Universidade de São Paulo · 2.4 Gráﬁco da função f(x) = 1 ... Trinômio do 2o grau ax2 +bx+c = a(x−r1) ... o binômio de Newton não foi objeto de estudo de Newton. A fórmula

Universidade de São Paulo

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz"

Apostila de Cálculo

Roseli Aparecida LeandroCristian Villegas

Everton Batista da Rocha

PiracicabaEstado de São Paulo

2012

Conteúdo

1 Revisão de conceitos básicos 11.1 Um pouco sobre notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Alguns subconjuntos especiais dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1 O binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 O triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Funções 52.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Monotonicidade e Paridade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Classificação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 Inversão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Funções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.8.1 Função Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8.2 Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8.3 Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8.4 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8.5 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8.6 FunçãoLogarÍtmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8.7 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.8 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Limite e continuidade 153.1 Definição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Propriedades dos Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Assíntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Teoremas Adicionais sobre Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.7.1 Continuidade em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7.2 Continuidade em um Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

i

ii

4 Derivada 214.1 A Derivada de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Teoremas Básicos sobre Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.2 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.3 Derivada de Funções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1.4 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.5 A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Aplicações de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Extremos de Funções - Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.3 Extremos de Funções - Extremos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.4 Condições Suficientes para Extremos Relativos e Funções Contínuas . . . 254.2.5 Concavidade e a segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.6 Extremos relativos e a segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.7 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Estudo Completo de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Fórmulas de Taylor e Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Integração 295.1 A Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Regra da Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1.2 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 A Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Teorema Fundamental do Cálculo (Newton-Leibniz) . . . . . . . . . . . . . . . 315.4 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Funções Beta e Gama 336.1 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.1.1 Fórmula de Recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.2.1 Função Gama para 0 < n < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2.2 Função Gama para n < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.3 Função Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3.1 Definições Recorrentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Lista de Figuras

2.1 Representação de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Gráfico da função f(x) =

√x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x− 7 com a respectiva inversa . . 82.4 Gráfico da função f(x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Gráfico da função f(x) = x− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8 Gráfico da função f(x) = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9 Gráfico da função f(x) = loga(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.10 XXX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.11 Gráfico da função sin(x), cos(x) e tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

iii

1

Revisão de conceitos básicos

Neste primeiro capítulo será feita uma pequena revisão de conceitos básicos necessários parao prosseguimento da disciplina.

1.1 Um pouco sobre notação

Simbologia Significado

∧ e∨ ou| tal que∃ existe@ não existe∀ qualquer que seja∅ conjunto vazio∈ pertence6∈ não pertence⊃ contém6⊃ não contém⊂ está contido6⊂ não está contido

1.2 Conjuntos numéricos

N Conjunto dos números naturaisZ Conjunto dos números inteirosQ Conjunto dos números racionaisI Conjunto dos números irracionaisR Conjunto dos números reais

em que

1. N = {0, 1, 2, 3, ...}.

2. Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.

2

3. Q = {ab|a, b ∈ Z, b 6= 0} .

4. R = (−∞,+∞).

1.3 Alguns subconjuntos especiais dos números reais

R∗ = {x ∈ R | x 6= 0}R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}R− = {x ∈ R | x ≤ 0}R∗

+ = {x ∈ R | x > 0}R∗

−= {x ∈ R | x < 0}

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

1.4 FatoraçãoDefinição 1.4.1. Fatorar é transformar uma soma de duas ou mais parcelas num produto dedois ou mais fatores.

1o caso: Fator comum

ax+ bx = x(a+ b)

2o caso: Agrupamento

ax+ bx+ ay + by = x(a+ b) + y(a+ b) = (a+ b)(x+ y)

3o caso: Diferença de quadrados

a2 − b2 = (a+ b)(a− b)

4o caso: Quadrado perfeito

a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)(a+ b) = (a+ b)2

a2 − 2ab+ b2 = (a− b)(a− b) = (a− b)2

5o caso: Soma e diferença de cubos

a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)

6o caso: Cubo perfeito

a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b) = (a+ b)3

a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 = (a− b)(a− b)(a− b) = (a− b)3

3

7o caso: Trinômio do 2o grau

ax2 + bx+ c = a(x− r1)(x− r2)

em que r1 e r2 são as raízes da equação ax2 + bx+ c = 0.

8o caso: Um artifício

a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1− a2 =

(a2 + 1)2 − a2 = (a2 + 1 + a)(a2 + 1− a)

1.4.1 O binômio de Newton

O desenvolvimento do binômio (1+x)n está entre os primeiros problemas estudados e ligadosÀAnálise Combinatória. O caso n = 2 já pode ser encontrado nos “Elementos de Euclides”,

em torno de 300 a.C. O “Triângulo de Pascal” era conhecido por “Chu Shih-Chieh”, na China,por volta do ano 1300, e antes disso pelos hindus e árabes. O nome coeficiente binomialfoi introduzido mais tarde por Michael Stifel (1486?-1567), que mostrou, em torno de 1550,como calcular (1 + x)n a partir do desenvolvimento de (1 + x)n−1. Sabemos também queo matemático árabe Al-Karaji,fins do século X, conhecia a lei de formação dos elementos dotriângulo de Pascal. Portanto, você pode observar que nem Isaac Newton nem Blaise Pascalapareceram na história até o momento. De fato, o binômio de Newton não foi objeto de estudode Newton.

A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x + y)n.Desenvolvendo o binômio (x+ y)n, n ∈ N, encontramos:

(x+ y)n =n∑

k=0

(

n

k

)

xn−kyk

em que(

n

k

)

=n!

k!(n− k)!,

é chamado coeficiente binomial. Observe que n! = n× (n− 1)× . . .× 3× 2× 1 e 0! = 1. Todapotência da forma (x + y)n , com x, y ∈ R e n ∈ N, é conhecido como binômio de Newton.O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, que você jáestudou no ensino fundamental. Você aprendeu que:

(x+ y)0 = 1 1 termo(x+ y)1 = 1x+ 1y 2 termos(x+ y)2 = 1x+ 2xy + 1y 3 termos(x+ y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 4 termos

Um dos processos para determinar (x+ y)4 é efetuar o produto (x+ y)3 e (x+ y) que vocêjá conhece e sabe que dá muita “mão de obra”. E se continuar aumentando o expoente dobinômio. Como fica? Em casos como (x + y)7, (2x − y)5 , (x + 2)10, (x − y)n e tantos outros,vamos recorrer à análise combinatória.

4

1.4.2 O triângulo de Pascal

O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade dotriângulo de Pascal: O triângulo de Pascal.

(

n− 1

k − 1

)

+

(

n− 1

k

)

=

(

n

k

)

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que osdescreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui noséculo XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.

11 11 2 11 3 3 1· · · · · ·

(

n0

) (

n1

)

. . .(

nn−1

) (

nn

)

Capítulo 2

Funções

2.1 Conceitos BásicosDefinição 2.1.1. Seja A e B dois conjuntos, A 6= ∅, B 6= ∅. Uma função definida em A comvalores em B é uma lei que associa a todo elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. Notação:y = f(x).

Esquematicamente:

f : A → B

x 7→ y = f(x)

Figura 2.1: Representação de uma função

Definição 2.1.2. O conjunto A é chamado domínio da função f , o conjunto B contra-domíniode f e o conjunto I = {y ∈ B|y = f(x), x ∈ A} imagem da função f , também denotado porf(A). Observe que I ⊂ B. Neste material o conjunto B será o conjunto dos números reais.

Observação 2.1.1. Quando não se especificar o domínio de uma dada função, subentende-seque ele seja o conjunto de todos os reais para os quais seja possível definir a função. Assim, odomínio da função f(x) = 1

x−2 é D = {x ∈ R|x 6= 2}, salvo menção contrária.

2.2 Gráfico de uma FunçãoDefinição 2.2.1. Seja f : A → B. O gráfico de f é o conjunto G(f) = {(x, y) ∈ A × B|y =f(x)}, em que A×B = {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B}.

Observação 2.2.1. Como, por definição, a todo x do domínio da função corresponde um únicovalor de y, nenhuma reta vertical pode interceptar o gráfico da função em mais de um ponto.

6

Figura 2.2: Gráfico da função f(x) =√x− 1

Exemplo 2.2.1. Seja f(x) =√x− 1. O domínio de f são todos os reais maiores ou iguais a

1, ou seja, D = {x ∈ R|x ≥ 1}. A imagem de f é I = {y ∈ R|y ≥ 0}. Um esboço do gráfico def é dado por:

2.3 Monotonicidade e Paridade de FunçõesDefinição 2.3.1. A função f : A → R é dita

1. estritamente crescente se x < y ⇒ f(x) < f(y) ∀ x, y ∈ A.

2. estritamente decrescente se x < y ⇒ f(x) > f(y) ∀ x, y ∈ A.

3. crescente se x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) ∀ x, y ∈ A.

4. decrescente se x < y ⇒ f(x) ≥ f(y) ∀ x, y ∈ A.

Se uma função f é crescente ou decrescente em A, diz-se que ela é monótona em A.

Definição 2.3.2. Diz-se que f : A → R é uma função par se as seguintes condições estiveremsatisfeitas:

1. Para qualquer x ∈ A, tem-se sempre que −x ∈ A.

2. f(−x) = f(x), ∀ x ∈ A.

Observação 2.3.1. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

Definição 2.3.3. Diz-se que f : A → R é uma função ímpar se as seguintes condições estive-rem satisfeitas:

1. Para qualquer x ∈ A, tem-se sempre que −x ∈ A.

2. f(−x) = −f(x), ∀ x ∈ A.

Observação 2.3.2. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistemacartesiano.

2.4 Composição de funçõesDefinição 2.4.1. Sejam f : A → B e g : B → C. A função composta de g com f , indicadag ◦ f , é uma função h : A → C dada por h(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A.

Observação 2.4.1. Para a existência da função composta não é essencial que o domínio de g

seja todo B, e sim apenas que contenha a imagem de f . Assim, o domínio de g◦f é o conjuntode todos os elementos de x do domínio de f tais que f(x) esteja no domínio de g.

7

2.5 Álgebra de FunçõesDefinição 2.5.1. Sejam f e g duas funções, D a intersecção não vazia de seus domínios, e λ

um número real. Então:

1. a soma de f e g, indicada por (f + g), é a função definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x),∀x ∈ D.

2. a diferença de f e g, indicada por (f−g), é a função definida por (f−g)(x) = f(x)−g(x),∀x ∈ D.

3. o produto de f por g, indicado por (f×g), é a função definida por (f×g)(x) = f(x)×g(x),∀x ∈ D.

4. o quociente de f por g, indicado por(

f

g

)

, é a função definida por(

f

g

)

(x) =f(x)

g(x),

∀x ∈ D.

5. o produto de λ por f , indicado por (λf), é a função definida por (λf)(x) = λf(x), ∀ ∈ D.

2.6 Classificação de FunçõesDefinição 2.6.1. Seja f : A → B. Diz-se que uma função f é injetora se:

x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y) x, y ∈ A.

Consequência 2.6.1. Como consequência da definição pode-se dizer que uma função éinjetora se:

f(x) = f(y) ⇒ x = y x, y ∈ A.

Diz-se neste caso que se estabelece uma correspondência um a um entre o domínio e a imagemde f .

Definição 2.6.2. Seja f : A → B. Diz-se que uma função f é sobrejetora se f(A) = B, ouseja, para cada y ∈ B, existe pelo menos um x ∈ A tal que, y = f(x).

Definição 2.6.3. Seja f : A → B. Diz-se que uma função f é bijetora se for injetora esobrejetora, isto é, se para cada y ∈ B existir um único ponto x ∈ A tal que y = f(x). Diz-seque estabelece-se uma correspondência um a um entre o domínio e o contradomínio de f .

2.7 Inversão de FunçõesDefinição 2.7.1. Diz-se que f : A → B é inversível se existir g : B → A, tal que g ◦ f = IA,isto é, (g ◦ f)(x) = x ∀x ∈ A e f ◦ g = IB, isto é, (f ◦ g)(x) = x ∀x ∈ B. A função g échamada função inversa de f e é indicada por f−1.

Observação 2.7.1. Observar que

1. Uma função f : A → B é inversível se, e somente se, f é bijetora.

2. Se f : A → B é uma função bijetora, então o domínio e o contra-domínio de f são,respectivamente, o contra-domínio e o domínio de f−1.

3. Os gráficos de f e f−1 são curvas simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpa-res, ou seja, em relação a reta y = x.

8

Exemplo 2.7.1. Considere a função f , definida por f(x) = x2 + 5x − 7 considerando-se queo domínio de f é R e que o contra-domínio de f é R, tem-se que f é não-inversível. Porém,considerando-se, restrições do domínio pode-se tornar a função injetora, e considerando-serestrições do contra-domínio pode-se torná-la sobrejetora. Veja, algumas possíveis restriçõespara o domínio e contra-domínio:

Restrições de domínio e Contra-domínio

Domínio Contra-Domínio

(−∞, xv) (yv,∞)(−∞, xv] [yv,∞)[xv,∞) [yv,∞)(xv,∞) (yv,∞)

A Figura 2.3 apresenta o gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x − 7 com suarespectiva inversa e a reta bissetriz do 1o e 3o quadrantes. Observe o gráfico da restrição coma respectiva inversa exibidos com a mesma cor. No Capítulo ??? você poderá visualizar oscomandos MAPLE utilizados para a exibição do gráfico apresentado na Figura 2.3.

Figura 2.3: Gráfico de restrições da função f(x) = x2 + 5x− 7 com a respectiva inversa

2.8 Funções BásicasPor convenção o contra-domínio de todas as funções é R.

2.8.1 Função Constante

São funções definidas por f(x) = b com b ∈ R. Seu domínio é R é I={c}.

2.8.2 Função Afim

São funções definidas por f(x) = ax + b com a, b ∈ R, a 6= 0. Seu domínio é R e imagem,I = R.

Observação 2.8.1. Observar que:

1. A função afim tem como gráfico uma reta.

9

Figura 2.4: Gráfico da função f(x) = 1

2. O gráfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b) e o eixo das abscissas no ponto(−b

a, 0

)

.

3. Pode-se mostrar que a tangente do ângulo α formando entre a reta e o eixo é igual àconstante a.

4. Se b = 0 a função é denonimada função linear.

Figura 2.5: Gráfico da função f(x) = x− 1

2.8.3 Função Quadrática

É toda função da forma f(x) = ax2 + bx+ c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.


1. Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.

2. A parábola que representa a função f(x) = ax2 + bx + c tem concavidade para cimaquando a > 0, e a concavidade para baixo quando a < 0.

3. O vértice da parábola tem coordenadas V(

− b

2a,−∆

4a

)

, em que ∆ = b2 − 4ac

10

4. As abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x, se existirem, são dadaspor:

x =−b±

√∆

2a, em que ∆ = b2 − 4ac.

Posições características da parábola no plano cartesiano são dadas por:

1. a > 0 e ∆ > 0

2. a > 0 e ∆ = 0

3. a > 0 e ∆ < 0

4. a < 0 e ∆ > 0

5. a < 0 e ∆ = 0

6. a < 0 e ∆ < 0


2.8.4 Função Modular

É a função f(x) = |x| ={

x, se x ≥ 0

−x, se x < 0

2.8.5 Função Exponencial

É toda função do tipo f(x) = ax (a > 0, a 6= 1).


1. O gráfico de uma função exponencial é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

11


2. Para resolver as funções exponenciais vale-se da relação:

ax = ay ⇒ x = y

3. Pela primeira observação da função exponencial, tem-se as seguintes relações que auxi-liam na resolução de inequações exponenciais:

Se a > 1 , ax < ay ⇔ x < y

Se 0 < a < 1 , ax < ay ⇔ x > y

Figura 2.8: Gráfico da função f(x) = ax

2.8.6 Função Logarítmica

A função logarítmica, definida em R∗

+, é dada por: f(x) = loga x, a > 0 e a 6= 1, se e só se,af(x) = x.


1. A função logarítmica é a inversa da função exponencial.

12

2. As propriedades da função logarítmica, sendo a > 0, b > 0 e b 6= 1, c > 0 e α ∈ R, são:

(a) logb(ac) = logb a+ logb c

(b) logb

(a

c

)

= logb a− logb c

(c) logb(aα) = α logb a

(d) logb a =loge a

loge b

3. O gráfico é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

4. Para a resolução de equações logarítmicas, usa-se a relação seguinte:

(a) Se f(x) > 0, g(x) > 0, a > 0 e a 6= 1, então loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(x)

Figura 2.9: Gráfico da função f(x) = loga(x)


1. Para a resolução de inequações logarítmicas, usa-se as relações seguintes:

(a) Se a > 1, f(x) > 0 e g(x) > 0, então loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) > g(x)

(b) Se 0 < a < 1, f(x) > 0 e g(x) > 0, então loga f(x) > loga g(x) ⇔ f(x) < g(x)

2.8.7 Funções Trigonométricas

Definição 2.8.1. Denomina-se de circunferência trigonométrica a circunferência de centro naorigem do plano cartesiano, de raio unitário e cujos arcos tem origem no ponto A(1, 0), comsentido anti-horário positivo.

Definição 2.8.2. Considere na circunferência trigonométrica um arco de medida x, com ori-gem em A e extremidade em P . Então, por definição:

1. seno de x é a ordenada do ponto P

2. cosseno de x é a abscissa do ponto P

3. tangente de x é a ordenada do ponto T , interesecção da reta OP com o eixo tangente àcircunferência pelo ponto A.

Definição 2.8.3. Define-se as principais funções trigonométricas da seguinte forma:

1. Função seno: f : R → R, f(x) = senx

2. Função cosseno: f : R → R, f(x) = cosx

13

Figura 2.10: XXX

3. Função tangente: f : R−{π

2+ hπ, h ∈ Z

}

→ R, f(x) = tg x

As outras funções trigonométricas são definidas pelas relações

cotg x =cosx

senx=

1

tg x, secx =

1

cosx, cosecx =

1

senx


1. Da definição, conclui-se que a imagem das funções seno e cosseno é o intervalo [−1, 1] ea imagem da função tangente é R.

2. A função cosseno (e, portanto, secante) é par, enquanto as funções seno (⇒ cossecante)e tangente (⇒ cotangente) são ímpares.

3. As funções seno, cosseno, tangente são periódicas, de período 2π, 2π e π respectiva-mente.

4. As principais relações trigonométricas:

(a) sen 2x+ cos2 x = 1

(b) 1 + tg 2x = sec2 x

(c) 1 + cot2 x = cosec 2x

(d) sen (x± y) = senx cos y ± sin y cosx

(e) cos(x± y) = cosx cos y ± senxsen y

(f) tg (x± y) =tg x± tg y

1∓ tg xtg y

(g) sen 2x = 2senx cosx

(h) cos 2x = cos2 x− sen 2x

(i) tg 2x =2tg x

1− tg 2x

(j) sen p± sen q = 2sen

(

p± q

2

)

cos

(

p∓ q

2

)

(k) cos p± cos q = 2 cos

(

p+ q

2

)

cos

(

p− q

2

)

(l) cos p− cos q = −2sen

(

p+ q

2

)

cos

(

p− q

2

)

14

Figura 2.11: Gráfico da função sin(x), cos(x) e tan(x)

2.8.8 Funções Trigonométricas Inversas

Seja a função f : R → R, definida por f(x) = senx. A fim de definir sua função inversa énecessário fazer a seguinte restrição, com o intuito de torná-la bijetora:

f :[

−π

2,π

2

]

→ [−1, 1]

f(x) = senx

Assim, pode-se definir a função inversa.

f−1 : [−1, 1] →[

−π

2,π

2

]

y = arcsenx (⇔ sin y = x)

Trabalhando da mesma forma com as outras funções trigonométricas, tem-se:

1. Função Arcoseno: f : [−1, 1] →[

−π

2,π

2

]

, f(x) = arcsenx

2. Função Arco-cosseno: f : [−1, 1] → [0, π], f(x) = arccosx

3. Função Arco-tangente: f : R →(

−π

2,π

2

)

, f(x) = arctg x

Capítulo 3

Limite e continuidade

3.1 Definição de LimiteDefinição 3.1.1. Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (exceto possi-velmente no próprio a) e seja L um número real. Então,

limx→a

f(x) = L

se para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε sempre que 0 < |x− a| < δ.Em outras palavras, a definição acima diz que f(x) pode tornar-se tão próximo de L quanto

se deseja, escolhendo-se x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.

Teorema 3.1.1. (de unicidade) Se limx→a

= L1 e limx→a

= L2, então L1 = L2.

3.1.1 Propriedades dos Limites de Funções

Propriedade 3.1.1. Se m e b são constantes quaisquer, então: (Se m e b são constantesquaisquer, então:)

limx→a

(mx+ b) = ma+ b

Consequência 3.1.1. Se c é uma constante, então,

limx→a

c = c

Consequência 3.1.2.

limx→a

x = a

Propriedade 3.1.2. Se limx→a

f(x) = L e limx→a

g(x) = M , então

limx→a

[f(x)± g(x)] = limx→a

f(x)± limx→a

g(x) = L±M.

Consequência 3.1.3. Se limx→a

f1(x) = L1, limx→a

f2(x) = L2, · · · , limx→a

fn(x) = Ln, então,

limx→a

[f1(x)± f2(x)± · · · fn(x)] = L1 ± L2 ± · · ·Ln


f(x) = L e limx→a

g(x) = M , então

limx→a

[f(x)× g(x)] = limx→a

f(x)× limx→a

g(x) = L×M

16


f1(x) = L1, limx→a

f2(x) = L2, · · · , limx→a

fn(x) = Ln, então,

limx→a

[f1(x)× f2(x)× · · · fn(x)] = L1 × L2 × · · ·Ln


f(x) = L e n for inteiro positivo qualquer, então

limx→a

[f(x)]n =[

limx→a

f(x)]n

= Ln


f(x) = L e limx→a

g(x) = M e M 6= 0, então

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)=

L

M


f(x)n = L, então,

limx→a

f(x)n =[

limx→a

f(x)]n

= Ln

Se L ≥ 0 e n for um inteiro qualquer positivo, ou se L ≤ 0 e n for um inteiro positivo ímparqualquer.

Propriedade 3.1.6. Se g é uma função tal que g(x) = f(x) é válido para todos os valores dex pertencentes a algum intervalo ao redor de a, exceto x = a, então lim

x→ag(x) = lim

x→af(x), se os

limites existirem.

3.2 Limites LateraisDefinição 3.2.1. Seja f definida em um intervalo (a, c). Então, o limite de f(x) quando x

tende à a pela direita será L, escrito limx→a+

f(x) = L, se para qualquer ε > 0, existe um δ > 0

tal que, |f(x)− L| < ε sempre que 0 < x− a < δ.

Definição 3.2.2. Seja f definida em um intervalo (d, a). Então, o limite de f(x) quando x

tende à a pela esquerda será L, escrito limx→a−

f(x) = L, se para qualquer ε > 0, existe um δ > 0

tal que, |f(x)− L| < ε sempre que 0 < x− a < δ.

Teorema 3.2.1. limx→a

f(x) é igual a L se e somente se limx→a+

f(x) e limx→a−

f(x) existirem e ambos

forem iguais a L

3.3 Limites no InfinitoA seguir uma definição de limites no infinito

Definição 3.3.1. Suponha que a função f esteja definida em um intervalo (a,+∞). Diz-seque lim

x→+∞

f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um número positivo N tal que |f(x) − L)| < ε

sempre que x > N .

Definição 3.3.2. Suponha que a função f esteja definida em um intervalo (−∞, a). Diz-seque lim

x→−∞

f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um número negativo N tal que |f(x)− L)| < ε

sempre que x < N .

Teorema 3.3.1. Se r é um inteiro positivo qualquer, então,

limx→+∞

1

xr= 0 e lim

x→−∞

1

xr= 0.

17

Observação 3.3.1. As propriedades de limite de funções permanecem inalteradas quandox → a é substituído por “x → +∞"ou “x → −∞".

3.4 Limites InfinitosDefinição 3.4.1. Seja f definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente nopróprio a. Diz-se que lim

x→af(x) = +∞, se para qualquer N > 0 existir um δ > 0 tal que

f(x) > N sempre que 0 < |x− a| < δ.

Definição 3.4.2. Seja f definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente nopróprio a. Diz-se que lim

x→af(x) = −∞, se para qualquer N < 0 existir um δ > 0 tal que

f(x) < N sempre que 0 < |x−a| < δ. Observação análoga pode ser feita para limx→a

f(x) = −∞.

Desta forma, tem-se:

Observação 3.4.1. Podemos observar que

1. Definições semelhantes podem ser feitas ao se trocar, “x → a" por “x → a+"ou “x → a−".


1. Limites infinitos no infinito podem ser considerados. Existem definições formais paracada um dos seguintes limites:

limx→+∞

f(x) = +∞

limx→+∞

f(x) = −∞

limx→+∞

f(x) = −∞

limx→−∞

f(x) = −∞

3.4.1 Propriedades


f(x) = ±∞ e limx→a

g(x) = c, c constante qualquer, então,

1. limx→a

[f(x) + g(x)] = ±∞

2. Se c > 0, então limx→a

[f(x)× g(x)] = ±∞

3. Se c < 0, então limx→a

[f(x) + g(x)] = ∓∞

4. limx→a

g(x)

f(x)= 0


f(x) = 0 e limx→a

g(x) = c, c constante não nula, então,

1. Se c > 0 e se f(x) → 0 através de valores positivos de f(x), então limx→a

g(x)

f(x)= +∞

2. Se c > 0 e se f(x) → 0 através de valores negativos de f(x), então limx→a

g(x)

f(x)= −∞

3. Se c < 0 e se f(x) → 0 através de valores positivos de f(x), então limx→a

g(x)

f(x)= −∞

4. Se c < 0 e se f(x) → 0 através de valores negativos de f(x), então limx→a

g(x)

f(x)= +∞

Observação 3.4.3. As propriedades (3.4.1) e (3.4.2) anteriores continuam válidas se “x →a"for substituído por “x → a+", “x → a−", “x → +∞"ou “x → −∞".

18

3.5 Assíntotas Verticais e HorizontaisDefinição 3.5.1. Diz-se que a reta vertical x = a é uma assíntota vertical do gráfico da funçãof se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:

1. limx→a+

f(x) = +∞

2. limx→a+

f(x) = −∞

3. limx→a−

f(x) = +∞

4. limx→a−

f(x) = −∞

Definição 3.5.2. Diz-se que a reta vertical y = b é uma assíntota horizontal do gráfico dafunção f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:

1. limx→+∞

f(x) = b

2. limx→−∞

f(x) = b

3.6 Teoremas Adicionais sobre Limites de FunçõesTeorema 3.6.1. (Teorema da Conservação do Sinal)Se lim

x→af(x) existe e se lim

x→af(x) = b 6= 0, então existe um intervalo aberto contínuo contendo a

tal que f(x) tem o mesmo sinal de b para todo x 6= a deste intervalo.

Teorema 3.6.2. (Teorema da Comparação)Suponha que f e g estejam definidas em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivel-mente em a. Suponha, também, que f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ I, x 6= a. Então, se existirem lim

x→af(x)

e limx→a

g(x), então limx→a

f(x) ≤ limx→a

g(x).


1. Se lim f(x) = +∞ e f(x) ≤ g(x), então lim g(x) = +∞ (vale para x → a, x → +∞ ex → −∞).

2. Se lim g(x) = −∞ e f(x) ≤ g(x), então lim f(x) = −∞ (vale para x → a, x → +∞ ex → −∞).

Teorema 3.6.3. (Teorema do Confronto ou do “Sanduíche")Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmenteem a, e se lim

x→af(x) = lim

x→ah(x) = L, então lim

x→ag(x) = L.

Observação 3.6.2. O teorema anterior continua válido se “x → a" for substituído por “x →+∞" ou “x → −∞".

Teorema 3.6.4. (1o Limite Fundamental)

limx→0

senx

x= 1

19

Teorema 3.6.5. (2o Limite Fundamental)

limx→−∞

(

1 +1

x

)x

= e

limx→∞

(

1 +1

x

)x

= e

em que e = 2, 71828 · · · (irracional).

3.7 Continuidade

3.7.1 Continuidade em um ponto

Definição 3.7.1. Diz-se que f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as três condiçõesseguintes:

1. existe f(a)

2. existe limx→a

f(x)

3. limx→a

f(x) = f(a)


1. Se uma ou mais destas três condições não for verificada em a, diz-se que a função f édescontínua em a.

2. Como a noção de continuidade envolve o fato de que limx→a

f(x) = f(a), tem-se então o

seguinte teorema:

Teorema 3.7.1. Diz-se que f é contínua em um ponto a se f for definida em um intervaloaberto contendo a e se para qualquer ε > 0 existe um ε > 0 tal que |f(x) − f(a)| < ε sempreque |x− a| < δ.

Propriedade 3.7.1. Se f e g são duas funções contínuas em a, então:

1. f + g é contínua em a

2. f − g é contínua em a

3. f × g é contínua em a

4.f

gé contínua em a, desde que g(a) 6= 0

Propriedade 3.7.2. Uma função polinomial é contínua em todo a ∈ R.

Propriedade 3.7.3. Uma função racional (quociente de duas funções polinomiais) é contínuaem todo ponto do seu domínio.

Propriedade 3.7.4. As funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas são contínuas emtodos os pontos dos seus domínios.

Propriedade 3.7.5. Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f ◦ g é contínua em a.

20

3.7.2 Continuidade em um Intervalo

Definição 3.7.2. Diz-se que uma função f é contínua em um intervalo aberto se f é contínuaem todos os pontos deste intervalo.

Definição 3.7.3. Uma função f é contínua em um intervalo fechado [a, b] se f é contínua nointervalo aberto (a, b) e f satisfaz

limx→a+

f(x) = f(a) e limx→b−

f(x) = f(b).

Capítulo 4

Derivada

4.1 A Derivada de uma Função

Definição 4.1.1. A derivada de uma função f , indicada f′

é uma função definida por:

f′

(x) = lim∆x→0

=f(x+∆x)− f(x)

∆x= lim

∆x→0

∆y

∆x,

se esse limite existir e for finito.

Observação 4.1.1. Se f é definida por y = f(x), sua derivada pode ser indicada por,

f′

(x) = y′

=dy

dx= Dxy.

Definição 4.1.2. Uma função f é diferenciável em x1 se f′

(x1) existir. Uma função é diferen-ciável se for diferenciável em todo ponto do seu domínio.

Definição 4.1.3. Se a função f está definida em x1, então a derivada à direita em x1 é definidapor:

f′

+(x1) = lim∆x→0+

f(x1 +∆x)− f(x1)

∆x

caso o limite exista. De maneira análoga se define f′

−(x1), a derivada à esqueda de f em x1:

f′

−(x1) = lim

∆x→0−

f(x1 +∆x)− f(x1)

∆x

Observação 4.1.2. Como consequência do teorema da existência de limite, pode-se afirmarque a derivada de f

′

(x1) existe e tem o menor valor A se e somente se ambas as derivadasf

′

−(x1) e f

′

+(x1) existirem e tem o valor comum A.

Teorema 4.1.1. Se uma função f é diferenciável em x1, então f é contínua em x1.


1. A recíproca do teorema não é verdadeira. Existem funções contínuas que não são dife-renciáveis.

2. Como consequência do teorema, pode-se dizer que se f não é contínua em x1, então f

não é diferenciável em x1.

21

22

4.1.1 Teoremas Básicos sobre Diferenciação

Teorema 4.1.2. Se f(x) = c, ∀x, c constante qualquer, então f′

(x) = 0.

Teorema 4.1.3. Se f(x) = xn, n inteiro positivo qualquer, então f′

(x) = nxn−1.

Teorema 4.1.4. Se f uma função e c uma constante. Se g é uma função definida por g(x) =cf(x), então, se f

′

(x) existe, g′

(x) = cf′

(x).

Teorema 4.1.5. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) = u(x) + v(x), então f′

(x) =u

′

(x) + v′

(x), desde que u′

(x) e v′

(x) existam (ou seja, a derivada da soma é a soma dasderivadas).


1. Costuma-se escrever (u+ v)′

= u′

+ v′

2. O resultado pode ser estendido a qualquer número finito de funções.

Teorema 4.1.6. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) = u(x).v(x), então f′

(x) =u

′

(x).v(x) + u(x).v′

(x), desde que u′

(x) e v′

(x) existam.

Observação 4.1.5. Costuma-se escrever (uv)′

= u′

v + uv′

Teorema 4.1.7. Se f é uma função, f(x) 6= 0, então,(

1

f(x)

)′

= − f′

(x)

[f(x)]2, desde que f

′

(x)

exista.

Teorema 4.1.8. Se u e v são funções e se f é tal que f(x) =u(x)

v(x), em que v(x) 6= 0, então,

f′

(x) =u

′

(x).v(x)− u(x).v′

(x)

[v(x)]2, desde que u

′

(x) e v′

(x) existam.

Observação 4.1.6. Costuma-se escrever(u

v

)′

= u′

v + uv′

=u

′

.v − u.v′

v2.

4.1.2 A Regra da Cadeia

Teorema 4.1.9. Se y = f(u), u = g(x) e as derivadasdy

due

du

dxexistem, então a função

composta y = f(g(x)) tem derivada dada por,

dy

dx=

dy

du× du

dx,

ou seja, f′

(x) = f′

(u).g′

(x).

Observação 4.1.7. O teorema se estende para a composta de um número finito de funções.

4.1.3 Derivada de Funções Básicas

Teorema 4.1.10. Suponha que f seja contínua e monótona sobre um intervalo I e seja y =f(x). Se f é diferenciável e f

′

(x) 6= 0 para todo x em I, então a derivada da função inversax = f−1(y) é dada por:

dx

dy=

1

dy

dx

Teorema 4.1.11. Ver tabela de derivadas!

23

4.1.4 Derivadas de Ordem Superior

Se f′

é a derivada de uma função f , f′

também é uma função de x, chamada primeira derivadade f . A derivada de f

′

, se existir, é chamada segunda derivada de f , denotada por,

y′′

= f′′

(x) = D2xy =

d2y

dx2.

Generalizando, a n-ésima derivada da função f é a derivada da (n − 1)-ésima derivada de f .Indica-se por,

y(n) = f (n)(x) = Dnx(y) =

dn(y)

dxn

4.1.5 A Diferencial

Definição 4.1.4. Se y = f(x), então a diferencial de y, demonstrada por dy, é dada por,dy = f

′

(x)∆x, em que x está no domínio de f′

e ∆x é um incremento arbitrário em x.

Ao se trabalhar com a função y = x, tem-se y′

= 1 e, consequentemente, dy = dx = ∆x,ou seja, dx = ∆x. Tem-se então a seguinte definição:

Definição 4.1.5. Seja y = f(x), então a diferencial de x, denotada por dx, é dada por, dx =∆x. Pode-se então escrever, dy = fxdx.


1. Da última relação segue-se que

dy

dx= f

′

(x),

isto é, f′

(x) pode ser visto como uma razão diferencial de uma função pela diferencialda variável independente.

2. Como dy = ∆y, quando ∆x = dx é suficientemente pequeno, conclui-se que a dife-rencial de y, dy, é o incremento de y, ∆y, são aproximadamente iguais quando dx ésuficientemente pequeno.

e tem-se as seguintes fórmulas diferencias:

1. d(c) = 0

2. d(cu) = cdu

3. d(u+ v) = du+ dv

4. d(uv) = udv + vdu

5. d(u

v

)

=vdu− udv

v2

6. d(un) = nun−1du

7. d(xn) = nxn−1dx

em que u e v são funções de x diferenciáveis, c é constante e n é um expoente racional.

Definição 4.1.6. Seja y = f(x), então a diferencial de ordem n é a diferencial da diferencialde ordem n− 1, ou seja,

dny = f (n)(x)dxn.

24

4.2 Aplicações de DerivadaTeorema 4.2.1. (ROLLE -1652/1719)Seja f(x) contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e que f(a) = f(b) = K. Então, existirá pelomenos um ponto x̄ tal que f

′

(x̄) = 0.

Teorema 4.2.2. (Cauchy)Sejam f(x) e g(x) contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b) com g(x) 6= 0 em (a, b). Existirá,então, pelo menos um ponto x̄ ∈ (a, b) tal que,

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=

f′

(x̄)

g′(x̄)

.

Teorema 4.2.3. (Lagrange)Seja f(x) contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existirá x̄ ∈ (a, b) tal que f(b)−f(a) =f

′

(x̄)(b− a).

4.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes

Pelo fato de a primeira derivada poder ser interpretada como a tangente do ângulo de tan-gência de uma reta a uma curva no ponto dado por (a, f(a)), ela poderá ser utilizada para aanálise da taxa de crescimento de uma função.

Teorema 4.2.4. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b).

1. Se f′

(x) > 0 para x ∈ (a, b) então f é crescente em [a, b]

2. Se f′

(x) < 0 para x ∈ (a, b) então f é decrescente em [a, b]

4.2.2 Extremos de Funções - Extremos Absolutos

Definição 4.2.1. O ponto c do domínio de uma função f é dito ponto crítico de f se uma dasseguintes condições for satisfeita:

1. f′

(c) existe e é zero.

2. f′

(c) não existe.

Definição 4.2.2. Seja f definida num intervalo I e c0 um ponto em I.

1. f(c0) é máximo absoluto em I se f(x) ≤ f(c0), x ∈ I

2. f(c0) é mínimo absoluto em I se f(x) ≥ f(c0), x ∈ I


1. Casos em que c0 é dito ponto de máximo absoluto e ponto de mínimo absoluto em I,respectivamente.

2. O conceito de máximo e mínimo absolutos são relativos a um dado intervalo.

Teorema 4.2.5. Se uma função é contínua num intervalo fechado [a, b] então f admite seumáximo e seu mínimo pelo menos uma vez em [a, b].

Observação 4.2.2. A prova deste teorema remonta na própria conceituação de números reaiscomo um corpo ordenado completo, assunto de topologia dos reais que transcende os objetivosmais aplicados deste curso.

25

4.2.3 Extremos de Funções - Extremos Relativos

Definição 4.2.3. Seja c um ponto no domínio da função f

1. f(c) é máximo relativo (ou local) se existir um intervalo aberto (a, b), contendo c tal quef(x) ≤ f(c), ∀x ∈ (a, b)

2. f(c) é mínimo relativo (ou local) se existir um intervalo aberto (a, b), contendo c tal quef(x) ≥ f(c), ∀x ∈ (a, b)


1. Pela definição acima, dado um intervalo I, a função f poderá ter vários máximos emínimos relativos, mas apenas um máximo e um mínimo absoluto, quando os tiver.

2. Algumas vezes os extremos relativos (máximos ou mínimos relativos) poderão coincidircom os extremos relativos.

Teorema 4.2.6. Se uma função é derivável em c e tem um extremo local nesse ponto, entãof

′

(c) = 0.

4.2.4 Condições Suficientes para Extremos Relativos e Funções Contínuas

Teorema 4.2.7. Seja c um valor crítico de f em (a, b). Seja ademais f contínua em [a, b] ederivável em (a, b), exceto, possivelmente, em c.

1. Se f′

(x) > 0 para a < x < c e f′

(x) < 0 para c < x < b, então f(x) é máximo relativoem c.

2. Se f′

(x) < 0 para a < x < c e f′

(x) > 0 para c < x < b, então f(x) é mínimo relativoem c.

4.2.5 Concavidade e a segunda derivada

Teorema 4.2.8. Seja f uma função e c um ponto de seu domínio em que f′′

(c) exista.

1. Se f′′

(c) > 0, então f(x) é côncava para cima.

2. Se f′′

(c) < 0, então f(x) é côncava para baixo.

Definição 4.2.4. Um ponto (c, f(c)) do gráfico de f , contínua e derivável em (a, b) contendoc é dito ponto de inflexão se uma das condições abaixo fica satisfeita:

1. Para a < x < c, f′

(x) é crescente e para c < x < b, f′

(x) é decrescente.

2. Para a < x < c, f′

(x) é decrescente e para c < x < b, f′

(x) é crescente.

4.2.6 Extremos relativos e a segunda derivada

Teorema 4.2.9. Seja f derivável num intervalo (a, b) contendo c e que f′

(c) = 0. Então,

1. Se f′′

(c) < 0, então f tem um máximo local em c.

2. Se f′′

(c) > 0, então f tem um mínimo local em c.

Teorema 4.2.10. Seja f(x) derivável até a terceira ordem e suponha que f′′

(c) = 0. Então, sef

′′′

(c) 6= 0, o ponto (c, f(c)) será um ponto de inflexão.

26

4.2.7 Regras de L’Hospital

Teorema 4.2.11. Se para x = a a fraçãof(x)

g(x)admite forma indeterminada

0

0mas

f′

(x)

g′(x)

não

é indeterminada nesse ponto, então

limx→a

f′

(x)

g′(x)

= limx→a

f(x)

g(x)

se o primeiro limite existir.

Teorema 4.2.12. Sef(x)

g(x)admite forma indeterminada

∞∞ quando x tende para a (finito ou

não), então,

limx→a

f′

(x)

g′(x)

= limx→a

f(x)

g(x)

se o primeiro limite existir.

Observação 4.2.4. A demonstração deste teorema é mais complicada pelo fato das funçõesserem ilimitadas.

4.3 Estudo Completo de uma funçãoA construção do gráfico de uma função é um dos objetivos importantes do estudo de derivada.Os elementos necessários para tal fim constam do roteiro a seguir:

1. Determinação do domínio.

2. Determinação das intersecções com os eixos, quando possível.

3. Determinação dos limites nos extremos do domínio e de possíveis assíntotas.

4. Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) epossíveis assíntotas.

5. Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e de possíveis pontos demáximo e mínimo.

6. Determinação dos intervalos em que a função é côncava para cima ou para baixo e depossíveis pontos de inflexão.

7. Esboçar o gráfico de f(x).

4.4 Fórmulas de Taylor e MaclaurinSeja f uma função e n um número inteiro positivo, tal que a derivada fn+1(x) exista para todox em um intervalo I. Se a e x são números distintos em I. Então existe um número z entre a ex tal que:

f(x) = f(a) +f

′

(a)

1!(x− a) +

f′′

(a)

2!(x− a)2 + · · ·+

+fn(a)

n!(x− a)n +

fn+1(z)

n+ 1!(x− a)n+1

A soma dos n + 1 primeiros termos do membro direito da equação acima é denominadoPolinômio de Taylor (Px(n)) de grau n de f no ponto a.

27

A fórmula de Maclaurin é um caso especial de Taylor quando a = 0, ou seja,

f(x) = f(0) +f

′

(0)

1!x+

f′′

(0)

2!x2 + · · ·+

+fn(0)

n!xn +

fn+1(z)

n+ 1!(x− a)n+1

Observação 4.4.1. Para mais detalhes veja LASKOSKI, G.T., Fórmulas de Taylor e Maclaurin

(Cálculo Diferencial e Integral I), UTFPR, Curitiba, 2007.

Capítulo 5

Integração

5.1 A Integral IndefinidaDefinição 5.1.1. A função F (x) é chamada antiderivada da função f(x) no intervalo [a, b] seF

′

(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].

Observação 5.1.1. É fácil verificar que se, para uma dada função f(x) existe uma antideri-vada, então esta antiderivada não é única.

Teorema 5.1.1. Se F é uma função tal que F′

(x) = 0 para todos os valores de x no intervalo[a, b], então F é constante em I.

Teorema 5.1.2. Se F e G são duas funções tais que F′

(x) = G′

(x) para todos os valores dex no intervalo [a, b], então existe uma constante C tal que F (x) = G(x) + C para todo x em[a, b].

Teorema 5.1.3. Se F (x) é uma antiderivada qualquer de f(x) em um intervalo [a, b], então aantiderivada mais geral de f em [a, b] é dada por

F (x) + C (5.1)

em que C é uma constante arbitrária e toda antiderivada de f(x) em [a, b] pode ser obtida de5.1 atribuindo valores específicos a C.

Definição 5.1.2. Seja a função F (x) uma antiderivada de f(x), então a expressão F′

(x) + C

é a integral indefinida da função f(x) e é denotada pelo símbolo∫

f(x)dx.


1. Uma integral indefinida é uma família de funções y = F (x) + C

2. Da definição 5.1.2 segue que:

(a)(∫

f(x)dx

)′

= (F (x) + C)′

= F′

(x) = f(x)

(b) d

(∫

f(x)dx

)

= f(x)dx

(c)∫

dF (x) =

∫

f(x)dx = F (x) + C

3. Tabela Básica

30

Teorema 5.1.4.∫

[f1(x) + f2(x)] dx =

∫

f1(x)dx+

∫

f2(x)dx

Teorema 5.1.5.∫

af(x)dx = a

∫

f(x)dx, a constante.

Teorema 5.1.6. Se∫

f(x)dx = F (x) + C, então∫

f(ax+ b)dx =1

aF (ax+ b) + C

5.1.1 Regra da Substituição

Definição 5.1.3. Se u = g(x) for uma diferencial cuja imagem é um intervalo I e f forcontínua em I, então

∫

f(g(x))g′

(x)dx =

∫

f(u)du


1. Observe regra da substituição para a integração utiliza-se do artifício da regra da cadeiapara diferenciação, assim tem-se a observação a seguir:

(a) A regra da substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após ossinais de integrais como se fossem diferenciais.

5.1.2 Integração por Partes

Teorema 5.1.7. Sejam u = u(x) e v = v(x) duas funções diferenciáveis. Então∫

u(x)v′

(x)dx = u(x)v(x)−∫

v(x)uxdx

Observação 5.1.4. Como du = u′

(x)dx e dv = v′

xdx, a expressão acima pode ser escrita emsua forma mais conhecida

∫

udv = uv −∫

vdu

5.2 A Integral DefinidaDefinição 5.2.1. Se f é uma função contínua definida por a ≤ x ≤ b, divide-se o intervalo [a, b]

em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x =b− a

n. Seja x0(= a), x1, x2, · · · , xn(= b) e

extremos desses intervalos e suponha escolher-se os pontos amostrais x∗1, x∗

2, · · · , x∗n, nessessubintervalos de tal forma que x∗i está no i-ésimo intervalo [xi−1, xi]. Então a integral definidade f é

∫ b

a

f(x)dx = limx→∞

n∑

i=1

f(x∗i )∆x

5.2.1 Propriedades

Teorema 5.2.1. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] e K é um número constante,

então Kf também é integrável em [a, b] e∫ b

a

Kf(x)dx = K

∫ b

a

f(x)dx.

Teorema 5.2.2. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b], então f + g é também

integrável no intervalo [a, b] e∫ b

a

[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx.

31

Teorema 5.2.3. Se f é uma função integrável em [a, b] e se f(x) ≥ 0 para todos os valores de

x em [a, b], então∫ b

a

f(x)dx ≥ 0

Observação 5.2.1. O Teorema 5.2.3 é facilmente mostrado/interpretado geometricamente,por definição!

Teorema 5.2.4. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b] e se f(x) ≤ g(x) é válido

para todos os valores de x no intervalo [a, b], então∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.


Teorema 5.2.5. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] e K é um número constante,

então Kf também é integrável em [a, b] e∫ b

a

Kf(x)dx = K

∫ b

a

f(x)dx.

Teorema 5.2.6. Se f e g são funções integráveis no intervalo [a, b], então f + g é também

integrável no intervalo [a, b] e∫ b

a

[f(x) + g(x)] dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx.

Teorema 5.2.7. Se f é uma função integrável no intervalo [a, b] então |f | também o será e∣

∣

∣

∣

∫ b

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

<

∫ b

a

f(x)dx.

Teorema 5.2.8. Para quaisquer três número a, b e c a igualdade∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +∫ b

c

f(x)dx é verdadeira, se as integrais existirem.


Teorema 5.2.9. (Teorema do Valor Médio Para Integrais)Suponha que f seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Então, existe um número c em

[a, b] tal que∫ b

a

f(x)dx = (b− a)f(c).

5.3 Teorema Fundamental do Cálculo (Newton-Leibniz)Teorema 5.3.1. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e suponha que a é umnúmero fixo neste intervalo. Define-se a função g com domínio [b, c] por

g(x) =

∫

f(t)dt ∀ x ∈ [a, b]

Teorema 5.3.2. Se F (x) é uma antiderivada da função contínua f(x), então vale,∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)


1. É comum adotar-se a notação

F (b)− F (a) = F (x)|ba = [F (x)]ba.

2. Quando se utiliza alguma técnica de integração (parte ou substituição) deve-se atentaraos limites de integração.

32

5.4 Integrais Impróprias

Definição 5.4.1. Se existe um limite finito limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx então este limite é chamado a in-

tegral imprópria da função f(x) no intervalo [a,+∞) e é denotado pelo símbolo∫ +∞

a

f(x)dx.

Então, por definição,∫ +∞

a

f(x)dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx. Neste caso, é dito que a integral

imprópria∫ +∞

a

f(x)dx converge. Em caso contrário, ela é dita divergente.

Similarmente, define-se as integrais impróprias de outros intervalos infinitos:∫ +∞

−∞

f(x)dx = lima→−∞

∫b

af(x)dx

∫ +∞

−∞

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx

Teorema 5.4.1. Se para todo x(x ≥ a) a desigualdade 0 ≤ f(x) ≤ g(x) é válida e se∫ +∞

a

g(x)dx converge, então∫ +∞

a

f(x) também converge e∫ +∞

a

f(x)dx ≤∫ +∞

a

g(x)dx.

Teorema 5.4.2. Se para todo x(x ≥ a) é válida a desigualdade 0 ≤ f(x) ≤ g(x) e se∫ +∞

a

g(x)dx diverge, então∫ +∞

a

f(x) também diverge.

Teorema 5.4.3. Se a integral∫ +∞

a

|f(x)|dx converge, então a integral∫ +∞

a

f(x)dx também

converge.

Definição 5.4.2. Suponha a função f definida no intervalo (a, b] e integrável em todo intervalo

da forma [a+ c, b]. Então, por definição,∫ b

a

f(x)dx = limc→0+

∫ b

a+c

f(x)dx.

Se limc→0+

∫ b

a+c

f(x)dx existe e é finito, diz-se que a integral imprópria∫ b

a

f(x)dx é conver-

gente; caso contrário, ela é dita divergente.

De forma análoga,∫ b

a

f(x)dx = limc→0+

∫ b−c

a

f(x)dx no caso em que f(b) não é definido e∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx no caso em que f(c) não é definido, a < c < b.

Teorema 5.4.4. Se no intervalo [a, c] as funções f(x) e g(x) não são definidas em c e em todos

os pontos do intervalo é válida a desigualdade g(x) ≥ f(x) ≥ 0, e∫ c

a

g(x)dx converge, então∫ c

a

f(x)dx também converge.

Teorema 5.4.5. Sejam f(x) e g(x) funções não definidas em c do intervalo [a, c]. Se é válida

a desigualdade f(x) ≥ g(x) ≥ 0, e∫ c

a

g(x)dx diverge, então∫ c

a

f(x)dx também diverge.

Teorema 5.4.6. Seja f(x) definida em [a, c], descontínua apenas no ponto c. Se a integral

imprópria∫ c

a

|f(x)|dx converge, então∫ c

a

f(x)dx também converge.

Capítulo 6

Funções Beta e Gama

6.1 Função GamaDefinição 6.1.1. Definida pelo matemático Leonard Euler, a função gama representada porΓ(n), é definida por:

Γ(n) =

∫ +∞

0xn−1e−xdx

Γ(n) é uma função convergente quando n > 0.

6.1.1 Fórmula de Recorrência

Seja

Γ(n+ 1) = nΓ(n)

Esta expressão pode determinar Γ(n) para todo n > 0. Em particular, se n é um número inteiropositivo, então:

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n! (n = 1, 2, 3, · · · ).

A função gama generaliza a função fatorial.

6.2 Função Gama

6.2.1 Função Gama para 0 < n < 1

Para 0 < n < 1, obtém-se a relação dos complementos dada por:

Γ(n)Γ(1− n) =π

sennπ

n =1

2⇒ Γ

(

1

2

)

Γ

(

1

2

)

=π

senπ

2

= π

[

Γ

(

1

2

)]2

= π ⇒ Γ

(

1

2

)

=√π

Então:

Γ

(

1

2

)

=√

(π)

Γ

(

3

2

)

=

(

3

2− 1

)

Γ

(

1

2

)

=1

2

√

(π) =

√

(π)

2

34

6.2.2 Função Gama para n < 0

Da relação de recorrência Γ(n+1) = nΓ(n), que toma Γ(n) como definição para n > 0, pode-segeneralizar a função gama para n < 0, isolando Γ(n):

Γ(n) =Γ(n+ 1)

n

Então:

Γ

(

−1

2

)

=

Γ

(

−1

2+ 1

)

−1

2

=

Γ

(

1

2

)

−1

2

=

√π

(

−1

2

) = −2√π

Observação 6.2.1. A função1

Γ(n)está definida para todo n ∈ R e se anula nos pontos

· · · ,−2,−1, 0, pois Γ(n) é infinita. Em outras palavras, a singularidade que a função teria

nos pontos pode ser removida colocando o valor da função como sendo 0. f(n) =1

Γ(n).

6.3 Função BetaDefinição 6.3.1. Seja

B(m,n) =

∫ 1

0xm−1(1− x)n−1dx

B(m,n) é uma função convergente quando m > 0 e n > 0.

6.3.1 Definições Recorrentes:

1. Propriedade Comutativa

B(m,n) = B(n,m)

2. Cálculo Direto

B(m,n) =(n− 1)!

Πn−1i=0 (m+ i)

3. Função Beta em relação à função Gama

B(m,n) =Γ(m)Γ(n)

Γ(m+ n)

4. Relação dos Complementos: se m+ n = 1, com 0 < n < 1 ⇒ m = 1− n, então:

B(m,n) = B(1− n,m) =Γ(1− n)Γ(n)

Γ(1− n+ n)= Γ(1− n)Γ(n) =

π

sennπ

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Universidade de São Paulo · 2.4 Gráﬁco da função f(x) = 1 ... Trinômio do 2o grau ax2 +bx+c = a(x−r1) ... o binômio de Newton não foi objeto de estudo de Newton. A fórmula