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AVALIAÇÃO NO PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
Juares Cordeiro da Silva1
Nelma Sgarbosa Roman de Araújo2
Resumo
Este artigo visa socializar os resultados obtidos por meio do Projeto de Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), implementado no Colégio Estadual James Patrick Clark - E.M.F.D., da cidade de Terra Rica-PR, com alunos da 1ª série do Ensino Médio, durante o 2º semestre de 2011. Pretendeu-se mostrar a importância da utilização de uma metodologia de ensino-aprendizagem e de avaliação que priorize o pensar, o raciocínio e, principalmente, os conhecimentos previamente construídos. O objetivo principal do projeto foi auxiliar um número significativo de alunos de uma turma de Ensino Médio a superar as suas dificuldades em Matemática, por meio da utilização da metodologia de ensino de Matemática Resolução de Problemas e de um instrumento de avaliação que compreende três fases. Os resultados obtidos foram positivos, pois a utilização de uma metodologia de ensino-aprendizagem e de avaliação, voltada para o pensar, para o raciocínio e para utilização dos conhecimentos previamente construídos, contribuiu para que alguns dos alunos do 1º ano do Ensino Médio superassem as suas dificuldades em Matemática. Com este projeto, os alunos melhoraram sua capacidade de resolver e formular hipóteses, fazer questionamentos e analisar os resultados obtidos. Palavras-chave: avaliação; instrumentos de avaliação; resolução de problemas. 1 INTRODUÇÃO
Este artigo tem por finalidade apresentar os resultados obtidos com o Projeto de
Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE-turma
2010) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), intitulado Avaliação
no processo ensino-aprendizagem de Matemática, implementado no Colégio
1 Graduado em Ciências do 1º grau com Habilitação em Matemática, pela Faculdade Estadual de Educação,
Ciências e Letras de Paranavaí - Fafipa, Pós- Graduado em Ensino da Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí – Fafipa, Pós- Graduado também em especialização em Administração, Supervisão e Orientação Educacional pela União das escolas Superiores do Vale do Ivaí – UNIVALE. E-mail: [email protected] Professor da Rede Pública do Estado do Paraná.
2 Doutoranda em Educação para a Ciência e a Matemática pela Universidade Estadual de Maringá-UEM.
Professora do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de Paranavaí/FAFIPA.
Estadual James Patrick Clark – E.M.F.D., da cidade de Terra Rica-PR, com os
alunos do 1º ano do Ensino Médio, no ano de 2011.
O PDE é um Programa de Formação Continuada desenvolvido pela Secretaria de
Estado da Educação do Paraná em parceria com a Secretaria de Estado da Ciência,
Tecnologia e Ensino Superior, envolvendo professores das Escolas Públicas
Estaduais de Educação Básica e as Instituições de Ensino Superior.
A temática Avaliação é bastante polêmica, pois não há unanimidade entre os
professores sobre qual é a melhor forma ou quais são os melhores instrumentos que
podem ser utilizados efetivamente no processo ensino-aprendizagem, mesmo
havendo um consenso de que a avaliação é imprescindível no decorrer deste.
Zabala (1998, p. 195, apud Pavanello e Nogueira (2006, p.30), nos diz que
O estudo e a pesquisa de vários autores no que refere-se à avaliação
em Matemática mostra que existem caminhos que apontam para
uma melhoria no processo ensino aprendizagem dessa disciplina,
que normalmente é apontada como uma das principais causadoras
de traumas e principalmente da evasão escolar, ocasionando com
isso a exclusão social.
Um dos caminhos que se acredita ser coerente é a utilização da Metodologia
Resolução de Problemas e de um instrumento de avaliação que compreenda três
fases. Isso permitirá auxiliar aos alunos superarem as suas dificuldades em
Matemática, por meio da pesquisa com utilização de recursos de apoio, da
colaboração dos colegas e da orientação do professor, que com questionamentos
conduz e estimula os alunos na busca pela solução desejada.
Assim, o tema relacionado com o ensino-aprendizagem e a avaliação na disciplina
de Matemática mostra a sua importância, pois, ao se pensar em avaliação, deve-se
refletir sobre o que ensinar, para quem ensinar, para que ensinar, e, portanto, como
ensinar.
Pode-se notar, pela prática pedagógica do primeiro autor deste, e pelos vários tipos
de avaliação de desempenho escolar aplicados, tanto em nível nacional ou
internacional, que os alunos, em sua maioria, apresentam um baixo nível de
aproveitamento na disciplina de Matemática, em todos os níveis de escolaridade
avaliados. Em geral, eles consideram a Matemática uma disciplina difícil de ser
assimilada.
Em nível internacional, pode-se apontar o PISA (Programa Internacional de
Avaliação de Alunos), exame feito pela Organização para Cooperação e
Desenvolvimento Econômico (OCDE), indicando o Brasil como um dos piores
desempenhos em leitura e Matemática.
Em nível nacional, há diversos tipos de exames utilizados para avaliar o
desempenho escolar. Entre eles, pode-se citar: Sistema Nacional de Avaliação da
Educação Básica (SAEB) criado no início de 1988 e sistematizado em 1990,
aplicado a cada 2 anos numa amostra de escolas públicas e privadas de ensino
fundamental e Médio; Exame Nacional de Ensino Médio (ENEM), em que se avalia
o aluno e não o sistema (inicialmente uma auto -avaliação do aluno, hoje um grande
vestibular que pauta o Ensino Médio), é realizado anualmente e sua pontuação é
utilizada junto com a nota de vestibular para o ingresso nas Universidades e
Faculdades em todo o país; Exame Nacional de Desempenho de Estudantes
(ENADE) que integra o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Superior
(SINAES); Prova Brasil e Provinha Brasil aplicada pelo INEP, além de outros
sistemas utilizados em vários Estados brasileiros, como Saresp, Simave, Saego,
Spaece e Saepo.
Pode-se observar que esses exames apontam resultados preocupantes sobre o
processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Quais seriam as causas desse
problema? Ao utilizar a metodologia de aulas expositivas e aplicar uma avaliação no
modelo formal (prova), o professor de Matemática consegue que todos os seus
alunos demonstrem os conhecimentos que construíram durante as aulas? O que o
professor faz pelos alunos que não atingiram os objetivos almejados nesta avaliação
formal?
Ao refletir sobre essas indagações, por meio de leituras e conversas com os
colegas da área, considera-se necessário mudar a abordagem adotada em sala de
aula, tanto no decorrer do processo de ensino e aprendizagem, como no processo
avaliativo. Para dar início a esse processo de mudança, o projeto que deu origem a
este artigo teve como objetivo principal, por meio da utilização da metodologia
Resolução de Problemas e de um instrumento de avaliação que compreende três
fases, auxiliar os alunos de uma turma de Ensino Médio a amenizar ou superar as
suas dificuldades em Matemática. Mais especificamente, pretendeu-se: a) utilizar a
metodologia Resolução de Problemas no processo ensino-aprendizagem, no intuito
de propiciar a construção do conhecimento do aluno de forma mais significativa; b)
identificar, pelas situações-problema apresentadas e pelas fases da prova, quais os
conceitos em que os alunos apresentam maior dificuldade na temática trabalhada; c)
incentivar o envolvimento dos alunos nas tarefas propostas, bem como no trabalho
em grupo; e d) demonstrar que o aproveitamento dos alunos, diante de um
conhecimento trabalhado pelo professor, pode melhorar de acordo com as
oportunidades dadas a eles no processo ensino-aprendizagem e, principalmente, no
processo avaliativo.
A implementação do Projeto utilizou como apoio o Material Didático Pedagógico
produzido pelo professor no 1º ano do PDE, o qual contém textos de fundamentação
teórico-metodológica, uma sequência de atividades e situações-problema que
envolvem o conteúdo Função do 2º grau ou Função Quadrática (Gráfico da Função,
Raízes ou Zeros da Função, Interpretação Gráfica, Vértice e eixo de simetria,
Conjunto Imagem e o Estudo do sinal de uma Função Quadrática).
No segundo semestre de 2011, o professor teve a oportunidade de apresentar o
projeto e o Material Didático Pedagógico produzido a um grupo de professores de
Matemática da Rede Estadual de Ensino, por meio do Grupo de Trabalho em Rede
(GTR) on line. O GTR constitui uma atividade do PDE, que tem como objetivo a
interação virtual entre os professores da Rede Pública Estadual, possibilitando
novas alternativas de formação continuada para estes. A interação ocorre por meio
de fóruns e diários, nos fóruns, os participantes contribuem com perguntas
propostas pelo professor PDE e se interagem com outros cursistas; e nos diários,
eles respondem à questão sugerida pelo professor PDE.
Com estas ações, e ainda outras que foram oportunas no decorrer do Programa,
acredita-se estar otimizando os processos de ensinar e aprender Matemática,
colaborando com o sucesso dos alunos, do primeiro autor deste, assim como de
outros professores, por meio das reflexões e da diversidade de situações didáticas
apresentadas.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Matemática formativa e informativa
Se conduzisse-se uma pesquisa a fim de saber as razões pelas quais a Matemática
faz parte do currículo escolar, provavelmente se chegaria a três categorias de
respostas: a) a função da Matemática é desenvolver o raciocínio, b) a Matemática
precisa ser ensinada e aprendida porque está presente na vida cotidiana e c) a
Matemática é ferramenta para as demais ciências.
É necessário observar que as razões pelas quais a Matemática foi incluída no
currículo escolar não ocorreram de qualquer forma e nem recentemente, mas
decorrem de paradigmas, que estão umbilicalmente ligadas a correntes filosóficas
que remetem à antiguidade.
A crença de que a Matemática desenvolve o raciocínio lógico é associada ao
primeiro paradigma e se sustenta filosoficamente nas ideias de Platão (427-347
a.C), para quem o mundo real era constituído de aparências. Para ele, existia um
mundo de formas ou ideias onde estariam os modelos ideais dos objetos do mundo
físico ou das situações que o homem deveria se esforçar para alcançar
(PAVANELLO e NOGUEIRA, 2006, p. 33). Nessa crença, pode-se observar que é
valorizado o mundo das ideias e das formas, para que assim o homem consiga, pelo
seu esforço, atingir seus objetivos.
Em relação à justificativa de que a Matemática está presente no cotidiano e leva a
aplicações na vida prática, fundamenta-se em Aristóteles (384-322 a.C), cujo ponto
de vista se contrapõe ao de Platão, por considerar que a Matemática seria
constituída de construções elaboradas pelos Matemáticos a partir da percepção do
mundo real. Dessa maneira, as verdades matemáticas poderiam ser comprovadas
mediante experiências no mundo real (PAVANELLO e NOGUEIRA, 2006, p.33).
No que se refere à Matemática como ferramenta para as outras ciências, a ideia
baseia-se em Descartes (1506-1650), para quem a Matemática era condição para o
desenvolvimento de qualquer ramo do conhecimento, de tal modo que, sem a
Matemática, as demais ciências não seriam possíveis (PAVANELLO e NOGUEIRA,
2005. p. 33). Segundo essa vertente, a existência de outras ciências só é possível
graças a Matemática, que pode ser considerada como a origem, o ramo de todas as
outras ciências.
As justificativas discutidas podem ser sintetizadas em dois outros aspectos
igualmente importantes, apontados como objetivos da Matemática escolar: “ser parte
da educação geral, preparando o indivíduo para a cidadania e servir de base para
uma carreira em ciência e tecnologia” (D´AMBROSIO, 2004). Ou, como diz Santaló
(1996, p. 25), “a matemática tem um valor formativo que ajuda a estruturar todo o
pensamento e agilizar o raciocínio dedutivo, porém é uma ferramenta que serve para
a atuação diária e para muitas tarefas específicas de todas as atividades laborais”
(PAVANELLO e NOGUEIRA, 2006, p. 31).
A escola tem se baseado tradicionalmente na Matemática informativa, em
conhecimento e saberes, buscando somente objetivos específicos para cada
conteúdo previsto nos programas de ensino. Ao citar a Matemática formativa, volta-
se a atenção para o desenvolvimento do pensamento, que mesmo não estando
desvinculado dos conteúdos não pode ser reduzido a ele. Enquanto a Matemática
informativa se resume ao conhecimento pronto e acabado, a formativa preocupa-se
com o processo de construção do conhecimento, envolvendo a Matemática
propriamente dita. Dessa forma, a Matemática formativa dá importância ao cultivo de
atitudes matemáticas, tais como: estabelecer relações entre objetos matemáticos e
formular conjecturas, testá-las e prová-las, se for o caso.
Nesse sentido, pensando no processo ensino-aprendizagem de Matemática,
Pavanello e Nogueira, (2006, p.38) sugerem algumas atitudes que devem ser
cultivadas pelo aluno, com a orientação do professor, quando se pensa em
Matemática formativa. São elas:
- Partir de situações-problemas internas ou externas à Matemática;
- Analisar as situações;
- Pesquisar as situações;
- Pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução de problemas;
- Elaborar conjecturas, fazer afirmações sobre elas e testá-las;
- Refinar as conjecturas;
- Perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades;
- Sistematizar o conhecimento construído a partir de solução encontrada;
generalizando, abstraindo e desvinculando-o de todas as condições particulares;
- Submeter os resultados obtidos à comunidade, utilizando, para isso, uma
linguagem adequada; e
- Argumentar a favor ou contra os resultados.
Pavanello e Nogueira (2006, p. 38) ainda nos sugerem que, ao introduzir uma
atividade, o professor deve fazer uma seleção das informações captadas, utilizando
apenas o que é realmente importante, de forma que a atividade não atrapalhe no
cumprimento de outras atividades didáticas. Para isso, existem indicadores que,
segundo VERGANI apud Pavanello e Nogueira (2006, P. 38), podem nortear a
observação pelo professor, entre os quais poderiam ser citados:
- O interesse com que o aluno se entrega as atividades Matemáticas;
- A confiança que tem em suas possibilidades;
- Sua perseverança, apesar das dificuldades encontradas;
- Se formula hipóteses, sugere ideias, explora novas pistas de pesquisa;
- Se avalia criteriosamente a adequação do processo que adotou ou a solução que
encontrou;
- Se reflete sobre a maneira de planificar uma atividade e de organizar o seu
trabalho;
- Se pede ajuda em caso de dúvida ou falta de conhecimento; e
- Se comunica suas dificuldades e descoberta aos colegas, de maneira adequada.
Entretanto, essas atitudes somente serão cultivadas pelo aluno se as práticas
pedagógicas não estiverem centradas na exposição e reprodução de conteúdos que
só privilegiam a memorização e não o desenvolvimento do pensamento. Estudos de
pesquisadores exemplificam metodologias de ensino que privilegiam o
desenvolvimento do pensamento matemático e atitudes positivas com relação à
Matemática. Entre essas metodologias, pode-se citar a de Resolução de Problemas
(ONUCHIC, 1999 a 2005), investigações matemáticas (PONTE e outros, 2003) e
Modelagem Matemática (BASSANEZI, 2002).
2.2 Avaliação no contexto escolar
A avaliação não é uma criação da escola, mas sim um ato natural do ser humano e
nossa sociedade a utiliza como um instrumento que ajusta e regula as relações
entre indivíduos de um mesmo grupo, ou até de grupos diferente.
Segundo Pavanello e Nogueira (2006, p. 71):
[...] poucos educadores e educandos possuem consciência de que a avaliação é um processo contínuo e natural aos seres humanos, de que os homens se avaliam constantemente, nas mais diversas situações, diante da necessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as mais complexas.
O ser humano, desde a sua concepção, já começa a ser avaliado, demonstrando
que o processo de avaliação é inerente e próprio do ser humano, que, por meio de
procedimentos de verificação de ações e da análise destes, consegue tomar
decisões para atingir um determinado objetivo.
No campo educacional ou escolar, encontra-se a seguinte definição de avaliação,
proposta por Hadji (1994):
[uma] operação particular da realidade: operação pela qual tomamos posição, nos pronunciamos sobre uma dada realidade à luz de uma grelha de leitura que exprime, em relação a essa realidade, determinadas exigências; o momento de confrontar-projetar/ resultados (BURIASCO, FERREIRA e CIANI, 2009, p. 71).
Mas por que se avalia? Segundo Hadji (1994) apud Pavanello e Nogueira (2006, p.
72) avalia-se por três razões (desejos) principais:
- conferir medidas com os respectivos padrões e situar objetivamente, estimar ou
suscitar o desempenho ou eficácia, tal como um especialista;
- apreciar uma realidade em relação às normas e valores pré-definidos. Emissão de
ato julgamento, tal como um juiz;
- ampliar o horizonte de compreensão, por meio da construção de um sistema de
interpretação (referente) próprio para torná-lo inteligível, como uma recusa a um
referente pré-determinado, tal como um filósofo.
Nos três casos apresentados, pode-se observar que a avaliação está em função de
uma ação melhorada, que busca ampliar a visão de um determinado conhecimento.
Não aceitam-se hipóteses pré-determinadas, mas buscam-se interpretações e
soluções que possam melhorar a construção desse conhecimento. Segundo Luckesi
(1998, p.168), “a avaliação é uma forma de tomar consciência sobre o significado da
ação na construção do desejo que lhe deu origem”.
Não há duvidas de que a avaliação escolar é essencial e que a prática pedagógica é
inseparável desta, pois, é por meio dela, que o professor pode fazer o
acompanhamento do desenvolvimento dos seus alunos e verificar se o seu
progresso está acontecendo de acordo com suas expectativas ou se há necessidade
de repensar sua ação pedagógica. Em relação ao aluno, a avaliação possibilitará
que ele saiba de que forma está se desenvolvendo do ponto de vista do professor,
além de saber se há lacunas no seu aprendizado, nos quais ele precisa atentar.
Dessa forma, no processo ensino-aprendizagem, não somente o aluno, mas o
professor também acaba sendo avaliado.
Buriasco (2002, p. 259) nos diz que “A avaliação como parte integrante das
atividades escolares possui várias funções. Uma delas tem sido pouco evidenciada
– a avaliação como reguladora do processo de ensino e aprendizagem”.
Pensando assim, percebe-se que existe uma ligação entre o ato de avaliar e o de
aprender, eles estão interligados e são interdependentes, um sendo reflexo do outro,
pois o resultado da avaliação está diretamente relacionado à forma de ensinar.
Diversas publicações (DE LANGE, 1987; NCTM, 1989/1991; LEAL, 1992; NCTM,
1995/1999; DE LANGE e VAHAGE, 1997), destacam princípios orientadores que
devem orientar a avaliação da aprendizagem em Educação Matemática. Mesmo
fazendo uso de denominações distintas para alguns princípios, é comum descobrir
interações entre eles.
Segundo Leal (1992) apud Menino e Santos, (2011, p.2), que retoma as ideias
principais apresentadas por De Lange (1987), a avaliação deve estar de acordo com
esses princípios:
a) Princípio da coerência - a avaliação deve estar em consonância com os três componentes do currículo: objetivos, conteúdos e metodologias;
b) Princípio da integração - a avaliação é vista como parte integrante da aprendizagem;
c) Princípio do caráter positivo - a avaliação deve dirigir-se para aquilo que o aluno melhor sabe fazer;
d) Princípio da generalidade - por um lado, a avaliação deve dirigir-se a objetivos gerais de ensino, ao mesmo tempo que o aluno deve ser visto como um todo e não como um elemento dentro do coletivo. Por outro, a escolha de uma forma ou instrumento de avaliação não deve ser feita em função da sua adequabilidade a uma classificação quantitativa, mas sim aos fins para os quais foi pensada;
e) Princípio da diversibilidade - na avaliação o professor deve recorrer a múltiplas fontes de evidência do desempenho do aluno, permitindo dar resposta às características pessoais dos alunos;
f) Princípio da postura - a avaliação deve acontecer num ambiente em que a confiança e a clareza imperem e em que as críticas e sugestões sejam entendidas como naturais.
Em síntese, é fundamental que a avaliação guiada promova a aprendizagem para
fazer a regulação do ensino do professor e da aprendizagem dos alunos, portanto,
deve ser um processo participativo e transparente, “concomitantemente deve
aparecer de maneira integrada com as práticas curriculares, auxiliando na sua
própria construção”.
Vários artigos sobre avaliação em Matemática apontam que esta deve acontecer
simultaneamente ao processo de ensino-aprendizagem, (APM, 1988; DEB 2001;
NCTM, 1985, 1991, 2009), destacando um novo entendimento daquilo que deve ser
dado valor nessa disciplina. Deixa-se de lado a importância dada à compreensão de
conceitos e rotinas de cálculos, em um ensino expositivo e sem senso crítico e
propondo um ensino que tenha como centro a resolução de problemas, para que
haja compreensão de um mundo significativo para aqueles que estão aprendendo,
em aula onde se descobre, discute e faz Matemática (MENINO e SANTOS, 2011, p.
1). Tudo isso para tornar o ensino de Matemática mais agradável e significativo para
os alunos.
As publicações do National Council of Teacher of Mathematics (NTCM, 1991, 1999,
2000) indicam que deve haver uma diversificação de técnicas e instrumentos na
avaliação de desempenho dos alunos, sugerindo a utilização de observação,
entrevistas, tarefas abertas, problemas, investigações, portfólios e testes com
diferentes características. A utilização de instrumentos variados e a integração entre
eles permitem a existência de uma avaliação mais coerente com o processo ensino-
aprendizagem, além de permitir ao aluno reunir um conjunto de evidências daquilo
que melhor consegue fazer em diferentes tarefas e em variados contextos de
trabalho (MENINO e SANTOS, 2011, p.1-2, adaptado).
Dessa maneira, nota-se que quanto mais diversificado ocorrer o processo de
avaliação, quanto maior o número de instrumentos utilizados, haverá maior
coerência no processo ensino-aprendizagem.
2.3 Avaliação Matemática e fracasso escolar
Observando a maioria das escolas em nosso país, pode-se perceber que o processo
avaliativo é baseado na aplicação de uma prova ou teste escrito, convertendo as
respostas de cada aluno em um determinado valor numérico, considerando-se que,
com isso, tenha sido cumprido o processo de medir e classificar de forma
adequada os alunos. Ou seja, geralmente a avaliação é considerada como a última
etapa de verificação de um conjunto de ações, cujo objetivo é determinar o melhor e
o pior, o vencedor e o perdedor, o aprovado e o reprovado.
Dessa forma, a avaliação como uma prática social, atualmente, na maioria das
escolas, baseia-se em uma atividade de classificação, hierarquização, seleção e
exclusão de alunos.
De acordo com Santos, (2009, p. 6):
Embora nas últimas décadas várias pesquisas e projetos educacionais apresentam abordagens metodológicas que estimulam uma mudança na prática pedagógica e no processo avaliativo, prevalece, em nossas escolas, uma avaliação que valoriza a memorização e reprodução dos conhecimentos desenvolvidos. Na maioria dos casos ela é efetuada, por meio de provas bimestrais nas quais o elemento de maior relevância é o resultado, cujo valor se traduz em uma classificação, estimulante para os poucos que se destacaram e humilhante para os que não alcançaram o êxito desejado.
Nota-se, assim, que a avaliação continua funcionando como um instrumento de
disciplina e classificação. Seguindo este pensamento, Buriasco (2002, p.1) nos diz
que:
[...] nas escolas, na maioria das vezes, a avaliação tem sido usada para dar nota ao aluno, e como tal, parece ter se transformado em instrumento para disciplinar a turma. É o braço autoritário do professor que mais atinge o aluno. Por conseguinte, a avaliação se desvia de sua função diagnóstica e volta-se, quase que exclusivamente, para a função classificatória, que é incentivada pelo
modo de vida de uma sociedade que valoriza a competição (SANTOS, 2009, p. 6; 7).
Especificamente na prática pedagógica da Matemática, tradicionalmente, a
avaliação tem-se centrado nos conhecimentos específicos e na contagem de erros.
Consiste numa avaliação somatória, que ao selecionar os estudantes, compara-os
entre si e os coloca em um determinado lugar numérico em função do desempenho.
Segundo Santos (2009, p.7), considerar o resultado, não levando em conta todas as
fases que constituíram o processo de construção dos conhecimentos, caracteriza a
avaliação do conhecimento escolar como uma prática extremamente punitiva, que
não serve para diagnosticar os meios necessários para alcançar as metas previstas.
Tal prática reduz a avaliação à simples obtenção do “produto” final.
Para exemplificar essa prática punitiva, cita-se alguns dos jargões utilizados no
cotidiano escolar: “anotem, pois vai cair na prova”, “prestem atenção nesse assunto,
porque semana que vem tem prova”, ”se não ficarem calados vou fazer, uma prova
surpresa”, “já que vocês não param de falar, considero a matéria dada e vai cair na
prova”. Esses, e outros que se equiparam, são indicadores de como a avaliação no
ensino da Matemática tem sido utilizada como instrumento de repressão.
Segundo Luckesi (1998, p.168), “A prática escolar usualmente denominada de
avaliação da aprendizagem pouco tem a ver com avaliação. Ela constitui-se muito
mais de provas/exames do que de avaliação”.
Pode-se notar que o processo de avaliação não acompanhou as mudanças
ocorridas na sociedade, pois apresenta um quadro de estagnação perene e
duradouro, sem notáveis avanços. Ou seja, “hoje se avalia a aprendizagem do aluno
como se avaliava há décadas; usam-se os mesmos instrumentos que se usava no
passado, não mudou praticamente nada, está inerte” (BASSO e HEIN, 2008 apud
BASSO e SANCHEZ, 2009).
Considera-se que, para superar essa prática de avaliação ultrapassada e
empobrecida que almeja apenas resultado demonstrado por total, em favor de uma
prática avaliativa que auxilie para o desenvolvimento do ensino e da aprendizagem,
faz-se necessário questionar: O que significa avaliar?
Para Barlow (2006) apud Santos, (2009, p.7) “avaliar é emitir um julgamento preciso
ou não sobre algo justificável ou não, depois de ter efetuado ou não uma medição”.
Essas palavras apontam as contradições existentes no termo avaliar, quando faz-se
a sua associação nos mais diversos setores das atividades que são desenvolvidas
pela nossa sociedade.
Até que ponto medir pode ser vinculado à ação de avaliar? De acordo com Hadji
(1994), apud Santos, (2009, p.7), medir
[...] é apreender um objeto físico, ao adotar dimensão considerada de uma escala numérica [...]. Uma medição traduz-se em números, uma avaliação por meio de palavras.. Avaliar é situarmo-nos, de corpo inteiro, na esfera da comunicação ao produzirmos um discurso que dê uma resposta argumentativa a uma questão de valor. Uma primeira regra fundamental para quem avalia é, pois, a de entregar uma mensagem que tenha sentido para aqueles que a recebem.
Compreender o ato de avaliar como uma forma de comunicação talvez seja um
caminho para aproximar seu conceito da prática escolar, visto que, ora o aluno, ora
o professor são emissores de mensagens ou receptores destas que, decodificadas
de forma dialógica, tornam fecundo e promissor o processo de aprendizagem
(SANTOS, 2009, p.8-adaptado).
Entretanto, no espaço escolar, há predominância de um monólogo em que o
professor, após analisar as tarefas efetuadas pelos alunos, expõe seus resultados
por meio de nota ou conceito que, ao final de uma etapa, poderá servir para aprová-
los ou reprová-los. Para Luckesi (1998, p.66), isso configura-se como verificação e
não como avaliação.
Ainda segundo Luckesi (1998, p.75-76),
[...] o termo verificar provém etimologicamente do latim – verum-facere-e significa “fazer verdadeiro”. Contudo, o conceito verificação emerge de determinações da conduta de, intencionalmente buscar “ver se algo é isso mesmo...”, investigar a verdade de alguma coisa. O processo de verificar configura-se pela observação, obtenção, análise e síntese dos dados ou das informações que delimitam o objeto ou ato com o qual se está trabalhando. [...] Por si, a verificação não implica que o sujeito retire dela conseqüências novas e significativas. [...] O termo avaliar também tem sua origem no latim, provindo da composição a-valere, que quer dizer “dar valor a”. Porém o conceito avaliação é formulado à partir das determinações da conduta de atribuir um valor ou qualidade a alguma coisa, ato ou curso de ação...” [...] Isto quer dizer que o ato de avaliar não se
encerra na configuração de valor ou qualidade atribuídos ao objeto em questão, exigindo uma tomada de posição favorável ou desfavorável ao objeto de avaliação, com uma consequente decisão de ação [...].
Isso demonstra que a avaliação pode se efetivar por meio da investigação, da
verificação, da observação, da obtenção, análise e síntese de dados ou informações
que compõem o objeto de estudo. Na avaliação, dá-se um valor quantitativo ou
qualitativo ao objeto, sem com isso dizer que o ato de avaliar termina na
determinação de valor ou de uma qualidade atribuída ao objeto, mas necessita de
uma tomada de decisão que seja favorável ou não em relação ao objeto avaliado,
isto quer dizer deve haver uma tomada de decisão.
Dessa forma, pensa-se que cabe ao professor, como mediador do processo ensino-
aprendizagem-avaliação, tomar decisões e medidas para intervir e melhorar este
processo. Uma tomada de decisão que exige definir os critérios, os fins principais, os
instrumentos, as funções e consequentes estratégias a serem adotadas mediante
aplicações de uma avaliação.
Diz-se isso porque entende-se que, se tratados com naturalidade, os erros começam
a desempenhar uma importância pedagógica, passando a ter um papel
profundamente construtivo, não fazendo com que o aluno tenha um sentimento de
fracasso, mas possibilitando-lhe um instrumento de compreensão de si próprio,
dando-lhe motivação para superar os obstáculos do sucesso para o seu futuro
pessoal. É por isso que Vergani (1993), apud Pavanello e Nogueira (2006, p. 37),
afirma: “Interessar-se pelo aluno e interessar-se pelos seus erros”. Nessa
perspectiva, os erros não devem apenas ser detectados, mas devem ser motivo
para um trabalho específico do professor com o aluno.
Ao abordar o erro, Fiorentini (2006) apud Santos (2009, p. 13), afirma que
[...] o erro escolar, na verdade, resulta de um esforço dos alunos em participar do processo de aprendizagem produzindo e negociando, a partir de seu mundo e de sua cultura, sentidos e significados sobre o que ensina e aprende na escola. E, nesse sentido, o erro não poderia ser visto como um mal a ser erradicado, mas como parte do processo de aprender e desenvolver-se intelectualmente.
Corroborando com Fiorentini, pode-se notar que o erro mostra que o aluno buscou
participar do processo de aprendizagem, a partir do seu conhecimento e das suas
limitações. Sendo assim, não pode-se considerar o erro como um mal a ser
erradicado, mas sim como parte do processo.
De acordo com Santos (2009, p. 13),
Reconhecer a importância da análise de erros não significa desconsiderar os acertos, pelo contrário, a análise tanto dos erros como dos acertos pelo professor é essencial para compreensão das competências e limitações dos alunos e para promoção da avaliação da aprendizagem matemática a fim de que os olhos destes seja algo promissor.
Ao conduzir a avaliação com este intuito, segundo Buriasco (2004) apud Santos
(2009, p. 13), a avaliação “[...] pode ser objeto de investigação [...], nesse sentido é
importante que os professores tenham clareza e conhecimento da importância da
análise dos resultados e estratégias desenvolvidos por seus alunos ao procederem
registros em questões da produção didática.
Assim, pode-se verificar que a avaliação passa a ter um papel importante, podendo
ser objeto de investigação. É fundamental que os professores saibam valorizar a
importância da análise dos resultados e as estratégias que foram utilizadas pelos
seus alunos ao registrarem questões da produção didática.
Nesta concepção, de acordo com Esteban (1999, p.14),
[...] avaliação como prática de investigação pode responder à impossibilidade de reduzir os processos ao que é imediatamente observável. Interroga as respostas, indaga sua configuração, procura encontrar as relações que as constituem. Não se satisfaz com a constatação do erro e do acerto, à resposta dada faz novas perguntas. Sobretudo, como prática de investigação, não nega o erro, tampouco lhe atribui um valor negativo. O erro é considerado um importante elemento na tentativa de compreender a complexidade dos processos e de produzir práticas que incorporem os processos em sua complexidade. O erro dá pistas sobre os conhecimentos, práticos, processos, valores, presentes na relação, pedagógica, embora freqüentemente invisíveis. O erro é portador de conhecimentos, processos lógicos, formas de vida, silenciados e negados pelo pensamento hegemônico. A avaliação, nesta perspectiva, vai desafiando e desfiando o que se mostra para se
encontrar o que se oculta (apud SANTOS, 2009, p. 13).
A avaliação como prática de investigação confronta as respostas buscando
descobrir como elas foram concebidas. Não se aceita apenas o acerto ou erro, sem
fazer ponderações sobre o porquê das suas causas. Considera-se o erro como um
elemento importante na complexidade do processo de ensinar e aprender,
demonstrando que, pelo erro, também pode ocorrer aprendizagem.
Dessa forma, é fundamental que o professor procure conhecer e entender os erros
que os alunos cometem nas atividades propostas, já que, “(...) quando um aluno
comete um erro, ele expressa o caráter incompleto de seu conhecimento” (PINTO,
2000 apud BURIASCO e NAGY SILVA, 2005, p. 501).
Nesse contexto, no qual o erro tem grande importância, tanto para o aluno quanto
para o professor, a avaliação acaba também ganhando novas dimensões, atribuindo
aos resultados encontrados uma característica orientadora.
Percebe-se que os instrumentos de avaliação que o professor utiliza com os alunos,
estão, muitas vezes, relacionados com o que ele vivenciou no seu curso superior.
Assim, entende-se que uma mudança no processo avaliativo se torna difícil, pois os
educadores reproduzem as práticas no seu dia a dia. Isso demonstra que as
mudanças necessárias no processo avaliativo envolvem um repensar de todos os
níveis de ensino.
Se a avaliação na disciplina de Matemática não pode ser apenas uma constatação,
uma aferição, muito menos pode significar aprovação ou reprovação. Ela deve estar
relacionada com o caminho percorrido pelo aluno durante o processo de
aprendizagem (que normalmente é uma construção), considerando seus avanços
como etapas integrantes do processo.
Dessa forma, para que isso ocorra:
- A avaliação deve ser contínua, realizada todo dia, sem ser percebida,
pois ela acontece antes, durante e depois do trabalho pedagógico. A
avaliação na disciplina de Matemática apresenta funções distintas de
acordo com o momento em que é realizada.
- A avaliação em Matemática deve ocorrer utilizando-se inúmeros
instrumentos para obter informações, instrumentos variados para aluno
que também não são homogêneos, não fazendo diferença sejam quais
forem os instrumentos utilizados para avaliar o aluno. Este instrumento
deve comprovar o que foi aprendido pelo aluno e quais as falhas no
processo, tendo como objetivo buscar a melhora sistemática no processo
ensino-aprendizagem e avaliação em Matemática.
- Na disciplina de Matemática, pode-se destacar variados instrumentos de
avaliação em sala de aula com o objetivo de ocorrer à superação da
Inércia, em que se encontra o processo avaliativo utilizado normalmente.
O sucesso ou o fracasso escolar é normalmente relacionado ao resultado verificado
nas práticas avaliativas utilizadas pelos professores.
2.4 Novas perspectivas de avaliação do processo ensino-aprendizagem de
Matemática
Várias questões relacionadas à avaliação da aprendizagem escolar já foram
discutidas na literatura (HADJI, 1994; LUCKESI, 1998; CURY, 1996, 2006; VAN
DEN HEUVEL-PANHOIZEN,1996; GIMENEZ, 1997; SACRISTAN, 1998;
BURIASCO, 1999, 2000, 2002; ESTEBAN, 2002, 2003; BARLOW), portanto, com o
avanço desses estudos , questões novas aparecem e servem de motivação para
investigações (BURIASCO, FERREIRA e CIANI, 2009, p. 73).
Apesar de existirem vários estudos concernentes à avaliação, percebe-se que não
existe um consenso entre os educadores de qual seria o instrumento mais coerente
para ser utilizado no processo ensino-aprendizagem. É, portanto, um dos assuntos
da educação que mais provocam discussões ao se tentar chegar a um denominador
comum entre os educadores.
Em concordância com as Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do
Paraná (DCEs, 2008, p. 43), considera-se que “a avaliação deve se dar ao longo do
processo do ensino-aprendizagem, ancorada em encaminhamentos metodológicos
que abram espaço para a interpretação e discussão, que considerem a relação do
aluno com o conteúdo trabalhado, o significado desse conteúdo e a compreensão
alcançada por ele”.
Segundo Ponte (1997) apud Santos (2009, p. 14), “as práticas de avaliação
Matemática, consideradas como tarefas que favoreçam aprendizagem, não podem
estar vinculadas a um único momento ou forma de avaliar, do mesmo modo somos
injustiçados quando consideramos como algo inalterável um primeiro resultado seja
individual ou coletivo”.
De acordo com as DCEs do Paraná (2008, p.43), algumas questões são
fundamentais para que o professor elabore uma proposta de práticas avaliativas que
indique se o aluno:
- Comunica-se matematicamente, oral ou por escrito (BURIASCO, 2004).
- Participa coletiva e colaborativamente nos trabalhos realizados em
grupos.
- Compreende, por meio da leitura, o problema matemático.
- Elabora um plano que possibilite a solução do problema.
- Encontra meios diversos para a resolução de um problema matemático.
- Realiza o retrospecto da solução de um problema.
Dessa forma, as DCEs (2008, p. 44) também indicam que certas atitudes devem ser
cultivadas pelo aluno sob a orientação do professor e se caracterizam por:
- partir de situações-problema internas ou externas à Matemática;
- pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução dos
problemas;
- elaborar conjecturas, fazer afirmações sobre elas e testá-las;
- perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades;
- sistematizar o conhecimento construído a partir da solução encontrada,
generalizando, abstraindo e desvinculando-o de todas as condições
particulares;
- socializar os resultados obtidos, utilizando, para isso, uma linguagem
adequada;
- argumentar a favor ou contra os resultados (NOGUEIRA e PAVANELLO,
2006).
A partir dessas orientações, existem diversas sugestões de novas perspectivas de
avaliação em Matemática, as quais propõem uma maior participação do aluno no
processo de ensino-aprendizagem-avaliação. Dessa forma o aluno passa a ser um
dos agentes responsáveis pelo seu desempenho, por seu desenvolvimento e por
sua aprendizagem.
Há vários instrumentos de avaliação, propostos pelos teóricos contemporâneos, que
são coerentes com o processo ensino-aprendizagem de Matemática, como por
exemplo: A Produção Escrita, O Relatório, A Observação, O Portfólio, A prova em
duas fases, A prova em três fases. Na implementação do projeto, utilizou-se o
instrumento Prova em três fases, o qual será descrito na seção metodologia.
3 METODOLOGIA
Observa-se, na atualidade, um descontentamento e uma frustração muito grande no
ambiente escolar, na busca constante pela superação do desinteresse de grande
parte dos alunos.
Com o intuito de que os conteúdos matemáticos sejam desenvolvidos para terem
significado, conectando-se com outras áreas e preparadas de forma a dar
oportunidades futuras de sua utilização em situações do dia a dia, as Diretrizes
Curriculares de Matemática do Estado do Paraná (2008, p.63) sugerem a utilização
de Tendências Metodológicas em Educação Matemática, como: Etnomatemática,
Modelagem Matemática, Mídias Tecnológicas, História da Matemática, Investigação
Matemática e Resolução de Problemas.
A opção pela metodologia Resolução de Problemas, neste estudo, justifica-se pela
necessidade que sentiu o professor de trabalhar com uma maneira mais atraente,
funcional e significativa de ensinar e aprender Matemática utilizando problemas
escolares e do cotidiano dos alunos.
Como é sabido, a avaliação continua funcionando como um instrumento de
disciplina e classificação na maioria das escolas. Pensando na possibilidade de
mudar essa realidade, após o trabalho do conteúdo específico utilizando a
Metodologia Resolução, a prova em três fases foi escolhida como uma metodologia
para avaliar o processo ensino-aprendizagem ocorrido na implementação do Projeto
de Intervenção Pedagógica.
3.1 Resolução de Problemas como uma metodologia de trabalho em Educação
Matemática
O que vem a ser um problema matemático?
Os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) (1998, p. 41) definem um problema
matemático como:
Uma situação que demanda a realização de ações ou operações para obter em resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la.
Nesta perspectiva, problema matemático é uma situação que utiliza vários tipos de
estratégia e operações para encontrar uma solução que não estará acessível no
início da resolução, mas poderá ser construída no desenvolvimento da resolução.
Segundo Polya (1994, prefácio):
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na solução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade suscetível, poderiam gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, sua marca na mente e no caráter.
Nesse mesmo sentido, para Gazire (1998), citado por Cyrino (2000, p.20), uma
pessoa tem um problema quando “compreende a solução e não encontra uma
solução óbvia imediata; reconhece que a situação exige uma ação (que ou precisa
agir sobre a situação)”. Assim, é no decorrer da execução de uma sequência de
ações que se obtém o resultado.
De acordo com Schoenfeld (1997, apud PARANÁ, 2008, p.36), a Tendência
Resolução de Problemas “possibilita compreender os argumentos matemáticos e
ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser aprendido pelos sujeitos do
processo de ensino-aprendizagem”.
Utilizando-se dessa tendência, as aulas poderão ser mais dinâmicas, não se
prendendo a modelos clássicos, como exposição oral e resolução de atividades. Por
meio da resolução de problemas o aluno perceberá que pode compreender os
conhecimentos matemáticos e utilizá-los em seus argumentos.
Onuchic, comentando sobre o processo ensino-aprendizagem por meio da
Resolução de Problemas, expõe:
Os problemas são importantes não somente como um propósito de
se aprender matemática, mas também, como um primeiro passo
para se fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático
começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave
desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como
respostas razoáveis. Um objetivo de se aprender matemática é o
poder ser visto como um movimento do concreto (um problema do
mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica
operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma
classe de problemas e técnicas para operar com esses símbolos)
(ONUCHIC, 1999, p.207).
3.2 A prova em três fases como proposta de avaliação
Esta é uma proposta inovadora utilizada por Santos (2009) em uma pesquisa com
alunos de 8ª série. A seguir, é apresentada a explicação de como deve ser
realizada a intervenção pedagógica. Em um primeiro momento (1ª fase), a prova
deve ser resolvida individualmente e sem o auxílio do professor.
No segundo momento (2ª fase), os alunos formam grupos com três integrantes.
Cada grupo recebe uma das questões da prova com perguntas elaboradas pelo
professor, a partir da análise da resolução das provas da 1ª fase. Pretende-se que
as questões favoreçam a reflexão a respeito das estratégias mais empregadas pelos
alunos. Com o auxílio do professor e consulta ao material de apoio (cadernos e
livros), eles devem resolver as questões propostas. Quando todos concluírem suas
tarefas, cada grupo fará a exposição da resolução da questão, justificando-a por
meio dos conceitos utilizados. Por fim, cada aluno deverá entregar um relatório
sobre a exposição das outras equipes.
No terceiro momento (3ª fase), os alunos, ainda nos mesmos grupos, farão a
correção das provas que fizeram na 2ª fase, agora contendo também os comentários
e indicações do professor. Para essa correção, deve-se utilizar o relatório que foi
feito na 2ª fase.
Conforme Santos (2009, p. 25), adotar uma prova em três fases como instrumento
de avaliação é favorecer para que os alunos superem suas dificuldades por meio da:
• pesquisa com utilização de recursos de apoio;
• ajuda dos colegas;
• orientação do professor que com questionamentos conduz e estimula os
alunos na busca da solução desejada.
Além disso, ela também pode promover o desenvolvimento de atitudes e habilidades
que envolvem: a argumentação oral e escrita de ideias e de conceitos matemáticos,
o companheirismo e a autonomia para refletir e regular a aprendizagem, de modo
que a avaliação seja um momento em que a análise dos erros e acertos promova
uma aprendizagem Matemática mais efetiva.
3.3 Desenvolvimento do Projeto
O Projeto de Intervenção Pedagógica foi implementado pelo professor participante
do PDE com alunos do 1º ano do Ensino Médio (E.M.), do Colégio Estadual James
Patrick Clark – EMFD, no período matutino, na cidade de Terra Rica/PR, no segundo
semestre do ano de 2011.
No transcorrer da Semana Pedagógica, realizada em julho de 2011, o Material
Didático foi apresentado aos professores, à equipe pedagógica e à direção da
escola, procurando compartilhar a proposta de trabalho que foi elaborada durante a
realização do PDE. Esta, utilizaria a Metodologia de Resolução de Problemas no
Ensino da Matemática e seria implementada com os alunos do referido colégio.
Iniciadas as aulas, no segundo semestre de 2011, o Material Didático também foi
apresentado aos alunos do 1º ano do E.M., período matutino, expondo o seu
desenvolvimento e a metodologia a ser utilizada no decorrer do trabalho e na
avaliação. A escolha dos participantes foi realizada por meio de convite a todos os
alunos que estudavam o 1º ano no turno vespertino, que tivessem interesse em
participar do processo de implementação do material didático. Durante a fase de
implementação do Material Didático, verificou-se alguns imprevistos relacionados
ao dia e ao horário de sua realização, devido a outros compromissos assumidos
pelos alunos, contudo, conseguiu-se chegar a um consenso, adequando um horário
que fosse viável a participação de todos os que tivessem interesse em participar do
projeto. Com isso, foi possível cumprir o cronograma estabelecido durante o
programa.
O trabalho foi realizado com 20 alunos, no contraturno, e demandou 32 horas/aulas
para que todas as atividades planejadas fossem trabalhadas.
O Material Didático foi dividido em 4 ações relacionadas com o conteúdo Função do
2º grau ou Quadrática, utilizando a Metodologia Resolução de Problemas:
- 1ª Ação: breve histórico da equação do 2º grau e uso das funções e sua
aplicação prática;
- 2ª Ação: construção de Gráfico da função do 2º grau ou quadrática e
cálculo do vértice;
- 3ª Ação: encontrar as raízes ou zeros da função quadrática e valor
máximo ou mínimo;
- 4ª Ação: estudo dos sinais da função do 2º grau;
- 5ª Ação: relacionada à 1ª fase da prova;
- 6ª Ação: relacionada à 2ª fase da prova;
- 7ª Ação: relacionada à 3ª fase da prova.
A implementação da 1ª ação ocorreu de forma oral e escrita, partindo de várias
situações-problema associadas ao período histórico dos gregos, chineses e
indianos, as quais relacionavam situações que são comuns em nosso cotidiano e
que poderiam ser representadas pelo uso de funções do 2º grau ou quadrática do
tipo (y = ax² + bx + c). O professor procurou instigar os alunos, por meio de
questionamentos relacionados aos termos que não conheciam.
O desenvolvimento da 2ª ação compreendeu-se na construção do gráfico da função
do 2º grau ou quadrática, sendo sua representação por meio de uma curva,
chamada de parábola. Foi determinado o cálculo do vértice da parábola, partindo de
uma situação problema que associava o plano cartesiano e as suas coordenadas
com a latitude e a longitude, relacionando temas geográficos e a criação do Sistema
de Posicionamento Global (GPS). Foi exposto o plano cartesiano com os seus
respectivos quadrantes e a representação de pontos utilizando as respectivas
ordenadas. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões que, para não se
colidirem, são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.
Também se utilizou uma situação problema, para que os alunos percebessem que o
cálculo de área de um terreno pode ser associado ao plano cartesiano, visualizando
a sua utilidade de forma precisa e objetiva.
Na sequência, foi exposto aos alunos que para a construção do gráfico de uma
função do 2º grau do tipo y = ax2 + bx + c no plano cartesiano, pode-se utilizar um
roteiro que facilita o trabalho. Sabendo que um ponto importante para a construção
da parábola é o seu vértice, seguiram-se algumas etapas que favoreceram a sua
construção utilizando como base o cálculo do valor do seu vértice Xv e Yv:
a) Determinar as coordenadas V (Xv, Yv);
b) Construir uma tabela, determinando os valores para a variável x maiores e
menores que Xv;
c) Executar a marcação dos pontos (x, y) no plano cartesiano;
d) Fazer a união desses pontos para construir a parábola;
e) Traçar uma curva que passa por esses pontos, formando uma parábola.
A 3ª ação, relacionada às raízes ou zeros da função quadrática e o cálculo do valor
máximo ou mínimo, foi desenvolvida associando situações do dia a dia dos alunos,
possibilitando que pudessem observar que, de acordo com o valor do discriminante
(Δ) delta, a função poderá apresentar um número diferente de zero ou raízes. Esse
número pode ser determinado e representado pelo cálculo do valor do discriminante
(Δ) delta e do esboço do gráfico. Uma função poderá apresentar 2 raízes diferentes
quando o valor de Δ > 0, apresentar uma única solução ou raiz quando Δ < 0 e não
possuir solução real quando Δ < 0. O valor de máximo e de mínimo da função será
determinado pelo sinal do seu coeficiente a.
O desenvolvimento da 4ª ação, voltada para o estudo dos sinais da função
quadrática ou do 2º grau, ocorreu com a análise do coeficiente a, do valor do
discriminante (Δ) delta e da construção de gráficos, relacionados a funções oriundas
de situações-problemas do cotidiano. Observou-se que, de acordo com a
concavidade da parábola, é possível determinar o estudo dos seus sinais.
Os alunos participaram das atividades, individualmente ou em dupla, fazendo
indagações ao professor e aos colegas para tirar dúvidas sempre que necessário.
Devido ao tempo destinado à implementação do projeto, algumas situações-
problema utilizadas foram impressas e entregues aos alunos; outras foram passadas
no quadro negro pelo professor e transcritas no caderno pelos alunos.
No decorrer de cada ação, também foram trabalhadas algumas atividades
complementares, as quais buscavam instigar os alunos. Algumas dessas atividades
foram resolvidas individualmente, outras em dupla, para proporcionar maior interação entre os alunos, visando à solução do problema proposto.
Em todas as ações, após os alunos concluírem a resolução dos problemas ou das
atividades propostas, as soluções encontradas eram confrontadas e discutidas.
Quando não se chegava a uma solução viável, o professor fazia intervenções,
questionava, buscando subsídios juntos aos alunos para que a solução encontrada
estivesse de acordo com o solicitado no enunciado. Nesse processo, houve troca de
informações, o que propiciou a interação entre professor, aluno e conteúdo. Após
trabalhar as quatro ações planejadas, o professor iniciou a prova em três fases.
Na 5ª ação, relacionada à 1ª fase da prova, os alunos resolveram uma prova
composta de (10) questões dissertativas, em que deveriam responder a todas as
questões apresentadas individualmente, sem auxílio do professor. Essa prova foi
realizada em um período de 3 horas, uma hora a mais do que o esperado.
Na 6ª ação, relacionada à 2ª fase da prova, os alunos se organizaram em equipes
formadas por três integrantes: cada equipe recebeu uma das questões da prova da
1ª fase, contendo perguntas elaboradas pelo professor a partir de sua análise. Os
alunos puderam receber auxílio do professor e de material de apoio (cadernos e
livros) para responderem as perguntas propostas. Respondidas as questões, cada
equipe fez a exposição da sua questão no quadro negro, justificando-a por meio dos
conceitos utilizados. Para concluir esta fase, cada aluno entregou um relatório sobre
a exposição das outras equipes.
Na 7ª e última ação, relacionada à 3ª fase da prova, os alunos permaneceram nas
mesmas equipes da fase anterior. O professor solicitou-lhes que fizessem a correção
das provas realizadas na primeira etapa, agora contendo os comentários e indicações do professor. Para isso, utilizaram o relatório que escreveram na 2ª fase.
4 APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Durante o desenvolvimento da 1ª ação, relacionada ao histórico da equação e
função do 2º grau, o uso das funções e sua aplicação na vida prática, notou-se que
os alunos tinham uma visão superficial dessas informações e que alguns
desconheciam a importância da sua aplicabilidade no cotidiano. Os alunos puderam
observar que a resolução de problemas com equações do 2º grau aparece na
história da Matemática desde a antiguidade, com os babilônios, os egípcios, os
gregos, os hindus e os chineses. Verificou-se que, ao final dessa ação, os alunos
apresentavam uma visão mais elaborada do que é função do 2º grau, estabelecendo
ligação com situações do seu dia a dia.
No decorrer da 2ª ação, referente à construção de gráfico da função do 2º grau ou
quadrática e vértice da parábola, percebeu-se que a utilização das situações-
problema e das etapas propostas aos alunos para construir um gráfico facilitou a
compreensão. Os alunos aprenderam a construir e fazer a leitura de um gráfico.
Uma das maiores dificuldades apresentadas foi em relação à construção do gráfico
da função do 2º grau, que é representada por uma parábola que tem o formato
aproximado de uma curva em forma de U, apresentando um eixo de simetria vertical.
Em princípio, alguns também fizeram confusão em relação ao valor de x e y no par
ordenado, ao fazerem a representação no plano cartesiano. No entanto, essas
dificuldades foram superadas no decorrer da resolução das atividades propostas,
pois os alunos puderam discutir, observar e construir seus gráficos.
Durante a implementação da 3ª ação, relacionada a raízes ou zeros da função
quadrática e valor máximo ou mínimo, uma das principais dificuldades apresentadas
pelos alunos foi a interpretação dos enunciados dos problemas. A leitura foi
realizada pelo professor, que precisou ler o enunciado duas vezes para que os
alunos o compreendessem. Os termos utilizados nos problemas estavam
relacionados com alguns conceitos de tempo e espaço, os quais os alunos
apresentavam dificuldades na sua assimilação. Neste momento do trabalho, o
professor esclareceu os termos desconhecidos, possibilitando melhor interpretação
do enunciado.
Na 4º ação, relacionada ao Estudo dos Sinais da Função do 2º grau, os alunos já
estavam mais confiantes no tocante ao conteúdo. A análise do gráfico tornou-se
simples e objetiva, ocorrendo, assim, o processo ensino-aprendizagem de forma
mais rápida e eficaz.
Na 5ª ação, relacionada à 1ª fase da prova, apesar de alguns alunos encontrarem
dificuldades em algumas das 10 questões, todas foram resolvidas.
A realização da 6ª ação, referente à 2ª fase da prova, foi importante porque houve
grande interação entre os alunos. No momento em que estavam em suas equipes,
ocorreu a troca de ideias na busca pela solução da questão recebida. Quando cada
equipe expôs a sua questão, houve participação efetiva dos outros, a fim de sanar
as possíveis dúvidas que, porventura, ainda tivessem. Cada equipe fez a justificativa
da resolução da sua questão por escrito.
Durante a implementação da 7ª e última etapa, referente à 3ª fase da prova, foram
corrigidas todas as questões da prova da 1ª fase. Para isso, os alunos, em equipe,
utilizaram o relatório que escreveram na 2ª fase. Dessa forma, constatou-se que
todas as dúvidas existentes foram sanadas. Os resultados obtidos nesta ação
demonstram a viabilidade deste tipo de avaliação, que envolve a interação entre os
alunos e a discussão das questões propostas em várias oportunidades.
Os resultados obtidos com os alunos, de forma geral, podem ser considerados
positivos, pois atingiram os objetivos propostos. No transcorrer da implementação do
material didático, ocorreram algumas dificuldades, principalmente de interpretação
dos dados de alguns problemas propostos, os quais foram superados a partir do
momento em que os alunos conseguiram associar a situação problema com o seu
cotidiano. Algumas atividades tiveram que ser adequadas, para facilitar a sua
compreensão e assimilação, especialmente aquelas que relacionavam área,
perímetro e volume, visando a favorecer a compreensão e a efetivação do processo
ensino-aprendizagem.
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Resolução de Problemas sempre foi uma alternativa metodológica coerente no
ensino-aprendizagem da disciplina de Matemática, pois, por meio dela, o professor
faz o papel de problematizador, que instiga os alunos a terem dúvidas a fim de
desenvolver o pensamento heurístico, para que possam refletir, questionar, ousar e
criar maneiras de solução.
A utilização da Metodologia de Resolução de Problemas foi de suma importância,
os alunos gostaram da sua utilização, por terem questões associadas a fatos do seu
cotidiano. Apesar de alguns encontrarem dificuldades no início, principalmente com
a leitura e interpretação do enunciado, a aprovação dessa metodologia foi geral. Os
alunos mencionaram que ela facilita a compreensão, pois relaciona fatos da vida
diária ao conteúdo em estudo, contribuindo para assimilação e favorecendo o
processo ensino-aprendizagem.
A realização desse trabalho permite sugerir, como fazem outros autores (DANTE,
2010; ONUCHIC, 1999; SMOLE e DINIZ, 2001), que a utilização da Metodologia
Resolução de Problemas no Ensino da Matemática é eficaz, tendo em vista que os
alunos participantes tornaram-se mais críticos. Eles passaram a ter uma visão mais
abrangente do conhecimento, fazendo associação dos conteúdos com situações do
seu cotidiano, percebendo que o estudo da Matemática tem um sentido e que a
resolução de um determinado problema pode ser feita de inúmeras formas, ou seja,
há vários caminhos para se chegar a uma solução.
A prova em três fases ainda é recente, pouco conhecida pelos professores. No
entanto, pelo trabalho desenvolvido neste projeto, os resultados obtidos foram
significativos e mostraram que esta pode ser incorporada ao sistema de avaliação
utilizado nas escolas. Trata-se de uma alternativa viável, significativa para o
educando e que contribui para o processo de avaliação diagnóstica, pois
proporciona o repensar e a discussão dos conteúdos que ainda não estavam
totalmente compreendidos.
Os resultados obtidos com essa prova foram fundamentais, pois os alunos tiveram
vários momentos para verificarem quais partes dos conteúdos estavam com
dificuldades e corrigirem seus “erros”. Relatou-se que houve espaço para,
individualmente ou em duplas, debater as questões, realizando a sua correção,
proporcionando a sistematização do processo ensino-aprendizagem.
Durante a realização do projeto, os alunos apresentaram dificuldades em conceitos
relacionados ao sistema de medidas, como comprimento, área e volume. Essas
dificuldades puderam ser superadas com a resolução das situações-problema.
O Material Didático produzido recebeu interações à distância de alguns professores
da Rede Pública Estadual de Ensino. O Grupo de trabalho em Rede (GTR) foi
indispensável, pois os professores tiveram a oportunidade de analisar, refletir e
discutir sobre o material produzido, além de dar sugestões de atividades. A
socialização e a discussão das produções e atividades desenvolvidas neste projeto,
permitiu avaliar de forma positiva a relevância e viabilidade deste para a realidade
da escola pública.
Com as discussões proporcionadas pelo GTR e depoimentos de professores
cursistas, percebeu-se que a utilização da metodologia Resolução de Problemas,
associada à prova em três fases, realmente demonstra uma alternativa a ser
inserida no processo ensino-aprendizagem. Destaca-se que alguns cursistas
utilizaram esse modelo de avaliação com os seus alunos e gostaram do resultado
obtido, afirmando que ela possibilitou maior participação na discussão das possíveis
alternativas de soluções dos problemas propostos.
A participação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE foi de extrema
importância para o primeiro autor deste artigo, pois possibilitou uma visão diferente
de tudo o que havia vivenciado. Observou-se que mudança de postura na prática
pedagógica do dia a dia é possível e contribui para o aprendizado dos alunos,
principal objetivo de todo educador.
Considera-se que o projeto atingiu o seu objetivo, que foi mostrar a importância da
utilização de uma metodologia de ensino-aprendizagem e de avaliação que visem ao
pensar, ao uso do raciocínio e principalmente à utilização de conhecimentos
previamente construídos, contribuindo para que alguns dos alunos do 1º ano do
Ensino Médio superassem as suas dificuldades em Matemática. Com este projeto,
os alunos melhoraram sua capacidade de resolver e formular hipóteses, fazer
questionamentos e analisar os resultados obtidos.
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Escolar. Campinas: Alínea, 2006.
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BURIASCO, R. L. C; NAGGY-SILVA, M. C. Análise da produção escrita em matemática: algumas considerações. Londrina: UEL, 2005.
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