b 1. · Equações exponenciais LOGARITMOS . pcdamatematica Prof. Paulo Cesar ... O valor de x em 22 4 x é igual a: a) 1/3 b) 4/3 c) 1 d) 3 e) 4 c) d) 03

pcdamatematica Prof. Paulo Cesar

Sejam a e b números reais positivos e 1.b Definimos:

log x

b a x b a

onde,

a é o logaritmando;

b é a base do logaritmo;

x é o logaritmo.

Obs: 1) 10log logx x

2) ln log , onde 2,718ex x e

Ex01: Calcule os logaritmos:

a) 7log 49 b)

2log 8

c) 5

2log 16 d) 3 9log 3

e) 16log 0,25 f) 1,25log 0,64

g) log10 10 h) 4 3ln e

Ex02: Qual o valor das expressões:

a) 8 3log log 9

b) 9 4 0,5 3log log 64 log log 81

Ex03: (UFJF) O logaritmo de um número na base 64 é 1

.3

O

logaritmo desse número na base 1

2 é:

a) 2

b) 2

3

c) 2

3

d) -2

Ex04: (UFPR) Para se calcular a intensidade luminosa L,

medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num

determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela

seguinte fórmula:

log 0,08 .15

Lx

Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5cm?

a) 150 lumens

b) 15 lumens

c) 10 lumens

d) 1,5 lúmen

e) 1 lúmen

.

Ex05: (UFPE) Terremotos são eventos naturais que não tem

relação com eventos climáticos extremos, mas podem ter

consequências devastadoras, especialmente quando seu epicentro

ocorre no mar provocando tsunamis. Uma das expressões para

calcular a violência de um terremoto na escala Richter é

0

2log

3,

E

EM

onde M é a magnitude do terremoto, E é a

energia liberada (em jules) e 4,5

0 10E joules é a energia liberada

por um pequeno terremoto usado como referência.

Qual foi a ordem de grandeza da energia liberada pelo terremoto

no Japão de 11 de março de 2011, que atingiu magnitude 9 na

escala Richter?

a) 1014

joules

b) 1016

joules

c) 1017

joules

d) 1018

joules

e) 1019

joules

LOGARITMOS

Definição


Ex06: As dimensões de um retângulo, em cm, são 10 e 3

2log ,a

em que * .a ¡

a) Determine a área desse retângulo, sabendo que seu perímetro

32cm.

b) Qual o valor de log 2?a

Ex07: (EsPCEx) O logaritmo de um número natural n, n > 1,

coincidirá com o próprio n se a base for:

a) nn

b) 1

n

c) 2n

d) n

e)

1

nn

1. log 1 0b

2. log 1a a

3. log n

a a n

4. logb a

b a

Ex01: Calcule:

a) 3log 1 b) 2log 2

c) 5

3log 3 d) 5

1log

5

e) 5 7log 5 log 1 log10 f) 2 3ln 3ln 2ln1e e

Ex02: Dê o valor de cada potência:

a) 3log 23 b)

log510

c) ln7e d) 2log 7

8

e) 3log 281 f) 51 log 2

25

g) 51 log 45

h) 21 log 34

Ex03: (FGV) O valor de 5 3( log 3)(log 7)5

é

a) 1/3

b) 3

c) 7

d) 1/7

e) 1/5

1. log log logb b bac a c

2. log log logb b b

aa c

c

3. log logn

b ba n a

Ex01: Sejam x e y positivos e 0 1.b Sabendo que

log 2b x e log 3,b y calcule o valor dos seguintes

logaritmos:

a) log ( )b x y

b) logb

x

y

c) 3 2logb x y

d) 2

logb

y

x

e) logb

x y

b

f) 3logb x y

Ex02: Considerando log 2 0,3 e log3 0,48 calcule:

a) log 72

b) log 48

c) log 5

d) log 125

e) 1

log18

f) 3log 144

g) log 0,06

Consequências da definição

Propriedades operatórias

LOGARITMOS


Ex03: Sabendo que 5log 7 2 ,a calcule, em função de

a, o valor de 5log 7 2 .

Ex04: O pH (potencial hidrogeniônico) é uma escala usada na

Química para medir o grau de acidez ou basicidade de uma

solução aquosa. Os valores do pH variam de 0 a 14, sendo que

0 pH 7 solução é ácida

pH = 7 solução é neutra

7 < pH 14 solução é básica

O valor do pH é obtido pela fórmula: pH log ,H em que

H é a concentração de íons hidrogênio, em mol/L.

Considere três soluções A, B e C cujas concentrações

hidrogeniônicas H são, respectivamente, 10-3

mols/L,

94 10 mols/L e 61,6 10 mols/L. Para cada uma, determine o

pH, classificando-a em ácida, básica ou neutra.

Use log 2 0,3.

Ex05: (FGV) Os diretores de uma empresa de consultoria

estimam que, com x funcionários o lucro mensal que pode ser

obtido é dado pela fórmula: 2

( ) 20 ln 0,125

xL x x

mil reais.

Atualmente a empresa trabalha com 20 funcionários.

Use ln 2 0,7 e ln3 1,1 para responder às questões abaixo:

a) Qual é o valor do lucro mensal da empresa?

b) Se a empresa tiver necessidade de contratar mais 10

funcionários, o lucro mensal vai aumentar ou diminuir? Quanto?

Ex06: O valor da soma 1 2 3 99

log log log ... log2 3 4 100

S

é:

a) 0

b) -1

c) -2

d) 2

e) 3

Suponha a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes

de 1. Temos:

loglog

log

c

b

c

aa

b

Ex01: Sejam x e y reais positivos e diferentes de 1. Se

log 2,y x calcule:

a) logx y

b) 3

2logx

y

c) 1

1log

xy

d) 2logy

x

Ex02: Considerando log 2 0,3 e log7 0,85, calcule:

a) 8log 14

b) 1

5

log 49

c) 7log 2

d) 4log 35

Ex03: Considerando ln5 1,6 e ln10 2,3, calcule:

a) log5

b) 2log 10

Ex04: Qual o valor da soma 7 3 11 5log 3 log 7 log 5 log 11P

Mudança de base

LOGARITMOS


Ex05: (Cefet-MG) Se 3log ,a x então 2

9log a vale:

a) 2

x

b) x

c) 2x

d) 3x

Obs: 1

loglog

b

a

ab

e 1

log logn bba a

n

Ex06: Considere um triângulo retângulo de hipotenusa a e

catetos b e c, com 1a b e 1.a b Mostre que

1 12.

log loga b a bc c

É toda função *:f do tipo ( ) log ,bf x x com

0 1.b

Ex1: a) 2( ) logf x x

b) 0,1( ) logg x x

c) ( ) logh x x

d) ( ) lnt x x

Ex02: Determine o domínio das funções:

a) 1( ) log (3 )xf x x

b) 2

2( ) log ( 3 4)xf x x x

c) 3( ) log (0, 2 25)xf x

Considere a função ( ) log .bf x x

1º Caso: 1b 1º Caso: 0 1b

Ex01: O gráfico abaixo representa a função 2( ) log .f x x

Qual é o valor da área hachurada?

Considere log 2 0,3 e log3 0,48

Função logarítmica

Gráfico

LOGARITMOS


Ex02: O gráfico seguinte representa a função f, definida por

0,5( ) log ( )f x x k sendo k uma constante real.

a) Obtenha o valor de k e o domínio de f, sabendo que a abscissa

de U é 4.

b) Determine a abscissa do ponto P.

c) Determine a área do trapézio RSTU.

d) Obtenha o valor de (1002),f admitindo que log 2 0,3.

Seja ( ) logbf x x uma função logarítmica.

P1. (1) 0f

P2. 1 2 1 2( ) ( ) ,f x f x x x ou seja,

1 2 1 2log logb bx x x x

P3. Se 1b então 1 2 1 2( ) ( ) ,f x f x x x ou seja,


P4. Se 0 1b então 1 2 1 2( ) ( ) ,f x f x x x ou seja,


Ex01: Resolva, em , as equações:

a) 3 3log (3 ) log (3 7)x x

b) 2

2 2log ( 5) log ( 3)x x

c) log (2 3) log ( 4 8)x xx x

d) 2

2 2log ( 2 ) log 3x xx x


a) 2

2log ( 4) 3x x

b) 2

3

5

log (2 3 2) 0x x

Propriedades

Equações logarítmicas

LOGARITMOS


c) 1 1

5 2

log log 1x

d) 35log [3 2 log ( 1)] 2x

e) 3 2

0,5 0,5 0,5(log ) 3 (log ) 18 log 0x x x


a) 1 1

6 6

log ( 4) log ( 1) 1x x

b) 2 log log(2 3) log( 2)x x x

c) 2 2

2 2log (3 5 2) log ( 1) 1x x x

d) 4log log 4 2xx

e) 4 2 22log (3 43) log ( 1) 1 log ( 3)x x x

f) 2 4

1 1 12

log 8 log 8 log 8x x x

LOGARITMOS


Ex04: Resolva, em , os sistemas de equações:

a) 4 4

10

log log 2

x y

x y

b) 2 2

4 8

log log 2

x y

x y

Ex01: Resolva, em , as inequações:

a) 3 3log (2 5) logx x

b) 2

1 1

2 2

log log ( 2)x x

c) 0,3 0,3log log ( 3)x x

d) 2

3 3log 3log 2 0x x

Ex01: Considerando log 2 0,3 e log3 0,48, resolva as

seguintes equações exponenciais:

a) 3 10x

b) 2 5x

c) 4 3x

d) 3 2x

Inequações logarítmicas

Equações exponenciais

LOGARITMOS


Ex02: Economistas afirmam que a dívida externa de um

determinado país crescerá segundo a lei:

40 1, 2xy

Sendo y o valor da dívida (em bilhões de dólares) e x o número

de anos transcorrido após a divulgação dessa previsão. Em

quanto tempo a dívida estará estimada em 90 bilhões de dólares?

(use os valores: log 2 0,3 e log3 0,48 )

Ex03: (FGV) Para receber um montante de M reais daqui a x

anos, o capital inicial C reais que a pessoa deve aplicar hoje e

dado pela equação:

0,1xC M e

(se necessário use: 0,1 1,1e e ln 2 0,7 )

a) Se ela aplicar hoje R$3.600,00, quanto receberá de juro no

período de 1 ano?

b) Se ela aplicar hoje R$3.600,00, daqui a quanto tempo,

aproximadamente, obterá um montante que será o dobro desse

valor?

Ex04: (Unicamp) O sistema de ar-condicionado de um ônibus

quebrou durante uma viagem. A função que descreve a

temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função

de t, o tempo transcorrido em horas, desde a quebra do ar-

condicionado, é

40( ) ( ) 10 ,

t

ext extT t T T T

Onde T0 é a temperatura interna do ônibus enquanto a

refrigeração funcionava e Text é a temperatura externa (que

supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T0 =

21ºC e Text = 30ºC, responda às questões abaixo.

a) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorrido 4

horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado.

b) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar-

condicionado, para que a temperatura subisse 4ºC. Se necessário,

use log 2 0,3, log3 0,48 e log5 0,7.

Ex05: (Enem) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior

acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de

césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado,

foi manipulada inadivertidamente por parte da população. A mei-

vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a

massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césia-

137 é de 30 anos e a quantidade restante de massa de um material

radioativo, após t anos, é calculado pela expressão

( ) (2,7) ,k tM t A onde A é a massa inicial e k é uma constante

negativa.

Considere 0,3 como aproximação para 10log 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de

massa de césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

a) 27

b) 36

c) 50

d) 54

e) 100

LOGARITMOS


01. Se 1

3

log 9 ,a então 2

16log a é:

a) 1

2

b) 1

4

c) -2

d) 4

e) 2

02. O valor de x em 2 2

log 4 x é igual a:

a) 1/3

b) 4/3

c) 1

d) 3

e) 4

03. (FGV) O valor de 2

2 3 2log 0,5 log 27 log 8

é

a) 121

4

b) 289

4

c) 49

4

d) 169

4

e) N.d.a

04. (MACK) O valor de 1

log ,ab

sabendo que a e b são raízes

da equação 2 7 10 0,x x é:

a) 2

b) -1

c) -1/2

d) 1

e) 1/2

05. (ITA) Acrescentando 16 unidades a um número, seu

logaritmo na base 3 aumenta 2 unidades. Esse número é:

a) 5

b) 8

c) 2

d) 4

e) 3

06. (ITA) Considere ln3, ln2 e 36.u vu x v x e e

Nestas condições:

a) x = -4

b) x = 12

c) x = -3

d) x = -9

e) x = 2

07. (EsPCEx) O logaritmo de um número natural n, n > 1,

coincidirá com o próprio n se a base for:

a) nn

b) 1

n

c) 2n

d) n

e) 1

nn

08. (ENEM) A escala de Magnitude de Momento (abreviada

como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por

Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a escala Richter para

medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada.

Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala

usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos

da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala

logarítmica. Mw e M0, se relacionam pela fórmula:

10 0

210,7 log

3wM M

Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos

registros de movimento da superfície através de sismógrafos),

cuja unidade é o dina.cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995,

foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na

comunidade científica internacional. Teve magnitude 7,3.wM

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de

conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do

terremoto de Kobe (em dina.cm)?

a) 10-5,10

b) 10-0,73

c) 1012,00

d) 1021,65

e) 1027,00

09. Qual o valor de 32 log 53

a) 45

b) 50

c) 60

d) 90

e) 100

LOGARITMOS


10. Sendo 0 1,m o valor de log log ( )m m

m m m é:

a) 1

b) 2

c) m

d) m2

e) m3

11. (FUVEST) Sendo 2 2log log 5,b a o quociente

b

a vale:

a) 10

b) 25

c) 32

d) 64

e) 128

12. (MACK) Se log 0,1, log 0,2x y e log 0,3,z o valor

de 2 1

logx y

z

é:

a) 0,15

b) -0,15

c) 0,25

d) -0,25

e) 0,60

13. Se 3log ( )a b m e 27,a b então o valor de

2 2

3log ( )a b é:

a) 3 + m

b) 3m

c) 27m

d) m/3

e) (3m + 1)/3

14. (ITA) Se x e y são números reais tais que 2 2 4( 1) ln( 1) 3,ln xy e y x então:

a) 11 ey

b) 110 ey

c) 1ey

d) 1ey

e) 1

2

ey

15. (UFMG) A intensidade de um terremoto na escala Richter é

definida por 10

0

2log ,

3

EI

E

em que E é a energia liberada

pelo terremoto, em quilowatt-hora (kwh) e 3

0 10E kwh. A

cada aumento de uma unidade no valor de I, o valor de E fica

multiplicado por

a) 1

210

b) 10

c) 3

210

d) 20

3

16. Para todo inteiro n maior que 1, definimos

1

log 2002 .n na

Seja 2 3 4 5b a a a a e

10 11 12 13 14.c a a a a a Qual o valor de ?b c

a) -2

b) -1

c) 1/2002

d) 1/1001

e) 1/2

17. (ITA) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus

logaritmos numa dada base k são primos satisfazendo

log ( ) 49 e log 44k kz

xxy

Então, log ( )k xyz é igual a

a) 52

b) 61

c) 67

d) 80

e) 97

18. (ITA) Dada a função 2 2 1 3ln ln6 ln

3 4 2( ) xf x x temos

que

a) a equação ( ) 0f x não possui raízes reais

b) a equação ( ) 0f x possui duas raízes reais distintas e o

gráfico de f possui concavidade para cima

c) a equação ( ) 0f x possui duas raízes reais iguais e o gráfico

de f possui concavidade para baixo

d) o valor máximo de f é ln 2.ln 3

ln 3 ln 2

e) o valor máximo de f é ln 2.ln 3

2ln 3 ln 2

LOGARITMOS


19. Para todo inteiro positivo n, seja 2

2002( ) log .f n n Seja

(11) (13) (14).N f f f Qual das seguintes relações é

verdadeira?

a) N < 1

b) N = 1

c) 1 < N < 2

d) N = 2

e) N > 2

20. (ITA) Seja a com 1.a Se 2log ,b a então o valor

de 2

23

4 2 2 8 1

2

1log log 4 log log log

1 1

a aa a a

a a

é:

a) 2 3b

b) 65

218

b

c) 22 3 1

2

b b

d) 22 63 36

18

b b

e) 2 9 7

9

b b

21. (UFRS) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência e

o número de bactérias dobra a cada 12 horas. Tomando como

aproximação para log 2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma

semana, o número de bactérias está entre:

a) 104,5

e 105

b) 105 e 10

5,5

c) 105,5

e 106

d) 106 e 10

6,5

e) 106,5

e 107

22. (FUVEST) Seja 10002 .x Sabendo que log 2 é

aproximadamente igual a 0,30103 pode-se afirmar que o número

de algarismos de x é:

a) 300

b) 301

c) 302

d) 1000

e) 2000

23. Dado um natural 2n , definimos !n como o produto dos

números consecutivos de n até 1. Por exemplo, 5! = 5.4.3.2.1 =

120. Com base nessa definição qual o valor da soma

2 3 4 100

1 1 1 1... ?

log 100! log 100! log 100! log 100!S

a) 1

100

b) 1

c) 1

100!

d) 100

e) 1 1 1 1

...2 3 4 100

24. Suponha que 31 2 1244 5, 5 6, 6 7,...,127 128.xx x x

Qual o valor de 1 2 3 124... ?x x x x

a) 2

b) 5/2

c) 3

d) 7/2

e) 4

25. (FUVEST) Sabendo-se que 5 2,n podemos concluir que

2log 100 é igual a:

a) 2

n

b) 2n

c) 22 n

d) 2 2n

e) 2 2n

n

26. (IME) Considerando log 2 a e log3 ,b encontre em

função de a e b, o logaritmo do número 5 11,25 no sistema de

base 15.

27. (ITA) Seja um número real, 5 tal que

2 ,( 1)m p onde m é um inteiro positivo maior que 1 e

2

2log log ( 5) .mmp m O valor de é:

a) 3

b) 5

c) 37

d) 32

e) não existe apenas um nessas condições

LOGARITMOS


28. Se 7 81x e 9 7,y então o valor de 8log ( )x y é:

a) 3

2

b) 1

3

c) 2

d) 3

e) 3

4

29. (UNITAU) O domínio da função log (2 1)xy x é:

a) 1

2x

b) 0x

c) 1

2x e 1x

d) 1

2x e 1x

e) 1

2x

30. (UNESP) Considere a função f, definida por ( ) log .nf x x

Se ( )f n m e ( 2) 1,f n m os valores respectivos de n e

m são:

a) 2 e 1

b) 2 e 2

c) 3 e 1

d) 3 e 2

e) 4 e 1

31. (FGV) Quantos números ineiros pertencem ao domínio

da função 2( ) log (9 ) log (2 )?f x x x

a) 4

b) 3

c) 6

d) 5

e) infinitos

32. (FGV) Considere o gráfico das funções reais

( ) 2 logf x x e ( ) log 2 ,g x x nos seus respectivos

domínios de validade. A respeito dos gráficos de f e g, é

CORRETO afirmar que

a) não se interceptam

b) se interceptam em apenas um ponto

c) se interceptam em apenas dois pontos

d) se interceptam em apenas três pontos

e) se interceptam em infinitos pontos

33. (UFMG) Observe a figura.

Nessa figura, está representado o gráfico da função

2

1( ) log .f x

ax b

Então, (1)f é igual

a) -3

b) -2

c) -1

d) -1/2

e) -1/3

34. Na figura a seguir, está representado o gráfico da função

( ) log .bf x x

A área da região sombreada é:

a) 2

b) 2,2

c) 2,5

d) 2,8

e) 3

35. A curva abaixo representa uma parte do gráfico da função

2( ) log ( ),f x k x com 0.k A área da região sombreada

vale:

a) 6,5

b) 8,5

c) 10,5

d) 9

e) 12

LOGARITMOS


36. (FUVEST) Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função

( ) log ,af x x com 1a (figura a seguir). Suponha que

( ,0),B x ( 1, 0)C x e ( 1,0).A x Então, o valor de x

para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do

triângulo ABE é:

a) 1 5

2 2

b) 5

12

c) 1

52

d) 1 5

e) 1

2 52

37. (FUVEST) O valor de x que satisfaz a equação

2log (12 2 ) 2x x

a) 2log 5

b) 2log 3

c) 2

d) 2log 5

e) 2log 3

38. (FUVEST) O conjunto das raízes da equação 2 2log( ) (log )x x é:

a) {1}

b) {1, 100}

c) {10, 100}

d) {1, 10}

e) { | 0}x x

39. (FUVEST) O número 1x tal que 4log 2 logx x é:

a) 2

2

b) 22

c) 2

d) 2 2

e) 24

40. (ITA) Se x é um número real positivo, com 1x e 1

,3

x

satisfazendo:

3

2 3

2 log log ( 2)log ( 2)

log 1 log

x

x

x

x xx

x x

então x pertence ao intervalo I, onde:

a) I = (0, 1/9)

b) I = (0, 1/3)

c) I = (1/2, 1)

d) I = (1, 3/2)

e) I = (3/2, 2)

41. (EN) Seja b a menor das abscissas dos pontos de interseção

das curvas definidas pelas funções reais de variável real 5( ) ln 2f x x x e

5 2( ) ln 2 .g x x x O produto das raízes da

equação

55log

5

2

52 log

xx

b

é:

a) -1

b) -1/5

c) 1/5

d) 3/5

e) 1

42. (IME) Considere o sistema de equações dado por:

3 9

9 3

3log log 10

log 2log 10

onde α e β são números reais positivos. Determine o valor de

.P

43. (MACK) considerando a solução ( , )x y do sistema

4 2

2 4

log log 5,

log log 0

x y

x y

com 1,x o valor de log x

x

y

é:

a) 1

b) 4

c) -1

d) 1/2

e) 1/4

LOGARITMOS


44. Na solução do sistema a seguir, o valor de x é:

log( 1) log 3log 2

4 7

x y

x y

a) 15

b) 13

c) 8

d) 5

e) 2

45. (FGV) A equação log (2 3) 2x x apresenta o seguinte

conjunto solução:

a) {-1, 3}

b) {-1}

c) {3}

d) {1, 3}

e) nda

46. (ITA) Considere a equação em x: 1

1 ,x xa b onde a e b são

números reais positivos, tais que ln 2ln 0.b a A soma das

soluções da equação é;

a) 0

b) -1

c) 1

d) ln 2

e) 2

47. (UFES) O valor real de m para o qual as raízes da equação 2

3 3(log ) log 0x m x apresentam produto igual a 9 é:

a) 9

b) 3

c) 2

d) 1/9

e) 1/3

48. (FUVEST) O número real a é o menor entre os valores de x

que satisfazem a equação 2 22 log (1 2 ) log ( 2 ) 3.x x

Então, 2

2 4log

3

a

é igual a;

a) 1

4

b) 1

2

c) 1

d) 3

2

e) 2

49. (UFLA) As soluções da equação 1 34 2 28 0x x são;

a) 2x ou 2log 28x

b) 2x ou 2log 14x

c) 1

2x ou

2log 28x

d) 2x ou 2log 14x

50. (ITA) Considere a equação 2 6 0,x xa a com 1.a

Uma das alternativas abaixo, relativamente à equação proposta,

está correta. Assinale-a.

a) 2xa e 3xa

b) log 2ax

c) log 2ax e 3x

d) 2x e log 3ax

e) nda

51. (ITA) Dada a equação 2 23 5 15 0x x x podemos afirmar

que

a) Não existe x real que a satisfaça.

b) 2log 5x é solução desta equação.

c) 5log 3x é solução desta equação.

d) 3log 15x é solução desta equação.

e) 53log 15x é solução desta equação.

52. (FGV) Considere a função dada por 2

1319( ) log .f x x Se

(10) (11) (12),n f f f então:

a) 1n

b) 1n

c) 1 2n

d) 2n

e) 2n

53. Sobre a equação 2 9 2( 3) 2 log | 1 | 0,xx x x é

correto afirmar que:

a) ela não possui raízes reais

b) sua única raiz real é -3

c) duas de suas raízes reais são 3 e -3

d) suas únicas raízes reais são -3, 0 e 1

e) ela possui cinco reaízes reais distintas

LOGARITMOS


54. (INSPER) Analisando o comportamento das vendas de

determinado produto em diferentes cidades, durante um ano, um

economista estimou que a quantidade vendida desse produto em

um mês (Q), em milhares de unidades, depende do seu preço (P)

em reais, de acordo com a relação

21 4 (0,8) .PQ

No entanto, em economia, é mais usual, nesse tipo de relação,

escrever o preço P em função da quantidade Q. Dessa forma,

isolando a variável P na relação fornecida, o economista obteve:

a) 0,8

1log

4

QP

b) 0,8

1log

8

QP

c) 0,81

0,58

QP

d) 0,81

8

QP

e) 0,80,5 log 1

4

QP

55. (FUVEST) Determine o conjunto de todos os números reais x

para os quais vale a desigualdade

2

16 4

1log (1 ) log (1 )

2x x

56. (ITA) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação

1 4

4

log ( 1) log ( 1).x x Então:

a) S é um conjunto unitário e ]2, [S

b) S é um conjunto unitário e ]1, 2[S

c) S possui dois elementos distintos e ] 2, 2[S

d) S possui dois elementos distintos e ]1, [S

e) S é um conjunto vazio.

57. Resolva a equação 4/3

4log 3log (16 ) 7.xx x

a) 16

b) 27

c) 64

d) 81

e) 343

58. (AFA) No conjunto dos números reais, a desigualdade 2

1/3 4log (log ( 5)) 0x é verdadeira para:

a) 5 3x

b) 5 | | 6x

c) 6 | | 3x

d) | | 3x

e) nda

59. (MACK) O MENOR valor natural de n para o qual se tem

1002 4 6 8 ... 2log10

1 2 3 ...

n

n

é

a) 2

b) 3

c) 4

d) 10

e) 100

60. Segundo uma pesquisa, após x meses de constatação de uma

epidemia, o número de pessoas por ela atingida é dada pela

expressão 2

20.000( ) .

2 15 4 xf x

Supondo log 2 0,30 e

log3 0,48, daqui a quanto tempo, aproximadamente, o

número de pessoas atingidas por essa epidemia será de 2.000?

a) 7 dias

b) 8 dias

c) 9 dias

d) 10 dias

e) 11 dias

61. Um empresário comprou um apartamento com intenção de

investir seu dinheiro. Sabendo-se que esse imóvel valorizou 12%

ao ano, é correto afirmar que seu valor duplicou em,

aproximadamente:

(Dados: log 2 0,30 e log 7 0,84 )

a) 3 anos

b) 4 anos e 3 meses

c) 5 anos

d) 6 anos e 7 meses

e) 7 anos e 6 meses

62. O valume de um líquido diminui 20% por hora. Após um

tempo t, seu volume se reduziu à metade. O valor que mais se

aproxima de t é:

(Dado: log 2 0,301 )

a) 2h30

b) 2h36

c) 2h54

d) 3h30

e) 3h06

LOGARITMOS


63. (UFU) Existem alguns esportes em que a sensção de

liberdade e perigo convivem lado a lado. Este é o caso do esqui

na neve. Suponha que um esquiador, ao descer uma montanha,

seja surpreendido por uma avalanche que o soterra totalmente. A

partir do instante em que ocorreu o soterramento, a temperatura

de seu corpo decresce ao longo do tempo t (em horas), segundo a

função ( )T t dada por

36( ) 3

3

t

tT t (T em graus Celsius), com 0.t

Quando a equipe de salvamento o encontra, já sem vida, a

temperatura de seu corpo é de 12 graus Celsius. De acordo com

as condições dadas, pode-se afirmar que ele ficou soterrado por,

aproximadamente,

Utilize a aproximação: 3log 2 0,6

a) 2h e 36 minutos

b) 36 minutos

c) 1h e 36 minutos

d) 3h e 36 minutos

64. Em , o conjunto solução da inequação

2

1/2 1/2

3log 1 log

2x x

é:

a) 3

0,2

b) 6 3

,2 2

c) 6 6

,2 2

d) 3

0,2

e) 6 3

,2 2

65. (FUVEST) O conjunto dos números reais x que satisfazem a

inequação 2 2log (2 5) log (3 1) 1x x é o intervalo

a) 5

,2

b) 7

,4

c) 5

, 02

d) 1 7

,3 4

e) 1

0,3

66. (UFU) Se *n e S é o conjunto solução da inequação

2(log ) 3 (log ) 2 0,n n então é CORRETO afirmar que

a) S contém 4 múltiplos de 20

b) S contém 90 elementos

c) S contém 46 números primos

d) S contém 46 números pares

GABARITO

01. A 09. A 17. A 25. E 34. A 42. 1 50. B 59. C

02. B 10. B 18. D 27. A 35. B 43. C 51. A 60. A

03. A 11. C 19. D 28. B 36. A 44. A 52. E 61. E

04. B 12. B 20. D 29. D 37. E 45. C 53. E 62. E

05. C 13. A 21. B 30. A 38. B 46. B 54. A 63. C

06. E 14. C 22. C 31. A 39. B 47. C 56. B 64. B

07. E 15. C 23. B 32. B 40. B 48. B 57. C 65. D

08. E 16. B 24. D 33. B 41. E 49. A 58. C 66. D

26. 2 3 1

5 5 5

b a

b a

55.

3 3,

5 5

LOGARITMOS

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b 1. · Equações exponenciais LOGARITMOS . pcdamatematica Prof. Paulo Cesar ... O valor de x em 22 4 x é igual a: a) 1/3 b) 4/3 c) 1 d) 3 e) 4 c) d) 03