Embed Size (px)
Citation preview
21-02-2011
1
Mecânica
Gravitação – 1ª ParteProf. Luís Perna 2010/11
Teoria geocêntrica
• Foi com Ptolomeu de
Alexandria que surgiu,
por volta de 150 d.C.
no seu livro Almagest,
uma descrição
pormenorizada do
sistema solar.
Cláudio Ptolomeu (100 - 170 d. C.)
21-02-2011
2
Teoria geocêntrica
• Segundo Ptolomeu, cada
planeta descrevia uma
trajectória circular –
epiciclo, cujo centro se
deslocava, relativamente à
Terra sempre imóvel,
descrevendo uma trajectória,
também circular, concêntrica
com a Terra, chamada
deferente; à trajectória
resultante Ptolomeu chamou
epiciclóide.
Teoria geocêntrica
21-02-2011
3
Teoria geocêntrica
• Segundo este modelo, a Terra ocupava a posição central
e à sua volta giravam, além da Lua e Sol outras estrelas
e mais cinco planetas conhecidos na época: Mercúrio,
Vénus, Marte, Júpiter e Saturno.
• A teoria de Ptolomeu foi aceite durante mais de catorze
séculos.
Teoria geocêntrica
21-02-2011
4
Teoria heliocêntrica
• No século XVI surge
Nicolau Copérnico, que
defendia um modelo
heliocêntrico e
demonstrou no seu tratado
De Revolutionibus Orbium
Coelestium que a
descrição do Sistema
Solar seria mais simples
se o referencial fosse o
Sol. Nicolau Copérnico (1473-1543)
Astrónomo e matemático polaco
Teoria heliocêntrica
• Segundo N. Copérnico, o
movimento de todos os
planetas deveria ser descrito
relativamente ao Sol e não em
relação à Terra. O Sol seria
assim o centro do Universo.
• Os planetas giravam com
movimentos circulares e
uniformes à volta do Sol. A
Terra deixaria de ser o centro
do Universo e seria apenas o
centro de revolução lunar.
21-02-2011
5
Teoria heliocêntrica
Leis de Kepler
• A polémica gerada na época em torno das duas
teorias anteriores, levou os astrónomos a dedicarem
mais tempo ao estudo do movimento dos planetas.
21-02-2011
6
Leis de Kepler
• Tycho Brahe modificou o
sistema ptolomaico de
modo a harmonizá-lo com
o de Copérnico, fez
observações e recolheu
dados bastante
importantes sobre as
posições dos planetas em
relação à Terra.
Tycho Brahe (1546-1601)
Dinamarquês
Leis de Kepler
• Johannes Kepler
discípulo de Tyco Brahe
foi quem interpretou os
seus dados formulando
três leis empíricas sobre o
movimento dos planetas,
conhecidas por Leis de
Kepler ou Leis da
Cinemática do Sistema
Solar.
Johannes Kepler (1571-1630)
Alemão
21-02-2011
7
1ª Lei ou Lei das Órbitas
• Todos os planetas descrevem órbitas elípticas, em
torno do Sol, ocupando este um dos seus focos.
2ª Lei ou Lei das Áreas
• O vector posição que une o centro do planeta e o
centro do Sol varre áreas iguais, em intervalos de
tempo iguais.
21-02-2011
8
planeta
Sol
Afélio
Afélio ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol
21-02-2011
9
21-02-2011
10
21-02-2011
11
21-02-2011
12
21-02-2011
13
Periélio
Periélio ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol
A1A2
A velocidade dum planeta no periélio é maior que no afélio.
Afélio = 29,3 km/s
Periélio = 30,2 km/s No caso da TERRA:
21-02-2011
14
3ª Lei ou Lei dos períodos
• O cubo do semieixo maior, R, da orbita elíptica do
planeta em torno do Sol e o quadrado do período, T,
do movimento são directamente proporcionais.
KT
R
2
3
K é uma constante de proporcionalidade que tem o
mesmo valor para todos os planetas.
R – representa o semi-eixo
maior da elipse ou seja a
distância média dos planetas
principais ao Sol.
Leis de Kepler
• A constante de proporcionalidade tem o valor,
K = 3,36 x 1018 m3 s-2.
21-02-2011
15
Leis de Kepler
As Leis de Kepler dão uma visão cinemática do sistema
planetário, não o explicam.
Do ponto de vista dinâmico, que tipo de força o Sol
exerce sobre os planetas, obrigando-os a se moverem
de acordo com as leis que Kepler?
A resposta foi dada por Isaac Newton (1642-1727):
FORÇA GRAVITACIONAL!!!!
Lei da Gravitação Universal
• Isaac Newton depois de ter
estabelecido as Leis da
Dinâmica, explicou o
movimento dos corpos.
Isaac Newton (1642-1727),
físico Inglês
21-02-2011
16
Lei da Gravitação Universal
Newton postulou a seguinte
hipótese:
“As forças que mantêm os
planetas nas suas órbitas têm
natureza idêntica à existente
entre os corpos terrestres.”
Logo, devem aplicar-se as
mesmas leis.
• A Lua experimenta uma
aceleração centrípeta,
• A maçã uma aceleração,
La
g
Lei da Gravitação Universal
Newton:
- Utilizou as Leis de Kepler;
- Considerou que as orbitas dos planetas eram
circulares;
(Suposição perfeitamente aceitável, já que as orbitas
elípticas dos planetas em torno do Sol apresentam
pequena excentricidade)
- Deduziu a expressão da força de interacção entre o
Sol e qualquer planeta.
2r
mMGF
21-02-2011
17
Lei da Gravitação Universal
• Designemos por m a massa do planeta, e por v a sua
velocidade escalar e por r o raio da trajectória.
Como,
vem:
Se T for o período de revolução do planeta
ccc amFr
va e
2
r
vmF
2
(1)
T
r
t
sv
2
(2)
Lei da Gravitação Universal
• Substituindo (2) em (1) vem:
Da 3ª Lei de Kepler vem:
2
2
3
2 44
r
mK
K
r
mrF
2
22
2
4
2
Tr
mr
r
T
r
mF
2
24
T
mrF
KT
r
2
3
21-02-2011
18
Lei da Gravitação Universal
• Fazendo
vem:
KK 2
1 4
21r
mKF
que é a força a que o planeta está sujeito.
(3)
A constante K da 3ª Lei de Kepler, tem o mesmo valor para todos
os planetas do Sistema Solar, mas depende do astro central que
exerce a força: o Sol, no caso dos planetas do Sistema Solar, a
Terra no caso da Lua, Júpiter no caso das suas luas, logo K1≠K2.
Lei da Gravitação Universal
• Segundo a Lei da acção-reacção, o Sol está sujeito a
uma força igual, mas de sentido contrário, o que significa
que sobre o Sol actua uma força de intensidade:
22r
MKF (4)
De (3) e (4) vem:
21r
mK
22r
MK
M
K1 .2 constm
K
Se designarmos por G esta constante teremos:
mGK 2 2r
mMGF
21-02-2011
19
Valor da constante de gravitação
• Da expressão:
Sabendo o raio médio da Terra: r = 6,37 x 106 m e
sabendo ainda a densidade relativa da Terra, d = 5,52.
O volume da Terra aproximadamente, considerando-a
como uma esfera de raio igual ao raio médio,
2r
mMGF
363 )10x37,6(142,33
4
3
4 rV
V = 1,083 x 1021 m3
Valor da constante de gravitação
• Cálculo da massa da esfera:
M = V = 5,52 x 103 x 1,083 x 1021
M = 5,98 x 1024 kg
Aplicando a Lei Fundamental da Dinâmica a um corpo
qualquer, de massa m, em queda livre junto à superfície
da Terra com massa, M
2r
Mm Gm g m g Fg
2211
24
262
kgmN10x65,610x98,5
)10x37,6(8,9 M
rgG
21-02-2011
20
Valor da constante de gravitação
• A demonstração experimental
da Lei da Gravitação
Universal só ocorreu cerca
de 70 anos após a morte de
Newton.
Henry Cavendish mediu pela
primeira vez, em 1798, a
intensidade da força de
atracção gravítica entre dois
corpos de pequena massa
com um dispositivo conhecido
por balança de torção de
Cavendish.Henry Cavendish (1731-1810)
Inglês
Valor da constante de gravitação
• O valor de G actualmente aceite é:
G = 6,67259 x 10-11 Nm2 kg-2
Esquema da balança de torção
de Cavendish:
21-02-2011
21
Balança de torção de Cavendish
Velocidade orbital
• Consideremos a massa da Terra, mT, e seja a massa do
satélite, ms, em orbita circular de raio r, em torno da
Terra.
21-02-2011
22
Velocidade orbital
• A força de interacção gravítica aplicada ao satélite é a
força centrípeta, que o mantém em órbita.
• Como a força de interacção gravítica é dirigida para o
centro da Terra, a força de interacção gravítica coincide
com a força centrípeta.
r
vm
r
mmG ssT
2
2
r
mGv T
orb
22 )( hR
mmGF
r
mmGF
T
sTg
sTg
cg FF
Velocidade orbital
• Esta expressão permite calcular o valor da velocidade
com que deve ser lançado um satélite (velocidade
orbital) para que este entre em órbita circular e continue
a mover-se, na sua órbita, com a velocidade que lhe foi
comunicada.
• Para calcular o período de revolução de um satélite
artificial utilizamos a expressão:
v
rT
2
r
mGv T
orb
21-02-2011
23
Velocidade orbital
• A velocidade orbital depende, assim:
da distância r a que o satélite se encontra do centro do
astro atractor. Os satélites com orbita de menor raio têm
velocidade de maior módulo.
da massa M do astro atractor.
• A velocidade orbital não depende da massa do satélite.
r
mGv T
orb
Velocidade orbital
