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BINÔMIO DE NEWTON
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Binômio de Newton
Análise Combinatória1
Vamos estudar a partir de agora uma importante aplicação da Análise Combinatória
ao desenvolvimento de expressões algébricas da forma (x + a)n, sendo x e a
números reais e n um número natural. Esse desenvolvimento é chamado Binômio
de Newton.
Vejamos o desenvolvimento dessa expressão para alguns valores de n.
Para n 0: (x + a)0 1
Para n 1: (x + a)1 x + a
Para n 2: (x + a)2 x2 + 2xa + a2
Para n 3: (x + a)3 x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
Binômio de Newton
Números Binomiais
Análise Combinatória2
Sendo n e p dois números naturais, com n ≥ p, define-se por número
binomial de n tomado a p a combinação dos n elementos distintos
tomados p a p.
Sendo n e p dois números naturais, com n ≥ p, define-se por número
binomial de n tomado a p a combinação dos n elementos distintos
tomados p a p.
!!
!, pnp
nC
p
npn
Escrevendo o número binomial em termos de fatoriais, temos:
Binômio de Newton
Números binomiais complementares
Análise Combinatória3
Sendo n, p e q números naturais com n ≥ p e n ≥ q, dizemos que dois números
binomiais e são chamados de complementares quando
p q n, ou seja, q n p
Uma propriedade importante é a de que dois números binomiais complementares
são iguais, isto é:
Binômio de Newton
Relação de Stifel
Análise Combinatória4
Sendo n, p e q números naturais com n ≥ p, vale a relação a seguir.
Binômio de Newton
Propriedades do Triângulo de Pascal
Análise Combinatória7
• O primeiro e o último elemento de
qualquer linha do triângulo sempre
vale 1, pois:
• Para qualquer linha, dois elementos
equidistantes dos extremos são iguais,
pois representam números binomiais
complementares, isto é:
Binômio de Newton
Propriedades do Triângulo de Pascal
Análise Combinatória8
• A soma dos elementos de uma linha n qualquer e uma potência de base 2 e
expoente n, ou seja, é 2n.
linha 0 1 = 20
linha 1 1 + 1 = 2 = 21
linha 2 1 + 2 + 1 = 4 = 22
linha 3 1 + 3 + 3 + 1 + 8 = 23
Binômio de NewtonPropriedades do Triângulo de Pascal
Análise Combinatória9
• A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao
elemento da próxima linha que está abaixo do segundo elemento somado
(ou que está centrado entre eles), pela relação de Stifel.
Binômio de Newton
Propriedades do Triângulo de Pascal
Análise Combinatória10
• A soma dos elementos de uma coluna p desde o primeiro elemento dessa
coluna até o da linha n é igual ao elemento localizado na linha (n 1) e
coluna (p 1) , isto é:
Binômio de Newton
Propriedades do Triângulo de Pascal
Análise Combinatória11
• A soma dos primeiros p elementos de uma transversal é igual ao elemento
localizado na linha (n p 1 ) e coluna p, isto é:
Binômio de Newton
Somatório
Análise Combinatória12
Considere a sequência (ap, ap + 1, ap + 2, …, an).
A soma dos termos dessa sequência,
ap ap + 1 ap + 2 … an,
pode ser representada pelo somatório, dado por:
Considere a sequência (ap, ap + 1, ap + 2, …, an).
A soma dos termos dessa sequência,
ap ap + 1 ap + 2 … an,
pode ser representada pelo somatório, dado por:
Exemplo:
n
pkka
Binômio de Newton
Desenvolvimento do binômio de Newton
Análise Combinatória13
No desenvolvimento do binômio de Newton (x + a)n:• há (n 1) termos;• os expoentes das potências de x decrescem de n a zero e os das potências
de a crescem de zero a n;• em qualquer termo, a soma dos expoentes de x e de a é n;• os coeficientes, considerando x e a como variáveis, são os elementos da
linha n do triângulo de Pascal, ou seja, os números binomiais que
determinam essa linha. Por isso são chamados de coeficientes binomiais.
ppnn
p
n axp
nax
0