Álgebra Básica - PotenciaçãoPara indicar que um número está elevado à uma potencia qualquer, colocamos esta potência como expoente. Veja o exemplo.

5 elevado à potência 454

Quando dizemos que um número qualquer está "elevado à potencia 4", por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado por ele mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:

54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625Veja mais exemplos:

29 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 51233 = 3 · 3 · 3 = 2782 = 8 · 8 = 64

Genericamente podemos representar uma potência:

Onde chamamos "X" de base e "n" de "expoente" ou "potência".Com esta definição de potenciação, podemos efetuar algumas continhas utilizando estas potências. Por exemplo, podemos multiplicar 53 por 59. Veja na próxima página como fazer isso... Álgebra Básica - Potenciação - Propriedades Operatórias

Quando estivermos operando uma equação, diversas vezes encontraremos potências envolvidas no meio do cálculo.Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potências.Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre ilustrando com um exemplo para tentar "demonstrar" de onde veio a regra.

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas.Por exemplo, se aparecer o número 54 multiplicado por 53,

Esta é a operação que queremos efetuar. Vamos abrir a potência

Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado à potência sete. Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 54 com os 3 fatores de 53

Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.

Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genericamente temos:

Esta é a regra. "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...), que a regra continuará valendo.Conserva-se a base e soma-se os expoentes. É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada.Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto.

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão. O exemplo será 126 divididos por 122:

Esta é a divisão que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência.

Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo.

Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.

Veja que esta multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.Genericamente, temos:

Novamente, "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras mais utilizadas.

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE

Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais.O exemplo será 65multiplicados por 95:

Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências.

Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem.

Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então

E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número.Conserva-se o expoente e multiplica-se a base. Generalizando:

Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE

O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão. O exemplo será 84 divididos por 54:

Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências.

Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.

E isto é a fração elevado na potência 4.

E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando,

Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos.Conserva-se o expoente e divide-se as bases.

POTÊNCIA DE POTÊNCIA

Já vimos as principais propriedades de operações.Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:

(42)3 O que devemos fazer?Vamos desenvolver este exemplo:

Vamos abrir a potência de dentro do parênteses

Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes,

E isso nos dá a potência 46. E agora tiramos outra regra para potências.

Generalizando, ficamos com:

Onde "a" e "b" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.Potência de potência, multiplica-se os expoentes.

 

ATENÇÃO

Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:

(-5)2 = (-5) · (-5) = +25(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16

Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":

(-5)2=52=25(-2)4=24=16Se "k" for PAR (-X)k=Xk

E se tivermos um expoente ímpar?

(-5)3=(-5)·(-5)·(-5)Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)2=+25, substituindo ao lado:

(-5)3=25·(-5)=-125Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta

 

PEGA-RATÃO

(-5)2 é totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.

Para representar números muito grandes ou até mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado potências com algumas bases fixas. Uma das bases mais utilizadas é a base DEZ. No tópico após "Radiciação" iremos estudar esta base.Agora iremos ver propriedades semelhante a esta, mas para radiciação. Clique na seta "avançar" abaixo e continue estudando.Todas estas fórmulas você encontra, para referência rápida, no item resumo do menu lá em cima da página.

Álgebra Básica - Potenciação - Conseqüências das Operações Com base nas operações com potências, existem algumas propriedades interessantes de serem vistas.

Qualquer número elevado à potência ZERO resulta 1.Só não pode ser 00, pois este não existe!

Ex.:

 

A potência 1 indica que devemos multiplicar "a" por ele mesmo 1 única vez. Portanto, é o próprio "a".

Ex.:

 

A potência "n" indica quantas vezes o número 1 será multiplicado por ele mesmo, e não interessa quantas vezes seja, sempre será 1.

Ex.:

 

Idem ao de cima. Não interessa quantas vezes o zero seja multiplicado por ele mesmo, sempre será zero.Lembre-se que não pode ser 00, pois não existe!

Ex.:

 

Sempre que tivermos um expoente negativo, este troca de numerador para denominador, ou seja, vai de cima da fração para de baixo da fração.

Ex.:

 

A regra acima também vale ao contrário. Se tivermos uma potência negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar o sinal da potência.

Ex.:

   

Álgebra Básica - RadiciaçãoA matéria de radiciação acaba ficando bem mais fácil se você já viu o caítulo de "Potenciação". Radiciação é o inverso da potenciação.Por exemplo, se elevarmos um número X à quinta potência e depois tirarmos a raiz quinta do resultado, voltaremos ao número X original.Exemplos:

Para acharmos a raiz cúbica de oito , devemos nos perguntar qual o número que, multiplicado por ele mesmo três vezes, resulta 8.Ou seja, qual o número que elevado na potência 3 resulta 8?.A resposta é 2, pois 23=2·2·2=8Nomenclatura:

Para facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em uma potência. Assim fica muito mais fácil, pois podemos utilizar as mesmas propriedade de potenciação.

Vamos agora ver alguma propriedades fundamentais de radiciação:

Isto acontece pois ZERO vezes ZERO sempre será zero, não importa quantas "n" vezes ele aparecer.

Mesma coisa, um vezes um é sempre 1

Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que multiplicado uma vez por ele mesmo resula ele? Ele mesmo!

Se colocarmos esta raiz na forma de potência temos:

e a fração vale 1, então:

Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria , a única diferença é que agora o "a" está elevado em uma potência diferente de 1.

Estas são as principais propriedades de Radiciação. Agora vamos ver as propriedades operatórias, ou seja, como fazer operações com raízes (multiplicação, divisão...).PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

Agora vamos dar uma visão mais genérica, visto que as propriedades irão se repetir pois são idênticas às de potênciação:

Ao transformarmos as raízes da multiplicação em potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.

Se transformarmos a multiplicação de raízes em multiplicação de potências, podemos utilizar a propriedade de multiplicação de dois números na mesma potência.

Novamente se transformarmos a raiz em potência, teremos:

Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz:

ATENÇÃO

Existe uma propriedade matemática para representações de números, que impede a presença de raízes inexatas no denominador de uma fração.Para mudarmos isso utilizamos uma técnica chamada de "Racionalização de Frações", que será vista daqui a três capítulos. No próximo tópico iremos aprender como utilizar fatoração para nos auxiliar com potências e no tópico seguinte iremos aprender a racionalizar.

Álgebra Básica - Potência de Base Dez Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo de base para uma potência. Em certos casos é muito utilizado a escrita na forma de "BASE DEZ". Que é o que iremos estudar neste tópico. Vamos começar mostrando uma propriedade SUPER básica de uma multiplicação de um número qualquer por 10.

5 x 10 = 50

52 x 10 = 520

458 x 10 = 4580

30 x 10 = 300Note que sempre que multiplicamos qualquer número inteiro por 10, acrescentamos um zero à direita deste número e obtemos o resultado, não interessa por quais e por quantos algarismos é formado este número.Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10 três vezes:

256 x 10 = 2560

2560 x 10 = 25600

25600 x 10 = 256000Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três zeros à direita do número.Veja que o número 256000 pode ser escrito como 256 x 10 x 10 x 10. Ou seja:

256000 = 256 x 10 x 10 x 10Aplicando potênciação na multiplicação do 10, temos:

256000 = 256 x 103

Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o mesmo trabalho. Mas veja agora o número abaixo:

12450000000000000000000000000000Para representá-lo em uma forma mais compacta, utilizaremos a potência de base DEZ:

12450000000000000000000000000000 = 1245 x 1028 Note que para este tipo de número, o expoente da base 10 será igual ao número de zeros à direita que existem no número a ser representado.

Potências de base DEZ também são utilizadas para "movimentar a vírgula" de um número decimal.Vamos ver agora uma outra propriedade básica de DIVISÃO por 10.

5 ÷ 10 = 0,552 ÷ 10 = 5,2

458 ÷ 10 = 45,830 ÷ 10 = 3,0

Note que ao dividir por 10, o resultado será composto pelos algarismos do dividendo (número a ser dividido), sendo que este resultado terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula.

254 ÷ 10 = 25,4Número sem

vírgulaResultado tem os mesmos algarismos, com UM algarismo APÓS a vírgula.

Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o quadro abaixo:25,4 ÷ 10 = 2,54

Número a ser dividido

Resultado tem os mesmos algarismos, só que agora com DOIS algarismos APÓS a vírgula.

Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula "se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos dividir novamente para confirmar.

2,54 ÷ 10 = 0,254Número

a ser dividido

Resultado tem os mesmos algarismos, agora com TRÊS algarismos APÓS a vírgula. Como o número só tinha três algarismos, colocamos um zero à esquerda, para não

ficar ,254

Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254 dividido por 10 três vezes, ou seja:0,254 = 254 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10

Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é a mesma coisa que multiplicar pela fração . Aplicando esta propriedade:

Agora, aplicando as propriedades de potênciação:

Esta notação (forma de apresentar o valor) é também chamada de notação científica. Para números extremamenta pequenos ou absurdamente grandes é muito utilizada.Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos por 10, iremos desfazer a "movimentação" para esquerda, ou seja, a vírgula irá "se movimentar" para direita.

0,254 x 10 = 2,54Então, se multiplicarmos por 10 três vezes, voltaremos para 254:

0,254 x 10 x 10 x 10 = 2540,254 x 103 = 254

RESUMÃO

Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos "aumentar" o número de zeros à direita ou "movimentar" para direita a vírgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:

54 x 105 = 5400000 Acrescentamos 5 zeros à direita do 54

2050 x 102 = 205000 Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050

0,00021 x 104 = 2,1 "Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita

0,000032 x 103 = 0,032 "Movimentamos" a vírgula 3 casas para direitaQuando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos "diminuir" o número de zeros à direita ou "movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:

54 x 10-5 = 0,00054 "Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda

2050 x 10-2 = 20,5"Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda. Lembrando que 20,5 = 20,50

0,00021 x 10-4 = 0,000000021 "Movimentamos" a vírgula 4 casas para esquerda

0,000032 x 10-3 = 0,000000032 "Movimentamos" a vírgula 3 casas para esquerda

32500000 x 10-4 = 3250 "Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita

Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta matéria:

- Calcule o valor de :    - Primeiro de tudo vamos colocar todos números em notação científica (potências de base DEZ):

    - Vamos organizar os termos, para facilitar o cálculo:

    - Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da multiplicação e aplicar as propriedades de potênciação no lado esquerdo para calcular. Fazendo isso, temos:

1024 x 10-1 = 102,4

Álgebra Básica - Fatoração em Números Primos O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos. O que significa fatorar? O que é um fator? Números Primos? :-)Quando aprendemos a multiplicar (lá nas primeiras séries), também aprendemos o que é um fator.Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:

Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos:

Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 29 = 3 · 3

32 = 16 · 290 = 15 · 3 · 2

Todos estes são exemplos de fatoração. Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no número que deseja-se fatorar.Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos.

NÚMEROS PRIMOS

Número Primo Positivo é todo aquele número que só pode ser dividido pelos números positivos 1 e  ele mesmo. Por exemplo, o número 10 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10.O número 5 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 5. Os primeiros números primos positivos são:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 37...}Curiosidade : O único número primo positivo que é PAR é o 2. Todos os restantes são ímpares.Obs.: A qualidade de ser primo é algo que também afeta os números negativos. Apesar de não ser algo muito utilizado nos vestibulares. Para os negativos, dizemos que um número é primo negativo quando só pode ser divido pelos números negativos -1 e ele mesmo. Ou seja, o número -3, que só pode ser dividido pelos negativos -1 por ele mesmo também é primo.

Para fatorar um número em fatores primos utilizamos um método que foi ensinado a vocês nas primeiras séries do colégio.Começamos escrevendo o número a fatorar com uma barra vertical ao lado:Por isso não iremos entrar muito em detalhes. Veja os exemplos abaixo:

Com isso achamos a fatoração em primos destes números:

NúmeroFatoraçãoem primos

Fatoração em Primosutilizando Potências

81 3 · 3 · 3 · 3 34

126 2 · 3 · 3 · 7 2 · 32 · 7

147 3 · 7 · 7 3 · 72

1365 3 · 5 · 7 · 13  

Agora vamos ver a aplicação de tudo isso na potenciação e radiciação. Veja os exemplos:Primeiro fatoramos o radicando:

Agora aplicando as propriedades de radiciação:

Portanto,

Álgebra Básica - Racionalização de frações

Como dito anteriormente (na lição retrasada), não se costuma deixar uma fração com raiz de qualquer ordem no denominador, ou seja, não pode ter raízes na parte de baixo de uma fração. Para corrigirmos isso, usamos uma técnica chamada de "Racionalização de Frações".Um tópico bem simples. Se você já tem conhecimento desta matéria pode passar adiante e fazer os exercícios de Potenciação de Radiciação.

Racionalização de Frações (Introdução)

Esta técnica consiste em multiplicar a fração dada por um número que não altere o seu valor (apenas a sua apresentação).Pense comigo, qual o número que pode ser multiplicado por qualquer outro e não altera o valor deste outro número?- Isso mesmo, 1 (um)  :)Qualquer número multiplicado por 1 continua com o mesmo valor, veja os exemplos:

5 · 1 = 5123 · 1 = 123

Também sabemos que qualquer fração que tenha o numerador (parte de cima da fração) igual ao denominador (parte de baixo da fração) vale 1:

Agora sim vamos ver Racionalização de Frações.

Racionalização de Frações (1o caso)

O primeiro caso é quando temos apenas uma raiz sozinha no denominador.

Vamos ver como se racionaliza uma fração aplicando em um exemplo. Temos a fração e queremos saber uma representação para este mesmo valor, mas sem nenhuma raiz em baixo.A técnica diz que devemos multiplicar esta fração por outra fração que tenha valor 1 para não alterar seu valor.Esta fração deve ter seu denominador igual ao seu numerador e ambos igual ao denominador da fração a ser modificada, no caso .

Agora, efetuando esta multiplicação de frações (numerador de uma multiplica o numerador de outra, denominador de uma multiplica o denominador de outra):

Pronto, achamos a fração procurada:

Mais exemplos:

fração racionalização

Tivemos que fatorar o 12

Racionalização de Frações (2o caso)

O segundo acontece quando, além da raiz temos outro número somado à ela no denominador. Exemplo:

Para racionalizar este tipo de fração devemos, novamente, multiplicar por uma fração de valor 1. Formada pelo denominador da primeira apenas com o sinal do meio trocado.Veja os exemplos:

Note que a fração grifada em azul nos cálculos acima que é a fração que você deve multiplicar.Ela é igual à parte de baixo da fração que estamos racionalizando, mas com sinal do termo que tem raiz, trocado.

Racionalização de Frações (3o caso)

O terceiro caso ocorre quando temos uma raiz dentro de outra raiz no denominador. Veja os exemplos:

Para resolver estes casos, vamos ter que calcular dois passos. Primeiro devemos multiplicar pela fração formada pela raiz do denominador com o sinal do meio trocado. Veja os exemplos abaixo:

Ué, mas ainda tem uma raiz no denominador.- Isso mesmo, agora a gente aplica o 1° caso nesse resultado.

Note que até agora só trabalhamos com raízes quadradas.Veja no próximo tópico como fazer se for uma raiz diferente de quadrada.

Racionalização de Frações (4o caso)

Este último caso é o menos comum de todos, mas não quer dizer que não caia no vestibular também.Ele ocorre quando temos uma raiz diferente de raiz quadrada no denominador. Veja uns exemplos:

Para resolver este tipo de questão, novamente devemos multiplicar esta fração por uma que valha 1 e nos seja conveniente (que retire a raiz do denominador).Esta fração conveniente será achada através da seguinte propriedade:

Sendo que o expoente do resultado , deve ser 1.Vamos ver um exemplo:

Este será o exemplo que iremos desenvolver. Primeiro iremos transformar a raiz do denominador em potência

Pronto, agora em cima deste devemos achar um expoente que somado a ele resulte 1.

O expoente que procuramos é , agora vamos multiplicar.

Esta é a resposta final. Pois o 4225, ao ser fatorado, não ajuda em nada.

Agora faça os exercícios sobre potênciação e radiciação para testar se você obteve êxito neste estudo inicial.

Álgebra Básica - Formulário Potenciação e Radiciação