Quadraturas de Gauss - COPPE / UFRJ de... · Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica 1 CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA III-i-)INTRODUÇÃO Para um

Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica

1

CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA

III-i-)INTRODUÇÃO Para um melhor entendimento do método da colocação ortogonal e sua relação com o método dos resíduos ponderados (MRP), torna-se indispensável um estudo, mesmo que de caráter introdutório, das propriedades dos polinômios de Jacobi e das quadraturas numéricas correspondentes.Com isto, pode-se compreender a relação existente entre a seleção do polinômio de Jacobi adequado ao problema em foco e, em conseqüência, a seleção dos pontos de colocação e os métodos dos momentos e de Galerkin. Em diferentes trabalhos de aplicação do método da colocação ortogonal, sobretudo na literatura de engenharia química, nota-se uma certa confusão e não sistematização na seleção destes polinômios, provocando com isto uma grande dificuldade no aprendizado do método e um não aproveitamento de seu potencial. É assim o objetivo deste capítulo apresentar as principais propriedades desta família de polinômios ortogonais e das quadraturas numéricas correspondentes. Deduções de algumas destas propriedades serão evitadas, desde que não comprometam a seqüência da exposição, maiores detalhes podem ser encontrados no livro de John Villadsen : “Selected Approximation Methods for Chemical Engineering Problems” impresso pelo Instituttet for Kemiteknik/Numerisk Institut do Danmarks Tekniske H jskole (1970). III-ii-)POLINÔMIOS DE JACOBI

Definição: Seja a função peso x x x 1 com 1 e > 1 e seja o

intervalo fechado [0,+1], então a família de polinômios de Jacobi, representado

genericamente por P xn , ( ) [designando n o grau do polinômio e e os expoentes de

(1-x) e x, respectivamente, na função peso x ], é definida através da propriedade de

ortogonalidade :

10

00

1

x x P x P x dx Cm n n m n

, ,,( ) ( )

para m nC para m = nn

(III-1)

O polinômio de Jacobi P xn , ( ) é dito ortogonal no intervalo [0,+1] em relação à função

peso x x x 1 . A partir da propriedade de ortogonalidade (III-1), pode-se

determinar recursivamente qualquer termo da família a menos de uma constante. Esta constante adicional é selecionada através de uma condição de padronização que, neste caso particular, pode assumir uma das duas formas descritas a seguir:

i-)o coeficiente independente de x em P xn , ( ) é igual a (-1)n e, neste caso, o

polinômio é designado por P maiúsculo; ii-)o coeficiente de xn é igual a 1 e, neste caso, o polinômio é designado por p

minúsculo, isto é: p xn , ( ) .

Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim:


2

i-) com n=0, tem-se: P x p x01 1

01 1 1, ,( ) ( ) ;

ii-) com n=1, tem-se: P x ax11 1 1, ( ) e p x x x1

1 1, ( ) , é claro que a raiz do polinômio

de Jacobi de 10 grau deve independer da forma de padronização, logo: xa

1

, para

determinar a (ou x caso optar-se pela segunda forma) utiliza-se a propriedade de ortogonalidade (III-1) com n=0 e m=1, assim:

x x ax dx a x x dx x x dx a1 1 11

3

1

4

1

2

1

30

12 3 2

0

1

0

1

aa

12

1

60 2 0 5 e x , tem-se: P x x1

1 1 2 1, ( ) e p x x11 1 0 5, ( ) , .

III-) com n=2, tem-se: P x ax bx21 1 2 1( , ) ( ) e p x x b x c2

1 1 2( , ) ( ) é claro que

bb

a e c =

1

a, para determinar a e b (ou b e c caso optar-se pela segunda forma)

utiliza-se a propriedade de ortogonalidade (III-1) com n=0 e m=2:

x x ax bx dx a x x dx b x x dx x x dx1 1 12

0

13 2 2 3

0

12

0

1

0

1

a b

a b1

4

1

5

1

3

1

4

1

2

1

3 20 12

1

60 3 5 10a b

e com n=1 e m=2:

x x x ax bx dx a x x dx a b x x dx1 2 1 1 2 22

0

14 5 3 4

0

1

0

1

2 2 3

0

1

b x x dx x x dx

a a b ba b

2

0

12

30

2

20

2

12

1

60 0 ,

logo: a b como 3 5 10 5a b a b e, finalmente: P x x x21 1 25 5 1, ( ) e p x x x2

1 1 2 0 2, ( ) ,

e cujas raízes são: x1 21 0 2

2

1 0 2

2

, , e x

Exemplo proposto: Gerar a partir da definição de ortogonalidade [Eq.(III.1)] os três primeiros polinômios de Jacobi para 1 2/ [Sugestão: utilize nas integrais a seguinte mudança de variáveis:

x

1

2

cos para 0 < ]


3

A expressão (III.1) pode ser rescrita na forma:

1 00

1

x x P x P x dxm n , ,( ) ( ) para todo n > m (III.2)

assim , para m=0 e n>0, como P x0 1( , ) ( ) , tem-se:

1 00

1

x x P x dxn , ( ) para todo n > 0 (III.3)

para m=1 e n>1, como P x ax1 1( , ) ( ) com a 0 , tem-se:

1 1 00

1

x x ax P x dxn , ( ) para todo n > 1

Adotando (III.3) na expressão acima, tem-se:

a x x xP x dxn1 00

1

, ( ) para todo n > 1como a0, tem-se:

1 00

1

x x xP x dxn , ( ) para todo n > 1 (III.4)

para m=2 e n>2, como P x ax bx22 1( , ) ( ) com a 0 , tem-se:

1 1 02

0

1

x x ax bx P x dxn , ( ) para todo n > 2

Adotando (III.3) e (III.4)na expressão acima, tem-se:

a x x x P x dxn1 02

0

1

, ( ) para todo n > 2 como a0, tem-se:

1 02

0

1

x x x P x dxn , ( ) para todo n > 2 (III.5)

Permitindo concluir, por indução, que:

1 00

1

x x x P x dxmn

, ( ) para todo 0 m < n (III.6)

Fundamentado na Equação acima, pode-se concluir que para qualquer polinômio de grau

0m<n : Q x c xm ii

i

m

( )

0

, tem-se:

1 00

1

x x Q x P x dxm n ( ) ( ), para todo 0 m < n (III.7)


4

Uma outra propriedade importante dos polinômios de Jacobi, decorrente da

utilização da Eq. (III.7) rescrita em termos de pn ,

, diz respeito à integral:

I x x p x dxn

1

2

0

1 ,

( ) (III.8)

assegurando-se que, dentre todos os polinômios de grau n com coeficiente de xn unitário, o polinômio de Jacobi normalizado é o que fornece o menor valor desta integral. Para demonstrar esta propriedade, considera-se esta mesma integral aplicada ao polinômio em x de grau n, genérico:

p x x r x r x r x rn n ii

n

( , ) ( )r 1 2

1

, onde : r

rr

rn

1

2

, assim:

1

0

2n21n21 dxrxrx)rx(xx1r,,r,r I

e

1

0n

)i(1n

i

n21 n, 2, 1, =i para 0dx,xp)x(qxx12r

r,,r,r

r

I

onde :

q x x r

j i

p x

x rni

jj

nn

i

11

( ) ( ),

r é um polinômio em x de grau (n-1). Portanto, se

p x p xn n, ( ),r como, de (III.7) : 1 00

1

x x Q x p x dxm n ( ) ( ), , para todo o

polinômio em x [Qm(x)] de grau m < n , tem-se obrigatoriamente :

0r

r,,r,r

i

n21

I

para todo i = 1, 2, ... , n Exemplo Ilustrativo: com =1, =1 e n=2 tem-se:

p x b c x r x r x b x c2 1 22( , , )

x x p x b c x x x x x x bc( ) ( , , ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 12

2 5 4 3

b c

x x x xx x x x

bc

3 2

21 11 1

( ) ( )( ) ( )

como: x x dx

k kk

11

2 10

1

, tem-se:

c

b

23

1

34

134

1

45

1

cbc

b

45

2

56

2

67

1dx)c,b,x(p)x1(x)c,b(

1

0

22I

e


5

5

11

20

1 -

30

1

6

1

12

112

1

20

1

c

b

0

0

c

b

23

1

34

134

1

45

1

2

45

256

2 -

c

)c,b(b

)c,b( 1

I

I

logo: p x b c x x22 0 2( , , ) , , que, do exemplo ilustrativo anterior, é p x2

1 1, ( ) .

III-iii-) GERAÇÃO DOS POLINÔMIOS DE JACOBI Mostrou-se no item anterior, em exemplo ilustrativo, que os polinômios de Jacobi podem ser gerados diretamente da propriedade de ortogonalidade , Eq. (III.1), entretanto este procedimento é muito trabalhoso, pouco eficiente e de difícil programação. Neste item outras formas de geração destes polinômios serão apresentadas, discutindo-se, em cada caso, suas limitações e adequações 10 Método: A Partir da Propriedade de Ortogonalidade Uma integral definida de extrema utilidade neste método é a seguinte:

11 1

1 1

0

1

x x dx

2 + +

para todo e (III.8)

onde a função gama de x, (x), é definida por:

t e dtx t

1

0

0 1 1 para todo x > 1 (III.9)

Esta função apresenta as propriedades: i-) 1 x x x ;

ii-) ( ) ( )!1 i i se i: inteiro 0 , implicando em:

1

10

1

x x dxi j

i ji j ! !

( )!

para todo i, j : inteiros 0

iii-) 1

2

; iv-)

1

22

Considerando a seguinte padronização de P xn( , ) ( ) :

n

0i

(n)0

ini

in),(n 0n todopara 1 com x1)x(P (III.10)

tem-se, de (III.6) :


6

1 1 00 0

1

0

1

x x x P x dx x x dxmn

n iin

i

nm i , ( )( ) -1 para todo 0 m < n

de (III.8), após eliminação dos termos comuns e da padronização 0(n) 1 , tem-se o

sistema linear:

-1 - -1 para todo m < n

n iin

i

n

j

inj m

j m

( )

1 1 1 (III.11)


i-) com n=0, tem-se 0(0) 1 , logo: P x p x0

1 101 1 1, ,( ) ( ) ;

ii-) com n=1 e 1, tem-se:

-1 1 para todo 0 m < 11 1

1

1

1

1

3

i

ii j

i j m

j m ( ) , isto é : m=0, logo:

11

112

41 2( ) ( ) , resultando em: P x x1

1 1 2 1, ( )

iii-) com n=2 e 1, tem-se:

-1 -1 para todo 0 m < 22 2

1

2

1

1

3

i

ii j

i j m

j m ( ) , isto é : m=0 e 1, logo,

para m=0:

12

222

4

2 3

4 51( ) ( ) ou : 3 5 102

212 ( ) ( )

para m=1:

12

223

5

3 4

5 61( ) ( ) ou : 2 3 52

212 ( ) ( )

a resolução deste sistema linear fornece: 22

12 5( ) ( ) , então: P x x x2

1 1 25 5 1, ( ) Exemplo proposto: Gerar a partir da Eq.(II.11) os três primeiros polinômios de Jacobi para 1 2/

20 Método: A Partir da Geração Recursiva dos Coeficientes do Polinômio

Considerando a forma (III.10) de representação de P xn , ( ) , os coeficientes i

n

podem ser gerados recursivamente através de:

i

ninn i n i

i i

11 para i=1, 2, ..., n com

0(n) para todo n 0 1

(III.12)


i-) com n=0, tem-se 0(0) 1 , logo: P x p x0

1 101 1 1, ,( ) ( ) ;

ii-) com n=1 e 1, tem-se:


7

11 2 1 1 1 1 1

1 1 11 2

, logo: P x x11 1 2 1, ( )

iii-) com n=2 e 1, tem-se:

i i

i i

i i2

123 4

1

para i=1 e 2 com 0

(2) 1,

logo com i=1

12 2 5

1 21 5

e com i=2

22

12

121 6

2 35 então: P x x x2

1 1 25 5 1, ( )

Exemplo proposto: Gerar a partir da Eq.(III.12) os três primeiros polinômios de Jacobi para 1 2/

30 Método: A Partir da Geração Recursiva dos Polinômios Considerando a segunda forma de padronização dos polinômios de Jacobi, isto é

p xn , ( ) na qual o coeficiente de xn é sempre igual a 1, há a seguinte forma de gerar

recursivamente estes polinômios: p x x g p x h p xi i i i i , , ,( ) , ( ) , ( ) 1 2 para i = 1, 2, , n

com p e p 1 10 1 , ,( ) ( )x x

onde:

g

i

i

,

1

2

12 1 1

2 2

2

para i = 1

1

2 para i > 1

e

h

i i i i

i i i

i

,

0

1 1

2 31 1 1 1

2 1 2 2 2 3

2

2

para i = 1

para i = 2

para i > 2

(III.13)

Este procedimento, em comparação com os anteriores. é extremamente adequado à implementação computacional e para o cálculo do valor numérico do polinômio para diferentes valores do argumento.

Os valores dos coeficientes gi , e hi , para i=1, 2, ..., n podem ser

calculados no início do procedimento, pois independem do valor do argumento x.

Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim tem-se: p e p 11 1

11 10 1, ,( ) ( )x x e

g

i1

2 2

2

2

4

1

2

1

21

1 1

2 1 1 1 1

1

2

e g para i >1i


8

h1 20

1 1 1 1

1 1 2 1 1 3

1

20

; h2 e

hi i i i

i i i

i

ii

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 3

1

4

1

4 12

2

2 para i > 2 , logo :

para i=3

h31

4

9 1

4 9 1

2

35

assim, com i=1 : p x x g p x h p x x11 1

1 01 1

1 11 111 11

1

2, , ,( ) , ( ) , ( )

assim, com i=2:

p x x g p x h p x x x x x21 1

1 111

2 011 211 11

1

2

1

2

1

20

1

5, , ,

( ) , ( ) , ( )

assim, com i=3:

p x x g p x h p x x x x x

x x x

31 1

2 21 1

3 111 2

3 2

11 111

2

1

5

2

35

1

2

3

2

9

14

1

14

, , ,( ) , ( ) , ( )

Exemplo proposto: Gerar utilizando o procedimento iterativo descrito por (III.13) os quatro primeiros polinômios de Jacobi para 1 2/

A implementação desse método pode também ser feito através da matriz tridiagonal abaixo:

A

g

h g

h g

h g

h gn n

n n

1

2 2

3 3

1 1

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

o polinômio característico desta matriz é P xn( , ) ( ) , isto é: )xdet()x(P ),(

n AI . Caso um método numérico de determinação de valores característicos de matrizes estiver disponível, este procedimento se apresenta como uma alternativa interessante para a

determinação das raízes de P xn( , ) ( ) que são os valores característicos de A.

Exemplo Ilustrativo: No exemplo ilustrativo anterior determinou-se:

g i 1

2 para todo i0 e h2

1

20

2

35 e h3 , assim:


9

para n=2 tem-se: A

gh g

1

2 2

11

21

1

20

1

2

e

p xx

xx x2

1 1 2

1

21

1

20

1

2

1

5( , ) ( ) det

para n=2 tem-se: A

gh g

h g

1

2 2

3 3

1 01

0

1

21 0

1

20

1

21

02

35

1

2

e

p x

x

x

x

31 1

1

21 0

1

20

1

21

02

35

1

2

( , ) ( ) det

x x x1

2

1

72

III-iv-) DETERMINAÇÃO DAS RAÍZES DOS POLINÔMIOS DE JACOBI Antes de apresentar os procedimentos numéricos de determinação das raízes de polinômios de Jacobi, caracterizar-se-á a natureza das mesmas que são todas reais, distintas e contidas no interior do intervalo (0,+1). A caracterização da natureza das raízes pode ser feita a partir da propriedade de ortogonalidade (III-7) rescrita na forma:

( ) ( ) ( )x Q x p x dxm n 00

1

para todo 0 m < n (III.14)

onde: (x) é uma função peso genérica que deve satisfazer a : (x) >0 no intervalo (0,+1),

Qm(x) é um polinômio em x de grau inferior a n e p x x xn ii

n

( ) ( )

1

. Note que pn(x) não

é necessariamente um polinômio de Jacobi, mas sim o n’ésimo membro de uma família de polinômios ortogonais no intervalo (0,+1) em relação à função peso genérica: (x). (a)Demonstração da existência de m raízes reais, distintas e contidas no intervalo (0,+1). Seja m=0 e Qm(x)=1, assim:

( ) ( )x p x dxn 00

1

como (x) >0 no intervalo (0,+1), pn(x), pelo Teorema do Valor

Médio, troca pelo menos uma vez de sinal no intervalo (0,+1), sejam os m [ 1<mn] pontos distintos em que pn(x) troca de sinal no intervalo os pontos x1 , x2 , ... , xm. Para demonstrar que a multiplicidade de cada um destes pontos é 1 (um), considera-se a suposição oposta que a multiplicidade do ponto x1 , por exemplo, é k>1, assim:


10

Q xp x

x xm

n

2

12

( )( )

( ) é um polinômio de grau (m-2) e em vista de (III.14):

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )x Q x p x dx x

p x

x xp x dxm n

nn

2

12

0

1

0

1

0 , mas:

p x

x xp x

p x

x xn

nn( )

( )( )

( )

12

1

2

0

e como (x) >0 no intervalo (0,+1), o integrando desta última integral jamais troca de sinal no intervalo, contradizendo assim a consideração inicial. (b)Demonstração que todas as raízes são reais e contidas no intervalo (0,+1) Considerando-se que apenas m [ 1<mn] raízes de pn(x) são reais, distintas e contidas no intervalo (0,+1) e sejam estes valores: x1 , x2 , ... , xm. tem-se assim:

p x x x x x x x x x x x x xn m m m n( ) 1 2 1 2

sejam: Q x x x x x x xm m( ) 1 2 um polinômio de grau mn que contém as

raízes reais e distintas de pn(x) contidas no intervalo (0,+1) e

R x x x x x x xn m m m n ( ) 1 2 um polinômio em x de grau (n-m)>0 que

contém todas as raízes reais de pn(x) contidas fora do intervalo (0,+1) e as raízes complexas, isto é : R xn m ( ) 0 em todos os pontos do intervalo (0,+1).

Deste modo: Q x p x x x x x x x R xm n m n m( ) ( ) ( ) 1 22

0 em todos os

pontos do intervalo (0,+1), resultando necessariamente em :

( ) ( ) ( )x Q x p x dxm n 00

1

, o que contradiz a Eq. (III.14) caso m<n, isto só será

possível se: m=n, isto é todas as raízes de pn(x) são reais, distintas e contidas no interior do intervalo (0,+1). Deste modo todas as raízes dos polinômios da família de polinômios ortogonais caracterizados por:

( ) ( ) ( )x p x p x dxm n n C mn para todo n, m 00

1

(III.15)

onde: (x) é uma função peso genérica que deve satisfazer a : (x) >0 no intervalo (0,+1) e

p x x xn ii

n

( ) ( )

1

, são reais, distintas entre si e contidas no interior do intervalo de

ortogonalidade : 0 < x < +1. Esta característica das raízes elimina no procedimento numérico de sua determinação a etapa de localização preliminar das mesmas, permitindo aplicar o método de Newton-Raphson adotando como condição inicial : x(0) =0 na determinação da menor raiz [x1 ] e x(0) = 1 na determinação da maior raiz [xm ].


11

Aplicação Recursiva do Método de Newton-Raphson para a Determinação de Todas as

Raízes de P xn , ( )

Após demonstrado que todas as raízes de P xn , ( ) são reais, distintas e contidas no

interior do intervalo (0,+1) o método de Newton-Raphson é aplicado para a determinação das mesmas na forma: (a) Determinação da Menor Raiz : x1

Como 0 < x1 , aplica-se o método de Newton-Raphson diretamente a P xn , ( )

adotando como condição inicial o valor 0 (zero), assim:

x xP x

P x

k k nk

nk1

11

1

1

10)

0( ) ( )

, ( )

, ( )

(

para k = 0, 1, com x

(III.16)

(b) Após obtida a convergência do procedimento (III-16) tem-se x1 , para determinar a raiz seguinte divide-se o polinômio original pelo monômio (x-x1), assim:

P x

x xQ xn

n

,( )

( )

1

1 é um polinômio em x de grau (n-1) pois (x-x1) é um fator exato de

P xn , ( ) , o método de Newton-Raphson é então aplicado ao polinômio deflatado Qn-1(x)

na forma:

x x

Q x

Q xx sendo k k n

k

nk2

12

1 2

1 21

( ) ( )( )

( ),

para k = 0 ,1, com x 0 2(0) [10 , por exemplo]-6

Este procedimento apresenta, entretanto, duas desvantagens: A determinação da segunda raiz é afetada pela precisão com que foi determinada a primeira raiz x1 , este acúmulo de erro será agravado na determinação das raízes subsequentes, carregando assim os erros das raízes posteriores na determinação da cada nova raiz; O procedimento de divisão de polinômios é muito tedioso além de envolver grande número de operações, e isto será tanto maior quanto maior for o número de divisões. Para evitar estes aspectos negativos, adota-se o seguinte procedimento alternativo

resultante da análise do termo:

Q x

Q xn

n

1

1 que nada mais é que a divisão do polinômio

deflatado Qn-1(x) por sua derivada, isto na realidade é o inverso da derivada do logaritmo neperiano de Qn-1(x), assim como:

Q xP x

x xQ x

P x

x xP x x xn

nn

nn

1

11

11( )

( )ln ( ) ln

( )ln ( ) ln( )

, ,,

derivando esta última expressão em relação a x, tem-se:

Q x

Q x

P x

P x x x

P x

P x

P x

P x x xn

n

n

n

n

n

n

n

1

1 1 1

11

1( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

,

,

,

,

,

,


12

assim:

Q x

Q x

P x

P x

P x

P x x x

n

n

n

n

n

n

1

1

11

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

,

,

,

,

Substituindo esta expressão no procedimento iterativo de determinação da segunda raiz, resulta:

x xP x

P x P x

P x x x

x

k k nk

nk

nk

nk k

21

22

2 2

2 2 1

20

1

1

11

( ) ( )

, ( )

, ( ) , ( )

, ( ) ( )

( )


(III.17)

Note que neste novo procedimento evita-se a divisão de P xn , ( ) por (x-x1), além disto é

interessante notar que à medida que x k2( ) vai convergindo para sua solução

P xnk , ( )

2 0 e, em conseqüência,

11

12

2 2 1

P x

P x x x

nk

nk k

, ( )

, ( ) ( ), deste modo, nas

proximidades da solução, o algoritmo numérico comporta-se de forma semelhante ao

Newton-Raphson aplicado diretamente à xP ,n

e o erro numérico resultante da determinação da primeira raiz deixa de afetar a determinação desta nova raiz. O mesmo procedimento pode ser aplicado na determinação das demais raízes resultando em:

x xP x

P x P x

P x x x

x

mk

mk n m

k

n mk

n mk

n mk

mk

jj

m

m m

( ) ( ), ( )

, ( ) , ( )

, ( ) ( )

( )

1

1

1

01

1

11


(III.18)

Neste procedimento a forma mais adequada para a geração do polinômio de Jacobi é a forma (III.13), abaixo transcrita:


13

p x x g p x h p xi i i i i , , ,( ) , ( ) , ( ) 1 2 para i = 1, 2, , n

1)x(p e 0)x(p com ,0

,1 . E a derivada do polinômio de Jacobi, necessária ao

algoritmo acima, é também obtida desta expressão segundo: p x x g p x h p x p xi i i i i i

, , , ,

( ) , ( ) , ( ) ( )1 2 1 para i = 1, 2, , n 0)x(p e 0)x(p com ,

0,

1 .

Na figura abaixo, representam-se os três primeiros polinômios de Jacobi, n=1, 2 e 3, com ==1

0 0.5 11

0

1

Fig.II-1-Polinômios de Jacobi

1

-1

P 1 xk

P 2 xk

P 3 xk

10 xk

com 1

Exemplo Ilustrativo: sejam =1 e =1, assim tem-se: p e p 11 1

11 10 1, ,( ) ( )x x , do

exemplo anterior tem-se: g para i 1i 1

2 h1 0

1

20 ; h2 e h3

2

35

assim, com i=1:

p x x111 1

2,

( ) e p x1

111

,( )

assim, com i=2:

p x x p x21 1

1111

2

1

20, ,

( ) ( )

e

p x x p x p x2

111

1 111 11

2, , ,

( ) ( ) ( )

assim, com i=3:

p x x p x p x31 1

211

11 11

2

2

35, , ,

( ) ( ) ( )

e

p x x p x p x p x3

112

111

112111

2

2

35, , , ,

( ) ( ) ( ) ( )


14

Primeira Raiz:

x xp x

p x

k kk

k11

131 1

1

31 1

1

0( ) ( )

( , ) ( )

( , ) ( )

para k = 1, 2, com x1

(0)

k x k1( ) p1 p2 q2 p3 q3

0 0.000000 -0.5 0.2 -1 -0.071429 0.642857 1 0.111111 -0.388889 0.101235 -0.777778 -0.017147 0.346561 2 0.160588 -0.339412 0.0652 -0.678824 -0.002735 0.238459 3 0.172057 -0.327943 0.057547 -0.655886 -0.000132 0.215497 4 0.172671 -0.327329 0.057144 -0.654657 -0.0000004 0.214289 5 0.172673 -0.327327 0.057143 -0.654654 0.000000 0.214286 Em que: qi= dpi/dx

Segunda Raiz:

x xp x

p x p x

p x x x

x

k kk

k k

k k

21

2311

2

311

2 31 1

2

31 1

2 2 1

16

1

10

( ) ( )( , ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( )

1

1-

para k = 1, 2, com x2(0)

considerando:

G(x) = 1-

p x

p x x x31 1

311

1

1( , )

( , )

k x k2( ) p1 p2 q2 p3 q3

0 0.172674 -0.327326 0.057142 -0.654652 0.0000002 0.214284 1 0.390892 -0.109108 -0.038095 -0.218217 0.010391 -0.071429 2 0.478178 -0.021822 -0.049524 -0.043643 0.002328 -0.105714 3 0.498716 -0.001284 -0.049998 -0.002567 0.000138 -0.107138 4 0.499995 -0.000005 -0.05 -0.000010 0.0000005 -0.107143 5 0.5 -0.0000000 -0.05 -0.000000 0.0000000 -0.107143

k G x k

2( )

0 -0.000005 1 1.666658 2 1.072071 3 1.003937 4 1.000015 5 1

Note que à medida que x2 converge para a segunda raiz, G tende para 1(um), mostrando assim que o efeito da primeira raiz sobre a segunda torna-se desprezível à medida que o processo iterativo converge.


15

Terceira Raiz:

x xp x

p x p x

p x x x x x

x

k kk

k k

k k k

31

3311

3

311

3 31 1

3

311

3 3 1 3 2

26

1 1

10

( ) ( )( , ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( ) ( )

1

1-

para k = 1, 2, com x3(0)

considerando:

G(x) = 1-

p x

p x x x x x311

311

1 2

1 1( , )

( , )

k x k3( ) p1 p2 q2 p3 q3

0 0.500001 0.000001 -0.05 0.000002 -0.0000001 -0.107143 1 0.827327 0.327327 0.057143 0.654654 -0.0000000 0.214286

k G x k2( )

0 -0.000003 1 1.0000000

Note que à medida que x3 converge para a segunda raiz, G tende para 1(um), mostrando assim que o efeito das primeira e segunda raízes sobre a terceira torna-se desprezível à medida que o processo iterativo converge. A seguir mostram-se graficamente os processos iterativos de busca das três raízes:

0 2 4 60

0.5

1

x1k

x2k

x3k

k

Optando-se para determinar as raízes de p x31 1( , )

( ) através dos valores característicos da matriz descrita acima, tem-se:

A

0 5 1 0 0 0

0 05 0 5 1 0

0 0 0 057142857 0 5

. . .

. . .

. . . cujos valores característicos são:

v

0172673165

0 5

0 827326835

.

.

.

obtidos por rotina numérica apropriada.


16

Exemplo proposto: Calcular as raízes do polinômio de Jacobi de quarto grau com 1 2/ [Observação: Note que este polinômio é na realidade o polinômio de Chebishev deslocado ao domínio de ortogonalidade 0 x +1, sendo o intervalo de ortogonalidade original -1 x +1 e sendo Tn(x) = cos(n) sendo = arc cos(x) ]

III-v-) QUADRATURA NUMÉRICA DA GAUSS-JACOBI Métodos de quadratura numérica expressam, em geral, formas discretas de avaliações de integrais de variáveis contínuas, deste modo (após normalizar a variável de integração de modo que a integral definida de uma função qualquer permaneça entre 0 e 1), tem-se o objetivo da quadratura numérica é o cômputo de integrais do tipo:

I ( ) ( )x f x dx0

1

(III.19)

em que: (x) é uma função peso genérica que deve satisfazer a : (x) >0 no intervalo (0,+1) e f(x) é uma função qualquer contínua por partes no mesmo intervalo. Os métodos de quadratura podem assim ser classificados em dois grandes grupos: (a) Métodos de Quadratura que Utilizam Apenas Pontos Internos Neste caso tem-se:

I W f x x xj j nj

n

( ) onde : 0 < x1 21

1 (III.20)

em que: xj são as abscissas ou pontos da quadratura e Wj >0 são os pesos da quadratura [ para j= 1, 2, ..., n]. Método de integração numérica deste tipo é chamado de Quadratura de Gauss. (b) Métodos de Quadratura que Utilizam Pontos Internos e Ponto(s) Externo(s) Neste caso têm-se os subgrupos: (b-1) Inclui também a extremidade inferior:

I W f x x xj j nj

n

( ) onde : 0 = x < x0 1 20

1 (III.21)

em que: xj são as abscissas ou pontos da quadratura e Wj >0 são os pesos da quadratura [ para j= 0, 1, 2, ..., n]. (b-2) Inclui também a extremidade superior:

I

W f x x x xj j n nj

n

( ) onde : 0 < x1 2 11

1

1 (III.22)

em que: xj são as abscissas ou pontos da quadratura e Wj >0 são os pesos da quadratura [ para j= 1, 2, ..., n, n+1]. (b-3) Inclui ambas as extremidades:

I

W f x x x xj j n nj

n

( ) onde : 0 = x < x0 1 2 10

1

1 (III.23)

em que: xj são as abscissas ou pontos da quadratura e Wj >0 são os pesos da quadratura [ para j= 0, 1, 2, ..., n, n+1].


17

Os dois primeiros métodos de integração numérica deste grupo são chamados de Quadratura de Gauss-Radau e o último de Quadratura de Gauss-Lobatto. No caso particular de (x)=1 e n=1, o método (III-23) recai no Método de Simpson que pode ser expresso por:

I

1

60

2

3

1

2

1

61f f f( ) ( ) (III.24)

Adotando f(x)=xk com k0 tem-se o valor exato de I = 1/(k+1) e, por inspeção vê-se: k Iexato Inumérico 0 1 1 1 1/2 1/2 2 1/3 1/3 3 1/4 1/4 4 1/5 1/4.8

Desta forma, verifica-se que o método de Simpson computa de forma exata integrais de funções polinomiais de grau inferior a 4 (no máximo de 3o grau) utilizando informações da função em apenas 3 (três) pontos, o que resultaria , por interpolação de Lagrange, em um polinômio de no máximo grau 2. O problema agora reside em como determinar, em cada caso, os pontos e os pesos de quadratura que forneçam a maior precisão possível, a questão é definir o que seja esta precisão!. Como exemplo, o caso a-) é considerado a seguir: (a) Métodos de Quadratura que Utilizam Apenas Pontos Internos Expressando f(x) segundo a forma de interpolação de Hermite com a respectiva expressão do erro, tem-se:

f x x f x Q x p xn

d f t

dtp xj j n n

j

n n

nt

n( ) ( ) ( )!

( )

21

1

2

221

2

onde: Q x f x A f x

xn j jj j

j

jj

n

1

1

2( ) ( )

[polinômio de grau n-1 em x], é

algum ponto de intervalo (0,1) e : p x x xn ii

n

( )

1

[polinômio nodal, polinômio de

grau n em x cujo coeficiente de xn é igual a 1]. Note que os valores das derivadas da função em cada um dos pontos nodais estão contidos nos coeficientes de Qn-1(x). O valor da integral (III-19), utilizando esta expansão, será:

I W f x x Q x p x dx xn

d f t

dtp x dxj j

j

n

n n

n

nt

n

( ) ( ) ( ). ( ) ( )

!

( ). ( )

11

0

1 2

22

0

11

2

Em que : W x x dxj j ( ) 2

0

1

> 0 para j = 1, 2, , n .

Como : ( ). ( )x p xn2

0 para x 0,1 a última integral pode ser expressa [ aplicando-se o teorema do valor médio] na forma:


18

( )!

( ). ( )

!

( ). ( ) ( )x

n

d f t

dtp x dx

n

d f t

dtx p x dx

n

nt

n

n

nt

n

1

2

1

2

2

22

0

1 2

22

0

1

, onde

é algum ponto do intervalo [0,+1]. Resultando na expressão:

I W f x x Q x p x dx

n

d f t

dtx p x dx

j jj

n

n n

n

nt

n

( ) ( ) ( ). ( )

!

( ). ( ) ( )

11

0

1

2

22

0

11

2

(III-25)

É importante ressaltar que a integral computada desta forma é exata, pois, até o momento, aproximação alguma foi feita na expressão de f(x), tendo sido incluída na expansão a expressão do erro da interpolação. As duas últimas integrais da expressão (III-25) representam o erro da integração por quadratura na forma expressa por (III-21). Deste modo, para esta forma aproximada ser a mais precisa possível deseja-se que tais termos sejam os menores possíveis. O primeiro destes termos pode ser nulo caso se adotar como pontos nodais as raízes do n’ésimo polinômio ortogonal da família:

( ) ( ) ( )x p x p x dxm n n C mn 0

1

, esta propriedade de ortogonalidade pode também

ser expressa por: ( ) ( ) ( )x Q x p x dxm n 00

1

para todo 0 m < n. Desta forma, como:

n-1<n, tem-se: ( ) ( ). ( )x Q x p x dxn n 10

1

= 0, e a expressão (III-25) assume a forma:

I W f xn

d f t

dtx p x dxj j

j

n n

nt

n

( )!

( ). ( ) ( )

1

2

22

0

11

2

(III-26)

A análise desta expressão permite caracterizar o erro da integração por quadratura de Gauss, que é o último termo da expressão, como:

Erron

d f t

dtx p x dxquad

n

nt

n

1

2

2

22

0

1

!

( ). ( ) ( )

(III-27)

a análise deste termo permite concluir que:

(i) Termo: 1

2

n !o erro da integração decresce com o aumento de n;

(ii) Termo: d f t

dt

n

nt

2

2

( )

o erro da integração será tanto menor quanto menor for o

maior valor da derivada de ordem 2.n de f(x) no interior do intervalo, e o erro será nulo se

f(x) for um polinômio em x de grau inferior a 2.n, pois neste caso : d f x

dx

n

n

2

20

( ) para todo


19

valor de x. Além disto, é importante ressaltar que este termo é uma característica inerente da função f(x) e independe da seleção dos valores das abcissas da quadratura;

(iii) Termo: ( ) ( )x p x dxn 2

0

1

este termo é sempre positivo e o valor mínimo que

pode assumir é o obtido quando pn(x) é o n’ésimo polinômio da família de polinômios

ortogonais: ( ) ( ) ( )x p x p x dxm n n C mn 0

1

.

Além da anulação do segundo termo do lado direito da expressão (III-25) ser assegurada! No caso particular do peso da quadratura:

( )x x x 1 com > -1 e > -1, identifica-se pn(x) como sendo o n’ésimo

polinômio de Jacobi [ isto é :

p x p xn n( ) ( ),

] e em vista de :

1 1

2

0

1

0

1

x x p x dx x x x p x dxn

nn n

, , ,( ) ( ) C , onde:

Cnn n n n

n n

, !

1 1 1

2 1 2 12 (III-27)

resulta na fórmula de Quadratura de Gauss-Jacobi :

,

n

tn2

n2n

1jjj

1

0

.dt

)t(fd

!n2

1)x(fWdx)x(fxx1I C (III-28)

onde as abscissas da quadratura 0 < x1 < x2 < ..... < xn < 1 são as n raízes do polinômio de

Jacobi

p xn ,

( ) , W x x x dxj j ( )12

0

1 > 0 para j = 1, 2, , n e

Cn

,

dado pela expressão (III-27). A forma aproximada correspondente é:

I x x f x dx W f xj jj

n

10

1

1

( ) ( )

cujo erro é:

Erron

d f t

dtquad

n

nt

n

1

2

2

2!

( ).

,

C

(III-29)

Os pesos da quadratura, Wj , podem ser calculados considerando em (III-28) :

dx

)x(dpxq e

x xx

)x(p)x(q onde )x(qx)x1()x(f

ij

x

,n

j i

1-n

i

,n

i2

ii

i

,


20

deste modo fi(x) é um polinômio em x de grau 2.n , cujo coeficiente do termo x2n é igual a -

1 (menos um), o que implica em : 1dx

)x(fd

!n2

1

dt

)t(fd

!n2

1n2

in2

tn2i

n2

,

e

ij

x

2,n

iiji

i

dx

)x(dpxx1)x(f

.

Deste modo:

,

n

2

x

,n

iii

1

0

2i

i

dx

)x(dpxx1Wdx)x(qx)x1(xx1 C (III-30)

Esta mesma integração pode ser feita por partes adotando:

du dx d x x u x xi i e

v x x x x q x x x q x v vi i 1 1 1 0 1 02 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

dvd x x q x

dxdx

x x x x q x

x xdq x

dx

q x dx

n x x x q x dx

n x x xp x

x xdx

i i

i i

ni

n n

i

1 1 1 1 1

2 1

2 2 1 1

2 1

1 1 2

1 1

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ),

assim:

u dv n x x x p x dx e nn x

x

2 1 001 , ( ) u(x) v(x) ,

resultando em:

1

0

,n

n1

0

2i dx)x(pxn2xx1dx)x(qx)x1(xx1

mas devido à ortogonalidade de p xn , ( ) tem-se:

1 20

1

x x n x p x dxnn

, ( )

2 1 20

1

n x x x p x dx nnn n , ,( ) C

assim:

1 1 22

0

1

x x x x q x dx ni n ( ) ( ) ,C (III-31)


21

Igualando-se (III-30) e (III-31), tem-se:

2

2 1

1

i

,n

i,

ni i

x

nW

dp xx x

dx

C (III-32)

Note que o numerador de todos os iW ) são todos iguais a:

2 1 ,nn C Α e identificando: ,

nodal np x p x , resulta em,

2 para 1, ,

1i

i i nodal i

W i n- x x p x

Α

Em que: 2 1 ,nn Α C .

Uma outra forma de calcular esses pesos é através da consideração da integral:

1

01

1 1

0

1

1

1

n n

j j jj j

x x f x dx

I H f x H

x x dx

, considerando assim:

2 2

1= para 1, , Em que :

1 1i i i

i i nodal i i i nodal i

H h i n. h- x x p x - x x p x

ΚΚ

Mas, em vista de: 1 1

1

11

n n

i i ni i

ii

H hh

Κ Κ .

Desejando-se os pesos originais da quadratura, assim se procede:

1

101 1

1

0 0

1

0

1

1 1

1 11

2

n

j jn jj j

j

j j j

W f xx x f x dx

H f x

x x dx x x dx

W x x dx H H

(b-1) Métodos de Quadratura que Utilizam os Pontos Internos e a Extremidade Inferior Expressando f(x) segundo a forma de interpolação mista de Lagrange-Hermite com inclusão de x=0, com a respectiva expressão do erro, tem-se:


22

2n

t1n2

1n2

n1n

n

1jj

j

2j

2

n

n

xpxdt

)t(fd

!1n2

1

xpx)x(Qxfx

xx0f

0p

xp)x(f

Onde:

n

1j jj

jj

jjjj1n x

x)x(f

x

1A2xf)x(Q

[polinômio de grau n-1 em

x], é algum ponto de intervalo (0,1) e :

n

1iin xx)x(p [polinômio de grau n em x

cujo coeficiente de xn é igual a 1]. Note que os valores das derivadas da função em cada um dos pontos nodais estão contidos nos coeficientes de Qn-1(x). O valor da integral (III-19), utilizando esta expansão, será:

1

0

2n

t1n2

1n21

0n1n

n

0jjj dx)x(p.

dt

)t(fd

!1n2

1x)x(dx)x(p).x(Qx)x()x(fWI

Em que:

0> dxxp)x(0p

1W

1

0

2n2

n0 e

n, 2, 1, =j para 0> dxxx)x(x

1W

1

0

2j

jj .

Como: ( ) . ( )x x p xn 2

0 para x 0,1 a última integral pode ser expressa [aplicando-se o teorema do valor médio] na forma:

1

0

2n

t1n2

1n21

0

2n

t1n2

1n2dx)x(px)x(.

dt

)t(fd

!1n2

1dx)x(p.

dt

)t(fd

!1n2

1x)x(

Em que é algum ponto do intervalo [0,+1]. Resultando na expressão:

1

0

2n

t1n2

1n2

1

0n1n

n

0jjj

dx)x(px)x(.dt

)t(fd

!1n2

1

dx)x(p).x(Qx)x()x(fWI

(III-33)

É importante ressaltar que a integral computada desta forma é exata, pois, até o momento, aproximação alguma foi feita na expressão de f(x), tendo sido incluída na expansão a expressão do erro da interpolação. As duas últimas integrais da expressão (III-33) representam o erro da integração por quadratura na forma expressa por (III-22). Deste modo, para esta forma aproximada ser a mais precisa possível, deseja-se que tais termos sejam os menores possíveis. O primeiro


23

destes termos pode ser nulo caso adotar-se como pontos nodais as raízes do n’ésimo polinômio ortogonal da família:

1

0mnnnm dx)x(p)x(px)x( C , esta propriedade de ortogonalidade pode

também ser expressa por: 1

0nm n<m0 todopara 0dx)x(p)x(Qx)x( . Desta

forma, como n-1<n, tem-se:

1

0n1n dx)x(p).x(Qx)x( = 0, e a expressão (III-33)

assume a forma:

1

0

2n

t1n2

1n2n

0jjj dx)x(px)x(.

dt

)t(fd

!1n2

1)x(fWI (III-34)

A análise desta expressão permite caracterizar o erro da integração por quadratura de Radau com inclusão da extremidade inferior, que é o último termo da expressão, assim:

1

0

2n

t1n2

1n2

quad dx)x(px)x(.dt

)t(fd

!1n2

1Erro (III-35)


(i) Termo: !1n2

1o erro da integração decresce com o aumento de n;

(ii) Termo:

t1n2

1n2

dt

)t(fdo erro da integração será tanto menor quanto menor for o

maior valor da derivada de ordem (2n+1) de f(x) no interior do intervalo, e o erro será nulo

se f(x) for um polinômio em x de grau inferior a 2.n+1, pois neste caso : 0dx

)x(fd1n2

1n2

para todo valor de x. Além disto, é importante ressaltar que este termo é uma característica inerente da função f(x) e independe da seleção dos valores das abscissas da quadratura;

(iii) Termo: 1

0

2n dx)x(px)x( este termo é sempre positivo e o valor mínimo que

pode assumir é o obtido quando pn(x) é o n’ésimo polinômio da família de polinômios

ortogonais: 1

0mnnnm dx)x(p)x(px)x( C .

Além da anulação do segundo termo do lado direito da expressão (III-38) ser assegurada! No caso particular do peso da quadratura :


24

0>1 e -1> com xx1x)x(xx1)x( 1 identifica-se pn(x)

como sendo o polinômio de Jacobi de grau n [ isto é : )x(p)x(p 1,nn

] e em vista de :

1

0

1,n

1,n

n11

0

21,n

1 dx)x(pxxx1dx)x(pxx1 C ,

Em que:

21,

n2n22n2

2n2n1n!n

C (III-36)

Assim, a fórmula de Quadratura de Radau com inclusão de x0 =0 é expressa por:

2 11 12 1

00

11

2 1

nn ,j j nn

jt

d f tI x x f x dx W f x .

n ! dt

C

(III-37)

em que as abscissas da quadratura x0 = 0 e 0 < x1 < x2 < ..... < xn < 1 são as n raízes do

polinômio de Jacobi )x(p 1,n

,

0> dxxp)x(0p

1W

1

0

2n2

n0 e

n, 2, 1, =j para 0> dxxx)x(x

1W

1

0

2j

jj .e 1,

nC dado pela expressão

(III-41). A forma aproximada correspondente é:

n

0jjj

1

0

)x(fWdx)x(fxx1I

cujo erro é expresso por: 1,n

t1n2

1n2

quad .dt

)t(fd

!1n2

1Erro

C

(III-38)

Os pesos da quadratura, Wj , podem ser calculados segundo o procedimento: (a) Peso W0 , adotando em (III-38) :

)x(p)x1()x(f21,

n0 , deste modo f0(x) é um polinômio em x de grau 2.n+1 , cujo

coeficiente do termo x2n+1 é igual a -1 (menos um), o que implica em :

1dx

)x(fd

!1n2

1

dt

)t(fd

!1n2

11n2

01n2

t1n20

1n2

,

2n0j0 )0(p=(0)f en , 2, 1,=j para 0)x(f [onde por clareza da notação dispensou-se

o índice superior de pn (x)].

Deste modo: 1 2 120 0

01 1 0 ,

n n nx x x p x dx W p I C (III-39)


0=u(0) com 1

xxudxxdu

1


25

e

0)1(v)x(px1)x(p)x1(x1xv 2n

12n ,

assim:

0v(x)u(x) e dx)x(p1

xx1x1n2dvu 1x

0x1,

n

1n

,

resultando em:

1

0

1,n

n11

0

2n dx)x(px1n2xx1

1

1dx)x(p)x1(xx1

mas devido à ortogonalidade de )x(p 1,n

tem-se:

1α,βn

1

0

1,n

n1 1n2 dx)x(px1n2xx1 C

Assim: 1,n

1

0

2n 1

1n2dx)x(p)x1(xx1

C (III-40)

Igualando (III-39) e (III-40), tem-se:

1

0 21

2 2

1 0

,n

,n

nW

p

C (III-41)

(b) Peso Wi para i = 1,...,n, adotando em (III-42) :

221 i if x x x q x em que 1

1 ,

n n-i

i

p xq x x

x x

deste modo fi(x) é

um polinômio em x de grau 2.n+1 , cujo coeficiente do termo x2n+1 é igual a -1 (menos um), o que implica em :

2 1 2 1

2 1 2 1

1 11

2 1 ! 2 1 !

n ni i

n nt

d f t d f x

n ndt dx

,

22

0 para

1 para i j

i i n i

j if x

- x x p x j i

[em que, por clareza da notação, dispensou-se o índice superior de pn (x)]. Deste modo:

1 2 12

01 1 ,

i i i i i n i nx x f x dx W - x x p x I C (III-42)

Reescrevendo esta integral na forma: 1 21 2

01i ix x q x dx

I

e integrando por partes com: i idu dx d x x u x x e


26

21 2

1

1

1 0 1 0

1 1 2 1 2 1

1 2 1

i

ii i i

ni

v x x x q x v( ) v( )

dq xdv( x )x x q x x q x x q x x x

dx dx

x x q x n x

assim:

1110

2 1 1 ( ) ( ) 0x,n

n xu dv n x x x p x dx e u x v x

,

resultando em:

1 1 12 1

0 01 1 1 2 1 ,n

n nx x x p x dx x x n x p x dx

mas, devido à ortogonalidade de 1,np x , tem-se:

1 1 11

01 2 1 2 1, α,βn

n nx x n x p x dx n C

assim: 12 1 ,i nn I C (III-43)


1

22

2 2

1

,n

i

i i n i

nW

- x x p x

C (III-44)

Note que o numerador de todos os iW (inclusive para i=0) são todos iguais a:

12 2 ,nn C Α e identificando: 1,

nodal np x x p x ou,

simplificando a notação:

0

n nodalnodal n k n n

k

dp xp x x p x x x p x x p x

dx , logo:

0 0 0

0 e

i

nodal nodaln i n i

x x x x

dp x dp xp x p x

dx dx

, resultando em:

2

1para 0

1 1 1 para 1, ,

i

i nodal i

iW

- x p x i n

Α

Em que:

12 2

1

,nn

CΑ .


1

01

0 0

0

1

1

1

n n

j j jj j

x x f x dx

I H f x H

x x dx



27

2

2

= para 0 1, , 1

1 para 01

1Em que : 1 1 para 1, ,

i i

i nodal i

i

i nodal i

H h i , n.- x p x

ih

- x p x i n

ΚΚ

Mas em vista de: 0 0

0

11

n n

i i ni i

ii

H hh

Κ Κ .


1

001 1

0

0 0

1

0

1

1 1

1 11

2

n

j jn jj j

j

j j j

W f xx x f x dx

H f x

x x dx x x dx

W x x dx H H

(b-2) Métodos de Quadratura que Utilizam os Pontos Internos e a Extremidade Superior Expressando f(x) segundo a forma de interpolação mista de Lagrange-Hermite com inclusão de x=1, com a respectiva expressão do erro, tem-se:

22

11

2 12

2 1

11 1

1 1

11

2 1

n nj j n n

j j n

n

nnt

p xxf x x f x f Q x x p x

x p

d f tx p x

n ! dt

Em que: 1

1

12

1 1

n jn j jj j

j j j j

xQ x f x A f x

x x

[polinômio de

grau n-1 em x], é algum ponto de intervalo (0,1) e : 1

n

n ii

p x x x

[polinômio de

grau n em x cujo coeficiente de xn é igual a 1]. Note que os valores das derivadas da função em cada um dos pontos nodais estão contidos nos coeficientes de 1nQ x ;

O valor da integral (III-19), utilizando esta expansão, será:

2 11 11 21 2 1

1 0 0

11 1

2 1 !

nn

j j n n nnj

t

d f tI W f x x x Q x .p x dx ( x ) x . p x dx

n dt

Em que:

1 2

0

11 > 0 para 1 2

1j j

j

W x x x dx j , , ,nx

e


28

1 21 2

0

1 >0

1n n

n

W ( x ) p x dxp

Como: 21 0 para 0,1nx x . p x x , a última integral pode ser expressa na

forma:

2 1 2 11 12 2

2 1 2 10 0

1 11 1

2 1 ! 2 1 !

n n

n nn nt t

d f t d f tx x p x dx x x p x dx

n ndt dt

Em que é algum ponto do intervalo [0,+1]. Resultando na expressão:

11

11 0

2 1 1 2

2 10

1

11

2 1 !

n

j j n nj

n

nnt

I W f x x x Q x .p x dx

d f t. x x p x dx

n dt

(III-45)

É importante ressaltar que a integral computada desta forma é exata, pois, até o momento, aproximação alguma foi feita na expressão de f(x), tendo sido incluída na expansão a expressão do erro da interpolação. As duas últimas integrais da expressão (III-33) representam o erro da integração por quadratura na forma expressa por (III-22). Desse modo, para esta forma aproximada ser a mais precisa possível, deseja-se que tais termos sejam os menores possíveis. O primeiro destes termos pode ser nulo caso se adotar como pontos nodais as raízes do n’ésimo polinômio ortogonal da família:

1

01 m n n mnx x p x p x dx C , esta propriedade de ortogonalidade pode

também ser expressa por:

1

01 para todo 0m n n mnx x Q x p x dx m n C . Dessa forma, como

1n n : tem-se: 1

10

1 n nx x Q x .p x dx = 0, e a expressão (III-45) assume a

forma:

2 1 11 2

2 11 0

11

2 1 !

nn

j j nnj

t

d f tI W f x . x x p x dx

n dt

(III-46)

A análise desta expressão permite caracterizar o erro da integração por quadratura de Radau com inclusão da extremidade superior, que é o último termo da expressão, assim:

2 1 1 2

2 10

11

2 1 !

n

quad nnt

d f tErro . x x p x dx

n dt

(III-47)


(i) Termo:

1

2 1 !n

o erro da integração decresce com o aumento de n;


29

(ii) Termo: 2 1

2 1

n

nt

d f t

dt

o erro da integração será tanto menor quanto menor for o

maior valor da derivada de ordem (2n+1) de f(x) no interior do intervalo, e o erro será nulo

se f(x) for um polinômio em x de grau inferior a 2.n+1, pois neste caso : 2 1

2 10

n

n

d f x

dx

para todo valor de x. Além disto, é importante ressaltar que este termo é uma característica inerente da função f(x) e independe da seleção dos valores das abscissas da quadratura;

(iii) Termo: 1 2

01 nx x p x dx :este termo é sempre positivo e o valor mínimo

que pode assumir é o obtido quando pn(x) for o n’ésimo polinômio da família de

polinômios ortogonais: 1

01 m n n mnx x p x p x dx C . Além de assegurar a

anulação do segundo termo do lado direito da expressão (III-45)! No caso particular do peso da quadratura:

11 1 1 com 1>0 e > 1x x x x x x x

Identifica-se pn(x) como sendo o polinômio de Jacobi de grau n [isto é,:

1,n np x p x ] e em vista de :

21 11 11 1 1

0 01 1, , ,n

n n nx x p x dx x x x p x dx

C ,

Em que:

12

! 2 1 2

2 2 2 2

,n

n n n n

n n

C (III-37)

Assim, a fórmula de Quadratura de Radau com inclusão de xn+1 =0 é expressa por:

2 11 1 12 1

10

11

2 1 !

nn ,j j nn

jt

d f tI x x f x dx W f x .

n dt

C (III-38)

em que as abscissas da quadratura são 0 < x1 < x2 < ..... < xn < 1 [as n raízes do polinômio

de Jacobi 1,np x ] e xn+1,

1 2

0

11 > 0 para 1 2

1j j

j

W x x x dx j , , ,nx

e

1 21 2

0

1 >0

1n n

n

W ( x ) p x dxp

e 1,n C dado pela expressão (III-37).

A forma aproximada correspondente é:

1 1

101

n

j jj

I x x f x dx W f x

(III-39)


30

cujo erro é expresso por:

2 1

12 1

1

2 1 !

n,

quad nnt

d f tErro .

n dt

C

Os pesos da quadratura, Wj , podem ser calculados segundo o procedimento: (a) Peso Wi para i = 1,...,n, adotando em (III-39) :

221 i if x x x q x em que

11

,n n-

ii

p xq x x

x x

deste modo fi(x) é

um polinômio em x de grau 2.n+1 , cujo coeficiente do termo x2n+1 é igual a +1 (mais um), o que implica em :

2 1 2 1

2 1 2 1

1 11

2 1 ! 2 1 !

n ni i

n nt

d f t d f x

n ndt dx

,

22

0 para

1 para i j

i i n i

j if x

x - x p x j i

[em que, por clareza da notação, dispensou-se o índice superior de pn (x)]. Deste modo:

1 22 1

01 1 ,

i i i i i n i nx x f x dx W x - x p x I C (III-42)

Reescrevendo esta integral na forma: 1 22 1

01i ix x q x dx

I

e integrando por partes com: i idu dx d x x u x x e

22 1

1

1

1 0 1 0

1 2 1 1 2 1

1 2 1

i

ii i i

ni

v x x x q x v v

dv x dq xx x q x x q x x q x x x

dx dx

x x q x n x

assim:

1 110

2 1 1 ( ) ( ) 0x,n

n xu dv n x x x p x dx e u x v x

,

resultando em:

1

0

1,n

n11

0

2n dx)x(px1n2xx1

1

1dx)x(p)x1(xx1

mas, devido à ortogonalidade de 1,np x , tem-se:

1α,βn

1

0

1,n


assim: 12 1 ,i nn I C (III-43)

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)

Argimiro R Secchi

Realce

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)

Argimiro R Secchi

Realce


31


1

22

2 2

1

,n

i

i i n i

nW

- x x p x

C (III-44)

(a) Peso Wn+1 , adotando em (III-39) :

2

11 ,

n nf ( x ) x p x

, deste modo f0(x) é um polinômio em x de grau 2.n+1 , cujo

coeficiente do termo x2n+1 é igual a -1 (menos um), o que implica em :

1dx

)x(fd

!1n2

1

dt

)t(fd

!1n2

11n2

01n2

t1n20

1n2

,

2n0j0 )0(p=(0)f en , 2, 1,=j para 0)x(f [onde por clareza da notação dispensou-se

o índice superior de pn (x)].

Deste modo: 1,n

2n0

1

0

2n )0(pWdx)x(p)x1(xx1 C (III-39)


0=u(0) com 1

xxudxxdu

1

e

0)1(v)x(px1)x(p)x1(x1xv 2n

12n ,

assim:

0v(x)u(x) e dx)x(p1

xx1x1n2dvu 1x

0x1,

n

1n

,

resultando em:

1

0

1,n

n11

0

2n dx)x(px1n2xx1

1

1dx)x(p)x1(xx1

mas devido à ortogonalidade de )x(p 1,n

tem-se:

1α,βn

1

0

1,n


Assim: 1,n

1

0

2n 1

1n2dx)x(p)x1(xx1

C (III-40)

Igualando (III-39) e (III-40), tem-se:

1

0 21

2 2

1 0

,n

,n

nW

p

C (III-41)

Note que o numerador de todos os iW (inclusive para i=0) são todos iguais a:

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)

Argimiro R Secchi

Realce

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)

Argimiro R Secchi

Realce

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)

Argimiro R Secchi

Realce

Argimiro R Secchi

Realce

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)


32

12 2

1

,nn

CΑ e identificando: 1,

nodal np x x p x ou,

simplificando a notação:

0

n nodalnodal n k n n

k

dp xp x x p x x x p x x p x

dx , logo:

0 0 0

0 e

i

nodal nodaln i n i

x x x x

dp x dp xp x p x

dx dx

, resultando em:

2 para 0 1, ,

1i

i nodal i

W i , n- x p x

Α

Em que:

12 2

1

,nn

CΑ .


1

01

0 0

0

1

1

1

n n

j j jj j

x x f x dx

I H f x H

x x dx


2 2

1= para 0 1, , Em que :

1 1i i i

i nodal i i nodal i

H h i , n. h- x p x - x p x

ΚΚ

Mas em vista de: 0 0

0

11

n n

i i ni i

ii

H hh

Κ Κ .


1

001 1

0

0 0

1

0

1

1 1

1 11

2

n

j jn jj j

j

j j j

W f xx x f x dx

H f x

x x dx x x dx

W x x dx H H

EXERCÍCIOS: 1. Deduza as expressões dos pesos do método de quadratura de Lobatto que utiliza os

pontos internos e as duas extremidade para integrais do tipo:

1n

0iii

1

0

)x(fWdx)x(fxx1I

Argimiro R Secchi

Realce

Argimiro R Secchi

Realce

Argimiro R Secchi

Realce

(alfa+1,beta)


33

2. Mostre como se determinam as abscissas de quadratura para o cômputo de integrais do

tipo: 1

0

2 dx)x(fx12

3I . Considere as IV possibilidades: (i) apenas pontos

internos: (ii)pontos internos mais o ponto central [x=0]; (iii) pontos internos mais o ponto na superfície [x=1]; (iv)pontos internos mais o ponto central [x=0] e o ponto na superfície [x=1]. Calcule também os correspondentes pesos normalizados.

Documents

Quadraturas de Gauss - COPPE / UFRJ de... · Polinômios de Jacobi e Quadratura Numérica 1 CAPÍTULO III - POLINÔMIOS DE JACOBI E QUADRATURA NUMÉRICA III-i-)INTRODUÇÃO Para um