TRANSFORMADA DE LAPLACE E OPERADORES LINEARES

O DOMÍNIO DE LAPLACE

• Usualmente trabalhamos com situações que variam

no tempo (𝑡), ou seja, trabalhamos no domínio do

tempo.

• O domínio de Laplace é um domínio “imaginário”,

onde no lugar de 𝑡 temos uma variável 𝑠.

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O DOMÍNIO DE LAPLACE

É possível converter uma função no domínio do tempo

para uma função no domínio de Laplace e, da mesma

forma, é possível converter uma função no domínio de

Laplace para uma função no domínio do tempo.

A ferramenta utilizada nessa conversão é a chamada

Transformada de Laplace

൝ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠

ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡3

O DOMÍNIO DE LAPLACE

A grande vantagem do domínio de Laplace é que

podemos aplicar a transformada de Laplace em um

determinado problema, resolver o problema, muitas

vezes de uma maneira mais fácil no domínio de

Laplace, e aplicar a transformada inversa no

resultado, obtendo assim o resultado no domínio do

tempo.

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CONCEITO DE DERIVAÇÃO

A velocidade média de um carro é denotada como:

Δ𝑣 =Δ𝑥

Δ𝑡Usualmente, velocímetros de carros não medem velocidade média, e sim velocidade instantânea.

Para calcular a velocidade instantânea precisamos considerar Δ𝑡 → 0, ou seja, tão próximo de zero quanto possível.

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CONCEITO DE DERIVAÇÃO

Quando medimos velocidade instantânea, utilizamos

como notação:

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡

O operador 𝑑 especifica infinitesimais, valores que

são tão próximos de zero quanto possível.

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CONCEITO DE DERIVAÇÃO

• Considere um função qualquer 𝑓(𝑡), a derivada

dessa função é dada por:

𝑓′ 𝑡 =𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡

Onde 𝑓′(𝑡) é chamada derivada de 𝑓(𝑡) e retorna a

inclinação de 𝑓(𝑡) em um instante 𝑡 qualquer.

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OPERADOR DE DERIVAÇÃO

• Encontrar a derivada de uma função nem sempre é

simples.

• Para evitar trabalhar com derivadas, podemos

trabalhar no domínio de Laplace, onde a derivada

de uma função é representada por um operador 𝑠aplicado àquela função no domínio de Laplace

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OPERADOR DE DERIVAÇÃO

• Considere uma função 𝑓(𝑡), cuja transformada de

Laplace é dada por 𝐹(𝑠). A derivada de 𝑓(𝑡) é

definida no domínio de Laplace como:

ℒ 𝑓′ 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠

Dessa forma podemos fazer contas que envolvam

derivadas sem ter que calculá-las de fato.

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CONCEITO DE INTEGRAÇÃO

• Em um gráfico de velocidade × tempo, a área sob a curva do gráfico é a distância percorrida.

• Na matemática, a área abaixo da curva de um gráfico é dada pela operação de integração:

𝑥 𝑡 = න0

𝑡

𝑣 𝜏 𝑑𝜏

Onde 𝑥(𝑡) é a distância percorrida até o tempo 𝑡 e 𝑣 𝑡 é a velocidade no tempo 𝑡.

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OPERADOR DE INTEGRAÇÃO

• A integração é uma operação difícil, nem sempre

tem solução exata.

• É possível, porém, resolver alguns problemas de

integração no domínio de Laplace. Realizar a

integração, no domínio de Laplace, é equivalente a

dividir a função pelo operador 𝑠.

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OPERADOR INTEGRAÇÃO

• Considere uma função 𝑓(𝑡) cuja transformada de

Laplace é dada por 𝐹(𝑠). A transformada de

Laplace da integral de 𝑓(𝑡) é dada por:

ℒ න0

𝑡

𝑓 𝜏 𝑑𝜏 =𝐹 𝑠

𝑠

Possibilitando trabalharmos com integrais sem

resolvê-las no tempo.

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EQUAÇÕES COM DERIVADAS(EQUAÇÕES DIFERENCIAIS)

• Podemos ter equações utilizando derivadas, onde o

objetivo não é encontrar um valor, e sim uma

função que atenda aquela equação, como por

exemplo:

𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡= 𝑓 𝑡

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EQUAÇÕES COM DERIVADAS(EQUAÇÕES DIFERENCIAIS)

• Nessas equações podemos ter derivadas de ordens

mais elevadas:

𝑑2𝑓 𝑡

𝑑𝑡2+𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡)

Onde 𝑑2𝑓 𝑡

𝑑𝑡2é a derivada da derivada de 𝑓 𝑡 .

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TRANSFORMADA DE LAPLACE EM TEORIA DE CONTROLE

• Cada bloco dos diagramas que desenhamos pode

ser definido por uma equação diferencial, por

exemplo:

𝑢 𝑡 =𝑑𝑢 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑒(𝑡)

Usualmente, aplicados a Transformada de Laplace a

essas equações diferenciais, trabalhando com

controle no domínio de Laplace.15

TRANSFORMADA DE LAPLACE EM TEORIA DE CONTROLE

• Aplicando a transformada em:

𝑢 𝑡 =𝑑𝑢 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑒 𝑡

Onde 𝑢(𝑡) é a saída e 𝑒(𝑡) é a entrada do sistema.

• Obtemos

𝑈 𝑠 = 𝑠𝑈 𝑠 + 𝐸(𝑠)

Aplicando os operadores a cada parte da equação.

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CONCEITO DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

• Considere o Transformada de Laplace obtida:

𝑈 𝑠 = 𝑠𝑈 𝑠 + 𝐸(𝑠)

Damos o nome de função de transferência à divisão

da saída pela entrada no domínio de Laplace:

𝑈 𝑠

𝐸(𝑠)=

1

1 − 𝑠

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CONCEITO DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

• Dessa forma, os operadores que definimos podem

ser representados como funções da variável 𝑠.

• Nosso controlador então passa a ser representado

por 𝐶 𝑠 e a planta por 𝑃 𝑠

+u(t) y(t)e(t)r(t)

+-

C(𝑠) P(𝑠) +u(t) y(t)e(t)r(t)

+-

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𝑠 + 2

𝑠

3𝑠 + 1

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MANIPULAÇÃO DE BLOCOS E SIMPLIFICAÇÃO DE SISTEMAS

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POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

• Trabalhamos em controle com funções de transferência racionais, ou seja, elas são representadas pela divisão de dois polinômios em

𝑠.

• Para que o sistema possa ser implementado no mundo real, é necessário que o grau do polinômio do denominador seja maior ou igual ao grau do polinômio do numerador.

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POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

• Os valores de 𝑠 que zeram o numerador da FT são

chamados de zeros.

• Os valores de 𝑠 que zeram o denominador da FT

são chamados de polos.

• Esses valores pertencem ao conjunto dos números

complexos (𝑠 ∈ ℂ).

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ESTABILIDADE COM BASE NOS POLOS

• Se todos os polos do sistema tem parte real negativa, o sistema é assintoticamente estável.

• Se existem um ou mais polos com parte real nula, mas os demais tem parte real negativa, o sistema é marginalmente estável.

• Caso ao menos um polo tenha parte real positiva, o sistema é instável.

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SISTEMAS DE 1ª ORDEM

• Sistemas de 1ª ordem

apresentam a seguinte

função de transferência:

𝐺 𝑠 =𝑘

𝜏𝑠 + 1

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CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 1ª ORDEM

• O ganho em estado estacionário é dado por 𝑘 e

representa o ganho que o sistema aplica na entrada.

• A constante de tempo é dada por 𝜏 e representa o

tempo necessário para o sistema alcançar

aproximadamente 63% do valor final.

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SISTEMAS DE 2ª ORDEM

• Um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte

função de transferência:

𝐺 𝑠 =𝜔𝑛2

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2

Onde 𝜔𝑛 é a frequência natural e 𝜁 é a constante de

amortecimento.

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CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 2ª ORDEM

Os sistemas de segunda ordem podem ser

classificador em três categorias, dependendo do valor

de 𝜁

• Superamortecido se 𝜁 > 1

• Criticamente amortecido se 𝜁 = 1

• Subamortecido se 0 < 𝜁 < 1

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CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 2ª ORDEM

Sistema Superamortecido Sistema Criticamente Amortecido Sistema Subamortecido

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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOSTEMPO DE SUBIDA

O tempo de subida tr("rise time") é o tempo necessário para o sinal de saída variar de 10% a 90% do valor final (ou para sistemas subamortecidos de 0% a 100%).

𝑡𝑟 =1,8

𝜔𝑛

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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOSCONSTANTE DE TEMPO

• A constante de tempo de um sistema é dada pelo

expoente do envelope exponencial que acompanha

o decaimento de um sistema subamortecido de um

processo de segunda ordem.

𝜏 =1

𝜁 𝜔𝑛

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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOSSOBRELEVAÇÃO MÁXIMA

• A sobrelevação máxima percentual 𝑀𝑝 é a

diferença entre o valor máximo de pico atingido e o

valor final em percentual do valor final.

𝑀𝑝 = 100𝑒−

𝜁𝜋

1−𝜁2 %

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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOSTEMPO DE ACOMODAÇÃO

• O tempo de acomodação 𝑡𝑎 ("settling time" 𝑡𝑠) é o

tempo gasto para o sinal acomodar (entrar e não

sair mais) da faixa de ±2% ou ±5% do valor final.

𝑡𝑎2%

≈4

𝜁𝜔𝑛

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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOS

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