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INVESTIGANDO O QUE PENSAM OS PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE ÁLGEBRA
Debora Souza
Universidade Federal do ABC
Regina Lucia da Silva
Universidade Federal do ABC
Alessandro Jacques Ribeiro
Universidade Federal do ABC
RESUMO
Este artigo tem o seu início em estudos ocorridos no projeto intitulado “Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais”. Nossa proposta foi possibilitar a ampliação daqueles significados que se manifestam ou se apresentam nas ideias e ações de professores, sendo assim, objetivo deste artigo foi investigar os diferentes conhecimentos mobilizados por alguns professores na escola básica quando descrevem situações matemáticas que envolvam álgebra. Como referenciais teóricos no que diz respeito as diferentes concepções de álgebra, elegemos os seguintes autores: Usiskin, Lee, Fiorentini, Miorin e Miguel, Lins e Gimenez. A metodologia utilizada para desenvolver nossas investigações é de natureza qualitativa e a pesquisa se estruturou em entrevistas e questionários com professores da Educação Básica. Tendo em vista que nossa presente pesquisa dialoga com a formação de professores de matemática fundamentamos nossas análises nos trabalhos de Ball e seus colaboradores que salientam sobre as necessidades dos professores conhecerem e entenderem a Matemática de forma a se entrelaçar com a profissão de ensinar. Com as ideias sobre o Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) e das várias Concepções de Álgebra, identificamos importantes elementos nos diferentes conhecimentos algébricos que surgem no entendimento dos professores acerca das situações matemáticas a eles apresentadas.
Palavras chave: Ensino de Álgebra. Conhecimento Matemático para o Ensino. Professores da Educação Básica. Formação do Professor de Matemática.
Uma visão geral da pesquisa
As ideias apresentadas neste artigo são produtos de pesquisas realizadas no
projeto do Observatório da Educação, da Universidade Federal do ABC
(OBEDUCUFABC), CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal do Ensino
Superior), projeto intitulado"Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: uma
abordagem baseada em perfis conceituais". Este projeto é constituído de três subgrupos
para tratar três vieses relacionados com álgebra: a álgebra vista por ela mesma, a
álgebra vista pela geometria e a álgebra vista pela aritmética.
Para demarcar o tema do projeto de pesquisa, consultouse os resultados da
Prova Brasil/SAEB (2011) e os dados do Instituto de Estudos e Pesquisas Educacionais
Anísio Teixeira (INEP), cujo relatório mostra que os estudantes não dominam
competências como (1) identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um
problema; (2) resolver equações do 1º grau com uma incógnita; (3) resolver problemas
que envolvam equação do 2º grau; (4) identificar a relação entre as representações
algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau; (5) identificar, em um
gráfico de função, o comportamento de crescimento/decrescimento; (6) identificar o
gráfico de uma reta dada sua equação; dentre outras.
Na concepção de coadjuvar a superação de tais deficiências, uma vez que a
Álgebra, assim como a Matemática, pode ser mais e melhor explorada quando seus
significados são articulados com outras áreas do conhecimento (KILPATRICK,
HOYLES, SKOVSMOSE, 2005), a proposta do projeto de pesquisa é, em linhas gerais,
possibilitar a ampliação daqueles significados que se fazem presentes nas ideias, ações e
discursos de alunos e de professores.
Sendo assim, os estudos realizados neste trabalho estão interligados com o
objetivo geral do projeto OBEDUC, que enuncia: Investigar os conhecimentos
algébricos desenvolvidos por professores, ao ensinar Álgebra na Educação Básica,
utilizandose de uma abordagem de ensino baseada em perfis conceituais.
Mediante ao exposto, este artigo busca investigar os diferentes conhecimentos
mobilizados por alguns professores na escola básica quando descrevem situações
matemáticas que envolvam álgebra.
Alguns referenciais teóricos sobre as Concepções de Álgebra
Com relação ao aporte teórico de nossas pesquisas, elegemos para os nossos estudos os
seguintes autores:
Usiskin (1995), apresenta quatro diferentes concepções. Na primeira concepção
temos a álgebracomo aritmética generalizada. Aqui as ações importantes para o
estudante da escola básica são as de traduzir e generalizar. A segunda
concepção, a álgebra é concebida como estudo de procedimentos para resolver
certos tipos de problemas, sendo que, as instruções chaves são simplificar e
resolver. Em relação a terceira concepção, relacionase à álgebra como estudo
das relações entre grandezas. Nessa concepção as variáveis realmente variam, o
modelo é fundamentalmente algébrico e as variáveis são diferentes do
argumento como, por exemplo, a equação de uma reta. E, na última concepção
encontramos a álgebra como estudo das estruturas, nesse caso, as atividades
optam por manipular e justificar.
Lee (2001) descreve que, para fornecer um modelo sobre visões de álgebra,
destacase a álgebra como:Linguagempara desenvolver a comunicação em uma
linguagem algébrica; Caminhos de Pensamento, ou seja, pensamentos sobre
relações matemáticas em lugar de objetos matemáticos;Atividadecomo modelo
de construção de atividades; Ferramenta para resolver problemas de modo a
veicular e transformar mensagens; Generalização ou estudo das estruturas da
aritmética; e Cultura cuja linguagem de comunicação é a algébrica.
De acordo com Fiorentini, Miorin e Miguel (1993), apresentam três concepções:
Linguísticopragmática, Fundamentalistaestrutural e
Fundamentalistaanalógica. Na primeira concepção o domínio da crença de que,
a aquisição, ainda que mecânica, das técnicas requeridas pelo “transformismo
algébrico” seria necessária e suficiente para que o aluno adquirisse a capacidade
de resolver problemas, ainda que esses problemas fossem, quase sempre,
artificiais. Fundamentalistaestrutural incide à introdução de propriedades
estruturais das operações, que justificassem logicamente cada passagem presente
no transformismo algébrico, capacitaria o estudante a identificar e aplicar essas
estruturas nos diferentes contextos em que estivessem subjacentes. E na última,
temos a síntese entre as duas anteriores, envolvendo de forma lógicoestrutural
justificação das passagens presentes no transformismo algébrico característica
da segunda concepção. O enfoque, na maioria dos casos, releva recursos
analógicos geométricos e, deste modo, visuais.
As três concepções sobre a educação algébrica de Lins e Gimenez (2001) são: a
primeira diz respeito à concepção letrista, a qual resume o cálculo com letras às
atividades citadas como algébricas, que envolvem atividades normalmente
fundamentadas na sequência técnicaprática, via algoritmo – exercícios; a
segunda concepção é denominada letrista facilitadora, que por meio de trabalho
com situações concretas, toma a capacidade de lidar com expressões algébricas
literais alcançadas por abstração. As atividades propostas são o uso de áreas para
ensinar produtos notáveis, balança de dois pratos para ensinar resolução de
equações e a terceira concepção, denominada de modelagem matemática, que
apresenta como ponto de partida uma situação concreta, porém com sentido
diferente da segunda concepção, pois o concreto aqui é visto como real e as
atividades proposta são de investigação de situações reais.
No trabalho de Ribeiro (2013), o autor traz uma discussão sobre perfil conceitual
e ensino de matemática e após isso, apresenta algumas zonas de um perfil
conceitual de equação e, a partir de reflexões e análises que foram propiciadas
por um estudo envolvendo pesquisas suas e de seus alunos. Até o momento, o
autor identifica as seguintes zonas que compõem um perfil conceitual de
equação: Pragmática Equação interpretada a partir de problemas de ordem
prática. Busca solução predominantemente aritmética; Geométrica Equação
interpretada a partir de problemas geométricos. Busca pela solução
predominantemente geométrica; Estrutural – Equação interpretada a partir de
sua estrutura interna. Busca pela solução predominantemente algébrica;
Processual Equação interpretada a partir de processos de resolução. Busca pela
solução aritmética ou algébrica; Aplicacional Equação a partir de suas
aplicações. Busca pela solução aritmética ou algébrica.
Os autores Ball, Thames e Phelps (2008) que salientam que os professores
precisam saber/conhecer o conteúdo matemático pois, quando não se tem o
conhecimento necessário fica complicado visualizar as deficiências que ocorrem
com os alunos na aprendizagem. Contudo, conhecer o conteúdo não é suficiente.
Professores necessitam abordar a matemática com utilidade para ter uma visão
com significado para o aluno e escolher diferentes formas de representações dos
conteúdos e, assim, tornar o assunto de uma maneira compreensiva para o
educando.
Com o apoio teórico selecionado ainda, alguns pontos mereciam ser discutidos
com o grupo geral: quais concepções poderíamos utilizar para as análises? Existe a
possibilidade de elaborar categorizações que nos auxiliem nestas análises?
O surgimento de um “Quadro de Referência”
Primeiramente, debatemos como seria feito o mapeamento das concepções de
álgebra, para organizar as ideias, percorreuse vários sentidos das categorias de
diferentes autores observamos que poderiam trazer complicações no sentido em que, ao
olhar para o trabalho inteiro destes autores, algumas dessas categorias podem ser
incompatíveis (devido às suas concepções de álgebra); e segundo, agrupar as diferentes
categorias em uma única pode trazer complicações no sentido em que, apesar de
semelhantes, essas categorias não tratam exatamente das mesmas coisas. Com essas
ideias, decidimos por uma categorização que use o modelo de agrupamentos que foi
proposto pelo SG3, mas que escolha um representante de categoria como proposto pelo
SG1 e desta forma, entendemos que minimizamos os problemas, uma vez que o
representante (escolhido por ser a concepção mais abrangente/característica da
categoria) pode ser trocado quando necessário.
Foi proposto também, a criação de uma categoria a “préálgebra” que tem por
base as Concepções de Lins e Gimenez (1997), cujo objetivo tanto da Educação
Algébrica como da Educação Aritmética é de promover habilidades de resolver
problemas e Maclane e Birkhoff, (1967, apud Usiskin, 1995, p. 9), descrevem que: “A
álgebra começa como a arte de manipular somas, produtos e potências de números”.
Como o SG3 decidiu trabalhar a princípio, no sentido de mapear as Concepções
de Álgebra com a intenção de perceber categorias, a primeira ideia que surgiu foi de
ordenar aspectos comuns entre as Concepções de Álgebra estudadas. Assim,
construiuse “seis organogramas”, que sintetizaram as principais ideias do nosso estudo
teórico, tornandose a base para compor o “Quadro de Referência” das categorias de
Álgebra que ficou organizado da seguinte forma:
Quadro 1: Quadro de Referência das Categorias de Álgebra
Fonte: Grupo
OBEDUC
Com os estudos que fizemos por um longo período até construir “quadro de
referência” podemos ter mais clareza das Concepções de Álgebra, e, este, será o suporte
para as análises das cinco questões descritas por alguns professores da Educação Básica
(PEB). Ainda, sobre o quadro, este já foi exposto com maiores detalhes em um evento
cujo artigo está intitulado “Concepções de Álgebra: Uma Tentativa de Construir um
“Quadro de Referência” por Integrantes de um Grupo Colaborativo”.
Método da Pesquisa
A investigação se enquadra em uma metodologia qualitativa (BODGAN E
BIDKLEN, 1994) uma vez que, requer averiguar todo o processo com riqueza de
descrição.
Para desenvolver as investigações, a pesquisa se estruturou, em
entrevistas/questionários com professores da Educação Básica (PEB) que estão
conectados com os professores da Educação Básica, integrantes do projeto. A coleta de
dados foi dividida em três fases: a primeira fase estava constituída de questões que
foram entregues aos professores cujo objetivo seria traçar o perfil dos professores; para
a segunda fase foram elaboradas nove questões sobre as Concepções de Álgebra e a
terceira fase com a composição de cinco situações matemáticas relacionadas com o
conceito algébrico. As entrevistas da segunda fase, foram agendadas, gravadas e
posteriormente transcritas para as análises. Quanto as questões escolhidas foram
retiradas de artigos estudados no período de quase dois anos. Montamos uma apostila
com as situações, entregamos aos professores e estabelecemos um prazo de quinze dias,
para que os professores descrevessem as suas soluções. Ressaltamos que este trabalho
terá o auxílio nas análises do nosso quadro de referência.
Apresentação das questões elaboradas pelo grupo do projeto
A seguir, o instrumento de coleta de dados cujas situações constam na terceira
fase deste estudo dentro do projeto OBEDUC são:
Situação 1
Objetivo: Conhecer a metodologia abordada pelo professor ao ensinar um conteúdo.
Figura 1: Situação 1 – atividade proposta ao professor da Educação Básica
Fonte: OBEDUC "Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em
perfis conceituais"
Situação 2
Objetivo: investigar que estratégias o professor utilizaria para auxiliar na prevenção
deste tipo de erro.
Figura 2: Situação 2 – atividade proposta ao professor da Educação Básica
Fonte: OBEDUC "Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em
perfis conceituais"
Situação 3
Objetivo: identificar os conhecimentos que o professor pode mobilizar no tratamento
de uma questão que possui diferentes possibilidades de resolução e os conhecimentos
do professor sobre o currículo.
Figura 3: Situação 3 – atividade proposta ao professor da Educação Básica
Fonte: OBEDUC "Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em
perfis conceituais"
a) você trabalharia com esta situação no 6º ano? Se sim, quais seriam os conceitos
matemáticos trabalhados? Se não, justifique.
b) você trabalharia com esta situação no 9º ano? Se sim, quais seriam os conceitos
matemáticos trabalhados? Se não, justifique.
Situação 4
Objetivo: investigar o conhecimento específico do professor sobre equação.
Figura 4: Situação 4 – atividade proposta ao professor da Educação Básica
Fonte: OBEDUC "Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em
perfis conceituais"
Situação 5
Objetivo: investigar conhecimento e também quais as abordagens utilizadas.
Figura 5: Situação 5 – atividade proposta ao professor da Educação Básica
Fonte: OBEDUC "Conhecimento Matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em
perfis conceituais"
Análises e Resultados
Nesta fase, quanto as análises das questões, procuramos agrupar os professores
de acordo com as semelhanças de resoluções e, assim, enquadramos nas categorias que
constam em nosso “quadro de referência”. Selecionamos para cada questão a que ao
nosso ver, melhor representasse as categorias organizadas em nosso “Quadro de
Referências”. Sendo assim, estabelecemos da seguinte forma:
Questão 1 Categoria “Relações”
Nestas tarefas que foram elaboradas pelos professores de nossa pesquisa, o
conceito algébrico é apresentado por meio de problemas. Estes, estão ligados em um
contexto relacionado ao dia a dia do aluno. Além disso, observamos as seguintes
concepções que permeiam o campo da álgebra: relacionam duas grandezas, surge a
preocupação em mostrar o ao aluno as diferentes funções de álgebra como, por
exemplo, padrões aritméticos, além do contato com fórmulas. Sendo assim, analisamos
dentro da categoria de Relações.
Figura 6: Categoria Relações
Fonte: protocolo do PEB 1
Questão 2 Categoria “PréAlgebra”
Nesta questão os professores deveriam buscar uma estratégia para auxiliar o
aluno a prevenir o erro que aparece na questão. Em suas colocações, eles descrevem a
necessidade de retomar as noções de área e perímetro com base na representação de
cálculo numérico e, somente depois conduzir para o enfoque algébrico. Em nossas
análises somente, um dos professores fez referência a propriedade distributiva. Com a
utilização de um enfoque aritmético colocamos na categoria “PréÁlgebra”.
Figura 7: Categoria PréÁlgebra
Fonte: Protocolo do PEB 7
Questão 3a – Categoria “Manipulação”
Tanto a questão 3a e a questão 3b, com relação as soluções, os professores
propõem para as resoluções destas atividades um caminho que conduz uma linguagem
simbólica que poderá ser traduzida por uma equação. E, assim utilizar as propriedades e
técnicas necessárias para a solução. Classificamos as duas questões dentro da categoria
de “Manipulação”.
Figura 8: Categoria Manipulação
Fonte: Protocolo do PEB 1 Questão 3a
Questão 3b “Manipulação”
Figura 9: Categoria Manipulação
Fonte: Protocolo do PEB 10 – questão 3b
Questão 4 Categoria “Generalizações”
Nesta proposta de atividade os professores traduzem da linguagem natural para a
linguagem simbólica. Percebem a existência de duas incógnitas reconhecendo um
sistema de equação do 1º grau e estabelecem para a resolução o método da adição.
Assim, a equação que surge descreve uma situação concreta para algo comum, ou seja,
generaliza uma ideia. Sendo assim, classificamos na categoria “Generalizações”.
Figura 10: Categoria Generalizações
Fonte: Protocolo do PEB 3
Questão 5 – Categoria “ Manipulação”
Observamos que a grande maioria das propostas dos professores para a
utilização desta questão revelam a introdução do conceito de área e o uso da variável
como incógnita. Para resolver esta questão sugerem o Teorema de Pitágoras e a fórmula
da área do quadrado. Notamos que os professores acreditam que os alunos já devem
conhecer as técnicas (fórmula do Teorema de Pitágoras e a fórmula da área do
quadrado) necessárias para resolver esta questão. A categoria que enquadramos é
“Manipulação”.
Figura 11: Categoria Manipulação
Fonte: Protocolo do PEB 1 – Questão 5
Para nossa melhor compreensão das análises resolvemos organizar as categorias
que surgiram nas respostas dos PEB por meio de um quadro geral”. Na categoria “Não
se aplica”, as atividades não se enquadraram dado que, as considerações descritas por
alguns dos professores não possuem clareza ao realizar a proposta, por exemplo, eles
colocam o conteúdo pertinente a questão sem detalhar quais os procedimentos que
poderiam ser realizados nas questões.
Quadro 2: Análises das respostas dos PEB
Fonte: grupo SG3
Observamos na questão 1, algumas tarefas elaboradas pelos professores, o
significado da letra aparece como incógnita, ou seja, valor desconhecido que possui a
necessidade de descobrir e, assim, utilizar operações aritméticas e/ou algébricas. E
também, a letra com o papel de estabelecer uma relação de dependência e
independência entre as grandezas dando o significado de variável. Outro aspecto
verificado é que os professores privilegiam a categoria “Manipulação” (resolver, aplicar
técnicas) e que a categoria “Estruturação” surge em apenas uma resolução (Q1–P8). Outro fator apontado no resultado foi a dificuldade no entendimento do enunciado das
situações de alguns professores. Acreditamos que estes professores têm problemas em
um dos aspectos da Álgebra que seria a passagem da linguagem natural para a
linguagem algébrica e, assim, traduzir e solucionar algumas das questões propostas.
Com isso, cremos revelar o não reconhecimento das diferentes funções de Álgebra.
Considerações Finais
O ponto central de nosso trabalho está em compreender que Álgebra surge
quando os docentes realizam o trabalho de ensinála. Desta forma, podemos nos
conectar com o modelo proposto do Conhecimento Matemático para o ensino (MKT –
Mathematical Knowledge for Teaching). Esta perspectiva junto com as análises das
questões nos levou a compartilhar com as ideias de Ball (2008) ao revelar que em
matemática existe a necessidade de entender o conhecimento da Matemática
(compreensão das conexões) e conhecimento sobre a natureza da matemática
(organização, conhecimento, conhecimento de fazer matemática). Embora esta pesquisa
esteja em expansão, acreditamos que as compreensões apresentadas em nossas análises,
seja um subsídio para auxiliar profissionais da educação a refletirem sobre quais
conhecimentos algébricos devem ser ensinados na educação básica com uma
perspectiva de melhoria no ensinar Álgebra e sobre a forma de ensinála.
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