Bárbara Amaral, Alexandre Tavares Baraviera e Marcelo O. Terra

Mecânica Quântica para Matemáticos em Formação

Publicações Matemáticas

Mecânica Quântica para Matemáticos em Formação

Bárbara Amaral UFOP/UFMG

Alexandre Tavares Baraviera

UFRGS

Marcelo O. Terra Cunha UFMG

impa 28o Colóquio Brasileiro de Matemática

Copyright 2011 by Bárbara Amaral, Alexandre Tavares Baraviera e Marcelo O. Terra Cunha

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

28o Colóquio Brasileiro de Matemática

• Cadenas de Markov y Teoría de Potencial - Johel Beltrán

• Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma Introdução às Geometrias Euclidiana e Afim - M. Andrade e T. Lewiner

• De Newton a Boltzmann: o Teorema de Lanford - Sérgio B. Volchan

• Extremal and Probabilistic Combinatorics - Robert Morris e Roberto Imbuzeiro Oliveira

• Fluxos Estrela - Alexander Arbieto, Bruno Santiago e Tatiana Sodero

• Geometria Aritmética em Retas e Cônicas - Rodrigo Gondim

• Hydrodynamical Methods in Last Passage Percolation Models - E. A. Cator e L. P. R. Pimentel

• Introduction to Optimal Transport: Theory and Applications - Nicola Gigli

• Introdução à Aproximação Numérica de Equações Diferenciais Parciais Via o Método de Elementos Finitos - Juan Galvis e Henrique Versieux

• Matrizes Especiais em Matemática Numérica - Licio Hernanes Bezerra

• Mecânica Quântica para Matemáticos em Formação - Bárbara Amaral, Alexandre Tavares Baraviera e Marcelo O. Terra Cunha

• Multiple Integrals and Modular Differential Equations - Hossein Movasati

• Nonlinear Equations - Gregorio Malajovich

• Partially Hyperbolic Dynamics - Federico Rodriguez Hertz, Jana Rodriguez Hertz e Raúl Ures

• Random Process with Variable Length - A. Toom, A. Ramos, A. Rocha e A. Simas

• Um Primeiro Contato com Bases de Gröbner - Marcelo Escudeiro Hernandes

ISBN: 978-85-244-327-9 Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ E-mail: [email protected] http://www.impa.br

Para Thalese Tshabalala(o cão), pelocarinho, pelalealdade, pelocompanheirismoe também pelasbochechas.

Para Áurea,Dirceu, Fláviae Pedro, queagora ganhamais um livri-nho para puxarda estante.

Para Mimi eTatá, comosempre, e parao Andrey, pelaprimeira vez.

Programa

Abertura ix

Prelúdio 1

1 Números Complexos 31.1 Soma e Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Representação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 A Exponencial Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Limites e Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Álgebra Linear 112.1 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1 Produto Interno e Funcionais Lineares . . . . . 212.6 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6.1 Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . 222.7 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.9 Adjunta de uma Transformação Linear . . . . . . . . . 252.10 Projeção sobre um Subespaço . . . . . . . . . . . . . . 272.11 Autovetores e Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.11.1 de Transformações Hermitianas . . . . . . . . . 29

iii

iv PROGRAMA

2.12 Operadores Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.13 Traço e Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.13.1 Traço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.13.2 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.14 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.15 Exponencial de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 382.16 Comutador de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.17 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Equações Diferenciais Ordinárias 443.1 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . 443.2 Equações Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . 463.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Grupos 504.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Grupos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1 Matrizes Invertíveis . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.2 Matrizes Unitárias . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.3 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Matrizes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.1 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.2 SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Representação de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Ação de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6 Órbitas e Classes de Equivalência . . . . . . . . . . . . 574.7 A Fibração de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Álgebras C! 625.1 Álgebras C! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Estados de uma Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1 Estados da Álgebra Mn(C) . . . . . . . . . . . 665.3 Espectro de Elementos da Álgebra . . . . . . . . . . . 685.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Interlúdio 71

PROGRAMA v

6 Um Bit de Mecânica Quântica 736.1 Mecânica Quântica em Dimensão Dois . . . . . . . . . 73

6.1.1 Estados e Medições . . . . . . . . . . . . . . . 746.1.2 Depois das Medições . . . . . . . . . . . . . . 766.1.3 O que os bits clássicos não têm . . . . . . . . . 786.1.4 Quando perder é ganhar . . . . . . . . . . . . . 806.1.5 Estados Físicos e Esfera de Bloch . . . . . . . . 816.1.6 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Um pouco de Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Sistemas de d níveis 897.1 Mecânica Quântica em Dimensão d . . . . . . . . . . . 89

7.1.1 Estados e Medições . . . . . . . . . . . . . . . 897.1.2 Depois das Medições . . . . . . . . . . . . . . 917.1.3 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.1.4 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.2 Um exemplo: o Laplaciano discreto . . . . . . . . . . . 947.2.1 Operador Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.3 A Relação de Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.4 Mais um pouco de Física . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Sistemas Quânticos Compostos 1018.1 Dois Qbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.1.1 Estados e Medições . . . . . . . . . . . . . . . 1018.1.2 Estados Fisicamente Distintos . . . . . . . . . . 1068.1.3 Dois spins 1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.1.4 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2 Sistemas de Duas Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Mais Qbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.3.1 Emaranhamento: W vs GHZ . . . . . . . . . . 1148.3.2 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.3.3 Vários spins 1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.4 Compondo ou Decompondo? . . . . . . . . . . . . . . 1178.5 Um pouquinho mais de Física . . . . . . . . . . . . . . 119

vi PROGRAMA

9 Operador Densidade 1229.1 Operador Densidade como Ponto de Partida . . . . . . 122

9.1.1 Testes e Operadores Densidade . . . . . . . . . 1259.1.2 Estados Mistos de um Qbit . . . . . . . . . . . 126

9.2 Operador Densidade como Ignorância Clássica . . . . 1279.3 Operador Densidade como Ignorância Quântica . . . . 1289.4 Medições Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.5 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.6 Uma Axiomatização Alternativa . . . . . . . . . . . . 138

9.6.1 Mecânica Quântica e Álgebras de Operadores . 1389.6.2 Mas nem é tão novo assim... . . . . . . . . . . . 139

9.7 Mais um bocadinho de Física . . . . . . . . . . . . . . 140

10 Sistemas Quânticos Compostos - bis 14210.1 Dois Qbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.1.1 Critérios de Separabilidade . . . . . . . . . . . 14510.1.2 Quantificadores de Emaranhamento . . . . . . 14910.1.3 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.2 Sistemas Bipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.3 Sistemas Multipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.4 Um tantinho mais de Física . . . . . . . . . . . . . . . 158

Poslúdio 161

11 Um Pouco de Mecânica Quântica na Reta 16311.1 Partícula Clássica na Reta . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.2 Partícula Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.3 O Operador Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.4 A Partícula em uma Caixa Unidimensional . . . . . . 168

11.4.1 Caso Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.4.2 Caso Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.4.3 Um Exemplo de Limite Clássico . . . . . . . . 171

11.5 O Oscilador Harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

PROGRAMA vii

12 Sistema de Funções Iteradas Quântico 17812.1 Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.2 Sistema de Funções Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . 17912.3 Sistema de Funções Iteradas Quântico . . . . . . . . . 180

13 Desigualdades de Bell 18413.1 EPR e os Elementos de Realidade . . . . . . . . . . . 18413.2 Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.3 A Desigualdade CHSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14 Contextualidade 19114.1 von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

14.1.1 A Falha na Demonstração de von Neumann . . 19214.1.2 Um Modelo de Variáveis Ocultas Compatível . 193

14.2 Gleason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19414.2.1 A Crítica de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

14.3 Bell, Kochen e Specker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19714.3.1 Demonstração Econômica em Dimensão Três . 19814.3.2 Propriedades das Matrizes de Pauli . . . . . . . 19914.3.3 Demonstração Simples em Dimensão Quatro . 20014.3.4 Demonstração Simples em Dimensão Oito . . . 201

14.4 Um Modelo de Variáveis Ocultas Contextual . . . . . 202

Abertura

O texto que você está lendo agora é o resultado de uma pequenaaventura ou uma grande ambição: falar de mecânica quântica paramatemáticos em formação. Da nossa experência, matemáticos se for-mam sem qualquer conhecimento de mecânica quântica. Quando,por interesse próprio, vão procurar tal formação, por razões históri-cas ou disponibilidade de textos1, acabam esbarrando com textos queou assumem, ou iniciam a discussão por análise funcional. Mas as úl-timas décadas permitiram o crescimento da chamada teoria quânticada informação, ou, como é mais comum, informação quântica. Umdos maiores méritos desta foi levar a uma revisão dos conceitos fun-damentais da mecânica quântica e, em especial, permitir uma maiorvalorização dos espaços de estado de dimensão finita. Dessa forma,sai a análise funcional (como pré-requisito ou ponto de partida) eentra a álgebra linear, com a qual os estudantes têm contato desde oinício de seus cursos. Esse é o espírito do texto: discutir a matemáticada mecânica quântica, principalmente em dimensão finita.

Por escolha, o texto foi divido em três partes, usando uma me-táfora musical. O prelúdio apenas prepara a obra. Não falamos demecânica quântica nele, embora, naturalmente, tudo que lá se encon-tra ou tem aplicação na ou sustenta a nossa solista. O interlúdio é aessência do texto. É nele que a mecânica quântica é introduzida. Aabordagem escolhida vai do particular para o geral, em busca da me-lhor compreensão. O poslúdio trata de alguns temas que gostaríamosde aprofundar mais, embora nem o formato nem os prazos tornemisso adequado.

1O que não são, de modo algum, razões independentes.

x Abertura

Ao escrever este livro, tínhamos em mente nosso público alvo: es-tudantes com o ciclo básico completo, e com gosto pela matemática.Não há necessidade de passar por todo o prelúdio, caso você queira“ir direto ao assunto”. Ele foi escrito com vários objetivos comple-mentares: tornar o texto razoavelmente autocontido2, introduzir no-tação (caso especial da notação de Dirac, intensamente utilizada nocapítulo 2) e discutir alguns conceitos (ou estratégias de apresentaros conceitos) que normalmente não encontram lugar no ciclo básicopressuposto. Uma sugestão razoável é que você corra os olhos pelo ín-dice e escolha como se servir. Por outro lado, pensando nesse mesmopúblico, o texto é repleto de exercícios. Há dois tipos deles, os quese encontram em meio ao texto e os de final de capítulo. Isso nãoacontece por acaso. Ao encontrar um exercício no meio do texto,resolva-o; ou, ao menos, tente. Quase certamente ele será utilizadologo em seguida.

Cabe salientar que, normalmente, em um bacharelado em Físicaos estudantes tomam cerca de três disciplinas de Mecânica Quân-tica, enquanto este livro é originalmente destinado a um minicurso.Portanto, embora as definições básicas e suas consequências sejam a-presentadas, há muito mais que não poderá ser discutido. Para isso, oestudante pode adotar textos que capricham na intuição, como [FLS],ou textos mais tradicionais, como [CDL], mais profundos [Per95], oumais relacionados à informação quântica [Pre, NC].

Quando resolvemos encarar essa empreitada, já tínhamos experi-ências (razoavelmente) recentes complementares: uma dissertação demestrado, [Ama], um livro sobre informação quântica, [Ter07a], e umlivro mais introdutório sobre mecânica quântica, [Bar]. Não foi possí-vel resistir a uma pequena dose de autoplagia e um leitor mais atentovai encontrar trechos previamente publicados. Em algumas outraspartes, já temos dificuldade de lembrar quem fez a primeira redaçãode tal parágrafo. Assim, a responsabilidade pelos erros3 encontradosno texto é compartilhada pelos três autores.

Entretanto, é um prazer agradecer a algumas pessoas que ajuda-ram a diminuir a quantidade destes erros e ainda contribuiram comsugestões. Nessa função, ainda que atropelados pela sobreposição

2Também se buscou usar a nova ortografia, mas não podemos garantir quetenhamos tido sucesso.

3E eventuais acertos.

xi

de versões sempre incompletas, merecem destaque Gláucia Murta,Rodrigo Porto, Fernando Brandão, Ricardo Falcão, Pierre-Louis deAssis, Raphael Drumond, Carlos Felipe Lardizábal, Mateus AraújoSantos e Marco Túlio Coelho Quintino.

Um prazer ainda maior é agradecer ao Artur O. Lopes, que tantoincentivou os dois autores mais idosos deste texto, e, indiretamente,a mais jovem. Capes, CNPq e Fapemig também merecem reconheci-mento pelo apoio dado aos autores ao longo dos anos.

Por fim, é hora e lugar de agradecermos e nos desculparmos comaqueles entes próximos e queridos, que concordaram com tantas re-núncias em nome do livro que, finalmente, ganhou forma. Tambémagradecemos e nos desculpamos com os organizadores do Colóquio,que apoiaram essa iniciativa e gentilmente compreenderam as nossasfraquezas.

Bárbara Amaral

Alexandre T. Baraviera

Marcelo Terra Cunha

Prelúdio

Antes de realmente focarmos na mecânica quântica, vamos discutiralguns conceitos matemáticos que permeiam o restante do texto. Na-turalmente, não nos cabe aprofundamento em cada um desses temas.Assim, esse prelúdio é visto como um momento para fixar notação ecolecionar os conteúdos de maneira adequada a referências rápidas.

Começamos por números complexos, apenas colecionando suasprincipais propriedades e pedindo ao estudante que as relembre (oueventualmente aprenda algumas) através dos exercícios.

Álgebra linear é a base da mecânica quântica. Por isso ganhapapel de destaque nesse prelúdio.

Equações diferenciais e grupos também merecem atenção. E nãoresistimos à tentação de apresentar as álgebras C!, que acreditamosdesconhecidas da maioria de nossos leitores, mas que podem ser muitoúteis na discussão da mecânica quântica, além de possuirem belezaintrínseca que nos atrai.

Capítulo 1

Números Complexos

O conjunto dos números complexos tem um universo infinito de apli-cações. Em muitos casos eles podem facilitar os cálculos e abreviar anotação. A Mecânica Quântica faz uso dos números complexos, masaqui eles não são só um atalho para simplificar a teoria. A impor-tância deles é tamanha que alguns físicos afirmam que é impossívelformulá-la utilizando apenas os números reais. Faremos aqui apenasum resumo das principais propriedades que serão necessárias ao longodo texto e para mais detalhes o leitor pode consultar [Soa].

1.1 Soma e Multiplicação

Definição 1.1. Um corpo é um conjunto C em que podemos definirduas operações

+ : C ! C "# C

(a, b) $"# a + b

· : C ! C "# C

(a, b) $"# a · b = ab

tais que para todos a, b, c % C valem

1) (Associatividade) a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c;

2) (Comutatividade) a + b = b + a e a · b = b · a;

3

4 [CAP. 1: NÚMEROS COMPLEXOS

3) (Existência de elemento neutro) existem elementos distintos 0 %C e 1 % C tais que a + 0 = a e a · 1 = a;

4) (Existência de inversos) Para todo a % C existe "a % C tal quea + ("a) = 0 e se a &= 0 existe a"1 % C tal que a · a"1 = 1;

5) (Distributividade) a · (b + c) = a · b + a · c.

Exemplo 1.1. O conjunto dos números racionais Q e o conjuntodos números reais R são corpos com as operações usuais de soma emultiplicação.

O corpo que vai aparecer com mais frequência ao longo do textoé o corpo dos números complexos e por isso vamos fazer uma breverevisão de suas principais propriedades.

Definição 1.2. Um número complexo é uma expressão do tipo:

z = x + iy,

em que x e y são números reais e i, chamado unidade imaginária,satisfaz a propriedade i2 = "1. O número x = Re(z) é a parte realde z e y = Im(z) é a parte imaginária de z.

Para definir a soma e a multiplicação de números complexos va-mos usar as operações de soma e multiplicação de números reais econsiderar cada número complexo como um polinômio em i, de modoque a soma de dois números complexos z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2

é dada porz1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2),

e o produto de z1 e z2 é dado por

z1z2 = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 + i2y1y2 = (x1x2"y1y2)+ i(x1y2 +x2y1).(1.1)

Exercício 1.1. Mostre que as operações definidas acima são comuta-tivas e que a multiplicação se distribui sobre a adição. Mostre tambémque o elemento neutro para a adição é 0 = 0+i0, que o elemento neu-tro para a multiplicação, também chamado de identidade, é 1 = 1+ i0e que o inverso de z para a soma é "z = "x " iy.

[SEC. 1.2: REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA 5

Para mostrar que C é um corpo, resta mostrar que existem osinversos multiplicativos.

Definição 1.3. O conjugado de um número complexo z = x + iyé o número complexo z = x " iy. A norma de z é |z| =

'z · z =

!

x2 + y2. Um número complexo z é chamado unitário se |z| = 1.

Exercício 1.2. Mostre que a norma de um número complexo é sem-pre um número real não negativo e temos que |z| = 0 se, e somentese, z = 0.

Exercício 1.3. Mostre que z"1 = z|z|2 é o inverso multiplicativo de

z e que se z é unitário, z"1 = z.

1.2 Representação Geométrica

Podemos representar os números complexos geometricamente usandoo plano cartesiano. O número complexo z = x+iy é representado peloponto (x, y) no plano cartesiano e |z| representa a distância euclidianaentre o ponto (0, 0) e (x, y).

A partir da representação geométrica podemos ver que se r = |z|e ! é o ângulo formado entre a reta que liga os pontos (x, y) e (0, 0)e o eixo x então

z = r(cos(!) + isen(!)).

Desse modo, se z é um complexo unitário então z = cos(!) + isen(!)para algum ! % R.

1.3 A Exponencial Complexa

Algumas funções definidas para números reais podem ser facilmentegeneralizadas para C. Entre elas está a função exponencial.

Definição 1.4. A exponencial de um número complexo z é definidapor

ez =#"

n=0

zn

n!.


A exponencial está bem definida para todo número complexo. Issosegue do fato de que

#"

n=0

|zn|n!

=#"

n=0

|z|n

n!= e|z|

e do seguinte resultado:

Proposição 1.1. Se uma série de números complexos#"

n=0

zn

é absolutamente convergente, ou seja, se#"

n=0

|zn|

converge, então ela é convergente.

Para números complexos sem parte real, chamados de imaginá-rios puros, é possível mostrar, utilizando a definição acima, que aexponencial assume a forma

eyi = cos(y) + isen(y),

de modo que a exponencial de um imaginário puro é sempre umnúmero complexo unitário.

Voltando à representação geométrica dos números complexos, ob-temos a representação polar de um número complexo:

z = r(cos(!) + isen(!)) = rei!.

Também é possível mostrar que valem as seguintes propriedades

1. ez+w = ez · ew, para todos z, w % C;

2. e"z = 1ez ;

3. e0 = 1

4. (ez)n = enz, para todo z % C e n % Z.

5. ez &= 0.

Exercício 1.4. Prove que ez = ex(cos(y) + isen(y)).

[SEC. 1.4: LIMITES E DERIVADAS 7

1.4 Limites e Derivadas

Outros conceitos do cálculo também podem ser generalizados para ocaso complexo.

Definição 1.5. Dado um número complexo z0 dizemos que o númerow0 é o limite de uma função f : C # C quando z tende a z0 eescrevemos

limz$z0

f(z) = w0

se para todo " > 0 é possível encontrar # > 0 tal que se 0 < |z"z0| < #então |f(z) " w0| < ".

Exercício 1.5. Prove que se f1 : C # C e f2 : C # C são funçõestais que limz$z0

f1(z) = w1 e limz$z0f2(z) = w2 e se c % C então

1. limz$z0(f1(z) + f2(z)) = w1 + w2;

2. limz$z0(cf1(z)) = cw1;

3. limz$z0(f1(z)f2(z)) = w1w2;

4. Se w1 &= 0, limz$z0

1f1(z) = 1

w1.

Definição 1.6. Dizemos que uma função f : C # C é contínua noponto z0 se

limz$z0

f(z) = f(z0).

Definição 1.7. Seja f : C # C e z0 % C. Se existir o limite

f %(z0) = limz$z0

f(z) " f(z0)z " z0

dizemos que ele é a derivada de f em z0. Usamos também a notação

f %(z0) =df

dz(z0).

Exercício 1.6. Prove que se f1 : C # C e f2 : C # C são funçõesque possuem derivada em z0 então

1. (f1 + f2)%(z0) = f %1(z0) + f %

2(z0);


2. (cf1)%(z0) = cf %1(z0);

3. (f1f2)%(z0) = f %1(z0)f2(z0) + f1(z0)f %

2(z0);

4. Se w1 &= 0,#

1f1

$%(z0) = " f !

1(z0)

f1(z0)2 .

Exercício 1.7. Mostre que se f : C # C possui derivada em z0 e seg : C # C possui derivada em f(z0) então g ( f possui derivada emz0 e

(g ( f)%(z0) = g%(f(z0))f %(z0).

Para que uma função complexa f(x + iy) = f(x, y) = u(x, y) +iv(x, y) possua derivada em um ponto, é necessário que as funçõesu e v satisfaçam condições chamadas condições de Cauchy-Riemann.Essa é uma maneira prática de mostrar que uma função complexanão possui derivada: basta mostrar que essas condições não são sa-tisfeitas, o que em geral não é difícil. Infelizmente essas condiçõesnão são suficientes para a existência da derivada. No entanto, nocaso especial em que as derivadas parciais de u e v são contínuas,essas condições são suficientes e podemos usá-las tanto para mostrara existência da derivada, quanto para calculá-la.

Proposição 1.2 (Condições de Cauchy-Riemann). Seja z = x + iye f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y). Se f tem derivada no pontoz0 = x0 + iy0 então valem as condições de Cauchy-Riemann:

$u

$x(x0, y0) =

$v

$y(x0, y0)

$u

$y(x0, y0) = "

$v

$x(x0, y0),

e além dissof %(z0) =

$u

$x(x0, y0) + i

$u

$y(x0, y0).

Por outro lado, se as derivadas parciais

$u

$x(x0, y0),

$u

$y(x0, y0),

$v

$x(x0, y0),

$v

$y(x0, y0)

são contínuas em z0 e se as condições de Cauchy-Riemann são satis-feitas, então f possui derivada em z0.

[SEC. 1.5: EXERCÍCIOS 9

Exercício 1.8. Mostre que

d(zn)dz

= nzn"1

d(ez)dz

= ez.

Terminamos aqui nosso breve resumo sobre números complexos.Há bem mais o que se estudar e o leitor interessado no cálculo emuma variável complexa pode procurar as referências.

1.5 Exercícios

Exercício 1.9. Coloque na forma x + iy.

1. (3 " 5i)(2 + i);

2. (1 " i)2 " 6i;

3. (1"2i)2

2+2i .

Exercício 1.10. Esboce no plano cartesiano os subconjuntos de C

que satisfazem as seguines propriedades

1. |z| = 2;

2. |z| = |z + 1|;

3. Re(z) = Im(z + 1).

Exercício 1.11. Calcule

1. e1+3"i;

2. e3"!i

2 ;

Exercício 1.12. Verifique que a as condições de Cauchy-Riemannsão satisfeitas para a função

f(x + iy) =

%xy(1"i)x2+y2 , z &= 0,

0 z = 0.

em z = 0 mas que ela não possui derivada nesse ponto.


Exercício 1.13. Mostre se as funções abaixo possuem derivada emtodos os pontos

1. f(x + iy) = e"y(cos(x) + i sen(y));

2. f(x + iy) = e"x(cos(y) " i sen(x)).

Capítulo 2

Álgebra Linear

Neste capítulo pretendemos relembrar ao leitor algumas noções bási-cas sobre espaços vetoriais e produtos internos que serão muito utili-zadas no decorrer do texto [NC, Lim, Vai]. Falaremos principalmentede espaços vetoriais complexos, que aparecem naturalmente em me-cânica quântica.

2.1 Espaços Vetoriais

Um espaço vetorial V sobre um corpo C é um conjunto, cujos ele-mentos chamaremos vetores e denotaremos por |u), munido de umasoma vetorial

+ : V ! V "# V

(|u), |v)) $"# |u) + |v)

e de um produto por escalar

· : C ! V "# V

(%, |u)) $"# %|u)

tais que para todos |u), |v), |w) % V e %, & % C temos

1) (Associatividade) |u) + (|v) + |w)) = (|u) + |v)) + |w);

11

12 [CAP. 2: ÁLGEBRA LINEAR

2) (Comutatividade) |u) + |v) = |v) + |u);

3) (Existência de zero) Existe vetor 0 % V tal que |u) + 0 = |u);

4) (Existência do vetor oposto) Dado |u) % V existe vetor "|u) %V tal que |u) + ("|u)) = 0;

5) (Associatividade) %(&|u)) = (%&)|u);

6) (Distributividade) %(|u) + |v)) = %|u) + %|v);

7) (Distributividade) (% + &)|u) = %|u) + &|u);

8) 1|u) = |u) quando 1 é a unidade da multiplicação no corpo C.

A notação utilizada acima, a notação de Dirac, é bastante empre-gada, sobretudo pelos físicos que trabalham com a mecânica quântica.O símbolo |u) é chamado ket u. é importante ressaltar que o u queaparece na notação é apenas um rótulo arbitrário. Outra observaçãoimportante é que o símbolo |0) será usado com frequência e não re-presenta o vetor nulo do espaço vetorial em questão e sim um vetorcom o rótulo zero. Denotaremos o vetor nulo apenas pelo símbolo 0.

Exemplo 2.1 (Rn é um espaço vetorial sobre R). Rn é o conjuntodas n-uplas ordenadas (x1, . . . , xn), xi % R. Podemos definir a somae produto por escalar, respectivamente, por

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

%(x1, . . . , xn) = (%x1, . . . ,%xn).

Exemplo 2.2 (O conjunto das funções contínuas é um espaço vetorialsobre R). Seja CR[0, 1] o conjunto formado pelas funções contínuasdo intervalo [0, 1] com valores em R. A soma e o produto podem serdefinidos como sendo

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(%f)(x) = %f(x).

[SEC. 2.2: BASE E DIMENSÃO 13

Exemplo 2.3 (Cn é um espaço vetorial sobre C). Cn é o conjuntodas n-uplas ordenadas (x1, . . . , xn), xi % C. Podemos definir a somae produto por escalar, respectivamente, por

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

%(x1, . . . , xn) = (%x1, . . . ,%xn).

Exercício 2.1. Mostre que os exemplos acima são de fato espaçosvetoriais com as operações indicadas.

No último exemplo o corpo usado foi C. No restante deste texto ocorpo sempre será o dos números complexos, salvo menção explícitaem contrário. Em boa parte do texto o leitor também pode imaginarque o espaço vetorial em questão é Cn.

2.2 Base e Dimensão

Definição 2.1. Dizemos que uma expressão do tipo

'1|v1) + . . . + 'k|vk), 'i % C

é uma combinação linear dos vetores |v1), . . . , |vk). Dado um conjuntode vetores dizemos que ele gera V se todo elemento de V pode serescrito como combinação linear dos elementos desse conjunto.

Queremos encontrar conjuntos que gerem o espaço com o númeromínimo de elementos.

Definição 2.2. Dizemos que um conjunto de vetores {|v1), . . . , |vk)} *V é linearmente independente (LI) se a equação

'1|v1) + · · · + 'k|vk) = 0

só admite a solução trivial ('1, . . . ,'k) = (0, . . . , 0).Caso contrário, dizemos que os vetores são linearmente dependen-

tes (LD).


Exercício 2.2. Mostre que um conjunto de vetores é LD se e somentese podemos expressar ao menos um dos vetores como combinaçãolinear dos outros.

Podemos nos perguntar se existe um conjunto de vetores LI deforma que todo elemento do espaço V possa ser escrito como com-binação linear dos elementos desse conjunto. é possível mostrar quetodo espaço vetorial possui um conjunto LI com essa propriedade.

Definição 2.3. Uma base para um espaço vetorial V é um conjuntoLI

B = {|v1), . . . , |vk)}tal que todo vetor de V é combinação linear de |v1), . . . , |vk). A di-mensão de V é o número de vetores em uma base.1

é possível mostrar que duas bases de V devem ter necessariamenteo mesmo número de elementos, de modo que a dimensão está bemdefinida, ou seja, não depende da base que escolhemos para V .

Da existência de uma base B = {|v1), . . . , |vn)} do espaço V surgea notação para vetores mais utilizada: dado um vetor |v) podemosescrevê-lo como |v) = a1|v1)+ · · ·+ an|vn) e de forma única. De fato,se temos |v) = b1|v1) + . . . + bn|vn) então

(a1 " b1)|v1) + . . . + (an " bn)|vn) = 0

e da condição LI temos ai = bi. Assim podemos representar o ve-tor por meio de seus coeficientes na base dada: |v) = (a1, . . . , an)B.Quando não houver confusão a respeito da base que está sendo utili-zada denotaremos apenas por |v) = [v]B = (a1, . . . , an).

2.3 Subespaços Vetoriais

Um subespaço vetorial S do espaço vetorial V é um subconjunto deV que é, ele mesmo, um espaço vetorial com as operações de soma emultiplicação por escalar definidas em V . Para isso, precisamos queas seguintes propriedades sejam satisfeitas

1A definição de dimensão acima vale para espaços vetoriais que podem sergerados por um número finito de vetores, como é o caso dos exemplos 2.1 e 2.3.Em outros casos, como no exemplo 2.2, o espaço vetorial não pode ser gerado pornenhum conjunto finito e dizemos que a dimensão é infinita.

[SEC. 2.4: TRANSFORMAÇÕES LINEARES 15

• 0 % S;

• |x) + |y) % S para todo par |x) e |y) % S;

• %|x) % S para todo % % C e todo |x) % S.

Exercício 2.3. Considere o subconjunto

S = {(t, 0, . . . , 0) % Rn; t % R}.

Mostre que S é um subespaço vetorial de Rn.

Exercício 2.4. Considere o subconjunto

S = {f % CR[0, 1]; f(0) = f(1) = 0}.

Mostre que S é um subespaço vetorial de CR[0, 1].

2.4 Transformações Lineares

Sejam U e V espaços vetoriais. Uma aplicação T : U # V é dita umatransformação linear se dados |u1), |u2) % U e % % C (que é o corpoque usaremos ao longo do texto) temos

• T (%|u1)) = %T (|u1))

• T (|u1) + |u2)) = T (|u1)) + T (|u2))

Fixemos uma base B = { |e1), . . . , |em)} de V e F = {|f1), . . . , |fn)}de U . Podemos escrever um vetor |v) % V na forma |v) =

&mi=1 vi|ei),

que também podemos representar na forma matricial

|v) =

'

((()

v1

v2...

vm

*

+++,

B

= [v1, v2, . . . , vm]tB.

Daí

T (|v)) = T

-m"

i=1

vi|ei)

.

=m"

i=1

viT (|ei)) =m"

i=1

n"

j=1

viTji|fj)


em que os números Tji são tais que T (|ei)) =&n

j=1 Tji|fj). Portantopodemos representar a transformação linear T por meio de uma ma-triz TB,F com entradas Tij de forma que

[T (|v))]F = T BF [v]B.

De forma similar, dada uma matriz n!m temos, desde que fixadas asbases, uma transformação linear associada. Essa identificação é tãoforte que frequentemente nos referiremos à uma transformação linearapenas pela matriz que a representa, desde que não haja confusãoacerca de quais são as bases usadas em cada caso.

Quando U = V = Cn, as matrizes em questão são matrizes n!n.O conjunto das matrizes n ! n com coeficientes em C será denotadopor Mn(C).

Um caso particular de destaque são os funcionais lineares.

Definição 2.4. Um funcional linear +(| é uma transformação line-ar +(| : V # C. O espaço de todos os funcionais lineares de V éconhecido com o espaço dual de V e denotado por V !.

Os elementos de V ! serão denotados na notação de Dirac pelosímbolo +(|, que é chamado de bra.

2.5 Produto Interno

Dado um espaço vetorial V , um produto interno é uma aplicação

+·|· ) : V ! V "# C

(|u), |v)) $"# +u|v )

satisfazendo as seguintes propriedades2: para todo |u), |v), |w) % V e%, µ % C

1. +%u + µv|w ) = %+u|w ) + µ+v|w );

2. +u|v ) = +v|u );

3. +u|u) , 0;2Utilizaremos a notação !!u + µv|w " para denotar o produto interno entre os

vetores !|u" + µ|v" e |w"

[SEC. 2.5: PRODUTO INTERNO 17

4. Se +u|u) = 0 então |u) = 0.

Observação 1. Em 2 a barra denota a operação de tomar o complexoconjugado do número; em 3, note que o lado esquerdo da expressãode fato é real como consequência de 2. Por último, note que

+u|%v ) = +%v|u) = %+v|u ) =

%+v|u ) = %+u|v ).

Por isso uma maneira usual de reescrever a condição 1 acima é

+u|%v + µw ) = %+u|v ) + µ+u|w ).

Exercício 2.5. Considere o espaço vetorial Cn (sobre o corpo C).Mostre que a aplicação

+(x1, . . . , xn)|(y1, . . . , yn) ) =n

"

i=1

xiyi

é um produto interno, conhecido como produto interno canônico deCn.

Exercício 2.6. Mostre que CC[0, 1], o conjunto de funções contínuasdo intervalo [0, 1] com valores em C, é um espaço vetorial sobre C

com soma e produto, respectivamente, definidos como sendo

(f + g)(x) = f(x) + g(x),

(%f)(x) = %f(x).

Mostre que

+f |g ) =/

[0,1]f(x)g(x)dx

é um produto interno em CC[0, 1].

O produto interno nos permite introduzir uma noção que genera-liza a um espaço vetorial qualquer a ideia de perpendicularidade noespaço, com a qual já estamos familiarizados:


Definição 2.5. Dizemos que dois vetores |u) e |v) são ortogonaisse +u|v ) = 0. Dizemos que um conjunto E = {|v1), . . . , |vk)} é or-togonal se seus elementos são dois a dois ortogonais. Dizemos queum conjunto E = {|v1), . . . , |vk)} é ortonormal se é ortogonal e+vi|vi ) = 1 para todo i.

No caso do espaço ser R3 com o produto interno canônico, ou seja,

+(x1, x2, x3)|(y1, y2, y3) ) = x1y1 + x2y2 + x3y3

a ortogonalidade significa exatamente perpendicularidade no sentidogeométrico usual.

Com um espaço vetorial V munido de um produto interno pode-mos definir uma aplicação - · - : V # R escrevendo -v- =

!

+v|v ).De fato podemos provar que essa função é uma norma sobre V , maspara isso precisamos de alguns resultados preliminares.3

Teorema 2.1. Se u e v são ortogonais, então

-u + v-2 = -u-2 + -v-2.

Demonstração. Temos

-u + v-2 = +u + v|u + v ) = +u|u) + +u|v ) + +v|u ) + +v|v ) =

-u-2 + +u|v ) + +u|v ) + -v-2 = -u-2 + -v-2,

pois +u|v ) = 0.

Observação 2. Durante a prova obtivemos uma identidade conhe-cida como identidade polar:

-u + v-2 = -u-2 + 2Re(+u|v )) + -v-2.

Corolário 2.2. Usando o teorema acima o leitor pode provar, in-dutivamente, o seguinte resultado: se {|v1), . . . , |vk)} são dois a doisortogonais, então

-v1 + · · · + vk-2 = -v1-2 + · · · + -vk-2.

3Evitamos o uso da notação #|u"# e optamos por denotar a norma de um vetor|u" por #u# por simplicidade.


Teorema 2.3. Seja E = {|v1), . . . , |vk)} subconjunto ortonormal deV . Então, para todo |v) % V

-v-2 =k

"

i=1

|+vi|v )|2 +

00000v "

k"

i=1

+vi|v )vi

00000

2

.

Demonstração. Podemos escrever

|v) =k

"

i=1

+vi|v )|vi)

1 23 4

|a&

+ |v) "k

"

i=1

+vi|v )|vi)

1 23 4

|b&

Os vetores |a) e |b) são ortogonais: de fato

+a|b) =

5k

"

i=1

+vi|v )vi

66666v "

k"

i=1

+vi|v )vi

7

=

5k

"

i=1

+vi|v )vi

66666v

7

"k

"

i=1

k"

j=1

+vi|v )+vj |v )+vi|vj ) =

k"

i=1

+vi|v )+vi|v ) "k

"

i=1

+vi|v )+vi|v ) = 0.

Mas então -v-2 = -a + b-2 = -a-2 + -b-2 e

-a-2 =

5k

"

i=1

+vi|v )vi

666666

k"

j=1

+vj |v )vj

7

=k

"

i=1

|+vi|v )|2

donde segue o resultado.

Exercício 2.7. Se E = {|v1), . . . , |vk)} é subconjunto ortonormal deV , mostre que para todo vetor |v) % V vale a desigualdade de Bessel:

-v-2 ,k

"

i=1

|+v|vi )|2.


Corolário 2.4. Dados u e v em V então vale a desigualdade deCauchy-Bunyakovsky-Schwarz:

|+u|v )| . -u--v-.

Demonstração. Se |v) = 0 a desigualdade é claramente verdadeira;vamos então assumir que |v) é não nulo. Sendo assim, podemos consi-

derar o vetor|v)-v-

que é unitário (por quê?) e o conjunto E =8

|v)-v-

9

é subconjunto ortonormal de V . Portanto, pela desigualdade de Bes-sel,

-u-2 ,6666

:

u

6666

v

-v-

;6666

2

=1

-v-2|+u|v )|2

e assim |+u|v )| . -u--v-.

Agora estamos em condições de verificar que a função - · - : V #R+ é de fato uma norma, isto é, uma aplicação de um espaço vetorialnos reais não negativos que satisfaz as condições abaixo:

1. -%u- = |%|-u-;

2. -u + v- . -u- + -v-;

3. -u- = 0 / |u) = 0.

Deixamos para o leitor as provas de 1 e 3 e passamos a prova de 2:temos

-u + v-2 = -u-2 + 2Re(+u|v )) + -v-2 . -u-2 + 2|+u|v )| + -v-2 .

-u-2 + 2-u--v- + -v-2 = (-u- + -v-)2

e então o resultado segue.Uma norma nos permite definir uma noção natural de distância

no espaço V , isto é, uma métrica, que é uma função d : V ! V # R+

tal que

1. d(u, v) = d(v, u);

2. d(u, w) . d(u, v) + d(v, w);

3. d(u, v) = 0 / |u) = |v).

Podemos definir d como sendo d(u, v) = -u " v-.


2.5.1 Produto Interno e Funcionais Lineares

Quando um espaço vetorial é munido de um produto interno, é pos-sível associar vetores à funcionais lineares.

Exercício 2.8. Consideremos fixos um certo |v0) % V , e um produtointerno + | ) em V . Mostre que L : V # C definido como sendoLv0

|v) = +v0|v ) é um funcional linear.

Em alguns casos, o exemplo acima é absolutamente geral: todoelemento de V ! pode ser escrito na forma de Lv0

para algum |v0) emV . Esse é o caso quando V tem dimensão finita.

Teorema 2.5. Dado L % V ! então existe um único |v0) % V tal queL|v) = +v0|v ).

Demonstração. Considere uma base ortonormal {|ei)}i=1,...,k de V .Então

|v) =k

"

i=1

vi|ei)

e

L|v) =k

"

i=1

viL|ei) =k

"

i=1

viL|ei)+ei|ei ) =

=k

"

i,j=1

viL|ej)+ej|ei ) =k

"

i=1

vi

k"

j=1

<

L|ej)ej

666ei

=

=

=k

"

i=1

vi

5k

"

j=1

L|ej)ej

666666

ei

7

=

5k

"

j=1

L|ej)ej

66666

k"

i=1

viei

7

= +v0|v )

onde |v0) fica unicamente determinado como sendo&k

j=1 L(ej)|ej),o que conclui a demonstração.

Observação 3. Este resultado simples é a versão em dimensão finitade um resultado bem mais geral da análise funcional conhecido comoteorema de Riesz.


O teorema acima mostra que o produto interno fornece uma iden-tificação natural entre elementos de um espaço vetorial V e elementosdo seu espaço dual V ! dada por

|v) 0# Lv.

A notação de Dirac se aproveita desse fato para denotar o funcionalLv pelo bra +v| de modo que

Lv|w) = (+v|)|w) = +v|w ).

2.6 Bases Ortonormais

Definição 2.6. Dado um espaço vetorial V munido de um produtointerno +·|· ), dizemos que uma base é ortogonal se ela é um subcon-junto ortogonal de V . De forma análoga, uma base será chamada debase ortonormal se é um subconjunto ortonormal do espaço vetorialV

Exercício 2.9. Mostre que o conjunto formado pelos vetores |e1) =(1, 0, . . . , 0), |e2) = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., |en) = (0, 0, . . . , 0, 1) é umabase ortonormal com o produto interno canônico

+(v1, . . . , vn)|(u1, . . . , un) ) = v1u1 + . . . + vnun.

2.6.1 Ortogonalização de Gram-Schmidt

Se assumimos a existência de uma base qualquer para o espaço Ventão podemos nos perguntar se há uma base ortonormal de V e aresposta é afirmativa. Dada uma base qualquer {|v1), |v2), . . . , |vn)}de V então podemos obter uma base ortonormal {|u1), |u2), . . . , |un)}por meio de um procedimento conhecido como ortogonalização deGram-Schmidt que passamos a descrever. Para construir o vetor |u1)basta tomarmos

|u1) =|v1)-v1-

.

Para construir |u2) devemos ter em mente duas coisas: queremos que|u2) tenha norma unitária e que seja ortogonal ao vetor já construído

[SEC. 2.7: MUDANÇA DE BASE 23

|u1). Para verificar essa segunda condição procuramos um vetor naforma |w2) = |v2) + '1|u1) (que está no subespaço gerado por |v1) e|v2)) de forma que +w2|u1 ) = 0. Então

+w2|u1 ) =:

v2

6666

v1

-v1-

;

+ '1+u1|u1 ) = 0

ou seja,

'1 = "1

-v1-+v2|v1 )

O vetor |u2) é então definido como sendo |u2) = |w2&'w2' . Para obter

|u3) procederemos de forma similar: primeiro procuramos |w3) =|v3) + '1|u1) + '2|u2) que deve ser ortogonal a |u1) e a |u2), o quedetermina '1 e '2 como sendo

'1 = "+v3|u1 ) e '2 = "+v3|u2 )

Seguindo dessa maneira não é difícil ver que o vetor auxiliar |wk) serádado pela expressão

|wk) = |vk) " +vk|u1 )|u1) " · · · " +vk|uk"1 )|uk"1)

e que |uk) = wk

'wk' , com k = 2, 3, . . . , n. Dessa forma podemos exibirtodos os vetores |u1), . . . , |un); por construção eles geram o mesmoespaço que |v1), . . . , |vn). São também ortonormais, sendo assim abase ortonormal procurada do espaço V .

2.7 Mudança de Base

Vamos agora abordar a questão de como escrever um certo vetor embases distintas. Consideremos duas bases, U = {|u1), . . . , |un)} eV = {|v1), . . . , |vn)}. Dado um vetor |)) podemos escrevê-lo como

|)) = a1|u1) + · · · + an|un)

que denotamos como |)) = (a1, . . . , an)U , onde os ai são então ascoordenadas de |)) na base U . Por outro lado, também podemosescrever |)) = b1|v1) + · · · + bn|vn), denotado por (b1, . . . , bn)V , que


são as coordenadas de |)) na base V , e queremos obter a relação entreai e bi.

Se|u1) = T11|v1) + T21|v2) + · · · + Tn1|vn)

e, analogamente,

|ui) = T1i|v1) + · · · + Tni|vn)

para todo i , 2, entãob = T a

onde b = (b1, . . . , bn) e a = (a1, . . . , an). De fato, note que

|)) = a1|u1) + · · · + an|un) =

a1

-n

"

k=1

Tk1|vk)

.

+ a2

-n

"

k=1

Tk2|vk)

.

+ · · · + an

-n

"

k=1

Tkn|vk)

.

=

(T11a1+T12a2+· · ·+T1nan)|v1)+· · ·+(Tn1a1+Tn2a2+· · ·+Tnnan)|vn)

e portanto as coordenadas na base V são as componentes do vetorT a. Esta matriz T é a matriz de mudança de base, que troca ascoordenadas na base U pelas coordenadas na base V .

2.8 Operadores Lineares

Vamos voltar a estudar as transformações lineares entre dois espaçosvetoriais U e V sobre C. Seja L(U, V ) = {T : U # V ; T é linear}; seT e S são elementos de L(U, V ) então podemos definir as transfor-mações T + S e %T tais que

(T + S)|u) = T |u) + S|u) e (%T )|u) = %T |u)

Exercício 2.10. Mostre que as operações T + S e %T definidas as-sim são lineares. Mostre também que com essas operações o espaçoL(U, V ) é um espaço vetorial sobre C.

[SEC. 2.9: ADJUNTA DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 25

Podemos definir uma norma no espaço L(U, V ) da seguinte ma-neira:

-T - = sup'u'U =1

-T |u)-V

onde -·-U é uma norma em U e -·-V é uma norma em V .Estamos interessados no espaço L(V ) = L(V, V ), ou seja, nas

transformações lineares de um espaço vetorial nele mesmo. Umatransformação T % L(V ) é chamada de operador linear. Nesse casoparticular podemos também usar a norma - · - como anteriormentedefinida e podemos mostrar que ela satisfaz uma propriedade adicio-nal (nesse contexto esta norma é geralmente conhecida como normade operador).

Lema 2.6. Dados A e B em L(V ) então -AB- . -A--B-.

Demonstração. Em primeiro lugar, note que se |v) &= 0,

|A|v)| =6666A

|v)-v-

6666-v- . -A--v-

pois |v&'v' é um vetor unitário. Agora

-AB- = sup'v'=1

|AB|v)| . sup'v'=1

-A-|B|v)| . -A--B-.

Com essa norma podemos definir uma distância em L(V ) da se-guinte forma: d(A, B) = -A " B-.

Se dim(V ) = n, fixada uma base em V , cada elemento de L(V )pode ser representado por uma matriz quadrada n!n com coeficientescomplexos.4 O conjunto dessas matrizes será denotado por M(V ).

2.9 Adjunta de uma Transformação Li-near

Quando temos uma transformação linear T : V # V podemos procu-rar uma nova transformação T ! : V # V de tal forma que

+T v|u) = +v|T !u ) para todo |u) e |v) em V .

4No caso em que V é um espaço vetorial sobre C.


Essa transformação é conhecida como a adjunta de T e de fato estáunicamente determinada.

Teorema 2.7. Dada uma transformação linear T : V # V entãoexiste uma única transformação linear T ! : V # V tal que +T v|u) =+v|T !u ) para todo |u) e |v) em V .

Demonstração. Considere |u) % V fixo. Vamos definir a aplicaçãoLu : V # C como sendo

Lu(v) = +u|T v ).

Da linearidade de T segue que Lu é um funcional linear e portantoexiste um único |u0) (que, naturalmente, depende de u) tal que

Lu(v) = +u0|v )

Como |u0) depende de |u), escreveremos |u0) = f |u).Se agora trocamos |u) por |w) então podemos definir Lw e teremos,

de forma similar, um único |w0) tal que Lw|v) = +w0|v ), |w0) = f |w).Considere então

Lu+w|v) = +v|T (u + w) ) = +v|T u + T w) ) = Lu|v) + Lw|v) =

+v|fu) + +v|fw ) = +v|fu + fw ).

Por outro lado, podemos escrever Lu+w|v) = +v|f(u + w) ) e portantof(|u) + |w)) = f |u) + f |w); o leitor pode, sem dificuldade, verificarque f(%|u)) = %f |u), logo f é uma transformação linear, que deno-taremos por T !.

Definição 2.7. Um operador linear tal que T = T ! é chamado deauto-adjunto.

Quando estamos trabalhando com operadores auto-adjuntos, muitocomuns em mecânica quântica, utilizamos o fato de que +T u|v ) =+u|T v ) para denotarmos

+T u|v ) = +u|T v ) = +u |T | v).

Como é comum usarmos matrizes para representarmos os opera-dores lineares, queremos saber como é a matriz A associada a uma

[SEC. 2.10: PROJEÇÃO SOBRE UM SUBESPAÇO 27

transformação linear auto-adjunta T . Fixemos de início uma baseortonormal . Então sabemos que o elemento de matriz aij é dado por

aij = +ei|T ej )

Então temos

aij = +T !ei|ej ) = +T ei|ej ) = +ej|T ei ) = aji

Ou seja, a matriz A é igual a conjugação de sua transposta: A =AT . As matrizes associadas a operadores auto-adjuntos são chamadasauto-adjuntas ou também hermitianas.

2.10 Projeção sobre um Subespaço

Dado |v) % V podemos definir a projeção (ou o projetor) sobre osubespaço vetorial W gerado por |v) como sendo

Pv : V "# W (2.1)

|u) $"#+v|u)-v-2

|v). (2.2)

Podemos procurar a adjunta de Pv, isto é, a transformação P !v tal

que+Pvx|y ) = +x|P !

v y ) para todo |x) e |y) em V .

Temos que

+Pvx|y ) =1

-v-2++v|x)v|y ) =

1-v-2

+v|x)+v|y ) =

1-v-2

+x|v )+v|y ) =1

-v-2+x|+v|y )v ) = +x|Pv(y) ).

Logo P !v = Pv e portanto a projeção é uma transformação auto-

adjunta.A projeção tem uma outra propriedade interessante: se aplicamos

esta transformação duas vezes então temos

Pv(Pv(u)) = Pv

>+v|u)-v-2

v

?

=+v|u )-v-2

Pv(v) =


+v|u )-v-4

+v|v )|v) =+v|u)-v-2

|v) = Pv(u)

Normalmente isto é denotado simplesmente por P 2v = Pv (e quando

não há confusão omite-se o subíndice v).Podemos definir a projeção sobre subespaços de dimensão maior.

Se W é um subespaço de V com uma base ortonormal {|v1), ...|vn)},a projeção sobre W é dada por

PW : V "# W (2.3)

|u) $"#n

"

i=1

Pvi |v). (2.4)

Exercício 2.11. Mostre que PW também é um operador auto-adjuntotal que P 2

W = PW .

2.11 Autovetores e Autovalores

Se T : V # V é uma transformação linear, então podemos procurarvetores não nulos satisfazendo a equação

T |v) = %|v) para algum % % C.

As soluções |v) são conhecidas como autovetores e o respectivo %como autovalor de T .

Observação 4. E se o vetor nulo fosse admitido? Bem, nesse caso,temos 0 = T (0) = %0 para todo e qualquer % complexo; assim osautovalores seriam todo o conjunto C para qualquer transformaçãolinear, o que não parece muito interessante...

Exemplo 2.4. Consideremos o caso de uma transformação linear Ptal que P P = P (o leitor consegue imaginar um exemplo?). Então aequação de autovalores é

P |v) = %|v)

Mas%|v) = P |v) = P P |v) = P (%|v)) = %2|v)

[SEC. 2.11: AUTOVETORES E AUTOVALORES 29

e assim os autovalores desta transformação satisfazem a relação % =%2, equação que tem soluções 0 e 1. Portanto podemos concluir queuma projeção (que satisfaz a relação acima) só admite como autova-lores 0 e 1.

2.11.1 Autovalores e Autovetores de Transforma-ções Hermitianas

Se uma transformação linear é hermitiana, isto é, se T ! = T , en-tão os autovalores e autovetores adquirem propriedades interessantesque investigaremos aqui. Acerca dos autovalores temos o seguinteresultado:

Teorema 2.8. Se T é hermitiana então seus autovalores são reais.

Demonstração. Considere T |v) = %|v). Então

+T v|v ) = +%v|v ) = %+v|v ).

Por outro lado,

+T v|v ) = +v|T !v ) = +v|T v ) = +v|%v ) = %+v|v )

e portanto, %+v|v ) = %+v|v ), mostrando que % = %, donde % % R.

Já para os autovetores, podemos verificar ortogonalidade.

Teorema 2.9. Seja T hermitiana e |v) e |u) dois autovetores asso-ciados, respectivamente, aos autovalores distintos % e µ. Então |u) e|v) são ortogonais.

Demonstração. Note que

+T v|u ) = +%v|u) = %+v|u ).

Por outro lado,

+T v|u) = +v|T u) = +v|µu) = µ+v|u) = µ+v|u).

Portanto %+v|u ) = µ+v|u). Como % e µ são distintos então temosnecessariamente +v|u ) = 0, ou seja, |u) e |v) são ortogonais.


O resultado a seguir, conhecido como Teorema Espectral, mostracomo podemos utilizar autovetores e autovalores de uma transforma-ção hermitiana para reescrevê-la.

Teorema 2.10. Dada uma transformação hermitiana T é possívelencontrar uma base ortonormal B = {|v1), . . . , |vn)} para o espaço ve-torial formada por autovetores de T . Além disso, se %i é o autovalorassociado ao autovetor |vi) então

T =n"

i=1

%iPvi .

Definição 2.8. Dizemos que uma transformação linear T é diago-nalizável se existe uma base para o espaço vetorial em que a matrizque representa T é diagonal.

Exercício 2.12. Mostre que quando podemos encontrar uma baseB = {|v1), . . . , |vn)} para o espaço vetorial formada por autovetoresde uma aplicação T então ela é diagonalizável. Em particular, mostreque todo operador hermitiano é diagonalizável.

2.12 Operadores Positivos

Definição 2.9. Dizemos que um operador T em um espaço vetorialV com produto interno é positivo definido se, para todo |v) em V nãonulo, vale

+T v|v ) > 0.

Dizemos que T é um operador positivo semi-definido se para todo |v)em V não nulo, vale

+T v|v ) , 0.

Quando T é positivo definido, escrevemos T > 0 e quando T épositivo semi-definido, escrevemos T , 0.

Exercício 2.13. Mostre que os autovalores de um operador positivosão todos positivos.

Teorema 2.11. São equivalentes:

[SEC. 2.12: OPERADORES POSITIVOS 31

1. T é auto-adjunto e todos os seus autovalores são números reaispositivos;

2. T é um operador positivo.

Demonstração. Se valer 1, existe uma base ortonormal

B = {|v1), ..., |vn)}

tal que a matriz A = [T ]B é diagonal e cada Aii = ai > 0. Dado |v)em V , escrevemos |v) = x1|v1) + ... + xn|vn). Podemos calcular

+T v|v ) = +x1T v1 + ... + xnT vn|x1v1 + ... + xnvn ) =

= +x1a1v1 + ... + xnanvn|x1v1 + ... + xnvn ) == a1|x1|2 + ... + an|xn|2 > 0.

Para a recíproca, mostremos que T = T !. Devemos mostrar que

+T v|w ) = +v|T w )

para todo |v), |w) em V . O truque é primeiro notar que +T v|v ) =+v|T v ), uma vez que o conjugado de um número real é ele mesmo.Depois, expandimos

+T (u + v)|u + v ) = +u + v|T (u + v) ) =

+T u|u ) + +T u|v ) + +T v|u) + +T v|v ) == +u|T u) + +u|T v ) + +v|T u) + +v|T v ).

Cancelando termos correspondentes, concluímos que

+T u|v ) + +T v|u ) = +u|T v ) + +v|T u).

Agora trocamos |v) por i|v) na expressão acima, o que resulta em

i+T u|v ) " i+T v|u ) = i+u|T v ) " i+v|T u).

Multiplicando por i e somando membro a membro obtemos

+T u|v ) = +u|T v )

para quaisquer |u), |v) em V .Juntando o resultado acima ao exercício 2.13 provamos que a pro-

priedade 2 implica a propriedade 1.

Exercício 2.14. Mostre que a projeção é um operador positivo semi-definido.


2.13 Traço e Determinante

Vamos agora definir dois números que podem ser naturalmente as-sociados a uma dada matriz quadrada e relembrar algumas de suaspropriedades.

2.13.1 Traço

O traço de uma matriz quadrada A de elementos aij é definido comosendo a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja,

TrA :=n

"

i=1

aii.

Isso então definiu uma função Tr: Mn(C) # C; algumas de suaspropriedades básicas estão condensadas no próximo

Lema 2.12. Para todo A, B % Mn(C) e % % C

1. Tr(A + B) = TrA + TrB;

2. Tr(%A) = %TrA;

3. Tr(AB) = Tr(BA).

Demonstração. A prova dos dois primeiros é bastante simples e édeixada ao leitor. Para verificarmos 3 notemos que

Tr(AB) =n

"

i=1

(AB)ii =n

"

i=1

n"

k=1

AikBki

n"

i=1

n"

k=1

BkiAik =n

"

k=1

n"

i=1

BkiAik =n

"

k=1

(BA)kk = Tr(BA).

Os dois primeiros ítens do lema mostram que de fato o traço é umexemplo de funcional linear no espaço das matrizes quadradas.

[SEC. 2.14: PRODUTO TENSORIAL 33

2.13.2 Determinante

O determinante é uma função polinomial det : Mn(C) # C. No casode matrizes 2 ! 2, por exemplo, o determinante é definido como

det@

a bc d

A

:= ad " bc.

O leitor pode encontrar uma discussão bastante completa do casogeral, por exemplo, no livro de Elon Lima [Lim]. Podemos resumirsuas principais propriedades no lema abaixo:

Lema 2.13. det é uma função tal que:

• det AT = det A;

• det%A = %n det A;

• det AB = det A det B.

Uma outra propriedade importante é a seguinte: uma matriz Aadmite inversa (ou seja, existe A"1 tal que AA"1 = A"1A = Id) se,e somente se, det A &= 0.

Isso permite caracterizar autovalores de maneira razoavelmentesimples: dizemos que % é um autovalor se existe |v) &= 0 tal que A|v) =%|v). Esta expressão pode ser reescrita como sendo (A " %I)|v) = 0e estamos procurando uma solução |v) não nula para a mesma. Jásabemos que a transformação linear A"%I, quando aplicada em zero,também resulta no vetor nulo. Portanto, se temos |v) não nulo sa-tisfazendo a equação isso significa que a transformação A" %I não éinjetiva e portanto não admite inversa. Mas não ter inversa significaque det (A " %I) = 0, sendo esta uma equação polinomial em % cu-jas raízes são exatamente os autovalores associados à transformaçãolinear representada pela matriz A.

2.14 Produto Tensorial

Dados dois espaços vetoriais VA e VB sobre C de dimensões nA e nB

respectivamente, podemos construir um espaço vetorial de dimensãonAnB através do produto tensorial.5

5A mesma construção pode ser feita para espaços vetoriais sobre outros corpos.


Para construirmos6 esse novo espaço, que denotaremos por VA 1VB , tomamos bases |iA) para VA e |jB) para VB e declaramos que osnAnB elementos da forma

|iA) 1 |jB), iA = 0, 1, . . . , nA, jB = 0, 1, . . . , nB

formam uma base para VA1VB. As seguintes condições são impostas

1. Para um escalar arbitrário a % C e elementos |vA) de VA e |vB)de VB,

a(|vA) 1 |vB)) = (a|vA)) 1 |vB) = |vA) 1 (a|vB));

2. Para |vA) e |uA) arbitrários em VA e |vB) em VB,

(|vA) + |uA)) 1 |vB) = |vA) 1 |vB) + |uA) 1 |vB);

3. Para |vA) arbitrário em VA e |uB) e |vB) em VB,

|vA) 1 (|uB) + |vB)) = |vA) 1 |uB) + |vA) 1 |vB).

A construção é independente das escolhas de base para VA e VB.

Definição 2.10. Dizemos que um vetor |v) % VA1VB é decomponívelse é da forma |vA) 1 |vB).

é comum usarmos a notação |vA) 1 |vB) = |vAvB).Se VA e VB são espaços vetoriais com produto interno, podemos

definir um produto interno em VA 1 VB da seguinte maneira: paravetores decomponíveis fazemos

+vAvB|uAuB ) = +vA|uA )+vB |uB ),

e em seguida estendemos aos outros vetores:

(+vAvB | + +wAwB |)|uAuB) = +vAvB|uAuB ) + +wAwB |uAuB )

+vAvB|(|wAwB) + |uAuB)) = +vAvB|wAwB ) + +vAvB|uAuB ).6Para uma definição mais precisa, veja [Vai, NC].


Os conjuntos M(VA) e M(VB) são também espaços vetoriais sobreC e por isso também podemos definir o produto tensorial M(VA) 1M(VB). Podemos então definir uma ação de M(VA) 1 M(VB) emVA 1 VB da seguinte forma: para vetores decomponíveis fazemos

MA 1 MB(|vA) 1 |vB)) = MA|vA) 1 MB|vB),

e em seguida estendemos por linearidade aos outros vetores. Essaação define um mapa de M(VA)1M(VB) em M(VA 1VB), que é umisomorfismo de espaços vetoriais.

Definição 2.11. Definimos o traço parcial em relação a VA de umamatriz MA 1 MB em M(VA) 1 M(VB) por

TrA(MA 1 MB) = Tr(MA)MB,

e estendemos por linearidade às matrizes não decomponíveis. Demaneira análoga definimos o traço parcial em relação a VB .

Definição 2.12. Definimos a transposta parcial em relação a VA deuma matriz MA 1 MB em M(VA) 1 M(VB) por

(MA 1 MB)TA = (MA)T 1 MB,

e estendemos por linearidade às matrizes não decomponíveis. Demaneira análoga definimos a transposta parcial em relação a VB .

Proposição 2.14. Se uma matriz M é positiva, então TrA(M) eTrB(M) também o são.

Demonstração. Suponhamos que M =&

i M iA 1M i

B. Seja {|j)}, j =1, . . . , dim VB uma base ortonormal para VB . Então

TrB(M) ="

i,j

M iA+j|M i

B|j)

+v|TrB(M)|v) ="

i,j

+v|M iA|v)+j|M i

B|j) ="

i,j

+v|+j|M iA 1 M i

B|j)|v) =

"

j

+v|+j|"

i

M iA 1 M i

B|j)|v) ="

j

+v|+j|M |j)|v) , 0


sendo que a última desigualdade é válida pelo fato de que M é positivae portanto cada termo na última soma é positivo. Segue então queTrB(M) também é uma matriz positiva.

De maneira análoga provamos que TrA(M) é positiva.

Um resultado extremamente útil é a decomposição de Schmidtpara espaços vetoriais com estrutura de produto tensorial.

Proposição 2.15 (Decomposição de Schmidt). Dado um vetor |!) %VA 1 VB , é possível encontrar bases ortonormais {|*n

A)} para VA e{|!m

B )} para VB tais que

|!) =d

"

i=1

'i

66*i

A

B66!i

B

B

, (2.5)

em que d = min(dim VA, dim VB), e '1 , '2 , . . . , 'd. Os coefici-entes 'i são chamados coeficientes de Schmidt.

Demonstração. Suponhamos d = dim VA. Seja +A = TrB(|!)+!|). Amatriz |!)+!| é o projetor na direção de |!) e portanto é uma matrizpositiva. Assim, +A também é uma matriz positiva, e portanto po-demos encontrar uma base {|*n

A)} para VA formada por autovetoresde +A . Desse modo, dada uma base ortonormal qualquer |mB) paraVB , podemos escrever

|!) ="

n,m

cnm|*nA)|mB),

uma vez que o conjunto {|*nA)|mB)} forma uma base para VA 1

VB . Podemos supor que os números são reais, englobando a partecomplexa em

66*i

A

B

ou66!i

B

B

.Seja '2

n o autovalor de +A associado ao autovetor |*nA). Definimos

então|!n

B) ="

m

cnm

'n|mB),

de modo que

|!) =d

"

i=1

'i

66*i

A

B66!i

B

B

.


Resta mostrar que o conjunto {|!mB )} pode ser estendido a uma

base ortonormal. Para isso, devemos verificar que esse é um conjuntoortonormal. De fato

+!nB |!m

B ) ="

k, lc!

nkcml

'n'm+kB |lB )

="

k

c!nkcmk

'n'm=

1'n'm

"

k

+!|*nA )|kB)+*m

A |+kB|! )

=1

'n'm

"

k

+*mA |+A|*n

A) ='n'm#nm

'n'm= #nm.

O ordenamento não-crescente dos coeficientes pode ser feito reorde-nando os vetores da base.

Os coeficientes de Schmidt são os autovalores das matrizes re-duzidas +A = TrB(|!)+!|) e +B = TrA(|!)+!|). Por esse motivoo número de coeficientes não nulos (chamado número de Schmidt)e também os seus valores são os mesmos para toda decomposição.Além disso, se

|!) ="

i

ai|i)A|i)B,

|!) ="

i

ai|i%)A|i%)B

são duas decomposições distintas, as aplicações lineares UA e UB

definidas nas bases por

|i)A $# |i%)A, |i)B $# |i%)B

são aplicações unitárias tais que

UA 1 UB(|!)) = |!).

Desse modo, duas decomposições de Schmidt distintas estão relacio-nadas por unitárias locais que fixam |!).


2.15 Exponencial de uma Matriz

Considere uma transformação linear T : V # V . Nosso objetivo édefinir a transformação linear eT : V # V . A motivação para issoé a representação da exponencial (real ou complexa) como série depotências,

ex =#"

k=0

xk

k!.

Podemos então tentar definir eT como sendo

eT =#"

k=0

T k

k!.

A expressão envolve soma de operadores lineares, composições de ope-radores lineares e o produto por números reais, todas essas operaçõesque estão bem definidas para elementos de L(V ). Mas há uma passa-gem ao limite quando utilizamos a série e por isso devemos investigarcom algum cuidado a questão da convergência.

Nosso primeiro passo na direção de definir eT é a procura de umcritério de convergência em L(V ).

Teorema 2.16. L(V ) com a norma de operador - · - é um espaçocompleto, isto é, sequências de Cauchy são convergentes.

Demonstração. Uma sequência de Cauchy é uma sequência {Sn}n(N *L(V ) tal que para todo " > 0 existe N % N tal que

-Sm " Sn- < " para todo m e n maiores ou iguais a N.

Fixemos agora um certo elemento |v) % V . Podemos então con-siderar a sequência {Sn|v)}n(N * V ; da definição de - · - sabemosque

|Sm|v) " Sn|v)| = |(Sm " Sn)|v)| . -Sm " Sn--v-

o que mostra que {Sn(v)}n(N * V é uma sequência de Cauchy emV para a norma | · |. Como V é um espaço completo7 essa sequênciaconverge para um ponto de V que denotaremos por S|v). Repetindo

7Essa é uma consequência do fato de que V é um espaço vetorial de dimensãofinita sobre C.

[SEC. 2.15: EXPONENCIAL DE UMA MATRIZ 39

a ideia para cada ponto do espaço V conseguimos então definir umafunção S : V # V , |v) $# S|v). Devemos agora verificar que essa é defato uma função linear. Para isso, note que

S(|v) + |u)) = lim Sn(|v) + |u)) = lim (Sn|v) + Sn|u)) =

lim Sn|v) + lim Sn|u) = S|v) + S|u)

e o leitor não terá dificuldade em provar que S(%|v)) = %S|v), mos-trando que temos S % L(V ).

Agora consideraremos a sequência {Sn}n(N * L(V, V ) definidapelas somas parciais

Sn =n"

k=0

T k

k!.

Segundo o teorema 2.16 devemos apenas verificar que esta é umasequência de Cauchy para saber que a mesma tem limite. Mas seconsideramos m e n, por exemplo, com m , n, então

-Sm " Sn- =

00000

m"

k=n+1

T k

k!

00000.

m"

k=n+1

-T -k

k!

Por que este número é pequeno? Vejamos: considere agora a série dafunção exponencial real

e'T ' ="

k)0

-T -k

k!

que é uma série convergente; séries convergentes tem a bela propri-edade de que suas caudas ficam pequenas, ou, para ser mais claro,dado " > 0 existe N % N tal que

"

k)N

-T -k

k!. "

Portanto, agora sabemos que se tomamos m , n , N temos

m"

k=n+1

-T -k

k!.

"

k)N

-T -k

k!. "


e assim a sequência {Sn}n é uma sequência de Cauchy; sendo assimela converge para uma transformação linear S % L(V, V ), que é de-finida como sendo a exponencial da transformação linear T , ou seja,eT := S = lim Sn.

Lema 2.17. Propriedades básicas da exponencial de T :

1. se

D =

'

((()

%1 0 . . . 00 %2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . %n

*

+++,

então eD =

'

((()

e#1 0 . . . 00 e#2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . e#n

*

+++,

;

2.eQDQ"1

= QeDQ"1;

3. Se T e S comutam, isto é, se T S = ST , então eT +S = eT eS;

4. det eA = eTrA.

Demonstração. 1. Segue do fato de que se

D =

'

((()

%1 0 . . . 00 %2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . %n

*

+++,

então

Dk =

'

((()

%k1 0 · · · 0

0 %k2 . . . 0

......

. . ....

0 0 . . . %kn

*

+++,

.

2. Segue do fato de que

(QDQ"1)k = QDkQ"1.

Para as provas de 3 e 4 sugerimos ao leitor o texto de Sotomayor[Sot].

[SEC. 2.16: COMUTADOR DE MATRIZES 41

Corolário 2.18. Decorre facilmente de 1 que e0n#n = I (onde 0n*n

é a matriz nula).

2.16 Comutador de Matrizes

Uma característica interessante de transformações lineares e das ma-trizes que as representam (que é o que usaremos no que segue) é anão comutatividade: em geral, dadas duas matrizes A e B (corres-pondendo a duas transformações lineares no mesmo espaço vetorial)não é verdade que AB = BA.

Exercício 2.15. Faça o teste com

A =@

1 00 2

A

e B =@

1 20 3

A

e demonstre as afirmações acima.

Para quantificar-se o quanto um certo par de matrizes deixa deser comutativo há o conceito de comutador, definido como segue:

[A, B] := AB " BA.

O comutador, sendo uma diferença de produtos de matrizes é, elemesmo, uma matriz. Obviamente, duas matrizes comutam se, e so-mente se, seu comutador é a matriz nula.

Desta definição decorre de maneira simples que

Tr[A, B] = 0.

De fato

Tr[A, B] = Tr(AB " BA) = Tr(AB) " Tr(BA) = 0.

Também é claro que [A, B] = "[B, A].Se as matrizes A e B são simétricas então podemos mostrar que

a matriz [A, B] é anti-simétrica: efetivamente,

[A, B]ij = (AB)ij " (BA)ij ="

k

AikBkj ""

l

BilAlj =


"

k

AkiBjk ""

l

BliAjl ="

k

BjkAki ""

l

AjlBli =

(BA)ji " (AB)ji = (BA " AB)ji = [B, A]ji = "[A, B]ij

como desejado.

2.17 Exercícios

Exercício 2.16. Seja Sn o subespaço vetorial de Mn(C) formadopelas matrizes n ! n simétricas, isto é, tais que aij = aji. Obtenhauma base para Sn e a sua dimensão.

Exercício 2.17. Considere o espaço vetorial Pn["1, 1] dos polinô-mios de grau n reais definidos em ["1, 1] munido do produto interno

+f |g ) =/ 1

"1f(t)g(t)dt.

Verifique que o conjunto {1, x, . . . , xn} é uma base para este espaço.é ortogonal? Se não é, procure construir uma base ortogonal usandoa técnica da seção 2.6.1.

Exercício 2.18. Mostre que o conjunto de matrizes 2 ! 2 da forma@

a 00 b

A

com a e b complexos

é um subespaço vetorial do espaço M2(C); exiba uma base para estesubespaço.

Exercício 2.19. Mostre que [A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0(que é conhecida como identidade de Jacobi).

Exercício 2.20. Existem matrizes A e B satisfazendo a equação

AB " BA = I?

Exercício 2.21. Usando as propriedades do traço e da adjunta, mos-tre que +A|B ) := TrA!B é um produto interno no espaço de matrizesMn(C).


Exercício 2.22. Mostre que se A e B são matrizes anti-simétricasentão o comutador [A, B] também é anti-simétrico.

Exercício 2.23. Dado um espaço vetorial V , verificar que V ! é tam-bém um espaço vetorial.

Exercício 2.24. Considere o espaço Mn(C) de matrizes de ordemn e coeficientes complexos. Verifique que uma base para este espaçoé dada pelas matrizes Eij para (i, j) % {1, 2, . . . , n} ! {1, 2, . . . , n},onde cada uma das Eij é definida como segue: fixados i e j, todosos elementos eab da matriz Eij são nulos, exceto o elemento eij = 1.Desta forma os primeiros vetores da base são

E11 =

'

((()

1 0 0 · · · 00 0 0 · · · 0...

...0 0 0 · · · 0

*

+++,

, E12 =

'

((()

0 1 0 · · · 00 0 0 · · · 0...

...0 0 0 · · · 0

*

+++,

, · · · ,

Enn =

'

((()

0 0 0 · · · 00 0 0 · · · 0...

...0 0 0 · · · 1

*

+++,

.

Capítulo 3

Equações DiferenciaisOrdinárias

Uma equação diferencial é uma equação envolvendo uma função des-conhecida e suas derivadas. As equações diferenciais têm inúmerasaplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e ou-tras diversas áreas do conhecimento pois podem ser usadas para mo-delar problemas relacionados com taxas de variação. Equações dife-renciais também aparecem naturalmente no estudo da dinâmica dossistemas físicos, uma vez que a função matemática que representaum sistema em um dado instante de tempo deve em geral satisfazeruma equação diferencial. Neste capítulo fazemos um breve estudode equações diferenciais ordinárias. Nossa atenção será voltada paraequações diferenciais lineares, que são as mais usadas em mecânicaquântica. Para um tratamento bastante completo do assunto o leitorpode consultar [Sot, DL].

3.1 Equações Diferenciais Ordinárias

Primeiramente vamos definir precisamente uma equação diferencialem Cn e comentar a respeito de alguns aspectos gerais de suas solu-ções.

44

[SEC. 3.1: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 45

Definição 3.1. Uma equação diferencial ordinária é uma equaçãona forma

d

dtx(t) = f(t, x(t)) (3.1)

onde x : R # Cn e f : R! Cn # Cn (eventualmente é necessário serestringir a um subconjunto de R para o domínio da função x, masnesse texto essa preocupação não se faz necessária).

Uma solução para a equação diferencial acima é uma curva x(t)cuja velocidade em qualquer instante de tempo é igual a f(t, x(t)).

Exercício 3.1. Considere a equação

d

dtx(t) = ax(t)

com a % C e x : R # C. Então não é difícil ver que x(t) = ceat éuma solução, para qualquer constante c escolhida.

Em geral, ao resolver problemas envolvendo equações diferenciaisconhecemos qual valor a função x assume em um dado t0 % R. Que-remos encontrar soluções de (3.1) que satisfaçam essa propriedadeadicional.

Definição 3.2. Um problema de valor inicial (PVI) é dado por umaequação diferencial

d

dtx(t) = f(t, x(t))

e uma condição inicial, que é um ponto em R! Cn

(t0, v0).

Uma solução para o PVI acima é uma função x(t) : R # C quesatisfaz a equação diferencial 3.1 e tal que x(t0) = v0.

Dada uma função f , queremos saber se o PVI 3.2 possui algumasolução e, em caso afirmativo, se essa solução é única. Muitos ma-temáticos puros e aplicados se dedicam a questões desse tipo e umimportante teorema da área é o teorema de existência e unicidadeabaixo.

46 [CAP. 3: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Teorema 3.1 (Teorema de Existência e Unicidade de Picard"Lindelöf).Seja f : R! Cn # Cn uma função tal que

-f(t, y1) " f(t, y2)- . M-y1 " y2-

para algum M real e positivo. Então existe h real positivo tal que oproblema de valor inicial 3.2 admite uma única solução no intervalo[t0 " h, t0 + h].

É importante ressaltar que o teorema acima garante apenas exis-tência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança de t0. Alémdisso, mesmo sabendo da existência de uma solução, pode não sertrivial encontrá-la. No entanto, se tivermos um função candidata asolução basta substituí-la na equação e verificar se ela é satisfeita.Em caso afirmativo, saberemos que essa é a solução que procuramos,uma vez que a solução é única.

3.2 Equações Diferenciais Lineares

Nossa atenção será para equações diferenciais em que a função fpossui uma forma mais simples. Primeiro vamos exigir que f nãodependa da variável t explicitamente.

Definição 3.3. Um campo vetorial em Cn é uma aplicação X : Cn #Cn; Uma equação diferencial ordinária autônoma é uma equação naforma

d

dtx(t) = X(x(t)) (3.2)

onde x : R # Cn.

A segunda exigência que fazemos é que X seja linear.

Definição 3.4. Uma equação diferencial

d

dtx(t) = X(x(t))

é chamada linear se o campo X : Cn # Cn é linear, ou seja, se

X(%1v1 + %2v2) = %1X(v1) + %2X(v2)

para todos %1,%2 % C e v1, v2 % Cn.

[SEC. 3.2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 47

Uma vez escolhida uma base, uma aplicação linear em Cn semprepode ser escrita como multiplicação por uma matriz n ! n com ele-mentos complexos. Dessa forma, se X é um campo linear existe umamatriz A tal que X(x) = Ax, de modo que toda equação diferenciallinear pode ser escrita na forma

d

dtx(t) = Ax(t). (3.3)

Sabemos pelo teorema de existência e unicidade que um problemade valor inicial

d

dtx(t) = Ax(t), x(0) = x0 (3.4)

possui uma única solução em uma vizinhança de t = 0. Equações di-ferenciais lineares possuem a propriedade adicional de que as soluçõesestão definidas para todo t % R.

Teorema 3.2. A aplicação

x : R # Cn

t $"# eAtx0,

em que a exponencial é definida como na seção 2.15, é solução doPVI 3.4.

Para provar esse teorema basta verificar que a função x(t) acimasatisfaz o PVI 3.4. A primeira coisa a notar é que

x(0) = eA0x0 = e0x0 = x0,

ou seja, a solução satisfaz a condição inicial. Precisamos então veri-ficar que x(t) satisfaz a equação diferencial ordinária 3.3.

Note que

eAt = I + tA +12!

t2A2 + . . . =#"

k=0

1k!

tkAk.

Portanto, se derivamos obtemos

d

dteAt = A +

12!

2tA2 +13!

3t2A3 + · · · =

48 [CAP. 3: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

= A(I + tA +12!

t2A2 + · · · ) = AeAt = eAtA

(onde a última igualdade segue do fato simples de que a matriz Acomuta com I e com qualquer outra potência de A, de forma quepodemos colocar A em evidência à direita ou à esquerda).

Logo,d

dtx(t) =

d

dteAtx0 = AeAtx0 = Ax(t)

e a equação é satisfeita; logo, x(t) = eAtx0 é a solução do PVI enun-ciado acima.

A derivação termo a termo na série que define etA deve ser justi-ficada.

Proposição 3.3. Seja

f(X) =#"

i=0

cnXn

uma função definida através de uma série de potências absolutamenteconvergente. Então a série

g(X) =#"

i=0

ncnXn"1

também é absolutamente convergente e

f %(X) = g(X).

3.3 Exercícios

Exercício 3.2. Obtenha as exponenciais das seguintes matrizes:

A =@

3 00 3

A

B =@

2 10 2

A

(para B note que podemos escrever

B =@

2 00 2

A

+@

0 10 0

A

=: D + N

onde N é tal que N2 = 0 e N e D comutam; aproveite-se disso paraobter eB como sendo eD+N = eDeN ).


Exercício 3.3. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:a)

8ddtx = 3xddty = 3y

(x(0), y(0)) = (1, 7)

b)8

ddtx = 2x + 3yddty = 2y

(x(0), y(0)) = (2, 5)

Capítulo 4

Grupos

Neste capítulo recordamos o importante conceito de grupo e apre-sentamos exemplos de grupos especiais de transformações lineares,alguns dos quais serão usados mais tarde.

4.1 Grupos

Um conjunto G munido de uma operação · : G ! G # G, ·(a, b) =a · b = ab, é dito um grupo se

1. (ab)c = a(bc) (associatividade);

2. Existe e % G tal que ea = ae = a para todo a % G (existênciado elemento neutro);

3. Para todo a % G existe a"1 % G tal que aa"1 = a"1a = e(existência do elemento inverso).

Se o grupo satisfaz a propriedade adicional

4. ab = ba (comutatividade)

então dizemos que G é comutativo ou abeliano.

50

[SEC. 4.2: GRUPOS DE MATRIZES 51

Exemplo 4.1. O conjunto Z munido da operação +, isto é, a adiçãousual, é um grupo comutativo.

Exemplo 4.2. O conjunto R!+ = {x % R, x > 0} munido da operação

produto · (ou seja, o produto usual da reta) é um grupo abeliano.

Exemplo 4.3. O conjunto BL(V, V ) das transformações lineares bi-jetivas de V munido da operação de composição é um grupo. A apli-cação identidade idV : V # V faz o papel de elemento neutro (ouunidade) deste grupo.

Um subconjunto não vazio H de G, munido da mesma operaçãoproduto do grupo G, é dito um subgrupo se:

i Para todo h1 e h2 de H, temos h1h2 % H ;

ii Para todo h em H temos h"1 % H .

Exemplo 4.4. O conjunto P = {2k, k % Z} = {. . . ,"2, 0, 2, 4, . . .} *Z, dotado da adição usual, é subgrupo do grupo aditivo Z.

4.2 Grupos de Matrizes

Como transformações lineares podem ser naturalmente associadasa matrizes, torna-se interessante encontrar grupos de matrizes, queobviamente representarão determinados grupos de transformações li-neares com alguma característica especial.

No que segue todas as matrizes serão elementos de Mn(C) e aoperação de grupo é o produto de matrizes usual (o leitor pode ve-rificar que este mesmo conjunto munido da adição usual de matrizestambém é um grupo, mas nesse caso comutativo).

4.2.1 Matrizes Invertíveis

Uma matriz tem inversa se, e somente se, seu determinante é diferentede zero. Definimos

GL(n,C) = {A % Mn(C) tal que det A &= 0}

e afirmamos que este conjunto, com a operação usual de produtomatricial, é um grupo. Com efeito, os elementos de GL(n,C) têm

52 [CAP. 4: GRUPOS

inversa, pelo que foi comentado na seção 2.13.2; se A e B são ele-mentos de GL(n,C) então det AB = det A det B &= 0, e portantoAB % GL(n,C). O leitor não terá dificuldade em verificar que amatriz identidade I também é um elemento de GL(n,C) (sendo queassociatividade é uma propriedade do produto matricial em geral).Desta forma esse conjunto é de fato um grupo, como desejado.

Um subgrupo interessante de GL(n,C) é o que é constituído pormatrizes cujo determinante é exatamente 1:

SL(n,C) = {A % GL(n,C) tal que det A = 1}

De fato, se A e B estão em SL(n,C) então

det AB = det A det B = 1

e assim AB % SL(n,C), mostrando que SL(n,C) é fechado comrelação ao produto; por outro lado, se A % SL(n,C) então tambémtem uma inversa A"1 (pois esta em GL(n,C)) e

det A"1 =1

det A= 1

mostrando que a inversa de A está realmente em SL(n,C).

4.2.2 Matrizes Unitárias

Uma matriz U % GL(n,C) é dita unitária se U!U = UU! = I.Naturalmente, I é unitária; a inversa de uma matriz unitária é

U!, que também é unitária. E se U e V são unitárias, então

(UV )!UV = V !U!UV = V !IV = V !V = I

mostrando que UV é de fato unitária. Desta forma definimos umgrupo, o grupo de matrizes unitárias U(n) * GL(n,C).

Uma propriedade interessante da transformação linear associadaa unitária U é a seguinte: dado |v) % Cn,

-U |v)-2 = +Uv|Uv ) = +U!Uv|v ) = +v|v ) = -v-2

ou seja, a transformação é uma isometria: ela preserva a norma deum vetor. Por essa razão não é difícil ver que a norma de operadorde U é exatamente 1.

[SEC. 4.3: MATRIZES ESPECIAIS 53

4.2.3 Matrizes Ortogonais

Uma matriz real O * GL(n,R) é dita ortogonal se OT O = OOT =Id. Esta condição pode ser vista de maneira mais geométrica senotamos que

(OT O)ij ="

k

(OT )ikOkj ="

k

OkiOkj

é de fato o produto interno canônico das colunas i e j da matrizO; logo, a condição de O ser ortogonal é o mesmo que dizer que ascolunas são duas a duas ortogonais e cada coluna é normalizada.

O leitor pode verificar que o produto de matrizes ortogonais con-tinua sendo ortogonal; a identidade também é ortogonal e a inversade uma matriz ortogonal é ortogonal. Dessa forma definimos o grupode matrizes ortogonais reais O(n,R) * GL(n,R).

4.3 Matrizes Especiais

Podemos agora estudar subgrupos dos grupos de matrizes ortogonaise unitárias que incluem uma condição a mais: a de que o determinanteseja 1. Vamos olhar com calma o caso em dimensão 2 e depois ver oque se passa em geral.

4.3.1 SU(2)

Denotamos por SU(2) o conjunto de matrizes de M2(C) unitárias comdeterminante 1. Da condição de ser unitária segue que as colunas (elinhas) devem ser ortogonais; além disso temos a condição a maisa respeito do determinante. Desta forma o grupo pode ser descritocomo segue:

SU(2) =8

M % M2(C)|M =@

' ",, '

A

e |'|2 + |,|2 = 19

São matrizes cujo determinante é exatamente |'|2 + |,|2 = 1. Com oproduto de matrizes esse conjunto se torna um grupo.

54 [CAP. 4: GRUPOS

Observação 5. Há uma forte ligação entre este grupo e a esfera

S3 = {(x1, . . . , x4)|"

x2i = 1}

que tentaremos deixar clara. Em primeiro lugar, podemos represen-tar S3 como um subconjunto de C2 (e não do R4, como fizemos),escrevendo - = x1 + ix2 e # = x3 + ix4. Então fica claro que a con-dição

&

x2i = 1 é equivalente a |-|2 + |#|2 = 1. Mas então podemos

considerar uma matriz

M =@

- "## -

A

que é exatamente um elemento de SU(2). Desta forma, podemosinduzir na esfera S3 um produto: dados dois pontos p e q de S3,

p = (x1, x2, x3, x4) e q = (y1, y2, y3, y4)

que também podem ser vistos como pontos de C2

p = (-1, #1) e q = (-2, #2)

(com -1 = x1 + ix2, #1 = x3 + ix4, -2 = y1 + iy2 e #2 = y3 + iy4)podemos naturalmente associar às matrizes

Mp =@

-1 "#1

#1 -1

A

e Mq =@

-2 "#2

#2 -2

A

.

O produto pq então pode ser definido como sendo o ponto pq = (-, #)onde - e # são tais que

@

- "## -

A

= MpMq.

Desta forma temos certeza de que pq está na esfera S3.Este exemplo mostra que certos objetos geométricos, como é o caso

de S3, também podem ser observados de um ponto de vista algébrico,e isso é um caso particular de uma estrutura conhecida como grupode Lie.

[SEC. 4.4: REPRESENTAÇÃO DE GRUPOS 55

4.3.2 SU(n)

O grupo SU(n), como é de se esperar, é formado pelas matrizes deMn(C) unitárias com determinante 1. Novamente temos linhas (ecolunas) ortogonais e mais uma restrição que é dada pelo valor dodeterminante. Uma maneira de se obter matrizes em SU(n) consisteem tomar H % Mn(C) com traço zero e tal que H = H!. Entãoafirmamos que U = eiH está em SU(n). Primeiro, vamos verificarque U é unitária:

U! = (eiH)! = e"iH$

= e"iH

e assimU!U = e"iHeiH = I.

Agora basta verificar que o determinante de U é 1; para isso usaremosa seguinte propriedade que relaciona o traço e o determinante de umadada matriz A (ver [Sot]):

det eA = eTrA.

Entãodet U = det eiH = eTriH = eiTrH = e0 = 1

como desejado.

4.4 Representação de Grupos

Uma forma concreta de estudar um grupo abstrato é por meio de umarepresentação, isto é, de uma “cópia"do grupo formada por matrizes;de forma mais precisa, dizemos que uma representação do grupo G éuma função . : G # GL(n,C) que satisfaz

.(a.b) = .(a).(b)

para todo par a e b em G; a operação entre a e b é a operação dogrupo e a operação entre .(a) e .(b) é o produto de matrizes.

Desta propriedade deduzimos algumas coisas interessantes. Porexemplo, .(a) = .(a.e) = .(a).(e), e assim notamos que .(e) éa matriz identidade em GL(n,C). Outra propriedade que pode serfacilmente deduzida é .(a"1) = (.(a))"1.

56 [CAP. 4: GRUPOS

Quando a função . : G # GL(n,C) é injetiva dizemos que a re-presentação é fiel.

Abaixo daremos quatro exemplos de representações do mesmogrupo G = {a, e} com o produto definido por a2 = e (quais são osoutros possíveis produtos?):

Exemplo 4.5. Tome . : G # GL(n,C) dada por .(a) = .(e) = I;esta representação obviamente não é fiel.

Exemplo 4.6. Consideremos . : G # GL(1,C) dada por .(e) = 1 e.(a) = "1. Esta representação é fiel.

Exemplo 4.7. Tome

.(e) =@

1 00 1

A

e .(a) =@

0 11 0

A

.

Exemplo 4.8. Tome

.(e) =@

1 00 1

A

e .(a) =@

1 00 "1

A

.

Os três últimos exemplos são representações fiéis. Mas o leitorpode notar que o último tem um caráter um pouco distinto dos ou-tros: há um subespaço de C2 (o subespaço gerado pelo vetor (1, 0))que é invariante pelas duas matrizes da representação; portanto estacomponente pode ser ignorada e assim ficaríamos com uma represen-tação mais simples, num espaço vetorial com uma dimensão a menos,que seria exatamente a segunda representação apresentada. Neste úl-timo caso dizemos então que se pode reduzir a representação a umamais simples. Nos dois casos intermediários isso não é possível (ouseja, não podemos eliminar dimensões do espaço vetorial) e as repre-sentações são ditas irredutíveis.

4.5 Ação de Grupos

Considere uma função ! : G ! X # X satisfazendo as condições se-guintes:

1. Para cada g % G, !(g, ·) é uma bijeção de X ;

[SEC. 4.6: ÓRBITAS E CLASSES DE EQUIVALÊNCIA 57

2. !(e, x) = x (ou seja, !(e, ·) é a aplicação identidade);

3. !(g,!(h, x)) = !(gh, x).

Nesse caso dizemos que ! é uma ação do grupo G sobre o conjuntoX .

Exemplo 4.9. Seja G = (R, +) e X = R. Tome !(g, x) = g + x;então não é difícil verificar que isso define uma ação do grupo aditivoR sobre o conjunto R.

Exemplo 4.10. Seja G = (R, +) e X = Rn; se A é uma matriz n!n(que podemos pensar como sendo a que esta associada a uma trans-formação linear) então definindo !(g, x) = egAx temos uma ação deR sobre o conjunto Rn.

Note que esta última ação corresponde à solução do problema devalor inicial para uma EDO linear quando o campo em Rn é definidopor X(x) = Ax.

Exercício 4.1. Mostre que o conjunto dos números complexos uni-tários U com a multiplicação usual é um grupo e que

! : U ! Cn "# Cn

(ei!, |v)) $"# ei!|v)

é uma ação de U em Cn.

4.6 Órbitas e Classes de Equivalência

Definição 4.1. Uma relação binária em um conjunto X é um sub-conjunto R de X!X. Se (x, y) % R usaremos a notação x 2 y. Umarelação binária em um conjunto X é chamada relação de equivalênciase satisfaz as seguintes propriedades

1. x 2 x (reflexividade);

2. Se x 2 y então y 2 x (simetria);

3. Se x 2 y e y 2 z então x 2 z (transitividade).

58 [CAP. 4: GRUPOS

A classe de equivalência do elemento x é o subconjunto de X definidopor

[x] = {y % x ; x 2 y}.

Exercício 4.2. Mostre que duas classes de equivalência distintas sãoconjuntos disjuntos e que a união de todas as classes de equivalênciaé o conjunto X.

Dada uma ação ! de um grupo G em um conjunto X podemosdefinir uma relação de equivalência em X dizendo que x 2 y se existeg % G tal que !(g, x) = y.

Exercício 4.3. Mostre que a relação definida acima é de fato umarelação de equivalência.

A classe de equivalência de um elemento x % X

[x] = {y % X ; !g(x) = y, g % G}

é também chamada órbita de x pela ação de G.

4.7 A Fibração de Hopf

Uma bela construção matemática, a fibração de Hopf , aparece natu-ralmente na descrição dos estados de um qbit. Esta seção é dedicadaa explicá-la.

Definição 4.2. Uma fibração é definida por um mapa h que levaum espaço E em um espaço B, chamado espaço base. Um conjuntoF * E é chamado fibra se corresponde a h"1(p) para algum p % B.

Exemplo 4.11. Um exemplo trivial é a projeção

h : R3 "# R2

C

a b cD

$"#C

a bD

.

As fibras são retas paralelas ao eixo z.

No caso da fibração de Hopf, E = S3, B = S2 e F = S1.Para definir o mapa h vamos identificar S3 ao conjunto V de vetores(z, w) % C2 tais que |z|2 + |w|2 = 1 como fizemos anteriormente

(a b c d) 3 (a + ib c + id)

[SEC. 4.7: A FIBRAÇÃO DE HOPF 59

e R2 ao conjunto dos números complexos da maneira usual

(a b) 3 a + ib.

O mapa h é a composição de dois mapas h1 e h2 definidos daseguinte forma

h1 : S3! V "# C + {4}

C

' ,D

$"# C = ¯',"1,

h2 : C 5 {4} ! R2 5 {4} "# S2

C $"# ""1E (C),

em que "E : S2 # R2 5 {4} denota a projeção estereográfica

"E

C

a b cD

=C

a1"c

b1"c

D

.

Geometricamente, a projeção estereográfica tem um significadobem interessante. Tomamos um ponto q =

C

a b cD

na esfera S2 econstruímos a reta que liga esse ponto ao polo norte p =

C

0 0 1D

C

ta tb t(c " 1) + 1D

, t % R.

A projeção estereográfica leva q na interseção dessa reta com oplano z = 0. O polo norte é levado ao ponto no infinito.

Exercício 4.4. Mostre que a construção geométrica mencionada acimaleva justamente ao mapa

"E

C

a b cD

=C

a1"c

b1"c

D

.

Calcule a inversa de "E e mostre que

h2

C

x yD

=#

2xx2+y2+1

2yx2+y2+1

x2+y2"1x2+y2+1

$

.

Observação 6. Um exercício mais sofisticado é mostrar que os ma-pas h1 e h2 são contínuos com respeito às topologias adequadas. Tam-bém é possível mostrar que o mapa h2 é uma realização do famosohomeomorfismo entre o plano e a esfera menos um ponto. Assim,ao passar do plano complexo para o plano mais um ponto, onde cadaponto é da forma C = ',"1, dizemos que foi feita a compactifica-ção do plano complexo, acrescentando o chamado ponto de infinito,correspondente a , = 0. Esta compactificação é normalmente cha-mada esfera de Riemann.

60 [CAP. 4: GRUPOS

Podemos escrever o mapa h em uma forma simpática se usarmosas representações polares ' = r1ei!1 e , = r2ei!2 .

Exercício 4.5. Verifique que

C = h1

C

' ,D

=r1

r2

C

cos(!2 " !1) sen(!2 " !1)D

.

Exercício 4.6. Usando a expressão para C encontrada no exercícioanterior verifique que

h2(C) =#

2r1r2 cos(!2"!1)r2

1+r2

2

2r1r2 sen(!2"!1)r2

1+r2

2

r2

1+r2

2

r2

1+r2

2

$

.

Para a aplicação da Fibração de Hopf em mecânica quântica, éútil relacionar a construção que acabamos de fazer aos operadoresauto-adjuntos

/1 =@

0 11 0

A

, /2 =@

0 "ii 0

A

, /3 =@

1 00 "1

A

,

chamados operadores de Pauli. Definindo

+/i) = +v |/i| v)

em que |v) =C

' ,D

, temos

h2(C) =C

2ReC

',D

2ImC

',D

|'|2 " |,|2D

=C

+/1) +/2) +/3)D

.

As fibras do mapa h são as fibras do mapa h1 pois h2 é um mapabijetivo. Essas fibras são as classes de equivalência {ei!|v)} da açãode U em C2 mostrada no exemplo 4.1.

4.8 Exercícios

Exercício 4.7. Verifique que o conjunto G = {a, b} munido do pro-duto aa = a, ab = ba = b, bb = a é um grupo.

Exercício 4.8. Considere o conjunto {0, 1} munido da multiplicaçãousual, ou seja, 00 = 0, 01 = 10 = 0 e 11 = 1. Verifique as propri-edades de grupo neste caso; o grupo em questão é conhecido como ogrupo multiplicativo Z2; compare-o com o grupo da primeira questão.


Exercício 4.9. Verifique que o grupo GL(n,C) não é comutativo(sugestão: procure exemplos adequados).

Exercício 4.10. Considere G o espaço de matrizes na forma@

1 t0 1

A

com t % C; verifique que este conjunto, munido do produto usual dematrizes, é um grupo abeliano (comutativo).

Exercício 4.11. Considerando o grupo do exercício anterior verifi-que que a aplicação

! : G ! R # R

!(@

1 t0 1

A

, x) = x + t

é uma ação de G sobre R.

Exercício 4.12. Mostre que o conjunto'

)

1 x y0 1 z0 0 1

*

,

é um grupo para a operação do produto de matrizes (conhecido comogrupo de Heisenberg). É comutativo?

Capítulo 5

Álgebras C6

Neste capítulo formalizaremos um conceito que já estava latente naspáginas anteriores, o de álgebra C!, e mostraremos mais alguns e-xemplos. O leitor que se interessar pelo assunto deve consultar otexto introdutório de Ruy Exel [Exe].

5.1 Álgebras C6

Um espaço vetorial A munido de uma operação de produto é o quese chama de uma álgebra. Quando temos uma norma no espaço e eleé completo com relação a mesma (ou seja, é um espaço de Banach)então o chamamos de álgebra de Banach. Se, além disso, temos umainvolução 6 : A # A satisfazendo

1. (a + b)! = a! + b!;

2. (%a)! = %a!;

3. (ab)! = b!a!;

4. (a!)! = a;

5. -a!- = -a-;

62

[SEC. 5.1: ÁLGEBRAS C$ 63

6. -a!a- = -a-2;

então temos uma álgebra C!.

Exemplo 5.1. C com a norma usual -z- = |z| e com a involuçãoz! = z sendo a operação de tomar o complexo conjugado é uma álge-bra C!.

Exemplo 5.2. Seja C0(R) o conjunto das funções f : R # C contí-nuas e que se anulam no infinito, isto é, tais que para todo " > 0 oconjunto {x : |f(x)| , "} é compacto. A norma

-f- = supx(R

|f(x)|

torna esse espaço vetorial completo. Para termos uma álgebra pre-cisamos introduzir um produto e o faremos da forma mais simples:(fg)(x) = f(x)g(x), o que nos dá uma álgebra comutativa. Podemosdefinir uma involução como sendo

f!(x) = f(x).

Com todos esses ingredientes temos então uma álgebra C! comuta-tiva.

Uma questão interessante é a de se saber se essa álgebra tem ounão unidade, isto é, uma função que denotaremos por 1(x) tal que1f = f1 = f para toda f % C0(R). O leitor não terá dificuldadeem verificar que nossa função só pode ser 1(x) = 1 para todo x % R,mas esse não é um elemento de C0(R) pois não se anula no infinito.Desta forma essa é uma álgebra sem unidade.

O leitor é convidado a repensar o exemplo acima, mas trocando R

por [0, 1] para concluir que C[0, 1] (norma, produto e involução comoacima) é uma álgebra C! com unidade.

O exemplo acima pode ser repetido trocando R por um espaçoX mais geral. É interessante notar que esse modelo básico de umaálgebra C! comutativa na verdade é, num certo sentido, o único mo-delo pois uma álgebra desse tipo sempre acaba sendo isomorfa a umaálgebra C(X) para um certo X (este é um resultado muito importantena área, conhecido como Teorema de Gelfand. O leitor curioso éremetido a [Exe] para uma discussão mais completa).

64 [CAP. 5: ÁLGEBRAS C$

Exemplo 5.3. Seja Mn(C) o conjunto de matrizes n ! n com coe-ficientes complexos. Este espaço vetorial tem um produto natural, oproduto de matrizes, que o torna uma álgebra. Podemos definir umanorma como sendo a norma usual de operadores

-A- = supv:|v|=1

|A(v)|.

Mn(C) é completo nessa norma. A involução pode ser definida comosendo

A! = At, ou seja, (aij)! = aji,

onde (aij) são as entradas da matriz A. Então temos uma álgebraC!.

A verificação dos detalhes é deixada ao leitor; vamos aqui noslimitar a mostrar a propriedade -A!A- = -A-2: Seja v % Cn umvetor unitário, isto é, |v| = 1. Então

|Av|2 = +Av|Av ) = +A!Av|v ) .

|A!Av||v| = |A!Av| . -A!A-|v| = -A!A-.

Tomando o supremo sobre v em ambos os lados podemos concluir que-A-2 . -A!A-; como já haviamos visto antes, nas propriedades danorma de operador, -A!A- . -A!--A- = -A--A- = -A-2. Portanto

-A!A- . -A-2 . -A!A-

e assim -A!A- = -A-2 como desejado.

É interessante notar que se a norma é modificada então a álgebrapode deixar de ser uma álgebra C!. No exemplo acima, podemos nosperguntar o que ocorre se trocamos a norma por outra equivalente,definida como sendo

-M-2 :=E

"

ij

|Mij |2.

Então -Id-2 ='

n &= 1; porém, uma unidade deve satisfazer -1!1- =-1-2, o que implica em -1- sendo 1 ou 0. Desta forma vemos queMn(C) munido de - · -2 não é uma álgebra C!.

[SEC. 5.2: ESTADOS DE UMA ÁLGEBRA 65

5.2 Estados de uma Álgebra

Álgebras são espaços vetoriais, logo é interessante perguntar o queocorre com seus funcionais lineares. No caso de algebras C! comunidade uma classe especial de funcionais lineares merece bastanteatenção, os chamados estados; na 9.6 veremos a ligação deste conceitode estado com os que ainda serão apresentados nesse texto.

Definição 5.1. Seja A uma álgebra C! com unidade; um funcionallinear f : A # C é chamado de estado se

(a) f(a!a) , 0 para todo a % A;

(b) f(1) = 1.

Exemplo 5.4. Considere a álgebra A = C; os funcionais linearesf : A # C são da forma f(z) = %z com % sendo um elemento de C.Para que f seja então um estado é preciso que f(1) = %1 = % = 1e assim o único possível estado é f(z) = z; para concluirmos que defato é um estado basta verificar que f(z!z) = z!z = |z|2 , 0, o que éverdade por ser uma propriedade da norma de um número complexo.Portanto concluímos que para essa álgebra existe um único estadof(z) = z.

Exemplo 5.5. Seja A = C[0, 1] = {f : [0, 1] # C ; f contínua}.Considere agora uma função p : [0, 1] # R+, isto é, que assume valo-res não negativos e tal que

/

[0,1]p(x)dx = 1.

Então, não é difícil verificar que

fp(a) =/

[0,1]a(x)p(x)dx

é um estado para A; a linearidade é clara. Também é fácil provarque fp(1) = 1 e fp(a!a) , 0. Mas o leitor pode notar que agoratemos uma ampla possibilidade de escolhas para a função p, cada umadelas resultando em um funcional e assim, ao contrário do primeiroexemplo, temos uma situação com uma infinidade de estados para aálgebra (comutativa) A.


5.2.1 Estados da Álgebra Mn(C)

Como a álgebra que mais aparece nessas páginas é Mn(C), vamosdescrever precisamente seus estados. O primeiro passo é a definiçãode um produto interno: se a e b são elementos de Mn(C) então

+a|b) = Tr(a!b)

é um produto interno. De fato a verificação da linearidade não édifícil e deixamos a tarefa para o leitor.

Usando uma base qualquer de Cn, por exemplo a base canônica,podemos agora ver que

+b|a ) = Tr(b!a) =n

"

i=1

+ei|b!aei ) =n

"

i=1

+a!bei|ei ) =

=n

"

i=1

+ei|a!bei ) =n

"

i=1

+ei|a!bei ) = Tr(a!b) = +a|b ).

Além disso,

+a|a ) = Tr(a!a) =n

"

i=1

+ei|a!aei ) =n

"

i=1

+aei|aei ) =

=n

"

i=1

-aei-2 , 0.

Portanto, se +a|a ) = 0 temos obrigatoriamente que -aei- = 0, dondeaei = 0 para todo i, o que implica que a é a matriz nula, a = 0.Desta forma concluímos que +·|· ) é de fato um produto interno parao espaço vetorial Mn(C).

Consideremos agora um funcional linear f : A # C. Pelo teorema2.5 sabemos que f pode ser escrito como

f(x) = +Vf |x) = Tr(V !f x)

para um único elemento Vf % A, ou seja, para uma matriz Vf que én ! n e cujos elementos são complexos.

[SEC. 5.2: ESTADOS DE UMA ÁLGEBRA 67

Para que f seja um estado devemos ter f(1) = 1, logo

f(1) = Tr(V !f 1) = Tr(V !

f ) = 1,

que é a primeira condição que obtemos sobre Vf .Sendo f um estado, temos também que f(a!a) , 0 para todo

a % A; esta expressão contém na verdade duas informações: a pri-meira é que f(a!a) é real (lembre-se de que f assume valores em C).A segunda é que, sendo real, é um número não-negativo. Desta pro-priedade podemos deduzir que V !

f = Vf e Vf , 0. De fato, para todoa % A

0 . f(a!a) = Tr(V !f a!a) = Tr(aV !

f a!) =n

"

i=1

F

ei

66aV !

f a!ei

B

=

=n"

i=1

F

a!ei

66V !

f a!ei

B

.

Mas dado um vetor v % Cn, podemos escrever uma transformaçãolinear a! tal que

a!(e1) = v e a!|e%1

= 0.

Desta forma, temos que

0 . f(a!a) =F

v66V !

f vB

para qualquer v % Cn

e, assim, V !f , 0. Também verificamos que

<

v666V !

f v=

é real (de fatonão-negativo) e portanto

F

v66V !

f vB

= +Vf v|v ) = +v|Vf v ) = +v|Vf v ).

Como esta igualdade vale para todo v % Cn então concluímos queVf = V !

f , como desejado: de fatoF

v66(Vf " V !

f )vB

= 0

para todo vetor v; podemos então trocar v por v + w e por v + iw.DeF

v + w66(Vf " V !

f )(v + w)B

= 0 eF

v + iw66(Vf " V !

f )(v + iw)B

= 0


obtemos, respectivamente,F

w66(Vf " V !

f )vB

= "F

v66(Vf " V !

f )wB

e

F

w66(Vf " V !

f )vB

=F

v66(Vf " V !

f )wB

.

Logo<

v666(Vf " V !

f )w=

=<

w666(Vf " V !

f )v=

= "<

v666(Vf " V !

f )w=

e

assim<

v666(Vf " V !

f )w=

= 0 para qualquer escolha de vetores v e w,o que implica que devemos ter Vf = V !

f , como afirmamos.Portanto o espaço de estados da álgebra C! definida por Mn(C)

corresponde ao espaço de elementos de Mn(C) hermitianos, positivose de traço unitário. Voltaremos a encontrar estes estados no capítulo9.

5.3 Espectro de Elementos da Álgebra

Considere uma álgebra C!, A. que tem uma unidade, denotada por1. Para cada elemento a de A podemos definir um conjunto bastanteimportante que é chamado de espectro de a. Para defini-lo vamos deinício introduzir um outro conjunto, o resolvente de a, denotado por+(a) e definido como sendo

+(a) = {% % C : existe (a " %1)"1}

(em geral escrevemos apenas a " % e não a " %1). O espectro de a,denotado por /(a), então é definido como sendo o conjunto comple-mentar de +(a) em C, isto é, /(a) = C \ +(a). Ele é então o conjuntode números complexos % tais que (a"%) não tem um elemento inversona álgebra.

Exemplo 5.6. Seja A a álgebra (com unidade)

A = C[0, 1] = {f : [0, 1] # C, f contínua}

e a % A o elemento que é a função a(x) = x2. Para obtermos oespectro de a devemos procurar os números complexos % tais que (a"%) não tem inverso; mas então devemos saber quando não se podeinverter (no sentido da álgebra) um elemento do tipo x2 " % (onde x


varia entre 0 e 1). Se % é algum elemento de [0, 1] então a funçãox2 "% se anula em algum ponto e assim não pode ser invertida; casocontrário, se % não é um elemento de [0, 1], então a função nunca seanula e sempre admite inversa. Portanto concluímos que o espectrode a é [0, 1]. O leitor pode pensar um pouco mais no assunto paraconcluir que o espectro de a % A é de fato a imagem da função a(x)no intervalo.

Voltemos agora à álgebra que mais aparece nessas páginas

Exemplo 5.7. Considere A = Mn(C). Dada uma matriz a % Aseu espectro /(a) é composto pelos % % C tais que a" %1 não admiteinverso. Mas já sabemos que para matrizes a existência de um inversoestá intimamente ligada ao determinante: de fato (a " %1) não teminverso se, e somente se,

det (a " %1) = 0,

o que é uma equação algébrica de grau n em % cujas soluções são oespectro de a; já encontramos esse objeto antes e as soluções, nessecaso, também já ganharam o nome de autovalores da matriz a. Por-tanto acabamos de concluir que o espectro de a é formado pelos seusautovalores.

5.4 Exercícios

Exercício 5.1. Considere uma álgebra C! A com unidade 1, isto é,com um elemento 1 tal que 1a = a1 = a para todo a % A. Mostre que1! = 1; mostre que -1- = 1.

Exercício 5.2. Considere a álgebra C! A = M2(C). Se ) : A # C éum funcional linear e que satisfaz a igualdade )(a))(b) = )(ab) paratodo par a e b em A então mostre que ) é o funcional nulo, ou seja,)(a) = 0 para todo a % A (obs.: o resultado continua verdadeiro setrocamos M2(C) por Mn(C)).

Interlúdio

Agora sim começaremos com a mecânica quântica.Nesta parte do texto, a menos que o leitor já conheça boa parte

do assunto, saltos não são recomendados. A parte principal de cadacapítulo trabalha com os conceitos e ferramentas da mecânica quân-tica, mas sem nunca descer aos detalhes de como implementar estasdiscussões em laboratórios. Por não conseguir resistir à tentação defalar de física, o final de cada capítulo tem esse enfoque1.

Como sempre, tão ou mais difícil do que escrever foi escolhersobre o que não escrever. Se você discordar das nossas escolhas, podenos contactar e comentar. Mas antes, tente seguir a música desseinterlúdio...

1Para assim permitir que o leitor com o gosto complementar pule tais secções,passando ao capítulo seguinte.

Capítulo 6

Um Bit de MecânicaQuântica

Vamos começar a tratar a mecânica quântica por seu exemplo maissimples: sistemas de dois níveis, também chamados bits quânticos, ousimplesmente qbits. Deliberadamente, vamos fugir da estratégia deapresentar uma definição geral e depois descrever exemplos especiais.Vamos, ao longo do texto, redefinindo alguns conceitos de modo atorná-los mais e mais gerais. Assim, as definições apresentadas nestecapítulo são precisas apenas quando restritas a este capítulo. Aindaque pareça inconsistente, acreditamos ser didaticamente acertado.

6.1 Mecânica Quântica em DimensãoDois

Vamos introduzir a Mecânica Quântica partindo de seu exemplo não-trivial mais simples: o bit quântico. Um bit clássico é uma variávelaleatória que pode assumir dois valores, por exemplo 0 ou 1. Obit quântico, porém, declara os estados extremais 0 e 1 uma baseortogonal para o espaço de estados do sistema. Essa frase simplesinclui várias afirmações nas entrelinhas. Vamos detalhá-las.

73

74 [CAP. 6: UM BIT DE MECÂNICA QUÂNTICA

6.1.1 Estados e Medições

Todo sistema quântico possui um espaço de estados, E, que é um es-paço vetorial complexo com produto escalar. Neste capítulo, dim(E) =2. Na descrição mais simples1 de mecânica quântica, o estado de umsistema é definido por um vetor unitário em seu espaço de estados.Toda e qualquer predição sobre o sistema pode ser feita a partir doconhecimento de seu estado. Para uso nesse capítulo, adotemos:

Definição 6.1. O estado de um sistema é um vetor normalizado emseu espaço de estados.

O leitor não deve se esquecer que o espaço de estados é um espaçovetorial sobre os complexos. Assim, o espaço de estados de um qbit éisomorfo a C2. Uma base para o espaço de estados será dada por doisvetores linearmente independentes, {|e1), |e2)}. Como as alternativasclássicas de um bit costumam ser denotadas 0 e 1 e a notação de Di-rac prescinde de uma letra para designar o vetor (a própria figura doket já nos indica sua presença), é comum utilizarmos a base {|0), |1)}.O leitor deve ter muito cuidado para não confundir |0) com a origemdo espaço vetorial. Claramente este não é o caso, pois |0) e |1) sãolinearmente independentes. Como tais vetores correspondem a alter-nativas clássicas2 distintas, temos ainda que esta base é ortonormal.Chegamos assim à importante noção de teste, apresentada aqui paraqbits:

Definição 6.2. Um teste com alternativas clássicas a e b é associadoa uma base ortonormal, denotada {|a), |b)}. Aplicar um teste podeser visto como decompor o vetor com relação a esta base, para emseguida selecionar apenas uma das alternativas.

Definida uma base, todo vetor do espaço de estados pode ser es-crito como combinação linear destes elementos. Para um qbit, então,seu estado será descrito por

|*) = '|0) + ,|1), (6.1)1Consequentemente, mais restrita. Mas, como descrito acima, usaremos essa

estratégia didática, com a promessa que, ao final, o leitor terá uma axiomatizaçãobastante geral.

2Ao longo do texto, usaremos o termo alternativas clássicas com o sentidoainda mais restritivo de alternativas clássicas e exclusivas, ou seja, uma e apenasuma acontece.

[SEC. 6.1: MECÂNICA QUÂNTICA EM DIMENSÃO DOIS 75

onde ' e , são números complexos, e a normalização exige |'|2 +|,|2 = 1.

Exercício 6.1. Lembrando que -|*)-2 = +*|* ), obtenha a condiçãode normalização apresentada acima.

Uma das grandes novidades da mecânica quântica aparece na suaregra sobre como relacionar o estado |*) à medição das alternativasclássicas. Em benefício da clareza, vamos continuar com sistemasde dimensão 2, mas o leitor já pode tentar generalizar esta definiçãopara dimensões arbitrárias3.

Postulado 6.1. Se um sistema quântico no estado |*) da eq. (6.1) ésujeitado a um teste com alternativas clássicas 0 e 1, a probabilidadede obter o resultado correspondente a 0 é dada por |'|2, enquanto ade obter 1 é dada por |,|2.

Os coeficientes ' e , da expansão do estado |*) com respeito àbase {|0), |1)} são números complexos que permitem calcular proba-bilidades. Feynman batizou tais coeficientes amplitudes de probabi-lidades, ou simplesmente amplitudes. Uma vasta gama de efeitos damecânica quântica está ligada ao fato de podermos somar amplitu-des não-nulas e obter um resultado nulo (ou muito pequeno). Esteé o chamado fenômeno de interferência destrutiva, já conhecido nosfenômenos ondulatórios, mas impossível para probabilidades, que sãonúmeros reais não-negativos. É o caso, por exemplo, no experimentode dupla fenda, onde regiões “escuras” aparecem quando as duas fen-das estão abertas, onde haveria contagens para cada uma das fendasabertas isoladamente.

Mesmo sem querer desviar para discussões sobre fundamentos demecânica quântica, é necessário dizer que esta foi a primeira vez queuma teoria científica se assumiu probabilística a priori. Mesmo queconheçamos o estado |*) de uma partícula, o resultado de observaçõesserá, em geral, probabilístico. O leitor pode comparar esta situaçãocom a da mecânica estatística. Nesta, o conceito de probabilidades foiintroduzido com a justificativa que, na prática, não podemos dar umadescrição precisa para um sistema macroscópico. De certa forma,é uma concessão que mentes determinísticas fizeram à dificuldade

3Assunto do próximo capítulo.


de trabalhar com 1023 coordenadas, ou mais. Mas mantinha-se aconvicção que em princípio poderia se descrever microscopicamenteum gás, por exemplo. Na mecânica quântica não; exceto se ' ou ,for zero, a mais completa descrição microscópica é incapaz de prever,senão probabilisticamente, o resultado do teste 0 ou 1.

Esta descrição probabilística da mecânica quântica tem uma con-sequência fundamental: embora gostemos muito de tratar de um sis-tema quântico específico, as previsões desta teoria só podem ser tes-tadas quando preparamos igualmente um grande número de cópiasdo sistema, e agimos igualmente sobre todas elas (e assim poderemoscomparar as frequências obtidas com as probabilidades previstas).Neste sentido, é comum pensar que o estado de um sistema é a des-crição de um ensemble4 e que um sistema isolado deve ser pensadocomo um elemento aleatório deste ensemble.

6.1.2 Depois das Medições

Como relacionamos as alternativas clássicas 0 e 1 com a base orto-normal {|0), |1)}, é natural introduzir o seguinte

Postulado 6.2. Após a realização de um teste para discriminar entreas alternativas clássicas 0 e 1, se o resultado obtido foi 0, o sistemapassa a ser descrito pelo estado |0); se o resultado obtido foi 1, osistema passa a ser descrito pelo estado |1).

Este postulado está naturalmente associado à noção de reprodu-tibilidade de testes. Ou seja, se um teste é realizado e se obtém umresultado, repetições deste mesmo teste no mesmo sistema corrobo-rarão o resultado obtido5. É importante distinguir aqui entre “agirnovamente no mesmo sistema” e “realizar o teste em outro elementodo ensemble”. Por construção da ideia de ensemble, seus elementossão independentes. Assim, embora sigam a mesma distribuição de

4Ensemble é a palavra francesa para conjunto. Ganhou destaque e uso própriona mecânica estatística e na mecânica quântica correspondendo a esta noção deconjunto infinito de realizações de um certo estado.

5Ainda não falamos sobre evolução temporal de estados. Neste momento,adotamos tacitamente uma lei de inércia: se nada for feito, o sistema continua nomesmo estado.


probabilidade, seus resultados são independentes6. Agir novamenteno mesmo sistema é repetir o mesmo teste duas vezes, no mesmo re-presentante do ensemble. O que a definição 6.2 diz é que se fizermosesta repetição do teste, o ensemble original será dividido em apenasdois subensembles: aquele onde as duas aplicações do teste resulta-ram 0 e aquele onde ambas resultaram 1. E se repetirmos N vezes,ainda assim só obteremos dois subensembles: aquele onde as N repe-tições do teste resultaram 0 e aquele em que os N resultados foram1.

Vale notar que submeter um sistema a um certo teste e selecionarapenas os resultados “favoráveis” pode ser entendido como uma pre-paração: se queremos preparar o estado |0), submetemos o sistemaa um teste que discrimina 0 e 1 e descartamos todos os sistemas emque o resultado 1 for obtido.

Exercício 6.2. Redescreva o parágrafo acima usando a ideia de sub-ensemble.

É ainda importante insistir que esta distinção entre agir nova-mente no mesmo sistema e realizar o mesmo experimento em umelemento independente do ensemble não é uma das peculiaridadesda mecânica quântica. Vamos então discutir um exemplo clássico: osorteio da mega-sena. A melhor maneira que temos para descrevero resultado do sorteio do concurso N da mega-sena é uma distri-buição uniforme sobre todas as combinações de números permitidanesta modalidade de loteria7. Porém, uma vez escolhido N , a situ-ação muda um pouco de figura. Se N corresponde a um sorteio járealizado, mas não dispomos do resultado, nossa melhor descriçãocontinua sendo dada pela distribuição uniforme. Porém, uma vezconhecido o resultado, passamos a descrevê-lo, probabilisticamente,por uma distribuição concentrada no resultado conhecido. Em par-ticular, se estamos preocupados com o concurso 1000 da mega-sena(N = 1000), as dezenas sorteadas foram 29, 38, 39, 49, 53 e 58. Assim,se repetirmos o teste (clássico) de “sortear” o concurso 1000 da mega-sena, devemos obter o mesmo resultado, diferentemente do caso de

6Correspondendo à situação típica de textos de probabilidade e estatística dasvariáveis i. i. d., ou seja, variáveis independentes e identicamente distribuídas.

7Acreditamos, a priori, que cada dezena é equiprovável - o que leva a equipro-babilidade das combinações - , e que os diferentes concursos são independentes.


realizar um sorteio de um outro “concurso”. Insistindo uma últimavez: se denotamos por MN a variável aleatória que dá o resultado doconcurso N da mega-sena, MN é independente de MN ! se, e somentese, N &= N %.

6.1.3 O que os bits clássicos não têm

A noção de teste não é exclusiva da mecânica quântica. A ideia dereprodutibilidade também não (sempre ignorada a evolução temporaldo sistema). O que realmente distingue a mecânica quântica da suacontrapartida clássica é a existência de testes incompatíveis.

Definição 6.3. Um teste B é dito compatível com um teste A se arealização de B entre duas repetições de A não afeta a reprodutibili-dade do teste A.

Classicamente, o único teste (não-trivial) que podemos fazer comum bit é verificar se ele vale 0 ou 1. Lembremos que sua versãoquântica está associada a uma base ortonormal {|0), |1)} do espaçode estados E. Mas podemos escolher livremente outra base para E.A exigência de serem alternativas classicamente distinguíveis impõeortonormalidade.

Como um exemplo, podemos definir os vetores:

|+) =1'2

(|0) + |1)); (6.2)

|") =1'2

(|0) " |1)).

Exercício 6.3. Mostre que {|+), |")} é uma base ortonormal.

Podemos aplicar o teste + ou ", que corresponde a esta base.Devemos aplicar a este teste as mesmas regras que antes usávamospara 0 e 1, com sua correspondente base. Chamemos o teste 0 ou 1de Z e o teste + ou " de X , devido a uma convenção que ficará clarana 6.1.5.

Exercício 6.4. Relação entre os testes X e Z.

1. Considere o estado inicial |0). Quais as probabilidades de cadaalternativa para o teste Z? E para o teste X?


2. Suponha que foi realizado o teste X e obtido o resultado +.Qual a probabilidade de obter 0 em uma realização subsequentedo teste Z?

O que o exercício acima mostra é que os testes X e Z não são com-patíveis! Se fizermos sequencialmente os testes Z, X e Z, é possívelobter, respectivamente, as respostas 0, + e 1. Se não fosse realizadoo teste X entre as duas realizações de Z, jamais poderíamos obter 0e 1 como respostas, devido à reprodutibilidade dos testes.

Vamos discutir essa situação em mais detalhe. Feito o primeiroteste Z, se obtido o resultado 0, sabemos que devemos passar a des-crever o sistema pelo estado |0). Neste estado, o teste X terá o resul-tado + ou " de maneira equiprovável. Com isso, a melhor descriçãodo sistema será dada por |+) no primeiro caso e |") no segundo.Em ambas as alternativas, o novo teste Z também terá os resulta-dos 0 ou 1 de maneira equiprovável. Como |0) = 1+

2(|+) + |")), o

que percebemos aqui é que não podemos pensar em |0) como umasimples mistura equiprovável das alternativas + e ". Se um teste Zé aplicado ao |0) a resposta é 0, sempre. Essa é uma manifestaçãodo fenômeno de interferência: as alternativas clássicas + e " não semisturam de maneira equiprovável, mas se combinam coerentemente.Já nesse caso temos a manifestação do que chamamos interferênciaconstrutiva, para o caso do resultado 0 (pois a “soma clássica”) dasalternativas levaria ao resultado 0 com probabilidade 1

2 , e quantica-mente o resultado é maior (nesse caso, 1), bem como da interferênciadestrutiva, para o caso do resultado 1.

Exercício 6.5. Bases mutuamente neutras.

1. Descreva um teste com resultados a e b, onde o estado |0) dáprobabilidades p e 1 " p.

2. Seja |a) o estado correspondente à alternativa a do teste ante-rior. Qual a probabilidade de obter 0 se um teste Z for aplicadoa este estado?

3. Duas bases B = {|b0), |b1)} e C = {|c0), |c1)} são ditas mutua-mente neutras se |+bi|cj )| é independente de i e j. Mostre queas bases Z = {|0), |1)} e X = {|+), |")} são bases ortonormaismutuamente neutras.


4. Obtenha uma nova base, Y, mutuamente neutra tanto com Xquanto com Z.

5. Mostre que não existe outra base mutuamente neutra com X ,Y e Z.

6.1.4 Quando perder é ganhar

Algumas tarefas muito simples do ponto de vista abstrato podem sermuito difíceis na prática8. Por exemplo, gerar números aleatórios.Um pensamento inocente diz que lançar uma moeda para cada bit(cara ou coroa) seria o suficiente. Mas não! Como garantir que amoeda é realmente honesta? Ou ainda, que seu lançamento é hones-to?

Novamente atingimos o paradigma teórico onde aleatoriedade nãosurge a priori, mas da dificuldade de definir as condições iniciais comprecisão, e de uma dinâmica muito sensível a tais condições. Osgeradores de números “aleatórios” mais utilizados são sofisticaçõesdeste lançamento da moeda. Computadores calculam funções deter-minísticas mas extremamente sensíveis às condições iniciais, e estascondições iniciais envolvem dados razoavelmente aleatórios, como osúltimos dígitos do relógio interno do computador, ou bits escolhidosdentro de um arquivo do qual nada se sabe... O que se obtém daí sãonúmeros “suficientemente aleatórios” para a imensa maioria das apli-cações: jogos de computador, simulações de Monte Carlo, geração denúmeros primos muito grandes...

Mas a noção de “suficientemente aleatórios” é sutil. O que ésuficientemente aleatório para quem só quer gerar números primospara criar uma chave RSA [Cou, Sin] e usar na sua correspondênciaeletrônica privada pode não ser suficientemente aleatório para umbanco que opera pela internet. O que é suficientemente aleatório paraquem só quer se divertir com um jogo pode não ser suficientementealeatório para uma empresa de jogos de azar on line! Pode parecerestranho, mas uma interessante aplicação da mecânica quântica9 éaproveitar a existência de testes incompatíveis para produzir números“suficientemente aleatórios”.

8E vice-versa.9Já com algum sucesso comercial[.com].


Exercício 6.6. Usando o que você já aprendeu até o presente mo-mento, proponha uma máquina quântica de gerar bits aleatórios10.

De fato, já há trabalhos na linha de considerar aleatoriedade comoum recurso, tão valioso quanto outros que ainda discutiremos nessetexto.

6.1.5 Estados Físicos e Esfera de Bloch

Um primeiro ponto a ser levantado é que, em mecânica quântica, ovetor de estado (correspondente a uma preparação) permite calculartodas as probabilidades dos possíveis resultados de testes realizadosnaquele sistema. Cada teste é associado a uma base ortonormal e asprobabilidades são dadas pelos módulos ao quadrado das amplitudesde probabilidade, ou seja, dos coeficientes da expansão do vetor comrespeito àquela base ortonormal específica.

Exercício 6.7. Dois vetores |*) e ei!|*), com ! % R, representamestados equivalentes, no sentido que as mesmas probabilidades sãoprevistas para todos os testes realizados.

Vamos, a seguir, explorar as consequências desta identificaçãoapontada pelo exercício 6.7, no caso de um qbit. Antes, um poucode nomenclatura: tanto um número complexo unitário ei! quanto onúmero real ! são comumente chamados de fase. O exercício acimaé normalmente fraseado como “uma fase global é irrelevante”.

Como discutido na 4.7, vetores unitários de C2 formam uma es-fera S3, mas a identificação do exercício 6.7 faz com que cada pontopossua uma fibra S1 (as possíveis fases globais) e o espaço topológicoformado pelos estados fisicamente distintos corresponde a uma esferaS2. Ainda que esta construção corresponda à fibração de Hopf, emmecânica quântica costumamos associar outro nome à esfera S2 quecorresponde aos estados fisicamente distintos: trata-se da Esfera deBloch.

Cada classe de equivalência pode ser representada por um vetorde estado

|*) = a|0) + b|1).10Mais precisamente, gerar bits independentes, identicamente distribuídos, com

distribuição equiprovável.


É comum utilizar a seguinte parametrização

|*) = cos0

2|0) + ei$ sen

0

2|1), (6.3)

com 0 % [0,.] e ) % [0, 2.]. Naturalmente11, esta parametrizaçãopossui singularidades. Neste caso, correspondendo aos valores 0 =0,., aos quais estão associados os vetores da base Z. O exercício 6.8mostra a conveniência de tal convenção.

Exercício 6.8. Esfera de Bloch

1. Verifique que a parametrização (6.3) cobre todas as classes devetores de estado fisicamente distintos.

2. Interprete os ângulos 0 e ) de um ponto arbitrário e verifiqueque todos os pontos da esfera foram utilizados na parametriza-ção.

3. Calcule o produto escalar +0|* ) e discuta a diferença entre osvetores da esfera de Bloch serem ortogonais e a posição de ve-tores de estado ortogonais na esfera de Bloch.

Aproveitemos esta discussão para introduzir outras ferramentasbastante úteis na discussão de um qbit, as chamadas matrizes dePauli. Estas são matrizes de automorfismos de C2, que escritas comrespeito à base Z tomam a forma

/z = Z =@

1 00 "1

A

, (6.4a)

/x = X =@

0 11 0

A

, (6.4b)

/y = Y =@

0 "ii 0

A

. (6.4c)

Note que as bases X , Y e Z são as respectivas bases de autovetores dosoperadores descritos acima. É comum (pelo menos como artifício denotação) considerar que estas matrizes formam um vetor de matrizes1/ = (/x,/y,/z), de modo que, para um vetor 1v = (vx, vy, vz) % R3, o

11Qual resultado matemático está por trás deste “naturalmente”?


produto 1v ·1/ representa a matriz&

i vi/i. A dupla notação utilizada(e.g.: /x e X) se deve a uma ser a notação padrão em textos demecânica quântica, a outra a notação padrão em textos de informaçãoquântica. Vamos utilizar ambas.

Exercício 6.9. 1. Obtenha autovalores e autovetores para X, Ye Z.

2. Para um vetor unitário 1u % S2, diagonalize 1u · 1/. Representeseus autovetores na esfera de Bloch.

3. Qual a relação entre os autovetores de 1u · 1/ e de "1u · 1/?

O exercício acima mostra uma maneira canônica de relacionarum operador a cada base ortonormal de C2. Sendo mais preciso,relacionamos um operador a cada decomposição de C2 em dois subes-paços unidimensionais ortogonais. Por sua vez, nos ajuda a entendermelhor todos os possíveis testes a serem realizados com um qbit ea visualizá-los na esfera de Bloch: cada teste corresponde à escolhade um eixo, com seus pontos antípodas sendo os vetores da basecorrespondente. A nomenclatura para as bases X , Y e Z tambémdeve estar mais clara agora.

6.1.6 Evolução Temporal

Até agora tratamos de estados e medições e até já arriscamos umavisualização geométrica para ambos. Mas entre uma preparação euma medição o estado do sistema pode variar. No mesmo espíritodesse capítulo, vamos tratar agora do caso mais simples de evoluçãotemporal em mecânica quântica.

Para um sistema isolado, a evolução temporal de um estado inicialserá ditada pela equação de Schrödinger:

d

dt|*) =

H

i!|*), (6.5)

onde H : E # E é um operador linear, chamado hamiltoniano dosistema, i a unidade imaginária e ! a famosa constante de Planck(dividida por 2.).


No capítulo 3 já vimos que

|*(t)) = exp>"iHt

!

?

|*0) (6.6)

é a solução da equação (6.5) com a condição inicial |*(0)) = |*0).De fato, como queremos manter a norma do vetor |*(t)), segue quedevemos trabalhar com H = H!, ou seja, o hamiltoniano deve serautoadjunto.

Vale notar uma importante propriedade:

Exercício 6.10. Mostre que os operadores autoadjuntos em C2 for-mam um espaço vetorial real12. Mostre ainda que, fixada uma basepara C2, a matriz identidade e as matrizes de Pauli (6.4) formamuma base para este espaço.

Explicitamente, isso significa que todo operador autoadjunto Aé descrito por quatro números reais (aI , ax, ay, az), de modo que amatriz que representa A seja dada por

@

aI + az ax " iay

ax + iay aI " az

A

.

Se estamos dispostos a identificar vetores que descrevem estadosequivalentes (ou seja, se queremos descrever a evolução temporal naesfera de Bloch, e não em C2), a componente HI não terá qualquerefeito:

Exercício 6.11. Mostre que se H = hII, a evolução temporal dequalquer estado é dada pelo acúmulo de fase global, deixando seuvetor de Bloch fixo.

Assim, sabendo também que a identidade comuta com qualqueroperador13, podemos nos concentrar em hamiltonianos da forma H =hxX + hyY + hzZ. Comecemos pelo mais fácil. Seja H = hzZ.Queremos calcular

exp>"iHt

!

?

= exp>"ihzZt

!

?

.

12Ou seja, sobre o corpo R.13Por que isso é importante?

[SEC. 6.2: UM POUCO DE FÍSICA 85

Mas conhecemos um operador quando sabemos como ele atua emuma base. E, para a base Z = {|0), |1)} temos

exp>"ihzZt

!

?

|0) = e"ihz t

! |0),

exp>"ihzZt

!

?

|1) = eihz t! |1),

de onde, se definirmos 2 = 2hz

!, teremos para

|*0) = cos0

2|0) + ei! sen

0

2|1)

a solução dada por

|*(t)) = e"i "2

t cos0

2|0) + ei "

2tei! sen

0

2|1)

7 cos0

2|0) + ei(!+%t) sen

0

2|1),

o que nos permite interpretar a evolução temporal dada por estehamiltoniano como a rotação da esfera de Bloch em torno de seu eixoz, com velocidade angular 2.

O exercício seguinte generaliza esta discussão:

Exercício 6.12. Obtenha os autovalores e autovetores de H = hxX+hyY + hzZ, redefina 2 como a diferença entre os autovalores e es-creva a evolução temporal de um estado arbitrário (sugestão: use abase de autovetores). Por fim, interprete tal evolução temporal emtermos do vetor de Bloch.

Com isso, interpretamos, em termos do vetor de Bloch, todas aspossíveis evoluções temporais de um sistema de dois níveis: os autove-tores de seu hamiltoniano definem um eixo, enquanto os autovaloresdefinem a velocidade angular com que a esfera de Bloch rotaciona emtorno deste eixo. Naturalmente, há dois, e exatamente dois, pontosfixos ao longo de tal evolução.

6.2 Um pouco de Física

Ao longo deste capítulo descrevemos a mecânica quântica de um qbit,sujeito às chamadas medições projetivas e a evolução hamiltoniana.


Se, por um lado, são várias restrições (dimensão do espaço de estados,tipo de medição e tipo de evolução temporal), por outro se trata dealgo bastante geral, com uma grande coleção de exemplos.

Um olhar mais atento pode ter reparado na discussão anteriorque ! tem dimensão de energia vezes tempo14. A grandeza mecânicaque possui tal dimensão é o momentum angular. Um exemplo na-tural e importante de sistema de dois níveis é o momentum angularintrínseco de algumas partículas; o chamado spin das partículas despin 1

2 (partículas com spins maiores terão espaços de estado comdimensão maior). Para fixar ideias, pensemos que tal partícula éum elétron, portanto, uma partícula com carga elétrica. Uma cargaelétrica com momentum angular tem certa similaridade com uma cor-rente elétrica, gerando momentum de dipolo magnético. Um dipolomagnético interage com campos magnéticos e uma maneira de muitosfísicos tratarem a discussão da evolução temporal de um qbit é usan-do o chamado modelo de “pseudo-spin”. O sistema de dois níveis, sejaele qual for, pode ser pensado como um spin 1

2 . E o hamiltonianoque vai ditar sua evolução temporal (autônoma) pode sempre ser as-sociado a um campo magnético constante. Assim, a direção do spinvai precessionar em torno do campo e a velocidade de tal precessãoserá ditada pela intensidade do campo.

Tal imagem gera uma linguagem interessante, típica do contextode ressonância nuclear magnética15, mas que ganhou espaço tambémem outras comunidades. Em especial, se um campo magnético éaplicado em direção perpendicular à do vetor de spin, a trajetóriadescrita na evolução temporal será dada por grandes círculos. Se otempo de interação for ajustado de forma a metade desse círculo serpercorrido, chamaremos essa evolução de um pulso .. Note que umpulso . essencialmente inverte a direção em que aponta o vetor despin16. Da mesma forma, se a interação se der por um quarto de

14Para sermos justos, atenção não seria suficiente. O leitor teria que saber, poroutras fontes, que um hamiltoniano tem unidades de energia, ou tirar a mesmaconclusão da equação de Einstein E = !", que não discutimos aqui.

15Sim, a mesma presente em exames clínicos. RNM, para sua sigla em portu-guês, NMR em inglês.

16Um resultado interessante, mas que só trataremos mais adiante, é que nãoexiste uma evolução quântica capaz de inverter o vetor de spin, qualquer queseja ele. Você consegue conciliar essa última afirmação com a discussão desseparágrafo?

[SEC. 6.2: UM POUCO DE FÍSICA 87

volta, diremos que foi aplicado um pulso "2 . Caso se buscasse um

linguajar mais preciso, deveria-se dizer em que direção foi feito talpulso "

2 , mas normalmente isso fica subentendido no contexto. Valenotar que um pulso "

2 é uma excelente forma de passar de um estadoda base Z para um estado da base X , por exemplo.

Um outro sistema quântico que pode ser bem entendido nestadiscussão de qbits é o tradicional experimento de fenda dupla, repor-tado pela primeira vez por Young, em 1800, utilizando luz. De fato, oexperimento de Young foi a maior evidência experimental a favor docaráter ondulatório da luz. Pouco mais de cem anos depois, passou-se a entender que, com relação ao experimento de fenda dupla, luz ematéria se comportam da mesma forma.

Nessa descrição, pode-se entender os estados da base Z como os“estados de fenda”, ou seja, como seria descrito o sistema caso apenasuma das fendas estivesse aberta. Já o sistema com as duas fendasabertas será descrito pelo estado |+), de superposição das duas fen-das. Conforme o ponto de observação em uma tela17 adequadamenteafastada do anteparo com as fendas, cada componente (|0) ou |1))acumula diferentes fases, correspondendo a uma evolução temporalonde o pseudospin precessaria devido a um campo aplicado na direçãoZ.

Para ser mais exato, o caso da fenda dupla não corresponde tãoprecisamente assim a uma evolução de pseudospin, visto que conformenos deslocamos na tela, estaremos mais próximos a uma das duas fen-das, aumentando sua participação no estado correspondente. Outrosistema físico segue esta descrição mais de perto: o interferômetro deRamsey.

Apresentado em 1949, o interferômetro de Ramsey lhe rendeuo Prêmio Nobel de Física em 1989, sendo uma generalização (emtermos de sistema) e um aperfeiçoamento (em termos da ideia centralde separar os pulsos) da ressonância magnética, criada por Rabi em1939, também lhe rendendo o Prêmio Nobel de Física em 1947.

A ideia de Rabi é aproveitar a existência de níveis de energiadistintos e interagir com uma transição entre dois deles, utilizandopara isso a noção clássica de ressonância. No caso de Rabi, o sistemaera um núcleo e a “força externa” um campo magnético, daí ser uma

17Ou detector, dependendo do regime em que o experimento é realizado [Ter05].


ressonância nuclear magnética. No caso de Ramsey, o sistema é umátomo e a força externa um campo eletromagnético. Esta é a origemdo relógio atômico, que nos fez inclusive rever a definição de umsegundo utilizando para isso a frequência da radiação emitida poruma transição específica do átomo de Césio.

Capítulo 7

Sistemas de d níveis

Devidamente explorado o caso mais simples, vamos passar ao caso“um pouco menos simples”. Este capítulo é dedicado aos sistemasquânticos de d níveis, ou seja, à mecânica quântica em espaço deestados com dimensão finita.

7.1 Mecânica Quântica em Dimensão d

Agora precisamos refazer a discussão da secção 6.1. A principal dife-rença advém do fato que, agora, um teste pode distinguir entre menosalternativas que a dimensão do espaço.


Como já afirmamos, todo sistema quântico possui um espaço de es-tados que é um espaço vetorial complexo com produto escalar, E.Neste capítulo, a única exigência é que dim(E) = d < 4. Ainda nadescrição mais simples e restrita da mecânica quântica, o estado deum sistema é definido por um vetor unitário em seu espaço de estados.Toda e qualquer predição sobre o sistema pode ser feita a partir doconhecimento de seu estado. Para uso nesse capítulo, essencialmenterepetimos a definição 6.1:

89

90 [CAP. 7: SISTEMAS DE D NÍVEIS

Definição 7.1. O estado de um sistema é um vetor normalizado emseu espaço de estados.

Assim como o espaço de estados de um qbit é isomorfo a C2, oespaço de estados para um sistema de dimensão d (por analogia, umqdit) será E 2= Cd.

Agora devemos generalizar a definição 6.2, que é onde as diferen-ças aparecem.

Definição 7.2. Seja E um espaço de estados. Um teste com al-ternativas distintas indexadas por i corresponde a uma decomposiçãoortogonal E =

G

i Ei.

Que é complementada pelo

Postulado 7.1. Sejam E um espaço de estados, |*) % E um estadoe E =

G

i Ei um teste. Sejam ainda Pi : E # E os projetoresortogonais sobre cada Ei. A probabilidade de obter o resultado i édada por pi = +*|Pi|*).

Exercício 7.1. Projetores ortogonais e notação de Dirac

1. Seja |!) um vetor normalizado. O que faz o operador |!)+!|?

2. Seja {|vi)}di=1 uma base ortonormal. Defina Pi = |vi)+vi|. Mos-

tre que1 PiPj = #ijPj .

3. Para J * {1, . . . , d} defina PJ =&

i(J Pi. Mostre que PJ PK =PJ,K . Em particular, P 2

J = PJ .

4. Qual a forma diagonal de PJ? Interprete TrPJ , o traço de PJ .

Exercício 7.2. Mostre que a definição 6.2 é um caso particular da7.2.

A definição 7.2 e o exercício 7.1 podem ser unidos para chegarà forma mais comum de se descrever tais medições. Para cada Ei,escolha uma base ortonormal

H66vk

i

BI

, onde o índice k corre de 1 atédi = dim Ei. Temos então uma base ortonormal para E,

H66vk

i

BI

.Se escrevemos o vetor de estado |*) com respeito a essa base, temos|*) =

&

i

&di

k=1 'ki

66vk

i

B

.

1#ij = 1, se i = j; #ij = 0, se i $= j.

[SEC. 7.1: MECÂNICA QUÂNTICA EM DIMENSÃO D 91

Exercício 7.3. 1. Mostre que pi, a probabilidade de obter a al-ternativa i, é dada por

&di

k=1

66'k

i

662.

2. Refaça esta discussão para o caso não-degenerado (i.e.: di =1, 8 i) e compare com a definição 6.2.

Deve ficar claro porque esse tipo de medição é normalmente cha-mada uma medição projetiva. Medições mais gerais que estas serãodiscutidas no capítulo 9, juntamente com uma noção mais geral deestado.

Uma base para o espaço de estados será dada por d vetores linear-mente independentes, {|e1), |e2), . . . , |ed)}. Justamente pela associa-ção de testes a bases ortonormais, é bastante comum que no contextode mecânica quântica, salvo menção em contrário, bases sejam sem-pre ortonormais.

O Teorema Espectral permite associar esta noção de teste a umaoutra noção, muito presente nos textos de mecânica quântica do sé-culo XX: a de observável2 . Seja A um operador auto-adjunto. Oteorema espectral nos diz que ele pode ser escrito como

A ="

i

aiPi,

onde ai são seus autovalores (reais) e Pi projetores sobre os respec-tivos auto-espaços. Assim, é comum, no chamado processo de quan-tização canônica, associar a cada grandeza da mecânica clássica umobservável A, que é um operador auto-adjunto. A definição 7.2 passaa ser lida como: os resultados possíveis para cada medição são dadospelos autovalores de A, com as probabilidades previamente associa-das. Podemos então calcular a esperança de A (também chamadavalor médio, ou valor esperado), em um estado |*), dada por

+A) ="

i

aipi ="

i

ai+*|Pi|*) = +*|"

i

aiPi|*) = +*|A|*).

7.1.2 Depois das Medições

Aqui também teremos mudanças significativas em relação à situaçãode um qbit. É fácil entender a razão. Se submetíamos um qbit a

2Na secção 9.6 voltaremos ao conceito de observáveis, mas, naturalmente, emoutro contexto.


um teste com duas alternativas clássicas, a decomposição imposta aoespaço de estados era “completa”, no sentido que cada subespaço dasoma direta tinha dimensão 1. Em um subespaço de dimensão 1,todos os vetores representam o mesmo estado físico, assim o estadoapós a medição não dependia do estado pré-medição e podíamos (ar-bitrariamente) escolher um vetor de estado pós-medição dependendoapenas do resultado de tal processo.

Postulado 7.2. Considere um teste com alternativas clássicas i,dado pela decomposição E =

G

i Ei, com respectivos projetores orto-gonais Pi. Se o teste foi aplicado ao estado |*) e a alternativa i foi ob-

tida, após o teste o sistema será descrito pelo estado |*i) =Pi|*)-Pi|*)-

.

O postulado 7.2 retém a principal propriedade do postulado 6.2:a reprodutibilidade dos testes.

Exercício 7.4. Demonstre a afirmação acima.

Por outro lado, traz a diferença marcante (natural e já comen-tada): o estado após a medição, |*i), depende do estado antes damedição, |*).

Exercício 7.5. Mostre que o postulado 6.2 pode ser visto como casoparticular do postulado 7.2 se acrescentarmos a noção de equivalênciade estados do exercício 6.7.

A noção de compatibilidade continua presente aqui. De fato, todaa área de pesquisa associada à lógica quântica [Pit, Coh] nasce aqui.Dois testes serão compatíveis se, e somente se, existir uma decompo-sição ortogonal que é um refinamento3 comum a ambos. Neste caso,estes dois testes podem ser realizados de maneira simultânea (ou, emoutras palavras, a ordem em que são realizados não é importante)e tal realização simultânea é descrita pelo refinamento comum dadopelas intersecções dos subespaços associados a cada teste.

Exercício 7.6. Considere dois testes E =G

i Ei e E =G

j Fj esejam A e B observáveis associados a estes. Mostre que os teste sãocompatíveis se, e somente se, [A, B] = 0.

3Uma decomposição ortogonal E =G

jFj é um refinamento de E =

G

iEi

se para todo j, Fj é subespaço de algum Ei.

[SEC. 7.1: MECÂNICA QUÂNTICA EM DIMENSÃO D 93

Dessa forma, um conjunto de testes será mutuamente compatívelquando existir um refinamento comum a todos e um teste será com-pleto quando não pode mais ser refinado, ou seja, todos os subespaçosenvolvidos na decomposição são unidimensionais.

7.1.3 Geometria

Da mesma forma que para os qbits, a fase global é irrelevante quandotratamos das probabilidades dos resultados de testes. E isso trazriqueza para a geometria do problema.

Para qualquer sistema quântico com espaço de estados de dimen-são finita d, os possíveis vetores de estado são vetores de norma 1 emE 2= Cd, um conjunto naturalmente identificado com a esfera S2d"1

(lembrando que neste caso, a dimensão indicada é com respeito aosreais). O conjunto das classes de equivalência [|*)] pode ser vistocomo o conjunto de todos os subespaços unidimensionais (complexos)de E 2= Cd. Mas esta é exatamente a definição do espaço projetivocomplexo CPd"1. Em particular, o conjunto dos vetores de estadofisicamente distintos para um qbit é homeomorfo a CP1, a chamadalinha projetiva complexa. É bem entendido, e nossa discussão sobre afibração de Hopf deve ter deixado claro, que CP1 pode ser visto comoa esfera de Riemann (ou de Bloch, dependendo do contexto). Assim,sua dimensão complexa é 1, por isso linha4, enquanto sua dimensãoreal é 2, condizente com esfera.

O conjunto dos estados fisicamente distintos pode ser visto como

S2d"1/S1 2= Cd/C! 2= CPd"1.

No próximo capítulo teremos consquências interessantes desta ge-ometria.


Na secção 6.1.6 já apresentamos a equação de Schrödinger

d

dt|*) =

H

i!|*),

4Interessante notar que linhas projetivas são compactas.


resposável pela evolução temporal de um sistema quântico isolado.No capítulo 4 vimos o conceito de ação de grupo. Na evolução

temporal ditada pela equação de Schrödinger, temos um exemploonde o grupo R age sobre E, como no exemplo 4.10.

Vamos aproveitar para ver essa mesma discussão com outros olhos.Já concluímos que temos uma ação de grupo:

R! E "# E

(t, |*0)) $"# |*(t))

e que sua restrição para cada tempo t será dada por

U(t) = exp>"iHt

!

?

,

que é um operador unitário, chamado operador de evolução temporal(por um tempo t). Devemos notar que

U(t1)U(t2) = U(t1 + t2),

para todo t1, t2 % R. Assim, esta família de operadores unitáriosforma um subgrupo a um parâmetro do grupo U(d) correspondente (da dimensão complexa de E). Ainda com outros olhos, este subgrupoa um parâmetro pode ser visto como uma curva (diferenciável) emU(d), assim como

t $"# U(t)|!)

pode ser vista como uma curva em E (ou mesmo, nos vetores unitáriosde E) para cada |!) (unitário), ou ainda, se passarmos ao quociente,uma curva em CPd"1.

7.2 Um exemplo: o Laplaciano discreto

Um sistema de d níveis pode, fisicamente, ser interpretado de muitasformas. Uma delas é imaginar uma partícula quântica (por exemplo,um elétron) que se move em um material composto de exatamente dátomos e no qual admitimos que essa partícula só pode estar próxi-ma destes átomos e não em um lugar qualquer. Sendo assim estamosidealizando a situação e admitindo que a posição da partícula é exa-tamente um sistema de d níveis, que correspondem às d posições

[SEC. 7.2: UM EXEMPLO: O LAPLACIANO DISCRETO 95

dos átomos do material. Esse modelo, com toda a ingenuidade queaparenta, é um ponto de partida razoável para entender, por exemplo,as propriedades de transporte de eletricidade e de calor em um cristal[AM].

Considere os operadores lineares em Cd definidos por

N+ =

'

((((()

0 1 0 0 . . .0 0 1 00 0 0 1 . . ....

. . .1 0 0 . . . 0

*

+++++,

e N" =

'

((((()

0 0 0 . . . 11 0 0 00 1 0 0 . . ....

. . .0 0 . . . 1 0

*

+++++,

.

Neste caso, é fácil verificar que N!+ = N" e N!

" = N+, logo estesoperadores não correspondem a observáveis. Mas não é dificil obterseus autovetores e autovalores. Note que

N+

'

((()

a0

a1...

an"1

*

+++,

=

'

((()

a1

a2...

a0

*

+++,

e N"

'

((()

a0

a1...

an"1

*

+++,

=

'

((()

an"1

a0...

an"2

*

+++,

.

Podemos então definir bk,l = ei 2!d lk para l = 1, 2, . . . , d e k = 0, 1, . . . , d"

1. Definimos assim os vetores (já normalizados)

|Bl) =1'd

'

((()

b0,l

b1,l...

bn"1,l

*

+++,

.

Não é difícil verificar que N+|Bl) = ei 2!d l|Bl) e N"|Bl) = e"i 2!

d l|Bl).Vamos agora definir o operador # = N+ + N" " 2I; este de fato

é hermitiano e, portanto, um observável. Seus autovetores são osmesmos |Bl) já definidos, e os autovalores são obtidos como segue:

#|Bl) = N+|Bl) + N"|Bl) " 2I|Bl)

=#

ei 2!d l + e"i 2!

d l " 2$

|Bl) = 2(cos2.d

l " 1)|Bl)


Exercício 7.7. Para a e b reais, obtenha os autovalores e os auto-vetores do operador a(N+ + N") + bI.

Os vetores |Bl) são uma base de Cd e portanto um estado ini-cial |*) qualquer pode ser expresso como combinação linear |*) =&d

l=1 cl(0)|Bl). Para obter a evolução temporal deste estado inicial,se considerarmos # como hamiltoniano do sistema, devemos resolvera equação de Schrödinger

d

dt|*(t)) = "i#|*(t)).

Supondo que cada cl é uma função do tempo, obtemos uma famíliade equações

d

dtcl(t) = "i%lcl(t)

cuja solução écl(t) = e"i#ltcl(0).

7.2.1 Operador Posição

Podemos definir um outro operador como sendo

X =

'

((((()

0 0 0 0 . . .0 1 0 00 0 2 0 . . ....

. . .0 0 0 . . . n " 1

*

+++++,

.

Nesse caso, é claro que os autovalores são 0, 1, . . . , d" 1 e correspon-dem aos autovetores

|vk) := ek+1 para k = 0, 1, . . . , d " 1,

onde os ei são os vetores da base canônica de Cd.Agora considere os autovetores |Bl) da seção anterior. Se temos

um estado |*) = |Bl) (para algum l fixo) então podemos perguntar

[SEC. 7.3: A RELAÇÃO DE INCERTEZA 97

qual é a probabilidade de se obter o valor k (k entre 0 e d" 1) numamedição do observável X . Mas

|*) = |Bl) =n"1"

j=0

bj,l|vj).

Portanto, a probabilidade de se obter a posição k, que é o móduloao quadrado do coeficiente de |vk), é dada por 1/d, de maneira inde-pendente de k. Logo todas as posições são equiprováveis num estadodescrito por |*) = |Bl). Porém, agora note que esta probabilidadetambém não depende do l escolhido! Assim, qualquer que seja o auto-estado de # temos que a posição tem uma distribuição equiprovável.

O operador # pode ser interpretado como sendo associado à ener-gia de uma partícula num cristal, sendo que X está relacionado a suaposição nessa rede cristalina. Os autovalores de # são os possíveisvalores da energia e os de X , os possíveis valores da posição. O queconstatamos acima é que quando uma partícula está num estado queé auto-estado de #, e portanto tem uma energia bem definida, en-tão temos enorme desconhecimento sobre sua posição, pois há igualprobabilidade de encontrá-la em todas as posições possíveis.

Exercício 7.8. Considerando-se um estado |*) que é auto-estadode X, qual é a probabilidade de que tenha um determinado valor deenergia (isto é, um determinado autovalor do operador #)?

O que encontramos aqui é mais um exemplo das chamadas BasesMutuamente Neutras5, que tanto aparecem naturalmente, como nadiscussão aqui apresentada, como podem ser utilizadas, por exemplo,para aplicações em criptografia. De fato, é um problema interes-sante, e apenas parcialmente resolvido, encontrar, para dimensão d,o número máximo de bases mutuamente neutras para aquele espaço.

7.3 A Relação de Incerteza

Considere um estado |!) (normalizado); vamos assumir que temosdois observáveis A e B, ambos com média zero para este estado (isto

5Do inglês, Mutually Unbiased Basis.


não é tão restritivo quanto parece: sempre se pode redefinir um ob-servável como sendo

A = A " +!|A! )

que tem média zero no estado dado). Para uma variável aleatóriaqualquer, X , definimos sua variância como

Var(X) =F

X2B

" +X)2.

Para observáveis quânticos, os valores esperados serão calculados se-gundo sua prescrição. Ao consideramos apenas observáveis com mé-dia nula, Var(A) =

F

A2B

. Veremos que

[A, B] = AB " BA &= 0

tem consequências bastante interessantes.

Teorema 7.1 (Relação de Incerteza de Heisenberg). Sejam A e Bdois observáveis de média zero e tais que [A, B] &= 0. Então

Var(A) Var(B) ,14

|+!|[A, B]! )|2.

Demonstração. Sabemos que

Var(A) Var(B) =F

!66A2!

BF

!66B2!

B

= +A!|A! )+B!|B!)= -A!-2 -B!-2

, |+A!|B! )|2

onde, na última passagem, foi utilizada a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz. Note que

+A!|B! ) = +!|AB! )= +!|([A, B] + BA)! )= +!|[A, B]! ) + +!|BA! )= +!|[A, B]! ) + +BA!|! )= +![A, B]|!) + +A!|B! ).

Portanto temos

+!|[A, B]! ) = +A!|B! ) " +A!|B! ) = 2i Im(+A!|B! )).

[SEC. 7.4: MAIS UM POUCO DE FÍSICA 99

Logo,

Im(+A!|B! )) =12i+!|[A, B]! ).

Assim,

Var(A) Var(B) , |+A!|B! )|2 , |Im(+A!|B! ))|2 =14

|+!|[A, B]! )|2.

A consequência deste resultado matemático é profunda: significaque ao se medir duas quantidades distintas, associadas a observáveisque não comutam, então o produto de suas respectivas dispersões nãopode ser feito menor do que uma certa quantidade (assumindo que ovalor esperado do comutador de A e B naquele estado é não nulo); seo estado tem a dispersão de A pequena, por exemplo, então a de Bdeve ser suficientemente grande, o que torna grande a incerteza sobreo valor desse observável no estado em questão. Isso justifica o nomepelo qual esse resultado é conhecido.

Por outro lado, estamos falando de dispersão e isso implica emuma quantidade que só pode ser obtida com muitas medições efetua-das em diversos sistemas identicamente preparados. Em princípio nãoestá proibido conhecer com precisão arbitrária os valores dos obser-váveis A ou B num determinado estado |*). Muito menos as relaçõesde incerteza exigem que as medições de A e B sejam realizadas nomesmo sistema.

Exercício 7.9. Escolha um par de observáveis, A e B, satisfazendoas condições do teorema 7.1 e um estado |*) tais que a variân-cia de um deles seja nula. Verifique explicitamente que nesse caso+!|[A, B]!) = 0.

7.4 Mais um pouco de Física

Se o capítulo anterior tratou das partículas de spin 12 , este trata das

partículas com qualquer spin, assim como problemas envolvendo mo-mentum angular orbital (aquele que classicamente é dado por 1r ! 1p).


Se um qbit permitia entender uma transição entre dois níveis atômi-cos, agora podemos trabalhar com processos onde vários níveis desem-penham papel relevante. Se o qbit bem representava o experimentode fenda dupla, agora podemos trabalhar com fendas múltiplas.

Todos os exemplos citados acima são importantes e interessan-tes, mas o que acontece se tratarmos de um experimento de fendasmúltiplas com partículas de spin 1

2 , por exemplo? Esse é um pri-meiro exemplo onde queremos tratar um sistema quântico composto,o assunto do capítulo 8.

Capítulo 8

Sistemas QuânticosCompostos

Agora poderemos discutir um dos aspectos mais interessantes da me-cânica quântica. Assim como um par de variáveis aleatórias podemser considerado uma nova variável aleatória em um espaço produto,um par de sistemas quânticos também pode ser visto como um novosistema quântico, em um espaço de estados produto. Mas as coisassão um pouquinho diferentes...

8.1 Dois Qbits


Dois bits clássicos podem assumir quatro valores: 00, 01, 10 e 11.Deve ser claro da própria maneira de escrever que os dois bits traba-lhados são distintos: existem o primeiro bit e o segundo bit, ou aindao bit A e o bit B. Portanto, dois bits clássicos correspondem a umavariável aleatória com quatro possíveis valores. Dois bits quânticoscorresponderão a um sistema quântico de 4 níveis, com uma basepara seu espaço de estados dada por {|00), |01), |10), |11)}. Conformeapresentado na 2.14, podemos ver esta base como a base produtoZ 1Z, o que permite reconhecermos um isomorfismo C4 2= C2 1C2.

101

102 [CAP. 8: SISTEMAS QUÂNTICOS COMPOSTOS

Explicitamente, isso significa que, dentro da descrição que estamostrabalhando até o momento, qualquer estado de dois qbits se escreve

|*) = '00|00) + '01|01) + '10|10) + '11|11).

Se submetermos o sistema a um teste que distingue entre essas quatroalternativas clássicas, a probabilidade de obter o par ij é |'ij |2. Noteque este teste pode ser entendido como medições na base Z em cadaqbit. Alguns outros testes relacionados vêm a seguir:

Exercício 8.1. Considere ainda |*) = '00|00)+'01|01)+'10|10)+'11|11).

1. Quais as probabilidades dos possíveis resultados de um teste queapenas distingue 0 de 1 no primeiro qbit? E no segundo? Emcada caso, qual será o estado após a medição?

2. E para um teste que verifica se os dois resultados são iguais oudiferentes?

Há um fato bastante sutil no exercício 8.1. Os testes envolvidospodem todos ser refinados pela decomposição E =

G

ij Eij , ondeEij = Im(|ij)+ij|) (onde Im() denota a imagem da transformaçãolinear em questão), i, j % {0, 1}, sendo portanto compatíveis. Estaúltima corresponde a um teste completo, onde o número de possí-veis respostas coincide com a dimensão do espaço de estados, sendoo único refinamento comum aos dois testes do item 1. Já o teste doitem 2, com apenas duas respostas possíveis, corresponde à decompo-sição E = E= 9E-=, onde cada subespaço envolvido é bidimensional.É fácil verificar que E= = E00 9E11 e E-= = E01 9E10. Assim, cadaresultado das duas medições compatíveis do item 1 só é consistentecom um resultado do item 2. Porém, um resultado do item 2 nãodetermina o resultado do teste mais fino. Esta distinção será essen-cial no argumento apresentado na 14.3.3. Vamos explorá-la em maisdetalhes no próximo exercício.

Exercício 8.2. Os quatro vetores abaixo são chamados estados de

[SEC. 8.1: DOIS QBITS 103

Bell1:

|$±) =1'2

(|00) ± |11)), (8.1a)

|!±) =1'2

(|01) ± |10)). (8.1b)

1. Calcule a probabilidade de cada possível resultado em um testeE = E= 9 E-= aplicado a cada estado de Bell, bem como osrespectivos estados após a medição.

2. Agora para o estado inicial |01), quais os possíveis resultadose qual o estado após a obtenção de cada um, para o mesmoteste? E se, após a realização deste, fizermos um teste 0 ou1 no primeiro bit, qual a probabilidade de obter cada resposta?Os dois testes envolvidos neste item são compatíveis?

3. Sendo |+") o correspondente elemento da base produto X 1 X(ver capítulo 6), responda as mesmas perguntas do item ante-rior.

A partir da ideia que os dois qbits em questão podem2 estar es-pacialmente afastados, testes como do item 1 do exercício 8.1 sãochamados locais, em um caso agindo apenas na parte A, no outro naparte B. A discussão anterior pode ser resumida dizendo que existeuma maneira local de obter a resposta do teste associado à decompo-sição E = E=9E-=, mas esta não é a forma mais geral de implementartal teste. De fato, existe um refinamento local para tal teste, mas oteste propriamente dito não é local.

Adotando agora esta interpretação que cada parte do sistema com-posto pode estar em um laboratório diferente, vemos que os estadosquânticos se dividem naturalmente em duas classes:

• Aqueles estados que podem ser preparados apenas com a utili-zação de operações locais e comunicação entre os laboratórios(utilizaremos a sigla em inglês: LOCC para Local Operationsand Classical Communication);

1A notação utilizada também é razoavelmente padrão.2É uma possibilidade, não uma exigência. Ainda assim, o linguajar se mantém.


• Aqueles que não podem ser preparados de tal forma, ou seja,exigem operações conjuntas que não podem ser decompostasem operações locais e comunicação clássica.

Esta discussão será aprofundada no capítulo 10, quando já teremosem mãos uma noção mais geral de estado, a ser apresentada no ca-pítulo 9. Com o cenário que temos no momento, os estados quepodem ser preparados por LOCC são da forma |') 1 |,), ou seja,representado por vetores decomponíveis3 de C2 1C2. Já vetores nãodecomponíveis corresponderão ao segundo caso, sendo chamados es-tados emaranhados. Sendo mais explícito:

Definição 8.1. Um estado representado por um vetor de C2 1 C2

será dito:

1. Fatorável, quando representado por um vetor decomponível;

2. Emaranhado, caso contrário.

Exercício 8.3. 1. Mostre que para um estado |') 1 |,) as proba-bilidades de um teste local em A e de outro teste local em B sãoindependentes. Obtenha ainda, para cada resultado destes tes-tes, uma forma para o estado do sistema após tal intervenção.

2. Mostre que isso não ocorre, necessariamente, se o estado inicialdo sistema for emaranhado.

3. Em especial, considere um teste local completo na parte A (ouseja, uma decomposição ortonormal não trivial do C2 corres-pondente à parte A) e mostre que o estado após a medição ésempre decomponível, mas que o vetor correspondente à parteB depende do resultado do teste realizado em A.

A discussão do exercício 8.3 deve se tornar mais natural se vocêutilizar a decomposição de Schmidt (2.5).

Exercício 8.4. Considere o estado |!"), da eq. (8.1b).

1. Obtenha as probabilidades dos possíveis resultados do teste as-sociado à base Z 1 Z.

3No contexto de mecânica quântica é comum chamá-los de vetores produto.


2. Faça o mesmo para os testes associados a X 1 X e a Y 1 Y.

Cada um dos resultados que você obteve acima mostra que osbits gerados pelas respostas de cada teste aplicado aos qbits estãocorrelacionados. Cada um destes resultados sozinho não é surpreen-dente. Exemplos assim acontecem em nosso “mundo clássico” fre-quentemente. Considere que uma moeda foi cortada ao meio, demodo que uma semi-moeda só tem cara e a outra coroa. Você põecada uma em um envelope e manda cada envelope para um amigo,mas sem saber qual semi-moeda foi colocada em cada um. Os bitsgerados por este teste clássico têm o mesmo tipo de correlação queos bits obtidos por cada um dos testes do exercício 8.2. Porém, osdois qbits preparados em |!") possuem algo que as semi-moedas nãopossuem: a possibilidade de realização de testes diferentes (medircom respeito a outras bases). Para realçar ainda mais esta situação,lembremos que um dado padronizado possui seis faces numeradas de1 a 6 e que faces opostas sempre somam 7. Inspirados no exemploda moeda, podemos considerar a possibilidade de cortar um dadodestes paralelamente a um par de faces, colocar cada metade em umenvelope aleatório e mandar para dois amigos. Conhecendo a regrada brincadeira, após abrir seu envelope, cada amigo sabe o que ooutro recebeu. Mas note que se o corte foi realizado paralelamenteàs faces 2 e 5, nenhum amigo pode receber a face 4 completa. O queos qbits nos permitem, de certo modo, é enviar os semi-dados paracada amigo antes de fazer o corte! De posse dos seus envelopes, elespodem decidir sobre qual corte fazer. E, se fizerem os mesmos cortes,obterão bits complementares, da mesma forma que no exemplo damoeda.

Exercício 8.5. Ainda com o estado |!"), quais as probabilidades sefor feita uma medição na base X 1 Z?

Exercício 8.6. Adapte a situação da moeda cortada para obter outrosistema clássico que pode replicar as correlações aqui representadaspelo corte do “dado quântico”.

O que o exercício 8.6 nos diz é que, ainda que a historinha do dadopareça convincente, suas correlações podem ser obtidas com sistemasclássicos (portanto, não deve figurar entre as surpresas quânticas). Nocapítulo 14 voltaremos a esse tema, apresentando lá sim, resultados


quânticos surpreendentes, no sentido que nenhum sistema clássicoserá capaz de imitá-los.

8.1.2 Estados Fisicamente Distintos

Na 7.1.3 apontamos que o conjunto dos estados fisicamente distintosde um qdit é identificado com CPd"1 e que há consequências interes-santes da geometria do espaço de estados para sistemas compostos.Vamos começar a explorá-la neste caso de dois qbits.

Uma boa maneira de trabalhar em CPm é usar as chamadas coor-denadas homogêneas. Assim, uma classe é definida por coordenadas[x0 : x1 : . . . : xm], entendido que [%x0 : %x1 : . . . : %xm] representa amesma classe, para todo % &= 0. As componentes de um vetor deestado podem então ser vistas como coordenadas homogêneas quedefinem um ponto em CPm, mesmo que isso não seja normalmentedito em livros de mecânica quântica.

Entendido que os estados fisicamente distintos de dois qbits for-mam um CP3, enquanto os estados de um qbit formam um CP1 cada,uma pergunta natural é: onde se encontram os estados fatoráveisneste CP3? Esta pergunta pode ser respondida de maneira constru-tiva. Em termos de kets, considere os estados |') = '0|0) + '1|1)para o qbit A e |,) = ,0|0) + ,1|1) para B. Temos então o estadoproduto |')1 |,) = '0,0|00)+'0,1|01)+'1,0|10)+'1,1|11). Todovetor de estado produto (de dois qbits) é desta forma. Em termos decoordenadas homogênas, aproveitando a mesma notação, temos

CP1 ! CP1 # CP3

(['0 : '1], [,0 : ,1]) $# ['0,0 : '0,1 : '1,0 : '1,1] (8.2)

que é conhecido como mergulho de Segre. Do ponto de vista dageometria algébrica, o mergulho de Segre é uma maneira de tornarum produto cartesiano de espaços projetivos em uma subvariedade deum espaço projetivo maior, usando para isso uma aplicação algébrica(expressada por polinômios homogêneos).

Exercício 8.7. Calcule a dimensão sobre os reais do conjunto dosestados fatoráveis de dois qbits e do conjunto dos estados emaranha-dos de dois qbits. Com isso, responda a pergunta: se você sortear


aleatoriamente (com distribuição uniforme) um estado em CP3, quala probabilidade de ele representar um estado emaranhado?

Exercício 8.8. Se você conhece o Teorema de Bézout[Har], deveconseguir demonstrar o seguinte resultado4: em todo subespaço bidi-mensional de C2 1 C2 há vetor decomponível.Sugestão: Passe o problema para CP3, descreva o subespaço bidimen-sional e a subvariedade dos estados produto (a imagem do mergulhode Segre) e obtenha a intersecção destas.

8.1.3 Dois spins 12

Já apresentamos os sistemas de spin 12 como importante exemplo de

qbit, utilizado inclusive para melhor entender as possíveis evoluçõestemporais destes. Agora vamos explorar mais uma propriedade, pre-sente quando mais de um spin é considerado. Por enquanto, mais deum significa dois.

As matrizes de Pauli (6.4) estão intimamente relacionadas aosobserváveis de spin. De fato, cada uma dessas três matrizes representao observável associado à medição da respectiva componente do spin.Em particular,

Sx =!

2/x, Sy =

!

2/y , Sz =

!

2/z , (8.3a)

onde Su é a componente u do spin. Cabe notar que tais observáveisnão são compatíveis, não havendo um estado com as três componentesde spin definidas.

De maneira mais geral, se 1u = (ux, uy, uz) é um vetor unitário,usamos a notação

1u · 1/ = ux/x + uy/y + uz/z

para representar o operador acima definido. Com ela, temos

S&u =!

21u · 1/ (8.3b)

que representa a componente do spin na direção do vetor 1u.4Nada intuitivo, sem essa caracterização geométrica.


Exercício 8.9. Quais os autovalores e autovetores dos observáveisde spin (8.3a)? E para S&u, da eq. (8.3b)? Mostre que se 1u é vetor dabase canônica, não há inconsistência na notação.

Quando consideramos dois spins 12 , faz sentido pensarmos em ob-

serváveis relacionados a uma componente do spin de uma das partí-culas. Estes serão dados por

S&u 1 I ou I 1 S&v,

respectivamente para a componente 1u do primeiro spin ou para com-ponente 1v do segundo.

Como 1u e 1v são vetores de R3, sem qualquer vinculação com adimensão do espaço de estados, é natural definir5

S&u = S&u 1 I + I 1 S&u, (8.4)

e estudarmos seus autovalores e autovetores. O mais simples é come-çar por 1u = (0, 0, 1).

Exercício 8.10. Com respeito à base Z 1 Z, obtenha as matrizesque representam os operadores Sz 1 I, I 1 Sz e Sz.

Com o exercício 8.10 você deve ter obtido três autovalores paraa componente z do spin do sistema composto: !, 0 e "! e deve ternotado que o autovalor 0 é degenerado.

Exercício 8.11. Com respeito à mesma base, obtenha matrizes querepresentam Sx = Sx 1 I + I 1 Sx e Sy = Sy 1 I + I 1 Sy.

Agora você pode verificar que o estado de Bell |!") é autovetorcomum a todo S&u do sistema composto (note que, também para osistema composto, S&u = 1u · 1/).

Exercício 8.12. Explique, tanto com a linguagem de decomposiçõesortogonais, quanto com a liguagem de operadores, por que não hácontradição entre os fatos dos observáveis Sx, Sy e Sz não comutareme terem um autovetor comum.

5Esperamos que o contexto deixe sempre claro onde age cada operador. Amesma notação S!u está sendo usada para o observável associado à componente$u do spin de cada partícula e do sistema composto. Caso o leitor prefira umanotação mais clara, porém carregada, sugerimos: SA

!u= S!u % I, SB

!u= I % S!u e

SAB!u

= SA!u

+ SB!u

, que também utilizaremos eventualmente.


O que acabamos de obter é uma decomposição bastante interes-sante, razoavelmente óbvia em termos de dimensões, mas com con-sequências profundas na mecânica quântica:

C2 1 C2 2= C9 C3, (8.5)

onde C se refere ao espaço vetorial gerado por |!") e C3 seu comple-mento ortogonal. Em especial, você deve reexaminar os resultadosdo exercício 8.4 para buscar compreendê-los mais profundamente.

Exercício 8.13. Considere a ação de grupo U(2) ! C4 # C4, defi-nida em vetores decomponíveis por (U, |') 1 |,)) $# U |') 1 U |,) eestendida por linearidade.

1. Descreva geometricamente as órbitas de cada estado de Bellobtidas por esta ação. Em particular, quantas são e qual adimensão de cada uma?

2. Mostre que esta ação “passa ao quociente”, isto é, induz umaação de U(2) sobre CP3. Como são as órbitas dos estados deBell nessa descrição?

3. Como isso se relaciona com a decomposição (8.5)?


A evolução temporal continua sendo ditada pela Equação de Schrö-dinger (6.5). O ponto de discussão agora serão os diferentes hamilto-nianos que determinam tal evolução.

Se HAB = HA + HB, onde HA denota algum operador auto-adjunto da forma HA 1 I, enquanto HB é da forma I 1HB, teremosJ

HA, HBK

= 0 e, consequentemente6,

UAB(t) = expC

"iHABtD

= expC

"iHAtD

expC

"iHBtD

= UA(t)1UB(t).

Isso significa que cada base produto será levada por UAB(t) em umaoutra base produto. Portanto, uma evolução temporal assim propagaas correlações, sem criá-las nem destruí-las.

6A partir daqui adotamos o hábito de escolher unidades de forma que ! = 1.Pode ser um interessante exercício o leitor identificar onde estão estes ! escondi-dos.


Exercício 8.14. Mostre que os coeficientes de Schmidt de |*) e deUAB(t)|*), para UAB como acima, são os mesmos.

Podemos entender este resultado sob a óptica das ações de grupo.Já vimos que a evolução temporal pode ser entendida como a ação dosubgrupo a um parâmetro

H

UAB(t); t % RI

do grupo U(4) de todasas unitárias 4 ! 4. Este subgrupo age em C4 2= C2 1 C2 e tal ação“passa ao projetivo” (exercício 8.13). O ponto central é que, nestecaso de UAB = UA 1 UB, a ação dinâmica “respeita” o mergulhode Segre, ou seja, a órbita de cada ponto da imagem do mergulho(correspondente aos estados produto) está inteiramente contida nestamesma subvariedade7.

De forma mais resumida, um hamiltoniano da forma

HAB = HA 1 I + I 1 HB (8.6)

gera dinâmicas independentes nas partes A e B que estão sendo con-sideradas conjuntamente, como um sistema composto.

A coisa muda de figura quando a forma (8.6) não pode ser al-cançada, ou seja, quando não temos geradores independentes para asdinâmicas de cada parte.

Exercício 8.15. Tome como exemplo o hamiltoniano HAB = 2/z 1/z.

1. Mostre que existe estado produto que se mantém produto pelaevolução temporal;

2. Mostre que também existe estado produto que se torna emara-nhado pela evolução temporal;

3. Podemos escrever este HAB na forma (8.6)?

Neste caso, é comum escrever-se o hamiltoniano do sistema com-posto na forma (não única)

HAB = HA 1 I + I 1 HB + Hint, (8.7)

7Pode-se dizer mais: os elementos de U(4) que respeitam o mergulho de Segreou são da forma UA % UB , ou seu produto com USwap : |%" % |&" &' |&" % |%",fato este demonstrado na ref. [Dru].

[SEC. 8.2: SISTEMAS DE DUAS PARTES 111

onde Hint é chamado hamiltoniano de interação, sendo o responsávelpor criar (ou destruir) correlações entre as partes. Dizemos assim queos dois qubits interagem.

Em geral, os autovetores de um sistema interagente são emaranha-dos (veja exercício 8.7) e os autovalores são incomensuráveis. Comisso, genericamente um estado inicial produto é levado a um estadoemaranhado, para todo t > 0. Neste sentido é correto dizer que, emgeral, interação cria emaranhamento em sistemas quânticos8.

Exercício 8.16. Obtenha as condições para que um hamiltonianocom termo de interação permita que U(t) leve algum estado produtoem estado produto, para algum t > 0. Justifique por que, generica-mente, isso não acontece.

Exercício 8.17. Escreva um hamiltoniano para dois qbits tal que oautovetor associado ao menor autovalor seja produto, mas os demaisautovetores não.

8.2 Sistemas de Duas Partes

Sistematizando e generalizando a discussão anterior, podemos enun-ciar o seguinte:

Postulado 8.1. Se tratamos conjuntamente dois sistemas, aos quaisestão associados, respectivamente, os espaços de estados E e F , oespaço de estados do sistema composto é E 1 F .

Conceitos como base produto, medição local, LOCC e emara-nhamento passam imediatamente para o cenário bipartido E 1 F .A decomposição de Schmidt nos indica que, no que diz respeito aoemaranhamento de estados puros, o espaço de menor dimensão é omais importante.

Um resultado central para a teoria do emaranhamento em estadospuros é devido a Nielsen [Nie]: para determinar se um estado puro|*) de um sistema bipartido pode ser levado por operações locais ecomunicação clássica a outro estado |!), basta comparar seus vetoresde Schmidt.

8E, pelo mesmo motivo, é interessante entender como se pode obter estadosemaranhados sem lançar mão da interação direta entre as partes.


Se a decomposição de Schmidt de |*) é |*) =&

i *i|'i)|,i), coma convenção que os coeficientes são reais, não-negativos e escritos emordem decrescente, chamamos 1* =

C

*2i

D

ide vetor de Schmidt do

estado |*). Note que a normalização de |*) implica que o vetor deSchmidt é um vetor de probabilidades, ordenado.

Para dois vetores de probabilidade, 1p = (pi)i e 1q = (qi)i, escritosem ordem decrescente, dizemos que 1p majora 1q, e denotamos 1p : 1q,quando

k"

i=1

pi ,k

"

i=1

qi, 8k. (8.8)

O resultado de Nielsen [Nie] é que se 1* : 1!, então existe uma estra-tégia de LOCC capaz de converter |!) em |*). Se não é permitida autilização de outros sistemas quântico auxiliares9, o critério é aindamais restritivo: se a majoração for estrita (quer dizer, para algumk a desigualdade em (8.8) é estrita), não apenas existe estratégiade LOCC para converter |!) em |*), como não existe estratégia deLOCC capaz de converter |*) em |!).

Interessante entender que a relação de majoração impõe uma or-dem parcial nos vetores de probabilidades e que o resultado discutidoacima mostra que essa ordem parcial é levada ao emaranhamento dosestados quânticos de duas parte. A melhor forma de entender por queo ordenamento é parcial (e quando ele é total) parece ser resolver oseguinte:

Exercício 8.18. Mantendo a notação 1p e 1q para vetores de probabi-lidade, 1* e 1! para vetores de Schmidt dos estados |*) e |!), respecti-vamente:

1. Obtenha 1p e 1q de forma que nem 1p : 1q, nem 1q : 1p;

2. Mostre que se 1p = (p1, p2) e 1q = (q1, q2), necessariamente ou1p : 1q, ou 1q : 1p; Este item pode ser enunciado como: dis-tribuições de probabilidade de Bernoulli10 são completamenteordenadas pela relação de majoração;

9E a proópria definição de LOCC os descarta; aqui estamos apenas sendoenfáticos e o leitor curioso pode encontrar na ref. [JP] o motivo.

10Aquelas onde o espaço amostral tem apenas dois elementos.

[SEC. 8.3: MAIS QBITS 113

3. Use 1* = 1p e 1! = 1q do item 1 para exibir estados quânticosde sistemas de duas partes que não podem ser conectados porLOCC em nenhum sentido;

4. Mostre que os estados puros de dois qubits são completamenteordenados com respeito ao emaranhamento.

Com relação à geometria dos estados fisicamente distintos de sis-temas bipartidos, sugerimos o exercício a seguir.

Exercício 8.19. Considere agora dois espaços projetivos complexos,CPm e CPn. Construa o mergulho de Segre destes dois espaços, ouseja, construa uma aplicação semelhante à (8.2) no espaço projetivocom a dimensão adequada e faça a relação deste com os estados pro-duto de um sistema quântico de duas partes.

Exercício 8.20. Releia a subsecção sobre evolução temporal de doisqbits, 8.1.4, fazendo sua generalização para sistemas bipartidos quais-quer.

É claro que, ao especificar como considerar dois sistemas conjun-tamente, estamos também dando a receita para considerar qualquerquantidade de sistemas como partes de um sistema maior.

8.3 Mais Qbits

Seguindo com a estratégia de fixar conceitos com os exemplos maissimples, podemos passar ao caso onde juntamos mais qbits.

Se tivéssemos três bits clássicos, teríamos 23 = 8 configuraçõespossíveis:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Aqueles acostumados com a notação binária11 perceberam que estasconfigurações correspondem a “contar” de 0 a 7, sempre usando trêsalgarismos binários.

Quanticamente, estas configurações se tornam uma base orto-normal para o espaço de estados, que pode ser identificado com

11E há 10 tipo de pessoas no mundo: as que entendem binários e as outras.


C8 2= C21C21C2, para o qual também usamos a seguinte notação12:C

C2D.3.A generalização é imediata e o espaço de estados para n qbits será

isomorfo aC

C2D.n 2= C2n

.

8.3.1 Emaranhamento: W vs GHZ

Em vários sentidos, há vários emaranhamentos quando temos maisque dois qbits. Começando pelo caso de três qbits, onde chama-mos as partes de A, B e C, podemos reconhecer três bipartições:{{A, B}, {C}}, {{A, C}, {B}} e {{B, C}, {A}}, além da tripartição{{A}, {B}, {C}}. É justo perguntar a cada estado se ele é emara-nhado ou fatorável com respeito a cada uma dessas possíveis parti-ções. É claro que se um estado for fatorável com respeito à “partiçãocompleta”, {{A}, {B}, {C}}, também será com respeito a todas asdemais partições, mas a recíproca só é verdeira se entendida comcuidado (veja exercício 8.22).

Mas também há mais de um emaranhamento de uma forma maissutil. Para dois qbits, os estados de Bell e seus equivalentes locais13

são maximamente emaranhados. Em particular, se tivermos umafonte de estados de Bell, é possível gerar qualquer outro estado uti-lizando esta fonte e LOCC. Isso muda completamente quando maispartes são envolvidas. Há dois estados (além de seus equivalenteslocais) que podem, com bastante justiça, ser chamados de maxima-mente emaranhados. Apesar de tal justiça, nenhum deles retém apropriedade que basta uma fonte deles para podermos gerar qual-quer estado de três qbits aplicando LOCC [DVC]. Em particular,tendo uma fonte de um deles, não é possível obter o outro. Seusexemplos típicos são:

|GHZ) =1'2

(|000) + |111)), (8.9a)

|W ) =1'3

(|001) + |010) + |100)), (8.9b)

cujos nomes são homenagens a Greenberger, Horne e Zeilinger [GHZ]e a Wootters [CKW].

12Uma espécie de potência tensorial.13Ou seja, aqueles que podem ser obtidos aplicando unitárias locais a eles.

[SEC. 8.3: MAIS QBITS 115

Exercício 8.21. Diferença entre |GHZ) e |W )

1. Mostre que cada qbit de |GHZ) está emaranhado com os de-mais.

2. Qual o estado dos qbits A e B após cada possível resultado deum teste Z no qbit C? Há emaranhamento nestes estados?

3. Mostre que cada qbit de |W ) está emaranhado com os demais.

4. Qual o estado dos qbits A e B após cada possível resultado deum teste Z no qbit C? Há emaranhamento nestes estados?

Para um número maior de qbits teremos ainda mais partiçõespossíveis e pode-se falar de emaranhamento com respeito a cada umadelas. Naturalmente, se uma partição R é um refinamento14 de umapartição P , um estado R-fatorável será também P-fatorável; usando acontrapositiva, um estado P-emaranhado é também R-emaranhado.Além disso, os estados (8.9) são imediatamente generalizados, alémde ganharem companhia de outras famílias também interessantes.

8.3.2 Geometria

Aumentando o número de partes, aumenta a riqueza das construçõesgeométricas encontradas. Começando por três qbits, deve ser claroque os estados fisicamente distintos formam um CP7. Para ganharintuição, vale se concentrar no seguinte:

Exercício 8.22. 1. Mostre que os estados {{A, B}, {C}}-fatorá-veis correspondem à imagem do mergulho de Segre CP3!CP1 #CP7.

2. Mostre que todo estado simultaneamente fatorável com respeitoàs partições {{A, B}, {C}} e {{A, C}, {B}} é também fatorávelcom respeito às partições {{A}, {B, C}} e {{A}, {B}, {C}}

3. Interprete o item anterior em termos das posições relativas dasimagens dos diferentes mergulhos de Segre envolvidos.

14Cada conjunto da partição P é união de conjuntos da partição R.


4. Obtenha a dimensão de cada conjunto envolvido nos itens an-teriores.

Exercício 8.23. Pense um pouco nos diversos mergulhos de Segreenvolvidos no caso de quatro qubits.

8.3.3 Vários spins 12

Vamos agora retomar a discussão da subsecção 8.1.3. Para entendermelhor o processo, vamos passar a discussão para três partículas despin 1

2 . É importante destacar que estamos sempre considerandopartículas distinguíveis15.

Nosso problema é entender como o sistema se comporta perante aação de operadores coletivos. Se nossos três spins são rotulados A, Be C, queremos generalizar a equação (8.4), ou seja, vamos considerar

S&u = SA&u + SB

&u + SC&u , (8.10)

onde SA&u = S&u 1 I 1 I, SB

&u = I 1 S&u 1 I e SC&u = I 1 I 1 S&u, e

procederíamos de maneira análoga16 para mais spins.O que pretendemos mostrar é que a decomposição dada pela ex-

pressão (8.5) para dois spins 12 , terá a forma

C2 1 C2 1 C2 2= C2 9 C2 9 C4. (8.11)

A melhor maneira de entender tal decomposição (e a formação doschamados multipletos) é definir os operadores de levantamento e a-baixamento. Para cada spin 1

2 eles são dados por /+ = /x + i/y e/" = /x " i/y. Matricialmente, temos

/+ =@

0 10 0

A

e /" =@

0 01 0

A

.

Os operadores coletivos serão dados por

J+ = /A+ + /B

+ + /C+ e J" = /A

" + /B" + /C

" .

15Outras questões, também interessantes, aparecem quando consideramos par-tículas indistinguíveis em mecânica quântica, mas não vamos abordar estas ques-tões aqui.

16Chamamos SP!u

de extensão trivial de S!u, agindo na parte P .

[SEC. 8.4: COMPONDO OU DECOMPONDO? 117

Exercício 8.24. Mostre que J"! = J+.

Agora vamos explorar os operadores de levantamento e abaixa-mento para verificar explicitamente a decomposição (8.11):

Exercício 8.25. Não vamos nos preocupar com normalização nesteexercício. Sejam |*1) = |111), |*2) = |011) " |101), |*3) = |011) +|101) " 2|110).

1. Mostre que J"|*i) = 0, i = 1, 2, 3;

2. Calcule J+k|*i);

3. Verifique que todos os vetores obtidos neste exercício são or-togonais e explique a relação dos cálculos que você fez com adecomposição (8.11).

Ou ainda, de uma maneira mais simétrica:

Exercício 8.26. Sejam |!1) = |111), |!+) = |011)+-|101)+-2|110),|!") = |011) + -2|101) + -|110), onde -3 = 1.

1. Mostre que J"|!i) = 0, i = 1, 2, 3;

2. Calcule J+k|!i);

3. Verifique que todos os vetores obtidos neste exercício são or-togonais e explique a relação dos cálculos que você fez com adecomposição (8.11) e com o exercício 8.25.

Você pode agora tentar generalizar o que foi apresentado nos e-xercícios 8.25 e 8.26 e, em especial, mostrar que

C

C2D.4 2= C9 C9 C3 9 C3 9 C3 9 C5. (8.12)

8.4 Compondo ou Decompondo?

Até agora usamos uma abordagem “de baixo para cima”, ou seja,começamos com dois sistemas e resolvemos a questão de como tratá-los conjuntamente. Mas também cabe encarar a situação “de cimapara baixo”, começando por um único sistema e perguntando comopoderemos dividi-lo em subsistemas.


Para responder essa questão fazemos uma exigência de consistên-cia: se tratarmos as partes conjuntamente, devemos reobter o todo. Eassim, como a dimensão do produto tensorial de dois espaços vetori-ais é o produto de suas dimensões, as possíveis decomposições devemrespeitar a decomposição em fatores primos da dimensão do espaçode estados do sistema “grande”. Dessa forma, para alguns casos há,nesse sentido, uma única decomposição:

C4 2= C2 1 C2,

C6 2= C2 1 C3,...

Cpq 2= Cp 1 Cq,

para primos (não necessariamente distintos) p e q. Mas para inteiros“mais compostos”, já temos algo mais rico, como

C12 2= C2 1 C6 2= C2 1 C2 1 C3 2= C4 1 C3,

enquanto sistemas com espaços de estado de dimensão prima são, aesse respeito, atômicos17.

É interessante notar que essa condição relacionada às dimensõesrestringe as possíveis “fatorações tensoriais”, mas apenas as deter-mina a menos de isomorfismos. É comum chamarmos duas fatoraçõesdistintas (mesmo que em espaços de mesmas dimensões) de diferentesestruturas de produto tensorial (do inglês tensor product structures,TPS), como definido na referência [ZLL]. Primeiro devemos entendermelhor o que consideramos duas estruturas distintas e com isso po-demos apresentar uma receita de como obter estruturas de produtotensorial em um espaço vetorial de dimensão composta.

Em mecânica quântica, podemos restringir nossa discussão a basesortonormais. Vamos fazer a discussão nesses termos, em benefício doleitor acostumado. Se é dada uma estrutura de produto tensorial daforma

Cmn 2= Cm 1 Cn, (8.13)

onde não necessariamente m e n são primos18, podemos escolher17No sentido original da palavra: indivisíveis.18Ou seja, estamos preocupados em como fazer uma separação; se m ou n não

for primo, o processo pode ainda ser continuado.

[SEC. 8.5: UM POUQUINHO MAIS DE FÍSICA 119

bases ortonormais para cada fator e teremos a base produto, tam-bém ortonormal, para Cmn. Podemos inverter este processo e assimobter diferentes TPS: escolhidos uma base ortonormal para Cmn eum ordenamento para essa base, seus vetores poderão ser numerados{|eij)}, com i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Podemos então declararque |eij) = |'i) 1 |,j), com {|'i)} uma base ortonormal para umfator Cm e {|,j)} uma base ortonormal para o outro fator Cn. Duasescolhas assim feitas gerarão estruturas de produto tensorial equi-valentes se a unitária, U , de Cmn, que leva uma base ordenada emoutra, for decomponível, i.e.: U = UA 1UB, com respeito a uma dasestruturas19.

É interessante notar que as propriedades de emaranhamento sósão definidas quando uma estrutura de produto tensorial é apresen-tada. Assim, estados produto em uma TPS podem ser emaranhadosem outra e vice-versa. De fato, a construção acima mostra que paratodo vetor de estado existe uma TPS com respeito à qual ele é pro-duto. Se, além disso, reinterpretarmos o fato de um vetor genérico seremaranhado (exercícios 8.7 e 8.19), como com respeito a uma TPSgenérica aquele vetor é emaranhado, somos levados a concluir queemaranhamento não é uma propriedade intrínseca de estados quân-ticos, mas dependem da TPS subentendida [TDV].

Exercício 8.27. Defina uma TPS a partir da base de Bell, eq. (8.1).Mostre que, com respeito a essa TPS, os vetores |ij) são maxima-mente emaranhados.

8.5 Um pouquinho mais de Física

Vamos seguir Einstein e Feynman. Feynman afirma que o experi-mento de fenda dupla contém o único mistério da mecânica quântica[FLS], enquanto Einstein tem uma citação famosa: “você sempre devefazer as coisas da maneira mais simples possível”20.

Assim, vamos voltar ao interferômetro de fenda dupla, mas agoraconsiderando experimentos com um sistema auxiliar. Este sistemaauxiliar tem como objetivo registrar “por qual fenda” passa a partí-

19Por que é suficiente ser decomponível com respeito a uma das estruturas?20A citação continua: “Nunca mais simples que isso”.


cula interferométrica. Para ser o mais simples possível, considerare-mos os dois “estados de fenda”, |d) e |e), enquanto o “ponteiro” queregistra por qual fenda a partícula passou terá seu espaço de estadosgerado por |;) e |<). A dinâmica deste sistema será considerada deforma ideal: o estado inicial do “ponteiro” será

|=) =1'2

(|;) + |<)),

com a evolução temporal sendo condicionada ao estado de fenda:

|d) 1 |=) $"# |d) 1 |;), (8.14a)|e) 1 |=) $"# |e) 1 |<). (8.14b)

Ao considerar que a partícula em superposição de igual peso dos doisestados de fenda interagiu com o “discriminador de alternativas”,teremos a evolução:

1'2

(|d) + |e)) 1 |=) $"#1'2

(|d,;) + |e,<)), (8.14c)

onde o estado final é emaranhado e já usamos uma notação maiscompactada.

Já interpretamos anteriormente que o padrão de inferferência évisto quando consideramos uma medição que depende de algum pa-râmetro. Por exemplo, uma medição projetiva com

"()) = |))+)|, onde |)) =1'2

C

|d) + ei$|e)D

,

realizada no estado 1+2(|d) + |e)) terá sucesso com probabilidade

p()) =12

(+d| + +e|)"())(|d) + |e)) =12

(1 + cos)) = cos2 )

2, (8.15)

típica de um padrão de interferência.Se agora consideramos o projetor "()) 1 I e o estado final de

(8.14), obtemos

p()) =12

(+d,;| + +e,<|)"()) 1 I (|d,;) + |e,<)) =12

, (8.16)

[SEC. 8.5: UM POUQUINHO MAIS DE FÍSICA 121

e o padrão de interferência se foi.Uma boa maneira de interpretar esse resultado é que o padrão

de interferência presente em (8.15) é fruto da impossibilidade dese distinguir entre as alternativas interferométricas (nas palavras deFeynman, somam-se amplitudes, para depois obter probabilidades),enquanto (8.14) permite esta discriminação e com isso perde-se o pa-drão de interferência, restando uma soma de alternativas clássicas(8.16).

Alguns resultados interessantes como a teleportação de estadosquânticos, a distribuição quântica de chaves e os algoritmos de Deutsch,Shor e Grover podem ser entendidos com o tanto de mecânica quân-tica já estudado até aqui [Ter07a].

Outro assunto que permeou este capítulo foi a adição de momen-tum angular. Vimos como considerar operações conjuntas sobre vá-rias partículas de spin 1

2 faz com que o espaço de estados se decompo-nha naturalmente em vários multipletos. Em especial, a interpretaçãonormalmente dada à decomposição (8.5) é que a soma de dois spins 1

2dá origem a um spin 0 (o singleto) e um spin 1 (o tripleto, associadoao C3 na fórmula). Da mesma forma, (8.11) será lida como a somade três spins 1

2 dá origem a dois spins 12 coletivos, e mais um spin

32 , associado ao C4 presente na decomposição. Por fim, a expressão(8.12) se lê como na soma de quatro spins 1

2 gera dois singletos (spins0) distintos, mais três sistemas de três níveis (spins 1) e um sistemade cinco níveis (spin 2).

De maneira mais geral, ao somar um spin j a um spin l, obtemosos possíveis spins entre |j " l| e j + l, respeitando a paridade dosmultipletos (ou seja, ou são todos sistemas com um número par deníveis, ou todos com um número ímpar). E essa soma é associativa, ouseja, podemos reobter o resultado de (8.12) somando os multipletosobtidos na (8.5).

Capítulo 9

Operador Densidade

Formulamos a Mecânica Quântica usando a linguagem de vetores deestado. Uma formulação alternativa e mais geral é possível usandouma ferramenta conhecida como operador densidade ou matriz den-sidade [CDL].

O operador densidade é em geral usado para indicar que nossoconhecimento é incompleto devido às imperfeições na preparação dosestados, ou devido à impossibilidade de conhecimento completo doestado quântico do sistema, o que acontece quando o estado de umsistema composto é emaranhado.

9.1 Operador Densidade como Ponto dePartida

Nessa seção vamos generalizar um pouco mais a definição de estadode um sistema físico.

Postulado 9.1 (Estados do sistema). A cada sistema quântico estáassociado um espaço vetorial sobre C, que denotaremos por E. Osestados do sistema são representados por operadores positivos semi-definidos de traço um em E, que chamaremos de operadores densi-dade.

Novamente, nos preocuparemos apenas com os casos de dimensão

122

[SEC. 9.1: OPERADOR DENSIDADE COMO PONTO DE PARTIDA 123

finita. O conjunto de todos os operadores densidade de um sistemafísico será denotado por D(E). Veremos em breve que a definição deestado dada em 7.1 é um caso particular da definição 9.1 acima.

Uma característica importante do conjunto de operadores densi-dade que o torna adequado para ser o conjunto de estados de umsistema é a convexidade.

Definição 9.1. Um conjunto C em um espaço vetorial real V é cha-mado convexo se dados dois vetores v, u % C os pontos

w = %v + (1 " %)u , % % [0, 1],

também pertencem a C. O ponto w é chamado combinação convexade u e v.

Geometricamente, um conjunto C é convexo se dados dois pontosem C o segmento de reta que os liga está contido em C.

Exemplo 9.1. Um triângulo e um quadrado são conjuntos convexos,assim como uma pirâmide e um cubo. Cada elemento pode ser escritocomo soma covexa dos vértices.

Exemplo 9.2. O intervalo aberto (a, b) e o intervalo fechado [a, b]em R são conjuntos convexos. Também são conjuntos convexos osdiscos abertos e fechados em R2. Mais geralmente, a bola fechada ea bola aberta de raio r em Rn são conjuntos convexos.

Exemplo 9.3. O quadrante em Rn formado por todos os pontos cujascoordenadas são positivas é um conjunto convexo.

Exemplo 9.4. Uma estrela é um exemplo de um conjunto que nãoé convexo: os segmentos de reta que ligam as pontas da estrela estãofora dela.

Teorema 9.1. O conjunto de operadores densidade de um sistemafísico é um conjunto convexo.

Demonstração. Dados +1, +2 % D(E) e p % [0, 1] temos que

+ = p+1 + (1 " p)+2

124 [CAP. 9: OPERADOR DENSIDADE

é um operador positivo pois

+* |+| *) = p+* |+1| *) + (1 " p)+* |+2| *) , 0.

Além disso, + possui traço um, uma vez que

Tr+ = pTr+1 + (1 " p)Tr+2 = 1.

Logo + também é um operador densidade, o que mostra que D(E) éconvexo.

Alguns conjuntos convexos possuem pontos especiais que não po-dem ser escritos como soma convexa de outros pontos.

Definição 9.2. Um elemento de um conjunto convexo é chamadoextremal se não pode ser escrito como soma convexa de outros ele-mentos de C.

Exemplo 9.5. Os vértices são pontos extremais do quadrado, docubo e do triângulo, e os pontos na esfera de raio r são os pontosextremais da bola fechada de raio r. A bola aberta de raio r e oquadrante em Rn formado por todos os pontos cujas coordenadas sãopositivas são exemplos de conjuntos convexos sem pontos extremais.

Teorema 9.2. Os pontos extremais de D(E) são os projetores sobresubespaços unidimensionais.

Demonstração. Todo operador + positivo de traço um pode ser escritoem decomposição espectral

+ ="

i

piPi, pi , 0,"

i

pi = 1,

em que cada Pi é um projetor sobre um subespaço de dimensão um.Desse modo, todo operador densidade pode ser escrito como somaconvexa de projetores. Por outro lado, um projetor em um subespaçounidimensional nunca pode ser escrito como soma convexa de outros.Logo os pontos extremais de D(E) são os projetores Pi.

Definição 9.3. Os pontos extremais do conjunto D(E) são chamadosestados puros do sistema quântico.

[SEC. 9.1: OPERADOR DENSIDADE COMO PONTO DE PARTIDA 125

Os estados que não são puros são chamados mistos e sempre po-dem ser escritos como soma convexa de estados puros. Essa decompo-sição, no entanto, não é única, e existem muitas maneiras diferentesde escrever um estado misto como soma convexa de estados puros.

Para recuperarmos a definição 7.1, observamos que a cada projetorunidimensional está associado de maneira única uma direção em E.Desse modo, podemos identificar os estados puros de um sistemaquântico com as classes de equivalência de vetores unitários em Epela relação

|*) 2 ei!|*), ! % R,

uma vez que |*) e ei!|*) geram o mesmo subespaço e portanto o pro-jetor associado a eles é o mesmo. Assim, um estado puro do sistema écaracterizado por uma reta complexa passando pela origem em E quecomo já vimos, são os pontos do espaço projetivo CPd"1. Essa é umadas vantagens de se representar estados usando operadores densidade,pois a cada estado físico corresponde apenas um operador.

Os estados puros, pontos extremais de D(E), são os estados queforam considerados nos capítulos anteriores. Existem muitos opera-dores densidade em D(E) que não são puros. Em breve veremos porque precisamos deles.

9.1.1 Testes e Operadores Densidade

Por enquanto ainda não vamos alterar a definição de teste 7.2, masdevemos modificar o postulado 7.1 para ajustá-lo à nova definição deestado.

Postulado 9.2. Sejam D(E) o conjunto de operadores densidadede um sistema físico, + % D(E) um estado e E =

G

i Ei um teste.Sejam ainda Pi : E # Ei os projetores ortogonais sobre cada Ei.A probabilidade de obter o resultado i é dada por pi = Tr(+Pi) e sea alternativa i for obtida, após o teste o sistema será descrito pelo

estado +i =Pi+Pi

Tr(Pi+Pi).

O postulado acima concorda com o postulado 7.1: quando + re-presenta um estado puro, ou seja, quando + = |*)+*| temos quepi = Tr(+Pi) = +* |Pi| *), e

+i = |*i)+*i|,


em que

|*i) =Pi|*)-Pi|*)-

.

Exercício 9.1. Demonstre as afirmações acima.

Exercício 9.2. Mostre que a reprodutibilidade dos testes tambémvale com o postulado 9.2.

Como vimos no capítulo 7, testes estão associados à decomposi-ção espectral de operadores auto-adjuntos. Dado um operador auto-adjunto A, os resultados possíveis para cada medição são dados pelosautovalores de A, que serão denotados por ai. As probabilidades con-tinuam iguais: pi = Tr(+Pi). O valor esperado de A em um estado +é

+A) ="

i

piai ="

i

aiTr(+Pi) = Tr

-

+

-

"

i

aiPi

..

= Tr(+A).

(9.1)

Exercício 9.3. Mostre que se + representa um estado puro, +A) dadopela equação acima concorda com o que foi provado no capítulo 7 paraum estado |*):

+A) = +*|A|*).

9.1.2 Estados Mistos de um Qbit

Um estado geral de um qbit é representado por um operador den-sidade agindo em C2. O conjunto dos operadores hermitianos é umespaço vetorial real e uma base para esse espaço é formado pelosoperadores de Pauli juntamente com o operador identidade I. Dessemodo, um operador densidade de um qbit pode ser sempre escrito naforma

+ =12

(I + a/1 + b/2 + c/3). (9.2a)

O coeficiente de I deve ser 1/2 porque ela é a única matriz da base quetem traço não nulo, igual a dois, e Tr(+) = 1. Agora devemos imporcondições ao vetor

C

a b cD

para que o operador seja positivo.

[SEC. 9.2: OPERADOR DENSIDADE COMO IGNORÂNCIA CLÁSSICA 127

Em forma matricial temos

+ =12

@

1 + c a " iba + ib 1 " c

A

. (9.2b)

Para que + seja uma matriz positiva é necessário e suficiente quedet(+) , 0, uma vez que Tr(+) , 0. Essa condição é equivalente a

a2 + b2 + c2 . 1. (9.2c)

Logo podemos fazer uma associação bijetiva entre operadores den-sidade de um qbit e pontos na bola de raio um em R3, comumentechamada bola de Bloch. Os pontos na esfera S2 correspondem aosoperadores que possuem determinante igual a zero, que nesse casosão exatamente os estados puros. Essa associação coincide com a quefizemos utilizando a fibração de Hopf na seção 6.1.5.

9.2 Operador Densidade como fruto daIgnorância Clássica

Vamos entender agora porque é necessário aumentarmos o espaçode estados para incluir estados mistos. Suponhamos que um aparatoprepara vários exemplares de um sistema físico cujo espaço de estadosé E. Suponhamos também que a preparação pode ser feita em doisestados puros distintos: com probabilidade p o sistema é preparado noestado +1 = |*1)+*1| e com probabilidade 1"p o sistema é preparadono estado +2 = |*2)+*2|. Quando um dos exemplares é liberado peloaparato não sabemos em qual estado ele foi preparado. Nesse cenário,a descrição do estado liberado pelo aparato é feita de acordo com oseguinte postulado

Postulado 9.3. Se um sistema físico foi preparado no estado +1 comprobabilidade p ou no estado +2 com probabilidade 1"p então a matrizdensidade que o descreve é

+ = p+1 + (1 " p)+2.

Se realizarmos um teste com alternativas clássicas i no sistemaconsiderado acima devemos obter a resposta i com probabilidade pi =


pp1i + (1 " p)p2

i em que pji é a probabilidade de obtermos i no estado

+j , j = 1, 2. De fato

pi = Tr(+Pi) = pTr(+1Pi) + (1 " p)Tr(+2Pi) = pp1i + (1 " p)p2

i .

9.3 Operador Densidade como fruto daIgnorância Quântica

A seção anterior mostra que nos casos em que não possuímos infor-mação completa sobre o sistema ele será representado por um estadomisto. Existe outra situação em que, mesmo começando com um es-tado puro, somos levados a considerar estados mistos: quando temosacesso a apenas um dos subsistemas de um sistema composto.

Se o espaço de estados do sistema A é EA e o espaço de estadosdo sistema B é EB então os estados do sistema composto AB sãorepresentados por operadores densidade em EA 1EB . Podemos usaro isomorfismo

! : L(EA) 1 L(EB) "# L(EA 1 EB)

definido para vetores decomponíveis da forma

!(OA 1 OB)|vA) 1 |vB) = OA|vA) 1 OB|vB)

e estendido por linearidade para os outros vetores. Esse é um isomor-fismo que preserva traço e positividade, de modo que os operadoresdensidade em EA 1 EB podem ser vistos como operadores positivosde traço um em L(EA) 1 L(EB).

Seria adequado associar um estado, e portanto um operador den-sidade, a cada sistema simples, especialmente em um cenário ondeas partes A e B estejam separadas espacialmente. Para isso vamosprecisar da definição de traço parcial 2.11.

Postulado 9.4 (Operadores densidade reduzidos). Dado o operadordensidade + que descreve um sistema quântico composto AB, o ope-rador densidade +A que descreve o sistema A é dado por

+A = TrB(+),

[SEC. 9.3: OPERADOR DENSIDADE COMO IGNORÂNCIA QUÂNTICA 129

e o operador +B que descreve o sistema B é dado por

+B = TrA(+).

O operador +A é chamado operador densidade reduzido do sistema Ae +B é chamado operador densidade reduzido do sistema B.

Exercício 9.4. Seja + o operador densidade associado a um sistemacomposto AB e +A o operador densidade reduzido associado à parteA. Mostre que as probabilidades para o teste local associado ao ope-rador O 1 I realizado em + são iguais às probabilidades para o testeassociado ao operador O realizado em +A.

Exercício 9.5. Encontre os operadores densidade reduzidos +A e +B

de um sistema de dois qbits que se encontra em um dos estados deBell. Verifique que o estado do sistema composto não é o produtotensorial +A 1 +B.

O exercício acima mostra que, apesar de podermos associar opera-dores densidade +A e +B a um sistema composto descrito pelo estado+, não é sempre verdade que + = +A 1 +B. Além disso, mesmo que +represente um estado puro, +A e +B podem não o ser! De acordo comSchrödinger [Sch], uma outra maneira de expressarmos essa situaçãopeculiar da mecânica quântica é: “The best possible knowledge of awhole does not necessarily include the best possible knowledge of allits parts”. Essa é mais uma surpresa que aparece como consequênciado emaranhamento: para estados emaranhados, mesmo puros, osoperadores densidade reduzidos são sempre mistos.

Teorema 9.3. Um estado puro é fatorável se e somente se os ope-radores densidade reduzidas +A e +B correspondem a estados puros.

Demonstração. Basta utilizarmos a decomposição de Schmidt

|*) ="

i

ai|ii).

Se |*) é fatorável então apenas um coeficiente de Schmidt aj podeser não nulo de modo que +A = |j)+j| e +B = |j)+j| são estados puros.Por outro lado, se dois ou mais coeficientes de Schmidt são não nulosentão temos que

+A ="

i

a2i |i)+i|


é um estado misto.

Corolário 9.4. (da demonstração) Para um estado puro dos sistemade duas partes, os autovalores não nulos de +A e +B são os mesmos,com as mesmas multiplicidades.

9.4 Medições Generalizadas

Agora que já generalizamos a noção de estado, podemos tambémpropor medições generalizadas [NC].

Definição 9.4. Uma medição generalizada será dada por um con-junto {Mi} de operadores de medição no espaço de estados tais que&

i M †i Mi = I, onde I denota o operador identidade. Se o estado do

sistema antes da medição é +, a probabilidade de obter o resultado i édada por pi = Tr

#

Mi+M †i

$

, e caso o resultado i seja obtido, o estado

do sistema após a medição será +i =Mi+M †

i

TrMi+M †i

.

Os operadores M †i Mi são positivos semi-definidos. Desta forma,

uma medição generalizada está associada a uma partição do operadoridentidade em soma de operadores positivos semi-definidos. Por estemotivo, esta definição está ligada ao conceito de medida a valoresem operadores positivos, com a sigla em inglês POVM - medida aquitendo seu sentido matemático usual (e não o sentido físico de uma me-dição). De fato, a definição 9.4 pede um pouco mais que uma POVM,uma vez que os operadores Mi são dados. O conhecimento da POVMpermite obter as probabilidades dos possíveis resultados posteriores,mas não permite definir o estado do sistema após a medição.

Exercício 9.6. Mostre que as medições generalizadas incluem as me-dições projetivas da definição 7.2.

Exemplo 9.6 (Processo de medição para qbits). Sejam {1vi} umconjunto de vetores unitários em R3 e 'i constantes tais que 0 <'i < 1,

&

i '2i = 1 e

"

i

'2i 1vi = 0.

[SEC. 9.4: MEDIÇÕES GENERALIZADAS 131

Então os operadores

Mi ='i'

2(I + 1vi · 1/)

definem um processo de medição para o sistema de um qbit [LBe].

Exemplo 9.7. Particularizando o exemplo anterior,

1v1 = (0, 0, 1),

1v2 =>

"'

32

, 0,"12

?

,

1v3 =>'

32

, 0,"12

?

e '1 = '2 = '3 = 1+3

satisfazem as condições acima e portanto osoperadores associados

M1 =1'6

(I + /z),

M2 =1'6

>

I "'

32

/x "12/z

?

,

M3 =1'6

>

I +'

32

/x "12/z

?

definem um processo de medição para um qbit.

Exercício 9.7. Encontre o POVM relacionado ao processo de medi-ção descrito no exemplo 9.7.

Exercício 9.8. 1. Encontre a probabilidade de encontrarmos ovalor 1 se realizarmos a medição descrita no exemplo 9.7 noestado |+) e o estado do sistema após a medição caso esse re-sultado seja obtido.

2. Seja +1 o operador densidade obtido no item anterior. Mostreque se repetirmos o processo de medição nesse estado a probabi-lidade de obtermos os resultados 2 e 3 é não nula. A condição dereprodutibilidade continua valendo para medições generalizadas?


9.5 Evolução Temporal

Nos capítulos anteriores abordamos a evolução temporal de um sis-tema isolado, dada pela equação de Schrödinger. Agora vamos con-siderar o caso mais geral de evolução temporal [B%].

Vamos estudar os mapas quânticos, que são mapas que levam oconjunto de matrizes densidade nele próprio, de uma maneira quefaça sentido do ponto de vista físico, o que explicaremos melhor maisa frente.

Dado um sistema físico com espaço de estados E de dimensãod, vamos fixar uma base ortonormal em E e representar um opera-dor densidade em D(E) por sua matriz em relação a essa base, quechamaremos matriz densidade.1 Vamos começar com mapas

$ : D(E) "# M(E)+ $"# +%,

tais que $(D(E)) * D(E).A primeira condição que exigimos de um mapa desse tipo é que

ele seja linear. A justificativa para tal restrição é que não queremosque o resultado da operação dependa de como escrevemos uma matrizdensidade como soma convexa de outras. Desse modo temos:

$(p1+1 + p2+2) = p1$(+1) + p2$(+2).

O mapa $ pode ser representado por uma matriz que age emum espaço vetorial de dimensão d2, ou seja, uma matriz d2 ! d2.Usaremos dois índices para indicar as componentes de uma matrizdensidade (d ! d) e quatro índices para indicar as componentes deum mapa agindo no espaço de matrizes densidade (d2 ! d2). Assimtemos:

+%mµ =

"

n'

$mµn'

+n' .

O mapa $ deve levar matrizes densidade em matrizes densidade,ou seja, +% deve ser uma matriz positiva de traço um. Isso implicaque

1Também utilizaremos a notação ' para uma matriz densidade e D(E) parao conjunto de todas as matrizes densidade do sistema.

[SEC. 9.5: EVOLUÇÃO TEMPORAL 133

1. $(+) deve ser autoadjunta:

+% = (+%)† : +%mµ = +%

µm /"

n'

$mµn'

+n' ="

n'

$µm'n

+'n ="

n'

$µm'n

+n' / $mµn'

= $µm'n

.

A última implicação é óbvia quando consideramos $ como ummapa do espaço M(E) em M(E). No entanto, se consideramos$ como um mapa de D(E) em D(E), ela continua válida. Paravermos isso, basta usarmos matrizes com apenas um elementonão nulo, igual a um, na diagonal, e matrizes com apenas umbloco 2 ! 2 não nulo na diagonal, dos tipos

12

@

1 11 1

A

,12

@

1 i"i 1

A

.

2. Tr(+%) = 1 :"

m

+%mm =

"

m

"

n'

$mmn'

+n' = 1.

Como essa equação deve valer para todo +, podemos usar + =|i)+i|, caso em que +n' = #n'#ni, para concluir que

"

m

$mmn'

= 1,

se n = &. Para concluir que"

m

$mmn'

= 0, se n &= &, utilizamos

novamente as matrizes com os blocos mostrados acima.

3. A matriz +% deve ser positiva, ou seja, $ deve levar matrizespositivas em matrizes positivas.

Definição 9.5. Um mapa $ : M(E) "# M(E) é chamado positivose $(+) é positiva para toda matriz positiva +.

Para estudarmos melhor que restrições essas propriedades im-põem ao mapa $, vamos definir a matriz dinâmica associada a $:

Dmnµ'

= $mµn'

.

Em termos da matriz dinâmica as condições acima podem ser dadaspor:


1. +% = (+%)† > D = D†.

2. Tr(+%) = 1 >"

m

Dmnm'

= #n' .

Resta estudar qual é a condição imposta a D pela positividade de$. Vejamos inicialmente o que acontece para estados puros + =|z)+z|, +n' = znz' . Se $ for positivo então +% é positiva, o que implicaque:

0 . +x|+%|x) ="

mµ

xm+%mµxµ =

"

mµ

xm

-

"

n'

znDmnµ'

z'

.

xµ =

= +w|+x|D|x)|w),

em que |w) é o vetor cuja cordenada wn é igual a zn, |x)|w) = |x)1|w)e +w|+x| é o elemento de (E 1 E)! associado a |x)|w). Logo, se $ éum mapa positivo, D deve satisfazer a condição +w|+x|D|x)|w) , 0para todos |w), |x) % E. Essa propriedade é chamada positividadepor blocos.

Para ver que essa condição além de necessária é também suficiente,devemos mostrar que ela implica que +% é positiva também quando+ é um estado misto, o que segue por convexidade. Tomamos + =&

i pi|zi)+zi|, +n' =&

i pi(zi)n(zi)' . Nesse caso,

+x|+%|x) ="

mµ

xm+%mµxµ =

"

mµ

xm

"

n'

Dmnµ'

-

"

i

pi(zi)n(zi)'

.

xµ

="

i

pi

"

mµ

xm

-

"

n'

(zi)nDmnµ'

(zi)'

.

xµ , 0.

Isso prova o seguinte teorema:

Teorema 9.5 (Jamio&kowski). Um mapa linear $ : M(E) "# M(E)é positivo se e somente se a matriz dinâmica é positiva por blocos.

No entanto, a positividade do mapa $ não é suficiente para queele represente uma operação fisicamente permitida. Suponhamos quenosso sistema seja apenas um subsistema de um sistema maior cujo


espaço de estados é E 1 E%, em que E é o espaço de estados associ-ado ao nosso sistema de interesse e E% é o espaço de estados de umsistema adicional. Gostaríamos que um mapa fisicamente permitidonão só levasse a matriz densidade do nosso sistema em uma matrizdensidade, mas que também o fizesse se considerarmos a operaçãoagindo em E 1 E%. Isso quer dizer que não só $ deve ser um mapapositivo, mas também deve ser positiva toda extensão da forma $1I,em que I é o operador identidade em M(E%).

Definição 9.6. Se o mapa $1 I agindo em M(E 1 E%) é positivo,em que E% é um espaço vetorial de dimensão k, dizemos que $ é ummapa k-positivo. Se $ é um mapa k-positivo para todo k % N então$ é chamado um mapa completamente positivo.

A exigência que impomos agora em $ é que ele seja um mapacompletamente positivo. Vejamos que implicação essa propriedadetem sobre a matriz dinâmica correspondente. Como ela é uma matrizd2!d2, podemos visualizá-la como uma matriz agindo em um espaçovetorial de dimensão d2, que pode ser identificado com E 1E. Comoela é hermitiana, podemos escrevê-la em decomposição espectral:2

D ="

i

di|(i)+(i|, Dmnµ'

="

i

di(imn(i

µ' .

Tomamos um estado puro em um espaço de estados estendido,

+ % M(E 1 E%), +mm!µµ! = zmm!zµµ! .

e aplicamos o mapa estendido $1 I a +:

+%mm!µµ! =

"

nn!''!

($1 I)mm!µµ!

nn!''!

+nn!''!

="

nn!''!

$mµn'

Im!µ!

n!'!

+nn!''!

="

nn!''!

$mµn'

#m!n!#µ!'!znn!z''!

="

n'

$mµn'

znm!z'µ! ="

n'

"

i

di(imnznm!(i

µ'z'µ! .

2Escrevemos |(i" com dois índices pois estamos usando a estrutura tensorialde E % E.


Agora tomamos um outro vetor |x) % E%1E e testamos se +x|+%|x) ,0 :

+x|+%|x) ="

mm!µµ!

xmm!+%mm!µµ!xµµ!

="

mm!µµ!

xmm!

-

"

n'

"

i

di(imnznm!(i

µ'z'µ!

.

xµµ!

="

i

di

-

"

mm!n

(imnznm!xmm!

.L

M"

µµ!'

(iµ'z'µ!xµµ!

N

O

="

i

di

66666

"

mm!n

(imnznm!xmm!

66666

2

.

Essa quantidade deve ser não-negativa para todo |z) e todo |x) queescolhermos. Isso só acontece se cada um dos di for um número não-negativo, ou seja, se D for uma matriz positiva semi-definida.

Por outro lado, se D é uma matriz positiva e + =&

j pj|zj)+zj |,então vale:

"

mm!µµ!

xmm!+%mm!µµ!xµµ! =

="

i

"

j

dipj

-

"

mm!n

(imnzj

nm!xmm!

.L

M

"

µµ!'

(iµ'zj

'µ!xµµ!

N

O

="

i

"

j

dipj

66666

"

mm!n

(imnzj

nm!xmm!

66666

2

, 0.

Com isso, acabamos de provar o seguinte teorema:

Teorema 9.6 (Choi). Um mapa linear $ é completamente positivose e somente se a matriz dinâmica correspondente é positiva semi-definida.

Uma forma muito útil de caracterizar os mapas completamentepositivos é através da representação de Kraus [Kra].


Teorema 9.7 (Representação de Kraus). Um mapa linear $ é com-pletamente positivo se, e somente se, é da forma

+ $"# +% ="

i

Ai+A†i ,

em que cada Ai é uma matriz quadrada da mesma dimensão de +.Além disso, $ preserva o traço se, e somente se, as matrizes Ai

satisfazem"

i

A†i Ai = I.

Demonstração. Suponhamos que $ seja completamente positivo eseja D a matriz dinâmica associada. Como D é positiva, pode serescrita em decomposição espectral

D ="

i

di|(i)+(i| , di > 0.

Definindo |Ai) ='

di|(i), temos que

D ="

i

|Ai)+Ai|, Dmnµ'

="

i

AimnAi

µ' .

Cada vetor |Ai) % E1E possui d2 coordenadas que indexamos usandodois índices para deixar evidente a estrutura de produto tensorial.Assim podemos identificar cada |Ai) com um operador Ai agindo emE da forma (Ai)mn = Ai

mn. Daí temos:

+%mµ =

"

n'

$mµn'

+n' ="

n'

Dmnµ'

+n' =

"

n'

"

i

AimnAi

µ'+n' ="

n'

"

i

(Ai)mn+n'(Ai)†'µ =

"

i

(Ai+A†i )mµ

/ +% ="

i

Ai+A†i .

Se $ preservar o traço, temos também:

#'n ="

m

Dmnm'

="

i

"

m

(Ai)mn(Ai)m'

="

i

"

m

(Ai)†'m(Ai)mn =

"

i

(A†i Ai)'n,


ou seja,"

i

A†i Ai = I.

Por outro lado, se $(+) =&

i Ai+A†i , então

$1 I(/) ="

i

Ai 1 I(/)A†i 1 I,

que é claramente um mapa positivo.

Na demonstração acima, usamos o fato de que L(E, F ) 7 E!1F ,em que E! denota o espaço dual de E. Como estamos trabalhandoem dimensão finita, vale E! 7 E de modo que L(E, F ) 7 E 1 F .Assim temos L(E) 7 E 1 E e podemos identificar cada vetor |Ai)com um operador Ai.

9.6 Uma Axiomatização Alternativa

Seguindo o caminho de Walter Thirring [Thi], vamos apresentar umaoutra axiomatização para a mecânica quântica, onde os conceitos cen-trais são os observáveis, enquanto estados são apenas as ferramentasque levam estes objetos a seus valores esperados. Para bem apre-ciar este capítulo, assumimos que o leitor já tem uma familiaridademínima com álgebras C!, como aqui apresentado no capítulo 5.

9.6.1 Mecânica Quântica e Álgebras de Operado-res

Até este momento a mecânica quântica foi apresentada com ênfase noconceito de estado, visto inicialmente como um vetor de um espaçovetorial complexo, e depois considerado como um operador densidade.Esta passagem de vetor para operador dá origem a uma visão damecânica quântica baseada fundamentalmente em operadores e nãomais em vetores.

Nessa visão, os observáveis são os elementos hermitianos de umaálgebra C! com unidade, denotada por A; os estados (no sentido damecânica quântica) são os estados da álgebra A, ou seja, funcionais

[SEC. 9.6: UMA AXIOMATIZAÇÃO ALTERNATIVA 139

lineares f tais que f(a!a) , 0 e f(1) = 1. Uma medição do observávela tem seus resultados contidos no espectro do elemento a, denotadopor /(a).

Para deixar o parágrafo acima menos misterioso, vamos identifi-car esses elementos no caso de um qbit. A álgebra A em questão éa álgebra M2(C) das matrizes 2 ! 2 com coeficientes complexos. Osobserváveis, que são os elementos hermitianos de A, correspondem amatrizes tais que (a)T = a, ou seja, tais que as entradas satisfazemai,j = aj,i. Os estados são funcionais positivos e tais que f(1) = 1.Como visto no final do capítulo sobre álgebras, esses funcionais po-dem ser escritos como f(x) = Tr

#

V !f x

$

onde Vf é uma matriz detraço unitário e positiva, ou seja, os estados correspondem exata-mente a matrizes densidade. Um observável como /x, ao ser medido,produz resultados que estão no espectro do elemento /x, que cor-respondem ao seus autovalores (que, nesse caso, sabemos ser "1 e1).

9.6.2 Mas nem é tão novo assim...

Porém nos cabe lembrar que a visão acima, embora o conceito de ál-gebra de operadores tenha sido efetivamente criado após o surgimentoda mecânica quântica, não é exclusividade do mundo quântico: naverdade podemos representar a mecânica clássica da mesma forma.Por exemplo, considere uma partícula que se move na reta, descritapela hamiltoniana

H =p2

2m+ V (q).

Os observáveis típicos nesse caso são posição (q) e momento (p, queestá ligado a velocidade), mas podemos pensar em qualquer funçãodessas variáveis como sendo também um observável. A energia ciné-tica, K = p2

2m é um exemplo. Portanto o conjunto de observáveis é naverdade o conjunto de funções contínuas reais C(R2) = {f : R2 # R};este conjunto é uma álgebra C! com produto definido por (f.g)(x) =f(x)g(x). Mas note então que essa álgebra é comutativa, ao contrárioda álgebra de matrizes que está associada à descrição quântica. Por-tanto podemos dizer que a novidade de fato na passagem do mundo


clássico para o quântico é a troca de uma álgebra de observáveis co-mutativa por uma não-comutativa.

9.7 Mais um bocadinho de Física

Naturalmente, toda essa discussão encontra aplicações diversas. Ope-radores densidade são usados, por exemplo, para descrever os estadosde equilíbrio térmico, fazendo a fronteira da mecânica quântica coma mecânica estatística e também com a termodinâmica.

Mas também podemos encontrar aplicações do postulado 9.3 emáreas como a criptografia. Para ser mais preciso, podemos utilizá-lopara interpretar o protocolo de distribuição quântica de chaves crip-tográficas BB84 [BB84]. Nesse protocolo Ana prepara estados, quesão enviados para Bernardo, que faz um teste. Até aí, nada demais.O interessante é que Ana prepara sempre um de quatro estados deum qbit: {|0), |1), |+), |")}, de maneira equiprovável. Já Bernardofaz sempre um de dois testes: X ou Z. Se considerarmos que o sorteiode Ana corresponde a um par de bits clássicos: o primeiro definindoqual base ela irá usar: X ou Z, e o segundo dizendo qual dos doisestados dessa base ela deve preparar, a mecânica quântica estudadano capítulo 6 é suficiente para dizer que quando o primeiro bit deAna coincide com o bit que Bernardo sorteia para definir o teste queirá usar, o segundo bit de Ana estará completamente correlacionadocom o bit que Bernardo irá extrair deste teste. Por outro lado, se oprimeiro bit de Ana for distinto, o resultado da medição é indepen-dente da preparação. O protocolo segue com Bernardo divulgando,já de posse do resultado, qual dos dois testes ele realizou e Ana, apóscomparar com sua preparação, decide pela aceitação ou descarte dobit obtido. Outras estratégias clássicas de amplificação de privaci-dade e reconciliação de informação são adotadas de forma a geraruma chave privada, utilizando um canal quântico público.

O ponto central, não para a criptografia, mas para a física quequeremos discutir aqui, está em considerar todo o processo de Anacomo uma preparação de estado. De maneira bem geral (depois va-mos incluir a equiprobabilidade), o qbit enviado por Ana pode ser

[SEC. 9.7: MAIS UM BOCADINHO DE FÍSICA 141

descrito por

+ = p(X , +)|+)++| + p(X ,")|")+"| + p(Z, 0)|0)+0| + p(Z, 1)|1)+1|,(9.3)

que pode ser reescrito como

+ = p(X ) (p(+|X )|+)++| + p("|X )|")+"|) ++ p(Z) (p(0|Z)|0)+0| + p(1|Z)|1)+1|) (9.4a)= p(X ) +X + p(Z) +Z . (9.4b)

Usando a imagem da bola do Bloch, +X é um ponto no segmento queune |+)++| e |")+"|, ambos no equador da esfera, enquanto +Z é umponto no eixo que une os polos |0)+0| e |1)+1|.

Se usássemos +X ou +Z , exclusivamente, no protocolo descritoanteriormente, não haveria segredo algum, pois conhecedor da estra-tégia utilizada, qualquer espião poderia fazer o teste correspondente,para depois enviar o estado que ele tivesse após a medição para Ber-nardo. O interessante é que, ao exigirmos também equiprobabilidade,estaremos na intersecção dos dois segmentos, ou seja

+X = +Z ,

e consequentemente

+ = +X = +Z =12

I.

Moral da história, do ponto de vista de descrição de estado, ouainda, se alguém fosse usar os bits que Ana prepara, sem nunca maisvoltar a se comunicar com ela, teria o estado maximamente mistoem mãos. Ainda mais interessante: a discussão acima mostra trêsmaneiras distintas de Ana “preparar o estado maximamente misto”:+X , +Z e +. Existem ainda várias outras. O interessante é que apreparação (9.3), aliada ao conhecimento que Bernardo tem dela e àpossibilidade dele se comunicar com Ana, permite o estabelecimentoda chave.

Aqui fizemos toda essa discussão em termos de ignorância clássica(sec. 9.2), mas você pode refraseá-lo em termos de ignorância quân-tica (sec. 9.3) e ver que, nesse caso, o emaranhamento entre Ana eBernardo (antes que ele fizesse a medição) desempenharia um papelinteressante.

Capítulo 10

Sistemas QuânticosCompostos - bis

Agora que já temos uma definição mais geral de estados e mediçõesquânticos, podemos examinar com outros olhos as correlações pre-sentes em sistemas compostos. Mantendo o espírito do texto, vamosabordar vários assuntos, alguns deles sob intensa investigação atual,começando pelo caso mais simples e introduzindo generalidade e com-plexidade posteriormente. Não poderemos1 nos aprofundar em todosesses assuntos. Vemos isso como um convite ao leitor para cuidar deseu próprio aprofundamento, tornando-se assim um pesquisador doassunto2.

10.1 Dois Qbits

Já sabemos que o espaço de estados para dois qbits é isomorfo aC4 2= C2 1 C2, com cada C2 correspondendo ao espaço de estadosde um qbit. Da mesma forma, sabemos os estados, propriamenteditos, são dados por D

C

C2 1 C2D

, um conjunto convexo, fechado,de dimensão real 15, contido no espaço vetorial real dos operadoresauto-adjuntos em C4.

1Por limitação de espaço, de tempo e mesmo de conhecimento.2Seja para saciar sua curiosidade, seja como atividade profissional.

142


Exercício 10.1. Prove as afirmações acima.

Da mesma forma que no capítulo 8 se mostrava importante enten-der os estados de sistemas compostos que os tornavam independentes,ou seja, aqueles onde os resultados de qualquer medição em uma parteeram (estatisticamente) independentes de qualquer medição na outra,queremos entender, com a visão mais geral de estados, aqueles queretêm esta propriedade.

Exercício 10.2. Mostre que um estado +AB de um sistema de doisqbits gera resultados independentes para medições locais se, e somentese, for decomponível, i.e.: +AB = /A 1 3B. (Sugestão: os resultadosde qualquer medição local na parte A são descritos por +A = TrB+AB.Pense no estado reduzido de uma das partes condicionado ao resul-tado de uma medição na outra.)

Agora a convexidade de D(E) desempenha um papel importante:

Exercício 10.3. Mostre que + = 12 (|01)+01| + |10)+10|) não é de-

componível. (Sugestão: novamente, pense no estado de uma partecondicionado ao resultado de uma medição na outra.)

O estado descrito no exercício 10.3 é um estado quântico, masas correlações que ele descreve não. Podemos pensar vários sistemaclássicos com correlações equivalentes. Se nos restringirmos a medi-ções projetivas na base Z, temos dois bits com a condição de soma1, distribuídos de maneira equiprovável. Podemos considerar que osegundo bit é o resultado de aplicar a operação NOT ao primeiro3.Se fizermos medições em outras bases, ou mesmo medições generali-zadas, o resultado será ainda menos correlacionado.

Geometricamente, o exercício 10.3 mostra que o conjunto dos es-tados produto (aqueles descritos por operadores densidade decom-poníveis) não é convexo. O Postulado 9.3 implica que um operador

3Uma forma lúdica de descrever essas correlações é pensar no “mundo dasfiguras de baralho”, onde os habitantes não têm pés, mas sim cabeças simétricas.Se um cara ou coroa é disputado, com a moeda caindo sobre o tampo de vidrode uma mesa, situada no plano “equatorial” (aquele que corta a “cintura” dasfiguras), teremos uma das cabeças vendo o resultado cara, a outra coroa, deforma equiprovável. Claro que outra historinha que pode ser recordada é a dassemi-moedas e das faces do semi-dado, apresentada no capítulo 8.

144 [CAP. 10: SISTEMAS QUÂNTICOS COMPOSTOS - BIS

densidade da forma

+AB ="

i

pi+Ai 1 +B

i (10.1)

gera probabilidades conjuntas para medições em A e B que podemser descritas classicamente. Sendo mais explícito: se {Mj} são opera-dores de medição no sistema A, {Nk} são operadores de medição nosistema B, então {Mj 1 Nk} são operadores de medição no sistemacomposto (verifique!). Se tal processo de medição é aplicado ao estado(10.1), teremos:

p(j, k) = Tr#

Mj 1 Nk +AB M †j 1 N †

k

$

= Tr

-

Mj 1 Nk

"

i

pi+Ai 1 +B

i M †j 1 N †

k

.

="

i

piTr#

Mj 1 Nk +Ai 1 +B

i M †j 1 N †

k

$

="

i

piTr#

Mj+Ai M †

j 1 Nk+Bi N †

k

$

="

i

piTr#

Mj+Ai M †

j

$

Tr#

Nk+Bi N †

k

$

="

i

pi p(j|i) p(k|i),

que é uma maneira clássica4 de descrever probabilidades conjuntascorrelacionadas.

Esta discussão sugere a seguinte:

Definição 10.1. Estados de dois qubits são classificados em:

1. Fatorável, se +AB for decomponível;

2. Separável, se +AB pode ser escrito como na equação (10.1);

3. Emaranhado, se +AB não pode ser escrito como na equação(10.1).

4Já antecipando que poderemos encontrar estados quânticos e processos demedição tais que nossa descrição clássica cai por terra.


É claro que todo estado fatorável é também separável. Tambémé verdade que todo estado puro emaranhado pela definição 8.1 tam-bém é emaranhado pela definição 10.1, mas isso não é tão evidente. Oponto central é que a definição de emaranhamento é tão boa quantoa de convergência: se conseguimos mostrar que vale certa coisa, sabe-mos que o estado é separável. Mas mostrar explicitamente que podeser obtida uma decomposição como na equação (10.1) não é simples.Isso justifica a procura de critérios de separabilidade, que permitamgarantir separabilidade (ou emaranhamento – nem sempre um crité-rio é conclusivo em ambas as direções) sem precisar explicitar a forma(10.1) (assim como um critério de convergência garante a convergên-cia, sem necessariamente calcular o limite, muito menos provar suaexistência).

Antes, porém, umas palavrinhas sobre o termo separável, sem ne-nhuma relação com seu significado em análise funcional, por exemplo.Aqui o termo é obtido da teoria quântica da informação, onde as par-tes A e B normalmente são associadas a laboratórios distantes, ondepersonagens como Ana e Bernardo5 atuam. Se considerarmos que nãohá restrição para a preparação de um estado + qualquer em um labo-ratório, a equação (10.1) pode ser interpretada como um algoritmo:por algum processo, a variável aleatória i é realizada, com distribui-ção pi. Obtido o resultado i, Ana e Bernardo são comunicados edevem preparar, respectivamente, +A

i e +Bi . Sem o conhecimento da

i, a equação (10.1) é a melhor descrição possível para o estado do sis-tema composto. Como os laboratórios são espacialmente separados,justifica-se a nomenclatura.

10.1.1 Critérios de Separabilidade

Há muitos critérios e não nos cabe ser completos aqui. Vamos apre-sentar alguns, seja por importância histórica, seja por facilidade deaplicação, ou ainda por nos ensinar algo sobre o conjunto dos estadosquânticos.

5Em textos de língua inglesa tais personagens são sempre Alice e Bob.


Transposição Parcial

Uma propriedade simples e importante dos estados separáveis foi per-cebida por Asher Peres [Per96]. O ponto de partida é que, definidauma base6, a operação de transpor uma matriz leva um operadordensidade em outro. Em símbolos:

T : L(E) "# L(E) (10.2a)A $"# At

é tal que T (D(E)) ? D(E).

Exercício 10.4. Prove essa afirmação.

Com isso, caso se faça a transposição apenas em uma das par-tes de um sistema composto, teremos uma operação definida emL(EA 1 EB) da maneira usual: define-se nos operadores decomponí-veis, estendendo por linearidade (veja definição 2.12). Em símbolos:

TA : L(EA 1 EB) "# L(EA 1 EB) (10.2b)A 1 B $"# At 1 B

e

TB : L(EA 1 EB) "# L(EA 1 EB) (10.2c)A 1 B $"# A 1 Bt,

que são chamadas transposição parcial, respectivamente com respeitoà primeira ou à segunda parte. Segue da observação anterior que seaplicarmos a transposição parcial a um estado separável, obteremosum novo estado (separável) igualmente válido. Com efeito:

TA

-

"

i

pi+Ai 1 +B

i

.

="

i

pi

C

+Ai

Dt 1 +Bi .

6É importante ser explícito com relação a um fato: não existe uma operaçãode transposição canônica para operadores. A transposição é feita com respeito auma base, visto que o que é naturalmente definido é a transposição de matrizes.Ainda assim, as propriedades que usaremos não dependem da escolha da base,por isso em vários pontos vamos nos referir à transposição sem nos preocuparcom a base escolhida para identificar operadores e matrizes.


O ponto importante é que não é verdade que TA(D(EA 1 EB)) ?D(EA 1 EB). Para perceber isso, vamos recorrer ao nosso velho co-nhecido |!"). Note que

TA|!")+!"| =12

TA(|01)+01| " |10)+01| " |01)+10| + |10)+10|)

=12

(|01)+01| " |00)+11| " |11)+00| + |10)+10|).

Exercício 10.5. Agora mostre que TA|!")+!"| não é um operadordensidade.

Essa é uma demonstração, por contradição, que |!")+!"| é ema-ranhado. Acabamos de deduzir e aplicar o chamado critério de Peres:

Critério 10.1. Um estado +AB tal que TA +AB não é positivo semi-definido é, necessariamente, um estado emaranhado.

Exercício 10.6. Use o critério de Peres e a decomposição de Schmidtpara mostrar que todo estado emaranhado pela definição 8.1 é tambémemaranhado pela definição 10.1.

Exercício 10.7. Mostre que TA +AB tem os mesmos autovalores queTB +AB. Enuncie a propriedade que decorre daí com respeito ao cri-tério de Peres.

Mapas Positivos

De fato, Peres conjecturou que seu critério fosse não apenas necessá-rio, mas também suficiente para detectar emaranhamento. Veremosadiante que, em geral, esse não é o caso. Mas para dois qbits é!E quem entendeu isso foi a família Horodecki [H.396], colocando adiscussão em termos mais gerais.

Os termos mais gerais em questão são os chamados mapas positi-vos:

' : L(E) "# L(E)

tais que para todo . % L(E) positivo (semi-definido), ' . também épositivo (semi-definido). A transposição (com respeito a alguma baseescolhida) é um exemplo de mapa positivo. O fato interessante, talveznão intuitivo, é que extensões triviais de mapas positivos podem não


ser positivos. Ou seja, '1 I, que atua em L(E)1L(F ) 2= L(E 1 F ),pode não ser positivo, ainda que ' o seja. A transposição é novamenteo exemplo. Um mapa tal que toda extensão trivial é positiva chama-se completamente positivo. A família Horodecki generalizou o critériode Peres da seguinte forma:

Critério 10.2. Um estado +AB é emaranhado se, e somente se, e-xiste um mapa positivo, mas não completamente positivo, ', tal que'1 I +AB não é positivo semi-definido.

O ponto interessante é que já era um resultado conhecido que, senos restringirmos a extensões triviais de mapas positivos ' : L

C

C2D

#LC

C2D

da forma7 '1I : LC

C2 1 C2D

# LC

C2 1 C2D

, a transposição éessencialmente o único mapa positivo e não completamente positivo.Para ser mais preciso, todo mapa positivo ' : L

C

C2D

# LC

C2D

podeser escrito na forma:

' = '1 + '2 ( T,

onde '1 e '2 são mapas 2-positivos, ou seja, tais que 'i 1 I :LC

C2 1 C2D

# LC

C2 1 C2D

são positivos. Assim, ' 1 I + só podenão ser positivo se T 1 I + não for positivo.

Testemunhas de Emaranhamento

Outro fato importante é geométrico. Por construção, o conjunto dosestados separáveis é convexo e fechado. Vamos denotá-lo, em geral,S(E). Assim, qualquer ponto exterior a S

C

C2 1 C2D

pode ser sepa-rado dele por um hiperplano. Aproveitando ainda que D

C

C2 1 C2D

está contido no hiperplano afim definido por Tr+ = 1, o hiperplanoseparador referido acima pode ser dado na forma w(/) = 0, onde

w : LC

C2 1 C2D

"# R (10.3a)

é um funcional linear no espaço dos operadores auto-adjuntos deC2 1 C2. Agora dualidade e o teorema de representação de Rieszentram em cena, para dizer que tal funcional w pode ser representado

7Este resultado também é válido para extensões ! % I : LC

C2 % C3D

'

LC

C2 % C3D

, mas apenas. Para qualquer dimensão maior são conhecidos contra-exemplos.


utilizando o produto escalar do espaço em questão e um elemento domesmo espaço. Ou seja

w(+) = Tr(W+), (10.3b)

para algum W % LC

C2 1 C2D

auto-adjunto.Com isso, usando D = D

C

C2 1 C2D

e S = SC

C2 1 C2D

, podemosenunciar o critério das testemunhas de emaranhamento:

Critério 10.3. Um estado +AB % D é emaranhado se, e somente se,existe um operador auto-adjunto W tal que Tr(W+) < 0, enquantoTr(W/) , 0 para todo / % S.

Uma vantagem adicional do critério 10.3 é que, pela equação (9.1),W pode ser visto como uma grandeza mensurável, tornando a detec-ção do emaranhamento uma tarefa realizável em laboratório [CT].

10.1.2 Quantificadores de Emaranhamento

A quantificação de emaranhamento também é um problema interes-sante, para o qual há apenas soluções parciais8.

Entre as abordagens possíveis, algumas dependem da otimiza-ção entre protocolos LOCC [BDSW], outras impõem condições quedevem ser obedecidas por quantificadores [VPRK, Vid], outras trans-formam critérios de separabilidade como os vistos em quantificadores,casos que vamos apresentar com algum detalhe. Por fim, mas não me-nos importantes, há aquelas que buscam inspiração em propriedadesgeométricas [VT] ou informacionais [VP]. As referências são citadasapenas como um ponto de partida, não sendo adequado tentar sercompleto neste tema, aqui.

Negatividade

A ideia de transposição parcial levou a um quantificador chamadonegatividade [LK, VW]. Para dois qbits, foi mostrado que um es-tado pode ter, no máximo, um autovalor negativo [VADM, Ama]. Omódulo deste autovalor pode ser tomado como definição desse quan-tificador.

8E muitas soluções parciais, pelo qual não nos cabe discuti-las aqui.


Concorrência

Um outro quantificador nasceu da intenção de tornar o emaranha-mento de formação [BDSW] uma quantidade diretamente computá-vel. Acabou ganhando “vida própria” e hoje em dia é consideradocomo um outro quantificador [Woo].

Emaranhamento Testemunhado

Uma grande família de quantificadores nasce quando passamos a oti-mizar as testemunhas do emaranhamento de um estado, sujeitas acertas restrições [EBA]. Neste caso, o módulo do valor obtido pelofuncional calculado no estado também serve como quantificador. Éinteressante que vários outros quantificadores previamente definidospor outros caminhos, podem ser incluídos nesta família de quanti-ficadores, dependendo apenas do tipo de restrição que se impõe àspossíveis testemunhas.

10.1.3 Geometria

Uma boa forma de ganhar intuição sobre a geometria do conjunto deestados D

C

C2 1 C2D

é generalizar a noção de vetor de Bloch. Utili-zando as matrizes de Pauli (6.4), podemos escrever

+ =14

L

MI 1 I + 1r · 1/ 1 I + I 1 1s · 1/ +"

jk

tjk /j 1 /k

N

O, (10.4)

onde os 15 parâmetros necessários ganham a forma de dois vetores, 1re 1s, e uma matriz t = [tjk], com os índices j, k assumindo os valoresx, y, z. Para melhor interpretá-los, devemos lembrar que as três ma-trizes de Pauli têm traço nulo, que a identidade tem traço 2, e comisso obter

+A = TrB+ =12

(I + 1r · 1/), (10.5a)

+B = TrA+ =12

(I + 1s · 1/), (10.5b)

que permite reconhecer que 1r é o vetor de Bloch do sistema A, assimcomo 1s do sistema B. Se os sistemas forem independentes, ou seja,


se + = +A 1 +B, teremos tjk = rjsk. Qualquer desvio disso indicacorrelações do sistema.

Há algumas formas canônicas para estes parâmetros. Caso esteja-mos interessados em entender o emaranhamento do estado, é naturalconsiderar que a ação de unitárias locais não trará efeitos. Mais pre-cisamente, as órbitas da ação

$ : (SU(2) ! SU(2)) ! DC

C2 1 C2D

"# DC

C2 1 C2D

((UA, UB), +) $"# UA 1 UB +U †A 1 U †

B

são compostas por estados equivalentes, com respeito ao emaranha-mento. Podemos usar esta liberdade para diagonalizar a matriz t ecom isso passar a trabalhar com um estado + caracterizado por três“vetores”: 1r, 1s e 1t, este último definido pelos elementos da diagonalda matriz t correspondente a um elemento da órbita de + que tem amatriz t diagonal.

Exercício 10.8. Obtenha o efeito da ação $ sobre os coeficientes 1r,1s e [tjk], de modo a justificar o parágrafo anterior.

É fácil notar que I, /x e /z são matrizes simétricas, enquanto/y é anti-simétrica. Dessa forma, a transposição troca o sinal dacomponente y do vetor de Bloch. Da mesma forma, a transposiçãoparcial, digamos no sistema A, troca o sinal da componente y de1r e de 1t. Isso pode ser usado para visualizar algumas propriedades[H.2]. Um caso particularmente bonito e importante envolve estadoscom 1r = 1s = 10. Por motivos razoavelmente claros, tais estados sãoconhecidos como estados T. Pelo que já foi discutido, um estado Tserá um estado produto se, e só se, 1t = 10, caso em que + correspondeao estado maximamente misturado, a órbita de $ é completamentedegenerada e o estado é invariante por qualquer transposição parcial.Mas e para 1t &= 10, o que podemos afirmar? É o que o exercício aseguir vai trabalhar.

Exercício 10.9. Esse exercício vai trabalhar com estados da forma

+ =14

(I 1 I + tx /x 1 /x + ty /y 1 /y + tz /z 1 /z). (10.6)

1. Mostre que combinações convexas de estados da forma (10.6)também são da mesma forma e descreva o que acontece com ovetor 1t;


2. Mostre que os quatro estados de Bell (8.1) são estados T , cor-respondendo a diferentes vetores 1t;

3. Que região em R3 corresponde a todas as combinações convexasdos estados de Bell? Vamos denotá-la por T ;

4. Mostre que T corresponde a todos os estados T;

5. O que acontece com T quando fazemos a transposição parcialna primeira parte? Vamos denotá-la TAT ;

6. Qual o significado de T @ TAT ? E qual região de R3 ela repre-senta?

Para mais detalhes o leitor pode consultar [Ama]. Para uma abor-dagem distinta à mesma questão, pode consultar o capítulo 4 de [Ara].

Exercício 10.10. Use os estados T do exercício 10.9 para mostrarque a transformação ' : 1

2

#

I +1b · 1/$

$# 12

#

I "1b · 1/$

não é uma evo-lução quântica permitida. (Sugestão: reveja a discussão sobre evolu-ções quânticas do capítulo 9.)

Voltando ao conjunto DC

C2 1 C2D

de todos os estados de doisqbits, há um outro resultado bastante importante, por nos permi-tir formar uma imagem mais adequada deste. Na referência [%HLS] émostrado que existe uma bola fechada centrada no estado mais mistu-rado toda formada de estados separáveis. A consequência importantedisso é que o conjunto os separáveis, S

C

C2 1 C2D

possui a mesma di-mensão que D

C

C2 1 C2D

, e tem um volume que é uma fração positivado volume de D

C

C2 1 C2D

. Este resultado sobre o volume dos estadosseparáveis, aliado à visão geométrica do conjunto de estados, permiteentender como natural e esperado um fenômeno tido algumas vezescomo surpreendente: a morte do emaranhamento em tempo finito.Nos casos em que a dinâmica possui um atrator no interior do con-junto dos estados separáveis, o destino de qualquer emaranhamentoé morrer em tempo finito. A história pode ser diferente se o atratortocar a fronteira do conjunto dos separáveis e será diferente se talatrator for composto apenas de estados emaranhados [Ter07b].

Por outro lado, ainda que caiba a descrição de um conjunto con-vexo, S, contido em outro conjunto convexo9, D, sabemos que suas

9Como a gema dentro de um ovo.

[SEC. 10.2: SISTEMAS BIPARTITES 153

fronteiras não são completamente regulares. Não há, todavia, umadescrição completa delas. Sabemos dizer que são subvariedades dife-renciáveis por partes, ou seja, que tais fronteiras são uniões de subva-riedades diferenciáveis com bordo, coladas de maneira menos regular.Um efeito interessante desta irregularidade foi descrito e observadona referência [CSC+].

10.2 Sistemas Bipartites

A maior parte do que falamos para dois qbits vale para dois sistemasde dimensão finita. Para um espaço de estados Cm1Cn, D(Cm 1 Cn)será um conjunto convexo, compacto de dimensão real m2n2 " 1. Asdefinições de separabilidade e emaranhamento são rigorosamente asmesmas já apresentadas.

Exercício 10.11. Releia a secção 10.1 com a preocupação de identi-ficar quais resultados dependem de serem dois qbits e quais se gene-ralizam diretamente, fazendo a generalização onde adequado.

O critério da transposição parcial, conforme enunciado, continuaválido; o que não vale, exceto se m = 2, n = 3, é sua recíproca, e essaé a grande novidade quando passamos a sistemas bipartidos em di-mensão maior. Já são conhecidos exemplos, tanto para m = 2, n = 4,quanto para dois qtrits, i.e.: m = n = 3, de estados emaranhadoscuja transposta parcial também é um estado possível [H.398]. Estesestados são chamados PPT-emaranhados, da sigla, em inglês, paraTransposta Parcial Positiva. Isso dá origem a um interessante pro-blema em aberto na área. Autovetores associados a autovalores nega-tivos da transposta parcial dão origem tanto a testemunhas de ema-ranhamento, quanto a estratégias para destilar tal emaranhamento:ou seja, uma maneira de atuar conjuntamente (mas de maneira local:LOCC é o paradigma adotado) sobre vários representantes deste es-tado e obter alguma outra quantidade de pares de Bell (pelo menosde maneira aproximada - a definição precisa envolve o limite assintó-tico). Na sua ausência, não há receita para destilar emaranhamentoe a conjectura é a equivalência entre emaranhamento PPT e ema-ranhamento que não pode ser destilado (o chamado emaranhamentopreso, do inglês bound entanglement).


Quantificadores

A discussão geral de quantificadores fica mais rica, mas a maioria dasideias usadas para dois qbits encontra contra-partida em sistemasbipartites de dimensão finita.

Em especial, dos quantificadores citados na 10.1.2, somente o ema-ranhamento testemunhado já foi feito de maneira bastante geral.

A negatividade pode ser redefinida10 como a soma dos módulosdos autovalores negativos da transposta parcial de +. Pela discussãoanterior, fica claro que existem estados emaranhados com negativi-dade zero, violando uma das exigências para ser um (bom) quantifi-cador de emaranhamento (ser zero para todo estado separável, e ape-nas para eles). Ainda assim, a negatividade quantifica alguma coisa,relacionada ao emaranhamento (possivelmente associada ao emara-nhamento destilável).

Já a concorrência, depois de ganhar status de quantificador porsi só, também ganhou generalizações para sistemas maiores.

Geometria

A geometria dos conjuntos D(Cm 1 Cn) e S(Cm 1 Cn), literalmente,ganha mais espaço. Não há uma visão pictórica tão agradável quantoos vetores de Bloch ou os estados T , mas continua válida a noção que,se estamos preocupados em entender o emaranhamento, devemos nosconcentrar nas órbitas da ação (veja, por exemplo, [SHK])

$ : (SU(m) ! SU(n)) ! D(Cm 1 Cn) "# D(Cm 1 Cn)

((UA, UB), +) $"# UA 1 UB +U †A 1 U †

B.

Com relação ao volume dos estados separáveis, também segueverdadeiro o resultado que existe uma bola de separáveis centrada noestado maximamente misto [%]. Por sua vez, a razão entre o volumede tal esfera e o volume de todos os estados decresce fortemente coma dimensão.

Para muito mais sobre geometria de estados quânticos, recomen-damos a referência [B%].

10Há alguma discordância, bem justificada, sobre um fator de escala na defini-ção da negatividade. Portanto, ao utilizá-la ou encontrá-la em um texto, é bomverificar a definição adotada.

[SEC. 10.3: SISTEMAS MULTIPARTITES 155

TPS

A discussão sobre diferentes estruturas de produto tensorial, iniciadana secção 8.4, também encontra eco aqui. Já vimos que, para vetoresde estado (i.e.: estados puros), sempre existem TPS tais que um dadoestado é fatorável e outras em que ele é emaranhado. Será que issose repete para operadores densidade?

É fácil concluir que a resposta é não. Basta considerarmos o es-tado maximamente misturado, que será separável para qualquer TPS.Em seguida, podemos usar o resultado que para qualquer TPS existeuma bola de estados separáveis centrada na máxima mistura, para umargumento de continuidade e compacidade11 permitir concluir que háum raio mínimo. Ou seja: existe um conjunto com medida positivade estados que são separáveis com respeito a qualquer estrutura deproduto tensorial. Podemos chamá-los de absolutamente separáveis.

10.3 Sistemas Multipartites

Quando o número de partes aumenta temos ainda mais espaço paraencontrar estruturas interessantes. Consequentemente, temos maisproblemas e menos se conhece sobre suas respostas. Vamos explorarapenas a ponta de um iceberg, para dar o gosto do problema.

Deixando de lado a discussão (interessante) sobre diferentes estru-turas de produto tensorial, vamos considerar um espaço de estadosjá decomposto em N fatores (i.e.: partes):

E =NP

i=1

Ei, (10.7)

onde cada Ei é um espaço de estados de dimensão finita. Com res-peito a esta N -partição, é natural definirmos como estados produtoaqueles da forma

+ =NP

i=1

+i, (10.8)

onde +i % D(Ei). Para estes estados, medições em partes distintasserão estatisticamente independentes. O passo seguinte é definir os

11Dimensão finita é importante aqui.


estados separáveis como combinações convexas de estados produto echamarmos de emaranhados aqueles que estão no complemento desteconjunto.

Embora faça sentido, tal estratégia tem um grande inconveniente.Por exemplo, se temos três partes, usualmente denominadas A, B eC, somos levados a dizer que um estado da forma +A1+BC , onde +BC

é um estado emaranhado de duas partes, é também um estado ema-ranhado (visto que não é separável). Claramente o ponto é que aindatemos várias partições para o conjunto {1, 2, . . . , N}, correspondendoa “desfazer” separações entre certas partes, ou seja, considerá-las con-juntamente. O exemplo específico trata de um estado separável (atéfatorável) quando consideramos a partição {{A}, {B, C}}.

Para contornar esse inconveniente basta lembrarmos que separa-bilidade (consequentemente emaranhamento) é sempre definida comrespeito a uma partição dada12. Dessa forma, a equação (10.7) de-termina a partição mais fina que estamos dispostos a considerar, ouseja,

{1, 2, . . . , N} =NQ

i=1

{i},

mas outras partições mais grossas que esta são permitidas. Dadauma partição P de {1, 2, . . . , N}, com Pi denotando os conjuntos dapartição e q = q(P) a quantidade de conjuntos da partição (natural-mente 1 . q . N), vamos definir estados P-produto como aqueles daforma

+ =q

P

i=1

+Pi , (10.9)

onde +Pi % D

L

MP

j(Pi

Ej

N

O, ou seja, +Pi é um estado conjunto das partes

relacionadas em Pi. Da mesma forma que antes, as combinaçõesconvexas dos estados P-produto serão ditas P-separáveis, enquantoestados que não são P-separáveis são chamados P-emaranhados.

12De maneira mais geral, com respeito a estrutura de produto tensorial consi-derada, mas deixemos isso de lado.

[SEC. 10.3: SISTEMAS MULTIPARTITES 157

Exercício 10.12. Mostre que se R é um refinamento de P, todoestado R-separável é também P-separável. Enuncie e compreenda acontrapositiva dessa afirmação.

Exercício 10.13. Se P1 e P2 são duas partições de {1, 2, . . . , N}, oque podemos afirmar sobre um estado que é P1- e P2-produto? E P1-e P2-separável? E P1- e P2-emaranhado?

O exercício 10.12 define uma hierarquia (não-completa) de ema-ranhamentos, a partir das possíveis partições. Podemos ainda definiruma nova estratificação a partir do número q de conjuntos da parti-ção. Seja (q o conjunto de todas as partições de {1, 2, . . . , N} em qconjuntos. Um estado será dito q-separável se puder ser escrito como

+ ="

P(!q

pP+P , (10.10)

onde +P % S#R

j(P Ej

$

, ou seja +P é um estado P-separável e (pP)é um vetor de probabilidades.

Exercício 10.14. Mostre que para todo p % (0, 1) o estado

p|0)+0| 1 |!")+!"| + (1 " p)|!")+!"| 1 |0)+0|

é 2-separável, sem ser P-separável para nenhuma 2-partição do con-junto {A, B, C}.

Exercício 10.15. Mostre que se r , q, todo estado r-separável étambém q-separável. Em particular, verifique que todo estado é 1-separável e que o primeiro conceito de separabilidade apresentadacorresponde a N -separabilidade.

Nesta direção que estamos indo, poderíamos discutir vários tó-picos interessantes, mas que serão deixados para uma outra oportu-nidade. Poderíamos usar o conceito de diâmetro de uma partição,correspondendo à cardinalidade do maior conjunto, e definir separa-bilidade com respeito a partições de diâmetro máximo dado. Alémdisso, poderíamos investir em dois conceitos interessantes: estadosreduzidos (aqueles que obtemos quando ignoramos alguma parte) eestados condicionais (aqueles que consideramos depois de realizar al-gum teste, neste caso em uma das partes, e obter algum resultado).


Também há bastante interesse em considerar uma situação do tipografo em estrela, onde uma parte especial tem contato com váriaspartes “similares” e descrever como essas partes similares restringempropriedades do estado da parte especial...

10.4 Um tantinho mais de Física

Os conceitos apresentados até aqui também trazem consequências einterpretações muito interessantes. Uma compreensão errônea dascorrelações de um par EPR13, por exemplo, faz com que se pense queé possível “mandar mensagens” diretamente por essas correlações,afinal “quando Ana mede na base Z e obtém 1, ela sabe que Bernardoobterá 0 caso meça na mesma base Z.” Vamos explicar por que,embora não haja nada de errado nessa frase, ela não permite concluirpela utilidade para comunicação deste “conhecimento” de Ana.

A afirmação em questão é condicional: “quando Ana mede nabase Z e obtém 1...”. Ana não tem como escolher o resultado desua medição. Você pode fazer a objeção: “mas mecânica quânticanão trata do conceito de preparação de estado, em geral fazendo umteste e descartando as alternativas indesejáveis?” Sim, novamenteuma frase correta. Mas que supõe que quem atua sobre o sistema edescarta os casos indesejáveis tem acesso ao sistema todo. Para seraplicada a este caso, Ana deveria dizer a Bernardo se deve manter asua parte do par, ou descartá-la. E, para isso, ela precisou usar co-municação. Mais precisamente, precisou enviar um bit de informação(descartar ou manter), para que o par seja capaz de “comunicar” umbit: o resultado da possível medição de Bernardo na base Z.

Esta discussão pode ser refraseada em termos de estados reduzidose estados condicionais. Para um estado de Bell (8.1), os estados redu-zidos são sempre maximamente misturados. Ou seja, qualquer testeque Ana ou Bernardo decidam fazer possui resultados equiprováveis.O ponto interessante e importante é que, ainda que localmente equi-prováveis, esses resultados estão muito longe de serem independentes,já que os estados condicionais são sempre puros: feito um teste local,digamos por Ana, o estado condicional do sistema é puro e fatorável;

13Se preferir, chame de par de Bell. Mas aqui é justo fazer uma homenagem aquem mais se incomodou com o que parecia spooky action at a distance.

[SEC. 10.4: UM TANTINHO MAIS DE FÍSICA 159

existe um teste local de Bernardo com resultado certo. Ela, de fato,sabe o resultado que Bernardo obterá, caso faça o referido teste. Masisso não é mais que a discussão da semi-moeda feita no capítulo 8.

Poslúdio

Passado o principal e já nos aproximando do fim do curso, nos pro-pomos agora a dar um rápido passeio por temas, em algum sentido,mais avançados.

A mecânica quântica na reta é mais avançada por exigir espaçosvetoriais de dimensão infinita. Por outro lado, não conseguiríamos re-agir a um crítico que reclamasse de um livro sobre mecânica quânticaque não tratasse do problema fisicamente mais básico: quantizaçãode uma partícula sujeita a um potencial, incluído aí o onipresenteoscilador harmônico.

A versão quântica dos sistemas de funções iteradas é avançado porser assunto de pesquisa recente, com o mérito adicional de ter tornadodois dos autores deste livro co-autores14. Também não poderíamosevitar as críticas e acusações de ingratidão se não incluíssemos talassunto na nova etapa desta parceria.

A questão de bem entender em que a mecânica quântica difere dopensamento clássico é avançada em vários sentidos. Aqui, mais umavez, só conseguiremos tocar a ponta de um iceberg. Ainda assim, serápossível apresentar algumas demonstrações de como falham algumashipóteses aparentemente naturais.

A sensação é que o curso e o livro já estão perto do fim, mas asnotas finais devem convidar o estudante a seguir buscando conheci-mento.

14E, de certa forma, serem parte da origem deste livro.

Capítulo 11

Um Pouco de MecânicaQuântica na Reta

Neste capítulo falaremos sobre a mecânica quântica num intervaloda reta, ou na própria reta. Usaremos agora um espaço de estadosque é mais sofisticado que os já descritos até aqui, por isso pedimoslicença para uma certa informalidade e ainda alguma confiança doleitor pois a justificativa de algumas passagens é mais sofisticada eserá omitida. Acreditamos, no entanto, que a intuição obtida com osexemplos estudados até agora será suficiente para tornar ao menospalatáveis os resultados que serão expostos.

11.1 Partícula Clássica na Reta

A melhor descrição clássica feita pela mecânica de uma partícula nareta envolve basicamente o conhecimento, em cada instante, de duascoisas: sua posição, representada por um ponto na reta, e sua veloci-dade. A posição será representada pela variável x e o momentum dapartícula (que, também nos casos mais simples, vem a ser o produtode sua massa pela velocidade) é representado por p.

Quando a partícula está sujeita à ação de um campo de forças,F : R # R, podemos descrever seu movimento por meio da lei de

163

164 [CAP. 11: UM POUCO DE MECÂNICA QUÂNTICA NA RETA

Newton:

F =dp

dt= m

d2

dt2x = ma, (11.1)

com condições iniciais x(0) = x0 e v(0) = ddtx(0) = v0.

Um campo de forças pode ser convenientemente representado porum potencial, uma função V : R # R tal que

"d

dxV (x) = F (x).

Não é difícil ver que podemos obter uma função V satisfazendo essapropriedade se definirmos

V (x) = "/ x

0F (s)ds.

O leitor pode então se perguntar o porque da escolha do ponto 0como extremo inferior da integral e a resposta é que isso é apenasuma convenção; se 0 for trocado por qualquer outro ponto será obtidauma nova função V que continua satisfazendo a condição acima. Defato a diferença entre essas funções será uma constante (pois ambastêm a mesma derivada).

Com essa função potencial podemos reescrever a equação de New-ton numa versão conhecida como mecânica hamiltoniana, que consisteessencialmente em se definir uma função (a função de Hamilton)

H(p, x) =p2

2m+ V (x) (11.2)

e tomar como equações de movimento as equações de HamiltonS

TTU

TTV

d

dtx =

$

$pH,

d

dtp = "

$

$xH.

(11.3)

O leitor não terá dificuldades em ver que o sistema acima equiva-le à lei de Newton. A mudança essencial é de interpretação. En-quanto na versão newtoniana buscamos a função x(t) utilizando umaEDO de segunda ordem, na mecânica hamiltoniana queremos enten-der o par (x(t), p(t)), governado por uma equação de primeira ordem;#(H(p ,"(H

(x

$

é um campo vetorial no chamado espaço de fase do sis-tema.

[SEC. 11.2: PARTÍCULA QUÂNTICA 165

11.2 Partícula Quântica

Devemos agora procurar descrever uma versão quântica do problema.Para isso a primeira coisa a se fazer é identificar qual o espaço deestados adequado para isso.

Precisamos descrever uma partícula na reta e temos um espaço ve-torial naturalmente associado a ela que é o espaço L2(R). O produtointerno é definido como sendo

+f |g ) =/

R

f(x)g(x)dx.

Este parece ser um espaço bastante conveniente para representar aposição da partícula.

Precisamos então compreender como representar os operadoresde posição e momentum, pois essas são as quantidades básicas quedesejamos obter em medições na mecânica. Seguindo o procedimentousado até aqui, esses devem ser operadores auto-adjuntos em L2.Para a posição, o operador natural é considerar

x := x, (11.4)

cuja ação sobre uma função é a seguinte: xf := xf(x).O operador momentum, por sua vez, é dado por

p := "id

dx, (11.5)

ou seja, pf = "i dfdx(x).

Podemos verificar a comutatividade (ou não) dos operadores x ep; para isso usaremos uma função auxiliar ! (que assumimos diferen-ciável):

[x, p]! = (xp " px)! =

x

>

"id

dx!

?

+ id

dx(x!) = "ix

d

dx! + i! + ix

d

dx! = i!,

ou seja,[x, p] = i; (11.6)

sendo assim os operadores de posição e momentum não comutam epara esse par vale também a relação de incerteza do teorema 7.1


(é bom lembrar, no contexto de espaços de dimensão finita; mas ageneralização pode ser feita sem problemas com o uso de algumasferramentas mais avançadas):

Var(x) Var(p) ,14

|+*|[x, p]* )|2 =14

|+*|* )|2 =14

, (11.7)

pois assumimos que * é um vetor normalizado. Essa é a conhe-cida relação de incerteza momentum-posição que foi originalmenteencontrada por Heisenberg. Em particular, como o comutador é pro-porcional à identidade, a relação de incerteza é a mesma para todoestado , o que significa que, não podemos ter a dispersão das medidasde posição e a dispersão das medidas de momentum arbitrariamentepequenas.

11.3 O Operador Hamiltoniano e a Equa-ção de Schrödinger

O operador hamiltoniano é uma versão operatorial da função ha-miltoniana que foi mostrada no início. Usando a notação H vamosdefini-lo como

H =1

2m(p)2 + V (x) = "

12m

d2

dx2+ V (x) (11.8)

ou seja, temos um operador diferencial.A equação de Schrödinger, que descreve a evolução temporal de

um estado, é dada por

H! = id

dt!, (11.9)

onde ! é visto como vetor no espaço de estados apropriado. Aolembrarmos que este é um espaço de funções na variável x, teremosde fato uma equação diferencial parcial

"1

2m

$2

$x2! + V ! = i

$

$t!. (11.10)

Para resolvermos equações como esta (note que o operador H élinear) um método bastante empregado é o da separação de variáveis,

[SEC. 11.3: O OPERADOR HAMILTONIANO . . . 167

que é usado para se obter um candidato a solução (e depois é precisousar algumas técnicas um pouco mais cuidadosas para verificar que ocandidato a solução é de fato uma solução da equação em questão).A separação de variáveis consiste em se procurar soluções da equa-ção na forma de produto de funções de apenas uma variável, ou seja,!(x, t) = *(x)T (t). Depois, usando-se a linearidade, pode-se combi-nar estas soluções para então tentar produzir a solução do problemaoriginal, que inclui condições adicionais.

Usando a hipótese de que ! = *T na equação de Schrödinger,temos

"1

2m

d2

dx2*T + V (x)*T = i*

d

dtT.

Dividindo ambos os lados por *T obtemos

" 12m

d2

dx2 * + V (x)**

=i d

dtT

T.

Note que o lado esquerdo depende apenas da variável x e o lado direitoapenas da variável t. A única situação em que estas duas funçõesde variáveis distintas podem ser iguais é se ambas são constantese a constante, obviamente, é a mesma; esta costuma ser chamadade constante de separação e será denotada por E. Desta maneiraobtemos duas equações diferenciais ordinárias lineares:

"1

2m

d2

dx2* + V * = E*, (11.11a)

d

dtT = "iET. (11.11b)

A primeira equação é conhecida como equação de Schrödinger in-dependente do tempo, e sua solução pode ser mais ou menos difícildependendo do potencial V (x) que se utiliza. A segunda equação temuma solução simples, a função

T (t) = e"iEt.

Isso mostra que para potenciais independentes do tempo, a di-ficuldade de se encontrar soluções está concentrada na obtenção de*(x) pois a parte temporal tem uma solução simples. No que segue


abordaremos alguns casos simples onde é possível obter * de maneiraexplícita.

A constante de separação E também merece algumas palavras.De fato ela corresponde aos autovalores do operador H , pois satisfaz

H* = E*. (11.12)

A função de Hamilton na mecânica clássica é uma constante de mo-vimento associada a energia mecânica do sistema; os autovalores deH na mecânica quântica correspondem à energia do sistema quânticoem questão. Muitas vezes (como no exemplo que daremos a seguir),esses autovalores formam um conjunto discreto e portanto a ener-gia não pode assumir um contínuo de valores, como habitualmenteacontece no caso clássico, mas apenas um conjunto discreto, sendoentão quantizada. Esse é um dos aspectos chave da teoria quântica1.Quanto à função * (que é um vetor, um elemento de um espaço deestados conveniente), sua interpretação é a seguinte: a probabilidadede encontrar uma partícula descrita pelo estado * (atenção, esta-mos usando a palavra estado novamente no sentido de vetor!) numintervalo I da reta é dada por

P(x % I) =/

I|*(s)|2ds.

11.4 A Partícula em uma Caixa Unidi-mensional

11.4.1 Caso Clássico

Queremos obter o comportamento de uma partícula livre que se mo-vimenta dentro de uma caixa unidimensional; ou seja, sua posição érepresentada como sendo um número real no intervalo [0, L], onde Lé o comprimento da caixa. Se a partícula é livre então ela se movesem a influência de uma força exterior dentro da caixa e assim suavelocidade é constante pois pela lei de Newton

ma = F = 0.1E origem do seu nome.

[SEC. 11.4: A PARTÍCULA EM UMA CAIXA UNIDIMENSIONAL 169

Logo a aceleração (que é a variação de velocidade) é nula. Porém,quando a partícula colide com as paredes da caixa (situadas em x = 0e x = L), ela sofre a ação de uma força que tende a fazê-la continuardentro da caixa. Estamos assumindo que essa colisão é perfeitamenteelástica e que a parede é um objeto sólido com massa infinitamentemaior que a da partícula: nesse caso o efeito da colisão é o de simples-mente trocar o sentido do movimento, fazendo com que a velocidadeda partícula troque de v para "v logo após a colisão. Em resumo,temos um movimento no qual a partícula tem velocidade com móduloconstante, mas com o sinal (isto é, o sentido do movimento) que trocaa cada colisão, o que não deve surpreender o leitor.

Podemos agora fazer uma pergunta mais divertida: se fixamos umintervalo qualquer [a, b] dentro da caixa, qual é a fração de tempo, emmédia, gasta pela nossa partícula dentro desse intervalo? Formulandoa questão de maneira mais precisa: fixando um instante T > 0, quala parcela de tempo entre 0 e T na qual a partícula esteve em [a, b],ou seja, qual o comprimento do conjunto

{t % [0, T ] : x(t) % [a, b]}?

Como a velocidade é constante (em intensidade), esse tempo defato é proporcional ao comprimento do intervalo e será então |b"a|/L(pois dessa forma a fração de tempo de ficar em [0, L] será exatamente1, como poderíamos esperar). Podemos interpretar essa razão deforma probabilista: esse número é a probabilidade de se observaresse sistema clássico e encontrar a partícula no intervalo [a, b].

11.4.2 Caso Quântico

Agora devemos fazer uma descrição quântica do sistema e, dada asua relativa simplicidade, investigar se há alguma relação facilmentevisível entre o clássico e o quântico.

Começamos por encontrar o espaço de estados adequado; como onome do capítulo indica, pensamos inicialmente na reta. Mas o quesignifica o fato da partícula estar na caixa? Como comparamos comas paredes clássicas discutidas anteriormente? Significa que queremosprobabilidade zero de encontrar a partícula fora da caixa e isso éconsistente com pensar que, no intervalo [0, L] temos um potencialconstante, enquanto fora desse intervalo temos um outro valor, muito


maior, com a diferença entre esses valores bem maior que qualquerparâmetro2 de interesse no problema. É o que os físicos resumem por“infinito”. Com isso, vamos trabalhar com funções de L2(R # C) quese anulam fora de [0, L]. Mais ainda, é natural pedirmos que essasfunções tenham certas regularidades (se V fosse C# exigiríamos ! declasse C2, mas como V não é sequer contínua, exigimos apenas ! %C0). Com isso, é razoável considerarmos como espaço de estados parao problema da partícula na caixa o subespaço de L2([0, L]) compostopelas funções duas vezes diferenciáveis em (0, L) e que se anulam nafronteira. Como a partícula é livre, o potencial é nulo e estamosusando a equação de Schrödinger independente do tempo

"d2

dx2*(x) = E*(x)

(onde, por simplicidade, assumimos que a massa m = 1/2) com con-dições de fronteira *(0) = *(L) = 0. Devemos então resolver esseproblema de autovalores.

Nesse caso a solução não é difícil: as funções *1 = cos('

Ex) e*2 = sen(

'Ex) claramente satisfazem a equação acima; como esta é

linear então as combinações lineares de *1 e *2 também são soluções,o que nos dá a forma geral de uma solução como sendo

*(x) = A1*1 + A2*2,

com constantes A1 e A2 que devem ser encontradas de forma que acondição de fronteira seja satisfeita (e também a condição de norma-lização, uma vez que o significado dessa função é expresso em termode probabilidades):

0 = *(0) = A1

e0 = *(L) = A2 sen

'EL.

Desta forma notamos que os valores possíveis para E, ou seja, os au-tovalores, obedecem sen

#'EL

$

= 0; rotulando-os por n = 1, 2, . . .,temos

En = n2(./L)2.

2Comparável.

[SEC. 11.4: A PARTÍCULA EM UMA CAIXA UNIDIMENSIONAL 171

Observação 7. O leitor consegue imaginar uma boa razão para nãoincluirmos n = 0 nas soluções acima? Afinal, se E = 0 a equação éclaramente satisfeita... Bem, note que para E = 0 a autofunção cor-respondente é *(x) = 0, a função nula. E esta função, multiplicadapor uma constante, continua sendo nula. Desta maneira temos umvetor nulo, que não vai nos ajudar a gerar nenhuma solução interes-sante e por isso não o incluímos na lista de soluções.

Estes são os autovalores do operador (e há uma infinidade deles, aocontrário do que se passava até aqui, quando considerávamos apenasespaços vetoriais de dimensão finita); as autofunções correspondentes(já normalizadas) são, respectivamente,

*n(x) =

W

2L

senn.x

L, n = 1, 2, . . .

Um estado em geral é, então, dado por uma série (que é uma espéciede combinação linear, mas com infinitas parcelas) que envolve asautofunções encontradas acima:

* =#"

n=1

cn*n.

(Naturalmente deve-se pensar no problema da convergência num casodeste tipo, mas preferimos deixar esta questão de lado neste texto).

11.4.3 Um Exemplo de Limite Clássico

Vamos usar o exemplo da partícula na caixa para tentar entendercomo a mecânica quântica se relaciona com a mecânica clássica. Maisuma vez, ficaremos apenas com um exemplo bastante simples, que éo seguinte: queremos compreender como a probabilidade de se en-contrar uma partícula num certo intervalo [a, b] varia quando consi-deramos as autofunções da subseção anterior para energias cada vezmaiores, ou seja, no limite quando o número n tende a infinito. Setemos uma partícula no estado *n, a probabilidade de encontrá-la nointervalo [a, b] é dada por

Pn(x % [a, b]) =/

[a,b]|*n(s)|2ds =

2L

/

[a,b]sen2 n.s

Lds =


2L

X/

[a,b]

>12"

12

cos#

2n.s

L

$?Y

ds =|b " a|

L"

12.n

sen#

2n.s

L

$666

b

a.

Quando tomamos o limite de n # 4 o segundo termo tende a zero(pois o seno é uma função limitada) e portanto

Pn(x % [a, b]) #|b " a|

L,

ou seja, para os estados descritos por números n elevados (que corres-pondem fisicamente a situações de energias bem elevadas) obtem-seque a probabilidade de encontrar uma partícula no intervalo [a, b] estácada vez mais próxima da probabilidade que já havíamos calculadono caso clássico.

Exercício 11.1. Refaça a discussão acima com n fixo e L # 4.

11.5 O Oscilador Harmônico

Vamos agora considerar um exemplo bastante interessante de sistemaquântico, o oscilador harmônico. Trata-se de uma partícula que semove na reta e está ligada à origem por uma força do tipo F = "kx.Ou seja, quando a partícula está na região de x positivo a força é ne-gativa e quando a posição é negativa temos uma força positiva. Dessaforma a força sempre tende a levar a partícula de volta à origem. Oexemplo típico da mecânica é uma mola, que sempre tende a restauraro equilíbrio3.

Para descrevermos essa situação no contexto de uma partículaquântica devemos começar por encontrar o potencial que correspondeà força acima:

V (x) = "/ x

0F (s)ds =

kx2

2.

3Importante entender a onipresença de osciladores harmônicos em física: sedescrevermos qualquer sistema mecânico por um potencial, da mesma forma queestamos fazendo aqui em dimensão 1, seus mínimos (classicamente) serão pon-tos de equilíbrio estáveis. Genericamente, podemos aproximar tais mínimos porfunções quadráticas a partir deste ponto, a chamada aproximação harmônica.

[SEC. 11.5: O OSCILADOR HARMÔNICO 173

Seguindo a prescrição já usada neste capítulo agora temos de con-siderar o operador hamiltoniano

H =1

2mp2 + V (x),

onde p é o operador momentum, p = "i ((x e V (x) é o operador que

multiplica uma função *(x) por V (x).A equação de Schrödinger independente do tempo, (11.12), agora

fica sendo4C

p2 + x2D

*(x) = E*(x).

Nosso objetivo é encontrar as funções * e os respectivos valores de Eque satisfazem a equação acima.

Esta é uma equação diferencial ordinária que pode ser resolvidapelo método das séries de potências: essa técnica consiste em se suporque *(x) pode ser escrita na forma

*(x) =#"

n=0

anxn,

substituir na equação diferencial e obter uma relação de recorrênciaenvolvendo os coeficientes an. O leitor pode encontrar essa aborda-gem em diversos livros, por isso não prosseguiremos nessa direção.

Vamos usar uma outra técnica, mais algébrica, que consiste emdefinir o operador

a = x + ip; (11.13)

note quea! = x! + (ip)! = x " ip &= a.

Dessa forma, esse operador não é auto-adjunto e portanto não repre-senta um observável. No entanto, note que

a!a = (x " ip)(x + ip) = x2 + p2 + i[x, p] = H " 1.

Ou seja, H = a!a + 1.

Exercício 11.2. Mostre que o operador a!a é auto-adjunto.

4Por simplicidade, adotamos m = 12

e k = 2. Veja o exercício 11.10.


Denotaremos por N o operador auto-adjunto a!a. Então podemosverificar que N é um operador positivo: de fato

+*|a!a* ) = +a*|a* ) = -a*-2 , 0,

para qualquer vetor *. Podemos nos perguntar se existe algum vetor*0 tal que a*0 = 0 (e portanto, N*0 = 0). A resposta é sim, e nãoé difícil obter tal vetor: a equação a*0 = 0 corresponde á equaçãodiferencial

x*0(x) +d

dx*0(x) = 0. (11.14)

Esta é uma equação diferencial separável e o leitor não terá dificul-dade em verificar que a solução geral é dada por

*0(x) = Ae" x2

2 ,

onde o módulo da constante A pode ser determinado usando-se anormalização de *0:

1 = +*0|*0 ) =/

R

|A|2e"x2

dx = |A|2'.

e, com a fase escolhida real positiva,

*0(x) =1

.1/4e"x2

. (11.15)

Agora podemos ver que

H*0 = (a!a + 1)*0 = a!a*0 + 1*0 = 1*0,

ou seja, *0 é autofunção de H correspondente ao autovalor 1. E defato 1 é o menor autovalor possível para H , pois se temos H! = %!para algum ! &= 0 então

H! = N! + 1! = %! / N! = (%" 1)!.

Mas N é positivo, ou seja

0 .<

!666N!

=

= +!|(%" 1)!) = (%" 1)+!|!)

[SEC. 11.5: O OSCILADOR HARMÔNICO 175

e assim % , 1, ou seja, o menor autovalor possível para H é 1. Destaforma já encontramos, com *0, a autofunção associada ao estadode menor energia do oscilador harmônico, muitas vezes chamado deestado fundamental.

O leitor pode perguntar nesse momento sobre a possibilidade deexistência de outras autofunções linearmente independentes associa-das ao autovalor 1; a preocupação é legítima.

Exercício 11.3. Use o Teorema de Existência e Unicidade para aequação (11.14) para concluir que o auto-espaço associado ao auto-valor 1 de H é unidimensional.

Queremos agora encontrar outros autovalores e suas respectivasautofunções. Para isso note que

aa! = H + 1.

Agora considere *1 = a!*0 (você consegue obter explicitamente afunção *1(x)?). Para este vetor,

H*1 = Ha!*0 = (a!a + 1)a!*0 = a!aa!*0 + *1 =

a!#

H + 1$

*0 + *1 = a!(*0 + *0) + *1 = 3*1.

Ou seja, *1 é autovetor de H com autovalor 3. Mas note que00*1

00

2= +a*0|a*0 ) = +*0|aa!*0 ) = 2-*0-2 = 2. (11.16)

Assim, podemos escolher o autovetor normalizado como sendo

*1 =1'2*1.

De forma análoga, podemos definir *2 = a!*1 = (a!)2*0 e o leitorpode verificar que teremos H*2 = 5*2, e repetindo o procedimentode normalização, eq. (11.16), podemos definir

*2 =1'3!*2;

de maneira geral,

*n =1'n!

(a!)n*0 (11.17)


será autofunção normalizada de H , com o autovalor associado (2n +1).

Exercício 11.4. Use o fato de H ser positivo e o exercício 11.3para mostrar que com o procedimento descrito geramos todos os auto-espaços de H. (Sugestão: suponha uma outra autofunção, ), e apli-que o operador a a ela.)

Podemos usar agora essas soluções para obter o valor esperadode determinados observáveis. Como exemplo, vamos calcular o valoresperado de x2 no estado *n. Já sabemos que esse valor esperadoé dado pela expressão

F

*n

66x2*n

B

. Agora note que, em função dosoperadores a e a! podemos escrever

x =a + a!

2(11.18)

e então

x2 =14

(a + a!)(a + a!) =14

#

a2 + aa! + a!a + (a!)2$

.

LogoF

*n

66x2*n

B

=

14

#F

*n

66a2*n

B

+ +*n|aa!*n )+*n|a!a*n ) +<

*n

666(a!)2*n

=$

.

Analisemos cada termo da expressão acima com calma:<

*n

666(a!)2*n

=

A +*n|*n+2 ) = 0,

visto que os vetores *n são autovetores associados a autovalores dis-tintos de H . De forma similar podemos ver que

F

*n

66a2*n

B

tam-bém é igual a zero. Para os outros termos note que a!a = H " 1 eaa! = H + 1. Desta forma

+*n|a!a*n ) =<

*n

666

#

H " 1$

*n

=

=<

*n

666H*n

=

" +*n|*n ) =

(2n + 1) " 1 = 2n

e

+*n|aa!*n ) =<

*n

666

#

H + 1$

*n

=

=<

*n

666H*n

=

+ +*n|*n ) =


(2n + 1) + 1 = 2n + 2.

Portanto temosF

*n

66x2*n

B

=14

[(2n + 2) + 2n] = n +12

.

Exercício 11.5. CalculeF

*n

66p2*n

B

e verifique o que acontece coma relação de incerteza de Heisenberg nesses estados.

Note que mesmo para o estado de mais baixa energia, n = 0, temosincerteza associada ao observável x. Este fato gera bastante discus-são, alguma confusão e uma nomenclatura interessante: tratam-sedas flutuações de ponto zero, ou ainda flutuações quânticas.

11.6 Exercícios

Exercício 11.6. Reflita um pouco sobre a influência do tamanho dacaixa nos níveis de energia da partícula no caso da seção 11.4.

Exercício 11.7. Para as autofunções da partícula na caixa obtenhaos valores esperados da posição. Lembre que

+x) = +*|x* ) =/ L

0x|*(x)|2dx.

Procedendo de forma similar, obtenha os valores esperados do mo-mentum.

Exercício 11.8. O leitor deve tentar resolver o problema da partículaem uma caixa considerando agora que esta está entre "L/2 e L/2.Como são os autovalores? E os autovetores?

Exercício 11.9. Obtenha expressões fechadas para a!*n e a*n.

Exercício 11.10. Refaça a discussão do oscilador harmônico man-tendo as constantes m, k e !. Lembre-se que para definir operadores ae a! é necessário somar objetos de mesma dimensão5. Provavelmente

você gostará de definir 2 =

W

k

m.

5No sentido físico da palavra: comprimentos só podem ser somados a compri-mentos, não a velocidades ou grandezas de outras dimensões.

Capítulo 12

Sistema de FunçõesIteradas Quântico

Neste capítulo desejamos introduzir o interessante conceito de sistemade funções iteradas quântico, alvo de estudos recentes na literatura.Para entender esse objeto devemos rapidamente ver o que é um sis-tema dinâmico, um sistema iterado de funções e por fim ver comoesse aparece de forma natural no contexto da mecânica quântica.

12.1 Sistemas Dinâmicos

Por sistema dinâmico entendemos o seguinte: um conjunto X (emgeral um espaço métrico) e uma aplicação f : X # X , que pode ounão ter uma inversa f"1 e com algum grau de regularidade (continui-dade, diferenciabilidade). Um dos objetivos é tentar entender o queocorre quando se aplica a função f a um ponto x % X por diversasvezes: em suma, caracterizar o conjunto

{x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), . . .}

(conhecido como órbita do ponto x) seus pontos de acumulação, comoesse conjunto varia quando variamos o ponto inicial x, dentre ou-

178

[SEC. 12.2: SISTEMA DE FUNÇÕES ITERADAS 179

tras perguntas. Nesse contexto é comum denotar f(f(x)) por f2(x),para dizer que a função f foi iterada duas vezes; de forma similarf(f(f(x))) é denotada simplesmente por f3(x) e assim sucessiva-mente. Portanto fn(x) representa a composição de f n vezes, e nãoa n-ésima potência de x (que pode nem mesmo estar definida pois xnão precisa estar em um conjunto numérico).

Exemplo 12.1. Considere X = [0, 1] e f(x) ='

x, que é uma funçãocontínua e invertível nesse intervalo. Se começamos com x = 0,então é claro que f(0) = 0 = f2(0) = · · · = fn(0) para todo nnatural; o mesmo ocorre se começamos com x = 1: temos f(1) =1 = f2(1) = . . . = fn(1). Estes dois pontos, por razões óbvias, sãopontos fixos para f e nesses casos a descrição da órbita e dos pontosde acumulação da mesma é imediata. E para um x % (0, 1)? Noteque f(x) > x para pontos nesse intervalo e o que de fato ocorre é que,nesse caso, fn(x) # 1 quando n cresce.

Observação 8. O leitor pode ilustrar o que é descrito no últimoexemplo usando uma calculadora e apertando diversas vezes a teclade raiz quadrada.

Exemplo 12.2. Seja X = Z e f(x) = x + 1. Nesse caso temos umadinâmica que claramente vai para +4 qualquer que seja o ponto xinicial.

12.2 Sistema de Funções Iteradas

Sem tentar ser o mais geral possível, podemos ver um sistema defunções iteradas como sendo formado pelos seguintes elementos: umconjunto X , aplicações fi : X # X , i = 1, 2, . . . , k, e números reaisnão negativos pi, i = 1, . . . , k tais que p1 + p2 + · · · + pk = 1, oque permite interpretá-los como sendo uma probabilidade sobre oconjunto {1, 2, . . . , k}.

Nesse caso, no lugar de iterar apenas uma função f , devemos es-colher um índice em {1, 2, . . . , k}, digamos j, com probabilidade pj eentão iterar fj . Dessa forma, a evolução de um ponto x sob a dinâ-mica é de fato uma evolução aleatória. Podemos então perguntar oque ocorre com a evolução de um certo ponto para diferentes sorteios.

180 [CAP. 12: SISTEMA DE FUNÇÕES ITERADAS QUÂNTICO

Exemplo 12.3. Seja X = [0, 1], f1(x) = x/3 e f2(x) = (2 + x)/3,com p1 = p2 = 1/2. Onde está contida a dinâmica limite nesse caso?Vejamos: após o primeiro iterado a imagem estará contida na ima-gem de f1 ou na imagem de f2, respectivamente, os conjuntos [0, 1/3]e [2/3, 1]. Após o segundo iterado, a imagem estará contida na ima-gem, por f1 ou f2, dos dois intervalos anteriores, que são os conjuntos[0, 1/9], [2/9, 3/9], [6/9, 7/9] e [8/9, 1]. Na próxima etapa ficaremoscom oito conjuntos, com comprimentos iguais a 1/27 e assim suces-sivamente. Esta construção, como o leitor já deve ter percebido, éexatamente a do conjunto de Cantor: de início é retirado o intervalo(1/3, 2/3); depois, nos intervalos fechados restantes, retira-se o terçocentral. Desta forma, a dinâmica desse Sistema tem como conjuntolimite exatamente o conjunto de Cantor K.

Exemplo 12.4. Seja X = Z, f1(x) = x+1 e f2(x) = x"1, com p1 =p2 = 1/2. Nesse caso podemos interpretar a dinâmica da seguinteforma: temos probabilidade 1/2 de iterar f1, que representa dar umpasso de comprimento 1 para a direita e probabilidade 1/2 de iterarf2, ou seja, dar um passo de comprimento 1 para a esquerda. Esseé um modelo bastante conhecido e estudado, conhecido como passeioaleatório. Supondo que começamos em x = 0 e fazemos N iterações,é fácil obter a probabilidade de estar em um certo n % Z.

12.3 Sistema de Funções Iteradas Quân-tico

Imaginemos agora a seguinte situação: temos um sistema quânticocuja evolução está sujeita a algum tipo de ruído ou flutuação queé aleatória. Uma forma de modelar este caso é pensar que temosnão uma evolução temporal (descrita por um operador unitário U)mas sim um conjunto de operadores unitários Uj , j % {1, 2, . . . , k} eprobabilidades pj.

O estado do sistema quântico pode ser descrito, como previa-mente, por uma matriz densidade +. A evolução temporal do sistemaentão é dada por

$(+) =k

"

j=1

pjUj+U!j . (12.1a)

[SEC. 12.3: SISTEMA DE FUNÇÕES ITERADAS QUÂNTICO 181

Não é difícil verificar que se + é uma matriz densidade então $(+)também é matriz densidade, ou seja, $ é uma aplicação no espaço dematrizes densidade. Este é um espaço interessante porém não é umespaço vetorial (lembre-se, as matrizes densidade tem traço um, masa soma de matrizes de traço um tem traço igual a dois, e portanto nãoestá no espaço), o que nos impede de usar as técnicas bem conhecidasda álgebra linear. Para contornar este problema lidaremos com umaextensão de $ para matrizes d ! d quaisquer, que continuaremosdenotando por $:

$(X) =k"

j=1

pjUjXU!j . (12.1b)

Desta forma note que

$(X +%Y ) =k

"

j=1

pjUj(X +%Y )U!j =

k"

j=1

pjUjXU!j +%

k"

j=1

pjUjY U!j

e portanto $ é uma aplicação linear de Md(C) que então pode serrepresentada por uma matriz (qual a dimensão dessa matriz?).

Nesse contexto torna-se totalmente natural procurar soluções emX e % da equação

$(X) = %X,

que nada mais é do que uma equação para autovalores e autoveto-res. Dessa maneira a existência de soluções é algo já garantido porresultados básicos de álgebra linear.

O espaço Md(C) admite um produto interno bastante natural queé definido como sendo

+A|B ) := Tr(A!B).

Este produto interno induz uma norma que é simplesmente

-A- =!

+A|B ) =!

Tr(A!A).

Para transformações U unitárias podemos verificar que

-UAU!- =!

Tr(UA!U! UAU!) =!

Tr(UA!AU!) =!

Tr(A!AU!U) =!

Tr(A!A) =!

-A-2 = -A-.

182 [CAP. 12: SISTEMA DE FUNÇÕES ITERADAS QUÂNTICO

Sendo assim, temos

-$(X)- .k

"

j=1

pj-UjXU!j - =

k"

j=1

pj-X- = -X-

e portanto os autovalores da aplicação linear $ são tais que |%| . 1,ou seja, estão todos no disco unitário. Por outro lado, não é difícilverificar que $(I) = I, e assim % = 1 está de fato no espectro dooperador.

Uma pergunta interessante que pode ser feita nesse contexto é ade como caracterizar um estado limite, ou seja, dado um estado inicial+0 saber como será, após longo tempo, o estado descrito pela evoluçãotemporal $ definida acima. Em outras palavras, caracterizar

limn&#

$n(+0). (12.2)

Considerando a extensão de $ para o espaço de todas as matrizese a equação de autovalores $(X) = %X , vamos aceitar, por hipótese,que temos a seguinte situação: o subespaço associado ao autovalor 1tem dimensão 1, e portanto é gerado por apenas uma matriz (que jásabemos ser I); os demais autovalores são todos estritamente menores(em norma) do que %0 % (0, 1). Nesse caso, como a dinâmica de $é linear, podemos decompor o estado inicial +0 em uma combinaçaode autovetores do tipo

+0 = a0I +D"

i=1

aiXi,

onde os Xi são autovetores associados aos autovalores de norma me-nor do que 1. Desta forma, é fácil ver que

$n(+0) = a0I +D"

i=1

ai%ni Xi

e assim o vetor limite é a1I; porém este vetor não corresponde aum estado, pois não tem traço unitário, mas obviamente podemosnormalizá-lo para que isso ocorra e assim temos a dinâmica assintóticanessa situação particular.

[SEC. 12.3: SISTEMA DE FUNÇÕES ITERADAS QUÂNTICO 183

Exemplo 12.5. Temos um exemplo da situação acima quando adinâmica é dada por

$(X) =12

X +12

UXU!,

onde

U =12

@

1 "'

3'3 1

A

.

O leitor interessado em uma descrição mais precisa de estadoslimite deve consultar [LP, NAJ]. O problema também pode ser gene-ralizado pela consideração de uma transformação $ que não é linearem + (e para a qual o raciocínio acima não pode ser aplicado), comopor exemplo

$(+) =k

"

j=1

pj(+)Uj+U!j , (12.3)

onde&

j pj(+) = 1 para todo +; nesse caso as probabilidades deocorrência de cada uma das dinâmicas Ui dependem do estado emconsideração. Um problema dessa natureza pode ser abordado comferramentas um pouco mais sofisticadas do que as usadas aqui e oleitor curioso pode consultar, por exemplo, [BLLT] para uma abor-dagem deste caso.

Capítulo 13

Desigualdades de Bell

A mecânica quântica é uma teoria muito diferente da mecânica clás-sica em vários aspectos e um deles é o fato de que tudo que podemossaber sobre uma medição são as probabilidades dos resultados possí-veis. Probabilidades também aparecem na física clássica, mas comofruto do conhecimento parcial a respeito do sistema em questão. Emmecânica quântica, as probabilidades parecem ser intrínsecas à teo-ria e isso causa um certo desconforto. Será que o mundo é realmenteprobabilístico ou falta alguma coisa na teoria?

13.1 EPR e os Elementos de Realidade

Uma bola de tênis viajando em sua trajetória entre as raquetes dedois jogadores tem posição e velocidade definidos em cada instante detempo. Se não podemos determiná-los é por não possuirmos instru-mentos adequados para realizar cada teste com precisão. Em 1935,Einstein, Podolsky e Rosen (EPR) publicaram o famoso artigo “CanQuantum-Mechanical Description of Physical Reality Be ConsideredComplete?” em que eles argumentam que uma teoria completa nãodeveria ser intrinsecamente probabilística como a mecânica quântica[EPR]. A ideia central é que um elétron deve ser parecido com a bolade tênis: possui velocidade e posição bem definidos e como a mecânicaquântica não é capaz de prevê-los deve ser uma teoria incompleta.

184

[SEC. 13.1: EPR E OS ELEMENTOS DE REALIDADE 185

EPR começam definindo o que são elementos de realidade: existeum elemento de realidade associado a um observável físico se esseobservável pode ser determinado com precisão sem que o sistemaseja perturbado. Eles afirmam que em uma teoria completa todoelemento de realidade deve ter valor bem definido. A realização deum teste apenas revela esse valor. Vamos ver o que acontece nosexemplos que tratamos nesse texto.

Suponhamos que um sistema esteja associado a um espaço de es-tados E de dimensão d. Sabemos que, se os operadores A1 e A2 nãocomutam, os testes associados a eles não são compatíveis e existemestados puros do sistema nos quais não podemos prever o resultadode ambos, com precisão arbitrária. Com esse argumento, EPR con-cluem que ou a mecânica quântica não é completa ou que operadoresque não comutam não podem estar ambos associados a elementos derealidade.

Para eliminar a segunda opção eles propõe uma situação parecidacom a seguinte: consideremos dois qbits no estado emaranhado

|!") =|01) " |10)'

2=

|+")" |"+)'2

(13.1)

e que estejam distantes um do outro. Se realizarmos o teste associadoao observável /z no primeiro qbit, podemos obter 0 ou 1 com probabi-lidade 0.5. Suponhamos que 0 seja o resultado. Então o estado apósa medição é |01), o estado do segundo qbit é |1) e se testarmos /z nosegundo qbit obteremos 1. Se realizarmos a medição do observável/x no primeiro qbit, podemos obter + ou ", também com probabili-dade 0.5. Suponhamos que + seja o resultado. Então o estado apósa medição é |+"), o estado do segundo qbit é |") e se testarmos /x

no segundo qbit obteremos " como resposta. Agora entra o pontocentral do argumento de EPR: se os qbits estão distantes então umamedição no primeiro não pode afetar o segundo. Assim, escolhendomedir /x ou /z no primeiro qbit, podemos determinar o valor de /x

ou /z no segundo qbit, sem perturbá-lo. Logo ambos os observáveispodem ser associados a elementos de realidade.

O argumento acima elimina a possibilidade de que dois observáveisque não comutam não podem estar ambos associados a elementos derealidade. Desse modo, segundo EPR, a mecânica quântica deve seruma teoria incompleta.

186 [CAP. 13: DESIGUALDADES DE BELL

O artigo de EPR iniciou uma longa discussão. Seria possível en-contrar uma teoria em que os elementos de realidade de EPR possuís-sem valores definidos? Teorias desse tipo ficaram conhecidas comoTeorias de Variáveis Ocultas1 (TVO).

13.2 Bell

Em 1964, John Bell propôs uma maneira de testar a existência devariáveis ocultas [Bel64]. Ele mostrou que, em uma teoria de va-riáveis ocultas obedecendo hipóteses razoáveis2, os valores esperadosde alguns observáveis deveriam satisfazer uma inequação. Esta é aprimeira desigualdade de Bell da história. Se em algum experimentoessa desigualdade fosse violada, poderíamos concluir que tais teoriasnão poderiam ser verdadeiras.

Bell derivou sua desigualdade no contexto de um teste em umpar de partículas de spin 1

2 no estado |!"). Vamos supor que oestado do sistema seja descrito por uma variável %, que faz o papelde variável oculta e que determina qual será o valor obtido quandorealizamos uma medição da componente de spin em uma direção 1u.A variável % pode ser contínua ou discreta, pode ter uma componenteou várias. Em geral, temos apenas que % % ', com ' um certo espaçode parâmetros para variáveis ocultas.

Vamos supor que um teste é realizado em cada parte do par:na parte A vamos medir a componte de spin na direção do vetor1a e na parte B vamos medir a componente de spin na direção 1b.O valor obtido em A, v(1a,%), depende da direção 1a escolhida e de%. Analogamente o valor obtido em B, v( 1B,%), depende da direção1b escolhida e de %. Sabemos apenas que os valores possíveis paraambos os resultados são ±1.

Suponhamos que p(%) seja a distribuição de probabilidade de %.Então o valor esperado de v(1a,%)v(1b,%) é

E#

1a,1b$

=/

#p(%)v(1a,%)v(1b,%)d%.

1Do inglês, hidden-variable theories.2Antecipando a conclusão, aparentemente razoáveis.

[SEC. 13.3: A DESIGUALDADE CHSH 187

Depois de alguns cálculos, Bell mostra que dadas três direções 1a,1b e 1c vale a desigualdade

1 + E#

1b,1c$

,666E(1a,1b) " E(1a,1c)

666. (13.2)

Para que não haja contradição com a mecânica quântica, E#

1a,1b$

deve concordar com o valor esperado de 1a · 1/ 1 1b · 1/.

Exercício 13.1. Mostre que

+!"|1a · 1/ 1 1b · 1/|!") = "1a ·1b.

Exercício 13.2. Use o exercício 13.1 e a escolha 1a = (1, 0, 0), 1b =( 1+

2, 0, 1+

2) e 1c = (0, 0, 1), para obter uma violação da desigualdade

de Bell (13.2).

Desde então várias outras desigualdades foram demonstradas, to-das elas com o mesmo espírito: provar que restrições válidas parateorias de variáveis ocultas não são satisfeitas por todos os estadosda mecânica quântica. Essas desigualdades também ficaram conheci-das como desigualdades de Bell. Algumas delas são de demonstraçãosimples, e uma das mais famosas é a desigualdade CHSH.

13.3 A Desigualdade CHSH

A desigualdade CHSH, das iniciais de Clauser, Horne, Shimony eHolt, que a provaram em [CHSH], é uma desigualdade de Bell sim-ples e operacional. Essa desigualdade é obtida quando consideramosa situação em que dois laboratórios compartilham um sitema com-posto AB. Em cada laboratório é possível realizar dois testes3: naparte A podem ser realizados os testes correspondentes aos observá-veis A1 e A2, enquanto na parte B podem ser realizados os testes

3Estamos mantendo a linguagem de testes e observáveis, pois este é um livrode mecânica quântica; mas para entender a derivação da desigualdade CHSH, ede desigualdades de Bell em geral, é importante lembrar justamente que elas nãotratam de mecânica quântica. A mecânica quântica só entra nessa história por sera única teoria com algum respaldo experimental que permite violar desigualdadesde Bell.


correspondentes aos observáveis B1 e B2. As respostas possíveis paratodos os testes envolvidos são 1 e "1. Vamos supor que a escolha dequal teste é realizado em uma das partes é independente da escolhana outra parte4.

Em uma TVO, cada observável O deve possuir valor bem definido,que denotaremos por v(O). Queremos verificar quais são os valorespossíveis de

CHSH = v(A1)v(B1) + v(A2)v(B1) + v(A2)v(B2) " v(A1)v(B2)= (v(A1) + v(A2))v(B1) + (v(A2) " v(A1))v(B2). (13.3)

Os resultados possíveis para todos os testes são ±1, de modo que ouv(A1) + v(A2) = 0, ou v(A1) " v(A2) = 0. Em todo caso, temosCHSH = ±2.

Podemos calcular a esperança dessa quantidade, que por ser umacombinação convexa de seus possíveis valores, obedecerá

|+CHSH)| . 2, (13.4)

a famosa desigualdade CHSH.Para verificações experimentais, é importante usarmos a lineari-

dade da esperança, para escrever

+CHSH) = +v(A1)v(B1) + v(A2)v(B1) + v(A2)v(B2) " v(A1)v(B2))

= +v(A1)v(B1)) + +v(A2)v(B1))

++v(A2)v(B2)) " +v(A1)v(B2)),

o que permite que o valor esperado de CHSH seja obtido fazendomedições independentes de Ai em uma parte, Bj em outra, para de-pois colecionar os resultados e saber para qual dos quatro valoresesperados ele contribui (de acordo com o par (i, j)). Feito esse tra-balho de pós-processamento, obtém-se |+CHSH)| e pode-se verificarse (13.4) é satisfeita.

Até agora a mecânica quântica não entrou na brincadeira. Adedução foi feita supondo que os resultados dos testes são governadospor uma teoria de variáveis ocultas.

4O que pode ser interpretado como a hipótese que não há comunicação entreas partes, até que as medições sejam realizadas.

[SEC. 13.3: A DESIGUALDADE CHSH 189

Exercício 13.3. Use novamente o exercício 13.1 e os observáveis

A1 = /z, A2 = /x,

B1 ="/x " /z'

2, B2 =

"/x + /z'2

para obter uma violação de (13.4).

Desse modo, ou a mecânica quântica não está correta, ou a natu-reza não pode ser descrita através de uma teoria de variáveis ocultas.

O fato da desigualdade CHSH não ser satisfeita para todos osestados de dois qbits e escolhas de observáveis locais significa quealguma das exigências que foram feitas na demonstração da desigual-dade não pode ser satisfeita. Duas suposições cruciais que aparecemnos cálculos são5:

• Realismo: os observáveis físicos A1, A2, B1, B2 possuem valoresdefinidos, independentes da realização ou não de suas medições;

• Localidade: os testes realizados na parte A não alteram os re-sultados dos testes realizados na parte B.

A violação da desigualdade CHSH mostra que não vale o realismolocal, ou seja, as duas suposições anteriores não podem ser feitasao mesmo tempo. Tanto realimo quanto localidade são propriedadesaparentemente válidas no nosso dia a dia, mas na descrição do mundomicroscópico, pelo menos uma delas deve ser descartada.

Há vários experimentos de violações de desigualdades de Bell, mastambém há várias discussões sobre porque cada experimento já reali-zado ainda não cumpre todas as exigências necessárias para eliminara possibilidade das variáveis ocultas descreverem uma realidade mi-croscópica consistente com nossos preconceitos clássicos.

Dois dos loopholes mais famososos são os de detecção e de locali-dade, ou sinalização. O loophole de detecção se origina no fato de nãohaver detector com eficiência total: sempre há uma parcela dos sis-temas preparados que não são detectados, seja por uma ou por outra

5Por vezes também se considera como outra suposição o livre arbítrio, nosentido de cada experimentador poder escolher livremente qual dos observáveisirá medir em cada rodada do experimento.


parte. Mas, mentes criativas alegam, esse efeito, supostamente ale-atório, de detecção ou não detecção deve ser determinístico em umaTVO. E podem ser justamente esses dados “faltantes” os responsá-veis pela violação das desigualdades, ou seja, se eles também fossemdetectados e incluídos na estatística das contagens, não haveria vio-lação. Já o loophole de localidade se refere à necessidade de garantirque as escolhas independentes de Ai e Bj realmente o sejam. A pri-meira vez que um outro princípio físico pôde ser experimentalmenteinvocado para fechar este loophole foi quando Alain Aspect e colabo-radores [Asp] fizeram um experimento onde as escolhas dependiam decircuitos eletrônicos independentes, localizados em laboratórios sufi-cientemente afastados para que um sinal enviado por um laboratórionão fosse capaz de atingir o outro se viajasse à velocidade da luz,antes que a outra decisão fosse tomada; em linguajar de teoria darelatividade, esses eram eventos com separação tipo espaço, portantofora dos cones de causalidade.

Para mais aprofundamento em língua portuguesa, sugerimos asreferências [QA] e [Rab].

Capítulo 14

Contextualidade

No capítulo anterior mostramos que não é possível encontrar umateoria realista local que concorde com a mecânica quântica, uma vezque a primeira deve satisfazer a desigualdade CHSH, que é violadapara alguns estados quânticos. Podemos nos perguntar se existe umamaneira de demonstrar essa impossibilidade encontrando alguma con-tradição que seja independente do estado do sistema. Como nenhumexperimento até hoje mostrou alguma contradição com as previsõesda mecânica quântica, incluindo os experimentos que testam a desi-gualdade CHSH, assumimos que essas teorias devem ser compatíveiscom ela. Teorias de variáveis ocultas com essa propriedade serãochamadas Teorias de Variáveis Ocultas Compatíveis (TOVC). Umestudo bem completo sobre o assunto pode ser encontrado em [Cab].

14.1 von Neumann

Um dos primeiros a tentar mostrar a impossibilidade de variáveisocultas compatíveis foi von Neumann em [vNe]. A ideia é mais oumenos a seguinte: sejam A e B as matrizes que representam doisobserváveis em um sistema quântico. Sabemos que, se + é a matrizdensidade que representa um estado desse sistema, então

+A) = Tr(+A), +B) = Tr(+B),

191

192 [CAP. 14: CONTEXTUALIDADE

+A + B) = Tr(+(A + B)) = Tr(+A) + Tr(+B) = +A) + +B).

Em uma teoria de variáveis ocultas, um observável A tem valordefinido em cada estado do sistema1. Denotaremos esse valor porv(A). Para que essa teoria seja compatível com a mecânica quântica,v(A) deve ser um dos autovalores de A. Em sua tentativa de refutara existência de tais teorias, von Neumann assumiu que a expressão

+A + B) = +A) + +B) (14.1)

também deveria ser válida para uma TVOC. Pelo fato de que A possuivalor definido temos v(A) = +A) e portanto

v(A + B) = v(A) + v(B). (14.2)

Com a restrição (14.2), não é difícil mostrar que não existe umaTVOC.

Exemplo 14.1. Em verdade, um contra-exemplo. Vamos considerarum sistema de um qbit e os observáveis A = /x e B = /y. Emmecânica quântica os resultados possíveis para uma medição dessesobserváveis são ±1 e portanto v(A) = ±1 e v(B) = ±1. Assimtemos que para uma TVOC satisfazendo a equação (14.2)

v(A + B) = "2, 0 ou 2.

No entanto A + B = /x + /y possui autovalores ±'

2 e por issov(A + B) = ±

'2 o que é uma contradição.

14.1.1 A Falha na Demonstração de von Neumann

A crítica feita ao argumento mostrado acima se deve ao fato de queassumimos a relação (14.2) entre valores de observáveis não compa-tíveis, que não podem ser medidos simultaneamente em mecânicaquântica [Mer]. O fato de valer a relação (14.1) para os valores espe-rados em mecânica quântica não é suficiente para exigirmos que issoseja válido em teorias de variáveis ocultas, ou seja, o fato de não va-ler (14.2) para observáveis não compatíveis não contradiz a mecânica

1Em uma TVOC o estado do sistema é determinado pelo vetor de estado damecânica quântica mais uma outra variável que pode ser um número real, umvetor real, etc...

[SEC. 14.1: VON NEUMANN 193

quântica em ponto algum. Por outro lado, se os observáveis são com-patíveis, (14.2) deve ser satisfeita. Mais geralmente, se A1, . . . , An éum conjunto de observáveis compatíveis em mecânica quântica queobedecem uma relação do tipo

f(A1, . . . , An) = 0

em que f é uma aplicação qualquer, então a mesma relação deve sersatisfeita pelos valores assumidos pelos observáveis correspondentesem uma TVOC:

f(v(A1), . . . , v(An)) = 0.

Se os observáveis são incompatíveis, não podemos assumir que umarelação válida em mecânica quântica também seja válida em umaTVOC. A contradição que aparece no exemplo 14.1 veio justamenteao fazermos uma restrição desse tipo e por isso o argumento de vonNeumann é falho.

14.1.2 Um Modelo de Variáveis Ocultas Compa-tível em Dimensão Dois

Podemos construir um modelo de variáveis ocultas bem simples paraum qbit [Bel66]. Seja A um operador no espaço de estados corres-pondente E. Sabemos que A pode ser escrito na forma

A = a0I + a1/x + a2/y + a3/z ,

em que cada ai é um número real.Fazendo 1a = (a1, a2, a3) temos que os autovalores de A, e portanto

os possíveis valores de v(A), são

v(A) = a0 ± -1a-.

Seja |!) um vetor em E e 1n o ponto na esfera de Bloch correspondentea |!). Então

+A) = +! |A| !) = a0 + 1a · 1n.

Além do vetor de estado |!), vamos supor que o estado do sistematambém seja descrito por um vetor 1m % S2. O vetor 1m faz o papel devariável oculta de maneira que o estado completo do sistema é dado


pelo par (|!), 1m). Esse par determina o valor a ser obtido no teste deacordo com a regra:

8

v(A, 1m) = a0 + -1a- se (1m + 1n) · 1a , 0,v(A, 1m) = a0 " -1a- se (1m + 1n) · 1a < 0,

em que v(A, 1m) denota o valor atribuído ao teste A no estado (|!), 1m).Esse modelo é compatível com mecânica quântica, uma vez que

/

S2

v(A, 1m) d1m = +A), 8 |!).

14.2 Gleason

Gleason não estava preocupado com teorias de variáves ocultas. Eleestava interessado em estudar medidas no conjunto de subespaçosfechados de um espaço vetorial [Gle].

Definição 14.1. Seja E um espaço vetorial e F o conjunto dos subes-paços fechados de E. Uma medida em F é uma função µ : F # R+

tal que se {Ei} é uma coleção enumerável de subespaços de E mutu-amente ortogonais que geram o subespaço EI então

µ(EI) ="

i

µ(Ei). (14.3)

Uma medida desse tipo é chamada uma medida de probabilidade seµ : F # [0, 1], µ({0}) = 0 e µ(E) = 1.

Teorema 14.1 (Gleason). Seja E um espaço de Hilbert separável 2

de dimensão maior ou igual a três, sobre R ou C. Então toda medidade probabilidade em F é da forma

µ(Ei) = Tr(+Pi), (14.4)

em que Pi é o projetor sobre o subespaço Ei, para algum + que éoperador positivo semi-definido de traço um.

2Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial com produto interno completocom a norma gerada por ele. Um espaço é dito separável se possui um subconjuntodenso enumerável. Os espaços Cn são espaços de Hilbert separáveis, e como sãoos exemplos considerados nesse texto, não precisamos nos preocupar muito comessas exigências.

[SEC. 14.2: GLEASON 195

Apesar de não estar interessado em TVO’s, na demonstração deseu famoso teorema Gleason prova o seguinte resultado:

Lema 14.2 (Lema de Gleason). Seja {|*1), |*2), |*3)} LI em umespaço de Hilbert e

R3 = {c1|*1) + c2|*2) + c3|*3) ; ci % R}.

Então qualquer medida µ em R3 deve ser uma função contínua dec1, c2, c3.

Suponhamos que o espaço de estados de um sistema físico seja umespaço vetorial E de dimensão finita maior ou igual a três. Em umateoria de variáveis ocultas, o resultado do teste correspondente a umprojetor unidimensional P! = |!)+!| em um dado estado deve ter umvalor definido. Se essa teoria é compatível com a mecânica quânticaos valores possíveis são 0 e 1 (que são os autovalores de P!).

Suponhamos que {|!1), |!2), . . . , |!n)} seja uma base ortonormalpara H . Então

P!1+ . . . + P!n = I (14.5)

e portantov(P!1

) + . . . + v(P!n) = v(I) = 1 (14.6)

uma vez que os observáveis P!i são compatíveis para vetores |!i)ortogonais.

Como v(P!i ) vale 0 ou 1, a equação (14.6) implica que v(P!i0) = 1

para algum i0 e v(P!i ) = 0 se i &= i0. Fixemos |!) e suponhamos quev(P!) = 1. Para qualquer |*) ortogonal a |!) temos que v(P!) = 0uma vez que o conjunto {|!), |*)} pode ser estendido a uma basepara a qual vale a equação (14.6). Agora vamos mostrar que isso nãopode acontecer pelo lema de Gleason.

Podemos criar uma medida no conjunto de subespaços de E defi-nindo para os subespaços unidimensionais

8

µ(E") = 0, se P" possui o valor 0 para aquele estado,µ(E") = 1, se P" possui o valor 1 para aquele estado,

em que E! é o subespaço gerado por |!). Estendemos a outros su-bespaços utilizando a propriedade (14.3).


Criamos então uma medida µ que vale 1 em E! e vale 0 paratodo subespaço ortogonal a E!. Se considerarmos a restrição dessamedida a um subconjunto como o conjunto R3 que aparece no lemade Gleason, ela deve ser contínua, mas é impossível construir umamedida contínua com tais propriedades.

Um maneira geométrica de vizualizarmos a impossibilidade dessaconstrução é atribuindo cores aos vetores de R3 * E de acordo como valor da medida no subespaço gerado por esse vetor. Atribuiremosa cor vermelha se v(P!) = 1 e verde se v(P!) = 0. O problemade construir uma medida contínua com as propiedades desejadas éequivalente ao problema de colorir a esfera continuamente com ascores vermelha e verde de maneira que se um ponto é vermelho ocírculo no plano ortogonal a ele deve ser todo verde.

Exercício 14.1. Mostre que tal coloração da esfera é impossível.

14.2.1 A Crítica de Bell

No argumento acima, assumimos que se v(P!) = 1 então v(P)) = 0para todo |*) ortogonal a |!). Essa é a hipótese de não-contextua-lidade: o valor que um observável assume não depende do conjuntode observáveis compatíveis3 que é testado com ele. A princípio, nadagarante que podemos assumir não-contextualidade, mas é mais umaexigência que parece natural para uma teoria realista.

Em algumas situções podemos usar a hipótese de localidade paragarantir não-contextualidade. Suponhamos que {A, B1, . . . , Bn} sejaum conjunto de observáveis compatíveis e que {A, C1, . . . , Cn} tam-bém seja um conjunto de observáveis compatíveis (os observáveis Bi

não são necessariamente compatíveis com os observáveis Cj). Su-ponhamos também que o teste A seja realizado por uma parte doaparato, enquanto outra parte pode escolher entre realizar os testesrelacionados a B1, . . . , Bn, ou os testes relacionados a C1, . . . , Cn.

Nesse cenário, e com a hipótese de localidade, ou seja, que não háação a distância, esperamos que as mudanças na parte do aparato quemede B1, . . . , Bn ou C1, . . . , Cn não afetem o resultado do teste A.Logo v(A) não deve depender do conjunto de observáveis que vamos

3Cuidado para não confundir compatibilidade de observáveis com compatibi-lidade de TVO com a mecânica quântica.

[SEC. 14.3: BELL, KOCHEN E SPECKER 197

testar na outra parte do aparato e a hipótese de não-contextualidadepode ser justificada.

14.3 Bell, Kochen e Specker

A ideia de Kochen e Specker é em alguns aspectos parecida com ada seção anterior. O argumento mostrado por eles em [KS] tambémdescarta TVOC não-contextuais. A grande diferença entre a demons-tração deles e a que aparece como consequência do lema de Gleason éque na segunda precisamos de todas as combinações lineares reais detrês vetores LI no espaço de estados do sistema. Na demonstração deKochen e Specker eles usam um conjunto finito de vetores. Mais pre-cisamente, 117 vetores. Outros trabalhos apresentam demonstraçõessemelhantes com um número menor de vetores.

A prova de Kochen-Specker é feita em um espaço de estados dedimensão três. Novamente vamos assumir que se v(P!) = 1 entãov(P)) = 0 para todo |*) ortogonal a |!). A ideia é encontrar umconjunto finito de vetores {|!1), . . . , |!n)} tal que não seja possívelatribuir valores 0 ou 1 a v(P!i ) de maneira que essa restrição sejasatisfeita.

Podemos representar um conjunto de vetores utilizando um dia-grama de Kochen-Specker: cada vetor |!i) no conjunto correspondea um vértice em um grafo e dois vértices estarão ligados por umaaresta se os vetores correspondentes forem ortogonais. Vamos coloriros vértices do grafo de acordo com os valores associados a v(P!i ). Sev(P!i ) = 1 o vértice correspondente a |!i) será colorido de vermelho;se v(P!i ) = 0 o vértice correspondente a |!i) será colorido de verde.

Pelo fato de estarmos em um espaço de dimensão três e pela con-dição de exclusividade, (14.6), se colorirmos um vértice de vermelho,então os vértices ligados a ele devem ser coloridos de verde e se emum triângulo dois vértices são coloridos de verde então o terceiro deveser colorido de vermelho.

Agora o que devemos fazer é encontrar um diagrama de Kochen-Specker que não possa ser colorido dessa maneira. Isso prova o resul-tado que ficou conhecido como Teorema de Bell-Kochen-Specker4.

4A demonstração do teorema foi feita por Kochen e Specker em [KS], mas ahipótese de não-contextualidade foi apontada por Bell em [Bel66] e por isso o


Teorema 14.3 (Teorema de Bell-Kochen-Specker). Não existe umateoria de variáveis ocultas não-contextual compatível com a mecânicaquântica.

Não vamos entrar em detalhes da prova original, devido a suacomplexidade. Exibiremos uma prova mais econômica em dimensãotrês e duas provas bem simples, uma em dimensão quatro e uma emdimensão oito com um número bem menor de vetores.

14.3.1 Uma Demonstração Econômica em Dimen-são Três

Uma das provas mais simples do teorema de Bell-Kochen-Specker emdimensão três utiliza trinta e três vetores [Per91]. Para simplificara notação, sejam m = "1 e s =

'2. As trinta e três direções5

desejadas, são definidas pelos seguinte vetores:

(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, s), (s, 1, 1),

(0, m, 1), (0, m, s), (s, m, 1), (s, m, m),

bem como as permutações das suas coordenadas.

Exercício 14.2. Mostre que são definidas trinta e três direções noprocesso que acabamos de descrever.

O conjunto acima possui duas propriedades importantes: é invari-ante por permutações dos eixos e por troca de sentido dos eixos. Issopermite que associemos o valor 1 a algumas direções arbitrariamente,sem perda de generalidade, uma vez que uma escolha diferente seriaequivalente a uma troca de eixos ou de sentido em um dos eixos.

A tabela a seguir resume a demonstração do teorema BKS utili-zando os trinta e três vetores. Para simplificar a notação, um vetor(a, b, c) será representado apenas por abc. Os vetores em cada linhada tabela são ortogonais. Aos vetores da primeira coluna é atribuídoo valor 1 e, por consequência, aos vetores que aparecem nas outras

teorema ganha o nome dos três.5O importante é o projetor sobre o subespaço gerado pelo vetor. Se dois

vetores são múltiplos, eles geram o mesmo subespaço e por isso o projetor é omesmo.


colunas deve ser atribuído o valor 0. A justificativa para a atribuiçãodo valor 1 ao vetor da primeira coluna aparece na última coluna.

Trio Vetores ! ao 1! Justificativa001 100 010 110 1m0 Escolha do eixo z101 m01 010 Escolha de sentido em x011 0m1 100 Escolha de sentido em y1ms m1s 110 s0m 0s1 Troca entre x e y10s s0m 010 smm O 2! e o 3! valem zeros11 01m smm m0s O 2! e o 3! valem zeros01 010 10s mms O 2! e o 3! valem zero11s 1m0 11s 0sm O 2! e o 3! valem zero01s 100 0sm 1s1 O 2! e o 3! valem zero1s1 10m 0sm msm O 2! e o 3! valem zero100 0s1 01s CONTRADIÇÃO

Na tabela acima não são usados os trinta e três vetores. No entantonão podemos descartar os vetores que não apareceram. Eles são necessáriosporque devemos ter um conjunto invariante por troca de eixos e de sentidonos eixos para que as escolhas nos quatro primeiros passos possam ser feitassem perda de generalidade.

14.3.2 Propriedades das Matrizes de PauliAs duas próximas demonstrações vão depender fortemente de propriedadesdas matrizes de Pauli, (6.4). Vamos indicá-las a seguir:

Exercício 14.3. 1. Mostre que !a !b = i"abc!c, onde a, b, c = x, y, z e"abc = 1, se abc é uma permutação par de xyz, "abc = "1, se abc éuma permutação ímpar de xyz e "abc = 0, se a, b, c não são distintosdois a dois;

2. Conclua que [!a, !b] = 2i"abc!c;

3. Mostre que [!a # !a, !b # !b] = 0;

4. Da mesma forma, [!a # !b, !b # !a] = 0;

5. E, se a, b, c são dois a dois distintos, [!a # !a, !b # !c] = 0;

6. Mostre ainda que, se [A1, A2] = 0 e [B1, B2] = 0, então

[A1 # B1, A2 # B2] = 0.


14.3.3 Uma Demonstração Simples em DimensãoQuatro

Seja E o espaço de estados de um sistema de dois qbits. Vamos consideraros testes em E correspondentes aos nove operadores abaixo

A1 = !x # I A2 = I # !x A3 = !x # !x

A4 = I # !y A5 = !y # I A6 = !y # !y

A7 = !x # !y A8 = !y # !x A9 = !z # !z

(14.7)

Vamos mostrar que não é possível atribuir valores definidos v(Ai) quesejam independentes do conjunto de operadores compatíveis que são tes-tados juntamente com Ai. Os operadores acima satisfazem as seguintespropriedades

1. Os três operadores em cada linha e em cada coluna comutam;

2. O produto dos operadores na coluna da direita é "I . O produto dosoperadores nas outras duas colunas é I . O produto dos operadoresem cada linha é I .

Como os valores atribuídos por uma TVOC a operadores que comutamdevem satisfazer as mesmas identidades que os operadores satisfazem, apropriedade 2 requer que

P1 = v(A1)v(A2)v(A3) = 1 (14.8a)

P2 = v(A4)v(A5)v(A6) = 1 (14.8b)

P3 = v(A7)v(A8)v(A9) = 1 (14.8c)

P4 = v(A1)v(A4)v(A7) = 1 (14.8d)

P5 = v(A2)v(A5)v(A8) = 1 (14.8e)

P6 = v(A3)v(A6)v(A9) = "1 (14.8f)

Assim temos que

1 = P1P2P3 = P4P5P6 = "1

o que é uma contradição. Logo, não pode haver uma teoria de variáveisocultas não-contextual compatível com a mecânica quântica.

Vale lembrar que nessa demonstração a não-contextualidade apareceao assumirmos que v(Ai) não muda se testamos Ai com os operadores queaparecem na mesma linha ou na mesma coluna.


14.3.4 Uma Demonstração Simples em DimensãoOito

Dessa vez vamos trabalhar com o espaço de estados E de um sistemasde três qbits. Vamos considerar os testes em E correspondentes aos dezoperadores abaixo

A1 = !y # I # I

A2 = !x#!x#!x A3 = !y #!y #!x A4 = !y #!x#!y A5 = !x#!y #!y

A6 = I # I # !x A7 = I # I # !y

A8 = !x # I # I

A9 = I # !y # I A10 = I # !x # I

Os operadores estão dispostos em cinco linhas de quatro operadores:A1A3A6A9, A1A4A7A10, A2A3A4A5, A2A6A8A10 e A5A7A8A9. Essas li-nhas formam uma estrela de cinco pontas. Valem as seguintes propriedades:

1. Os observáveis em cada linha da estrela comutam;

2. O produto dos observáveis em cada linha da estrela é I , exceto paraa linha horizontal A2A3A4A5 em que o produto vale "I .

As propriedades acima implicam que

P1 = v(A1)v(A3)v(A6)v(A9) = 1, (14.9a)

P2 = v(A1)v(A4)v(A7)v(A10) = 1, (14.9b)

P3 = v(A2)v(A6)v(A8)v(A10) = 1, (14.9c)

P4 = v(A5)v(A7)v(A8)v(A9) = 1, (14.9d)

P5 = v(A2)v(A3)v(A4)v(A5) = "1. (14.9e)

Como consequência, temos a contradição

"1 = P1P2P3P4P5 =Z

i

v(Ai)2 = 1.


14.4 Um Modelo de Variáveis Ocultas Con-textual

Para construir um modelo de variáveis ocultas basta definir uma regrapara encontrar os valores v(P") atribuídos aos testes que correspondem aprojetores P". Isso ocorre porque todo operador auto-adjunto pode serescrito como combinação de projetores que comutam:

A ="

i

#iP"i ,

em que #i é o autovalor de A correspondente ao autovetor |$i$. Comopodemos escolher os |$i$ ortogonais, podemos supor [P"i , P"j ] = 0 e porisso

v(A) ="

i

#iv(P"i).

Em [Bel66], é apresentado um modelo de variáveis ocultas contextual.Suponhamos que um aparato em questão testa os projetores P"1

, . . . , P"n

cujos valores esperados sejam a1, a2 " a1, a3 " a2, . . . , an " an"1. Como va-riável oculta tomamos um número real # entre zero e um. O valor v(P"i , #)será dado pela regra

8

v(P"i , #) = 1 se ai"1 < # % ai,

v(P"i , #) = 0 caso contrário.

Observe que os valores atribuídos a cada ai dependem do conjunto deprojetores em questão e não apenas de #. É por essa razão que esse modeloé contextual.

Para mostrar que esse modelo é compatível com a mecânica quânticabasta ver que

&P"i$ =/ 1

0

v(P"i , #)d# = ai " ai"1.

Apesar de artificial, o modelo acima mostra que é possível criarmos te-orias de variáveis ocultas, desde que sejam contextuais. A discussão sobrevariáveis ocultas surgiu quando algumas pessoas se sentiram incomoda-das com o fato de que a mecânica quântica se comportava de maneiracontra-intuitiva. O objetivo era recuperar a noção que temos em mecâ-nica clássica de que todo observável físico possui um valor pré-definido,que existe independente do processo de medição e que é apenas reveladopor ele. No entanto, para recuperar essa propriedade, devemos aceitar acontextualidade: o valor que um observável assume depende do conjunto

[SEC. 14.4: UM MODELO DE VARIÁVEIS OCULTAS CONTEXTUAL 203

de observáveis que é testado com ele. Ficamos com um cobertor curto: sepuxamos de um lado, perdemos do outro. Isso mostra que é impossívelrecuperar para a mecânica quântica as propriedades intuitivas do mundoclássico em que vivemos. Se a mecânica quântica estiver correta, e atéagora não há nenhum indício que aponte o contrário, o comportamento domundo microscópico é bem estranho6, e não há nada que possamos fazer.

6Ou estranhos somos nós, que generalizamos uma série de preconcepções apartir de uma intuição moldada pela experiência clássica e tentamos aplicá-las aum domínio alheio.

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Documents

Bárbara Amaral, Alexandre Tavares Baraviera e Marcelo O. Terra