"COMPORTAMENTO CRITICO

DE UM GÂS DE BOSE ­

, -EINSTEIN MAGNETIZADO"

Melquisedech Soares Silva

Dissertação apresentada ao Insti­

tuto de Fisica e Quimica de são

Carlos, da Universidade de são

Paulo, para obtenção do titulo de

Mestre em Fisica Básica".

Orientador:

Prof.Dr. Sylvio Goulart Rosa Jr.

·DEPARTAMENTO DE FíSICA E CI~NCIA DOS MATERIAIS

são Carlos

1 9 8 4

------...-BIBLIOTECA DO INSTlTúTO DE FIslCA E QulMICA DE SÃO CARLOS. USP

FI S I C A

1II

MEMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA DISSERTACAO DE MESTRADO DE

MELQUISEDECH SOARES SILVA

APRESENTADA AO INSTITUTO DE FTsICA E nuTMICA DE SAO CARLOS, DA

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO, EM ~ DE março DE 198 4.

COMISSAO JULGADORA:

,/ J

Or. SYLVIO GOULART ROSA JUNIOR - Orientador

Or. JOsE ROBERTO DRUGOWICH DE FELICIO

. C'/k~_- --'--) _O r. GILMAR EUG:t:NWMA.RQUES

--------.-------BIBLIOTECA 00 INSTITUTO DE FISICA ,[ QUlM1CA DE SAO CARLOS • USP

FI S IC A

Dedico,

Aos meus pais

José Deque e Leonice,

a minha esposa Nenen

e ao meu filho Andrei.

AGRADEÇO,

Em especial ao Prof.Sylvio Goulart Rosa Jr. pela agradi

vel orientação e colaboração para minha formação profissional.

Ao amigo Hidembergue por suas muitas e valiosas suges

tões.

à Nenen pelo companheirismo e palavras de estímulo.

à Loreni pelo excelente trabalho de datilografia.

Ao Departamento de Física do Instituto de Física e Químl

ca de São Carlos,USP,pela acolhida e à Universidade do Amazonas pe

10 apoio financeiro.

íNDICE

LISTA DE ILUSTRAÇOES E TABELAS 1

I{ESU~10 11

I\BSTRACT 111

CAP 1TULO I - INTRODUÇÃO 1

CAPITULO 11- APRESENTAÇÃO DAS FUNÇOES TERMODINÂMICAS 6

2.1. As funç6es termodin~rnicas a volume constan

te 6

2.2. As funções termodinâmicas à pressão cons -

t an te 12

CAPITULO III-OS EXPOENTES CRITICOS 16

3.1. Cálculo dos expoentes críticos a volume

constante 16

3.2. Cálculo dos expoentes criticos à pressão

cons tan te 25

3.3. Comportamento das funções termodinâmicas

nas linhas de transição 29

CAPITULO IV -CONCLUSÕES 42

APtNDICE I - AS FUNÇÕES DE BOSE-EINSTEIN 45

APtNDICE 11- O LOGARfTMO DA FUNÇÃO DE GRAND PARTIÇÃO ~ 47

APtNDICE III-COMPORTAMENTOS DAS FUNÇÕES TERMODINÂMICAS NA VI-

ZINHANÇA DO PONTO CRITICO 52

APtNDICE IV- AS PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DO GÁS IDEAL DE

BOSE-EINSTEIN 57

REFERtNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 60

·.~

. ,....•

41

i

LISTA DE ILUSTRAÇOES

Figura I - Linhas de tran~ição L1T, L2T e L3T no plano campo

magnético contra temperatura 9

Figura 2 - Temperatura critica como função da dimension~lid!

de para a condensação do GIBE nos casos de pres -

sao constante e de volume constante 26

Figura 3 - Contorno para o cálculo da Eq. (II. 7) 49

LISTA DE TABELAS

Tabela I - Expoentes críticos no caso de volume constante .. 25

Tabela 11- Expoentes críticos no caso de pressão constante. 28

Tabela 111- Comportamentos de várias grandezas termodinâmi -

cas nas linhas de transição LIT e L3T .

Tabela IV - Valores dos expoentes críticos obtidos por G.B.

para o GIBE como função da dimensionalidade d do

sistema e do parâmetro a 59

Tabela V - Relaç6es entre os expoentes críticos 59

ii

RESUMO

Investigamos neste trabalho o comportamento critico de

um gás de bósons neutros com spin S na presença de um campo magné

tico uniforme. Os expoentes criticas são calculados como função da

dimensionalidade d do sistema e do parâmetro ° do espectro E(K)_Ko

de urna partlcula. O comportamento critico é examinado nas condi

ções de volume constante e de pressão constante. Estabelecemos as

relações entre os novos expoentes crlticos e os calculados por

Gunton e Buckingharn para o gás ideal de Bose-Einstein sem spin.

'---~- -~ ~_.. -...--- ...-BIBLIOTECA DO INSTITUTO DE fi31CA E OUIMICA DE SÃO CARLOS. USP

F r SI (A

iii

ABSTRACT

The critical behavior of a d-dimensional ideal gas of

uncharged bosons with spin S and spectrum of a single particle

given by E(K) - KO in a uniform magnetic field is examined. The

critical exponents are calculated as a function of the dmensionality

of the systems and the parameter o for both constant volume and

constant pressure. We establish the relationship between the new

critical exponents with those calculated by Gunton and BuCkingham

for a spinless Bose-Einstein gas.

, '~

1

CAPíTULO I

INTRODUÇÃO

Em 1924 o físico indiano S.N.Bose(l), considerado um dos

fundadores da mecânica estatística quântica, submeteu à aprecia -

çao de Einstein um trabalho pioneiro onde demonstrava que a lei

de radiação de P1anck poderia ser deduzida independentemente da e-

1etrodinâmica clássica. Nessa demonstração ele admitiu que o espa-

ço de fase de um quantum de luz num dado volume é subdividido em

regiões elementares de volume h3.

As partículas (fótons) com dois estados de polarização e

cujo número não é conservado obedecem a uma estatística diferente

da de Boltzmann. Einstein não só endossou o trabalho de Bose como

o generalizou para qualquer gás de bósons com potencial químico

não nulo. Essa estatística tornou-se conhecida como estatística de

Bose-Einstein e o sistema de partículas não interagentes que obed~

ce a essa estatística é chamado gás ideal de Bose-Einstein, denomi

nado daqui por diante como GIBE.

o interesse no estudo das propriedades termodinâmicas do

GIBE foi posteriormente estimulado fortemente por London(2) que u-

sou-o como modelo para explicar a transição À do 4 1'"He lqUl -

do. O fato da temperatura crítica do GIBE, calculada usando a den­

sidade e massa atômica do 4He, e a temperatura de transição do hé-

lio líquido serem da mesma ordem de grandeza, levou London a suge­

rir que as propriedades anômalas do 4He são essencialmente uma ma­

nifestação da condensação(*) de Bose-Einstein. Essa condensação é

(*) Essa condensação também é conhecida como condensação no espaço

dos momenta para enfatizar que sua causa está na simetria da

função de onda e não em qualquer interação entre as partícu

las.

2

a ocupação macroscópica do estado quântico particular (K=O) abai-

xo da temperatura crítica.

o tratamento da condensação de Bose-Einstein como mode-

10 para transição de fase em geral foi outra motivação para o es-

tudo do GIBE. Finalmente devemos acrescentar uma outra razão para

o interesse continuado no estudo de bósons ideais. Estes sistemas

constituem uma classe especial por exibirem transição de fase•.a

temperatura finita e terem suas propriedades termodinâmicas calcu

ladas exatamente em qualquer dimensão.

As propriedades termodinâmicas do GIBE na vizinhança de

seu ponto crítico foram estudadas em detalhes por Gunton e

Buckingham(3) que fizeram um paralelo entre a condensação do GIBE

e a transição no hélio lIquido com o modelo esférico e um ferro

magneto real, já que o GIBE e o modelo esférico pertencem à mesma

classe de universalidade. A condensação do GIBE como uma transi -

ção de fase cooperativa em dimensão arbitrária também foi estuda­

da por Lacour-Gayet e Toulouse(4) que examinaram os casos: o gas

ideal homogêneo à densidade constante (primeiramente estudado por

Gunton e Buckingham), o gás homogêneo à pressão constante e o nao

homogêneo. Neste último caso, foram estudados os efeitos criados

pela ação de campos aleatórios nas propriedades termodinâmicas do

GIBE.

Um sistema de bósons à baixa temperatura que recentemen

te tem despertado muito interesse é o gás de hidrogênio atômico

com spin do elétron polarizado (H~). Este sistema foi estabiliza-

do contra a recombinação para a forma molecular por Silvera e

Walraven(5) em 1980. Hecht(6) em 1959, foi o primeiro investiga -

dor a propor que um campo magnético poderia ser utilizado para e~

tabilizar o hidrogênio atômico e usou o teorema dos estados cor -

respondentes para discutir o seu possível comportamento superflui

do à baixa temperatura. Como consequência da fraca interação in -

3

teratômica e da energia de ponto zero muito grande, espera-se que

este sistema (H~) permaneça gasoso mesmo à temperatura zero abso-

luto. Espera-se também a ocorrência da condensação de Bose-Einstein

bem como da superfluidez de modo semelhante ao que acontece com

o 4He líquido. Estas são algumas das notáveis propriedades asso -

ciadas a este novo fluido quântico e que constitui provavelmente

o mais promissor sistema físico para a observação experimental da

condensação de Bose-Einstein. Hã evidências experimentais com ba-

se na série de trabalhos de Silvera e Walraven que o hidrogênio a

tômico quando colocado em condições especiais deverá apresentar as

propriedades citadas acima já previstas teoricamente.

Desde que o hidrogênio atômico com spin do elétron pola­

rizado foi inicialmente estabilizado por Silvera e walraveJ5) gra~

des esforços, por vários grupos de pesquisa no mundo inteiro, es-

tão sendo feitos para se obter densidade suficientemente alta

(- 1019 átomos/cm3) e baixa temperatura (- 50 mK) para que sejam

observadas as propriedades degeneradas

Walraven e Silvera(7) em agosto de 1983

densidade da ordem de 1018 átomos/cm3,

deste gás de bósons. Sprik,

relataram ter observado

mas ainda nao se conseguiu

obter experimentalmente a ocorrência da condensação de Bose-

Einstein.

o gas de hidrogênio atômico com spin polarizado é um sis

tema fracamente interagente e os efeitos de interação no seu com -

portamento termodinâmico pode ser desprezado em primeira aproxima-

ção, de modo que este sistema tem sido frequentemente tratado co­

mo um GIBE(8). Motivado pelo interesse crescente neste importante

sistema quântico investigaremos neste trabalho as propriedades te~

modinâmicas de um gás de bósons neutros de massa m e spin S, conti

dos num recipiente hiper-cúbico de volume V=Ld à temperatura T na~

presença de um campo magnético uniforme H=Hz. Examinaremos os ca -

sos de densidade de partícula constante e de pressão constante.

4

Apesar das várias simplificações do modelo comparado com

~ ~ ~a situaçao experimental, a saber- a homogeneidade de H, a nao inte

~ .•. -raçao entre as partlculas, a suposiçao de nenhuma estrutura inter-

na das particulas e acima de tudo, a hipótese do equilibrio termo-

dinâmico do sistema- o estudo do modelo é justificável desde que

seu comportamento peculiar pode ser indispensável para a melhor

compreensão qualitativa do hidrogênio atômico com spin polarizado.

o caso tridimensional do modelo acima foi estudado em detalhes por

Yamada(9) que considerou as partículas com spin 5=1.

A ocorrência da condensação de Bose-Einstein é responsá-

vel pelo notável comportamento magnético do sistema que exibe uma

magnetização espontânea e uma suscetibilidade divergente (d<4) cu

jo comportamento sugere a existência de um "ferromagnetismo de

Bose-Einstein". A magnetização espontânea surge como um indicador

da condensação, visto que está relacionada ao número de partícu -

Ias N na fase condensada. Apesar de existir uma relação entre oo

momento total de Bose, que é o parâmetro de ordem introduzido por

Gunton e Buckingham(3) para descrever a condensação de Bose -

Einstein como uma transição cooperativa, e o número de partículas

N , não podemos em geral considerar a magnetização espontânea co­o

mo um parâmetro de ordem. Em outras palavras, a magnetização es -

pontânea pode ser considerada como um parâmetro de ordem "secundá

rio" no caso particular em que o campo é nulo.

~ um fato bem conhecido que o GIBE não sofre condensa ­

ção de Bose-Einstein à temperatura finita(IO) quando a dimensiona

lidade do sistema for menor que 3. No entanto isto é verdade so -

mente se o sistema for mantido a uma densidade (n=N/V) de partíc~(11)

Ia constante, mas finita. Gunther, Imry e Bergman mostraram

que o GIBE em uma e duas dimensões também condensa se baixamos a

temperatura mantendo a pressão constante.

Lembramos que o GIBE sem spin, tridimensional e a pre~

5

são constantel foi estudado por London(2) que mostrou a existência

de uma transição de fase de primeira ordem a uma temperatura crit!

- .,. ... -ca TC dependente da pressao. Os calores especIficos a pressao cons

tante Cp e a volume constante Cv têm comportamentos completamente

diferentes. Cv permanece finito para qualquer temperatura e Cp tor

na-se infinito quando T~TC(P).

No Capítulo 11 deste trabalho apresentaremos o formalis­

mo(l2) usado para obtenção do grand potencial termodinâmico ~. A

principal vantagem desse formalismo é a separação completa da dinâ

mica do problema das consequências da estatística de Bose-Einstein

ou Fermi-Dirac no comportamento termodinâmico do sistema. Calcula-

remos também numa forma fechada as funções termodinâmicas nos ca -

sos de volume constante e de pressão constante.

Finalmente no Capítulo 111 analisaremos o comportamento

termodinâmico do sistema de bósons ideais na região de transição

calculando os expoentes críticos nos casos de volume constante e

de pressão constante. Também são analisados os comportamentos de

várias grandezas termodinâmicas nas linhas de transição.

~.

6

CAPíTULO II

APRESENTAÇÃO DAS FUNCÕES TERMODINÂMICAS- ;

2.1. As funções termodinâmicas a volume constante

Calculamos neste capítulo as funções termodinâmicas de

um sistema de bósons não interagentes cuja descrição foi feita noo

capítulo I. Para este cálculo usamos o formalismo grand canônico

em que o potencial termodinâmico Q é representado por uma transfoE

mada integral da função de partição Z(S,H) de uma partícula. Os de

talhes desse formalismo são apresentados no apêndice lI.

o sistema é definido pelo seguinte hamiltoniano

~=+

a-+ 8K, Z

(2.1)

onde wB = en/2mC é o magneton de Bohr, g é o fator de Landé, ai 8, Z

e aK 8 são os operadores criação e aniquilação de uma partícula, Z

com espectro E(K)=a0KO. Os casos particulares al=hC e a2=n2/2m dão

as relações de dispersão ultrarelativística e não relativística

respectivamente.

A expressão para a função de partição Z de uma partícula,

onde separamos as contribuições dos graus de liberdade de spin e de

translação, é dada por

8L:

8 =-8Z

l,-+K

-+-BE(K)e (2.2)

-1onde B =KBT, KB é a constante de Boltzmann e T a temperatura abs~

luta. A parte magnética da função de partição acima é urna progres-

são geométrica finita cujo somatório é facilmente obtida. Transfor

mando a soma sobre K na Eq. (2.2) numa integral e usando a densida-

7

de de estados

D(E) =

d/2 d -d/a ª - 1d L a E aTI a

(2TIh) d a (d/2) ~

(2.3)

Obtemos a seguinte expressão para a função de partição de uma par

tícula

onde

Z(S,H) = senh [(S+ J! 2JBh] A a

senh(Sh/2) Sd/a'

(2.4)

dd- -d/2 d Ld

aCJ

CJr (-)h=gp H

CJ

--, . R

TI

A == ~-d (d/2) ~o (2n11) CJ

(2.5)

Combinando a Eq. (2.4) com a representação integral do

grand potencial ~ apresentada no apêndice lI, encontramos a se

guinte expressão:

S 2 i

C+ioo

-1J t cotg(nt)

C-ioo~ÜS+l/2) SthJese'tdt.senh(Sth/2)

(2.6)

o cálculo da integral acima pode ser efetuado com o au-

xílio do teorema do residuo, cujos detalhes são feitos no apêndi-

ce lI, resultando em

~= -ACJ

d + 1

00

L:

n=l

1d-

n -O + 1senh [(S+1/2) SnhJ

senh (Snh/2)

Se'ne

(2.7)

onde o sinal negativo vem do fato de nosso contorno ser orientado

no sentido horário e no teorema do residuo a integral é calculada

no sentido anti-horário.

8

A Eq. (i..7) pode ser reescrita usando as funções de Base

Einstein (veja Eq.l do apêndice I) como

A(J~= - ª +B (J

1(2.8)

onde fizemos urna mudança de variável 8=e'+hS e adicionamos a con-

tribuição

~o

1B

2SL:

9,=0(2.9)

que vem dos estados de momentum nulo, que foi perdida quando trans

-+ .formamos a sorna sobre K na Eq. (2.2) numa lntegral.

Iniciamos o estudo do comportamento termodinâmico do sis

terna calculando o número médio de partículas. Isto nos permite de-

terminar o diagrama de fase do sistema. O número total N de partí-

culas pode ser calculado tornando-se a derivada parcial de Q com re

çao a e I

N =d e I

=2S

L:

9-=0

2S

l: Fd[s (e-9-h)]9-=0

a(2.10 )

Sendo No e N1 os números de partículas nos estados de momentum nu-+

10 e excitados (KfO) respectivamente.

Na condição de densidade de partícula constante a tempe

ratura crítica T (H,N/V) pode ser obtida da Eq. (2.10) fazendo 8=0c

na contribuição dos estados excitados

n = N1=

Aa

B d/ac

28l:

9,=0a

9

(2.11 )

o sistema sofrerá uma condensação a uma temperatura fi-

nita se d>a, visto que se mantemos a densidade de particu1a cons-

tante e baixamos a temperatura, Fd (a) deve crescer, atingindoa

seu valor máximo quando a=O. Como Fd(O) é função finita se d>a, ao

igualdade (Eq.(2.11)) não mais se verifica e consequentemente te-

mos uma fração das particulas do sistema no estado de momentum nu

10.

Como consequência de Fd/o(a) sermonotonicamente decres ­

cente, a temperatura crítica é uma função côncava e monotonicame~

te crescente de IHI , resultando para qualquer d>cr um diagrama de

fase semelhante ao obtido primeiramente por Yamada(9) para o caso

especial d=3, cr=2 e 5=1

g~eH 5r

AI

Ke Te 1:L3T i

Rc1

!RNt2f-

!

I

I~ç/ ,iL2T 9o o LIT 2T3 -3-I f-

" Tco99 Te T/TI e-2f-

~.j' \ .I

-3f-RC+

\1RN~

-41- -5L

B,I

Fig.l- Linhas de transição LIT, L2T e L3T no plano cam­

po magnético contra temperatura. RC e RN repre ­

sentam as regiões de condensação e normal com os

spins para cima (t) ou para baixo (~), respectiv~

mente.

10

As temperaturas críticas T (O) e T (00) são obtidas quando fazemosc c

H=O e H=oo respectivamente na Eq. (7..11) e estão relacionadas ?or

T (00) = (2Stl)o/d T (O)c c (2.12)

As outras quantidades de interesse tais como magnetiza-

çao M, suscetibilidade X e energia interna U são também obtidas

diretamente do potencial termodinâmico Q por derivadas parciais:

M = Nm = d Q )

aH T,V,e'

(2.13)

onde tomamos no termo n (Eq.2.9) só a contribuição de ~=O, poiso+

na fase condensada apenas o estado fundamental (K=O, ~=O) contri-

bui para a magnetização. A suscetibilidade X é obtida da Eq. (2.13)

3MX= -) 3H

T,V,N

A

28cr [j3(8-~h)J

3e= -g]J dL:~ Fd (- - ~g]J )

B,

- - 1~=O - - 1 3H B

S a

a

(2.14)28

ondeL:9, Fd[s (e-9,h)]

38

9,=0- - 1ag]JB

(2.15 )

3H

28

L: Fd

[s (e-~h)J

9,=0 - - 1a

e determinado anulando a derivada de Nl com relação ao campo mag-

11

nético H.

Para a energia interna obtemos a seguinte expressao:

u = Nu =Q + N8' - T ~ )

aT

V,H,O'

d

A28

o- - L: Fd [s(8-2h)]o-

dp a + 1

9,=0 - + 1f5

0

2s

L: 2 Fd [s (8- 2h)] }2=0

o-

(2.16)

A expressao para o calor específico é obtida tornando a

derivada de U com relação à temperatura T

c = ~ ) ,H aT V,H,8

(2.17)

8e a temperatura está acima da temperatura crítica T ,c

o calor específico c~ (T>Tc) é dado por

c+ = d(d+o)H 2

o

28

l: Fd [J3 (S-9-h)] + Nd 3 (136)9-=0 - + 1o 013 3T

A282d

oL: 9- Fd[J3(S-9-h)]

+ - d hKBo - - 1 9-=0 -B o

o

A

28

9-[3(SS)- 9- a (Sh) JFd [s (S-9-h)],o L:+h~ ,o9-=0 aT aT - - 113 ' o

(2.18)28

Aonde Nd (_0_) -1 +Sh L: 9- Fd [13(S-9-h)]

T a (Ss)

o Sd/o 9-=0 a-I- 28aT L:Fd [s(S-9-h)]

(2.19)9-=0- - 1

o

12

obtido anulando a derivada de Nl com relação à temperatura T.

Se a temperatura estã abaixo de Tc' o calor especifico

C~(T~Tc) é determinado fazendo primeiro 6=0 na Eq. (2.16) e em se

guida efetuando a derivada com relação à temperatura:

_ A (C = K _0'_ [d d+a)H B sd/a 02

2S

L: Fd (-S2h)9,=0 - + 1

a

+ 2d ShO"

2S

L: 2 Fd (-S2h)2=0 -

(J

28 L: 51,2Fd (-iHh)](2.20)9,=0 - - I

O"

Foi mostrado inicialmente por P.Landsberg e J.Dunning­

Davies(13) que existe uma descontinuidade no calor específico à

temperatura crítica T no GIBE. No caso do sistema investigadoc

neste trabalho aparecerá uma descontinuidade ~d finita na temper~

tura critica se a dimensionalidade do sistema for maior que 20 .

Sua expressão é obtida combinando as Eqs. (2.18) e (2.20)

Aa

[Nd + h d/a- S Sca c

2S

l: 51, Fd (-ScQ,h)]51,=0 - - 1

a

3 (S8) )3T T=T c

(2.21)

2.2. As funções termodinâmicas ã pressao constante

Nosso ponto de partida para o cálculo das funções termo

dinâmicas à pressão constante é novamente o potencial ~ , tendo a~d

tes o cuidado de deixar explicitamente a dependência do volume V=L

que aparece na expressão (2.5) A = AI V.a a

13

A pressão é dada por

arGp = - -)

av T,81,H

AIo

d -­60"+1

28

L Fd [s(S-Zh)]9,=0 - + 1

a

(2.22)

~ - -onde as partlculas no condensado nao contribuem para a pressao

porque ~ não depende explicitamente do volume.o

Observamos na Eq. (2.22) que mantendo a pressão constan-

te haverá urna condensação para qualquer dimensão maior que zero

(d>O) pelos mesmos argumentos apresentados para o caso de densida

de de partícula constante na seção (2.1).

A densidade de partícula "n" e a energia interna por

partícula "u" são determinadas das Eqs. (2.10) e (2.16) resultando

nas expressões abaixo

AI28n=_o_ L Fd[s(e-9-h)] (2.23)

Sd/o9-=0 -o

e d

AII

28o L Fd [B(e-9-h)]

u = - Q + I

-o n9-=0 - + I

B oo

(2.24)

o

28

L ~Fd[s(e-~h)]}9-=0

IAIo

- 8h{1 - --alo nss

o calor específico à pressão constante é obtido derivan

do a entalpia com relação à temperatura. Para isto usaremos a se-

guinte expressão para a entalpia por partícula" "

E

I hE= U + P - - -- m • (2.25)

n

14

Usando as equações

p

N n

para o potencial termodinâmico e

(2.26)

m = ow )

3H P

P 3n=---)n2 aH P

(2.27)

para a magnetização por particula à pressão constante, podemos re

escrever E: como

d+oE:=

a

AI Ia _P 8h{1 - d/a n- 8Sn

28

L. 2 Fd[s(e-2h)]}2=0

a

+ h p2"n

an )aH P

(2.28)

Finalmente para o calor especifico a pressao constante obtemos

Cp = aE )aT p

d+o

P an d hKBAI28= --

a

2" - )p + -- l: 2 Fd[s(e-2hna

n aT a n d- - I ~=o - -B a

a

+ ~

AI28a~ ~ Fd [s(e-~h)] [a(Se)

Sd/o

) _~ a(Sh) ]

n~-o a - 1 aTp aT

hAI28

a L:~ FdÚ3(O-~h)J ~)-2 Sd/on~=o - aT p

a

+ ~ P

[_ ~ an~ + 12 -ª- (~) ] (2.29)g~B

n3 aTaH n aT aH p

com

15

AI 28

P d+o ( o ) -1 + Bh L Q, Fd [B ( 8- Q,h) ]o K ~ + 1 2=0-

. (í 0 _= - ----

(2.30 )

determinado da Eq. (2.22) tomando a derivada com relação à temper~

~ d . d 3n) 3n)tura. Por outro lado, os calculas das erlva as 3T p e 3H p

obtidos da Eq. (2.23) cujos resultados expressamos abaixo:

-sao

an )aT P

= d

CJ

AIO"

1

28

L: Fd[B(e-,Q,h)] +9,=0

CJ

e

28

L Fd9,=0 0-

[s(S-9,h)] [a(SS) ) -9, a(Sh.LJ1 aT P aT

(2.31)

3n )3H P

(2 .32 )

- as -

A expressao para 3H )p tambem pode ser determinada da

Eq. (7..22) que resulta em

28 IS (S-9,h)]

(2.33)

l, 9, Fd~

-9,=0_~_3 S ) = gWB2S

F [S (S-9,h)]

pLd

3H

9,=0

-CJ

A suscetibilidade magnética à pressão constante é obti-

da da Eq. (2.27) tornando sua derivada com relação ao campo magnét~

co3m

x= -3H l?

2= p [~n

3n

3H

3n

3H

12n

(2.34)

16

CAPITULO rrr

OS EXPOENTES CRíTICOS

3.1. Cálculo dos expoentes críticos a volume constante

O estudo de um sistema físico na vizinhança de seu pon-

to crítico é um dos problemas fundamentais na teoria de transição

de fase e um dos mais interessantes na mecânica estatística do e-

quilíbrio.

As funções termodinâmicas de um sistema físico (em ge -

ral não conhecemos sua forma funcional completa) apresentam sing~

laridades na região de transição que podem ser descritas por um

conjunto de índices chamados de expoentes de ponto crítico. Estes

expoentes são universais no sentido de serem independentes das

características específicas dos sistemas em questão, dependendo a

penas da dimensionalidade e das propriedades de simetria.

Antes de calcularmos os expoentes críticos que descre -

vem o comportamento das funções termodinâmicas do capítulo ante -

rior, apresentaremos suas definições.

Associados ao calor específico temos os expoentes críti

cos a e aI

2

C = - T .~H d T2

-a

C -

E E >0,H=O

H-a I( - i:~) c-..:O,H=O

(3.1)

(3.2)

T-T

onde F é a energia livre, E = ~~ é a variável de temperatura r~cduzida e a notação X - Y significa que X/Y tende a um limite nao

nulo. Sabemos que há dificuldades nas leis de escala para o GIBE

quando a dimensionalidade do sistema é maior que 4 . Dada a sua im

17

portância, esse problema será discutido posteriormente em maiores

detalhes.

A magnetização espontânea é uma função da temperatura e

e definida por

M (T) = lim M(H,T) , onde M é obtido de M =oaF

ClH

(3.3)

o comportamento crítico da magnetização espontânea é ca

racterizado pelo expoente S definido como

MO(T) _ (_c)S s<O, H=O • (3.4)

A suscetibilidade magnética

X(H,T)_ aM(H,T)

aH(3.5)

tem seu comportamento na região de transição descrito pelos ex

poentes y e y'

X(O,T) -

(-c)-y'

c>O, H=O

c<O,H=O •(3.6)

Associada à magnetização M=M(H,T) há um expoente críti-

co ó definido por

M (H, T ). _ HI/ óc E: =0, H-+O • (3.7)

A função de correlação tem a seguinte forma na tempera-

tura crítica

-+

g(r) _ r-d+2-11 c =0, H=O, r-+oo (3.8)

18

onde "n" é um expoente crítico e "d" é a dimensionalidade do sis

tema. No espaço de momentum a função de correlação se comporta da

seguinte maneira:

E =0, K-+O (3.9)

o comprimento de correlação é uma função do campo magn~

tico e da temperatura. Seu comportamento em torno da temperatura

crítica é descrito pelos expoentes v e Vi

-v E>O, H=O

~(O,T) - (_E)-v' E<O, H=O.(3.10)

Os expoentes críticos nao sao todos independentes e es-

tão relacionados como consequência das leis de escala.

Usaremos um sub-índice "M" nos expoentes críticos que

calcularemos a seguir para fazermos uma distinção dos calculados

por Gunton e Buckingham(3) (G.B.) para o GIBE sem spin. Os deta -

lhes de cálculo do comportamento das funções termodinâmicas na vi

zinhança do ponto crítico são apresentados no apêndice 111.

Iniciaremos calculando o expoente crítico associado~a

magnetização espontânea. Combinando a equação de estado (Eq.2.13)

com a equaçao para a temperatura crítica podemos reescrever a ma~

netização espontânea por partícula da seguinte forma:

(3.11)

Introduzindo na equação acima a variável de temperatura reduzida

c=t-l e usando a definição de B feita na Eq. (3.4) verificamos que

N- o .•. d dA fraçao n = -- de partlculas no esta o condensa oo -N

(K=O, S =0) é obtida usando a Eq. (2.10)z

no

= l_td/a .

19

(3.12)

Comparando esta equação com a expressão para m , verificamos queo

a magnetização espontânea é causada somente pelas partículas no

condensado. Esta relação importante permite considerar mo como um

indicador magnético da transição. Por outro lado sabendo que

ljJ o_ N 1/2

o como foi mostrado no apêndice IV, poderíamos em pri~

cipio usar a magnetização espontânea como um parâmetro de ordem

da condensação de Bose-Einstein. Acontece que a condensação de

Bose-Einstein ocorre mesmo quando o campo magnético é diferente

de zero e neste caso a magnetização é uma função bem comportada na

linha crítica T=T (H). Portanto podemos considerar m como um pa-c o

râmetro de ordem apenas no caso particular em que o campo é nulo.

o comportamento singular da magnetização como função do

campo externo quando T=Tc e H~O é descrito pelo expoente 8M defi­

nido pela Eq. (3.7). Para calcular 8M fazemos T=Tc na Eq. (2.13), ~

samos a expansão das funções de Bose-Einstein (FBE) dada pela Eq.

(6) do apêndice I e mantemos somente os termos dominantes nessa

expansão. Encontramos os seguintes valores para 8M

aa<d<2a

(3.13)

--

,d-a

8M = ~1

d>2ar

Quando d=2a veremos que há uma divergência logarítmica.

Isto pode ser verificado com o mesmo procedimento do parágrafO a~

terior usando a Eq. (7) do apêndice T. Retendo o termo dominante

da magnetização depois de feita a expansão temos que

H -m- -1 .

9,n m

(3.14)

20

Com a definição do expoente crítico 0M podemos reescrever a ex ­

pressão (3.14) como

mm

-1Q,n m

(3.15)

donde 0M=lL onde L indica divergências logarítmicas(*).

Para dar prosseguimento ao cálculo dos expoentes críti-

cos vamos obter primeiramente o potencial químico como função da

temperatura na vizinhança da temperatura crítica Te. Para isto

procedemos da seguinte maneira: fazemos a expansão das FBE na e ­

quação do número de partículas dos estados excitados e mantemos

nessas expansoes apenas os termos cujas contribuições são dominan

teso Verificamos que se tem o seguinte comportamento

ad-a

E a<d<2a

d>2a

(3.16)

o expoente crítico YM associado à suscetibilidade magn~

tica é obtido fazendo a substituição da dependência de se com s

nas equaçoes (2.14) e (2.15) que dão a suscetibilidade e derivada

do potencial químico em relação ao campo magnético. Adotando os

mesmos procedimentos com relação às expansões das FBE dos casos

anteriores obtemos

2a-d

d-a

o

a<d<2a

d>2a

(3.17)

(*) f(y) tem expoente n~ se f(y) -

21

Quando d=2o encontramos novamente urna divergência loga-

rítmica yM=OL' Isto pode ser verificado fazendo h=O nas Eqs. ( 2.14)

e (7..15) e na equação que dá o número de partículas nos estados

excitados.

Vamos agora discutir o comportamento crítico do calor

específico para o GIBE. Algumas dificuldades nas leis de escala fo

ram observadas quando a dimensionalidade "d" do sistema é maior

que 4. Várias tentativas foram feitas para resolverem este probl~

ma e uma das quais (com sucesso) explicaremos a seguir:

Hall (14), através da hipótese de homogeneidade da ener-

gia livre na região de transição, mostrou que o comportamento do

calor especifico (do GIBE com spin 5=0 e relação de dispersão

E_k2) em torno do ponto critico é descrito por dois eXDoentes

e a , que estão associados às contribuições de dois termos compe­stitivos na energia livre.

o expoente critico ah (h lembra homogeneidade) é defini

do por

(H, [) --ah[

+[+0 , H=O (3.18)

onde F é a parte singular da energia livre. Lembramos neste con­stexto que urna função é singular quando urna das derivadas com rela

çao a temperatura ou ao campo (ou a ambos) divergem.

Examinando as Eqs. (2.18) e (2.20) podemos verificar que+

o calor especifico permanece finito quando E+O- e exibe urna des -

continuidade finita se d>20. Isto sugere a definição de um outro

expoente crítico a (que dá a singularidade dominante na equaçãosdo calor especifico) que é determinado calculando a derivada do

calor especifico de mais baixa ordem que diverge

_ [-(a +m)s (3.19)

22

Foi verificado por Hall (14) que a dimensionalidade do

sistema é um parâmetro que seleciona entre dois termos na energia

livre qual a contribuição dominante na vizinhança do ponto críti-

co. A energia livre obtida tem o seguinte comportamento perto da

temneratura criticaL

F-Fns (3.20)

onde Fns é a parte não singular da energia livre, fl e f2 são fun

ções finitas no infinito.

Verificou-se que o expoente crítico a está sempre assos -

ciado ao segundo termo t4v f2(t) da energia livre independente da

dimensão do sistema, enquanto ah está associado ao mesmo termo

que a somente se d<4. Os dois expoentes críticos descrevem dife-s

rentes comportamentos singulares do calor específico de forma que

aS

se d<4

(3.21)

se d>4

As inconsistências nas leis de escala foram resolvidas

usando os dois expoentes críticos associados ao calor específico.

Em outras palavras as leis de escala generalizadas definidas por

Hall envolvendo combinações de ah-as são válidas em qualquer di -

mensao.

o campo H está associado ao operador que quebra a sime-

tria no hamiltoniano (Eq.2.1). Tendo em vista que os expoentes

críticos ah e as são definidos em geral com a condição H=O, con

1, ~ 1 h s 'd -c Ulmos entao que os va ores para aM e aM no GIBE magnetlza o sao

os mesmos calculados por G.B. (veja apêndice IV)

23

d-2 O"O"<d <2 CJ

-- ,d-O" Ih a

=M

O

,d>20(3.22)

d-20o <d <20

(3.23)

,

d-O"

a~ = ~ 2o-d

d>2 o- ,o

No apêndice IV também apresentaremos as relações entre os expoen-

tes críticos calculados neste trabalho e os obtidos por G.B ..

A representação no espaço de momentum da função de cor-

relação gK S pode ser obtida observando que o termo (Zeeman) que, z

quebra a simetria no hamiltoniano na Eq.(2.l) é proporcional ao ~

perador número de partícula e que a flutuação no número de partí-

culas é dada por

< (n~K S, z

2-<n~ » > =

K,S z<n~ S

K, z>(l+<n~ »

K,S z(3.24)

onde < > denota média térmica. Reescrevendo a equação acima obte-

mos que

onde

2<n~ >

K,S z

<n~ >K,S z

<n~ >(1+2<n~ >K,S K,Sz z

1i-I-l

(3.25)

(3.26)

e a função distribuição de Bose-Einstein.

24

Usando as Eqs. (3.25) e (3.26) para T=T , S=S e IKI~o obc z -

ternos que gK S se comporta corno,

2= <n-+ >

K,S(3.27)

o expoente critico nM pode agora ser determinado com o

auxílio da definição da função de correlação. Portanto

(3.28)

A expressão para o comprimento de correlação é obtida fa

zendo a transformada de Fourier do espaço de coordenadas da Eq.

(3.25) como foi feito por G.B. ou de uma forma mais direta pela a-

nálise dimensional da Eq. (3.26)

E,= (- f3 8 ) -1/ a . (3.29)

o comportamento crítico do comprimento de correlação p~

de ser determinado combinando o comportamento do potencial quími-

co na vizinhança da temperatura crítica com a Eq. (3.29). Usando a

definição do expoente crítico vM' determinamos o seguinte resulta

do

1d-a

1a

, a<d<2a

d>2a

( 3. 30)

Por conveniência apresentamos na tabela I todos os ex -

poentes críticos calculados nesta seção.

25

TABELA I - Expoentes críticos no caso de volume constan

te.

exp.crít.

h S

dim.

C\M

C\M8MYM °MT)MvM

o<d<2o

d-2od-2o1

2o-do2-20

1-- -- ---d-a

d-o d-od-o d-a

d>2a o 2a-d

o1 o 1 2-20

1o

3.2. cálculo dos expoentes crlticos a pressao constante

o objetivo desta seção é estudar o comportamento de al-

gumas funções termodinâmicas do GIBE na região de transição quan-

do mantemos a pressão constante. Ao contrário do que ocorre quan-

do mantemos o volume constante, a temperatura crítica do GIBE~a

pressão constante não se anula para d<o . Nesta condição a tempe-

ratura crítica T (P) é uma função monotonicamente decrescente dac

dimensão d do sistema conforme mostra a figura a seguir.

Foi mostrado por G.B. que o GIBE à pressão constante e

o modelo gaussiano do ferromagnetismo pertencem à mesma classe de

universalidade. Como o modelo gaussiano não é termodinamicamente

bem definido à baixa temperatura e a transição é de primeira or -

dem, então somente alguns expoentes críticos podem ser calcula -

dos.

o comportamento do potencial químico como função da tem

peratura pode ser determinado fazendo h=O na equação que dá a pre~

são (Eq.2.22) resultando em

26

d/d'54

, VOLUMECONSTANTE

2

PRESSÃOCONSTANTE

~

Fig.2. Temperatura critica como função da dimensionali­

dade (esquemática) para a condensação do GIBE

nos casos de pressão constante e de volume cons­

tante. A escala de temperatura é arbitrária.

+ 1p =

AIod

fi a

(2 S+ 1) F d ( B8)+ 1o

(3.31)

Combinando a equação acima com a equação para a temper~

tura crítica, que é obtida da Eq. (3.31) quando 8=0, resulta na se

guinte expressão:

T -ª

Fd

_ + 1(88)1 = (-) 0 + 1

0

TFdc

(O) (3.32)

O" + 1

o comportamento de S8 na vizinhança da temperatura crí-

tica é obtido da Eq.(3.32) usando a expansão dada pela Eq. (6) do

apêndice I.

27

o

dd<oc

,

S 8 -~ (3.33)[

,d>o.

Sabendo que o calor específico à pressão constante é da

do por

328C = -TN -

P aT2

Obtemos então para o seu comportamento critico

(3.34)

cp

o

0-2dd d<o

d>o,(3.35)

Com a definição do expoente critico a feita na seção (3.1) tere-

mos para o expoente critico uh os seguintes valores:

od<a

( 3 • 36 )

2 - -

,d

ah = I O

d>o,

Os expoentes críticos ~ e v são calculados da função de

correlação gK,S (para K e e pequenos) como no caso de volume cons

tante

~= 2-20 (3.37)

Usando a expressao para o comprimento de correlação dis

cutido anteriormente

~ = (_S8)-1/0

28

(3.38)

e o comportamento de se dado por (3.33) teremos para o comprimen-

to de correlação

1d , d<o

[

~ ~ ~

1(3.39)

- ó, d>o

[

Consequente~ente o expoente crítico v é dado por

1d<o

(3.40)

,d

v =< 1d>o

- ,o

Um resumo desses expoentes críticos é feito na tabela

11.

TABELA 11 - Expoentes críticos no caso de pressao cons

tante.

exp.crít. C(

nvdim.

----d<o

2 - ~2-01-d

d

d>o

O2-01

o

29

3.3. Comportamentos de várias funções termodinâmicas nas linhas

Examinamos nesta seção como se comportam várias funções

termodinâmicas nas linhas de transição LlT e L3T. Os comportamen­

tos de algumas funções termodinâmicas nas linhas de transição são

de interesse puramente teórico, enquanto outras como o da magneti

zação, da suscetibilidade, da derivada do calor especIfico em re-

lação ao campo magnético, por exemplo, podem servir para interpr~

tação de dados experimentais.

Para maior conveniência de leitura desta seçao repetir~

mos o diagrama de fase, Fig.l do capítulo lI, corno também as gra~

dezas termodinâmicas que estamos interessados para nossas análi -

ses.

gPBHq

AIKSTC 4

L3T i3

Rcf!RNt21-

I

II~ ~.

oLIT ~ !L2T ~O . !J -3-I,~.~: ." ." TIl,I ~T I c-2

-3,

Rct\ !RNt

-4 -5

Fig.l- Linhas de transição LIT ,L2T e L3T no plano cam­po magnético contra temperatura.

o diagrama de fase acima está dividido em quatro regiões

30

distintas: As regiões de condensação (RC) com os spins apontando

no sentido do campo (t) ou no sentido contrário (t) são caracte-

rizadas por n ta eo 8=0. As outras regiões onde n =0 eo

-sao

chamadas regioes normais (RN).N

Como vimos anteriormente, a soma das frações n = ~ eN o N

nl = ~ define o número total de partículas (veja Eq. (2.10))N

onde

(3.41)

e

no

28= L:

Q,=o

r-S(6-Q,h) J-lLe - 1 (3.42)

28

L: F d [s (6-Q,h)] •Q,=o

o

(3.43)

A fração de partículas no condensado no e o potencial

químico 6 são nulos nas linhas de transição L1T e L3T. A linha de

transição L3T ~ definida pela equação da temperatura crítica com~

função do campo magn~tico

A o

NSd70

28

L: Fd (-SQ,h) = 1Q,=O

o

(3.44)

Combinando as Eqs. (3.41) e (3.43) teremos para n naso

regiões de condensação

noAo

= 1 - ----ci/oNS

8=0 . (3.45)

Nas regioes normais obtemos que

n = Oo

eA

o

NSd70

2S

L: Fd [s(6-9.h)] = l.9.=0

o

31

(3.46)

Analisando o comportamento da Eq. (3.46) constatamos sua

continuidade através das linhas de transição L1T e L3T corno mos ­

trado a seguir. Na linha de transição 11T

lim n = lim no o

+H-+O H-+O

Na linha de transição L3T

A

= 1 - .•~ (2 S+ 1) Fd (O) •

o

(3.47)

lim n = lim n = Oo o (3.48)

T-+T+C

T-+Tc

Por conveniência tomaremos os limites das funções term~

dinâmicas na linha de transição L3T apenas na variável de temper~

tura T. Dando prosseguimento ao cálculo dos limites verificamos3n

que T ~ é contínua na linha LIT3T

lim 'l'3n o

ClT= lim T

H-+O

3n o

3T

d Aocr d/o (28+1) F (O)NB ' do (3.49)

e descontínua na linha L3T

28

Cln

I9,F'd (- B

lim T ~ -

dc9,h)

- -

- -S h9,=00-1

ClT

oc

T-+T

28

c

IFd(-s 9,h)

9,=0

-co

(3.50)

lim T

+T-+Tc

3n o

ClT= O visto que n = O para T?T .o c

......--- __ ~. _. _. ""...,.....•••~~,~ .•7"'"~ •..".,~,~"""•• ~- ~-.. ,..,.~-c_~.,."~-,-.-,,..,.,..-,__,-_-..-~

BIBLIOTECA N) INSTITUTO DE FlslCA E OL;!MICA DE sAO (ARLOS· y::'i'

F1SICA

A função T

3no

3Hé descontinua tanto na linha L1T como

32

em L3T. Vejamos como são essas descontinuidades

Em LIT

3n A8(28+1) (0)-+ +00

a

Fd

o _

NSd/a

lim T - -

KB

- - 1élHa+ H-+O

se d::;20

ean

A(3.51)

lim T ~ = -

a8 (28+1)

aH

NSd/a Fd (0)-+-00

-

KB 0 - 1

H-+O

Em L3T28

an

I 9,Fd (-Sc9,h)

gjJB

- - 1lim T ~ =

9,=0 (J

aHKB

28- L Fd(-S 9,h)T-+Tcc

9,=0 -ae

(3.52)

dn

lim T ~ = O onde n =0 para T~TaH O· c+T+T c

o potencial químico 8 pode ser obtido da Eq. (3.46) ex -

pandindo as FBE. Podemos verificar sua continuidade nas linhas de

transição L1T observando que 8=0 nas regiões de condensação ou se

1, T de l' T de1m - = 1m O . (3.53)

H-TO +

aH

H+OaH

de -

Fazendo a derivada de ãH com relaçao ao campo e de2

- , d 2 d erelaçao a temperatura, po emos mostrar que T ---2

aR

são contínuas na linha LIT e descontínuas em L3T.

Corno a magnetização é função ímpar da variável campo

e

34

magnético m(H,T)=-m(-H,T), podemos reescrever a Eq. (2.13) para

que seja válida para campo magnético menor que zero,

AO"

m = -g~ S{l - d/oB NSB

2S

L: Q, F d [J3 (8+Q,h)] }.Q,=Q

o

(3.57)

Verificamos que a magnetização é descontínua na linha LIT e contí

nua na linha L3T conforme mostram as expressões abaixo

Em LIT

lim m

e

a

(3.58)

lim m

H-rO

onde d>2a.

A

= -g~ 8[1 - a (28+1) F (0)1B NSd/a -ª -J

a

lim m

+T->-T c

lim m

T->-T c

Aa8n - -d -/agp L- Q

B 8Nf-'c

28

L: Fd(-B 9,h)J.9,=0 c

a

(3.59)

Analisamos em seguida os comportamentos das derivadas

da magnetização com relação ao campo magnético. As expressões pa-

3m - 'dra T 3H sao obtl as como:

(gtl )2

A

2836

B

a28 l~ 9, F

NK

Sd/aL ~ F d (- S ih)

B

i=O d (- e ih) i=O - - 1 c

__ 1 c aa 2S

L: F9,=0 d (-S 9,h)__ 1 ca

(3.63)

o comportamento da função T am nas linhas de transiçãoaT

e analisado a seguir:

Se H>O

ondeA

B1=g]JB

~ Kd/(} d

N B 0A

B2=g]JB

~ Kd/(}

N B

(3.64)

(3.65)

A 2Se ~d ( d/(})-l + Sh L Q, Fd [s(8-Q,h)]T 3 (S8) = _ S Q,=O n - 1

3T

2SL

Fd [s(8-Q,h)] (3.66)Q,=O

- - 1()

Se H<O

T 3m = BTd/(}

2S

L Q, Fd[s(8+Q,h)]3T 1,Q,=O -()

2S+ B Td/(} L,Q, F [S(8+,Q,h)]T ill8)2 ,Q,=O ª - 1 3T

()

37

(3.67)

é obtido da Eq.( 2.19) trocando H por -H. Fazendo osd T 3(S8)on e --aT

limites das Eqs. (3.64) e (3.67) obtemos que na linha L1T

l' T 3m = -B Td/aS(2S+1)F (O)+B Td/oSNd Ao·-llm -- 3T

1 d 2 - (--)

+o o ed/o

H-+O(3.68)

A

lim T 3m = B Td/oS(2S+1)F (O)-B Td/oSNd (___0_)-1-

óT 1 ~ 2 --0-- Sd/a

H-+O

()

am ~ - d'" 1 d' ~T -- e funçao escont1nua. Por outro a o na 11nha L3T ela e con

aT

tinua corno mostramos a seguir:

l' T 3m l' T 3m1m -- = 1m

T-+T+

3TaT-T-+Tcc

2S= -B Td/o I t F (-8 th)1 c t=O ~ C°2S- B2 Td/o I t Fd (-6 th)T 3(68) )T=T

c t=O __ 1 c c ° 3Tc

25

- B Td/o I t2 F (-6 th) 6 h(3.69)

2 c t=O ª - 1c c

°

223m - d ' d

As expressoes para T ---2 sao eterm1nadas as Eqs.3T

(3.64) e (3.67).

38

Se H>O temos que

2 a2m d-o d/o 2S

T -2 = - (-0-) Bl T L: ~Fd [6(8-,~h)J3T ~=o -a

d

28- B Ta + 1 I. 9Fd

[s(8-~h)J (8 ~ _ ~ + Sth ) -1

9-=0 - - 1aTT T

ad

28

ª B T a + 1L: R,Fd[s (8-9-h)] (S ~ - ~)

CJ 22=0

- - 1aTóT

CJ

28~ - ~ + S2h) (B ~ +~) +- B Td/0 L: 9-Fd [s(8-th)] (6

2 - - 2

3TT T3TT~=o 0

dI 2S 2

~)+ B2 T a Z 9.Fd Cf3 ( 8-~h)] (B 3 2°- ~ ~ + ~ + ~~=O - - 1 3T T 3T T2 T

aTa

d 1 ~ - 32S

h{(- - 2)B -- T aZ ~2 Fd [B(e-~h)J +

a 2 K~=O - - 1B

a

d2S

3 (S~h)+ B T a - 2 ~Z ~2 F [s(e-2h)l (}(S6) _)}2 K

d -~=O - - 2 3T

aTBa

(3.70)

Mas, H<O obtemos uma expressão semelhante à Eq.(3.70) onde alguns

sinais (-) ou (+) são alterados e H é substituído por -H. Fazendo

o limite de H+O obtemos que

H+O+

e

H-"O

a

a

(3.71)

2

Consequentemente T2 3 ~ é descontinua e finita se d>a3T

e descontinua (+ 00) se d~O'. Analisando o comportamento desta fun-

que aparece na Eq. (3.70) é descontinuo nesta linha.

ção constatamos que

328termo --

3T2

ela é descontinua na linha L3T visto que o

39

Examinaremos em seguida o comportamento da função

Se H>O

2 02 2S 2 ae 2T ~ = O l: Q, Fd [s(e-Q,h)](S - -Sg].1BQ,)T3H2 1

Q,=Q - - 2 aHa

2S G 1 a e a e 2

- D

l: Q, F S(8-Q,h) (S - -Sg].1 Q,)- T -2 9"=0 ª - 2 - aR B aR

a

2S

- DL: 9,Fd [s (8- 9,h)] ()2 8 T2

29,=0 - - I 2a aR

2 (gt1B)

A

DI::

0

NKB

Sd/0

gt1B

AD ::-0

2 NK Sd/0B

( 3. 72)

(3.73)

Se H<O temos que

- D2

2S

L: Q,2 Fd [s(8+Q,h)] ((3~ + SQ,gt1B) T2 -Q,=O - - 2 aH

a

2s a 8 a 8 2L: Q, Fd [s (8+Q,h)] ((3- + (3Q,gt1B)- T -Q,=0 - - 2 3H aH

a

- D2a

(3.74)

2

Fazendo os limites de T2 d ~ verificamos que na linhaaT

. 2 a2m 2 2S 3llm T ---2 = - DI gt1B (3T L: Q, Fd (O)3H Q,=O - - 2+

a

H40

(3~75)

40

2S 3 F (O)

1: 9, d _ 29,=0 0

H-+O

Portanto a função é descontinua se d>3a e descontinua

esta função é descontinua visto que ose d~3a. Na2

3 9 b~ ~ d ~ l' h---2 tam em e escontlnuo nesta ln a.3H

O calor especifico dado pela Eq. (2.20) é função conti -

(+ 00)

termo

nua na linha de transição L1T onde

(2 S+ 1) Fd ( O) •+ 1lim CH = lim CH+

H-+O H-+OO"

(3.76)

Examinando as Eqs. (2.18), (2.19) e (7..20)veremos que o calor es-

pecifico na linha L3T é função descontinua.ae

A grandeza termodinâmica T aTH é continua na linha LIT

e descontinua na linha L3T. Isto pode ser verificado das Eqs.

(2.18) ou (2.20).ae

- H ~ ~Finalmente a funçao T --- e descontlnua em ambas as li

3H

nhas de transição.

Apresentaremos a seguir um resumo dos comportamentos das

funções termodinâmicas discutidos nesta seção.

TABELA rrr - Comportamentos de várias grandezas termo­

dinâmicas nas linhas de transição L1T e

L3T. C e D significam contínua e descontí

nua respectivamente.

41

GrandezasLinhas de transiçãol

GrandezasLinhas de transição

Te:nrodinâmicas

Te:nrodinâmicasL1T L} L1TL3T

n I

C CmID Co

II j

T an jaT

COT óm/óT DCo I

,

ID ± 00 I D ± 00i

Téln /ClH IH = D±

In IT Clm/óH

H = D±CI

od :S 20I

d < 20

I

_ .._---I

D ( d > ,')-D + 00

(3

CICT2(l2m/ClT2

IH = D± D

I

d ~ 0

\

D ( d>3r;)I

D+ooT 3:-,/3T

I222 H = O±C

I

C T 3 m/3H D

cl <'2o

I d .:::::30

I

-

T 3 e 13H

IC

Cí' IC

D, H Id<20

T a26/a~IC

ID T aCH/ClT CD

II

T a28/ClifI

CD

T ClC~dH DD

I

42

CAPíTULO IV

CONCLUSÕES

Estudamos neste trabalho um sistema de bósons não inter

agentes, num espaço de dimensão arbitrária, com spin S qualquer,

submetidos a um campo magnético uniforme. As funções termodinâmi-

cas foram obtidas numa forma fechada para os casos de densidade de

~ -;

partlculas constante e de pressao constante atraves de um procedi-

mento matemático simples. Usamos uma formulação em que o grand po

tencial termodinâmico $t é escrito corno urna transformada integral

da função de partição de urna partícula Z(S,H).

Exploramos de urnamaneira detalhada as consequencias ter

modinâmicas da presença do termo Zeeman no hamiltoniano usada pa-

ra definir o GIBE magnetizado. Vimos que este sistema a volume

constante sofre condensação de Bose-Einstein se d>o e tem urna ma~

netização espontânea que é causada pelas partículas no condensa ­

do. Esse fenômeno foi chamado por Yarnada(9) de ferromagnetismo de

Bose-Einstein. Vimos também que a magnetização espontânea m e oo

troduzido por G.B)

momento de Bose ~o

o termo

no, usada por G.B

(que é um parâmetro de ordem da condensação in

- 1/2estao relacionados por ~ - m .o o

(v a +v*a+) que quebra a simetria do hamiltonia­o o o o

corno por Lacour-Gayet e Toulouse(4) , representa

fonte e sumidouro de bósons. Corno consequência os expoentes críti

cos que eles calcularam não podem ser medidos diretamente em labo

ratório, visto que o parâmetro de ordem de condensação ~o* + -; ;

(~ - <a > ou ~ -<a » nao e urna grandeza diretamente mensuravelo o o o*

e os campos de Bose v e v são também quantidades complexas. En-o o

fatizamos que em teoria de transição de fase e fenômenos críticos

nada obriga que o parâmetro de ordem e seu campo conjugado, por e

xemplo, sejam quantidades acessíveis experimentalmente. Corno ob -

(15) . - ; ;servado por Ma ,urna sltuaçao semelhante a esta e tambem encon

43

trada no estudo das propriedades do 4He e supercondutores na re -

gião de transição.

Os expoentes críticos do GIBE magnetizado, que em prin-

cípio podem ser medidos diretamente, estão relacionados com aque-

les obtidos por G.B para o GIBE sem spin. A razão para que esses

dois conjuntos de expoentes críticos sejam relacionados é que a

harniltoniana (Eq.2.l) com H=O é invariante pelas transformações

de gauge (eiN8) e SZ~- Sz. No ponto crítico arnbas as simetrias são

simultaneamente quebradas conduzindo a proporcionalidade entre a

. -... ....•.magnetlzaçao espontanea e as partlculas no condensado.

Podemos verificar da tabela I que os expoentes críticos

obedecem às leis de escala de Rushbrooke (ah+2S+y=2), Widom (0=1+

+y/S) e Josephson (dv=2-aS). A lei de escala de Fisher y=(2-n)v e

violada no GIBE para qualquer dimensão. Como foi chamada a aten -

ção por Lacour-Gayet e Toulouse(4), a definição do parâmetro de

ordem desempenha um papel decisivo não somente na determinação da

natureza da transição de fase e expoentes criticos, mas também na

violação das leis de escala. A violação das leis de escala de

Josephson e Fisher também ocorre no GIBE sem spin na condição de

pressão constante ou sob a influência de campos aleatórios

(Lacour-Gayet e Toulouse).

o gás de hidrogênio atômico com as interações Zeeman e

hiperfina foi estudado por Mullin(8) que usou o seguinte hamilto-

niano para cada átomo de hidrogênio

-7- -r __ o _ ..-

onde w e w sao os momentos magnetlcos do eletron e do proton, ae pé a constante de interação hiperfina, S e I são os spins do elé -

tron e do próton respectivamente. Levando-se em consideração a i~

teração hiperfina dos bósons, teremos a função de partição de uma

particula fatorada nas contribuições dos graus de liberdade de

44

spin e de translação. Como visto no Capítulo 11, a parte de spin

- - - ~na Eq. (2.2) pao tem influencia na determinaçao dos expoentes crl-

ticos apresentados na tabela r, de forma que a inclusão da intera

ção hiperfina não afeta o comportamento do GIBE magnetizado na re

gião de transição.

Além do comportamento na vizinhança da temperatura crí-

tica, analisamos os comportamentos das funções termodinâmicas nas

linhas de transição L1T e L3T (veja Fig.l) quando o volume é man­

tido constante. Uma motivação para o estudo do GrBE na condição

de pressão constante é que recentemente foi desenvolvido por Sprik,

VJalravene Silvera (7) um novo tipo de "cela" de estabilização que

permite estudar amostras do gás de hidrogênio atômico polarizado

de altas densidades e por periodos da ordem de minutos, quando a

pressao e a temperatura são mantidos constantes. Por este motivo

pretendemos fazer urna análise detalhada do comportamento das fun-

ções termodinâmicas nas linhas de transição quando mantemos a

pressão constante, semelhante ao caso de volume constante feito

na seção 3.3.

Dando continuidade ao estudo do GIBE, um outro problema

interessante é estudar a influência de desordens na transição cau

sadas pela ação de campos aleatórios nos casos de volume constan-

te e de pressão constante.

45

APt:NDICE I

AS FUNÇÕES DE BOSE-EINSTEIN

Neste apêndice fazemos uma apresentação suscinta das fun -

ções de Bose-Einstein (FBE) e de algumas de suas propriedades u-

sadas com frequência nos capitulos 11 e 111. Estas funções são de

f' 'd (2)lnl as por

F (a) =a

1f(a)

CXJ

J

o

a-I dY y

y+a_ 1e

00

= 2:

n=l

-o -ann e (1.1)

onde r(o) 00 -y 0-1= J e y dy

o(1.2)

e a função gama.

As FBE são funções monótonas decrescentes em a convergin-

do na origem se 0>1 e divergindo se 0<1. No limite de a~oo compo~

tam-se como e-a, independente de o . Os casos particulares Fl (a)

e F (a) têm as formas fechadas dadas poro

-a-Q,n(l-e ) e FO(a)=(ea-l)-l (I.3)

Outras propriedades que podem ser obtidas facilmente de (I.l) sao

aF (a)o

aO.

=FO_l(a)

(1.4)

F (O)o

00

L:

n=l

-on = [,(0), 0>1 (1.5)

onde r,( o) é a função Z eta de Riemann.

o comportamento das FBE em torno de a=O

Ias seguintes expressões primeiramente obtidas

é determinado pe-

. (16)por Roblnson :

46

0-1F (a) =r(l-o)a +o

00

I:

n=O(-lX)n (,~::-n)

n'(1.6)

se o é positivo e não inteiro

e0-1

= l-a) (1 + l + 1(0-1)~ 2 3

00

+ ~ (_a)n 1(o-n)n=O In.

10-1

+ .•. +1

0-1- 9.n a)

(1.7)

se a e um inteiro maior ou igual a 2.

47

AP~NDICE 11

o LOGAR1TMO DA FUNÇÃO DE GRAND PARTIÇÃO H

Mostramos aqui o uso da transformada de Mellin para re­

presentar a função logarítmo(12) e corno determinar toda termodinâ

mica do sistema através do comportamento analítico do integrando

da integral de contorno que define o logarítmo da função de grand

partição. Esta formulação é extremamente interessante, poderosa e

simples, sendo aplicável tanto a sistemas de bósons corno de fér -

mions.

A transformada de Mellin G(t) da função g(x) e sua res-

pectiva transformada inversa são definidas pelas integrais

00t-lG (t) = f g(x)x dx

o1

o+ioo

g(x)

- --fG(t)x-t dt

::'ni

o-ioo

usando a Eq. (II.l) com

0>0 , x>Oo

(I1.1)

(I1.2)

g(x)

Podemos obter(17)

~n!1 + xl ou g(x) ~n11 - xl (II.3)

G (t)

onde -l<Ret<O.

-1 -1nt cosec(nt) ou G(t) = nt cotg(nt) (I1.4)

Sabemos por outro lado que o logarítmo da grand função

- - ~. 'd 1(18) - d d 1 -de partiçao ~ para um gas quantlco 1 ea e a o pe a equaçao

r S(8-E')J= - E I: ~n LI - E e JJ

(I1.5)

onde E torna os valores +1 para b6sons e -1 nara f~rmions. Combi -

nando as Eqs. (11.2.), (11.3), (11.4) e (11.5), encontramos a se

guinte expressão para Y,n;~

2i

c+iw- 1 Y B 8t - S tE .~ f t (cosnt) cosec(nt)e e J dt

J c-iw

(11.6)

O<C<l

onde y~(1+E)/2,valendo 1 para b6sons e zero para f~rmions. Trocan

(19)de sorna em j e integração em t na Eq. (11.6)

do a ordem e usan

do o fato de que Z(St)

-BtE'~né dado por= I e J obtemos que

J

2i

c+iw -1 BGtf t (cosnt)Ycosec(nt)e Z(Bt)dt

c-iw(11.7)

-1onde B =KBT, T a temperatura absoluta, KB a constante de BoltzffiUlli/

o potencial químico e E. a energia do j-ésimo estadoJ

da

hamiltoniana da partícula.

A essência da Eq. (11.7) é a separaçao dos efeitos da es

tatística obedecida pelas partículas contidos no termo E(cosnt)Y

da parte dinâmica Z(Bt) que contém todos os efeitos de superfície,

dimensão, campos externos, etc. Z(Bt) é a continuação analítica

da função de partição de uma partícula para valores complexos de

B . Seu comportamento analítico (polos, cortes, singularidades,

etc.) juntamente com o termo t-l cosec(nt) determinarão toda ter­

modinâmica do sistema. O fator E(cosnt)Y , sendo uma função bem

comportada, não modifica as propriedades analítica da integral d~

terminada por Z(Bt) (veja Eq.II.7), contribuindo porém na determi

nação dos valores dos resíduos do integrando.

o cálculo da integral na Eq. (11.7) com y=l é feito atr~

ves de procedimentos matemáticos simples: usamos um caminho fecha

49

do e o auxílio do teorema do resíduo. Este contorno, ilustrado na

figura abaixo,

e: t=n

I: t=-n

ImtI

8

c oRet

Fig.3. Contorno para o cálculo da Eq. (11.7).

consiste de um segmento de reta de comprimento 2R distante C da

origem, paralelo ao eixo imaginário, sendo fechado à direita por

um semi-círculo de raio R. Escolhemos este raio de forma que o

contorno não passe por nenhum dos polos simples do integrando que

estão localizados nos pontos t=n, n=1,2,3, ... devido ao fator

cotg(nt) na Eq. (11.7). A integral original é recuperada no limite

de R+oo, impondo a condição 8<0 ao potencial químico a fim de que

a contribuição do semi-círculo se anule. Esta condição em e é uma

exigência física para que o potencial químico nunca exceda a ener

gia mínima das partículas, tal que o número de ocupação seja sem-

pre positivo.

~ (20) - dLembramos que o teorema do reslduo e da o por

j~(t)dt = -2ni I b e que o resíduo em t de uma função da forman onf(t) = iP(tl , tais que cjJ(t)=0,1)' (t )~I) e iP(t )~O, é determinado

cp(t) o o opor b = iP(t )/cjJ'(t ). Por conveniência repetimos,a Eq. (2.6)o o o

S 2i

50

cos (nt) 1 senh D S+ 1/2) Sth] e se' t dtd/0

sen(nt) (Bt) senhCBth/2)(11.8)

Identificando ~(t)=sen(TIt),~(t) com a parte restante do inte

grando e aplicando o teorema do resíduo obtemos para o GIBE mag-

netizado a seguinte expressão para D

CXJ

A0L:

D= -

~ + 1n=lO B 1~ + 1o

n

senh [(S+1/2) Bnh]

senh (Snh/2 )

(11.9)

Mostraremos a seguir como algumas funções termodinâmi

cas sao obtidas diretamente do potencial ~ . Sabemos que ~ e a

função de grand partição ~ estão relacionados pela equação

~(V,T,8,H)-1

= - B 9,n ~ (V, T, 8, H) (11.10)

que contém toda informação termodinâmica do sistema. Usando a re-

lação de Euler

u = TS-PV+8N+HM (11.11)

para definir ~ como a seguinte transformada de Legendre de U

~= U-TS-8N-HM (11.12)

Diferenciando a Eq.(I1.12) e combinando com a relação de Gibbs

dU = TdS-PdV+8dN+HdM

obtemos a seguinte expressao:

(11.13)

d~ = -SdT-PdV-Nd8-MdH

A diferencial total de D(T,V,8,H) é dada por

51

(11.14)

dn = ao

3TV,G,H T,G,H

dV + 3nde

'r,V,H

de + dn

3H

dH

'r,v,e

Comparando (II.14) com (II.15) temos que

(11.15)

an(Entropia)

s=--) (11.16)aT

V,8,H

an

(pressão)(11.17)p = - - )

avT,8,H

an

(número de partículas)(11.18)N = - - )

aeT,V,H

art

(magneti zação)(11.19)M=--)

aHT,V,G

52

APÊNDICE 111

COMPORTAMENTOS DAS FUNÇÕES TERMODINÂMICAS NA VIZINHANÇA

DO PONTO CRíTICO

Procuramos fazer neste apêndice os detalhes de cálculo

para uma melhor compreensão do comportamento das funções termodinâ

micas na regiao do ponto critico apresentado na seção (3.1).

a) Começaremos com a magnetização espontânea m •o

Usando a Eq. (2.13) com 8=0 e H=O

m A28o o= 1 -8Nl3d/o

l: Q, Fd(O)

g].1B8

Q,=O -o

e a expressão para a temperatura crítica

(111.1)

1 =A

o

NI3 d/o (28+1) Fd(O)c -o(111.2)

Combinando (111.1) com (111.2) obtemos para a magnetização espont~

nea

(111.3)

b)A fração de partíCUlasno condensado né obtida dao.•.••• - - '<'

Reecrevendoequaçao que da o numero total de partlcu1as Eq. (2.10).

_ No N1obtemos queesta equaçao usando no = ~ e n1 = ~

no + n1 = 1(111.4)

onde

28G-13(e-Q,h) J-1n

=L: e -1 (111.5)o Q,=O

53

e

A28

oL Fd[S(O-kh)].

(111.6)n =

1 NSd/o 9,=0 -O

Quando 8=no=O, então n1=1 e a Eq. (111.6) torna-seAo

25

NSd/o

I Fd (-B9,h)= 1 (111.7)9,=0 -

O

Fazendo em (111.7) S=S e h=O temosC

ASd/O

a=

c

N

28

9-:0 F-ª(O)a

Combinando as Eqs. (111.4), (111.6) e(111.8)28 L

Fd(-9-h t)c

= 1_td/a

9-=O-

an o 28

L Fd(O)9-=0 -

aonde _ gflBHh = KTc B c

Fazendo H=O na Eq. (111.9) encontramos finalmente que

(111.8)

(111.9)

(111.10)

no (111.11)

c) A equação de estado na região de transição e o cá1cu

10 de 0M:

Na equaçao para a magnetização (Eq.2.13) fazemos T=T ecobtemos

54

A2Sm = 1 -

o~Fd (-Bc,º,h). (111.12)

SNSd/o gllB S

9,=0--'c o

Recorrendo à expressão d

--1do (111.13)Fd(a) ~ Ç(d/o)-Ç(~ - l)a+r(l-d/o)a·+ ...- o

onde Ç(d/o)=Fd(O) e observando que os termos dominantes na expan ­__ o

sao acima sao:d--1

[(~ - l)a se ª >2 e [(l-d/o)ao'o o

Eq. (111.12) como

se 0<d<20 podemos reescrever a

mA

= 1 - __ 0_ Q:; ( 2 S+ 1 ) F ( O) +SNSd/o ªc o

se 0<d<20

e

+ r (l-d/o)2S

1::

n=l

d

(-n S) o (111.14)

se d>20.

m A d 2S 2= 1 - ~-/ .[s (2 S+ 1 ) Fd ( O) + Sg]J H ç (- - 1) 1:: R, ]

SNS o _ B o R,=1c o

(111.15)

Combinando a Eq. (111.2) com as Eqs. (111.14) e (111.15) encontramos

queo

H _ m d-o

H - m, d>20

o<d<20

(111.16)

55

Com a definição do expoente crítico 0M obtemos a Eq. (3.15).

Quando d=20 combinamos a equação para a magnetização

(Eq.2.13) com a expansão para as FBE dada na Eq. (7) do apêndice I.

m= 1 -

28

L: G'2(0)-CSQ,h)+(SQ,h)Q,n(SQ,h)+ ••• ]9,=0

(111.17)

Mantendo o termo dominante desta expansão

mA

~l 0_-

NSS2c

2S

Q;(28+1)F2(ü)+Bh L i in(Bih}]9.=1

(111.18)

Substituindo a Eq. (111.2) na Eq. (111.18) encontramos que

-1m -H 9.n H

ou

m __ tn H.H

(II1.19a)

(III.19b)

~ -1Tomando-se o logarltmo de (II1.19a), desprezando o termo 9.n(tn H )

e usando (1II.19b) podemos escrever

H mtn m-l

(111.20)

Com a definição do expoente crítico 0M determinamos que 0M=IL.

d) O comportamento do potencial químico e em torno da

temperatura crítica.

Fazendo h=O na expressão que dá o número de partículas

nos estados excitados

...J

56

A25

N = N =

0LFd(SG)1 d/O'9,=0

s -o

A

o (IIL 21)= Sd/o (25+1) F-ª(SO)

,o

e combinando com a expansão

c1

F d ( se) = r (l-d/ a) (6 e) O' - 1+ F d ( O) - F d (O) (S 8) + ...- - - - 1o o o

(111.22)

Obtemos

AN = (25+1) d/o [Fd (O) - Fd (O) (S8)]

S - - - 1o o

se d>20 e

dA - - 1

N = (25+1) Sd/Ol}'-ª.(0)+[ (l-d/o) ((38)0

]o

(IIL23)

(III.24)

se 0<d<20 , onde foram retidos somente os termos dominantes.

Efetuando a substituição da Eq. (II1.2) em (111.23) e (111.24) de -

terminamos o comportamento de S8 como função de E na região de

transição.

57

APt:NDICE IV

AS PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DO GÁS IDEAL DE BOSE-EINSTEIN (GIBE)

Apresentamos um resumo das propriedades termodinâmicas

do GIBE na vizinhança de sua transição que foram estudadas em de­

talhes por Gunton e Buckingham(3) (G.B.). Eles introduziram um pa-

râmetro de ordem chamado de momento de Base ~ , que é igualO

..a

raiz quadrada da densidade de partículas no condensado, e uma va-

riável intensiva v , chamada campo de Bose, conjugada ao momentoo

de Base. Por conveniência mantemos a mesma notação usada por G.B.

O sistema é definido pelo seguinte hamiltoniano

= 7 + +I E(K)a7K aK~-V(v ~ +v ~ )R o o o o

(IV. 1)

- + - -onde V e o volume do sistema, aK e aR sao os operadores criaçao e

_ .•. 7 7 272aniquilaçao de uma partlcula no estado K com energia E(K)=h K 12m.

o par de variáveis dinâmicas é dado por

+<Pi< = v-l/2

+a-~

K (IV. 2)

*~R e ~K são as médias térmicas das variáveis dinâmicas

definidas por (IV.2). O momento de Bose ~ e o campo de Bose vo o

são análogos ao momento magnético e ao campo magnético de um sis-

tema que exibe uma transição de fase ferromagnética. Esta transi-

çao ocorre somente a campo nulo.

com o operador número de partI

é invariante por uma transformação de Gauge

o

o hamiltoniano}{, comutao+

aI{ aR eculas N = I7

iN8 dK 8 - f .. d G . l'e , on e e uma ase. Essa lnvarlança e auge lmp lca que

58

momento de Base é nulo para qualquer temperatura. Para contornar

essa dificuldade introduziu-se o termo~l que quebra a simetria

de gauge de Ho .

A pressão para o GIBE obtida por G.B. é dada como

P("fl,V ,T) =o

*V \lo o

(IV. 3)

sendo "fl o potencial quimico, À=(2nn2/mKBT)1/2 o comprimento de on

da térmico de de Broglie, d a dimensionalidade do sistema e

n=l

O momento de Bose (~ ) e a densidade de partícula (p =o -

F (x) =(}

OJ

-a -nxn e , x~O sao as FBE.

=N/V) são obtidas da Eq. (IV.3)

*vdP o~ = -----=

o dV]1o *

v v d (-6]1)dP - ~~ + À- F

p= -- - 2 ~d]1]1

2(IV. 4)

(IV. 5)

combinando a Eq. (IV.4) com a equação de conservaçao para a densi-

dade (Eq.IV.5) obtemos que

*P- ~)- o (IV. 6)

2

O primeiro termo no lado direito da Eq.(IV.6) é a densidade de~

partículas no estado K=O. Usando a Eq. (IV.4) podemos verificar

que a energia livre do sistema (Eq.IV.3) depende de l~oI2. porta~

to podemos escolher sem perda de generalidade v e ~ reais, istoo o*

e v =v =v e ~, o o o

mos da Eq. (IV.6)

*= 1~o =~ • Com as

que ~ _ Nl/2o o·

observações feitas acima conclui

Mostramos na tabela IV os expoentes críticos obtidos por

G.B. para o GIBE em dimensão arbitrária, sem spin e com o espec -

59

tro de urna partícula dado por E(K)-Ko.

TABELA IV - Valores dos expoentes críticos obtidos por

G.B. para o GIBE corno função da dimension~

lidade d do sistema e do parâmetro ° da re

lação de disDersão E(K)-Ko no caso de volu

me constante.

---~~

exp. 1I

..

crit as

B6Tl\J

lim.

I

d-20

II-q-d+o I-I

o<d<20

--- -2-0-d-o

2d-od-o d-o

Id>2o I 20-d

11 32-01- -

I o

2 o

A comparaçao das médias termodinâmicas dos termos que

quebram a simetria da hamiltoniana usada por G.B. e a usada neste

trabalho, permite-nos determinar as relações entre os dois conJu~

tos de expoentes críticos que são dadas na tabela v.

- ~TABELA V - Relaçoes entre os expoentes crlticos

aS = aS 1\

M

a~ =~~-t1~=cS-l

M llM =ll-O

y =y-lM

v =vM

60

REFER~NCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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