Newton mecânica ufpb

7/21/2019 Newton mecnica ufpb

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Mecanica Classica 1 (DF/UFPE)

Sumario

1 Mecanica newtoniana 5

1.1 As leis de Newton do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Estatica, ou a arte de ficar parado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Utilidade dos vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Distribuicao da forca de sustentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Dinamica newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Modelos de forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 A mecanica em referenciais nao inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.1 Referencial em movimento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.2 Referencial em movimento de rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.5 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.5.1 Forcas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.5.2 Conservacao da energia em campo de forcas conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.5.3 Movimento unidimensional em campo de forcas conservativo . . . . . . . . . . . . . . 69

1.5.4 Movimento em duas dimensoes: interacao gravitacional entre dois corpos . . . . . . . 74

1.5.5 Movimento de uma partcula em campo de forcas central . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.5.6 Movimento em duas dimensoes: espalhamento de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . 91

2 Formulacao lagrangiana da mecanica newtoniana 97

2.1 Princpio de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.1.1 Vnculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

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Notas de Aula - Alessandro S. Villar

2.1.2 Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.1.3 Equacoes de movimento segundo o princpio de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.2 Trajetoria como curva extremal e o princpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.2.1 Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.2.2 Equacao de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.2.3 Equacao de Euler-Lagrange e o princpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3 Mecanica lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.3.1 Primeiras integrais: Leis de conservacao e simetrias de transformacao . . . . . . . . . 115

2.3.2 Aplicacao: Campo de forcas central revisitado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.3.3 Forca de atrito e funcao de dissipacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.3.4 Teorema do virial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.3.5 Vnculos: Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.3.6 Palavras finais sobre o formalismo lagrangiano da mecanica . . . . . . . . . . . . . . . 138

3 Mecanica dos corpos rgidos 141

3.1 Corpo rgido em duas dimensoes do espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.1.1 Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.1.2 Teorema dos eixos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.1.3 Momento angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.1.4 Torque e equacao de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.2 Corpo rgido em tres dimensoes do espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.2.1 Notacao e digressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.2.2 Tensor de inercia e momento angular em tres dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.2.3 Tensor de inercia no limite contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.2.4 Representacao matricial do tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.2.5 Eixos principais de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.2.6 Teorema dos eixos paralelos em tres dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.2.7 Energia cinetica de rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

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3.3 Rotacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.3.1 Representacao matricial das rotacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.3.2 Rotacoes infinitesimais em tres dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.3.3 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.4 Equacoes de Euler para a dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.4.1 Angulos de Euler como coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.4.2 Equacoes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.4.3 Movimento livre do corpo rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.4.4 Formulacao de Euler para o movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.5 Formulacao lagrangiana da dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3.5.1 Obtencao das equacoes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3.5.2 Primeiras integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

3.5.3 Piao de brinquedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

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Captulo 1

Mecanica newtoniana

A mecanica newtoniana se dispoe a resolver o problema dedescrever o movimentode corpos no espaco

como consequencia das interacoes entre eles e com o mundo externo. Os conceitos fundamentais utilizados

para isso sao posicao e tempo. Atraves deles se constroem conceitos derivados tais como velocidade

(quantidade de variacao da posicao pela quantidade de tempo no qual ocorre) e aceleracao (mesma ideia,

porem aplicada a velocidade). Descrever o movimento significa, entao,saber determinar as posicoes espaciais

dos objetos de interesse para qualquer valor do parametro tempo.

Para entender melhor o que a mecanica newtoniana se propoe a descrever, e igualmente interessante ter

em mente o que ela naobusca descrever. Antes de tudo, esta fora do escopo da mecanica entender a natureza

fundamental das interacoes, ou seja, o motivo fsico e as grandezas relevantes que determinam as formas deinteracao a causar o movimento. Longe de ser uma limitacao, essa renuncia racional a tentacao de explicar

tudo torna as leis newtonianas muito gerais, sendo na verdade evidencia do poder de abstracao de Newton.

Tambem nao faz parte da ambicao descritiva da mecanica newtoniana formar um quadro fundamental da

natureza do movimento: sua ambicao principal e ser funcional. E, nessa ansia pela simplicidade, ela fornece

o primeiro passo necessario para atingir conceitos fundamentais. Como veremos mais a frente, conceitos

gerais capazes de elucidar melhor a natureza do movimento, e que por serem mais fundamentais acabariam

por resvalar em outras areas da fsica, so seriam vislumbrados muito depois de Newton, com a invencao dos

formalismos lagrangiano e hamiltoniano da mecanica.

De fato, as tres leis do movimento de Newton nao parecem mesmo leis gerais com insight profundo

sobre a natureza do movimento, mas sim um conjunto auto-consistente de postulados mais ou menos sados

da Idade Media e embasados na experimentacao e em conceitos intuitivos como tempo e espaco. O poder

de previsao das leis de Newton decorre de buscarmos no quadro geral vislumbrado por Newton, sabendo-o

autoconsistente, as pecas faltantes. Para embasar essa forma de interpretar o escopo das leis de Newton,

analisamos suas leis em detalhe.

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1.1 As leis de Newton do movimento

A primeira lei estabelece que um corpo se move com velocidade constante a nao ser que uma forca aja

sobre ele. Esse postulado faz referencia aos conceitos de velocidade, significando a taxa temporal com que

a posicao do corpo varia, e de forca, que fica sem significado ate aqui. A forma mais logica de entender o

postulado e como uma definicao operacional do palco onde os proximos postulados devem valer: antes de

aplicar as demais leis, o experimentador precisa estar num referencial em que vale o primeiro postulado.

O conteudo fsico da primeira lei consiste em reconhecer que referenciais que se movam com velocidade

relativa constante observarao o mesmo tipo de fsica do movimento, uma afirmacao pouco intuitiva ate ter

sido enunciada por Galileu Galilei algum tempo antes. Podemos dizer que, na descricao geral do movimento,

Galileu Galilei chegou ate a (ou parou a, para os pessimistas). A sntese da primeira lei se faz dando-se

um nome aos palcos p ossveis em que valem as leis de Newton: o referencial inercial. Esse referencial

nao precisa ser aquele em que se realizam os experimentos, desde que o experimentador saiba como abstrairpara obter um desses em sua interpretacao dos dados. Os proximos postulados nos auxiliam nessa tarefa.

A segunda lei de Newton nos diz que o movimento de um corpo sob a cao de uma forca e tal que ataxa

de variacao de seu momento e igual a forca. A grandeza fsica com papel central na dinamica newtoniana

e o momento, definido externamente ao postulado como o produto da massa do corpo por sua velocidade.

Notemos que o conceito de massanao esta definido ainda, mas que seu papel e calibrar o quanto avelocidade

de um corpo deve variar sob a acao de uma forca. Dessa forma, a segunda lei incorpora implicitamente

no formalismo a existencia de uma propriedade intrnseca (massa) a cada corpo para reconhecer que a

acao da mesma forcapode acelerar diferentemente corpos distintos. Assim, o efeito de um forca sobre um

corpo (aceleracao) depende tambem de uma propriedade intrnseca a ele. A forca continua sem definicao

fundamental, vista como algo operacional responsavel pela mudanca temporal do momento.

O principal conteudo fsico da segunda lei e colocar o momento no centro da dinamica e sua variacao,

proporcional a aceleracao da partcula, como consequencia de uma grandeza unica, a forca, responsavel por

mudar a trajetoria com relacao aquela padrao definida na primeira lei. Podemos entao dizer que a forca

e definida como aquilo que causa uma variacao no momento, e deixar para o experimento determinar o

campo de forcas e as propriedades intrnsecas de que ele depende. Caso as forcas possveis na natureza

fossem altamente variaveis de uma partcula para outra e/ou dependentes de uma infinidade de parametros

intrnsecos, seu conceito seria pouco util; felizmente para Newton (e para nos!), as forcas conhecidas nanatureza apresentam formas bem amigaveis e dependentes de poucos parametros intrnsecos. De fato,

podemos dizer que o universo como Newton conhecia pode ser explicado por apenas dois tipos de interacao:

a gravitacional e a eletromagnetica, ambas variaveis apenas do espaco (e nao do tempo) e dependentes de

uma unica propriedade intrnseca (a carga gravitacional no primeiro caso, e a carga eletrica no segundo).

Notemos tambem que ja se inclui a primeira lei na estrutura matematica da segunda, pois uma mudanca

no vetor velocidade da partcula por uma constante (troca de referencial) nao afeta a aceleracao observada

(efeito da forca), ou seja, uma forca tem o mesmo efeito em qualquer referencial inercial. E possvel in-

terpretar a primeira e a segunda lei em conjunto como uma aproximacao em serie da posicao futura do

objeto, utilizando ideias do calculo diferencial criado por Newton. A primeira lei nos indica que conhecera velocidade do objeto nos permite inferir a linha reta que ele deve seguir como padrao; a segunda, como

corrigir essa linha em primeira aproximacao para pequenos deslocamentos. E interessante notar que Newton

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nao continuou ate ordens mais altas, parando a mesmo na aceleracao, o que indica novamente o pensamento

diferencial utilizado por Newton: o proximo ponto da trajetoria e obtido apenas pela posicao e pelo mo-

mento instantaneo (primeira lei), desde que este ultimo seja corrigido em primeira ordem pelas forcas que

agem sobre o sistema desde o ultimo valor assumido (segunda lei). As correcoes de ordem mais alta com

relacao a um ponto se incluem automaticamente no formalismo pelo calculo da trajetoria ponto a ponto (i.e.pela forma diferencial do enunciado).

A terceira lei nos ajuda a entender como operar com as demais e nisso determina caractersticas fsicas

fundamentais das interacoes newtonianas. Ela estabelece que se dois corpos exercem forcas mutuas, essas

duas forcas possuem a mesma magnitude e sentidos opostos de uma mesma direcao. Alem de mencionar

explicitamente o carater vetorial (direcao, sentido e magnitude) das grandezas de interesse (velocidade,

momento e forca), a terceira lei define toda interacao como ocorrendo aos pares. Se dois corpos interagem

causando forcas mutuas, isto e, se o corpo 2 causa uma forca F1p2q ao agir sobre o corpo 1, e vice-versa para

definirmos F2p1q, entao vale de acordo com a terceira lei que

F1p2q F2p1q. (1.1)

Essa e uma caracterstica fundamental imposta a toda forca consistente com as leis de Newton e suas

consequencias. Voce vera ao longo do curso que existem casos em que ela ter a de ser adaptada para lidar

com efeitos desconhecidos a epoca de Newton. No entanto, dentro do contexto conhecido por ele, a terceira

lei encontra validade universal na descricao do movimento.

Usamos agora a segunda lei para entender o que a Eq. (1.1) implica para os momentos das duas partculas

(ate porque nao sabemos nada sobre as forcas alem de que elas fornecem as variacoes dos respectivos

momentos!). Para tanto, escrevemos a segunda lei em forma vetorial como

d

dtp F , (1.2)

da qual se deduz, em combinacao com a terceira lei, que

F1p2q ` F2p1q d

dtpp1 ` p2q 0 (1.3)

se apenas forcas mutuas agirem sobre os dois corpos. Pelo fato de que as for cas agindo internamente a um

sistema de partculas podem ser entendidas como uma serie de pares independentes, vale implicitamente

a linearidadedas interacoes, ou seja, o efeito total de todas as interacoes das quais participa um corpo e

obtido somando-se vetorialmente o efeito de cada um dos pares de interacao. Podemos rotular cada partcula

desse sistema por um ndice i 1, 2, . . . N (em que N e o total de partculas) e somar todas as equacoesindependentes similares a Eq. (1.3) para escrever

d

dtP 0, em que P

Ni1

pi, (1.4)

se apenas ocorrem interacoes entre as partculas do sistema (forcas internas) e nada externo a elas as

influencia (sistema isolado).

Assim, de um punhado de postulados pouco claros e baseados em conceitos com significado implcitoapelando ao intuitivo humano como tempo e espaco, as leis de Newton determinam que existe uma quan-

tidade que nao varia no tempo no meio de todas as outras coisas variando: a soma total dos momentos de

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partculas num sistema isolado e uma constante do movimento. Apesar de pouco obvio de se deduzir pela

mera observacao do movimento, esse resultado podia ser facilmente testado em experimentos na epoca.

Outra consequencia da terceira lei de Newton e a definicao operacional de massa do ponto de vista

experimental. Tomando ainda as duas partculas isoladas do mundo externo, a Eq. (1.3) nos permite

deduzir, utilizando a definicao de momento em termos da massa me velocidadev de uma partcula como

p mv, (1.5)

que a terceira lei na forma da Eq. (1.3) implica em

a1 m2m1

a2, (1.6)

em que se denotou a aceleracao da partcula como ai ddtvi. Portanto, o efeito fundamental de qualquerinteracao newtoniana deve ser acelerar pares de partculas em sentidos opostos de uma mesma direcao e

na razao inversa de suas massas, uma vez que vale para as magnitudes das aceleracoes das partculas quea1{a2 m2{m1. Todo o movimento, segundo Newton, se reduz a isso: essa e a sntese do movimento.

Esse fato nos permite empregar uma massa de prova em relacao a qual todas as outras massas sao

definidas. Podemos entao medir a grandeza massade uma partcula fazendo-a interagir isoladamente com

a massa de prova num referencial inercial e medindo a razao entre as suas aceleracoes. O significado fsico

mais profundo da massa, no entanto, permanece oculto ao formalismo newtoniano. Definindo a coisa por

seu efeito, as equacoes de Newton permitem dizer que maior massa implica em menor aceleracao, e vice-

versa, de onde surge a ideia de inercia: a massa e a propriedade da partcula cujo efeito e tornar seu

movimento menos suscetvel a acao de uma forca. A mecanica de Newton nao permite ir alem disso. As

proximas conexoes conceituais interessantes teriam de esperar ate o seculo XX, quando Einstein conectaria

primeiramente massa a energia, e logo depois a algo capaz de modificar a geometria do espa co e do tempo.

Mas tudo o que conclumos acima so vale se pudermos encontrar um referencial inercial. Nisso a terceira

lei tambem nos a juda. Para determinarmos experimentalmente a validade de aplicacao das leis de Newton,

nao e necessario desligar todas as forcas para primeiro garantir que todas as partculas se movem uniforme-

mente em nosso referencial para so entao ligar de volta as forcas para observar sua dinamica, como parece

implicar o primeiro postulado, mas apenas ser capaz de subtrair de alguma forma os efeitos de todas as

forcas externas agindo sobre o referencial. Existem varias formas de se fazer isso.

Uma forma possvel seria monitorar os momentos de todas as partculas no referencial e soma-los para

detetar sua necessaria constancia, como dita a Eq. (1.4). Se constante, provamos que apenas forcas internas

agem nas partculas, e podemos garantir com tranquilidade nosso referencial de medida como inercial. Caso

contrario, tentamos achar o par acao-reacao a causar a variacao do momento das partculas monitoradas.

Se o encontrarmos, temos uma solucao simples para definirmos o referencial inercial, que consiste em incluir

o objeto causador das perturbacoes em nosso sistema monitorado, de onde forcamos a validade da Eq. (1.4).

Se ainda detetarmos variacoes temporais no momento total, podemos continuar procurando mais pares de

acao-reacao externos ao sistema, e assim sucessivamente, ate encontrarmos todos e com isso finalmente

declararmos o referencial de medida como inercial. Um comentario digno de nota e o seguinte: e impossvel

do ponto de vista pratico encontrar todos os pares de acao-reacao agindo sobre um sistema. Sabemos que hapelo menos um tipo de forca de longo alcance (gravitacional) existente no universo que nos impede de isolar

rigorosamente qualquer sistema. Devemos aqui utilizar o fato realista de que ha sempre precisao finita nas

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medidas e notar que a razao das magnitudes de diferentes efeitos pode tornar alguns deles desprezveis para

o tipo de descricao intentada. E sempre nesse sentido realista que devemos definir um referencial inercial:

a aceleracao nao-inercial residual deve ter efeito (sobre o movimento) menor do que a sensibilidade das

medidas disp onveis.

Uma outra solucao consiste em mapear o campo de forcas externo a perturbar o sistema, utilizando

para tanto cada partcula como corpo de prova ate aprendermos como a forca externa atua sobre cada uma

delas (em especial, se existe alguma propriedade nova que precisa ser levada em conta, tal como e.g. carga

eletrica). Essa solucao e mais realista e corresponde ao que fazemos em geral para entendermos como forcas

atuam. No caso especial em que o campo de forcas externo tem o mesmo efeito sobre todas as partculas

(i.e. causa-lhes o mesmo vetor aceleracao), entao a solucao mais simples e seguir junto com a forca, como

se faz e.g. ao simular-se um referencial livre de forcas no interior de um aviao em queda livre (ou em orbita

da Terra, o que e a mesma coisa), assim definindo um referencial inercial de medida. Por fim, outra solucao

pratica consiste em descrever o movimento apenas nas direcoes ortogonais a forca externa, como e.g. na

colisao de bolinhas confinadas a superfcie horizontal de uma mesa. Nesse caso, a mesa cancela o efeito

de forcas externas na vertical desde que as bolinhas se mantenham em contato com sua superfcie. Mas

ainda que a mesa nao estivesse la, e ainda que a forca variasse em magnitude entre as diferentes partculas

e no tempo, o movimento no plano ortogonal a direcao da forca seguiria aquele de um referencial inercial,

bastando para isso que a forca mantivesse sua direcao constante. Como se pode ver, as leis de Newton

sao uteis porque existem varias formas de abstracao capazes de encontrar um referencial inercial quando se

precisa dele!

A superfcie da Terra e o referencial de fato utilizado na grande maioria dos problemas praticos (e onde

Newton se encontrava quando inventou suas leis da mecanica!). Ele e claramente um referencial nao-inercial,o que pode ser verificado soltando um objeto no ar e notando que ele nao se move com velocidade constante.

No entanto, aqui funciona a abstracao de subtrair o efeito de um certo modelo de campo de for cas para

obter abstratamente um referencial inercial no qual se podem aplicar os postulados de Newton. Assim, o

referencial da superfcie da Terra pode ser entendido (ate certa precisao!), para efeito de aplicacao das leis

de Newton, como se fosse um referencial inercial no qual um campo de forcas gravitacional foi ligado.

Em resumo, os postulados de Newton formam uma estrutura auto-consistente cuja validade no contexto

do experimento pode ser testada por medidas factveis. Os dois primeiros postulados nos fornecem o contexto

de validade desse formalismo. O primeiro estabelece o palco onde funciona a descricao do movimento, o

referencial inercial, e o segundo define o efeito de uma for ca sobre a quantidade fsica central no formalismo

para a descricao do movimento, o momento. O terceiro postulado possui praticamente todo o conteudo

fsico de como devem ser as forcas ao lhes impor acao entre pares de partculas e as magnitude e direcao

relativa dessa acao.

Para finalmente comecarmos a descrever o movimento, precisamos descobrir expressoes para as forcas

em funcao das posicoes no espaco, do tempo, e de caractersticas relevantes das partculas. Isso so pode ser

feito experimentalmente, uma vez que a mecanica de Newton nao preve nem os tipos de interacoes possveis

nem a origem fsica ultima das mesmas.

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1.2 Estatica, ou a arte de ficar parado

A aplicacao a primeira vista mais trivial das leis de Newton diz respeito as coisas paradas, ou melhor,

as coisas que se movem como estabelece o primeiro postulado de Newton. Mas, apesar das aparencias, nao

ha nada de trivial aqui. O formalismo newtoniano permite descrever as forcas de compressao e tracao agindosobre estruturas em geral, e com isso avaliar a estabilidade das mesmas.

Vamos considerar nesta secao sempre o referencial em que o sistema sob estudo permanece em repouso,

por simplicidade, ate porque os sistemas considerados na estatica quase sempre nao sao isolados de forcas

externas, mas se localizam sobre a superfcie da Terra sob a acao de campo de forcas gravitacional. Esse

campo aponta na vertical com relacao ao solo, no sentido de cima para baixo, e tem a propriedade peculiar

de que a magnitude da forca depende da massa inercial m do objeto, ou seja,

F

mg, (1.7)

em queg e a aceleracao gravitacional local.

A estatica considera o problema de averiguar ou garantir que um corpo ou conjunto de corpos fique

em repouso exatamente na posicao escolhida. Queremos saber como fazer todas as partes de um corpo

possurem aceleracao zero. Deve valer, entao, que Fi 0 para toda partcula microscopica i constituindoum corpo macroscopico.

Considere um simples bloco rgido repousando sobre superfcie. Pense

numa partcula microscopica com massa dm constituindo a superfcie

superior do corpo. Sobre ela age a forca gravitacional com magnitude

dP gdm. Essa forca normalmente aceleraria a partcula para baixo.No entanto, como ela esta presa ao material, permanece parada. Isso so

pode ocorrer se o corpo exerce forca que balanceie exatamente a forca gra-

vitacional. A natureza dessaforca de reacao nao e obvia, mas alguns fatos

simples sobre ela podem ser estabelecidos. Por exemplo, se cortarmos o

corpo na metade, e afastarmos a metade que nao contem a partcula, esta

permanecera no mesmo local sem ser perturbada. Podemos continuar esse processo de cortar fora peda cos

do corpo rgido, desde que nao removamos material sob a partcula, e mesmo assim ela mantera seu estado

de equilbrio estatico. Isso nos indica que a forca de reacao1 nao age a distancia, mas deve ser uma forcalocal de contato. Com isso queremos dizer que sua atuacao requer proximidade muito maior do que nossa

precisao de observacao. O fato de o material sob a partcula nao poder ser removido junto com o material a

seu redor sem alterar sua posicao ou velocidade pode nos indicar que essa forca de contato age ao longo de

toda uma coluna vertical de partculas (empilhadas por forcas locais de contato) ate chegar na partcula da

superfcie. Portanto, e como se a forca peso da partcula estivesse comprimindo todas as partculas abaixo

dela, que reagem por contato local umas sobre as outras ate que, na posicao da partcula na superfcie, a

forca de reacao cancele sua forca peso. No entanto, alguem pode notar, e possvel tambem remover material

sob a partcula, desde que dessa vez preservemos material na superfcie de forma a sustentar a partcula

nessa nova situacao. No caso extremo, podemos remover todo o material do bloco, deixando apenas suas1Apesar do nome, a forca de reacao nao constitui o par acao-reacao da forca peso, papel destinado a forca gravitacional com

que o corpo, por sua vez, atrai a Terra para si.

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quatro arestas verticais e a superfcie superior: temos uma mesa. Tambem nesse caso a partcula deve

permanecer imovel se o material for um corpo rgido ideal (i.e. indeformavel).

A diferenca entre as duas situacoes acima e a forma como a forca peso da partcula que, queremos,

fique parada, se distribui nas partculas vizinhas. E interessante notar que nos dois casos a soma de todas

as forcas de contato a atuar na partcula deve resultar no oposto exato de sua forca peso, quer as forcas

parciais venham de baixo ou pela lateral da partcula. De fato, essa e a definicao de um corpo rgido perfeito:

as forcas de coesao a unir suas partculas se opoem de forma a compensar qualquer perturbacao externa,

mantendo constantes suas posicoes relativas. A distribuicao do peso em estruturas e o problema pratico

mais importante da estatica.

Mas nao existem corpos rgidos ideais, e com um pouco mais de investigacao experimental podemos

aprender mais uma coisa importante sobre esse tipo de forca de contato: ela sempre vem acompanhada

de uma deformacao, que pode ser tanto na direcao da forca resultante (tracao ou compressao), quanto

em alguma direcao ortogonal (cisalhamento). Alem disso, para deformacoes reversveis (i.e. se o corporetorna ao mesmo formato quando a forca de reacao cessa), a magnitude da forca de reacao e proporcional

a magnitude da deformacao (relacao linear).

Podemos utilizar a condicao de coesao de um corpo para simplificar a atuacao do campo gravitacional

sobre ele. Cada pedacinho do corpo e puxado para baixo pela forca peso d P g dm, que e entao balanceadapela forca de contato d Fc advinda dos elementos vizinhos. A condicao de coesao do corpo implica em

2

d Fc d P. O par de reacao d Rc da forca de contato atuando sobre esse pedacinho e a forca com que omesmo, por sua vez, puxa para baixo seus elementos vizinhos, efetivamente repassando-lhes seu peso, i.e.

d Rc

d Fc de acordo com a terceira lei de Newton. Isso ocorre para cada pedacinho do corpo. Como cada

forca de contato diferencial e criada por seus vizinhos para cancelar exatamente sua forca peso, vemos que

essas forcas sempre se anulam localmente. Resta, p ortanto, apenas o efeito das forcas de reacao as forcas

de contato, que, somadas, fornecem

RcV

d Rc

3a lei

V

d Fc

coesaoV

d P P , (1.8)

em que as integrais sao realizadas sobre o volume Vdo bloco. Assim, formalmente, o que puxa para baixo

um corpo rgido e a resultante dos pares de reacao as forcas locais de coesao, e nao o peso3!

No final, e como se a gravidade tratasse o corpo como um objeto pontual contendo toda a massa

concentrada. Podemos, assim, ignorar todas as forcas de vnculo atuando internamente ao corpo e substitu-

las por seu efeito (o corpo permanece coeso, i.e. a aceleracao relativa entre seus elementos deve ser nula),

para entao comecarmos a interpretar o corpo rgido extenso (para efeito da dinamica) como se fosse uma

partcula. A posicao desse objeto pontual abstrato precisa ser encontrada atraves de outra consideracao,

notando que a estatica tambem impoe a ausencia de rotacao.

Para descrever rotacoes, e conveniente definir os vetores torque r Fe momento angular L r p,em que r e a posicao espacial de atuacao da forca. Fazendo o produto vetorial com r, a segunda lei de

2Essa condicao nao supoe um corpo rgido ideal, sendo valida sempre que as partes que formam um corpo permanecem

conectadas entre si. O ponto central que diferencia um corpo rgido ideal de outros corpos coesos e que o primeiro atinge essa

condicao com deformacao nula.3Na verdade, isso e um jogo de palavras. O que ocorre e o seguinte:

V

dRc`dFc`d P P, ficando a criterio de

preferencia pessoal escolher que forca diferencial se cancela com qual e quem sobra para fazer a integral.

11


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Newton se escreve

ddt

L. (1.9)

A estatica requer que o torque total atuando sobre o sistema seja nulo, 0.

Para um corpo rgido sob influencia do campo gravitacional constante, queremos obter o ponto fictciorg

(centro de gravidade), onde toda a massa parece se concentrar, tal que o efeito total dos torques associados

as forcas peso diferenciais d r d Ppossa ser escrito simplesmente como rg P. De fato, podemosescrever o torque total como

Vd Vr dP

Vr g dm rcm g, em que rcm Vr dm, (1.10)

onde o vetor posicao rcm do centro de massa pode ser calculado mesmo que se tenha uma distribuicao

de massa nao uniforme dm dmprq. A equacao acima nos mostra que o centro de massa e o centro degravidade coincidem (rg rcm) num campo gravitacional constante. Esse resultado nos permite simplificaro tratamento de varias situacoes realistas.

1.2.1 Utilidade dos vetores

As leis de Newton possuem uma afinidade natural com vetores no espaco tridimensional por alguns

motivos. Vetores sao objetos que se caracterizam por quantidades mencionadas algumas vezes nas leis de

Newton: direcao, sentido e magnitude. Alem disso, as leis deixam livres algumas propriedades do referencial

espacial. Ao exigir apenas que o referencial seja inercial, os postulados de Newton admitem implicitamente

qualquer ponto de referencia como origem de referencial, algo tambem ignorado por vetores.

Vetores nos permitem resolver problemas de forma geometrica, sem neces-sidade de utilizacao de um sistema de referencia. Considere um problema de

estatica em que uma pessoa com massa conhecida se encontra sobre uma es-

cada, de massa desprezvel, apoiada numa parede sem atrito. Sobre ponto de

apoio da escada no solo atua uma forca de atrito a ser determinada. Existem tres

forcas atuando sobre a escada para que ela permaneca em equilbrio estatico: o

peso Pdo bloco, a reacao Rda parede, e o atrito A do solo. O tratamento ve-

torial do problema nos permite escrever as duas condicoes de equilbrio estatico

paq P` R ` A 0,pbq rP P` rR R ` r A A 0.

(1.11)

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A condicao paq determina que os tres vetores formam umtriangulo (figura a esquerda), e nos permite fixar as direcoes e mag-

nitudes relativas uns aos outros. A segunda condicao nos permite

determinar a direcao da forca de atrito, pela geometria dos pontos

conhecidos de aplicacao das forcas, notando que a equacao pode sertornada nula pela anulacao de cada um de seus termos. Isso corres-

ponde a determinar geometricamente o ponto que, por se encontrar

simultaneamente na linha de acao de todas as forcas, torna todos os

torques nulos (i.e. rP P,rR

Re r A A). Tomando como base a

forca peso (vertical), e a forca de reacao da parede, que precisa ser

horizontal por causa da falta de atrito com a parede, encontramos o

angulo entre Ae as demais forcas. O triangulo encontrado na primeira condicao nos permite resolver todas

as magnitudes faltantes, sem se precisar de sistemas de referencia para a decomposicao das forcas.

1.2.2 Distribuicao da forca de sustentacao

Considere uma corda com densidade uniforme de massa suspensa ao teto.

Tentemos entender como ocorre a distribuicao de forcas ao longo da corda. No

ponto de sustentacao, a forca atuante deve ser igual em magnitude a forca peso

da corda; ja na extremidade suspensa, a forca deve tender a um infinitesimo,

pois nada precisa ser sustentado pela ponta da corda. Vemos entao que a

tracao varia com a posicao na corda. A forma como isso ocorre pode ser

determinada considerando as forcas que atuam sobre cada area transversal da

corda. A diferenca entre a magnitude da tracao Tpzq numa altura z da corda e num infinitesimo dz acimadessa posicao e dada pela magnitude da forca peso dP gdmdo elemento infinitesimal da corda. A massadesse elemento se relaciona com a densidade linear da corda como dm dz. Podemos escrever

Tpz ` dzq Tpzq dP g dm g dz ddz

Tpzq g. (1.12)

A funcao Tpzq e encontrada por integracao em z impondo-se as condicoes mencionadas anteriormente,Tpz 0q 0 e Tpz q P, em que e o comprimento da corda e P g, a magnitude de seu peso.Obtemos como solucao

Tpzq P zl gz. (1.13)

A mesma relacao vale para a compressao atuando sobre um corpo rgido disposto verticalmente sobre uma

superfcie. A magnitude da forca de compressao atuando sobre sua secao transversal a uma altura z do solo

pode ser escrita como Tpzq Pp1 z{lq, em que agora se tem o solo como ponto de apoio e, portanto, todoo peso sustentado pela secao na altura z 0.

Na realidade, essa situacao em que o material e submetido a um estresse variavel com a altura nao

permite aproveitar bem suas caractersticas mecanicas. Todo material possui uma compressao ou tracao

maxima fora da qual perde sua coesao (i.e. danifica-se), chamado de ponto de resistencia a tensao ou a

compressao. A estrategia acima de empilhar material com secoes transversais uniformes coloca o maximoestresse em apenas uma regiao do corpo (no caso de uma estrutura em tra cao, como a corda, essa regiao

coincide com o ponto de fixacao no teto; no caso da torre, a regiao sob maior estresse de compressao e sua

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base), e por isso acaba limitando a altura maxima dos ob jetos que podem ser construdos com ele. Por

exemplo, para uma coluna de concreto, que possui resistencia a compressao dada por S 3 MPa (unidadede pressao), e escrevendo sua densidade como A (em que A e a area da secao transversal e , suadensidade volumetrica), temos que a maxima altura de uma coluna de sustentacao com secao transversal

uniforme seria dada pormax S{pgq, que para o concreto ( 2,4103

kg/m3

) seriamax 100 m. Paraaumentar a altura maxima da estrutura, e preciso distribuir melhor seu peso para diminuir a concentracao

de estresse no material (e por isso estruturas compostas exclusivamente de concreto conseguem ser mais

altas do que 100 m na pratica).

Suponha que se faca a area transversal variavel com a altura, da forma Apzq. Nesse caso, a pressaoPpz ` dzq sobre o material na altura z ` dz e dada por

Ppz ` dzq Fpz ` dzqApz ` dzq

Fpzq ` ddz

FpzqdzApzq ` d

dzApzqdz (1.14)

Ppzq ` 1Fpzq ddz Fpzq 1Apzq ddz Apzq

dz, (1.15)

em que termos de segunda ordem em dz foram desconsiderados. Em comparacao com a Eq. (1.12), a variacao

de primeira ordem passa a conter dois termos: o termo usual de varia cao da magnitude da forca do objeto

com a altura e um termo novo que depende da variacao da area transversal e que pode ser manipulado para

ter sinal oposto ao primeiro. No caso extremo, podemos cancelar exatamente o aumento de pressao pelo

aumento da area, caso em que queremos tornar a compressao Ppzq Fpzq{Apzq P0 constante ao longode toda a estrutura,

1

Fpzqd

dz Fpzq 1

Apzqd

dz Apzq 0. (1.16)Utilizando a imposicao Ppzq P0 e a expressao ddzFpzq g dm gApzqdz, obtemos a equacaodiferencial

d

dzApzq g

P0Apzq, (1.17)

cuja solucao e a funcao exponencial Apzq Ap0q exppz{z0q na qual z0 P0{g e a altura caractersticade variacao da area transversal. O maior valor possvel de z0 para um dado material e aquele que lhe

causa uma compressao P0 S igual a sua resistencia, e coincide com a altura maxima max encontradaanteriormente. Entretanto, a situacao agora muda drasticamente, ja que a altura maxima permitida pelo

material nao mais existe: se a base de apoio for suficientemente grande, e possvel construir uma torre deconcreto com qualquer altura. O preco a pagar e que cada z0 a mais de altura que quisessemos incluir na

altura da torre demandaria aumentar sua area de base por um fator fixo (aumento exponencial), o que logo

torna impraticavel obter alturas muito maiores do que z0 (e.g. expp5q 102, significando que altura acimade z0 por um fator 5 aumenta o diametro da estrutura por um fator 10 do topo ao solo).

Podemos utilizar os limites praticos dos materiais conhecidos para estimar a ordem de grandeza da

maxima altura factvel em uma estrutura na Terra. Para possuir valor grande de z0, um material precisa

combinar robustez e leveza. A Tab.1.1 mostra as propriedades de alguns materiais (fonte: Wikipedia).

O destaque da tabela fica com os materiais biol ogicos, selecionados naturalmente para serem leves eresistentes. O material comercial mais adequado a construcao de uma estrutura com altura recorde seria

a fibra de carbono ou similar. Estimativas teoricas de primeiros princpios mostram que novos materiais

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1.3 Dinamica newtoniana

Resolver a dinamica do movimento de uma partcula significa encontrar sua trajetoria no espaco como

funcao do tempo. Tudo e formulado em termos das grandezas mensuraveis posicao e tempo, que for-

mam o substrato estrutural sobre o qual a teoria newtoniana e construda. A grandeza fsica central nadinamica newtoniana e o momento, sendo a forma como varia no tempo determinada por forcas. Tra-

jetorias de partculas sao linhas contnuas no espaco tridimensional onde o tic-tac do tempo marca posicoes

especficas: o tempo e como uma regua a posicionar cada partcula em um ponto especfico de sua linha

de trajetoria. Todos os demais conceitos da mecanica newtoniana derivam dessa visao intuitiva do movi-

mento. Os principais conceitos secundarios sao massa (na definicao operacional comentada anteriormente),

velocidade e aceleracao (tanto lineares quanto angulares).

A primeira lei de Newton dita que a trajetoria padrao de qualquer partcula livre da acao de forcas e

movendo-se num referencial inercial e uma linha reta (abstracao originada no trabalho de Galileu Galilei).

Se fizermos marcacoes na trajetoria referentes as posicoes assumidas pela partcula a cada tic-tac do

relogio (como se a trajetoria fosse uma regua linear), obteremos pontos equidistantes no espaco. Em cada

uma dessas marcacoes podemos desenhar o vetor velocidade instantanea da partcula, que sera constante e

deve apontar para o proximo ponto. A velocidade instantanea pode ser entendida como a relacao entre a

distancia percorrida durante um tic-tac infinitesimal e a duracao do mesmo. A aceleracao da partcula

e dada pela forma como as distancias entre marcacoes do tic-tac do relogio variam na trajetoria entre

pontos diferentes. Podemos aqui tambem pensar num tic-tac infinitesimal e subtrair os vetores velocidade

instantanea separados na trajetoria pela distancia correspondente a ele. Aceleracao e sempre o unico efeito

de forcas, pois, estritamente falando, a massa de uma partcula e uma propriedade propria imutavel na

mecanica de Newton4. O advento da massa reflete o fato inescapavel de que a mesma forca pode afetar

diferentemente partculas distintas, e pode ser medida indiretamente atraves de medidas diretas de espaco e

tempo pelo uso de uma massa de prova. Encontraremos o vetor nulo para a aceleracao na trajetoria padrao.

Forcas sao vetores que fixamos a cada ponto do espaco (campo vetorial), que podem eventualmente

variar no tempo. A presenca de uma forca num ponto da trajetoria da partcula tem o efeito de lhe acelerar

(mudar seu vetor momento, i.e. sua velocidade). Como o tempo e entendido como uma grandeza contnua,

e sempre possvel encontrar um intervalo de tempo em que a forca tem efeito desprezvel sobre a velocidade,

de forma que ela pode ser assumida constante para se encontrar o proximo ponto da trajetoria. Em outras

palavras, o vetor distancia entre dois pontos de uma trajetoria pode sempre ser escrito ate primeira ordemno tempo como independente da aceleracao, desde que o intervalo de tempo escolhido seja suficientemente

pequeno. Isso nos permite construir a trajetoria ponto a ponto pelo prolongamento de segmentos de reta

infinitesimais.

De fato, a dinamica newtoniana parece ter sido pensada dessa forma intuitiva em que um estado da

partcula, dado pelo par posicao e momento num certo instante do tempo, junto a configuracao do campo de

forcas no mesmo instante e posicao, pode ser usado para encontrar o proximo estado da partcula no tempo

(notemos que Newton desenvolvia o calculo diferencial enquanto criava suas leis da mecanica). O movimento

4

Ainda que em alguns problemas possa ser util definir um objeto com massa variavel, o que se faz efetivamente nesses casose o truque de redefinir o sistema fsico de interesse como algo que ejeta partculas que antes eram entendidas como parte do

sistema. Se contarmos a massa total do sistema incluindo as partculas ejetadas do subsistema fsico de interesse, a massa

newtoniana e imutavel. Isso viria entretanto a ser mudado com o advento da teoria da relatividade de Einstein.

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se reduz a encontrar a transformacao que leva cada estadotrptq, pptqu no subsequentetrpt ` dtq, ppt ` dtqu.Segundo os postulados de Newton, se dt for suficientemente menor do que qualquer escala de variacao do

sistema, todo movimento se reduz ao conjunto de regras

trptq, pptqu Newton trpt ` dtq, ppt ` dtqu, com$&%

rpt ` dtq1a lei

rptq `p

ptqm dt

ppt ` dtq2a lei pptq ` Fpr, tq dt

. (1.18)

Se houvesse computadores na epoca de Newton, possivelmente nao teramos as ferramentas de solucao

analtica de equacoes diferenciais, pois o conjunto de regras acima permite resolver qualquer trajetoria

numericamente! Essa e uma visao hoje chamada de local, i.e. tudo pode ser pensado em termos de

pequenos acontecimentos localizados numa regiao infinitesimal do espaco. O oposto disso seria uma visao

global, na qual a trajetoria como um todo e pensada para satisfazer alguma propriedade dependente de

todos os pontos da curva. A visao global da mecanica newtoniana, conforme veremos no decorrer do curso,

foi formulada por Lagrange.

Note, no entanto, que o campo de forcas newtoniano nao satisfaz necessariamente a mesma propriedade

de localidade, pois em geral tera como causa outra partcula tambem possuidora de um estado proprio

no mesmo instante de tempo. Se essa partcula estiver a uma grande distancia da primeira (e Newton foi

de fato a pessoa que inventou esse tipo de acao a distancia com sua formulacao da interacao gravitacio-

nal), o campo de forcas na posicao da primeira partcula deve depender do estado instantaneo da segunda

partcula. Isso precisaser assim na teoria newtoniana por conta de sua terceira lei: forcas mutuas sao sem-

pre opostas e de mesma magnitude, ainda que a distancia. Essa parte nao-local das interacoes newtonianas

(explicitada, em especial, na forca da gravidade) seria corrigida tambem por Einstein na teoria da relativi-

dade geral, inspirado pelas equacoes do eletromagnetismo de Maxwell que impoem a acao retardada do

campo eletromagnetico de forma natural e elegante. Portanto, a terceira lei nao vale sempre. A mecanica

newtoniana se restringe a descrever o movimento advindo de interacoes percebidas como instantaneas dentro

da precisao de medida (sendo esse mais um dos conteudos fsicos da terceira lei!). Para sermos menos duros

com Newton, que certamente merece no mnimo nosso respeito (senao nosso assombro), podemos dizer que

suas leis valem no limite em que a escala de tempo de variacao do estado das partculas e muito maior do que

o intervalo de tempo5 necessario para que o campo de forcas se reajuste aos novos estados das partculas.

Uma consequencia curiosa dessa forma infinitesimal ou local de pensar e a propriedade inesperada

de reversibilidadedo quadro quando se inverte a direcao do tempo. Portanto, as leis de Newton permitemcalcular nao apenas o futuro, mas tambem o passado. Se o estado presente da partcula e a configuracao

do campo de forcas relevante sao perfeitamente conhecidos, as leis de Newton permitem deduzir com base

apenas nessa informacao toda a historia pregressa e futura da partcula. E muito tentador generalizar

esse quadro e transforma-lo em visao de mundo, chamada mecanicista ou determinstica, para aplica-lo a

outras situacao que nao relativas ao movimento de objetos no espaco. No entanto, o mecanicismo e, de

forma mais geral, tambem o determinismo, estao em frontal desacordo com o que conhecemos da natureza.

Contra o mecanicismo podemos citar simplesmente nossa experiencia diaria: sabemos que eventos complexos

nao ocorrem com mesma probabilidade nos dois sentidos (por exemplo, nao se conhecem exemplos de

pessoas rejuvenescendo!). Os sistemas mais simples a mostrar evidencias de uma direcao preferencial de5Segundo a teoria da relatividade especial, esse tempo precisa ser no mnimo igual ao tempo que a luz toma para percorrer

a distancia que separa as partculas.

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evolucao do tempo ocorrem na termodinamica, parte da fsica na qual leis simetricas no tempo nao permitem

descrever alguns comportamentos basicos observados. Contra a ideia de determinismo absoluto, a mecanica

quantica viria a ter grande sucesso na descricao de sistemas microscopicos ao custo de abrir mao de parte do

determinismo, em especial do sacrossanto princpio de que uma teoria deve prever resultados individuais

de medida. Sabemos, entao, que as leis da mecanica de Newton nao podem descrever tudo, ao contrario davisao determinstica, e outros elementos teoricos devem ser fundamentais para se entender outros aspectos

da evolucao temporal da natureza. Atemo-nos, portanto, ao modesto objetivo de descrever o movimento.

1.3.1 Modelos de forcas

O estudo da dinamica requer modelos de possveis campos de forcas nos quais ocorre o movimento.

Estudemos a seguir alguns tipos de forca mais comuns.

Forca gravitacional na superfcie da Terra: Plano inclinado

Considere um bloco disposto sobre uma superfcie plana sem atrito e inclinada com relacao a direcao

privilegiada pelo campo de forcas externo constante6. O bloco possui massa me a inclinacao do plano com

relacao a horizontal possui angulo . A forca peso do bloco, como estabelecido anteriormente, atua sobre

ele como se toda sua massa estivesse concentrada no centro de massa. As forcas atuando no bloco sao

esquematizadas na figura abaixo.

A forca principal a atuar sobre o bloco e o peso P. E essaforca que causa a compressao do plano inclinado e lhe obriga

a reagir com a forca normal N para manter sua coesao.

Notemos que a forca normal em princpio atua localmente

com pequenas forcas d Nsobre toda a superfcie do bloco em

contato com o plano inclinado. De forma similar a atuacao

da forca gravitacional, podemos somar todas essas influencias e substitu-las por uma forca unica com

magnitude igual a soma de todas as forcas parciais. O ponto de acao dessa forca tambem precisa ser o

centro de massa, uma vez que, sabemos, ela nao causa rotacao no corpo (seu torque deve ser nulo). A forca

normal tem origem na deformacao do corpo e do plano inclinado, que ocorre ate balancear exatamente acomponente de compressao da forca da gravidade. Por isso, deve-se ter N Pcos .

A ultima forca a atuar sobre o bloco e o atrito. Essa forca tem origem em efeitos microscopicos altamente

nao triviais, e por isso sua modelagem e puramente emprica (existe todo um campo de pesquisa aplicada

destinada a diminuir o atrito entre superfcies mecanicas). Ela tambem atua localmente com pequenas

contribuicoes que dependem de diversas propriedades das superfcies, como rugosidade, contaminacao (im-

purezas), e afinidade qumica. Vamos utilizar aqui o fato emprico de que a forca de atrito total entre duas

superfcies, para baixas velocidades, e proporcional a forca de compressao entre as superfcies (no caso, a

forca normal de reacao). Alem disso, ela sempre se opoe ao movimento, sendo tangencial a superfcie de

6Em geral, vamos entender um campo de forcas como constante se ele nao variar no espaco e no tempo, embora possa

variar com relacao a alguma propriedade interna das partculas que sofrem sua acao (tal como a massa inercial, no caso do

campo gravitacional).

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atrito, e ocorre em dois regimes diversos. Se os objetos se encontram em repouso relativo, a forca de atrito

assume magnitude maior (atrito estatico) do que para objetos em movimento relativo (atrito din amico).

Nos dois casos, escrevemos, respectivamente, para a magnitude da forca de atrito, as expressoes Fe eNe Fd dN, em que e e o coeficiente de atrito estatico e d, dinamico.

O movimento do bloco e determinado pela combinacao linear de todos os tipos de forcas. Como a

reacao normal da superfcie do plano inclinado e criada pelo material para balancear exatamente a forca de

compressao do bloco, resta apenas a componente da forca peso paralela a essa superfcie e a forca de atrito,

oposta a ela. A magnitude da forca resultante a reger o movimento do bloco fica FR Pcos Fd. Asegunda lei nos fornece uma forma bastante simples de movimento, com aceleracao constante com magnitude

a FR{m, direcao paralela a superfcie e no sentido de levar o bloco ao solo. O movimento e aceleradouniforme ate atingir o chao.

Forca gravitacional na superfcie da Terra: Roldanas

Sistemas compostos por massas e roldanas ilustram bem o conceito de condicoes de coesao. Considere

uma corda apoiada por uma roldana (ambas com massa desprezvel) na qual dois blocos com massasm1 e

m2 sao suspensos. A corda, desde que tensionada, restringe os blocos a se manterem a uma distancia igual

a seu comprimento (estamos aqui desprezando o comprimento de corda em contato com a roldana, o que

e irrelevante para nossas conclusoes). A forca atuando sobre o bloco 1 e a soma vetorial de sua forca peso a

forca de tracao da corda, valendo mesmo para o bloco 2. Podemos descrever esse problema em etapas como

o movimento de dois blocos independentes mas condicionados a se moverem de forma coesa, ou seja,

# m1:z1 T P1m2:z2 T P2

, tal que h z1 ` ph z2q . (1.19)

Utilizamos a notacao :z d2dt2

z. A condicao de distancia relativa fixa im-

plica que as velocidades e aceleracoes dos blocos devem variar juntas (como

esperado, ou a corda arrebentaria), o que pode ser visto derivando formal-

mente a respectiva equacao com relacao ao tempo para se obter :z1`:z2 0.Utilizando as equacoes de movimento, deduz-se que

p:z1 ` :z2q T P1m1 ` T P2

m2 0 T 2g, (1.20)

em que m1m2{pm1 ` m2q e a massa reduzida dos blocos e usamos asrelacoes Pj mjg, com j 1, 2. Substituindo o valor encontrado para Tnas equacoes do movimento, obtemos

:z1 m1 m2m1 ` m2 g :z2. (1.21)

O movimento desse sistema e determinado pela diferencade peso entre os blocos. Para massas balanceadas

m1 m2, isso implica que a aceleracao devida a gravidade e bastante reduzida, pois uma massa servede contra-peso para a outra. Tal arranjo para cancelar a gravidade e utilizado e.g. em elevadores, para

facilitar o controle do movimento com seguranca e economia de energia.

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Forca gravitacional na superfcie da Terra: Partcula em queda livre na atmosfera

Considere agora o movimento de um corpo em queda livre na atmosfera e solto a partir do repouso. Duas

forcas atuam sobre a partcula nesse caso: o peso e a forca de atrito do ar. Esta ultima advem de efeitos de

contato nao triviais entre a superfcie da partcula e o ar, mas nao deve ser capaz de balancear totalmente aforca peso, uma vez que o ar se deforma e sai do caminho do objeto em queda livre. Estudo experimental

mostra que esse tipo de forca pode ser expandido em potencias da magnitude da velocidade da partcula. No

caso mais simples de baixas velocidades, temos a proporcionalidade Fa bv. Assim como o significadode baixa velocidade, a constante b e determinada empiricamente, e depende de fatores como geometria

da partcula, rugosidade de sua superfcie, estado termodinamico do ar e outras coisas complicadas. O

importante para nos, e esse e o poder do formalismo de Newton, e entender o comportamento geral desse

tipo de movimento: as constantes podem mudar os valores especficos de posicao e velocidade da partcula,

mas nao o formato generico da trajetoria.

A forca resultante agindo sobre a partcula e FR P` Fa mg bv. A segunda lei fornece a equacaoda trajetoria da partcula como

m:r mg b9r, (1.22)

em que usamos a notacao ddt

r 9r v e d2dt2

r :r. A geometria do problema (partcula em queda livreinicialmente em repouso) nos permite escolher um sistema de referencias que torna a equacao escalar, ja que

as duas forcas se encontram na direcao vertical, dada pelo eixo z. A equacao escalar se torna

:z g bm

9z. (1.23)

Como ela nao possui termo dependente de zptq, podemos entende-la como uma equacao diferencial nao-homogenea de primeira ordem na funcao vptq 9zptq, por simplicidade,

9v g bm

v. (1.24)

Analisemos essa equacao. Ela nos diz que a taxa de variacao da componente vertical da velocidade e

causada por dois termos: um deles constante, e outro proporcional ao valor da velocidade naquele instante.

Como a partcula e solta a partir do repouso, o segundo termo nao influencia apreciavelmente o movimento

nos instantes iniciais, e podemos dizer que o movimento sera tal que

9v g, para t ! 0. (1.25)

A escala de tempo 0 em que isso vale precisa ser encontrada posteriormente, mas sabemos que ela existe.

A solucao dessa equacao e o movimento acelerado uniforme,

vptq gt, para t ! 0, (1.26)

em que ja utilizamos o fato de que vp0q 0. A queda livre acelera a partcula ate que sua velocidade se tornagrande o suficiente em modulo para que o segundo termo da Eq. (1.24) comece a influenciar o movimento.

No limite em que a velocidade aumentasse muito alem de um valor crtico v0, apenas esse termo dominariao movimento. No entanto, notemos que ele e por construcao sempre oposto a velocidade, de forma que ela

nao pode aumentar ate esse ponto. De fato, os dois termos se opoem em seus efeitos, e a situacao limite deve

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ser o equilbrio entre eles, quando a velocidade tiver valor tal que o segundo termo desacelera a partcula

exatamente da mesma quantidade que a gravidade a acelera. Esse limite implica em

9v 0 g bm

v0 v0 mgb

. (1.27)

A velocidade crtica v0 e chamada velocidade terminal. Ela corresponde a velocidade atingida para t " 0.

Para conectar os regimes de movimento em t ! 0 e t " 0, precisamos em princpio resolver a equacaodiferencial exatamente. Mas ja e possvel perceber que precisamos de uma funcao que aumente linearmente

em modulo no incio do movimento e atinja um valor assintotico para tempos longos em comparacao a 0.

A forma da equacao diferencial ja nos da uma dica de que essa funcao deve ser uma exponencial, visto que

a desaceleracao causada pelo atrito e proporcional ao valor da velocidade. Alem disso, por se tratar de um

efeito transiente, esperamos que a exponencial apareca na solucao homogenea da equacao diferencial.

Sabendo o que esperar, passamos a calcular a solucao completa da Eq. (1.24). Sua solucao geral e a

soma da solucao homogenea com a particular. A equacao homogenea e

9vh ` bm

vh 0, (1.28)

cuja solucao vh e a funcao exponencial

vhptq et{0 , (1.29)em que0 m{be a escala de tempo tpica do sistema que procuravamos. A solucao particular e simples deencontrar nesse caso (pois o termo nao-homogeneo constante pode vir da propria funcao, sem a necessidade

de considerar a derivada),

vpptq mg

b v0, (1.30)que pode ser checada por substituicao direta na Eq. (1.23). Segundo o teorema de existencia e unicidade,

sabemos que as solucoes, quando encontradas, sao unicas. No caso da solucao homogenea, sabemos que

qualquer combinacao linear das solucoes encontradas deve ser tambem solucao. Com essas consideracoes

gerais, escrevemos a solucao da Eq. (1.23) como

vptq A et{0 ` v0, (1.31)

em que A e uma constante livre que nos permite a justar a solucao geral a condicao inicial. No caso, temos

v

p0

q 0, do que se obtem A

v0 e, portanto, a solucao completa

vptq v0

1 et{0

. (1.32)

Notemos que, na situacao limite t"0, o sistema se encontra livre da influencia de forcas, e portanto suaaceleracao deve ser nula. Assim, a velocidade terminal pode tambem ser encontrada por consideracoes da

estatica.

Movimento circular uniforme

A condicao para que a trajetoria de uma partcula seja uma circunferencia envolve de certa formacalibrar a variacao tangencial do vetor momento para induzir na trajetoria a curvatura correta capaz de

fechar a curva apos uma volta. A forca que obtem esse resultado e chamada centrpeta. Em primeiro lugar,

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o vetor variacao de momento deve ter direcao perpendicular ao vetor momento, ou seja, 9p p 0. Emsegundo lugar, seu modulo deve ser tal que o desvio diferencial do vetor momento seja o mesmo desvio de

uma circunferencia com relacao a sua reta tangente.

E conveniente neste estagio utilizar versores cilndricos para descre-

ver o movimento, conforme ilustrado na figura ao lado. Os versores

cilndricos sao definidos em relacao a origem O do sistema de coorde-

nadas. O versor rda a direcao do ponto de interesse, enquanto o versor

aponta na direcao ortogonal a essa, sendo seu sentido escolhido para

produzir circulacao anti-horaria. Em termos dos versores cartesianos,

eles se escrevem r cos x ` sin y e sin x ` cos y. A figuraao lado ilustra a decomposicao, no sistema de coordenadas com origem

em O, do vetor velocidade v de uma partcula localizada na posicao r.

O vetorv pode ser escrito das formas:

v vxx ` vyy vr r ` v, (1.33)

em que a troca de sistema de referencias para os valores das componentes e realizada notando-se que# r cos x ` sin y sin x ` cos y. e

# x cos r sin y sin r ` cos . (1.34)

As decomposicoes cartesiana e cilndrica de qualquer vetor associado a partcula estao relacionadas entre si

por uma rotacao de eixos pelo angulo do vetor de posicaor da partcula.

Suponha uma partcula na posicao r

no sistema de coordenadas com origem

no centro da trajetoria circular. Sabemos

que o vetor deslocamento dr a represen-

tar a distancia percorrida pela partcula

entre dois pontos muito proximos da

circunferencia possui magnitude relacio-

nada ao raio r |r| da trajetoria pelaexpressao dr

rd, e que sua direcao de deslocamento e perpendicular ao raio, dada por dr

n

r,

em que n e o versor normal ao plano da tra jetoria. Como o raio da trajetoria permanece constante durante

o movimento ( 9r 0), a derivada temporal da posicao nos fornece

9rptq ddt

prrptqq r 9rptq

rddt

pcos ptq x ` sin ptq yq r 9 p sin ptq x ` cos ptq yq rptq

vp

tq

rp

tq

v ptq

, (1.35)

em que 9 e a frequencia angular constante do movimento circular. A troca do referencial cilndricopara o cartesiano se faz necessaria para se calcular a derivada temporal porque os versores cartesianos, ao

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contrario dos versores cilndricos, nao variam com a posicao da partcula. Notemos que o vetor velocidade

tambem realiza um movimento circular, embora isso fique mascarado pelo fato de que, ao posiciona-lo

sobre a partcula, a origem de sua circunferencia varia. Se desenharmos os vetores sobre o mesmo ponto

(detalhe a direita da figura), esse efeito desaparece e podemos ver claramente que a mesma rela cao vale

para a circunferencia realizada pelo vetor velocidade, pois dvtambem e perpendicular av. De maneira maisformal, derivamos novamente a expressao com relacao ao tempo para encontrar a aceleracao centrpeta,

9vptq v 9ptq

v ddt

p sin ptq x ` cos ptq yq v p cos ptq x sin ptq yq vrptq

adptq 2rrptq v2

r rptq adrptq. (1.36)

Assim, a forca centrpeta capaz de causar essa aceleracao na partcula aponta no sentido oposto ao vetorradial e possui magnitude Fd mad m2r mv2{r. Em forma vetorial, sua expressao e

Fd m2rr m v2

r r. (1.37)

Notemos que sua expressao e proporcional a massa da partcula e a fatores geometricos. Isso nos fornece uma

forma alternativa de medir a massa de um corpo, que consiste em coloc a-lo em movimento circular uniforme

com uma forca de magnitude calibrada e medir raio e perodo da trajetoria obtida experimentalmente.

Forca restauradora linear

Uma forca que tende a levar um sistema perturbado de volta a seu estado de equilbrio e chamada

restauradora. A forma mais simples de forca restauradora varia proporcional e contrariamente a perturbacao.

Um caso especfico de grande interesse para a dinamica envolve uma partcula deslocada de sua posicao de

equilbrio. Por simplicidade, consideremos alguma projecao do movimento de uma partcula com massa m

sobre uma linha reta a qual chamaremos eixo x, e tomemos a posicao de equilbrio como localizada em

x 0. A magnitude da forca restauradora linear em uma dimensao assume a expressaoFpxq kx, (1.38)

em quek 0 e uma constante que define a rigidez da forca. Incrementar o valor de k implica em aumentara oposicao da forca ao deslocamento do equilbrio. Como veremos posteriormente, esse tipo de forca permite

descrever o movimento de muitos tipos de sistemas mecanicos ligeiramente perturbados do equilbrio.

Oscilacao harmonica ideal. Com esse modelo de forca, a 2a lei de Newton nos fornece para o desvio x

do equilbrio a equacao de movimento

m:xptq k xptq, (1.39)cuja solucao envolve funcoes iguais ao oposto de suas derivadas segundas. Por se tratar de uma equacao

diferencial homogenea de segunda ordem, precisamos de duas solucoes independentes. As funcoes harmonicasobedecem a essa condicao, de forma que

x1ptq cosp0tq e x2ptq sinp0tq (1.40)

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sao as duas solucoes procuradas. O parametro 0 possui a dimensao de inverso de tempo. O valor que

0 precisa assumir para satisfazer a Eq. (1.39) e encontrado por substituicao direta de x1 e x2 na equacao

diferencial, resultando em

0ck

m. (1.41)

A solucao geral da equacao homogenea e uma combinacao linear de suas duas solucoes linearmente inde-

pendentes,

xptq A cosp0tq ` B sinp0tq. (1.42)Vemos que a partcula sujeita a forca restauradora linear apresenta deslocamento oscilando harmonicamente

no tempo. Esse tipo de movimento e denominado harmonico simples. Ele ocorre pela oposicao de duas

influencias que se revezam sobre o movimento: a forca restauradora e a inercia da partcula. A forca

restauradora atinge sua magnitude maximamente contraria ao deslocamento no ponto em que o deslocamento

tambem e maximo em modulo; a partir da, a forca restauradora acelera a partcula para traze-la de volta a

sua posicao de equilbrio, onde a forca atinge valor nulo e para de agir. No entanto, por conta da inercia da

partcula, esta se move com velocidade constante (em primeira ordem) no entorno da posicao de equilbrio. E

essa velocidade que joga a partcula na regiao com sentido oposto de deslocamento, onde a forca restauradora

comeca novamente a atuar, dessa vez no sentido de frear a partcula, ate que ela atinja seu deslocamento

maximo com velocidade nula. A forca restauradora mais uma vez acelera a partcula para traze-la de volta

a origem, e o ciclo se reinicia. Portanto, a partcula executa um movimento repetitivo no tempo (periodico),

uma vez que existe um intervalo de tempo 0 tal que

xpt ` 0q xptq. (1.43)

Impondo essa condicao sobre a Eq. (1.42), obtemos

0 20

, (1.44)

de onde se conclui que o perodo 0 de repeticao da oscilacao e proporcional ao inverso de 0. Assim, 0 e

proporcional afrequencia 0 1{0 da oscilacao, entendida como o numero de ciclos que o oscilador realizapor unidade de tempo. O fator 2 entre 0 e 0 existe para escalar corretamente o perodo temporal ao

perodo adimensional das funcoes seno e cosseno. Por isso, chamamos0de frequencia angularde oscilacao.

Podemos dizer que a partcula leva tempo0para comecar a repetir-se em seu movimento ou que ela se repete

0 0{p2qvezes a cada unidade de tempo. Notemos que 0 e 0 sao propriedades do oscilador, advindasda equacao diferencial envolvendo a inercia da partcula e a rigidez da forca restauradora e, portanto, sao

independentes do estado do oscilador.

As constantes A e B devem ser escolhidas para particularizar a uma partcula especfica de interesse a

solucao generica de forma da trajetoria. Para tanto, precisamos conhecer ao menos um estadotxptq, pptquda partcula em algum instante. A praxe e definir esse instante como o incio da contagem do tempo (t 0),e chamar o estado de condicoes iniciais do movimento. Denominamos sua posicao inicial xp0q x0 e seumomento inicial pp0q p0 mv0 m 9xp0q. De acordo com a Eq. (1.42), tem-se xpt 0q A e, de suaderivada temporal, ppt 0q mB, do que se deduz

xp

tq

x0cosp

0tq `

p0

m0sin

p0t

q. (1.45)

O ponto no qual o ciclo se inicia depende de mera definicao da origem de medicao do tempo. De fato, as

funcoes harmonicas cosseno e seno descrevem ambas as projecoes de um mesmo raio vetor de um crculo

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unitario sobre os eixos cartesianos, e por isso possuem essencialmente a mesma forma de variacao com seus

argumentos. A diferenca entre elas e apenas a escolha da origem de contagem do angulo (e.g. cos sinp ` {2q), ou seja, um atraso ou fase relativa. Essa propriedade das funcoes harmonicas apenas reflete afsica do problema de que tanto a posicao quanto o momento oscilam harmonicamente. Portanto, deve ser

possvel escolher a origem do tempo (fase) de forma a manter apenas um termo na solucao, por simplicidade.Usando a propriedade do cosseno7

cospt ` q cos cosptq sin sinptq, (1.46)

podemos reescrever a Eq. (1.45) como

xptq xacospt ` q, em que#

xacos x0xasin p0{pm0q

. (1.47)

As constantes xa e explicitam mais claramente os parametros relevantes da oscilacao harmonica, respec-

tivamente: amplitude (valor maximo do deslocamento) e fase (incio da contagem do tempo). O valor de

cada uma delas em funcao das condicoes iniciais e

xad

x20 `

p0

m0

2e arctan

p0

m0x0

. (1.48)

Assim, se a partcula inicia seu movimento a partir do repouso (p0 0), seu deslocamento deve ser maximo,portanto ja correspondendo a amplitude de oscilacao, e sua trajetoria deve seguir a funcao cosseno (xa x0

e 0). Por outro lado, se sua trajetoria se inicia na posicao de equilbrio (x 0), entao sua trajetoriaprecisa seguir a curva seno ( {2), de onde segue que xap0{pm0q.

Espaco de fase. A visao geometrica do movimento mencionada acima e facilitada pela representacao da

trajetoria da partcula no espaco de fase. Como seu estado depende de duas funcoes do tempo, posicao

e momento, o espaco de fase possui duas dimensoes para cada grau de liberdade do movimento. No caso

do movimento unidimensional tratado aqui (1 grau de liberdade), o espaco de fase forma um plano. Nele

representamos os pares ordenados de estadostxptq, pptqu sem fazer referencia ao tempo.

O oscilador harmonico ideal possui estado

# xptq xacosp0t ` qpptq m0xasinp0t ` q

, (1.49)

em que a segunda equacao foi obtida usando a derivada temporal da Eq. (1.47). Como posicao e mo-

mento possuem dimensoes diferentes, e praxe normaliza-los para torna-los adimensionais ou com mesma

dimensionalidade. Adotamos aqui a segunda pratica para representar o partxptq, pptq{pm0qu no espacode fase, notando que as grandezas utilizadas na normalizacao do momento sao propriedades do oscilador

independentes de seu estado.7Esse tipo de propriedade trigonometrica e facilmente demonstrado com o auxlio da relacao de Euler, que estabelece

ei cos `i sin. Utilizando numeros complexos, segue que cosp `q Reteip`qu Reteieiu cos cos sin sin .

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E simples reconhecer que as relacoes da Eq. (1.49) sao a representacao

parametrica de uma circunferencia nas variaveistxptq, pptq{pm0qu. Oraio da circunferencia e dado pela amplitude xa do movimento oscilatorio

unidimensional, e o ponto inicial da partcula sobre a circunferencia e de-

terminado pela fase . Alem disso, a partcula se move no espaco defase com frequencia angular constante, i.e. realiza um movimento circular

uniforme. A velocidade angular desse movimento e a propria frequencia

angular0da oscilacao. Em coordenadas cilndricas, a trajetoria no espaco

de fase pode ser escrita como # rptq xaptq ` 0t

. (1.50)

A representacao no espaco de fase permite visualizar simultaneamente a regiao de parametros visitadas

pela partcula tanto na posicao quanto no momento. Seu uso e bastante comum no estudo da dinamica de

sistemas caoticos ou complexos em geral, pois permite visualizar propriedades gerais da trajetoria (e.g. se

fechada, se mais densa em alguma regiao, se restrita a um volume finito no espaco de parametros etc).

Oscilacao harmonica amortecida. Apesar de condensar a fsica da oscilacao harmonica, o movimento

acima obviamente nao corresponde a uma situacao realista. Sistemas mecanicos como conhecemos apresen-

tam forcas que tendem a frear o movimento (forcas de atrito). O modelo mais apropriado de forca de atrito

depende da fsica do problema, e deve ser escolhido de acordo com as evidencias experimentais. Considera-

remos aqui o modelo de forca de atrito proporcional a velocidade, tal como a resistencia oferecida pelo ar

ao movimento8, por ser mais suave. Nesse caso, a equacao de movimento corrigida se torna

m:xptq kxptq b 9xptq. (1.51)

Podemos reescreve-la da forma mais sucinta

:xptq ` 9xptq ` 20xptq 0, (1.52)

em que utilizamos a Eq. (1.41) e definimos a grandeza

bm

, (1.53)

que possui unidade de frequencia.

Devemos sempre que possvel analisar casos limites para testar a sanidade de nossos modelos. No limite

b0, sendo a forca de atrito desprezvel, obtemos como esperado o comportamento oscilatorio ideal. Nolimite oposto, no qual a forca de atrito domina completamente a dinamica, devemos ter o comportamento

observado na Eq. (1.23): o oscilador e freado exponencialmente com escala de tempo dada por 1{. No casogeral, e possvel notar que os dois termos de forca devem se alternar em suas influencias sobre o movimento.

8Por exemplo, caso a situacao do oscilador fosse mais parecida a de um bloco deslizando sobre uma superfcie rugosa,

provavelmente o modelo mais apropriado de atrito seria aquele utilizado na Sec. 1.3.1, i.e. forca de atrito oposta a velocidade

e proporcional a reacao normal de contato com a superfcie. Nesse caso, alem de a forca de atrito cinetico ser descontnua noponto de troca de sinal da velocidade da partcula, a inclusao do atrito estatico pode levar o oscilador a parada total nesse

mesmo ponto, tornando por vezes a solucao trivial. E preciso entender a fsica do sistema sob estudo para escolher o modelo de

forca mais relevante a descricao do movimento.

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Como vimos anteriormente, a forca restauradora emaximanos pontos de maximo deslocamento do oscilador,

que em geral correspondem a pontos de mnima velocidade, onde a forca de atrito e esperada mnima. Da

mesma forma, os pontos em que a forca restauradora se anula correspondem aos pontos de maximo efeito

inercial, ou maxima velocidade, implicando em efeito maximo da forca de atrito. Portanto, o comportamento

geral do oscilador amortecido deve incluir uma combinacao dos dois tipos de solucao, tanto harmonica quantoexponencial, pois cada tipo de forca se alterna em importancia durante o movimento.

Matematicamente, vemos que a equacao diferencial requer como solucao uma funcao que em geral possui

a mesma forma de sua derivada ou derivada segunda, a menos de um sinal que pode ou nao ser trocado ao

se deriva-la. A funcao que une esses diversos comportamentos e a funcao exponencial generalizada no plano

complexo. No eixo real, ela se torna a exponencial crescente ou decrescente comum; no eixo imaginario, ela

se torna oscilatoria harmonica. No meio do caminho, tem-se uma mescla dos dois comportamentos. Para

resolver a equacao com o ferramental dos numero complexos, precisamos primeiro generalizar a Eq. (1.52)

para variaveis complexas. Definimos a funcao complexa x

pt

q tal que sua parte real forneca a posicao da

partcula, xptq Retxptqu. Como os coeficientes da equacao diferencial sao tambem quantidades reais, aEq. (1.52) pode ser simplesmente copiada para a funcao xptq sem temer que suas partes real e imaginaria semisturem (o que seria um problema se ocorresse, pois a parte imagin aria nao possui significado). Obtemos

:xptq ` 9xptq ` 20xptq 0. (1.54)

A parte real dessa equacao nos fornece de volta a Eq. (1.52). Tentamos entao a solucao comentada acima,

x ? et, (1.55)

em que e uma constante a admitir valores complexos. Substituindo essa forma para xptq na Eq. (1.54),obtemos o cancelamento das exponenciais et e, com isso, uma equacao algebrica em (equacao carac-

terstica),

2 ` ` 20 0, (1.56)cujas razes sao

2c

2

2 20. (1.57)Conforme esperado, se comportam no caso limite ! 0 como imaginarios puros, implicando em xptqoscilatoria, e como real para " 0, fornecendo solucao exponencial para xptq. Vamos chamar as duas

solucoes independentes dex1 e`t e x2 et. (1.58)

Existem claramente tres cenarios diferentes para o comportamento geral dos parametros, encontrados,

determinados pelo sinal da constante p{2`0qp{20q dentro da raiz quadrada. No primeiro cenario,um oscilador com movimento dominado pela forca restauradora deve possuir 0 {2, implicando em 0.As solucoes da equacao diferencial complexa se tornam

x1 e2 tei

10t e x2 e

2 tei

10t, (1.59)

em que e conveniente definir a frequencia de oscilacao modificada pelo atrito como

10c

20

2

2. (1.60)

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A solucao complexa geral e a combinacao linear de x1 e x2,

xptq A1e2 tei10t ` B1e2 tei10t, (1.61)

de onde deduzimos que a solucao da equacao de movimento, tomada como xptq Retxptqu, e

xptq e2 t `A cosp10tq ` B sinp10tq , (1.62)na qual A e B sao constantes determinadas pelas condicoes iniciais. Essa solucao tambem se torna mais

clara se escrita em termos de apenas uma funcao harmonica com fase ajustavel, pois entao

xptq x1ae2 t cosp10t ` 1q. (1.63)

Em termos de A e B, a amplitude xa e a fase da oscilacao se escrevem como no caso do oscilador ideal.

As sequencia de graficos acima ilustra a solucao tpica do oscilador amortecido para importancia crescente

da forca de atrito, i.e. valores crescentes de {2. Os eixos sao normalizados a constantes tpicas do movimentopara torna-los adimensionais. As curvas contnuas correspondem ao termo cosseno da Eq. (1.62), e as curvas

tracejadas mostram a evolucao do termo seno da mesma equacao. A primeira figura ( 0) ilustra o

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deslocamento temporal do oscilador harmonico ideal, para o qual a forca de atrito se anula. Conforme

{2 assume valores crescentes, o decaimento exponencial vai se tornando cada vez mais importante paradescrever a curva, ate que a partir do ponto {20.5 as oscilacoes praticamente cessam. Notemos que afrequencia 10 de oscilacao e modificada pelo atrito, tornando-se menor do que a frequencia pr opria 0 do

oscilador. No entanto, por causa do decaimento exponencial, as posicoes dos maximos e mnimos nao sealteram apreciavelmente, como pode ser visto na sequencia de figuras acima.

Assim, o oscilador harmonico amortecido, quando dominado pela forca restauradora (amortecimento

subcrtico), apresenta fenomenologia muito similar a do oscilador harmonico ideal, com a novidade de que

sua amplitude de oscilacao (o termo que multiplica o cosseno na Eq. (1.63)) decai exponencialmente no

tempo. A trajetoria da partcula no espaco de fase e uma espiralque se inicia no ponto dado pela condicao

inicial e se aproxima exponencialmente da origem, o destino ultimo de todo oscilador.

No limite em que o atrito se torna desprezvel, com !

0

, obtem-se na pratica a solucao do oscilador

harmonico ideal por um tempo tao longo quanto se queira. Alem disso, a frequencia de oscilacao 10 se torna

a frequencia propria do oscilador 10 0 Op2{20q, a menos de correcoes de segunda ordem [Eq. (1.60)].Sistemas com essa propriedade guardam interesse pratico muito especial, por permitirem a medida do tempo,

definido no mundo real pela contagem de ciclos de um oscilador harm onico com amortecimento pequeno.

Quanto menor o amortecimento, maior o perodo de tempo no qual se pode contar oscilacoes sem a perda de

informacao da fase inicial. A quantificacao do numero de oscilacoes disponveis no oscilador amortecido e

realizada pelofator de qualidadeQ, uma propriedade intrnseca do oscilador definida p ela razao entre os dois

tempos tpicos de interesse: o tempo de decaimento 1{e o perodo de uma oscilacao10 2{10 1{10,

Q 10

1010

. (1.64)

Para Q" 1, tem-se Q Q0 0{. O parametro Q fornece uma estimativa do numero de oscilacoesdisponveis antes que a amplitude do oscilador diminua por um fator tpico. Esse parametro e muito

utilizado para comparar a qualidade de osciladores, como diz seu nome. Por exemplo, um cristal de quartz

utilizado em relogios possui Q 105, enquanto os melhores relogios do planeta, baseados em oscilacoesoticas de dipolos atomicos, podem chegar a Q 1016.

O segundo cenario claro para o movimento ocorre quando 0, ou seja, {2 0, chamado deamortecimento supercrtico. Nesse caso, os parametros assumem valores reais [Eq. (1.57)],

2

1 b

1 4Q20

. (1.65)

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Notemos que Q0 1{2. A solucao geral e

xptq Ae2 te2?

14Q20t ` Be2 te2?

14Q20t. (1.66)

Perde-se o carater oscilatorio do movimento, e a solucao e uma combinacao de dois decaimentos exponenciais.

As constantes A e B sao determinadas pelas condicoes iniciais. No caso limite de um oscilador fortementedominado pela forca de atrito (Q0! 1), a solucao se divide em duas exponenciais com escalas de tempobastante distintas. Uma delas possui a escala de tempo tpica do atrito, pois ` , enquanto a outra,com escala de tempo determinada por Q20 0Q0, decai num tempo muito maior do que 1{ emaior do que 0.

O terceiro cenario do movimento ocorre na fronteira entre os dois primeiros, quando 0, i.e.0 {2, denominado de amortecimento crtico. Por se tratar de um ponto na regiao de parametros(dimensao zero), e muito difcil um oscilador real satisfazer exatamente essa condicao, ate mesmo porque

seus parametros devem variar ligeiramente com as condicoes do ambiente (e.g. temperatura). Queremos

entender na realidade o comportamento do oscilador na situacao em que 0 {2!0, . Podemos usarpara tanto as solucoes ja encontradas nas duas situacoes anteriores.

Na regiao de amortecimento subcrtico, a condicao 0` implica 10 0`, com o que podemosexpandir a solucao da Eq. (1.62) ate primeira ordem em 10 como

xptq Ae 2 t ` Cte2 t, (1.67)

uma vez que cosp10tq 1, sinp10tq 10t, e C e uma nova constante. Essa equacao nao depende de epode ser tomada como a solucao esperada no ponto ideal em que 0. Substituicao direta na equacaodiferencial do movimento [Eq. (1.52)] confirma que x1 e

2 t e x2 te

2 t sao, de fato, as duas solucoeslinearmente independentes procuradas9.

Assim como no caso superamortecido, o movimento oscilatorio da aqui lugar a decaimentos exponenciais

da amplitude, embora no caso crtico haja apenas exponenciais com mesma taxa de decaimento. Por nao

possuir a solucao com decaim

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