação no vão compreendido entre os pilares P3e

P3’) ............................................................................................................... 86

Figura 5.8 – Diagrama de momentos aplicados na viga após a aplicação da sobrecarga.

Nos tramos laterais a flexão negativa ocorre a meio vão e a positiva ao nível

dos apoios .................................................................................................... 87

Figura 5.9 – Largura efectiva e esforço axial da laje do tabuleiro para a actuação de

diferentes parâmetros de carga, aplicada em todo o tabuleiro. ................... 88

Figura 5.10 – Largura efectiva e esforço axial da laje do tabuleiro para a actuação de

diferentes parâmetros de carga, aplicada no vão compreendido entre os

pilares P3 e P3’. ........................................................................................... 91

Figura 5.11 – Variação do valor de largura efectiva sobre os apoios, para as duas

geometrias de aplicação de sobrecarga, considerando diferentes níveis de

carga. ........................................................................................................... 92

Figura 5.12 – Largura efectiva proposta por Byers para a laje de betão do tabuleiro de uma

ponte atirantada mista [3]. ............................................................................ 93

Figura 5.13 – Comparação da Largura efectiva proposta por Byers com os resultados

obtidos em alguns dos modelos de estudo. ................................................. 97

Figura 5.14 – Distribuição de larguras efectivas propostos para a laje do modelo em

estudo. .......................................................................................................... 98

Figura 5.15 – Proposta da largura efectiva a considerar para a laje de betão do tabuleiro

misto do modelo em estudo ......................................................................... 99

XVIII

XIX

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 3.1 – Características geométricas dos tirantes dos vãos laterais [14]. ................... 32

Tabela 3.2 – Características geométricas dos tirantes do vão central [14]. ....................... 33

Tabela 3.3 – Pesos próprios dos tirantes [14]. .................................................................... 33

Tabela 3.4 – Propriedades geométricas dos elementos das torres. ................................... 35

Tabela 3.5 – Propriedades dos materiais utilizados no modelo. ........................................ 42

Tabela 3.6 – Resumo da discretização utilizada no modelo de cálculo. ............................ 43

Tabela 3.7 – Sequência de operações construtivas ........................................................... 45

Tabela 3.8 – Forças aplicadas nos tirantes na posição de equilíbrio intermédio [14]. ....... 47

Tabela 3.9 – Forças aplicadas nos tirantes na fase de retensionamento global dos

tirantes[14]. ................................................................................................... 47

Tabela 3.10 – Forças instaladas nos tirantes na posição de equilíbrio intermédio. ........... 48

Tabela 3.11 – Forças instaladas nos tirantes após o retensionamento global dos tirantes.

...................................................................................................................... 48

Tabela 4.1 – Expressões utilizadas no cálculo da largura efectiva pelo EC4 [10]. ............ 55

Tabela 4.2 – Cálculo dos comprimentos efectivos e variação de larguras efectivas. ........ 58

Tabela 5.1 – Identificação dos modelos de estudo e suas propriedades. .......................... 69

Tabela 5.2 – Largura efectiva da laje nos apoios intermédios para os modelos C e D ...... 82

Tabela 5.3 – Parâmetros de carga e respectivos incrementos ........................................... 87

Tabela 5.4 – Níveis de carga .............................................................................................. 89

XX

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

As pontes atirantadas são estruturas normalmente compostas por uma ou mais torres

que suportam o tabuleiro através de um sistema de suspensão contínuo, constituído

por tirantes inclinados. A elevada eficácia deste sistema de suspensão tem

possibilitado o desenvolvimento de soluções estruturais simples, muito esbeltas e

extremamente elegantes. Nas últimas décadas a realização de numerosos estudos em

conjunto com o grande progresso ao nível dos materiais e dos processos construtivos

têm permitido aumentar o âmbito de aplicação destas pontes, tornando-as

actualmente as mais utilizadas no domínio dos médios e grandes vãos.

A grande diversidade de configurações possíveis para os elementos estruturais das

pontes de tirantes, tanto das formas das torres como das configurações dos tirantes e

das tipologias de tabuleiros, torna esta solução muito funcional para todos os tipos de

vãos, desde de pequenos tabuleiros para passagens pedonais até tabuleiros

rodoviários e ferroviários com grandes vãos.

A necessidade de executar maiores vãos em conjunto com as preocupações estéticas

associadas a estas estruturas levou à procurar secções transversais mais leves e

resistentes, e que garantam um tabuleiro esteticamente atraente. A experiência tem

mostrado que as pontes atirantadas com tabuleiros totalmente metálicos com secção

transversal em caixão constituídas por painéis em laje ortotrópica são apropriadas

apenas em vãos bastante grandes. Até vãos da ordem dos 700 a 800 m, os tabuleiros

mistos aço-betão são os mais adequados. A combinação dos dois materiais permite

tirar partido das melhores características de ambos, o que contribui para que os

tabuleiros mistos aço-betão tenham sido ultimamente adoptados em grande número

de pontes atirantadas [14].

O tabuleiro atirantado misto mais utilizado é constituído por duas vigas metálicas

principais, onde são fixados os tirantes em sistema de suspensão lateral, e uma laje


2

de betão apoiada nas vigas principais e em carlingas metálicas transversais, que por

um lado permitem reduzir a dimensão dos painéis de laje e por outro são responsáveis

pela transmissão dos esforços do centro do tabuleiro às vigas metálicas principais.

Deste modo, na direcção longitudinal o funcionamento estrutural pode ser

simplificadamente descrito como: a laje de betão suporta as elevadas compressões

axiais resultantes da inclinação dos tirantes; as vigas metálicas, entre os apoios

conferidos pelos tirantes pouco espaçados, suportam os esforços transversos e os

momentos flectores.

O aço permite obter simultaneamente uma secção transversal leve e resistente. Além

disso a possibilidade de ser efectuada em estaleiro e a fácil execução das ligações,

que logo após a montagem apresentam uma elevada capacidade resistente, garantem

um elevado controlo de qualidade, rigor e rapidez de execução.

Por outro lado, o betão possibilita uma melhor resistência aos esforços de compressão

e permite garantir uma plataforma de suporte ao tráfego rodoviário, ferroviário ou

pedonal. A possibilidade de recorrer a painéis pré-fabricados garante também uma

grande qualidade e uma fácil e rápida execução.

São diversas as questões que se colocam durante a fase de concepção e projecto das

pontes atirantadas. A eficaz aplicação e combinação dos vários materiais bem como

as evoluções geométricas verificados ultimamente na engenharia das pontes resultam

de inúmeros estudos e desenvolvimentos a vários níveis da construção das pontes. A

existência de desafios cada vez mais marcantes e a acentuada necessidade de

actualmente obter estruturas economicamente competitivas, exigem conhecimentos

cada vez mais profundos ao nível dos materiais de construção e do funcionamento

estrutural.

Devido à elevada flexibilidade e complexidade das estruturas atirantadas mistas aço–

betão, torna-se indispensável recorrer a modelos numéricos para simulação do

comportamento da estrutura, que por um lado devem permitir utilizar grande número

de elementos finitos e graus de liberdade, para simular correctamente o

comportamento da estrutura e, por outro lado, pretende-se que sejam de simples

utilização nomeadamente no tratamento dos resultados. Tendo em consideração estas

necessidades, na análise e dimensionamento destas estruturas, são normalmente

adoptados elementos lineares de barra para simular os vários elementos estruturais

que constituem a estrutura.


3

Torna-se assim necessário para a modelação da laje de betão de uma viga mista

definir a largura de laje que funciona em conjunto com a viga. A definição da largura

efectiva da laje de betão para o caso das pontes atirantadas mistas é um aspecto que

coloca diversas dificuldades particulares. Os critérios incluídos na actual

regulamentação definem a largura efectiva em lajes de secções mistas sujeitas

apenas à flexão e apoiadas em apoios rígidos. Esta regulamentação não pode ser

directamente aplicáveis para o caso das pontes atirantadas mistas visto que, por um

lado, os tirantes não devem ser considerados como apoios rígidos e, por outro lado,

neste caso particular, as secções mistas estão sujeitas simultaneamente a

compressão axial e a flexão.

1.2 OBJECTIVOS DO TRABALHO

A largura efectiva de lajes de betão em secções mistas é determinada, de acordo com

a regulamentação actual, por expressões simplificadas baseadas em diversos estudos

de vigas mistas sujeitas à flexão. Contudo a existência de tirantes torna a definição da

largura efectiva num problema mais complexo, na medida em que as distribuições

transversais de tensões normais longitudinais na laje são não só resultado da flexão

global do tabuleiro como da compressão instalada pelos tirantes, pelo que a aplicação

directa das expressões regulamentares só permite a definição de duas larguras

efectivas para a laje, uma relativa à flexão e outra à compressão.

Tendo em consideração a crescente utilização das pontes de tirantes com tabuleiro

misto torna-se necessária a definição de uma largura efectiva específica para este

caso.

Deste modo, é objectivo do presente trabalho definir uma única largura efectiva que

tenha em conta os efeitos da flexão local e da compressão global introduzida pelos

tirantes, a partir da análise elástica linear de modelos tridimensionais de pontes

atirantadas mistas, e considerando de forma simplificada o faseamento construtivo e a

aplicação das sobrecargas de utilização, com várias distribuições e incrementos até

atingir o nível de carga corresponde ao Estado Limite Último. Estes dois aspectos são

relevantes, pretendendo-se portanto neste trabalho avaliar a relevância do faseamento

construtivo e do nível e a geometria de aplicação das sobrecargas na definição das

larguras efectivas da laje ao longo do tabuleiro misto de uma ponte de tirantes.


4

Um estudo recente apresentado por Byers propôs regras de distribuição longitudinal

de larguras efectivas para o caso de tabuleiros mistos do tipo bi-viga atirantados.

Pretende-se no presente trabalho discutir e comparar as larguras efectivas que se

obtêm com modelos numéricos com as propostas deste autor.

A apresentação e discussão da regulamentação internacional utilizada na

determinação de larguras efectivas, bem como uma comparação com as regras

apresentadas pela regulamentação actualmente em vigor em Portugal, constituem

também objectivos deste trabalho.

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Além da presente Introdução e o de um capítulo final onde se apresentam as

principais Conclusões do Trabalho, o trabalho desenvolve-se em quatro capítulos: a

Concepção e Métodos Construtivos, a Modelação e Analise Estrutural, Larguras

Efectivas em Lajes de Betão e a Análise dos Resultados, cujo conteúdo se resume

seguidamente.

No capítulo inicial – Introdução – faz-se uma abordagem geral ao tema das pontes

atirantadas mistas evidenciando o aspecto específico da determinação de larguras

efectivas neste tipo de estruturas. São apresentados os objectivos, o modo como se

organiza o trabalho e os conteúdos de cada um dos capítulos.

O Capitulo 2 – Concepção e Métodos Construtivos – refere-se à concepção de pontes

atirantadas mistas e dos seus métodos construtivos. Efectua-se uma resumida

caracterização deste tipo de solução estrutural e do seu funcionamento estrutural,

fazendo-se referência à sua evolução e a exemplos característicos de pontes

atirantadas construídas. Neste capítulo efectua-se também a distinção entre tabuleiros

realmente mistos e tabuleiros onde embora sejam associados os materiais aço e betão

não é corrente serem classificados como mistos, e caracterizam-se as secções mistas

mais correntes em tabuleiros atirantados.

Ainda relativamente à concepção estrutural, no Capítulo 2 são apresentados os

métodos construtivos normalmente utilizados na execução de pontes atirantadas

mistas, referenciando-se exemplos de pontes mistas atirantadas construídas.

Apresenta-se em maior detalhe o método dos avanços sucessivos, utilizado na

construção da maioria dos tabuleiros atirantados mistos, e que será utilizado no

presente trabalho.


5

O Capítulo 3 – Modelação e Análise Estrutural – apresenta em detalhe a análise

elástica linear efectuada com modelos tridimensionais de elementos finitos, definindo o

modelo, as acções, a sequência construtiva e de aplicação das cargas.

Neste capítulo apresentam-se as leis constitutivas relativas ao aço estrutural, ao

elemento de cabo e ao betão, bem como a modelação dos efeitos diferidos da

retracção e fluência do betão. Procede-se a uma descrição do modelo de cálculo e

apresentação da formulação e elementos finitos utilizados na modelação dos vários

elementos que o constituem (tirantes, pilares/torres, tabuleiro …). Para cada

material / elemento apresenta-se as hipóteses e simplificações consideradas.

No Capitulo 4 – Largura Efectivas em Lajes de Betão – Apresenta-se e discute-se a

regulamentação associada à determinação dos valores da largura efectiva em lajes de

betão de secções mistas.

O capítulo inicia-se com a definição do conceito de largura efectiva de uma laje de

betão. Apresentam-se a formulação e as condições de aplicabilidade da

regulamentação nacional, bem como a regulamentação internacional aplicável à

definição de larguras efectivas em geral e no caso particular das pontes com tabuleiro

misto aço-betão. Discutem-se as limitações associadas à aplicação destas regras no

caso de larguras efectivas de lajes de betão de tabuleiros atirantados mistos, e

apresenta-se a proposta de Byers para este caso específico.

O capítulo termina com a apresentação da formulação considerada neste estudo para

a determinação do valor de largura efectiva nos vários alinhamentos entre os

diferentes elementos finitos de laje que constituem a laje tabuleiro.

No Capítulo 5 – Análise dos Resultados – Apresentam-se o cálculo das larguras

efectivas para os modelos analisados, assim como das distribuições de compressão

axial na laje.

O capítulo inicia-se com a caracterização especifica de cada modelo estudado, sendo

consideradas diferenças nos aspectos relacionados com: (1) o tipo de ligação tirante-

tabuleiro; (2) a existência ou não de apoios provisórios nas torres e de pilares

intermédios nos tramos laterais; (3) os níveis e a geometria da carga aplicada e a sua

sequência de aplicação na estrutura.

Os resultados obtidos nos vários modelos são apresentados de forma conjunta, de

forma a que se possa proceder à sua comparação e melhor determinar a contribuição

das diferentes condições na distribuição dos valores de largura efectiva ao longo da


6

laje do tabuleiro, como por exemplo, determinar a influência da ligação tirante-

tabuleiro, influência dos apoios provisórios e influência do tipo e geometria do

carregamento, na distribuição de largura efectivas na laje do tabuleiro.

O capítulo termina com uma análise e comparação da distribuição de larguras

efectivas proposta por Byers e os resultados obtidos em apenas alguns dos modelos

em estudo (com os que se considera que apresentam características que conduzem a

uma comparação válida). Apresenta-se uma proposta de distribuição de larguras

efectivas que, em função dos resultados obtidos para os diferentes cenários

analisados, se considera ser a mais adequada para os tabuleiros estudados.

No Capitulo 6 – Conclusões e Desenvolvimentos Futuros do Trabalho – apresenta-se

um resumo do trabalho efectuado, e das principais conclusões obtidas no decorrer do

trabalho. Termina-se com a referência aos aspectos que se considera de interesse

desenvolver em trabalhos futuros

.

CAPÍTULO 2 – CONCEPÇÃO E MÉTODOS CONSTRUTIVOS

7

2 CONCEPÇÃO E MÉTODOS CONSTRUTIVOS

2.1 INTRODUÇÃO

As pontes de tirantes são uma solução estrutural em que o apoio do tabuleiro é feito

por intermédio de cabos inclinados (tirantes), que permitem vencer maiores vãos sem

necessidade de pilares intermédios.

Os três principais elementos estruturais das pontes de tirantes são o tabuleiro, os

pilares e/ou torres e os tirantes. O tabuleiro recebe as cargas permanentes e

sobrecargas, transmitindo-as para os tirantes e para os pilares. Deste modo, o

tabuleiro funciona simultaneamente à flexão devido às cargas verticais aplicadas e à

compressão, devido à existência de tirantes inclinados. Estes, por sua vez, transferem

os esforços do tabuleiro para as torres que, por compressão, as conduzem para as

fundações (Figura 2.1) [14].

TRACÇÕES

COMPRESSÕES

Figura 2.1 – Funcionamento estrutural típico de uma ponte de tirantes.

Inicialmente, as pontes de tirantes apresentavam um reduzido número de cabos

inclinados, dando origem as grandes dificuldades associados à sua ancoragem e

eventual substituição. Dado que a distância entre tirantes continuava a ser

relativamente grande, as soluções iniciais requeriam tabuleiros rígidos e tirantes com

secções de grande diâmetro [14].


8

As pontes de tirantes tal como as conhecemos actualmente resultam de uma evolução

que incide essencialmente no sistema de atirantamento. O desenvolvimento

tecnológico verificado nos tirantes, associado ao aparecimento de programas de

cálculo mais potentes, tornou possível e viável a concepção de sistemas de

atirantamento de suspensão múltipla (Figura 2.2 – (c)). Este sistema de suspensão é

caracterizado pela utilização de um grande número de tirantes com pequenos

espaçamentos permitindo realizar um apoio aproximadamente contínuo ao tabuleiro o

que se traduz na redução dos momentos flectores longitudinais no tabuleiro bem como

a redução das forças transmitidas nas ancoragens. A redução de espaçamentos entre

tirantes permite durante a fase construtiva a utilização de menores comprimentos de

tabuleiro em consola e as reduções de esforço no tabuleiro e nas ancoragens

permitem, em condições de serviço, a utilização de tabuleiros muito mais esbeltos

suportado por tirantes com pequena secção e por isso de fácil instalação e

substituição [14].

Figura 2.2- Evolução do sistema de atirantamento [14].

O sistema de suspensão múltipla de uma ponte de tirantes pode apresentar três

configurações diferentes: leque, semi-leque e harpa. Na configuração em leque todos

os tirantes convergem no topo das torres, enquanto que na configuração em harpa as

ancoragens são distribuídas ao longo de toda a altura da torre. Na configuração em

semi-leque, a disposição dos tirantes é intermédia já que as ancoragens são

distribuídas apenas numa certa altura da torre, a partir do seu topo (Figura 2.3).


9

Figura 2.3 - Configurações do sistema de suspensão em pontes de tirantes [14].

Nas torres convergem todos os tirantes do vão central e lateral, sendo necessário

dispor de espaço para a sua ancoragem. Numa configuração em leque, em que todos

os tirantes convergem no topo da torre, a falta de espaço torna mais complexa a

ancoragem. Nestas situações, têm sido muitas vezes utilizadas células de desvio no

topo das torres, no entanto, em grandes pontes atirantadas, com um numero muito

elevado de tirantes, este processo de ancoragem torna-se inviável. Além disso,

durante a construção por avanços sucessivos, a utilização de selas de desvio no topo

das torres tem-se revelado uma solução menos segura [14].

Na configuração em harpa, os tirantes são todos paralelos entre si e por isso com

ancoragens uniformemente espaçadas ao longo das torres. Esta configuração além de

ser esteticamente agradável, não apresenta os inconvenientes associados à

concentração de tirantes no topo da torre, no entanto, revela-se pouco económica em

termos de peso dos tirantes, principalmente para situações em que é pequena a altura

das torres. Por esta razão, para garantir uma inclinação aceitável com a horizontal

esta configuração é quase sempre adoptada em torres de grande altura [14].

Uma situação intermédia corresponde à configuração em semi-leque. Nesta

configuração a distribuição dos tirantes é feita na parte superior das torres de forma a

garantir espaço suficiente para proceder à ancoragem dos tirantes e procurando que a

inclinação dos tirantes com a horizontal seja a maior possível. Esta configuração

representa portanto um compromisso entre as exigências económicas e estéticas,

razões que a tornam actualmente a mais utilizada [14].


10

Como exemplo, apresenta-se três pontes atirantadas onde foram utilizados diferentes

configurações de suspensão: em Leque (Figura 2.4), em Semi-Leque (Figura 2.5) e

em Harpa (Figura 2.6).

Figura 2.4 - Ponte Severin, em Colónia (Alemanha[15]).

Figura 2.5 - Annacis, em Vancouver (Canadá)[15].

Figura 2.6 - Theodor Heuss, em Düsseldorf (Alemanha)[15].

A utilização de tabuleiros atirantados mistos aço/betão tem crescido muito nos últimos

anos, devido à competitividade económica que foi possível atingir com estas soluções,

não só no domínio dos grandes vãos como dos médios, e mesmo em algumas

situações particulares de pontes atirantadas de pequeno vão, como por exemplo, em

pontes pedonais. No caso das pontes pedonais a utilização de tabuleiros mistos


11

atirantados deve-se mais a razões estéticas e arquitectónicas do que por critérios

técnicos ou económicos. No entanto, o presente estudo refere-se a tabuleiros mistos

de pontes rodoviárias atirantadas de grande vão. É de realçar que a utilização de

betão e aço em simultâneo não é uma característica que por si só permite classificar

uma ponte como sendo mista. Alguns autores apresentam uma classificação com

quatro tipos diferentes de pontes de tirantes, que utilizam em conjunto o aço e o betão

armado[16]:

1) Tabuleiros com uma laje de betão e uma estrutura metálica;

2) Tabuleiros metálicos no vão central, combinados com secções transversais

em betão armado nos vãos laterais;

3) Tabuleiros de betão armado constituídos por duas vigas laterais ligadas por

uma laje apoiada em carlingas transversais metálicas;

4) Tabuleiros metálicos em laje ortotrópica, com a rigidez da chapa superior

aumentada por uma camada de betão armado, betão betuminoso ou resina

epoxy.

A ponte de Strömsund (Figura 2.7), geralmente referida como a primeira ponte de

tirantes da era moderna, é um exemplo típico de uma secção constituída por betão e

aço mas que, de acordo com Svensson [16], não deve ser considerada como mista. O

seu tabuleiro, com um vão principal de 182.6 m, utiliza uma grelha metálica sobre a

qual se apoia uma laje de betão. No entanto, esta laje tem unicamente por função

transmitir as sobrecargas do tráfego à grelha metálica, não contribuindo para o

funcionamento longitudinal misto do tabuleiro.

Uma ponte de tirantes com um tabuleiro misto é geralmente constituída por uma

estrutura metálica e uma laje de betão que participam, em conjunto, para assegurar

Figura 2.7 - Ponte de Strömsund, (Suécia)[15].


12

quer a rigidez quer a resistência necessária para suportar os esforços axiais e

transversos, e ainda os momentos flectores longitudinais aplicados [17]. Segundo esta

definição não são considerados como mistos os tabuleiros dos tipos 2), 3) e 4) da lista

anterior.

Apenas nos tabuleiros incluídos no tipo 1) o aço e o betão armado participam em

conjunto para resistir às forças aplicadas na mesma secção transversal, o que é

característico de um funcionamento estrutural misto. Esta associação tem como

objectivo combinar as melhores características dos dois materiais: o aço estrutural

permite a concepção de tabuleiros leves, com excelente qualidade e precisão na

construção; a laje de betão constitui a plataforma de circulação, proporcionando a

superfície para aplicação do betuminoso ou do balastro e carris, e simultaneamente

resiste a grande parte da compressão introduzida pelos tirantes no tabuleiro. Além

disso, as lajes de betão podem ser pré-fabricadas em painéis, com betões de alta

resistência, e com grande precisão dimensional, o que permite a rápida construção do

tabuleiro. Em conjunto, os dois materiais proporcionam a concepção de um tabuleiro

leve, fácil e rápido de construir, constituindo uma solução com elevada qualidade e

durabilidade [14].

A ponte Silka-Harbour (Figura 2.8), concluída em 1972 no Alasca, é referida

frequentemente como a primeira ponte atirantada mista rodoviária. O seu tabuleiro,

com 137 m de vão central, é constituído por uma secção transversal com duas vigas

metálicas e uma laje de betão, e é suspenso unicamente em dois pontos, situados a

45 m das torres metálicas.

Só cerca de uma década mais tarde foram projectadas outras pontes atirantadas

mistas. Entre 1978 e 1982 foi projectada a ponte Hooghly, em Calcutá (Índia), mas a

construção terminou apenas em 1992. Em 1982 a alternativa de um tabuleiro misto foi

utilizada na ponte Sunshine Skyway, na Florida (EUA). Uma solução com tabuleiro

misto aço/betão foi também utilizada na ponte Annacis completada em 1986 em

Vancouver (Canadá), que com um vão principal de 465 m e suspensão lateral múltipla,

constituiu durante anos o recorde mundial de vão no domínio das pontes de tirantes

[14].


13

Figura 2.8 - Ponte de Silka-Harbour, (Alaska) [15].

Os conceitos utilizados na concepção dos tabuleiros mistos das três pontes referidas –

as pontes de Hooghly, Sunshine Skyway e Annacis – são os mesmos: o tabuleiro é

composto por duas vigas metálicas principais, ligadas por um conjunto de travessas

nos pontos de inserção dos tirantes, formando uma grelha onde se apoia uma laje de

betão [14]. Este conjunto funciona como uma secção mista apoiada lateralmente de

uma forma contínua em tirantes que convergem para os topos das torres (Figura

2.9 (a)). O conjunto é suspenso lateralmente por dois planos inclinados de tirantes

responsáveis pela estabilização tabuleiro e também pela introdução na laje de

compressões longitudinais e, consoante a configuração dos tirantes, também

transversais. Esta laje de betão é frequentemente pré-fabricada em painéis de

pequenas dimensões, montados com grande rapidez sobre a grelha metálica do

tabuleiro (Figura 2.9 (b)) [14].

A simplificação estrutural das secções transversais adoptadas constituiu uma

importante evolução na concepção das pontes atirantadas rodoviárias mistas de

grande vão (vão principal superior a 200 a 250 m). Esta concepção tem sido adoptada

na quase totalidade das pontes mistas atirantadas de grande vão construídas na

última década utilizando o método dos avanços sucessivos [14].


14

Figura 2.9 - Concepção típica de uma secção mista de uma ponte atirantada: (a) grelha metálica; (b) laje de betão executada com painéis pré-fabricados [14].

2.2 MÉTODOS CONSTRUTIVOS

2.2.1 Considerações Gerais

A sequência natural da construção das pontes atirantadas inicia-se pela execução das

fundações, seguidas das torres e do tabuleiro.

O sucesso das pontes atirantadas mistas de grande vão está relacionado em grande

medida com o simples e repetitivo processo construtivo utilizado na sua construção.

No caso das pontes de grande vão, a necessidade de se montar grandes tabuleiros,


15

em extensões consideráveis, torna o método por avanços sucessivos adequado, visto

que nestas situações se releva como um método simples, rápido, seguro e económico

[14].

Apesar da competição económica com outras soluções estruturais ser bastante mais

difícil, na última década, as pontes atirantadas mistas têm conseguido alargar o

domínio de aplicação aos tabuleiros de pequeno e médio vão.

Em pontes de pequeno e médio vão a construção do tabuleiro recorrendo ao método

construtivo por avanços sucessivos não se revela tão competitivo, pelo que têm sido

utilizados outros métodos construtivos. A construção com apoios provisórios no solo, a

rotação do tabuleiro atirantado construído previamente nas margens do rio com apoios

no solo e mesmo a construção do tabuleiro por lançamento incremental têm sido os

métodos construtivos utilizados. Todos estes métodos construtivos alternativos têm a

particularidade de os tirantes serem montados em uma única operação, o que permite

reduzir o número de etapas da fase construtiva, o material e o pessoal envolvido na

construção e ainda facilita o trabalho de controlo de geometria durante a fase

construtiva. Esta particularidade torna os métodos mais competitivos pois permitem

uma redução do custo da construção, tantas vezes determinante na escolha da

solução [14].

No presente trabalho é utilizado o método construtivo por avanços sucessivos,

adoptado na quase totalidade das grandes pontes atirantadas mistas e que se

caracteriza mais em detalhe no ponto seguinte.

2.2.2 Construção por Avanços Sucessivos

Tal como já foi referido, o método construtivo dos avanços sucessivos, no caso de

pontes de grande vão, apresenta vantagens face aos outros métodos construtivos, que

contribuem para que seja o método mais utilizado na construção das grandes pontes

atirantadas.

O método construtivo dos avanços sucessivos consiste na construção do tabuleiro em

segmentos, pré-fabricados ou fabricados “in-situ”, de forma alternada com a

montagem dos tirantes e utilizando a estrutura já construída para suporte e apoio dos

equipamentos necessários para realizar o avanço da construção. Para o início da

construção do tabuleiro não é necessário que as torres estejam totalmente concluídas,


16

bastando para tal controlar os esforços e deformações das mesmas devidas à

evolução do tabuleiro [6].

Duas consolas são em regra construídas utilizando equipamentos móveis de elevação,

de forma simétrica a partir das torres, de modo a minimizar a respectiva flexão, ainda

que esta seja temporária. Nos tabuleiros betonados “in-situ” existe ainda a

possibilidade de atirantar os equipamentos que suportam as cofragens, permitindo

minimizar as flexões temporárias [6].

Normalmente a instalação da estrutura metálica e da laje de betão são realizadas em

etapas diferentes. Cada ciclo começa com a ligação de segmentos da estrutura

metálica, com comprimento normalmente igual à distância entre tirantes, aos

segmentos já anteriormente montados, recorrendo a soldadura ou aparafusamento.

Em seguida, efectua-se a instalação do respectivo par de tirantes, o que permite a

movimentação dos equipamentos de forma a posicionarem-se para a elevação dos

segmentos da próxima etapa. Nesta primeira instalação dos tirantes existe a

preocupação de ajustar a sua força unicamente ao peso da estrutura metálica, pelo

que muitas vezes nesta fase apenas se instala uma parte dos cordões que serão

usados. Esta situação é típica das pontes de grande vão, uma vez que a estrutura

metálica, além de muito flexível, representa uma pequena percentagem do peso total

da secção o que contribui para que os cordoes estejam submetidos a uma tensão

relativamente baixa, sendo por esta razão muito frequente aplicar os cordões em duas

fases. Posteriormente, já com o cimbre móvel apoiado sobre a estrutura metálica

segue-se a betonagem da laje ou a montagem de painéis de laje pré-fabricados.

Segue-se o retensionamento da totalidade dos tirantes ou, se for o caso, à instalação

dos restantes cordões que compõem o tirante [14]. Na primeira fase normalmente é

controlada a força instalada enquanto na segunda, e nos ajustes dos tirantes durante a

fase de consola, o parâmetro de controlo é o alongamento introduzido [14].

Uma alternativa adoptada, a este faseamento de montagem dos tirantes, consiste que

na montagem do segmento metálico seja adicionado um acréscimo de peso,

permitindo assim instalar a totalidade dos cordões de um tirante e, eventualmente,

com maior força. Este processo menos usual, foi utilizado por exemplo na ponte de

Pereira-Dosquebrados (Colômbia), concluída em 1987 [7].

Para que a sequência construtiva se desenvolva de forma eficiente e sem grandes

inconvenientes para a estrutura é necessário que a distância entre a montagem da

estrutura metálica e a execução da laje seja adequada. Distâncias pequenas dificultam

a organização dos trabalhos mas em contrapartida distâncias elevadas levam a que a


17

estrutura metálica fique sujeita a elevadas compressões devido à ausência da laje. A

distância usualmente utilizada entre os referidos procedimentos corresponde ao

distanciamento entre tirantes, ou seja, a montagem de um dado segmento de estrutura

metálica e a execução da laje do segmento anterior ocorrem em simultâneo [14].

Uma alternativa que tem vindo a ser adoptada, nas mais recentes pontes de tirantes,

consiste em efectuar a elevação da estrutura metálica já com a laje, utilizando um

equipamento de elevação de maior capacidade, seguindo-se a instalação e

retensionamento do par de tirantes numa fase única [14].

Nas pontes mistas de grande vão em que são adoptados o método construtivo de

avanços sucessivos no modo tradicional, a sequência tipo de um ciclo de montagem

do tabuleiro adoptada é normalmente comum. Como exemplo representativo temos a

ponte Sunningesund (Figura 2.10), finalizada em 2001 em Uddevalla, Suécia.

A sequência tipo de um ciclo de montagem do tabuleiro consistia nas seguintes cinco

operações [11]:

1) Elevação e montagem de um segmento, com 13.3 m de comprimento e

26.06 m de largura, e pesando cerca de 70 ton., utilizando um equipamento

de elevação fixo ao segmento anterior do tabuleiro; fixação temporária entre

segmentos, seguida de um controlo topográfico em planta e perfil; execução

da ligação entre as vigas principais dos segmentos.

Figura 2.10 - Ponte Sunningesund: construção do tabuleiro, por avanços sucessivos [15]


18

2) Instalação e primeiro tensionamento do par de tirantes de suspensão lateral do

segmento.

3) Elevação dos painéis pré-fabricados de laje e sua colocação sobre a estrutura

metálica; controlo topográfico e de força nos tirantes, e eventual execução de

pequenas rectificações.

4) Betonagem das ligações entre painéis e das extremidades laterais do tabuleiro.

5) Segundo tensionamento dos tirantes, para se atingir o seu comprimento pré-

definido, no momento em que o betão das ligações entre painéis atinge

25 MPa; e movimentação do equipamento para a elevação do segmento

seguinte.

Na maioria das pontes mistas de grande vão, incluindo esta, as operações de

tensionamento dos tirantes são executadas a partir do interior das torres e em duas

fases (já referidas anteriormente), utilizando um tensionamento cordão a cordão.

Como curiosidade, a ponte Annacis (Figura 2.5), concluída em 1986 marca o início da

construção de tabuleiros utilizando simultaneamente o método dos avanços

sucessivos e a adopção de paneis de lajes pré-fabricados [14].

Numa tentativa de reduzir ao mínimo os efeitos da retracção do betão, os painéis

utilizados são normalmente fabricados com alguns meses de avanço em relação à sua

colocação no tabuleiro. A ligação dos vários painéis em obra é efectuada através da

betonagem, com betão não retráctil, das zonas sobre as carlingas e vigas, que

coincide com o local onde se localizam os conectores responsáveis pelo

funcionamento misto [14].

Também devido aos efeitos da retracção e fluência do betão, com a finalidade de

limitar a ocorrência de fissuração de algumas zonas da laje de betão, por vezes utiliza-

se pré-esforço longitudinal. No entanto, esta aplicação apresenta inconvenientes, pois

para que a compressão introduzida pelo pré-esforço se mantenha apenas na laje o

seu processo construtivo torna-se complexo e exige que seja efectuado por fases, mas

mesmo assim, devido aos efeitos diferidos, parte da compressão se transferirá para o

banzo superior das vigas metálicas principais, deixando por esta razão de ter utilidade

na estrutura. Esta talvez seja a principal razão pela qual esta solução tem sido pouco

utilizada [12]; [18].

O método de avanços sucessivos tradicional tem, consoante as características

particulares de determinada situação tido variantes, que por vezes se tornam mais

vantajosas que o método de avanços sucessivos tradicional. Por exemplo, na ponte de


19

Kap Shui Mun em Hong-Kong (Figura 2.11) a presença de apoios intermédios nos

vãos laterais permitiu que o tabuleiro destes fosse efectuado recorrendo ao método de

lançamento incremental. O vão central foi efectuado pela técnica dos avanços

sucessivos e a existência dos vãos laterais tornou-se vantajosa visto que foram

utilizados para estabilizar o vão central durante a fase de consola [2].

Figura 2.11 - Ponte de Kap Shui Mun: esquerda - construção do vão central pelo método de avanços sucessivos; direita - sistema de elevação dos segmentos do tabuleiro [14].

Figura 2.12 - Ponte de Lanaye (Bélgica)[15].

Outro exemplo consistiu no procedimento construtivo de avanços sucessivos particular

adoptado na ponte de Lanaye (Figura 2.12). Nesta ponte o vão principal do tabuleiro

foi construído pela técnica dos avanços sucessivos mas a partir da margem onde se

localiza a torre. Na primeira fase, uma estrutura metálica, composta por duas vigas em

I, foi sucessivamente montada a partir da margem e á qual foi ancorada os tirantes.

Em seguida foi executado o caixão de betão utilizando a estrutura metálica como

suporte da cofragem. Uma vez que a estrutura metálica isolada era muito flexível, foi


20

necessário efectuar sucessivos ajustes nos tirantes, o que tornou o processo muito

moroso e complexo [5].

A construção de tabuleiro por avanços sucessivos recorrendo a aduelas pré-fabricadas

é outra solução construtiva que actualmente tem vindo a ser muito utilizada. Em

viadutos e pontes de grande extensão este processo tem se revelado rápido e

competitivo. Além disso, em pontes de tirantes, a compressão horizontal proveniente

dos tirantes pode ser utilizada em conjunto com o pré-esforço longitudinal definitivo e

de colagem.[14] As aduelas treliçadas mistas são particularmente adequadas a este

processo construtivo, uma vez que são leves e adequadas para a pré-fabricação.

A estabilização das consolas do tabuleiro durante a fase construtiva é um dos

aspectos que merecem especial atenção no processo de avanços sucessivos em

pontes de grande vão. Esta necessidade surge devido [14]: (1) forças assimétricas no

tabuleiro resultantes da construção; (2) situação de acidente, como a queda de

equipamentos ou de segmentos durante o processo de elevação, que provoquem

efeitos dinâmicos; e (3) efeitos das acções do vento sobre o tabuleiro em consola.

CAPÍTULO 3 –MODELAÇÃO E ANÁLISE ESTRUTURAL

21

3 MODELAÇÃO E ANÁLISE ESTRUTURAL

3.1 INTRODUÇÃO

No presente capítulo apresenta-se a modelação dos elementos estruturais bem como

as respectivas relações constitutivas.

A complexidade associada ao estudo do comportamento das pontes atirantadas com

tabuleiros mistos bastante esbeltos e flexíveis, tem tornado indispensável o

desenvolvimento dos métodos de análise e de modelos de simulação específicos,

nomeadamente com capacidade de simular os comportamentos não lineares e os

efeitos diferidos.

Os comportamentos não lineares das pontes com tirantes de tabuleiro misto

encontram-se essencialmente associados [6]: 1) à não linearidade geométrica dos

tirantes, função do nível de carga; 2) aos efeitos geometricamente não lineares,

resultantes dos deslocamentos e elevadas cargas axiais de compressão no tabuleiro e

torres; 3) à relação constitutiva não linear dos materiais; 4) ao comportamento da

conexão aço/betão; 5) aos efeitos diferidos do betão (retracção e fluência).

No presente trabalho serão consideradas algumas simplificações relativamente à

consideração destes efeitos, visto que este estudo incide sobretudo em uma análise

elástica linear de modelos tridimensionais.

Nos modelos tridimensionais a desenvolver são utilizados elementos finitos lineares de

barra para vigas, vigas/colunas e cabos, e elementos finitos de laje, planos e de quatro

nós, assentes na teoria das lajes finas, para representar a laje de betão. A

consideração de elementos finitos de laje embora conduza a modelos mais “pesados”

e a maiores volumes de resultados a analisar, permitem fornecer informação sobre as

distribuições transversais de tensões na laje.


22

A consideração de elementos finitos em paralelo para modelar a secção mista do

tabuleiro, embora conduza a modelos de cálculo mais pesados e a um acréscimo no

volume e complexidade de resultados obtidos, torna-se vantajoso na medida que

permite, por outro lado, eliminar os inconvenientes dos modelos cuja modelação da

secção mista é efectuada recorrendo a um elemento finito. Além disso, recorrendo a

diferentes elementos finitos existe a vantagem de permitir proceder a uma análise

separada dos comportamentos específicos de cada material.

No presente trabalho, admite-se que as torres se encontram no mesmo alinhamento

das vigas metálicas. Esta simplificação conduz a diferenças relativamente aos

esforços nas torres, no entanto, uma vez que o estudo se direcciona sobretudo para a

laje do tabuleiro, esta aproximação considera-se possível.

3.2 MODELAÇÃO DOS MATERIAIS

3.2.1 Considerações Gerais

A simulação do funcionamento estrutural de uma ponte mista de tirantes depende do

comportamento dos materiais utilizados pelo que é necessário um correcto

conhecimento do comportamento mecânico dos mesmos. Um tabuleiro misto é

geralmente constituído por aço estrutural, betão, armaduras passivas, conectores e,

embora não muito frequente, aço de pré-esforço, e encontra-se suportado por cabos

que por sua vez se encontram ligados às torres, normalmente construídas em betão.

Todos estes materiais apresentam leis constitutivas diferentes e por isso

comportamentos diferentes. Quer o aço com o betão, apresentam comportamentos

não lineares quando submetidos a solicitações elevadas, no entanto a sua ocorrência

em cada um dos materiais ocorre em níveis de carga diferentes.

No caso das pontes mistas atirantadas, o estudo considerando comportamentos

elásticos lineares dos materiais é adequado nas fases de construção e serviço onde

os níveis de solicitação não são muito elevados, porém, em situações próximas da

rotura onde as solicitações são elevadas, o comportamento elástico linear deixa de ser

válido, sendo necessário considerar os efeitos fisicamente não lineares dos materiais.

No trabalho, considera-se uma secção de tabuleiro constituída por aço estrutural,

betão e conectores. As torres e os pilares são em betão e os tirantes em aço. As

armaduras passivas das torres, pilares e laje do tabuleiro não são consideradas.


23

Uma vez que o estudo se considera o faseamento construtivo e a fase de serviço, as

tensões instaladas nos materiais serão sempre inferiores às respectivas tensões de

cedência. Deste modo, os materiais exibem comportamento mecânico igual ou

próximo do elástico linear, caracterizado pelos respectivos módulos de elasticidade E.

3.2.2 Aço Estrutural

O comportamento elástico linear do aço caracteriza-se pelo respectivo módulo de

elasticidade e tensão de cedência. De acordo com o EC3 [9] foi adoptado para o aço

um módulo de elasticidade (Es) de 210 GPa e uma tensão de cedência (fy) de

355 MPa, para o aço S355 NL. Ainda de acordo com o EC3, foi adoptado um

coeficiente de Poisson ( ) de 0,3, um peso próprio ( s) de 77 KN/m3 e um coeficiente

de dilatação térmica (α) de 1,2x10-5 C-1.

3.2.3 Betão

O betão adopta uma relação constitutiva de acordo com o EC2 – parte 1.1 [8], aos 28

dias de idade.

A verificação da segurança do ELU regulamentar de uma estrutura realiza-se por

majoração das acções e minoração das propriedades dos materiais.

Na verificação da segurança do ELU regulamentar de uma estrutura é necessário

garantir que os esforços internos e as deformações não excedem os correspondentes

valores de dimensionamento, para todas as combinações de acções relevantes. Nesta

verificação as acções são majoradas (esforços de dimensionamento) e as

propriedades resistentes dos materiais são minoradas.

Este processo de verificação da segurança em princípio não levanta quaisquer

dúvidas quando se apoia numa análise linear da estrutura, dado que, neste caso, os

esforços actuantes são proporcionais ao valor das acções aplicadas e os esforços

resistentes são determinados tendo em consideração os valores de dimensionamento

das resistências dos materiais. No entanto, a distribuição dos esforços actuantes na

estrutura depende das propriedades elásticas dos materiais. A minoração das

propriedades resistentes dos materiais, no caso do aço, não leva a qualquer alteração

do seu comportamento elástico e por isso do seu módulo de elasticidade, no entanto

para o betão o mesmo não se verifica.


24

Na lei constitutiva que foi adoptada para o betão, do tipo “parábola / rectângulo” (EC2-

§ 3.1.7 [8]), o módulo de elasticidade depende da resistência máxima à compressão

adoptada, pois a tangente na origem é sempre dado por 2 fcc / co , sendo fcc igual a fcm

ou fcd, consoante se adoptam para os materiais as propriedades médias ou minoradas,

respectivamente. As alterações nas relações constitutivas do aço e do betão podem

ser visualizadas no esquema genérico apresentado na figura abaixo representada.

s

s

AÇO ESTRUTURAL

EsI=Es

II

c

c

Eco II

EcoI

BETÃO

I

IIII

I

I - Situação considerando as propriedades médias dos materiais

II- Situação considerando a minoração das propriedades resistentes

Eco I >

Eco

II

Figura 3.1 – Esquema genérico que traduz as modificações das relações constitutivas do aço e betão resultantes da minoração das propriedades resistentes.

Sendo assim a minoração da resistência máxima, resultante da aplicação do

regulamento, traduz-se numa redução do módulo de elasticidade do betão, que por

consequência conduz a uma alteração pouco realista da deformabilidade bem como

da distribuição de esforços entre a viga metálica e a laje de betão da estrutura mista,

revelando-se penalizante para a viga metálica que passa a estar mais esforçada.

Por esta razão, em vez das propriedades minoradas são adoptadas as propriedades

médias dos materiais.

Para a tomada desta opção contribui também o referido por Almeida [1] relativamente

à lei constitutiva do betão em análise não linear de pontes de tirantes com tabuleiro de

betão, onde é referido que a definição do módulo de elasticidade tangente deve ser

independente da resistência máxima à compressão que for adoptada.

No modelo de estudo foram utilizados betões com propriedades mecânicas médias

diferentes nas torres e pilares e no tabuleiro. Para um C45/55, utilizado no tabuleiro,

foi considerado um módulo de elasticidade (Eco) de 44,17GPa e uma tensão máxima

de 53 MPa. No caso dos pilares e torres, o betão apresenta as relações constitutivas


25

de um betão C40/50, ou seja, um módulo de elasticidade (Eco) de 41,74 GPa e uma

tensão de cedência (fy) de 48 GPa. Estas características coincidem com as do betão

utilizado nas torres e pilares da ponte Vasco da Gama. Em ambos os betões foi

considerado um coeficiente de Poisson ( ) de 0.2, um peso próprio ( c) de 25 KN/m3 e

um coeficiente de dilatação térmica (α) de 1,0x10-5 C-1..

3.2.4 Efeitos diferidos

Ao longo da vida da estrutura os efeitos de retracção e de fluência são responsáveis

por deformações na laje do tabuleiro e nas torres. Estas deformações levam a uma

modificação da configuração da deformada inicial do tabuleiro e ainda da distribuição

inicial dos esforços no tabuleiro torres e tirantes.

A fluência refere-se às deformações que surgem devido à existência de uma tensão

constante, e como tal depende das tensões aplicadas. A retracção corresponde às

deformações do betão durante o seu período de endurecimento, e ocorrem

independentemente do estado de tensão aplicado.

Os efeitos diferidos são normalmente importantes durante a fase construtiva dado que

introduzem acréscimos consideráveis de deformações verticais do tabuleiro. Na fase

de serviço estes efeitos traduzem-se no encurtamento da laje, responsável pelo

aparecimento de curvaturas positivas que provocam um aumento das deformações

verticais, dado que as deformações na laje de betão são excêntricas em relação ao

centro de gravidade da secção mista. Além disso, o facto do encurtamento da laje ser

em parte impedido pelas vigas metálicas da secção mista, leva ao aparecimento de

esforços auto-equilibrados, de tracção na laje e compressão na viga a que

corresponde uma passagem de esforços de compressão para as vigas metálicas. As

tracções na laje do tabuleiro podem igualmente dar origem à sua fissuração, afectando

a rigidez da secção mista, e produzindo redistribuições locais de esforços, entre a laje

e as vigas.

Desta forma, verifica-se que os efeitos diferidos conduzem a uma perda de eficiência

da laje e pensa-se a um aumento das larguras efectivas da laje. No presente trabalho

opta-se pela determinação das larguras efectivas para as acções da carga

permanente e da sobrecarga, não considerando os efeitos das deformações diferidas.

No caso do aumento de largura efectiva devido aos efeitos diferidos fosse conhecida e

constante ao longo de todo o tabuleiro bastaria adicionar aos valores obtidos a parcela


26

correspondente aos efeitos diferidos. No entanto, o modo como estes efeitos diferidos

modificam, transversalmente e longitudinalmente, a largura efectiva do tabuleiro é

desconhecido. Esta variação é um tópico que merece ser aprofundado em futuros

trabalhos de investigação.

3.3 ELEMENTO DE CABO

3.3.1 Considerações gerais

Os tirantes desempenham um importante papel no comportamento global de uma

ponte de tirantes, uma vez que são responsáveis pela transmissão de esforços do

tabuleiro para as torres. A maior ou menor rigidez dos tirantes traduz-se

respectivamente numa maior o menor deformabilidade vertical do tabuleiro.

Cada tirante é em geral modelado recorrendo a um único elemento finito, com as

propriedades do próprio tirante, ou seja, área A, peso específico e ausência de

rigidez de flexão. No entanto, o seu modo de elasticidade não corresponde à do

material devido à não linearidade geométrica que ocorre nos tirantes. Foi provado por

Ernst que o deslocamento da extremidade livre do tirante depende não apenas da sua

deformação elástica como também do seu nível de tensão, que por sua vez influência

a flecha resultante da actuação do peso próprio. Além disso, propôs que a

consideração desta não linearidade geométrica pode ser efectuada através da

substituição do módulo de elasticidade do material do tirante (Ee) por um módulo de

elasticidade equivalente (Et) [14].

3.3.2 Módulo de Elasticidade Equivalente

A substituição do módulo de elasticidade do material dos tirantes por um módulo de

elasticidade equivalente permite representar o comportamento geometricamente não

linear de um cabo curvo por um comportamento fisicamente não linear de um cabo

recto, com um módulo de elasticidade dependente da tensão instalada [6]. A

dependência do módulo de elasticidade da tensão instalada, e vice-versa, contribui

para que, sob acção das forças exteriores, a determinação da tensão instalada e do

correspondente módulo de elasticidade seja efectuado de forma iterativa ate se atingir

a convergência.


27

O efeito da não linearidade geométrica verificada nos elementos de cabo devido ao

efeito de catenária pode ser visível na figura que se segue:

Figura 3.2 – Elemento de cabo [6]

Nesta situação o valor do módulo de elasticidade equivalente é dado pela seguinte

expressão:

eh

et

El

EE

³12

)²(1

(3.1)

Sendo:

Ee – O módulo de elasticidade do material de que é constituído o cabo recto;

– O peso específico do cabo, incluindo o peso dos cordões e das bainhas

de protecção;

lh – O comprimento da projecção horizontal do cabo;

– A tensão instalada no cabo.

A lei constitutiva dos tirantes calculado pela expressão (3.1) é apresenta a figura que

se segue:


28

[MPa]

fptk

Ee=195GPa

o

Figura 3.3 – Lei Constitutiva dos tirantes [14].

O módulo de elasticidade equivalente dos tirantes, devido ao efeito de catenária,

diminui com o aumento do seu comprimento principalmente para valores baixos de

tensão instalada. No entanto, para valores de tensão instalada de cerca de 50% da

tensão de rotura o tirante tem praticamente a rigidez total (Ee) [6].

As maiores reduções do valor de elasticidade dos tirantes ocorrem na fase construtiva

pois as situações que provocam descargas nos tirantes, frequentes nestas fases,

acentuam o efeito geometricamente não linear [6]. No entanto, segundo Pedro [14] no

final da construção a redução do módulo de elasticidade resultante do efeito da não

linearidade é em geral pequena, conduzindo a que os valores do módulo de

elasticidade equivalente instalados nos tirantes sejam muito semelhante ao módulo de

elasticidade do material de que é constituído o cabo recto. Esta afirmação é também

sustentada por Byers [3], ao referir que na ponte de Talmadge os valores de Et variam

entre 88% e 100% dos valores de Ee.

Por esta razão no presente trabalho opta-se por considerar um módulo de elasticidade

equivalente Et sempre constante de valor igual a 195GPa, que corresponde ao valor

do módulo de elasticidade do próprio material (Ee).

Tal como é visível na figura anterior a relação tensão – deformação é limitada à tensão

de rotura do aço dos tirantes (fptk), em que o valor considerado foi de 1770 MPa.


29

3.4 DESCRIÇÃO DO MODELO DE CÁLCULO

3.4.1 Configuração longitudinal

Como já foi referido no Capítulo 2 são muito diversas as soluções estruturais das

pontes atirantadas com tabuleiro misto. No entanto, considera-se como de interesse

efectuar um estudo aplicado à tipologia que tem sido mais adoptada, particularmente

nas pontes atirantadas mistas com médios e grandes vãos. Esta tipologia, em linhas

gerais, caracteriza-se por uma estrutura de três vãos e duas torres, em que o tabuleiro

é constituído por uma grelha metálica com duas vigas longitudinais principais ligadas

por vigas transversais igualmente espaçadas entre si, sobre a qual se apoia uma laje

de betão armado de espessura constante.

Por essa razão no presente trabalho considera-se como exemplo de estudo uma

estrutura geometricamente semelhante à ponte Vasco da Gama, com um tabuleiro

misto (ao contrário do utilizado na ponte Vasco da Gama, onde foi usado um tabuleiro

de betão), de características semelhantes às mencionadas no parágrafo anterior. Esta

configuração longitudinal corresponde à utilizada na maioria das pontes de tirantes de

grande vão.

A estrutura apresenta um vão central de 420 m e vãos laterais de 194,4 m o que

perfaz um comprimento total 829 m (Figura 3.4). Admite-se que, no horizonte de

projecto, se tem, em perfil, o tabuleiro perfeitamente horizontal e não uma curva

conexa com raio de 40 000 m como acontece na Ponte Vasco da Gama.

A repartição de vãos corresponde à solução clássica, em que os vãos laterais são

ligeiramente inferiores à metade do vão central, de forma a concentrar na extremidade

do tabuleiro os tirantes de retenção. Estes tirantes estabilizam o topo das torres e, em

consequência, diminuem a deformabilidade do vão principal.

Nos vãos laterais existem três pilares intermédios, que dividem estes vãos em três

troços com comprimentos de 60.125 m, 72.1875 m e 72.1875 m. A contribuição destes

apoios para as larguras efectivas da laje é discutida neste trabalho.

Na fase de serviço, considera-se que o tabuleiro se apoia nos pilares, mas não nas

torres, estando suspenso pelos tirantes nos 564 m centrais (distância compreendida

entre P3 e P3’). No entanto, durante as fases do processo construtivo em que o

tabuleiro se encontra em consola, considera-se que nas torres existe um apoio

provisório, o que contribui para a sua estabilização. A contribuição da permanência do

apoio provisório durante toda a fase construtiva e de serviço, para as larguras

efectivas, é também discutida neste trabalho.


30

60.125 72.1875 72.1875 204.5420.0

829.0

P1 P2 P3 P3' P2' P1'Torre 1 Torre 2

Figura 3.4 - Alçado esquemático da estrutura mista utilizada no presente estudo.

Embora presentemente se disponha de diversos programas de cálculo automático

capazes de responder perfeitamente aos objectivos do presente trabalho, optou-se

pela utilização do programa de cálculo automático SAP2000. Esta opção deve-se ao

facto de o SAP2000 se tratar de um programa que, para esta situação, permite uma

fácil modelação da estrutura a estudar e obtenção de resultados. Além disso, trata-se

do programa sobre o qual retenho maiores conhecimentos de utilização.

É de referir que o modelo adoptado simula apenas a meia estrutura, apresentando por

isso apenas metade do tabuleiro, duas torres e um plano de suspensão (Figura 3.5).

Uma vez que a estrutura é simétrica em relação ao eixo longitudinal, a modelação de

metade da estrutura, com a aplicação de um apoio deslizante ao longo do sei eixo

central, permite traduzir o comportamento de toda a estrutura. Esta simplificação de

simetria permite que o modelo fique mais “leve” o que se traduz numa maior rapidez

no processo de cálculo e redução, para metade, do volume de resultados.

Figura 3.5 – Configuração longitudinal do modelo de estudo.


31

3.4.2 Tirantes

No modelo de estudo a suspensão do tabuleiro é lateral e constituída por dois planos

verticais de 4 vezes 16 tirantes espaçados de 13.125 m na ligação do tabuleiro e 3.0 m

na ligação às torres. As soluções de tabuleiro em que são utilizadas duas vigas

principais obrigam à utilização de suspensão lateral.

Estes elementos são considerados no modelo de estudo através de um único

elemento finito recto (elemento de barra) ligando os dois pontos de ancoragem e

constituídos por um material com as propriedades referidas no sub-capítulo 3.3 deste

trabalho. As secções destes elementos são do tipo tubular (“pipe”), de espessura

idêntica (10 mm), no entanto o diâmetro, como se compreende, é variável de modo a

que a área da secção tubular seja igual à soma da área dos cordões utilizados em

cada tirante (Figura 3.6).

e=10mm

de

Figura 3.6 – Esquema tipo das secções utilizadas na modelação dos tirantes.

Considerando que, em cada tirante, está instalada a tensão máxima admissível em

serviço ( adm), e que a totalidade da carga máxima aplicada no tabuleiro (qmax) é

suspensa pelos tirantes, a área total necessária em cada tirante é dada pela equação:

)sin(

max

iadm

aqA

( 3.2)


32

qmax

a

iFtirante=Adm x A

Figura 3.7 – Determinação da área necessária para cada tirante.

Nas Tabela 3.1 e Tabela 3.2 apresenta-se o número de cordões, área e diâmetro

exterior (de) dos 16 tirantes do vão central e lateral, bem como os respectivos

comprimentos e ângulos com a horizontal ( ), na posição indeformada do modelo.

Estas características são apresentadas nos referidos quadros recorrendo à

identificação dos tirantes apresentada na Figura 3.8. Na Tabela 3.3 apresenta-se, para

cada tirante, o peso próprio total resultante da soma dos pesos próprios dos cordões e

das bainhas.

60.125 72.1875 72.1875 204.5420.0

13L 14L

15L 16L

12L 11L

10L 9L

8L 7L

6L 5L

4L 3L

2L 1L 1C

2C 3C

4C 5C

6C 7C

8C 9C

10C 11C

12C 13C

14C 15C 16C

100.00

50.00

0,00

150.00145.00

820.0

Figura 3.8 – Identificação dos tirantes.

VÃO LATERAL

Tirante 1L 2L 3L 4L 5L 6L 7L 8L

Nº de cordões 27 29 31 34 37 40 43 45

Área (m2) (E

-03) 4.05 4.35 4.65 5.10 5.55 6.00 6.45 6.75

Diâmetro exterior (m) 0.139 0.148 0.158 0.172 0.187 0.201 0.215 0.225

Comprimento (m) 50.43 56.54 64.91 74.77 85.63 97.14 109.1 121.37

Ângulo com a horizontal (º) 82.523 69.622 59.632 52.096 46.390 42.001 38.557 35.802


Nº de cordões 48 51 53 55 57 59 61 63

Área (m2) (E

-03) 7.20 7.65 7.95 8.25 8.55 8.85 9.15 9.45


Comprimento (m) 133.87 146.55 159.50 172.25 185.24 198.28 211.38 224.53


Tabela 3.1 – Características geométricas dos tirantes dos vãos laterais [14].


33

VÃO CENTRAL

Tirante 1C 2C 3C 4C 5C 6C 7C 8C

Nº de cordões 27 29 31 34 37 40 43 45

Área (m2) (E

-03) 4.05 4.35 4.65 5.10 5.55 6.00 6.45 6.75


Comprimento (m) 50.43 56.54 64.91 74.77 85.63 97.14 109.1 121.37



Nº de cordões 48 51 53 55 57 59 61 63

Área (m2) (E

-03) 7.20 7.65 7.95 8.25 8.55 8.85 9.15 9.45


Comprimento (m) 133.87 146.55 159.50 172.25 185.24 198.28 211.38 224.53


Tabela 3.2 – Características geométricas dos tirantes do vão central [14].

Nº de Cordões 27 29 31 34 37 40 43 45

Peso próprio dos cordões (kN/m) 0.313 0.336 0.359 0.394 0.428 0.463 0.498 0.521

Peso próprio das bainhas (kN/m) 0.065 0.068 0.07 0.075 0.08 0.091 0.095 0.097

Peso próprio total (kN/m) 0.378 0.404 0.429 0.469 0.508 0.554 0.593 0.618

Nº de Cordões 48 51 53 55 57 59 61 63

Peso próprio dos cordões (kN/m) 0.556 0.59 0.614 0.637 0.66 0.683 0.706 0.729

Peso próprio das bainhas (kN/m) 0.101 0.106 0.108 0.11 0.113 0.116 0.119 0.122

Peso próprio total (kN/m) 0.657 0.696 0.722 0.747 0.773 0.799 0.825 0.851

Tabela 3.3 – Pesos próprios dos tirantes [14].


34

3.4.3 Pilares e Torres

No modelo de estudo para os pilares e as torres adoptam-se materiais e geometria

semelhante à da ponte Vasco da Gama. Tal como já foi referido a suspensão do

tabuleiro é lateral e constituída por dois planos verticais, pelo que a escolha da torre

em forma de H se ajusta perfeitamente a este tipo de suspensão. Os materiais

adoptados nestes elementos estruturais seguem as propriedades mencionadas

anteriormente (sub-capítulo 3.2.3) relativamente a um betão C40/50. As armaduras

passivas não foram consideradas.

Como é corrente nas pontes em forma de H, as torres divergem abaixo da zona de

intersecção com os tirantes de forma a passar exteriormente ao tabuleiro, porém no

modelo de estudo, por motivos de simplificação, esta divergência não foi considerada,

optando-se por considerar as torres verticais e no mesmo alinhamento das vigas

metálicas principais.

As duas torres têm 150 m de altura, com 100 m acima do nível do tabuleiro. A secção

transversal de cada torre é rectangular, vazada, decrescendo desde a base ate à zona

onde se inicia a intersecção dos tirantes com a torre, a partir de onde se mantém

constante até ao topo. Na base a secção da torre apresenta 11.30x7.05m2

decrescendo para 7.7x5.55 m2, sensivelmente à cota do tabuleiro, e 5.5x4.5m2 à cota

100m, que corresponde à conta onde se inicia a ligação dos tirantes com as torres. A

espessura da parede é também variável, sendo, entre a cota 0m e 100m, de 0.85m na

direcção longitudinal e 0.90 na direcção transversal, e igual 0.5m, em ambas as

direcções, desde a cota 100m ate ao topo (cota 150m). Estas variações são

apresentadas na figura seguinte.

0.5m

0.5

m

4.5m

5.5

m

0.9

m

0.85m

var. 4.5 a 5.55mvar. 5.55 a 7.05m

0.85m

0.9

m va

r. 5

.5 a

7.7

m

va

r. 7

.7 a

11

.30

m

Secção na zona entre :

0.00m - 50.00m

Cota: 0.00m a 50.00


50.00m - 100.00m


100.00m - 150.00m

Figura 3.9 – Variação da geometria da secção da torre.


35

Para a modelação desta variação da secção das torres consideram-se troços de torre

com 10m de comprimento compreendidos entre as secções transversais definidas na

Tabela 3.4.

Elemento de Torre

Cota (m)

Dimensões (m) Betão

H B e1 e2 Área (m2) Inércia I1 (m

4)

Secção 1 0 a 10 11.3 7.05 0.85 0.9 28.726 465.456

Secção 2 20 10.4 6.6 0.85 0.9 26.394 358.952

Secção 3 30 9.5 6.26 0.85 0.9 24.257 273.781

Secção 4 40 8.6 5.9 0.85 0.9 22.085 202.676

Secção 5 50 7.7 5.55 0.85 0.9 19.931 145.254

Secção 6 60 6.8 5.2 0.85 0.9 17.776 99.796

Secção 7 70 5.9 4.85 0.85 0.9 17.512 76.856

Secção 8 80 5.5 4.5 0.85 0.9 14.318 50.572

Secção 9 100 a 150 5.5 4.5 0.5 0.5 9.053 35.813

Tabela 3.4 – Propriedades geométricas dos elementos das torres.

3.4.4 Tabuleiro

Para o tabuleiro do modelo em estudo considera-se a tipologia que tem sido mais

utilizada nas pontes mistas atirantadas de grande vão. Esta tipologia caracteriza-se

pela utilização de uma grelha metálica sobre a qual se apoia uma laje de betão

armado de espessura constante.

O tabuleiro de 30.90 m de largura apresenta uma grelha metálica composta por duas

vigas laterais (vigas principais) em forma de I, com 2.25 m de altura, distanciadas a

29.1 m. Estas vigas são ligadas por travessas em I com altura compreendida entre

1.65 m (na ligação às vigas principais) e 2.0 m (no centro do tabuleiro), que se

encontram uniformemente espaçadas a 4.375 m, que corresponde a um terço da

distância entre tirantes. Na figura da página seguinte apresenta-se um esboço

esquemático da secção transversal mista utilizada no modelo de estudo.

Na Figura 3.11 apresenta-se a geometria e dimensões referentes às vigas principais e

transversais. As ligações entre banzos e almas são soldadas.

H

B

e 2

e 1

1

2


36

Atendendo ao especificado no EC3-parte 1 [9] relativamente à classificação de

secções, verifica-se que para as vigas principais, os banzos são de classe 1 e alma de

classe 4. O banzo é portanto totalmente efectivo e apresenta capacidade para permitir

redistribuições de esforços, porém com a alma o mesmo não se verifica, devido à

possibilidade de ocorrência de instabilidade local. Numa análise não linear tornar-se-ia

necessário a aplicação de reforços à alma de modo a evitar a ocorrência de

instabilidade local, no entanto, numa análise linear, onde são baixos os níveis de carga

(situação em que insere o presente estudo), esta instabilidade local não se verifica,

não sendo, portanto, necessária a utilização dos referidos reforços.

0.80m

2.2

5m

0.80m

esp=65mm

esp=20mm

VIGA LONGITUDINAL

esp=65mm

0.40m

1.8

5m

0.40m

esp=40mm

esp=14mm

VIGA TRANSVERSAL

esp=40mm

A=0.1464 m2

I=0.14 m4

A=0.0568 m2

I=0.0327 m4

Figura 3.11 – Dimensões das vigas longitudinais e transversais.

Figura 3.10 – Esboço esquemático da secção transversal do tabuleiro utilizada no modelo de estudo [14].


37

Relativamente à viga transversal as almas das vigas transversais, tendo em conta que

se encontram a funcionar à flexão, pertencem à classe 3,pelo que em serviço se aceita

um comportamento elástico e linear.

Estes elementos estruturais são modelados recorrendo a elementos finitos de barra

com propriedades referentes a um aço S355NL, apresentadas no sub-capítulo 3.2.2.

Uma vez que a vigas transversais apresentam secção de altura variável, para o

modelo considera-se a altura média (1.85 m).

A laje de betão apresenta uma espessura constante de 0.25 m na zona interior às

vigas aumentando para 0.40 m na zona dos passeios (Figura 3.12).

2.2

5

0.40

0.80

0.90

0.25

1.8

5

800x65mm

800x65mm

800x65mm

400x40mm

Viga Principal

Viga Transversal

Figura 3.12 – Esquema representativo da variação da espessura da laje.

A modelação da laje é feita por intermédio de elementos finitos de laje, planos e de

quatro nós, assentes na teoria das lajes finas, com as propriedades mecânicas de um

betão C45/55, anteriormente apresentadas. A utilização de elementos finitos de laje

embora conduza a um modelo mais “pesado” e a maiores e mais complexos volumes

de resultados, permite, por outro lado, um maior conhecimento da variação dos

esforços transversais na laje essencial ao presente estudo.

Como é visível na Figura 3.12, a laje apresenta duas espessuras diferentes, razão

pela qual é necessária a consideração de elementos finitos de laje com secções

diferentes, secções essas que são no modelo designadas por: LAJE_025 e LAJE_040.


38

Para assegurar um funcionamento misto é necessário garantir que a modelação das

vigas e lajes em separado permite um funcionamento conjunto. Para que este

funcionamento seja conseguido é necessário que exista uma conexão que assegure a

transmissão dos esforços de corte entre os dois materiais.

No caso das pontes é exigida normalmente conexão total em todas as secções

transversais da viga metálica, o que corresponde a considerar que a transmissão de

fluxo de corte longitudinal entre a viga metálica e laje de betão não provoca

escorregamento relativo na interface de contacto entre a viga metálica e a laje de

betão. Este fluxo representa a variação da força longitudinal transmitida pela viga

metálica à laje de betão.

Uma possível modelação desta conexão total entre elementos finitos paralelos de laje

e de viga metálica passa pela utilização de elementos de conexão nos nós dos dois

elementos, responsáveis pela sua compatibilização e com rigidez suficiente para

garantir uma conexão total. No entanto, o programa de cálculo SAP2000 possibilita a

simulação desta modelação sem que seja necessário recorrer a elementos rígidos de

compatibilidade, o que se traduz numa simplificação e rapidez de execução do modelo

bem como na simplificação de obter resultados.

O SAP2000 permite portanto que a modelação da viga principal e laje do tabuleiro seja

realizada recorrendo apenas a dois elementos finitos em paralelo. Numa primeira fase

desta modelação, os elementos finitos relativos à viga e laje são colocados de forma

coincidente na linha longitudinal correspondente à interface de contacto, mantendo-se

para os dois as mesmas posições dos seus nós intermédios e de extremidade. Esta

coincidência de nós permite uma transmissão de esforços entre os elementos finitos

de viga e de laje, simulando-se assim a conexão total.

Numa segunda fase cada elemento é “arrastado” para as suas posições através de um

comando designado por Frame Insertion Point (Assign/Frame/Insertion Point…), para

o caso dos elementos finitos de barra, e Area Object Thickness and Join Offeset

Overwrites (Assign/Area/Area Thickness Overwrites (Shells)…), para o caso dos

elementos de finitos de laje. Estes comandos permitem efectuar translações do centro

de gravidade do elemento de laje e de viga, bem como de outras características da

secção.

Como posição de partida considera-se ambos os elementos finitos coincidentes na

interface entre os dois materiais. Em seguida, procede-se à translação dos respectivos

elementos finitos para as posições pretendidas: 0.20 m para cima nos elementos


39

finitos LAJE_040; 0.125 m para cima nos elementos finitos LAJE_025; 1.125 m para

baixo nos elementos finitos das vigas principais; 0.925 m para baixo nos elementos

finitos das vigas transversais. Todas estas distâncias correspondem a metade da

altura dos elementos, uma vez que as secções de todos os elementos são bi-

simétricas e as suas posições reais das linhas médias correspondem aos seus centros

de gravidade.

Nas Figura 3.13 e Figura 3.14 apresenta-se o aspecto do tabuleiro antes, na altura em

que todos os centros de massa dos elementos se encontram no mesmo plano, à cota

da interface entre os dois materiais, e após a translação dos mesmos para as posições

pretendidas. Antes da translação (Figura 3.13), os elementos finitos mais espessos

(vigas) trespassam os elementos mais finos (lajes). Devido à perspectiva da imagem,

os elementos finitos da viga principal não permitem que seja possível visualizar

perfeitamente os elementos finitos referentes à laje de espessura igual a 0.40 m, no

entanto com algum esforço é possível notar a sua presença. Após a translação (Figura

3.14) os elementos de laje já encontram sobre as vigas. Nas Figura 3.16 e Figura 3.15

apresenta-se pormenores da ligação entre as vigas transversais à viga longitudinal e

da diferença de espessuras das lajes de betão.

Nas figuras que se seguem não estão representados os apoios aplicados ao longo do

eixo central do tabuleiro, resultantes da simplificação de simetria, visto que o objectivo

dessas figuras é transmitir a posição relativa dos vários elementos finitos ao longo das

etapas da modelação, pelo que a presença dos apoios dificultariam essa percepção.

Figura 3.13 – Imagem do tabuleiro antes da translação dos elementos finitos.


40

Figura 3.14 – Imagem do tabuleiro após a translação dos elementos para as posições pretendidas.

Figura 3.15 – Pormenor da ligação das vigas transversais à viga principal.

Figura 3.16 – Pormenor da diferença de espessura das lajes.

A fixação dos tirantes ao tabuleiro é também um aspecto que merece especial

destaque na modelação da estrutura. Actualmente os sistemas de ancoragem dos

tirantes em pontes mistas resumem-se essencialmente a dois tipos: ancoragem dos

tirantes exteriores ao alinhamento das vigas principais e abaixo do plano da laje, o que

exige a necessidade de carlingas transversais bastante resistentes; ancoragem dos


41

tirantes no alinhamento das vigas e acima do alinhamento da laje, através de chapas

metálicas que permitem a transferência directa de forças entre o tirante e a viga.

No presente estudo, considerando aspectos como o posicionamento das torres, os

planos verticais dos tirantes e respectivas inclinações, aspectos esses que se

pretende manter, considera-se mais adequado colocar as ancoragens dos tirantes

acima do plano da laje e no alinhamento das vigas metálicas. Em relação à

transmissão de esforços da ancoragem para a viga metálica, pressupõe-se que esta

se efectuará por intermédio de um sistema de chapas soldadas à viga, no entanto para

este trabalho este assunto não se revela relevante, uma vez que por simplificação

considera-se que os tirantes trespassam a laje e ligam-se directamente às vigas, não

sendo por isso necessária a consideração dessas chapas no modelo.

Na realidade essa ligação directa dos tirantes às vigas não acontece, visto que no

modelo considerado essa ligação levaria à alteração dos ângulos dos tirantes, pois os

elementos finitos das vigas encontram-se posicionados à cota da interface dos dois

materiais (Figura 3.17 - esquerda). Por esta razão é necessário recorrer a elementos

auxiliares que transmitem os esforços dos tirantes para a viga (Figura 3.17 – direita).

Estes elementos, com comprimento igual à distância da interface ao centro de

gravidade da viga metálica principal, apresentam uma rigidez suficientemente elevada

para que não ocorra flexão, quando submetidos aos esforços dos tirantes.

Figura 3.17 – Pormenor da ligação dos tirantes ao tabuleiro. Esquerda – apresentação exacta da posição dos elementos finitos; Direita – apresentação dos mesmos elementos no modo extrute view.


42

3.4.5 Resumo dos materiais nos elementos do modelo

Na Tabela 3.5 apresenta-se as propriedades dos materiais utilizados nos elementos

do modelo.

Designação do material

Módulo de elasticidade

(GPa)

Tensão de

cedência (MPa)

Coef. Poisson

Coef. expansibilidade

termica (K

-1)

Peso próprio (KN/m

3)

Análise Localização

S355 NL 210 355 0.3 1.2E-05 77 linear Vigas

C45/55 44.17 53 0.2 1.0E-05 25 linear Laje

C40/50 41.74 48 0.2 1.0E-05 25 linear Torres

Tirante 195 1770 0.3 1.0E-05 variável linear Tirantes

Rígido 1000x210 355 0.3 1.2E-05 - linear

Apoios provisórios

Rígido 1000x210 355 0.3 1.2E-05 - linear

Elementos de ligação viga-tirante

Tabela 3.5 – Propriedades dos materiais utilizados no modelo.

3.4.6 Discretização do Modelo

A discretização de modelo de cálculo influência de forma significativa a precisão dos

resultados. Uma maior discretização do modelo conduz à obtenção de valores de

deformabilidade e distribuição de esforços na estrutura mais realistas, no entanto, leva

também a um aumento do volume de dados a processar, sendo por isso necessário

um equilíbrio.

No modelo de cálculo utilizado para o presente estudo discretizam-se os tirantes em

2x32 elementos, as torres em 2x26 elementos e o tabuleiro em 6020 elementos.

Destes 6020 elementos, 5700 são relativas à laje, 128 à viga longitudinal e 192 às

vigas transversais.

Em cada segmento de tabuleiro (com comprimento igual à distância dos tirantes)

existem 2 elementos finitos referentes à viga principal, 3 referentes às vigas

transversais, 6 (1x6) à laje de maior espessura e 84 (14x6) à laje de menor espessura.


43

Os tirantes e os pilares intermédios e de extremidade são representados por um único

elemento finito. Na Tabela 3.6 apresenta-se um resumo da discretização utilizada no

modelo de cálculo.

ELEMENTOS Número de Elementos

Numeração dos Elementos

Numeração dos Nós

Material

Torres 52 T1_01 a T1_26; T2_01 a T2_26

T1_01 a T1_27; T2_01 a T2_27

Betão armado

Tirantes 64

T1L_01 a T1L_16; T1C_01 a T1C_16; T2L_01 a T2L_16; T2C_01 a T2C_16;

Comuns às torres e aos elementos

auxiliares Tirante

Pilares intermédios 4 P2;P3;P'2;P'3 02 a 05 ; restantes

comuns à viga Rígido

Pilares de extremidade

2 P1 e P'1 01 a 06; restantes

comuns à viga Rígido

Apoios provisórios nas torres

2 Ap_1 e AP_2 Ap_1 e AP_2;

restantes comuns à torre

Rígido

Elementos auxiliares de ligação tirante-viga

64 R_01 a R_64 Rig_01 a Rig_64 Rígido

Viga metálica Longitudinal

128 V.L._01 a V.L._128 Comuns à laje de

betão Aço

estrutural

Viga metálica Transversal

192 V.T._01 a V.T._192 Comuns à laje de

betão Aço

estrutural

Laje de betão e=0.40m

380 L040_001aL040_380 N0001aN0381; N1001aN1381

Betão armado

Laje de betão e=0.25m

5320

L01_001aL01_380; L02_001aL02_380; L03_001aL03_380;

(...) L12_001aL12_380; L13_001aL13_380; L14_001aL14_380;

N2001aN2381; N3001aN3381; N4001aN4381;

(...) N13001aN13381; N14001aN14381; N15001aN15381;

Betão armado

Tabela 3.6 – Resumo da discretização utilizada no modelo de cálculo.

Todos estes valores dizem respeito a metade da estrutura visto se estar a considerar

simplificações de simetria.

É de referir que nestes tipos de trabalhos, onde é elevado o volume de dados a

analisar, a numeração dos elementos e nós torna-se um aspecto bastante importante

pois determinam o modo como os resultados são fornecidos pelo programa de cálculo

SAP2000. Por esta razão, embora inicialmente durante a modelação essa

identificação se revele um processo moroso, posteriormente, no tratamento de

resultados, torna-se bastante gratificante.


44

3.5 SEQUÊNCIA DE CONSTRUÇÃO

A sequência da construção das pontes atirantadas começa pela execução das

fundações, seguida das torres e pilares e por fim o tabuleiro. A construção de todos

estes elementos estruturais é na realidade uma conjugação de operações muito

repetitiva. Por esta razão, uma correcta simulação da construção de pontes

atirantadas traduz-se num grande número de sequências construtivas.

É apresentado por Pedro [14] uma proposta para a simulação da construção de uma

estrutura idêntica à estrutura em estudo no presente trabalho, constituída por 163

sequências, sendo 82 sequências de carga e 81 sequências de evolução do tempo

(ver Anexo A – Sequência de Operações Construtivas).

É de facto indispensável considerar o faseamento construtivo na avaliação das

larguras efectivas da laje de betão, no entanto, não é prático simular múltiplas vezes a

totalidade das fases construtivas, por esta razão neste trabalho, à semelhança do que

foi efectuado por Pedro [14], considera-se um simplificado faseamento construtivo da

ponte. Uma vez conhecido o resultado da totalidade das fases construtivas enquanto a

estrutura se encontra em consola, torna-se suficientemente aproximada no estudo em

relação ao estado limite último, considerar como ponto de partida, para a avaliação

das larguras efectivas, uma posição designada por “posição de equilíbrio intermédio”.

Das 163 sequências inicialmente propostas por Pedro para a modelação da

construção do modelo, as primeiras 153 são agrupadas nesta “posição de equilíbrio

intermédio”, seguindo-se as restantes 10 fases construtivas.

Neste trabalho não são consideradas as sequências de evolução do tempo, uma vez

que são desprezados os efeitos diferidos. Por isso, a partir da referida “posição de

equilíbrio intermédio”, são necessárias mais 4 fases construtivas até se atingir o final

da construção da ponte.

Na posição de equilíbrio intermédio a estrutura está em equilíbrio com a acção dos

pesos próprios dos materiais e das forças instaladas nos tirantes, e encontra-se na

fase do método construtivo em que as consolas são máximas, ou seja, na situação

imediatamente antes da aplicação das aduelas de fecho. A todos os tirantes já foram

aplicadas as forças relativas às duas fases em que o tirante é instalado (estas forças

são apresentadas em 3.6). O tabuleiro encontra-se unicamente suportado pelos

tirantes e pelo apoio provisório instalado na torre, não havendo qualquer ligação entre


45

este e os apoios intermédios. É ainda de referir que ao longo da construção do

tabuleiro (nas fases que antecedem a posição de equilíbrio intermédio), os painéis de

laje são montados ou betonados sobre o segmento correspondente da estrutura

metálica do tabuleiro, pelo que o peso próprio da laje é aplicado como uma carga

distribuída na viga metálica; e só após esta fase a laje passa a ter rigidez, sendo

comprimida somente a partir da 2ª fase de montagem do tirante [14].

A partir da posição de equilíbrio intermédio, a restante construção da ponte é então

simulada nas seguintes fases:

Adição das aduelas de fecho.

Adição dos apoios intermédios.

Adição da restante carga permanente.

Retensionamento dos tirantes.

Na Tabela 3.7 é apresenta-se de forma sequencial as operações construtivas

consideradas em cada uma das fases atrás referidas.

Fase Operações Construtivas

1 montagem dos segmentos de fecho das vigas

montagem dos segmentos de fecho das lajes

2 montagem dos apoios intermédios e extremos

desmontagem dos apoios provisórios das torres

3 aplicação da restante carga permanente

4 retensionamento global dos tirantes

Tabela 3.7 – Sequência de operações construtivas

Na montagem dos segmentos de fecho da viga e laje ocorre simultaneamente a

activação dos respectivos pesos próprios. Além disso, uma vez não está a ser

considerado a influência de evolução do tempo, em cada fase, as operações

construtivas ocorrem em simultâneo.


46

3.6 GEOMETRIA INICIAL E FORÇAS NOS TIRANTES

A geometria inicial do tabuleiro e das torres bem como as forças de instalação e

retensionamento dos tirantes, são definidas com vista a que, no horizonte de projecto,

a estrutura se encontre numa determinada posição e com determinadas forças nos

tirantes. A configuração geométrica geralmente pretendida para o tabuleiro é a da

rasante, considerada normalmente para alguns anos após o final da construção. Para

que este objectivo seja conseguido é necessário considerar todos os efeitos físicos e

geometricamente não lineares que provocam alteração das forças dos tirantes [6].

Assim, para um determinado processo construtivo, dado que o comportamento

considerado é física e geometricamente não linear, torna-se necessário recorrer um

processo iterativo para encontrar a geometria inicial da estrutura e as forças iniciais a

aplicar nos tirantes que assegurem os objectivos pretendidos no horizonte de projecto

[6] .

O cálculo da geometria inicial da estrutura e das forças de montagem dos tirantes, tal

como sugere Cruz [6], não se insere nos objectivos do presente trabalho, por esta

razão, simplificadamente, tal como foi efectuado por Pedro [14], considera-se que a

geometria inicial de montagem do tabuleiro coincide com a rasante. Para esta

situação, o referido autor, utilizando um modelo elástico linear, simula a desmontagem

da estrutura pela ordem inversa das etapas da construção, obtendo em cada etapa as

forças nos tirantes, bem como as forças a aplicar no retensionamento global após a

aplicação de toda a carga permanente.

Então de acordo com esses resultados, apresenta-se na Tabela 3.8 e Tabela 3.9 os

valores dos alongamentos, e correspondentes forças, que são necessários aplicar em

cada um dos tirantes na fase em que a estrutura se encontra na posição de equilíbrio

intermédio e posteriormente no retensionamento global.

Os valores de Lrepuxe dizem respeito ao alongamento que é necessário aplicar em

cada tirante, após a aplicação das cargas permanentes, para restituir a geometria do

tabuleiro.

Nas tabelas Tabela 3.10 e Tabela 3.11 apresenta-se, para as mesmas duas fases, os

valores das forças instaladas em cada tirante do modelo em estudo. Estes valores

dependem da matriz de influência dos tirantes, que traduz a influência que a variação

da força aplicada num determinado tirante tem nas forças dos restantes tirantes [6].


47


L puxe (m) 0.044 0.064 0.074 0.086 0.100 0.113 0.127 0.143

Força de puxe (KN) 687 964 1035 1148 1259 1366 1462 1550


L puxe (m) 0.155 0.166 0.179 0.192 0.203 0.210 0.236 0.078

Força de puxe (KN) 1626 1690 1746 1789 1824 1828 1992 644


L puxe (m) 0.044 0.064 0.074 0.086 0.100 0.113 0.127 0.143

Força de puxe (KN) 687 964 1035 1148 1259 1366 1462 1550


L puxe (m) 0.155 0.166 0.179 0.192 0.203 0.210 0.236 0.078

Força de puxe (KN) 1626 1690 1746 1789 1824 1828 1992 644

Tabela 3.8 – Forças aplicadas nos tirantes na posição de equilíbrio intermédio[14].


L repuxe (m) 0.058 0.053 0.064 0.075 0.079 0.087 0.095 0.111

Força de repuxe (KN) 908 795 894 997 998 1048 1095 1204


L repuxe (m) 0.124 0.138 0.154 0.171 0.189 0.207 0.213 0.426



L repuxe (m) 0.058 0.04 0.043 0.045 0.055 0.066 0.069 0.074



L repuxe (m) 0.095 0.098 0.123 0.129 0.133 0.138 0.107 0.305


Tabela 3.9 – Forças aplicadas nos tirantes na fase de retensionamento global dos tirantes[14].

Esta matriz depende da geometria e das propriedades dos elementos utilizados no

modelo, desta forma embora se tenha aplicado as mesmas forças e alongamentos que

Pedro [14], as forças instaladas em ambos os modelos diferem ligeiramente. É de

referir ainda que ao longo das várias fases do processo construtivo, devido às


48

alterações verificadas na estrutura, esta matriz modifica-se, por esta razão, a matriz de

influência dos tirantes na posição de equilíbrio intermédio é diferente da matriz de

influência na aplicação do retensionamento global.


Forças instaladas

(KN) 724 1372 1752 2078 2330 2547 2744 2906


Forças instaladas

(KN) 3086 3255 3378 3472 3534 3534 3664 2257


Forças instaladas

(KN) 724 1372 1752 2078 2330 2547 2744 2906


Forças instaladas

(KN) 3086 3255 3378 3472 3534 3534 3664 2257

Tabela 3.10 – Forças instaladas nos tirantes na posição de equilíbrio intermédio.


Forças instaladas

(KN)

2276 2400 2572 2836 3014 3248 3488 3750


Forças instaladas

(KN)

3988 4208 4378 4549 4716 4831 4982 5298


Forças instaladas

(KN)

2352 2413 2576 2794 3096 3396 3591 3757


Forças instaladas

(KN)

4130 4310 4657 4805 4921 4986 4860 5049

Tabela 3.11 – Forças instaladas nos tirantes após o retensionamento global dos tirantes.

3.7 CARREGAMENTOS

3.7.1 Cargas permanentes

As cargas permanentes aplicadas na estrutura são [14] :

O peso próprio dos pilares / torres, determinado para o peso específico do betão

armado igual a 25 KN/m3;

O peso próprio da estrutura metálica do tabuleiro (constituída pelas vigas principais,

as carlingas transversais, as chapas de ligação entre vigas e de ancoragem dos


49

tirantes), pesando o conjunto da estrutura metálica 2 x 28 kN/m, o que corresponde a

185 kg de aço por m2 de tabuleiro;

O peso próprio da laje do tabuleiro que, no seu conjunto, calculado para c=25KN.m3,

pesa 2 x 100 kN/m (o que, adicionado ao peso da estrutura metálica, corresponde a

um peso próprio total do tabuleiro de 845 kg/m2);

O peso próprio dos tirantes obtido, em cada fase de montagem, pelos produtos dos

seus comprimentos pelos pesos por metro indicados na Tabela 3.3;

O peso dos equipamentos instalados no tabuleiro (nomeadamente a camada de

betuminoso com 0.08 m, os lancis laterais, o separador rígido central, as vigas de

bordadura, o guarda corpos e o guarda rodas, e os enchimentos das caixas dos

passeios com betão leve), pesando este conjunto 2 x 43 kN/m;

As forças aplicadas nos tirantes na posição de equilíbrio intermédio, e de

retensionamento. Estes valores encontram-se apresentados nas Tabela 3.8 e Tabela

3.9.

Somando os pesos próprios acima indicados obtém-se uma carga permanente do

tabuleiro de 2 x 171 kN/m, equivalente a 1128 kg/m2 de tabuleiro.

3.7.2 Sobrecargas de tráfego

A sobrecarga de tráfego aplicada na largura das faixas de rodagem e bermas é de

4 kN/m2, o que corresponde a um total de 2 x 58 kN/m.

3.7.3 Esquemas de Carregamento

3.7.3.1 Cargas permanentes

A aplicação de todos os pesos próprios dos elementos na estrutura é realizada

durante o processo construtivo, no mesmo instante em que os correspondentes

elementos finitos são inseridos ao modelo.

Após a entrada de todos de todos os elementos estruturais, faz-se a aplicação das

restantes cargas permanentes, através de cargas uniformemente distribuídas

aplicadas à laje de betão.


50

A aplicação dos esforços dos tirantes à estrutura não é efectuado através de forças

propriamente ditas, mas sim através de alongamentos equivalentes a esses esforços,

provocados por variações uniformes de temperatura aplicadas a cada tirante. A

aplicação de cargas, correspondente à primeira e segunda instalação dos tirantes,

ocorre durante o processo construtivo. Após a aplicação das restantes cargas

permanentes executa-se o retensionamento final dos tirantes.

3.7.3.2 Sobrecargas de tráfego

Como forma de proceder a uma avaliação da influência da aplicação das sobrecargas,

nas larguras efectivas da laje de betão do tabuleiro misto em estudo, considera-se as

duas hipóteses mais usuais de aplicação das sobrecargas (Figura 3.18):

(a) sobrecarga ao longo de todo o tabuleiro; e (b) sobrecarga compreendida entre o

pilar P3 e P3’, ou seja, apenas no vão central, considerando que o tabuleiro encontra-

se suportado unicamente pelo tirantes e pilares intermédios.

Para a obtenção de uma envolvente de larguras efectivas ao longo do tabuleiro, seria

necessário, considerar outros padrões de aplicação da sobrecarga. No entanto, esta

hipótese conduziria a um exagerado número esquemas de aplicação das sobrecargas.

Assim, considera-se que as duas hipóteses de aplicação de sobrecargas consideradas

enquadram de forma adequada as diferentes hipóteses possíveis, pois de facto são

situações limite admitir que a sobrecarga de tráfego aumenta consideravelmente

apenas no vão central, sem que simultaneamente exista nos vãos laterais (hipótese b),

ou mesmo que, o aumento das sobrecargas ocorre nos vãos laterais em simultâneo

com o aumento no vão central do tabuleiro (hipótese a).

(a) sobrecarga ao longo de todo o tabuleiro

sob

sob - sobrecarga

cp - carga perm anente

(b) sobrecarga no vão centra l

sob

sob - sobrecarga

cp - carga perm anente

cp

cp+sob

Figura 3.18 – Esquemas de aplicação das sobrecargas no tabuleiro.


51

3.7.3.3 Carregamento de Estado Limite Último

A influência da consideração de diferentes incrementos de cargas, até se atingir o

nível de carga correspondente ao Estado Limite Último, na largura efectiva da laje de

betão é outro aspecto que se pretende avaliar no presente trabalho. Tendo em

atenção os dois esquemas apresentados para a aplicação da sobrecarga, consideram-

se as duas seguintes situações: (1) incremento da sobrecarga ao longo de todo o

tabuleiro até ao seu valor característico, seguido do incremento do conjunto (carga

permanente + sobrecarga) até atingir o estado limite último da estrutura;

(2) incremento unicamente da sobrecarga no vão central até atingir o estado limite

último da estrutura.

(a) sobrecarga ao longo de todo o tabuleiro:

1 {cp +sob1}

cp+sob1

(b) sobrecarga no vão central:

1 {cp +sob2} = {cp +2 sob2}

sob2 cp

cp = 2x171KN/m

sob1=sob2 = 2x58KN/m

Figura 3.19 – Esquemas de incremento dos carregamentos para atingir o estado limite último da estrutura.


52

CAPÍTULO 4 – LARGURAS EFECTIVAS EM LAJES DE BETÃO

53

4 LARGURAS EFECTIVAS EM LAJES DE BETÃO

4.1 INTRODUÇÃO

A utilização de tabuleiros mistos aço/betão representam uma solução estrutural que

permite tirar partido das melhores características dos dois materiais. As vigas

metálicas entre os apoios conferidos pelos tirantes, em geral pouco espaçados,

suportam os esforços transversos e os momentos flectores e a laje de betão suporta

as elevadas compressões axiais introduzidas pelos tirantes. A presença destas forças

concentradas a actuar longitudinalmente na laje gera deformações devidas ao corte

longitudinal no seu próprio plano. As secções transversais do elemento deixam de ser

planas, ao contrário do que acontece em flexão pura. Assim, somando as

deformações devidas à flexão do elemento com as da actuação do corte longitudinal

obtém-se deformações que variam ao longo da largura da secção (Figura 4.1) [13].

Este efeito, denominado de “shear-lag”, é a principal razão para a adopção de larguras

efectivas na laje (Figura 4.2).

Figura 4.1 – Representação esquemática da distribuição de tensões numa laje de uma viga

mista.

Figura 4.2 – Conceito de largura efectiva


54

A largura efectiva pode ser entendida, simplificadamente, como a largura na qual a laje

de betão possui a resistência máxima. Esta largura é usualmente determinada de

acordo com as disposições regulamentares aplicáveis às estruturas mistas. Os

critérios incluídos na regulamentação permitem definir a largura efectiva da laje de

betão, para o caso de tabuleiros mistos sujeitos a carregamentos que lhe provocam

flexão sobre apoios rígidos, ou separadamente, fornecem ângulos de degradação da

carga para lajes submetidas a uma compressão axial concentrada.

Os referidos critérios são baseados em diversos estudos desenvolvidos nos últimos

anos com o objectivo de determinar larguras efectivas, não apenas no ramo de

Engenharia Civil, mas também em outros ramos de engenharia. Estes estudos estão

reflectidos em diversas normas, referidas Byers et al. [3], e que apresentam

expressões para a determinação das larguras efectivas em lajes, de que se destacam

a AASHTO (1994) e a German Deutsche Norm (DIN 1075) (1981).

As normas AASHTO traduzem um conjunto de pressupostos pouco precisos,

aplicáveis a estruturas gerais, baseados em características como o comprimento do

vão, a espessura da laje, propriedades das vigas metálicas e ainda o afastamento

entre vigas. Os pressupostos direccionados exclusivamente para pontes são

apresentadas em AASHTO LRFD (1994), cláusula 4.6.2.6. Esta legislação apresenta

grande semelhança com a norma Germânica DIM1075, desenvolvida no âmbito das

pontes com tabuleiro em betão.

Uma importante questão, que não é adequadamente abordada por todos estes

regulamentos, diz respeito à contribuição da laje para a resistência da viga mista,

quando esta se encontra submetida simultaneamente a esforços de flexão e a forças

concentradas axialmente de compressão. Na realidade, os regulamentos não

fornecem regras para esta associação de esforços, mas sim para cada esforço em

separado.

Para a determinação das larguras efectivas em lajes de tabuleiros mistos, devida à

aplicação de uma compressão axial concentrada, a legislação AASHTO, propõe que

se faça uma degradação da carga na laje com um ângulo de 30º. Para essa mesma

situação, a legislação DIN 1075 propõe também uma degradação da carga mas

segundo um ângulo de 26º (Figura 4.3).

Quanto à determinação da largura efectiva de flexão, as referidas especificações, bem

como o Eurocódigo 4 -parte 2 [10], apresentam muitas semelhanças. Todas estas

normas definem a largura efectiva de flexão a partir de uma percentagem de vão de

uma viga apoiada em apoios rígidos, percentagem essa que varia consoante a viga


55

seja simplesmente apoiada ou com continuidade, e ainda com a posição da secção

onde se pretende efectuar o cálculo da largura efectiva.

beff

26º

30º

AASHTOGerman

DIN 1075

Figura 4.3 – Comparação da determinação da largura efectiva da laje para uma compressão axial concentrada, segundo as especificações DIM 1075 e AASHTO [3].

No caso do EC4, a percentagem de vão de viga (Le) utilizada para o cálculo de

larguras efectivas corresponde à distância entre pontos de momento nulo, e é

calculada recorrendo a expressões diferentes. Estas expressões, definidas na clausula

5.4.1.2(6) do EC4, são apresentadas de forma resumida na Tabela 4.1, assim como as

suas condições de aplicabilidade.

Localização Comprimento efectivo

Viga simplesmente apoiada

Toda a viga Le=L

Viga com continuidade

Tramo lateral (1) Le=0,85 L1

Apoio central (2) Le=0,25 (L1+L2)

Tramo central (3) Le=0,70 L2

Consola (4) Le=2 L3

Tabela 4.1 – Expressões utilizadas no cálculo da largura efectiva pelo EC4[10].


56

Figura 4.4 – Determinação da largura efectiva de uma viga mista segundo o EC4[10].

No ponto 5.4.1.2(8) o regulamento alerta para o facto das distâncias de Le

apresentadas na Figura 4.4 poderem ser alteradas pela rigidez dos nós dos elementos

com apoios. A partir dos valores de Le as larguras efectivas das vigas mistas podem

ser obtidas pela clausula 5.4.1.2(5) do EC4 nos seguintes casos:

secções a meio vão e apoios interiores:

eieff bbb 0 (5.4) EC4

secções em apoios de extremidade:

eiieff bbb 0 (5.4) EC4

em que:

b0 – é a distância entre os centros das filas de conectores exteriores. Em estruturas de

edifícios este valor pode ser considerado nulo.

bei = Le/8 o valor da largura efectiva do banzo para cada lado da alma do perfil, ou de

cada fila de conectores. Este valor não poderá ser maior que a largura real disponível

do banzo de betão (ponto 5.4.1.2.(5)) (ver Figura 4.4).

i = (0.55+0.025 Le/bei) ≤1.0 (5.5) EC4


57

Como forma de comparação apresenta-se os critérios definidos na cláusula 4.6.2.6

(Effective Slab Width) da regulamentação AASHTO LRFD (1994), destinadas ao

cálculo de larguras efectivas em pontes, no caso geral (4.6.2.6.1) e para o caso

particular de pontes vigadas e em caixão, construídas em betão (4.6.2.6.2). Tal como

já foi referido, esta legislação é muito semelhante legislação DIN 1075.

Segundo a cláusula 4.6.2.6.1 da AASHTO o comprimento efectivo Le para o cálculo da

largura efectiva, no caso de uma viga simplesmente apoiada, corresponde ao vão real

da viga, e no caso de uma viga com continuidade, corresponde à distância entre

pontos de momento nulo. Em relação ao cálculo de beff o mesmo regulamento

considera:

Para secções posicionadas em tramos interiores a largura efectiva (beff) como o menor

dos seguintes valores

- ¼ Le

- 12 x emedlaje + MAX ( tw; ½ bf

sup )

- distância média entre vigas adjacentes.

Para secções posicionadas em tramos laterais a largura efectiva igual a metade da

largura efectiva da viga interior adjacente somada ao menor dos seguintes valores:

- 1/8Le

- emedlaje +max(½ tw; ¼ bf

sup)

- L consola

Em que L consola , tw, tf , emed

laje e bfsup são dados conforme a Figura 4.5.

\

\

\

Lconsola

tw

tf

bfsup

emed

laje

Figura 4.5 – Esboço esquemático da secção transversal mista.


58

Esta parte o regulamento não faz quer referencia em relação a larguras efectivas nos

apoios. Na cláusula 4.6.2.6.2 (Segmental Concrete Box Beams and single-Cell Cast-

in-Place Box Beams) o regulamento define mais detalhadamente o modo como se

efectua o cálculo da largura efectiva. Os critérios considerados para o cálculo do

comprimento efectivo (li) são apresentados na Tabela 4.2, bem como as variações de

larguras efectivas adoptadas pelo mesmo regulamento.

Sistema de apoio Esquema representativo das variações de larguras efectivas

Viga simplesmente apoiada li=1.0 l

bs bsbf

a a

l

Viga contínua

Tramos laterais li= 0.8 l

l

bs bsbf bf

a 0.1l 0.1l

l

Tramos interiores li= 0.6 l

Tramo em consola li=1.5 l

bs bf

a

l

Tabela 4.2 – Cálculo dos comprimentos efectivos e variação de larguras efectivas.

Após a determinação do comprimento efectivo, o cálculo das larguras efectivas (bmi)

efectua-se multiplicando a largura de laje (bi) por coeficientes, bf ou bs, caso se

pretende efectuar o cálculo da largura efectiva em secções interiores ou sobre apoios

ou em consolas, respectivamente. Sendo assim:

Para secções a meio vão a largura efectiva é calculada:

bmi=bf x bi

Para secções sobre os apoios ou em consolas a largura efectiva é calculada:

bmi=bs x bi

Os valores de bi a considerar nas expressões anteriores referentes a secções vigadas

e em caixão são apresentados Figura 4.6 a) e b). Na Figura 4.6 c) é representada de


59

forma esquemática o diagrama de tensões na laje de betão e simplificação usada no

calculo da largura efectiva.

bm2bm2

b2 b2

bm1

b1 b1

bm1

d0

bm3 bm3

b3 b3

d0

bm1 bm2

b1 b1

bm2 bm1

b2 b2

bm3

b3

bm3

b3

b0 b0

bm1 bm1bm2bm2

Linear distribution of stresses in the top flange

Constant stress

in bm as a result

of flexure

a)

b)

c)

Figura 4.6 – Secções transversais e correspondentes larguras efectivas, bmi.

O valor de “a” apresentado na Tabela 4.2 corresponde ao menor valor de bi

apresentados na Figura 4.6 ou a ¼ L. A determinação dos coeficientes bf e bs é

efectuada recorrendo ao gráfico apresentado na Figura 4.7.


60

bf

bs

bm

b

00

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.1

0.05

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

For b/li≥0.7 bmf=0.173li For b/li≥0.7 bms=0.104li

bbi

Figura 4.7 – Valores dos coeficientes bs e bf

O regulamento considera ainda determinadas considerações que é necessário atender

no cálculo da largura efectiva recorrendo ao referido anteriormente. Estas

considerações são apresentadas a seguir:

Para situações em que bi ≤ 0.3 do , em que d0 corresponde à altura do tabuleiro

(Figura 4.6), toda a largura de laje bi pode ser considerada como efectiva, caso

contrário deve-se proceder à sua redução.

Os valores de bmf ou bms são sempre menores que o valor de bi.

No caso de apoios em que vigas apresentam diferentes valores de le , para o

cálculo de bms (largura efectiva sobre o apoio), deve-se considerar o maior dos

valores.

Desprezar cargas não simétricas no cálculo da largura efectiva.

As especificações anteriormente apresentadas relativamente ao cálculo das larguras

efectivas em lajes, devida à aplicação de uma compressão axial concentrada,

poderiam ser directamente aplicadas nas lajes de pontes atirantadas, no entanto, o

mesmo não acontece em relação ao mencionado para a definição da largura efectiva

de flexão, isto devido ao tabuleiro misto apresentar um funcionamento diferente do

considerado pelo regulamento. Como já foi referido, os regulamentos definem as


61

larguras efectivas a partir de uma percentagem de viga apoiada em apoios rígidos, ora

no caso das pontes atirantadas levantam-se duvidas quanto ao vão a considerar, uma

vez que os apoios conferidos pelos tirantes são bastante flexíveis. Então, visto que o

funcionamento de um tabuleiro atirantado misto engloba simultaneamente o de uma

viga mista suportada por apoios flexíveis, mas também o de uma coluna sujeita a

forças concentradas, a definição da largura efectiva baseada nos regulamentos

conduz a dois valores diferentes, e uma vez que os tirantes não são apoios rígidos,

como é exigido nos regulamentos, os valores obtidos para a largura efectiva de flexão

seriam muito aproximados.

Neste caso de pontes em que o tabuleiro se encontra suportado por tirantes, o

comprimento efectivo a considerar para o cálculo da largura efectiva, em uma

determinada secção, corresponde à distância entre pontos de momento nulo do

diagrama de momentos provocado por uma força concentrada vertical, unitária,

aplicada nessa mesma secção, ou seja, é igual ao comprimento de uma viga

simplesmente apoiada equivalente (Figura 4.8) [3].

1

M

Leq

Leq=Leff

Viga

simplesmente

apoiada

equivalente

Figura 4.8 – Determinação de comprimentos efectivos, Le, em

tabuleiros atirantados

Aplicando o anteriormente referido ao modelo em estudo, verifica-se que para a

secção média do tramo central o comprimento efectivo a considerar seria de 60.73 m.

Este valor foi determinado através do diagrama de momentos (apresentado na

Figura 4.9) provocado por uma carga concentrada unitária aplicada nessa mesma

secção, e corresponde ao comprimento de uma viga simplesmente apoiada

equivalente. Esta viga é apresentada na Figura 4.9 através do diagrama a amarelo.


62

Figura 4.9 – Diagrama de momentos resultantes de uma carga unitária na

secção média do tramo central.

Para o caso de um carregamento distribuído no tabuleiro o comprimento da viga

simplesmente apoiada equivalente seria de 60.97 m, ou seja muito próximo do obtido

para uma carga concentrada.

Torna-se evidente que existe uma grande diferença entre o valor obtido e o valor que

se obteria aplicando a actual regulamentação, o que vem mostrar que a determinação

de largura efectivas em vigas mistas apoiadas em apoios elásticos, como é o caso de

tabuleiros mistos, é um aspecto que não está adequadamente definido nos actuais

regulamentos.

Estudos recentes têm permitido obter mais informação sobre a definição de uma única

largura equivalente da laje de betão de pontes atirantadas mistas, considerando

simultaneamente os efeitos de flexão e de compressão axial. Num estudo efectuado

por Byers [3] para o caso de pontes de tirantes com tabuleiro misto do tipo bi-viga, e

com o tabuleiro apoiado nas torres e nos pilares de retenção, a largura efectiva da laje

de betão pode ser obtida com uma expressão única, função da espessura real da laje,

da largura do tabuleiro e da distância entre apoios rígido. Para este estudo, o autor

considerou 20 modelos tridimensionais de pontes mistas atirantadas, todas atirantadas

lateralmente, com espaçamento entre tirantes de 15 m. Em todos os modelos, as vigas

principais são do tipo I com cerca de 1.90 m de altura e a laje apresenta espessura

constante, igual a 0.25 m. Os efeitos diferidos não foram considerados.


63

Uma vez que os modelos são tridimensionais, foram obtidas as distribuições “reais”

das tensões normais ao longo da laje do tabuleiro. Através da integração numérica

dessas distribuições, foi obtido, em cada secção transversal do tabuleiro, o valor da

resultante a resultante das tensões normais na laje (F) e, consequentemente, a largura

efectiva correspondente. Esta metodologia de determinação da largura efectiva ao

longo do tabuleiro é a mesma que se pretende adoptar para o presente trabalho.

A partir dos resultados obtidos para nos 20 modelos, Byers apresenta uma proposta

de definição de uma largura efectiva única para a laje da Figura 4.10.

L1

L2

0.9

0 b

1

0.9

0 b

1

0.8

0b

1

20 e

16 e

0.8

0b

1

0.8

0b

1

L1

L2

0.15L2

0.35L2

0.50L2

0.9

0 b

1

0.8

0b

1

20 e

0.15L1

0.15L1

0.70L1

16 e

0.8

0b

1

0.8

0b

1

bo

e

b1bo b

1 bo

beff beff

0.15L2

0.35L2

0.50L2

0.15L1

0.15L1

0.70L1

bobeff

Figura 4.10 – Largura efectiva proposta por Byers et al. para a laje de betão do tabuleiro de uma ponte atirantada mista [3]

Refira-se que esta proposta foi obtida sem considerar o faseamento construtivo e os

efeitos diferidos. Pretende neste trabalho avaliar a influência destes efeitos nos

resultados.


64

4.2 DETERMINAÇÃO DA LARGURA EFECTIVA

4.2.1 Conceitos gerais

A determinação de larguras efectivas em lajes mistas de betão, tal como já foi referido,

é um assunto que, para o caso particular das pontes atirantadas mistas, coloca

algumas questões particulares, no entanto, toda a bibliografia associada a este

assunto parece estar em consenso quanto à definição de largura efectiva.

A largura efectiva da laje corresponde à região da laje de betão que funciona em

conjunto com cada viga metálica na resistência às forças exteriores aplicadas, e na

qual a distribuição de tensões se admite ser uniforme e igual à tensão máxima que se

desenvolve ao longo da largura da laje (Figura 4.11) [14].

Laje de betão de espessura e

Distribuição de tensões normais

na laje, com resultante F

Viga metálica

max

Largura efectiva da laje

de betão

Distribuição de tensões

normais equivalente na laje

beff

beff

= F / e /max

max

(a) (b)

Figura 4.11 – Conceito de largura efectiva de viga mista aço/betão [14].

De acordo com esta definição a determinação de largura efectiva requer o

conhecimento da variação de tensões na laje. Conhecidas estas variações, a

determinação da força total resultante (Qi), em cada secção, é obtida através da

multiplicação da resultante das tensões (Fi), calculadas por integração, pela espessura

da laje de betão. Esta determinação de Qi é apresentada na expressão (4.1):

b

ysxi dtQ0

.

(4.1)

Sendo:


65

ts – A espessura da laje.

b – A largura da laje.

x – As tensões normais aplicadas na secção da laje.

Dividindo o valor da força total (Q) pelo produto da espessura da laje com o valor da

tensão máxima actuante ( max) obtém-se o da valor da largura de laje considerada

efectiva (beff) (eq. (4.2)):

s

i

efft

Qb

max

(4.2)

Deste modo, a determinação do valor da largura efectiva, para uma determinada

secção, é relativamente simples. Neste cálculo, a maior dificuldade consiste na

determinação do valor da força total resultante (Qi), que requer a integração das

tensões ao longo da largura da laje. No capítulo que se segue é apresentado o

procedimento e formulação utilizada no presente trabalho para o cálculo de larguras

efectivas utilizado elementos finitos de laje.

4.2.2 Utilização de elementos finitos

No presente trabalho, tal como foi referido no capítulo 3, a laje de betão foi modelada

recorrendo a elementos finitos planos de quatro nós. Esta modelação tridimensional

por elementos finitos, permite a obtenção das distribuições elásticas reais das tensões

normais ao longo da laje do tabuleiro. Na realidade os valores das referidas

distribuições de tensões, fornecidos pelos elementos finitos, não correspondem

exactamente às distribuições “reais”, visto que estes elementos não fornecem valores

de distribuição de tensões ao longo do elemento mas apenas a nível dos nós. Assim a

maior ou menor aproximação das distribuições elásticas das tensões normais ao longo

da laje depende, respectivamente, da maior ou menor discretização do modelo.

A determinação da largura efectiva (beff) é efectuada de acordo com o descrito na

secção anterior. No entanto, uma vez que os resultados numéricos são discretos, a

integração necessária ao cálculo de Qi, transforma-se num somatório dado pela

expressão (4.3):


66

n

i

isii btQ1

(4.3)

Onde:

ts – espessura da laje.

bi – dimensão transversal do elemento i.

i – tensões normais aplicadas na secção do elemento i.

Sendo assim, para cada elemento é necessário determinar a resultante das forças

actuantes, o que é feito a partir da integração numérica das tensões normais utilizando

a regra dos trapézios. Uma vez que no elemento as espessuras são constantes, a

resultante das forças num elemento corresponde à tensão média dos nós multiplicada

pela espessura e pela largura do elemento.

É de realçar que em cada elemento finito esta média tem em conta os valores das

tensões correspondentes aos nós superiores e inferiores do tabuleiro (Figura 4.12).

Desta forma para cada elemento, antes de proceder ao cálculo da força resultante, é

necessário efectuar a média entre os valores de tensões fornecidos para o topo e da

base. Estes valores são designados por med.

max

min

medts

Figura 4.12 – Esquema tipo da variação de tensões na secção de cada elemento.

Conhecido o valor de Qi e de medmax, o cálculo de beff é obtido das seguintes

expressões:

20,01

max ebbeQ effmedi (4.4)


67

b0

e2

beff,0

e1

Qi

Figura 4.13 – Esquema representativo utilizado na determinação da largura efectiva.

0

2

1

2

max0, be

e

e

Qb

med

i

eff (4.5)

0,0 effeff bbb

(4.6)


68

CAPÍTULO 5 – ANÁLISE DOS RESULTADOS

69

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

5.1 INTRODUÇÃO

Apresenta-se neste capítulo as distribuições longitudinais de esforços axiais e o

cálculo das correspondentes larguras efectivas da laje para diversos modelos

tridimensionais. Na Tabela 5.1 são apresentados os modelos analisados.

Modelo Ligação

tabuleiro-tirante

Fase Apoios

provisórios das Torre

Adição dos apoios

intermédios

Nível de Carga

Geometria de aplicação

da SC

Mod.A VIGA F.Construtiva removidos na

fase2 Fase 2 cp -

Mod.B LAJE F.Construtiva removidos na

fase2 Fase 2 cp -

Mod.C LAJE F.Construtiva permanentes --- Fase 2 cp -

Mod.D LAJE F.Construtiva permanentes---- Fase 1 cp -

Mod.E LAJE F.Serviço permanentes Fase 2 cp+sc1 todo o

tabuleiro

Mod.G LAJE E.L.Ultimo permanentes Fase 2 1,5(cp+sc1) todo o

tabuleiro

Mod.F LAJE F.Serviço permanentes Fase 2 cp+sc2 vão entre

P3-P3'

Mod.I LAJE E.L.Ultimo permanentes Fase 2 1,5(cp+sc2) vão entre

P3-P3'

Mod.H LAJE E.L.Ultimo permanentes Fase 2 2,0(cp+sc1) todo o

tabuleiro

Mod.J LAJE E.L.Ultimo permanentes Fase2 2,0(cp+sc2) vão entre

P3-P3'

Tabela 5.1 – Identificação dos modelos de estudo e suas propriedades.


70

Os modelos considerados são geometricamente semelhantes, no entanto, apresentam

determinadas diferenças relativamente ao faseamento construtivo, à ligação tirante –

tabuleiro e à geometria de aplicação da sobrecarga.

As determinações da influência destas condições na distribuição longitudinal das

larguras efectivas da laje inserem-se nos objectivos do presente trabalho, sendo por

isso aspectos a abordar no presente capítulo.

Os diferentes esquemas e incrementos de carga utilizados nos vários modelos em

análise dos são os apresentados no sub-capítulo 3.8.

O modelo Mod.A corresponde ao modelo apresentado nos capítulos anteriores sob o

efeito da carga permanente e com faseamento construtivo descrito em 3.6. A partir do

modelo Mod.A, recorrendo a algumas modificações, obtêm-se os restantes modelos

apresentados, com o objectivo de avaliar os parâmetros condicionantes na definição

dos valores das larguras efectivas.

5.2 INFLUÊNCIA DA LIGAÇÃO TIRANTE – TABULEIRO NA LARGURA

EFECTIVA

Os tirantes, devido à sua geometria, são responsáveis pela introdução no tabuleiro de

forças horizontais, que desempenham importantes contribuições para os valores da

largura efectiva da laje. Essas forças axiais são maioritariamente absorvidas pela laje,

no entanto, a distribuição dos esforços pela viga e a laje depende de diversos factores.

O local onde ocorre a ligação dos tirantes com tabuleiro é um desses factores que

influencia a forma como se efectua esta distribuição de esforços e consequentes

valores da largura efectiva de laje.

A contribuição da ligação TIRANTE – TABULEIRO nos valores da largura efectiva é

um aspecto ao qual se considera importante efectuar uma análise mais

pormenorizada.

Para a avaliação desta contribuição efectua-se a comparação dos resultados obtidos

em modelos cuja ligação TIRANTE – TABULEIRO ocorre em pontos distintos do

tabuleiro, correspondentes aos modelos Mod.A e Mod.B (Tabela 5.1). Em ambos os

modelos houve a preocupação de manter a mesma inclinação dos tirantes, ou seja,

partindo do modelo Mod.A, em que os tirantes estão ligados às vigas metálicas,

através de uma translação vertical de todos os tirantes, por aumento da altura da torre,


71

procedeu-se à ligação dos mesmos directamente à laje de betão (modelo Mod.B).

Pretende-se com isto verificar a influência nos valores de beff, no caso da compressão

do tirante ser directamente introduzida na laje.

Na Figura 5.1 são apresentados os valores das larguras efectivas e esforços axiais

obtidos nos dois modelos, sob acção das cargas permanentes. Dos resultados

apresentados é possível retirar as seguintes conclusões:


72

-1,0

1,0

3,0

5,0

7,0

9,0

11

,0

13

,0

15

,0 -42

0,0

-36

7,5

-31

5,0

-26

2,5

-21

0,0

-15

7,5

-10

5,0

-52

,50

,0

[m]

[m]

be

ff

Mo

d. A

Mo

d. B

Torr

es/

Pila

res

Tira

nte

s

-50

00

0,0

-40

00

0,0

-30

00

0,0

-20

00

0,0

-10

00

0,0

0,0 -4

20

,0-3

67

,5-3

15

,0-2

62

,5-2

10

,0-1

57

,5-1

05

,0-5

2,5

0,0

[KN

]

[m]

Qi

Mo

d. A

Mo

d. B

Torr

es/

Pila

res

Tira

nte

s

Fig

ura

5.1

– L

arg

ura

Efe

ctiva

e e

sfo

rços n

orm

ais

na

la

je d

o ta

bu

leir

o, p

ara

a a

ctu

ação

das c

arg

as p

erm

an

en

tes.


73

-3,0

0

0,00

3,00

6,00

9,00

12,0

0

15,0

0

18,0

0

21,0

0

24,0

0

27,0

0

30,0

0 1,06

3,25

5,44

7,63

9,81

12,0

014

,19

16,3

818

,56

20,7

522

,94

25,1

327

,31

29,5

031

,69

33,8

836

,06

m

m

Diag

ram

as d

e te

nsõe

s re

al e

sim

plifi

cado

usa

ndo

o va

lor d

e b ef

f

tiran

tes

beff

Varia

ção

de b

eff

-3,0

0

0,00

3,00

6,00

9,00

12,0

0

15,0

0

18,0

0

21,0

0

24,0

0

27,0

0

30,0

0 36,0

625

38,2

500

40,4

375

42,6

250

44,8

125

47,0

000

49,1

875

51,3

750

53,5

625

55,7

500

57,9

375

60,1

250

62,3

125

64,5

000

66,6

875

68,8

750

71,0

625

m

m

Diag

ram

as d

e te

nsõe

s re

al e

sim

plifi

cado

usa

ndo

o va

lor d

e b ef

f

Pila

r P2

beff

Varia

ção

de b

eff

tiran

tes

Fig

ura

5.2

– D

iag

ram

as d

e te

nsõ

es r

eais

e s

implif

icad

os n

a la

je p

ara

a a

cçã

o d

a c

arg

a p

erm

an

en

te , u

tiliz

ad

os p

ara

de

finiç

ão d

e b

eff.

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


74

Figura 5.3– Diagrama de momentos aplicado na viga metálica após o retensionamento dos

tirantes (Mod.B). Momentos negativos nos pontos onde ocorre a ligação do tirante

1) Em ambos os modelos os valores de largura efectiva obtidos variam

longitudinalmente com oscilações locais cuja amplitude vai diminuindo com a

aproximação das torres. Estas oscilações resultam de bruscas variações locais de

tensões na laje, resultantes da entrada sucessiva das compressões horizontais

dos tirantes nas lajes e devido aos efeitos das flexões locais entre tirantes.

2) Estas oscilações e variações de tensões podem ser observadas na Figura 5.2,

onde é apresentado para algumas secções do modelo Mod.B, a distribuição real

de tensões, as correspondentes larguras efectivas e, a tracejado, a sua variação

longitudinal. A representação desta variação longitudinal permite compreender as

razões das referidas oscilações e ainda identificar os locais onde ocorrem as

reduções e aumentos de largura efectiva. Verifica-se que os valores de largura

efectiva aumentam em todas as secções, excepto nas secções antes e depois dos

alinhamentos dos tirantes, onde diminui. A componente horizontal dos tirantes ao

ser introduzida na laje pode ser responsável pelo aparecimento de tracções locais

e de “picos” de compressões, respectivamente, antes e depois do alinhamento

onde ocorre a entrada do par de tirantes. As elevadas concentrações de esforços

(“picos”) situam-se nas zonas laterais da laje (sobre as vigas metálicas) e são

responsáveis pelas reduções verificadas nos valores da largura efectiva. Por outro

lado, as tracções locais são também responsáveis pela redução dos diagramas de

tensões, o que leva à redução da largura efectiva.

3) É também de realçar que nestas zonas o tabuleiro encontra-se maioritariamente

com flexão negativa (ver Figura 5.3) pelo que este efeito é também responsável

pela redução da largura efectiva na laje, por um lado devido à concentração de

esforços sobre a viga e, por outro pelo aparecimento de tracções ao nível da laje


75

(conforme se refere mais à frente no trabalho). Nas restantes secções, a

propagação dos picos de esforços pelas restantes zonas da laje (das zonas

laterais para o interior) em conjunto com a acumulação global de concentrações e

existência de flexão positiva no tabuleiro leva a que ocorra o aumento dos valores

da largura efectiva. Estas “deslocação” e acumulação de esforços, torna-se visível

através do “arredondamento” e aumento das espessuras dos diagramas reais das

tensões para o interior da laje.

4) Relativamente à evolução da amplitude das oscilações verificadas nos valores de

beff representados na Figura 5.1, verifica-se que para os dois modelos estas

diminuem com a aproximação das torres. A acumulação dos esforços de

compressão global e a progressiva diminuição das componentes horizontais

introduzidas no tabuleiro, pelo aumento da inclinação dos tirantes, levam a que,

na laje, deixe de haver bruscas variações de esforços (redução dos “picos”) e por

isso uma redução das oscilações. Para essa diminuição contribui também a

atenuação do efeito das já referidas tracções locais, também devido à diminuição

dos esforços inseridos pelo tirante e pelo aumento da acumulação da compressão

global. A diminuição das componentes horizontais introduzidas pelos tirantes é

visível no gráfico Qi através na diminuição do declive das curvas, com a

aproximação das torres.

5) Verifica-se que a ligação directa dos tirantes à laje (Mod.B) conduz a um aumento

da “sensibilidade” da laje aos esforços introduzidos pelos tirantes e por isso a uma

maior oscilação nos valores de beff. De acordo com o referido anteriormente, as

variações de esforços verificadas na laje do Mod.B são superiores às que ocorrem

no modelo Mod.A. O facto de a componente horizontal introduzida pelo tirante, ser

directamente aplicada na laje, provoca o aparecimento de elevadas

concentrações locais de tensões que levam a grandes oscilações nos valores de

beff. No modelo Mod.A estas oscilações são mais pequenas, visto que os esforços

horizontais são primeiramente transmitidos às vigas metálicas que, de forma

progressiva, os transmitem à laje, sem que se verifiquem bruscas variações de

tensões na laje.

6) Conclui-se assim que a ligação directa dos tirantes à laje conduz a menores

valores de largura efectiva em relação aos obtidos para a situação em que os

tirantes se ligam às vigas.

7) A constante transmissão de esforços da viga para a laje, que se verifica no

modelo Mod.A, permite que as diferenças entre os valores obtidos para as duas

situações diminuem com o aproximar da torre. De facto, uma vez que os esforços

aplicados em ambos são os mesmos, no limite, os dois modelos tendem para a


76

mesma distribuição de esforços na laje e por isso aos memos valores de beff. O

gráfico Qi na laje traduz exactamente o referido, dado que os esforços de

compressão na laje, em ambos os modelos, são praticamente coincidentes em

toda a extensão do tabuleiro, excepto no local onde ocorre a aplicação dos

tirantes mais externos, onde são mais baixos para o caso do modelo Mod.A, visto

que ainda permanecem nas vigas.

Das conclusões apresentadas verifica-se então que, embora ocorram diferenças entre

os resultados dos Mod.A e B, elas não são muito significativas. Deste modo, nos

modelos em análise seguintes considera-se a ancoragem directa dos tirantes na laje.


77

5.3 INFLUÊNCIA DOS APOIOS INTERMÉDIOS NA LARGURA EFECTIVA

Embora a determinação de larguras efectivas em pontes atirantadas seja um aspecto

que não está adequadamente definido nos actuais regulamentos, é conhecido dos

tabuleiros mistos que os apoios interiores têm importância nas distribuições de

larguras efectivas. De facto, a flexão local que se verifica sobre estes apoios conduz

normalmente à redução dos valores de largura efectiva.

De facto, as reduções das larguras efectivas sobre os apoios intermédios resultam

simultaneamente devido à diminuição das compressões globais e à concentração de

esforços nas zonas da laje sobre as vigas metálicas. Sobre estes apoios, a flexão

negativa é responsável pelo aparecimento de tracções ao nível da laje que conduzem

à redução das compressões globais e à concentração dos esforços de compressão

nas zonas laterais da laje. Sendo assim, pode afirmar-se que a redução dos valores da

largura efectiva é tanto maior quanto maior for a flexão local verificada sobre os apoios

intermédios.

Para a avaliar a influência dos apoios nas distribuições de larguras efectivas

considera-se, para as cargas permanentes, algumas alterações no faseamento

construtivo, relativamente ao instante em que os apoios são inseridos ou removidos da

estrutura. No modelo Mod.C, os apoios provisórios presentes nas torres, em vez de

serem removidos na fase 2 do faseamento construtivo (ver sub-capítulo 3.6), como foi

até aqui considerado, permanecem durante todo o faseamento construtivo, ou seja, o

tabuleiro encontra-se permanentemente apoiado nas torres (Tabela 5.1). Na Figura 5.4

apresenta-se os valores de beff e de Qi obtidos com este modelo, e para facilitar a

comparação, apresenta-se também na mesma figura os valores referentes ao modelo

Mod.B. Os resultados obtidos mostram que:

1) Tanto no modelo Mod. B como no Mod. C, ao contrário do esperado, os valores

de beff e Qi, ao nível dos apoios interiores, não são reduzidos. Em ambos os casos

o valor de beff é da ordem dos 14.86 m, isto é, cerca de 95% da largura da laje.

Como já foi referido a principal causa para a diminuição da larguras efectiva que

se verifica ao nível dos apoios deve-se aos momentos negativos que ai se fazem

sentir, sendo assim, pode afirmar-se que, para o carregamento e faseamento

construtivo em questão, as curvaturas locais que se verificam sobre os apoios são

muito pequenos.


78

-1,0

1,0

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79

Esta situação surge porque todo o peso próprio é equilibrado pelos tirantes, pelo

que o efeito da restante carga permanente não é, por si só, suficiente para que

surjam curvaturas locais que conduzam a consideráveis reduções da largura

efectiva. Aliás, a determinação das forças a aplicar nos tirantes, foi efectuada

exactamente para o faseamento construtivo referente ao modelo Mod.B,

considerando todo o peso próprio da estrutura suportado nos tirantes, levando por

isso a que nesta situação ocorra uma baixa contribuição dos apoios interiores. No

entanto, é relevante realçar que esta consideração foi uma opção considerada

para o presente modelo, pelo que para outro faseamento construtivo, bem como

outras forças nos tirantes, os resultados obtidos não seriam os mesmos.

2) Para a situação em que os apoios das torres passam a permanecer

permanentemente na estrutura (modelo Mod.C), verifica-se que, sobre o apoio

das torres, os valores de Qi e de beff sofrem uma pequena redução, no modelo

Mod. B o valor de beff é de 14.94 m e Qi de -38 766.10 KN e no modelo Mod.C

estes são de 13.847 m e de -33 591.74 KN, respectivamente, ou seja, uma

redução da largura efectiva de 1.093 m. Esta redução demonstra que os efeitos

de flexão que se passam a verificar sobre o apoio das torres já mais significativos.

3) De facto, esta permanência dos apoios contribui para uma redução do vão central

em cerca de 144 m, pelo que é aceitável que sobre estes já ocorram flexões

consideráveis. A impossibilidade de ocorrer deformações verticais do tabuleiro,

pela permanência dos apoios, leva a que nestes locais surja uma considerável

curvatura do tabuleiro e por isso uma redução da largura efectiva. Nos restantes

apoios interiores as reduções não se verificam (ou são muito pequenas), pois

nestes locais, à semelhança do que ocorre no modelo Mod.B, as flexões sobre os

apoios são baixas, visto que as forças dos tirantes equilibram a totalidade do peso

próprio da estrutura, tornando o tabuleiro como que a “flutuar” sobre estes apoios.

Após o retensionamento dos tirantes as reacções dos pilares P2, P3 e torres são

de 280.78 KN, 350.20 KN e 71 116.75 KN, respectivamente, ou seja, a reacção

permanente nos pilares interiores é de facto bastante pequena.

Para compreender melhor a influência dos apoios interiores e realçar a importância do

faseamento construtivo na configuração longitudinal das larguras efectivas,

apresenta-se na Figura 5.5, também para a acção das cargas permanentes, os

resultados referentes ao modelo Mod.D (Tabela 5.1), onde se considera, durante todo

o faseamento construtivo, que o tabuleiro se encontra permanentemente apoiado nos

pilares e torres. Sendo assim, este modelo difere do modelo Mod.C, só no facto de os

pilares intermédios serem adicionados à estrutura já na fase em a estrutura se


80

encontra na posição de equilíbrio intermédio. Na mesma figura, novamente com o

objectivo de facilitar a comparação, apresenta-se também os resultados do modelo

Mod.C. Os resultados apresentados na figura anterior apontam para as seguintes

conclusões:

1) A consideração dos pilares intermédios no início da fase construtiva conduz, a que

sobre o apoio da torre e pilar P2 ocorra, embora não de forma significativa, uma

maior diminuição do valor da largura efectiva (Tabela 5.2). O facto de o tabuleiro

ser desde logo restringido por estes apoios traduz-se em uma maior participação

destes na resistência dos esforços, verificando-se por isso o aparecimento de

momentos negativos maiores. No entanto, esta participação revela-se ser muito

baixa, uma vez que a redução de beff é pequena, sendo por isso a curvatura local

baixa, o que comprova que os tirantes continuam a suportar a quase totalidade

das cargas.

2) O pilar P3, participa ainda menos no equilíbrio das cargas donde a redução da

largura efectiva é praticamente inexistente. A baixa flexão negativa que sobre ele

se verifica e a existência de uma considerável compressão global são as razões

para que a largura efectiva seja praticamente a totalidade da laje nesta zona.

3) No caso de executar o fecho central com os pilares nos tramos laterais já

inseridos, verifica-se no vão central, uma redução dos esforços de compressão da

laje e correspondentes tracção nas vigas. O valor de compressão actuante no

alinhamento médio do vão central, após o retensionamento dos tirantes, é no

modelo C de -4 225.91 KN e no modelo D de -611.05 KN. Esta desigualdade

surge pelo facto de as curvaturas do tabuleiro no vão central serem diferentes.

4) As deformações verticais do tabuleiro no vão central são menores no caso do

modelo D o que resulta em menores curvaturas no tabuleiro e consequentemente

a menores valores de compressão na laje e tracção nas vigas, o que conduz a

menores valores de beff. Este efeito repercute-se também sobre o apoio das

torres, contribuído também para que ai o valor da largura efectiva seja menor

(Tabela 5.2). A diferença na variação da deformação vertical, verificada entre os

dois modelos, ocorre essencialmente entre a fase em que a estrutura se encontra

na posição de equilíbrio intermédio e o fecho do tabuleiro. No ponto médio do vão

central a referida variação da deformação vertical é no caso do modelo C de -

0.51m enquanto no modelo D é de -0.24m. Este aumento da deformação vertical


81

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82

que ocorre contribui para maiores curvaturas no tabuleiro e por isso a maiores

esforços de compressão na laje, tal como no gráfico Qi da Figura 5.5 .

Dos resultados apresentados é relevante resumir que de facto os apoios interiores

influenciam a largura efectiva, visto que são locais onde surgem consideráveis

momentos negativos, no entanto, estes momentos negativos dependem bastante do

faseamento construtivos e das forças aplicadas nos tirantes. Assim, considerando um

faseamento construtivo distinto ou aplicando aos tirantes outras forças nas fases de

tensionamento e retensionamento, os valores de beff podem ser ligeiramente diferentes

dos apresentados.

5.4 INFLUÊNCIA DO CARREGAMENTO NA DISTRIBUIÇÃO DAS

LARGURAS EFECTIVAS

No presente sub-capítulo pretende-se avaliar a influência do padrão de carregamento

nas distribuições de larguras efectivas, através da aplicação das sobrecargas de

utilização, com várias distribuições e incrementos.

Os estudos apresentados nos sub-capítulos anteriores foram efectuados considerando

a actuação da carga permanente para diferentes situações do faseamento construtivo

e verificou-se que as larguras efectivas têm alterações consoante o faseamento

construtivo utilizado. Nos modelos em análise seguintes, com o objectivo de evitar que

o faseamento construtivo influencie os resultados obtidos e com isto facilitar a sua

Sobre Apoios das torres Sobre o pilar P2 Sobre o pilar P3

beff Mod. C [m] 13,847 14,936 14,713

beff Mod. D [m] 13,777 14,371 14,613

Δ beff Mod. C e Mod. D [m]

0,070 0,565 0,097

Tabela 5.2 – Largura efectiva da laje nos apoios intermédios para os modelos C e D


83

comparação, adopta-se sempre o mesmo faseamento construtivo, correspondente ao

considerado no modelo Mod.C (Tabela 5.1).

5.4.1 Influência da geometria de aplicação da sobrecarga

A avaliação da influência da geometria de aplicação da sobrecarga para as larguras

efectivas é efectuada por intermédio de dois modelos: modelo Mod.E com sobrecarga

aplicada em todo o tabuleiro (sobrecarga Tipo 1), e modelo Mod.F em que a

sobrecarga é aplicada no vão compreendidos entre os pilares P3 e P3’ (sobrecarga

Tipo 2).

Na Figura 5.6 apresenta-se a distribuição longitudinal de larguras efectivas e

compressões na laje relativas ao modelo Mod.E e ao modelo Mod.C (actuação apenas

das cargas permanentes – Tabela 5.1). A apresentação dos resultados referentes a

estes dois modelos em conjunto, permite evidenciar as diferenças na distribuição de

larguras efectivas, resultantes da aplicação da sobrecarga em todo o tabuleiro.

Dos resultados apresentados verifica-se que a aplicação da sobrecarga em todo o

tabuleiro conduz a uma distribuição longitudinal das larguras efectivas bastante

semelhante à obtida para o caso de na estrutura estar a actuar apenas a carga

permanente. As diferenças verificadas ocorrem essencialmente sobre os apoios

interiores, evidenciando-se que para o caso da actuação da sobrecarga em todo o

tabuleiro, a largura efectiva assume, em todos os apoios, valores mais baixos.

Portanto, a aplicação da sobrecarga em todo o tabuleiro não provoca grandes

modificações no funcionamento esperado para a estrutura, no entanto, como é de

esperar, provoca aumento dos esforços no tabuleiro e por isso das compressões

axiais actuantes na laje (visível no gráfico Qi), bem como, das curvaturas do tabuleiro

sobre os apoios. Esse aumento local das curvaturas é a principal razão de se verificar,

sobre os apoios, valores mais baixos de beff, isto porque levam a maiores reduções

das compressões globais da laje e a aumento das concentrações dessas

compressões, nas zonas da laje situada sobre as vigas.

Na Figura 5.7 apresenta-se os valores de beff e de Qi obtidos para as duas geometrias

de aplicação da sobrecarga consideradas, ou seja, Tipo 1 = SC1 (Modelo Mod.E) e

Tipo 2 = SC2 (modelo Mod.F). Os resultados obtidos mostram que:


84

-1,0

1,0

3,0

5,0

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9,0

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l).

Gggggggg para não colar ggggggg


85

1) No caso da aplicação da sobrecarga do tipo 2 verifica-se que o funcionamento

da estrutura se altera, passando a ocorrer como que um “desequilíbrio” de

cargas. A inexistência de sobrecarga em toda a extensão dos tramos laterais,

conduz a um aumento da flecha do vão central e consequentemente dos

deslocamentos horizontais das torres, na direcção do vão central. Esses

deslocamentos horizontais das torres contribuem, por intermédio dos tirantes,

para que nos tramos laterais ocorra um deslocamento do tabuleiro para cima,

tornando, com isso, que os pilares interiores sejam traccionados, ou seja, após a

aplicação da sobrecarga no tabuleiro as reacções dos pilares P1, P2, P3 e

Torres são de 2 289.11 KN, 3 405.46 KN, 1 324.86 KN e -94 322.46 KN,

respectivamente.

2) A restrição de deslocamentos verticais do tabuleiro, por parte dos pilares

interiores, provoca o aparecimento local de flexões positivas (positiva porque o

funcionamento do tabuleiro é o oposto do normal) e por isso a uma concentração

dos esforços de compressão nas zonas laterais da laje, responsável pela

redução dos valores de largura efectiva que se verifica nestes locais (Figura 5.8).

Os aumentos das compressões da laje que se verificam nessas mesmas zonas

(gráfico Qi) resultam também das referidas flexões positivas.

3) A diferença na redução da largura efectiva, que se verificam ao nível dos dois

pilares interiores, surge porque as curvaturas que o tabuleiro apresenta nesses

locais são diferentes. Quanto maior a distância à torre dos pilares intermédios,

maior o efeito de retenção dos tirantes, pelo facto de os deslocamentos

horizontais das torres aumentar com a altura. Deste modo, as reduções de

largura efectiva são mais significativas no pilar P2 em relação ao pilar P3.

4) No vão compreendido entre os pilares P3 e P3’, onde em ambos os modelos

existe aplicação da sobrecarga, não se registam praticamente diferenças entre

os resultados obtidos nos dois modelos. De facto, uma vez que o carregamento

e as condições de apoio do tabuleiro são as mesmas, os esforços de

compressão e as flexões que se desenvolvem são também as mesmas, levando

por isso à mesma distribuição de beff e de Qi.


86

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Gggggggg para não colar ggggggg


87

.

Figura 5.8 – Diagrama de momentos aplicados na viga após a aplicação da sobrecarga. Nos tramos laterais a flexão negativa ocorre a meio vão e a positiva ao nível dos apoios

5.4.2 Influência dos parâmetros de carga

A configuração longitudinal de larguras efectivas modifica-se com o nível de carga

aplicado. Assim, como forma de conhecer a sua influência nas largura efectivas,

consideraram-se, para os referidos esquemas de aplicação de sobrecarga, vários

incrementos de carga, até atingir o nível de carga correspondente a 2.0(CP+SC).

Utiliza-se um valor de carga superior ao regulamentado Estado Limite Último, porque,

como se verá posteriormente, um maior nível de carga actuante permite mais

facilmente determinar a tendência dos valores de beff sobre os apoios, além disso,

embora o ELU seja o valor máximo regulamentado de carga a aplicar, verifica-se que

esta estrutura apresenta uma capacidade de carga superior ao ELU [14]. A

consideração de 2.0(CP+SC) resulta de um incremento de 0.5(CP+SC) ao valor de

carga utilizado em estado ELU, ou seja, procura-se manter entre os diferentes níveis

de carga o mesmo incremento de carga. Na Tabela 5.3 resumem-se os parâmetros de

cargas e respectivos incrementos efectuados.

Incremento {CP+SC1} em todo o tabuleiro Incremento {SC2} no vão central

CP+SC1 CP+SC2

1,5(CP+SC1) =λ1(CP+SC1) com λ1=1,5 1,5(CP+SC2) =CP+λ3SC2 com λ3=3,083

2,0(CP+SC1) =λ2(CP+SC1) com λ2=2,0 2,0(CP+SC2) =CP+λ4SC2 com λ4=5,167

Tabela 5.3 – Parâmetros de carga e respectivos incrementos


88

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-11

00

00

,0

-92

00

0,0

-74

00

0,0

-56

00

0,0

-38

00

0,0

-20

00

0,0

-20

00

,0 -42

0,0

-36

7,5

-31

5,0

-26

2,5

-21

0,0

-15

7,5

-10

5,0

-52

,50

,0

[KN

]

[m]

Qi

Mo

d. E

[C

P+

SC1

]M

od

. G [

1.5

(CP

+SC

1)]

Mo

d. H

[2

.0(C

P+

SC1

)]to

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sti

ran

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5.9

– L

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ura

efe

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tros d

e c

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a,

ap

lica

da

em

tod

o o

ta

bu

leir

o.

nnnnn… ñ colar…nnnnn


89

Na Figura 5.9 apresenta-se os resultados obtidos para os três níveis de carga, com a

sobrecarga a actuar em todo o tabuleiro. A observação dos resultados permite concluir

que:

1) As reduções nos valores de beff sobre os apoios, são tanto maiores quanto maior

o nível de carga no tabuleiro. As razões para esta redução são as mesmas que

anteriormente foram mencionadas quando se procedeu à comparação dos

resultados obtidos nos modelos Mod.C e Mod.E (Figura 5.6).

2) Nas zonas entre apoios, os valores de beff obtidos nos três modelos, são

praticamente coincidentes, ou seja, nos vãos o aumento da carga actuante não

altera significativamente os valores de beff. Esta coincidência de valores traduz o

facto dos valores de beff tenderem a estabilizar, o que significa que o aumento da

carga actuante provoca apenas um aumento uniforme do diagrama das

compressões.

Na Figura 5.10 apresenta-se, para a sobrecarga a actuar no vão compreendido entre

os pilares P2 e P2’, os valores de beff e de Qi referentes aos três níveis de carga

considerados. Na Tabela 5.4 apresenta-se os vários níveis de carga considerados.

Níveis de Carga

CP 171.0KN

CP+SC 225.0KN

1.5(CP+SC) 337.7KN

2.0(CP+SC) 450.0KN

Tabela 5.4 – Níveis de carga

As razões para a configuração longitudinal dos valores de beff e Qi, bem como de

algumas diferenças entre os resultados obtidos nos três modelos, foram já referidas

anteriormente aquando da comparação dos resultados relativos aos modelos Mod.E e

Mod.F (Figura 5.7). No entanto, os resultados apresentados permitem ainda concluir

que:

1) Para os casos de carga CP+3.083 SC2 e CP+5.167 SC2 o grande desequilíbrio

de carga que se verifica entre os vãos laterais e o vão central leva a que, no vão


90

compreendido entre os pilares P1 e P2, a flexão negativa que ai se faz sentir

provoque a anulação da compressão global da laje, e consequentemente, o

aparecimento de esforços de tracções (visível no gráfico Qi). Sendo assim, nestas

zonas o valor de beff passa a ser nulo, pois deixa de ter sentido falar em larguras

efectivas de compressão quando na realidade existem tracções instaladas na laje.

Como é lógico, quanto maior o nível de carga aplicado, maior é a extensão de laje

traccionada e por isso com beff nulo.

2) No vão compreendido entre os pilares P2 e P3 o efeito da flexão negativa é visível

através da diminuição do valor das larguras efectivas e das compressões globais.

Neste vão, a laje nunca chega a ser traccionada porque os efeitos de flexão são

mais baixos, isto porque, tal como já foi referido, esses efeitos diminuem com a

aproximação do pilar P3, dado que é o local onde passa a existir a sobrecarga.

3) Nos vãos onde em todos os modelos existe aplicação da sobrecarga (P2-P2’), à

semelhança do que ocorre nos modelos com sobrecarga em todo o tabuleiro, o

aumento dos níveis de carga não provoca grandes diferenças nas larguras

efectivas, o que reforça o anteriormente mencionado quanto à estabilidade das

larguras efectivas que se verifica neste caso.

Nas Figura 5.9 e Figura 5.10 é também notório que, sobre os apoios, os valores de beff

tendem também a estabilizar. De facto, nestas secções as diferenças entre os valores

de beff, diminuem com o aumento da carga actuante, ou seja, para maiores níveis de

carga, o mesmo incremento de carga traduz-se em menores variações do valor de beff,

isto como é claro, para a mesma geometria de aplicação da carga. Na Figura 5.11 esta

tendência em o valor de beff estabilizar com o aumento do nível de carga torna-se

evidente. Nessa figura apresenta-se em cada apoio, para as duas geometrias de

aplicação da sobrecarga, as variações das larguras efectiva referentes a diferentes

níveis de carga. O valor corresponde à relação beff/b.

A mesma figura traduz também a importância da geometria de aplicação da carga nas

larguras efectiva, pois, sobre o mesmo apoio, o valor da largura efectiva, referentes às

duas geometrias de aplicação de carga, tende a estabilizar em diferentes valores. Esta

diferença é superior para o caso do pilar P2 pois é o apoio onde mais se faz sentir a

diferença entre as geometrias de aplicação de carga. Pelo contrário, no apoio da torre

não existe diferença no valor da largura efectiva para diferentes níveis de carga.


91

-1,2

0,8

2,8

4,8

6,8

8,8

10

,8

12

,8

14

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-36

7,5

-31

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2,5

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0,0

-15

7,5

-10

5,0

-52

,50

,0

[m]

[m]

bef

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C]

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00

,0

-10

00

00

,0

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00

0,0

-60

00

0,0

-40

00

0,0

-20

00

0,0

0,0 -4

20

,0-3

67

,5-3

15

,0-2

62

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57

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[KN

]

[m]

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CP

+ 3

.08

3 S

C]

Mo

d. J

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P+

5.1

67

SC

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5.1

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e o

s p

ilare

s

P3

e P

3’.

nnnnn… ñ colar…nnnnn


92

Tal como já foi referido do Capítulo 3, no presente estudo, considerou-se que os

materiais apresentam um comportamento elástico linear o que, para baixos níveis de

carga, traduz perfeitamente as relações constitutivas dos materiais. No entanto, para

situações de carregamentos correspondentes ao ELU, a consideração de uma análise

elástica linear conduz a valores de largura efectiva menores que os que se obteria

considerando uma análise elástica não linear. De facto, nos modelos adoptados

desprezam-se as deformações plásticas do betão e portanto também as

redistribuições de tensões na direcção transversal da laje, que contribuiriam para que

ocorressem menores concentrações locais de tensões e consequentemente, para

maiores valores de largura efectiva.

6,18

9,27

12,36

15,45

171 225 337,5 450

beef

(m)

KN

Pilar P2

SC em todo o tabuleiro SC entre P3 e P3'

0,40

0,60

0,80

1,00

171 225 337,5 450 KN

Pilar P2


10,82

12,36

13,91

15,45

171 225 337,5 450

beef

(m)

KN

Pilar P3


0,70

0,80

0,90

1,00

171 225 337,5 450 KN

Pilar P3


10,82

12,36

13,91

15,45

171 225 337,5 450

beef

(m)

KN

Torre


0,70

0,80

0,90

1,00

171 225 337,5 450KN

Torre


Figura 5.11 – Variação do valor de largura efectiva sobre os apoios, para as duas geometrias de aplicação de sobrecarga,

considerando diferentes níveis de carga.


93

5.5 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS COM OS PROPOSTOS

POR BYERS

No presente sub-capítulo pretende-se comparar os resultados obtidos em alguns dos

modelos em estudo com os valores de beff propostos por Byers. Tal como foi referido

no Capítulo 3, a proposta de Byers é o resultado de um estudo efectuado em 20

modelos tridimensionais de pontes atirantadas mistas, submetidas apenas à acção da

carga permanente e sem qualquer majoração. Em todos os 20 modelos, o tabuleiro é

directamente apoiado nas torres e não existem pilares interiores. O faseamento

construtivo e os efeitos diferidos foram desprezados. Essa proposta é novamente

representada na Figura 5.12.

L1 L2

0.9

0 b

1

0.9

0 b

1

0.8

0b

1

20

e

16

e

0.8

0b

1

0.8

0b

1

L1L2

0.15L20.35L20.50L2

0.9

0 b

1

0.8

0b

1

20

e

0.15L1 0.15L10.70L1

16

e

0.8

0b

1

0.8

0b

1

bo

0.15L2 0.35L2 0.50L20.15L10.15L1 0.70L1

bobe

ff

Figura 5.12 – Largura efectiva proposta por Byers para a laje de betão do tabuleiro de uma ponte atirantada

mista[3].

Como já é sabido, os níveis de carga aplicados aos modelos bem como as condições

de apoio do tabuleiro influenciam a distribuição longitudinal de larguras efectivas, por

isso torna-se necessário comparar a referida proposta com os resultados obtidos em

modelos que apresentam condições semelhantes às dos modelos estudados por

Byers. Por esta razão, para a comparação apenas se considera os resultados

referentes aos modelos Mod.C, Mod.E e Mod.F, pois são modelos submetidos à acção

da carga permanente e sobrecarga, aplicada de acordo com as duas geometrias

consideradas e que apresentam permanência dos apoios das torres.

Embora nos modelos estudados por Byers tenha sido utilizado apenas a acção da

carga permanente, considera-se relevante na determinação de uma proposta para a

distribuição de larguras efectivas, considerar também a actuação da sobrecarga uma


94

vez que este corresponde ao carregamento que mais se aproxima ao que na realidade

estará a actuar na estrutura. Além disso, tal como já foi referido, para níveis de carga

elevados que envolvem majoração de cargas, o facto de se considerar os materiais

com um comportamento elástico linear, conduz a larguras efectivas mais baixas e por

isso menos próximas da realidade.

Como é visível na Figura 5.12, não é referido qualquer informação sobre o valor de

largura efectiva a considerar sobre os apoios interiores, isto como é lógico, devido à

inexistência deste tipo de apoios. Por esta razão, extrapolou-se para os pilares

interiores o mesmo critério utilizado para os apoios das torres, situação que será

discutida mais em detalhe posteriormente.

Na Figura 5.13 apresenta-se a distribuição de beff proposta por Byers e em simultâneo,

os valores obtidos nos modelos anteriormente referidos. Os resultados apresentados

mostram que:

1) Na proximidade do apoio de extremidade (Pilar P1), os valores de beff sugeridos

por Byers diferem consideravelmente dos valores obtidos no presente trabalho,

revelando-se superiores. Uma possível razão para esta diferença está relacionada

com o traçado dos pressupostos de Byers e não propriamente com os seus

resultados obtidos. Como é visível na Figura 5.12, os locais onde ocorrem as

transições dos valores de beff (“vértices” da distribuição), são definidos em função

de uma percentagem do vão, no entanto, as percentagens referidas foram

calibrados considerando a inexistência de pilares interiores, ou seja, para

distâncias da ordem do vão lateral e de metade do vão principal. Assim sendo, a

sua aplicação aos vãos compreendidos entre os pilares (tal como foi efectuado no

traçado apresentado) revela-se desajustada, contribuído para que nas

proximidades dos apoios, o traçado proponha valores de largura efectiva mais

elevados.

2) Deste modo, se for utilizada a proposta de Byers, mas em vez de se considerar os

vãos compreendidos entre os pilares, for considerado os vãos para os quais os

limites foram calibrados, na zona do apoio de extremidade os valores de beff

seriam mais baixos que os apresentados na Figura 5.13 e consequentemente

diferenças verificadas entre os resultados obtidos e os propostos seriam menores.

3) Na proposta de Byers, o valor de beff assume no vão lateral, o valor de 80% da

largura da laje e ao longo do vão central, o valor de 90% da largura da laje (valor

máximo da distribuição), no entanto, de acordo com os resultados obtidos, esta

proposta de distribuição dos valores de beff revela-se desajustada no meio vão


95

central com os resultados obtidos, em que se registam beff nesta zona bastante

baixos, semelhantes aos valores obtidos na proximidade do apoio de extremidade.

4) A semelhança verificada entre os valores de beff no vão central e próximo do apoio

de extremidade é aceitável, na mediada que, devido ao faseamento construtivo

estes dois locais apresentam esforços e comportamentos muito semelhantes. A

diminuição das compressões globais com a aproximação do centro do vão central

e do apoio de extremidade torna a laje mais “sensível” aos efeitos das flexões

locais do tabuleiro e à entrada das componentes horizontais dos tirantes,

responsáveis pela redução dos valores de beff. Assim, de acordo com o aqui

referido, a consideração de 80% da largura da laje, ou mesmo de 90%, poderiam

até ser valores de larguras efectivas a considerar no vão central, mas não na zona

central, onde o valor a considerar deve ser bastante mais baixo e semelhante ao

admitido para o apoio de extremidade. Pensa-se que esta diferença resulta

essencialmente de nos modelos utilizados se encontrar sempre simulada a fase

construtiva em consola. Nesta fase as compressões nas secções do tabuleiro

próximas do meio vão central são essencialmente resultantes das compressões

introduzidas pelos tirantes pelo que os valores de beff seriam sempre mais

reduzidos que os valores de 90% propostos por Byers.

5) Sobre os apoios interiores, os valores propostos por Byers como largura efectiva a

considerar, revelam-se bastante mais baixos que o obtido nos modelos aqui

estudados. Como foi já referido nos pontos anteriores deste capítulo, a redução

que se verifica sobre os apoios está directamente associada aos efeitos de flexão

local do tabuleiro que ai ocorrem e com as compressões globais existentes na laje

de betão. Assim, uma vez que os valores sugeridos por Byers são menores que

os obtidos neste trabalho e os níveis de carga utilizados nas duas situações são

semelhantes, então, o efeito das flexões locais do tabuleiro sobre os apoios são

maiores nos modelos de Byers do que nos modelos aqui estudado, o que resulta

certamente de ter sido utilizado um diferente equilíbrio da acção do peso próprio

pelos tirantes.

6) Convém novamente realçar que, em todos os apoios interiores, se utilizou o valor

sugerido relativamente ao apoio da torre, pelo que à primeira vista, é aceitável que

os valores propostos sejam mais baixos que os obtidos, pois nos modelos

estudados por Byers o afastamento entre apoios é bastante superior (pela

inexistência de pilares interiores) o que conduz a maiores concentrações de

momentos flectores negativos sobre o apoio da torre e consequentemente a

maiores reduções nos valores da largura efectiva.


96

7) Verifica-se portanto que a comparação de distribuições das larguras efectiva ao

longo do tabuleiro, para dois modelos distintos, não é uma tarefa fácil, visto que as

considerações assumidas na simulação do faseamento construtivo, bem como, na

determinação das forças aplicar aos tirantes, são variáveis e dependem do

modelo, e que têm influência nos resultados obtidos, pois influenciam

directamente a distribuição dos esforços na estrutura e por isso as larguras

efectivas.


97

-1,2

0,8

2,8

4,8

6,8

8,8

10

,8

12

,8

14

,8 -42

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-36

7,5

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-15

7,5

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5,0

-52

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,0

[m]

[m]

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f

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Mo

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CP

+SC

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Fig

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5.1

3 –

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98

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[m]

[m]

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(C

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Mo

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CP

+SC

2)

Larg

ura

efe

ctiv

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ost

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ran

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5.1

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ras e

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rop

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s p

ara

a la

je d

o m

ode

lo e

m e

stu

do

.


99

Faz parte de um dos objectivos do presente trabalho propor uma regra de definição da

largura efectiva da laje do modelo em estudo. De acordo com o anteriormente referido,

a distribuição longitudinal de larguras efectivas proposta por Byers não se adapta ao

modelo estudado no presente trabalho. Efectuando ajustes nas regras apresentadas

por Byers em função dos resultados obtidos, apresenta-se na Figura 5.14, uma

proposta para a distribuição longitudinal da largura efectiva possível, a considerar na

análise longitudinal e no dimensionamento do tabuleiro misto estudado.

Como é visível, as modificações em relação à proposta de Byers foram efectuadas de

acordo com o referido nos tópicos acima apresentados, ou seja, diminuição dos

valores da largura efectiva na proximidade do apoio de extremidade, bem como

consideração de reduções importantes de beff na zona do meio vão central, e em

contrapartida o aumento do valor da largura efectiva sobre os apoios interiores. Na

Figura 5.15 apresenta-se em detalhe a distribuição longitudinal proposta.

Deve por fim referir-se que a proposta desta figura tem as mesmas limitações que a

proposta por Byers, isto é, é valida para as hipóteses de faseamento construtivo,

forças nos tirantes e padrões de aplicação de sobrecarga utilizados para a sua

definição. No entanto, ela corresponde a um avanço em relação à proposta de Byers

na medida em que considera os efeitos dos faseamentos construtivos, aproximando-

se assim da realidade da construção das grandes pontes de tirantes com tabuleiro

misto do tipo bi-viga.

L1

L2

beff

16

e0.8

0b

1

30

e

30

e

30

e

0.8

0b

1

16

e 0.8

0b

1

0.8

0b

1

16

e0.8

0b

1

30

e

30

e

30

e

0.8

0b

1

0.8

0b

1

0.8

0b

1

b0

L2 l1 l2 l3

0,25L2 0,25L20,1L10,1L1 0,05L1 0,05L2 0,05L2 0,05L1 0,1L1 l3 -0,1L10,1L1l3 -0,1L1 l2 -0,1L1l1 -0,1L1

Figura 5.15 – Proposta da largura efectiva a considerar para a laje de betão do tabuleiro misto do modelo em estudo


100

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

101

6 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

6.1 CONCLUSÕES DO TRABALHO

Ao longo do texto apresentaram-se as conclusões referentes aos diferentes temas

tratados, que se sintetizam seguidamente. Pode-se afirmar que, de uma forma geral,

os principais objectivos propostos foram alcançados.

A análise à actual Regulamentação nacional e estrangeira, relativa à determinação de

larguras efectivas em lajes de betão, evidencia as dificuldades em ser aplicada ao

caso específico das pontes de tirantes com um tabuleiro misto do tipo bi-viga. A

existência em simultâneo neste caso de uma considerável compressão axial e de

flexão entre apoios rígidos e flexíveis, tornam a aplicação dos actuais critérios

regulamentares numa tarefa difícil, pois os regulamentos não fornecem normas para

esta associação de esforços, mas sim para cada esforço em separado. Esta

incapacidade conduz à necessidade de estabelecer critérios para definir larguras

efectivas únicas para as lajes de tabuleiros atirantados mistos.

Numa avaliação das larguras efectivas em tabuleiros atirantados mistos torna-se

fundamental considerar contribuição do faseamento construtivo por se tratar de

operações que definem a forma como as cargas são introduzidas na estrutura e em

particular na laje do tabuleiro, e que desta forma influencia de forma directa as

larguras efectivas.

A largura efectiva está directamente associada à distribuição de tensões a que está

submetida a laje de betão, que por sua vez está directamente associada aos efeitos de

flexão e esforço axial a que está submetida. Numa estrutura com o nível de

complexidade como a das pontes atirantadas são diversos as causas que influenciam

os esforços e as tensões na laje. Os tirantes desempenham uma importante

contribuição nos valores da largura efectiva, por um lado porque influenciam

directamente a flexão do tabuleiro, e por outro devido às consideráveis forças axiais

que introduzem no tabuleiro. Estas forças axiais são maioritariamente absorvidas pela

laje, no entanto, a redistribuição de esforços entre a laje e as vigas depende da forma


102

de ligação dos tirantes ao tabuleiro. Uma ligação dos tirantes directamente à laje de

betão traduz-se num aumento da sensibilidade da laje e consequentemente a maiores

variações nas distribuições de tensões e nos valores da largura efectiva da laje. A

acumulação da compressão global na laje de betão e a progressiva diminuição do

esforço axial introduzido pelos tirantes mais verticais que se encontram próximos das

torres, contribui para uma atenuação das variações de esforços na laje e

consequentemente à redução da amplitude das oscilações das tensões e também ao

aumento dos valores de largura efectiva, com a aproximação das torres.

A flexão local do tabuleiro é também um efeito que influência de forma directa os

valores da largura efectiva da laje. A ocorrência de flexão negativa no tabuleiro

contribui para a redução dos valores da largura efectiva da laje, uma vez que leva ao

aparecimento de tracções ao nível da laje que conduzem à redução das compressões

globais e à concentração dos esforços de compressão lateralmente sobre as vigas.

Assim sobre os apoios, uma vez que o tabuleiro está submetido a momentos

negativos, os valores da largura efectiva sofrem uma redução. Este efeito é mais

evidente no caso de apoios rígidos, como os pilares intermédios e as torres, que

propriamente no caso dos tirantes, visto que nestes esta redução é atenuada pela

flexibilidade que os apoios apresentam.

A consideração dos apoios das torres desde o início do faseamento construtivo leva a

que de um modo geral, se obtenha valores de largura efectiva mais baixos nas zonas

próximas destes apoios. Este resultado é compreensível, na medida que nessas

zonas, desde do início do faseamento construtivo, o tabuleiro está impedido de se

deslocar verticalmente, levando com isso que tenha de flectir sobre os apoios. Este

efeito é mais evidente para o caso dos apoios das torres visto que a permanência

deste apoio na estrutura contribui para uma redução do vão central em cerca de

144 m, levando com isso que sobre eles surjam efeitos de flexão importantes.

Relativamente aos apoios intermédios, para a situação em que estes são

“adicionados” apenas após terminada a fase de consola e em que na estrutura está

actuar apenas as cargas permanentes, os valores de largura efectiva obtidos não

traduzem a presença dos mesmos, visto não sofrerem grandes alterações. Esta

situação resulta do facto de todo o peso próprio do tabuleiro ser equilibrado pelos

tirantes, tornando as curvaturas do tabuleiro sobre estes quase inexistentes. Quando

os apoios intermédios e das torres são considerados desde o inicio do faseamento

construtivo os valores de largura efectiva são em geral mais baixos apenas sobre

estes pilares intermédios e torres.

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

103

A geometria do carregamento aplicado no tabuleiro e o seu valor são também factores

a ter em consideração na definição das larguras efectivas. O aumento da carga

aplicada em todo o tabuleiro, contribui, na generalidade para um aumento da

compressão global e dos efeitos de flexão ao longo do tabuleiro. Ao nível dos vãos o

aumento da carga actuante não altera significativamente os valores das larguras

efectivas, no entanto, sobre os pilares intermédios e torres esse aumento conduz na

generalidade a valores mais baixos da largura efectiva, por efeito da flexão negativa.

Esta redução não é proporcional ao incremento de carga tornando-se cada vez menos

importante para o mesmo incremento de carga. Este efeito resulta do facto de quer

sobre os apoios como no próprio vão, as larguras efectivas tenderem a estabilizar num

determinado valor.

Quando se considera a sobrecarga aplicada apenas na zona central do tabuleiro o

funcionamento da estrutura altera-se contribuído para a ocorrência de diferentes

valores de beff. Com a aplicação de sobrecarga apenas na zona entre os pilares P3 e

P3’ o vão central regista deformações verticais maiores e consequentemente, por

intermédio dos tirantes e da deformação horizontal das torres, a um funcionamento

inverso do tabuleiro na zona dos tramos laterais, ou seja, aparecimento de momentos

positivos sobre os apoios e negativos nos vãos laterais. O progressivo aumento desse

desequilibro, quando apenas é incrementada a sobrecarga entre os pilares P3 e P3’,

conduz a que no primeiro vão lateral surjam tracções na laje, anulando-se as larguras

efectivas.

Regista-se no meio vão central do tabuleiro também uma redução do valor da largura

efectiva da laje, o que não é referido em qualquer da bibliografia consultada e de

outros trabalhos de investigação publicados. Pensa-se que esta redução resulta

directamente da consideração do faseamento construtivo em consola do tabuleiro.

Estes resultados permitem realçar a grande importância do faseamento construtivo,

dos tirantes e da configuração e nível do carregamento na configuração final nas

distribuições das larguras efectivas da laje de um tabuleiro atirantado misto. A análise

conjunta dos resultados dos diversos modelos permitiu a apresentação de uma regra

para obtenção das larguras efectivas da laje do tabuleiro do modelo em estudo.

Refere-se, por fim, que no caso de ter sido considerado outro faseamento construtivo,

os resultados obtidos, e respectivas conclusões seriam possivelmente não

exactamente os mesmos, dado que a determinação de larguras efectivas em laje de

tabuleiros de pontes mistas é complexa e depende de diversos factores que são

específicos de cada projecto, como sejam o faseamento construtivo considerado, a


104

definição das forças de instalação e retensionamento dos tirantes, a adopção de

pilares intermédios nos tramos laterais, e de apoios do tabuleiro ao nível das torres.

6.2 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

Do que ficou exposto nos capítulos anteriores torna-se evidente que existe um

conjunto de desenvolvimentos possíveis a este trabalho. De entre eles destacam-se:

1) A aplicação ao modelo de barras das larguras efectivas calculadas e

comparação com as distribuições de tensões obtidas nos modelos

tridimensionais.

2) A influência dos efeitos diferidos da retracção e fluência da laje nas larguras

efectivas da laje apresentadas.

3) A avaliação da importância dos efeitos física e geometricamente não

lineares nos resultados, em particular para níveis elevados de

carregamento.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

105

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Almeida, J. C. O. F. – «Comportamento não linear e verificação da segurança de pontes

atirantadas de betão» – Tese de Doutoramento, Instituto Superior Técnico. Lisboa,

Setembro 1989.

[2] Bergman, D. « Ting Kau Cable-Stayed Bridge: Challenges in the Construction

Process » IABSE Conference – Cable-Stayed Bridges: Past, Present and Future.

Proceedings, pg. 161-171. Malmö, June 1999.

[3] Byers, D. D. «Evaluation of the effective slab width for composite cable-stayed bridge

design» P H D Thesis, Janeiro 1999.

[4] Byers, D. D.; Hague, S. T.; McCabe, S.; Rogowski, D. M. « Comparison of Slab

Participation/ Assumed for Design vs. FEA » IABSE Conference – Cable-Stayed

Bridges: Past, Present and Future. Proceedings, pg. 362-371. Malmö, June 1999.

[5] Cremer, J. M. « Le Pont de Lanaye » IABSE 13th International Congress. Post-

Congress Report, pg. 162-163. Helsinki, June 1988.

[6] Cruz, J. S. N. D. – «Controlo da fase construtiva de pontes atirantadas » – Tese de

Doutoramento, Instituto Superior Técnico. Lisboa, Agosto 1997.

[7] Cruz, J. S.; Almeida, J. F. « A New Model for Cable-Stayed Bridges Control and

Adjustment » IABSE Conference – Cable-Stayed Bridges: Past, Present and Future.

Proceedings, pg. 200-209. Malmö, June 1999.

[8] Eurocode 2 – « Design of concrete structures - Part 1.1: General rules and rules for

buildings » – EN 1992-1-1. CEN. Brussels. December 2004.

[9] Eurocódigo 3 «Projecto de estruturas de aço Parte 1-1: Regras gerais e regras para os

edifícios» – NP EN 1993-1-1: 2006.

[10] Eurocódigo 4 « Design of composite steel and concrete structures – Part.1.1: General

rules and rules for buildings»– EN 1994-1-1: 2004.CEN.Brussels.Decemner 2004.

[11] Faller, P.; Hansvold, C. « Erection of the Uddevalla Bridge » IABSE Conference –

Cable-Stayed Bridges: Past, Present and Future. Proceedings, pg. 148-154. Malmö,

June 1999.

[12] Hague, S. T. – « Steel / concrete composite design for long span bridges » – TRB 2003

annual meeting, 2003.

[13] Calado L.; Santos J. «Estruturas mistas aço - betão» Folhas de apoio à disciplina de

Estruturas metálicas e mistas.


106

[14] Pedro, J. J. O. – «Pontes Atirantadas Mistas – Estudo do Comportamento Estrutural» –

Tese de Doutoramento, Instituto Superior Técnico. Lisboa, Julho 2007.

[15] Structurae - « International Database and Gallery of Structures » Web site

www.structurae.net

[16] Svensson, H. S. « The Development of Composite Cable-Stayed Bridges » IABSE

Conference – Cable-Stayed Bridges: Past, Present and Future. Proceedings, pg. 352-

361. Malmö, June 1999.

[17] Taylor, P. R. « Composite cable-stayed bridges » International Conference AIPC-FIP,

Proceedings - Vol. 1, pg. 185-198. Deauville, October 1994.

[18] Virlogeux, M. « Les ponts à haubans. L´efficacité technique alliée à l´élégance

architecturale » Bulletin Ponts métalliques, nº 21, pg. 10-50. 2002.

http://www.structurae/

ANEXOS

107

ANEXOS


108

ANEXO A – SEQUÊNCIA DE OPERAÇÕES CONSTRUTIVAS

No quadro seguinte apresentam-se sequencialmente as operações construtivas

consideradas no modelo para simular a construção da ponte, e indicam-se os tempos

de início e fim da cada operação e a idade dos elementos de betão no instante em que

entram” na estrutura [14].

SE Q. IN ÍC IO FINAL OPE RAÇÕES CON STRUTIVAS IDADE DO BETÃO

1 0 0 Pilares - Betonagem de 10m 7 dias2 0 7





11 35 35 Torres - B etonagem de 10m 7 dias

12 35 4213 42 42 Torres - B etonagem de 10m 7 dias




20 63 7021 70 70 Torres - B etonagem de 6m - zona ancoragem de tirantes 7 d ias



26 84 91

Torres - B etonagem de 6m - zona ancoragem de tirantes 7 d iasTabule iro - M ontagem do segm ento 1 das vigas

Apoios - L igação provis ória do segm ento 1 à torre28 91 94

29 94 94 T irantes - M ontagem dos tirantes 1 - 1ª f ase30 94 98

Torres - B etonagem de 6m - zona ancoragem de tirantes 7 d iasTabule iro - M ontagem dos paineis 1 da la je 90 dias

32 98 10133 101 101 T irantes - M ontagem dos tirantes 1 - 2ª f ase

34 101 105Torres - B etonagem de 6m - zona ancoragem de tirantes 7 d ias

Tabule iro - M ontagem do segm ento 2 das vigas36 105 108

37 108 108 T irantes - M ontagem dos tirantes 2 - 1ª f ase

38 108 112Torres - B etonagem de 6m - zona ancoragem de tirantes 7 d ias

Tabule iro - M ontagem dos paineis 2 da la je 90 dias40 112 115


Torres - B etonagem de 6m - zona ancoragem de tirantes 7 d iasTabule iro - M ontagem do segm ento 3 das vigas

112 112

43 119 119

27 91 91

35 105 105

31 98 98

39

ANEXOS

109



46 122 126Torres - B etonagem de 3m finais 7 d ias

Tabule iro - M ontagem dos paineis 3 da la je 90 dias48 126 129


51 133 133 Tabule iro - M ontagem do segm ento 4 das vigas52 133 136

53 136 136 T irantes - M ontagem dos tirantes 4 - 1ª f ase

54 136 14055 140 140 Tabule iro - M ontagem dos paineis 4 da la je 90 dias


58 143 14759 147 147 Tabule iro - M ontagem do segm ento 5 das vigas





68 161 164


71 168 168 Tabule iro - M ontagem dos paineis 6 da la je 90 dias72 168 171






83 189 189 Tabule iro - M ontagem do segm ento 8 das vigas








47 126 126


110



100 217 220101 220 220 T irantes - M ontagem dos tirantes 10 - 1ª fase




108 231 234

109 234 234 T irantes - M ontagem dos tirantes 11 - 1ª fase110 234 238







123 259 259 Tabule iro - M ontagem do segm ento 13 das vigas








138 283 287








153 311 311 T irantes - M ontagem dos tirantes 16 - 2ª fase

ANEXOS

111


154 311 315

Apoios - M ontagem dos apoios interm édios e extrem os

Apoios - Desm ontagem da ligação à torre

Tabule iro - M ontagem do segm ento 17 das vigas

156 315 322157 322 322 Tabule iro - M ontagem dos paineis 17 da la je sobre a viga

158 322 325159 325 325 Tabule iro - Activação dos paineis 17 da la je 90 dias

160 325 345161 345 345 Tabule iro - Aplicação da restante carga perm anente

162 345 365163 365 365 T irantes - Retensionam ento g lobal

F INAL DA C ONSTRUÇÃ O

315 315

365

155


112

ANEXO B – RESULTADOS OBTIDOS NOS MODELOS ESTUDADOS

No quadro que se segue apresentam-se os resultados obtidos no final do faseamento

construtivo referentes aos modelos Mod. A, Mod. B, Mod. C, Mod. D e Mod. E. (nota: a

posição dos apoios P1, P2, P3 e torres, correspondem respectivamente às longitudes

de -414.500, -354.375, -282.188 e -210.000 m)

MOD. A MOD. B MOD. C MOD. D MOD. E

L (m) Qi (KN) beff (m) Qi (KN) beff (m) Qi (KN) beff (m) Qi (KN) beff (m) Qi (KN) beff (m)

-414,500 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000

-413,438 -699,04 2,482 -699,04 2,482 -699,04 2,482 -699,04 2,482 -699,04 2,482

-411,250 -2137,73 3,216 -3668,56 2,698 -3668,72 2,698 -3647,93 2,676 -4955,17 2,857

-409,063 -3157,54 4,055 -4673,02 3,401 -4673,33 3,401 -4614,19 3,380 -6335,75 3,564

-406,875 -3737,71 5,615 -5027,21 5,084 -5027,69 5,084 -4925,56 5,070 -6904,49 5,232

-404,688 -4039,47 8,819 -5117,70 8,197 -5118,34 8,196 -4972,67 8,238 -7110,65 8,253

-402,500 -4171,70 11,745 -5165,40 10,694 -5166,18 10,694 -4978,14 10,607 -7246,59 10,832

-400,313 -4999,10 12,669 -6577,45 11,845 -6578,23 11,843 -6357,58 12,033 -9143,64 11,517

-398,125 -6292,79 10,321 -8414,13 7,797 -8414,83 7,797 -8166,07 7,752 -11575,02 7,815

-395,938 -7261,54 11,304 -9203,14 9,035 -9203,82 9,035 -8922,32 9,004 -12633,34 8,996

-393,750 -7856,43 11,936 -9472,40 11,288 -9473,06 11,287 -9157,45 11,302 -12998,04 11,077

-391,563 -8147,62 14,942 -9434,98 14,440 -9435,62 14,440 -9086,17 14,373 -12952,46 14,346

-389,375 -8258,48 14,132 -9345,85 13,634 -9346,42 13,635 -8961,05 13,549 -12822,36 13,726

-387,188 -9031,28 14,228 -10582,89 14,592 -10583,15 14,592 -10151,67 14,531 -14410,53 14,627

-385,000 -10254,66 13,548 -12247,08 10,663 -12246,92 10,662 -11764,39 10,617 -16538,25 10,536

-382,813 -11177,98 13,737 -12917,45 11,659 -12916,95 11,658 -12386,86 11,627 -17360,21 11,499

-380,625 -11733,26 13,847 -13080,99 13,450 -13080,17 13,448 -12502,86 13,470 -17504,32 13,174

-378,438 -11989,41 14,731 -12944,74 14,665 -12943,59 14,667 -12318,88 14,704 -17247,55 14,800

-376,250 -12061,91 14,171 -12753,54 13,914 -12751,99 13,915 -12074,25 13,914 -16901,42 14,043

-374,063 -12775,54 14,238 -13860,96 14,488 -13858,68 14,488 -13098,64 14,487 -18233,28 14,571

-371,875 -13936,79 14,367 -15405,64 11,923 -15402,46 11,923 -14546,03 11,839 -20116,44 11,830

-369,688 -14821,11 14,326 -16003,47 12,699 -15999,52 12,699 -15057,90 12,780 -20757,97 12,646

-367,500 -15341,73 14,335 -16104,37 14,232 -16099,67 14,232 -15075,85 14,263 -20736,77 14,248

-365,313 -15566,02 14,770 -15910,17 14,534 -15904,74 14,533 -14799,54 14,360 -20322,97 14,392

-363,125 -15601,43 14,338 -15652,83 13,919 -15646,60 13,917 -14453,53 13,645 -19811,41 13,691

-360,938 -16252,32 14,355 -16648,18 14,322 -16640,75 14,320 -15318,16 13,968 -20917,81 13,994

-358,750 -17344,82 14,905 -18083,60 12,987 -18074,76 12,990 -16602,90 13,281 -22580,74 13,348

-356,563 -18188,22 14,898 -18636,07 13,962 -18626,12 13,971 -17035,02 14,665 -23105,67 14,664

-354,375 -18702,45 14,936 -18761,38 14,940 -18751,09 14,936 -17124,94 14,371 -23167,17 14,372

-352,188 -18975,95 14,783 -18697,71 14,409 -18688,39 14,405 -17166,50 13,905 -23161,38 13,896

-350,000 -19085,25 14,497 -18618,97 14,030 -18611,28 14,027 -17264,75 13,648 -23226,90 13,633

-347,813 -19789,89 14,560 -19750,06 14,473 -19743,64 14,471 -18535,50 14,212 -24870,03 14,184

ANEXOS

113

-345,625 -20932,64 14,946 -21322,60 13,276 -21317,22 13,277 -20223,62 13,305 -27071,96 13,348

-343,438 -21845,86 14,726 -22060,28 13,754 -22056,12 13,754 -21097,39 13,915 -28183,67 13,879

-341,250 -22402,28 14,657 -22321,33 14,671 -22318,46 14,670 -21500,36 14,604 -28661,56 14,662

-339,063 -22664,50 15,057 -22290,02 14,857 -22288,42 14,858 -21610,94 14,878 -28750,17 14,829

-336,875 -22725,22 14,787 -22171,86 14,488 -22171,45 14,489 -21626,60 14,544 -28710,74 14,494

-334,688 -23353,41 14,799 -23201,48 14,792 -23201,76 14,793 -22743,80 14,868 -30159,32 14,816

-332,500 -24418,34 15,003 -24673,83 13,539 -24674,53 13,538 -24278,24 13,437 -32169,59 13,456

-330,313 -25278,01 14,772 -25367,89 13,885 -25369,15 13,882 -25048,45 13,782 -33155,30 13,785

-328,125 -25783,40 14,707 -25593,57 14,619 -25595,41 14,616 -25353,20 14,475 -33514,01 14,489

-325,938 -25994,95 15,165 -25527,02 15,018 -25529,43 15,020 -25364,11 15,120 -33481,67 15,075

-323,750 -25997,14 14,923 -25357,48 14,684 -25360,34 14,686 -25264,47 14,793 -33299,52 14,747

-321,563 -26535,80 14,912 -26265,30 14,908 -26268,10 14,910 -26204,56 15,011 -34517,90 14,967

-319,375 -27505,12 15,101 -27611,71 13,848 -27614,13 13,845 -27561,27 13,716 -36294,77 13,725

-317,188 -28295,72 14,836 -28247,91 14,097 -28250,09 14,093 -28217,42 13,961 -37133,85 13,981

-315,000 -28735,81 14,743 -28427,56 14,668 -28429,52 14,664 -28418,80 14,503 -37360,53 14,532

-312,813 -28882,72 15,225 -28315,75 15,100 -28317,48 15,102 -28327,23 15,186 -37197,21 15,151

-310,625 -28812,54 15,006 -28084,30 14,802 -28085,70 14,804 -28109,98 14,891 -36862,43 14,854

-308,438 -29245,98 14,980 -28852,70 14,971 -28853,17 14,972 -28863,16 15,051 -37827,76 15,012

-306,250 -30104,36 15,183 -30054,77 14,104 -30053,99 14,103 -30031,99 14,015 -39345,99 14,040

-304,063 -30812,58 14,885 -30620,78 14,311 -30618,96 14,310 -30571,27 14,191 -40023,68 14,239

-301,875 -31174,89 14,794 -30743,82 14,756 -30741,09 14,758 -30668,96 14,629 -40107,50 14,695

-299,688 -31244,96 15,244 -30576,60 15,133 -30573,11 15,125 -30475,58 15,174 -39803,73 15,123

-297,500 -31090,07 15,035 -30271,86 14,853 -30267,68 14,841 -30140,16 14,883 -39307,29 14,821

-295,313 -31402,08 14,981 -30879,55 14,958 -30874,20 14,940 -30692,96 14,966 -40002,54 14,894

-293,125 -32132,08 15,223 -31914,05 14,400 -31907,42 14,428 -31657,44 14,421 -41246,91 14,447

-290,938 -32743,32 15,021 -32394,75 14,680 -32387,65 14,725 -32074,03 14,718 -41760,67 14,875

-288,750 -33015,75 14,959 -32450,10 14,964 -32443,45 15,030 -32068,49 15,082 -41707,91 15,124

-286,563 -32998,14 15,133 -32217,77 15,005 -32212,43 14,946 -31776,49 14,884 -41275,20 14,752

-284,375 -32756,10 14,915 -31840,22 14,721 -31839,40 14,650 -31344,22 14,564 -40656,90 14,410

-282,188 -32995,90 14,850 -32350,35 14,788 -32372,72 14,713 -31831,39 14,613 -41302,43 14,450

-280,000 -33730,38 15,100 -33382,38 14,935 -33458,85 15,076 -32911,85 15,023 -42798,96 14,883

-277,813 -34427,24 15,183 -34004,03 14,968 -34154,34 15,064 -33638,01 15,176 -43865,60 15,063

-275,625 -34797,51 14,987 -34224,03 14,988 -34451,54 15,057 -33972,41 15,118 -44412,02 15,140

-273,438 -34878,59 15,202 -34157,29 15,110 -34462,83 15,087 -34021,36 15,057 -44579,39 14,990

-271,250 -34721,75 15,049 -33919,54 14,916 -34303,63 14,908 -33898,71 14,894 -44513,27 14,849

-269,063 -34966,54 15,004 -34423,70 14,986 -34885,96 14,988 -34504,87 14,986 -45413,37 14,955

-266,875 -35631,88 15,225 -35356,51 14,816 -35896,27 14,836 -35529,55 14,821 -46861,87 14,812

-264,688 -36251,07 15,054 -35912,46 14,840 -36529,92 14,850 -36178,60 14,803 -47810,15 14,798

-262,500 -36543,11 14,912 -36074,94 14,882 -36769,62 14,884 -36434,44 14,844 -48228,82 14,811

-260,313 -36545,30 15,262 -35949,62 15,205 -36721,43 15,249 -36401,98 15,260 -48262,85 15,279

-258,125 -36301,91 15,096 -35634,60 15,001 -36481,05 15,062 -36176,52 15,072 -48030,70 15,104

-255,938 -36434,35 15,024 -35982,55 15,018 -36893,53 15,092 -36598,66 15,101 -48644,47 15,136

-253,750 -37004,55 15,219 -36777,81 15,045 -37743,93 15,001 -37454,58 14,992 -49816,17 14,931

-251,563 -37576,32 15,101 -37298,71 14,920 -38318,47 14,859 -38034,32 14,827 -50618,07 14,736

-249,375 -37828,65 14,923 -37444,24 14,886 -38515,32 14,757 -38236,60 14,718 -50910,08 14,605


114

-247,188 -37791,81 15,284 -37303,27 15,248 -38424,08 15,281 -38150,48 15,259 -50816,10 15,119

-245,000 -37498,60 15,131 -36947,61 15,062 -38108,68 15,230 -37840,57 15,229 -50411,52 15,243

-242,813 -37528,01 15,046 -37132,12 15,040 -38291,48 15,213 -38030,73 15,211 -50641,42 15,212

-240,625 -37985,53 15,218 -37756,61 15,270 -38873,04 15,018 -38621,58 15,028 -51369,21 14,877

-238,438 -38487,30 15,125 -38221,89 14,995 -39284,88 14,721 -39042,75 14,721 -51863,57 14,565

-236,250 -38677,89 14,929 -38334,29 14,898 -39338,02 14,550 -39105,02 14,504 -51871,39 14,336

-234,063 -38579,66 15,289 -38160,78 15,265 -39100,49 14,896 -38875,94 14,889 -51488,84 14,709

-231,875 -38215,60 15,138 -37748,47 15,090 -38602,48 15,240 -38386,68 15,213 -50741,89 15,141

-229,688 -38129,39 15,036 -37758,31 15,026 -38419,33 15,189 -38217,39 15,145 -50353,89 15,109

-227,500 -38479,34 15,188 -38218,85 15,225 -38567,54 14,924 -38385,13 14,832 -50335,22 14,700

-225,313 -38928,90 15,176 -38652,18 15,091 -38643,91 14,552 -38480,74 14,404 -50196,47 14,380

-223,125 -39077,69 14,941 -38757,93 14,907 -38385,22 14,397 -38238,42 14,178 -49602,40 14,231

-220,938 -38938,36 15,264 -38578,98 15,279 -37833,25 14,721 -37697,24 14,381 -48615,84 14,582

-218,750 -38522,06 15,140 -38132,75 15,119 -37005,16 15,222 -36876,05 14,968 -47246,80 15,143

-216,563 -38326,94 15,017 -37965,57 15,008 -36254,07 14,897 -36117,08 15,230 -45877,18 14,688

-214,375 -38569,13 15,148 -38251,87 15,158 -35870,52 14,793 -35766,79 14,118 -44895,32 14,424

-212,188 -38969,68 15,245 -38658,17 15,209 -35221,04 14,493 -34951,96 13,500 -43422,89 13,898

-210,000 -39081,40 14,981 -38766,10 14,940 -33591,74 13,847 -32224,96 13,777 -40493,80 12,963

-207,813 -38905,91 15,255 -38590,65 15,246 -32819,58 13,485 -30360,03 12,951 -39373,04 12,541

-205,625 -38443,62 15,108 -38118,54 15,118 -33263,28 13,724 -30646,71 13,165 -40679,39 13,010

-203,438 -38155,39 14,965 -37780,50 14,955 -33908,17 13,987 -31331,75 13,504 -42302,09 13,513

-201,250 -38332,08 15,086 -37923,51 15,064 -34828,70 14,445 -32254,36 14,036 -44108,20 14,153

-199,063 -38748,13 15,238 -38365,29 15,230 -35862,39 14,875 -33304,32 14,552 -45949,28 14,710

-196,875 -38890,40 14,991 -38543,34 14,957 -36629,32 14,831 -34092,69 15,000 -47417,99 14,709

-194,688 -38745,25 15,218 -38437,36 15,133 -37114,13 14,797 -34603,71 14,926 -48512,17 14,612

-192,500 -38300,44 15,157 -38004,85 15,191 -37269,67 15,016 -34789,32 15,086 -49158,19 14,720

-190,313 -37957,93 15,008 -37547,25 14,995 -37344,18 15,242 -34893,31 15,267 -49659,26 15,106

-188,125 -38056,30 15,116 -37545,49 15,064 -37711,14 15,250 -35285,02 15,267 -50436,36 15,059

-185,938 -38435,89 15,273 -37970,31 15,245 -38356,97 14,795 -35949,57 14,759 -51487,95 14,533

-183,750 -38550,40 14,936 -38157,38 14,908 -38737,19 14,464 -36349,04 14,395 -52161,25 14,260

-181,563 -38376,24 15,128 -38058,73 15,001 -38826,35 14,611 -36457,14 14,549 -52443,16 14,445

-179,375 -37891,05 15,216 -37607,48 15,273 -38556,19 14,893 -36206,95 14,836 -52235,98 14,718

-177,188 -37450,00 15,048 -36997,35 15,034 -38110,89 15,211 -35780,21 15,194 -51784,79 15,171

-175,000 -37436,79 15,137 -36828,60 15,060 -38037,65 15,239 -35722,21 15,226 -51777,98 15,215

-172,813 -37745,81 15,295 -37201,34 15,250 -38434,35 15,157 -36128,99 15,118 -52350,49 15,040

-170,625 -37798,15 14,900 -37359,59 14,873 -38601,11 14,689 -36305,77 14,635 -52600,69 14,628

-168,438 -37560,86 15,067 -37230,83 14,899 -38478,33 14,772 -36192,12 14,718 -52463,75 14,730

-166,250 -37003,29 15,246 -36727,04 15,017 -37977,07 14,915 -35700,62 14,866 -51814,27 14,875

-164,063 -36441,25 15,054 -35948,38 15,039 -37198,22 15,159 -34930,56 15,149 -50793,52 15,182

-161,875 -36301,33 15,123 -35604,73 15,021 -36834,55 15,127 -34574,63 15,114 -50312,60 15,149

-159,688 -36524,01 15,281 -35909,46 15,221 -37097,14 15,301 -34842,08 15,298 -50658,40 15,310

-157,500 -36498,81 14,897 -36021,68 14,867 -37161,96 14,843 -34912,05 14,800 -50732,59 14,847

-155,313 -36183,76 15,056 -35846,71 14,840 -36939,25 14,825 -34693,66 14,781 -50423,77 14,857

-153,125 -35541,46 15,223 -35276,31 14,824 -36319,65 14,835 -34079,04 14,790 -49579,28 14,849

-150,938 -34857,84 15,001 -34326,31 14,983 -35320,07 15,016 -33083,66 14,991 -48228,19 15,009

ANEXOS

115

-148,750 -34610,81 15,055 -33825,71 14,922 -34769,74 14,950 -32537,76 14,920 -47473,43 14,943

-146,563 -34779,51 15,226 -34094,38 15,144 -34989,53 15,160 -32760,55 15,143 -47750,37 15,144

-144,375 -34711,51 14,919 -34195,30 14,894 -35041,30 14,925 -32815,90 14,886 -47798,33 14,947

-142,188 -34353,60 15,058 -34008,83 14,797 -34806,11 14,808 -32583,52 14,761 -47464,52 14,869

-140,000 -33662,49 15,190 -33408,74 14,634 -34156,63 14,674 -31937,57 14,620 -46572,34 14,704

-137,813 -32894,97 14,943 -32331,34 14,915 -33029,00 14,916 -30812,75 14,881 -45042,27 14,895

-135,625 -32575,70 14,992 -31715,62 14,819 -32368,34 14,818 -30155,40 14,776 -44134,72 14,799

-133,438 -32719,70 15,189 -31980,14 15,075 -32596,05 15,069 -30385,33 15,044 -44420,32 15,040

-131,250 -32636,96 14,894 -32099,81 14,888 -32680,31 14,927 -30472,48 14,887 -44510,64 14,960

-129,063 -32263,23 14,994 -31930,52 14,694 -32476,14 14,688 -30270,40 14,627 -44217,76 14,793

-126,875 -31550,27 15,209 -31332,87 14,381 -31843,22 14,421 -29640,36 14,346 -43346,61 14,466

-124,688 -30722,01 14,942 -30173,28 14,904 -30647,13 14,895 -28446,57 14,856 -41721,34 14,852

-122,500 -30329,35 14,986 -29463,69 14,775 -29906,33 14,766 -27708,18 14,718 -40711,09 14,725

-120,313 -30420,77 15,200 -29702,14 15,061 -30122,03 15,049 -27924,58 15,022 -40997,69 15,000

-118,125 -30290,54 14,797 -29810,27 14,803 -30209,00 14,837 -28012,77 14,785 -41111,23 14,891

-115,938 -29867,83 14,878 -29627,76 14,465 -30005,71 14,478 -27809,88 14,394 -40839,31 14,629

-113,750 -29100,07 15,171 -29003,46 14,084 -29360,42 14,117 -27165,83 14,013 -39971,25 14,177

-111,563 -28181,51 14,931 -27742,87 14,897 -28077,64 14,887 -25884,09 14,848 -38247,77 14,831

-109,375 -27684,56 14,953 -26918,49 14,718 -27234,85 14,710 -25041,63 14,656 -37121,80 14,657

-107,188 -27687,25 15,170 -27096,96 15,022 -27401,27 15,012 -25205,29 14,982 -37368,78 14,953

-105,000 -27472,98 14,740 -27157,09 14,727 -27450,54 14,753 -25252,05 14,684 -37459,38 14,820

-102,813 -26966,20 14,847 -26927,49 14,286 -27210,36 14,308 -25008,46 14,201 -37165,32 14,460

-100,625 -26109,58 15,151 -26238,22 13,813 -26510,34 13,839 -24306,00 13,699 -36251,92 13,909

-98,438 -25077,90 14,776 -24824,57 14,747 -25085,05 14,742 -22878,64 14,688 -34367,30 14,695

-96,250 -24500,13 14,778 -23879,21 14,492 -24130,38 14,489 -21920,14 14,412 -33115,94 14,451

-94,063 -24482,86 15,035 -24061,23 14,851 -24307,26 14,846 -22088,16 14,800 -33393,35 14,797

-91,875 -24261,61 14,738 -24150,84 14,762 -24392,51 14,781 -22164,41 14,697 -33546,92 14,854

-89,688 -23747,06 14,805 -23948,88 14,126 -24186,37 14,152 -21948,28 14,020 -33313,85 14,291

-87,500 -22879,75 15,051 -23277,48 13,497 -23510,66 13,521 -21263,70 13,328 -32446,80 13,619

-85,313 -21809,34 14,636 -21816,95 14,626 -22045,28 14,625 -19790,57 14,555 -30517,02 14,573

-83,125 -21189,82 14,620 -20819,76 14,307 -21044,49 14,310 -18779,20 14,203 -29220,41 14,270

-80,938 -21152,42 14,908 -21006,08 14,721 -21229,63 14,721 -18946,59 14,656 -29540,58 14,669

-78,750 -20917,31 14,687 -21112,60 14,691 -21335,39 14,705 -19034,04 14,588 -29756,21 14,822

-76,563 -20389,25 14,781 -20928,57 13,829 -21150,72 13,857 -18830,02 13,690 -29585,85 13,979

-74,375 -19504,59 14,915 -20259,22 13,109 -20480,65 13,134 -18141,82 12,861 -28761,86 13,282

-72,188 -18394,20 14,359 -18719,39 14,396 -18939,84 14,402 -16584,65 14,287 -26771,74 14,394

-70,000 -17767,56 14,314 -17671,01 13,968 -17891,03 13,979 -15515,98 13,802 -25442,32 14,004

-67,813 -17782,86 14,676 -17918,95 14,475 -18139,73 14,481 -15736,08 14,366 -25863,11 14,482

-65,625 -17613,40 14,700 -18110,88 14,733 -18332,58 14,745 -15899,49 14,593 -26207,58 14,865

-63,438 -17150,26 14,746 -18010,13 13,433 -18232,85 13,466 -15769,24 13,248 -26163,52 13,538

-61,250 -16328,20 14,775 -17416,21 12,666 -17639,89 12,696 -15147,04 12,302 -25454,52 12,894

-59,063 -15255,92 14,117 -15897,22 14,236 -16121,81 14,249 -13601,66 14,066 -23505,34 14,291

-56,875 -14668,55 14,059 -14862,81 13,719 -15088,45 13,739 -12537,61 13,457 -22207,88 13,834

-54,688 -14746,05 14,508 -15167,94 14,338 -15395,07 14,351 -12804,58 14,164 -22719,92 14,400

-52,500 -14644,77 14,593 -15426,92 14,410 -15655,56 14,434 -13024,58 14,383 -23168,92 14,357


116

-50,313 -14248,86 14,617 -15391,51 12,720 -15621,74 12,761 -12949,22 12,435 -23227,04 12,837

-48,125 -13490,68 14,691 -14854,69 11,901 -15086,45 11,949 -12373,56 11,507 -22609,32 12,080

-45,938 -12458,76 13,894 -13344,70 14,167 -13578,09 14,187 -10826,02 13,901 -20688,15 14,290

-43,750 -11913,00 13,820 -12308,40 13,537 -12543,32 13,568 -9750,01 13,111 -19402,21 13,760

-41,563 -12053,76 14,398 -12642,66 14,312 -12879,15 14,331 -10037,86 14,037 -19964,42 14,435

-39,375 -12020,69 14,340 -12937,39 13,569 -13175,37 13,604 -10285,79 13,445 -20471,81 13,522

-37,188 -11691,19 14,195 -12934,59 11,676 -13174,14 11,733 -10235,39 11,179 -20584,21 11,905

-35,000 -10995,36 14,280 -12422,99 10,697 -12664,05 10,764 -9676,88 10,035 -20012,01 11,048

-32,813 -10002,55 13,901 -10898,67 14,436 -11141,42 14,457 -8104,72 14,069 -18088,33 14,560

-30,625 -9493,61 13,904 -9829,55 13,688 -10073,78 13,726 -6988,59 13,024 -16770,04 13,998

-28,438 -9687,16 14,805 -10142,49 14,704 -10388,02 14,721 -7253,58 14,361 -17305,11 14,806

-26,250 -9709,06 12,546 -10417,26 11,753 -10663,95 11,821 -7481,30 11,159 -17785,71 12,085

-24,063 -9429,84 11,972 -10387,18 9,724 -10635,09 9,812 -7403,65 8,706 -17862,69 10,421

-21,875 -8779,15 11,942 -9845,86 8,617 -10094,95 8,716 -6814,67 7,397 -17253,33 9,497

-19,688 -7807,95 14,364 -8280,83 13,270 -8531,34 13,325 -5196,62 13,244 -15282,23 13,624

-17,500 -7291,82 14,121 -7123,12 13,018 -7374,78 13,087 -3992,00 11,529 -13850,38 14,057

-15,313 -7462,90 10,598 -7295,97 10,339 -7548,44 10,456 -4127,93 8,861 -14196,67 11,611

-13,125 -7456,72 8,340 -7416,48 7,421 -7669,59 7,555 -4214,74 5,512 -14470,75 9,151

-10,938 -7171,81 7,188 -7273,08 5,591 -7526,89 5,721 -4037,53 3,712 -14381,80 7,470

-8,750 -6428,92 7,202 -6471,30 4,977 -6725,77 5,117 -3200,86 2,893 -13464,30 6,958

-6,563 -5320,79 9,031 -4595,52 6,470 -4850,95 6,681 -1277,86 2,634 -11149,21 9,700

-4,375 -4978,89 10,250 -3507,45 13,304 -3763,50 13,417 -155,21 3,097 -9730,84 13,903

-2,188 -5345,87 8,913 -3796,03 10,845 -4052,25 11,049 -436,55 5,099 -10094,83 12,887

0,000 -5504,97 7,915 -3969,74 9,012 -4225,91 9,245 -611,05 3,299 -10330,26 11,622

ANEXOS

117

No quadro que se segue apresentam-se os resultados obtidos no final do faseamento

construtivo referentes aos modelos Mod. G, Mod. F, Mod. I, Mod. H e Mod. J. (nota: a posição

dos apoios P1, P2, P3 e torres, correspondem respectivamente às longitudes de -414.500, -

354.375, -282.188 e -210.000m)

MOD. G MOD. F MOD. I MOD. H MOD. J

L (m) Qi (KN) beff (m) Qi (KN) beff (m) Qi (KN) beff (m) Qi (KN) beff (m) Qi (KN) beff (m)

-414,500 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000

-413,438 -699,04 2,482 -699,04 2,482 -699,04 2,482 -699,04 2,482 -699,04 2,482

-411,250 -7487,65 3,014 -3446,92 2,374 -2984,83 1,688 -10020,14 3,097 -2522,72 1,131

-409,063 -9645,24 3,693 -3871,35 3,079 -2200,58 2,119 -12954,73 3,760 -529,72 0,365

-406,875 -10685,15 5,299 -3569,45 5,197 -531,50 1,855 -14465,82 5,332 2506,59 0,000

-404,688 -11166,22 8,100 -3001,28 11,069 1409,20 0,000 -15221,80 8,031 5819,88 0,000

-402,500 -11520,75 10,859 -2482,27 8,875 3109,14 0,000 -15794,92 10,580 8700,81 0,000

-400,313 -14377,47 10,892 -3826,66 12,292 1905,67 0,000 -19611,29 10,622 7638,27 0,000

-398,125 -17970,97 7,759 -5832,98 7,325 -454,22 1,324 -24366,92 7,733 4924,80 0,000

-395,938 -19561,96 8,851 -6587,85 11,019 -1138,01 3,247 -26490,59 8,783 4312,10 0,000

-393,750 -20123,64 10,712 -6786,15 13,994 -1188,51 2,658 -27249,24 10,545 4409,41 0,000

-391,563 -20065,91 13,514 -6692,80 11,817 -978,68 1,557 -27179,35 13,150 4735,72 0,000

-389,375 -19855,89 13,770 -6645,54 10,442 -1018,78 1,278 -26889,42 13,786 4608,25 0,000

-387,188 -22098,19 14,600 -8398,52 11,805 -3847,26 5,137 -29785,86 14,570 704,22 0,000

-385,000 -25088,62 10,310 -10810,95 11,497 -7819,39 9,286 -33638,99 10,202 -4827,68 5,168

-382,813 -26167,89 11,210 -12049,65 14,059 -10242,80 10,357 -34975,58 11,071 -8435,86 7,460

-380,625 -26238,82 12,730 -12749,70 13,682 -12061,24 10,576 -34973,32 12,519 -11372,75 8,389

-378,438 -25704,82 14,964 -13163,68 12,876 -13622,20 10,330 -34162,09 14,983 -14080,75 8,692

-376,250 -25010,92 14,260 -13618,35 12,366 -15423,22 10,349 -33120,43 14,318 -17228,19 9,152

-374,063 -26704,93 14,769 -15848,45 13,360 -19993,72 11,996 -35176,58 14,872 -24139,20 11,238

-371,875 -29162,37 11,633 -18750,44 12,950 -25725,28 14,057 -38208,31 11,533 -32700,46 13,606

-369,688 -29806,41 12,482 -20524,10 13,585 -29950,17 14,722 -38854,84 12,396 -39376,70 14,717

-367,500 -29468,18 14,170 -21756,94 14,589 -33542,72 14,964 -38199,59 14,128 -45329,07 15,150

-365,313 -28541,54 14,258 -22692,02 14,894 -36831,96 14,699 -36760,11 14,186 -50972,57 14,578

-363,125 -27447,65 13,420 -23640,64 14,387 -40294,61 14,038 -35083,90 13,272 -56949,39 13,839

-360,938 -28655,02 13,581 -26311,32 14,399 -46458,02 12,211 -36392,23 13,355 -66605,69 11,513

-358,750 -30636,73 13,898 -29647,66 10,568 -53757,48 9,295 -38692,72 13,956 -77868,45 8,884

-356,563 -30995,89 13,956 -31781,14 9,942 -59186,99 8,328 -38886,11 13,566 -86594,16 7,853

-354,375 -30880,58 13,596 -32641,59 9,871 -61579,66 7,968 -38593,98 13,168 -90519,11 7,442

-352,188 -31026,32 13,205 -31922,83 11,281 -59494,13 9,072 -38891,27 12,824 -87066,76 8,455

-350,000 -31464,98 13,105 -30474,16 13,628 -55188,08 10,963 -39703,06 12,813 -79903,20 10,193

-347,813 -34177,95 13,819 -30581,60 14,542 -53160,32 12,507 -43485,86 13,618 -75740,12 11,832

-345,625 -37669,48 13,415 -31356,12 12,415 -52270,17 11,709 -48266,99 13,453 -73185,21 11,430

-343,438 -39577,21 13,983 -31099,79 13,350 -49940,47 12,998 -50970,74 14,041 -68782,05 12,845

-341,250 -40549,38 14,584 -30309,53 14,748 -46957,32 14,825 -52437,20 14,542 -63605,91 14,862

-339,063 -40937,53 14,844 -29226,58 14,735 -43680,85 14,602 -53124,87 14,852 -58135,81 14,530


118

-336,875 -41115,79 14,549 -28125,65 14,132 -40530,03 13,743 -53520,83 14,578 -52935,02 13,545

-334,688 -43420,62 14,903 -28577,54 14,272 -39776,92 13,682 -56681,91 14,949 -50976,82 13,372

-332,500 -46510,31 13,272 -29694,27 14,343 -40151,91 14,096 -60851,04 13,177 -50610,05 13,689

-330,313 -48094,88 13,584 -29909,93 14,854 -39369,75 14,011 -63034,46 13,480 -48830,02 13,538

-328,125 -48745,87 14,251 -29630,53 14,677 -38036,89 13,739 -63977,72 14,129 -46443,66 13,199

-325,938 -48806,24 15,197 -29073,92 14,250 -36458,18 13,251 -64130,81 15,246 -43842,78 12,660

-323,750 -48624,16 14,867 -28480,03 13,876 -34979,25 12,802 -63948,80 14,904 -41478,79 12,152

-321,563 -50452,49 15,088 -29295,04 14,112 -35601,07 13,031 -66387,08 15,131 -41907,40 12,365

-319,375 -53066,36 13,511 -30741,05 14,572 -37255,36 13,646 -69837,95 13,402 -43769,98 12,983

-317,188 -54295,97 13,769 -31394,24 14,792 -37944,44 13,749 -71458,09 13,661 -44494,96 13,094

-315,000 -54611,28 14,297 -31575,94 14,693 -38130,89 13,646 -71862,03 14,178 -44686,15 12,989

-312,813 -54337,60 15,258 -31481,10 14,351 -38071,87 13,318 -71477,99 15,291 -44662,95 12,671

-310,625 -53790,39 14,955 -31326,73 14,049 -38078,78 13,021 -70718,34 14,987 -44831,15 12,384

-308,438 -55110,81 15,109 -32468,15 14,251 -39999,25 13,284 -72393,86 15,154 -47530,71 12,693

-306,250 -57210,83 13,871 -34223,76 14,773 -42910,65 13,862 -75075,67 13,780 -51597,96 13,316

-304,063 -58067,73 14,078 -35282,23 14,868 -44997,25 14,025 -76111,79 13,994 -54712,72 13,528

-301,875 -58038,28 14,548 -35886,61 14,818 -46606,28 14,034 -75969,06 14,471 -57326,47 13,583

-299,688 -57424,66 15,165 -36212,79 14,566 -47961,93 13,880 -75045,59 15,188 -59711,64 13,494

-297,500 -56509,68 14,834 -36462,72 14,360 -49368,85 13,786 -73712,08 14,842 -62275,60 13,470

-295,313 -57311,76 14,874 -37948,09 14,591 -52685,13 14,185 -74620,98 14,862 -67422,89 13,966

-293,125 -58894,61 14,438 -40062,27 14,891 -57051,27 14,898 -76542,31 14,433 -74041,09 14,775

-290,938 -59397,98 14,949 -41559,52 14,992 -60667,29 15,230 -77035,30 14,989 -79775,96 15,337

-288,750 -59061,67 14,960 -42600,14 14,883 -63759,57 14,610 -76415,44 14,873 -84920,02 14,477

-286,563 -58158,81 14,517 -43349,08 15,209 -66550,05 14,254 -75042,41 14,391 -89752,14 13,833

-284,375 -56991,38 14,106 -43947,05 15,174 -69170,92 13,682 -73325,86 13,943 -94395,99 12,965

-282,188 -57807,08 14,116 -45436,58 13,893 -72652,52 12,877 -74311,74 13,936 -99869,77 12,045

-280,000 -60118,28 14,589 -47068,31 13,269 -75420,88 11,777 -77437,59 14,432 -103774,83 11,202

-277,813 -61963,96 14,840 -47799,99 13,485 -76227,98 12,213 -80062,31 14,721 -104657,33 11,706

-275,625 -63061,52 14,987 -47945,67 13,984 -76057,98 12,957 -81711,02 14,904 -104171,64 12,532

-273,438 -63593,27 14,891 -47698,87 14,889 -75273,53 14,028 -82607,14 14,837 -102849,51 13,661

-271,250 -63769,72 14,797 -47217,84 15,136 -74122,01 15,039 -83026,17 14,769 -101027,46 14,870

-269,063 -65333,12 14,942 -47767,09 15,185 -74602,36 15,138 -85252,87 14,935 -101438,91 15,101

-266,875 -67672,80 14,746 -48915,34 14,545 -76037,97 14,158 -88483,74 14,710 -103161,91 13,981

-264,688 -69266,21 14,683 -49552,92 14,546 -76683,75 14,256 -90722,27 14,623 -103815,88 14,121

-262,500 -70067,68 14,670 -49655,36 14,664 -76500,23 14,442 -91906,55 14,597 -103346,38 14,338

-260,313 -70289,29 15,302 -49373,00 15,261 -75730,00 15,260 -92315,73 15,213 -102088,28 15,185

-258,125 -70100,95 15,176 -48836,29 15,041 -74575,96 15,020 -92171,19 15,198 -100316,86 15,010

-255,938 -71122,78 15,202 -49217,02 15,052 -74890,54 15,011 -93601,08 15,215 -100565,30 14,991

-253,750 -72933,13 14,729 -50215,70 15,019 -76198,15 14,966 -96050,10 14,626 -102181,84 14,940

-251,563 -74183,92 14,538 -50848,20 14,831 -76951,39 14,791 -97749,75 14,438 -103055,83 14,771

-249,375 -74668,55 14,398 -50971,09 14,712 -76920,18 14,666 -98427,02 14,292 -102870,52 14,643

-247,188 -74569,71 14,885 -50711,27 15,266 -76309,16 15,237 -98323,32 14,766 -101908,29 15,223

-245,000 -73992,97 15,226 -50150,83 15,213 -75238,24 15,188 -97574,42 15,212 -100326,86 15,174

-242,813 -74308,97 15,186 -50272,79 15,201 -75233,45 15,186 -97976,52 15,160 -100195,31 15,178

-240,625 -75316,61 14,623 -50938,26 15,022 -76073,73 14,985 -99264,01 14,495 -101210,41 14,960

ANEXOS

119

-238,438 -75960,07 14,319 -51379,82 14,693 -76577,22 14,621 -100056,57 14,194 -101775,82 14,586

-236,250 -75869,33 14,079 -51336,95 14,450 -76334,33 14,344 -99867,26 13,949 -101332,91 14,291

-234,063 -75187,47 14,416 -50906,28 14,798 -75501,28 14,694 -98886,10 14,267 -100097,46 14,642

-231,875 -73940,31 14,939 -50116,56 15,192 -74103,85 15,122 -97138,74 14,754 -98092,29 15,086

-229,688 -73132,47 14,974 -49707,73 15,150 -73224,86 15,079 -95911,05 14,898 -96743,12 15,040

-227,500 -72770,21 14,454 -49692,77 14,769 -72869,94 14,602 -95205,20 14,327 -96048,23 14,517

-225,313 -72188,17 14,173 -49566,72 14,431 -72322,19 14,299 -94179,87 14,066 -95078,76 14,231

-223,125 -70918,05 14,042 -48987,69 14,275 -71075,83 14,140 -92233,69 13,942 -93165,02 14,071

-220,938 -69056,88 14,415 -48018,07 14,641 -69236,10 14,552 -89497,92 14,325 -90455,14 14,505

-218,750 -66605,61 15,060 -46668,31 15,073 -66799,57 14,905 -85964,41 15,016 -86931,79 14,816

-216,563 -64002,49 14,460 -45324,92 14,614 -64222,22 14,293 -82127,79 14,336 -83120,42 14,125

-214,375 -61808,14 14,010 -44370,54 14,347 -62078,61 13,843 -78720,97 13,784 -79787,54 13,577

-212,188 -58718,17 13,239 -42957,11 13,828 -59073,67 13,079 -74013,46 12,879 -75191,01 12,685

-210,000 -53355,93 12,007 -40220,98 12,942 -54031,66 11,926 -66218,05 11,486 -67843,01 11,394

-207,813 -51630,77 11,540 -39293,41 12,573 -52780,34 11,554 -63888,49 10,996 -66267,92 11,021

-205,625 -54639,64 12,263 -40659,21 13,053 -56067,17 12,306 -68599,89 11,857 -71475,86 11,917

-203,438 -58186,84 13,032 -42311,01 13,555 -59816,63 13,076 -74071,58 12,772 -77323,10 12,828

-201,250 -61727,12 13,868 -44148,14 14,193 -63563,34 13,916 -79346,04 13,715 -82979,48 13,773

-199,063 -65147,85 14,565 -46015,36 14,745 -67167,04 14,604 -84346,43 14,487 -88319,73 14,531

-196,875 -67989,39 14,548 -47509,00 14,669 -70174,63 14,496 -88560,78 14,463 -92841,35 14,409

-194,688 -70270,30 14,383 -48627,07 14,581 -72611,98 14,357 -92028,44 14,265 -96598,03 14,247

-192,500 -71872,61 14,407 -49296,14 14,694 -74350,89 14,372 -94587,04 14,249 -99406,83 14,218

-190,313 -73200,50 14,862 -49818,44 15,090 -75806,06 14,836 -96741,74 14,719 -101794,92 14,698

-188,125 -74777,97 14,772 -50612,43 15,042 -77489,67 14,742 -99119,58 14,571 -104368,20 14,538

-185,938 -76618,85 14,251 -51677,19 14,521 -79427,19 14,254 -101749,75 14,112 -107178,53 14,129

-183,750 -77864,04 14,043 -52362,69 14,253 -80748,72 14,049 -103566,83 13,936 -109136,10 13,953

-181,563 -78516,17 14,253 -52656,57 14,439 -81469,06 14,271 -104589,17 14,159 -110282,94 14,193

-179,375 -78427,92 14,532 -52460,98 14,711 -81428,82 14,537 -104619,86 14,440 -110398,05 14,455

-177,188 -77956,23 15,097 -52020,81 15,167 -80999,35 15,099 -104127,67 15,050 -109979,28 15,058

-175,000 -78077,03 15,155 -52022,28 15,214 -81156,47 15,158 -104376,08 15,116 -110292,05 15,125

-172,813 -78989,96 14,899 -52600,41 15,034 -82112,56 14,917 -105629,42 14,830 -111626,14 14,862

-170,625 -79403,22 14,534 -52855,55 14,626 -82551,82 14,552 -106205,75 14,488 -112249,53 14,518

-168,438 -79233,12 14,658 -52723,52 14,729 -82400,51 14,688 -106002,48 14,622 -112078,93 14,669

-166,250 -78290,75 14,815 -52078,74 14,874 -81456,75 14,834 -104767,23 14,786 -110836,16 14,815

-164,063 -76788,59 15,195 -51062,64 15,185 -79946,39 15,195 -102783,66 15,197 -108831,53 15,196

-161,875 -76077,50 15,175 -50584,97 15,153 -79231,24 15,174 -101842,40 15,182 -107878,87 15,181

-159,688 -76585,47 15,336 -50932,56 15,313 -79755,90 15,324 -102512,54 15,348 -108580,62 15,329

-157,500 -76681,08 14,824 -51008,14 14,847 -79853,88 14,848 -102629,56 14,813 -108701,01 14,849

-155,313 -76201,59 14,841 -50700,74 14,857 -79370,04 14,878 -101979,40 14,834 -108040,73 14,887

-153,125 -74917,37 14,840 -49857,53 14,851 -78061,00 14,866 -100255,45 14,835 -106265,82 14,873

-150,938 -72872,92 15,017 -48507,81 15,013 -75981,83 15,009 -97517,65 15,021 -103457,18 15,008

-148,750 -71720,71 14,949 -47753,82 14,947 -74803,54 14,945 -95968,00 14,951 -101854,56 14,943

-146,563 -72113,88 15,145 -48030,97 15,146 -75200,20 15,133 -96477,39 15,146 -102370,73 15,127

-144,375 -72162,79 14,946 -48078,90 14,949 -75240,12 14,972 -96527,24 14,945 -102402,65 14,983

-142,188 -71639,24 14,869 -47745,14 14,871 -74701,03 14,910 -95813,96 14,870 -101658,21 14,928


120

-140,000 -70277,71 14,707 -46852,89 14,707 -73303,00 14,739 -93983,08 14,709 -99754,38 14,754

-137,813 -67959,13 14,889 -45322,85 14,899 -70934,63 14,882 -90875,99 14,886 -96547,63 14,874

-135,625 -66576,35 14,791 -44415,13 14,803 -69512,19 14,789 -89017,98 14,788 -94610,47 14,782

-133,438 -66986,71 15,029 -44700,52 15,043 -69917,76 15,017 -89553,10 15,024 -95136,20 15,006

-131,250 -67104,75 14,970 -44790,51 14,963 -70019,67 14,997 -89698,88 14,974 -95250,05 15,013

-129,063 -66649,05 14,806 -44497,40 14,796 -69541,29 14,851 -89080,34 14,813 -94586,39 14,876

-126,875 -65324,67 14,483 -43625,90 14,472 -68172,76 14,522 -87302,72 14,492 -92720,81 14,545

-124,688 -62865,16 14,827 -42000,35 14,855 -65652,51 14,818 -84008,98 14,814 -89305,81 14,800

-122,500 -61342,61 14,696 -40989,83 14,729 -64080,07 14,693 -81974,14 14,682 -87171,43 14,676

-120,313 -61787,95 14,970 -41276,43 15,002 -64514,40 14,956 -82578,20 14,956 -87753,48 14,935

-118,125 -61978,15 14,922 -41389,93 14,895 -64683,16 14,953 -82845,06 14,938 -87977,52 14,980

-115,938 -61591,43 14,682 -41118,07 14,638 -64268,43 14,732 -82343,54 14,697 -87419,91 14,767

-113,750 -60309,07 14,207 -40249,94 14,185 -62936,09 14,252 -80646,90 14,222 -85623,33 14,284

-111,563 -57737,06 14,796 -38526,41 14,834 -60294,34 14,783 -77226,36 14,779 -82063,32 14,759

-109,375 -56079,72 14,622 -37400,55 14,662 -58578,75 14,615 -75037,65 14,605 -79757,97 14,594

-107,188 -56512,12 14,920 -37648,17 14,956 -58995,55 14,902 -75655,45 14,904 -80343,96 14,877

-105,000 -56715,95 14,863 -37739,41 14,826 -59174,21 14,897 -75972,52 14,883 -80610,04 14,930

-102,813 -56343,61 14,524 -37446,11 14,471 -58770,23 14,629 -75521,89 14,556 -80095,38 14,669

-100,625 -55041,98 13,948 -36533,33 13,921 -57414,23 14,000 -73832,03 13,967 -78296,14 14,037

-98,438 -52280,21 14,678 -34649,24 14,699 -54574,32 14,659 -70193,12 14,669 -74500,36 14,640

-96,250 -50477,31 14,439 -33398,74 14,457 -52707,52 14,428 -67838,68 14,433 -72017,23 14,414

-94,063 -50983,35 14,783 -33677,84 14,801 -53199,56 14,758 -68573,34 14,776 -72722,23 14,739

-91,875 -51306,60 14,898 -33833,14 14,861 -53500,81 14,938 -69066,29 14,919 -73169,42 14,974

-89,688 -51051,49 14,314 -33601,95 14,304 -53217,44 14,452 -68789,13 14,326 -72833,87 14,521

-87,500 -49843,05 13,684 -32736,62 13,635 -51957,04 13,744 -67239,29 13,715 -71178,40 13,795

-85,313 -47031,41 14,565 -30808,34 14,579 -49064,44 14,535 -63545,79 14,562 -67321,41 14,515

-83,125 -45186,70 14,272 -29513,73 14,278 -47157,70 14,249 -61152,99 14,273 -64802,52 14,235

-80,938 -45799,06 14,669 -29837,04 14,674 -47768,85 14,631 -62057,54 14,668 -65701,52 14,611

-78,750 -46260,58 14,895 -30055,94 14,831 -48223,45 14,949 -62764,95 14,930 -66391,84 15,003

-76,563 -46143,34 13,954 -29888,98 13,995 -48093,36 14,123 -62700,83 13,942 -66298,63 14,182

-74,375 -45046,37 13,388 -29068,22 13,304 -46958,72 13,462 -61330,88 13,439 -64850,07 13,535

-72,188 -42202,29 14,449 -27081,02 14,402 -44041,54 14,402 -57632,85 14,475 -61002,87 14,402

-70,000 -40347,37 14,089 -25755,11 14,017 -42138,37 14,051 -55252,43 14,129 -58522,40 14,066

-67,813 -41115,49 14,554 -26180,80 14,491 -42932,76 14,499 -56367,87 14,587 -59685,52 14,503

-65,625 -41767,97 14,692 -26530,32 14,876 -43608,66 14,889 -57328,36 14,607 -60687,82 14,889

-63,438 -41837,97 13,444 -26491,46 13,557 -43696,62 13,637 -57512,41 13,402 -60902,60 13,672

-61,250 -40911,07 12,833 -25787,48 12,917 -42761,38 13,020 -56367,62 12,806 -59736,08 13,064

-59,063 -38129,91 14,419 -23842,99 14,304 -39928,55 14,351 -52754,49 14,477 -56014,87 14,371

-56,875 -36317,91 14,009 -22550,79 13,854 -38097,07 13,950 -50427,94 14,087 -53644,10 13,990

-54,688 -37206,22 14,542 -23069,49 14,413 -39057,59 14,465 -51692,51 14,606 -55046,46 14,487

-52,500 -37996,04 14,089 -23525,29 14,363 -39920,29 14,306 -52823,16 13,974 -56316,08 14,282

-50,313 -38199,16 12,738 -23590,37 12,862 -40191,41 12,944 -53171,28 12,695 -56793,24 12,979

-48,125 -37390,60 12,046 -22979,43 12,112 -39422,88 12,246 -52171,89 12,031 -55867,12 12,301

-45,938 -34641,91 14,499 -21064,86 14,309 -36662,04 14,404 -48595,66 14,590 -52259,98 14,443

-43,750 -32826,16 14,039 -19785,85 13,789 -34874,21 13,959 -46250,11 14,160 -49963,29 14,028

ANEXOS

121

-41,563 -33745,81 14,653 -20356,00 14,454 -35932,50 14,546 -47527,21 14,746 -51509,75 14,583

-39,375 -34574,69 13,254 -20871,41 13,534 -36904,55 13,481 -48677,58 13,144 -52938,46 13,461

-37,188 -34809,99 11,871 -20991,94 11,941 -37278,75 12,099 -49035,77 11,857 -53566,35 12,162

-35,000 -34023,84 11,115 -20427,78 11,095 -36601,95 11,346 -48035,66 11,144 -52776,91 11,446

-32,813 -31241,33 14,807 -18512,31 14,582 -33868,09 14,667 -44394,32 14,910 -49224,61 14,699

-30,625 -29330,41 14,322 -17202,07 14,035 -32052,42 14,212 -41890,78 14,456 -46903,48 14,276

-28,438 -30127,22 14,228 -17745,24 14,778 -33072,54 14,481 -42949,33 14,007 -48400,59 14,375

-26,250 -30827,85 12,048 -18233,78 12,118 -34004,02 12,320 -43869,99 12,034 -49775,01 12,396

-24,063 -30923,41 10,653 -18318,77 10,483 -34326,18 10,964 -43984,13 10,751 -50334,36 11,150

-21,875 -29999,92 9,876 -17717,46 9,572 -33597,45 10,194 -42746,51 10,038 -49478,20 10,436

-19,688 -27080,31 13,505 -15755,32 13,614 -30805,04 13,786 -38878,38 13,458 -45855,47 13,846

-17,500 -24925,36 14,494 -14331,41 14,105 -28824,14 14,633 -36000,34 14,492 -43317,57 14,753

-15,313 -25339,45 12,193 -14683,88 11,657 -29549,15 12,410 -36482,23 12,435 -44415,14 12,680

-13,125 -25635,49 10,140 -14963,61 9,245 -30159,24 10,463 -36800,23 10,586 -45355,60 10,934

-10,938 -25371,79 8,709 -14880,29 7,584 -30199,63 9,069 -36361,79 9,312 -45519,69 9,679

-8,750 -23973,93 8,321 -13968,68 7,082 -29057,83 8,616 -34483,55 8,999 -44147,71 9,238

-6,563 -20606,46 12,293 -11661,54 9,801 -25850,05 11,903 -30063,71 13,622 -40039,23 12,686

-4,375 -18379,20 13,006 -10248,80 14,012 -23759,61 13,964 -27027,57 12,708 -37271,06 13,950

-2,188 -18731,22 13,192 -10613,91 12,872 -24283,82 13,648 -27367,60 12,798 -37954,38 13,882

0,000 -19029,36 13,518 -10849,21 11,664 -24647,54 12,846 -27728,45 13,056 -38446,53 13,222

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Avaliação das larguras efectivas de lajes de betão para ... · AASHTO) b i – largura da laje (Leg. ... 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 93 6 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS