Cálculo de Probabilidades Parte 2

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA

PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

Exemplo inicial:A tabela abaixo apresenta dados referentes a alunos matriculados numa faculdade em quatro cursos em determinado ano letivo.

Um sorteio foi realizado para os alunos desses quatro cursos e quem fez o sorteio informou que foi um estudante do curso de Estatística. Qual a probabilidade de ter sido sorteada uma mulher?

Observe que é uma questão de probabilidades com um “algo mais”. Há uma informação de que já se sabe que o sorteado foi um ou uma estudante do curso de Estatística. Nesse caso, denominamos probabilidade condicional e usamos a representação p(M/E), que significa “probabilidade de ter sido sorteada uma mulher, dado que, foi alguém do curso de Estatística”.

Podemos calcular esse resultado de forma simples, bastando reduzir o espaço amostral aos alunos que cursam estatística, por conta da informação adicional recebida, logo, como dos 30 alunos que estudam estatística, 20 são mulheres, teremos:

p(M/E) = =

Probabilidade CondicionalDe um modo geral, a probabilidade condicional de um evento A, na certeza da ocorrência de um evento B (de probabilidade não nula), ambos de um mesmo espaço amostral S, é denotada por P(A|B) e definida como:

B AABNa prática, o que fazemos é considerar uma restrição do Espaço Amostral ao conjunto B, já que temos a certeza de que ocorreu.

Voltando ao nosso exemplo inicial, da Universidade, vamos calcular novamente, aplicando agora a fórmula dada:

p(M/E) =

p(M E) = (Probabilidade de ser mulher E estudar estatística)

p(E) = (Probabilidade de ser estudante do curso de estatística)

p(M/E) = =

Exemplo 1: Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros, copas, paus e espadas). Determine a probabilidade de sortearmos uma carta e sair um rei, sabendo que a carta sorteada foi de ouros.

1ª SOLUÇÃO: Pela fórmula

Queremos calcular a probabilidade p (A/B), que significa, probabilidade de sortear um rei, dado que foi uma carta de ouros.

Evento B = sair uma carta de ouros p = 13/52, já que o baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe.Evento A B = sair um rei de ouros = 1/52, pois só existe um rei de ouros entre as 52 cartas.

Aplicando a fórmula dada, teremos: 131

5213521

p(B)

B) p(A (A/B) p

OUTROS EXEMPLOS RESOLVIDOS

2ª SOLUÇÃO: Poderíamos obter diretamente a resposta, considerando que, como saiu uma carta de ouros, o universo se restringe às 13 cartas de ouros, das quais, uma é o rei, logo a probabilidade procurada é p = 1/13.

O exemplo mostrado serve para ilustrar uma importante situação no cálculo das probabilidades: aquela na qual a probabilidade condicional de A na certeza de B é igual à probabilidade de A (ou seja a ocorrência de B não influi na probabilidade de ocorrência de A). Nesse caso, dizemos que os eventos A e B são INDEPENDENTES. E, nesse caso, temos:

p(B)B)p(A P(A) p(A/B)

p(A B) = p(A) . P(B) EVENTOS INDEPENDENTES

Exemplo 2: Uma moeda honesta e um dado são lançados. Qual a probabilidade de obtermos cara e um número primo?

SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, teremos: p = ½ . 3/6 = ¼ = 25%.

EXEMPLO 3: Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2 e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois componentes não falhe?

SOLUÇÃO: Como são dispositivos INDEPENDENTES (A = falha o primeiro, B = falha o segundo), a probabilidade de que os dois falhem (A B) será dada por p = 0,2 x 0,3 = 0,06.

Como que se deseja é que, ao menos um deles não falhe, estamos diante da probabilidade complementar do evento calculado anteriormente, logo, a probabilidade procurada será igual a: p = 1 – 0,06 = 0,94 = 94%.

Exemplo 4: Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de, ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard? 

SOLUÇÃO:

Nesse caso, temos que calcular a probabilidade de sortearmos um consumidor que usa a bandeira Mastercard, condicionado ao fato de ser consumidor da bandeira VISA. Fica sempre mais simples fazer o cálculo apenas com uma restrição do Espaço Amostral, que é formado pelos 550 consumidores da bandeira Visa, logo, a resposta do problema será p =

Exemplo 5: Em um jogo de dados são jogados dois dados honestos distintos, simultaneamente. Considerando que o número da face voltada para cima dos dois dados os números sejam diferentes, qual é a probabilidade de que a soma seja 6 ? 

Solução: Novamente temos uma condição adicional ao problema – que os números obtidos nos dois dados sejam diferentes, logo, o espaço amostral ficará restrito a 30 casos pois não contamos com os casos onde os pontos são iguais (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) e (6.6). Dentre os casos favoráveis, cuja soma é igual a 6, só teremos 4 casos a considerar, ou seja (1,5), (2,4), (4,2) e (5,1).

Assim sendo, como se trata de probabilidade condicional, faremos o uso do espaço amostral restrito, de acordo com a condição estipulada, logo, teremos: p = =

Exemplo 6: Suponha que um jogador participa de um torneio de xadrez onde sua probabilidade de vitória é 0,3 contra metade dos jogadores, é 0,4  contra um quarto dos jogadores e  contra os jogadores restantes é 0,5. O jogador disputa uma partida contra um oponente selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade dele vencer? 

Solução: Podemos considerar esse problema como uma soma de três possibilidades. Ou o jogador disputa contra um do primeiro grupo OU contra alguém do segundo grupo OU contra um competidor do terceiro grupo, logo, teremos uma SOMA de probabilidades.

p = 0,3 x 0,5 + 0,4 x 0,25 + 0,5 x 0,25 = 0,375 ou 37,5 %

Esse tipo de situação, que envolve o cálculo de soma de probabilidades e com frequências distintas, é denominado teorema da probabilidade total.

Exemplo 7: (UERJ 2012) EXAME DISCURSIVO

Considere um cliente que escolheu aleatoriamente dois dias de uma mesma semana para comer pizzas nesse sistema de rodízio, pagando também um rodízio em cada dia. Calcule a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias seja o mínimo possível.

Solução: Nesse caso, trata-se novamente de probabilidade condicional. Vamos considerar a escolha do segundo dia para rodízio, com menor preço, levando-se em conta que no primeiro dia o cliente já tenha pago o preço menor. Verifique que são 4 dias em 7, com preços mínimos, logo, teremos:

Exemplo 8: (UERJ 2011) Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor. Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a:(A) 9,1% (B) 18,2% (C) 27,3% (D) 36,4%

Solução: Novamente temos um caso de SOMA de probabilidades, pois as duas garrafas retiradas podem ser de uva OU pêssego OU laranja. Como as quantidades de cada sabor são iguais, basta calcularmos a probabilidade de obtermos duas garrafas de um dos sabores e multiplicar o resultado por 3. Teremos: - OPÇÃO C.

Exemplo 9: (UERJ 2014)

Solução: Esse problema se divide em 2 hipóteses. A retirada do lápis SEM ponta da caixa B foi após uma retirada de um lápis COM ponta da caixa A (que passou para a caixa B) ou essa retirada foi após a retirada de um lápis SEM ponta da caixa A (que passou para B).

1ª hipótese – sair um lápis com ponta da caixa A, colocá-lo na caixa B e, em seguida, retirar um lápis SEM PONTA da caixa B.

x =

2ª hipótese – sair um lápis sem ponta da caixa A, colocá-lo na caixa B e, em seguida, retirar um lápis SEM PONTA da caixa B. Nesse caso, teremos : =

Resposta: + = = 0,57 ou 57%

Exemplo 10 (revisão): UERJ 2014Em uma sala, encontram-se dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os halteres de mesma massa são de mesma cor. Seu armazenamento é denominado “perfeito” quando os halteres de mesma cor são colocados juntos. Nas figuras ao lado temos dois exemplos de armazenamento perfeito.

Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um armazenamento perfeito, é de:

Solução: Total de armazenamentos = = 113400

Casos favoráveis (perfeitos) = P5 = 120.

Probabilidade pedida =

DESAFIOUma questão de múltipla escolha tem 5 alternativas e apenas uma certa. Sabemos que, dos alunos dessa turma, 50% sabem resolver e vão acertar a questão, enquanto eu os demais “chutam a resposta” e poderão acertar na sorte. Um dos alunos dessa turma é escolhido ao acaso. (A) Determine a probabilidade desse aluno ACERTAR essa questão.

São dois grupos de alunos: Os 50% que sabem e a probabilidade de acerto é igual a 1 e outros 50% que não sabem, cuja probabilidade de acertar será de 1/5 = 0,2.

Logo, temos aqui duas hipóteses: ou foi sorteado um dos alunos que sabem a questão e vão acertar (0,5 x 1 = 0,5) ou foi sorteado um dos alunos que não sabem e a probabilidade de acertar é (0,5 x 0,2 = 0,1). Então, a resposta é p(acertar) = 0,5 + 0,1 = 0,6 = 60%

(B) Dado que o aluno sorteado tenha acertado a questão, qual a probabilidade de que ele a tenha “chutado”?

Temos agora um caso de PROBABILIDADE CONDICIONAL e queremos calcular a probabilidade de que aluno sorteado não sabe resolver a questão, DADO QUE ele a acertou.

p (A/B) = probabilidade de não saber a questão, dado que a acertou.

p(A B) = 0,1 (não sabe e acerta)p(B) = 0,6 (acerta)

p (A/B) = =