Movimento Movimento ElípticoElíptico

R. BoczkoIAG-USP

020706

Órbitas não circularesEudoxo

(Grego, 408 a.C. – 355 a.C.)

As órbitas dos planetas não são

perfeitamente circulares

Movimento Kepleriano

Elipse

KeplerAlemão

1571 - 1630

Estudo da elipse

Definição de elipse e de seus elementos

principais

Traçar uma Traçar uma circunferênciacircunferência

Chã

o

Comprimento do barbante = a

R=a

Traçar uma elipseTraçar uma elipse

Chã

o

Comprimento do barbante = 2.a

Definição de uma elipse

rr’

FF’

2a

r + r’ 2a

Elipse

Q

Elementos de uma elipse

PA O

Ff

b

a

B

B’

a = semi-eixo maiorb = semi-eixo menorf = distância focale = excentricidade

e f/a

f ae

Semi-eixo menor b

rr’

FF’

Q = B

O ff

br + r’ 2a

r = r’r = a

No OBF :b2 = r2 - f2 b2 = a2 - f2 f ae

b2 = a2 - (ae)2

b2 = a2 - a2 e2

b2 = a2(1 - e2)

b = a {1- e2}

Equação da circunferência e da elipse

Q

y

b

Circunferência

x2 + Y2 = a2

Elipse

x2 / a2 + y2 / b2 = 1

y

Y

xxO

a

Equação da reta tangente à elipse num ponto M

Elipse

x2 / a2 + y2 / b2 = 1

yM

y

xxMO

a

b

Reta tangente

x.xM / a2 + y.yM

/ b2 = 1 M

Perímetro aproximado de uma elipse

Oa

b

P 3 ( a+b ) / 2 - {a.b}

Velocidade média de translação da Terra

Oa

b

P 3 ( a+b ) / 2 - {a.b}

v = P / T

T 365,25 dias

a = 1 UA 150.000.000 km

e = 0,01673

b = a {1- e2}

b = 1 {1- 0,016732}

b = 0,999.860.043.8

P 3 ( 1+ 0,999.860.043.8 ) / 2 - {1x 0,999.860.043.8}

P 8,424.188.413.1 UA 1.263.628.261,962 km

v = 1.263.628.261,962 km / 365,25 d

v 3.459.625 km/dia 40 km/s

Quanto vale o raio orbital médio ao longo

de um ciclo?

Elipse

r1

rmédio = ?

r2

r3

Mostrar que a média dos raios orbitais é o semi-eixo maior

FPA

O

F'

Q1

rr'

Q'1

rr'

Q1 r + r' = 2a

Q'1 r' + r = 2a

r + r' + r' + r = 2a + 2a

r + r' + r' + r = 4a

(r + r' + r' + r) / 4 = a

r1 = a

Q1 e Q'1 r1 = a

Q2 e Q'2 r2 = a

QN e Q'N rN = a

...

r1 + r2 + ... + rN = N.a

(r1 + r2 + ... + rN ) / N = a

r = a

Para um par de pontos simétricos

Para todos os pares de

pontos simétricos

Circunferência achatada = Elipse

=

Fator de contração (C)

rr’

FF’

Q = B

Off

b

r + r’ 2ar = r’r = a

No OBF :b2 = r2 - f2 b2 = a2 - f2 f ae

b2 = a2 - (ae)2

b2 = a2 - a2 e2

b2 = a2(1 - e2)b = a {1- e2}

C {1- e2}

b = aC

Convenção de Convenção de representaçãorepresentação

Quadrante elíptico

OP

Y

B

XO

P

Y

B

X

Elipse considerada como uma

circunferência contraída

=

Elipse = Circunferência contraída

Y

y

Q’

Q”

Q

x

y

ox = X

Para a circunferência:X2 + Y2 = a2

Como x = X, então:x2 + Y2 = a2

x2 = a2 - Y2

Para a elipse:x2 / a2 + y2 / b2 = 1(a2 - Y2 ) / a2 + y2 / b2 = 11 - Y2 / a2 + y2 / b2 = 1y2 / b2 = Y2 / a2 y2 = Y2 (b2/ a2)

y = Y (b/ a)

a

b

y = Y (aC/ a)

b = aC

y = YC

Circunferência

Elipse

Áreas envolvidas com a elipse

Área da elipse

OP

Y

B a

ux

dAdy y

x = a.cos u

y = (a.sen u) C

C {1- e2}

b = a.C

y = b.sen u

dy = b.d{sen u}

dy = b.cos u . du

dA = x . dy

dA = (a.cos u) . (b.cos u . du)

dA = a.b.cos2 u . du

A = 4.a.b [(1+cos 2u)/2] . du

A = 4.a.b { (1/2) du + (cos 2u)/2) du}

A = 4.a.b { [u/2] + [(sen 2u)/4)]}

A = 4.a.b {(/2-0)/2 + [(sen )/4 - 0]}

A = .a.b

cos u = {(1+cos 2u)/2}

cos2 u = (1+cos 2u)/2

A = 4 a.b. cos2 u . du u = 0 /2

A = 4 dA u = 0 /2

Área de um setor circular

A

rO

c

3600 r2

A

A = r2. 0 / 3600

2 r2

A

A = r2. / 2

Medida em graus Medida em radianos

Setor elíptico

A

xO

c

A = ( a.b / 2 ) . [ arccos ( x / a ) ] rad

a

b

Setor ' kepleriano'Setor ' kepleriano'

AO

c

Fa

b

Área de um setor de elipseASC

O

P

Q

Q"

A1 A2

x

y

O ASE

P

Q'

Q"

Q

x

y

Y

r

y = Y.CA1 = x y /2

A1 = x (Y.C) /2

A1 = C (x Y / 2)

A1 = AT .C yi

x

Q'

Y

Q"

Y

AT

Q'

Q"x

AS

A2 = yi. x

A2 = Yi.C. x

A2 = AS . C

AT = x Y / 2

Yi

x

AS = Yi. x

ASC = AT + AS

ASE = A1 + A2

ASE = AT .C + AS . C

ASE = (AT + AS ) C

ASE = ASC . C

Kepler e os movimentos

elípticos

Primeira Lei de Kepler( 1571 - 1630 )

Um corpo ligado a outro gravitacionalmentegira em torno dele numa órbita elíptica,

sendo que um deles ocupa o foco da elipse.

Semi-eixo maior

Semieixomenor

Foco

Afélio e Periélio

Focoa f

q’ q

PAO

Periélio:q = a - fq = a - aeq = a ( 1- e )

Afélio:q’ = a + fq’ = a +aeq’ = a ( 1+e )

b

AnomaliasAnomaliasMuv

Muv

Movimento MédioT = Período orbital do astro: tempo para dar uma volta

completa em torno do Sol

n = Movimento médio: velocidade angular do astron = Movimento médio: velocidade angular do astro

n 3600 / T

Elipse

r1

r2 n

n 2 / T

0/dia

rad/dia

Anomalia Média

n 3600 / T

tp = instante da passagem periélicat = instante no qual se deseja a posição do astro

M = Anomalia MédiaAnomalia Média: ângulo que seria percorrido pelo astro, no intervalo de tempo (t - tp),

se ele tivesse movimento circular uniforme

M n (t - tp)

Elipse

M

tP

Anomalias verdadeira e excêntrica

Q = AstroF = Solr = raio vetor do astrov = anomalia verdadeirau = anomalia excêntrica

Q

x

y

O

Circunferência

Elipse

F

yr

vP

a

u

Y

Q’

Q”

F PAO

F'

Q1

rr'

v180-V

f f

r + r' = 2ar' = 2a - r

r'2 = r2 + (2f)2 - 2. r.(2f).cos(180-V)

(2a - r )2 = r2 + 4f2 + 4. r.f.cos V

f = aef = ae

4a2 - 4ar + r2 = r2 + 4(ae)2 + 4. r.(ae).cos V

4a2 - 4ar + # = # + 4a2.e2 + 4. r.a.e.cos V

4a2 - 4a2.e2 = 4ar + 4. r.a.e.cos V

4a2 (1-e2) = 4ar ( 1 + e.cos V)

r = a (1-e2) / ( 1 + e.cos V)

Raio orbital r em função da anomalia

verdadeira v

r = a C2 / ( 1 + e.cos V)C {1-e2}

Obtenção daEquação de Kepler

Objetivo de trabalho

Desejamos:v = f { t }

Q’

Q”x

y

o

Circunferência

Elipse

F

ra

vvu PtP

t

Conseguimos:u = h { t }

Passo intermediário:v = g { u }

Relacionar u e v

Y

y

Q’

Q”

Q

x

y

o

f

a

b

Circunferência

Elipse

F

ra

vu

x’x

P

No OQ’Q”:x = a . cos uY = a . sen uy = Y . Cy = (a . sen u) C

b = aCy = b . sen u

x’ = x - f

No OQQ”:x = a . cos uy = b . sen u

No FQQ”:x’ = r . cos vy = r . sen v

Raio vetor (r)

r . sen v = b . sen usen v = b . sen u / r

No OQQ”:x = a . cos uy = b . sen u

b = aCsen v = aC . sen u / r

C {1- e2}

sen v = a {1- e2} . sen u / r

No FQQ”:x’ = r . cos vy = r . sen v

x’ = x - f f ae

r . cos v = a . cos u - aecos v = a ( cos u - e) / r

sen2 v + cos2 v = 1a2 (1- e2) . sen2 u / r2 + a2 ( cos u - e)2 / r2 = 1

a2[ sen2 u - e2. sen2 u + (cos2 u - 2 e cos u + e2) ] = r2

a2[ sen2 u + cos2 u + e2 - e2. sen2 u - 2 e cos u ] = r2

a2[ 1 + e2 (1 - sen2 u) - 2 e cos u ] = r2

a2[ 1 + e2 cos2 u - 2 e cos u ] = r2

a2[ 1 - e cos u ]2 = r2

r = a ( 1 - e cos u )

Relacionar u e v

cos v = a ( cos u - e) / r

sen v = aC . sen u / r

r = a ( 1 - e cos u )

sen v = aC . sen u / [a ( 1 - e cos u )]

sen v = {1- e2} . sen u / [ 1 - e cos u ]

C {1- e2}

cos v = a ( cos u - e) / [a ( 1 - e cos u )]

cos v = ( cos u - e) / [ 1 - e cos u ] 0 v 1800

Se sen v 0 então v = v

Se sen v < 0 então v = 360 - v

Outro jeito de relacionar u e v

tan (v/2) = { (1-cos v) / (1+cos v) }

Fórmula da tangente do arco metade:

cos v = ( cos u - e) / [ 1 - e cos u ]

Usando:

sen v = {1- e2} . sen u / [ 1 - e cos u ]

Se v 0

Se sen v 0 v = vSe sen v < 0 v = v + 1800

Se v < 0

Se sen v 0 v = v + 1800

Se sen v < 0 v = v + 3600

q tan (v/2)

v = 2 arctan (q)

-900 v +900

tan (v/2) = { (1+e) / (1-e) } . tan (u/2)

Segunda Lei de Kepler( 1571 - 1630 )

Um corpo ligado a outro gravitacionalmentegira em torno dele, com seu raio vetor

varrendo áreas iguais em tempos iguais.

Foco

AA tt

AA

Velocidade areolar (VA)

Foco

tt

(VA) = A / t

b

Aelipse = ab

T = Período orbital(VA) = ab / T

Terceira Lei de Kepler

T’

m’r’

M

m

r

T

(( r r // r’ r’ ))33 = = {{ ( (MM + + mm) / () / (MM + + m’m’) ) } } xx ( ( TT // T’ T’ ))22

r r 33 = = [G/(4[G/(422)])] ( ( MM + + m m ) ) T T 22

Expressão correta:Expressão correta:

( rr / r’ )3 = ( TT / T’ )2

rr 3 = k TT 2

Relacionar u e t

Equação de Kepler

Y

Q’

Q”

Q

x

y

o

a

b

Circunferência

Elipse

F

ra

vu Pf

y

(APFQ )Segunda lei de Kepler = (APFQ)Geometria

Kepler:ab TAPFQ (t-tP)

APFQ = (ab/T) (t-tP)

Geometria:APFQ = APOQ - AFOQ

AFOQ = f.y/2f ae

y = b . sen uAFOQ = (ae).(b . sen u)/2

AFOQ = (a.b.e sen u) / 2

APOQ = APOQ’ . CAPOQ = [(u.a) . a /2] . CAPOQ = [u.a. b /2]

APFQ = [u.a. b /2] - (a.b.e sen u) / 2

APFQ = (ab/2)[u - e sen u]

Equação de Kepler(APFQ )Segunda lei de Kepler = (APFQ)Geometria

APFQ = (ab/T) (t-tP) APFQ = (ab/2)[u - e sen u]

(ab/T) (t-tP) = (ab/2)[u - e sen u]

(2/ T) (t-tP) = [u - e sen u]

n 2/ T (n) (t-tP) = [u - e sen u]

M n (t - tp)

M = u - e sen u (em radianos)

M = u - (1800 / ) e . sen u (em graus)

u = M + (1800 / ) e . sen u (em graus)

Soluções aproximadas da

Equação de Kepler

Solução gráfica da equação de Kepler

45o

M

y = e sen u

+e

-e

e se

n u

e sen u u

u = M + e.sen u

e sen uM

u

M n (t - tp)

urad

Solução algébrica aproximada da equação de Kepler

u = M + (1800 / ) . e . sen u (em graus)

Adotar: u0 = M

u1 = M + (1800 / ) . e . sen u0

u2 = M + (1800 / ) . e . sen u1

u3 = M + (1800 / ) . e . sen u2

un = M + (1800 / ) . e . sen un-1

Até que | un - un-1 | Solução aproximada: u = un

.

.

Movimento elíptico aproximado do Sol

Movimento elíptico do Sol

Focoa f PA

O

e = 0,01673

Terra

e2 0,00028

b

Representação de uma função por meio de Séries

Representação de uma função por meio das Séries de Taylor

(Inglês, 1685-1731)

x

y

f(x)

Dados: a função f(x) o valor f(a) de f(x) no ponto x=a

Objetivo: Obter f(x') nos entornos de x=a

x

f(x)

f(a)

a

Aproximação de primeira ordem

x

y

x

f(x)

f(a)

a

f(x)

A B

A B

C

x-a

fx - fa

fx - fa

f

tan = (fx - fa) / (x-a)

(fx - fa) = (x-a) . tan

fx = fa + (x-a) . tan

tan = (df/dx)a

fx = fa + (x-a) (df/dx)a

f(1)(a) = (df/dx)a

fx = fa + (x-a) . f(1)(a) fx - fa = fx - fa - f

fx = fx - f fx = fa + (x-a) . f(1)(a) - f

Cf(x)

Derivadas sucessivas

f(0) (x) = f(x)

f(1) (x) = [df(0) (x)] / dx

f(2) (x) = [df(1) (x)] / dx

f(3) (x) = [df(2) (x)] / dx

:

f(i) (x) = [df(i-1) (x)] / dx

f(0) = f(x)

f(1) = df(0) / dx

f(2) = df(1) / dx

f(3) = df(2) / dx

:

f(i) = df(i-1) / dx

Derivadas sucessivas calculadas num ponto dado

f(0) (a) = f(a) = { f(x) }x=a

f(1) (a) = { [df(0) (x)] / dx }x=a

f(2) (a) = { [df(1) (x)] / dx }x=a

f(3) (a) = { [df(2) (x)] / dx }x=a

:

f(i) (a) = { [df(i-1) (x)] / dx }x=a

f(x) = f(a) +{[ (x-a)i / i! ] . f(i)(a) }

i=1..n

Séries de Taylor Calcular:

f(0) (a) = f(a) = { f(x) }x=a

f(1) (a) = { [df(0) (x)] / dx }x=a

f(2) (a) = { [df(1) (x)] / dx }x=a

f(3) (a) = { [df(2) (x)] / dx }x=a

:

f(i) (a) = { [df(i-1) (x)] / dx }x=a

a x

f(x)f(a)

x

y

f(x)

Representação em séries de Taylor:

f(x) = f(a) + [(x-a)1 / 1!] . f(1)(a)

+ [(x-a)2 / 2!] . f(2)(a) +

+ [(x-a)3 / 3!] . f(3)(a) +

:

+ [(x-a)n / n!] . f(n)(a)

Dado: a função f(x)

Séries de Mac Laurin(Inglês, 1698-1746)

f( x ) = f( a ) +{[ (x-a)i / i! ] . f(i) ( a ) }i = 1..n

Séries de Taylor

Impor a=0

f( x ) = {[ (x-a)i / i! ] . f(i) ( a ) }i = 0..n

Definições:0! = 1x0 = 1

f(0) = f(a)

f( x ) = {[ xi / i! ] . f(i) ( 0 ) }

i = 0..nSérie de

Mac Laurin

Calcular o sen 300

Exemplo de aplicação da Série de Mac Laurin

f(x) = (x0/0!)f(0)(0) + (x1/1!)f(1)(0) + (x2/2!)f(2)(0) + (x3/3!)f(3)(0) + (x4/4!)f(4)(0) + ...

Calcular o sen 300.

x = 300 = 30 . (/180) = /6 = 0,523 598 775 6 rad

f ( x ) = sen x

Calcular valores das derivadas no ponto x=a=0:

f(0) (0) = { f(x) }x=0 = sen x = sen 0 = 0

f(1) (0) = { [df(0) (x)] / dx }x=0 = d(sen x) /dx = cos x = cos 0 = 1

f(2) (0) = { [df(1) (x)] / dx }x=0 = d(cos x) / dx = -sen x = -sen 0 = 0

f(3) (0) = { [df(2) (x)] / dx }x=0 = d(-sen x) /dx = -cos x = -cos 0 = -1

f(4) (0) = { [df(3) (x)] / dx }x=0 = d(-cos x) /dx = -(-sen x) = sen xsen x = sen 0=0

f(5) (0) = { [df(4) (x)] / dx }x=0 = d(sen xsen x) /dx = cos x = cos 0 = 1

f( x ) = {[ xi / i! ] . f(i) ( 0 ) }

i = 0..n

Exemplo de aplicação da Série de Mac Laurin

f(x) = (x0/0!)f(0)(0) + (x1/1!)f(1)(0) + (x2/2!)f(2)(0) + (x3/3!)f(3)(0) + (x4/4!)f(4)(0) + ...

Calcular valores das derivadas no ponto a=0:

f(0) (0) = { f(x) }x=0 = 0

f(1) (0) = { [df(0) (x)] / dx }x=0 = 1

f(2) (0) = { [df(1) (x)] / dx }x=0 = 0

f(3) (0) = { [df(2) (x)] / dx }x=0 = -1

f(4) (0) = { [df(3) (x)] / dx }x=0 = 0

f(5) (0) = { [df(4) (x)] / dx }x=0 = 1

f(x) = (x0/1)(0) + (x1/1)(1) + (x2/2)(0) + (x3/6)(-1) + (x4/24)(0) + (x5/120)(1) + ...

f(x) = (0) + (x) + (0) - (x3/6) + (0) + (x5/120) + ...

f(x) = (x) - (x3/6) + (x5/120) - ...

Representação de algumas Funções em séries de Taylor

(ou Mac Laurin)

sen x = x - x3/3! + x5/5! - ...cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - ...

1/(1 + x) = 1 - x + x2 - ...1/(1 - x) = 1 + x + x2 + ...

{ 1+x } = 1 + x/2 - x2/8 + ...{ 1- x } = 1 - x/2 - x2/8 - ...

Exemplo de aplicação da Série de Mac Laurin

f(x) = (x) - (x3/ 6) + (x5/ 120) - ...

Calcular o sen 300.

x = 300 = 30 . (/180) = /6 = 0,523 598 775 6 rad

f ( x ) = sen x

f(x) = (0,523 598 775 6) - (0,523 598 775 63/6) + (0,523 598 775 65/120) - ...

f(x) = (0,523 598 775 6) - (0,023 924 596 2) + (0,000 327 953 194 3) - ...

f(x) = 0,499 972 132 6

Sabemos que: sen 300 = 0,5Erro - 0,000 03

Aplicações das séries no Movimento elíptico

aproximado do Sol

Elipse

Aproximação do sen (v-u)

sen (v-u) = sen v . cos u - cos v . sen u

cos v = ( cos u - e) / [ 1 - e cos u ]

sen v = {1- e2} . sen u / [ 1 - e cos u ]

sen (v-u) = {1- e2} . sen u / [ 1 - e cos u ]. cos u - ( cos u - e) / [ 1 - e cos u ] . sen u

sen (v-u) = [ sen u . cos u .({1- e2} - 1) + e . sen u ] / [1- e cos u]

Aproximação:Como e = 0,01673então e2 0,00028.

Logo: C= {1- e2} 1Então: sen (v-u) [ e . sen u ] / [1- e cos u]

Aproximações para pequenos ângulos

CoS

Sen

sen

x

xcos x

Tan

tan

x

L

Ose

n x

R=1

xrad = L / R

xrad = L / 1

xrad = L

Pela figura:sen x L tan x

Aproximações:sen x xrad tan x

Co- Seno

Seno

sen

x

x

cos x

Tangente

tan

x

Aproximação:cos x 1

Equação aproximada do movimento elíptico do Sol

sen (v-u) = [ e . sen u ] / [1- e cos u]

Quando e<<1, então vu. Logo (v-u)<<1. Logo: sen(v-u) (v-u)

(v-u) [ e . sen u ] / [1- e cos u]

Conforme Taylor: 1/(1 - x) 1 + x

(v-u) [ e . sen u ] . [1+ e cos u]

(v-u) e . sen u + e2 . cos u . sen u

Como e2 = 0,00028, admitir e2 = 0

(v-u) e . sen uv u + e . sen u

u = M + e.sen uv M + e.sen u + e . sen u

v M + 2.e.sen u

Anomalia verdadeira Anomalia verdadeira aproximada do movimento aproximada do movimento

elíptico do Solelíptico do Solv M + 2.e.sen u

Como e<<1, entãou M

Portanto:sen u sen M

logo:

Como e<<1, entãou M

Portanto:sen u sen M

logo:

vrad Mrad + 2.e.sen M [radianos]

v0 M0 + ( 180/ ).2.e.sen M [graus]

Raio vetor aproximado do Sol

r = a ( 1 - e cos u )

Quando e<<1 u M

r a ( 1 - e cos M )

F PAO

F'

Q1

rv

f ff = aef = ae

u

Elementos Orbitais

Elementos Orbitais

Elementos OrbitaisPNE

PNP

Q

P

v

l

b

i

Órbita

Eclíptica

Posição da órbitai = Inclinação = Long. do nodo

ascendente = Argumento do

periélio

= + = Longitude do Periélio

Tamanho e formaa = semi-eixo maiore = excentricidade

TemposTemposT = período orbitaltP = instante da

passagem periélica

Longitude aproximada do Sol

aP

A OTerra

v

lo

v M + 2.e.sen M

lo + M + 2.e.sen M

C’ 2.e.sen MEquação do Centro

lorad + M + C’

lo = + v

Ascensão reta aproximada do Sol

Relação direta entre Ascensão e Longitude do Sol

PNE

Q

90 - l

90- b

PN

90-

90 +

b=0

sen = cos . sen l / cos cos = cos l / cos

PN

PNE

Equador

Eclíptica

l

900

900

1800

2700

2700

00

tan = sen / cos tan = tan l . cos

Solução da equação particular

Solução da equação particular

Dada a equação:

tan y = p . tan x

Obter:

y f(x)

Batizado:

q = (p-1) / (p+1)

Solução:

y x + q . sen 2x + (q2 /2) . sen 4x + ...

tan = cos tan l

Ascensão reta aproximada do Soltan = cos tan l

Batizados:

p = cos

q = ( cos -1 ) / (cos +1 )

tan ( / 2) = {( 1- cos ) / (1 +cos ) }1/2

q = - tan2 ( / 2)

y x + q . sen 2x + (q2 /2) . sen 4x + ...

tan y = p . tan x

Usando:

x = l

Sol lsol + - tan2 ( / 2) . sen 2lsol + [(tan4 ( / 2)] /2) . sen 4lsol + ...

Obtemos:

Equação aproximada do movimento elíptico do Sol em

ascensão retaSol lsol + - tan2 ( / 2) . sen 2lsol + [(tan4 ( / 2)] /2) . sen 4lsol + ...

C’ = (180/ ).2.e.sen M Equação do Centro

lsolrad + M + C’

R - tan2 ( / 2) . sen 2lsol + [(tan4 ( / 2)] /2) . sen 4lsol + ... Red. ao equador

n 3600 / T Movimento médio

M = n (t - tp) Anomalia Média

= + = Longitude do Periélio

Sol0 + M + C’ + R

Coordenadas aproximadas do Sol

Coordenadas equatoriais do Sol

PN

PNE

Equador

Eclíptica

l

900

900

1800

2700

2700

00

Coordenadas aproximadas do Sol(precisão de 0,01(precisão de 0,0100 entre 1950 e 2050) entre 1950 e 2050)

DJ2000 = 2 451 545,0

n = DJ - DJ2000 (Número de dias desde o meio-dia de 01/jan/2000)

g 357,5280 + 0,985 6003 n (Anomalia média)

0 g < 3600 (Imposição)

L 280,4610 + 0,985 6474 n (Longitude média)

0 L < 3600 (Imposição)

R 1,000 14UA - 0,016 71 cos g - 0,000 14 cos 2g (Raio vetor do Sol)

23,4390 - 0,000 000 4 n (Obliqüidade da eclíptica)

l 0 - f . t . sen 2l + (f/2) . t2 . sen 4l (Ascensão reta do Sol)

Eq.Tminutos 4 . ( L0 - 0 ) (Equação do tempo: precisão de 0,1min)

arcsen (sen . sen l ) (Declinação do Sol)

f = 1800 /

t = tan2 ( / 2 )

l = L0 + 1,9150 sen g + 0,020 sen 2g (Longitude eclíptica do Sol)

Relacionar os elementos orbitais e as coordenadas eclípticas

de um astro do Sistema Solar

Relacionar elementos orbitais

Q

l-

b

i

PNP

Q

PNEi

900 90-b

90-

l-

= + v

PNE

PNP

Q

P

v

l

b

i

Órbita

Eclíptica

= + = Longitude do Periélio

De elementos orbitais para coordenadas

eclípticas

Elementos OrbitaisElementos Orbitais l , bl , b

De elementos orbitais para coordenadas eclípticas

Q

l-

b

i

sen a / sen A = sen bb / sen BB = sen c / sen C

Seno

sen b / sen i = sen / sen 900

sen b = sen i . sen

Obter a latitude eclíptica

De elementos orbitais para coordenadas eclípticas

Q

l-

b

i

Obter a longitude eclíptica

cos a = cos bb . cos c + sen bb . sen c . cos A

Co-seno

cos = cos b . cos (l- ) + sen b . sen (l- ) . cos 900

cos = cos b . cos (l- )

sen a . cos BB = cos bb . sen c - sen bb . cos c . cos A

Seno & Co-seno

sen . cos i = cos b . sen (l- ) - sen b . cos (l- ) . cos 900

sen . cos i = cos b . sen (l- )

cos (l- ) = cos / cos b

sen (l- ) = sen . cos i / cos b

De coordenadas eclípticas para

elementos orbitais

l , b Elementos Orbitais

De coordenadas eclípticas para elementos orbitais

Q

l-

b

i

Obter a inclinação

sen . cos i = cos b . sen (l- )

sen = cos b . sen (l- ) / cos i

sen b = sen i . sen

tan b = tan i . sen (l- )

tan i = tan b / sen (l- )

sen b = sen i . cos b . sen (l- ) / cos i

De coordenadas eclípticas para elementos orbitais

Q

l-

b

i

Obter o argumento do astro

sen b = sen i . sen

sen = sen b / sen i

cos = cos (l- ) . cos b

cos (l- ) = cos / cos b

= + v

Fim