Profº Daniel Mascarenhas

Números binomiaisNúmeros binomiais

DefiniçãoDefinição

Sejam m e p dois números naturais quaisquer e tais Sejam m e p dois números naturais quaisquer e tais que n ≥ p. Chama-se número binomial e indica-se que n ≥ p. Chama-se número binomial e indica-se por o número binomial assim definido:por o número binomial assim definido:

Em que n é chamado de numerador e p, de Em que n é chamado de numerador e p, de denominador do binomial.denominador do binomial.

p

n

)!(!

!

pnp

n

p

n

−=

Binomiais complementaresBinomiais complementares

Dois números binomiais são complementares se Dois números binomiais são complementares se apresentarem o mesmo numerador, o mesmo apresentarem o mesmo numerador, o mesmo denominador e a soma dos denominadores for denominador e a soma dos denominadores for igual ao numerador.igual ao numerador.

=+=

⇔

=

nqp

qp

q

n

p

n

Binomiais consecutivosBinomiais consecutivos

Dois números binomiais de mesmo numerador Dois números binomiais de mesmo numerador são consecutivos se seus denominadores forem são consecutivos se seus denominadores forem números consecutivos.números consecutivos.

=

−+

−−

p

n

p

n

p

n 1

1

1

Exercício de Aprofundamento -01Exercício de Aprofundamento -01

02. 02.

03. 03.

04. 04.

• O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.dado.

• Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).linha 5; 4 e 6-linha 4).

• NOTA:NOTA: Considera-se que o topo do triângulo Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.corresponde à linha 0, coluna 0.

Triângulo de PascalTriângulo de Pascal

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm

Propriedade 1Propriedade 1

• A primeira propriedade do triângulo que iremos A primeira propriedade do triângulo que iremos apresentar está relacionada à soma dos apresentar está relacionada à soma dos elementos de cada uma das linhas. elementos de cada uma das linhas.

• A soma dos elementos de uma linha de A soma dos elementos de uma linha de numerados n será: numerados n será:

PropriedadesPropriedades

nn

p p

n2

0=

Σ=

Propriedade 2Propriedade 2

• A próxima propriedade do triângulo que A próxima propriedade do triângulo que veremos é a relação de Stifel.veremos é a relação de Stifel.

• Ela diz que a soma de dois números de uma Ela diz que a soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está mesma linha do triângulo é o número que está na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados. números somados.

=

−+

−−

p

n

p

n

p

n 1

1

1

• Propriedade 3Propriedade 3

• Nossa próxima propriedade diz respeito à soma Nossa próxima propriedade diz respeito à soma dos números dispostos em diagonal, dos números dispostos em diagonal, começando sempre do 1 a partir da direita.começando sempre do 1 a partir da direita.

• Para uma diagonal genérica, podemos escrever:Para uma diagonal genérica, podemos escrever:

++=

+++

++

++

++

k

kn

k

knnnnn 1....

3

3

2

2

1

1

0

• Propriedade 4Propriedade 4

• Desde o primeiro até um determinado elemento, Desde o primeiro até um determinado elemento, é igual ao binomial situado imediatamente à é igual ao binomial situado imediatamente à direita e abaixo do último elemento considerado.direita e abaixo do último elemento considerado.

• Para uma coluna genérica, podemos escrever:Para uma coluna genérica, podemos escrever:

+

++=

+++

++

++

++

1

1....

321

n

kn

n

kn

n

n

n

n

n

n

n

n

05.05.

06. 06.

07. 07.

08.08.

• Fórmula do termo geral do binômioFórmula do termo geral do binômio

Binômio de NewtonBinômio de Newton

ppnp ax

p

nT )()(1

−+

=

Dicas Importantes!!!i)Invertendo-se os expoentes de a e b da fórmula acima, obtém-se a fórmula do binômio de Newton segundo as potências crescentes de a.ii)A soma dos coeficientes do binômio é :

iii) O termo médio ou central é calculado pela expressão :

nn

p p

n2

0=

Σ=

central ou médio termo tem não mentodesenvolvi o ímpar, for n Se

par for n se ,12

+= nTmédio

09. 09.

10.10.

11.11.

12.12.

13.13.

• Pág: 108 q(38 – a, b, d), q(39)Pág: 108 q(38 – a, b, d), q(39)

• Questões para aprofundamentoQuestões para aprofundamento

• Pág: 108 q (40, 41, 42, 43, 44 e 45)Pág: 108 q (40, 41, 42, 43, 44 e 45)

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