Balanço de Momento - UESB

Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais

Teorema de Cauchy

Balanco de Momento

Marcio Antonio de Andrade Bortoloti

Departamento de Ciencias Exatas e Tecnologicas - DCETUniversidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Matematica Aplicada

Marcio Bortoloti Balanco de Momento


Teorema de Cauchy

Sumario

1 Balanco de MomentoMomento Linear e AngularForca

2 Teorema dos Trabalhos Virtuais

3 Teorema de Cauchy



Teorema de Cauchy

Momento Linear e AngularForca

Volume de Controle

Considere um corpo B. Dado um tempo t ≥ 0, a regiao regular limitada R tal queR ⊂ Bτ para todo τ ∈ (t− δ, t+ δ) com δ > 0, sera chamada Volume deControle.

R

BB t−δ t+δ



Teorema de Cauchy


Momento Linear e Angular

Seja x um movimento de B. Dado P ⊂ B, o momento linear l(P, t) e omomento angular a(P, t) sao definidos por

l(P, t) =

∫Pt

vρ dV e a(P, t) =

∫Pt

r× vρdV

onde r : E → V e o vetor posicao r(x) = x− o.

Proposicao: Para todo P ⊂ B e t > 0 tem-se

l(P, t) =

∫Pt

vρ dV e a(P, t) =

∫Pt

r× vρ dV

Prova: Direta!



Teorema de Cauchy




l(P, t) =

∫Pt

vρ dV e a(P, t) =

∫Pt

r× vρdV



l(P, t) =

∫Pt

vρ dV e a(P, t) =

∫Pt

r× vρ dV

Prova: Direta!



Teorema de Cauchy




l(P, t) =

∫Pt

vρ dV e a(P, t) =

∫Pt

r× vρdV



l(P, t) =

∫Pt

vρ dV e a(P, t) =

∫Pt

r× vρ dV

Prova: Direta!Marcio Bortoloti Balanco de Momento


Teorema de Cauchy



Definicao: Assumindo que B e limitado temos m(B) e finita. Entao o centro demassa α(t) e o ponto do espaco definido por

α(t)− o =1

m(B)

∫Bt

rρ dV.

Notamos que

α(t) =1

m(B)

∫Bt

vρ dV,

ou seja, α representa a velocidade do corpo. Isso implica que

l(B, t) = m(B)α(t).



Teorema de Cauchy




α(t)− o =1

m(B)

∫Bt

rρ dV.

Notamos que

α(t) =1

m(B)

∫Bt

vρ dV,


l(B, t) = m(B)α(t).



Teorema de Cauchy




α(t)− o =1

m(B)

∫Bt

rρ dV.

Notamos que

α(t) =1

m(B)

∫Bt

vρ dV,

ou seja, α representa a velocidade do corpo.

Isso implica que

l(B, t) = m(B)α(t).



Teorema de Cauchy




α(t)− o =1

m(B)

∫Bt

rρ dV.

Notamos que

α(t) =1

m(B)

∫Bt

vρ dV,


l(B, t) = m(B)α(t).



Teorema de Cauchy


Forca

Durante um movimento intereracoes mecanicas entre partes do corpo ou entre ocorpo e o ambiente sao descritas por forcas.

Trataremos dos seguintes tipos:

1 Forcas de contato entre partes separadas de um corpo;

2 Forcas de contato exercidas no contorno do corpo pelo ambiente;

3 Forcas de corpo exercidas nos pontos interiores de um corpo pelo ambiente.



Teorema de Cauchy


Forca

Durante um movimento intereracoes mecanicas entre partes do corpo ou entre ocorpo e o ambiente sao descritas por forcas. Trataremos dos seguintes tipos:

1 Forcas de contato entre partes separadas de um corpo;

2 Forcas de contato exercidas no contorno do corpo pelo ambiente;

3 Forcas de corpo exercidas nos pontos interiores de um corpo pelo ambiente.



Teorema de Cauchy


Forcas de Contato ou de Superfıcie

Forcas que atuam na Superfıcie do Elemento

Admitimos que podem ser expressas como combinacao linear das componentesdo vetor n.

Sendo dF, que age na superfıcie do volume de controle,proporcional a uma combinacao linear das componentes de n, dF nao tem, emgeral, a direcao do vetor normal.

O valor de proporcionalidade mencionado e a area do elemento de superfıcie aqual a forca e aplicada.Assim,

dF = σndA.



Teorema de Cauchy




Admitimos que podem ser expressas como combinacao linear das componentesdo vetor n. Sendo dF, que age na superfıcie do volume de controle,proporcional a uma combinacao linear das componentes de n, dF nao tem, emgeral, a direcao do vetor normal.


dF = σndA.



Teorema de Cauchy





O valor de proporcionalidade mencionado e a area do elemento de superfıcie aqual a forca e aplicada.

Assim,dF = σndA.



Teorema de Cauchy






dF = σndA.



Teorema de Cauchy



Forcas que atuam na Superfıcie do ElementoComo n e s nao tem, necessariamente, a mesma direcao, entao devemos obervarque σ deve ser um tensor.

n s

v

B

dA s(n) = σndA



Teorema de Cauchy


Balanco de Momento Linear e Angular

As forcas de contato e de corpo atuando em P ⊂ B saso entao consideradas daforma

f(P, t) =

∫∂Pt

s(n) dA+

∫Pt

b dV,

onde b representa as forcas de corpo atuando em P.

Tem-se ainda o momento dada por

m(P, t) =

∫∂Pt

r× s(n) dA+

∫Pt

r× b dV

Os axiomas que relacionam movimento e forca sao chamados de Leis de Balancode Momento. Para qualquer P ⊂ B e tempo t

f(P, t) = l(P, t) Balanco de Momento Linear

m(P, t) = a(P, t) Balanco de Momento Angular



Teorema de Cauchy




f(P, t) =

∫∂Pt

s(n) dA+

∫Pt

b dV,

onde b representa as forcas de corpo atuando em P.Tem-se ainda o momento dada por

m(P, t) =

∫∂Pt

r× s(n) dA+

∫Pt

r× b dV






Teorema de Cauchy




f(P, t) =

∫∂Pt

s(n) dA+

∫Pt

b dV,


m(P, t) =

∫∂Pt

r× s(n) dA+

∫Pt

r× b dV

Os axiomas que relacionam movimento e forca sao chamados de Leis de Balancode Momento.

Para qualquer P ⊂ B e tempo t





Teorema de Cauchy




f(P, t) =

∫∂Pt

s(n) dA+

∫Pt

b dV,


m(P, t) =

∫∂Pt

r× s(n) dA+

∫Pt

r× b dV






Teorema de Cauchy



Uma consequencia e quef(B, t) = m(B)α(t)

Observacao: As leis de balanco de momento linear e angular podem ser escritascomo∫∂Pt

s(n) dA+

∫Pt

b dV =

∫Pt

vρ dV e

∫∂Pt

r×s(n) dA+

∫Pt

r×b dV =

∫Pt

r×vρ dV

Se introduzirmos a forca de corpo total b∗ = b− ρv e definirmos

f∗(P, t) =

∫∂Pt

s(n) dA+

∫Pt

b∗ dV e m∗(P, t) =

∫∂Pt

r× s(n) dA+

∫Pt

r× b∗ dV

As leis de balanco podem ser escritas como

f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0



Teorema de Cauchy





s(n) dA+

∫Pt

b dV =

∫Pt

vρ dV e

∫∂Pt

r×s(n) dA+

∫Pt

r×b dV =

∫Pt

r×vρ dV


f∗(P, t) =

∫∂Pt

s(n) dA+

∫Pt

b∗ dV e m∗(P, t) =

∫∂Pt

r× s(n) dA+

∫Pt

r× b∗ dV


f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0



Teorema de Cauchy





s(n) dA+

∫Pt

b dV =

∫Pt

vρ dV e

∫∂Pt

r×s(n) dA+

∫Pt

r×b dV =

∫Pt

r×vρ dV


f∗(P, t) =

∫∂Pt

s(n) dA+

∫Pt

b∗ dV e m∗(P, t) =

∫∂Pt

r× s(n) dA+

∫Pt

r× b∗ dV


f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0



Teorema de Cauchy

Teorema dos Trabalhos Virtuais

Definicao: Um deslocamento rıgido infinitesimal de B e um campo vetorial usobre B com ∇u constante e anti-simetrico, ou seja, u admite a representacao

u(p) = u(q) + W(p− q)

para todo p,q ∈ B, onde W e anti-simetrico.

Observamos que se

W =

0 −γ βγ 0 −α−β α 0

existe um unico vetor w tal que Wv = w × v para qualquer v ∈ V. Tem-sew = (α, β, γ).



Teorema de Cauchy



u(p) = u(q) + W(p− q)

para todo p,q ∈ B, onde W e anti-simetrico. Observamos que se

W =

0 −γ βγ 0 −α−β α 0

existe um unico vetor w tal que Wv = w × v para qualquer v ∈ V.

Tem-sew = (α, β, γ).



Teorema de Cauchy



u(p) = u(q) + W(p− q)

para todo p,q ∈ B, onde W e anti-simetrico. Observamos que se

W =

0 −γ βγ 0 −α−β α 0

existe um unico vetor w tal que Wv = w × v para qualquer v ∈ V. Tem-sew = (α, β, γ).



Teorema de Cauchy


Teorema: Seja (s,b) um sistema de forcas atuando em B durante ummovimento. Entao uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balancode momento sejam satisfeitas e que dado P ⊂ deB e um tempo t > 0,∫

∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV = 0

para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.

Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal. Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew. Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W. Defina

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

com w = w0 + ω × r.



Teorema de Cauchy



∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV = 0

para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal.

Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew. Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W. Defina

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

com w = w0 + ω × r.



Teorema de Cauchy



∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV = 0

para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal. Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew.

Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W. Defina

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

com w = w0 + ω × r.



Teorema de Cauchy



∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV = 0

para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal. Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew. Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W.

Defina

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

com w = w0 + ω × r.



Teorema de Cauchy



∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV = 0

para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal. Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew. Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W. Defina

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

com w = w0 + ω × r.Marcio Bortoloti Balanco de Momento


Teorema de Cauchy


Assim

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

=

∫∂Pt

s · (w0 + ω × r) dA+

∫Pt

b∗ · (w0 + ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + s · (ω × r) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + ω · (r× s) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 dA+

∫Pt

b∗ ·w0 dV +

∫∂Ptω · (r× s) dA+

∫Ptω · (r× b∗) dV

= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.



Teorema de Cauchy


Assim

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

=

∫∂Pt

s · (w0 + ω × r) dA+

∫Pt

b∗ · (w0 + ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + s · (ω × r) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + ω · (r× s) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 dA+

∫Pt

b∗ ·w0 dV +

∫∂Ptω · (r× s) dA+





Teorema de Cauchy


Assim

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

=

∫∂Pt

s · (w0 + ω × r) dA+

∫Pt

b∗ · (w0 + ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + s · (ω × r) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + ω · (r× s) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 dA+

∫Pt

b∗ ·w0 dV +

∫∂Ptω · (r× s) dA+





Teorema de Cauchy


Assim

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

=

∫∂Pt

s · (w0 + ω × r) dA+

∫Pt

b∗ · (w0 + ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + s · (ω × r) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + ω · (r× s) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 dA+

∫Pt

b∗ ·w0 dV +

∫∂Ptω · (r× s) dA+





Teorema de Cauchy


Assim

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

=

∫∂Pt

s · (w0 + ω × r) dA+

∫Pt

b∗ · (w0 + ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + s · (ω × r) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + ω · (r× s) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 dA+

∫Pt

b∗ ·w0 dV +

∫∂Ptω · (r× s) dA+





Teorema de Cauchy


Assim

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

=

∫∂Pt

s · (w0 + ω × r) dA+

∫Pt

b∗ · (w0 + ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + s · (ω × r) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + ω · (r× s) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 dA+

∫Pt

b∗ ·w0 dV +

∫∂Ptω · (r× s) dA+


= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)

Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.



Teorema de Cauchy


Assim

φ(w0,ω) =

∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

b∗ ·w dV

=

∫∂Pt

s · (w0 + ω × r) dA+

∫Pt

b∗ · (w0 + ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + s · (ω × r) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 + ω · (r× s) dA+

∫Pt

b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV

=

∫∂Pt

s ·w0 dA+

∫Pt

b∗ ·w0 dV +

∫∂Ptω · (r× s) dA+





Teorema de Cauchy


Teorema (Cauchy): Seja (s,b) um conjunto de forcas atuando em B durante ummovimento. Uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balanco de momentosejam satisfeitas e que exista um campo tensorial T (chamado Tensor de Cauchy ) talque

a) Para cada vetor unitario n, s(n) = Tn;

b) T e simetrico;

c) T satisfaz a equacao de movimento

div T + b = ρv.



Teorema de Cauchy


Prova:(Necessidade:) Vamos verificar alguns resultados preliminares:Lema: Dado qualquer x ∈ B, qualquer base ortonormal {ei} e qualquer vetor kcom k · ei > 0 tem-se que

s(k, t) = −∑i

(k · ei)s(−ei,x).

Prova:Seja x ∈ Bt. Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:

As faces de Gδ sao Sδ,S1δ,S2δ,S3δ, onde k e −ei sao as normais unitarias em∂Gδ relativas a Sδ e Siδ, respectivamente;

O vertice oposto a Sδ e o ponto x;

A distancia de x a Sδ e δ.

Claramente Gδ esta contido no interior de B para todo δ > 0 suficientementepequeno.



Teorema de Cauchy



s(k, t) = −∑i


Prova:Seja x ∈ Bt.

Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:







Teorema de Cauchy



s(k, t) = −∑i









Teorema de Cauchy



s(k, t) = −∑i









Teorema de Cauchy



s(k, t) = −∑i









Teorema de Cauchy



s(k, t) = −∑i









Teorema de Cauchy



s(k, t) = −∑i









Teorema de Cauchy


Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam.

Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫∂Gδ

s(n) dA = −∫Gδ

b dV.

Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ

s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),

onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ

2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos

concluir que fazento δ → 0 tem-se

1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy


Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ.

Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫∂Gδ

s(n) dA = −∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),




1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy


Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫

∂Gδs(n) dA = −

∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),




1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy



∂Gδs(n) dA = −

∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣

≤ κ ∗ vol (Gδ),




1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy



∂Gδs(n) dA = −

∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),




1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy



∂Gδs(n) dA = −

∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),

onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}.

Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ



1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy



∂Gδs(n) dA = −

∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),

onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ.

Note que podemos escreverA(δ) = k1δ



1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy



∂Gδs(n) dA = −

∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),


2

e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos


1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy



∂Gδs(n) dA = −

∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),


2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas.

Com isso, podemosconcluir que fazento δ → 0 tem-se

1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy



∂Gδs(n) dA = −

∫Gδ

b dV.


s(n) dA∣∣∣ =

∣∣∣ ∫Gδ

b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),




1

A(δ)

∫∂Gδ

s(n) dA→ 0.



Teorema de Cauchy


Mas ∫∂G

s(n) dA =

∫Sδ

s(k) dA+∑i

∫Siδ

s(−ei) dA.

Como s(n,x) e conınua em x para cada n fixado, tem-se

1

A(δ)

∫Sδ

s(k) dA→ s(k,x), (Exercıcio)

1

A(δ)

∫Siδ

s(−ei) dA→ (k · ei)s(−ei,x), (Exercıcio)

Logo, vales(k, t) = −

∑i


O resultado segue valido para Bt ja que o mapeamento x 7→ s(n,x) e contınuo.



Teorema de Cauchy


Mas ∫∂G

s(n) dA =

∫Sδ

s(k) dA+∑i

∫Siδ

s(−ei) dA.


1

A(δ)

∫Sδ


1

A(δ)

∫Siδ



∑i





Teorema de Cauchy


Mas ∫∂G

s(n) dA =

∫Sδ

s(k) dA+∑i

∫Siδ

s(−ei) dA.


1

A(δ)

∫Sδ


1

A(δ)

∫Siδ



∑i





Teorema de Cauchy


Mas ∫∂G

s(n) dA =

∫Sδ

s(k) dA+∑i

∫Siδ

s(−ei) dA.


1

A(δ)

∫Sδ


1

A(δ)

∫Siδ



∑i





Teorema de Cauchy


Lema: Para cada x ∈ Bt o mapeamento n 7→ s(n,x) e conınuo e satisfaz

s(n,x) = −s(−n,x).

Prova: Do lema anterior temos

s(k, t) = −∑i


O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0. Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}. Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k. Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.



Teorema de Cauchy



s(n,x) = −s(−n,x).


s(k, t) = −∑i


O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0.

Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}. Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k. Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.



Teorema de Cauchy



s(n,x) = −s(−n,x).


s(k, t) = −∑i


O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0. Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}.

Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k. Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.



Teorema de Cauchy



s(n,x) = −s(−n,x).


s(k, t) = −∑i


O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0. Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}. Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k.

Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.



Teorema de Cauchy



s(n,x) = −s(−n,x).


s(k, t) = −∑i


O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0. Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}. Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k. Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.



Teorema de Cauchy


Lema: Dado algum x ∈ Bt e qualquer base ortonormal {ei},

s(k,x) =∑i

(k · ei)s(ei,x)

para todo vetor unitario k.Prova: Veja no livro do Gurtin.

Voltando ao Teorema, seja {ei} uma base ortonormal e T dado por

T(x, t) =∑i

s(ei,x, t)⊗ ei

Do Lema anterior, vale T(n) = s(n) para cada x ∈ Pt. Assim, o balanco domomento linear fica da forma∫

∂PtT(n) dA =

∫Pt

b dV +

∫Pt

vρ dV.

Pelo Teorema da Divergencia, obtemos



Teorema de Cauchy



s(k,x) =∑i

(k · ei)s(ei,x)

para todo vetor unitario k.Prova: Veja no livro do Gurtin.Voltando ao Teorema, seja {ei} uma base ortonormal e T dado por

T(x, t) =∑i

s(ei,x, t)⊗ ei


∂PtT(n) dA =

∫Pt

b dV +

∫Pt

vρ dV.




Teorema de Cauchy



s(k,x) =∑i

(k · ei)s(ei,x)


T(x, t) =∑i

s(ei,x, t)⊗ ei

Do Lema anterior, vale T(n) = s(n) para cada x ∈ Pt.

Assim, o balanco domomento linear fica da forma∫

∂PtT(n) dA =

∫Pt

b dV +

∫Pt

vρ dV.




Teorema de Cauchy



s(k,x) =∑i

(k · ei)s(ei,x)


T(x, t) =∑i

s(ei,x, t)⊗ ei


∂PtT(n) dA =

∫Pt

b dV +

∫Pt

vρ dV.




Teorema de Cauchy



s(k,x) =∑i

(k · ei)s(ei,x)


T(x, t) =∑i

s(ei,x, t)⊗ ei


∂PtT(n) dA =

∫Pt

b dV +

∫Pt

vρ dV.

Pelo Teorema da Divergencia, obtemosMarcio Bortoloti Balanco de Momento


Teorema de Cauchy

Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt

(divT + b− ρv) dV = 0.

Pelo Teorema da Localizacao obtemos

divT + b− ρv = 0.

Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt

(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫

∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt

(w · divT + T · grad w) dV

Como divT = ρv − b, segue que



Teorema de Cauchy






Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt


∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt





Teorema de Cauchy





Falta verificar que T e simetrico.

De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt


∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt





Teorema de Cauchy





Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt.

Tem-se∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt


∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt





Teorema de Cauchy






Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA

=

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt


∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt





Teorema de Cauchy






Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt


∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt





Teorema de Cauchy






Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt

(w · divT + T · grad w) dV.

Assim, ∫∂Pt

s(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt





Teorema de Cauchy






Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt


∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA

=

∫Pt





Teorema de Cauchy






Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt


∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt





Teorema de Cauchy






Tn ·w dA =

∫∂Pt

(TTw) · n dA =

∫Pt

div (TTw) dV

=

∫Pt


∂Pts(n) ·w dA =

∫∂Pt

Tn ·w dA =

∫Pt


Como divT = ρv − b, segue queMarcio Bortoloti Balanco de Momento


Teorema de Cauchy


∫∂Pt

s(n) ·w dA =

∫Pt

(w · (ρv − b) + T · grad w) dV

Como b∗ = b− ρv segue que∫∂Pt

s(n) ·w dA =

∫Pt

(w · (−b∗) + T · grad w) dV

ou ∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV

Tomando w como um deslocamento rıgido infinitesimal, temos pelo Teorema doTrabalho Virtual, que grad w = W, com W anti-simetrico e∫

∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0



Teorema de Cauchy


∫∂Pt

s(n) ·w dA =

∫Pt



s(n) ·w dA =

∫Pt

(w · (−b∗) + T · grad w) dV

ou ∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV


∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0



Teorema de Cauchy


∫∂Pt

s(n) ·w dA =

∫Pt



s(n) ·w dA =

∫Pt

(w · (−b∗) + T · grad w) dV

ou ∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV


∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0



Teorema de Cauchy


∫∂Pt

s(n) ·w dA =

∫Pt



s(n) ·w dA =

∫Pt

(w · (−b∗) + T · grad w) dV

ou ∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV


∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0



Teorema de Cauchy


∫∂Pt

s(n) ·w dA =

∫Pt



s(n) ·w dA =

∫Pt

(w · (−b∗) + T · grad w) dV

ou ∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV


∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0



Teorema de Cauchy


Segue entao que ∫Pt

T ·W dV = 0 para todo P.

Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫

∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV.

Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.

Segue entao que ∫∂Pt

s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0.

Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.



Teorema de Cauchy




Portanto, T ·W = 0.

O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫

∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV.



s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0.




Teorema de Cauchy




Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico.

Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫

∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV.



s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0.




Teorema de Cauchy




Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv.

Notamos quevale ∫

∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV.



s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0.




Teorema de Cauchy





∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV.



s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0.




Teorema de Cauchy





∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV.



s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0.




Teorema de Cauchy





∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV.



s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0.




Teorema de Cauchy





∂Pts(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV =

∫Pt

T · grad w dV.



s(n) ·w dA+

∫Pt

w · b∗ dV = 0.




Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Seja T um tensor de tensoes. Se

Tn = σn, |n| = 1,

entao σ e chamada tensao principal e n direcao principal.

Entao as tensoesprincipais e direcoes principais sao os autovalores e autovetores de T,respectivamente. Desde que T seja simetrico, existem tres direcoes principaismutuamente perpendiculares e tres tensoes principais correspondentes.



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes


Tn = σn, |n| = 1,

entao σ e chamada tensao principal e n direcao principal. Entao as tensoesprincipais e direcoes principais sao os autovalores e autovetores de T,respectivamente.

Desde que T seja simetrico, existem tres direcoes principaismutuamente perpendiculares e tres tensoes principais correspondentes.



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes


Tn = σn, |n| = 1,

entao σ e chamada tensao principal e n direcao principal. Entao as tensoesprincipais e direcoes principais sao os autovalores e autovetores de T,respectivamente. Desde que T seja simetrico, existem tres direcoes principaismutuamente perpendiculares e tres tensoes principais correspondentes.



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Tn

Força Normal

Força de Cisalhamento

n

x

Considere uma superfıcie plana comuma normal unitaria n.

A forca desuperfıcie Tn pode ser decompostacomo a soma de uma forca normal

(n · Tn)n = (n⊗ n)Tn

e uma forca de cisalhamento

(I− n⊗ n)Tn.



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Tn

Força Normal


n

x

Considere uma superfıcie plana comuma normal unitaria n. A forca desuperfıcie Tn pode ser decompostacomo a soma de uma forca normal

(n · Tn)n

= (n⊗ n)Tn


(I− n⊗ n)Tn.



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Tn

Força Normal


n

x




(I− n⊗ n)Tn.



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Tn

Força Normal


n

x




(I− n⊗ n)Tn.



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Tn

Força Normal


n

x




(I− n⊗ n)Tn.



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento.

Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se

T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.

Pressão



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n.

Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se


Pressão



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.

Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se


Pressão



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico.

Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se


Pressão



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se

T = −pI,com p um escalar.

Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.

Pressão



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes


T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido.

Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.

Pressão



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes



Pressão



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes



Pressão



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes

Outros tipos de tensoes importantes sao:

Tensao Pura: com tensoes σ na direcao e, onde |e| = 1: T = σ(e⊗ e).

Tensão Pura

Cisalhamento puro: com tensao de cisalhamento τ relativa ao par (k,n),(vetores ortogonais e unitarios): T = τ(k⊗ n + n⊗ k).

Cisalhamento Puro



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes



Tensão Pura


Cisalhamento Puro



Teorema de Cauchy

Algumas Definicoes



Tensão Pura


Cisalhamento Puro


Documents

Balanço de Momento - UESB