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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESPCAMPUS DE ILHA SOLTEIRA FACULDADE DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA - DEM

PR-PROJETO DE ROTORES DE MQUINAS DE FLUXO GERADORAS RADIAIS

Prof. Dr. Joo Batista Campos Silva

Ilha Solteira, novembro de 2000.

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CLCULO DE ROTORES RADIAIS

1. Introduo

O projeto de rotores de mquinas de fluxo envolve vrios conceitos que sero

lembrados brevemente nos prximos itens. Antes de iniciar o projeto, o leitor devecompreender bem o funcionamento das mquinas de fluxo e quais so os diversos parmetrosque tem influncia direta no desempenho das mesmas. Aps uma descrio dos principaisfatores que influenciam o desempenho das mquinas de fluxo, fornece-se um roteiro declculo, cuja finalidade auxiliar o projetista a obter os dados preliminares ou dimenses principias de rotores de mquinas radiais. Este roteiro baseado na chamada TeoriaUnidimensional, em que as velocidades so admitidas uniformes nas sees de escoamento dorotor. Apesar de ser uma teoria simples, ela d bons resultados e por isso muito utilizada.Entretanto hoje com o auxlio de computadores cada vez mais potentes, teorias maisrealsticas podem ser utilizadas, pois na realidade, o escoamento atravs de rotores demquinas de fluxo tridimensional.

Os conceitos, aqui, descritos, bem como o roteiro fornecido so baseados, principalmente, num manuscrito de HENN (1996). Alguns livros textos tradicionais so os de:PFLEIDERER & PETERMANN (1979) e BRAN & SOUZA (1969) que tratam do assuntomquinas de fluxo e os livros de MACINTYRE (1987, 1983) que tratam dos tpicos bombase turbinas hidrulicas separadamente.

Entre os principais fatores que tem influncia no desempenho de mquinas de fluxo pode-se citar: a forma das ps; nmero de ps e espessura das mesmas; viscosidade do fluidoque faz com o escoamento real seja com atrito e no ideal como supe a TeoriaUnidimensional.

2. Influncia da forma da p

A forma da p do rotor de uma mquina de fluxo caracterizada pelos seus ngulos deentrada e sada, respectivamente,4 , e 5 . Como estes ngulos influem na construo dostringulos de velocidades, pela anlise da equao fundamental, conclumos que a forma das ps tem ntima vinculao com a quantidade de energia intercambiada entre fluido e rotor.

O valor do ngulo 4 , de inclinao das ps na entrada do rotor deve ser determinado pela condio de entrada sem choque. Ou seja, a direo da p na entrada do rotor devecoincidir com a direo da velocidade relativa4w , da corrente fluida, para que no ocorram perdas por descolamento e turbulncia.

Buscando esta condio, vemos ento que a inclinao das ps na entrada do rotor conseqncia da direo com que chega ao rotor a velocidade absoluta do fluido4c , ou seja,do ngulo 4 , que forma a direo da velocidade absoluta com a direo de velocidadetangencial.

Normalmente este ngulo igual a 90, o que corresponde a uma entrada sem giro dacorrente de fluido no rotor, j que a corrente entra axialmente na boca de suco do rotor e pela fora centrfuga adquire somente uma componente radial. Para que o fluido sofra umgiro, no mesmo sentido de rotao do rotor ou em sentido contrrio, necessria a existnciade uma coroa de ps diretrizes fixas antes do rotor.

Examinemos os trs casos possveis, utilizando o tringulo de velocidades mostrado naFigura 1.

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3

c4c4c4

w4w4 w4

u4

4

4 4 4 4 4

Figura 1 Tringulo de velocidades na entrada de rotor radial para diferentes valores dongulo 4

1 caso: 904 =

a soluo mais barata, uma vez que corresponde construo de uma mquina defluxo geradora sem ps diretrizes na entrada. A energia teoricamente fornecida pelo rotor aofluido aumenta, porque se reduz a zero o termo negativo da equao fundamental ( 04 =uc ). Aequao fundamental assume a forma simplificada 55 u pa cuY = , o tringulo de velocidades naentrada torna-se retngulo e o ngulo4 , pode ser calculado pela relao:

4

44

u

carctg = (1)

2 caso: 904

uma soluo mais cara que a primeira, tambm pela existncia das ps diretrizes. E,como a componente 4uc apresenta valor negativo neste caso, por ter sentido contrrio ao de

4u a energia teoricamente cedida pelo rotor ao fluido passa a ser maior, de acordo com aequao:

4455 uu pa cucuY += (3)

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4

Entretanto, este aumento poder no acontecer para a energia realmente cedida Y, por causa das perdas nas ps diretrizes e pelo estrangulamento causado na entrada do rotor pelovalor menor do ngulo 4 .

Uma vantagem adicional apresentada pela existncia de um ngulo 904 = , que, para uma vazo determinada, a velocidade absoluta ser mnima, o que diminuir a depressona entrada do rotor e representar uma diminuio do risco de cavitao para o caso das bombas hidrulicas.

Pesquisas experimentais mostram que o ngulo de entrada4 , no deve ser tomadomenor que 15, sendo usual a faixa de 15 a 20 para bombas e at o dobro destes valores paraventiladores.

Uma vez que, como vimos, o ngulo de entrada das ps do rotor definido pelacondio de entrada sem choque, surge a pergunta com relao a inclinao das ps na sadado rotor: o ngulo 5 deve ser menor do que 90 (ps curvadas para trs), maior do que 90(ps curvadas para frente) ou igual a 90 (ps de sada radial)?

As formas de ps correspondentes a estes trs casos foram representadas na Figura 2,mantendo-se invarivel o ngulo de entrada4 . Os canais entre ps resultantes so bastantediferentes e encontram-se desenhados ao p da Figura, a partir da retificao da linha mdiade cada canal, sobre a qual traam-se simetricamente segmentos proporcionais s sees docanal. Esta representao nos indica que ngulos o905 < correspondem a difusores(escoamento da direita para a esquerda) mais compridos e que se alargam mais suavemente,conduzindo a uma difuso gradual e conseqentemente a menores perdas hidrulicas noescoamento de fluido real, j que so evitados os descolamentos da corrente fluida das paredes, embora o aumento das perdas por atrito devido ao maior comprimento dos condutos.Os ngulos o905 conduzem a formas de canais que so mais indicadas para um sentidode corrente inverso (escoamento da esquerda para a direita), como no caso dos rotores deturbinas hidrulicas, onde um estreitamento rpido significa inclusive uma melhoria norendimento pela reduo das perdas por atrito, devido reduo no comprimento doscondutos, neste caso constituindo-se em injetores e no mais em difusores. Nas bombas, as ps curvadas para trs ( o905 < ) do melhores rendimentos que as outras duas formas.

5 5

5 4

4 4

Figura 2 Diferentes formas do canal entre ps do rotor correspondendo a diferentes valoresdo ngulo 5 de inclinao das ps

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5

w5w5 w5

w5 w5 w5c5

c5c5

u5u5

5 5 5 5 55

t

1.0

.5

.0

u5 u 5

Ydin

Yest

Y pa

5min 5max cu5

2u52Bombas

Ventiladores

Figura 3 Tringulos de velocidades e diagramas de variao de energia e grau de reaoterico para diferentes valores do ngulo de inclinao das ps na sada do rotor

Procuraremos agora mostrar a influncia do ngulo5 sobre a energia intercambiadano rotor e sobre o grau de reao terico de uma mquina de fluxo geradora radial; Figura 3.Para tanto suporemos um rotor em que todos os parmetros construtivos permaneamconstantes, exceto o ngulo 5 , e para o qual tenhamos 904 = e ctecc mm == 54 . Neste

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6

caso poderemos utilizar, para a anlise, a equao fundamental simplificada 55 u pa cuY = . Por esta frmula vemos que a energia especfica terica depende apenas da velocidade tangencial

5u e da componente tangencial da velocidade absoluta5uc . Como a relao 55 u / cu podevariar entre limites bastante amplos, faremos nossa anlise para a faixa compreendida entre

055 =u / cu e 255 =u / cu . Como veremos, esta relao determina a proporo de energiamecnica transformada em energia de presso esttica e energia de velocidade ou pressodinmica.

O grau de reao terico, com vimos, pode ser definido como:

=

pa

dint Y

Y 1 , onde2

24

25 ccY din

= (4)

Pelo tringulo de velocidades: 252525 um ccc += e, neste caso particular: 544 mm ccc == . Logo,substituindo estes valores na expresso anterior, teremos:

22

25

25

25

25 umum

din

ccccY =+= (5)

E o grau de reao terico poder ser escrito ento como:

=== 5

5

5

5

5

55

25 1

211

21

21 ctg

uc

uc

cuc mu

u

ut (6)

Para o ngulo o905 < que conduz a 05 =uc e conseqentemente 055 =u / cu ,teremos

005 == uY pa )c / u( ctg mmint 55

15101 === (7)

Para o ngulo o905 = que conduz a 55 ucu = e conseqentemente 155 =u / cu ,teremos

2555 uuuY pa == e 22

25 == padin

Y uY (8)

50211 ,t ==

Para o ngulo o905 > que conduz a 55 2ucu = e conseqentemente 255 =u / cu ,teremos

2555 22 uuuY pa == (9)

=== padin Y uuY 2525 2

24 e )c / u( ctg mmaxt 55

15011 === (10)

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primeira vista, pelo exame dos diagramas da Figura 3, parece ser mais vantajoso autilizao de maiores valores para a relao 55 u / cu . Mas isto e vlido ate um certo limite, principalmente para os lquidos, porque o fluido no pode seguir as superfcies fortementecurvadas e descola das paredes. Alm disso a transformao de uma grande velocidade desada 5c em presso no difusor ou caixa espiral vir acompanhada de perdas considerveis.Estes dois fatores conduziro a uma diminuio do rendimento da mquina.

Por isto, quase todas as bombas so construdas com ps curvadas para trs,utilizando-se na prtica ngulos5 na faixa de 14 a 50, sendo ainda mais favorvel a gamade valores compreendidos entre 20 e 30.

Para o caso de fluidos gasosos pode-se utilizar relaes 55 u / cu mais elevadas, mas osrendimentos no atingem jamais os valores to favorveis como aqueles conseguidos com pscurvadas para trs. Para presses mdias e altas se empregam ps moderadamente curvadas para trs com 60 a405 = . Nos turbocompressores para motor de aviao, onde

consideraes de tamanho e peso muitas vezes preponderam sobre o rendimento e asvelocidades tangenciais so muito elevadas, utilizam-se ngulos o905 = , por razes puramente mecnicas. Nos ventiladores, onde muitas vezes a produo de presso dinmica prepondera sobre a presso esttica, onde muitas vezes se deseja reduzir tamanho e peso ouonde muitas vezes se quer simplificar o processo de fabricao para reduzir custos, so muitoutilizados os rotores construdos com ps radiais ( o905 = ) e mesmo com ps curvadas parafrente ( o905 > ). Nos ventiladores destinados ao transporte de materiais, que devem passar pelo interior do mesmo, freqentemente so utilizados ps com 9045 == . Enquantoque, em aplicaes onde o espao disponvel limitado e o nvel de rudo deve ser mantido baixo, como nas instalaes de ar condicionado, ventiladores do tipo SIROCCO, com

60 1=5 , representam uma soluo muitas vezes insupervel. Nenhum outro ventilador trabalha to silenciosamente em presses comparveis.

Voltando ao diagrama da Figura 3, vemos que, enquanto a energia especfica tericatotal paY cresce linearmente com um aumento do ngulo5 , a energia especfica de pressodinmica dinY cresce segundo uma parbola e o grau de reao tericot decrescelinearmente, desde um valor igual a 1 correspondente a um valor demin5 para o qualnenhuma energia transmitida ao fluido at um valor igual a zero correspondente a um valor de max5 para o qual todo o aumento de energia se expressa em forma da velocidade. Valoresmenores que min5 conduzem a 1>t , com paY tornando-se negativa e a mquina passa aatuar como uma turbina centrfuga de admisso interior. Valores maiores quemax5 conduzem a 0

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presso a energia obtida sob forma cintica. No que concerne s perdas por fugas, v-sefacilmente que um acrscimo do grau de reao aumenta a diferena de presso 45 p p e,em conseqncia, aumenta as fugas atravs das folgas existentes entre a parte rotativa e a parte fixa da mquina. O mesmo pode ser dito sobre as perdas por atrito fluido devido aoaumento da velocidade tangencial do rotor. O crescimento do grau de reao igualmentedesfavorvel.

Resumindo, tanto para mquinas geradoras como motoras, um grande grau de reao favorvel quanto ao rendimento hidrulico, mas desfavorvel quanto s perdas por fugas e por atrito fluido. Existe ento, considerando o rendimento total, um grau de reao timo quedepende essencialmente da importncia relativa das perdas hidrulicas e das perdas por fugase por atrito fluido.

Finalmente, importante ressaltar, como vimos anteriormente, que a escolha dongulo 5 tem uma influncia decisiva sobre a forma das curvas caractersticas de umamquina de fluxo e conseqentemente sobre seu funcionamento.

3. Influncia do nmero finito e da espessura das ps sobre os tringulos de velocidadestericos

usual calcularmos mquinas de fluxo com base na teoria do tubo de correntemonodimensional, pela qual o rotor suposto com um nmero infinito de ps, infinitamente prximas e de espessura infinitesimal. Estas condies impostas fogem, entretanto realidade, onde as ps do rotor so em nmero finito e, alm disso, tem uma certa espessura,surgindo a necessidade de se estudar a influncia destes fatores sobre os tringulos develocidade de entrada e sada do rotor de uma mquina de fluxo.

3.1 Influncia do nmero finito de ps

Para um rotor radial de mquina de fluxo geradora com nmero finito de ps, aconsiderao de um escoamento sem atrito (fluido isento de viscosidade) d origem a ummovimento que conhecido como "vrtice relativo". A Figura 4 serve para explicar estaocorrncia. A reta AB representa a orientao das partculas fluidas, no instante I situadas naentrada do canal entre ps. Um instante aps as mesmas partculas sobre a influncia domovimento radial e rotacional aparecem como em II na Figura. E finalmente no instante III as partculas se encontram na sada do canal. Devido a sua inrcia, as partculas tendem a manter sua orientao com relao a eixos fixos, resultando um movimento circulatrio com relaoao canal, conhecido como "vrtice relativo".

I II III

AB

B

A AB

Figura 4 Origem do vrtice relativo no canal entre ps de um rotor radial.

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9

Desta maneira o fluxo atravs do rotor pode ser considerado como a superposio dacorrente de passagem das partculas fluidas atravs do rotor com a corrente de circulao proveniente do vrtice relativo (Figura 5).

+ =

Figura 5 Distribuio das velocidades relativas num rotor radial como conseqncia da

superposio da corrente de passagem com o vrtice relativo.A distribuio final das velocidades relativas em um rotor de mquina radial a

composio das velocidades relativas correspondentes a estes dois tipos de escoamento.Como o vrtice relativo produz uma corrente radial de sentido centrpeto junto face deataque da p se contrapondo ao sentido da corrente de passagem, ocorre uma reduo davelocidade relativa junto a esta face. Enquanto que na face dorsal o sentido das duas correntescoincide, o que origina um acrscimo da velocidade relativa nesta regio. Com isto surgetambm um gradiente de presso atravs do canal, dando origem a uma diferena de pressoentre as duas faces das ps, intimamente vinculada prpria troca de energia entre rotor efluido. Na face de ataque existir uma sobrepresso enquanto que na face dorsal existir umadepresso. Esta diferena de presso entre as faces de uma mesma p, provoca umtombamento da velocidade relativa de sada do rotor na direo da face dorsal, fazendo comque o ngulo de inclinao da corrente relativa logo aps a sada do rotor "6 " seja menor que o ngulo de inclinao de sada das ps do rotor"5 ". Conseqentemente, haver umareduo no valor da componente tangencial da velocidade absoluta de sada, como pode ser observado na Figura 6, para trs tipos diferentes de rotor, com ps curvadas para frente, com ps de sada radial e com ps curvadas para trs.

cu5

cu5 cu5

cu6

cu6cu6

5 6 6 5 5 180- 6

Figura 6 Reduo da componente tangencial da velocidade absoluta como conseqncia dodesvio da velocidade relativa de sada do rotor devido ao nmero finito de ps

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A equao fundamental para mquinas de fluxo geradoras com rotor possuindo umnmero infinito de ps :

4455 uu pa cucuY = (11)

de modo que podemos escrever de maneira anloga para um rotor com nmero finito de ps:

3465 uu pa cucuY = (12)

onde:

paY = energia especfica fornecida pelo rotor suposto com nmero infinito de ps;

paY = energia especfica fornecida pelo rotor com nmero finito de ps.

Comparando as duas equaes, como 56 uu cc < (conforme vemos nos tringulos develocidade da Figura 6) e, 43 uu cc (conforme verificado na prtica), conclumos que:

< pa pa Y Y

Isto nos leva a definir o que chamamos de Fator de Deficincia de Potncia " ".

== pa pa

pa

pa

P

P

Y

Y

(13)

Como a anlise efetuada baseou-se em escoamento sem atrito conclui-se que adiminuio tanto na energia como na potncia transmitida ao fluido no pode ser consideradacomo uma perda de energia e sim como uma indisponibilidade, uma reduo na energia queidealmente pode ser transmitida. Entretanto o fator de deficincia de potncia influi naeconomia da mquina, pois um valor elevado de " " fornece uma energia terica maior, ou,equivalentemente, para uma mesma energia requer um dimetro menor e uma mquina maiseconmica. Salienta-se, no entanto que a mquina geradora que fornece menos energia aofluido consome tambm menos energia do seu motor de acionamento.

At agora analisamos o caso de escoamento sem atrito. Nas condies reais do fluxoatravs de uma mquina motora ou geradora, a existncia da viscosidade do fluido exerce umefeito tal que as experincias prticas nos permitem concluir, como regra geral, que ainfluncia do nmero finito de ps no precisa ser levada em considerao para a construode turbinas. Esta afirmativa vlida segundo PFLEIDERER & PETERMANN (1973), tanto para turbinas a vapor como para turbinas hidrulicas de baixa velocidade, desde que as ps dorotor no estejam muito afastadas umas das outras. Enquanto isso, na construo de bombas,ventiladores e compressores centrfugos (mquinas geradoras), desde o incio devemosconsiderar a diminuio de potncia oriunda de um nmero finito de ps, se quisermos obter resultados que se aproximam da realidade.

Para o clculo do fator de deficincia de potncia existem mtodos tericos completos, baseados em transformaes complexas, como o Mtodo das Singularidades e o Mtodo deBusemann, que, no entanto no concordam melhor com os resultados obtidos em mquinas

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reais do que os chamados mtodos aproximados entre os quais podemos citar os deSTODOLA (1945), PFLEIDERER (1960), ECK (1973) e WIESNER (1967), que so deaplicao mais simples e fornecem resultados s vezes mais prximos da realidade que osmtodos complexos.

De acordo com as concluses de HENN (1972), a expresso proposta por

PFLEIDERER (1960) nos permite a fixao de uma faixa de variao do fator de Deficinciade Potncia, em funo do tipo de difusor usado. Numa comparao com o Mtodo dasSingularidades, vemos que os valores calculados por este ltimo caem dentro da faixaindicada por PFLEIDERER, praticamente para toda a variao do ngulo de sada e donmero de ps, e para uma relao entre os raios de entrada e sada do rotor compreendidaentre 0,150 e 0,425. Entretanto, tomando como base os valores ensaiados por VARLEY (1961), notamos que os resultados obtidos por PFLEIDERER se afastam bastantedos mesmos, para ngulos de sada superiores a 40. Para ngulos menores e nmero de psde 3 a 5 a concordncia boa.

O mtodo de STODOLA (1945) tem contra si o fato de no levar em considerao ocomprimento na direo radial e a curvatura das ps. Em conseqncia seus resultadosapresentam uma fraca correlao com os dados experimentais ao longo de todo o campo devariao da relao de raios, nmero de ps e ngulo de sada. Contudo para pequena relaode raios, pequeno ngulo de sada e grande nmero de ps, nenhum outro processo apresentamelhores resultados do que o de STODOLA (1945).

BRUNO ECK (1973), partindo do mesmo princpio que STODOLA (1945), maslevando em conta a influncia da curvatura da p e um fator de correlao prtico, chega auma equao que fornece valores bastante prximos aos de PFLEIDERER, para difusor decaixa espiral. Porm para ngulos superiores a 40, seus resultados se aproximam mais da prtica do que os de PFLEIDERER (1960).

Confiando ainda nos ensaios efetuados por VARLEY (1961), chegamos a conclusode que a frmula indicada por WIESNER (1967) a que apresenta melhor correlao com osdados experimentais. Entretanto como restrio, salientamos o fato da referida expresso nolevar em considerao o tipo de difusor utilizado na mquina de fluxo. Pois devido interaoentre rotor e difusor, sabemos que o valor do Fator de Deficincia de Potncia ser diferente para cada tipo de difusor usado.

Com base nestas concluses, para o projeto de bombas fugas, onde os ngulos de sadararamente ultrapassam 40, indicamos a frmula de PFLEIDERER (1960), enquanto que naconstruo de ventiladores centrfugos para os quais o ngulo5 fica normalmentecompreendido entre 20 e 170, sugerimos a utilizao da frmula de ECK (1973).

PFLEIDERER (1960) indica a seguinte expresso para o clculo do Fator deDeficincia de Potncia (ver Figura7):

5

251

1

sen

S N r

K f

p+= (14)

onde:

N = nmero de ps do rotor;5r = raio de sada (externo) do rotor;

5 = ngulo de inclinao das ps na sada do rotor; p K = coeficiente de correo experimental, que depende do ngulo5 .

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PFLEIDERER & PETERMANN (1973), indicam os seguintes valores para ocoeficiente de correo p K :

- mquina com difusor de ps:

5

5

601

60

sen

, K p

+

= (15)

- mquina com difusor de caixa espiral:

5

5

601

850650

sen

) ,a ,( K p

+

= (16)

- mquina com difusor anular liso:

5

5

601

01850

sen

) ,a ,( K p

+

= (17)

e:

=5

4

r

r f dsr S = momento esttico do filete mdio da corrente com relao ao eixo derotao (Figura7)

Para rotores radiais de paredes paralelas:

= 54

r

r f dsr S = = 5

4

r

r f dr r S =

2

24

25 r r (18)

t 5

d L

d r r

b5

b4 r

d r d S r5

r4

bet5

Figura 7 Cortes longitudinal e transversal esquemticos do rotor de uma mquina de fluxoradial geradora.

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Enquanto isso ECK (1973), recomenda a seguinte frmula:

) , ,( N S b D

90115181

155

25

++

= (19)

onde:

= 54

r

r dr r bS = momento esttico da seo meridiana do canal em relao ao eixo do

rotor; 5 D = dimetro de sada do rotor (dimetro externo).

Para rotores radiais de paredes paralelas:

=

2

5

425

5 18 r

r D

bS (20)

Para rotores de paredes cnicas (Figura7):

)r r ( bb

bbbbr r

r S 4554

54

54455 2

23

++++= (21)

onde:4r = raio de entrada do rotor;4b = largura de entrada do rotor.

Segundo SEDILLE (1973) todas estas frmulas so vlidas apenas para o ponto de projeto de uma mquina, isto , unicamente na zona onde os coeficientes numricos que elascontm podem ser confrontados com a experincia. Isto porque, enquanto a frmula deSTODOLA (1945) d origem a uma curva caracterstica )Q( f Y pa = que uma reta paralela reta )Q( f Y pa = , as frmulas de PFLEIDERER (1960) e ECK (1973) do origem a umareta )Q( f Y pa = que corta a reta )Q( f Y pa = sobre o eixo da vazes, ou seja, para valor

nulo das energias (Figura 7.3). Qualquer destas hipteses no apresenta uma confirmaoexperimental, enquanto KOVATS (1962) contribui para um aumento da discusso,apresentando um mtodo de clculo para as curvas de rotores radiais em que )Q( f Y pa = no uma reta e sim uma curva.

3.2 Influncia da espessura das ps

Considerando a espessura finita das ps, a seo transversal disponvel para a passagem do fluxo reduzida com relao condio existente antes das ps do rotor. Comoisto no implica em variao de energia, a componente c da velocidade absoluta permanece

invarivel, enquanto que a componente c~, intimamente vinculada vazo, sofre influncia daespessura das ps. Para melhor entendimento do que ocorre, vamos representar a entrada do

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rotor de uma mquina de fluxo geradora radial com largura b, bem como um desenvolvimentoretilneo da regio de entrada (Figura 8).

e4

4

et4 t4et4 t4

e4 44

3

Figura 8 Representao da regio de entrada do rotor de uma mquina de fluxo geradoraradial e de seu desenvolvimento retilneo.

Aplicando a equao da continuidade para um ponto imediatamente antes da entrada(ponto 3) e para um ponto imediatamente depois da entrada, como a vazo que passa por estesdois pontos a mesma, podemos escrever:

4444344 mt m c N b )et ( cb DQ == (22)

Q = vazo que passa pelo rotor;4 D = dimetro de entrada do rotor;

4b = largura de entrada do rotor;

4t = passo na entrada, medido entre as arestas de duas ps consecutivas;4t e = espessura das ps na entrada, medida na direo tangencial;

N = nmero de ps do rotor;3mc = componente meridiana da velocidade absoluta da corrente fluida em um ponto

imediatamente antes da entrada do rotor (ainda sem a influncia da espessura das ps);4mc = componente meridiana da velocidade absoluta da corrente fluida imediatamente aps a

entrada do rotor (j no espao entre ps).

Como4

444 t

D N

N D

t == (23)

substituindo este valor na equao anterior teremos:

44

4444344 m

t m ct

et b Dcb D

= (24)

onde, pela Figura8, vemos que:

4

44

sen

ee t = (25)

sendo:

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15

4e = espessura da p na entrada, medida segundo uma normal;4 = ngulo de inclinao das ps na entrada.

Logo:

44

443 mt m ct et

c = (26)

Onde4

444 t

et f t e

= (27)

chamado de fator de estrangulamento para a entrada do rotor, podemos escrever:443 mem c f c = (26)

Da mesma maneira chegaramos para a regio de sada do rotor (Figura 9)

5

t5

et5

6 5

Figura 9 Representao da regio de sada do rotor de uma mquina de fluxo geradoraradial.

556 mem c f c = (28)

onde:6mc = componente meridiana da velocidade absoluta para um ponto imediatamente aps a

sada do rotor;5mc = componente meridiana da velocidade absoluta para um ponto imediatamente antes da

sada do rotor.

5

555 t

et f t e

= = fator de estrangulamento para a sada do rotor. (29)

Onde:

N Dt 55 = = passo na sada do rotor e, (30)

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16

5

55 sen

ee t = = espessura tangencial das ps na sada do rotor. (31)

Como o fator de estrangulamento possui um valor sempre menor que 1 (um), vemosque as componentes meridianas da velocidade absoluta situadas fora do canal entre psapresentam valores inferiores aos das situadas dentro do canal entre ps do rotor, o que setraduz numa modificao dos tringulos de velocidade tanto para a entrada como para a sadado rotor das mquinas de fluxo, conforme podemos apresentar na Figura 10.

4 34

3

c4

c3

w4

w3

u4

cm4

cm3

cu3 = cu4

56 6 5

c6

c5 w5

w6

cm5

cm6

cm6 =cm5

Figura 10 Modificao dos tringulos de velocidade em funo da espessura das ps.

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Juntando a influncia do nmero finito e da espessura das ps sobre os tringulos develocidade e apresentando o tringulo de entrada na sua forma mais comum (entrada radial,

) 9043 == teremos a representao da Figura 11.

4 3

w3

w4

3 = 4 = 9 0o

u4

c3

c4

56

65

c6 w6

w5 cm5

cm6

cu6

cu5

u5

c5

Figura 11 Modificao dos tringulos de velocidade de entrada e sada do rotor de umamquina de fluxo radial geradora levando em conta a influncia do nmero finito e daespessura das ps.

4. Roteiro para clculo de um rotor radial

Ao apresentarmos um roteiro para clculo de um rotor radial, no temos a pretenso dereduzir o projeto deste que o principal elemento construtivo das mquinas de fluxo a umasimples receita de bolo, ou de considerarmos este o nico e melhor processo para o seudimensionamento. As opes so as mais diversas possveis e variam de projetista para

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projetista, de fabricante para fabricante, em funo da experincia acumulada e darealimentao oriunda dos testes realizados. Nossa inteno to somente mostrar de ummodo simples e didtico, como os vrios conceitos at agora abordados influem, no apenassobre o funcionamento das mquinas de fluxo, mas sobre a sua prpria construo.

Para a apresentao deste roteiro utilizaremos como exemplo o clculo do rotor de

uma mquina de fluxo geradora, que poder ser um ventilador centrfugo ou uma bombacentrfuga. A seqncia ser a seguinte:

I - Dados de Projeto:

a) Vazo "Q" a ser recalcada, normalmente fornecida em m3/s tanto para bombascomo para ventiladores.

b) Energia especfica disponvel "Y" a ser fornecida ao fluido recalcado, indicada emJ/kg. No caso de bombas esta energia est vinculada com a altura manomtrica "H" a ser desenvolvida, em metros de coluna lquida, atravs da expresso: Y = g . H, onde g aacelerao da gravidade, expressa em m/s2.

J no caso de ventiladores a energia especfica "Y" est vinculada diferena de presso total " t p " a ser produzida, normalmente em N/m

2 (no sistema tcnico em mmCA),atravs da relao:

t pY = (32)

onde " " a massa especfica do fluido a ser recalcado e que depende das condies de presso e temperatura em que ele se encontra.

c) Velocidade de rotao "n", em rps ou rpm.

A menos que as exigncias da mquina acionadora imponha um valor ou uma faixa devalores para a velocidade de rotao, a sua escolha no rgida e muitas vezes o seu valor inicial alterado em funo das necessidades e limitaes do projeto. Um valor elevado paraesta velocidade implicar numa reduo de dimenses, conseqentemente de peso, mas poder levar, por exemplo, a riscos de cavitao no caso de bombas, ou valores fora do campode realizao possvel no caso de ventiladores.

II - Definio do tipo de rotor:

Atravs do clculo da velocidade de rotao especficaqAn determinaremos qual otipo de rotor a ser utilizado e o seu formato aproximado. A expresso a ser usada :

43

21310

/

/

qA Y Q

nn = ou 4321

333 /

/

q Y Q

nn = ou 4321

/

/

qt H Q

nn = (33)

onde:n expresso em rps,Q em m3/s, Y em J/kg e qAn , qn so adimensionais. qt n d um

valor idntico a qn , mas no clculo de qt n a rotao expressa em rpm.

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Valores muito pequenos de qAn podero levar necessidade de associao em srie devrios rotores, assim como valores muito elevados deqAn podero conduzir associao derotores em paralelo.

III - Estimativa de rendimentos:

Como sabemos: mavh = (34)

Embora estes rendimentos possam variar numa faixa muito ampla de valores,dependendo das dimenses da mquina, do tipo de construo adotado e outros fatores, vamossugerir alguns valores como orientao inicial de clculo.

a) Rendimento hidrulico " h ":

Para bombas os valores deste rendimento variam normalmente desde 0,70 para bombas pequenas, sem grandes cuidados de fabricao at 0,96 para bombas de dimensesgrandes, bem projetadas e com muito bom acabamento. Contribuem fundamentalmente para amelhoria deste rendimento um aumento na qualidade de projeto e dos processos defabricao. Segundo STEPANOFF (1957), para bombas, o rendimento hidrulico permaneceinvarivel com a variao da velocidade de rotao especfica.

Para os ventiladores os valores do rendimento hidrulico ficam praticamente dentro damesma faixa indicada para as bombas. Como referncia podemos indicar o valor de 0,85 paraventiladores com ps curvadas para trs ( 305 ), o valor de 0,75 para ventiladores

industriais com 305 e o valor de 0,70 para ventiladores de sada radial ( 905 = ) eventiladores do tipo SIROCCO ( 1605 = ). Deve ser salientado que as dimenses influemdecisivamente sobre os valores deste rendimento, tornando-o tanto maior quanto maior for odimetro de sada 5 D do rotor do ventilador.

b) Rendimento volumtrico " v "

Para bombas comuns o rendimento volumtrico varia de 0,83 at 0,98, devendo-seadotar os valores mais baixos para bombas de alta presso e os mais altos para as de baixa presso. O processo de fabricao tem grande importncia sobre este rendimento, pois quantomaior a folga deixada entre o rotor e a carcaa menor ser o seu valor.

Para ventiladores este rendimento muitas vezes considerado como uma funo darelao de dimetros 54 D / D , variando desde 0,70 para uma relao 3054 , D / D = at umvalor de 0,95 para uma relao 9054 , D / D = .

c) Rendimento de atrito fluido " a "

Para bombas este rendimento aumenta rapidamente com o crescimento da velocidadede rotao especfica, assumindo um valor da ordem de 0,93 para 60qAn , crescendo

rapidamente at 0,98 para 180qAn e chegando a 0,99 para 350qAn . Para rotores abertossem o disco frontal, este rendimento atinge valores ainda maiores.

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20

Nos ventiladores o rendimento de atrito fluido costuma ficar compreendido entre 0,98e 0,99, diminuindo para rotores de velocidade de rotao especfica muito baixa.

d) Rendimento mecnico " m "

Nas bombas centrfugas se alcanam rendimentos mecnicos da ordem de 0,96 a 0,99,sendo os valores menores para bombas de pequena potncia e os maiores para bombas degrande potncia.

Para ventiladores, at 100 CV, pode-se utilizar a frmula prtica indicada por COSTA (1978), 75010 , P log , em += . Acima de 100 CV podem ser utilizados valoresmaiores.

Tanto para bombas como para ventiladores o rendimento mecnico diminui no caso detransmisso por polias e correias. Normalmente se atribuem s perdas oriundas deste tipo detransmisso valores que variam de 5% a 10% da potncia transmitida; respectivamente nas

correias trapezoidais (em V) ou planas de elastmero com tela, de pequena espessura, e nas decouro.

e) Rendimento total " "

Testes com uma grande quantidade de bombas mostram que o rendimento total parauma dada velocidade de rotao especfica cresce com o aumento da vazo e para uma dadavazo o melhor rendimento total corresponde faixa de velocidade especficaqAncompreendida entre 100 e 150, podendo chegar ate 93%.

Para ventiladores, o rendimento total para uma dada velocidade de rotao especfica

cresce com o aumento do dimetro5 D e para uma dada vazo o seu maior valor correspondea velocidade de rotao especficaqAn compreendida entre 150 e 250, podendo chegar at90%.

IV - Clculo da potncia no eixo

A potncia no eixo ou potncia de acionamento ser calculada pela expresso:

QY

P e = (35)

onde:

e P = potncia no eixo, em W; = massa especfica do fluido recalcado, em kg/m3:Q = vazo, em m3/s;Y = energia especfica fornecida ao fluido, em J/kg; rendimento total, adimensional.

V - Clculo do dimetro do eixo

Para os rotores radiais a determinao aproximada do dimetro do eixo deve preceder o clculo das ps. Esta determinao preliminar baseia-se exclusivamente numa solicitao de

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toro, considerando tenso admissvel de cisalhamentoadm com valor subestimado paracompensar possveis imprecises de clculo. Desta maneira o dimetro do eixo das bombasser calculado pela frmula:

3n

P K d eee = (36)

onde:

ed = dimetro do eixo, calculado em cm;e P = valor mximo da potncia no eixo para a rotao de clculo, em kW;

n = velocidade de rotao de projeto, em rpm;

e K = coeficiente que depende da tenso admissvel de cisalhamento.

Considerando o eixo de ao carbono SAE 1045 ou SAE 1050, teremos:

e K = 14, correspondendo 2210 cm / kgf adm para bomba de um s estgio;

e K = 16, correspondendo 2120 cm / kgf adm para bombas vrios estgios.

Embora o dimetro do eixo de ventiladores possa ser calculado pela frmula anterior, baseada no momento toror, TEDESCHI (1969) recomenda neste caso o uso das seguintesexpresses, baseadas no momento de flexo, para uma primeira aproximao:

Para 5 D < 400 mm, 5090 D ,d e =Para 5 D = 400 a 600 mm, 5080 D ,d e =Para 5 D > 600 mm, 50670 D ,d e =

Uma vez projetado o rotor, tanto para bombas como para ventiladores, deve-se proceder ao clculo dos esforos reais, levando em considerao toro e flexo, o clculo daflecha mxima e a determinao da velocidade de rotao crtica. O dimetro definitivo doeixo deve levar em conta todos estes fatores.

VI - Fixao do dimetro do cubo " cd "

O dimetro do cubo " cd " pode ser adotado normalmente de l0 a 30 mm maior que odimetro do eixo, no caso de fixao por chaveta.

VII - Clculo da velocidade na boca de suco " ac "

O clculo estimativo da velocidade na boca de sucoac pode ser feito pelaexpresso:

Y K c caa 2= (37)

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onde:

ac = velocidade na boca de suco ou aspirao, em m/s;Y = energia fornecida ao fluido, em J/kg;

ca K = coeficiente de velocidade na boca de suco, adimensional.

Para bombas pode-se estimar o valor deca K pela frmula:

( ) 32310846 / qAca n , K = (38)

J para ventiladores o coeficiente de velocidade pode ser calculado por:

( ) 320820 / qAca n , K = (39)

Geralmente a velocidadeac est compreendida na faixa de 2 a 5 m/s para bombas e nafaixa de 5 a 30 m/s, ou valores ainda maiores, para ventiladores.

VIII - Determinao do dimetro da boca de suco

Levando em considerao a obstruo provocada pelo eixo e pelo cubo do rotor, odimetro da boca de suco do rotor das bombas pode ser determinado pela equao:

24c

ava d c

Q D +=

(40)

onde a D expresso em m,Q em m3/s, ac em m/s, cd em m e v adimensional.

Para ventiladores, como a obstruo citada normalmente no levada emconsiderao, podemos calcular o dimetro da boca de suco do rotor pela expresso:

ava c

Q D

4= (41)

IX - Clculo da altura de suco mxima (no caso de bombas)A altura de suco mxima ser calculada pela equao j determinada anteriormente,

considerando acc =3 :

g c

H p p

)hh( h aminvb

max ps sg max s 2

2

=+=

(42)

onde o coeficiente de cavitaomin pode ser calculado pela frmula:

( ) 3441092 / qAmin n , = (43)

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23

Se o valor calculado para max sh no satisfazer os requisitos de projeto, levando emconsiderao o tipo de aplicao previsto, isto poder levar a uma modificao dos dados de projeto, principalmente no que se refere velocidade de rotao estabelecida inicialmente.

X - Fixao do ngulo de sada " 5 "

O ngulo de inclinao das ps na sada do rotor5 ser fixado em funo doscritrios discutidos no item 2, com as seguintes faixas de valores recomendadas:

- Para bombas centrfugas:

o a 30205 =

- Para ventiladores de alta presso, alto rendimento e carga limitada

o a 30125 =

- Para ventiladores de mdia e alta presso, do tipo industrial:

o a 90455 =

- Para ventiladores de alta vazo, pequena presso, carga ilimitada, do tipo SIROCCO:

o a 1701505 =

XI - Clculo provisrio do dimetro de sada " 5 D "

Para o clculo provisrio do dimetro5 D , estimaremos primeiramente o valor docoeficiente de presso " ", atravs da expresso indicada por TEDESCHI (1969) para o casode bombas centrfugas:

qAn ,41008561 = (44)

O mesmo TEDESCHI (1969) indica para ventiladores de construo comum aseguinte frmula emprica:

2

591850763

=

,(45)

onde 5 indicado em graus e adimensional.

A partir deste valor determinaremos a velocidade tangencial de sada5u e o dimetrode sada do rotor pelas seguintes equaes:

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24

Y

u2

5 = nu

D

55 = (46)

onde so utilizadas as seguintes unidades:5u em m/s,Y em J/kg, 5 D em m,n em rps e

adimensional.XII - Clculo do dimetro de entrada " 4 D "

A partir de critrios emprico-estatsticos TEDESCHI (1969) indica a seguinte frmula para bombas centrfugas:

( ) 215

4 0440 / qAn , D D = (47)

Para ventiladores, ainda que muitos projetistas adotem a D D 4 , ECK 9

prope aseguinte expresso, para o1005 < .

31

5

4 1941 / , D D

(48)

onde " " o denominado coeficiente de vazo, adimensional, definido pela equao:

5

2

5

4

u D

Q

= (49)

J para ventiladores com rotor do tipo SIROCCO, o a 1701505 = 280200 anqA = ,1 e 32 a= , pode se considerar:

905

4 , D D =

Conhecida a relao5

4

D

D , o dimetro de entrada 4 D , ser calculado por:

55

44 D D

D D = (50)

XIII - Clculo da largura na entrada " 4b "

Pela equao da continuidade e levando em conta as perdas por fuga, podemosescrever:

344

mv c DQb

= (51)

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25

com 4b , em m,Q em m3/s, 4 D , em m, 3mc em m/s e v adimensional.

Para bombas a componente 3mc da velocidade absoluta na entrada do rotor, ainda forado recinto ocupado pelas ps, deve ser tomada ligeiramente superior velocidadeac na boca

de suco para que a corrente entre no rotor ligeiramente acelerada, ou seja:

am 1,05ca1,0c =3 (52)

Para ventiladores centrfugos MATAIX (1975) indica a frmula:

a

/

qAm cn

,c

61

330050

= (53)

XIV - Clculo provisrio do ngulo de inclinao das ps na entrada "4

"

Considerando entrada radial do fluido no rotor, teremos o9034 == e pelotringulo de velocidades:

4

44 u

ctg = ou

4

44 u

carctg = (54)

Para o clculo da velocidade absoluta do fluido entrada do rotor4c , j dentro doscanais formados pelas ps, teremos que estimar o valor do fator de estrangulamento para aentrada do rotor, normalmente dentro da faixa 90804 ,a , f e = , para bombas e 950904 ,a , f e = , para ventiladores. Logo:

4

344

e

mm f

ccc == (55)

A velocidade tangencial para a entrada do rotor4u , calculada pela expresso:

n Du 44 = (56)

onde 4u , medida em m/s, 4 D , em m en em rps.

XV - Clculo do nmero de ps " N "

Para bombas, uma das frmulas mais utilizadas para o clculo do nmero de ps dorotor a devida a PFLEIDERER (1960).

245

45

45 ++= sen

D D D D

K N N (57)

onde:

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26

56 , K N = = coeficiente de correo para rotores fundidos;

08 , K N = = coeficiente de correo para ps executadas em chapas finas, conformadas.

O valor de N assim calculado dever ser arredondado para nmero inteiro mais prximo.

Para ventiladores, TEDESCHI (1969) aconselha as frmulas seguintes:

54

54

1110

D / D D / D

N += para rotores com o1005 e (58)

54

545 1170

D / D D / D

D , N += para rotores o1605 . (59)

XVI - Fixao da velocidade meridiana de sada " 5mc "

Para bombas podemos utilizar a expresso:

( ) 2155 01350 / qAm nu ,c = (60)

Enquanto que para ventiladores de alta presso, faz-se comumente:

35 mm cc =

J para os ventiladores de baixa e mdia presses normalmente definida estavelocidade a partir da condio 45 bb = .

XVII - Clculo provisrio da largura de sada "5b "

Tambm pela equao da continuidade podemos calcular:

555

5emv f c D

Qb

= (61)

onde se considera 15 =e f para o clculo provisrio. Nesta equao5b em m, Q em m3/s,5 D em m, 5mc em m/s, v e 5e f so adimensionais.

XIII - Fixao da espessura "e" das ps

Na fixao da espessura das ps so utilizados critrios de resistncia dos materiais,rigidez estrutural e processos de fabricao. Para uma primeira orientao, no entanto,TEDESCHI (1969) prope as seguintes frmulas empricas:

- para bombas com rotor fundido

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27

( ) 315530 / b D ,e (62)

onde todas as grandezas so expressas em milmetros.

- para ventiladores com o 1005 < , construdas em chapa

( ) 215220090 / D ,a ,e = (63)

sendo os valores mais baixos correspondentes a 03055 , D / b = e os mais elevadoscorrespondentes a 3055 , D / b = .

- para rotores do tipo SIROCCO ( 1605 = )

2150450 / D ,e = , com ps fixadas por rebites e 215090 / D ,e = , com ps soldadas.

XIX - Correo do ngulo " 4 "

Uma vez conhecida a espessura das ps e o seu nmero, poderemos fazer acomprovao do valor do fator de estrangulamento para a entrada do rotor, inicialmenteestimado:

4

444 t

et f t e

=

onde:

N D

t 44 = = passo na entrada do rotor, em mm;

44 sen

ee t = = espessura tangencial das ps na entrada do rotor, em mm.

Determinando o valor de 4e f , calcularemos os novos valores de4c e do ngulo 4

de acordo com o procedimento adotado no item XIV.XX - Clculo da energia especfica " paY "

Inicialmente calcularemos o valor da energia especfica fornecida pelo rotor comnmero finito de ps atravs da relao:

h pa

Y Y

= (64)

Posteriormente calcularemos a energia especfica fornecida pelo rotor suposto comnmero infinito de ps pela equao:

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28

pa

pa

Y Y = (65)

onde o fator de deficincia de potncia " " ser determinado por uma das expresses

sugeridas anteriormente, a de PFLEIDERER (1960)

para bombas e a de ECK (1973) paraventiladores.

XXI - Correo da velocidade tangencial "5u "

A equao fundamental para mquinas de fluxo radiais com nmero infinito de ps eo904 = , :

55 u pa cuY =

Pelo tringulo de velocidades para a sada do rotor (Figura 12) vemos que:5555 tg / cuc mu = .

cm 5

cu5

5 5

c5 w5

u5

Figura 12 Tringulo de velocidades para a sada de rotor radial com nmero infinito

Levando este valor na expresso anterior vem:

55

525

5

555 utg

cu

tg c

uuY mm pa =

= (66)

Resolvendo esta equao do 2o grau se obtm:

+

= pamm Y tg

ctg c

u2

5

5

5

55 22

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29

Como o sinal negativo antes do radical pode ser desconsiderado pois implicaria em5unegativa, ficamos com:

+

+= pamm Y tg

c

tg

cu

2

5

5

5

55

22 (67)

Esta a expresso utilizada para a correo do valor da velocidade tangencial5uquando a entrada do fluido no rotor se verifica de maneira radial ( o904 = ). Caso isto noacontea, o termo 44 ucu deve ser levado em considerao.

XXII - Clculo definitivo do dimetro de sada "5 D "

Utilizando o valor corrigido de5u podemos calcular definitivo de5 D pela expresso:

nu D

55 =

onde 5 D obtido em m, com 5u em m/s en em rps.

XXIII - Clculo definitivo da largura de sada "5b "

Novamente utilizaremos a expresso

5555

emv f c DQ

b =

quando temos agora condies de efetuar o clculo do valor real do fator de estrangulamento5e f .

5

555 t

et f t e

=

onde:

N D

t 55 = passo na sada do rotor, em mm;

55 sen

ee t = espessura tangencial das ps na sada do rotor, em mm.

XXIV - Tringulo de velocidades na sada

Com os elementos at agora conhecidos j temos condies de calcular os demais

valores das velocidades componentes do tringulo correspondente a um ponto logo aps asada dos canais formados pelas ps do rotor.

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30

A componente meridiana da velocidade absoluta de sada6mc calculada levando emconta o aumento da seo de passagem em decorrncia do desaparecimento das ps ou seja:

556 emm f cc =

Enquanto que a componente tangencial da velocidade absoluta levar em conta o fator de deficincia de potncia " ", como veremos a seguir para o9043 == .

5

6

55

65

u

u

u

u

pa

pa

cc

cucu

Y

Y ===

, ou ainda:

56 uu cc =

Podemos ento traar o tringulo de sada da Figura 13.

6 6

cu6

cm6 w6c6

u5

Figura 13 Tringulo de sada do rotor radial com nmero finito de ps de espessura finita

O ngulo 6 obtido neste tringulo est intimamente vinculado com o ngulo deinclinao das ps do difusor, no caso de difusor de ps, ou com a inclinao da lingeta dodifusor em caixa espiral, caso ele seja deste tipo.

Normalmente, para bombas, o valor deste ngulo est compreendido nas faixas:

o a 1256 = , para difusor de ps;o a 25126 = , para difusor em caixa espiral ou anular liso.

XXV - Traado das ps do rotor

Pela equao fundamental das mquinas de fluxo vemos que a energia teoricamente aser fornecida pelo rotor ao fluido depende exclusivamente das condies de entrada e sada dorotor, ou seja, dos ngulos 4 e 5 de inclinao das ps na entrada e sada do rotor. Noentanto um mau traado das ps, com mudanas bruscas de direo afeta diretamente o

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rendimento hidrulico e conseqentemente o valor da energia que realmente o rotor cede aofluido. Muitos so os tipos de traado que buscam uma transio suave entre o ngulo deentrada e o ngulo de sada das ps do rotor. Entre estes podemos citar o traado por pontos, otraado por arco de espiral logartmica e o traado por um ou mais arcos de circunferncia.Como exemplo vamos comentar o traado por um s arco de circunferncia (Figura 14).

Este tipo de traado se resume em resolver graficamente o problema de buscar ocentro de um arco de circunferncia, que corte as circunferncias de entrada e sada de raios4r e 5r respectivamente sob os ngulos4 e 5 conhecidos.

Inicialmente traamos duas circunferncias de raios4r e 5r respectivamente, comcentro no ponto 0. A partir do ponto 0 traamos um raio qualquer 0A, sendo A o ponto finalda p a ser construda. Em seguida levamos o ngulo 54 + no ponto 0, a partir do raio 0A,dando origem desta maneira a um novo raio que intercepta circunferncia de raio r, no pontoB. Unindo o ponto A com o ponto B atravs de uma reta e prolongando-a at interceptar novamente a circunferncia de raio r, determinamos o ponto C. A partir do raio 0C, comcentro em C, traamos o ngulo 1, e a partir do raio 0A, com centro em A, traamos o ngulo

5 . O ponto D, onde se encontram as retas AD e CD, ser o centro da circunferncia buscada.Com efeito, o tringulo 0BC um tringulo isscele. Logo os seus ngulos internos guardama seguinte relao ++== 5400 CB BC , conseqentemente conclumos que

BAD BCD =+= 5 e o tringulo ACD tambm issceles com CD AD = e D o centrode curvatura da p a ser construda, que corta a circunferncia de raio4r com o ngulo 4 e acircunferncia de raio5r com o ngulo 5 . O raio de curvatura C R da p pode ser calculado pela seguinte expresso:

( )4455

24

25

2 cosr cosr r r

RC

= (68)

4 + 5

5

4

C

B

A

O

r 5

r 4

R c

Figura 14 Traado da p de rotor radial pelo mtodo do arco de circunferncia.

A mesma construo serve para ps curvadas para frente, permutando os pontos B e C e caindo o ponto D no outro lado de AC .

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XXVI Projees meridiana e normal do rotor de uma bomba centrfuga

Como resultado do pr-projeto de uma bomba hidrulica obtm-se as projees no plano meridiano e no plano normal do rotor, como ilustrado na Figura 15.

(a)

(b)Figura 15 Projeo meridiana (a) e normal (b) do rotor de uma bomba centrfuga radial.

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REFERNCIAS

BRAN, R.; SOUZA, Z. Mquinas de Fluxo, Ao Livro Tcnico S/A, Rio de Janeiro, 1969,262p.

COSTA, E.C. Compressores, Editora Edgar Blucher Ltda, So Paulo, 1978.ECK, B. Fans, Pergamon Press Ltd., Oxford, 1973

HENN, E.A.L. Influncia do Nmero Finito de Ps em Mquinas de Fluxo. Dissertao deMestrado, Itajub, EFEI, 1972, 88p.

HENN, E.A.L. Mquinas de Fluxo, manuscrito a ser submetido para publicao, UFSM,1996. 183p

MACINTYRE, A.,J. Bombas e Instalaes de Bombeamento, Guanabara Dois, Rio deJaneiro, 1980, 667p.

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