E o Triângulo de Pascal

Prof Rogério César

Prof Eduardo Castilho

UnB – Campus Planaltina

“artigo já aceito para publicação na RPM SET/2013”

Caminhando para cima ou para a direita, sobre pontos que possuem pelo menos uma coordenada inteira, quantos caminhos existem, partindo da origem (0,0), e chegando em (3,3)?

Introdução

São 3 passos para a direita, e 3 para cima.

Logo, o total de caminhos é a permutação com elementos repetidos, do anagrama CCCDDD:

6!

3! 3!=6 ∙ 5 ∙ 4

6= 20

Por qual ponto, de coordenadas inteiras, passam mais caminhos, da origem até (3,3) (exceto os pontos de chegada e partida)?

A nossa pergunta

Atividade a ser desenvolvida para estimular o assunto de permutações, ou então para aprofundar no mesmo.

Vamos nos perguntar, primeiro, quantos caminhos chegam em cada ponto, saindo de (0,0).

1111

4321

10631

201041

141020

13610

1234

1111

Agora, quantos caminhos saem de cada ponto, e chegam em (3,3)?

Basta olhar para os caminhos que saem de (3,3) e chegam em (0,0), como no caso anterior.

1111

4321

10631

201041

Saem de cada ponto e chegam em (3,3)

Chegam em cada ponto, saindo da origem

141020

13610

1234

1111

= saem de (3,3) e chegam em cada ponto

“x”

141020

491210

101294

201041Quantos caminhos passam por cada ponto.

1111

4321

10631

201041

Saem de cada ponto e chegam em (3,3)

Chegam em cada ponto, saindo da origem

141020

13610

1234

1111

“x”

1

1 1

1 2 1

1 3 1

1 4 1

1 1

1 1

1111

4321

10631

201041

Saem de cada ponto e chegam em (3,3)

Chegam em cada ponto, saindo da origem

141020

13610

1234

1111

“x”

C0,0 1 C1,0 1 C1,1

1

C2,0

1 C2,1

2 C2,2

1

C3,0 1 C3,1

3 C3,2

3 C3,3

1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

7 21 35 35 21 7

C0,0 1 C1,0 1 C1,1

1

C2,0

1 C2,1

2 C2,2

1

C3,0 1 C3,1

3 C3,2

3 C3,3

1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

7 21 35 35 21 7

8 28 56 70 56 28 8

Propriedades: •Simetria em cada linha; •Stifel: C n-1,p-1+ C n-1,p=Cn,p; •Soma na linha=2^n; •Soma na diagonal= inferior esquerdo;11^n; •(x+y)^3=1 x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + 1 y^3

•Catalan 1/1=1 2/2=1 6/3=2 20/4=5 70/5=14

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm48/pgi.htm

1111

4321

10631

201041

Saem de cada ponto e chegam em (3,3)

Chegam em cada ponto, saindo da origem

141020

13610

1234

1111

“x”

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

7 21 35 35 21 7

141020

491210

101294

201041

a m,n x a n,m

11111

54321

1510631

35201041

70351551

15153570

516304035

1530363015

354030165

70351551

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1

17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1