ESTUDO DE ÓRBITAS EM TORNO DE PHOBOS E DEIMOS

ESTUDO DE ÓRBITAS EM TORNO DE PHOBOS E DEIMOS

RELATÓRIO FINAL DE PROJETO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

(PIBIC/CNPq/INPE)

Amauri Leal de Souza Júnior (FEG-Unesp)

E-mail: [email protected]

Dr. Antonio F. Bertachini de A. Prado (ETE/INPE, Orientador)

Dra. Vivian Martins Gomes (FEG-Unesp, Co-orientadora)

Julho de 2015

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Sumário

Resumo ........................................................................................................................ 3

1. Introdução ............................................................................................................... 4

2. Metodologia ............................................................................................................. 5

2.1- Leis de Kleper ................................................................................................... 6

2.2- Elementos Kleperianos ..................................................................................... 6

2.3- Problema dos dois corpos ................................................................................. 7

2.4- Coordenadas cartesianas de posição e velocidade .......................................... 8

2.5- Transformação de coordenadas ...................................................................... 9

2.5.1- Elementos orbitais para cartesianos .......................................................... 9

2.5.2- Elementos orbitais para cartesianos ........................................................ 10

2.6- Problema Restrito de Três Corpos ............................................................... 11

3. As luas: Phobos e Deimos ...................................................................................... 15

4. Resultados ............................................................................................................. 16

4.1-Phobos .............................................................................................................. 16

4.2-Deimos .............................................................................................................. 19

4.3-Satélite na mesma órbita de Phobos ............................................................... 20

4.4-Satélite na mesma órbita de Deimos ............................................................... 28

5. Conclusão .............................................................................................................. 34

6. Referencias ............................................................................................................ 34

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RESUMO

Este trabalho tem a finalidade de estudar e encontrar possíveis órbitas estáveis ao

redor das luas de Marte: Phobos e Deimos. Para efetuar esses estudos foi necessário

utilizar conhecimentos relativos aos problemas de dois e três corpos. Para possibilitar a

análise do comportamento do satélite em sua órbita, são utilizadas integrações

numéricas, que foram efetuadas com um integrador Rung-Kuta de quarta ordem,

implementadas em linguagem FORTRAN. Essas integrações fornecem os dados

necessários para obterem-se as trajetórias e observar a sua evolução no tempo. O

problema de dois corpos fornece a teoria necessária para obter a velocidade da lua em

torno de Marte, bem como a sua trajetória. Porem, para trabalhar com a órbita do

satélite ao redor da lua, é necessário levar em contas as massas da lua e de Marte ao

mesmo tempo. Em particular, é preciso levar em conta que as luas de Marte têm massa

tão pequena que sua esfera de influência fica no interior de seu corpo. Isso faz com que

não seja possível a existência de órbitas dadas pelo problema de dois corpos, mesmo

que por um curto espaço de tempo, pois essas órbitas se “desprendam” da órbita inicial.

Devido a isso, estuda-se esse problema com o modelo dado pelo problema restrito de

três corpos, para analisar esta interferência de Marte e analisar o comportamento do

satélite ao redor das luas. Serão estudadas possíveis órbitas ao redor de Phobos e

Deimos, considerando o planeta Marte como corpo dominante e as luas como corpos

perturbadores. Após diversas simulações, confirma-se a não existência de órbitas

keplerianas ao redor das luas, pois a força gravitacional de Marte é muito maior para o

satélite se manter ao redor de quaisquer umas das luas. Estuda-se então, uma nova

abordagem, que consiste em considerar o satélite para orbitar marte na mesma distância

das luas, isto é, na mesma órbita das luas. Deste modo, coloca-se o veículo com

diferentes defasagens em relação às luas, e estudam-se os resultados, para verificar

como o satélite vai se comportar no decorrer do tempo.

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1. Introdução

O céu, espaço e todas as suas características (conhecidas ou não), nos instigam e

atraem nossos olhares a milhares de anos. Grandes mentes da humanidade procuraram

investir a maior parte de suas vidas investigando e tentando entender o que acontece em

nosso mundo e fora dele.

Nesta pesquisa tenta-se entender um pouco mais sobre o espaço, analisando possíveis

orbitas ao redor das luas de Marte: Phobos e Deimos. Ambas as luas são interessantes,

já que, pelos seus tamanhos e massas, possivelmente são corpos espaciais que foram

capturados por Marte e continuam a orbitar ao redor do mesmo.

Para isso, a teoria necessária para estudar estes corpos e propor órbitas estáveis ao

redor dos mesmos é imprescindível. Dentre estas teorias, pode-se destacar o Problema

Restrito de Três Corpos, assim como o de Dois Corpos. Ambos dão as correlações de

forças num determinado sistema, sendo possível assim, analisar o que ocorre no

decorrer do tempo com o veiculo espacial, para saber se ele consegue manter-se em uma

órbita segura ao redor de tais luas.

No mundo de hoje há inúmeros recursos que auxiliam no estudo do espaço e suas

curiosidades. Com o uso da programação pode-se ter uma maior eficiência e uma menor

margem de erro nos cálculos e análises de dados, sem contar que é possível ainda,

realizar esses cálculos de maneira muito mais rápida do que se fosse feito manualmente.

Por essa razão usa-se a linguagem de programação FORTRAN e o software gráfico

ORIGIN para calcular órbitas e para plotar as mesmas. Dessa forma têm-se a

visualização de como o veículo espacial se comporta em sua órbita e de que forma a

alteração de características de órbita (assim como as velocidades iniciais, adição de

corpos) alteram o seu movimento.

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2. Metodologia

A metodologia adotada será a de propagar trajetórias com condições iniciais dadas e

verificar o comportamento orbital do veículo espacial com relação à lua. A velocidade

inicial do veículo espacial com relação a Marte será variada em torno da velocidade da

lua. A posição do veículo será na mesma altitude da lua, deslocada de um pequeno

ângulo à frente ou atrás da lua.

Com esse mapeamento, é possível verificar o comportamento orbital diretamente dos

gráficos obtidos para a trajetória do veículo espacial, verificando-se visualmente as de

maior interesse, ou seja, as que passam mais tempo próximas da lua.

Com o auxilio do programa Microsoft Visual Studios, as equações de movimento

foram programadas em FORTRAN para um problema de três corpos. Aplicando

conhecimentos teóricos adquiridos no decorrer da pesquisa sobre as luas e a linguagem

de programação em si, foi possível construir programas que forneçam trajetórias de um

satélite ao redor das luas de Marte, assim como se pode ver nos resultados no próximo

item.

Como se imagina, o estudo de órbitas ao redor desses “pequenos” corpos celestes é

bastante difícil, pois ambas as luas possuem uma massa e tamanho pequenos, quando

comparadas a Marte e ao nosso Sistema Solar. Devido a isso, sabe-se que qualquer

perturbação gravitacional pode ser prejudicial a ponto de ocasionar desprendimento da

órbita e fuga do satélite. Portanto, o estudo correto de todas as variáveis possíveis é

necessário.

O projeto consiste em atribuir valores iniciais de velocidade e defasagem do veículo

espacial em relação à lua, assim como o número de pontos que serão plotados e o passo

de plotagem. Com isso são feitas as simulações numéricas. A partir dos corpos

escolhidos para análise e de seus valores constantes que serão colocados neste programa

(a sua massa, por exemplo), passa-se a editar uma segunda rotina do programa. Nesta

rotina há todas as equações do movimento descritas. Outras sub-rotinas fazem a

matemática do programa, ou seja, integram e fazem os cálculos a partir dos valores que

o usuário coloca. Como muitos pontos são gerados, os mesmos são salvos em arquivos

contendo duas colunas com todos os pontos (X, Y) da órbita.

A partir deste arquivo e do programa ORIGIN, plotam-se estes pontos em um gráfico

e a forma da órbita gerada é analisada, sendo anotado e estudado de que maneira o

satélite se comporta.

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2.1 Leis de Kepler.

TychoBrahe (1546-1601) não conseguiu formular uma trajetória que descrevesse

com perfeição suas observações do planeta marte, já que sua órbita é uma elipse com

excentricidade de 0,1, mesmo tendo feito um catálogo com observações dos planetas

com grande precisão.

Kepler (1571-1630) analisou o trabalho de Brahe e, após anos de estudo, conseguiu

finalmente ajustar a trajetória de Marte e formulou as conhecidas leis de Kepler.

1ª Lei de Kepler: Lei das Orbitas Elípticas. As Orbitas dos planetas são elipses

com o Sol como foco.

2ª Lei de Kepler: Lei das Áreas. O raio vetor de cada planeta com relação ao

Sol como origem varre áreas iguais em tempos iguais.

3ª Lei de Kepler:Lei harmônica. A relação dos quadrados dos períodos entre 2

planetas é igual à relação do cubo do semi-eixo maior de suas órbitas. Assim,

seja o planeta pi com período Ti e semi-eixo maior ai. Vale então (T1/T2)²=

(a1/a2)³= cte.

2.2 Elementos Kleperianos.

Como se vê a seguir, os elementos orbitais (Kleperianos) formam o conjunto de

características que definem uma órbita. Diferente de trabalhar com coordenadas

cartesianas que possuem muitas variáveis, este tipo de plotagem define todas as

características da órbita de um corpo utilizando um maior número de variáveis que são

constantes (excentricidade, semi-eixo maior, etc, como citados a seguir). Nesse conjunto

de elementos existe apenas uma variável, a anomalia verdadeira, o que facilita os

cálculos e acelera o processo de estudo.

Primeiro define-se um sistema de referência. Coloca-se como centro desse sistema o

centro da Terra (usada como exemplo, porém esses elementos valem para ouros corpos,

como Marte e suas luas) e o equador terrestre como plano fundamental. A intersecção

do plano orbital com o plano do equador é chamada de reta dos nodos. Desta reta

destacam-se dois pontos, Ω e π. Ω é chamado de nodo ascendente e π de perigeu.

O perigeu é o ponto onde a elipse mais se aproxima do foco (centro da Terra) e o

nodo ascendente é o ponto de cruzamento com o plano equatorial, dirigindo-se do

hemisfério sul para o norte.

Ω: longitude do nodo ascendente: corresponde ao ângulo no plano do equador, entre

o vetor fundamental I e o ponto onde o satélite intercepta o plano fundamental, isto é, o

ângulo entre a origem do eixo OX e OΩ;

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i: Corresponde à inclinação do plano orbital do satélite em relação ao plano

fundamental.

Os dois elementos demonstrados acima possuem a função de fixar o plano da órbita

ao plano fundamental, especificando a orientação do plano no espaço e o sentido do

movimento do satélite neste mesmo plano orbital.

α: Corresponde ao semi-eixo maior da elipse, o que nos dá o tamanho da orbita do

satélite.

e: Corresponde a excentricidade da elipse. Definindo a forma de nossa órbita.

Como destacado, ambos os elementos acima nos dão a forma de nossa elipse; da

órbita do satélite.

ω: argumento do perigeu- Corresponde ao ângulo entre o nodo ascendente e o ponto

do perigeu, localizado no plano orbital do satélite e medido com relação ao movimento

do mesmo.

O elemento acima fixa a posição da órbita em relação ao plano orbital.

Mas todos os elementos apresentados acima não dão a localização do satélite em sua

orbita, sendo necessário:

τ: época- Corresponde ao instante em que o satélite passa pelo perigeu.

2.3 Problema dos dois corpos.

Nesta parte do trabalho foi necessário o conhecimento e o estudo das relações do

movimento do satélite com a sua órbita e com relação ao plano fundamental.

Como já se sabe, os planetas de nosso sistema solar, assim como os satélites que os

rodeiam, possuem órbitas kleperianas e elípticas, o que dá um ciclo fechado. O tempo

necessário para um satélite dar a volta neste ciclo fechado é chamado de período. Temos

que a energia em uma órbita elíptica pode ser deduzida a partir da fórmula da

excentricidade (Kugaet al., 2012).

E =−µ

2α, (2.1)

Como visto antes, 𝛼 é o semi-eixo maior, enquanto µ corresponde à constante

gravitacional de nosso planeta.

Agora se precisa definir algumas relações do movimento do satélite com sua posição.

f: conhecida como anomalia verdadeira, corresponde ao ângulo no plano orbital entre

o perigeu e a posição do satélite, fornecendo assim a posição do satélite em sua orbita.

U: anomalia excêntrica; forma alternativa de especificar a posição do satélite.

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rp: periapse; este corresponde ao ponto onde o raio orbital é mínimo.

ra: apoapse; corresponde ao ponto da órbita mais afastado do corpo em questão, ou

seja, o ponto onde o raio orbital é máximo.

b: semi-eixo menor; metade da largura de uma elipse medida do centro.

p: semi-latusrectum; segmento de uma reta contendo um foco e perpendicular ao

semi-eixo maior limitado pela elipse.

Após a definição de todos esses elementos, chega-se a forma final da Equação de

Kepler:

𝑀 = 𝑈 − 𝑒. 𝑠𝑖𝑛(𝑈) (2.2)

2.4 Coordenadas cartesianas de posição e velocidade.

Coordenadas cartesianas é a forma de representação gráfica mais utilizada na

engenharia. Seja para plotar o comportamento de um carro ao longo do tempo, ou até a

queda de tensão em um resistor. Também é possível utilizar tal forma de representação

para esta pesquisa. Para compreender como são obtidas as coordenadas X e Y, deve se

seguir uma linha de cálculos descrita abaixo.

Podem-se calcular as coordenadas cartesianas de posição e velocidade. A coordenada

x é dada a partir de (Kugaet al., 2012):

𝑥 = 𝑟. cos(𝑓) = 𝑎 ∗ cos(𝑈 − 𝑒) (2.3)

Para calcular y necessita-se do raio com relação à anomalia excêntrica U:

𝑟 = 𝑎. (1 − 𝑒. cosU) (2.4)

Assim tem-se que y será:

𝑦² = 𝑟²− 𝑥² (2.5)

Tem-se então:

𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛(𝑓) = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝑈). (1 − 𝑒2)1/2 (2.6)

Para encontrar, então, as velocidades, deriva-se x e y com relação ao tempo. Desse

modo tem-se também a variação temporal da anomalia excêntrica:

𝑛 = . (1 − 𝑒. cos 𝑈) (2.7)

E assim:

9

= −𝑛𝑎2

𝑟. 𝑠𝑒𝑛(𝑈) (2.8)

= 𝑛𝑎2

𝑟(1 − 𝑒2)1/2cos(𝑈) (2.9)

2.5 Transformação de coordenadas

Nesta pesquisa, é necessário a transformação constante de elementos Kleperianos

para elementos cartesianos e vice-versa. Como visto anteriormente fica mais fácil

trabalhar com elementos orbitais. Do mesmo modo, quando plota-se os gráficos das

órbitas obtidas, trabalha-se novamente com um conjunto de pontos (X,Y) que dá a

posição do satélite no decorrer do tempo. Deste modo fica mais fácil a plotagem dos

resultados no programa ORIGIN.

Portanto, é necessária a aprendizagem da teoria da transmutação entre esses sistemas

de coordenas, que é explicado nos subitens a seguir.

2.5.1 Elementos orbitais para cartesianos

Primeiramente deve-se lembrar de que o movimento se desenvolve no plano orbital,

sendo assim tem-se (Kugaet al., 2012):

𝑍 = = 0 (2.10)

Possuindo os ângulos de Euler de órbita podem-se encontrar os valores cartesianos,

com o uso de uma matriz de rotação. Desse modo:

𝑋𝑇 = 𝑅(𝑖,Ω, 𝜔)𝑥𝑇 (2.11)

Sendo: 𝑋𝑇 = (𝑋, 𝑌, 𝑍)𝑒𝑥𝑇 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)

Pode-se obter o vetor velocidade de forma análoga usando a mesma transformação.

Matriz de rotação:

𝑅(𝑖,Ω, 𝜔) =

=𝑐𝑜𝑠Ω𝑐𝑜𝑠𝜔 − 𝑠𝑒𝑛Ω𝑐𝑜𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝜔 −𝑐𝑜𝑠Ω𝑠𝑒𝑛𝜔 − 𝑠𝑒𝑛Ω𝑐𝑜𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑠𝑒𝑛Ω𝑠𝑒𝑛𝑖𝑠𝑒𝑛Ω𝑐𝑜𝑠𝜔 + 𝑐𝑜𝑠Ω𝑐𝑜𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝜔 −𝑠𝑒𝑛Ω𝑠𝑒𝑛𝜔 + 𝑐𝑜𝑠Ω𝑐𝑜𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠𝜔 −𝑐𝑜𝑠Ω𝑠𝑒𝑛𝑖

𝑠𝑒𝑛𝑖𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑠𝑒𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑐𝑜𝑠𝑖

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2.5.2 Coordenadas cartesianas para elementos orbitais

Do mesmo modo em que há como transformar dados de elementos orbitais para

coordenadas cartesianas de posição e velocidade, há como também, fazer o mesmo para

o caminho inverso, mas, neste caso, tem-se que seguir outra linha de resolução:

Primeiro calcula-se o módulo dos vetores posição e velocidade e, após essa parte,

calcula-se o semi-eixo maior α, lembrando-se de que:

𝑣² = µ(2

𝑟−

1

α) (2.12)

Sendo v o módulo do vetor velocidade, e r o módulo do vetor posição.

A partir desta fórmula pode-se encontrar o valor de α.

Considerando:

𝑟 = 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 (2.13)

Pode-se calcular a nossa excentricidade a partir das relações:

𝑒. 𝑠𝑒𝑛(𝑈) =𝑟

𝑛𝑎² (2.14)

𝑒. cos(𝑈) = 1 −𝑟

𝑎 (2.15)

Assim tem-se, a partir de (2.14) e (2.15):

𝑒 = [(𝑟

𝑛𝑎2)2

+ (1 −𝑟

𝑎)2

]1/2 (2.16)

A inclinação i pode ser obtida a partir do momento angular específico h.

Simplificando, tem-se que:

ℎ = √hx² + hy²+hz² (2.17)

Sendo:

hx=(YZ − ZY); hy=(ZX − XZ); hz=(XY − YX) (2.18)

Assim, tem-se que:

cos i = hz

h, 0≤i≤ 180 .

Para o nodo ascendente (Ω) deve-se lembrar que o momento angular ℎ é

perpendicular ao plano da órbita do satélite, desta maneira ele também é perpendicular

ao vetor nodo ascendente, assim:

Ω = Kxh , (2.19)

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Sendo o versor no eixo Z. Assim:

tg(Ω) = Ωy

Ωx=

hx

−hy (2.20)

Sabendo que:

r

a= 1 − e. cosU (2.21)

Pode-se, a partir desta equação, calcular a anomalia excêntrica, que será essencial

para obter a anomalia media M, usando a eq. (2.2).

Por último, precisa-se calcular o argumento da periapse ω. Porém, também é preciso

definir um ângulo auxiliar ν, que se chama de longitude verdadeira.

ν = ω + 𝑓 (2.22)

Para esta fórmula define-se:

tgν = − cos isenΩX+cos i cosΩY+seniZ

cosΩX+senΩY (2.23)

tgf = cosU−e

(1−e²)1/2senU (2.24)

Agora, fica fácil de observar que:

ω = ν − f (2.25)

2.6 Problema Restrito de Três Corpos

Para a próxima etapa da pesquisa, é utilizado o problema restrito de tres corpos.

Resumidamente, há tres corpos no movimento, dois deles com uma massa significativa

e o outro com massa desprezivel, que orbita o sistema em que os outros corpos estão

presentes.

Têm-se as equações de movimento do problema geral de três corpos(Prado, 2001):

r1 = −Gm2r1 −r2

|r1 −r2 |3 + −Gm3

r3 −r1

|r3 −r1 |3 (2.26)

r2 = −Gm3r2 −r3

|r2 −r3 |3 + −Gm1

r1 −r2

|r1 −r2 |3 (2.27)

r3 = −Gm1r3 −r1

|r3 −r1 |3 + −Gm2

r2 −r3

|r2 −r3 |3 (2.28)

Mas, ao considerar o problema restrito de tres corpos, adota-se que um deles possui

uma massa infinitesimal, ou seja, pode-se considerar que m3=0. Dessa forma obtem-se

as equações:

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r1 = −Gm2r1 −r2

|r1 −r2 |3 (2.29)

r2 = −Gm1r1 −r2

|r1 −r2 |3 (2.30)

r3 = −Gm1r13

r133 + −Gm2

r23

r233 (2.31)

Ou seja, retira-se um termo das duas primeiras equações. Isto facilita muito, já que é

possível calcular o movimento desses dois corpos usando o problema de 2 corpos.

Resultado este devido ao fato da massa do satélite ser muito pequena e não causar

peturbações no movimento destes corpos, mas apenas ter a sua órbita perturbada pelos

dois.

Mas ainda é preciso trabalhar com a terceira equação do movimento, que define o

movimento do satélite.

Para esta etapa, considera-se que os corpos m1 e m2 possuem orbitas circulares de

raios a e b, respectivamente, como vizualiza-se na figura 1.

Fig. 1 Sistema de coordenadas para o problema restrito-circular-plano de três corpos.

(FONTE: Prado, 2001)

Analisando a Fig.1, tem-se que o eixo de coordenadas x-y é fixo, enquanto 𝑋

corresponde a um eixo variavel no tempo (t*), girando com velocidade angular n. Desse

modo tem-se que m1 e m2 não se movem neste sistema de referencia. Pode-se agora

adotar:

Gm1m2

(a+b)2= m1an² = m2bn² (2.32)

Definindo, tambem, L= a+b e m= m1+m2, tem-se:

a =m2L

meb =

m1L

m (2.33)

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Também é possível dizer que a posição dos corpos m1(x1, y1) e m2(x2, y2) no sistema

de referencia x-y terá a forma:

x1 = −acos(nt∗) , y1 = −asen(nt∗) (2.34)

x2 = b cos(nt∗) , y2 = bsen(nt∗) (2.35)

Assim, a equação de movimento do terceiro corpo para o sistema inercial será da

forma:

d2x

dt2= −G [m1

(x+acos(nt∗))

r133 + m2

(x−bcos(nt∗))

r233

] (2.36)

d2y

dt2= −G [m1

(y+asen(nt∗))

r133 + m2

(y−bsen(nt∗))

r233

] (2.37)

Esta fórmula corresponde ao movimento do terceiro corpo no sistema x-y, definido

em duas partes (eixo x e eixo y).

Pode-se definir também, a equação de movimento de m3 para o sistema não inercial.

Isto facilitará um pouco, já que é removido o tempo das equações, devido ao fato dos

corpos m1 e m2 estarem estáticos neste sistema. Dessa forma, tem-se:

𝑥 = cos(nt∗) − sen(nt∗) (2.39)

𝑦 = sen(nt∗) + cos(nt∗) (2.40)

Estas equações podem ser reescritas na forma exponencial:

S = sejnt∗ , ondes = x + jy, S = x + yj, j = √−1 (2.41)

Ao derivarmos estas equações duas vezes (com relação a t*), obtem-se:

[d2s

dt∗2+ 2

ds

dt∗(jn) − sn²] ejnt∗ (2.42)

Considerando as distâncias de m1 à m3, e de m2 à m3:

r13 = |S − S1| (2.43)

r23 = |S − S2| (2.44)

Onde fica claro observar que S1 e S2 correspondem às posições dos corpos m1 e m2.

De forma que:

S1 = −aejnt∗ (2.45)

𝑆2 = 𝑏ejnt∗ (2.46)

Agora, podem-se comparar as equações de movimento de m3, de forma que:

d2𝑆

dt∗2= [

d2s

dt∗2+ 2

ds

dt∗(jn) − sn²] ejnt∗ = −G [m1

(s+a)

|s+a|3+ m2

(s−b)

|s−b|3] ejnt∗ (2.47)

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Que é equivalente à:

d2x

dt∗2− 2n

dy

dt∗− n²x = −G [m1

(x+a)

r133 + m2

(x−b)

r233] (2.48)

d2y

dt∗2+ 2n

dx

dt∗− n²y = −G [m1

y

r133 + m2

y

r233] (2.49)

É necessário agora, definir a integral de Jacobi, sendo ela de extrema importância,

pois é a única integral de movimento do problema que será estudado (restrito de três

corpos).

Para ser obtida esta integral necessita-se de uma pré-etapa, que corresponde a definir

a “função-força” das equações de movimento (Prado, 2001).

𝐹 =𝑛2

2(x2 + y2) + 𝐺 (

m1

r13+

m2

r23) (2.50)

Que dará:

d2

dt∗2− 2n

d

dt∗=

∂F

∂ (2.51)

d2

dt∗2+ 2n

d

dt∗=

∂F

∂ (2.52)

Agora é preciso multiplicar estas duas últimas equações por 𝑑

𝑑𝑡∗ e 𝑑

𝑑𝑡∗

respectivamente, somar os resultados obtidos e, por fim, integrar com relação ao tempo.

Obtendo assim:

∫ (∂F

∂

∂

∂t∗+

∂F

∂

∂

∂t∗) dt∗ = 𝐹 −

𝐶

2

𝑡

𝑡0 (2.53)

E resultando:

² = 𝑛²² + 2𝐺 (m1

r13+

m2

r23) − 𝐶 (2.54)

Que corresponde a integral de Jacobi.

Na pesquisa, usa-se o sistema de coordenadas admensionais, simplificando as

equações de movimento. Neste sistema, também conhecido como sistema de unidades

canônicas, possui certas características, como:

M=m1+m2; D(distância) = distância entre os corpos 1 e 2; G=1; n (velocidade

angular do movimento) é unitária; o período do movimento se torna 2π.

Defini-se para este sistema:

𝑥 =

𝐿; 𝑦 =

𝐿; 𝑡 = 𝑛𝑡∗ (2.55)

𝑟1 =𝑟13

𝐿; 𝑟2 =

𝑟23

𝐿; µ1 =

𝑚1

𝑚; µ2 =

𝑚2

𝑚 (2.56)

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𝐹𝑎 =𝐹

𝐿²𝑛² (2.57)

Assim, tem-se:

− 2 = Ω𝑥 (2.58)

+ 2 = Ω𝑦(2.59)

Ω =1

2(𝑥² + 𝑦²) +

µ1

𝑟1+

µ2

𝑟2 (2.60)

Sendo Ωx e Ωy as respetivas derivadas parciais.

3. As luas: Phobos e Deimos.

Diferentemente da Lua da Terra, Phobos e Deimos possuem um tamanho

relativamente pequeno. Isto dificulta, já que por ser menor e possuir uma massa menor,

gera uma força gravitacional menor. O fato de seus tamanhos serem tão pequenos

comparados a Marte, junto com suas órbitas serem relativamente próximas do mesmo

planeta, qualquer mínima interferência poderia prejudicar uma possível órbita de um

satélite ao redor de qualquer uma das luas (como serão demonstrados nos resultados).

Possivelmente, Phobos é um asteroide capturado por Marte, assim como Deimos, o

que as tornam, do ponto de vista científico, muito importantes para análises do sistema

solar, já que por sua proximidade da Terra, assim como as características orbitais das

luas ao redor de Marte, as tornam um ponto de estudo interessante para estes tipos de

corpos. Muitas pesquisas científicas podem ser feitas, tais como a composição e forma

desses corpos. A possibilidade de Phobos ser um asteroide capturado faz com que um

estudo detalhado esclareça essa questão, bem como ajude a explicar fenômenos ligados

a evolução do Sistema Solar. Uma nave em torno desses satélites ajudaria muito nesse

tipo de pesquisa.

Phobos possui um raio pequeno de 11,1 km (raio médio). Considera-se este raio,

médio, devido a ser um corpo deformado. É a maior das duas luas de Marte e a que fica

mais próxima do planeta. Possuindo um raio de órbita médio de 9378 km, uma

inclinação bem pequena (1,08º), e um período de rotação de aproximadamente 7,65

horas, que é igual ao período que demora a dar uma volta em torno de Marte. Como

consequência deste fato, Phobos sempre possui a mesma face virada para Marte. Pode-

se definir então a sua velocidade média ao redor de Marte: 2,139 km/s.

Já Deimos é a menor das duas luas, com um raio médio de 6,2 km, e é a lua mais

distante de Marte, com um raio de órbita de 23459 km. Possui um período de rotação

de1 dia, 6 horas e 17,9 minutos. Assim como Phobos, o seu período de rotação é o

mesmo da órbita, assim sempre a mesma face está voltada para Marte. Pode-se definir

então a sua velocidade média ao redor de Marte: 1,35 km/s.

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Como já dito antes, devido à formação de Phobos e Deimos e as suas características

orbitais, assim como sua proximidade com relação a Marte, ambas as luas são pontos de

estudos interessantes.

Serão buscadas órbitas planas, não keplerianas, com o vínculo de permanecerem

algum tempo nas proximidades da lua. Distâncias inferiores a 300 km teriam grande

interesse. O tempo de duração dessas órbitas será mapeado, entretanto não será fixado

um objetivo específico. Primeiramente porque não estamos trabalhando com uma

missão especifica, e segundo porque podemos realizar manobras que façam o ciclo se

repetir. Em suma, mesmo órbitas de curta duração são de interesse, pois podem ser

estendidas com manobras orbitais.

4. Resultados

Para estudar esse problema, é considerado inicialmente uma órbita circular em torno

das luas. O modelo do problema restrito de três corpos é usado. A seguir essa órbita é

propagada no tempo para verificar se o veículo permanece próximo da lua.

Como será visto nos gráficos a seguir, não foi possível gerar uma única órbita estável

ao redor de nenhuma das luas de Marte. Como esperado, o tamanho e a massa das luas

são muito pequenas, e Marte tira o satélite de órbita, o que impossibilita uma órbita

contínua.

Estudam-se então órbitas ao redor de Marte, com a mesma distância das luas, ou seja,

na mesma órbita das luas, variando defasagens, isto é, está defasado da lua em questão.

Vê-se nos gráficos a seguir que esta abordagem nos fornece possíveis órbitas de estudo

para Phobos e Deimos.

4.1-Phobos

Para estudar o movimento do veículo espacial em torno das luas as simulações

numéricas são feitas assumindo movimento plano e inicialmente circular, iniciado no

eixo x a diferentes distâncias da lua. Sendo assim, as variáveis têm os seguintes

significados:

Como é lido na legenda da Fig. 2, X corresponde à posição inicial do satélite com

relação ao eixo X. Vy corresponde à velocidade inicial do mesmo, porém, percebe-se

ser um número específico. Este valor inicial corresponde à velocidade na qual o satélite

deveria descrever uma órbita circular ao redor da lua, mas como é observado no gráfico

acima, isto não ocorre. DT e NP são características que vão influenciar na geração de

pontos, ou seja, no gráfico, mas não alteram o movimento. NP é o número de pontos da

17

trajetória e DT o passo de plotagem (considera-se como o “incremento" do gráfico, de

ponto em ponto).

-300000 -250000 -200000 -150000 -100000 -50000 0

-200000

-150000

-100000

-50000

0Y

(km

)

X(km)

Fig.2: Trajetória do veículo espacial para X= 12 km, Vy=0,0077501344 km/s, Dt= 100 s,

NP=1000.

-16000-14000-12000-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000

-8000

-7000

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

Y(k

m)

X(km)

Fig.3: Trajetória do veículo espacial para X= 12 km, Vy=0,0077501344 km/s,

Dt= 10s, NP=1000.

Ao diminuir o valor de DT, porém mantendo todos os outros valores de órbita, tem-

se um “zoom" da trajetória perto do ponto de partida. Isto é, comparando as figuras2 e

3, tem-se que o segundo demonstra o que ocorre na proximidade da lua, assim que o

satélite sai de órbita. A segunda figura demonstra não apenas o que acontece quando o

satélite sai de órbita, mas também mostra que no decorrer do tempo ele continua se

distanciando da lua. Portanto, comprova que não foi possível obter uma órbita em torno

da lua com uma única revolução completa.

18

Foram plotados diversos gráficos para este movimento, alternando DT, NP, Vy e X,

mas em todos os gráficos, não importando as variações feitas, não se consegue

encontrar uma órbita segura para o satélite ao redor de Phobos. Foram colocados alguns

dos gráficos gerados para demonstrar que essa premissa estava correta:

-250000 -200000 -150000 -100000 -50000 0

-250000

-200000

-150000

-100000

-50000

0

Y(k

m)

X(km)

Fig.4: trajetória do veículo espacial para X= 50 km, Vy= 0,003796775 km/s, Dt= 100 s, NP=1000.

-300000 -250000 -200000 -150000 -100000 -50000 0

-200000

-150000

-100000

-50000

0

Y(k

m)

X(km)

Fig.5:Trajetória do veiculo espacial para X= 100 km, Vy=0,0026847253 km/s, Dt= 100 s, NP=1000

Como se observa, o satélite continua saindo de órbita.

19

4.2-Deimos

Para Deimos tem-se o mesmo resultado, tornando os gráficos muito parecidos com

os de Phobos. Dessa maneira, é apresentado apenas dois desses gráficos.

-140000-120000-100000 -80000 -60000 -40000 -20000 0 20000

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0

Y(k

m)

X(km)

Fig.6: Trajetória do veiculo espacial para Y= 7.3 km, Vy=0,004056605 km/s, Dt= 100 s, NP=1000.

-4000 -3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

Y(k

m)

X(km)

Fig.7: Trajetória do veiculo espacial para X= 7.3 km, Vy= 0,004056605 km/s, Dt= 10 s, NP=1000.

As figuras 6 e 7 são comparáveis às figuras 2 e 3. Do mesmo modo que foi explicado

anteriormente, a Fig.7 seria comparada a um "zoom"; aproximação da região da órbita

mais próxima da lua, enquanto a figura 6 mostraria o que ocorre mais para frente.

Como foi confirmado que não existem órbitas em torno de phobos e Deimos (Gil e

Schwartz, 2010) decide-se adotar uma nova abordagem.

20

A nova abordagem consiste em colocar o satélite em uma orbita ao redor de Marte, e

não ao redor das luas, todavia, este satélite estaria “próximo” da lua que se quer estudar,

isto é, ele estaria seguindo a lua. Dessa forma buscam-se trajetórias onde o satélite

permaneça próximo da lua, e assim estudá-la. Colocamos o satélite em torno de Marte

na mesma órbita da lua, porém defasados de certo ângulo, em termos de anomalia

verdadeira. Estes gráficos serão considerados como o satélite seguindo as luas.

4.3 Satélite na mesma órbita de Phobos.

Tem-se uma pequena variação neste programa, com relação ao anterior, adiciona-se

DEF, que corresponde à defasagem do satélite, isto é, quantos graus ele está defasado da

lua em questão. Como o tamanho e a massa da lua são muito pequenos quando

comparados a Marte, tem-se que a lua causa interferências na órbita de nosso satélite,

mas nunca domina o movimento.

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)

Trajetoria sat. em torno de Marte

Trajetoria da Lua em torno de Marte

Satélite em relaçao a Lua

Fig.8: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua

(v=2,1361502655 km/s) e uma defasagem de 0,1º.

Como é possível ver nesta figura, o satélite se mantém numa órbita próxima de

Phobos. Mas ao se estudar a parte azul do mesmo (Satélite em relação à lua), nota-se

que o Satélite começa a se distanciar de Phobos aos poucos. Devido a isto será dado um

zoom nestas órbitas.

21

-300 -200 -100 0 100 200 300

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Y(k

m)

X(km)

Fig.9: Trajetória do veiculo espacial com relação aPhobos deste caso.

A figura 9 demonstra este distanciamento ao longo do tempo. O que da algo

relativamente pequeno ao considerar as dimensões das escalas orbitais de Phobos e do

veículo espacial ao redor de Marte, tornando este caso curioso para a pesquisa. Note que

essa órbita se mantém próxima de Phobos (menos de 300 km da lua) pelo tempo total de

integração de100s a cada ponto gerado. Sendo assim, é uma órbita de interesse.

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)

Trajetoria satélite em torno de Marte




(v= 2,1361502655 km/s) e uma defasagem de 1º.

22

A Fig. 10 mostra que, mesmo mantendo a velocidade do veículo espacial igual a da

lua, aumentando o DEF (de 0,1º para 1º) tem-se que este começa ao se distanciar muito

de Phobos. Como nota-se na órbita azul do gráfico, a distância aumenta relativamente

ao aumentar o DEF, como se vê na figura a seguir.

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)





(v=2,1361502655 km/s) e uma defasagem de 2º.

Fica claro que ao diminuir ou aumentar a velocidade do veículo espacial, tem-se um

aumento ainda maior dessa distância e uma maior diferença entre as órbitas de Phobos e

do veiculo, já que este, ao diminuir a velocidade, se aproxima mais de Marte, e ao

aumentar a velocidade, se afasta da órbita de Phobos, como se vê a seguir.

23

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)




Fig.12: Trajetória do veiculo espacial para: v= 2 km/s e uma defasagem de 0.1º.

Para essa velocidade inicial pode-se ver que o veiculo se aproxima mais de Marte do

que de Phobos (trajetórias preta e vermelha, respectivamente), o que aumenta a

distância destes no decorrer do tempo, mesmo com um DEF pequeno. Portanto, ao

aumentar DEF, mantendo a mesma velocidade, irá aumentar também a distância entre

os corpos.

24

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)




Fig.13: Trajetória do veiculo espacial para: v= 1,5 km/s e uma defasagem de 0.1º.

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)





25

Na Fig. 14 é possível ver que o veículo se afasta da órbita de Phobos, o que também

aumenta a distância entre eles no decorrer do tempo. E o mesmo ocorrerá ao se

aumentar DEF mantendo esta velocidade.

Após analisar os casos acima, é confirmado que os casos mais curiosos e atrativos

para a pesquisa serão com o uso de pequenos valores para DEF, com o veículo espacial

tendo a mesma velocidade inicial de Phobos. Estudam-se estes casos a seguir.

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)




Fig.15: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua e uma

defasagem de 0,05º.

Observa-se que mesmo com um DEF menor, temos um caso em que a órbita do

veiculo espacial se aproxima levemente de Marte, aumentando a distância entre o

mesmo e Phobos.

26

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)





defasagem de -0,05º.

Ao mudar o DEF para -0,05º, é notório agora que a órbita do veículo se distancia

mais de Phobos. Como se observa, o mesmo pode ser visto para 0,01º e -0,01º:

27

-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)






-10000 -5000 0 5000 10000

-10000

-5000

0

5000

10000

Y(k

m)

X(km)






28

Após analisar todas as figuras, tem-se que a melhor órbita para o veiculo espacial é a

da Fig.8, a qual tem o menor distanciamento deste com relação à Phobos no decorrer do

tempo.

4.4-Satélite na mesma órbita de Deimos.

Deimos vai apresentar resultados similares aos de Phobos, como é visto nas figuras a

seguir.

-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

Y(k

m)

X(km)




Fig.19: Trajetória do veiculo espacial considerando a velocidade a mesma que a da lua (v=1,34911422

km/s) e uma defasagem de 0,1º.

29

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

Y(k

m)

X(km)

Fig.20: Trajetória do veiculo espacial com relação aDeimos deste caso.

Assim como para o caso de Phobos, o veículo espacial mantém uma órbita bem

parecida com a da lua, porém também possui um distanciamento no decorrer do tempo.

Este distanciamento aumenta ao variar a velocidade ou ao aumentar o DEF.

-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

Y(k

m)

X(km)





defasagem de 2º.

30

-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

Y(k

m)

X(km)





-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

Y(k

m)

X(km)





31

Como observa-se, o caso de Phobos se assemelha ao de Deimos. Quando a

velocidade do veiculo aumenta, este tende distanciar a sua órbita com relação à órbita

de Deimos, aumentando a distância entre eles no decorrer do tempo, o que também

ocorre quando a velocidade diminui mas, neste caso, o veículo se aproxima de Marte,

ou seja, sua órbita é mais próxima de Marte.

Deimos órbita a uma distância maior que a de Phobos. Para esta escala, a distância

entre os corpos (veículo espacial e Deimos), tende a ser maior do que quando

comparada com de a Phobos.

Analisando as figuras, os melhores casos também deverão ser para DEF pequenos e

com o veículo espacial com a mesma velocidade que a de Deimos.

-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

Y(k

m)

X(km)






32

-1000 -500 0 500 1000

-1000

-500

0

500

1000

1500

Y(k

m)

X(km)

Fig.25: Trajetória do veiculo espacial com relação aDeimos deste caso.

-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

Y(k

m)

X(km)






33

-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

Y(k

m)

X(km)






-30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

Y(k

m)

X(km)






34

Como visto anteriormente, com DEF negativos o veículo espacial tende a se

distanciar de Marte, ou seja, sua órbita fica maior que a de Deimos, aumentando a

distância entre eles. Ocorrendo a mesma coisa quando o DEF é positivo, mas nesse caso

o veículo se aproxima de Marte, tornando a sua órbita menor que a de Deimos.

No caso de Deimos, a melhor órbita para estudo foi obtida na Fig. 24, a qual possui a

menor distância entre os corpos no decorrer do tempo.

5. Conclusão

A partir dos resultados mostrados acima, fica evidente que a abordagem inicial

(estudo de órbitas ao redor das luas) se torna ineficaz. Assim, não é possível gerar uma

órbita segura ao redor destas luas.

Ao se estudar a nova abordagem, é possível encontrar algumas órbitas interessantes

para os estudos de Phobos e Deimos. Com o veículo espacial orbitando Marte na mesma

distância das luas, ou seja, na mesma órbita de Deimos ou Phobos, obtêm-se órbitas

seguras ao redor de Marte, porém os corpos (veículo e lua) se distanciam no decorrer do

tempo, em alguns casos mais do que outros. Nos melhores casos (Fig.24 e Fig.8), o

veículo continua em sua órbita, que é bem próxima das luas (Deimos e Phobos

respectivamente), assim, o distanciamento entre o veículo espacial cresce no decorrer do

tempo, mas não muito, tornando estas órbitas interessantes para a pesquisa.

Como estudos futuros, é possível considerar geometrias alternativas, com o veículo

espacial iniciando sua trajetória um pouco acima ou abaixo das luas, com relação a

Marte. Outras possibilidades seriam considerar a presença de outras forças no sistema,

como a presença da gravidade do Sol ou mesmo a colocação de um painel solar nos

veículos espaciais, com o objetivo adicionar uma força perturbativa devido à pressão de

radiação solar que pode melhorar as trajetórias obtidas.

6. Referencias

Kuga, H. K.; Carrara, V.; Rao, K. R. Introdução a mecânica orbital.

sid.inpe.br/iris@1905/2005/07.28.23.45-PUD, 2a Ed. São José dos Campos, 2012.

Prado, A. F. B. A. Trajetórias espaciais e manobras assistidas por gravidade. São josé

dos Campos: INPE. 2001

Gil, P.J. S.; Schwartz, J. Simulationsof Quase-SatelliteOrbitsAroundPhobos.

JournalofGuidance, Control, and Dynamics. Vol. 33, No. 3, Maio-Junho 2010

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fobos_%28sat%C3%A9lite%29, visitado em

05/02/2015.

35

http://pt.wikipedia.org/wiki/Deimos_%28sat%C3%A9lite%29, visitado em

05/02/2015.

Documents

ESTUDO DE ÓRBITAS EM TORNO DE PHOBOS E DEIMOS