O Triângulo de Pascal

Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em

1303 Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013

Blaise Pascal (1623 - 1662)

Na sua vida curta mas cheia de acontecimentos, o filósofo e matemático Francês trabalhou em muitos problemas e tópicos diferentes. Inventou uma máquina de calcular e produziu um tratado sobre secções cónicas.

O triângulo que leva o seu nome era já conhecido na China por volta do ano 1300 a.C. e, provavelmente também o era na Europa. Mas foi o extenso trabalho de Pascal na teoria das probabilidades que levou a que lhe fosse dado o seu nome.

Versão de Pascal do triângulo

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15

20

15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56

70

56

28

8 1

1 9 36 84

126 84 36

9 1

1 10 45 120 210 210 120

45 10

1

126

252

... ... ... ... ... ... ... ... ......

“O padrão é tão simples que uma criança de 10 anos o consegue escrever, no entanto, contém tantas ligações com tantos aspectos aparentemente não relacionados da Matemática, que é seguramente uma das mais elegantes construções Matemáticas.”

Martin Gardner

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10

10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

00C

10C

20C 2

2C21C

30C

11C

31C 3

2C 33C

40C 4

1C 42C 4

3C

50C

70C

60C

51C 5

2C 53C

44C

61C 6

2C 63C

55C5

4C

73C

65C

71C 7

2C

64C

74C 7

5C 76C 7

7C

66C

Linha

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

0nC 1

nC npC

nn pC 1

nnC n

nC………

…

n

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10

10 5 1

1 6 15

20

15

6 1

1 7 21

35 35 21 7 1

1 8 28

56 70 56 28 8 1

00C

10C

20C 2

2C21C

30C

11C

31C 3

2C 33C

40C 4

1C 42C 4

3C

50C

70C

60C

51C 5

2C 53C

44C

61C 6

2C 63C

55C5

4C

73C

65C

71C 7

2C

64C

74C 7

5C 76C 7

7C

80C 8

1C 82C 8

3C 84C 8

5C 86C 8

7C 88C

66C

1. Todas as linhas começam e acabam em 1.Efetivamente,

2. O triângulo é simétrico, uma vez que , em cada linha, valores equidistantes dos extremos são iguais.

0 1n nnC C 0 1n nnC C

0, 0

n np n pC C

com n p IN e p n

0, 0

n np n pC C

com n p IN e p n

3. A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que se situa entre eles, na linha seguinte:

0 1 ... 2n n n nnC C C 0 1 ... 2n n n nnC C C

0n IN 0n IN 2n2n4. A soma dos elementos de qualquer linha n, com é

5. O número de elementos de uma linha n, com , é n+1.0n IN 0n IN

11 1

0, 0

n n np p pC C C

com n p IN e p n

11 1

0, 0

n n np p pC C C

com n p IN e p n

E

S

CASA DA ANA

ESCOLA

CB

A

Quantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, Quantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, se andar sempre se andar sempre apenaapenas para Este (E) ou para Sul (S)?s para Este (E) ou para Sul (S)?

Comecemos por contar o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à

esquina A! (clica em A)

E para chegar à

esquina B?...(clica em B)

E até à esquina

C?...(clica em C)

E se fosse para chegar à esquina

B'?...

B’

E, finalmente, até à

Escola?...(clica na “Escola”)

Contemos, então, o número de caminhos diferentes Contemos, então, o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A!que ela tem para chegar à esquina A!

21C21C

1 1

21

(S , E)

(E , S)

E

SA

Número de maneiras diferentes de: Dos 2 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este e o outro para Sul!

(clica aqui)

Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à esquina B...esquina B...

31C31C 3

2C32C

1 1

21

31

(S , S , E)(E , S , S)(S , E , S)

B

E

S

Número de maneiras diferentes de: Dos 3 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este (e os 2 restantes para Sul)!

ou(clica aqui)

E

S

C

E até à esquina E até à esquina C!...C!...

42C42C

1 1

21

31

(E , E , S , S)

1

3

6

(E , S , E , S)(E , S , S , E)

(S , E , E , S)(S , E , S , E)

(S , S , E , E)

Número de maneiras diferentes de: Dos Dos 4 troços4 troços a percorrer, escolher a percorrer, escolher 22 desvios para desvios para EsteEste (e os 2 (e os 2 restantes para restantes para SulSul)!)!

(clica aqui)

Sintetizando, sabemos que:Sintetizando, sabemos que:

21C

1

11

21 1

6

3331C

42C

11C1

0C

00C

20C 2

2C

32C

A

B

C

E… retomando o esquema inicial com E… retomando o esquema inicial com uma outra inclinação, podemos uma outra inclinação, podemos

conjeturar:conjeturar:

1

20

1

2

11

11

6

3 3

55

44

1

1515

10 10

35 35

7070

2121

1

1

66

1

1

56562828

1

1

7

71

1

8

81

1

CASA DA CASA DA ANAANA

ESCOLAESCOLA

00

C

10

C 11

C

20

C 21

C 22

C

30

C 31

C 32

C 33

C4

0C 4

1C 4

2C 4

3C 4

4C

50

C 51

C 52

C 53

C 54

C 55

C6

0C

61

C 62

C 63

C 64

C 65

C 66

C

70

C 71

C 72

C 73

C 74

C 75

C 76

C 77

C

80

C 81

C 82

C 83

C 8844

CC 85

C 86

C 87

C 88

C

A Ana tem caminhos diferentes para chegar à Escola (dos oito troços a percorrer, escolher 4 desvios para Este e os 4 restantes para Sul).

8470 C

N

S

W E

AA

RR

GGO Rui e a Ana, quando vão de casa para o ginásio, utilizam as ruas só nos sentidos WE e SN.

R – R – Casa do RuiCasa do RuiA – A – Casa da AnaCasa da AnaG – G – GinásioGinásio

O Rui, numa deslocação de casa para o ginásio, escolhe o percurso totalmente ao acaso. A probabilidade de o Rui passar no cruzamento onde se situa a casa da Ana é:

13(A)

703

(B)7

8(C)

7018

(D)70

E se a situação fosse esta:E se a situação fosse esta:

5 32 18

4

C CC

A figura representa parte da planta das ruas de uma cidade.

5 33 28

4

C CC

ou

...1 3 6 10 15

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

.

1

3

6

15

10

21

28

45

55

36

.

1

1

1 1

1 4

1051

1

20

15 6 1

1

35 21

71

1

135

1 567056288

84 126126

843691

210

252

210

120

4510 120

1

1

462

462

330

165

5511 165

330

1

...... ....

Números Naturais

1 1 1+1=2

1+2=3 2+3=5

3+5=8 5+8=13 8+13=21Números

Triangulares

Sucessão de

Fibonacci

Triângulo de PascalTriângulo de Pascal

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

1

70

Somas “rastejantes”!Somas “rastejantes”!

8

1

1

1

3

21

28

36

1

1 1

21

71 1

1 5656288

126

843691

2521

1

1 1

1

3

7

9

1

10

45

35 35

210

210

120

4510 120

5 10 5

330

165

55 165

330

10

1

126

462 462

1155

84

11

Adicionando os elementos de uma diagonal descendente, até uma certa linha, vamos obter o elemento da linha seguinte, por baixo do último elemento adicionado.

....... .... ..

1 1 2

61 4 4 1

6 1 1 6

15

20 15

6

828

4

20 6

567056288

210 25221012010 120

2

4

6

10

924792 220792 12 6612 66 220

171628678 286 781716

3432200

2364 364200214

462462330 330

3684 1261268436

1010

14

1

1

1

3

15

45

1

1

1

1

451

1

15

1

1

1

1

3

1

1

495 495 11

1287715 715128713 1131

NúmeroNúmeros s

ímpares ímpares && Números Números

pares pares

500564356435500530031365 45513653003455 1151051051 15

30033003100

1100

191 1911

11 11551655511 165

11 9 9

2135 21 71 135 7

1 15 5

Todos diferentes, todos iguaisTodos diferentes, todos iguais

Diferentes procedimentos matemáticos podem conduzir-nos ao mesmo objeto, mesmo

que os caminhos tomados sejam consideravelmente

diferentes.

1º caminho 1º caminho diferentediferente

Considera um

triângulo equilátero

qualquer e une os

pontos médios dos

lados. Obténs

quatro triângulos

mais pequenos.

Em cada um dos

triângulos exteriores

repete o

procedimento (isto

é, só não fazes mais

nada no triângulo

que está no meio).

Em cada grupo de

quatro triângulos

que obtiveres,

repete o

procedimento nos

três triângulos

exteriores.



Que padrão Que padrão

observas?observas?


Retoma o processo a partir

de X2.

Vai assinalando sempre os

pontos médios obtidos X3, X4,

etc.

Repete o procedimento uma

boa vintena de vezes.

Se tiveres um computador ou

uma calculadora gráfica

podes programá-los para eles

te traçarem os pontos médios

sucessivos.


Considera três quaisquer

pontos do plano A, B e C.

Marca numa folha de papel

esses três pontos assim como

um quarto ponto X1.

Pega num dado normal e

lança o dado.

Se obtiveres 1 ou 4, une X1

com A e toma X2 como o

ponto médio desse segmento.


com B e toma X2 como o



com C e toma X2 como o



http://demonstrations.wolfram.com/ChaoticItineraryButRegularPattern/

O jogo do CaosO jogo do Caos

A B

C

X1

X2

A B

C

A B

C

Que padrão observas?Que padrão observas?

Todos iguaisTodos iguais

O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido como Triângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski. Foi descoberto em 1917 pelo matemático polaco Waclaw Sierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, e ser autossemelhante (isto é, uma pequena porção do triângulo é

idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada).

Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres marinhos.

Assim se vê a beleza e poder da Matemática.

Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra) http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/

1. a b c d e g representa uma linha completa do Triângulo de

Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras.

Qual das seguinte igualdades é verdadeira?

(A) (B) (C) (D)

2. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos.

Qual é o sexto elemento dessa linha?

(A) (B) (C) (D)

3. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo

de Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior?

(A) 23 751 (B) 28 416 (C) 31 465 (D) 36

534

63c C 6

2c C 73c C 7

2c C

145C 15

6C146C15

5C

AplicaçõesAplicaçõesALGUMAS QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS


4. No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos

da forma

Quantos elementos dessa linha são menores do que ?

(A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 3

5. O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19

600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876.

Qual é o terceiro número da linha seguinte?

(A) 1275 (B) 1581 (C) 2193 (D) 2634

6. Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo número é 2009.

Quantos elementos dessa linha são maiores que um milhão?

(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 2007

2006kC

20064C

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.

O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó

(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos

a b2 22a ab b

3 2 2 33 3a a b ab b

4 3 2 2 3 44 6 4a a b a b ab b

Caso notável da multiplicação de

polinómios

1a b

2a b

3a b

4a b

Calculemos:

..….

na b

a b a b

2a b a b

2 2a b a b

2 22a ab b a b

2 2 2 22 2a ab b a ab b

......n fatores

a b a b a b ?

0a b 1

Para cada valor natural de n, os coeficientes do desenvolvimento de

são os números combinatórios que constituem a linha n do Triângulo de Pascal.

na b

A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n, diminuindo os expoentes de a de n até zero, enquanto os de b aumentam de zero a n.

1a b

2a b

3a b

4a b

Podemos escrever

0 1 21 1

12 2 1 1 0..................n n n n n

nn o n n n n

na b a b a b a b aC C C bC C

..….e observar que:

na b

1 0 0 11 1a b a b

2 0 1 1 0 21 2 1a b a b a b

3 0 2 1 1 2 0 31 3 3 1a b a b a b a b

4 0 3 1 2 2 1 3 0 41 4 6 4 1a b a b a b a b a b

a b

2 22a ab b

3 2 2 33 3a a b ab b

4 3 2 2 3 44 6 4a a b a b ab b

concluindo que (pode demonstrar-se recorrendo ao Método de Indução

Matemática):

0a b 10 01a b

Repara:

O termo de ordem p+1, designado por com

do desenvolvimento de , é dado pela

expressão

1 0pT p n

na b

1n n p p

p pT C a b

0 1 21 1

12 2 1 1 0..................n n n n n

nn o n n n n

na b a b a b a b aC C C bC C na b

0

nn k k

k

nka bC

1 1

11

2 2

11

11

11

11

3 3

3 3

11

11

44

1010

55

11

1 1

4 4

6 6

1515

2020

1515

6 6

1 1

1 1

55

1010

3535

2121

7 7

11

11

6 6

11

11

77

2121

3535

88

2828

5656

7070

5656

2828

88

••

••

••

••

••

••

••

11

••

••

••

0a b

1a b

2a b

3a b

4a b

5a b

1 1 2 2 1 1 00 1 2 1..................n n n o n n n n n n n n

n na b C a b Ca b C a b C a b C a b

••

•

•

..........................

.......................

.................

..............

.....................

...................


1. Indique qual das equações seguintes é equivalente à equação

(A) (B)

(C) (D)

2. Quantas são as soluções da equação ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

3. Um dos termos do desenvolvimento de é

Indique o valor de n?

(A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 21

4 3 21 4 6x x x

4 3 24 6 1 0x x x 4 1 0x 4 3 24 4 1 0x x x

4 4 1 0x x

4 4 31 4 1x x x x

ne 7 3120 e

Maria José Guimarães Vaz da Costa

Bibliografia:

Infinito 12

Matemática A -12º ano

Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina

Cruchinho

Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões

Novo Espaço

Matemática A -12º ano

Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues

Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e

docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra)

Página pessoal do autor: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/

The joy of mathematics

Theoni Pappas Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências

Documents

O Triângulo de Pascal