BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAENGF97 - CONTROLE E SISTEMAS NÃO LINEARES

ADRIANO SILVA MARTINS BRANDÃO, SUBSTITUTO

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Conteúdo

• Noção de estabilidade estrutural;

• Conceito de bifurcações e diagrama de

bifurcação;

• Bifurcações de codimensão um:

• Bifurcação sela-nó;

• Bifurcação transcrítica;

• Bifurcação forquilha;

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Diagrama de fases do atrator de LorentzFonte: https://jmth21202f08.wordpress.com/my-second-problem/

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Noção de estabilidade estrutural

“Seja o fluxo , que depende dos parâmetros . Para valores fixos

dos parâmetros , o fluxo é estruturalmente estável se há tal

que é topologicamente equivalente a , para todos os valores

de , tais que .”

14/05/2015? Fonte: Monteiro

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Noção de estabilidade estrutural• Em outras palavras, um sistema é estruturalmente instável onde ocorre

uma mudança qualitativa no retrato de fases, com a variação de um parâmetro deste sistema. • Exemplo 1:

14/05/2015Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Saddle-node_bifurcation

é um parâmetro(não varia no tempo)

Mudanças no alteram o retrato de fases

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Conceito de bifurcação• A mudança topológica no diagrama de fases, causada pela variação

de um ou mais parâmetros do sistema, é chamada de bifurcação;• Os valores de parâmetros nos quais ocorrem as mudanças no plano

de fase são chamados de pontos críticos, ou pontos de bifurcação.• Exemplo 1:

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A bifurcação deste sistema ocorre em , portanto, o sistema é estruturalmente instável neste ponto

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Diagrama de bifurcação• É o gráfico dos pontos de equilíbrio x valores do parâmetro.• Exemplo 1:

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Autovalores negativos (nó, estável)

Autovalores com sinais diferentes (sela, instável)

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Codimensão da bifurcação• É o número de parâmetros a serem variados para produzir as

bifurcações;

• Estudaremos apenas bifurcações de codimensão um:

• Bifurcação sela-nó;

• Bifurcação transcrítica;

• Bifurcação forquilha.

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Bifurcação sela-nó• Também conhecida como bifurcação tangente ou bifurcação de

dobra;• Ocorre quando dois pontos de equilíbrio colidem e se anulam;• Exemplo 1:

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Autovalores negativos (nó, estável)

Autovalores com sinais diferentes (sela, instável)

Plano de fases Diagrama de bifurcação

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Bifurcação sela-nó• Exemplo 2:

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𝒅 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 =𝟏+𝒓 . 𝒙 (𝒕 )+𝒙𝟐(𝒕 )

Fonte do exemplo: http://texas.math.ttu.edu/~gilliam/s06/m4330/4330_ds_2.pdf

𝒙=−𝒓∓√𝒓𝟐−𝟒𝟐

𝝀=∓ √𝒓𝟐−𝟒

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Bifurcação transcrítica• Na bifurcação transcrítica, existe sempre um ponto de equilíbrio fixo, para

todos os valores do parâmetro variado (este ponto nunca é destruído). • A estabilidade deste ponto fixo muda, com a variação do parâmetro.• Exemplo 3:

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𝒅 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 =𝒓 .𝒙 (𝒕 )− 𝒙𝟐(𝒕)

ou rP/ , P/ ,

Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Transcritical_bifurcation

Ponto fixo, que têm a estabilidade alterada

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Bifurcação forquilha• Definição formal:Uma EDO , descrita pela função, de um parâmetro, com , satisfazendo:

(f é uma função ímpar);

Têm uma bifurcação forquilha em . A forma da forquilha é dada pelo sinal da terceira derivada:

14/05/2015Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation

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Bifurcação forquilha

14/05/2015Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation

Caso supercrítico Caso subcrítico

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Bifurcação forquilha• Exemplo 4 (supercrítico): • Exemplo 5 (subcrítico):

14/05/2015Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation

𝒅 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 =𝒓 .𝒙 (𝒕 )− 𝒙𝟑(𝒕)

ou P/ , P/ ,

𝒅 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 =𝒓 .𝒙 (𝒕 )+𝒙𝟑(𝒕 )

ou P/ , P/ ,

FIMObrigado pela atenção

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Estabilidade

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Fonte: ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/ea619_1s09/topico6_03.pdf