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Escola Básica e Secundária de Velas

Planificação Anual do 12º Ano

Matemática A

Ano letivo 2015 /2016

Planificação Anual – Matemática A – 12º Ano Ano Letivo 2015/2016

2

1º Período

2º Período

3º Período

Nº DE BLOCOS PREVISTOS

39

32

24

1º Período

2º Período

3º Período

Apresentação

0,5

- -

Auto e heteroavaliação

0, 5

0, 5

0, 5

Atividades de fim de período

-

-

-

Atividades específicas de avaliação

4

3,5

2,5

Blocos de aulas com matéria

34

28

21


3

Tema I: Introdução ao cálculo das probabilidades

Nº de Aulas Previstas (90 m): 26

Conteúdos Objetivos Estratégias/ Atividades Calendarização

(Blocos 90 m)

1- Cálculo de Probabilidades

Experiências aleatórias;

Espaço de resultados;

Acontecimento como subconjunto;

Acontecimento elementar, composto,

certo e impossível.

Operações sobre acontecimentos.

Acontecimentos contrários e incompatíveis.

Acontecimento A implica B;

Acontecimento diferença entre A e B;

Conceito frequencista de probabilidade.

Acontecimentos equiprováveis.

Definição clássica de probabilidade ou Lei

de Laplace.

Conhecer terminologia das probabilidades.

Determinar o espaço de resultados em experiências

aleatórias.

Definir acontecimento como subconjunto do conjunto

de resultados.

Operações com acontecimentos.

Aplicar a definição frequencista de probabilidade.

Aplicar a definição clássica ou de Laplace de

probabilidade de resolver problemas de probabilidades

usando a análise combinatória para efectuar contagens.

Descrever raciocínios em probabilidades.

Atividades ou estratégias que

permitam consolidar os

conhecimentos adquiridos no 9ºano

sobre probabilidades.

Referência a Pascal e Laplace.

Resolução actividades do manual.

Fichas de apoio

Resolução fichas de trabalho;

Trabalhos de grupo/individuais;

Recurso ao Excel e/ou calculadora

Para facilitar a abordagem à Lei dos

Grandes Números.

Método expositivo participativo.

Discussão de vários processos de

resolução.

Elaboração de pequenos textos

onde sejam apresentados os

raciocínios efectuados.

4


4

2- Definição axiomática de

probabilidades.

Probabilidades condicionada.

Acontecimentos

independentes.

Definição axiomática de probabilidade e

propriedades elementares.

Definição de probabilidade condicionada

e sua verificação da axiomática das

probabilidades.

Probabilidade da intersecção de dois

acontecimentos;

Acontecimentos independentes;

Resolução de problemas envolvendo

acontecimentos independentes;

Resolução de problemas envolvendo

probabilidade condicionada e

acontecimentos independentes;

Aplicar os axiomas das probabilidades.

Demonstrar teoremas envolvendo probabilidades.

Resolver problemas aplicando teoremas de

probabilidades.

Resolver problemas envolvendo probabilidades

condicionadas.

Definir acontecimentos independentes.

Resolver problemas envolvendo probabilidade

condicionada e acontecimentos independentes.


Fichas de apoio





resolução.




7


5

3-Problemas de contagem. Cálculo

combinatório. Triângulo de Pascal.

Binómio de Newton

Princípio fundamental da contagem;

Análise combinatória;

Factorial de um número natural;

Permutações;

Arranjos sem repetição;

Arranjos com repetição;

Combinações sem repetição;

Triângulo de Pascal;

Propriedades do triângulo de Pascal;

Propriedades das combinações (sem

repetição);

Binómio de Newton.

Aplicar o princípio fundamental da contagem.

Aplicar estratégias de contagem.

Aplicar o conceito de factorial de um número natural

Resolver problemas de probabilidade escolhendo uma

estratégia adequada à situação, aplicando:

permutações;

arranjos sem repetição;

arranjos com repetição;

combinações sem repetição.

Resolver problemas aplicando as propriedades do

triângulo de Pascal;

Aplicar o desenvolvimento do binómio de Newton na

resolução de problemas.


Fichas de apoio





resolução.




9


6

4-Distribuição de frequências

relativas e distribuição de

probabilidades

Variável aleatória;

Distribuição de probabilidades de uma

variável aleatória discreta

Distribuição de frequências versus

distribuição de probabilidades

Média versus valor médio. Desvio-padrão

amostral versus desvio-padrão populacional

Distribuição binomial

Distribuição de probabilidades de uma

variável aleatória com distribuição binomial

Valor médio e variância da distribuição

binomial

Aplicação do modelo binomial

A simetria da distribuição binomial

Variáveis aleatórias continuas. Distribuição

normal

Distribuição normal estandardizada

Definir variável aleatória;

Determinar, em tabela e gráfico, a distribuição de

probabilidades de uma variável aleatória;

Relacionar distribuição de frequências com distribuição

de probabilidades;

Relacionar média e desvio-padrão com valor médio e

desvio-padrão populacional;

Determinar o valor médio e o desvio-padrão de uma

distribuição de probabilidades;

Identificar uma distribuição binomial;

Usar tabelas e calculadora gráfica para calcular o valor

de uma probabilidade numa distribuição binomial;

Identificar uma distribuição normal;

Conhecer as características de urna distribuição normal;

Usar tabelas da distribuição N (0,1);

Estandardizar uma distribuição normal;

Usar a calculadora gráfica para determinar

probabilidades numa distribuição normal;

Resolver problemas envolvendo distribuição binomial e

distribuição norma.


Fichas de apoio





resolução.




6


7

SE Conteúdo lecionado no âmbito da Educação para a Saúde, enquadrado nos temas “Alimentação saudável” e “ A prevenção dos consumos nocivos e comportamentos de risco”

Tema II: Introdução ao cálculo diferencial



(Blocos 90 m)

Funções exponenciais e funções

logarítmicas Definição de função exponencial;

Propriedades das funções exponenciais;

Equações exponenciais;

Transformações do gráfico de uma

função exponencial;

Aplicação das funções exponenciais na

modelação de situações reais;

Função exponencial de base e;

Definição de função logarítmica;

Logaritmos com bases especiais;

Propriedades das funções logarítmicas;

Transformações do gráfico de funções

logarítmicas;

Propriedades operatórias dos logaritmos;

Equações exponenciais e logarítmicas;

Resolução de inequações com

exponenciais ou Inversa de uma função

Identificar funções exponenciais.

Conhecer as propriedades das funções exponenciais.

Resolver equações exponenciais.

Aplicar as transformações dos gráficos de funções a

funções exponenciais.

Aplicar as funções exponenciais na modelação de

situações reais.

Aplicar a função exponencial de base e na modelação

de situações reais. Identificar funções logarítmicas.

Conhecer as bases especiais 10 e e.

Conhecer as propriedades das funções logarítmicas.

Aplicar as transformações dos gráficos de funções às

funções logarítmicas. Aplicar as propriedades operatórias

dos logaritmos.

Resolver equações exponenciais e logarítmicas. Resolver

inequações com exponenciais e logaritmos. Definir a

função inversa de uma função exponencial ou logarítmica.

Resolver problemas em contexto real usando funções


Fichas de apoio




Atividades ou problemas que

permitam conectar e relacionar os

novos conhecimentos com os já

adquiridos sobre funções.

Tratamento mais rigoroso de

conhecimentos já utilizados

intuitivamente.

Resolução de exercícios que

permitam a compreensão e a

utilização de procedimentos

algébricos.

Utilização da calculadora gráfica

Apresentação de exemplos de

funções que descrevem fenómenos

10


8

exponencial ou de uma logarítmica;

Aplicação das funções exponenciais e

logarítmica modelação de situações reais

Limites. Cálculo de limites de

funções e de sucessões.

Noção intuitiva de limite

Limites laterais;

Definição de limite segundo Heine;

Regras operatórias com limites

Limites e infinitos. Cálculo de limites;

Indeterminações;

Limites de funções envolvendo

exponenciais e logaritmos;

Limites de sucessões (revisão).

3- Continuidade de uma função

Continuidade de uma função num

ponto;

Continuidade lateral;

Continuidade de uma função num

intervalo;

Operações com funções contínuas;

Teorema de Bolzano - Cauchy

Determinação das assimptotas do gráfico

de uma função.

exponenciais e funções logarítmicas.

Calcular limites das funções por concretização da

variável independente;

Calcular limites laterais;

Aplicar a definição de limite segundo Heine;

Aplicar teoremas sobre limites no cálculo de limites;

Calcular limites quando x ;

Levantar indeterminações.

Calcular limites envolvendo funções exponenciais e

logarítmicas.

Calcular limites de sucessões

Estudar a continuidade de uma função num ponto;

Estudar a continuidade lateral de uma função num

ponto.

Estudar a continuidade de uma função num intervalo.

Aplicar teoremas e propriedades sobre funções

contínuas.

Aplicar o Teorema de BoIzano - Cauchy.

Determinar as assimptotas do gráfico de uma função.

Resolver problemas usando continuidade.

Resolver problemas aplicando o conceito de assimptota

da Física, Química, Economia,

Geografia

7

7


9

4- Derivadas

Definição de derivada. Significado

geométrico de derivada;

Derivadas laterais;

Referências a pontos nos quais a função

não é derivável;

Derivabilidade e continuidade;

Função derivada;

Derivada de uma função constante;

Derivada de uma função afim;

Derivada do produto de uma constante

por uma função;

Derivada da soma e da diferença de

duas funções;

Derivada de uma potência;

Derivada de funções polinomiais;

Derivada de um produto de funções;

Derivada de um quociente de funções;

Derivada de funções compostas;

Derivada de funções exponenciais e

logarítmicas;

Função segunda derivada

do gráfico de uma função.

Definir derivada de uma função num ponto.

Interpretar geometricamente o valor da derivada de

uma função num ponto.

Interpretar a derivada como taxa de variação

instantânea de uma função num ponto.

Interpretar a derivada como velocidade ou aceleração

de um móvel num ponto.

Determinar as derivadas laterais de uma função num

ponto.

Interpretar derivadas infinitas.

Relacionar os conceitos de derivabilidade e de

continuidade de uma função num ponto.

Conhecer o significado de função derivada de uma

função.

Demonstrar regras de derivação (derivada da função

constante, derivada da função afim, derivada do produto

de uma constante por uma função, derivada da soma e

do produto de funções).

Aplicar regras de derivação.

Derivar funções exponenciais e logarítmicas.

Calcular a segunda derivada de uma função.

Relacionar os gráficos de uma função da respectiva

função derivada.

Relacionar os gráficos de uma função e da respectiva

função segunda derivada.

6


10

5- Aplicação das derivadas SE

Função estritamente crescente e função

estritamente decrescente (revisão);

Extremos de uma função (revisão);

Intervalos de monotonia e primeira

derivada de uma função (revisão);

Máximos e mínimos absolutos e primeira

derivada da função;

Extremos relativos e primeira derivada de

uma função

Concavidade e segunda derivada de

uma função

Teste da segunda derivada

Estudo de funções

Problemas de optimização

Determinar os extremos de uma função aplicando o

conceito de derivada.

Estudar a monotonia de uma função usando o conceito

de derivada.

Estudar o sentido das concavidades do gráfico de uma

função usando a segunda derivada da função.

Estudar analiticamente uma função (a calculadora é

usada apenas para confirmação de resultados)

Escrever o modelo matemático correspondente a uma

situação real.

Resolver problemas de optimização.

6

SE Conteúdo lecionado no âmbito da Educação para a Saúde, enquadrado no tema “Atividade física”


11

Tema III: Trigonometria. Complexos



(Blocos 90 m)

1- Introdução ao estudo da

trigonometria. Razões

trigonométricas no triângulo

rectângulo (revisão)

Medidas de ângulos: o grau e o radiano;

As razões trigonométricas num triângulo

rectângulo

As razões trigonométricas de ângulos

especiais

A calculadora gráfica e as razões

trigonométricas

Resolução de problemas envolvendo as

razões trigonométricas.

Usar o radiano como medida de ângulos.

Fazer a conversão entre graus e radianos.

Determinar o comprimento de um arco circular.

Determinar a área de um sector circular.

Resolver problemas usando comprimentos de arcos

circulares ou áreas de sectores circulares.

Usar o triângulo rectângulo para escrever as razões

trigonométricas.

Usar a calculadora para determinar ângulos ou razões

trigonométricas.

Deduzir as razões trigonométricas de:

30º, 45º e 50º

Resolver problemas usando a trigonometria do triângulo

rectângulo.


Fichas de apoio




Recurso à calculadora gráfica no

estudo das propriedades das funções

trigonométricas

Uso da calculadora gráfica

Resolução de problemas que

envolvam funções trigonométricas.

Exposição teórica dos conteúdos.

Abordagem histórica do

aparecimento dos números

complexos.

Apresentação de situações que

explorem a ligação dos números

1


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2- Generalização da noção de

ângulo. Razões trigonométricas de

um ângulo qualquer (revisão)

Ângulo orientado

Ângulo num referencial

Generalização da noção de ângulo

Definição das razões trigonométricas de

um ângulo

Linhas trigonométricas

Sinal das razões trigonométricas

Razões trigonométricas dos ângulos

0°,90°, 180º e 270°

Redução ao 1.0 quadrante

3- Funções trigonométricas como

funções reais de variável real.

Utilização das funções

trigonométricas na modelação de

situações reais. Funções trigonométricas como funções

reais de variável real

Gráficos de funções trigonométricas;

Estudo intuitivo das funções

trigonométricas;

Transformações dos gráficos das funções

trigonométricas

Representar um ângulo num referencial

Indicar diferentes amplitudes para um lado origem e um

lado extremidade de um ângulo.

Usar as razões trigonométricas para um ângulo qualquer.

Usar o sinal das razões trigonométricas.

Conhecer as razões trigonométricas de ângulos de

referência.

Reduzir um ângulo ao 1º quadrante.

Definir as funções trigonométricas como funções reais de

variável real.

Representar graficamente as funções trigonométricas.

Conhecer propriedades das funções trigonométricas.

Obter gráficos de funções trigonométricas a partir do

gráfico de y = sinx e y = cosx.

Utilizar as funções trigonométricas na moderação de

situações reais.

complexos à Geometria

1

1


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Aplicação das funções trigonométricas na

modelação situações reais

Utilização da calculadora na modelação

de funções gráfica é uma sinusóide

4– Equações trigonométricas.

Fórmulas trigonométricas

Equações trigonométricas

Fórmula fundamental da trigonometria

Fórmulas trigonométricas do seno, co-

seno e tangente da soma e da diferença de

dois ângulos

Razões trigonométricas do ângulo

5– Derivada das funções

trigonométricas

Estudo intuitivo do x

x

x

sinlim

0;

Derivada das funções trigonométricas;

Resolução de problemas

envolvendo a derivada de funções

trigonométrica.

Resolver equações trigonométricas. (Revisão)

Deduzir as fórmulas sin2a+cos2a=1 e tan a = sin a /cos a

sendo a um ângulo qualquer. (Revisão)

Deduzir as fórmulas trigonométricas do seno, co-seno e

tangente da soma e da diferença de dois ângulos.

Verificar identidades trigonométricas aplicando fórmulas

trigonométricas.

Conhecer que x

x

x

sinlim

0= 1

Calcular limites aplicando o conhecimento de que

x

x

x

sinlim

0= 1

Deduzir e aplicar as fórmulas das derivadas das funções

y = sinx; y = cosx e y = tan x,

Resolver problemas envolvendo a derivada de funções

trigonométricas.

3

5


14

6– Números Complexos. Forma

algébrica e forma trigonométrica.

Evolução do conceito de número, O

conjunto dos números complexos;

Representação geométrica de um

número complexo;

Complexos conjugados e complexos

simétricos;

Operações com números complexos;

O número i como operador da rotação

de 90º;

Raízes complexas de uma equação do

2.° grau;

Módulo e argumento de um número

complexo;

Forma trigonométrica de um número

complexo;

Operações com números complexos na

forma trigonométrica;

Construção geométrica das raízes de

uma equação em C;

Translação e rotação no plano de

Argand.

Identificar 1 como i, ou seja, a unidade imaginária.

Determinar as soluções imaginárias de uma equação do

2° grau que seja impossível em IR.

Conhecer o conjunto C

Representar geometricamente um número complexo.

Escrever n conjugado e o simétrico de um número

complexo.

Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir dois números

complexos.

Calcular potências de i.

Reconhecer que multiplicar por i um número complexo

equivale a rodar 90º a sua representação geométrica.

Determinar as raízes complexas de uma equação.

Calcular o módulo e o argumento de um número

complexo.

Escrever números complexos na forma trigonométrica e

na forma algébrica.

Multiplicar e dividir dois números complexos escritos na

forma trigonométrica.

Calcular uma potência de um número complexo escrito

na forma trigonométrica.

Calcular as raízes de índice n de um número complexo

escrito na forma trigonométrica moderação de situações

reais.

4


15

7– Números Complexos. Forma

algébrica e forma trigonométrica.

Operações com condições e com

conjuntos (Revisão);

Conjuntos definidos por condições

envolvendo números complexos.

Representar no plano complexo conjuntos definidos por

condições.

Escrever uma condição que represente um conjunto de

pontos, definido no plano complexo.

Interpretar condições em C tais como:

• Iz—z1| =r

• Iz—z1| = Iz—z2|

• Im (z — z1) = a

• Re (z — z1) = b

• arg (z — z1) =

5

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