Binômio de newton

Professora Michele Boulanger 1

BINÔMIO DE NEWTON


Sobre uma mesa há 2 bandejas e em cada uma há um cartão com a letra X e outro com a letra A. Um menino deve escolher uma letra de cada

bandeja.

X A X A

X X

X A

A X

A A

X2

XA

AX

A2

X2 + 2XA + A2

3 TERMOS

(X + A)2 Quadrado da soma


Sobre uma mesa há 3 bandejas e em cada uma há um cartão com a letra X e outro com a letra A. Um menino deve escolher uma letra de cada

bandeja.

X A X A X A

X X X

X A A

X X A

X A X

A A X

A X X

A X A

A A A

X3

XA2

X2A

X2A

XA2

X2A

XA2

A3

X3 + 3X2A + 3XA2 + A3

4 TERMOS

(X + A)3


Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Se quisermos calcular (a + b)4 , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)4 = (a + b)3.(a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3).(a+b)= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de

modo geral, obter o desenvolvimento da potência (a+b)n a partir da anterior, ou seja, de (a+b) n - 1 .

Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.

Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico

inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.


A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal

Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo

valor, temos:


Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso:

•quando n = 0 temos












De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:

Note que os expoentes de x vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0,

Os expoentes de a vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n.

O desenvolvimento de (x + a)n possui n + 1 termos.

Exemplo: (2x – 3y)10 tem 11 termos


No desenvolvimento do binômio (x – a) n , os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par (2o, 4o,

6o …) são negativos, e os de ordem ímpar (1o, 3o, 5o…) são positivos.


Caso seja pedido a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de um binômio, não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de newton, basta saber a seguinte dica:-troque qualquer letra do binômio por 1- calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à n.

Obtemos a expressão:1.16x4.1 + 4.8x3.1 + 6.4x2.1 + 4.2x . 1 + 1.1.1

16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

No desenvolvimento acima, a soma dos coeficientes é 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), agora utilizando a dica dada:(2x+1)4

(2.1 + 1)4 = 34 = 81


Não é necessário desenvolver todos os termos de um binômio para encontrarmos um termo em particular.

A formação de cada termo obedece a uma lei.

T 1 = C n,0 . a0. x n-0

T 2 = C n,1 . a1. x n-1

T 3 = C n,2 . a2. x n-2

T 4 = C n,3 . a3. x n-3

T p+1 = C n,p . ap. x n-p

T n + 1 = C n,n . an. x n-n

Em cada termo de (x + a) n, o coeficiente é Cn,p, o expoente de a é p e o expoente de x é n-p



Determine o 7.° termo do binômio (2x + 1)9

Vamos aplicar a fórmula do termo geralde (x + a)n , onde x = 2x , a = 1 e n = 9. Como

queremos o sétimo termo, fazemos p = 6, na fórmulado termo geral, e efetuamos os cálculos indicados.

Temos então:

T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9–6 . (1)6 = 9! /[(9–6)! . 6!] .(2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.


Calcule o coeficiente do termo em x9 no desenvolvimento de (x2 – 2x)6.

Tp+1 = C6,p . (x2)6–p . (-2x)p =

C6,p .x12-2p . (-2x) p = C6,p .x12-2p . (-2) p .x p = Agrupando as potências de x, temos: Tp+1 = C 6,p. x 12-2p+p. (-2)p

Tp+1= C 6,p . x 12-p. (-2)p Para que o expoente de x seja igual a 9, devemos ter 12 – p =9, ou seja, p =3P = 3 T3+1= C6,3. x 12 -3 . (-2)3

T4= 20. x9.(-8) T4 = -160x9


Determine o sexto termo do desenvolvimento de (x + 2)6.

T5+1 = C 6,5 . x6-5 . 25

T6 = 6 . x. 32

T6 = 192x


Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?

Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8.

Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o

nosso problema resume-se ao cálculo do T5 .

Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos:

T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4

Fazendo as contas vem:T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.

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