TRIÂNGULO DE PASCAL E TRIÂNGULO DE PASCAL E CÁLCULO DE PROBABILIDADESCÁLCULO DE PROBABILIDADES

Professor: Ilydio Pereira de Sáwww.magiadamatematica.com

O TRIÂNGULO DE PASCAL/TARTAGLIA

Esse importante triângulo numérico, conhecido dos Chineses muitos séculos antes de Cristo, permite interessantes atividades de investigação.

Diversas propriedades aritméticas, envolvendo esse interessante triângulo numérico, já eram conhecidas cerca de 2000 anos antes de Pascal. Ele já era usado, por exemplo, para o cálculo aproximado de raízes quadradas, cúbicas, etc.

Tartaglia, cerca de 100 anos antes de Pascal, descobriu que esse triângulo aritmético seria também muito útil no cálculo de probabilidades.

Os números que formam esse curioso triângulo estão diretamente relacionados à Matemática Combinatória, Binômio de Newton e Probabilidades.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o Ensino Fundamental esses conteúdos já são listados no eixo denominado “Tratamento da Informação”.

Vejamos como se constrói esse triângulo numérico e sua aplicação no cálculo de determinado tipo de problema de probabilidades.

Observando a “Lei de Formação” do triângulo, você saberia completar a próxima linha?

2) Verifique agora que tal triângulo está relacionado diretamente ao número dois. Que tal somar todos os números de uma mesma linha? O que você constatou?

3) Problemas de contagem ou de probabilidade, em que cada experimento tenha apenas duas opções de escolha (masculino ou feminino, cara ou coroa, verdadeiro ou falso, etc.) podem ter nesse triângulo um poderoso auxílio.

Vejamos, por exemplo, um caso de uma mulher que pretende ter quatro filhos (ou filhas). As possibilidades de resultado dessa experiência, caso tenha se realizado com sucesso, são:

Quantas são as possibilidades de que essa mulher tenha 4 filhos do sexo masculino?Resposta: 1 possibilidadeQuantas são as possibilidades de que essa mulher 3 filhos e 1 filha?Resposta: 4 possibilidades

Quantas são as possibilidades de que essa mulher tenha 2 filhos e 2 filhas?Resposta: 6 possibilidadesQuantas são as possibilidades de que essa mulher 1 filhos e 3 filhas?Resposta: 4 possibilidades

Quantas são as possibilidades de que essa mulher tenha 4 filhas?Resposta: 1 possibilidadeSe essa mulher teve, realmente, 4 filhos, qual a probabilidade de que seus filhos sejam 2 de cada sexo? Resposta: 6 / 16 = 37,5%

Vamos relacionar nossas “descobertas” com o Triângulo de Pascal e com fatos que já conhecíamos.

Nossa experiência está relacionada a um fato que se repetiu 4 vezes e, em cada uma delas, com duas possibilidades de ocorrência. Os resultados que obtivemos foram:

1 4 6 4 1Esses resultados têm alguma relação com o triângulo de Pascal?

Os números obtidos que, nesse caso, estão ligados ao número 4 (filhos) são denominados combinações ou números binomiais.

Para alunos do Ensino Fundamental, você poderia agora relembrar os famosos “Produtos Notáveis”, veja:

4322344 1y 4xy y6x y4x 1x yx

Considerando que “x” represente o nascimento de homem e “y” o de mulher, você consegue relacionar essa expressão algébrica com o resultado das possibilidades de nascimento que vimos anteriormente?

Como ajuda, vamos apenas observar a terceira parcela

22y6x2 filhos do sexo masculino e 2 do sexo feminino, obtivemos um total de 6 possibilidades, não?

Para calcular a probabilidade de ocorrência de algum evento relacionado a esse caso, podemos obter o número total de possibilidades através da potência 2n . No exemplo que fizemos, esse número (que é o denominador da probabilidade) foi igual a 24 , que é igual a 16.

APLICAÇÃO:

No lançamento de cinco moedas distintas e não viciadas, qual a probabilidade de se obter 3 caras e duas coroas?

O coeficiente correspondente á opção 3 caras e duas coroas é igual a 10.

Como ajuda, repetir a linha correspondente do triângulo de Pascal.

1 5 10 10 5 1 0 1 2 3 4 5 caras

Como o número de elementos do espaço amostral é igual a 25 = 32, a probabilidade procurada é de 10/32 ou 0,3125 ou ainda 31,25%

Esse tipo de relação entre o triângulo de Pascal e o cálculo de probabilidades originou um importante teorema, denominado Teorema Binomial em Probabilidades, que pode ser enunciado como:

A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma seqüência de n provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é s e a de fracasso é f = 1 - s, é igual a:

k)(nkkn, .f.sC p

Vamos aplicar esse teorema na questão que resolvemos anteriormente. No lançamento de cinco moedas distintas e não viciadas, qual a probabilidade de se obter 3 caras e duas coroas?

Solução: n = 5 (5 lançamentos); k = 3 (3 caras); s = 0,5 e f = 0,5 (temos 50% de chance de obtenção de cara e também de coroa).

k)(nkkn, .f.sC p

31,25% ou 0,3125 0,5 . 10 .0,5.0,5C p 523

5,3

Questões propostas

1) Risco do efeito fatal – Admitamos que a probabilidade de que uma pessoa não morra, no prazo de um mês após uma determinada operação de câncer é 82%. Qual a probabilidade de que três pessoas que fizeram tal operação, sobrevivam, ou seja, não morram em até um mês da cirurgia? Resposta: 55,14%

SOLUÇÃO:s = 0,82; f = 0,18; n = 3, k = 3

5514,0)18,0.()82,0(3

3 03

2) Um atirador Olímpico, normalmente, tem uma taxa de acertos no alvo de 90% para cada tiro dado. Obtenha a probabilidade de que esse atirador acerto no alvo exatamente 3 de 5 tiros dados.

Resposta: 7,3%SOLUÇÃO:s = 0,9; f = 0,1; n = 5, k = 3

7,3%ou 073,0)1,0.()9,0(3

5 23