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Binômio de Newton

1. (Uepg 2014) Sobre os polinômios nP(x) (2x 1) e nQ(x) (2x 1) , com n *, assinale o

que for correto.

01) Se n 6, o termo médio de P(x) vale 340x .

02) A soma dos coeficientes de Q(x) é 1, qualquer que seja n.

04) Se n 4, então P(x) Q(x) tem 3 termos.

08) Se n 10, o último termo de Q(x) é negativo.

16) Se n 5, então P(x) Q(x) tem 10 termos.

2. (Uem 2014) Dados os inteiros não negativos n e k, sendo k n, define-se o símbolo

n n!.

k k ! n k !

Para cada inteiro n 1, considere np x como sendo o polinômio

n n 1 n 2n n n n nx x x ... x .

n n 1 n 2 1 0

Assinale o que for correto.

01) 4 3 24p x x 4x 6x 4x 1.

02) Para todo inteiro n positivo, o polinômio pn (x) admite raízes não reais.04) Para todos os valores de n, o polinômio pn (x) é divisível por x +1.08) Para todo inteiro n > 2 , existem dois números racionais distintos, a e b , para os quais p n

(x) é divisível por x − a e por x − b .16) Para cada inteiro positivo n, a soma de todos os coeficientes de p n (x) é 2

n.

3. (Ufrgs 2014) Considere a configuração dos números dispostos nas colunas e linhas abaixo.

C

o l u n a 0

C

o l u n a 1

C

o l u n a 2

C

o l u n a 3

C

o l u n a 4

C

o l u n a 5

C

o l u n a 6

C

o l u n a 7

...

Linha 0 1

Linha 1 1 1

Linha 2 1 2 1

Linha 3 1 3 3 1

Linha 4 1 4 6 4 1

Linha 5 1 5 10 10 5 1

Linha 6 1 6 15 20 15 6 1

Linha 7 1 7 21 35 35 21 7 1

... ... ... ... ... ... ... ... ...

O número localizado na linha15 e na coluna 13 éa) 15.b) 91.c) 105.d) 120.e) 455.




4. (Fgv 2013) Desenvolvendo-se o binômio 5P(x) (x 1) , podemos dizer que a soma de seus

coeficientes éa) 16b) 24c) 32d) 40

e) 48

5. (Unioeste 2013) O valor da expressão

4 3 2 2 3 4153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3

é igual a

a) 3153(153 3) 3.

b) 4147 .

c) 4 415 3 .

d) 4153 .

e) 4 415 10 .

6. (Uern 2013) A soma dos algarismos do termo independente de x no desenvolvimento do

binômio de Newton

82

xx

é

a) 3b) 4c) 6d) 7

7. (Esc. Naval 2013) O coeficiente de 5x no desenvolvimento de

7

32 xx

é

a) 30b) 90c) 120d) 270e) 560

8. (Uepg 2013) Assinale o que for correto.

01)n n

2 n 2

02)

4 4 4 4

151 2 3 4

04) A soma das soluções da equação11 10 10

x 3 2

é 11.

08) A equação10 10

x 2x 4

tem duas soluções distintas.

16)n n n 1

1 2 2




9. (Unioeste 2013) Seja

10n

n 1

10!f(x) 1 x

n!(10 n)!

uma função real de variável real em que n!

indica o fatorial de n.

Considere as afirmações:

I. f(0) = 0.II. f(1) = 10.III. f(−1) = 0.

Pode-se afirmar quea) somente I é correta.b) todas as afirmações são corretas.c) II e III são corretas e I é incorreta.d) III é correta e I e II são incorretas.e) todas as afirmações são incorretas.

10. (G1 - ifal 2012) A expressão (x + y)n, com “n” natural, é conhecida como binômio de

Newton. Seu desenvolvimento é dado assim:

n n 0 n 1 1 n p p n nn,0 n,1 n,p n,n

3 3 0 3 1 1 3 2 2 3 3 33,0 3,1 3,2 3,3

3 2 2 3

(x y) C x y C x y C x y C x y

Por exemplo :

(x y) C x y C x y C x y C x y

x 3x y 3xy y .

Assim, a expressão 4x2 + 4xy + y

2 corresponde a

a) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (2x) y C (4x) y C (2x) y .

b) 2 0 1 1 0 2

2,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (4x) y .

c) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (x) y C (2x) y C (2x) y .

d) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (4x) y C (4x) y C (4x) y .

e) 2 0 1 1 0 22,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (2x) y .

11. (Fgv 2012) O termo independente de x do desenvolvimento de

12

3

1x

x

é

a) 26.b) 169.c) 220.

d) 280.e) 310.

12. (Uern 2012) Qual é o valor do termo independente de x do binômio

n

2

2x ,

x

considerando que o mesmo corresponde ao sétimo termo de seu desenvolvimento?a) 435b) 672c) 543d) 245

13. (Uespi 2012) Qual o coeficiente de x7 na expansão de 2 4(2 3x x ) ?

a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10




14. (Ufpe 2012) Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto termo da expansão binomial

de

n3 1

xx

seja independente de x na expansão em potências decrescentes de x.

15. (Esc. Naval 2012) Seja m a menor raiz inteira da equação(x 1)(5x 7)

! 1.

3

Pode-se

afirmar que o termo médio do desenvolvimento de 3 12m( y z ) é

a)

318 2

12!y z

6!6!

b) 3 1812!y z

6!6!

c)

15452

30!y z

15!15!

d)

15452

30!y z

15!15!

e) 3 1812!y z

6!6!

16. (Ufpe 2011) No desenvolvimento binomial de

101

13

, quantas parcelas são números

inteiros?

17. (Uepg 2011) Considerando que, a5 + 5a

4b + 10a

3b

2 + 10a

2b

3 + 5ab

4 + b

5 = 32 e a – b = –1,

assinale o que for correto.01) a > 1.02) b < 0.

04)b

aé um número natural.

08) a2 + b

2 =

5.

2

16)a 1

.b 3

18. (Uem 2011) Assinale o que for correto.

01) O coeficiente do termo 3x em

92

xx

é - 672.

02)

x

x

2 12 1 2 2

2 1

são maiores que 1.

04) Se x e y são números reais tais que y > x, então y xa a , em que a é uma constante real

positiva.

08) A equação x 2,2 x,34!C A 0 possui exatamente duas soluções no conjunto dos números

inteiros maiores ou iguais a 4.

16) 1

49

1log 7 .

4




19. (G1 - ifal 2011) No desenvolvimento

n2 3

x ,x

n , os coeficientes binominais do

quarto e do décimo terceiro termos são iguais. Então, o termo independente de x é o:

a) décimo.

b) décimo-primeiro.c) nono.d) décimo-segundo.e) oitavo.

20. (Uff 2010) Povos diferentes com escrita e símbolos diferentes podem descobrir um mesmo

resultado matemático. Por exemplo, a figura a seguir ilustra o Triângulo de Yang Yui, publicado

na China em 1303, que é equivalente ao Triângulo de Pascal, proposto por Blaise Pascal 352

anos depois.

Na expressão algébrica:

( x

+ 1)

100

= a0 + a1 . x

+ a2 . x

2

+...+a99 . x

99

+ a100 . x

100

=

100n

nn 0

a x

o coeficiente a2 de x 2 é igual a:

a) 2b) 100c) 4950d) 9900e) 2

100

21. (Ita 2010) A expressão (2 3 5 )5 – (2 3 5 )

5 é igual a

a) 2630 5 .

b) 2690 5 .

c) 2712 5 .

d) 1584 15 .

e) 1604 15 .




22. (Uff 2010)

Em computação gráfica, o sistema RGB identifica uma cor a partir de três números R , G e B

que especificam, respectivamente, as quantidades de vermelho (Red ), verde (Green ) e azul

(Blue ) que compõem a cor. Outro sistema de identificação de cores é o NTSC (usado em TV).

Nesse sistema, uma cor também é definida por três números: Y (luminância), I (sinal em fase) e

Q (quadratura). Os dois sistemas estão relacionados através da seguinte equação matricial:

Y 0,299 0,587 0,114 R

I 0,596 0,274 0,322 G

Q 0,211 0,523 0,312 B

Se 0 ≤ R ≤ 1, 0 ≤ G ≤ 1 e 0 ≤ B ≤ 1, então

a) 0 ≤ Y ≤ 1, 0 ≤ / ≤ 1 e 0 ≤ Q ≤ 1b) 0 ≤ Y ≤ 1, – 0,596 ≤ / ≤ 0,596 e – 0,523 ≤ Q ≤ 0,523c) 0 ≤ Y ≤ 0,299, 0 ≤ / ≤ 0,596 e 0 ≤ Q ≤ 0,211d) 0,114 ≤ Y ≤ 0,587, – 0,322 ≤ / ≤ 0,596 e – 0,523 ≤ Q ≤ 0,312e) 0,211 ≤ Y ≤ 0,596, – 0,523 ≤ / ≤ 0,587 e – 0,322 ≤ Q ≤ 0,312

23. (Uel 1994) Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + a)5, com a ∈ IR, é 80x

2,

então o valor de a é

a) 6b) 5c) 4d) 3e) 2




Gabarito:

Resposta da questão 1:02 + 04 = 06.

Os termos gerais de P e Q são, respectivamente, n p n pp 1

nT 2 x

p

e

q n q n qq 1

nT ( 1) 2 x .

q

[01] Incorreto. Se n 6, o termo médio de P(x) vale

6 3 6 34

3

3

6T 2 x

3

20 8 x

160x .

[02] Correto. Tomando x 1, segue que a soma dos coeficientes de Q(x) é n n(2 1 1) 1 1,

qualquer que seja n.

[04] Correto. Se n 4, temos

4 4 2 2 0 0

4 2

4 4 4P(x) Q(x) 2 2 x 2 2 x 2 2 x

0 2 4

32x 48x 2.

Portanto, P(x) Q(x) tem 3 termos.

[08] Incorreto. Se n 10, então o último termo de Q(x) é

10 10 10 10 1010( 1) 2 x 1 0.

10

[16] Incorreto. Se n 5, então

5 5

5

2 5

P(x) Q(x) (2x 1) (2x 1)

[(2x 1)(2x 1)]

(4x 1) .

Por conseguinte, P(x) Q(x) tem 5 1 6 termos.

Resposta da questão 2:

01 + 04 + 16 = 22.

[01] Verdadeira, pois x4 + 4x

3 + 6x

2 + 4x + 1 = (x + 1)

4 e admite -1 como raiz.

[02] Falsa, para n = 2, P(x) = x2 + 2x + 1, possui duas raízes reais e iguais.

[04] Verdadeira, pois p(x) = (x + 1)n.

[08] Falsa, pois p(x) = (x +1 )n, portanto, a = b = - 1.

[16] Verdadeira, pois a soma dos coeficientes de (x + 1)n = (1 + 1)

n = 2

n.




Resposta da questão 3:[C]

A tabela acima é o famoso triângulo de Pascal.

15 15! 15 14

10513 2! 13! 2


A soma dos coeficientes de P é dada por

5 5P(1) (1 1) 2 32.


[E]

4 3 2 2 3 4 4 4 4 4153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3 (153 3) 150 15 10 .

Resposta da questão 6:[B]

O termo geral do binômio é

8 pp

p 1

8 p 2p 8

8 2T x

p x

8!2 x .

p! (8 p)!

O termo independente de x, se existir, é o natural p que torna o expoente de x igual a zero,

ou seja,

2p 8 0 p 4.

Em consequência, o termo independente de x existe e é igual a

8 45

4

8!T 2

4! (8 4)!

8 7 6 5

24 3 2

1120.

Portanto, segue-se que o resultado é 1 1 2 0 4.




Resposta da questão 7:[E]

7 p p

3 7 p 4p 77 72x 2 x

p px

Como o expoente de x é 5, temos 4p – 7 = 5, isto é p = 3. Fazendo, agora, p = 3, temos:

7 3 4 3 7 5 572 x 35 16 x 560x .

3

Portanto, o coeficiente pedido é 560.

Resposta da questão 8:01 + 02 + 04 + 16 = 23.

[01] (Verdadeira), pois n - 2 + 2 = n (binomiais complementares).

[02] (Verdadeira). 44 4 4 4 42 15.

1 2 3 4 0

[04] (Verdadeira).11 10 10 11 11

x 3 ou x 3 11 x 2 ou x 8x 3 2 x 3

e 8 + 3 = 11.

[08] (Falsa).

10 10 142x 4 x ou 2x 4 x 10 x 4 ou x (não convém).

x 2x 4 3

[16] (Verdadeira).n n n 1

1 2 2

(relação de Stifel).


[D]

n

10n

10

10

n 1

f(x) 1 1

10!f(x) 1 x

n!(10 n

x 1

1

)

(x) x

!

f

Então,[I] f(0) = (1 + 0)

10 = 1

[II] f(1) = (1 + 1)10

= 1024[III] f(-1) = (1+(-1))

10 = 0

Portanto, [III] é correta e [I] e [II] são incorretas.

Resposta da questão 10:[E]

2 0 1 1 0 2 2 2 22,0 2,1 2,2C (2x) y C (2x) y C (2x) y (2x y) 4x 4xy y





O termo Geral do Binômio de Newton será dado por: p

12 p 3 12 4p12 12x x x

p p

Para que T seja o termo independente do desenvolvimento de

12

3

1x

x

, devemos admitir

12 4p 0 p 3

Logo,12 12!

T 2203 3! 9!


[B]

O termo geral do binômio é dado por

n pp

p 1 2

n pp

2n 2p

n p 3p 2n

n 2T x

p x

n 2x

p x

n2 x .

p

Sabendo que o termo independente de x é o sétimo, segue que p 6 e, assim,

n 6 18 2n6 1

nT 2 x .

6

Daí, impondo 18 – 2n = 0, concluímos que n = 9 e, portanto,

9 6 37

9 9! 9 8 7T 2 2 8 672.

6 6! 3! 3 2

Resposta da questão 13:[D]

Reescrevendo o polinômio, obtemos

31 2

2 31 2

2 4 2

1 2 3

2

1 2 3

4!(2 3x x ) 2 (3x) (x )

! ! !

4!2 3 x .

! ! !

Para que o expoente de x seja 7, devemos ter 1 2 3 4 e 2 32 7. Desse modo,

como 1 2 3( , , ) (0,1,3) é a única terna coordenada que satisfaz essas condições, temos

que o coeficiente de 7x é dado por

0 14!2 3 12.

0! 1! 3!




Resposta da questão 14:16.

O termo geral do binômion

3 1x

x

é dado por

k3 n k

k 1

n k

3k

n 4k

3

n 1T ( x)

k x

n 1x

k x

nx .

k

Sabendo que o quinto termo é independente de x, temos que k 4 e, portanto,

n 4 40 n 16.

3


[E]

Sabendo que 0! 1 e 1! 1, vem

(x 1)(5x 7) 70 x 1 ou x

3 5

ou

2(x 1)(5x 7)1 5x 12x 4 0

3

2x 2 ou x .

5

Donde concluímos que m 1.

Assim, como o termo geral de 3 12( y z ) é

pp 3 12 p 12 p 36 3p2

12 12( y ) ( z ) ( 1) y z ,

p p

e o termo médio é tal que

12p 1 1 p 6,

2

concluímos que o termo médio é igual a

612 6 36 3 6 3 182

12 12!

( 1) y z y z .6 6!6!





O termo geral do binômio é dado por

p10 p

p 1 p

10 1 10! 1T 1 .

3 p!(10 p)!p 3

Como 410! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 3 10 8 7 2 5 4 2, segue que a maior potência de 3

que divide 10! é 43 . Assim, p {0,1, 2, 3, 4}. Desses valores, os únicos que produzem parcelas

inteiras são 0 e 2. Portanto, duas parcelas do binômio dado são números inteiros.

Resposta da questão 17:04 + 08 + 16 = 28.

Cálculos auxiliaresa

5 + 5a

4b + 10a

3b

2 + 10a

2b

3 + 5ab

4 + b

5 = 32 (a + b)

5 = 32 a + b = 2.

Portanto:

1a

a b 2 2

a b 1 3b 2

Item (01) – Falso

1a 1

2

Item (02) – Falso

3b 0

2

Item (04) – Verdadeiro

3b 2

3 N1a

2

Item (08) – Verdadeiro2 2

2 2 1 3 5a b

2 2 2

Item (16) – Verdadeiro

1a 12

3b 3

2




Resposta da questão 18:01 + 08 + 16 = 25.

01) Correto. O termo geral do binômio9

2x

x

é dado por

k9 k

k 1

k9 k k

k

k k 9 2k

9 2T xk x

9 2x ( 1)

k x

9( 1) 2 x .

k

Para determinarmos o coeficiente de 3x devemos impor 9 2k 3 k 3.

Logo, o resultado pedido é

3 4

3 3

1 1

9 9! 9 8 7( 1) 2 8 8 672.3 3! 6! 3 2

02) Incorreto. Fazendo x( 2 1) y, *y , segue que

22 1y 2 2 y ( 2 2)y 2 1 0

y

2 2 2y

2

y 2 1 ou y 1.

Portanto, como x( 2 1) 2 1 x 1 e x( 2 1) 1 x 0, temos que nenhuma das

raízes da equação é maior do que 1.

04) Incorreto. Se 0 a 1 e y x, então y xa a , sendo a uma constante real positiva.

08) Correto. Temos que

x 2,2 x,3

2

(x 2)! x!4!C A 0 4! 0

2! (x 4)! (x 3)!

4 3 (x 2) (x 3) x (x 1) (x 2) 0

(x 2) ( x 13x 36) 0(x 2) (x 4)(x 9) 0

x 4 ou x 9.

Note que o conjunto universo das soluções da equação dada é {x | x 4}.

16) Correto. Temos que 2

1

21 77

49

1 1 1log 7 log 7 log 7 .

2 2 4





O termo geral do binômio

n2 3

xx

é

p2 n p

p 1

n 3T (x ) .

p x

Se os coeficientes binominais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais, então

n nn 3 12 15.

3 12

Logo,p

2 15 pp 1

p30 2p

p

30 3p p

15 3T (x )

p x

15 3x

p x

15

x 3p

Como o desenvolvimento do binômio apresenta um termo independente de x, deve-se ter

30 3p 0 p 10.

Portanto, o termo pedido é o décimo primeiro.


2982

100100

49501..98

100

:temos98 p,982100

1.100

xT xT

fazendo p p

x p

T p p

Logo o coeficiente de x2 é 4950.


Utilizando o Binômio de Newton, temos

(a + b) 5 = a5 + 5.a4.b+10.a 3.b2 + 10.a 2.b2 + 5.a.b4 + b5

(a - b)5 = a

5 - 5.a

4.b + 10.a

3.b

2 - 10.a

2.b

2 + 5.a.b

4- b

5

(a + b)5 - (a - b)

5 = 10a

4.b + 20.a

2.b

3 + 2b

5

Logo:

5324555.25.)32.(205.)32.(10532532

550512005144053253255

5269053253255





Multiplicando as matrizes temos:

BG R

BG R

BG R

O

I

Y

312,0523,0211,0

322,0274,0596,0

114,0]587,0299,0

Menor Y = 0,299.0 + 0,587.0 + 0,114.0 = 0

Maior Y = 0,299.1 + 0,587.1 + 0,114.1 = 1

Menor I = 0,596.0 – 0,274.1 – 0,322.1 = - 0,596

Maior I = 0,596.1 – 0,274.0 – 0,322.0 = 0,596

Menor O = 0,211.0 - 0,523.1 + 0,312.0 = - 0,523

Maior O = 0,211.1 - 0,523.0 + 0,312.1 = 0,523


[E]

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