Bom Material de Concurso

Teoria e ExercíciosProf. Pacher

Data de impressão: 10/ 11/2010

Matemática

UMA PARCERIA

MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO

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ELABORAÇÃO E PRODUÇÃO:

Turma

Extensiva 05

BB Extensiva 05

Prof. Pacher Matemática

Atualizada em 10/11/2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

1

Orientação para conversão entre unidades de tempo

Orientação para conversão de medidas de comprimento

Orientação para conversão de medidas de área

Orientação para conversão de medidas de volume

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2

Orientação para conversão de medidas de capacidade

Orientação para conversão de medidas de massa

Orientação para conversão de medidas de ângulos

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Seu José produziu 10 litros de licor de

cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750 ml para vende na feira. Não havendo desperdício, quantos litros de licor sobrarão depois que ele encher todas as garrafas?

Resolução: I) Os dados 10 litros e 750 ml não são compatíveis

pela unidade de capacidade, deveremos converte ambos na mesma unidade. Usei o procedimento, converter 750 ml para litros, veja na escala:

kl hl dal l dl cl ml ÷ 10 ←

÷ 10 ←

÷ 10 ←

÷ 10 ←

÷ 10 ←

÷ 10 ←

÷ 10 ←

→ ×10

→ ×10

→ ×10

→ ×10

→ ×10

→ ×10

→ ×10

0 7 5 0, 0, 7 5 0 Resultando 0,750 litros ou 0,75 litros.

II) Encher 12 garrafas com 0,750 litros, 12x0,750 = 9 litros

III) Sobrou para engarrafar Sobra= 10 – 9 = 1 litro

02. Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes,

todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2, será de:

Resolução: I) Convertendo 1 km2 em m2, veja na escala:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 ÷100 ←

÷100 ←

÷100 ←

÷100 ←

÷100 ←

÷100 ←

÷100 ←

→ ×100

→ ×100

→ ×100

→ ×100

→ ×100

→ ×100

→ ×100

1, 00 00 00 1 00 00 00,

Resultando 1000 000 m2

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3

II) Dividir a metragem quadrada em 5 partes iguais

Resposta:

1 000 000 21 lote = = 200 000 m5

Área

03. Um médico receitou a João dois

medicamentos. O primeiro deve ser tomado a cada uma hora e trinta minutos e o segundo a cada duas horas e trinta minutos. Sabendo que João começou o tratamento às 7h30min da manhã, tomando os dois medicamentos ao mesmo tempo, a que horas da noite ele tomará os dois medicamentos juntos novamente?

a) às 2 b)às 21h30min. c) às 22h. d) às 22h30min e) às 23h

Resolução: I) Tempo de cada remédio

Remédio 1 1h 30 min = 90 min Remédio 2 2h 30 min = 150 min

II) Cálculo do mmc ( 90, 150)

90 - 150 2 45 - 75 3 15 - 25 3 5 - 25 5 1 5 5 1

mmc (90, 150) = 2x32x52 = 450 min = 7h 30 min

II) Determinação do horário noturno.

Começou tomando os dois remédios às

7h 30 min Da manhã

mmc

+

7h 30 min

Próximo horário que tomará os dois remédios juntos

15h 00 min

Da tarde

mmc

+

7h 30 min

Próximo horário que tomará os dois remédios juntos

= 22h 30 min

Da noite

Resposta: letra D

01. (UNB-CESPE) Se um dia corresponde a 24 horas, então 9/12 do dia correspondem a: a) 8h b) 9h c) 12h d) 18h e) 20h 02. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18 de um dia e retornou à sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de

a) 14 horas e 10 min b) 13 horas e 50 min c) 13 horas e 30 min d) 13 horas e 10 min e) 12 horas e 50 min 03. (UFRJ-NCE) Numa partida de futebol foram marcados dois gols no primeiro tempo: o primeiro, aos 18 min 25 s e, o segundo, aos 23 min e 12 s. O tempo decorrido entre os dois gols foi de: a) 4 min 47 s b) 4 min 48 s c) 4 min 57 s d) 5 min 47 s e) 5 min 48 s 04. (FCC) Uma transfusão de sangue é programada para que o paciente receba 25 gotas de sangue por minuto. Se a transfusão se estendeu por 2 horas e 12 minutos, e cada gota injeta 0,1ml de sangue, quantos ml de sangue o paciente recebeu? a) 330 b) 530 c) 880 d) 1900 e) 3300 05. Um período de tempo de 500 horas corresponde exatamente a: a) 20 dias b) 20,8 dias c) 20 dias e 20 horas d) 20 dias e 22 horas e) 19 dias e 21 horas 06. (NC.UFPR) Uma dona de casa, procurando fazer uso racional dos equipamentos domésticos e do consumo de água, observou que a freqüência ótima para a utilização da máquina de lavar roupa é uma vez em dias alternados. Sabe-se que o consumo de água dessa máquina é de 150,9 litros em cada vez que é usada. Se essa freqüência de uso da máquina for cumprida rigorosamente, o volume de água gasto pela máquina no mês de abril será de: a) 22635 litros b) 2263,5 dm3 c) 2414,4 dm3 d) 2112,6 litros e) 24144 litros 07. (C.NAVAL) Uma fábrica de fósforos usa as seguintes definições: Caixa: conjunto de 45 palitos de fósforos. Maço: conjunto de 10 caixas. Pacote: conjunto de 12 maços. Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas, 22 palitos de fósforos, por 8, obtém-se um número p de pacotes, m de maços, c de caixas e f de palitos de fósforos, tais que p + m + c + f é igual a: a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 .

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4

08. (FCC) Num tanque temos 2.000 l de água e 400 l de óleo. Cada litro de água pesa 1 kg, enquanto um litro de óleo pesa 0,8 kg. Assim, o peso total dos 2.400 l do tanque, em toneladas, é igual a: a) 0,0232 b) 0,232 c) 2,32 d) 23,2 e) 232 09. (NC.UFPR) Calcule a massa total de 30.000 folhas de papel em formato 20 cm por 20 cm, sabendo que a especificação de gramatura desse papel é 75 g/m2. a) 120 kg b) 90 kg c) 60 kg d) 12 kg e) 9 kg 10. (FCC) Às 13h 45min iniciei um trabalho. Às 16h 45min já tinha executado 3/4 desse trabalho. Prosseguindo nesse ritmo, terminarei meu trabalho às: a) 17h b) 17h 15min c) 17h 30min d) 17h 45min e) 18h 11. (UNB-CESPE) Na revisão de um livro, o autor gastou 5h55min para rever o texto, 2h05min para rever a ordem dos exercícios e 4h25min para correção das figuras. O tempo gasto na revisão foi de: a) 12h35min b) 12h30min c) 12h25min08s d) 12h15min e) 12h25min 12. A aluna Viviane da Escola Parque quando está de férias, costuma bronzear-se uma hora doze minutos e vinte e cinco segundos, diariamente. Quantos segundos, ela ficará exposta aos raios solares, durante três dias? a) 12.105 b) 13.135 c) 12.035 d) 13.035 e) 12.125 13. (ESPP) Quantos centímetros há em 2Km? a) 2000 b) 20000 c) 200000 d) 2000000 14. (ESPP) Transformando-se 4734 dm3 na unidade imediatamente superior obtém-se: a) 4,734 km3 b) 4,734 m3 c) 47,34 m3 d) 47,34 km3

15. (ESPP) Vera mede 1,80 metro de altura, e Adriana mede 150 centímetros. A razão entre a altura de Vera e de Adriana é: a) 5/6 b) 12/7 c) 7/12 d) 6/5

16. (ESPP) A distância percorrida pelos atletas na maratona de São Paulo é 42 km, essa distância, em centímetros, é: a) 420 cm b) 4200 cm c) 42000 cm d) 4200000 cm 17. (ESPP) Um termômetro marcava - 4 graus pela manhã, mas, à tarde, a temperatura aumentou para 6 graus. Houve, portanto, uma variação de: a) 2 graus b) 10 graus c) 24 graus d) 1,5 grau 18. (ESPP) Um rapaz que resolveu caminhar 2,5km, caminhou, em metros: a) 25 metros b) 250 metros c) 25000 metros d) 2500 metros 19. (ESPP) Um terreno tem área de 1534 decímetros quadrados, esse terreno tem em metros: a) 1,534 m2 b) 153,4 m2 c) 15,34 m2 d) 1534 m2 20. (ESPP) Marcelo comprou 2,35Kg de carne para um churrasco, transformando isso em grama, Marcelo comprou: a) 2,350 gramas b) 2350 gramas c) 23,50 gramas d) 235,0 gramas

01 D 02 E 03 A 04 A 05 C 06 B 07 A 08 C 09 B 10 D 11 B 12 D 13 C 14 B 15 D 16 D 17 B 18 D 19 C 20 B REGRA DE TRÊS REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA Uma regra de três simples direta é uma forma de

relacionar grandezas diretamente proporcionais.

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5

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de

farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28Kg de farinha?

Grandeza diretamente proporcional

28

7

x

10= ⇒ x= 40 kg

REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA Uma regra de três simples inversa é uma forma de

relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas.

Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro?

Grandeza inversamente proporcional

x

72

8

6= ⇒ x= 96 kg

TESTES

1. (FUNRIO) Constatou-se num vilarejo, que no ano de 2006, 120 pessoas foram vitimadas pela dengue. No ano seguinte, esse número caiu para 90 pessoas. Podemos dizer, então, que houve uma redução no número de vitimados da ordem de a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40 % 2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Supondo que fossem percorridos 200 Km por dia, quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem? 3. (ESPP) Dez trabalhadores de uma construtora fazem uma casa pré-fabricada em 90 dias. O número de pessoas, trabalhando no mesmo ritmo, que seriam necessárias para construir a mesma casa em 60 dias é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 4. Com a velocidade média de 75Km/h, um ônibus faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus faz o percurso de volta em 1h. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? 5. (NC.UFPR) Um trajeto pode ser feito de automóvel, em uma hora e quarenta e cinco minutos, à velocidade média de 80 quilômetros por hora. Em quanto tempo se faz o mesmo trajeto à velocidade média de 70 quilômetros por hora? a) 1 h 55 min b) 2 h

c) 2 h 10 min d) 2 h 15 min e) 2 h 20 min 6. Se meu carro pode percorrer um distância de 350 Km com 25 litros de gasolina, quantos quilômetros pode percorrer com 1litros de gasolina? 7. Um trem percorre à velocidade de 60 km/h, vai da cidade de Curitiba até Paranaguá, em 90 minutos. Se a velocidade for de 120 km/h, qual será o tempo gasto? 8. Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 adultos com 80 Kg cada um. Quantas crianças, de 35 kg cada uma, atingiram a carga máxima desse elevador? 9. (ESPP) Uma classe de 30 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local, encontraram mais 20 alunos. O número de dias que durarão os alimentos, com a nova turma é: a) 8 dias b) 6 dias c) 4 dias d) 20 dias 10. (ESPP) Um atleta percorre um 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 30km? a) 1 hora b) 2 horas c) 4 horas d) 3 horas 11. Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 Km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140 Km/h? 12. (NC.UFPR) Se em cada porção de 55 g de creme alimentício 60,5 mg são de cálcio, então o cálcio contido em 30 g desse creme é de: a) 29 mg b) 30 mg c) 31 mg d) 32 mg e) 33 mg 13. (NC.UFPR) Uma empresa transportadora tem 180 encomendas para serem entregues em vários endereços da cidade. Observou-se que foram entregues 30 delas em 2 horas e 15 minutos. Se for mantida essa média de tempo gasto, para entregar todas as encomendas serão necessárias exatamente: a) 15 horas e 15 minutos. b) 14 horas e 30 minutos. c) 14 horas. d) 13 horas e 30 minutos. e) 1 e) 3 horas e 15 minutos 14 . (FCC-TRF) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender, em média, 54 pessoas por hora. Espera-se que seis técnicos, com a mesma capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por hora, a quantas pessoas? a) 71

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6

b) 75 c) 78 d) 81 e) 85 15. (FCC-TRF) Duas impressoras têm a mesma capacidade operacional. Se uma delas imprime 72 cópias em 6 minutos, quanto tempo a outra leva para imprimir 30 cópias? a) 2 minutos e 12 segundos. b) 2 minutos e 15 segundos. c) 2 minutos e 20 segundos. d) 2 minutos e 24 segundos. e) 2 minutos e 30 segundos. 16. (ESPP) Uma classe de 30 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local, encontraram mais 20 alunos. O número de dias que durarão os alimentos, com a nova turma é: a) 8 dias b) 6 dias c) 4 dias d) 20 dias 17. (ESPP) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa? a) 10 dias b) 20 dias c) 16 dias d) 5 dias 18. (FUNRIO/2008-RJ) Uma lata de óleo de cozinha custava R$2,40 quando sofreu um aumento de 5%. Agora, para comprar uma caixa com uma dúzia de latas de óleo, Mário vai gastar a) R$30,00 b) R$30,08 c) R$30,16 d) R$30,24 e) R$30,32 19. (FUNRIO/2008- MG) Uma TV de plasma 32” custa R$ 2970,00. Para pagamento à vista tem-se um desconto de 5% do seu valor. Então o valor feito no pagamento à vista foi de: a) R$ 2673,00 b) R$ 2227,50 c) R$ 1039,50 d) R$ 2821,50 e) R$ 2700,00

GABARITO 01 B 02 9 03 D 04 50 05 B 06 14 07 45 08 16 09 B 10 D 11 3 12 E 13 D 14 D 15 E

16 B 17 C 18 D 19 D REGRA DE TRÊS COMPOSTA Regra de três composta é um processo de

relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Para produzir 600 pães foram gastos 33 kg de

farinha de trigo e 1,28 kg de gordura e foram necessários 2 padeiros, que trabalharam 4 horas por dia, durante 7 dias. Quantos dias serão necessários para produzir 960 pães, utilizando-se 60 kg de farinha e 0,66 kg de gordura, com 3 padeiros trabalhando 7 horas por dia?

a) 4 dias b)2,5 dias c) 6 dias d) 7 dias

RESOLUÇÃO: Este teste está resolvido pelo “dispositivo das

setas” DISPOSITIVO DAS SETAS Dispondo os dados em coluna, respeitando a

mesma natureza e na mesma unidade de grandeza, obtemos a seguinte formação: D

ias

Pães

Farinha

Gordura

Padeiros

Horas

7 600 33 1,28 2 4 x 960 60

0,66

3

7

Resolução por setas

C1 C2 C3 C4 C5 C6 D

ias

Pães

Farinha

Gordura

Padeiros

Horas

7 600 33 1,28 2 4 x ↓ 960 ↓ 60 ↓ 0,66 ↓ 3 ↑ 7 ↑

As setas no quadro acima, mostram que as

colunas C5 e C6, são inversamente proporcionais à coluna C1, enquanto as demais são diretamente proporcionais a C1.

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7

Os dados na coluna C4, podem ser representados, suprimindo-se a vírgula (mesmo número de algarismos após a vírgula).

A equação será formada, invertendo-se os dados

das colunas, C5 e C6, para que as setas fiquem apontadas para baixa, como as demais setas. 7 600 33 128 3 7 x = 960 ⋅ 60 ⋅ 66 ⋅ 2 ⋅ 4

Processadas as simplificações no segundo

membro, obtemos a nova equação: 7 7

4x= logo x=4

E finalmente o valor de x, x =4.

02. Para reduzir a termo pedidos orais, um

funcionário que digita, em média, 60 caracteres por minuto atende 5 pessoas em 90 minutos. Após um período de reciclagem, o mesmo funcionário passa a atender 6 pessoas em 80 minutos. Sendo assim, o número de caracteres por minuto que agora ele digita é igual a:

RESOLUÇÃO Fazendo a montagem da tabela conforme

naturezas e grandezas, obtemos a regra de três composta:

N° caracteres Tempo (min) N° pessoas

60 90 5 x 80 6

II) Discussão verificar se as grandezas são

diretamente e/ou inversamente proporcionais. 1) Mantendo o tempo fixo.

N° pessoas N° caracteres - 5 60 - ↓ + 6 x +

↓

É uma grandeza diretamente proporcional. 2) Mantendo o número de pessoas fixo.

Tempo (min) N° caracteres

+ 90 60 - ↑ - 80 x +

↓

É uma grandeza inversamente proporcional. Formamos a equação.

81x9080

65

x60

=⇒⋅=

TESTES 1. Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários, que produzem, em 8 horas diárias de serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários são necessários

para produzir 600 pares de calçados por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas? 2. (UFMG) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135 000 peças? 3. Meia dúzia de datilógrafas, preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafas, com a mesma capacidade das primeiras, prepararão 800 páginas? 4. Em uma granja, 32 galinhas produzem em média 100 dúzias em 10 dias. Quantas dúzias de ovos serão produzidas por 8 galinhas em 16 dias? 5. (USP-SP) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentar-las durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? 6. Dez máquinas fabricam 400m de tecidos em 16 dias. Em quantos dias 12 máquinas que têm o mesmo rendimento que as primeiras fazem 300m desse mesmo tecido? 7. Na merenda escolar, 40 crianças consumiram 156 litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverão ser consumidos por 45 crianças em 20 dias? 8. Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2700 litros de água. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas? 9. Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por mês. Se o supermercado passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por mês, a) R$ 3.375,00. b) R$ 3.400,00. c) R$ 3.425,00. d) R$ 3.450,00. e) R$ 3.475,00. 10. (PUCCMP-SP) Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4000 peças em: 11. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia assentaram 255 postes de luz em 17 dias, quantos operários, com a mesma habilidade dos primeiros, serão precisos para assentar 420 postes em 25 dias de 7 horas de trabalho? a) 38 b) 40 c) 42 d) 44 e) 3 e) 5

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8

12. (FCC) Uma máquina copiadora produz 1.500 cópias iguais em 30 minutos de funcionamento. Em quantos minutos de funcionamento outra máquina, com rendimento correspondente a 80% do da primeira, produziria 1 200 dessas cópias? a) 30 b) 35 c) 40 d) 42 e) 45 13. (ESAF) Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que existe uma encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 dias úteis, quantos trabalhadores de produtividade padrão devem ser utilizados para se atingir a meta pretendida, trabalhando dez horas por dia? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 14. Com uma chapa metálica retangular de 1,5 m de comprimento por 2 m de largura, fazem-se 2 000 arruelas. Quantas dessas arruelas podem-se fazer com uma chapa retangular de 2,5 m de comprimento por 3 m largura ? 15. (FUNRIO/2008-RJ) Numa clínica, três enfermeiras, trabalhando 8 horas por dia, atendem 480 pessoas. Com objetivo de aumentar o número de atendimentos, foram contratadas duas enfermeiras e a carga horária de trabalho de todas as enfermeiras passou a ser de 10 horas por dia. Pode-se esperar que o número de atendimentos passe a ser de: a) 900 b) 800 c) 1000 d) 700 e) 600 16. Um batalhão de 1600 soldados tem víveres para dez dias à razão de três refeições diárias para cada homem. No entanto, juntaram-se a esse batalhão mais 400 soldados. Quantos dias durarão os víveres, se foi decidido agora que cada soldado fará duas refeições por dia? 17. (FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1 hora e: a) 30 minutos b) 35 minutos c) 40 minutos d) 45 minutos e) 50 minutos 18. (FCC) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm, todas, a mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento

contínuo. Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em: a) 8 horas e 40 minutos b) 8 horas e 20 minutos c) 7 horas e 45 minutos d) 7 horas e 30 minutos e) 7 horas e 15 minutos 19. (FCC-TRF) A impressora X é capaz de tirar um certo número de cópias de um texto em 1 hora e 15 minutos de funcionamento ininterrupto. A impressora Y, que tem 75 % da capacidade de produção de X, tiraria a metade do número de cópias desse texto, se operasse ininterruptamente durante a) 50 minutos. b) 1 hora. c) 1 hora e 10 minutos. d) 1 hora e 20 minutos. e) 1 hora e 30 minutos. 20. (FCC-TRT) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada em 4 horas, à velocidade média de 75 km/h. Para percorrer o restante dessa estrada em 1 hora e 30 minutos, sua velocidade média deverá ser a) 90 km/h b) 100 km/h c) 115 km/h d) 120 km/h e) 125 km/h

GABARITO 01 32 02 75 03 15 04 40 05 5 06 10 07 234 08 7500 09 A 10 8 11 B 12 A 13 B 14 5000 15 C 16 12 17 A 18 D 19 A 20 D

PORCENTAGEM CÁLCULO DE PORCENTAGEM Praticamente todos os dias, observamos nos

meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento quer dizer por cem (dividido por cem). Toda razão da forma p/q na qual o denominador q=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.

Em geral, para indicar um índice de a por cento, escrevemos a % e para calcular a % de um número b, realizamos o produto:

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9

a % de b é o mesmo que: a%.b

a%.b é o mesmo que : ⋅a b

100

ACRESCIMO PERCENTUAL Acrescentar a% de b, em b.

b + a%.b DECRESCIMO PERCENTUAL Decrescer a% de b, em b.

b - a%.b EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um aparelho de som pode ser comprado em 4

prestações de R$ 150,00 ou à vista com 10% de desconto. Quanto será pago, em reais, se a compra for deita à vista?

RESOLUÇÃO: I) O custo final do aparelho em 4 prestações

iguais a R$ 150,00, totaliza R$ 600,00. Custo final = 4x150 = 600,00 II) Para pagamento a vista, terá 10% de desconto. Custo à vista = 600 -10%x600 = 600 – 0,10x600=

600 – 60 = R$ 540,00 Resposta: R$ 540,00 02. Do total de funcionários da empresa Fios S/A,

20% são da área de informática e outros 14% ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos funcionários dessa empresa NÃO trabalham na área de informática? a) 30 b) 99 c) 110 d) 120 e) 150

Resolução:

I) Pela regra de três diretamente proporcional,

envolvendo 14% que tem correspondência com 21 cargos, poderemos obter o total de funcionários da empresa.

Nº de funcionários

Porcentagem %

21 → 14

x → 100

II) O total de funcionários que trabalham na área

de informática, é de 20%, restando para outras funções na empresa, 80%.

Não informática = 80% de 150 = 80%.150 = 80 .150100

= 120

120 não trabalham na área de informática.

Resposta, alternativa D 03. Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00

em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o pagamentofor feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a:

Resolução I) Preço de venda: R$ 1.000,00 II) Preço da TV para pagamento à vista com

desconto de 4%: (100% – 4%) R$ 1.000,00 = R$ 960,00 III) No pagamento em duas parcelas, o cliente: • paga R$ 500,00 no ato; • fica devendo R$ 960,00 – R$ 500,00 = R$

460,00; • paga R$ 500,00 no mês seguinte e portanto

paga R$ 40,00 de juros. 4) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que

ficou devendo é40, 00 2

0, 0869 8, 7%460, 00 23

= ≅ ≅

Ou por uma regra de três simples.

$ 40,00 .x% $ 460,00 100%

Reposta: letra A TESTES

1. (ESAF) Na compra a vista de um produto que custava R$ 180,00, um consumidor conseguiu um desconto de 12%. Por quanto saiu o produto? a) R$ 158,40 b) R$ 160,00 c) R$ 162,00 d) R$ 162,45 e) R$ 170,00 2. (ESPP) O resultado da soma de 45% de 90 com 30% de 95 é: a) 40,5 b) 69 c) 100 d) 102,5 3. (ESAF) O valor de uma máquina, a cada ano que passa, diminui 10 % em relação ao valor do ano anterior. Se o valor dessa máquina é, hoje, igual a R$ 100,00, então, daqui a três anos a percentagem equivalente à desvalorização total no período desses três anos será igual a a) 10,42% b) 27,10% c) 30% d) 32,20% e) 40% 4. (USP) O senhor Pitágoras contrata um advogado; esse consegue receber 90% do valor da questão avaliada em R$ 30 000,00 e cobra, a título de honorários, 15% da quantia recebida. Qual a importância que resta para o senhor Pitágoras?

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a) R$ 4 000,00 b) R$ 27 000,00 c) 25 800,00 d) R$ 4 050,00 e) 22 950,00 5. (ESAF) Transformando a fração 2/5 em taxa percentual, teremos: a) 37,5% b) 40% c) 32,5% d) 1,25% e) 35,7% 6. (PUCCAMP) O chefe de um setor recebe a incumbência de distribuir um prêmio de R$ 12.000,00 entre três funcionários, de acordo com a eficiência de cada um. Se um deles receber 20% desse valor e o segundo receber 55%, quanto receberá, em reais, o terceiro? a) 5 000 b) 3 000 c) 2 400 d) 1 600 e) 800 7. (ESAF) Um trabalhador teve um aumento salarial de 10% em um ano e de 20% no ano seguinte. Qual foi o aumento salarial total do trabalhador no período? a) 40% b) 32% c) 30% d) 20% e) 10% 8. (ESAL-MG) Após conseguir um desconto de 15% no preço de uma mercadoria, foram pagos R$ 1 700,00 por essa mercadoria. O preço, sem desconto, seria em R$ de: a) 1 850,00 b) 1 950,00 c) 2 200,00 d) 1 900,00 e) 2 000,00 9. Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o lucro de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%. Qual a taxa única, que representa o valor final da mercadoria, após o último aumento. 10. Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: "beba-me e fique 25% mais alta". A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: "prove-me e fique 10% mais baixa"; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: "beba-me e fique 10% mais alta". Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito:"prove-me e fique 20% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela: a) ficou 1% mais baixa b) ficou 1% mais alta c) ficou 5% mais baixa d) ficou 5% mais alta e) ficou 10% mais alta

11. Ao comprar uma mercadoria, pagando a vista, obtive um desconto de 15% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 357,00 pela mercadoria, qual era o preço original? 12. (ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior 13. (ESAF/2009-SEFAZ/SP) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos: a) nenhum dos 3 valerá nada. b) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta. c) apenas a bicicleta valerá algo. d) a bicicleta valerá mais que o carro. e) a bicicleta valerá mais que a moto. 14. (UFRJ-NCE) Ana vendeu uma bolsa por R$ 54,00, obtendo um lucro de 20% sobre o preço de custo. O lucro de Ana, em reais, foi de: a) R$ 64,80; b) R$ 43,20; c) R$ 13,50; d) R$ 10,80; e) R$ 9,00. 15. (MACK-SP) Um concurso, desenvolvido em três etapas sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos ;: candidatos iniciais na 1ª etapa, 20% dos remanescentes na 2ª etapa e 25% dos que ainda permanecem na 3ª etapa. Assim, cumpridas as 3 etapas, a porcentagem de k que permaneceu é: a) 25% b) 35% c) 38% d) 40% e) 42% 16. (FCC) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta a) um aumento de 10%. b) um aumento de 8%.

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c) um aumento de 2%. d) uma diminuição de 2%. e) uma diminuição de 10%. 17. (FCC) Atualmente, o aluguel da casa onde Carlos mora é $ 320,00. Se, no próximo mês, esse aluguel sofrer um aumento de 8% do seu valor, o novo aluguel será: a) $ 328,00 b) $ 337,00 c) $ 345,60 d) $ 345,60 e) $ 354,90 18. (FUVEST) Atualmente, 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são cinzentas. Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano e a da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será aproximadamente, a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois anos? a) 50% b) 38% c) 26% d) 14% e) 40% 19. Na lanchonete, um sanduíche que custava R$ 2,80 teve seu preço aumentado em 25%. Esse sanduíche passou a custar : a) R$ 3,50 b) R$ 3,05 c) R$ 2,95 d) R$ 0,70 20. (ESPP) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o importador? a) R$ 22.500,00 b) R$ 24.000,00 c) R$ 25.350,00 d) R$ 31.200,00 21. (ESPP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque ele sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% 22. (ESPP) Seu Horácio resolveu incrementar a venda de CDs em sua loja e anunciou uma liquidação para um certo dia, com descontos de 30% sobre o preço das etiquetas. Acontece que, no dia anterior à liquidação, seu Horário aumentou o preço marcado nas etiquetas, de forma que o desconto verdadeiro fosse de apenas 9%. De quanto foi o aumento aplicado por seu Horácio? a) 30% b) 39% c) 21% d) 40%

23. (FCC/2009-TRT-15ª) Uma pesquisa revelou que, nos anos de 2006, 2007 e 2008, os totais de processos que deram entrada em uma Unidade do TRT aumentaram, respectivamente, 10%, 5% e 10%, cada qual em relação ao ano anterior. Isso equivale a dizer que, nessa Unidade, o aumento cumulativo das quantidades de processos nos três anos foi de a) 25% b) 25,25% c) 26,15% d) 26,45% e) 27,05% 24. (ESPP) Uma empresa de táxi tinha um movimento de 5000 passageiros transportados ao mês. Houve um aumento de tarifas e o movimento diminuiu 15%. O número de passageiros que ela transporta por mês é: a) 4250 b) 4000 c) 3750 d) 3500 25. (ESPP) Um dado foi lançado 50 vezes, obtendo-se os seguintes resultados:

A porcentagem de saída de uma face menor que 6 foi: a) 90% b) 60% c) 72% d) 80% 26. (ESPP) Num concurso foram inscritos 8600 candidatos. Dos inscritos, 15% faltaram. Logo, o número de candidatos que compareceram foi: a) 1290 b) 6450 c) 7310 d) 9890 27. (ESAF) As vendas de uma microempresa passaram de R$ 3.000,00 no mês de janeiro para R$ 2.850,00 no mês de fevereiro. De quanto foi a diminuição relativa das vendas? a) 4% b) 5% c) 6% d) 8% e) 10% 28. (FCC/2008-DEF. PÚBLICA/SP) Após um aumento de 15% no preço da gasolina, um posto passou a vender o litro do combustível por R$ 2,599. O preço do litro de gasolina antes do aumento, em reais, era igual a a) 2,18 b) 2,21 c) 2,23 d) 2,26 e) 2,31 29. (FUNRIO/2008-JUCERJA) O mercado de capitais, há algum tempo, vem atraindo um grande número de brasileiros. Um investidor comprou um lote de ações que se valorizou 30% no primeiro mês, 10% no segundo mês e se desvalorizou 20% no terceiro mês. Se ele comprou o lote de ações por R$10.000, podemos afirmar que o seu lucro, ao fim desses três meses, foi de:

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a) R$ 1.340,00 b) R$ 1.540,00 c) R$ 1.640,00 d) R$ 1.440,00 e) R$ 1.740,00

GABARITO 01 A 02 B 03 B 04 E 05 B 06 B 07 B 08 E 09 38,6% 10 A 11 420 12 D 13 E 14 E 15 E 16 B 17 C 18 B 19 A 20 B 21 C 22 A 23 E 24 A 25 A 26 C 27 B 28 D 29 A

DIVISÃO PROPORCIONAL EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Três amigos fizeram um bolão para jogar na

Megasena, no qual cada um investiu, respectivamente, R$ 25,00, R$ 35,00 e R$ 40,00. Na conferência do resultado eles descobriram que acertaram 5 números em um dos cartões, o que lhes deu direito a um prêmio de R$ 3.600,00. Supondo que o prêmio deva ser dividido em partes diretamente proporcionais ao valor investido por cada um nas apostas, cada sócio receberá, respectivamente:

RESOLUÇÃO I) Considere:

x o valor que o amigo 1 deve receber y o valor que o amigo 2 deve receber z o valor que o amigo 3 deve receber

x + y + z = 3600 II) y x + y + zx z 3600= = = k = = =3625 35 40 25 +35 + 40 100

Igualando, obtemos o valor para cada amigo:

⇒x = 36 x = R$ 900,0025 parte do amigo 1



Resposta: letra C

TESTES 1. O custo da construção de uma ponte foi estimado em R$ 450 000,00 e será dividido entre duas cidades A e B, de forma diretamente proporcional à população de cada uma. Quanto caberá a cada cidade, se A tem população de 3 milhões de habitantes e B, 12 milhões de habitantes? 2. Reparta 45 fichas em partes inversamente proporcionais a 3, 6 e 8. 3. (PUC-PR) Uma construtora edificou 6 residências com as seguintes áreas construídas, em m2: 110, 112, 120, 116, 120 e 102 e destinou uma área comum para lazer de 51 m2, que deve ser dividida em partes proporcionais à área de cada residência. Assim, a área corresponde à residência de 110 m2 é, em m2, igual a: a) 9,00 b) 8,70 c) 8,40 d) 8,25 e) 7,65 4. (ESAF) Ao se dividir o número 400 em valores diretamente proporcionais a 1, 2/3 e 5/3, obtém-se, respectivamente: a) 120, 80 e 200 b) 360, 240 e 600 c) 60, 40 e 100 d) 40, 80/3 e 200/3 e) 100, 40 e 60 5. Dividir 3 560 em três partes tais que sejam a um tempo, diretamente proporcionais a 3, 5 e 8, e inversamente a 4, 6 e 9. Quanto cabe a cada? 6. Dividir R$ 39 500,00 em três partes que a um tempo sejam diretamente proporcionais a 3, 5 e 6, e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5. 7. Três negociantes formaram uma sociedade, em que o primeiro entrou com R$ 30 000, o segundo com R$ 20 000 e o terceiro com R$ 50 000. O primeiro permaneceu 12 meses, segundo 9 meses e terceiro 4 meses. Determine o lucro de cada um, sabendo-se que o lucro total foi de R$ 37 000 8. Um prêmio de 4 600 reais foi repartido entre três funcionários de uma firma em partes inversamente proporcionais aos seus salários. O funcionário A recebe 5 salários mínimos, o funcionário B recebe 8 salários mínimos e o funcionário C recebe 4 salários mínimos. Qual a parte do prêmio que coube a cada um? 9. As massas de cobre e zinco que se fundem para formar o latão são diretamente proporcionais aos

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números 7 e 3. Quantos quilogramas de cobre e zinco são necessários para obter 80 kg de latão? 10. (FCC) Certo mês, os números de horas extras cumpridas pelos funcionários A, B e C foram inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8 meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três cumpriram um total de 56 horas extras, então o número de horas extras cumpridas por B foi a) 8 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36 11. (FCC-TRF) Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153 documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem foi a) 87 b) 85 c) 70 d) 68 e) 65 12. (FCC-TRF) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.

Idade (em anos)

Tempo de Serviço (em anos)

João 36 8 Maria 30 12

Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 13. (FCC-TRT) Certo mês, os números de horas extras cumpridas pelos funcionários A, B e C foram inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8 meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três cumpriram um total de 56 horas extras, então o número de horas extras cumpridas por B foi a) 8 b))12 c) 18 d) 24 e) 36 14. (FCC/2007-PMSP) Os gastos de infra-estrutura de uma escola devem cobrir limpeza, manutenção e novas obras, em partes proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente. Se a verba prevista para 2007 é R$ 660.000,00, a quantia que deve ser destinada a manutenção é

a) R$ 110.000,00 b) R$ 220.000,00 c) R$ 330.000,00 d) R$ 440.000,00 e) R$ 550.000,00 15. (FCC/2008-PREFEITURA/SP) Lourival e Juvenal são funcionários da Prefeitura Municipal de São Paulo há 8 e 12 anos, respectivamente. Eles foram incumbidos de inspecionar as instalações de 75 estabelecimentos comerciais ao longo de certa semana e decidiram dividir esse total entre si, em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na Prefeitura. Com base nessas informações, é correto afirmar que coube a Lourival inspecionar a) 50 estabelecimentos. b) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal. c) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal. d) 40% do total de estabelecimentos. e) 60% do total de estabelecimentos. 16. (FCC/2008-METRÔ/SP) Dois ajudantes foram incumbidos de auxiliar no transporte de 21 caixas que continham equipamentos elétricos. Para executar essa tarefa, eles dividiram o total de caixas entre si, na razão inversa de suas respectivas idades. Se ao mais jovem, que tinha 24 anos, coube transportar 12 caixas, então, a idade do ajudante mais velho, em anos, era a) 32 b) 34 c) 35 d) 36 e) 38

GABARITO

1 90 000 360 000

2 24, 12 e 9 3 D 4 A

200 000 240 000

5 1 080 1 200 1 280

6 15 000 12 500 12 000

7 18 000 9 000 10 000

8 1 600 1 000 2 000

9 24 e 56 10 B 11 B 12 C 13 B 14 B 15 E 16 A

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EQUAÇÃO DO 1º GRAU DEFINIÇÃO Equação do primeiro grau com uma incógnita, é a

equação que pode ser reduzida à forma:

ax + b = 0 a ≠ 0 Em que:

• x é a incógnita • a e b são constantes reais denominadas coeficientes. • b é o termo independente

RESOLUÇÃO

Nas equações, é costume chamar os valores que

satisfazem as equações de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu

conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.

Para a equação do 1º grau ax + b = 0 Passe o termo independente para o 2º membro ax = - b Para isolar x, passe o a operando inversamente. x = - b/a O conjunto verdade (raízes) é: V={ -b/a }

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3

pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: a) 2 400,00 b) 2 200,00 c) 2 100,00 d) 1 800,00 e) 1 400,00

RESOLUÇÃO

I) Fazendo x= prêmio, P1, P2 e P3 as três

pessoas P1 1/4 de x = 1/4.x = X/4 P2 1/3 de x = 1/3.x = X/3 P3 R$ 1 000,00 = 1 000 = 1 000

II) Adicionando as três partes obteremos o todo

“x”. P1 + P2 + P3 = x x x

+ +1 000 = x4 3

...o mmc (3 , 4) = 12

3x + 4x +12000 12x=

12 12....simplifique o

denominador comum aos membros 3x + 4x + 12000 = 12x ....adicione o termos

semelhantes em x e passe para o segundo membro 12000= 5x ....isole x, passando o multiplicador 5

de x para a operação inversa, divisão. Execute a operação de divisão.

Resposta: R$ 2 400

TESTES 01. Resolva a equação: 12x – 4 = 10x + 3

02. (PUC-RJ) A raiz da equação 3 1

7 4x x− −

= é :

a) -3/5 b) 3/5 c) -5/3 d) 5/3

03. (FIA-SP) Se 3x = 3 2

4x −

+

a) 0 b) 1/11 c) 5/11 d) 11

04. (UFU-MG) O valor de x tal que 4 1 2 1

2 3x x− − +

= é:

a) 0 b) 5/16 c) 3 d) 16/5

05. (F. OBJETIVO-SP) Se 3 5 1,

4x x+

− = + então:

a) x = 6 b) x = 8 c) x = -7 d) x = -9 06. (FCC) Um automóvel percorre uma certa distancia na 1ª hora de seu movimento, 3/4 dela na 2ª hora e a metade dela na 3ª hora. Ao final da 3ª hora, o motorista nota que se percorrer mais 75km completará o percurso que é o triplo do que percorreu na 1ª hora. Quantos km percorreu na 2ª hora? a) 45 b) 50 c) 60 d) 75 e) 80 07. (UFRJ-NCE) Se 2/5 de uma certa quantia corresponde a R$ 56,00, então 9/7 desta mesma quantia corresponde a: a) R$ 22,40 b) R$ 28,80 c) R$ 56,00

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d) R$ 72,00 e) R$ 180,00 08. (UFRJ-NCE) Uma cooperativa de suco produz semanalmente 120 garrafas de 3 litros. Se a capacidade de cada garrafa fosse de 5 litros, o número de garrafas utilizadas semanalmente seria: a) 24 b) 72 c) 100 d) 192 e) 200 09. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos atrás? a) 15 anos. b) 16 anos. c) 24 anos. d) 30 anos. e) 32 anos. 10. Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número. 11. (FCC) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57. 12. (OBM) Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O número digitado foi: a) 31 b) 7 c) 39 d) 279 e) 27 13. (OB M) A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 14. (UPNET) Qual dos números abaixo é solução da

equação: 8

x21

4

3x

8

5x3 +−=

−−

−

a) -5/16

b) 1 c) -1/2 d) ½ e) 5/16 15. (FCC) Um trabalhador gasta 1/3 de seu salário com aluguel de casa e 1/5 com transporte. Quanto resta para outras despesas, se seu salário é de R$ 780,00 ? a) R$ 343,00 b) R$ 364,00 c) R$ 416,00 d) R$ 468,00 e) R$ 585,00 16. (OBJETIVO) Dividindo-se o numero natural n por 17, obtemos o quociente 283 e o resto 6. podemos afirmar que n é igual a: a) 4 817 b) 4 917 c) 3 815 d) 4 618 e) 4 418 17. Um número decimal x o resultado da divisão de 73 por 8. Quanto vale x? 18. (FCC) João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a: a) R$ 1 200,00 b) R$ 1 500,00 c) R$ 1 800,00 d) R$ 2 100,00 e) R$ 2 400,00 19. (ACAFE-SC) Um estudante comprou n canetas por 300 reais e (n + 4) lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e lapiseiras, respectivamente, que ele comprou, é: a) 8 e 12 b) 10 e 14 c) 14 e 18 d) 12 e 16 e) 16 e 20 20. (FCC) Nos três andares de um prédio de apartamentos moram 68 pessoas. Sabe-se que: o número de residentes no segundo andar é o dobro do número dos que residem no primeiro; os residentes no terceiro andar excedem em 20 pessoas o número dos que residem no primeiro andar. Se x, y e z são os números de residentes no primeiro, segundo e terceiro andares, respectivamente, então a) x = 15 b) y = 25 c) z = 36 d) x = 12 e) y = 20 21. (FGV) Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a água, um mostrador indicando de 1 a 20 cafezinhos. São gastos 2 minutos para aquecer o resistor. Aquecido o resistor, a água flui com taxa constante, misturando-se ao pó e transformando-se em café. Se o tempo gasto para fazer 8 cafezinhos é de 6

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minutos, qual é o tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer 4 cafezinhos? a) 3 min b) 3 min 15 s c) 3 min 30 s d) 4 min e) 5 min 22. Numa caminhada, Marcos percorreu um terço do percurso total até fazer uma primeira parada para descansar. Depois, percorreu novamente um terço do percurso restante e fez a sua segunda e última parada. Na etapa final, percorreu mais 1600 metros, chegando ao término da sua caminhada. Marcos caminhou um total de a) 3000 metros b) 3200 metros c) 3400 metros d) 3600 metros e) 3800 metros 23. (OBM) Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção; para a loja B, foram vendidos 2/5da produção e para a loja C, foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? a) 4166 latas b) 10000 latas c) 20000 latas d) 25000 latas e) 30000 latas 24. (CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: a) 2 400,00 b) 2 200,00 c) 2 100,00 d) 1 800,00 e) 1 400,00 25. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento em cada local. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? a) R$ 220,00 b) R$ 204,00 c) R$ 196,00 d) R$ 188,00 e) R$ 180,00 26. (FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira fotocópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um máximo de 100 folhas; o que exceder 100 folhas a empresa cobra R$ 0,08 por folha. Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o preço total? 27. (FGV) Para uma determinada viagem foi fretado um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar que ficar vago. Qual a receita arrecadada se comparecerem 150 pessoas para a viagem?

28. (FCC/2007-TRT-23ª) Seja X a diferença entre o maior número inteiro com 4 algarismos distintos e o maior número inteiro com 3 algarismos. Assim sendo, é correto afirmar que X é um número a) par. b) divisível por 3. c) quadrado perfeito. d) múltiplo de 5. e) primo. 29. (FCC/2007-PMSP) Dois quintos da verba mensal de uma escola são reservados para projetos com os alunos e um terço do que sobra para gastos de emergência. A escola fica então com R$ 1.800,00 para os demais gastos. A verba mensal desta escola, em reais, é a) 3.600 b) 4.500 c) 5.400 d) 6.300 e) 7.200 30. (FCC/2007-TRF-2ª) Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana que o número de

visitantes na segunda-feira correspondeu a 43

do da

terça-feira e este correspondeu a 32

do da quarta-feira.

Na quinta-feira e na sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o número de visitantes na a) segunda-feira foi 120. b) terça-feira foi 150. c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. d) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. e) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira. 31. (FCC/2007-TRT-23ª) Um comerciante compra certo artigo ao preço unitário de R$ 2,10 e vende cinco unidades desse artigo por R$ 17,50. Nessas condições, se vender 85 unidades desse artigo o seu lucro será de a) R$ 121,00 b) R$ 120,30 c) R$ 120,00 d) R$ 119,30 e) R$ 119,00 32. (FCC/2007-TRF-1ª) Certo dia, Veridiana saiu às compras com uma certa quantia em dinheiro e foi a apenas três lojas. Em cada loja ela gastou a quarta parte da quantia que possuia na carteira e, em seguida, usou R$ 5,00 para pagar o estacionamento onde deixou seu carro. Se após todas essas atividades ainda lhe restaram R$ 49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente na carteira estava compreendida entre a) R$ 20,00 e R$ 50,00. b) R$ 50,00 e R$ 80,00. c) R$ 80,00 e R$ 110,00. d) R$ 110,00 e R$ 140,00. e) R$ 140,00 e R$ 170,00. 33. (FCC/2008-METRÔ/SP) Em um depósito havia T blocos de concreto. No transporte de alguns desses blocos para uma obra do Metrô, foi usado um único caminhão que fez três viagens. Na primeira, foi transportada a terça parte do total de blocos e, a cada

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viagem subseqüente, a terça parte do número de blocos restantes no depósito. Se após as três viagens restaram 720 blocos no depósito, o valor de T é a) 1 890 b) 2 430 c) 2 790 d) 3 060 e) 3 150

GABARITO 01 7/2 02 C 03 C 04 B 05 C 06 D 07 E 08 B 09 B 10 9 11 28 e

29 12 A 13 B 14 E 15 B 16 A 17 9,125 18 A 19 D 20 D 21 D 22 D 23 D 24 A 25 D 26 18 27 90 000 28 B 29 B 30 C 31 E 32 D 33 B

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DEFINIÇÃO Sistema de equações é o conjunto de equações

que são satisfeitas simultaneamente pelos mesmos valores das incógnitas. As equações que formam um sistema, são denominadas equações simultâneas.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Sistemas de equações lineares é o conjunto de

equações com todas as incógnitas de expoente 1 (um) ou, também denominadas de grau 1 (um).

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA Solução de um sistema é o conjunto de valores,

um para cada incógnita, pelos quais as incógnitas devem ser substituídas, para que todas as equações se reduzam a igualdades numéricas ou a identidades algébricas. Costuma-se dizer que este sistema de

valores verifica ou satisfaz todas as equações. Um sistema de equações pode ter uma única solução, mais de uma solução ou não ter nenhuma solução.

SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES

COM DUAS INCÓGNITAS É o sistema formado por duas equações lineares

com duas incógnitas. O sistema neste formato, será estudado neste capítulo.

RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO Consiste em adicionar termo a termo semelhantes

nos membros, para eliminar uma das incógnitas. Há quatro casos a considerar conforme a natureza dos coeficientes da incógnita a eliminar. No estudo para resolução de sistemas de equações, apresento testes que possibilitarão fazer contato com os quatro casos.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Seja o sistema linear:

⎧⎨⎩

x + y = 21x - y = 3

Resolução:

⎧⎨⎩

⇒ ⇒

x + y = 21+

x - y = 3

242x = 24 x = x = 122

Substituindo x=12 em qualquer uma das

equações, obtemos y=9. Resultado final (12; 9). RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO Consiste em isolar a mesma incógnita nas

duas equações e, compará-las pela igualdade. EXERCÍCIO RESOPLVIDO


⎧⎨⎩

x + y = 21x - y = 3

Resolução:

isolando (I)isolando (II)

⇒⎧⎨ ⇒⎩

x + y = 21 x x =21- yx - y = 3 x x = 3+y

Fazendo a comparação ( I ) = ( II ), obtemos a

equação: 21 – y = 3 + y ⇒ 2y= 18 ⇒ y = 9 Substituindo y = 9 em qualquer uma das

equações, obtemos x=12. Resultado final (12; 9).

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RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Consiste em isolar uma incógnita arbitrariamente a

eliminar e substituí-la na outra equação.


⎧⎨⎩

x + y = 21x - y = 3

Resolução:

isolando ⇒⎧⎨⎩

x + y = 21 (I) x x =21- yx - y = 3 (II)

Substituindo x =21- y na equação ( II ), obtemos: (21 - y)- y=321 - y - y = 3-2y = -182y = 18y = 9

Substituindo y=9 em qualquer uma das equações,

obtemos x=12. Resultado final (12; 9). EXERCÍCIO RESOLVIDO 01.Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a

dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00?

Resolução: I) Duas grandezas, número de notas e valor das

notas com duas incógnitas número de notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Neste caso é possível elaborar um sistema de duas equações com duas incógnitas.

x = número de notas de R$ 5,00 y = número de notas de R$ 10,00 ⎧⎨⎩

5x + 10y = 55x + y = 7 ...se desejar pode dividir a 1ª

equação por 5 ⎧⎨⎩

x + 2y = 11x + y = 7 .......isole o x na 2ª equação

⎧⎨⎩

x + 2y = 11x = 7 - y .......substitua x = 7 - y na 1ª

equação x + 2y = 11 (7-y) + 2y = 11........7-y + 2y = 11 y = 4. Resposta: 4 notas de R$ 10,00

TESTES Resolva os próximos sistemas lineares:

01. {x + y = 17

x - y = 5

02. {2x + 5y = 18

x = 60 - y

03. (ESAF) Um copo completamente cheio de água “pesa” 275 gramas. Mas se metade da água for jogada fora, seu “peso” cairá para 165 gramas. Então, o “peso” deste copo é em gramas: a) 32,5 b) 42,5 c) 55 d) 75 e) 110 04. (CEFET-PR) Sabendo-se que a diferença de preço entre uma boneca e uma bola é R$ 15,00 e que a soma dos preços de duas bonecas com duas bolas é R$ 118,00 , podemos afirmar que o preço de um dos brinquedos é: a) R$ 15,00. b) R$ 80,00. c) R$ 65,00. d) R$ 37,00. e) R$ 10,00. 05. (UFRJ-NCE) André é um ano mais velho que Bernardo, que é um ano mais velho que Cardoso, que é um ano mais velho que Demétrio. A soma das idades dos quatro é 190. Então, daqui a 16 anos Demétrio terá a seguinte idade: a) 64; b) 62; c) 60; d) 58; e) 56. 06. (FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos? a) 12 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24 07. (FCC) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos? 08. (FCC) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números?

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09. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é? a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g 10. (OCM) Um zoológico tem vários macacos e várias girafas. Contando os olhos e as pernas dos macacos e das girafas obtém-se 30 olhos e 44 pernas. Quantos macacos e quantas girafas há no zoológico? (Um macaco tem duas pernas.) a) 8 m e 7 g b) 9 m e 6 g c) 7 m e 8 g d) 6 m e 9 g e) 8 m e 9 g 11. Cachorro quente com uma salsicha por $ 15,00.Cachorro quente com duas salsichas por $ 18,00.O gerente sabe quantos sanduíches vendeu contando os pães. Com essa promoção ele "faturou" $ 810,00. Quantas salsichas foram consumidas nos sanduíches sabendo que usou 46 pães? 12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas e quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas é 38 000e o número de guarda-chuvas é o triplo do de bicicletas, então o número de guarda-chuvas é. 13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos mais, ele teria 4/5 da idade do seu irmão. Juntos eles têm 30 anos. A idade de Roberto é: a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 10 14. (FCC/2008-PREFEITURA/SP) Isolda fez um saque no valor de R$ 130,00 no caixa eletrônico de um Banco, no momento em que ele emitia apenas cédulas de R$ 10,00 e R$ 20,00. O total de cédulas que, com certeza, Isolda NÃO deve ter recebido é a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) 6 15. Três latas iguais de massa de tomate mais uma lata de atum custam, juntas, R$ 3,00. Duas latas de massa de tomate mais duas latas de atum (todas iguais às anteriores) custam, juntas, R$ 3,40. Qual é o preço de uma lata de massa de tomate? a) R$ 0,65 b) R$ 0,70 c) R$ 0,75 d) R$ 0,80 e) R$ 0,95 16. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto

representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é: a) 48 b) 72 c) 58 d) 60 e) 34 17. (UNB-CESPE) Se eu gastar R$1.200,00 ficarei com 3/4 da quantia que Paulo possui. Juntos temos R$ 4.000,00. Nestas condições, Paulo possui a importância de R$: a) 1.200 b) 1.680 c) 1.600 d) 2.320 e) 2.400 18. (FCC/2007-PMSP) Um caixa eletrônico trabalha apenas com cédulas de R$ 10,00, R$ 20,00 e R$ 50,00 e está programado para fornecer o menor número de notas possível em cada operação. Nesta condição, se um cliente solicitar R$ 290,00, o número de cédulas recebido será a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 19. Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: de que te queixas? se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der um saco tua carga será igual a minha. Quantos sacos cada um deles levava? 20. (FGV-SP) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Então, o número total de veículos que se encontram no pátio é: a) 50 b) 42 c) 52 d) 54 e) 62 21. Num pátio existem automóveis e motocicletas. O número total de rodas é 130 e o número de veículos é 40. Quantos veículos de cada tipo se encontram no pátio? 22. (FCC-TRT) Para uma festa de aniversário, foram comprados 3 centos de salgados e 2 centos de doces, num custo total de R$ 90,00. Se o cento dos doces custa R$ 15,00, cada unidade de salgado é, em reais, igual a: a) 0,10 b) 0,15 c) 0,20 d) 0,25 e) 0,30 23. (UDESC) Em um treino de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pontos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um

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jogador obteve 26 pontos. Logo, o número de cestas que ele acertou foi: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 24. (OBM) Ronaldo, sempre que pode, guarda moedas de 50 centavos ou 1 real. Atualmente, ele tem 100 moedas, num total de 76 reais. Quantas moedas de um valor ele tem a mais do que a de outro valor ? a) 48 b) 4 c) 8 d) 52 e) 96 25. (BANESPA) Um fazendeiro cria galinhas e coelhos. Num dado momento, esses animais somam um total de 50 cabeças e 140 pés. Pode-se concluir que a razão entre o número de coelhos e o número de galinhas é: a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 3/4 26. (CESGRANRIO-RJ) Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

GABARITO

01 11 e 6 02 94 e -34 03 C 04 D 05 B 06 E 07 18 e 5 08 17 e 33 09 C 10 A 11 86 12 3 000 13 E 14 E 15 A 16 C 17 C 18 C 19 7 e 5 20 C 21 25 e 15 22 C 23 E 24 B 25 C 26 C

EQUAÇÕES DO 2º GRAU DEFINIÇÃO

É toda a equação que pode ser reduzida à forma:

ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0

Em que:

• x é a incógnita • a, b e c são constantes reais denominadas coeficientes. • c é o termo independente

RESOLUÇÃO

Nas equações, é costume chamar os valores que

satisfazem as equações de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu

conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes. Para a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 Use a formula de Báskara 2-b ± b - 4acx =

2a

O conjunto solução é:

S= ⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

2 2-b + b - 4ac -b - b - 4ac;

2a 2a

Considerações

Para a equação do 2º grau, quando o

discriminante da equação, radicando na fórmula de Báskara:

2b - 4ac = ∆ I) Quando ∆ > 0, ∆ maior que zero, a equação

tem duas raízes reais e diferentes entre si..

S= ⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

2 2-b + b - 4ac -b - b - 4ac;

2a 2a

II) Quando ∆ = 0, ∆ igual a zero, a equação tem duas raízes reais e iguais.

S= ⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭

-b -b;

2a 2a

III) Quando ∆ < 0, ∆ menor que zero, a equação tem duas raízes não reais e diferentes entre si.

S = φ conjunto vazio, as raízes não são reais.

OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA

(RELAÇÕES DE GIRARD) Seja a equação:

1x2 - Sx + P = 0 a = 1

e x1 e x2 as raízes da equação, então podemos

ter:

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soma x1 + x2 = S produto x1 . x2 = P TESTES 01. A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 2x2 - 7x + 3 = 0. a) 7/3 b) 7/2 c) 3/2 d) 3/7 e) 2/7 02. (UFRJ-NCE) A diferença entre os valores das raízes da equação 2x2 – 26x + 80 = 0 pode ser igual a: a) 0; b) 2; c) 3; d) 12; e) 20. 03. (PUC-MG) Os valores de x que verificam a

equação 0,10x2,500,05x20,01x −=+ pertencem ao conjunto: a) {–25, –17, 10, 16} b) {–23, –14, 11, 12} c) {–17, –10, 14, 25} d) {–23, –16, 17, 21} 04. x2 - 8x + 7 = 0 05. x2 - 6x + 9 = 0 06. x2 - 2x + 5 = 0 07. 3x2 + 12x = 0 08. 9 - 4x2 = 0 09. (Unificado-RJ) A maior raiz da equação - 2x2 + 3x + 5 = 0 vale: a) -1 b) 1 c) 2 d) 2,5

e) 4

193+

10. O número de soluções inteiras da equação x - 3 4 4- =x - 4 x x(x - 4)

a) 0 b)1 c)2 d)3 e) 4 11. (FCC-TRT) Numa reunião, o número de mulheres presentes excede o número de homens em 20 unidades. Se o produto do número de mulheres pelo de homens é 156, o total de pessoas presentes nessa reunião é a) 24 b) 28 c) 30

d))32 e) 36 12. Qual o menor número que se deve somar a cada fator do produto de 5 x 13 , para que este produto , aumente de 175 unidades ? a) 7 b) 25 c) –7 d) –25 e) 13 13. Qual é o menor valor de "x" de modo que a divisão de 0,5 por "x" tenha o mesmo resultado da adição de 0,5 com "x"? a) 0,5 b) –0,5 c) –1 d) 1 e) 0 14. (ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x gotas de água a cada 20 segundos. Sabendo-se que esse número x corresponde à raiz positiva da equação x( x-2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por hora, supondo que cada gota corresponde a 0,4ml, é: a) 504ml b) 540ml c) 5040ml d) 50,4ml e) 5400ml

GABARITO

01 A 02 C 03 A 04 1 e 7 05 3 06 Vazio em R 07 -4 e 0 08 -3/2 e 3/2 09 D 10 B 11 D 12 D 13 C 14 A

FUNÇÃO DO 2° GRAU VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA Toda a função do 2° grau tem um ponto de

máximo ou de mínimo. f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0

PONTO DE MÁXIMO V( xv , yv ) O ponto de máximo é ponto de maior ordenada (

yv ) da função: f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a < 0

Obs.: O coeficiente a de x2 é NEGATIVO.

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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA PONTO DE MÍNIMO V( xv , yv )

O ponto de mínimo é ponto de menor ordenada ( yv ) da função: f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a > 0

Obs.: O coeficiente a de x2 é POSITIVO. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2°

GRAU CÁLCULO DA ABSCISSA xv DO VÉRTICE

a2b

vx⋅

−=

Ou também, calculando a média aritmética das

raízes ( x1 e x2 ):

22x1x

vx+

=

CÁLCULO DA ORDENADA yv DO VÉRTICE

(MÁXIMO OU MÍNIMO)

a4c)a4-2b

vy⋅

⋅⋅−=

(

Ou também, substituindo xv na função:

c)vx(b2)vx(a)vx(f +⋅+⋅=

IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2° GRAU

Imagem 1) Se a > 0 vyy ≥

2) Se a < 0 vyy ≤

TESTES 01. (ACAFE-SC) A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 02. (PUC-MG) O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 +2x é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então x + y é igual a: a) 5/6 b) 31 /14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/12 05. (FCC/2008-PREFEITURA/SALVADOR) Uma peça metálica, usada na manutenção dos veículos da Guarda Municipal, ao passar por certo tratamento, sofre uma variação de temperatura, que é descrita pela função T(t), na qual T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo medido em horas. Sabendo que T(t) = - 2t2 + 18t + 25, sendo o intervalo do tratamento de 0 a 10 horas, para qual intervalo de tempo a temperatura é maior ou igual a 25 °C? a) 0 ≤ t ≤ 10 b) 9 ≤ t ≤ 10 c) 5 ≤ t ≤ 10 d) 0 ≤ t ≤ 9 e) 6 ≤ t ≤ 10 06. (UEPI-PI) O lucro mensal de uma fábrica é dado por L(x) = –x2 + 60x – 10 onde x é a quantidade mensal de unidades fabricadas e vendidas de um certo bem, produzido por esta empresa e L é expresso em Reais (Obs.: Real → unidade monetária). O maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter é dado por: a) R$ 890,00

0

y

x

V yv

xv

Ponto de mínimo

xv 0

y

V yv

Ponto de máximo

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b) R$ 910,00 c) R$ 980,00 d) R$ 1.080,00 e) R$ 1.180,00 07. (EsPCEX) Um curral retangular será construído aproveitando-se um muro pré-existente no terreno, por medida de economia. Para cercar os outros três lados, serão utilizados 600 metros de tela de arame. Para que a área do curral seja a maior possível, a razão entre as suas menor e maior dimensões será: a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,25 08 Um artesão produz lembranças que vende a turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele sabe, por experiência, que seu lucro mensal é obtido da expressão L(x) = 400(15 – x)(x – 3). Determine, em reais, o preço pelo qual ele deverá vender cada lembrança para obter o maior lucro mensal possível, está compreendido no intervalo 9 ≤ x ≤ 20 . 09. (UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um terreno retangular à plantação de mudas. Para limitar o terreno, deverá estender 1000 m de tela ao longo de três de seus lados, o quarto lado coincidirá com um muro reto. Nestas condições calcule, em metros quadrados, a maior área possível de ser limitada. 10.. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t. a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola? 11. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = - x2 + 30x - 5, onde x é a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível? 12. (Unifor-CE) Considere dois números reais tais que a soma de um deles com o triplo do outro é igual a 48. O valor máximo que se pode obter para o produto desses números é: a) 186 b) 192 c) 224 d) 236 e) 252 13. (FAE-PR) Para se produzir “x” unidades de um certo produto, uma empresa tem como expressar o seu custo por C(x) = x2 - 50 x + 2500. Analise as proposições a seguir: I. A empresa deve produzir 25 unidades para que o custo seja mínimo. II. O custo mínimo da empresa é de R$ 2500,00.

III. O custo de produção de 10 unidades é maior que o custo de produção de 30 unidades. Assinale a alternativa correta: a) Apenas I está correta. b) Apenas I e II estão corretas. c) Apenas I e III estão corretas. d) Apenas II e III estão corretas. e) Todas estão corretas. 14. (UF-PR) Um grupo de funcionários vai viajar para participar de um congresso. Eles tiveram a idéia de fretar um ônibus no qual todos viajariam juntos e cada um pagaria o preço do fretamento dividido pelo número de pessoas. Ao pesquisar os preços, descobriram que uma empresa de turismo só aceitava grupos de 15 a 40 passageiros para cada ônibus, e calculava o preço (em reais) do fretamento do ônibus pela fórmula p(x) = – x2 + 70x + 50, onde x representa o número de passageiros. Considere as seguintes afirmações a respeito dos preços nessa empresa. I. Se viajarem 40 pessoas, cada pessoa pagará mais de R$ 30,00. II. Se viajarem 30 pessoas, o preço do fretamento será menor do que o preço correspondente a 40 pessoas. III. Existe um número x de pessoas para o qual o preço do fretamento é igual a R$ 1.150,00. Assinale a alternativa correta. a) a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente a afirmativa II é verdadeira. c) Somente a afirmativa III é verdadeira. d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 15. (UEL-PR) Um agricultor precisa cercar um espaço reservado a uma horta com formato retangular. A cerca para três lados da horta custa R$ 40,00 o metro e a cerca para o quarto lado custa R$ 60,00 o metro. O agricultor dispõe de R$ 720,00 para gastar na cerca. Que dimensões ele deve dar a esse espaço para maximizar a sua área? a) 4,5m x 3m b) 5,4m x 3m c) 4,5m x 3,6m d) 5,4m x 3,6m e) 6,1m x 3,2m 16. (UFRG) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y=-40x2+200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a: a) 6,25 m, 5s b) 250 m, 0 s c) 250 m, 5s d) 250 m, 200 s e) 10.000 m, 5s 17. (FCC/2008-PREFEITURA/SALVADOR) Durante um treinamento da guarda municipal, uma bola foi lançada verticalmente para cima a partir do solo. A relação entre a altura h da bola em relação ao solo (em metros) e o tempo t (em segundos) respeita a equação h(t) = 5t2 + 10t. Depois de quantos segundos, contados a partir do lançamento, a bola retorna ao solo?

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a) 3,5 b) 3,0 c) 2,5 d) 2,0 e) 1,5

GABARITO 01 B 02 B 03 A 04 E 05 D 06 A 07 B 08 Correta 09 125 000 10 4 e 16 11 220 12 B 13 C 14 A 15 C 16 C 17 D

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

É toda a equação do tipo x x1 2a = a , em que

a base é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2 variáveis reais.

Procedimento para resolver uma equação

exponencial

x x1 2a = a

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→/ /

simplifique a basex x e iguale os expoentes1 2a = a x = x1 2

PROPRIEDADES Produto de potências de mesma base O produto de duas ou mais potências de

mesma base é uma potência da mesma base, cujo expoente é a soma dos expoentes dos fatores.

Para duas bases:

nmanama +

=⋅ Para três bases:

pnmapanama ++

=⋅⋅ E, assim por diante P.ex.:

1) 7b43

b4b2b =+

=⋅

2) 9x45

x4x5x =+

=⋅ Divisão de potências de mesma base A divisão de duas ou mais potências de mesma

base é uma potência da mesma base, cujo expoente é a diferença do(s) expoente(s) numerador(es) pelo(s) expoente(s) do(s) denominador(es)..

Para uma base no numerador e uma no denominador:

nma

na

ma −=

P.ex.:

1) 1x45

x4x

5x=

−=

2) 435

a4a

35a4a

3a5a −+=

+=

⋅=

= 4a4-8

a = Expoente zero A potência de expoente zero provém da divisão de

potências de mesma base, e expoente de cada base, iguais entre si.

Pela regra da divisão de mesma base, temos:

0annana

na=−=

Quando o numerador e o denominador forem

iguais, o quociente é igual a 1.

1na

na=

Comparando os dois resultados, concluímos que:

10a = . Restrição em potência 00 = é uma indeterminação (seu valor não fica

definido) P.ex.:

1) 10(ab)33(ab)3(ab)

3(ab)==−= , para “ab”

diferente de zero. Potência de uma potência Toda a potência cujo expoente é um produto de

dois ou mais fatores, pode ser transformada numa

BB Extensiva 05



25

potência de potência, onde os expoentes são os dois ou mais fatores.

Com dois fatores no expoente

n)m(anm

a =⋅

Com três fatores no expoente

p)n)m((apnm

a =⋅⋅

E, assim por diante PROPRIEDADES DAS RADICIAÇÕES . Expoente fracionário ( igual a raiz )

Raiz de índice n de uma potência de expoente m Caso em que o índice n é diferente do expoente m

do radicando. Para extrair a raiz n de uma potência m, divide-se

o expoente da potência (radicando) pelo índice n da raiz.

nan am

m = .

Raiz de índice n de uma potência de expoente n Caso em que o índice n é igual ao expoente n do

radicando. Para extrair a raiz n de uma potência de expoente

n, divide-se o expoente da potência pelo índice n da raiz.

a1ann

an na === PRODUTO )ba()ba( −⋅+ DA SOMA PELA

DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

O produto da soma pela diferença de dois termos

é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

2b2a)ba()ba( −=−⋅+

TESTES 1. Se 8x = 32, então x é igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4 2. Se 2x = 2048, então, x vale : a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19

3. A raiz da equação x x(7 - 2 10)(7 + 2 10) =9 é um número: a) irracional negativo b) irracional positivo c) par d) inteiro negativo e) inteiro positivo 4. (UFSC-SC) O valor de x que satisfaz a equação

125

185x5

124x5=+

− é:

5. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre: a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100 6. (FAE-PR) O montante da aplicação de um capital de R$ 100,00, por t anos, é dado pela expressão M(t) = 100 . (1,5)t. Sabendo-se que o montante obtido foi de R$ 337,50, o tempo durante o qual o capital ficou aplicado foi de: a) 9 meses; b) 12 meses; c) 18 meses; d) 24 meses; e) 36 meses.

GABARITO 01 B 02 B 03 E 04 -17 05 C 06 E

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Definição Chama-se logaritmo de um número N>0 numa

base a, com a>0 e a ≠ 1 , o expoente x a que se deve elevar a base a para que a potência obtida seja igual a N.

Simbolicamente

∴ xlog N = x a = Na Condição de existência

≠

N > 0 positivo

a > 0 e a 1

x qualquer valor real

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26

Propriedades

Mudança de base

log Nnovabaselog N =a log anovabase

Observe: I) A nova base deve ser positiva e diferente de um. II) O N continua sendo logaritmando e, o a passa

a ser logaritmando (deixa de ser base). EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS É toda a equação do tipo a 1 a 2log x = log x , em

que a base é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2 variáveis reais positivas.

Procedimento para resolver uma equação

exponencial

a 1 a 2log x = log x

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→/ /a 1 a 2log x = log x

simplifique os log e aiguale os logaritmandos x = x1 2

TESTE RESOLVIDO 1. Uma pessoa aplicou a importância de R$

500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? Resolução:

Nos casos envolvendo a determinação do tempo e

juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M =

C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500 C (capital) = 500 i (taxa) = 3,5% = 0,035 t = ? M = C * (1 + i)t 3500 = 500 * (1 + 0,035)t

3500/500 = 1,035t 1,035t = 7 Aplicando logaritmo log 1,035t = log 7 t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da

calculadora científica ) t * 0,0149 = 0,8451 t = 0,8451 / 0,0149 t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

TESTES 1. Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente: a) 2, 1 e -3 b) 1, 0 e -2 c) 3, 1 e -2 d) 4, -2 e -3 e) 3, 0 e -2 2. (UEPG-PR) A expressão

3 1010log0,00110log813

1log ++

vale:

a) -34

b) 34

c) -320

d) -321

e) -3

19

3. (FCC-TRF) Se x8

11x16 =− , então,

considerando log 2 = 0,30, o valor de log x é: a) −0,40 b) −0,20 c) −0,10 d) 0,20 e) 0,40 4. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale: a) 1,77 b) 1,41 c) 1,041 d) 2,141 e) 0,141 5. Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é: a) 376,29000 b) 188,15000 c) 1,9030900 d) 2,9818000 e) 2,0969100

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6. ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28 ? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 7. Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a: a) 0,6990 b) 0,6880 c) 0,6500 d) 0,6770 e) 0,6440 8. Sendo loga2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, o valor de loga

é: a) 0,62 b) 0,31 c) -0,48 d) 0,15 e) 0,14 9. Dado log 4 = 0, 602 , o valor de log 325 é: a) 15,050 b) 13,725 c) 11,050 d) 9,675 e) 7,525 10. Se log 5 = 0,70 o valor de log 250 é: a) 2,40 b) 2,70 c) 2,80 d) 3,40 e) 3,80 11. Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log23 é: a) 1,6 b) 0,8 c) 0,625 d) 0,5 e) 0,275 12. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o log 9.000 é: a) 3,459 b) 3,594 c) 3,954 d) 5,493 e) 5,943 13. (FGV) Sabendo que log2 = 0,30, assinale a melhor aproximação da solução da equação 2x = 80. a) 6,1 b) 6,3 c) 6,5 d) 6,6 e) 6,7 14. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o log 9.000 é: a) 3,459 b) 3,594 c) 3,954 d) 5,493 e) 5,943

15. (PUC-SP) log2,5log20log40log50 +++ é igual a: a) 1 b) 3 c) 5 d) 10 e) 1000 16. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então 32log vale

aproximadamente: a) 1,77 b) 1,67 c) 1,66 d) 1,75 e) 1,57 17. (FMTM-MG) A tabela indica aproximações com três casas decimais de dois números irracionais:

Utilizando propriedades de logaritmos e os valores da tabela, pode-se concluir que 1414 log é aproximadamente igual a: a) 0,210. b) 1,264. c) 1,564. d) 2,414. e) 3,150. 18. Valquíria aplicou R$ 5.000,00 em um tipo de aplicação que rendeu juros a uma taxa de 8% ao mês sob regime de capitalização composta, capitalizado mensalmente. Se o montante foi de R$10.794,62, quanto tempo durou essa aplicação? Considere dados: log(2,1589) = 0,3342 e log(1,08) = 0,0334 19. Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado a uma taxa mensal de 5% ao mês por um determinado período. Se os juros recebidos foram de R$ 538,77 por quanto tempo esse capital permaneceu empregado? Considere o regime de capitalização composta e capitalização mensal. Considere dados: log(1,2155) = 0,0845 e log(1,05) = 0,0211 20. Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5% capitalizados mensalmente, no regime de juros compostos. Quanto tempo INTEIRO após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? Considere dados: log 1,035 = 0,0149 e log 7 = 0,8451

GABARITO 01 C 02 C

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28

03 A 04 A 05 E 06 B 07 A 08 A 09 E 10 A 11 A 12 C 13 B 14 C 15 C 16 E 17 E 18 10 m 19 4 m 20 56 m SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) DEFINIÇÃO: Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de

números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último termo an, é uma progressão aritmética (PA), se a diferença entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (resto) constante real, denominado razão ( r ) da progressão.

r = a 2 - a 1 r = a 3 - a 2 r = a 4 - a 3

. . . . . . . . .

r = a n - a n-1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Verificar se a seqüência (2, 4, 6, 8, 10) é uma

progressão aritmética (PA) de razão 2. Resolução r = a 2 - a 1 = 4 – 2 = 2 r = a 3 - a 2 = 6 – 4 = 2 r = a 4 - a 3 = 8 – 6 = 2 r = a 5 - a 4 = 10 – 8 = 2 A constante 2, obtida pela diferença, conforme

mostra quadro, define a seqüência como uma progressão aritmética (PA) de razão.

FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r ) r = a n+1 -

a n

Para todo o n pertencente aos naturais positivos

CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Seja r a razão de uma progressão aritmética (PA),

temos que:

1 PA estritamente crescente r > 0 2 PA estritamente decrescente r < 0 3 PA constante r = 0

TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO

ARITMÉTICA (PA) A definição de progressão aritmética (PA), sugere

que:

a 2 = a 1 + 1r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a 6 = a 1 + 5r e assim sucessivamente

Generalizando para termo de ordem n (n = ao

número de termos da progressão), temos a fórmula geral:

a n = a 1 + ( n - 1 ).r

Podemos ter um termo de ordem n relacionado

com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abrangente, é:

a n = a k + ( n - k ).r

Por exemplo: 01. Na seqüência (10, 6, 2, ...), calcular o décimo

termos. Resolução:

a n = a 1 + ( n-1 )r a 10 = a 1 + (10 - 1)r a 10 = 10 + 9(-4) a 10 = 10 - 36 a 10 = -26

r=a2-a1=6-10 = -4

PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM TRÊS

TERMOS Forma simplificada para a representação de uma

progressão aritmética com três termos em duas variáveis.

( x - r , x , x + r )

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO

ARITMÉTICA Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão

aritmética e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an .

Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão aritmética.

⋅1 nn

(a + a )S = n2

n é igual ao número de termos somados.

BB Extensiva 05



29

an é o último termo.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de

progressão aritmética (2, 5, 8, ...). Resolução: I) Dados para cálculo da soma: a1=2, n=20 e a20

não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II. II) Pela fórmula do termo geral,

a n = a 1 + ( n-1 )r

a 20 = a 1 + ( 20-1 )r a 20 = 2 + 19x3 a 20 = 2 + 57 a 20 = 59

r=a2-a1=5-2=3

II) A soma dos 20 primeiros termos, S20.

⋅1 nn

(a + a )S = n2

20(2 + 59)S = × 20

2

20S = 61×10

20S = 610

TESTES 1. Complete as seqüências a seguir, mantendo a formação lógica. a) ( 2, 4, 6, 8, a5, a6, a7, a8 ) b) ( 35, 30, 25, 20, a5, a6, a7, a8 ) c) ( 8, 8, 8, 8, a5, a6, a7, a8 ) 2. (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) “Modelo de Gestão do abastecimento está preparado para a expansão da Petrobras (...)A carga a ser processada nas refinarias da Petrobras no Brasil e no exterior deverá passar dos atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 milhões em 2012 (...).” Notícia publicada em 07 maio 2008. Disponível em: http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/ Se, de 2008 a 2012, a carga processada diariamente pelas refinarias da Petrobras aumentar, anualmente, em progressão aritmética, quantos milhões de barris diários serão produzidos em 2011? a) 2,100 b) 2,125 c) 2,200 d) 2,250 e) 2,375 3. (PUC-MG) Acompanhando o desenvolvimento de uma população de vírus, certo biólogo montou a seguinte tabela, que apresenta o número de vírus ao final de cada um dos 5 primeiros minutos:

Supondo-se que o ritmo de crescimento dessa população tenha continuado a obedecer a essa mesma lei, então o biólogo concluiu que na etapa correspondente a 50 minutos a população, era: a) 87 b) 90 c) 197 d) 200 4. (CESGRANRIO) Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? a) 90 b) 142 c) 220 d) 229 e) 232 5. (NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º termo excede o 2º em 27. Sabendo-se que o 5º termo é 14, então o 12º é: a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37 6. (PUC-RS) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui: a) R$ 200,00 b) R$ 180,00 c) R$ 150,00 d) R$ 120,00 e) R$ 100,00 7. Determine o sexto termo de uma seqüência em que a1 = 2 e a10 = 47. 8. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) Uma empresa de propaganda instalou dois painéis em uma estrada, o primeiro no km 78 e o segundo no km 246. A mesma empresa pretende instalar outros 7 painéis entre esses dois, de modo que a distância entre dois outdoors consecutivos seja sempre a mesma. Qual será, em km, essa distância? a) 21 b) 24 c) 26 d) 28 e) 31 9. (UFF-RJ) Uma certa quantidade de latas de atum vai ser disposta em uma pilha de 30 camadas, conforme a figura abaixo.

BB Extensiva 05



30

30 c

amad

as

Determine a quantidade de latas da pilha. 10. (Unifor-CE) Em um restaurante, os preços de três pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro prato custam juntos: a) R$ 54,00 b) R$ 60,00 c) R$ 66,00 d) R$ 68,00 e) R$ 70,00 11. Determinar x tal que 2x-3, 2x+1, 3x+1, sejam três termos de uma progressão aritmética. 12. (UEPI-PI) A seqüência (s – 1, 3s – 1, s – 3), onde s é um real, é, nesta ordem, uma Progressão Aritmética de 3 termos. A soma dos termos extremos de tal PA é igual a: a) 5 b) 3 c) 0 d) –3 e) –5 13. (UFAM-AM) Durante 13 dias, um automóvel é submetido a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele percorre 30 km; no segundo, 45 km; no terceiro, 60 km; e assim sucessivamente, até o último

dia, quando percorre x km. Então 10x .

a) 35 b) 30 c) 45 d) 60 e) 21 14. (Unifor-CE) Em uma progressão aritmética em que a2 3= e a3 2= , é verdade que a) a5 1= − b) a10 6= − c) a15 15= − d) a50 45= − e) a100 99= − 15. (Mackenzie-SP) A seqüência de números reais, com 12 termos, (89, a, b, c, ..., p, 45) é uma progressão aritmética cujo oitavo termo vale: a) 57

b) 59 c) 61 d) 63 e) 65 16. (FCC) Assinale a opção que apresenta corretamente o oitavo termo de uma PA onde a 5 = 6 e a 17 = 30. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 17 Durante uma feira agropecuária foi realizada uma campanha para arrecadar alimentos para famílias pobres. No primeiro dia foi arrecadado x Kg de alimentos, no segundo dia o dobro de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; no terceiro dia o triplo de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias foi arrecadado um total de 73 500 Kg. A quantidade de Kg arrecada no primeiro dia foi de: a) 150 Kg b) 200 Kg c) 250 Kg d) 300 Kg e) 350 Kg 18. (Unifesp-SP) A soma dos termos que são números primos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3n + 2 , para n natural, variando de 1 a 5, é: a) 10. b) 16. c) 28. d) 33. e) 36. 19. (UEPB-PB) Com o intuito de atrair mais clientes, um estacionamento de veículos adotou a seguinte regra de pagamento para as primeiras 10 horas: 1ª hora: valor a pagar R$ 3,00 2ª hora: valor a pagar R$ 2,50 A partir daí, cada hora terá um desconto de R$ 0,20. Quanto pagará um cliente se estacionar o seu carro por 8 horas? a) R$ 10,00 b) R$ 15,00 c) R$ 14,50 d) R$ 16,30 e) R$ 19,20 20. (UFAM-AM) A soma dos múltiplos de 4 compreendidos entre 78 e 159 é: a) 2835 b) 2630 c) 2360 d) 2941 e) 2036 21. (UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre 1895 e 2102 é: a) 50 b) 47 c) 48 d) 49 e) 51

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31

22. (CESGRANRIO) Leonardo queria jogar “bolinhas de gude” mas, como não tinha com quem brincar, pegou suas 65 bolinhas e resolveu fazer várias letras “L” de tamanhos diferentes, seguindo o padrão apresentado abaixo.

Leonardo fez o maior número possível de “L” e, assim, sobraram n bolinhas. O valor de n foi igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 23. (Unifor-CE) Maria tem uma dívida de R$ 540,00 e pretende saldá-la pagando R$ 50,00 no 1o mês, R$ 55,00 no 2o mês, R$ 60,00 no 3o mês e assim, sucessivamente, aumentando o pagamento em R$ 5,00 a cada mês. A sua dívida estará totalmente paga no a) 14o mês. b) 12o mês. c) 10o mês. d) 8o mês. e) 6o mês. 24. Em janeiro depositei R$ 100,00 no banco, em fevereiro, R$ 200,00, em março, R$ 300,00, e assim sucessivamente, aumentando R$ 100,00 a cada mês nos depósitos, sem falhar em nenhum deles. Terei depositado R$ 66 600,00 ao final do período de três anos, se mantiver esse mesmo procedimento. 25. (UEPB-PB) Considerando quadrados de mesma área, com 4 palitos de fósforos formamos um quadrado, com 7 palitos de fósforo dois quadrados, com 10 palitos de fósforos 3 quadrados, … Então, com 40 palitos formamos: a) 15 quadrados b) 13 quadrados c) 19 quadrados d) 11 quadrados e) 10 quadrados 26. (FAE-PR) Um maratonista inicia um treinamento para uma prova de 50 km, 40 semanas antes de sua realização. Na primeira semana de treinamento ele percorre 30 km. Na segunda semana ele percorre ½ km a mais que na semana anterior e assim sucessivamente. O maratonista: a) percorrerá 50 km no treino da 37ª semana; b) percorrerá 50 km no treino da 38ª semana; c) percorrerá 50 km no treino da 39ª semana; d) percorrerá 50 km no treino da 40ª semana; e) percorrerá 50 km no treino da semana da maratona. 27. (PUC-PR) Qual a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 1 e 100? a) 735 b) 742 c) 728 d) 749 e) 746

28. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura

Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía a) mais de 300 bolitas. b) pelo menos 230 bolitas. c) menos de 220 bolitas. d) exatamente 300 bolitas. e) exatamente 41 bolitas. 29. (Unifor-CE) Hoje, as idades de três irmãos, em anos, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 3. Se daqui a 5 anos, a soma de sua idades for igual a 57 anos, atualmente, a idade do mais a) velho é 18 anos b) jovem é 13 anos c) velho é 16 anos d) jovem é 11 anos e) velho é 14 anos 30. (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será : a) 101 b) 99 c) 97 d) 83 e) 81 31. (BACEN) A 11ª figura da seqüência abaixo terá: a) 10 quadradinhos pretos. b) 10 quadradinhos brancos. c) 22 quadradinhos pretos. d) 86 quadradinhos brancos. e) 110 quadradinhos brancos. 32. (PUC-MG) A soma de três números naturais em progressão aritmética é trinta; a diferença entre o maior e o menor destes números é doze. O menor termo dessa progressão é igual a:

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32

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 33. (Unifor-CE) Em um triângulo, as medidas dos ângulos internos estão em progressão aritmética. Se a menor dessas medidas é 10o, a maior delas é a) 90º b) 100º c) 110º d) 120º e) 130º 34. (CESGRANIO-BNDES) Quantos são os números inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são múltiplos de 5? a) 13 b) 16 c) 21 d) 26 e) 27 35. (UTFPR) A progressão aritmética (x, x + 2, x + 4, x + 6,...) tem a soma de seus 20 termos igual a 2780. Então, o valor de seu oitavo termo é: a) 124 b) 126 c) 134 d) 136 e) 240 36. (Unifor-CE) Um casal tem três filhos cujas idades estão em progressão aritmética. Se a soma dessas idades é 36 anos e o filho mais velho tem 16 anos, quantos anos tem o filho mais novo? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 37. (UFRJ-NCE) Uma PA crescente de 20 termos tem razão 3. A diferença entre o último e o terceiro termo é igual a: a) 17 b) 19 c) 36 d) 51 e) 54 38. (UFOP-MG) O primeiro termo de uma progressão

geométrica vale 41 e o segundo termo vale 2. O vigésimo

termo vale: a) 258 b) 255

c) 4

141

d) 2

67

39. (UFRR-RR) Os índios da aldeia Raposa Serra do Sol fizeram colares de contas coloridas para vender. Num período de 8 dias, fizeram 192 colares, sendo que

em cada dia fizeram 4 colares a mais que no dia anterior. O número de colares fabricados no último dia foi: a) 24 b) 30 c) 36 d) 38 e) 46 40. (Fatec-SP) Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo:

A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um evento e todas comparecerem, a) ficarão vagos 140 lugares. b) ficarão vagos 64 lugares. c) faltarão 44 lugares. d) faltarão 120 lugares. e) não sobrarão nem faltarão lugares. 41. (UFRJ-NCE) Uma prova de 50 questões objetivas foi elaborada de tal modo que o nível de dificuldade é crescente; assim, cada questão vale 2 pontos a mais que a questão anterior. Se o valor da primeira questão é 1, o número máximo de pontos que se pode obter nessa prova é: a) 1 300; b) 1 325; c) 2 475; d) 2 500; e) 2 525.

GABARITO 01 a) 10, 12, 14, 16 b) 15, 10, 5, 0 c) 8, 8, 8, 8 02 E 03 C 04 C 05 C 06 A 07 27 08 A 09 900 10 C 11 4 12 E 13 E 14 D 15 C 16 B 17 E 18 D 19 D 20 C 21 A 22 A 23 D

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33

24 C 25 B 26 E 27 A 28 B 29 D 30 A 31 E 32 C 33 C 34 D 35 C 36 B 37 D 38 B 39 D 40 C 41 D

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) DEFINIÇÃO: Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de

números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último termo an, é uma progressão geométrica (PG), se a divisão entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (quociente) constante real, denominado razão ( q ) da progressão geométrica.

2

1

aq =a

3

2

aq =a

4

3

aq =a

. . .

n

n-1

aq =a

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Verificar se a seqüência (2, 4, 8, 16, 32) é

uma progressão geométrica (PG). Resolução

4 22

= =2

1

aq =a

16 28

= =4

3

aq =a

8 24

= =3

2

aq =a

32 216

= =5

4

aq =a

A constante 2 obtida pela divisão, conforme

mostra quadro, define a seqüência como uma progressão geométrica (PG) de razão 2.

FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q )

n

n-1

aq =a

Para todo o n pertencente aos naturais positivos

CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA Seja q a razão de uma progressão geométrica

(PG), temos que: 1 PG estritamente

crescente a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1

2 PG estritamente decrescente

a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1

3 PG constante q = 1 4 PG alternante a1 ≠ 0 e q < 0

TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA (PG) A definição de progressão geométrica (PG),

sugere que:

a 2 = a 1 x q1 a 3 = a 1 x q2 a 4 = a 1 x q3 a 5 = a 1 x q4 a 6 = a 1 x q5 e assim sucessivamente

Generalizando para termo de ordem n (n = ao

número de termos da progressão), temos a fórmula geral:

a n = a 1 x q n-1

Podemos ter um termo de ordem n relacionado

com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abrangente, é:

a n = a k x q n-k

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Na seqüência (3, 6, 12, ...), calcular o décimo

termos. Resolução:

a n = a 1 x q n-1 a 10 = a 1 x(q) 10-1 a 10 = 3 x (2) 9 a 10 = 3 x 512 a 10 = 1536

r=a2/a1=6/ 3= 2

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM TRÊS

TERMOS Forma simplificada para a representação de uma

progressão geométrica com três termos em duas variáveis.

( xq

, x , ⋅x q )

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34

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA

Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão

geométrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an .

Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão geométrica finita.

n

1n

a (q - 1)S =q - 1

n é igual ao número de termos somados. an é o último termo.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de

progressão geométrica ( 1, 2, 4, ...). Resolução: I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=10 e a10

não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II. II) Pela fórmula do termo geral,

a n = a 1 x q n-1

a 10 = a 1 x q 10-1 a 10 = 1 x (2) 9 a 10 = 1 x 512 a 10 = 512

r=a2/a1=2-1=2

II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.

n

1n

a (q - 1)S =q - 1

10

n1×(2 -1)S =

2 -1

n1×(1024 -1)S =

2 -1

n1023S =

1

nS = 1023

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA INFINITA Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão

geométrica de razão –1<q<1e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... , temos uma forma simplificada para o somatório de qualquer seqüência infinita em PG, dada pela fórmula:

∞1aS =

1- q

∞ = símbolo que representa o infinito

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Calcular a soma dos termos da progressão

geométrica ( 1, 1/2, 1/4, ...). Resolução:

I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=∞ e a razão não foi fornecida, deverá ser calculado, veja item II.

II) Pela fórmula do termo geral,

12 1 1q = 11 2 2

x= =

II) A soma dos infinitos (∞ ) termos, S∞ , é:

∞1aS =

1- q

∞

1S = 11-2

∞

1S = 12

∞S = 2

TESTES 1. Complete as seqüências a seguir, mantendo a formação lógica. a) ( 2, 4, 8, 16, a5, a6, a7, a8 ) b) ( 729, 243, 81, 27, a5, a6, a7, a8 ) c) ( 3, 3, 3, 3, a5, a6, a7, a8 ) d) ( 2, -4, 8, -16, a5, a6, a7, a8 ) 2. (CESGRANRIO-TRANSPETRO-2008) Atualmente, Marcelo tem 12 anos e as idades de Pedro, Joana e Marcelo, em anos, formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. Qual será a idade de Joana quando Pedro estiver com 5 anos? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 3. (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 4. (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é:

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35

a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7 5. (CESGRANRIO-ANP-2008) Quando três números representam termos consecutivos de uma progressão geométrica, o termo do meio corresponde à média geométrica dos outros dois. Se a seqüência (x-1; x + 2; 2x- 4) é uma progressão geométrica crescente, o maior termo dessa progressão é igual a a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16 6. (EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de uma seqüência infinita é 4n2 + 6n, então a seqüência é uma a) seqüência limitada. b) progressão aritmética. c) progressão geométrica de razão 8. d) progressão geométrica decrescente. 7. A seqüência (x, 3, 7) é uma PA, e a seqüência ( x-1, 6, y) é uma PG. Quais são os valores de x e y? 8. (UF-MG) Os números 3, a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética cuja razão é positiva. Por sua vez, os números reais a, b e 8 são, nessa ordem termos de uma progressão geométrica. Determinando a e b, obtemos respectivamente: a) 9/2 e 6 b) 9 e 3 c) 3 e 9 d) 6 e 9 e) 9/2 e 3 9. (UDESC-SC) Três números formam uma progressão aritmética de razão 7 r = . Subtraindo-se uma unidade do primeiro termo, vinte unidades do segundo termo e trinta e uma unidades do terceiro termo, a seqüência resultante é uma progressão geométrica de razão: a) – 3 b) 1 c) 3

d) 31

−

d) e) 31

10. (Uniube-MG) O número que deve ser somado aos termos da seqüência (-2, 2, 14) para que esta se transforme numa progressão geométrica é: a) 5 b) 4 c) 2 d) –2 e) –4 11. Recreações matemáticas já apareciam no papiro de Ahmes (1650 a.C.). Aos fragmentos do problema 79 deste papiro associa-se a posterior versão da poesia infantil:

“Quando ia a Sto Ives, encontrei um homem com sete mulheres, cada mulher tinha sete sacos, cada saco tinha sete gatos, cada gato tinha sete gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos iam a Sto Ives?” (Do livro – História da matemática – Carl Boyer) A resposta correta a esta questão é:

a) 47 + 37 + 27 +7+1

b) 37 + 27 +7+1

c) ( 47 + 37 + 27 )7

d) ( 47 + 37 + 27 +7)7

e) 47 + 37 + 27 +7 12. (UFPR) Três pessoas se reuniram no dia 1º de janeiro de 2004 para iniciar uma ação de voluntariado junto a organizações de proteção ao meio ambiente. Em fevereiro, cada uma daquelas pessoas tinha conseguido a adesão de um novo voluntário. Observaram que tinham começado a aplicar uma boa estratégia para aumentar o grupo de voluntários e decidiram o seguinte: a cada mês, cada voluntário traria um novo voluntário para participar do grupo e, sempre que alguém desistisse, seria substituído. Assim, o total de voluntários no mês de janeiro de 2005, já incluídos os novos participantes do mês, será de: a) 3x212 b) 3+212 c) 3x211 d) 212 e) 311 13. Uma indústria produziu 74.400 unidades de certo produto num período de 5 anos. Supondo que a produção tenha dobrado a cada ano, o número de unidades produzidas nos dois primeiros anos, foi de: a) 7400 b) 7200 c) 4800 d) 3600 14. O financiamento de um carro foi feito nos seguintes moldes. Sem entrada e a primeira mensalidade de R$ 1,00, no segundo mês R$ 2,00, no terceiro mês R$ 4,00, e assim por diante até um total de 12 prestações. Qual é o custo final do carro. 15. (UEPB-PB) Os ângulos internos de um quadrilátero formam uma P.G. de modo que o último ângulo é quatro vezes maior que o segundo ângulo. A medida do menor desses quatro ângulos, em graus, é: a) 18 b) 26 c) 22 d) 20 e) 24 16. (UFAM-AM) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 37 500, e o quarto termo é igual a 20% do terceiro. Então o quinto termo da progressão é: a) 60 b) 12 c) 300

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d) 100 e) 20 17. (FCC) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é: a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7

18. (FCC) A seqüência (x, x – 4, 3

4–x , ...) é uma

progressão geométrica decrescente. O quarto termo dessa progressão é: a)2/3 b)4/9 c)1/3 d)2/9 e)1/9 19. (ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de água provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia. Como o orifício responsável pela perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi dobrando a cada dia, o número total de litros de água perdidos, até o 100 dia, foi de: a) 2046 b) 1024 c) 1023 d) 2048 e) 512 20. (UEPB-PB) Durante os sete dias destinados às inscrições de um concurso, o número de candidatos cresceu em progressão geométrica do primeiro ao sétimo dia. Sabendo que no 1º dia se inscreveram 2 candidatos e no sétimo dia 1.458, concluímos que o total de candidatos inscritos para o referido concurso foi de: a) 2.916 b) 1.460 c) 2.186 d) 1.458 e) 1.944

GABARITO 01 a) 32, 64, 128, 256 b) 9, 3, 1, 1/3 c) 3, 3, 3, 3 d) 32, -64, 128, -256 02 B 03 C 04 C 05 A 06 B 07 -1 e -18 08 E 09 E 10 B 11 E 12 A 13 B 14 4 095 15 E 16 A 17 C 18 D 19 A 20 C

ESTATÍSTICA INTRODUÇÃO A ESTATISTICA OBJETO DA ESTATÍSTICA Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e

apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na

medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.

Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher à amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os dados provêm.

FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS O que é Estatística? 1. É a ciência da tomada de decisão perante incertezas; 2. Coleta, análise e interpretação de dados; Definições Básicas da Estatística 2) dado estatístico: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os métodos

estatísticos.

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37

3) população: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum. 4) amostra: é uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de tirarmos conclusões

sobre a essa população. 5) parâmetros: São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la.Para definirmos

um parâmetro devemos examinar toda a população. 6) estimativa: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra. 7) atributo: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos

necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo. 8) variável: É, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Variável Qualitativa: Quando seus valores são expressos por atributos Variável Quantitativa: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui

uma estrutura numérica, trata-se, portanto da estatística de variável e se dividem em: Variável Discreta ou Descontínua: Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não

negativos. Resultante normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos presentes às aulas de estatística no 1º semestre de 2009: mar = 18, abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.

Variável Contínua: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo.

SÉRIES ESTATÍSTICAS TABELA: Resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática. De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar: • um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; • três pontos ( ... ) quando não temos os dados; • zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; • um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto. É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local

ou da espécie. Séries Homógradas: são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser

do tipo temporal, geográfica ou específica. a) Série Temporal: Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são

elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva.

INFORMÁTICA ENTER LTDA Vendas no 1º bimestre de 2009

PERÍODO

UNIDADES

VENDIDAS *

JAN/2009 2 0 FEV/2009 1 0 TOTAL 3 0

* Em mil unidades . b) Série Geográfica: Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) são

elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização.


FILIAIS

UNIDADES

VENDIDAS *

São Paulo 1 3 Rio de Janeiro 1 7 TOTAL 3 0

* Em mil unidades

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38

c) Série Específica: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica. INFORMÁTICA ENTER LTDA Vendas no 1º bimestre de 2009


MARCA

UNIDADES

VENDIDAS *

FIAT 1 8 GM 1 2 TOTAL 3 0

* Em mil unidades Séries Conjugadas: Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à apresentação de duas ou

mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica-temporal.

INFORMÁTICA ENTER LTDA Vendas no 1º bimestre de 2009 FILIAIS Janeiro/2009 Fevereiro/2009 São Paulo 1 0 3 Rio de Janeiro 1 2 5 TOTAL 2 2 8

* Em mil unidades 1. DADOS NÃO AGRUPADOS (OU NÃO TABULADOS) E SEM INTERVALO DE CLASSE 1.1. EXEMPLO DE TABELA COM DADOS NÃO AGRUPADOS E SEM INTERVALO DE CLASSE A característica que define o tipo de tabela é a ausência da coluna da freqüência absoluta.

Ordem Áreas Dados i xi 1 Agrárias 145 2 Artes 112 3 Biológicas 708 4 Exatas 794 5 Humanas 2.883 Total 4.642

ou seja, a freqüência absoluta fi de cada dado xi é unitária.

Ordem Áreas Dados Freqüência relativa

Freqüência Acumulada

i xi fi Fi 1 Agrárias 145 1 1 2 Artes 112 1 2 3 Biológicas 708 1 3 4 Exatas 794 1 4 5 Humanas 2.883 1 5 Total 4.642

Frequências absolutas ou simples (fi): É a quantidade de vezes que cada elemento x se repete. Frequência acumulada (Fi): É o acumulo dos valores de uma freqüência absoluta (ou simples) com o(s) da(s) linha(s)

das freqüências absolutas (ou simples) precedentes. Assim: F1 = f1 F2 = f2 + f1 F3 = f3 + f2+ f1 F4 = f4 + f3+ f2+ f1 E assim até a última ordem.

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39

1.2. PRODEDIMENTOS PARA CÁLCULOS DA MÉDIA, MEDIANA, MODA, VARIÂNCIA E DISVIO PADRÃO.

CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA População Amostra

Passo 1 Somatório das frequências absolutas f ( para o passo 3, 7 e 8) ∑= ifN

∑= ifn

Passo 2 Somatório dos dados x

( para o passo 3) ∑ i

x

∑ ix

Passo 3 FÓRMULA Para obter a média aritmética N

ixµ

∑=

nix

x∑

=

CÁLCULO DA VARIÂNCIA População Amostra

Passo 4 Desvio (para o passo 5) )

ix- µ( )

ix- x(

Passo 5 Desvio ao quadrado (para o passo 6)

2)i

x- µ( 2)i

x- x(

Passo 6 Somatório do passo 5 (para o passo 7 e 8) ∑ 2)

ix- µ(

∑ 2)

ix- x(

Passo 7

FÓRMULAS Variância

N

2)ix- µ(2σ∑

= 1-n

2)ix- x(2s∑

=

CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO População Amostra

Passo 8

FÓRMULAS Desvio padrão

N

2)ix- µ(σ

∑=

1-n

2)ix- x(s

∑=

MEDIANA “Md” ou “ x md” A mediana x divide um conjunto de elementos ao meio Para calcular a mediana x de um conjunto de dados não agrupados (ou não tabulados), proceda assim: • Ordene os elementos (em ordem ou crescente ou decrescente) • Se N (população) ou n (amostra) for ímpar, a mediana x é o termo central. • Se N (população) ou n (amostra) for par, a mediana x é a média aritmética dos dois termos centrais. MODA “Mo” ou “ x mo” A moda de um conjunto de elementos é o elemento x que ocorre com maior freqüência. Analisando um conjunto de elementos para identificar a moda, pode ocorrer: • Se nenhum elemento x do conjunto de elementos se repete, o conjunto de elementos não possui moda (caso

amodal). • Se um elemento x ocorre com maior freqüência, este x será a moda (caso unimodal). • Se dois elementos x do conjunto de dados ocorrem com a mesma maior freqüência, este conjunto de elementos

terá dois elementos x como modas (caso bimodal). • Se três elementos x do conjunto de elementos ocorrem com a mesma maior freqüência, este conjunto de

elementos terá três elementos x como modas (caso trimodal). Logo, um conjunto de elementos poderá ter não ter moda, ter uma, duas, três ou muitas modas. Se mais de três é

dita multimodal.

TESTES 1. Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família durante os 5 primeiros meses de 2003.

Meses Consumo (m3) Janeiro 12,5 Fevereiro 13,8 Março 13,7 Abril 11,4 Maio 12,1

O consumo mensal médio dessa família durante os 5 meses foi: a) 11,3 m3 b) 11,7 m3 c) 12,7 m3 d) 63,5 m3 e) 317,5 m3

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2. (ICMS-MG) As alturas dos jogadores de basquete da Seleção Brasileira são 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02 m e 2,05 m. A média de altura dessa seleção, em m, é de: a) 2,01 b) 2,02 c) 2,03 d) 2, 04 e) 2,05 3. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula de um curso da UFPR, verificou-se que a média das idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram, considerados apenas os anos completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenação do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu? a) 41 anos b) 25 anos c) 29 anos d) 33 anos e) 37 anos 4. Manoel e Maria, prestaram o vestibular e obtiveram os seguintes resultados:

Matéria Manoel Maria Matemática 9,0 9,0 Física 9,0 6,0 Química 8,0 6,0 Biologia 5,0 6,0 Português 5,0 8,0 História 5,0 7,0 Geografia 6,0 7,0 Inglês 7,0 6,0

Qual é a média de notas de cada um? 5. (ESAF-MPOG) A média aritmética entre as idades de Ana, Amanda, Clara e Carlos é igual a 16 anos. As idades de Ana e Amanda são, respectivamente, iguais a seis e oito anos. Paulo, primo de Ana, é quatro anos mais novo do que Carlos. Jorge, irmão de Amanda, é oito anos mais velho do que Clara. Assim, a média aritmética entre as idades de Jorge e Paulo é, em anos, igual a a) 20. b) 13. c) 24. d) 27. e) 38. 6. A média aritmética de 6 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 18. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: a) 93 b) 98 c) 103 d) 108 e) 113 7. Sabe-se que a média aritmética de 6 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 15. Então o maior valor que um desses inteiros pode assumir é: a) 51 b) 59 c) 67 d) 75 e) 83 8. O gasto com energia elétrica de uma família nos três primeiras meses do ano foi:

Janeiro R$ 127,13 Fevereiro R$ 203,49 Março R$ 94,03

Então a média do gasto neste trimestre foi de: a) R$ 141,55 b) R$ 142,55 c) R$ 143,55 d) R$ 144,55 e) R$ 145,55

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9. (PUC-SP) A média aritmética de um conjunto de 12 números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a média aritmética dos restantes é: 10. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10 A mediana é : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 11. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10 A moda é : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 12. (SANTA CASA) A média aritmética dos elementos de um conjunto de 28 números é 27. Se retirarmos desse conjunto três números, de valores 25, 28 e 30, a média aritmética dos elementos do novo conjunto é: 13. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula de um curso da UFPR, verificou-se que a média das idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram, considerados apenas os anos completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenação do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu? a) 41 anos b) 25 anos c) 29 anos d) 33 anos e) 37 anos 14. (ESAF-MRE) Se a média aritmética dos números 6, 8, X e Y é igual a 12, então a média aritmética dos números (X + 8) e (Y - 4) será: a) 9,5 b) 13 c) 19 d) 20 e) 38 15. (ICMS-MG) O desvio padrão do conjunto de dados A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a: a) 1,25 b) 1,5 c) 2,0 d) 3,0 e) 4,0 16. (UFRJ-NCE) A tabela a seguir fornece a cotação diária de venda e compra do dólar, em reais, referente aos 6 primeiros dias úteis de outubro de 2005.

Data Venda Compra 3/out 2,229 2,227 4/out 2,261 2,259 5/out 2,268 2,266 6/out 2,293 2,291 7/out 2,250 2,248 10/out 2,238 2,236

As cotações medianas de venda e compra do dólar para esses dias foram, respectivamente: a) 2,2555 e 2,2535; b) 2,2565 e 2,2545; c) 2,2680 e 2,2660; d) 2,2805 e 2,2785; e) 2,2930 e 2,2910. 17. (UFRJ-NCE) A média aritmética dos pesos de dezenove pessoas que entraram num elevador é igual a 70kg. Se entrar mais uma pessoa, que pesa 82 kg, a nova média dos pesos das vinte pessoas, em kg, será igual a: a) 80,2; b) 76,3;

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c) 72,0; d) 71,2; e) 70,6. 18. (UFRJ-NCE) A média aritmética obtida a partir de um conjunto de 10 números é M. Se acrescentarmos dois números, a e b, a esse conjunto, a nova média será:

a) 12

M10b10a ++

b) 12

Mba 10++

c) 12

Mba ++

d) 3

Mba ++

e) 3

Mba 10++

19. (FGV-SP) Considere n números reais não nulos x1, x2, x3, …, xn. Em que condição a variância desses números é nula? Justifique. 20. (ENEM) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada.

A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de: a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h 21. (VUNESP) O gráfico ilustra o movimento das vendas da loja de roupas infantis no segundo semestre de 1999:

Média aritmética de n números é o quociente da soma dos n números por n. Qual foi o lucro médio mensal, aproximadamente, no segundo semestre? a) R$ 1 900,00 b) R$ 1 600,00 c) R$ 1 300,00 d) R$ 1 000,00

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22. (EU-RJ) Seis caixas d’água cilíndricas iguais estão assentadas no mesmo piso plano e ligadas por registros (R) situados nas suas bases, como sugere a figura abaixo:

Após a abertura de todos os registros, as caixas ficaram com os níveis de água no mesmo plano. A altura desses níveis, em dm, equivale a: a) 6,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 7,5 23. (CESGRANRIO-ANP) Pedro fez três avaliações de Matemática e obteve notas 6,7, 5,8 e 7,6. Ele fará mais uma avaliação e sua média final será a média aritmética dessas quatro notas. Qual é a nota mínima que Pedro deverá obter na quarta prova para que sua média final seja igual ou superior a 7,0? a) 7,3 b) 7,5 c) 7,7 d) 7,9 e) 8,1 24. (UFRN-RN) Uma prova foi apl icada em duas turmas dist intas. Na pr imeira, com 30 alunos, a média aritmética das notas foi 6,40. Na segunda, com 50 alunos, foi 5,20. A média aritmética das notas dos 80 alunos foi: a) 5,65 b) 5,70 c) 5,75 d) 5,80 (CESPE) Tabela a seguir será usada para os próximos dois testes

Tendo como referência a figura acima, que mostra os valores das taxas de juros anuais, em dois anos consecutivos, denominados anterior e atual, em 10 países, julgue os itens seguintes. 25. (CESPE-BB) O valor médio das taxas atuais dos 10 países em questão é inferior a 5%.

26. (UNICAMP-SP) Para um conjunto X={x1, x2, x3, x4} a média aritmética de X é definida por: 4

4x3x2x1xx

+++= e

a variância de X é definida por: 1 2 2v = (x - x) + ... + (x - x)414⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Dado o conjunto X={ 2, 5, 8, 9} e 2,77,5 ≅ , pede-se: a) Calcular a média aritmética de X.

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b) Calcular a variância de X. c) Desvio padrão

GABARITO 01 C 02 C 03 A 04 a)Manoel 6,75 e Maria 6,875 05 D 06 A 07 D 08 A 09 7 10 B 11 2 12 26,92 13 14 C 15 C 16 A 17 E 18 B 19 x1 = x2 = x3 = … = xn = x 20 B 21 B 22 C 23 D 24 A 25 E 26 a) 6,0

b) 7,5 c) 7,5

2. PARA DADOS AGRUPADOS (OU TABULADOS) E SEM INTERVALO DE CLASSE 2.1. EXEMPLO DE TABELA COM DADOS AGRUPADOS E SEM INTERVALO DE CLASSE As características que definem o tipo de tabela são: A presença da coluna da freqüência absoluta. A necessidade deste registro se dá porque pelo menos uma dos

elementos tem freqüência absoluta fi maior que um. Os elementos x que não estão referenciados a um intervalo. Podem ser conhecidos pela simples inspeção na tabela.

Ordem Dados Freqüência absoluta

Freqüência acumulada

i xi fi Fi 1 2 4 4 2 3 7 11 3 4 5 16 4 5 2 18 5 6 1 19 6 7 1 20 20

Frequências absolutas ou simples (fi): É a quantidade de vezes que cada elemento x se repete. Frequência acumulada (Fi): É o acumulo dos valores de uma freqüência absoluta (ou simples) com o(s) da(s) linha(s)

das freqüências absolutas (ou simples) precedentes. Assim: F1 = f1 F2 = f2 + f1 F3 = f3 + f2+ f1 F4 = f4 + f3+ f2+ f1 E assim até a última ordem.

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2.2. PRODEDIMENTOS PARA CÁLCULOS DA MÉDIA, MEDIANA, MODA, VARIÂNCIA E DISVIO PADRÃO. CÁLCULO DA MÉDIA PONDERADA População Amostra

Passo 1 Somatório das frequências absolutas ( para o passo 4, 9 e 10) ∑= ifN

∑= ifn

Passo 2 Obter o produto do elemento x pela freqüência absoluta f. (para o passo 3)

ifix ⋅ ifix ⋅

Passo 3 Somatório dos elementos (para o passo 4) i

fi

x ⋅∑ i

fi

x ⋅∑

Passo 4 FÓRMULA Para obter a média ponderada

Nifix

µ∑ ⋅

= n

fixx

∑ ⋅=

CÁLCULO DA VARIÂNCIA População Amostra

Passo 5 Desvio (para o passo 6) )

ix- µ( )

ix- x(

Passo 6 Desvio ao quadrado (para o passo 7)

2)i

x- µ( 2)i

x- x(

Passo 7 Obter o produto do passo 6 pela freqüência f. (para o passo 8 ) i

f2)i

x- µ( ⋅ if2)

ix- x( ⋅

Passo 8 Somatório do passo 7 (para o passo 9 e 10) i

f2)i

x- µ( ⋅∑ i

f2)i

x- x( ⋅∑

Passo 9

FÓRMULAS Variância

Nif

2)ix- µ(2σ∑ ⋅

=

1-n

if2)ix- x(2s

∑ ⋅=

CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO População Amostra

Passo 10

FÓRMULAS Desvio padrão

Nif

2)ix- µ(σ

∑ ⋅=

1-n

if2)ix- x(

s∑ ⋅

=

MEDIANA “Md” ou “ x md” A mediana x divide um conjunto de elementos ao meio Para calcular a mediana x de um conjunto de dados agrupados (ou tabulados) e sem intervalo de classe, proceda

assim: i) Preencha a fila da freqüência acumulada absoluta (Fi). ii) Divida N (população) ou n (amostra) por 2.

iii) Se o resultado da divisão 2

N (população) ou

2

n (amostra) é exatamente igual a uma das freqüências acumuladas

(Fi) registrada na tabela, segue orientação:

A mediana x é a média aritmética entre xi que está na fila da freqüência acumulada (Fi) igual a divisão i

F2

N=

(população) ou i

F2

n= (amostra), pelo valor xi+1 que está na fila da freqüência acumulada imediatamente superior (Fi +1).

21ixix

Md ++=

iv) Se o resultado da divisão 2

N (população) ou

2

n (amostra) é diferente dos valores das freqüências acumuladas

(Fi) registradas na tabela, segue a orientação: A mediana é o elemento x que está na fila da freqüência acumulada (Fi) de valor imediatamente superior que o da

divisão i

F2

N< (população) ou

iF

2

n< (amostra),

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MODA “Mo” ou “ x mo” Analisando um conjunto de elementos, e identificada a maior freqüência absoluta (fi), esta será a classe modal.

Segue as orientações para determiná-la: i) A moda de um conjunto de elementos agrupados (ou tabulados) é variável x que está na fila da maior freqüência

absoluta (fi). ii) Se existir uma única freqüência absoluta (fi) de valor maior, a variável x correspondente a respectiva freqüência é

a moda (caso umodal). iii) Se existirem duas freqüências absolutas (fi) de valor maior e iguais entre si, as variáveis x correspondentes as

respectivas freqüências são as duas modas (caso bimodal). iv) Se existirem três freqüências absolutas (fi) de valor maior e iguais entre si, as variáveis x correspondentes as

respectivas freqüências são as três modas (caso trimodal). v) Se existirem mais de três freqüências absolutas (fi) de valor maior e iguais entre si, as variáveis x correspondentes

as respectivas freqüências são as modas (caso multimodal).

TESTES 1. (UFPel-RS) Na busca de solução para o problema da gravidez na adolescência, uma equipe de orientadores educacionais de uma instituição de ensino pesquisou um grupo de adolescentes de uma comunidade próxima a essa escola e obteve os seguintes dados:

Idade (em anos)

Frequência absoluta de adolescentes grávidas

13 4 14 3 15 2 16 5 17 6

Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar, em relação às idades das adolescentes grávidas, que a) a média é 15 anos. b) a mediana é 15,3 anos. c) a mediana 16,1 anos. d) a moda é 16 anos. e) a média é 15,3 anos. 2. (UFJF-MG) A editora de uma revista de moda resolveu fazer uma pesquisa sobre a idade de suas leitoras. Para isso selecionou, aleatoriamente, uma amostra de 25 leitoras. As idades que constaram da amostra foram: 19, 20, 21, 20, 19, 20, 19, 20, 21, 21, 21, 22, 20, 21, 22, 22, 23, 19, 20, 21, 21, 23, 20, 21, 19. Considerando as informações dadas, faça o que se pede: Complete a tabela de frequências absoluta (f), frequências relativa (fr) e frequências acumulada (Fi) partir dos dados acima:

Idade fi fri% Fi Total

3. Na prova de natação do exame de aptidão física para um grupo de 20 candidatos a vagas de salva-vidas a média aritmética (razão entre soma total do número de pontos obtidos por todos os candidatos e o número de candidatos) do exame foi de 550 metros, mas uma pane no computador que guardava esses dados fez com que 3 notas iguais fossem extraviadas. Os dados não extraviados são apresentados no quadro abaixo.

Número de pontos 500 550 560 600 ? Numero de candidatos 2 3 5 7 3

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A partir do quadro pode-se afirmar que a nota extraviada foi: a) 650 m b) 400 m c) 650 m d) 350 m e) 450 m. 4. (UFBA-BA) De acordo com o Boletim do Serviço de Meteorologia de 07 de julho de 2000, o quadro abaixo apresenta a temperatura máxima, em graus Celsius, registrada em Fernando de Noronha e nas capitais da Região Nordeste do Brasil.

Aracajú 27º C Fernando de Noronha 30º C Fortaleza 31º C João Pessoa 30º C Maceió 27º C Natal 30º C Recife 30º C Salvador 26º C São Luis 32º C Teresina 32º C

Com base nessas informações, pode-se afirmar que a única afirmativa incorreta é: a) A freqüência relativa da temperatura de 31ºC é igual a 10%. b) A média aritmética das temperaturas indicadas no quadro correspondente a 29,5ºC. c) A mediana das temperaturas registradas é igual à temperatura modal. d) A amplitude das temperaturas é de 32ºC. 5. (EFEI-MG) Numa empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários está representada no quadro abaixo:

Número de empregados Salário em reais 10 1540 5 1860 3 2120 2 3440

O salário médio (em reais) dos empregados dessa empresa é: a) 1.680 b) 1.742 c) 1.786 d) 1.831 e) 1.897 (CESPE) Os dados abaixo correspondem às quantidades diárias de merendas escolares demandadas em 10 diferentes escolas: 200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 6. (CESPE-ME) A mediana da distribuição do número diário de merendas escolares é igual a 225. 7. (CESPE-ME) O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. 8. (Fuvest-SP) Uma prova continha cinco questões, cada uma valendo 2 pontos. Em sua correção, foram atribuídas a cada questão apenas as notas 0 ou 2, caso a resposta estivesse, respectivamente, errada ou certa. A soma dos pontos obtidos em cada questão forneceu a nota da prova de cada aluno. Ao final da correção, produziu-se a seguintes tabela, contendo a porcentagem de acertos em cada questão: Questão 01 02 03 04 05 % de acerto 30% 10% 60% 80% 40% Logo, a média das notas da prova foi: a) 3,8 b) 4,0 c) 4,2

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d) 4,4 e) 4,6 9. (UFU-MG) O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais.

Número de funcionários Salário em R$

10 2 000,00 12 3 600,00 5 4 000,00 3 6 000,00

Quantos funcionários que recebem R$ 3.600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição e salários seja de R$ 2.800,00? a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 7 O enunciado abaixo refere-se à próxima questão. Um grupo é formado por 10 pessoas, cujas idades são: 17 19 19 20 20 20 20 21 22 22 10. (CESGRANRIO-BNDES) Seja a média aritmética das idades e seu desvio padrão. O número de pessoas desse grupo cujas idades pertencem ao intervalo é: (Considere a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 11. (UFSC-SC) O quadro abaixo representa a distribuição de uma turma de 20 alunos, numa prova de química. Determine a média da turma.

Nota 50 60 70 80 90 100 Número de alunos 2 4 5 3 4 2

12. (FGV-SP) As tabelas seguintes mostram o tempo de escolaridade de candidatos a uma vaga de vendedor de uma empresa nos anos de 1990 e 2000.

1990 2000

Número de candidatos

Tempo de escolaridade (anos)

Número de candidatos

Tempo de escolaridade (anos)

8 4 10 4 4 8 5 8 5 11 10 11 3 15

12 15 De 1990 a 2000, o tempo de escolaridade entre os candidatos à vaga de vendedor dessa empresa cresceu, em média, a) 7%. b) 12%. c) 15%. d) 18%. e) 22%. 13. (ESAF-AUDITOR) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

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c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 14. (FCC-CADEP) Numa pesquisa realizada com 300 famílias, levantaram-se as seguintes informações: Número de filhos 0 1 2 3 4 5 6 Proporção de famílias 0,17 0,20 0,24 0,15 0,10 0,10 0,04 Com base nestas informações a média e a mediana do número de filhos são dadas, respectivamente, por a) 2,27 e 3 b) 3 e 2 c) 2,27 e 2 d) 2,5 e 3,5 e) 2,5 e 3 15. Uma empresa agrícola deseja cultivar certa espécie de planta pouco resistente a variações de temperatura. Para verificar se uma determinada área é conveniente para o cultivo da planta, a empresa fez 12 medidas de temperatura durante um ano, colhendo, em graus Celsius, os seguintes resultados: 20 18 24 23 21 21 20 22 19 21 23 20

Dessa forma, se considerarmos que X denota a variável que assume os valores acima, então a variância da variável X , que indicamos por Var (X) , satisfaz o seguinte: a) 0 < Var (X) < 1 b) 1 < Var (X ) < 2 c) 2 < Var (X ) < 3 d) 3 < Var (X ) < 4 e) 4 < Var (X ) < 5 16. (FCC-ANS) Num período de onze meses, uma empresa vendeu as seguintes quantidades de seu produto: 8, 4, 6, 14, 20, 16, 10, 23, 10, 16, 16. A moda e a mediana foram, respectivamente, iguais a a) 13 e 15 b) 13 e 16 c) 14 e 13 d) 16 e 13 e) 16 e 14 17. (UFRJ-NCE) Agenor está fazendo um curso de especialização. O curso é dividido em módulos e cada módulo tem um certo número de créditos, dependendo da importância do módulo. O coeficiente de rendimento do aluno é a média ponderada das notas por ele obtidas nos respectivos módulos, tendo como pesos os créditos correspondentes. A tabela a seguir apresenta as notas obtidas por Agenor e o número de créditos de cada módulo:

Módulo No de créditos Nota I 4 6,0 II 5 7,0 III 5 8,0 IV 3 6,0 V 3 6,0 VI 5 9,0

O coeficiente de rendimento de Agenor no curso é igual a: a) 6,4; b) 6,8, c) 7,0; d) 7,2; e) 7,6. 18. (FCC/2008-TRT) A média aritmética dos salários dos 200 funcionários de uma empresa é igual a R$ 1.500,00. Caso haja a demissão de todos os funcionários que ganham, cada um, R$ 2.000,00 e admissão de 10 funcionários ganhando, cada um, R$ 1.200,00, a média aritmética fica com o valor de R$ 1.325,00. Isto significa que o número de funcionários da empresa passa a ser de

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a) 135 b) 140 c) 150 d) 160 e) 170 19. (ESAF-AUDITOR) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X: X f ‘ -2 6 a 1 1 a 2 3 a Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:

(FCC-PREFEITURA/SP) Instruções: Para responder às duas questões ABAIXO considere as informações. A tabela abaixo refere-se a um levantamento efetuado pela Cia. de Parafusos SPF sobre o número de parafusos com defeito em cada lote de 100 unidades no mês de fevereiro de 2008. A companhia fabricou 600 lotes nesse mês. Número de parafusos com defeito

Quantidade de lotes

1 2 3 4 5

140 160 120 100 80

20. (FCC-PREFEITURA/SP) A média aritmética do número de parafusos com defeito dessa população corresponde a a) 2,1 b) 2,2 c) 2,4 d) 2,5 e) 2,7 21. (FCC-PREFEITURA/SP) A mediana do número de parafusos com defeito dessa população é a) menor que a moda. b) maior que a média. c) menor que a média. d) maior que a média e a moda. e) menor que a média e a moda. 22. (FCC/2009-INFRAERO) Um levantamento realizado em um clube com relação à quantidade de filhos de seus associados forneceu a seguinte distribuição de frequências:

Quantidade de filhos

Número de sócios

0 400 1 300 2 200 3 80 4 10

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5 10 Total 1 000

A média aritmética (quantidade de filhos por sócio), a mediana e a moda correspondentes a essa distribuição são, respectivamente, a) 1,03; 1,00 e 1,00 b) 1,03; 1,00 e 0,00 c) 1,00; 0,50 e 0,00 d) 1,00; 1,00 e 1,00 e) 1,03; 1,50 e 1,00

GABARITO 01 E 02 Idade fi fri% Fi

19 5 20 5 20 7 28 12 21 8 32 20 22 3 12 23 23 2 8 25 Total 25 100

03 E 04 D 05 E 06 E 07 E 08 D 09 D 10 C 11 75,5 12 E 13 E 14 C 15 C 16 E 17 D 18 D 19 A 20 E 21 C 22 B

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