AVALIAÇÃO DOS MODELOS DE CÁLCULO PARA O DIMENSIONAMENTO DE

Revista Técnico-Científica do Crea-PR - ISSN 2358-5420 - 18ª edição – Abril de 2019 - página 1 de 15

AVALIAÇÃO DOS MODELOS DE CÁLCULO PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO AO

ESFORÇO CORTANTE

Daiane Mayer (Engenheira Civil, Autônoma); <http://lattes.cnpq.br/0821001918508263>; [email protected]

César Winter de Mello (Professor Mestre em Engenharia Civil – UNILA),

<http://lattes.cnpq.br/5627137185579581>; [email protected]

Amin Simon Lascani (Engenheiro Civil, Especialista em Engenharia de Estruturas); <http://lattes.cnpq.br/8085838043361034>; [email protected]

Resumo: Existem várias teorias e modelos para análise de vigas de concreto submetidas à

força cortante, desenvolvidas geralmente com base na analogia da treliça. No Brasil, a NBR

6118, a partir de 2003, propõe dois modelos, a treliça clássica e a treliça generalizada. O

presente trabalho tem como objetivo comparar e analisar esses dois modelos de cálculo de

armadura transversal resistente à força cortante. Calculou-se e ensaiou-se

experimentalmente, pelos dois modelos, os valores da força cortante à ruína e a parcela de

contribuição do concreto. Como resultados, obteve-se que em relação à força cortante na

ruína, para ambos os modelos, os comportamentos são similares tanto teórica quanto

experimentalmente. Por outro lado, a parcela de contribuição do concreto mostrou-se

discrepante tanto nas análises teóricas quanto experimentais.

Palavras-chave: Concreto armado. Cisalhamento. Esforço cortante.

EVALUATION OF CALCULATION MODELS FOR THE SIZE OF

ARMED CONCRETE BEAMS TO SHEAR STRENGTH

Abstract: There are several theories and models for the analysis of concrete beams

subjected to shear force, usually developed based on the trellis analogy. In Brazil, NBR 6118

from 2003, proposes two models, the classic trellis and the generalized trellis. The present

work has the objective of comparing and analyzing these two models of cross shear strength.

The values of the shear force to the ruin and the contribution portion of the concrete were

calculated and tested experimentally by the two models. As results, it was obtained that in

relation to the shear strength in the ruin, for both models, the behaviors are similar both


theoretically and experimentally. On the other hand, the contribution of the concrete has

been discrepant in both theoretical and experimental analyzes.

Keywords: Reinforced concrete. Shearing. Shear strength.

1 INTRODUÇÃO

O frequente desenvolvimento de técnicas construtivas e métodos de cálculo têm

possibilitado a execução de estruturas em concreto armado cada vez mais esbeltas. Nesse

contexto, os elementos de concreto armado estão sempre sujeitos a esforços transversais

(cisalhamento, torção e punção). Por outro lado, como os mecanismos internos resistentes

para estes tipos de solicitações se baseiam nas resistências à compressão e à tração do

concreto, sob certas condições, podem levar à ruptura frágil destes elementos (RIBEIRO,

2005).

Acompanhando esses desenvolvimentos, a versão de 2003 da NBR 6118 (ABNT,

2014) propôs para o item 17.4 – Elementos lineares sujeitos à força cortante no seu estado

limite último – dois modelos de cálculo para o dimensionamento à força cortante de

estruturas em concreto. Nesse cenário, o modelo de cálculo I baseia-se na treliça clássica

de Mörsch, enquanto para o modelo de cálculo II adota-se a treliça generalizada.

De acordo com Carvalho e Figueiredo (2010), a treliça clássica de Mörsch foi

concebida no início do século XX e, desde então, vem sendo utilizada como base para o

dimensionamento de vigas de concreto armado. Os autores sustentam, ainda, que a partir

da configuração da viga na ruptura, Mörsch idealizou um mecanismo resistente que

assemelha viga a uma treliça, de banzos paralelos e isostática, em que os elementos

resistentes são as armaduras longitudinal e transversal e o concreto comprimido (nas bielas

e na região da borda superior), cujas interseções formam os nós da treliça.

Ademais, no modelo clássico admite-se que as bielas de compressão estão inclinadas

a 45° em relação ao eixo da viga, acompanhando a inclinação das tensões principais na

altura da linha neutra (ARAÚJO, 2010).

Já Bastos (2017) verificou, com base nos resultados de numerosas pesquisas, que a

inclinação das fissuras é geralmente inferior a 45°, e, consequentemente, as bielas de

compressão têm inclinação menor que o referido ângulo, podendo chegar a ângulos de 30°

(ou até menores) com a horizontal, principalmente em função da quantidade de armadura


transversal e da relação entre as larguras da alma e da mesa (em seções T e I, por

exemplo). Ainda, segundo o autor, para levar em conta a menor inclinação das fissuras,

surgiu na década de 1960 a chamada treliça generalizada, com ângulos θ menores que 45°

para a inclinação das diagonais comprimidas.

Com base nas modificações apresentadas na versão da NBR 6118 no ano de 2003

(ABNT, 2003), o presente trabalho teve como objetivo comparar teórica e

experimentalmente os modelos de cálculo sugeridos por esta norma, a fim de avaliar os

critérios de dimensionamento de vigas com e sem armadura transversal e executadas com

concreto convencional, atendendo as condições de segurança impostas pela norma

brasileira.

2 DIMENSIONAMENTO AO ESFORÇO CORTANTE SEGUNDO A NBR 6118 (ABNT,

2014)

O dimensionamento ao esforço cortante em vigas de concreto armado na NBR 6118 (ABNT,

2014) é realizado com base na analogia da treliça generalizada de Mörsch, admitindo-se

que a tensão de cisalhamento seja resistida, não só pela armadura transversal (Asw), mas

também pelos mecanismos complementares da treliça (Vc) (RIBEIRO, 2005).

De acordo com o item 17.4.2.1 da NBR 6118 (ABNT, 2014), a resistência do elemento

estrutural é considerada satisfatória quando são verificadas simultaneamente as condições

expressas nas equações 1 e 2.

Vsd ≤ VRd2 (Equação 1)

Vsd ≤ VRd3 = Vc + Vsw (Equação 2)

Em que:

Vsd é a força cortante solicitante de cálculo na seção.

VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa ao esmagamento das diagonais

comprimidas de concreto.

VRd3 é a força cortante de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal.

Vsw é a parcela absorvida pela armadura transversal.


Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares aos da treliça.

Santos (2006) afirma que a norma brasileira para projetos de concreto armado admite

dois modelos alternativos de cálculo, sendo o primeiro mais simplificado em relação ao

segundo, conforme detalhamento:

• Modelo de Cálculo I: considera as diagonais de compressão inclinadas de θ = 45°

em relação ao eixo longitudinal da peça e a parcela de contribuição Vc apresenta

valor constante, que independe da força cortante de cálculo (Vsd).

• Modelo de Cálculo II: considera as diagonais de compressão com inclinação

arbitrada livremente no intervalo de 30° ≤ 45° em relação ao eixo longitudinal da

peça e a parcela de contribuição Vc é variável e depende do valor de Vsd, ou seja, Vc

diminui com o aumento de Vsd.

Segundo Pinheiro, Muzardo e Santos (2010), nos dois modelos devem ser

consideradas as etapas de cálculo para a verificação da compressão na biela, o cálculo da

armadura transversal e o deslocamento do diagrama de força no banzo tracionado.

A Tabela 1 apresenta as formulações adotadas pela NBR 6118 (ABNT, 2014) para o

dimensionamento ao esforço cortante em vigas de concreto armado.

Tabela 1 – Critérios de dimensionamento ao esforço cortante em vigas segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014).

Modelos de

cálculo Verificação da compressão das bielas

Cálculo da armadura transversal (45° ≤ α ≤ 90°)

Modelo I

fck ≤ 50 MPa θ = 45°

Vsd ≤ VRd2

VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d

αv2 = (1 – fck / 250)

VRd2 = Vc + Vsw

Vsw = (Asw / s) 0,9 d fywd (sen α + cos α)

fywd = 435 MPa

Modelo II

fck ≤ 50 MPa

30° ≤ θ ≤ 45°

Vsd ≤ VRd2

VRd2 = 0,54 αv2 fcd d bw sen²θ (cotg α + cotg θ)

αv2 = (1 – fck / 250)

VRd3 = Vc + Vsw

Vsw = (Asw / s) 0,9 d fywd (cotg α + cotg θ) sen α

fywd ≤ 435 MPa

Em que:

αv2 é um coeficiente adimensional, que representa o índice de fragilidade do concreto.

fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto, em MPa.

bw é a menor largura da seção, medida em cm.

d é a altura útil da seção, medida em cm. (continua)


Asw é a área da seção transversal dos estribos, em cm².

s é o espaçamento dos estribos, em cm, medido segundo o eixo longitudinal da viga.

fywd é a tensão na armadura transversal, em MPa. Essa tensão deve ser limitada a fyd no caso de estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se considerando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa.

fck é a resistência à compressão do concreto, em MPa.

α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal da viga, 45° ≤ α ≤ 30°.

θ é o ângulo de inclinação das diagonais de compressão em relação ao eixo longitudinal da viga.

Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2014).

Percebe-se que cada modelo, em virtude das diferentes considerações adotadas,

apresenta suas próprias condições de cálculo e, consequentemente, podem apresentar

diferentes valores por áreas das armaduras transversais, apesar de os dois modelos de

cálculo considerarem que a viga tem comportamento semelhante ao de uma treliça de

banzos paralelos, conforme sustentam Meller e Vargas (2016).

3 MATERIAIS E MÉTODOS

O presente trabalho foi realizado em três etapas. Primeiramente, foram identificadas as

variáveis e delimitações pertinentes ao estudo, dimensionadas e fabricadas três vigas de

concreto armado, sendo duas com armadura transversal e uma sem, para análise da

parcela Vc. Na segunda fase, foram realizados os ensaios e as avaliações dos materiais e

das vigas. E a terceira parte corresponde à análise dos resultados obtidos durante os

ensaios e a comparação dos modelos teóricos alcançados com o dimensionamento, de

acordo com o que é prescrito na NBR 6118 (ABNT, 2014).

3.1 Materiais

As vigas, moldadas para os ensaios, possuem as dimensões de 8 x 30 x 25 x 200 cm. A

Figura 1 e a Figura 2 mostram os cortes transversais das vigas, com e sem armadura

transversal, respectivamente.

Para armadura longitudinal à tração, foram adotadas 4 barras de 16,0 mm e 6 barras

de 6,3 mm à compressão. O cobrimento adotado foi de 1 cm (superior e inferior), uma vez

que não haveria exposição a ambientes agressivos. Já para as armaduras de combate ao


cisalhamento, foi estabelecido o diâmetro de 4,2 mm para estribos verticais (alma) e

horizontais (mesa), e o espaçamento entre estribos de 15 cm.

Figura 1 – Corte transversal das vigas V1 e V2 (com armadura transversal).

Fonte: Autora (2012).

Figura 2 – Corte transversal da viga V3 (sem armadura transversal na alma).



O concreto utilizado na confecção das vigas foi do tipo C20 manual, produzido com

cimento CPII, areia e pedrisco. Do concreto produzido foram extraídos corpos de prova

(CPs) para a determinação da resistência à compressão e à tração do concreto, conforme

orientação da NBR 5738 (ABNT, 2003), e ensaiados à compressão e à compressão

diametral, conforme as NBR 5739 (ABNT, 1994) e NBR 7222 (ABNT, 1994),

respectivamente.

A Tabela 2 apresenta os resultados obtidos para a resistência à compressão do

concreto, aos 28 dias, enquanto a Tabela 3 mostra os resultados da resistência

característica à tração do concreto utilizado nas vigas.

Tabela 2 – Resultado de resistência média à compressão do concreto.

Corpos de prova Resistência à compressão de V1 e V2 (MPa)

Resistência à compressão de V3

(MPa) CP1 32,00 23,17 CP2 38,25 24,01 CP3 42,42 24,29 CP4 35,24 25,44

Média 37,00 25,00 Fonte: Autora (2012).

Tabela 3 – Resultado de resistência à tração por compressão diametral.

Corpos de prova Resistência à tração de V1 e V2 (MPa)

Resistência à tração de V3 (MPa)

CP1 3,97 1,77 CP2 2,09 2,57 CP3 1,81 3,11 CP4 1,80 2,61

Média 2,42 2,51 Fonte: Autora (2012).

Os ensaios realizados à tração obtiveram valores bem próximos para as três vigas

moldadas para análises nesse estudo.

3.2 Procedimento experimental

Nos ensaios foram utilizados prensa mecânica e célula de precisão de carga. Para exatidão

das análises, a célula de precisão com capacidade de 100 a 150 kN foi aferida antes do

início dos estudos. Também, um relógio comparador digital foi utilizado para o controle de


deformação vertical das peças, realizando leituras a cada 10 kN, as quais são retratadas no

Gráfico 1.

Gráfico 1 – Resultado das medições feitas na região comprimida das vigas.


Pela observação das curvas mostradas no Gráfico 1, verifica-se que o comportamento

é semelhante em ambas as vigas, V1 e V2, para o mesmo nível de carga aplicada. Porém,

no comportamento da viga V3, sem armadura transversal na alma, observa-se que a

deformação foi praticamente linear, até atingir o ponto de ruptura, a qual ocorreu de forma

brusca ao atingir deformação de 2,852 mm.

As vigas V1 e V2 foram submetidas a carregamento progressivo até sua completa

ruptura. As primeiras fissuras surgiram com aplicação de carga em torno de 100 kN a 120

kN, já com o aparecimento de algumas fissuras centralizadas na parte inferior. Com a

continuidade do aumento do carregamento, ocorreu a propagação das fissuras, tanto

verticais como inclinadas, e se aproximando dos apoios. Por segurança, a célula de

precisão foi retirada ao atingir o limite de 150 kN, já as cargas continuaram a ser aplicadas,

e as fissuras inclinadas de cisalhamento se propagaram até o bordo comprimido superior,

levando as vigas à ruína, com 222 kN na V1 e 202 kN na V2.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Ca

rre

ga

me

nto

(k

N)

Deslocamento (mm)

V1 V2 V3


Na Figura 3 e na Figura 4, respectivamente, pode-se verificar o momento em que as

vigas apresentam as fissuras enquanto recebem aplicação da carga centralizada.

Figura 3 – Viga V1 durante ensaio de ruptura.


Figura 4 – Viga V2 durante ensaio de ruptura.



A viga V3, sem armadura transversal na alma, dimensionada para análise da parcela

Vc, começou a fissurar ao receber carga de 60 kN e sua ruptura ocorreu na sequência. As

fissuras abriram simultaneamente em ambos os lados e a viga rompeu ao receber 84 kN de

carga, conforme mostra a Figura 5.

Figura 5 – Análise do comportamento da viga V3 (análise da parcela Vc).


4 ANÁLISES E RESULTADOS

A partir dos ensaios, os dados obtidos experimentalmente foram utilizados para os cálculos

de dimensionamento real das vigas V1, V2 e V3. A Tabela 4 apresenta resumidamente os

resultados experimentais e teóricos de acordo com os modelos de cálculo, Modelo I (θ =

45°) e Modelo II (θ = 30°).


Tabela 4 – Resultados obtidos nos cálculos de dimensionamento teórico e experimental segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014).

Modelo de cálculo Resultados experimentais Resultados teóricos

Modelo I θ = 45º e α = 90º

fck = 37MPa

Vsd = 110kN ≤ VRd2 = 177kN Vsd = 110kN ≤ VRd3 = 174kN

Vc = 84kN Carga de ruína = 222kN

Vsd = 67,53kN ≤ VRd2 = 177kN Vsd = 67,53kN ≤ VRd3 = 131,56kN

Vc = 41,56kN Carga de ruína = 212kN

Modelo II θ = 30° e α = 90º

fck = 37MPa

Vsd = 104,43kN ≤ VRd2 = 153,32kN Vsd = 104,43kN ≤ VRd3 = 140,55kN

Vc = 59,43kN Carga de ruína = 203,2kN

Vsd = 58,87kN ≤ VRd2 = 153,32kN Vsd = 67,53kN ≤ VRd3 = 95,00kN

Vc = 13,87kN Carga de ruína = 202kN


Com base nos resultados apresentados na Tabela 4, é possível analisar alguns

comparativos quanto aos modelos de cálculo ao cisalhamento. Nesse sentido, todos os

valores experimentais foram superiores aos valores estimados teoricamente, o que de certa

forma é positivo, uma vez que o comportamento das peças quando submetidas às cargas

na prática foi satisfatório.

Quando comparamos os resultados entre os modelos, percebe-se que os valores são

similares, principalmente, os valores da força cortante na ruína (Vsd), conforme apresentado

no Gráfico 2. No entanto, em relação à parcela de contribuição do concreto (Vc) tivemos

resultados destoantes, tanto experimentalmente quanto teoricamente, como mostra o

Gráfico 3.

Gráfico 2 – Resultados de Vsd comparados entre os modelos de cálculo I e II.


110 104,43

67,53 58,87

0

50

100

150

Modelo I Modelo IIRe

sult

ad

os

em

kN

Vsd experimental Vsd teórico


Gráfico 3 – Resultados de Vc comparados entre os modelos de cálculo I e II.


5 CONCLUSÃO

A partir da análise dos resultados, ao correlacionar os dois modelos de cálculo, constatou-se

que:

• Adotando-se a mesma área de aço para o Modelo I e o Modelo II, pode-se perceber

uma pequena diferença entre os valores da força cortante na ruína (Vsd), em que a

diferença foi de apenas 5% (110 kN para o Modelo I e 104,43 kN para o Modelo II).

• Quando calculados, utilizando apenas a NBR 6118 (ABNT, 2014), essa diferença da

força cortante solicitante foi de aproximadamente 13%.

• Em relação à parcela de contribuição do concreto (Vc), pode-se dizer que houve uma

diferença muito grande entre o valor obtido nos ensaios experimentais e o valor

obtido seguindo as fórmulas apresentadas na NBR 6118 (ABNT, 2014).

Sendo assim, percebeu-se que ambos os modelos são válidos quando se adota a

mesma área de aço, ou seja, não se tem um modelo com comportamento melhor ou pior

nessas condições. Porém, cabe salientar que estudos já publicados (RIBEIRO, 2005;

MELLER; VARGAS, 2016; HAMMES; ROGRIGUES, 2016) defendem que quando as áreas

de armaduras são diferentes para ambos os modelos, resultam em diferentes consumos de

aço e, nesse caso, o Modelo de cálculo II, com ângulo de bielas a 30°, é mais econômico.

Além disso, outros fatores devem ser levados em consideração quando analisado o

comportamento de vigas ao esforço cortante, tais como: a altura das peças e a resistência

do concreto, os quais influenciam na escolha de qual o melhor modelo de cálculo a ser

empregado e, também, daquele que será mais econômico ao final da construção.

Ao concluir o estudo, verificou-se a necessidade de disponibilizar aos profissionais da

construção civil informações sobre o comportamento das vigas de concreto armado quando

84

59,4341,56

13,87

0

50

100

Modelo I Modelo II

Re

sult

ad

os

em

kN

Vc experimental Vc teórico


dimensionadas ao esforço cortante, uma vez que o comportamento na prática é diferente do

obtido durante os cálculos teóricos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de

concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2003.

______. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro:

ABNT, 2014.

______. NBR 5738: Concreto – Procedimento para moldagem e cura de corpos de prova.

Rio de Janeiro: ABNT, 2003.

______. NBR 5739: Concreto – Ensaio de compressão de corpos de prova cilíndricos. Rio

de Janeiro: ABNT, 1994.

______. NBR 7222: Argamassa e concreto – Determinação da resistência à tração por

compressão diametral de corpos de prova cilíndricos. Rio de Janeiro: ABNT, 1994.

ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. 3. ed. Rio Grande: Dunas, 2010. v. 1.

BASTOS, P. S. S. Notas de Aula: Dimensionamento de vigas de concreto armado à esforço cortante. São Paulo: UNESP, 2017.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO, J. R. F. Cálculo e Detalhamento de Estruturas usuais de Concreto Armado: segundo a NBR 6118/2003. 3. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2010.

HAMMES, D.; RODRIGUES, P. C. Economia de aço na construção civil: um estudo comparativo entre dois modelos de cálculo. In: SEMINÁRIO INTERINSTITUCIONAL DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO, 22, 2016, Cruz Alta. Anais... Cruz Alta: UNICRUZ, 2016. 16 p.


MELLER, B. J.; VARGAS, A. Análise dos modelos de cálculo propostos pela NBR 6118:2014 para o dimensionamento de estribos em vigas de concreto armado. Criciúma: UNESC, 2016.

PINHEIRO, L. M.; MUZARDO, C. D.; SANTOS, S. P. Cisalhamento em vigas. Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, Departamento de Engenharia de Estruturas, USP. São Carlos, 2003. Disponível em: <http://www.fec.unicamp.br/~almeida/cv714/Cisalhamento.pdf>. Acesso em: 02 fev. 2018.

RIBEIRO, A. B. Análise crítica sobre o dimensionamento ao cisalhamento em vigas de concreto armado segundo a NBR 6118 (2003). 2005. 209 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Belo Horizonte, 2005.

SANTOS, D. Análise de vigas de concreto armado utilizando modelos de bielas e tirantes. 2006. 195 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, 2006.


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