∑

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matemática Estatística e ComputaçãoCientífica

José Cícero Calheiros

O cálculo com enfoque geométrico

Campinas

2016

José Cícero Calheiros

O cálculo com enfoque geométrico

Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-

temática, Estatística e Computação Cientí-

�ca da Universidade Estadual de Campinas

como parte dos requisitos exigidos para a ob-

tenção do título de mestre em matemática

aplicada e computacional.

Orientador(a): Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira.

Este exemplar corresponde à versão

final da dissertação defendida pelo

aluno José Cícero Calheiros, e ori-

entada pelo prof. Dr. Edmundo Ca-

pelas de Oliveira.

Campinas

2016

Dissertação de Mestrado Pro�ssional defendida em 15 de fevereiro de 2016 e

aprovada pele Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

-

-

�

-

Prof(a). Dr(a). EDMUNDO CAPELAS DE OLIVEIRA

-

-

-

Prof(a). Dr(a). DANIEL JULIANO PAMPLONA DA SILVA

-

-

-

Prof(a). Dr(a). JAYME VAZ JUNIOR

A ata de defesa com as respectivas assinaturas dos membros

encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

Dedico este trabalho a minha esposa e �lho, a minha irmã, a minha mãe e aos

amigos, com os quais divido essa alegria.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por tudo que ele tem feito por mim até hoje. Também,

agradeço aos meus familiares, amigos, e ao professor Edmundo Capelas de Oliveira por

acreditar no meu trabalho.

Resumo

Este trabalho tem por objetivo abordar geometricamente os conceitos do cál-

culo contextualizado no tempo, começando a partir do primeiro momento em que o con-

ceito de limite torna-se necessário com a resolução dos paradoxos de Zeno, passando pelo

método da Exaustão de Eudoxo, utilizado por Arquimedes para o cálculo da área do

círculo e da área delimitada por um segmento de parábola. Após este estudo prévio,

abordamos o método de Fermat para encontrar máximos e mínimos, a reta tangente a

uma curva e a quadratura das parábolas supreriores de Fermat, uma generalização da qua-

dratura da parábola feita por Arquimedes, e das hipérboles superiores. Generalizamos

estes métodos às curvas representadas por séries de potências. Estudamos o desenvolvi-

mento do cálculo, independentemente, por Newton e Leibniz, e uma breve abordagem do

conceito de cálculo fracionário que surge com a notação de diferencial de Leibniz, e sua

aplicação na resolução do problema da tautócrona. Por �m, discutimos os conceitos de

limite e continuidade de uma função que surgem com Cauchy, abordando os conceitos de

derivada e integral a partir destas novas de�nições, que são, posteriormente, reescritas em

termos de epsilon's e delta's por Weierstrass.

Abstract

The objective of this work is to address the concepts of calculus contextualized

in time, starting from the �rst moment the concept of limit becomes necessary to solve

Zeno's paradoxes, passing by the Eudoxus' method of exhaustion, used by Archimedes

to the calculation of the area of the circle and the area enclosed by a parabola. After

this preliminary study, we discuss the Fermat's method to �nd maximum and minimum,

the tangent to a curve and the Fermat quadrature of the higher parables, a generali-

zation of the quadrature of the parabola is made by Archimedes and higher hyperbole.

We generalize these methods for curves represented by power series. We study the de-

velopment of calculus, independently, by Newton and Leibniz, and a brief approach to

the concept of fractional calculus that comes up with of Leibniz di�erential notation, and

their application in solving the tautochrone problem. Finally, we discuss the concepts of

limit and continuity of a function that arise with Cauchy, addressing the derivative and

integral concepts from these new de�nitions, which are subsequently rewritten in terms

of epsilon's and delta's by Weierstrass.

Sumário

Introdução 11

1 Conceito intuitivo de limite e integral 131.1 Os Paradoxos do movimento de Zeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.1 Paradoxo da dicotomia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Paradoxo de Aquiles e a tartaruga: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 O Método da exaustão (princípio de Eudoxo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1 Quadratura do Círculo (Arquimedes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2 Quadratura da Parábola (Arquimedes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Cálculo diferencial e integral: Fermat 372.1 O cálculo diferencial de Ferma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Máximos e mínimos de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.2 O Método da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.3 Tangente às parábolas e às hipérboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.4 Generalização do método da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.5 O cálculo da tangente implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.6 Propriedades da tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.7 Representação de uma curva por série de potência . . . . . . . . . . . 51

2.2 O cálculo integral: método da quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.1 A quadratura das parábolas e das hipérboles . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.2 Propriedades do método da quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.3 Quadratura de região plana delimitada por duas curvas . . . . . . 64

2.2.4 Cálculo do volume de um sólido de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3 O Teorema fundamental do cálculo: Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Cálculo diferencial e integral: Newton 713.1 O Método das �uxões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 O método da tangente de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3 Séries binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4 Séries in�nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5 Quadratura de curvas e a reti�cação de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Cálculo diferencial e integral: Leibniz 92

4.1 As diferenciais dy e dx de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 A tangente à curva y = f(x): método de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3 Quadratura de curvas e reticação de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4 O teorema fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5 Propriedades da integral de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.6 A integral de ordem superior e a função gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.6.1 A integral de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.6.2 A função gama e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Cálculo fracionário 117

5.1 A integral fracionária segundo Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2 A derivada fracionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.1 A derivada fracionária segundo Lacroix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.2 A derivada fracionária segundo Riemann-Liouville . . . . . . . . . . 120

5.3 O problema da tautócrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6 Cálculo diferencial e integral: Cauchy e Weierstrass 126

6.1 O conceito de limite e continuidade de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2 O conceito de derivada de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3 O conceito de continuidade de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.4 O conceito de Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.5 O Teorema fundamental do cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Considerações �nais 140

Bibliogra�a 143

11

Introdução

.

Os conceitos do cálculo diferencial e integral passaram por uma longa traje-

tória. Começando por Arquimedes, passando por diversos matemáticos como Fermat,

Newton, Leibniz, Cauchy e Weierstrass. Os dois últimos foram os responsáveis pela

consolidação teórica do rigor do cálculo, que até então não havia sido feito pelos seus

antecessores.

Neste trabalho abordaremos os conceitos do cálculo diferencial e integral de

forma geométrica, contextualizando estes conceitos no tempo, começando a partir do

primeiro momento em que o conceito de limite se fez necessário com a resolução dos

paradoxos de Zeno (Zenão) (490 a.C. - 430 a.C.). Discutiremos o método da exaustão

de Eudoxo (408 a.C. - 355 a.C.), utilizado por Arquimedes (287a.C. - 212 a.C.) para a

quadratura do círculo e da parábola (cálculo da área delimitada por uma circunferência e

a área delimitada por um segmento de parábola). Em seguida estudaremos o método de

Fermat (1601 - 1665) para encontrar máximos e mínimos, a reta tangente a uma curva e

o método da quadratura das parábolas superiores de Fermat (y = xn), uma generalização

da quadratura da parábola feita por Arquimedes, e das hipérboles superiores (y = ax−n

para n 6= 1). Veremos que estes método deu origem ao que hoje denominamos cálculodiferencial e integral. Discutiremos o desenvolvimento do cálculo por Newton (1642 -

1727) e Leibniz (1646 - 1716). E, a partir da notação de derivada de ordem superior de

Leibniz, discutiremos, de forma breve, os conceitos do cálculo fracionário, que surge nesta

mesma época, e sua aplicação na resolução do problema da tautócrona. Demonstraremos

que a curva solução deste problema é uma cilcoide invertida.

Num primeiro momento, admitimos que as curvas, na forma y = f (x), são

todas positivas, isso é necessário para que possamos interpretar geometricamente a integral

como a área delimitada por uma curva, não sendo utilizado diretamente o conceito de

função, sendo feito posteriormente quando estudarmos os conceitos do cálculo a partir do

século XIX. Veremos neste século o surgimento dos conceitos de limite e continuidade,

de�nidos pelo matemático Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857). É a partir do conceito

de limite que o cálculo se torna uma ferramente mais rigorosa e poderosa.

Considerando as de�nições de limite e continuidade de Cauchy, veremos que o

12

matemático Karl Weierstrass (1815 - 1897) reescreve estes conceitos com a notação de

ε′s e δ′s, a qual estamos acostumados a ver nos livros de cálculo.

É conveniente ressaltar que em todo o texto tomamos o cuidado de explicitar

as passagens matemáticas, bem como discutimos vários exemplos, a �m de elucidar e

exempli�car a teoria apresentada.

Iniciamos nosso trabalho com uma abordagem indireta dos conceitos de limite,

derivadas e integrais considerando alguns aspectos históricos como os Paradoxos de Zeno, o

método da exaustão de Eudoxo, o cálculo da área delimitada por um segmento de parábola

e a área do círculo, feitos por Arquimedes. Em seguida, nos dedicaremos ao estudo dos

conceitos do cálculo nos Séculos XVII e XIX, começando com o método para encontrar

máximos e mínimos de Fermat, aplicação deste método na resolução do problema de

encontrar a reta tangente por um ponto de uma curva, e a quadratura das parábolas

superiores de Fermat (y = xn) e hipérboles superiores y = ax−n para n 6= 1, culminandono desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Newton e Leibniz.

A partir de Leibniz estudaremos o cálculo com uma nova notação para derivada

e integral, notação esta que encontramos nos livros de cálculo. Abordaremos o conceito

de derivada e integral de ordem superior (n ≥ 2), e assim discutiremos derivada e integralpara um n real com o auxílio da função gama Γ (n). Faremos uma discussão super�cial de

um novo conceito de cálculo, o cálculo fracionário, que surge , também, no século XVII.

Adotaremos a de�nição de derivada de ordem arbitrária segundo Lacroix e Riemann-

Liouville, e de integral de ordem arbitrária segundo Riemann-Liouville .

Resolveremos o problema de determinar a curva na qual o tempo gasto por um

objeto para deslizar, sem atrito, com gravidade uniforme até o ponto mínimo, independe

do ponto de partida (tautócrona) através do cálculo fracionário.

E, por �m, faremos uma abordagem dos conceitos de limite e continuidade,

derivada e integral desenvolvidos no século XIX por Cauchy. Faremos uma abordagem

destes conceitos segundo a reformulação dada por Weierstrass. A partir das de�nições de

Cauchy, discutiremos os conceitos de derivadas e integrais de uma função de uma variável

real, e terminamos abordando geometricamente o teorema do valor médio para integrais

e demonstrando o teorema fundamental do cálculo.

Finalmente, apresentaremos nossas considerações �nais.

13

Capítulo 1

Conceitos intuitivos de limite e integral

.

Neste capítulo abordaremos os conceitos de limite e de integral de modo intui-

tivo, tomando como ponto de partida os paradoxos do movimento de Zeno e o método da

Exaustão de Eudoxo, com o qual discutimos o problema da quadratura do círculo e da

parábola feita por Arquimedes.

Os paradoxos de Zeno, assim como o método da exaustão de Eudoxo, estão

relacionados com os conceitos de sequências e séries, em particular, com os conceitos de

progressão geométrica e a soma dos termos de uma progressão geométrica.

Discutiremos os paradoxos da Dicotomia, e de Aquiles e a tartaruga, assim

como o método da exaustão, utilizando, de forma intuitiva, a noção de limite de uma

sequência e de uma série.

Adotaremos, de forma intuitiva, como grandeza ou valor in�nitamente pe-

queno aquelas aproximadamente iguais a zero, porém diferentes de zero. Estes valores ou

grandezas são desprezados nas operações de soma ou subtração quando comparados com

grandezas relativamente maiores. Por exemplo, o valor 1250

, intuitivamente, é considerado

muito pequeno quando fazemos a operação a + 1250

para todo natural a. E, em geral, 1an

para |a| > 1 é um número in�nitamente pequeno para n in�nitamente grande. Tambémadotaremos como grandeza ou valor in�nitamente grande aquelas cujo inverso multiplica-

tivo é in�nitamente pequeno. Também, admitiremos que uma grandeza é in�nitamente

grande se seu inverso multiplicativo for in�nitamente pequeno.

Considere uma sequência xn, de primeiro termo x1 6= 0 ( ou x0 6= 0), quesatisfaz a relação xn

xn−1= q 6= 0 para todo número natural n. Esta sequência é denominada

de progressão geométrica de razão q. Seu termo geral é dado por xn = x1qn−1 para todo

número natural n ≥ 1 (ou xn = x0qn, para todo n ≥ 0).

Assumiremos que a distância entre dois pontos P1 e P2 na reta real (R) é dadapor dP1P2 = P2 − P1 > 0, onde supomos P2 à direita de P1 na reta real.

14

1.1 Os paradoxos do movimento de Zeno

-

O conceito de limite é o alicerce do cálculo diferencial e integral. Convergência

e divergência de sequências e séries, continuidade, derivada e integral são conceitos inti-

mamente relacionados ao conceito de limite. A ideia deste conceito aparece pela primeira

vez por volta do séc. V a.C. com as discussões dos paradoxos do movimento, formulados

pelo �lósofo grego Zeno de Eleia, que são fundamentados em duas grandezas, espaço e

tempo. Os quatro paradoxos são apresentados por Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.) em

sua física [1].

O pensamento de Zeno se fundamenta nos seguintes argumentos lógicos:

• ou tempo e o espaço são in�nitamente divisíveis.

• ou há um menor elemento (uma unidade) indivisívelde tempo (um instante) e de espaço (um ponto).

Ao admitir a hipótese de que o tempo e o espaço são in�nitamente divisíveis,

Zeno elabora os paradoxos da dicotomia e, seu análogo, de Aquiles e a tartaruga para

refutar a ideia de movimento.

Paradoxo da dicotomia:

�O que se move deve sempre alcançar o ponto médio antes do ponto �nal�.

Paradoxo de Aquiles e a tartaruga:

�O mais lento na corrida jamais será alcançado pelo mais rápido, pois o que

persegue deve sempre começar por atingir o ponto de onde partiu o que foge.�

Zeno chega a conclusão de que o movimento é impossível, sobre a hipótese

da divisibilidade in�nita do tempo e do espaço. O argumento de Zeno se baseia na

impossibilidade de se percorrer uma in�nidade de distância em um tempo �nito. Estes

dois paradoxos são construídos em cima do fato de sempre haver uma distância a ser

percorrida e isso ocorre de maneira in�nita, logo ambos, o atleta e Aquiles, terão que

percorrer in�nitas distâncias antes de atingirem o �m do percurso, o que é impossível na

razão humana.

A partir de sua conclusão, Zeno admite que há um menor elemento (uma

unidade) indivisível de tempo (um instante) e de espaço (um ponto), então elabora os

paradoxos da �echa imóvel e do estádio.

Paradoxo da �echa imóvel : �A �echa em voo repousa�, e isto porque �o que se

move sempre está no mesmo agora� e no aqui igual a si mesmo, no �não distinguível.�

Paradoxo do estádio: �Tome-se duas �leiras de corpos, cada uma composta por

um número igual de corpos do mesmo tamanho. Estas �leiras de corpos irão se cruzar à

15

medida que viajam à mesma velocidade em direções opostas. Ao observar este movimento

concluímos que metade da unidade de tempo é igual a uma unidade de tempo.�

E, depois de argumentar sobre estes dois paradoxos, Zeno conclui que o movi-

mento é impossível, considerando a hipótese da existência de uma unidade indivisível de

tempo e espaço. Concluindo, a partir dos quatro paradoxos, que o movimento é apenas

uma ilusão da mente humana.

Discutiremos os dois primeiros paradoxos a�m de chegar a uma conclusão

contrária a de Zeno.

1.1.1 Paradoxo da dicotomia:

-

�O que se move deve sempre alcançar o ponto médio antes do ponto �nal�.

-

Um atleta que deseja alcançar o ponto �nal Pf de um percurso de uma corrida,

partindo de um ponto inicial Pi = P0, nunca consegue alcançá-lo, uma vez que é necessário

alcançar o ponto médio P1 do segmento PiPf . E, antes de alcançar Pf , é necessário atingir

o ponto médio P2 do segmento P1Pf , e antes de alcançar Pf , é necessário atingir o ponto

médio P3 do segmento P2Pf , e assim sucessivamente, ad in�nitum Fig.1.1.

Fig.1.1. Paradoxo da dicotomia.

Seja dPn−1Pn = Pn−Pn−1 a distância entre o ponto em que o atleta se encontra eo ponto sucessor. A Fig.1.1 ilustra a situação do movimento. Observe que a distância total

percorrida pelo atleta é dada pela soman∑k=1

dPk−1Pk , que é sempre menor que a distância

total do percurso dPiPf = d. Ela também nos mostra que a distância dPnPf = Pf − Pnque falta para completar o percurso é dada por dPnPf = d−

n∑k=1

dPk−1Pk para todo n ≥ 1.

A�rmamos que para n in�nitamente grande, a distância dPnPf torna-se in�nitamente

pequena e a soman∑k=1

dPk−1Pk aproxima-se cada vez mais da distância d.

De fato, a distância percorrida em cada trecho é a metade da distância percorrida no trecho

anterior, logo dPnPn+1 =dPn−1Pn

2para todo n ≥ 1. Esta é uma progressão geométrica de

primeiro termo igual a dP0P1 =d2, razão igual a 1

2e termo geral dado por dPn−1Pn =

d2n.

Logo a distância que falta para o atleta completar o percurso é dada por dPnPf = d−n∑k=1

d2k.

O somatórion∑k=1

d2k

pode ser escrito como

16

n∑k=1

d2k

= d(12+ 1

22+ 1

23+ · · ·+ 1

2n

)= d

(1− 1

2n

).

Para n in�nitamente grande, d(1− 1

2n

)→ d, a soma

n∑k=1

d2k

torna-se muito

próxima de d, com isso dPnPf = d−n∑k=1

dPk−1Pk → 0, torna-se in�nitamente pequena.

Mostremos que o ponto Pn tende à Pf .

De fato, seguindo as hipóteses do paradoxo, e supondo o movimento contínuo,

o atleta, para cobrir todo percurso de Pi à Pf , passa pelos pontos médios Pn pertencentes

a cada trecho Pn−1Pf ⊂ PiPf , que são descritos pela expressão Pn = Pf − d2n , uma

vez que dPnPf = d−n∑k=1

d2k

= d2n. Para n in�nitamente grande Pn = Pf , uma vez que

dPn−1Pn =d2n→ 0, torna-se in�nitamente pequeno. Sendo assim, concluímos que o atleta

chega ao ponto �nal Pf depois de passar por um número in�nitamente grande de pontos.

Gra�camente o comportamento dos pontos Pn = Pf − d2n é visto na Fig.1.2abaixo.

Fig.1.2. Representação grá�ca de Pn = Pf − d2n .

O grá�co da Fig.1.2, assim como a relação Pn = Pf − d2n , nos mostram que oatleta percorre toda a distância entre Pi e P f . A�rmamos que o tempo gasto pelo atleta

para realizar este percurso e a distância percorrida por ele são �nitos.

De fato, seja t1, o intervalo de tempo que o atleta leva, partindo de Pi, para

alcançar o ponto médio P1, depois de atingir P1, ele atinge o ponto médio P2 em um

intervalo de tempo t2, e depois de atingir P2, ele atinge o ponto médio P3 em um intervalo

de tempo t3, e assim por diante.

Admitindo que o percurso de Pi a Pf é feito com uma velocidade constante

v 6= 0, então a velocidade em cada trecho Pn−1Pn é dada por v = Dt =dPn−1Pn

tn, onde

D =n∑k=1

dPk−1Pk (distância total percorrida) e t =n∑k=1

(tempo total gasto).

17

Dado que v = Dt

=dPn−1Pn

tn, então podemos escrever tn =

dPn−1Pnv

= 12n

dv(

dPn−1Pn =d2n

)e D = vt. Disto segue que o tempo total t e a distância total D são dados

por

t =n∑k=1

d2kv

= dv

(1− 1

2n

)e D = vt = d

n∑k=1

12kv

= d(1− 1

2n

).

Tomando um n in�nitamente grande, obtemos

t = dv

(1− 1

2n

)→ d

v

D = d(1− 1

2n

)→ d.

Logo, o tempo total e a distância total tendem, respectivamente, a dve a d, que

são valores conhecidos. Estes resultados mostram que o atleta percorre toda a distância

d entre Pi e Pf em um tempo �nito igual a dv , contrariando o argumento de Zeno.

1.1.2 Paradoxo de Aquiles e a tartaruga:

-

�O mais lento na corrida jamais será alcançado pelo mais rápido; pois o que

persegue deve sempre começar por atingir o ponto de onde partiu o que foge.�

Suponha que Aquiles inicie a corrida do ponto Pi de uma reta, e no mesmo

instante a tartaruga que se encontra em P1, a uma distância d de Aquiles. Desta forma,

sendo o espaço e o tempo divisíveis in�nitamente, Aquiles nunca alcança à tartaruga, pois

quando ele chegar à posição inicial P1 da tartaruga, esta encontra-se mais à frente, numa

outra posição P2. Quando Aquiles chegar a P2, a tartaruga não está mais lá, pois avançou

para uma nova posição P3, e assim sucessivamente, ad in�nitum. Gra�camente, o que

temos é a situação conforme Fig.1.3.

Fig.1.3. Paradoxo de Aquiles e a tartaruga.

18

Consideremos as velocidades constantes vA e vT , de Aquiles e da tartaruga,

respectivamente, tais que vA > vT > 0. Seja t1 = t o intervalo de tempo necessário para

Aquiles percorrer a distância dP0P1 = d atingindo o ponto P1, neste mesmo intervalo de

tempo a tartaruga percorre a distância dP1P2 atingindo o ponto P2, ao atingir o ponto P2Aquiles leva um tempo t2 para percorrer a distância dP1P2 , neste mesmo intervalo de tempo

a tartaruga percorre a distância dP2P3 atingindo o ponto P3, e assim sucessivamente.

Como as velocidades de Aquiles e da tartaruga são constantes, podemos escrevê-

las, respectivamente, como

vA =dP0P1t1

=dP1P2t2

=dP2P3t3

= · · · = dPn−1Pntn

=dPnPn+1tn+1

vT =dP1P2t1

=dP2P3t2

=dP3P4t3

= · · · = dPnPn+1tn

=dPn+1Pn+2

tn+1

Sejam tn a sequência de intervalos de tempo em que Aquiles e a tartaruga

percorrem cada distância, e dPnPn+1 a sequência das distâncias entre Aquiles e a tartaruga.

Estas duas sequências são decrescentes, pois dado que vA > vT , então

0 < vTvA

=dPnPn+1dPn−1Pn

< 1 ⇒ 0 < dPnPn+1 < dPn−1Pn ,

0 < vTvA

= tn+1tn

< 1 ⇒ 0 < tn+1 < tn.

Podemos escrever as sequência anteriores como dPnPn+1 =(vTvA

)dPn−1Pn e

tn+1 =(vTvA

)tn. Estas sequências são progressões geométricas de razão 0 <

vTvA

< 1 e

primeiros termos iguais a, respectivamente, dP0P1 e t1 = t. O n-ésimo termo de cada

sequência é dado por dPnPn+1 =(vTvA

)nd e tn+1 =

(vTvA

)nt, para todo natural n ≥ 0.

Para n in�nitamente grande a distância dPnPn+1 entre Aquiles e a tartaruga e

o tempo tn para percorrer esta distância tornam-se in�nitamente pequenos, uma vez que(vTvA

)n→ 0, pois 0 < vT

vA< 1.

As distâncias totais percorridas por Aquiles e a tartaruga são dadas por

DA = d(vTvA

)0+ d

(vTvA

)1+ . . .+ d

(vTvA

)n,

DT = d(vTvA

)1+ d

(vTvA

)2+ d

(vTvA

)3+ . . .+ d

(vTvA

)n.

As somas anteriores são somas dos termos de uma progressão geométrica de

razão 0 < vTvA< 1, que podem ser escritas como:

DA = dvA

vA−vT+ d

vA

(vTvA

)nvT−vA

,

DT = dvT

vA−vT+ d

vA

(vTvA

)nvT−vA

.

Dessas duas últimas igualdades concluímos que 1

DA − d vAvA−vT = DT − dvT

vA−vT⇒ DA = DT + d.

1Podemos escrever DA − d vAvA−vT = dvA

(vTvA

)nvT−vA e DT − d

vTvA−vT = d

vA(

vTvA

)nvT−vA .

19

Do que foi posto acima, vemos que DA > DT , o que nos leva à conclusão de

que Aquiles em algum momento alcançou a tartaruga.

Tomando n in�nitamente grande teremosvA

(vTvA

)nvT−vA

→ 0vA

(vTvA

)nvT−vA

→ 0, então DA = d

vAvA−vT

e DT = dvT

vA−vT.

Resta-nos, agora, mostrar que Aquiles alcança a tartaruga em um tempo �nito.

O tempo total t que Aquiles leva para alcançar a tartaruga é dado pela soma

de todos os tn, logo

T = tn∑k=1

(vTvA

)k−1= t

[vA

vA−vT+

vA

(vTvA

)nvT−vA

].

Dado um n in�nitamente grande, o termovA

(vTvA

)nvT−vA

torna-se in�nitamente pe-

queno, logo T = vAtvA−vT

= dvA−vT

. Concluímos, assim, que o tempo total gasto por Aquiles

para encontrar a tartaruga em um ponto do percurso é �nito.

Podemos escrever as posições de Aquiles e da tartaruga da seguinte forma

Pn = P0 + vAn∑k=1

(posição de Aquiles)

Pn+1 = P1 + vTn∑k=1

(posição da tartaruga).

Tomando n in�nitamente grande, obtemos

Pn = P0 +vAd

vA−vT

Pn+1 = P1 +vT d

vA−vT= P0 + d+

vT dvA−vT

= P0 +vAd

vA−vT= Pn.

Como vemos, Aquiles alcança a tartaruga em t = dvA−vT

.

Exemplo 1.1: Suponhamos vA = 10m/s, vT = 9m/s e d = 100m. A diferença

entre as velocidades de Aquiles e da tartaruga é de 1m/s, esta velocidade é denominada de

velocidade relativa. Isto signi�ca que Aquiles se aproxima da tartaruga a uma velocidade

de 1m/s. Então para percorrer a distância de 100m de diferença, ele leva

t = dvA−vT

= 10010−9 = 100s = 1min 40s.

A conclusão da impossibilidade do movimento nesse paradoxo, feita por Zeno,

utiliza o mesmo argumento do paradoxo da dicotomia. Entretanto, mostramos que é

possível o mais rápido alcançar o mais lento em uma corrida onde o mais lento sai na

frente. Contrariando, mais uma vez, o argumento de Zeno.

Fisicamente, o que temos é uma aproximação com velocidade relativa que é

dada por vA − vT > 0, isto nos indica que, por mais próxima que sejam as velocidades,porém diferentes, o mais rápido irá alcançar o mais lento em um tempo t = d

vA−vT, onde

d é a distância inicial entre os dois corredores.

20

A velocidade relativa indica quanto a distância entre dois corredores diminui

(ou aumenta) com o tempo. Do exemplo anterior, a diferença é de 1m/s, ou seja, a cada

segundo a distância inicial entre eles diminui de 1m. É como se o corredor mais lento

permanecesse parado, e o mais rápido �zesse o percurso com velocidade de 1m/s, no caso

do exemplo anterior. Podemos ver isso geometricamente conforme Fig.1.4.

Fig.1.4. Grá�co das posições entre Aquiles e a tartaruga.

As posições de Aquiles e da tartaruga são dadas por

PA = P0 + vAtn

PT = P1 + vT tn.

Para que Aquiles alcance a tartaruga, devemos ter PA = PT . Esta igualdade

se veri�ca para tn = dvA−vT .

De fato, igualando as expressões PA = P0 + vAtn e PT = P1 + vT tn, obtemos

P0 + vAtn = P1 + vT tn

(vA − vT ) tn = P1 − P0

tn =P1−P0vA−vT

= dvA−vT

.

Este resultado é exatamente o mesmo que o encontrado anteriormente. O

grá�co nos mostra como a distância entre eles vai diminuindo com o tempo, até que os

dois ocupem a mesma posição.

O entendimento quantitativo em relação à soma de valores positivos, no qual

somando in�nitos desses valores, esta soma sempre aumenta, e acabará por ultrapassar

qualquer valor positivo dado, tornando-a in�nita, é o erro cometido por Zeno.

Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no de Aquiles e a tartaruga,

as somas dos termos das sequências (séries), da distância e do tempo, tendem a convergir

para um valor �nito. O tempo que o corredor leva para percorrer toda a distância d é

�nito, e vale t = dv. Aquiles encontra a tartaruga após um tempo �nito t = d

vA−vT. A

21

diferença entre as velocidades, vA−vT = vrelativa > 0, é denominada de velocidade relativade aproximação entre Aquiles e a tartaruga.

O pensamento de Zeno, assim como de muitos �lósofos (matemáticos) de sua

época, se explica pelo fato dos conceitos de limite e convergência de sequências e séries

ainda não terem sido desenvolvidos.

O conceito de série aparece pela primeira vez no século III a.C. com Arquime-

des. Ao realizar a quadratura da parábola, Arquimedes chega a série geométrica (soma

in�nita) 14+ 1

42+ 1

43+ . . . + 1

4n+ . . ., mostrando, sem utilizar o conceito de limite, que

essa soma é igual a 43[3]. Enquanto o conceito de limite só foi de�nido pela primeira vez

no séc. XVIII por Jean Le Rond d'Alembert (1717 - 1783), que enxergou neste conceito

a importância central para o desenvolvimento do cálculo [4].

1.2 O método da exaustão (princípio de Eudoxo)

-

O cálculo da área (quadratura) de uma �gura plana ou de região plana de-

limitada por uma curva, tal como o cálculo do volume (cubatura) delimitado por um

sólido foram os primeiros conceitos do cálculo a serem desenvolvidos. A integral, hoje

abordada nos livros de cálculo, teve sua primeira versão grega por volta do século V a.C.,

desenvolvida pelo astrônomo e matemático grego Eudoxo de Cnido, conhecido hoje como

Método da Exaustão ou Princípio de Eudoxo. Esse método é fundamentado no axioma e

na seguinte proposição.

• Axioma de Eudoxo ou Princípio de Arquimedes:

�Magnitudes são ditas ter uma razão entre si, aquelas que multiplicadas

podem exceder uma a outra�. [2]

O axioma anterior pode ser escrito como:

• Dados x e ε dois números positivos quaisquer, e seja ε < x. Então existe umnúmero inteiro positivo n tal que nε > x.

Consideremos as grandezas x > 0 e ε > 0, conforme Fig.1.5

Fig.1.5. Representação geométrica das grandezas positivas x e ε.

22

Intuitivamente, podemos observar que existe um número natural n, tal que o

somatório que segue supera o valor de x.n∑k=1

ε = nε > x para algum número natural n, Fig.1.6.

Fig.1.6. Axioma de Eudoxo.

• Princípio de Eudoxo (método da exaustão):

Proposição 1: �Sendo expostas duas magnitudes desiguais, caso da maior

seja subtraída uma maior que sua metade, da que é deixada, uma maior

do que a metade, e isso acontece sempre, alguma magnitude será dei-

xada, a qual é menor do que a menor magnitude exposta.� [2]

De fato, consideremos duas grandezas x > 0 e ε > 0, tais que ε < x .

Podemos construir uma sequência de termos positivos xn satisfazendo a desigualdade

xn >12

(x−

n∑k=1

xk−1

)para todo número natural n ≥ 1.

Geometricamente temos a seguinte situação, conforme Fig.1.7.

Fig.1.7. Princípio de Eudoxo.

Então existe uma constante 12< q < 1, tal que para todo número n ≥ 1

podemos escrever

xn =

(x−

n∑k=1

xk−1

)q, com x0 = 0.

Da forma como foi construída a sequência xn da Fig.1.7, os termos desta

sequência formam uma progressão geométrica de razão igual a 1 − q e primeiro termoigual a x1 = xq.

23

De fato, escrevendo xn−1 =

(x−

n−1∑k=1

xk−1

)q e xn =

(x−

n−1∑k=1

xk−1 − xn−1)q,

obtemos

xn−1q

= x−n−1∑k=1

xk−1. Assim sendo, podemos escrever

xn =(xn−1q− xn−1

)q = xn−1

(1q− 1)q = xn−1 (1− q), o que nos fornece

xnxn−1

= (1− q). Desta igualdade segue xn = x1 (1− q)n−1, com x1 = xq.

Agora, retirando da grandeza x uma parte x1 maior que sua metade, e do que

sobra uma parte x2 maior que sua metade, e assim por diante, teremos, na etapa n − 1,�cado com uma grandeza igual a

x− x1 − x2 − x3 − · · · − xn−1 = x−n∑k=1

xk−1 =xnq= x (1− q)n−1.

Como 0 < 1 − q < 12, elevando a n − 1 e multiplicando por x, obtemos

x (1− q)n−1 < x2n−1

.

Por hipótese temos ε < x, e pelo Princípio de Arquimedes, existe um natural

n tal que x < nε. Podemos, assim, escrever as seguintes desigualdades

x (1− q)n−1 < x2n−1

< nε2n−1

< ε, pois n2n−1

< 1, ou 2n−1 > n para todo número

natural n > 2. Disto seque a Proposição 1.

1.2.1 Quadratura do Círculo (Arquimedes)

-

Um dos três problemas clássicos (duplicação do cubo, trissecção do ângulo)

propostos pelos antigos gregos é o da quadratura do círculo que é descrito como segue:

Construir com régua e compasso em um número �nito de passos um

quadrado com a mesma área de um círculo de raio r.

A solução algébrica deste problema pode ser feita da seguinte forma:

Seja a área do círculo dada por πr2. Tomando um quadrado de lado x sua

área é igual a x2. Para que essa área seja igual a área de um círculo de raio r, devemos

ter um quadrado de lado x = r√π.

O lado do quadrado encontrado é exatamente a média geométrica entre os

valores r2 e π. Entretanto, não é possível a construção com régua e compasso de um

segmento exatamente igual π, uma vez que π é um número transcendente. A demonstração

de que π é um número transcendente foi feita em 1882 pelo matemático alemão Carl-Louis-

Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939), mostrando ser impossível resolver o problema

da quadratura do círculo apenas com régua e compasso.

A Proposição 2, que segue, mostra a relação entre a área de um círculo e seu

diâmetro. Com isso, podemos mostrar que a área de um círculo é dada por πr2.

24

Proposição 2: �Círculos estão entre si como os quadrados sobre os diâ-

metros�. [2]

Admitimos como verdadeira, sem demonstrarmos, a proposição 2.2.

Da Proposição 2, segue que a área de um círculo de raio r é proporcional ao

quadrado de lado r.

De fato, como 3

AC1AC2

=D21D22

=4r214r22

=r21r22

AC1r21

=AC2r22

= π (escolha da constante igual a π)

AC1 = πr21

AC2 = πr22.

Arquimedes, tomando um círculo de raio r = 1, calcula uma aproximação de

π, circunscrevendo e inscrevendo polígonos de 6, 12, 24, 48 e 96 lados, encontrando para

este último um valor de π entre 3+ 1071

e 3+ 17, ou seja 3, 1408450704 < π < 3, 1428571429.

Arquimedes é o primeiro matemático a demonstrar que a área de um círculo é

igual ao seu comprimento C (perímetro) vezes o raio sobre dois, Cr2, conforme Proposição

3 que segue:

Proposição 3: �A área de qualquer círculo é igual a área de um triângulo

retângulo, em que um dos lados sobre o ângulo reto é igual ao raio, e o

outro lado igual a circunferência do círculo.� [3]

Arquimedes utiliza a Proposição 1 e dupla redução ao absurdo, que é funda-

mentada na seguinte propriedade:

Dada duas grandezas x e y, uma, e somente uma, das alternativas abaixo pode

ocorrer:

ou x > y ou x < y ou x = y.

Para mostrar que duas grandezas x e y são iguais, Arquimedes supõe por

absurdo que elas são diferentes, ou seja, uma das alternativas x > y ou x < y tem que ser

verdadeira, chegando a um duplo absurdo, concluindo por �m que x = y.

Consideremos C o comprimento da circunferência, T = C×r2

a área do triângulo

e A a área do círculo. De acordo com a Proposição 3 temos A = C×r2.

De fato, caso não seja veri�cada a igualdade anterior, então ou ocorre A > T

ou ocorre A < T , exclusivamente.

2Ver demonstração em [2], páginas 528 à 530.3Diâmetro da circunferência é 2r.

25

Suponhamos que A > T e sejam as grandezas A− T e A. Como A− T < A,pelo axioma de Eudoxo, existe um natural n tal que A < n (A− T ).

Tomemos os polígonos regulares Pn, inscritos na circunferência de raio r. Cada

polígono, a partir do primeiro (quadrado inscrito), e construído acrescentando triângulos

isósceles a cada lado. Para isso, tomamos o ponto médio de cada setor circular JAEB e

construímos os triângulos com vértice neste ponto médio e com um dos lados sobre e igual

ao lado do polígono anterior. Deste modo, obteremos polígonos que possuem o dobro de

lados do polígono antecedente, ou seja os polígonos regulares Pn possuem o número de

lados dado por LPn = 2LPn−1 = 2n+1 para todo número natural n ≥ 2, com LP1 = 22.

Consideremos a sequência de polígonos regulares Pn com 2n+1 lados inscritos

na circunferência de raio r, as áreas APn desses polígonos são menores que a área A do

círculo. E seja Tn = APn−APn−1 , para todo natural n ≥ 1, a soma das áreas dos triângulosisósceles acrescentados a cada lado do polígono anterior, conforme Fig.1.8, e de�namos

AP0 = 0.

Fig.1.8. Polígonos regulares inscritos.

Denotamos por Sn = A− APn a soma das áreas dos setores circulares entre acircunferência e os polígonos inscritos. A�rmamos que Sn−1 > Tn > 12Sn−1.

De fato, construindo retângulos sobre o arco JAEB na Fig.1.8, obtemos a

Fig.1.9 que segue.

Fig.1.9. Área do retângulo circunscrito no arco.._

AB.

26

Cada retânguloeABCD, construído conforme �gura anterior, tem área maior

que o setor circular JAEB. Também é verdade que cada triângulo tem área maior que a

metade de cada setor circular, uma vez que AJAEB > A4AEB =Ae

ABCDE

2>

AJAEB2

.

Dado A − APn−1 > Tn > 12(A− APn−1

), então existe 1

2< q < 1, tal que

Tn =(A− APn−1

)q.

Da igualdade Tn = APn − APn−1 , obtemos4

APn =n∑Tk

k=1

Sn = A−n∑k=1

Tk

Tn =(A− APn−1

)q =

(A−

n−1∑k=1

Tk

)q.

A sequência Tn =

(A−

n−1∑k=1

Tk

)q pode ser escrita como Tn = Aq (1− q)n−1,

com 0 < 1− q < 12e T1 = AP1 = Aq.

De fato, Tn =

(A−

n−1∑k=1

Tk

)q =

(A−

n−2∑k=1

Tk − Tn−1)q, que por sua vez é

igual a Tn =(Tn−1q− Tn−1

)q = Tn−1 (1− q) = Aq (1− q)n−1 para todo número natural

n ≥ 1.

Sendo A− T < A, pelo princípio de Arquimedes, existe um número natural ntal que A < n (A− T ).

Agora retiramos de A a grandeza T1 maior que sua metade, e depois T2, uma

grandeza maior que a metade do que sobra, e assim por diante, obtendo na etapa n − 1

a expressão A−n−1∑k=1

Tk.

Da igualdade Tn =

(A−

n−1∑k=1

Tk

)q, concluímos que:

A−n−1∑k=1

Tk =Tnq

= A (1− q)n−1, e das desigualdades A < n (A− T ) e 0 <

1− q < 12, obtemos

A−n−1∑k=1

Tk = A (1− q)n−1 < A2n−1 <n(A−T )2n−1

< A−T , pois n2n−1

< 1 (indução)5.

De APn =n∑k=1

, temos APn−1 =n−1∑k=1

Tk. Desta igualdade e da desigualdade A−n−1∑k=1

Tk < A− T , concluímos que A− APn−1 < A− T , então APn−1 > T .

4n∑k=1

Tk =n∑k=1

(APk −APk−1

)=

n∑k=1

APk−n∑k=1

APk−1 = APn −AP0 .50 < 1− q < 12 ⇒ 0 < (1− q)

n−1< 12n−1 ⇒0 < A (1− q)

n−1< A2n−1 <

n(A−T )2n−1 < A− T .

27

A área de um polígono regular de 2n+1 lados iguais a bn inscrito em uma

circunferência de raio r é dada por APn =2n+1bnhn

2= pnhn

2, onde bn é o lado o polígono

regular inscrito, pn o perímetro desse polígono regular e hn a altura dos 2n+1 triângulos ao

qual o polígono com 2n+1 lados foi dividido. Entretanto, pn < C e hn < r, disto segue que

pnhn < Cr, entãopnhn2

< Cr2, logo APn < T . E, como APn > T , temos uma contradição,

isso ocorreu da hipótese A > T , logo essa suposição é falsa.

Suponhamos A < T , e consideremo os polígonos regulares Pn com 2n+1 lados,

circunscritos a circunferência de raio r, construídos como na Fig.1.10 abaixo:

Fig.1.10. Polígonos regulares circunscritos.

A área APn de um polígono regular de 2n+1 lados iguais a bn e perímetro pn,

circunscrito a uma circunferência de raio r, é dada por APn =2n+1bnhn

2= pnhn

2, onde hn

é altura dos 2n+1 triângulos ao qual o polígono com 2n+1 lados foi dividido. E como Pnestá circunscrito na circunferência de raio r, temos que pn > C e hn = r, disto segue que

pnr > Cr, entãopnr2> T = Cr

2, logo APn > T para todo número natural n ≥ 1.

De APn > T , segue que a área AP1 > T > T − A. Considerando as grandezasAP1 e T −A, vamos aplicar a Proposição 1, e para isso, consideremos Tn = APn−1−APn , asequência de áreas dos triângulos obtida retirando as áreas do polígono Pn−1 do polígono

Pn, respectivamente, para todo número natural n ≥ 2, com T1 = A = AP1q. SejaSn = APn − A, a área entre os polígonos circunscritos e o círculo de raio r. Da Fig.1.10vemos que Tn+1 > 12Sn. Disto segue que Tn+1 = Snq = (APn − A) q para algum

12< q < 1.

Da relação Tn = APn−1 − APn podemos escrever

T1 = A

T2 = AP1 − AP2

T3 = AP2 − AP3

T4 = AP3 − AP4

T5 = AP4 − AP5...

Tn = APn−1 − APn

28

Somando os Tk para 1 ≤ k ≤ n, obtemosn∑k=1

Tk = A+ Ap1 − APn

APn = A+ AP1−n∑k=1

Tk. Desta igualdade segue que

APn = A+ AP1−n∑k=1

Tk

Também podemos escrever Sn = AP1−n∑k=1

Tk.

Do que foi feito anteriormente, temos a igualdade Tn+1 =

(AP1−

n∑k=1

Tk

)q.

Desta igualdade, podemos escrever a relação Tn como

Tn+1 =

(AP1−

n∑k=1

Tk − Tn)q

Tn =

(AP1−

n∑k=1

Tk

)q

Tnq= AP1−

n∑k=1

Tk

Tn+1 =(Tnq− Tn

)q = Tn (1− q)

Tn+1 = T1 (1− q)n para todo natural n ≥ 1 e T1 = A.

Agora retirando de AP1 , T1 = A, uma parte maior que sua metade, depois

T2, uma parte maior que a metade do que sobra, e assim sucessivamente, na etapa n− 1�camos com

AP1−n∑k=1

Tk =Tnq= Apn − A.

Pelo princípio de Arquimedes existe n natural tal que AP1 < n (T − A).

A�rmamos que APn < T .

De fato, uma vez que APn − A = AP1−n∑k=1

Tk =Tnq

= T1 (1− q)n−1 , temos

APn − A = A (1− q)n−1. De forma análoga, concluímos que

APn − A < T − A, ou seja APn < T . Entretanto, APn > T para todo n ≥ 1.Desta forma temos um absurdo, e isso ocorreu da hipótese A < T , logo essa suposição é

falsa.

Não podendo ser A > T e nem A < T , então temos que A = T = Cr2.

A demonstração anterior é feita em um número de passos �nito, o que deixa de

fora a necessidade de trabalharmos com números in�nitamente grandes ou in�nitamente

pequenos. Também observamos que as áreas dos polígonos circunscritos formam uma

sequência decrescente, e dos inscritos crescente.

29

Denotando por An a área dos polígonos circunscritos, por an a dos polígonos

inscritos, e sendo A a área do círculo, temos as seguintes desigualdades:

a1 < a2 < . . . < an < A < An < . . . < A2 < A1.

Estas desigualdades nos mostram que quanto maior o número de lados dos

polígonos circunscrito e inscrito, mais próximos da área A do círculo estaremos. Intui-

tivamente, dizemos que, para n in�nitamente grande (n→∞), as diferenças A − An ean − A tornam-se in�nitamente pequenas (tendem a zero), de forma equivalente, temosAn → Aan → A .

Vamos ver o que acontece com a diferença An − an para os polígonos circuns-critos e inscrito de 2n+1 lados, para isso consideremos a Fig.1.11.

Fig.1.11. Relação entres as áreas An e an.

Os triângulos da Fig.1.11 são semelhantes, logo anAn

=(hnr

)2. Também temos

as seguintes relações

α = π2n

hn = r cos(

π2n+1

).

Do que foi posto anteriormente, podemos escrever

anAn

= cos2(

π2n+1

)an = Ancos

2(

π2n+1

)An − an = An

[1− cos2

(π

2n+1

)]An − an = Ansen2

(π

2n+1

).

An é uma sequência limitada, ou seja, A < An < A1. Assim, temos:

Asen2(

π2n+1

)< .sen2

(π

2n+1

)An < A1sen2

(π

2n+1

)Asen2

(π

2n+1

)< An − an < A1sen2

(π

2n+1

)

30

Tomando um número n → ∞ a razão π2n+1

torna-se in�nitamente pequena,

então podemos supor que Asen2(

π2n+1

)é um número in�nitamente pequeno (tende a

zero), logo

An = an.

Mostremos, agora, as seguintes a�rmações:

i) As áreas dos polígonos inscritos e circunscritos tendem a um mesmo valor,

no caso em questão tendem a área A do círculo;

De fato, para o polígono inscrito temos

an = APn =n∑k=1

Tk e Tn = Aq (1− q)n−1 para todo número natural n ≥ 1.

Disto segue que

an =n∑k=1

Aq (1− q)k−1 = Aq1−1+q = A para n→∞.

E para os polígonos circunscrito

An = APn = A+ AP1−n∑k=1

Tk e Tn = AP1q (1− q)n−1. Logo obtemos

An = A+ AP1−n∑k=1

AP1q (1− q)k−1 = A+ AP1 −

AP1q

1−1+q = A para n→∞.

ii) O comprimento da circunferência de raio r vale 2πr.

De fato, dado que a área de um círculo de raio r é dada por πr2, da Proposição

3, esta mesma área vale Cr2, desta forma podemos escrever Cr

2= πr2, logo C = 2πr.

iii) O perímetro dos polígonos inscritos e circunscrito tendem ao comprimento

C da circunferência.

De fato, consideremos Pn o perímetro do polígono circunscrito e pn o perímetro

do polígono inscrito.

Para os polígonos inscritos temos

an =pnhn2

= A ⇒ pn = 2Ahn . Como hn = r cos(

π2n+1

)e A = πr2, obtemos

pn =2πr

cos( π2n+1

). Para n→∞ temos cos

(π

2n+1

)→ 1 e pn = 2πr.

Para os polígonos circunscritos, temos

An =Pnr2

= A ⇒ Pn = 2πr para n→∞ .

Na seção seguinte abordaremos a quadratura da parábola feita por Arquime-

des. O método empregado por ele para encontrar a área do círculo foi utilizado, também,

para encontrar a área delimitada por um segmento de parábola (quadratura da parábola).

Discutiremos como Arquimedes demonstra que a série 14+ 1

42+ 1

43+. . .+ 1

4n−1+. . .

converge para o valor 43sem utilizar o conceito de limite, utilizando-se do fato de que a

soman∑k=1

T4k−1

+ 13

T4n−1

vale 43T para todo n, evitando, assim, o incomodo da época em

trabalhar com in�nito.

31

1.2.2 Quadratura da Parábola (Arquimedes)

-

Utilizando o mesmo método para o cálculo da área delimitada por uma cir-

cunferência, Arquimedes demonstra que a área sobre um segmento de parábola é igual a43da área de um triângulo inscrito nesse segmento, conforme Fig.1.12.

Fig.1.12. Área delimitada por um segmento de parábola.

Consideremos a sequência de áreas Tn+1,2n dos triângulos inscritos sobre o

segmento de parábola, onde o primeiro índice, n+ 1, indica a etapa em que estamos ins-

crevendo o triângulo e o segundo índice, 2n, o número total de triângulos que inscrevemos

nesta etapa, conforme Fig.1.13.

Fig.1.13. Triângulos inscritos num segmento de parábola.

Proposição 4: Seja o ponto D onde a tangente à parábola é paralela a

BC, e T1,1 = T . Então a área do triângulo T2,2 = 18T1,1, e em geral, as

áreas acrescidas a cada lado do triângulo anterior satisfazem a relação

Tn+1,2n =18Tn,2n−1 [3].

Vamos admitir válida, sem demonstração, a Proposição 4.

Seja a construção dada pela Fig.1.14, onde D é o ponto onde a reta paralela ao

lado BC tangencia a parábola, e C é o ponto de onde a reta paralela à base AB tangência

a parábola. Procedendo de forma análoga, a construção para os demais segmentos de

32

parábola que surgem, é possível mostrar que, a cada construção, os triângulos construídos

sobre cada lado do segmento de parábola têm a mesma área e são maiores que a metade

da área do segmento de parábola que resta.

Fig.1.14. Construção de triângulos inscritos num segmento de parábola.

Da relação Tn+1,2n = 18Tn,2n−1 (Proposição 4), com T1,1 = T , obtemos

Tn+1,2n =Tn,2n−1

8= 1

8nT , para todo número natural n ≥ 0 6.

Cada triângulo inscrito sobre o segmento de parábola dá origem ao dobro do

segmento de parábola anterior, uma vez que o número de lados do polígono inscrito dobra,

assim como o número de triângulos inscritos. Disto segue que a área An acrescentada é

dada por An = 2n

8nT = 1

4nT , n ≥ 0. Esta relação nos mostra que a cada etapa a área que

acrescentamos é 14da área anterior, ou seja, An =

An−14

, com A0 = T , para todo n ≥ 1.Então a área total acrescentada na etapa n é dada pela soma

n∑k=0

An = A0 +A04+ A0

42+ . . .+ A0

4n−1+ A0

4n.

Proposição 5: Sejam dadas as sequências an = a1qn−1, com q 6= 0 ea1 6= 0 e sn =

n∑k=1

ak a soma dos n primeiros termos dessa sequência. Se

adicionarmos a sn o termoq

1−qan, então esta soma será igual aa11−q para

todo número natural n.

De fato, a sequência an = a1qn−1 é uma progressão geométrica de razão q 6= 0e primeiro termo a1 6= 0. A soma sn pode ser escrita como:

sn = a1 + a1q + a1q2 + . . .+ a1q

n−1 = a1(qn−1)

q−1 .

6O número de triângulos acrescentados na etapa n é o dobro do número de triângulos da etapa n− 1,ou seja, nTn = 2nTn−1 = 2

n.

33

Da igualdade anterior, obtemos sn = −a1qn

1−q +a11−q , que pode ser escrita como

sn +q

1−qan =a11−q , que prova a proposição.

A Proposição 5 nos diz que:

sn +q

1−qan = sn−1 +q

1−qan−1 = . . . = s2 +q

1−qa2 =a11−q .

Proposição 6: Seja dada a sequência de áreas An, tal que An−1 = 4An,

então a soma

sn +An3

= A0 + A1 + A2 + . . .+ An +An3

= 43A0.

.

De fato, basta aplicar a Proposição 5 para an = An e q = 14 .

Vamos mostrar que a porção da área delimitada por um segmento de parábola

é igual a 43da área de um triângulo inscrito nesse segmento. Mas antes mostremos que a

área de qualquer triângulo, cujo um dos vértices pertence a reta tangente ao segmento de

parábola paralela a base, tem área maior que a metade desse segmento.

Seja a Fig.1.15, os segmentos DE e AB são paralelos (por construção), assim

como os segmentos BE e AD são paralelos a CM , mediana do segmento AB.

Fig.1.15. Relação entre as áreas do segmento de parábola e do triângulo inscrito.

Os triângulos 4ADC e 4ACM da Fig.1.15 são congruentes, assim como ostriângulos 4BCE e 4BCM , logo a área do triângulo inscrito sobre o segmento de parábolaACB é a metade da área do paralelogramo (ABED, que por sua vez é maior que a metadeda área do segmento de parábola aACB.

Escolhendo o segmento de parábola com base AC e outro com base BC

(Fig.1.5) e construindo um triângulo como feito anteriormente, chegamos a mesma con-

clusão, o que nos mostra que as áreas dos triângulos acrescentados são maiores que a

metade da área do segmento de parábola ao qual foi inscrito. De posse dessa observação,

demonstremos a seguinte proposição:

34

Proposição 7: �A área delimitada por uma parábola e uma corda AB é

igual a quatro terço da área do triângulo, que tem a mesma base que o

segmento e a mesma altura.� [3]

Fig.1.16. Razão entre as áreas do segmento de parábola e do triângulo.

Vamos considerar ASP a área sobre o segmento de parábola e A = 43T , onde

T é área do triângulo inscrito no segmento em questão (Fig.1.16). Como cada triângulo,

construído de acordo com a Fig.1.14, tem área maior que a metade do segmento de

parábola ao qual está inscrito, temos que

A0 >12ASP

A2 >12(ASP − A0 − A1)

A3 >12(ASP − A0 − A1 − A2)

...

An >12(ASP − A0 − A1 − A3 − . . .− An−1).

An >12

(ASP−

n−1∑k=0

Ak

)para todo n ≥ 0, com A0 = ASP q.

Do resultado anterior, existe 12< q < 1, tal que An =

(ASP−

n−1∑k=0

Ak

)q. Esta

relação pode ser escrita como An = q (1− q)nASP .

De fato, dado que An =

(ASP−

n−1∑k=0

Ak

)q podemos escrever

Anq

= ASP−n−1∑k=0

Ak = ASP−n−2∑k=0

Ak − An−1 e An−1q = ASP−n−2∑k=0

Ak.

Das relações anteriores, obtemos:

An =

(ASP−

n−2∑k=0

Ak − An−1)q

An =(An−1q− An−1

)q

An = An−1 (1− q)

35

An = A0 (1− q)n. Sendo assim, segue a a�rmação.

Vamos supor que ASP > A. Considerando as grandezas ASP − A > 0 e ASP ,pelo princípio de Arquimedes, existe um natural n, tal que ASP < n (ASP − A).

Agora retiramos de ASP a grandeza A0, maior que sua metade, depois A1,

maior que a metade de ASP − A0, e assim até a etapa n − 1, �cando com a seguinteexpressão:

ASP−n−1∑k=0

Ak = ASP (1− q)n−1, e dado que 1−q < 12 , obtemos (1− q)n−1 < 1

2n.

Desta desigualdade, concluímos que

ASP−n−1∑k=0

Ak = ASP (1− q)n−1 < ASP2n <n(ASP−A)

2n< ASP − A.

Com isso, temos a seguinte relaçãon−1∑k=0

Ak > A =43T . Esta desigualdade é

absurda, uma vez que 43T =

n−1∑k=0

Ak +An−1

3>n−1∑k=0

Ak. Logo não podemos ter ASP > 43T .

Vamos supor que A > ASP .

A�rmamos que An > 12

(A−

n−1∑k=0

Ak

).

De fato, A−n−1∑k=0

Ak =43T − 4

3T(1− 1

4n

)= 4

3T4n

= 43An.7 Desta igualdade segue

que An > 1243An =

23An para todo n ≥ 0.

Assim sendo, podemos escrever a seguinte desigualdade (Proposição 1)

A−n−1∑k=0

Ak < A− ASP

n−1∑k=0

Ak > ASP .

A soman−1∑k=0

Ak é a área de um polígono de n − 1 lados inscrito no segmento

de parábola, logon−1∑k=0

Ak < ASP . Sendo assim chegamos a um absurdo.

Como não podemos ter ASP < A e nem A > ASP , concluímos assim que

ASP = A =43T .

Exemplo 1.2: Um exemplo de uso do método de Arquimedes é o cálculo da

área sobre a parábola y2 = x. Está área mede 23x

32 .

De fato, considere a Fig.1.17

7n−1∑k=0

Ak =n−1∑k=0

T4k

= T + T4 +T42 + . . .+

T4n−1 =

43T(1− 14n

).

36

Fig.1.17. Área delimitada pela parábola y2 = x.

A área sobre a parábola y2 = x é a metade de 8 43(2T ).

T = x√x

2=√x3

2= x

32

2

A = 1243x

32 = 2

3x

32 .

Neste primeiro capítulo tivemos a oportunidade de discutir sobre os primeiros

conceitos do cálculo. Na primeira parte notamos a necessidade de se de�nir a convergência

de séries e sequências. Esta foi a principal di�culdade encontrada pelos matemáticos do

século V a.C. Lidar com somas in�nitas de termos positivos, intuitivamente nesta época,

levava a uma conclusão errônea sobre o valor que essa soma poderia atingir, como pudemos

ver nos paradoxos da dicotomia e de Aquiles e a tartaruga de Zeno.

Na segunda parte, abordamos o conceito de integral pelo método da exaustão

de Eudoxo. Arquimedes conseguiu se esquivar totalmente da necessidade de se trabalhar

com somas in�nitas, apenas com o uso do axioma mencionado. Também, conseguiu

encontrar o valor de uma série sem a necessidade de tomar a passagem ao limite. Pudemos

notar que o método empregado por ele é aplicado em um número �nito de passos. Esta

primeira abordagem do cálculo integral será retomada no capítulo que segue, mas com

uma nova abordagem.

8Esta área, futuramente, poderá ser calculada pela integral´ x0a√tdt, [0, x].

37

Capítulo 2

Cálculo diferencial e integral: Fermat

-

No capítulo anterior tivemos a oportunidade de ver os primeiros conceitos do

cálculo integral através do método da exaustão, utilizado por Arquimedes, para o cálculo

da área delimitada por uma circunferência (quadratura do círculo) e o cálculo da área

delimitada por um segmento de parábola (quadratura da parábola), sem a necessidade de

trabalharmos com o conceito de limite. Retomamos estes cálculos neste capítulo através

dos conceitos do cálculo diferencial e integral desenvolvidos por Pierre de Fermat (1601 -

1665). Veremos que Fermat, intuitivamente, de�ne as bases teóricas do cálculo diferencial

e integral através dos problemas de encontrar máximos e mínimos, a reta tangente a uma

curva, primeiros conceitos do cálculo de derivadas, e, novamente, retoma à quadratura da

parábola, em particular das parábolas de Fermat da forma y = xn, uma generalização do

método de Arquimedes para quadratura da parábola, e a quadratura das curvas y = ax−n

para todo racional n 6= 1. Estes métodos são a base para o desenvolvimento da teoria docálculo conforme proposto, independentemente, por Newton e Leibniz no �nal do século

XVII e meados do século XVIII.

Utilizaremos as de�nições dadas no primeiro capítulo, assim como as seguintes

propriedades do somatório∑

e a fatoração de binômios.n∑k=1

ak = a1 + a2 + a3 + . . .+ ak−1 + ak;

n∑k=1

αak = αn∑k=1

ak, α 6= 0 número real qualquer;

n∑k=1

(ak ± bk) =n∑k=1

ak±n∑k=1

bk;

n∑k=1

(ak+1 − ak) =n∑k=1

ak+1−n∑k=1

ak = an+1 − a1;

n∑k=1

m∑j=1

(akbj) =n∑k=1

akm∑j=1

bj =m∑j=1

n∑k=1

(bjak)

Para a diferença an − bn, utilizaremos a forma simpli�cada

38

an − bn = (a− b)n∑k=0

an−1−kbk.

Admitimos, também, que dada uma progressão geométrica xn = xqn−1 e de

primeiro termo diferente de zero e razão 0 < q < 1, então a soma de todos os termos xnpara n→∞ in�nitamente grande vale

Sn = xn∑k=1

qk−1 = x(

11−q

).

Utilizaremos, também, as seguintes notações para quadratura, com signi�cado

numérico de área delimitada por uma curva, e a tangente a uma curva y = f (x):

QAxa (y) = QAxa [f (x)] - quadratura de y = f (x) no

intervalo [a;x];

TAx (y) = TAx [f (x)] - tangente em x;

2.1 O cálculo diferencial de Fermat

-

Podemos dizer que o cálculo diferencial teve sua origem com o matemático

francês Pierre de Fermat, quando desenvolveu seu método para encontrar máximos e

mínimos e o cálculo da tangente a uma curva. Este método deu origem ao que chamamos

hoje de derivada, culminando, assim, no que conhecemos por cálculo diferencial.

Discutiremos o método de Fermat para encontrar máximos e mínimos, e em

seguida, o método da tangente de Fermat nesta primeira parte deste capítulo.

2.1.1 Máximos e mínimos de uma curva

Consideremos a Fig.2.1 que segue.

Fig.2.1. Máximos e mínimos, método de Fermat.

39

A Fig.2.1 nos mostra que, nas proximidades dos pontos onde a curva atinge

um valor máximo ou valor mínimo, a diferença f (x+ E)−f (x) é in�nitamente pequena,ou quase nula para E in�nitamente pequeno, ou seja, f (x+ E)− f (x) ∼= 0.

Ao observamos os pontos próximos do valor máximo veri�camos que a di-

ferença f (x+ E) − f (x) ≤ 0, enquanto nos pontos próximos do valor mínimo temosf (x+ E) − f (x) ≥ 0. Disso segue que um dado ponto (x, y) de uma curva na formay = f (x) é ponto de máximo, ou de mínimo, se para um E in�nitamente pequeno,

tivermos, respectivamente:

f (x+ E) ≤ f (x),

f (x+ E) ≥ f (x).

Para encontrar os valores de máximos ou de mínimos de uma curva na forma

y = f (x), Fermat toma pontos próximos de um ponto x e depois, considerando o quocientef(x+E)−f(x)

E, admitia E = 0, encontrando o ponto x que maximiza ou minimiza a curva.

Exemplo 2.1: Mostremos que dos retângulos de perímetro �xo p, o que tem

maior área é o quadrado.

De fato, considerando x > 0 e y > 0 os lados do retângulo, dado p = 2 (x+ y),

então x = p2− y. A área desse retângulo é dada por

A = xy = x(p2− x)= −x2 + p

2x, para

0 < x <p2

0 < y < p2

.

Consideremos um valor E 6= 0 in�nitamente pequeno tal que x+ E esteja em]0, p

2

[, então podemos calcular o valor da área nesse ponto, como segue

A (x+ E) = − (x+ E)2 + p2(x+ E)

A (x+ E) = −x2 − 2xE − E2 + p2x+ p

2E

A (x+ E) = −x2 + p2x︸ ︷︷ ︸

A(x)

− 2xE − E2 + p2E

A (x+ E)− A (x) = −2xE − E2 + p2E.

Nos pontos onde o valor da área é máximo teremos que A (x+ E)−A (x) ∼= 0,logo podemos admitir que

−2xE − E2 + p2E ∼= 0. Dividindo toda essa expressão por E 6= 0, obtemos:

−2x− E + p2∼= 0, ou seja, 2x ∼= −E + p2 .

Em �m, admitimos que E é in�nitamente pequeno, obtemos x = p4.

Dado que y = p2− x = p

2− p

4= p

4, segue que x = y = p

4. Com isso concluímos

que o retângulo de maior área e perímetro �xo é um quadrado de lados p4.

40

Exemplo 2.2: Uma das aplicações do método de Fermat para encontrar máxi-

mos ou mínimos é no problema da trajetória da luz. Para ele a trajetória percorrida por

um feixe de luz, partindo de um ponto A passando por um ponto B, é mínima. Este é

conhecido como princípio do tempo mínimo de Fermat:

�A trajetória seguida pela luz viajando de um ponto

a outro é tal que o tempo de viagem é mínimo. Isto

é, a luz percorre a trajetória mais rápida.�

Vamos deduzir a chamada lei de Snell, utilizando o método de Fermat para

minimizar o tempo de trajetória de um raio de luz partindo deA até B.

Consideremos a Fig.2.2. Um raio de luz parte de uma fonte luminosa no ponto

A no meio 1 com velocidade v1, ao passar para o meio 2 sua velocidade passa a ser v2 < v1,

atingindo o ponto B neste meio.

Fig.2.2. Lei de Snell - Princípio de Fermat.

Da geometria da Fig.2.2 temos

D1 =√h21 + x

2 e D2 =√

(d− x)2 + h22

v1 =D1t1

e v2 = D2t2

t = t1 + t2 =

√h21+x

2

v1+

√(d−x)2+h22

v2(tempo total)

sen(α) = x√h21+x

2e sen(β) = (d−x)√

(d−x)2+h22.

Como vemos o tempo t que a luz leva para ir de A a B depende somente de

x. Fazendo t (x+ E)− t (x) ∼= 0, onde E 6= 0 in�nitamente pequeno, obtemos√h21+(x+E)

2

v1+

√(d−x−E)2+h22

v2−(√

h21+x2

v1+

√(d−x)2+h22

v2

)∼= 0(√

h21+(x+E)2−√h21+x

2

v1

)+

(√(d−x−E)2+h22−

√(d−x)2+h22

v1

)∼= 0

Ev1

(2x+E√

h21+(x+E)2+√h21+x

2

)+ E

v2

(−2(d−x)+E√

(d−x−E)2+h22+√

(d−x)2+h22

)∼= 0.

41

1v1

x√h21+x

2− 1

v2

(d−x)√(d−x)2+h22

∼= 0,

1v1

x√h21+x

2

∼= 1v2(d−x)√

(d−x)2+h22.

1v1sen(α)∼= 1v2 sen(β).

A velocidade da luz depende do meio em que ela se propaga. Esta propriedade

dependo do índice de refração do meio. Quanto maior o índice n de refração, menor é a

velocidade da luz, ou seja v = cn, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Logo concluímos

que

1v1sen(α)∼= 1v2 sen(β)

n1csen(α)∼=n2c sen(β)

n1sen(α)∼=n2sen(β).

Exemplo 2.3: Suponhamos que a temperatura T em graus Celsius ao longo de

um dia, após a meia-noite, seja T (t) = 40− 4t+ 0, 1t2, 0 ≤ t ≤ 24h, qual a temperaturamínima atingida neste dia.

Antes de resolvermos o problema, observemos que

T (t) = 0, 1 (400− 40t+ t2) = 0, 1 (20− t)2.

Utilizando o método de Fermat, obtemos:

T (t+ E) = 0, 1 (20− t− E)2

T (t+ E)− T (t) = 0, 1 (20− t− E)2 − 0, 1 (20− t)2

T (t+ E)− T (t) = −0, 1 (40− 2t− E)ET (t+E)−T (t)

E= −0, 1 (40− 2t− E)

Igualando a zero, obtemos

40− 2t− E = 0

2t = 40, que tem como solução t = 20h.

Então, a temperatura será mínima às 20h, e terá o valor de

T (20) = 40− 4× 20 + 0, 1× 202 = 0.oC.

2.1.2 O método da tangente de Fermat

-

Na seção anterior, discutimos como Fermat encontrava máximos e mínimos

de uma curva. Utilizaremos estes argumentos para encontrar a tangente a uma curva

em x, designada por TFx [f (x)]. Começaremos com o cálculo da tangente à parábola

y2 = x, em seguida calcularemos a tangente às parábolas superiores, y = axn e a tangente

42

às hipérboles superiores, y = ax−n. Por �m faremos uma generalização do método de

Fermat para curvas dadas por y = f (x) e aplicações.

Antes de começarmos vamos conhecer o método da tangente de Fermat.

Consideremos uma curva dada por y = f (x), conforme Fig.2.3.

Fig.2.3. Método da tangente de Fermat.

Fermat, para calcular a tangente AC, procede da seguinte forma:

Considera o ponto O (x0 + e, f (x0 + e)), para e in�nitamente pequeno, de tal

forma que o ponto O esteja in�nitamente próximo do ponto de tangência C. A partir

de então calcula a subtangente d, projeção da hipotenusa AC sobre o cateto AD do

triângulo retângulo 4ADC , encontrando o ponto (x0 − d, 0). Encontrando a subtangented, a tangente AC é calculada pela relação f(x0)

d.

Vamos mostrar primeiro como Fermat calcula d para as parábolas e hipérboles,

e em seguida a generalização deste método para uma curva dada por y = f (x).

2.1.3 Tangente às parábolas e às hipérboles

-

Vamos começar esta seção mostrando como Fermat calcula a tangente à pa-

rábola y2 = x. Em seguida iremos generalizar este método às parábolas e às hipérboles

superiores para um número racional n. Faremos uma generalização deste método para

curvas dadas por y = f (x), o que nos propiciará realizar o cálculo da tangente implícita

à curva F (x, y) = 0. Discutiremos as propriedades do método da tangente de Fermat,

e terminaremos aplicando este método à aproximações de curvas por séries de potências,

em particular a aproximação da curva cos (x).

Para encontrar a tangente à parábola y2 = x, Fermat antes encontra a sub-

tangente d, projeção ortogonal da hipotenusa TE sobre o cateto TF , conforme Fig.2.4,

encontrando o ponto T (x0 − d, 0) de interseção da reta tangente com o eixo x. E paraencontrar o coe�ciente angular (ou inclinação) da reta tangente basta utilizar a relação

y0−0x0−(x0−d) =

y0d.

43

Consideremos a Fig.2.4, dados e in�nitamente pequeno e o ponto O (x0 + e, y1)

da parábola, bem próximo de E (x0, y0). Sejam←→TE a reta tangente à parábola no ponto

E, T (x, 0) um ponto sobre o eixo x e d = x0 − x a subtangente.

Fig.2.4. Tangente à parábola y2 = x.

Da geometria da Fig.2.4 obtemos FE = y0, BO = y1 e BC > BO.

Os triângulos 4ABC e 4AEF são semelhantes, disto segue queBCy0

= d+ed, logo BC = y0

(d+ed

). Também temos BC > BO = y1, e sendo os

pontos E e O pertencentes à parábola y2 = x, podemos escrever as seguintes relações

y20 = x0 e y21 = (x0 + e), que nos leva a

y21y20

= x0+ex0⇒ y21 = y20

(x0+ex0

). Da

desigualdade BC > BO = y1, �camos com

BC2> y21

y20(d+ed

)2> y20

(x0+ex0

)(d2+2de+e2

d2

)>(x+ex0

)x0d

2 + 2x0de+ x0e2 > x0d

2 + d2e

2x0de+ x0e2 > d2e (dividindo por de)

d < 2x0 +x0de. O valor máximo se dá quando d = 2x0 + x0d e, tomando e

in�nitamente pequeno, obtemos1 d = 2x0, disto segue que x = −x0.

Da Fig.2.4, temos que a reta r : .y − y0 = m (x− x0), tangente à parábolay2 = x, com y > 0, passa pelos pontos T (−x0, 0) e E (x0, y0). O coe�ciente m deinclinação da reta vale:

m = y0d=√x0

2x0= 1

2√x0, que é a tangente procurada.

O método aplicado por Fermat para o cálculo da tangente à parábola y2 = x

pode ser generalizado para encontrar a tangente às parábolas superiores y = axn e às

hipérboles superiores y = ax−n, com a 6= 0 e n racional.1Para chegar a este resultado Fermat admite e = 0 na igualdade d = 2x0 +

x0d e.

44

Mostremos, apenas, para o caso das hipérboles superiores y = ax−n que a

tangente (ou a inclinação da reta) é dada por −nax−n−1.

De fato, consideremos a Fig.2.5.

Fig.2.5. Tangente à curva y = ax−n.

Da geometria da Fig.2.5 obtemos:

BO = a (x− e)−n, CE = ax−n, AB = d+ e e AC = d.

Os triângulos 4ABD e 4ACE são semelhantes, logo temos:BDCE

= ABAC⇒ BD = CE · AB

AC. Desta igualdade obtemos BD = ax−n

(d+ed

).

Como BD < BO = a (x− e)−n, concluímos que ax−n(d+ed

)< a (x− e)−n.

Assim sendo, obtemos a seguinte desigualdade:

1xn

d+ed< 1

(x−e)n

(x− e)n d+ e (x− e)n < xnd

[(x− e)n − xn] d < −e (x− e)n

d < −e(x−e)n

(x−e)n−xn

d < −exn

−e[n−1∑k=0

(x−e)n−1−kxk]

d < xn

n−1∑k=0

(x−e)n−1−kxk. Desta desigualdade, concluímos que o valor máximo ocorre

quando d = xn

n−1∑k=0

(x−e)n−1−kxk. E admitindo e in�nitamente pequeno, obtemos

d = xn

n−1∑k=0

xn−1

d = xn

nxn−1= x

n.

A reta tangente à hipérbole passa pelos pontos A (x+ d, 0) e E (x, ax−n) , o

coe�ciente m de inclinação da reta é dado por:

m = ax−n−0

x−(x+d) =ax−n

−d = −nax−n

x= −nax−n−1.

45

Para as parábolas superiores y = axn, de forma análoga, encontramos a tan-

gente dada por naxn−1 para todo número racional n.

Exemplo 2.4: Utilizando a relação anterior com n = 12, n = 0 e n = −1,

encontramos, respectivamente

TFx

(ax

12

)= 1

2ax

12−1 = 1

2ax−

12 = a

2√x;

TFx (ax0) = 0 · ax0−1 = 0 (tangente da curva constante é igual a zero).

TFx (ax−1) = −1 · ax−1−1 = −ax−2.

Exemplo 2.5: Calculemos a equação da reta r : .y− y0 = y0d (x− x0), tangenteà hipérbole de equação f (x) = 3x−4 no ponto (1, 3).

Tomando a = 3, n = −4, x0 = 1 e y0 = f (1) = 3, obtemos:

TFx=1 (3x−4) = −12

y − 3 = −12 (x− 1)

y + 12x− 15 = 0.

Podemos generalizar o método da tangente de Fermat para as curvas dadas

por y = f (x), como veremos na seção que segue.

2.1.4 Generalização do método da tangente

-

Em geral, dada uma curva na forma y = f (x), a reta r : .y− y0 = m (x− x0),tangente à curva no ponto (x0, y), passando por A = (x0 ± d, 0), tem inclinação dada porf(x0+e)−f(x0)

epara e in�nitamente pequeno.

De fato, consideremos a Fig.2.6.

Fig.2.6. Generalização do método da tangente de Fermat.

Admitindo e in�nitamente pequeno, e considerando

d = AD = x0−x, CD = y0 = f (x0), AB = d+e, BO = f (x0 + e) e BE = y1.

46

Da geometria da Fig.2.6, os triângulos 4ABE e 4ADC são semelhantes, logopodemos escrever

BEf(x)

= d+ed

BE = f (x0)(d+ed

).

Como BE < BO = f (x0 + e), da igualdade anterior, obtemos

f (x0)(d+ed

)< f (x0 + e)

f (x0) d+ ef (x0) < f (x0 + e) d

d [f (x0 + e)− f (x0)] > f (x0) e

d > f(x0)f(x0+e)−f(x0)e.

O valor mínimo ocorre quando d = ef(x0+e)−f(x0)f (x0) para e in�nitamente

pequeno.

A reta r passa pelos pontos A = (x0 − d, 0) e D = (x0, f (x0)). O coe�cientede inclinação de r é dado por

m = yD−yAxD−xA

= f(x0)−0x0−(x0−d) =

f(x0)d

.

Concluímos que a tangente à curva y = f (x), no ponto (x0, y0), tem equação

y − y0 = f(x0+e)−f(x0)e (x− x0).

Denotaremos o coe�ciente de inclinação da reta r, tangente à curva, por

TFx0 [f (x0)] =f(x0+e)−f(x0)

e(tangente de Fermat).

Movendo o ponto A sobre o eixo x (Fig.2.6), a reta r passa a ser a reta secante

à curva passando pelo ponto C (x0, y0).

Tomando um ponto (x, y) qualquer da curva y = f (x), a tangente é dada por

TFx [f (x)] =f(x+e)−f(x)

e.

2.1.5 O cálculo da tangente implícita

-

A partir de agora utilizaremos a relação TFx [f (x)] =f(x+e)−f(x)

epara deno-

tarmos tangente ou coe�ciente angular (inclinação) da reta tangente à curva no ponto

(x, y).

Uma vantagem da relação anterior é que ela, também, pode ser aplicada às

curvas escritas na forma F (x, y) = 0, com y = f (x), para encontrar o coe�ciente angular

e a equação da reta tangente à curva y − f (x) = 0 no ponto (x, y). Para encontrarmosessa tangente fazemos

47

F (x+e,f(x+e))−F (x,y)e

= 0, com y = f (x).

Exemplo 2.6: Vamos aplicar o método para encontrar a tangente à elipse e à

circunferência de equações F (x, y) = x2

a2+ y

2

b2− 1 = 0 e F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0.

Primeiramente, consideremos a reta y − y0 = m (x− x0), tangente à elipsex2

a2+ y

2

b2= 1, com a > b, no ponto C (x, y) e seja y = f (x). Tomemos um ponto

O (x+ e, f (x+ e)) bem próximo do ponto de tangência C, conforme Fig.2.7. A tangente

à elipse é dada por TF [F (x, y)] = − b2

a2xy.

De fato, seja a Fig.2.7.

Fig.2.7. Tangente à elipse.

Dado que F (x, y) = x2

a2+ y

2

b2− 1 = 0, temos para o ponto O (x+ e, f (x+ e))

a igualdade

F (x+e,f(x+e))−F (x,f(x))e

= 0

x2+2ex+e2

a2+f(x+e)2

b2−x

2

a2− f(x)

2

b2

e= 0

2ex+e2

a2+f(x+e)2

b2− f(x)

2

b2

e= 0

2ex+e2

ea2+ [f(x+e)−f(x)][f(x+e)+f(x)]

eb2= 0

[f(x+e)−f(x)][f(x+e)+f(x)]eb2

= −2x+ea2

f(x+e)−f(x)e

= − b2a2

2x+ef(x+e)+f(x)

.

Admitindo e in�nitamente pequeno, obtemos f(x+e)−f(x)e

= − b2a2xy. Disto segue

o resultado.

Particularmente, tomando a = b, temos

F (x, y) = x2

a2+ y

2

a2−1 = 0⇒ x2+y2−a2 = 0, que é a equação da circunferência

de raio a.

A tangente à circunferência no ponto (x, y) é dada por f(x+e)−f(x)e

= −xy

Tomando um ponto genérico (x0, y0) da circunferência, obtemos a equação da

reta tangente y − y0 = −x0y0 (x− x0).

48

Exemplo 2.7: A equação da reta tangente à circunferência x2 + y2 = R2, no

ponto (x0, f (x0)), é dada por uma das formas abaixo

r : .

y +

√R2 − x20 = − x0√R2−x20

(x− x0) , y0 < 0

y −√R2 − x20 = − x0√R2−x20

(x− x0) , y > 0.

De fato, escrevendo a circunferência na forma y = f (x) = ±√R2 − x2.

Para y0 = f (x0), obtemos y0 = f (x0) = ±√R2 − x20. Disto segue o resultado.

Em particular, para a circunferência x2 + y2 = 3 e o ponto(√

2, f(√

2)),

obtemos:

y0 = ±√3−

(√2)2

= ±1, então r : .

y + 1 = −√2(x−√2), y = −1

y − 1 = −√2(x−√2), y = +1

.

Exemplo 2.8: O método de Fermat, para encontrar a tangente a uma curva,

foi duramente criticado pelo matemático francês René Descartes (1596 - 1650), que lhe

propôs encontrar a tangente à curva (folium de Descartes) x3 + y3 − nxy = 0, paran > 0. Para encontrar a tangente a esta curva, Fermat a tratou como um curva da forma

F (x, y) = 0, encontrando sua subtangente (projeção da hipotenusa do triângulo retângulo

sobre o cateto) d = y nx−y2

x2−ny para o ponto(x+ e, y d+e

d

). De posse da subtangente, podemos

encontrar a tangente fazendo f(x+e)−f(x)e

= yd= x

2−nynx−y2 .

2.1.6 Propriedades da tangente

-

Antes de vermos algumas propriedades do método da tangente de Fermat,

de�namos a tangente de Fermat de ordem n.

A tangente n−ésima (n número natural) de Fermat em x é dada por:

T nFx [f (x)] = TFx ◦ TFx ◦ TFx . . . ◦ TFx [f (x)]

T 0Fx [f (x)] = f (x).

Exemplo 2.9: A tangente de ordem dois de y = x2 e a tangente de ordem

quatro de y = x4 são dadas por, respectivamente

T 2Fx (x2) = TFx [TFx (x

2)] = TFx [2x] = 2;

T 4Fx (x4) = TFx ◦ TFx ◦ TFx ◦ TFx (x4) = 4!.

Propriedades:

i) A tangente n−ésima de axn é dada por:

T nFx (axn) = n!a para todo número natural n.

De fato, pelo princípio de indução �nita, para n = 1, temos

49

TFx (ax) = a = 1!a.X

Suponhamos que para algum n temos T nFx (axn) = n!a.

Vamos mostrar que vale para n+ 1.

T n+1Fx (axn+1) = T nFx [T (ax

n+1)]

T n+1Fx (axn) = T nFx [(n+ 1) ax

n]

T n+1Fx (axn) = (n+ 1)T nFx [ax

n]︸ ︷︷ ︸n!

T n+1Fx (axn) = (n+ 1)n!a = (n+ 1)!a.

ii) T n+1Fx [(axn)] = 0.

De fato, dado que T nFx [(axn)] = n!a, temos

T n+1Fx [(axn)] = TFx

[T nFx [(ax

n)]]= TFx [n!a]

T n+1Fx [(axn)] = f(x+e)−f(x)

e= n!a−n!a

e= 0.

Exemplo 2.10: Como exemplos, mencionamos

T 9Fx (x9) = 9! e T 10Fx (x

9) = 0.

iii) Linearidade em relação à multiplicação por constante real e em relação à

soma de curvas:

a) TFx [αf (x)] = αTFx [f (x)] ;

b) TFx [f1 (x) + f2 (x)] = TFx [f1 (x)] + TFx [f1 (x)] .

Vamos demonstrar o item (b), o item (a) é imediato.

Façamos f (x) = f1 (x) + f2 (x), assim sendo a tangente é dada por

f(x+e)−f(x)e

= f1(x+e)+f2(x+e)−f1(x)−f2(x)e

f(x+e)−f(x)e

= f1(x+e)−f1(x)+f2(x+e)−f2(x)e

f(x+e)−f(x)e

= f1(x+e)−f1(x)e

+ f2(x+e)−f2(x)e

TFx [f (x)] = TFx [f1 (x)] + TFx [f2 (x)].

Exemplo 2.11: A tangente à curva f (x) = −x−3 + x7 é dada por

TFx [f (x)] = TFx (−x−3 + x7)

TFx [f (x)] = TFx (−x−3) + TFx (x7)

TFx [f (x)] = 3x−4 + 7x6.

v) Regra da cadeia:

Seja dada a curva h (x) = f [y], onde y = g (x). A tangente a esta curva em x

é dada por:

50

TFx [f ◦ g (x)] = TFy {f (y)}TFx [g (x)]

De fato, sejam ex e ey = g (x+ ex)− g (x) in�nitamente pequenos, escrevendo

TFx [h (x)] =h(x+ex)−h(x)

ex

TFx [f ◦ g (x)] =f [g(x+ex)]−f [g(x)]g(x+ex)−g(x)

g(x+ex)−g(x)ex

TFx [f ◦ g (x)] =f [g(x+ex)]−f [g(x)]

ey

f(x+ex)−f(x)ex

TFx [f ◦ g (x)] = TFy {f ◦ g (x)}TFx [g (x)]

TFx [f ◦ g (x)] = TFy [f (y)]TFx [g (x)]

Exemplo 2.12: A tangente à curva f (x) = (x2 − x)n é calculada escrevendof ◦g (x) = yn, onde y = g (x) = x2−x, e depois aplicando a propriedade anterior, obtemos

TFx [f (y)] = TFy (yn)TFx (x

2 − x)

TFx [f (y)] = nyn−1 (2x− 1)

TFx [f ◦ g (x)] = n (x2 − x)n−1

(2x− 1).

Exemplo 2.13: Agora, seja a curva f (x) = cos (x2).

Escrevendo esta curva como f (y) = cos (y), onde y = x2, encontramos

TFx [cos (x2)] =−2xsen(x2).

De fato, admitindo que a tangente da curva cos(x) é a curva −sen(x) (serámostrado no Exemplo 2.17), obtemos

TFx [cos (y)] = TFy [cos (y)]TFx [x2],

TFx [cos (y)] = −2xsen(y) = −2xsen(x2).

iv) Tangente do produto e do quociente de curvas.

a)TFx [f1 (x) f2 (x)] = f2 (x)TFx [f1 (x)] + f1 (x)TFx [f2 (x)];

De fato, consideremos a curva dada por f (x) = f1 (x) f2 (x).

Da relação TFx [f (x)] =f(x+e)−f(x)

e, obtemos

TFx [f1 (x) f2 (x)] =f1(x+e)f2(x+e)−f1(x)f2(x)

e. Somando e subtraindo f1 (x+ e) f2 (x)

nesta igualdade, temos

TFx [f1 (x) f2 (x)] =f1(x+e)f2(x+e)−f1(x)f2(x)+f1(x+e)f2(x)−f1(x+e)f2(x)

e

TFx [f1 (x) f2 (x)] =f1(x+e)[f2(x+e)−f2(x)]+f2(x)[f1(x+e)−f1(x)]

e

TFx [f1 (x) f2 (x)] = f1 (x+ e)f2(x+e)−f2(x)

e+ f2 (x)

f1(x+e)−f1(x)e

TFx [f1 (x) f2 (x)] = f1 (x)TFx [f2 (x)] + f2 (x)TFx [f1 (x)] (admitimo e = 0 na

igualdade anterior).

b) TFx

[f1(x)f2(x)

]=

f2(x)TFx [f1(x)]−f1(x)TFx [f2(x)][f2(x)]

2 , f2 (x) 6= 0 em x.

51

Podemos escrever f (x) = f1(x)f2(x)

, disto segue que f (x) f2 (x) = f1 (x).

Por (a), obtemos

TFx [f (x) f2 (x)] = f (x)TFx [f2 (x)] + f2 (x)TFx [f (x)]

TFx [f1 (x)] =f1(x)f2(x)

TFx [f2 (x)] + f2 (x)TFx

[f1(x)f2(x)

][f2 (x)]

2 TFx

[f1(x)f2(x)

]= f2 (x)TFx [f1 (x)]− f1 (x)TFx [f2 (x)]

TFx

[f1(x)f2(x)

]=

f2(x)TFx [f1(x)]−f1(x)TFx [f2(x)][f2(x)]

2

Exemplo 2.14: Calculemos a tangente de f (x) = x2 cos (x).

TFx [x2 cos (x)] = x2TFx [cos (x)] + cos (x)TFx [x

2]

TFx [x2cos (x)] = −x2sen(x) + 2x cos (x).

Exemplo 2.15: Seja a curva a h (x) = x2

x−1 , a tangente a esta curva em x é dada

por

TFx

(x2

x−1

)=

(x−1)TFx(x2)−x2TFx (x−1)(x−1)2

TFx

(x2

x−1

)= 2x(x−1)−x

2

(x−1)2 =x2−2x(x−1)2 .

2.1.7 Representação de uma curva por série de potência

-

As propriedades anteriores nos proporcionam encontrar a tangente a uma curva

na forma pn (x) =n∑k=0

akxk. Esta curva é representada por um polinômio de grau n. A

tangente em x é dada por

TFx [pn (x)] =n∑k=0

kakxk−1

De fato, por indução sobre n, obtemos

TFx

(n∑k=0

akxk

)=

n∑k=0

akTFx(xk)(linearidade)

TFx

(n∑k=0

akxk

)=

n∑k=0

kakxk−1, pois TFx

(xk)= kxk−1.

Exemplo 2.16: Consideremos a curva p4 (x) = 1− 3x2 + 5x