BRASÍLIA 2017 - Portal do FNDE - FNDE - Fundo Nacional de

BRASIacuteLIA 2017

ministeacuterio da educaccedilatildeo secretaria de educaccedilatildeo baacutesica Esplanada dos Ministeacuterios Bloco L Sala 500

CEP 70047-900

BrasiacuteliaDF

Dados Internacionais de Catalogaccedilatildeo na Publicaccedilatildeo (CIP)

Centro de Informaccedilatildeo e Biblioteca em Educaccedilatildeo (CIBEC)

Bibliotecaacuterios responsaacuteveis Mayara Cristoacutevatildeo da Silva CRB-1 2812 e Tiago de Almeida Silva CRB-1 2976

Brasil Ministeacuterio da Educaccedilatildeo PNLD 2018 matemaacutetica ndash guia de livros didaacuteticos ndash

Ensino Meacutedio Ministeacuterio da Educaccedilatildeo ndash Secretaacuteria de Educaccedilatildeo Baacutesica ndash SEB ndash

FundoNacional de Desenvolvimento da Educaccedilatildeo

Brasiacutelia DF Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaacuteria de Educaccedilatildeo Baacutesica 2017

122 p

ISBN 978-85-7783-237-8

1 Educaccedilatildeo Escolar ndash TBE 2 Livro Didaacutetico ndash TBE 3 Ensino Meacutedio ndash TBE

4 Matemaacutetica ndash TBE

I Ministeacuterio da Educaccedilatildeo II Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educaccedilatildeo

III Tiacutetulo

CDU 51

B823p

ministeacuterio da educaccedilatildeosecretaria de educaccedilatildeo baacutesica ndash seb

diretoria de apoio agraves redes de educaccedilatildeo baacutesica ndash dare

coordenaccedilatildeo-geral de materiais didaacuteticos ndash cogeam

fundo nacional de desenvolvimento da educaccedilatildeo ndash fnde

diretoria de accedilotildees educacionais ndash dirae

coordenaccedilatildeo-geral dos programas do livro ndash cgpli

equipe da sebCleidilene Brandatildeo Barros

Cristina Thomas de Ross

Edivar Ferreira de Noronha Juacutenior

Fabiacuteola Carvalho Dionis

Frederico Ozanam Arreguy Maia

Joseacute Ricardo Albernaacutes Lima

Leila Rodrigues de Macecircdo Oliveira

Lenilson Silva de Matos

Samara Danielle dos Santos Zacarias

Tassiana Cunha Carvalho

equipe do fndeClarissa Lima Paes de Barros

Geovaacute da Conceiccedilatildeo Silva

Joseacute Carlos Lopes

Karina de Oliveira Scotton Aguiar

Nadja Cezar Ianzer Rodrigues

Wilson Aparecido Troque

design coordenaccedilatildeo de designHana Luzia

projeto graacuteficoBreno Chamie

diagramaccedilatildeo de conteuacutedoGabriela Arauacutejo

equipe responsaacutevel pela avaliaccedilatildeo

comissatildeo teacutecnicaArte Dra Lilia Neves Gonccedilalves ndash UFU

Biologia Dra Maria Margarida Pereira de Lima Gomes ndash UFRJ

Filosofia Dr Eduardo Salles de Oliveira Barra ndash UFPR

Fiacutesica Dr Eduardo Adolfo Terrazan ndash UFSM

Geografia Dr Antonio Nivaldo Hespanhol ndash Unesp

Histoacuteria Dra Flaacutevia Eloisa Caimi ndash UPF

Liacutengua Estrangeira Moderna (Espanhol) Dra Maria del Carmen

Faacutetima Gonzaacutelez Daher ndash UFF

Liacutengua Estrangeira Moderna (Inglecircs) Dra Vera Lucia

de Albuquerque SantrsquoAnna ndash UERJ

Liacutengua Portuguesa Dra Flaacutevia Brocchetto Ramos ndash UCS

Matemaacutetica Dr Joatildeo Bosco Pitombeira Fernandes

de Carvalhos ndash UFRJUFMT

Quiacutemica Dra Maria Inecircs Petrucci Rosa ndash Unicamp

Sociologia Dra Anita Handfas ndash UFRJ

equipe responsaacutevel pela avaliaccedilatildeo de recursosAlexandro Dantas Trindade (UFPR) ndash Doutor em Ciecircncias Sociais

Arthur Magon Whitacker (Unesp) ndash Doutor em Geografia

Celso Donizete Locatel (UFRN) ndash Doutor em Geografia

Claudia Amoroso Bortolato (Unicamp) ndash Doutora em Ensino

de Ciecircncias e Matemaacutetica

Gisele Dalva Secco (UFRGS) ndash Doutora em Filosofia

Glaacuteucia drsquoOlim Marote Ferro (USP) ndash Doutora em Educaccedilatildeo

Glaacuteucio Joseacute Marafon (UERJ) ndash Doutor em Geografia

Gustavo Cacircndido de Oliveira Melo (IFG) ndash Mestre em Matemaacutetica

Haydeacutee Gloacuteria Cruz Caruso (UnB) ndash Doutor em Antropologia

Irenilza Oliveira e Oliveira (UNEB) ndash Doutora em Linguiacutestica

Jorge Luiz Viesenteiner (UFES) ndash Doutor em Filosofia

Joseacute Eduardo Botelho de Sena (ENSG-SP) ndash Doutor em Letras

Juacutelia Morena Silva da Costa (UFBA) ndash Doutora em Literatura e Cultura

Lovani Volmer (FEEVALE) ndash Doutora em Letras

Luacutecia Helena Pereira Teixeira (UNIPAMPA) ndash Doutora em Educaccedilatildeo Musical

Luciene Juliano Simotildees (UFRGS) ndash Doutora em Linguiacutestica e Letras

Luiacutes Fernando Cerri (UEPGPonta Grossa-PR) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Marcia Montenegro Velho (UFRGS) ndash Mestrado Linguiacutestica Letras e Artes

Maria Aurora Consuelo Alfaro Lagorio (UFRJ) ndash Doutora em Educaccedilatildeo

Maria Cristina Dantas Pina (UESB-Vitoacuteria da Conquista) ndash Doutora

em Educaccedilatildeo

Marina de Carvalho Cordeiro (UFRRJ) ndash Doutora em Sociologia

e Antropologia

Martha Salerno Monteiro (USP) ndash Doutora em Matemaacutetica

Mauro Gleisson de Castro Evangelista (SEEDF) ndash Mestre em Educaccedilatildeo

Mayara Soares de Melo (IFGOIANO) ndash Mestra em Ensino de Ciecircncias

Miguel Chaquiam (UEPA) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Priscilla Vilas Boas (EMIA-SP) ndash Mestra em Educaccedilatildeo

Reginaldo Alberto Meloni (UNIFESP) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Ronai Pires da Rocha (UFSM) ndash Doutor em Filosofia

Simone Laiz de Morais Lima (EMIA-SP) ndash Especializaccedilatildeo em Cultura

e Arte Barroca

instituiccedilatildeo responsaacutevel pela avaliaccedilatildeoSelecionada pela Chamada Puacuteblica nordm 422016 (DOU 22042016)

Universidade Federal de Pernambuco - UFPE

coordenaccedilatildeo pedagoacutegicaVerocircnica Gitirana Gomes Ferreira (UFPE) ndash Doutora em Educaccedilatildeo

Matemaacutetica

coordenaccedilatildeo institucionalAdriano Pedrosa de Almeida (UFPE) ndash Mestre em Ciecircncia

da Computaccedilatildeo

assessoria pedagoacutegicaIole de Freitas Druck (USP) ndash Doutora em Matemaacutetica

Elizabeth Belfort da Silva Moren (UFRJ) ndash Doutora em Educaccedilatildeo

Matemaacutetica

coordenaccedilatildeo adjunta principal

Paulo Figueiredo Lima (UFPE) ndash Doutor em Matemaacutetica

coordenaccedilatildeo adjunta auxiliar

Abraatildeo Juvencio de Araujo (UFPE) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Bruno Alves Dassie (UFF) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Marilena Bittar (UFMS) ndash Doutora em Didaacutetica de Disciplinas

Cientiacuteficas

avaliadoresAirton Carriatildeo Machado (UFMG) ndash Doutor em Educaccedilatildeo Matemaacutetica

Alex Jordane de Oliveira (IFES) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Ana Paula Barbosa de Lima (UFPE) ndash Doutoranda em Educaccedilatildeo

Matemaacutetica e Tecnoloacutegica

Ana Paula Jahn (USP) ndash Doutora em Didaacutetica da Matemaacutetica

Acircngela Tavares Paes (UNIFESP) ndash Doutora em Estatiacutestica

Antocircnio Mauriacutecio Medeiros Alves (UFPEL) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Aparecida Augusta da Silva (UFMT) ndash Doutora em Educaccedilatildeo

Aparecida Santana de Souza Chiari (UFMS) ndash Doutora em Educaccedilatildeo

Matemaacutetica

Camila de Oliveira da Silva (UFMS) ndash Mestre em Educaccedilatildeo

Matemaacutetica

Claacuteudia Regina Oliveira de Paiva Lima (UFPE) ndash Doutora em Estatiacutestica

Custoacutedio da Cunha Alves (UNIVILLE) ndash Doutor em Engenharia

de Produccedilatildeo

Danielly Regina Kaspary dos Anjos (UFMS) ndash Doutoranda

em Educaccedilatildeo Matemaacutetica

Edineacuteia Aparecida dos Santos Galvanin (UNEMAT-MT) ndash Doutora

em Ciecircncias Cartograacuteficas

Flaacutevia dos Santos Soares (UFF) ndash Doutora em Educaccedilatildeo Matemaacutetica

Gisela Maria da Fonseca Pinto (UFRRJ) ndash Doutoranda em Educaccedilatildeo

Matemaacutetica

Jonei Cerqueira Barbosa (UFBA) ndash Doutor em Educaccedilatildeo Matemaacutetica

Joseacute Carlos Alves de Souza (UFPE) ndash Mestre em Ensino das Ciecircncias

Joseacute Edeson de Melo Siqueira (UFPE) ndash Doutorando em Educaccedilatildeo


Leandra Anversa Fioreze (UFRGS) ndash Doutora em Informaacutetica

na Educaccedilatildeo

Luiz Maacutercio Santos Farias (UFBA) ndash Doutor em Didaacutetica das Ciecircncias

e Matemaacutetica

Mara Sueli Simatildeo Moraes (UNESP-Bauru) ndash Doutora em Matemaacutetica

Maacutercia Cristina Costa Trindade Cyrino (UEL-PR) ndash Doutora


Marcus Bessa de Menezes (UFCG) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Paula Moreira Baltar Bellemain (UFPE) ndash Doutora em Didactique Des

Disciplines Scientifiques

Renan Gustavo Arauacutejo de Lima (SEDMS) ndash Mestre em Educaccedilatildeo

Matemaacutetica

Rony Claacuteudio de Oliveira Freitas (IFES) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

Suely Scherer (UFMS) ndash Doutora em Educaccedilatildeo Matemaacutetica

Tacircnia Schmitt (UnB) ndash Mestre em Matemaacutetica

Tarcisio Rocha dos Santos (UFPE) ndash Mestre em Educaccedilatildeo Matemaacutetica

e Tecnologia

leitura criacuteticaAntocircnio Carlos Rodrigues Monteiro (UFPE) ndash Doutor em Matemaacutetica

Rosilacircngela Maria de Lucena Scanoni Couto (UFPE) ndash Doutoranda em

Educaccedilatildeo Matemaacutetica e Tecnoloacutegica

revisatildeoElvira Costa de Oliveira Nadai (Autocircnomo) ndash Graduada em Histoacuteria

Econocircmica do Brasil

revisatildeo ortograacuteficaSeacutergio Paulino Abranches (UFPE) ndash Doutor em Educaccedilatildeo

apoio administrativoClaacuteudia Bezerra da Silva (ServidorUFPE) ndash Especialista em Gestatildeo

Puacuteblica

Apresentaccedilatildeo

Matemaacutetica no Ensino Meacutedio

Princiacutepios e criteacuterios de avaliaccedilatildeo

Princiacutepios gerais de avaliaccedilatildeo

Criteacuterios gerais de avaliaccedilatildeo

Criteacuterios de avaliaccedilatildeo do componente curricular Matemaacutetica

Coleccedilotildees aprovadas

Seleccedilatildeo dos conteuacutedos

Distribuiccedilatildeo dos conteuacutedos

Nuacutemeros

Linguagem e argumentaccedilatildeo na matemaacutetica para o Ensino Meacutedio

Metodologia de ensino e aprendizagem

Contextualizaccedilatildeo

Manual do Professor

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40

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12

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sumaacuterio

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Resenhas

Matemaacutetica ndash Contexto amp Aplicaccedilotildees

Quadrante ndash Matemaacutetica

Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees

Matemaacutetica para Compreender o Mundo

Matemaacutetica Interaccedilatildeo e Tecnologia

Contato Matemaacutetica

Matemaacutetica ndash Paiva

Conexotildees com a Matemaacutetica

Ficha de Avaliaccedilatildeo

Referecircncias

43

67

51

74

59

81

88

95

42

103

121

8

apresentaccedilatildeo

Prezado professor Prezada professora

Escolher o livro didaacutetico que o apoiaraacute no trabalho de formaccedilatildeo dos estudantes eacute mais uma tarefa em que sua participaccedilatildeo eacute essencial O Guia do Livro Didaacutetico tem o objetivo de ajudaacute-lo a conhecer o conjunto das coleccedilotildees aprovadas no Programa Nacional do Livro Didaacutetico ndash PNLD 2018

No Guia estatildeo presentes as resenhas das oito coleccedilotildees de livros didaacuteticos de Matemaacutetica aprovadas para o Ensino Meacutedio Essas resenhas possuem estrutura uniforme contecircm tanto a descriccedilatildeo e o su-maacuterio de cada uma das obras como a avaliaccedilatildeo das principais caracteriacutesticas delas Vocecirc tambeacutem encontraraacute subsiacutedios para um melhor aproveitamento dos livros em seu trabalho pedagoacutegico e ain-da sugestotildees de como contornar algumas das limitaccedilotildees neles observadas

Desde 1997 o Ministeacuterio da Educaccedilatildeo acumula experiecircncia na avaliaccedilatildeo de livros didaacuteticos de todos os componentes curriculares e etapas do ensino baacutesico Esta eacute a quinta vez que o MEC realiza uma avaliaccedilatildeo de livros didaacuteticos de Matemaacutetica para o Ensino Meacutedio A anaacutelise das obras inscritas no PNLD eacute um momento fundamental desse amplo processo que tem sido desenvolvido pela Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica (SEB) e pelo Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educaccedilatildeo (FNDE) em parce-ria com instituiccedilotildees puacuteblicas de ensino superior

Como em anos anteriores a avaliaccedilatildeo das obras inscritas no PNLD 2018 reuniu docentes de diversas instituiccedilotildees educacionais do paiacutes todos com experiecircncia nas questotildees de ensino e de aprendizagem da Matemaacutetica escolar em diferentes niacuteveis da escolaridade Sob a coordenaccedilatildeo de uma universi-dade puacuteblica e tomando por base os criteacuterios de avaliaccedilatildeo expressos no Edital do PNLD 2018 esses profissionais realizaram um trabalho minucioso do qual resultaram as resenhas que visam auxiliaacute-lo na escolha que vocecirc eacute convidado a fazer

Para aproveitar este espaccedilo de diaacutelogo o Guia natildeo poderia se restringir agraves resenhas Assim nas paacute-ginas seguintes haacute textos que aleacutem de contribuir para a sua escolha trazem subsiacutedios para o uso posterior da coleccedilatildeo e para a formaccedilatildeo continuada Esses textos incluem consideraccedilotildees sobre a Ma-temaacutetica no Ensino Meacutedio os princiacutepios e criteacuterios adotados na avaliaccedilatildeo das coleccedilotildees e a ficha de avaliaccedilatildeo que foi utilizada pelos avaliadores para a anaacutelise dos livros

No texto Coleccedilotildees aprovadas discorre-se sobre algumas das caracteriacutesticas comuns observadas no conjunto das obras resenhadas Isso eacute feito sob vaacuterios pontos de vista abordagem dos conteuacutedos

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matemaacuteticos metodologia de ensino e aprendizagem contextualizaccedilatildeo formaccedilatildeo para a cidadania e caracteriacutesticas do Manual do Professor

As resenhas apresentadas neste Guia estatildeo relacionadas conforme a sequecircncia de inscriccedilatildeo das co-leccedilotildees submetidas agrave avaliaccedilatildeo no PNLD 2018 Matildeos agrave obra Cabe a vocecirc e a seus colegas consultar ler e discutir as resenhas para selecionar a obra que considere mais adequada ao projeto pedagoacutegico de sua escola

Bom trabalho

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matemaacutetica no ensino meacutedio

A Matemaacutetica eacute uma das mais significativas conquistas do conhecimento humano produzida e or-ganizada no decorrer da histoacuteria Aleacutem disso faz parte do cotidiano das pessoas e contribui para as atividades das outras ciecircncias e de diferentes tecnologias Ela se manteacutem viva e eacute permanentemente revigorada pelos novos usos e contribuiccedilotildees vindas em especial dos centros de ensino e de pesqui-sa nos quais se desenvolve uma permanente produccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico

Dois aspectos articulam-se de forma complexa e indissociaacutevel na Matemaacutetica O primeiro eacute o de suas aplicaccedilotildees agraves vaacuterias atividades humanas que tecircm originado muitos dos mais belos modelos abstratos dessa ciecircncia Outro eacute o da especulaccedilatildeo pura voltada para problemas gerados na evoluccedilatildeo da proacutepria Ciecircncia e que em muitos casos revelaram-se fonte das mais surpreendentes aplicaccedilotildees Aleacutem desses aspectos a dimensatildeo esteacutetica estaacute presente em muitas das construccedilotildees matemaacuteticas Podem ser lem-bradas ainda as ligaccedilotildees existentes haacute milecircnios entre a Matemaacutetica e as atividades luacutedicas

Ao longo de sua evoluccedilatildeo os homens recorreram em suas praacuteticas matemaacuteticas a diversos meacuteto-dos No entanto especialmente a partir da civilizaccedilatildeo grega o meacutetodo dedutivo tem predominado e assume a primazia de ser o uacutenico meacutetodo aceito na comunidade cientiacutefica para comprovaccedilatildeo de um fato matemaacutetico Os conceitos de axioma definiccedilatildeo teorema e demonstraccedilatildeo satildeo o cerne desse meacute-todo e por extensatildeo passaram a ser para muitos a face mais visiacutevel da Matemaacutetica Trata-se de um meacutetodo de validaccedilatildeo do fato matemaacutetico muito mais do que um meacutetodo de descoberta ou de uso do conhecimento matemaacutetico Na construccedilatildeo efetiva desse saber faz-se uso permanente da imaginaccedilatildeo de raciociacutenios indutivos ou plausiacuteveis de conjecturas de tentativas de verificaccedilotildees empiacutericas enfim recorre-se a uma variedade complexa de outros procedimentos

No que diz respeito agrave Matemaacutetica enquanto conhecimento acumulado e organizado eacute preciso dosar em progressatildeo criteriosa o emprego de seu meacutetodo proacuteprio de validaccedilatildeo dos resultados o meacutetodo dedutivo Eacute indispensaacutevel que o estudante estabeleccedila gradualmente a diferenccedila entre os vaacuterios pro-cedimentos de descoberta invenccedilatildeo e validaccedilatildeo Em particular eacute interessante que ele compreenda a distinccedilatildeo entre uma prova loacutegico-dedutiva e uma verificaccedilatildeo empiacuterica seja essa baseada na visuali-zaccedilatildeo de desenhos na construccedilatildeo de modelos materiais ou na mediccedilatildeo de grandezas Dessa forma o Ensino Meacutedio cumpre seu papel de ampliaccedilatildeo aprofundamento e organizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos adquiridos no ensino fundamental fase essa em que predominam na abordagem da Matemaacutetica os procedimentos indutivos informais e natildeo rigorosos

Nas uacuteltimas deacutecadas a sociedade vem experimentando um periacuteodo de mudanccedilas profundas e acele-radas nos meios de produccedilatildeo e circulaccedilatildeo de bens econocircmicos de intercacircmbio de informaccedilotildees e de

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ampliaccedilatildeo raacutepida do acervo e dos horizontes do conhecimento cientiacutefico Um dos aspectos distintivos das recentes mudanccedilas eacute o emprego crescente da Matemaacutetica tanto nas praacuteticas sociais do cotidiano ndash compras e vendas empreacutestimos crediaacuterio contas bancaacuterias seguros e tantas outras ndash quanto nas atividades cientiacuteficas ou tecnoloacutegicas Especialmente no dia a dia do cidadatildeo satildeo evidentes as reper-cussotildees do uso de recursos como o computador e da calculadora ambos amplamente difundidos em todos os meios sociais

Aleacutem disso as pessoas satildeo constantemente expostas a informaccedilotildees que para serem entendidas e le-vadas em conta de modo criacutetico exigem a leitura e a interpretaccedilatildeo de graacuteficos e tabelas e demandam o conhecimento de noccedilotildees baacutesicas de estatiacutestica e de probabilidade A capacidade de resolver problemas e de enfrentar situaccedilotildees complexas de expor e compreender ideias eacute cada vez mais requisitada Um ensino de Matemaacutetica adequado agrave fase final da educaccedilatildeo baacutesica natildeo pode negligenciar tais aspectos

Nesse quadro o Ensino Meacutedio tem de assumir a tarefa de preparar cidadatildeos para uma sociedade cada vez mais permeada por novas tecnologias e de possibilitar o ingresso de parcelas significativas de seus cidadatildeos a patamares mais elaborados do saber

Agrave luz desse contexto o ensino de Matemaacutetica deve capacitar os estudantes para

bull planejar accedilotildees e projetar soluccedilotildees para problemas novos que exijam iniciativa e criatividadebull compreender e transmitir ideias matemaacuteticas por escrito ou oralmente desenvolvendo a capa-

cidade de argumentaccedilatildeobull interpretar matematicamente situaccedilotildees do dia a dia ou do mundo tecnoloacutegico e cientiacutefico e sa-

ber utilizar a Matemaacutetica para resolver situaccedilotildees-problema nesses contextosbull avaliar os resultados obtidos na soluccedilatildeo de situaccedilotildees-problemabull fazer estimativas mentais de resultados ou caacutelculos aproximadosbull saber usar os sistemas numeacutericos assim como aplicar teacutecnicas baacutesicas de caacutelculo regularidade

das operaccedilotildees etcbull saber empregar os conceitos e procedimentos algeacutebricos incluindo o uso do conceito de funccedilatildeo

e de suas vaacuterias representaccedilotildees (graacuteficos tabelas foacutermulas etc) e a utilizaccedilatildeo das equaccedilotildeesbull reconhecer regularidades e conhecer as propriedades das figuras geomeacutetricas planas e espa-

ciais relacionando-as com os objetos de uso comum e com as representaccedilotildees graacuteficas e algeacutebri-cas dessas figuras desenvolvendo progressivamente o pensamento geomeacutetrico

bull compreender os conceitos fundamentais de grandezas e medidas e saber utilizaacute-los em situa-ccedilotildees-problema

bull utilizar os conceitos e procedimentos estatiacutesticos e probabiliacutesticos valendo-se entre outros re-cursos da combinatoacuteria

bull estabelecer relaccedilotildees entre os conhecimentos nos campos de nuacutemeros aacutelgebra geometria e es-tatiacutestica e probabilidade para resolver problemas passando de um desses quadros para outro a fim de enriquecer a interpretaccedilatildeo do problema encarando-o sob vaacuterios pontos de vista

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ltprinciacutepios gerais de avaliaccedilatildeogtOs criteacuterios de avaliaccedilatildeo das coleccedilotildees de livros didaacuteticos inscritas no Programa Nacional do Livro Didaacutetico ndash PNLD 2018 ndash constam do Edital de Convocaccedilatildeo 042015 (CGPLI) Esses criteacuterios satildeo apresen-tados a seguir divididos em dois tipos

Os primeiros traduzem em um conjunto de requisitos princiacutepios gerais relativos agrave qualidade de uma obra didaacutetica que se pretende que seja um instrumento auxiliar do trabalho educativo do professor Atividade que tem por objetivo a formaccedilatildeo do estudante na etapa do Ensino Meacutedio com suas muacutelti-plas dimensotildees estabelecidas pela Lei de Diretrizes e Bases da Educaccedilatildeo Nacional De acordo com o artigo 35 da LDB o Ensino Meacutedio etapa final da educaccedilatildeo baacutesica com duraccedilatildeo miacutenima de trecircs anos teraacute como finalidade

bull consolidar e aprofundar os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental possibilitando que o estudante prossiga nos seus estudos

bull assegurar ao educando a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a formaccedilatildeo para a cidadania dando-lhe condiccedilotildees de continuar aprendendo e ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condiccedilotildees de ocupaccedilatildeo ou aperfeiccediloamento posteriores

bull aprimorar a formaccedilatildeo eacutetica assim como o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pen-samento criacutetico do educando

bull possibilitar ao estudante a compreensatildeo dos fundamentos cientiacutefico-tecnoloacutegicos dos processos produtivos relacionando a teoria com a praacutetica no ensino de cada disciplina

Cabe agraves instituiccedilotildees escolares o papel fundamental de criar um espaccedilo de atividades e de convivecircn-cia para que o estudante desenvolva de maneira ativa competecircncias conhecimentos e atitudes que traduzam as finalidades do Ensino Meacutedio

Nesse complexo processo a sala de aula constitui-se em um cenaacuterio no qual se estabelecem inter--relaccedilotildees entre o professor o estudante o livro didaacutetico e os saberes disciplinares O livro didaacutetico traz para o processo de ensino e aprendizagem um terceiro personagem o seu autor que passa a dialogar com o professor e com o estudante Nesse diaacutelogo o livro eacute portador de escolhas sobre o saber a ser estudado os meacutetodos adotados para que o estudante consiga apreendecirc-lo mais eficaz-mente e a organizaccedilatildeo dos conteuacutedos ao longo dos anos de escolaridade No que diz respeito ao estudante e ao professor satildeo atribuiacutedas funccedilotildees importantes a esse material referencial

princiacutepios e criteacuterios de avaliaccedilatildeo

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Em relaccedilatildeo ao estudante tais funccedilotildees podem ser

bull favorecer a aquisiccedilatildeo de saberes socialmente relevantesbull consolidar ampliar aprofundar e integrar os conhecimentosbull propiciar o desenvolvimento de competecircncias e habilidades do estudante que contribuam para

aumentar sua autonomiabull contribuir para a formaccedilatildeo social e cultural e desenvolver a capacidade de convivecircncia e de

exerciacutecio da cidadania

Com respeito ao professor espera-se que o livro didaacutetico

bull auxilie no planejamento didaacutetico-pedagoacutegico anual e na gestatildeo das aulasbull favoreccedila a formaccedilatildeo didaacutetico-pedagoacutegicabull auxilie na avaliaccedilatildeo da aprendizagem do estudantebull contribua para que os resultados de pesquisas na aacuterea cheguem agrave sala de aulabull favoreccedila a aquisiccedilatildeo de saberes profissionais pertinentes cumprindo o papel de texto de referecircncia

Para o desempenho dessas funccedilotildees importam natildeo soacute os conteuacutedos do Livro do Estudante mas tambeacutem as orientaccedilotildees e os textos informativos incluiacutedos no Manual do Professor Daiacute decorrem os requisitos adiante citados que se referem especificamente a essa parte absolutamente relevante da coleccedilatildeo didaacutetica a ser avaliada

Valorizar o papel do livro didaacutetico natildeo significa contudo que ele seja dominante no processo de ensino e aprendizagem em detrimento da atuaccedilatildeo do professor Isso porque aleacutem das tarefas ine-rentes agrave conduccedilatildeo das atividades da sala de aula ou fora dela o professor sempre pode ampliar o seu repertoacuterio profissional com fontes bibliograacuteficas e outros recursos complementares

O PNLD tem como um de seus princiacutepios baacutesicos reservar ao docente a tarefa de escolher o livro que em sintonia com o projeto pedagoacutegico de sua escola seraacute usado por seus estudantes Portanto essa eacute mais uma das importantes funccedilotildees a que o docente eacute periodicamente chamado a realizar

Em consonacircncia com os princiacutepios gerais esboccedilados acima os criteacuterios de avaliaccedilatildeo comuns a todos os componentes curriculares do PNLD 2018 foram estabelecidos no Anexo III do Edital de Convocaccedilatildeo 042015 ndash CGLPI

ltcriteacuterios gerais de avaliaccedilatildeogtA avaliaccedilatildeo das obras didaacuteticas inscritas no PNLD 2018 eacute feita por meio da articulaccedilatildeo entre criteacuterios eliminatoacuterios comuns a todas as aacutereas e criteacuterios eliminatoacuterios especiacuteficos para cada aacuterea e para cada componente curricular A articulaccedilatildeo entre esses criteacuterios tem por objetivo garantir a qualidade didaacutetico-pedagoacutegica das obras aprovadas

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ltcriteacuterios eliminatoacuterios comuns a todas as coleccedilotildeesgtOs criteacuterios eliminatoacuterios comuns a serem observados na avaliaccedilatildeo satildeo os seguintes

a respeito agrave legislaccedilatildeo agraves diretrizes e agraves normas oficiais relativas ao Ensino Meacutediob observacircncia de princiacutepios eacuteticos e democraacuteticos necessaacuterios agrave construccedilatildeo da cidadania e ao con-

viacutevio social republicanoc coerecircncia e adequaccedilatildeo da abordagem teoacuterico-metodoloacutegica assumida pela obra no que diz res-

peito agrave proposta didaacutetico-pedagoacutegica explicitada e aos objetivos visadosd respeito agrave perspectiva interdisciplinar na abordagem dos conteuacutedose correccedilatildeo e atualizaccedilatildeo de conceitos informaccedilotildees e procedimentosf observacircncia das caracteriacutesticas e finalidades especiacuteficas do manual do professor e adequaccedilatildeo da

obra agrave linha pedagoacutegica nela apresentadag adequaccedilatildeo da estrutura editorial e do projeto graacutefico aos objetivos didaacutetico-pedagoacutegicos da obra

A natildeo observacircncia de qualquer um desses criteacuterios[] resultaraacute em proposta incompatiacutevel com os objetivos estabelecidos para o Ensino Meacutedio o que justificaraacute ipso facto sua exclusatildeo do PNLD 2018

Tendo em vista a preservaccedilatildeo da unidade e a articulaccedilatildeo didaacutetico-pedagoacutegica seraacute excluiacuteda toda a obra que ao ser apresentada em forma de coleccedilatildeo tiver um ou mais volumes excluiacutedos no processo de avaliaccedilatildeo

ltcriteacuterios de avaliaccedilatildeo do componente curricular matemaacuteticagtNo processo de avaliaccedilatildeo das obras a concepccedilatildeo que se adota para a Matemaacutetica adequada ao Ensi-no Meacutedio foi traduzida no conjunto de requisitos seguintes Esses requisitos devem obrigatoriamente ser cumpridos pelas coleccedilotildees de livros didaacuteticos dessa aacuterea do conhecimento

1 incluir todos os campos da Matemaacutetica escolar a saber nuacutemeros aacutelgebra geometria e estatiacutes-tica e probabilidade

2 privilegiar a exploraccedilatildeo dos conceitos matemaacuteticos e de sua utilidade para resolver problemas3 apresentar os conceitos com encadeamento loacutegico evitando recorrer a conceitos ainda natildeo

definidos para introduzir outro conceito utilizar-se de definiccedilotildees circulares confundir tese com hipoacutetese em demonstraccedilotildees matemaacuteticas entre outros

4 propiciar o desenvolvimento pelo estudante de competecircncias cognitivas baacutesicas como obser-vaccedilatildeo compreensatildeo argumentaccedilatildeo organizaccedilatildeo anaacutelise siacutentese comunicaccedilatildeo de ideias mate-maacuteticas memorizaccedilatildeo entre outras

No que se refere especificamente ao Manual do Professor eacute exigido que ele

1 apresente linguagem adequada ao leitor a que se destina ndash o professor ndash e atenda ao seu objeti-vo como manual de orientaccedilotildees didaacuteticas metodoloacutegicas e de apoio ao trabalho em sala de aula

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2 contribua para a formaccedilatildeo do professor oferecendo discussotildees atualizadas acerca de temas re-levantes para o trabalho docente tais como curriacuteculo aprendizagem natureza do conhecimento matemaacutetico e de sua aplicabilidade avaliaccedilatildeo poliacuteticas educacionais entre outros

3 integre os textos e documentos reproduzidos em um todo coerente com a proposta metodoloacutegi-ca adotada e com a visatildeo de Matemaacutetica e de seu ensino e aprendizagem preconizadas na obra

4 natildeo se limite a consideraccedilotildees gerais ao discutir a avaliaccedilatildeo em Matemaacutetica mas ofereccedila orien-taccedilotildees efetivas do que como quando e para que avaliar relacionando-as com os conteuacutedos expostos nos vaacuterios capiacutetulos unidades seccedilotildees

5 contenha aleacutem do Livro do Estudante orientaccedilotildees para o docente exercer suas funccedilotildees em sala de aula bem como propostas de atividades individuais e em grupo

6 explicite as alternativas e recursos didaacuteticos ao alcance do docente permitindo-lhe selecionar caso o deseje os conteuacutedos que apresentaraacute em sala de aula e a sequecircncia em que seratildeo apre-sentados

7 contenha as soluccedilotildees detalhadas de todos os problemas e exerciacutecios aleacutem de orientaccedilotildees de como abordar e tirar o melhor proveito das atividades propostas

8 apresente uma bibliografia atualizada para aperfeiccediloamento do professor agrupando os tiacutetulos indicados por aacuterea de interesse e comentando-os

9 separe claramente as leituras indicadas para os estudantes daquelas que satildeo recomendadas para o professor

As coleccedilotildees que natildeo atenderam esses requisitos especiacuteficos do componente curricular Matemaacutetica foram excluiacutedas do PNLD 2018

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10 es confundir tese com hipoacutetese em demonstraccedilotildees matemaacuteticas entre outros11 propiciar o desenvolvimento pelo estudante de competecircncias cognitivas baacutesicas como obser-

vaccedilatildeo compreensatildeo argumentaccedilatildeo organizaccedilatildeo anaacutelise siacutentese comunicaccedilatildeo de ideias mate-maacuteticas memorizaccedilatildeo entre outras












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O presente texto resulta de reflexotildees acerca das caracteriacutesticas gerais das obras aprovadas no PNLD 2018 Contudo seu objetivo maior eacute discutir algumas questotildees originadas pela anaacutelise dos livros ins-critos e que dizem respeito mais amplamente agrave abordagem da Matemaacutetica estudada no Ensino Meacutedio

Vale a pena lembrar que as consideraccedilotildees seguintes datildeo continuidade a textos anaacutelogos contidos nos Guias anteriores do PNLD para o Ensino Meacutedio Como muitas destas consideraccedilotildees permane-cem atuais elas satildeo reproduzidas neste documento agraves vezes com modificaccedilotildees ou atualizaccedilotildees necessaacuterias Observa-se tambeacutem que as seccedilotildees deste texto podem ser lidas separadamente de acordo com a conveniecircncia do professor

ltseleccedilatildeo dos conteuacutedosgtNeste item eacute delineado um perfil dos conteuacutedos trabalhados nas obras aprovadas Esse perfil busca refletir os sumaacuterios dos livros que podem ser consultados nas resenhas de cada coleccedilatildeo Como eacute usual no ensino baacutesico agrupamos os toacutepicos da Matemaacutetica em campos de conteuacutedos Nesta ediccedilatildeo do Guia esses campos satildeo nuacutemeros aacutelgebra geometria estatiacutestica e probabilidade

Para efeito desse agrupamento consideramos no campo dos nuacutemeros os seguintes toacutepicos conjun-tos conjuntos numeacutericos nuacutemeros reais nuacutemeros e grandezas e nuacutemeros complexos Aleacutem desses incluiacutemos a anaacutelise combinatoacuteria representada pela contagem de coleccedilotildees finitas

Em aacutelgebra englobamos o conceito de funccedilatildeo e suas propriedades sequecircncias funccedilotildees afins e afins por partes funccedilotildees quadraacuteticas funccedilotildees exponencial e logariacutetmica funccedilotildees trigonomeacutetricas matemaacute-tica financeira polinocircmios e equaccedilotildees polinomiais matrizes determinantes sistemas lineares equa-ccedilotildees e inequaccedilotildees do 1ordm e do 2ordm graus e as equaccedilotildees e inequaccedilotildees associadas agraves funccedilotildees exponenciais logariacutetmicas e trigonomeacutetricas Incluiacutemos tambeacutem no campo da aacutelgebra a introduccedilatildeo ao caacutelculo

No campo da geometria listamos os seguintes toacutepicos geometria plana (incluindo trigonometria do tri-acircngulo retacircngulo) geometria espacial de posiccedilatildeo poliedros as grandezas geomeacutetricas transformaccedilotildees geomeacutetricas geometria analiacutetica ndash equaccedilotildees de retas circunferecircncias e cocircnicas no plano cartesiano

Em estatiacutestica e probabilidade consideramos o conceito claacutessico de probabilidade probabilidade condicional eventos dependentes e independentes coleta organizaccedilatildeo representaccedilatildeo e interpre-taccedilatildeo de dados medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo de um conjunto de dados e eventual-mente relaccedilotildees entre estatiacutestica e probabilidade

coleccedilotildees aprovadas

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O objetivo da mencionada classificaccedilatildeo eacute contribuir para a organizaccedilatildeo dos conteuacutedos estudados nas coleccedilotildees No entanto natildeo pretendemos com essa seleccedilatildeo induzir a ideia de que a Matemaacutetica escolar eacute uma justaposiccedilatildeo de campos estanques o que nem sempre eacute evitado nessas coleccedilotildees A integraccedilatildeo e ar-ticulaccedilatildeo de conteuacutedos atende a diversas finalidades Uma delas eacute possibilitar o desenvolvimento da ha-bilidade de construir ou selecionar o modelo matemaacutetico adequado agrave resoluccedilatildeo de um problema dado

Os sumaacuterios das coleccedilotildees aprovadas permitem a identificaccedilatildeo de um padratildeo de escolhas de conteuacute-dos nessas obras Com efeito quase todos os toacutepicos detalhados anteriormente satildeo trabalhados nas obras que integram este Guia Algumas delas naturalmente incluem especificidades que as resenhas procuram explicitar

O padratildeo observado tem sido mantido haacute tempos no Ensino Meacutedio e reconhecemos a importacircncia da grande maioria dos conteuacutedos trabalhados No entanto haacute uma clara necessidade de atualizaccedilotildees com retirada ou reduccedilatildeo de alguns toacutepicos e inclusatildeo de outros Nos comentaacuterios especiacuteficos por campo discutimos algumas dessas possiacuteveis atualizaccedilotildees as quais jaacute vecircm sendo tratadas em docu-mentos curriculares como a BNCC ndash Base Nacional Comum Curricular

Em Guias anteriores do PNLD para o Ensino Meacutedio jaacute se criticava o excesso de conceitos e procedi-mentos matemaacuteticos abordados nos livros didaacuteticos Dada a limitaccedilatildeo do tempo escolar eacute difiacutecil que todos os toacutepicos dos livros sejam efetivamente ensinados e acima de tudo aprendidos Esse exagero tem resultado em obras didaacuteticas muito densas e extensas

Por exigecircncia estabelecida no edital do PNLD 2018 as obras natildeo puderam ultrapassar 420 paacuteginas por volume do Manual do Professor e 288 paacuteginas por volume do Livro do Estudante Como conse-quecircncia houve uma diminuiccedilatildeo do nuacutemero de paacuteginas nas coleccedilotildees No entanto haacute muito por fazer relativamente agrave escolha de conteuacutedos matemaacuteticos que sejam de fato imprescindiacuteveis agrave formaccedilatildeo no Ensino Meacutedio dos jovens no que diz respeito a continuidade de estudos preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e sua integraccedilatildeo na sociedade como cidadatildeo mais criacutetico

A Tabela 1 a seguir permite comparar as meacutedias de paacuteginas dos livros aprovados nas trecircs uacuteltimas ediccedilotildees do PNLD

Tabela 1 ndash Nuacutemero meacutedio de paacuteginas do Livro do Estudante das coleccedilotildees aprovadas no PNLD 2012 no PNLD 2015

e no PNLD 2018

pnld 2012 2015 2018

Volume 1 359 306 285

Volume 2 364 320 268

Volume 3 293 261 259

Total 1017 887 812

Meacutedia 339 296 271

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Em algumas destas obras a reduccedilatildeo do nuacutemero meacutedio de paacuteginas foi acertadamente acompanhada da indicaccedilatildeo de alguns toacutepicos como opcionais por natildeo serem considerados como integrantes do nuacutecleo essencial do Ensino Meacutedio embora tenham importacircncia na formaccedilatildeo baacutesica para algumas carreiras teacutecnicas ou cientiacuteficas

ltdistribuiccedilatildeo dos conteuacutedosgtPara tratar desta questatildeo fizemos uma estimativa do espaccedilo ocupado pelos diferentes campos na coleccedilatildeo como um todo e observamos como eles satildeo distribuiacutedos em cada um dos trecircs volumes Essa estimativa resultou da contagem do nuacutemero de paacuteginas (ou a soma de fraccedilotildees de paacutegina) dedicadas a cada campo e foi expressa em porcentagem do total de paacuteginas em cada livro

Nos livros do primeiro ano haacute uma evidente concentraccedilatildeo no estudo da aacutelgebra em detrimento dos demais campos A maioria das coleccedilotildees dedica mais de 60 de seus textos didaacuteticos a esse campo sendo que apenas uma delas foge a essa tendecircncia O excesso decorre em parte de um tratamento muito extenso e fragmentado das funccedilotildees e de suas propriedades Em quase todas as coleccedilotildees nos livros destinados ao 2ordm ano eacute dada atenccedilatildeo excessiva ao campo da geometria Jaacute nos livros do 3ordm ano privilegia-se a geometria analiacutetica em prejuiacutezo de outros aspectos da geometria e dos demais campos

ltnuacutemerosgtNas coleccedilotildees aprovadas no PNLD 2018 manteacutem-se a tendecircncia acertada de dedicar atenccedilatildeo ao estudo das primeiras noccedilotildees da teoria dos conjuntos bem como de fazer uma abordagem sinteacutetica dos con-juntos numeacutericos Como sabemos esses satildeo assuntos indispensaacuteveis ao estudo dos demais conteuacutedos matemaacuteticos dos livros Em geral nas obras aprovadas os toacutepicos acima mencionados recebem um tratamento apropriado e sem excesso de formalismo Excetuam-se desse tratamento adequado al-guns pontos que comentamos a seguir

O estudo da representaccedilatildeo decimal dos racionais e dos irracionais eacute um assunto importante no Ensino Meacutedio e eacute possiacutevel abordaacute-lo de modo accessiacutevel e com razoaacutevel rigor matemaacutetico este uacuteltimo nem sempre presente nos livros atuais Um primeiro passo eacute demonstrar que a representaccedilatildeo decimal de todo nuacutemero racional eacute uma representaccedilatildeo decimal finita ou perioacutedica Para essa prova uma ferra-menta adequada ao estudante nesse niacutevel de ensino eacute o algoritmo da divisatildeo em N cujo enunciado eacute dados os nuacutemeros naturais D e d com 1 le d existem e satildeo uacutenicos os nuacutemeros naturais q e r tais que D = dq + r 0 le r lt d Isso implica que r Є 0 1 2 3 d ndash 1 e portanto quando consideramos a sequecircncia dos restos na divisatildeo de D por d

r 0(= D) r 1 r 2 r n

soacute haacute duas possibilidades a) para algum iacutendice k temos rk = 0 b) rn ne 0 para todo nuacutemero natural n No primeiro caso a divisatildeo eacute exata e a representaccedilatildeo decimal eacute finita No segundo caso como uma consequecircncia do Princiacutepio da Casa dos Pombos existem dois iacutendices i e j tais que i le j e vale a

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igualdade ri = rj Resulta daiacute que os quocientes qi qi+1 qi+2 qj formam um bloco que se repetiraacute in-definidamente na sequecircncia dos quocientes da divisatildeo natildeo-exata deD por d Se os iacutendices i e j forem os menores possiacuteveis que satisfazem agraves condiccedilotildees acima estabelecidas o bloco qi qi+1 qi+2 qj eacute denominado periacuteodo da representaccedilatildeo decimal Como conveacutem lembrar natildeo provamos que soacute haacute uma representaccedilatildeo decimal para um nuacutemero racional Por exemplo se aplicarmos a algoritmo usado na demonstraccedilatildeo ao racional 102 obteremos 102 = 5 (representaccedilatildeo finita) Mas sabemos que tambeacutem eacute vaacutelida a igualdade 102 = 4999hellip = 49 (representaccedilatildeo infinita e perioacutedica) que natildeo eacute possiacutevel obter pelo algoritmo da demonstraccedilatildeo apresentada Quando desejamos estabelecer uma correspondecircncia biuniacutevoca entre os nuacutemeros racionais e as representaccedilotildees decimais uma das maneiras possiacuteveis eacute excluir as representaccedilotildees decimais que satildeo compostas de infinitos algarismos 9 a partir de algum diacutegito da representaccedilatildeo

Como todo nuacutemero racional pode ser escrito como uma fraccedilatildeo de inteiros Dd d ne 0 uma consequecircncia imediata da proposiccedilatildeo demonstrada eacute (a) se um nuacutemero real ρ eacute racional entatildeo ρ admite uma repre-sentaccedilatildeo decimal finita ou perioacutedica infinita Ela eacute logicamente equivalente a outra proposiccedilatildeo (b) se eacute atribuiacutedo significado matemaacutetico a uma representaccedilatildeo decimal infinita e natildeo perioacutedica entatildeo ela natildeo eacute a representaccedilatildeo de um nuacutemero racional

Recorrer a uma dessas proposiccedilotildees equivalentes tem sido um caminho adotado para introduzir os nuacute-meros irracionais no ensino baacutesico embora se observem algumas lacunas loacutegicas no percurso Uma de-las eacute a omissatildeo da demonstraccedilatildeo da proposiccedilatildeo acima referida em sua forma (a) A outra lacuna mais sutil mas natildeo menos grave eacute natildeo mencionar que eacute possiacutevel atribuir um significado matemaacutetico a uma representaccedilatildeo decimal infinita e natildeo perioacutedica A prova dessa afirmaccedilatildeo pode ser deixada para etapas posteriores dos estudos em Matemaacutetica mas eacute indispensaacutevel que sua existecircncia seja mencionada

A proposiccedilatildeo (a) eacute a reciacuteproca da proposiccedilatildeo (c) todo nuacutemero que admite representaccedilatildeo decimal por representaccedilatildeo decimal finita ou perioacutedica infinita eacute um nuacutemero racional A demonstraccedilatildeo da propo-siccedilatildeo (c) eacute acessiacutevel no Ensino Meacutedio apoacutes o estudo de progressotildees geomeacutetricas de razatildeo com valor absoluto menor do que 1 o que seria bastante significativo fazer mas natildeo eacute encontrado nas obras

Somente com a discussatildeo das duas proposiccedilotildees (a) (b) e (c) eacute que de fato fica comprovada a ca-racterizaccedilatildeo mais encontrada nos livros para os nuacutemeros irracionais um nuacutemero σ eacute irracional se e somente se sua representaccedilatildeo decimal eacute uma representaccedilatildeo decimal infinita e natildeo perioacutedica As lacunas acima mencionadas acabam por dificultar a correta atribuiccedilatildeo de significados pelos estu-dantes agrave noccedilatildeo de nuacutemero irracional

Outra forma de produzir nuacutemeros irracionais eacute recorrer agraves raiacutezes quadradas de inteiros positivos que natildeo sejam quadrados perfeitos O exemplo mais notaacutevel eacute a raiz quadrada do nuacutemero 2 que desde a Antiguidade Claacutessica eacute objeto de estudo na Matemaacutetica Nesse caso natildeo eacute possiacutevel provar por meacuteto-dos elementares que a representaccedilatildeo decimal eacute infinita e natildeo perioacutedica Mas eacute factiacutevel comprovar-se usando um raciociacutenio por absurdo e o teorema da decomposiccedilatildeo uacutenica em fatores primos dos nuacuteme-ros naturais que radic2 natildeo pode admitir representaccedilatildeo por uma fraccedilatildeo de inteiros A demonstraccedilatildeo de

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que esse nuacutemero eacute irracional no sentido de natildeo poder ser representado por uma fraccedilatildeo de inteiros eacute um dos mais antigos e belos exemplos de deduccedilatildeo matemaacutetica e acertadamente eacute feita em muitas obras didaacuteticas para o Ensino Meacutedio Ressalta-se que as provas matemaacuteticas da irracionalidade de muitos outros nuacutemeros como π e e satildeo tambeacutem feitas por reduccedilatildeo ao absurdo

Um ponto a observar eacute que diante dos poucos exemplos oferecidos no ensino o estudante seja le-vado a pensar erroneamente que ldquoos nuacutemeros irracionais satildeo relativamente rarosrdquo Nesse sentido eacute importante um trabalho com os estudantes em que se busque gerar mais exemplos de nuacutemeros irracionais Para isso podemos recorrer a procedimentos simples e que contribuem aleacutem disso para o desenvolvimento da argumentaccedilatildeo matemaacutetica

Um primeiro eacute formar novos irracionais com base em irracionais conhecidos Sabemos que π eacute um nuacutemero irracional Podemos entatildeo afirmar por exemplo que o nuacutemero (34 + π) eacute irracional De fato a soma de dois racionais eacute um racional e o produto de dois racionais eacute um racional Se por absurdo supusermos que o nuacutemero (34 + π) eacute racional

34 + π = ab b ne 0 a e b inteiros

entatildeo teriacuteamos

π = ab + (ndash 1)(34)

Tal igualdade nos diria que o nuacutemero π como soma de dois racionais seria racional o que eacute falso Portanto o nuacutemero (34 + π) eacute irracional

Observamos que a prova acima pode ser estendida tanto para o nuacutemero (pq + σ) em que σ eacute um nuacute-mero irracional e pq eacute um nuacutemero racional q ne 0 quanto para o nuacutemero pσq em que eacute um nuacutemero irracional e aleacutem disso p ne 0 q ne 0

Outro modo de proceder faz uso do fato de que toda representaccedilatildeo decimal infinita e natildeo perioacutedica eacute a representaccedilatildeo de um nuacutemero irracional Nessa direccedilatildeo o que se pode eacute estabelecer uma regra que ldquoquebrerdquo a periodicidade dos termos de uma representaccedilatildeo decimal infinita Por exemplo tome--se a representaccedilatildeo infinita dada por 0123456789111 na qual o n-eacutesimo diacutegito depois da viacutergula eacute o primeiro algarismo agrave esquerda da escrita decimal do nuacutemero n n ge 1 Dessa forma garante-se que tal representaccedilatildeo decimal eacute infinita natildeo perioacutedica e portanto natildeo pode ser a representaccedilatildeo de um nuacutemero racional Os estudantes podem ser convidados a criar novas representaccedilotildees decimais infini-tas natildeo perioacutedicas usando sua imaginaccedilatildeo para se convencerem que haacute de fato muitos irracionais

No entanto tal modo de proceder requer cuidado Por vezes satildeo dados os primeiros termos de uma representaccedilatildeo decimal (ateacute mesmo no visor de uma calculadora) e pede-se para o estudante decidir se ela eacute representaccedilatildeo de um nuacutemero racional ou de um irracional Isso eacute impossiacutevel do ponto de vista matemaacutetico A sequecircncia de diacutegitos de uma representaccedilatildeo decimal infinita (seja perioacutedica ou

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natildeo) natildeo fica determinada pelo conhecimento de um nuacutemero finito desses diacutegitos Isso pode induzir a erros Por exemplo se eacute dada a representaccedilatildeo decimal

00588235294117647

poderiacuteamos ser levados a pensar que se trata da representaccedilatildeo decimal de um nuacutemero irracional ldquoporque natildeo identificamos um periacuteodordquo Mas na verdade a sequecircncia dos dezessete primeiros diacutegi-tos do nuacutemero racional 117 eacute precisamente a dos diacutegitos indicados acima Aleacutem disso a presenccedila de uma sequecircncia de diacutegitos que se repetem em uma representaccedilatildeo decimal finita pode natildeo determinar que se trata de um nuacutemero racional Por exemplo 0121212hellip pode nos indicar os primeiros diacutegitos da representaccedilatildeo decimal tanto do nuacutemero racional

0121212 = 1299 = 433

quanto do nuacutemero irracional 433 + radic210000000

Os nuacutemeros tambeacutem satildeo medidas de grandezas Em todas as culturas humanas desde os seus pri-moacuterdios foram realizadas mediccedilotildees de grandezas Comprimento (distacircncia) aacuterea volume tempo massa velocidade entre outras grandezas foram objeto de mediccedilotildees processos que sempre ocupa-ram um papel central no desenvolvimento tecnoloacutegico e social do homem

As mediccedilotildees empiacutericas foram simultacircneas agrave criaccedilatildeo dos nuacutemeros naturais e dos fracionaacuterios e mais adiante na histoacuteria dos nuacutemeros negativos Dessa forma com os nuacutemeros racionais eacute sempre pos-siacutevel efetuar mediccedilotildees empiacutericas de qualquer grandeza do tipo escalar Com o desenvolvimento da Matemaacutetica em especial a partir da civilizaccedilatildeo grega surgiu outro tipo de medida realizada nos mo-delos abstratos (teoacutericos) que constituem o cerne desse saber Como se sabe na obtenccedilatildeo da medida teoacuterica da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio surge a necessidade de ampliar os racionais com a criaccedilatildeo do conjunto dos nuacutemeros reais1

As grandezas satildeo entendidas como atributos mensuraacuteveis de objetos ou de fenocircmenos Obter uma me-dida ndash empiacuterica ou teoacuterica ndash eacute um processo complexo que exige vaacuterias escolhas da grandeza a medir da

1 Sobre essas medidas teoacutericas cabe criticar uma tradiccedilatildeo enraizada no ensino da Matemaacutetica escolar na abordagem do nuacutemero

irracional π Esse nuacutemero eacute apresentado corretamente como a razatildeo entre o comprimento de uma circunferecircncia e o compri-

mento de um de seus diacircmetros Entretanto natildeo se deixa claro que tais comprimentos satildeo abstratamente definidos e natildeo satildeo

os comprimentos existentes em materializaccedilotildees de circunferecircncias em objetos ou em desenhos Por vezes ateacute mesmo se induz o

estudante a pensar erroneamente que os valores mais e mais aproximados desse nuacutemero satildeo obtidos com mediccedilotildees empiacutericas

cada vez mais rigorosas Ora sabe-se que os valores sucessivamente mais aproximados de π ou de qualquer outro nuacutemero irra-

cional satildeo obtidos com base em foacutermulas matemaacuteticas e natildeo provecircm de mediccedilotildees empiacutericas

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unidade de medida do meacutetodo de mediccedilatildeo Quando se mede uma grandeza obteacutem-se um nuacutemero que se denomina a medida da grandeza na unidade escolhida Esse nuacutemero seraacute um racional se a mediccedilatildeo for empiacuterica e seraacute um nuacutemero real no caso de medidas teoacutericas Tome-se como exemplo o volume uma das grandezas geomeacutetricas mais familiares na Matemaacutetica escolar (as outras satildeo comprimento aacuterea e abertura de acircngulo) Os objetos considerados tanto podem ser materializaccedilotildees de regiotildees li-mitadas tridimensionais no mundo fiacutesico quanto modelos matemaacuteticos dessas regiotildees os denomi-nados soacutelidos geomeacutetricos Escolha-se como exemplo uma dessas regiotildees para medir seu volume2 e selecione-se o centiacutemetro cuacutebico como unidade de medida3 Quando se mede uma dessas regiotildees com instrumentos ou abstratamente pode-se encontrar como medidas nuacutemeros racionais (2 14 12 x 10-2 etc) quando a mediccedilatildeo eacute empiacuterica ou nuacutemeros reais (3 07 x 10-3 2radic2 π etc) quando se trata de uma mediccedilatildeo teoacuterica Os siacutembolos compostos 2cm3 14cm3 12 x 10-2cm3 2radic2 cm3 π cm3 satildeo representaccedilotildees de volumes Assim o volume de uma regiatildeo tridimensional limitada aparece como um objeto matemaacute-tico distinto da regiatildeo pois regiotildees diferentes podem possuir o mesmo volume O volume tambeacutem se distingue do nuacutemero (a medida) obtido quando se mede essa regiatildeo com uma unidade de medida pois mudar a unidade altera o valor da medida de volume mas o volume permanece o mesmo

No Ensino Meacutedio as grandezas satildeo importantes em todas as aacutereas do conhecimento Entretanto o es-tudo das grandezas tem sido descuidado nesse niacutevel de ensino Em particular a aacutelgebra das grandezas natildeo tem sido devidamente estudada Por exemplo para obter a aacuterea de um paralelogramo com um lado e a altura relativa a esse lado de comprimentos 4m e 5m respectivamente escreve-se indevidamente

A = 4 x 5 = 20 m 2

Nota-se que em um lado da igualdade haacute um nuacutemero (4 x 5) e no outro uma aacuterea (20m2) o que natildeo eacute correto Na verdade a chamada foacutermula de aacuterea eacute uma igualdade entre grandezas Em um lado da igualdade uma aacuterea e no outro o produto de dois comprimentos Portanto dever-se-ia escrever

A = 4m x 5m = 20m 2

Essa aacutelgebra das grandezas eacute o que se denomina anaacutelise dimensional4 tema estudado na Fiacutesica mas omitido na Matemaacutetica e que seria um bom toacutepico articulador entre esses dois componentes curri-culares A anaacutelise dimensional que deveria ser abordada desde o ensino fundamental eacute particular-

2 Tambeacutem podemos medir a aacuterea da superfiacutecie que eacute o contorno da regiatildeo tridimensional limitada escolhida Isso mostra que a

um mesmo objeto podem ser associadas diferentes grandezas

3 Haacute um Sistema Internacional de Unidades (SI) um tema sugestivo e que favorece a articulaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica com o

da Fiacutesica A esse respeito consultar o Vocabulaacuterio Internacional de Metrologia conceitos fundamentais e gerais e termos associa-

dos (VIM 2012) 1ordf Ediccedilatildeo Luso-Brasileira Rio de Janeiro 2012 (wwwinmetrogovbr)

4 Como se sabe o termo ldquodimensatildeordquo possui vaacuterios significados tanto na Matemaacutetica quanto nas outras ciecircncias Neste ponto

do texto ldquodimensatildeordquo significa de modo simplificado ldquoespeacutecie de grandezardquo Assim pode ser dito a dimensatildeo comprimento a

dimensatildeo velocidade a dimensatildeo massa etc

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mente relevante no Ensino Meacutedio pela existecircncia de muitas grandezas que satildeo razotildees de grandezas natildeo necessariamente de mesma espeacutecie

Os nuacutemeros complexos tecircm sido incluiacutedos como toacutepico a ser trabalhado no Ensino Meacutedio No entanto muitos educadores soacute consideram o seu estudo indispensaacutevel para aqueles estudantes que vatildeo utili-zar modelos matemaacuteticos mais avanccedilados em suas profissotildees Por exemplo engenheiros (ou teacutecnicos nas aacutereas da Engenharia) fiacutesicos e matemaacuteticos Mesmo nesses casos eacute importante que o estudo dos complexos seja uma oportunidade privilegiada de articulaccedilatildeo com toacutepicos como vetores e geometria no plano com trigonometria e com as equaccedilotildees algeacutebricas

A anaacutelise combinatoacuteria ou simplesmente combinatoacuteria eacute uma parte da Matemaacutetica cujo objetivo eacute resolver entre outros problemas de contagem dos elementos de conjuntos finitos Como ela eacute tema com muita tradiccedilatildeo no Ensino Meacutedio sua renovaccedilatildeo tem sido lenta nos livros didaacuteticos Um desses avanccedilos eacute a introduccedilatildeo do princiacutepio fundamental da contagem com o qual eacute possiacutevel obter teacutecnicas baacutesicas e muito eficientes de contagem dispensando a ecircnfase demasiada em foacutermulas

Eacute comum nos livros didaacuteticos o estudo do princiacutepio fundamental da contagem mas muitas vezes ele eacute logo deixado de lado e volta-se para o tratamento tradicional e estanque das combinaccedilotildees arran-jos e permutaccedilotildees simples e com repeticcedilotildees De fato os problemas de contagem mais interessantes exigem o uso de mais de uma dessas teacutecnicas Um dos objetivos de um bom ensino de anaacutelise com-binatoacuteria eacute desenvolver no estudante a capacidade para escolher diferentes teacutecnicas de contagem e usaacute-las de modo eficiente na resoluccedilatildeo dos problemas Eacute prejudicial um ensino que habitue o estu-dante a sempre tentar resolver qualquer problema de contagem com o uso mecacircnico de foacutermulas5

ltaacutelgebragtNeste item seratildeo discutidas as abordagens dos conteuacutedos de funccedilotildees sequecircncias Matemaacutetica fi-nanceira equaccedilotildees e inequaccedilotildees algeacutebricas sistemas lineares e matrizes

No Ensino Meacutedio o estudo das funccedilotildees incorpora aleacutem de uma introduccedilatildeo geral a esse conceito a abordagem mais detalhada de quatro grandes classes de funccedilotildees reais de variaacutevel real afim quadraacuteti-ca exponencial e trigonomeacutetrica Eacute claro que essas natildeo satildeo as uacutenicas funccedilotildees reais de variaacutevel real que se devem abordar nessa fase da escolaridade Entretanto o entendimento delas eacute base para a compre-ensatildeo de outras funccedilotildees afim por partes (por exemplo a funccedilatildeo modular) proporcionalidade inversa funccedilatildeo definida por mais de uma sentenccedila polinomial de grau maior do que 2 racional logariacutetmica que eacute a inversa da exponencial e as funccedilotildees no campo da estatiacutestica e da probabilidade As coleccedilotildees aprovadas incorporam os toacutepicos citados em diferentes graus de extensatildeo e de aprofundamento

Uma classe especial de funccedilotildees satildeo as sequecircncias de elementos de um conjunto qualquer U Uma sequecircncia em U eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute o conjunto dos naturais (sequecircncia infinita) ou um sub-

5 Cabe ainda observar que ao estudar as permutaccedilotildees em geral natildeo se aproveita a oportunidade para relacionaacute-las com fun-

ccedilotildees uma permutaccedilatildeo de um conjunto finito eacute simplesmente uma funccedilatildeo bijetiva deste conjunto nele mesmo

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conjunto finito formado com elementos 1 2 3 n (sequecircncia finita) e cujo contradomiacutenio eacute o conjun-to U Definir sequecircncia como uma funccedilatildeo especial eacute um modo proveitoso tanto do ponto de vista da Matemaacutetica quanto do ponto de vista didaacutetico De fato entre outras vantagens evita-se a confusatildeo frequente entre o conceito de sequecircncia e o de ordem Os termos de uma sequecircncia podem perten-cer a um conjunto U formado por elementos que natildeo estatildeo ordenados Por exemplo uma sequecircncia de figuras geomeacutetricas planas pode ser constituiacuteda de triacircngulos e de quadrados natildeo relacionados entre si Mesmo que o conjunto U seja um conjunto numeacuterico ndash por exemplo o conjunto dos nuacutemeros inteiros ndash pode ser formada uma sequecircncia como

1 0 ndash1 0 s in nπ2 n = 1 2 3 4

cujos termos natildeo satildeo dispostos na ordem usual definida nesse conjunto


Relativamente agraves sequecircncias numeacutericas cabe lembrar que nas coleccedilotildees para o Ensino Meacutedio haacute a tendecircncia em restringir o estudo agraves progressotildees aritmeacuteticas e geomeacutetricas Sem duacutevida esses satildeo dois exemplos privilegiados de sequecircncias em particular pelas possiacuteveis articulaccedilotildees que elas per-mitem explorar progressotildees aritmeacuteticas com as funccedilotildees afins e as geomeacutetricas com as funccedilotildees do tipo exponencial que satildeo as da forma f(x) = b eax em que b ne 0 e a ne 0 satildeo nuacutemeros reais Contudo as progressotildees estatildeo longe de serem as uacutenicas sequecircncias numeacutericas importantes e eacute uacutetil que o es-tudante tenha acesso a um elenco mais diversificado delas no qual se notabilizam entre outras as sequecircncias recursivas lineares como a de Fibonacci

Satildeo muito frequentes os problemas propostos nos quais satildeo fornecidos os trecircs ou quatro elementos iniciais de uma sequecircncia e pede-se que se determine o termo seguinte ou mais frequentemente ainda o termo geral da sequecircncia Natildeo raro jaacute se parte da informaccedilatildeo de que se trata de uma PA ou de uma PG Eacute justificaacutevel que as atividades que visem agrave descoberta de regularidades em sequecircncias tenham niacuteveis progressivos de dificuldade e por isso problemas do tipo acima descrito possam ser inicialmente propostos aos estudantes No entanto do ponto de vista da formaccedilatildeo matemaacutetica tais problemas tecircm valor muito limitado pois o estudante natildeo exercita adequadamente sua capacidade de observar regularidades e de testar as hipoacuteteses que ele possa fazer Eacute sempre aconselhaacutevel soli-citar ao estudante que procure encontrar uma lei geral e natildeo a lei geral como por vezes se pede A esse respeito cabe sempre lembrar por exemplo que a sequecircncia iniciada com 0 1 2 3 pode ser uma progressatildeo aritmeacutetica de termo geral dado por

a n = (n ndash 1) n = 1 2 3

Nesse caso o seu quinto termo deveraacute ser igual a 4 No entanto tambeacutem poderaacute ser uma sequecircncia que natildeo eacute uma progressatildeo aritmeacutetica com termo geral definido por

b n = (n ndash 1) + (n ndash 1)(n ndash 2)(n ndash 3)(n ndash 4) n = 1 2 3

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cujo quinto termo eacute o nuacutemero 28 Na verdade existem infinitas sequecircncias bn cujos primeiros quatro termos coincidem respectivamente com os de an

Nos livros didaacuteticos para o Ensino Meacutedio tem sido bastante frequente apresentar-se a noccedilatildeo de funccedilatildeo de modo intuitivo com apoio nas ideias de relaccedilatildeo (ou associaccedilatildeo) entre grandezas variaacuteveis depen-decircncia entre grandezas correspondecircncia entre elementos de dois conjuntos regra ou ldquolei de formaccedilatildeordquo envolvendo grandezas ou nuacutemeros entre outras O passo seguinte vem sendo sistematizar o conceito de funccedilatildeo como uma correspondecircncia entre elementos de dois conjuntos Essa eacute uma abordagem ade-quada tanto do ponto de vista matemaacutetico quanto didaacutetico

Nas etapas de sistematizaccedilatildeo satildeo necessaacuterias explanaccedilotildees teoacutericas relativas a definiccedilotildees fundamen-tais como domiacutenio contradomiacutenio imagem funccedilatildeo injetiva sobrejetiva bijetiva composta inversa entre outras Eacute frequente no Ensino Meacutedio dar-se muita atenccedilatildeo a esses conceitos em uma fase pre-liminar No entanto posteriormente quando eles deveriam ser aplicados natildeo satildeo devidamente valo-rizados Com relaccedilatildeo ao conceito de domiacutenio um dos exemplos dessa falha eacute observado quando uma funccedilatildeo do tipo x = x(t)eacute definida com determinado domiacutenio por exemplo o conjunto dos nuacutemeros inteiros e sem explicaccedilatildeo adicional satildeo indicados valores da funccedilatildeo quando a variaacutevel t pertence ao conjunto dos reais natildeo inteiros Outro ponto nem sempre deixado suficientemente claro diz respeito agrave definiccedilatildeo de funccedilatildeo composta De fato dadas duas funccedilotildees f A rarr B g C rarr D eacute possiacutevel definir a funccedilatildeo composta g deg f A rarr D se e somente se a imagem de f estiver contida no domiacutenio de g Em siacutembolos

Im ( f ) Dom (g)

No estudo de funccedilotildees eacute relevante abordar diferentes representaccedilotildees ndash tabelas graacuteficos foacutermulas algeacutebricas ndash estabelecendo-se relaccedilotildees entre elas Em geral um problema inicialmente formulado de maneira algeacutebrica pode ser mais facilmente resolvido ou compreendido quando eacute interpretado geometricamente e vice-versa Por exemplo a simetria axial presente nas funccedilotildees quadraacuteticas eacute facilmente perceptiacutevel no graacutefico e no entanto pode exigir esforccedilo de caacutelculo se for utilizada sua representaccedilatildeo algeacutebrica

O uso de aplicativos computacionais que permitem visualizar o graacutefico de funccedilotildees ajuda tanto a perceber as propriedades dos seus vaacuterios tipos quanto a fazer experimentos com maior riqueza de exemplos Por isso eacute elogiaacutevel a tendecircncia observada em alguns livros didaacuteticos destinados ao En-sino Meacutedio de empregar os referidos aplicativos como recurso para a aprendizagem da Matemaacutetica

Como sabemos os graacuteficos de funccedilotildees no plano cartesiano desempenham um papel fundamental Em alguns livros didaacuteticos para o Ensino Meacutedio observa-se que natildeo satildeo tomados os devidos cuida-dos na construccedilatildeo de graacuteficos de funccedilotildees Por exemplo com um nuacutemero reduzido de valores da vari-aacutevel independente o estudante eacute induzido a considerar que eacute possiacutevel construir o graacutefico cartesiano de uma funccedilatildeo Eacute comum passar-se sem explicaccedilotildees adicionais de uma tabela com trecircs ou quatro valores de x para o desenho de uma paraacutebola como graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Outra falha eacute recorrer a graacuteficos estatiacutesticos para construir funccedilotildees reais de variaacutevel real No caso das variaacuteveis

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discretas o graacutefico estatiacutestico pode ser constituiacutedo por pontos isolados no plano cartesiano ou por barras verticais Isto natildeo permite que sem nenhum comentaacuterio explicativo se passe para o graacutefico de uma funccedilatildeo com variaacutevel independente contiacutenua Na estatiacutestica muitas vezes utiliza-se o pro-cedimento de ligar os pontos isolados de um graacutefico discreto por uma curva contiacutenua No entanto deveria ser salientado que se trata apenas de um procedimento para auxiliar a visualizaccedilatildeo do com-portamento da variaacutevel estatiacutestica

Deve-se ter cuidado com o emprego dos graacuteficos de linha da estatiacutestica para contextualizar e moti-var o estudante no iniacutecio do estudo dos graacuteficos de funccedilotildees Em geral procede-se da seguinte manei-ra satildeo dados pontos t1 t2 tnndash1 tn igualmente espaccedilados sobre o eixo horizontal e os valores u1 u2 unndash1 un de alguma variaacutevel quantitativa nos referidos pontos Unem-se entatildeo os pares de pontos (t1 u1) (t2 u2) (tnndash1 unndash1) (tn un) por segmentos de retas e afirma-se explicitamente ou simplesmente eacute sugerido que o graacutefico assim obtido eacute o graacutefico de uma funccedilatildeo que modeliza a situaccedilatildeo tratada Isso natildeo eacute verdade Os pontos dos segmentos de reta do graacutefico obtido natildeo estatildeo relacionados com a situaccedilatildeo estudada exceto para os pontos de abcissas t1 t2 tnndash1 tn em que temos f(t1) = u1 f(t2) = u2 f(t3) = u3 f(tn) = un O graacutefico obtido simplesmente auxilia na anaacutelise de crescimento ou decrescimen-to das quantidades em foco diferentemente dos pontos (t f(t)) que pertencem ao graacutefico da funccedilatildeo afim por partes sempre que t for um ponto qualquer do domiacutenio D da funccedilatildeo

Outro ponto de dificuldade para os estudantes mas ignorado geralmente nas coleccedilotildees eacute que por exemplo as igualdades f(x) = x2 + 3x ndash 4 e f(t) = t2 + 3t ndash 4 definem exatamente a mesma funccedilatildeo se seus domiacutenios e o contradomiacutenios forem iguais Isso fica claro se lembrarmos de que a expressatildeo analiacutetica de uma funccedilatildeo eacute simplesmente uma maneira simboacutelica de descrever de maneira concisa e exata a lei de correspondecircncia que define a funccedilatildeo A lei de formaccedilatildeo nos dois casos eacute ldquodado um nuacutemero eleve-o ao quadrado some a esse resultado 3 vezes o mesmo nuacutemero e do resultado assim obtido subtraia 4rdquo Vemos assim que usando qualquer uma das duas expressotildees analiacuteticas os valores das funccedilotildees para um mesmo elemento de seu domiacutenio satildeo iguais Portanto as funccedilotildees satildeo iguais O mesmo se pode dizer para as expressotildees cos(x) cos(t) cos(Θ) ou ex et eΘ Essa dificuldade se torna particularmente evidente quando os estudantes estudam simultaneamente Matemaacutetica e Fiacutesica Na primeira adota-se geralmente a variaacutevel x e na segunda a variaacutevel t

No Ensino Meacutedio satildeo trabalhadas com frequecircncia questotildees que envolvem porcentagens acreacutescimos e descontos juros simples e compostos entre outros Usualmente para modelizar tais problemas re-ais recorre-se agraves funccedilotildees afim e exponencial o que se constitui em uma aplicaccedilatildeo praacutetica relevante desses dois tipos de funccedilatildeo De modo geral tem havido evoluccedilatildeo positiva no tratamento desses e de outros temas da denominada Matemaacutetica financeira superando-se abordagens com ecircnfase na apli-caccedilatildeo direta de foacutermulas No entanto ainda satildeo necessaacuterios mais esforccedilos para que a abordagem da Matemaacutetica financeira vaacute um pouco aleacutem das noccedilotildees mais baacutesicas desse campo e sejam estudados temas como equivalecircncia de taxas fator de atualizaccedilatildeo e amortizaccedilatildeo Essas aplicaccedilotildees da Matemaacuteti-ca favorecem reflexotildees sobre questotildees sociais e econocircmicas relevantes e atuais que colaboram com a formaccedilatildeo do estudante para a cidadania

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Com respeito agraves conexotildees entre conteuacutedos verifica-se que nos livros didaacuteticos para o Ensino Meacutedio quase sempre no primeiro volume cada classe de funccedilotildees ndash lineares afins quadraacuteticas modulares exponenciais e logariacutetmicas e trigonomeacutetricas ndash eacute tratada em capiacutetulos separados nos quais satildeo estudados os toacutepicos crescimentodecrescimento estudo do sinal equaccedilotildees e inequaccedilotildees O desenvolvimento da capacidade de modelagem de uma situaccedilatildeo por uma funccedilatildeo envolve tambeacutem a fase de decisatildeo criacutetica de qual classe de funccedilatildeo mais se adequa agrave relaccedilatildeo a ser modelada Nesse sentido sentimos falta de uma abordagem que integre as diferentes classes de funccedilotildees e desafie o estudante a encontrar os modelos de funccedilotildees

Para tratar de outro tema unificador considere-se uma funccedilatildeo f R rarr R que associa a um nuacutemero real x o nuacutemero real y y = f(x)Tome-se entatildeo um nuacutemero real a e formem-se as funccedilotildees dadas por

y = a + f (x) y = f (x + a) y = f (ax) y = af(x)

As relaccedilotildees entre o graacutefico da funccedilatildeo f e os graacuteficos das funccedilotildees indicadas acima satildeo uma rica fonte de conexotildees entre a representaccedilatildeo simboacutelica e a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees em jogo Em par-ticular isso permite interpretar mudanccedilas de variaacuteveis como transformaccedilotildees geomeacutetricas no plano cartesiano Esse tema tem sido abordado em livros didaacuteticos para o Ensino Meacutedio mas em geral para poucas classes de funccedilotildees Um dos casos eacute a composiccedilatildeo das citadas transformaccedilotildees aplicadas agrave funccedilatildeo6 y = cos t para obter a funccedilatildeo

y = a + bcos (wt + c)

em que a b e c satildeo nuacutemeros reais quaisquer e w eacute um nuacutemero real positivo

Observa-se que apenas variando os paracircmetros w e b nessa funccedilatildeo podem ser construiacutedas funccedilotildees perioacutedicas de qualquer periacuteodo e de qualquer amplitude Ao variar tambeacutem os outros dois paracircme-tros a e b e dessa maneira aumenta-se a classe de fenocircmenos perioacutedicos que podem ser mode-lizados pela citada famiacutelia de funccedilotildees Nos livros para o Ensino Meacutedio observa-se maior atenccedilatildeo ao estudo dessa famiacutelia de funccedilotildees como modelo para os fenocircmenos perioacutedicos o que eacute elogiaacutevel A exploraccedilatildeo de softwares de representaccedilatildeo graacutefica pode auxiliar esse estudo No entanto por ser ain-da incipiente eacute desejaacutevel que essa tendecircncia seja aprofundada e estendida amplamente no acircmbito dos materiais didaacuteticos para essa etapa do ensino

As equaccedilotildees algeacutebricas do 1deg e do 2deg graus que satildeo temas do ensino fundamental tecircm sido reto-madas e aprofundadas no livro do primeiro ano do Ensino Meacutedio mas nem sempre com a devida atenccedilatildeo De fato esses toacutepicos satildeo importantes pelas suas aplicaccedilotildees ao longo dos trecircs anos em outros conteuacutedos matemaacuteticos e mais ainda em muitos assuntos de outros componentes curricula-res Aleacutem disso as citadas equaccedilotildees articulam-se de modo natural com as funccedilotildees afim e quadraacutetica Tambeacutem nesse momento o recurso aos graacuteficos cartesianos permite importantes conexotildees entre objetos matemaacuteticos distintos e inter-relacionados funccedilatildeo equaccedilatildeo e figura geomeacutetrica A esse res-

6 Pode ser escolhida com os mesmos objetivos a funccedilatildeo y = sen t

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peito eacute indispensaacutevel que o estudante compreenda por exemplo que dada uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = ax2 + bx + c a ne 0 o seu graacutefico no sistema cartesiano ortogonal de coordenadas x e y eacute o con-junto de pontos (x y) tais que y = ax2 + bx + c a ne 0 Tal conjunto de pontos eacute uma paraacutebola de eixo paralelo ao eixo dos y e diretriz paralela ao eixo dos x Reciprocamente dada qualquer paraacutebola podemos encontrar um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas x e y no qual a paraacutebola eacute o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica definida por y = ax2 + bx + c a ne 0

Desde o primeiro ano do Ensino Meacutedio uma ferramenta matemaacutetica que eacute uacutetil em outros componentes curriculares satildeo os sistemas de duas equaccedilotildees lineares com duas incoacutegnitas Seu estudo pode ser feito com simplicidade nessa etapa e em conexatildeo com as posiccedilotildees relativas de um par de retas no plano cartesiano Quase sempre o tratamento das matrizes eacute feito no 2deg ano do Ensino Meacutedio e em geral seu estudo precede o dos sistemas de equaccedilotildees lineares Com frequecircncia para atribuiccedilatildeo de significado agraves matrizes recorre-se agraves tabelas de dupla entrada o que eacute adequado No entanto com essa abordagem perde-se a oportunidade de uma contextualizaccedilatildeo significativa que pode ser estabelecida quando os sis-temas lineares satildeo trabalhados antes das matrizes De fato estas uacuteltimas surgem como uma ferramenta fundamental na resoluccedilatildeo desses sistemas

Muitos educadores criticam a inclusatildeo de determinantes no Ensino Meacutedio apoiados no fato de esse conceito natildeo ser atualmente uma ferramenta utilizada na resoluccedilatildeo de sistemas lineares por meio de programas computacionais que eacute feita de modo muito mais eficiente pelo meacutetodo do escalonamento Outros sugerem que os determinantes sejam um toacutepico a ser estudado ainda que na condiccedilatildeo de assun-to opcional Argumentam que determinantes satildeo essenciais no estudo de matrizes que por sua vez satildeo ferramentas indispensaacuteveis natildeo apenas na resoluccedilatildeo de sistemas lineares mas em outros campos como a combinatoacuteria Aleacutem disso determinantes podem ser associados agrave aacuterea de triacircngulos e ao volume de paralelepiacutepedos o que o faz presente na geometria analiacutetica e no caacutelculo

A despeito dessas opiniotildees divergentes sobre determinantes haacute maior consenso quando se trata de cri-ticar a abordagem desse conceito que predomina no niacutevel meacutedio em que se privilegia o ensino de regras raramente bem justificadas

Em geral a articulaccedilatildeo entre sistemas lineares e geometria no caso dos sistemas de equaccedilotildees lineares 2 x 2 eacute bem conduzida Nessas situaccedilotildees cada equaccedilatildeo do sistema representa uma reta no plano cartesiano e o sistema teraacute infinitas soluccedilotildees uma uacutenica ou nenhuma soluccedilatildeo a depender da posiccedilatildeo de uma reta em relaccedilatildeo a outra coincidentes concorrentes ou paralelas distintas

No entanto jaacute natildeo eacute tatildeo simples realizar conexatildeo anaacuteloga entre sistemas de equaccedilotildees lineares 3 x 3 e as posiccedilotildees relativas de trecircs planos no espaccedilo tridimensional Uma dificuldade vem de que comumente o estudo da equaccedilatildeo cartesiana de um plano no espaccedilo tridimensional natildeo eacute feito no Ensino Meacutedio Em face disso tem prevalecido uma abordagem meramente informativa para relacionar as possibilidades de soluccedilatildeo de um sistema linear 3 x 3 com as posiccedilotildees relativas de trecircs planos no espaccedilo o que eacute insatisfa-toacuterio do ponto de vista da aprendizagem

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No que se refere agrave resoluccedilatildeo de sistemas lineares o meacutetodo de escalonamento atualmente o mais in-dicado vem recebendo atenccedilatildeo crescente no Ensino Meacutedio Aleacutem disso a nomenclatura ldquosistema deter-minadordquo ldquosistema impossiacutevelrdquo e ldquosistema indeterminadordquo poderia vantajosamente ser substituiacuteda por ldquosistema com uma uacutenica soluccedilatildeordquo ldquosistema com infinitas soluccedilotildeesrdquo e ldquosistema sem soluccedilotildeesrdquo Afinal eacute isso que realmente se verifica quando se resolve um sistema pelo meacutetodo do escalonamento da matriz aumentada do sistema

Apesar de o meacutetodo de escalonamento ser privilegiado na resoluccedilatildeo de sistemas haacute muito a avanccedilar no ensino desse importante algoritmo para resolver sistemas na medida em que as abordagens satildeo muitas vezes centradas em apenas alguns exemplos que natildeo abrangem todas as situaccedilotildees possiacuteveis Aleacutem disso um bom toacutepico opcional ainda ausente nos livros poderia ser a comparaccedilatildeo entre o emprego de escalo-namento e o de determinantes do ponto de vista do nuacutemero de operaccedilotildees envolvidas em cada um deles

Nas obras didaacuteticas uma evoluccedilatildeo bem-vinda mas que ainda natildeo se firmou eacute o estudo da conexatildeo das matrizes com as transformaccedilotildees geomeacutetricas no plano Em alguns livros satildeo tratados temas igualmente instigantes e atuais como as aplicaccedilotildees das matrizes agrave computaccedilatildeo graacutefica e agrave programaccedilatildeo linear Con-tudo no Ensino Meacutedio a abordagem das matrizes que predomina ainda eacute muito teacutecnica e fragmentada

ltgeometriagtNas coleccedilotildees aprovadas no PNLD 2018 observa-se que o estudo especiacutefico da geometria eacute feito em trecircs momentos Inicialmente no livro do 1ordm ano abordam-se as relaccedilotildees meacutetricas e trigonomeacutetricas nos triacircngulos e os conceitos em que elas se apoiam Tais conceitos satildeo os de comprimento de seg-mentos o de semelhanccedila de figuras geomeacutetricas planas e de aacuterea dessas figuras os dois teoremas centrais satildeo os de Tales e o de Pitaacutegoras Como esses conteuacutedos fazem parte da grade curricular da etapa anterior da escolarizaccedilatildeo baacutesica justifica-se que sejam abordados como uma revisatildeo no Ensino Meacutedio Em quase todas as obras aprovadas poreacutem prevalece um tratamento descritivo dos conteuacutedos com o foco em aplicaccedilotildees dos teoremas Emprega-se uma argumentaccedilatildeo que leva em conta o encadeamento loacutegico dos conceitos e procedimentos mas se recorre pouco a demonstraccedilotildees matemaacuteticas detalhadas Em geral podemos dizer que neste primeiro momento o estudo de geo-metria eacute satisfatoacuterio ainda que em alguns casos pudesse ser atenuado o caraacuteter demasiadamente descritivo e a atenccedilatildeo excessiva agrave nomenclatura Observam-se tambeacutem algumas imprecisotildees nas demonstraccedilotildees que devem ser evitadas

No que respeita a esse tipo de argumentaccedilatildeo loacutegica o estudante volta a ser solicitado a estudar o caraacuteter dedutivo da Matemaacutetica quando se aborda a geometria espacial de posiccedilatildeo poreacutem muitas vezes sem os cuidados necessaacuterios Isso acontece ao serem propostos conjuntos de axiomas por vezes insuficientes para as deduccedilotildees que satildeo feitas posteriormente

Aleacutem disso as justificativas apresentadas para calcular o volume de prismas em particular do paralele-piacutepedo reto-retacircngulo somente satildeo vaacutelidas se as arestas forem comensuraacuteveis entre si Eacute dispensaacutevel no Ensino Meacutedio fazer uma demonstraccedilatildeo completa da validade dessa foacutermula no entanto eacute importan-te mencionar ser possiacutevel demonstrar que a expressatildeo indicada aplica-se a qualquer paralelepiacutepedo

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No estudo das figuras geomeacutetricas acertadamente tem sido priorizada a classificaccedilatildeo em duas famiacute-lias distintas as planas e as natildeo planas (ou espaciais) Como sabemos as primeiras satildeo aquelas nas quais existe um plano contendo todos os pontos dessa figura as figuras natildeo planas satildeo todas as de-mais A classificaccedilatildeo das figuras geomeacutetricas segundo sua dimensatildeo estudada nos livros aprovados tambeacutem eacute importante mas as relaccedilotildees entre essas duas classificaccedilotildees ainda natildeo tecircm sido abordadas de modo apropriado Por exemplo nem sempre fica claro que em um cubo ndash figura geomeacutetrica natildeo plana ndash podemos identificar uma figura tridimensional considerando os pontos interiores e os do contorno do cubo uma figura bidimensional tomando apenas o contorno do cubo uma figura unidi-mensional que reuacutene as arestas do cubo e finalmente uma figura geomeacutetrica de dimensatildeo zero a uniatildeo dos veacutertices do cubo Eacute faacutecil encontrarmos modelos para essas figuras geomeacutetricas no mundo fiacutesico podendo-se indicar respectivamente um dado maciccedilo uma caixa cuacutebica oca um esqueleto cuacutebico feito de canudos ou uma disposiccedilatildeo cuacutebica de partiacuteculas Trata-se aqui de um bom momen-to nem sempre aproveitado nos livros para ressaltar um aspecto importante da linguagem matemaacute-tica porque natildeo soacute os quatro conceitos matemaacuteticos em foco como seus correspondentes modelos fiacutesicos podem ser denominados por uma uacutenica palavra cubo

Nos livros didaacuteticos para o Ensino Meacutedio tem-se recorrido ao princiacutepio de Cavalieri para calcular volumes o que eacute bem apropriado pois de outro modo seriam exigidos meacutetodos infinitesimais No entanto eacute necessaacuterio cuidado ao empregar esse princiacutepio Nos livros nem sempre se justifica de modo satisfatoacuterio a igualdade das aacutereas das seccedilotildees dos soacutelidos em jogo necessaacuteria para aplicaccedilatildeo do referido princiacutepio Sabemos que para tanto precisamos recorrer de modo adequado aos concei-tos geomeacutetricos de congruecircncia e de semelhanccedila entre superfiacutecies o que por vezes natildeo se faz

Ainda com respeito agrave geometria espacial nota-se tendecircncia anaacuteloga agrave encontrada na apresentaccedilatildeo da geometria plana que eacute a ecircnfase nas classificaccedilotildees e a carecircncia de problemas instigantes Em espe-cial recai-se em monoacutetonas aplicaccedilotildees da aacutelgebra nos exerciacutecios sobre aacutereas e volumes Somente em algumas obras mas ainda de modo incipiente e natildeo de todo livre de imprecisotildees observa-se maior exploraccedilatildeo da capacidade de visualizaccedilatildeo do estudante tatildeo necessaacuteria em estudos posteriores e em muitas profissotildees como as ligadas agrave mecacircnica agrave arquitetura e agraves artes A apresentaccedilatildeo de vistas de soacutelidos mais complexos eacute uma oacutetima oportunidade para exercitar a capacidade de visualizaccedilatildeo es-pacial dos estudantes Poreacutem no Ensino Meacutedio geralmente natildeo se tem contribuiacutedo suficientemente para o aperfeiccediloamento das habilidades de desenho e de visualizaccedilatildeo de objetos geomeacutetricos espa-ciais Eacute necessaacuterio assim que se decirc importacircncia ao trabalho com diferentes perspectivas projeccedilotildees cortes planificaccedilotildees entre outros recursos de representaccedilatildeo dos objetos

Em todas as obras aprovadas estudam-se os poliedros que satildeo geralmente definidos como figuras geomeacutetricas tridimensionais e por isso espaciais Sabemos que as superfiacutecies que compotildeem o con-torno dessas figuras satildeo tambeacutem espaciais mas natildeo satildeo tridimensionais e sim bidimensionais A esse respeito ao serem propostas atividades de planificaccedilatildeo eacute preciso deixar claro que elas visam agrave planificaccedilatildeo da superfiacutecie do poliedro e natildeo a do poliedro como um objeto tridimensional

Nas coleccedilotildees resenhadas neste Guia aborda-se a Relaccedilatildeo de Euler Em todas elas haacute cuidado na for-mulaccedilatildeo da hipoacutetese de convexidade do poliedro - e na indicaccedilatildeo de que tal hipoacutetese natildeo eacute necessaacute-

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ria para a validade da relaccedilatildeo - bem como na apresentaccedilatildeo de contraexemplos no caso de poliedros natildeo convexos No entanto a Relaccedilatildeo de Euler torna-se um tema mais relevante quando se estudam suas aplicaccedilotildees na Matemaacutetica Uma das mais instigantes eacute a que conduz ao fato surpreendente de que soacute existem 5 poliedros regulares os chamados Poliedros de Platatildeo Observa-se que muitas das coleccedilotildees aprovadas tratam desse fato mas outras o omitem e se restringem ao emprego direto da relaccedilatildeo em exerciacutecios corriqueiros e pouco estimulantes

ltgeometria analiacuteticagtDesde suas origens a geometria analiacutetica eacute um campo privilegiado para as conexotildees entre a aacutelgebra e a geometria Eacute sabido que a escolha de um sistema de coordenadas permite que se estabeleccedila uma estreita relaccedilatildeo entre de um lado figuras geomeacutetricas e do outro equaccedilotildees (ou inequaccedilotildees) envol-vendo as coordenadas dos pontos Na geometria analiacutetica tanto se resolvem problemas geomeacutetricos recorrendo a meacutetodos algeacutebricos quanto se atribui significado geomeacutetrico a fatos algeacutebricos

No Ensino Meacutedio comumente a geometria analiacutetica no plano concentra-se inadequadamente no 3ordm ano ocasiatildeo em que se devem estudar reta circunferecircncia e cocircnicas no plano cartesiano A despeito disso no 1o ano jaacute satildeo abordados toacutepicos relativos agrave distacircncia entre pontos e tambeacutem aos primeiros contatos com as equaccedilotildees da reta da paraacutebola e por vezes da circunferecircncia Um aspecto muito criticado mas que persiste na abordagem da geometria analiacutetica nas coleccedilotildees eacute a fragmentaccedilatildeo dos conceitos Por exemplo no estudo da reta vaacuterios tipos de equaccedilatildeo ndash geral reduzida segmentaacuteria parameacutetrica entre outras ndash satildeo apresentados isoladamente e com igual destaque prejudicando-se assim uma abordagem mais integrada dessas equaccedilotildees

Frequentemente o estudo da circunferecircncia e das cocircnicas natildeo foge ao padratildeo de segmentaccedilatildeo ob-servado na abordagem da reta O que atenua essa limitaccedilatildeo eacute a atenccedilatildeo crescente que vem sendo dispensada ao meacutetodo de completar quadrados com o objetivo de se obter a forma canocircnica da equaccedilatildeo de uma circunferecircncia Para atribuir significado ao nome ldquococircnicasrdquo eacute apropriado referir-se agraves seccedilotildees planas de uma superfiacutecie cocircnica No entanto eacute preciso cautela para caracterizar o tipo de seccedilatildeo plana que gera uma hipeacuterbole ou uma paraacutebola em um cone de duas folhas

Satildeo importantes as conexotildees da geometria analiacutetica com outros toacutepicos como graacuteficos de funccedilotildees representaccedilotildees geomeacutetricas dos sistemas lineares matrizes de transformaccedilotildees geomeacutetricas Tais co-nexotildees satildeo valorizadas nas obras resenhadas e eacute uma tendecircncia a ser aperfeiccediloada

ltestatiacutestica e probabilidadegtOs conhecimentos estatiacutesticos como eacute sabido satildeo cada vez mais necessaacuterios no cotidiano das pes-soas Suas aplicaccedilotildees satildeo importantes nos vaacuterios ramos da tecnologia e das ciecircncias exatas naturais ou humanas Em qualquer um deles os resultados obtidos e as conclusotildees apresentadas baseiam-se em modelos que por serem uma simplificaccedilatildeo da realidade satildeo constantemente aperfeiccediloados ou mesmo atualizados A decisatildeo de quais itens incluir ou natildeo em um modelo bem como a necessi-dade de trabalharmos com amostras ao inveacutes de populaccedilotildees implicam incerteza nas conclusotildees relativas a um evento Essa incerteza permeia o raciociacutenio estatiacutestico e eacute medida pela probabilidade

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de ocorrecircncia do evento em foco Eacute consenso entre os educadores que o estudo dessa condiccedilatildeo de natildeo determinismo no campo da estatiacutestica deve estar presente no cotidiano escolar desde a escola baacutesica para formarmos cidadatildeos criacuteticos e com autonomia de pensamento

De modo sinteacutetico o ciclo completo de uma pesquisa estatiacutestica eacute iniciado com uma questatildeo de interesse seguida das seguintes etapas planejamento de pesquisa eou experimento definiccedilatildeo ade-quada da populaccedilatildeo e da amostra coleta e organizaccedilatildeo de dados anaacutelise descritiva que inclui as anaacutelises graacuteficas eou tabulares as distribuiccedilotildees de frequecircncia e as medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo bem como outras anaacutelises pertinentes Sua finalizaccedilatildeo acontece com tomadas de deci-satildeo em relaccedilatildeo agrave questatildeo inicial Para essa conclusatildeo eacute possiacutevel construir quando pertinente uma anaacutelise de inferecircncia formal por meio de argumentos de natureza probabiliacutestica

No entanto na escola baacutesica o que se pretende eacute o desenvolvimento de quase todas as etapas do citado ciclo incluindo a parte descritiva Com respeito ao desenvolvimento da inferecircncia formal esta deve ser postergada para outras etapas da escolaridade (pelo menos no atual estaacutegio) dando lugar no Ensino Meacutedio ao que estaacute sendo chamado na literatura especializada de inferecircncia informal Esta uacuteltima encaminha sugestotildees sobre o possiacutevel comportamento das populaccedilotildees envolvidas com base em argumentos sobre a anaacutelise dos resultados encontrados As coleccedilotildees aprovadas vecircm abordando etapas do ciclo de pesquisa apropriadas ao Ensino Meacutedio mas haacute muito a evoluir no cumprimento adequado de todas essas etapas e ainda mais em propiciar ao estudante um entendimento integra-do do mencionado ciclo

Discute-se na comunidade acadecircmica se eacute natural a estatiacutestica fazer parte dos curriacuteculos da Mate-maacutetica no Ensino Meacutedio Poreacutem ao analisarmos as etapas do ciclo descrito acima percebemos que alguns de seus componentes podem ser inseridos naturalmente na Matemaacutetica mas que outros de natureza interdisciplinar teriam espaccedilo em outras instacircncias eou componentes curriculares Aceita essa observaccedilatildeo a estatiacutestica deveria extrapolar as amarras do componente curricular e ser uma ferramenta importante em projetos integrados com Sociologia Biologia Fiacutesica entre outros Dessa forma haveria mais possibilidades de se ampliar o leque de opccedilotildees de aplicaccedilotildees em que o estudan-te pudesse questionar a realidade e aplicar o ciclo de anaacutelise estatiacutestica A elaboraccedilatildeo de projetos daria sentido a esse pensamento Com esse objetivo o Manual do Professor de muitas coleccedilotildees traz propostas que podem ser levadas para a sala de aula com grande proveito para o processo de ensino e aprendizagem

Graacuteficos e tabelas satildeo muito comuns nos livros didaacuteticos para o ensino baacutesico e alguns deles reser-vam capiacutetulos especiacuteficos aos estudos mais detalhados dessas representaccedilotildees Muitos livros didaacuteti-cos para o Ensino Meacutedio apresentam uma grande quantidade de graacuteficos e de tabelas produzidos na miacutedia Embora presentes em algumas obras satildeo menos frequentes as propostas de coleta de dados pelos proacuteprios estudantes seguida da correspondente anaacutelise desses dados Aleacutem disso nem sem-pre eacute conduzido um estudo criacutetico adequado desses instrumentos de organizaccedilatildeo e de comunicaccedilatildeo de informaccedilotildees como se comenta nos paraacutegrafos seguintes

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Os graacuteficos presentes nas obras raramente satildeo acompanhados da discussatildeo de aspectos importantes associados agrave anaacutelise descritiva como o grupo pesquisado (se eacute uma amostragem ou uma pesquisa censitaacuteria) a classificaccedilatildeo da variaacutevel analisada (quantitativa ou qualitativa) a opccedilatildeo por trabalhar com frequecircncia absoluta ou relativa e suas consequecircncias a escolha de escalas adequadas para os eixos e as variaacuteveis que estatildeo sendo relacionadas em um mesmo graacutefico

Um tipo de representaccedilatildeo graacutefica que eacute frequente na estatiacutestica eacute o histograma que deve ser usado somente para variaacuteveis quantitativas cujos valores estatildeo dispostos em classes Um histograma natildeo eacute um graacutefico de barras que eacute uma das representaccedilotildees apropriadas para variaacuteveis qualitativas Um his-tograma eacute um graacutefico com retacircngulos justapostos cuja base (no eixo das abscissas) representa o in-tervalo de classe associado agrave variaacutevel e a altura (no eixo das ordenadas) eacute proporcional agrave frequecircncia de classe O emprego de um histograma requer uma discussatildeo da eventual necessidade de trabalhar-mos com diferentes valores na ordenada ndash frequecircncia absoluta frequecircncia relativa ou densidade

Como jaacute foi dito satildeo pouco frequentes nas obras atividades que incentivam a anaacutelise criacutetica de representaccedilotildees de dados usadas na miacutedia ou em divulgaccedilatildeo de pesquisas cientiacuteficas Igualmente sentimos falta de comparaccedilotildees com outras formas de representaccedilatildeo de dados e de uma criacutetica de possiacuteveis interpretaccedilotildees equivocadas

No Ensino Meacutedio atual observamos uma preferecircncia pela caracterizaccedilatildeo de meacutedia mediana e moda como medidas de tendecircncia central Aleacutem dessa caracterizaccedilatildeo de uso corrente haacute tambeacutem a praacutetica de chamaacute-las de medidas de posiccedilatildeo no sentido de poderem ser posicionadas diretamente no mesmo eixo em que as medidas satildeo registradas Esta uacuteltima forma parece ajudar mais o estudante na compreensatildeo do caraacuteter da medida e de sua relaccedilatildeo com os dados observados O caacutelculo de medidas descritivas de-veria ser analisado agrave luz do raciociacutenio estatiacutestico e natildeo meramente por meio dos resultados numeacutericos Aprender teacutecnicas de caacutelculo sem ser capaz de interpretar seus resultados eacute enfadonho e desnecessaacuterio

Por exemplo no caso de medidas de posiccedilatildeo o papel da mediana nem sempre eacute destacado nas obras didaacuteticas como uma alternativa ao uso da meacutedia Na verdade a mediana eacute mais representativa do que a meacutedia para resumir dados notadamente assimeacutetricos e temos uma possiacutevel indicaccedilatildeo de simetria dos dados quando meacutedia e mediana coincidem Como a meacutedia eacute muito influenciada por valores extremos a mediana eacute uma substituta natural quando tal assimetria ocorre Eacute fundamental para o entendimento da mediana enfatizarmos que ela eacute uma medida em que interveacutem a ordem mas a menccedilatildeo de que os dados devem estar ordenados antes de seu caacutelculo nem sempre estaacute expliacutecita para facilitar o entendimento do estudante Outras medidas de posiccedilatildeo como quartis e percentis natildeo satildeo exploradas no Ensino Meacute-dio e entretanto poderiam ser uteis na elaboraccedilatildeo da inferecircncia informal

Ainda para variaacuteveis quantitativas satildeo definidas as chamadas medidas de dispersatildeo que caracterizam a variabilidade presente nos dados A mais simples das medidas de imediato entendimento por parte dos estudantes eacute a amplitude (diferenccedila entre o valor maacuteximo e o valor miacutenimo observados) raramente mencionada nos livros didaacuteticos Notamos que essa medida eacute usada em algumas coleccedilotildees como mero instrumento para calcular o comprimento e o nuacutemero de intervalos de classe de uma variaacutevel quanti-

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tativa para a construccedilatildeo de um histograma Mas depois na grande maioria dos casos natildeo se volta a ela como medida de dispersatildeo Natildeo se trata de eleger a amplitude como a melhor medida de dispersatildeo (ela tem fragilidades como a de ignorar o miolo dos dados) e sim de iniciar o estudo com uma ideia intuitiva de variabilidade para iniciar a abordagem do tema

Mesmo quando eacute feito o estudo da variacircncia do desvio padratildeo ou do desvio meacutedio absoluto suas interpretaccedilotildees natildeo satildeo valorizadas Assim esse estudo costuma ser reduzido a teacutecnicas operatoacuterias com pouca discussatildeo de seus significados para a compreensatildeo dos dados Somente em algumas obras didaacuteticas para o Ensino Meacutedio tem sido abordado o coeficiente de variaccedilatildeo uma medida de va-riabilidade relativa muito uacutetil para comparar dispersatildeo em conjuntos com meacutedias diferentes E mais tambeacutem no que se refere agrave anaacutelise descritiva a profusatildeo de exerciacutecios eacute desnecessaacuteria

No estudo da probabilidade haacute pontos positivos em algumas obras didaacuteticas como maior cuidado na abordagem dos conceitos baacutesicos e preocupaccedilatildeo em associaacute-los a problemas reais e sugestivos No entanto por vezes peca-se pelo exagero de exerciacutecios com contextualizaccedilotildees inadequadas ou demasiadamente artificiais quando poderiam ser sugeridas por exemplo simulaccedilotildees em sala de aula (com laacutepis e papel ou com recursos tecnoloacutegicos caso disponiacuteveis) que enriqueceriam e motiva-riam os caacutelculos posteriores de probabilidade

Embora ainda observemos que o estudo da probabilidade eacute precedido pelo estudo da anaacutelise com-binatoacuteria jaacute satildeo menos frequentes nas coleccedilotildees capiacutetulos longos e fragmentados sobre o tema Eacute certo que a contagem de possibilidades eacute uma ferramenta essencial para o estudo da probabilidade No entanto o estudante natildeo deve ser levado a pensar que entender o conceito de probabilidade de-pende dessa preparaccedilatildeo Em contrapartida os diagramas de aacutervore poderiam ser usados em vaacuterios momentos em que o espaccedilo amostral eacute pequeno para facilitar a compreensatildeo do estudante

Quanto agrave definiccedilatildeo de probabilidade algumas obras trazem tanto a claacutessica quanto a frequentista o que demonstra um entendimento positivo sobre a necessidade de obtermos definiccedilotildees que natildeo tenham a limitaccedilatildeo da definiccedilatildeo claacutessica

Em relaccedilatildeo agraves noccedilotildees baacutesicas de probabilidade observamos que frequentemente no Ensino Meacute-dio natildeo eacute apresentada de maneira apropriada a noccedilatildeo de independecircncia probabiliacutestica entre dois eventos definidos em um mesmo espaccedilo amostral Nesse caso eacute conveniente antes da abordagem de independecircncia estudarmos o conceito de probabilidade condicional e definirmos independecircncia a partir da condicional Haacute uma inversatildeo que apesar de natildeo ser muito adequada eacute muitas vezes encontrada a de se ldquoassumirrdquo a priori que haacute independecircncia entre os eventos e entatildeo aplicar a definiccedilatildeo para caacutelculo da probabilidade

O estudo da probabilidade e da estatiacutestica busca contribuir para o entendimento da realidade Assim eacute necessaacuterio que seu estudo permita ao estudante conhecer os pontos fortes da aacuterea e suas limi-taccedilotildees e tenha claro que natildeo haacute espaccedilo para raciociacutenio determiniacutestico em muitas decisotildees que em uacuteltima anaacutelise afetam nossas vidas

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ltlinguagem e argumentaccedilatildeo na matemaacutetica para o Ensino MeacutediogtNos tempos modernos o desenvolvimento dos conhecimentos matemaacuteticos ocorreu paralelamente agrave criaccedilatildeo de uma linguagem distinta da linguagem comum com simbologia especiacutefica e ldquoregras gra-maticaisrdquo apropriadas para o discurso mais preciso Eacute comum usar-se a expressatildeo linguagem formal da Matemaacutetica para se referir a tal linguagem embora devamos estar atentos ao fato de que o termo lsquoformalrsquo pode ser entendido de modo muito diversificado

Na medida em que a complexidade dos conhecimentos foi aumentando a linguagem formal da Ma-temaacutetica foi se tornando cada vez mais necessaacuteria para expressar devidamente as noccedilotildees dessa ci-ecircncia Aleacutem disso hoje em dia parte dessa linguagem eacute utilizada pelas miacutedias e nas praacuteticas sociais tornando-se importante que todo o cidadatildeo domine adequadamente o seu uso e os seus significa-dos natildeo apenas para fazer Matemaacutetica mas para o exerciacutecio pleno da cidadania Outro consenso eacute que a escola deve procurar desenvolver com o estudante a capacidade de entender e de empregar a argumentaccedilatildeo do tipo loacutegico-matemaacutetico

Embora o aprofundamento da linguagem formal da Matemaacutetica e da argumentaccedilatildeo loacutegico-matemaacuteti-ca natildeo seja requerido no Ensino Meacutedio tem sido reiterada a relevacircncia dessas competecircncias na for-maccedilatildeo integral dos jovens como parte de sua preparaccedilatildeo baacutesica tanto para continuidade de estudos em ciecircncia pura ou aplicada quanto para ampliar as possibilidades de participaccedilatildeo mais eficaz no mundo do trabalho e permitir o exerciacutecio pleno da cidadania Com isso pretende-se cumprir as trecircs finalidades fundamentais previstas para o Ensino Meacutedio

Nas coleccedilotildees aprovadas no PNLD 2018 ainda eacute preciso aperfeiccediloar bastante o emprego da linguagem formal e o uso da argumentaccedilatildeo matemaacutetica A seguir apontamos alguns aspectos que merecem especial atenccedilatildeo do docente especialmente porque podem contribuir para tornar o aprendizado mais significativo

Um primeiro tema a ser focalizado eacute o emprego do sinal de igualdade A igualdade eacute uma relaccedilatildeo fundamental representada pelo conhecido siacutembolo lsquo=rsquo Escrever lsquoa = brsquo eacute basicamente afirmar que a e b satildeo representaccedilotildees simboacutelicas distintas para um mesmo objeto matemaacutetico Assim o sinal de igualdade nos diz que a e b satildeo ldquonomesrdquo diferentes referidos agrave mesma ldquocoisardquo Portanto incorremos em mau uso do siacutembolo lsquo=rsquo quando escrevemos π = 180 Com efeito o estudante pode ser induzido agrave ideia errocircnea de que os nuacutemeros π e 180 satildeo iguais o que eacute impossiacutevel pois o primeiro eacute um nuacutemero irracional e o segundo eacute um inteiro O que deveriacuteamos escrever eacute π rad = 180o cujo significado eacute o de ser a igualdade entre dois valores da mesma grandeza a amplitude de um acircngulo medida nas unidades radiano e grau respectivamente

Em outra situaccedilatildeo tambeacutem eacute incorreto escrevermos π = 314 De fato um nuacutemero irracional natildeo pode ser igual a um nuacutemero racional Na Matemaacutetica e em suas aplicaccedilotildees eacute sempre possiacutevel empregar neste caso a representaccedilatildeo π cong 314 Com isso indicamos que o segundo termo eacute uma aproximaccedilatildeo numeacuterica racional do nuacutemero irracional cong

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Outro toacutepico relevante diz respeito ao ensino do meacutetodo axiomaacutetico Os primeiros registros do seu emprego remontam agrave antiguidade grega e em lenta evoluccedilatildeo esse meacutetodo foi se tornando o padratildeo de rigor loacutegico da Matemaacutetica No seacuteculo XIX seu desenvolvimento passou pela retomada da discus-satildeo sobre paradoxos e pelo reestudo dos fundamentos da Matemaacutetica

Eacute importante para a formaccedilatildeo geral no Ensino Meacutedio que os estudantes tenham oportunidade de um contato natildeo exaustivo mas significativo com o meacutetodo axiomaacutetico das validaccedilotildees matemaacuteticas Essa seria uma boa maneira de favorecer em aulas de Matemaacutetica o desenvolvimento do que eacute usualmen-te chamada de ldquoargumentaccedilatildeo loacutegicardquo

Uma teoria axiomaacutetica envolve objetos de algum universo abstrato particular que podem ser figuras geomeacutetricas nuacutemeros ou mais geralmente elementos de conjuntos abstratos Partimos de objetos primitivos natildeo definidos aos quais atribuiacutemos um nome (exemplos ponto reta plano variaacutevel constante conjunto conjunto vazio) Ao lado disso haacute as relaccedilotildees denominadas axiomas (ou postu-lados) entre tais objetos e que natildeo satildeo demonstradas Inevitavelmente os nomes dos objetos pri-mitivos satildeo ldquoinfluenciadosrdquo pelos significados ligados ao seu uso na linguagem natural No entanto tais significados natildeo importam para o seu uso na teoria axiomaacutetica Os axiomas eacute que vatildeo regular o uso dos objetos primitivos no corpo da teoria Dessa forma os axiomas determinam as proprieda-des suficientes para o funcionamento das relaccedilotildees baacutesicas entre os objetos primitivos Em seguida sequecircncias de deduccedilatildeo loacutegica permitem definir outros objetos e demonstrar proposiccedilotildees que vatildeo progressivamente compondo uma teoria axiomaacutetica

Nesse processo as demonstraccedilotildees (ou deduccedilotildees) satildeo sequecircncias de proposiccedilotildees matemaacuteticas nas quais qualquer uma delas eacute um axioma ou uma proposiccedilatildeo que decorre logicamente de proposiccedilotildees jaacute demonstradas anteriormente O uacuteltimo elemento dessa sequecircncia eacute a proposiccedilatildeo alvo da demons-traccedilatildeo que comumente chamamos de teorema

Frequentemente o teorema desejado eacute uma proposiccedilatildeo do tipo ldquoSe P entatildeo Qrdquo em que P e Q satildeo proposiccedilotildees da teoria com a qual trabalhamos Sendo esse o caso suponhamos a validade de P e quando necessaacuterio adicionemos proposiccedilotildees vaacutelidas na teoria (axiomas ou proposiccedilotildees jaacute demons-tradas) bem como utilizemos as regras de inferecircncia loacutegica admitidas Se conseguirmos dessa forma obter a validade de Q entatildeo podemos concluir que o teorema ldquoSe P entatildeo Qrdquo foi demonstrado Nesse caso chamamos P de hipoacutetese e Q de tese do teorema

Dada uma proposiccedilatildeo ldquoSe P entatildeo Qrdquo a proposiccedilatildeo ldquoSe Q entatildeo Prdquo eacute denominada reciacuteproca da pri-meira Uma observaccedilatildeo relevante eacute que existem proposiccedilotildees vaacutelidas cuja reciacuteproca natildeo o eacute

Suponhamos por exemplo a proposiccedilatildeo ldquoEm um plano se r1 r2 e r3 satildeo retas distintas e paralelas duas a duas e se t u satildeo retas que cortam r1 r2 e r3 entatildeo os segmentos correspondentes determi-nados pelas trecircs paralelas nas retas t e u satildeo proporcionaisrdquo Essa eacute uma das versotildees do conhecido Teorema de Tales que eacute demonstrado em muitos livros didaacuteticos A reciacuteproca desse teorema eacute ldquoEm um plano se trecircs retas r1 r2 e r3 satildeo cortadas por duas retas t e u de maneira que os segmentos de-

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terminados pelas trecircs retas nas retas t e u satildeo proporcionais entatildeo as trecircs retas satildeo paralelas duas a duasrdquo Tal proposiccedilatildeo eacute falsa De fato como contraexemplo dessa reciacuteproca podemos considerar o veacutertice A oposto agrave base de um triacircngulo isoacutesceles e tomar para r1 r2 e r3 as retas que passam no ponto A e satildeo determinadas pelos dois lados e pela altura desse triacircngulo Essas retas natildeo satildeo para-lelas mas determinam em quaisquer duas retas paralelas agrave base do triacircngulo segmentos de mesmo comprimento e portanto de mesma razatildeo igual a 1

Quando podemos demonstrar tanto a proposiccedilatildeo ldquoSe P entatildeo Qrdquo quanto a sua reciacuteproca ldquoSe Q entatildeo Prdquo dizemos que as proposiccedilotildees P e Q satildeo logicamente equivalentes Na linguagem formal da Mate-maacutetica escrevemos ldquoP se e somente se Qrdquo No que se refere agrave teoria axiomaacutetica em jogo podemos utilizar qualquer uma das duas proposiccedilotildees P ou Q nas deduccedilotildees dessa teoria

Na abordagem desse tema o fato de que a proposiccedilatildeo e sua reciacuteproca satildeo verdadeiras natildeo nos dispen-sa de mencionarmos para os estudantes suas demonstraccedilotildees Por exemplo tomemos a proposiccedilatildeo ldquoSe uma matriz quadrada eacute invertiacutevel entatildeo seu determinante eacute diferente de zerordquo A prova dessa proposi-ccedilatildeo eacute apresentada nos livros didaacuteticos Sua reciacuteproca tambeacutem eacute verdadeira ldquoSe o determinante de uma matriz quadrada eacute diferente de zero entatildeo a matriz eacute invertiacutevelrdquo No entanto por vezes a demonstraccedilatildeo dessa reciacuteproca natildeo eacute sequer mencionada O que agrava essa omissatildeo eacute que em seguida passa-se a empregar a proposiccedilatildeo reciacuteproca na resoluccedilatildeo de problemas Induz-se dessa forma agrave confusatildeo entre uma proposiccedilatildeo e sua reciacuteproca o que eacute prejudicial para a aquisiccedilatildeo da argumentaccedilatildeo matemaacutetica

ltmetodologia de ensino e aprendizagemgtAo lado da observaccedilatildeo dos conteuacutedos matemaacuteticos e do modo como satildeo abordados a avaliaccedilatildeo de um livro didaacutetico ocupa-se tambeacutem da anaacutelise da metodologia de ensino e aprendizagem nele adotada Nessa anaacutelise busca-se identificar de que forma as escolhas pedagoacutegicas foram trabalhadas e se efetivam tanto na apresentaccedilatildeo e na sistematizaccedilatildeo dos conteuacutedos quanto no que concerne agraves estrateacutegias de participaccedilatildeo do estudante e agraves competecircncias baacutesicas a serem desenvolvidas Procura-se ainda verificar quais recursos didaacuteticos satildeo utilizados e a natureza das atividades propostas

A avaliaccedilatildeo das coleccedilotildees aprovadas no PNLD 2018 revelou certa uniformidade no que diz respeito agraves propostas metodoloacutegicas desenvolvidas Embora possam ser identificadas particularidades em cada obra especiacutefica haacute um traccedilo geral que as caracteriza nos capiacutetulos (ou nas unidades) haacute uma ou duas paacuteginas de abertura que incluem textos imagens questotildees ou informaccedilotildees gerais relacionadas com conteuacutedo a ser estudado Os textos iniciais objetivam contextualizar os conte-uacutedos e mobilizar o interesse dos estudantes para refletir sobre o que seraacute estudado Seguem-se as explanaccedilotildees teoacutericas com apoio em exemplos ou exerciacutecios resolvidos que satildeo completados por exerciacutecios propostos

Predominante nos livros didaacuteticos para o Ensino Meacutedio nos uacuteltimos anos essa escolha metodo-loacutegica tem sido acompanhada de limitaccedilotildees pedagoacutegicas Inicialmente nota-se que as conexotildees

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entre os temas abordados nas aberturas e os conteuacutedos trabalhados ao longo de capiacutetulos ou unidades nem sempre satildeo adequadas Aleacutem disso esses temas raramente satildeo retomados ao longo dos livros apesar de muitos deles serem instigantes

Outra observaccedilatildeo a ser feita eacute que em geral as sistematizaccedilotildees satildeo apresentadas muito rapi-damente por meio de definiccedilotildees seguidas de exemplos ou de exerciacutecios resolvidos que satildeo tratados como modelos a serem considerados na resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos Essa opccedilatildeo natildeo eacute muito estimulante e limita as possibilidades de o estudante acompanhar o texto didaacutetico com suas proacuteprias reflexotildees e indagaccedilotildees Aleacutem disso pouco contribui para um trabalho de sala de aula que favoreccedila a reflexatildeo sobre os conteuacutedos e as discussotildees de possiacuteveis soluccedilotildees para as questotildees propostas e que possibilite a atribuiccedilatildeo de significados aos conhecimentos estudados

Nota-se ainda que todas as obras apresentam a Matemaacutetica como um produto finalizado em que tudo jaacute eacute conhecido restando-nos apenas aprendecirc-la sem que possamos interferir no seu desenvolvimento Natildeo haacute por exemplo menccedilatildeo a problemas que satildeo objeto de estudos haacute muito tempo mas que ainda natildeo foram completamente resolvidos pelos matemaacuteticos Raramente os estudantes satildeo confrontados com a ideia de que a Matemaacutetica eacute um organismo vivo ndash mesmo diante do fato de que no seacuteculo XX produziu-se mais Matemaacutetica que em todos os seacuteculos ante-riores e o interesse por essa ciecircncia continua mais vivo do que nunca

As obras didaacuteticas para o Ensino Meacutedio incluem comumente um grande nuacutemero de questotildees a se-rem estudadas pelos estudantes Em diversas obras aprovadas para o PNLD 2018 observa-se excesso de exerciacutecios propostos o que pode afastar o interesse do estudante por esse componente curricular e exigiraacute do professor uma cuidadosa escolha dos exerciacutecios a serem trabalhados em cada toacutepico

No mesmo sentido a predominacircncia de exerciacutecios repetitivos baseados na aplicaccedilatildeo de exem-plos apresentados no texto pode igualmente dificultar o genuiacuteno interesse pela Matemaacutetica Isso porque o estudante natildeo exerce devidamente sua capacidade de decisatildeo sobre quais con-ceitos podem ser mobilizados e qual estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute possiacutevel escolher Essa capacida-de eacute essencial para a realizaccedilatildeo de atividades matemaacuteticas com compreensatildeo No entanto satildeo poucos os livros didaacuteticos destinados ao Ensino Meacutedio que exploram de forma satisfatoacuteria a utilizaccedilatildeo de diferentes estrateacutegias na resoluccedilatildeo de problemas e a verificaccedilatildeo de processos e de resultados pelos estudantes Igualmente natildeo satildeo frequentes as atividades propostas que favo-recem o desenvolvimento de capacidades baacutesicas de inferir conjecturar argumentar e provar E mais as competecircncias para organizar analisar e sintetizar satildeo insuficientemente demandadas em muitas obras didaacuteticas Aleacutem disso na maioria das coleccedilotildees natildeo satildeo exploradas questotildees nas quais haja falta ou excesso de dados e tambeacutem aquelas com vaacuterias soluccedilotildees que satildeo bons momentos para discussatildeo e enriquecem a aprendizagem

Quanto aos recursos didaacuteticos o uso de ferramentas tecnoloacutegicas ainda eacute um terreno pouco explorado no Ensino Meacutedio atual Por exemplo nas obras analisadas o emprego da calculadora

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eacute frequente poreacutem comumente voltado para a realizaccedilatildeo e a conferecircncia de caacutelculos em detri-mento de outras possibilidades de trabalho

Entre os outros recursos tecnoloacutegicos de forma geral haacute boas sugestotildees de utilizaccedilatildeo de sof-twares livres Contudo na maioria das obras raramente eacute destacado o uso de instrumentos de desenho na aprendizagem de conceitos geomeacutetricos

ltcontextualizaccedilatildeogtDe modo geral as coleccedilotildees aprovadas apresentam contextos pertinentes tanto em relaccedilatildeo a praacuteticas sociais quanto a outras aacutereas do conhecimento Isso ocorre no desenvolvimento dos conteuacutedos e na proposiccedilatildeo de exerciacutecios Em quase todas as obras encontram-se bons textos que remetem agraves praacuteticas sociais e agrave formaccedilatildeo para a cidadania Mas natildeo haacute reflexotildees significativas sobre o papel da Matemaacutetica no contexto social na medida em que natildeo se esclarece de que modo os conteuacutedos e conceitos dessa ciecircncia podem ser utilizados para melhor entendimento dos fenocircmenos do mundo fiacutesico e social

No caso de contextualizaccedilotildees ligadas agrave histoacuteria da Matemaacutetica haacute obras didaacuteticas em que se encon-tram breves informaccedilotildees com ecircnfase na identificaccedilatildeo dos personagens envolvidos no desenvolvi-mento de um determinado tema e suas localizaccedilotildees no tempo histoacuterico No entanto sabe-se que eacute possiacutevel atribuir significado a conteuacutedos matemaacuteticos considerando-se tanto evoluccedilatildeo histoacuterica dos conceitos e de suas inter-relaccedilotildees no acircmbito da Matemaacutetica quanto das motivaccedilotildees e necessidades sociais econocircmicas e cientiacuteficas que levaram ao avanccedilo dessa ciecircncia

ltmanual do professorgtOs pressupostos teoacuterico-metodoloacutegicos que norteiam a coleccedilatildeo satildeo de modo geral bem explicitados nos manuais das obras aprovadas no PNLD 2018 Aleacutem disso eles oferecem boas contribuiccedilotildees para a formaccedilatildeo docente por serem compatiacuteveis com as tendecircncias mais atualizadas da Educaccedilatildeo Matemaacutetica

Tambeacutem eacute esperado que o Manual do Professor contenha orientaccedilotildees didaacuteticas importantes para auxiliar o trabalho do professor em sala de aula Essa condiccedilatildeo eacute satisfatoacuteria em diversas coleccedilotildees aprovadas as quais apresentam boas orientaccedilotildees tanto no que diz respeito agrave avaliaccedilatildeo da aprendi-zagem e ao desenvolvimento das atividades quanto ao uso do livro e de outros recursos didaacuteticos Aleacutem disso encontram-se boas reflexotildees sobre o papel da avaliaccedilatildeo e sobre alguns dos aspectos a serem observados nesse processo aleacutem dos diferentes instrumentos que podem ser utilizados

Acertadamente a maioria das obras inclui sugestotildees de atividades extras para os estudantes como problemas jogos leitura de textos pesquisas bem como sugestotildees de leituras diversificadas e uacuteteis para a formaccedilatildeo continuada do professor Vale lembrar ainda que todas as coleccedilotildees aprova-das apresentam respostas e resoluccedilotildees para a totalidade dos exerciacutecios no Manual do Professor

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resenhas de matemaacutetica

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A apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos apoia-se em imagens e textos que buscam motivar os estudantes O desenvolvimento de conceitos e procedimentos eacute feito por meio de explanaccedilotildees teoacutericas que incluem exemplos e resoluccedilatildeo de exerciacutecios Em seguida satildeo propostas questotildees de fixaccedilatildeo ou de aplicaccedilatildeo

Embora essa abordagem possa limitar uma construccedilatildeo mais autocircnoma dos conhecimentos matemaacute-ticos haacute questotildees que instigam a argumentaccedilatildeo a formulaccedilatildeo de hipoacutetese e as generalizaccedilotildees

Encontram-se tambeacutem boas articulaccedilotildees de conteuacutedos com situaccedilotildees da praacutetica social da proacutepria Matemaacutetica e de outras aacutereas do saber em especial aquelas que compotildeem as Ciecircncias da Nature-za O Manual do Professor conteacutem discussotildees interessantes para a formaccedilatildeo docente Destacam-se ainda as sugestotildees relativas agrave histoacuteria da Matemaacutetica ao trabalho interdisciplinar e ao consumo responsaacutevel

LUIZ ROBERTO DANTE

0008P18023

EDITORA AacuteTICA

3a ediccedilatildeo - 2016

MATEMAacuteTICA - CONTEXTO amp APLICACcedilOtildeES

visatildeo geral

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descriccedilatildeo da obra

Os livros organizam-se em quatro unidades subdivididas em capiacutetulos Estes sempre satildeo iniciados por imagens e pequenos textos relativos agrave temaacutetica a ser estudada Em geral a apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos eacute feita em breves explanaccedilotildees seguidas de exerciacutecios resolvidos e outros propostos Ao longo dos capiacutetulos satildeo encontradas as seccedilotildees Leitura Um pouco mais Matemaacutetica e tecnologia Outros contextos que apresentam temas de ampliaccedilatildeo cultural e atividades interdisciplinares Haacute ainda Vestibulares de Norte a Sul e Pensando no ENEM Questotildees adicionais e dicas satildeo incluiacutedas nos boxes Para refletir Vocecirc sabia e Fique atento Ao final dos volumes satildeo apresentadas as seccedilotildees Caiu no ENEM Respostas Sugestotildees de leituras complementares Significado das siglas de vestibulares Bibliografia e Iacutendice remissivo

O Manual do Professor traz uma coacutepia do Livro do Estudante com respostas para os exerciacutecios aleacutem de comentaacuterios Inclui ainda um caderno de orientaccedilotildees didaacutetico-pedagoacutegicas composto de itens comuns aos volumes e especiacuteficos a cada um deles Entre os primeiros haacute textos sobre a histoacuteria do ensino da Matemaacutetica no Brasil pressupostos teoacutericos e metodoloacutegicos para o ensino da Matemaacutetica e estrateacutegias de avaliaccedilatildeo aleacutem de sugestotildees de leituras de uso de recursos digitais e as referecircncias bibliograacuteficas entre outros Nos itens especiacuteficos encontram-se orientaccedilotildees para o trabalho indica-ccedilotildees de atividades complementares e as resoluccedilotildees dos exerciacutecios organizadas por capiacutetulo

Na obra trabalham-se os conteuacutedos

1ordm ano ndash 4 unidades - 8 capiacutetulos ndash 288 ppunidade 1

1Nuacutemeros usos noccedilatildeo de conjunto conjuntos numeacutericos naturais inteiros racionais irracionais e reais linguagem

de conjuntos intervalos

2Funccedilatildeo histoacuteria noccedilatildeo definiccedilatildeo domiacutenio contradomiacutenio e imagem real graacutefico crescente e decrescente injetiva

sobrejetiva e bijetiva coordenadas cartesianas funccedilotildees e sequecircncias

unidade 2

3

Funccedilatildeo afim definiccedilatildeo taxa de variaccedilatildeo graacutefico conexatildeo com a geometria analiacutetica zeros estudo do sinal e

inequaccedilotildees do 1ordm grau conexotildees com progressatildeo aritmeacutetica Fiacutesica proporcionalidade e escala funccedilotildees afim por

partes funccedilatildeo modular

4Funccedilatildeo quadraacutetica definiccedilatildeo zeros graacutefico veacutertice maacuteximo e miacutenimo estudo do sinal e inequaccedilatildeo conexotildees com

Fiacutesica e com progressatildeo aritmeacutetica

unidade 3

5Potenciaccedilatildeo radiciaccedilatildeo funccedilatildeo exponencial definiccedilatildeo graacutefico conexatildeo com progressotildees equaccedilotildees e inequaccedilotildees

exponenciais relaccedilatildeo com o nuacutemero irracional

6 Logaritmo funccedilatildeo inversa funccedilatildeo logariacutetmica definiccedilotildees propriedades e graacuteficos equaccedilotildees e inequaccedilotildees logariacutetmicas

45

unidade 4

7 Sequecircncias progressatildeo aritmeacutetica progressatildeo geomeacutetrica

8Trigonometria no triacircngulo retacircngulo semelhanccedila teorema de Tales relaccedilotildees meacutetricas e trigonomeacutetricas no

triacircngulo retacircngulo


1 Trigonometria em triacircngulos quaisquer seno cosseno lei dos senos lei dos cossenos

2 Conceitos trigonomeacutetricos baacutesicos arcos e acircngulos circunferecircncia trigonomeacutetrica arcos cocircngruos

3Funccedilotildees trigonomeacutetricas ideias de seno cosseno e tangente reduccedilatildeo ao 1ordm quadrante noccedilatildeo geomeacutetrica de

tangente funccedilatildeo seno funccedilatildeo cosseno senoide

unidade 2

4Matriz histoacuteria definiccedilatildeo representaccedilatildeo igualdade operaccedilotildees transposta determinante inversa matrizes

especiais aplicaccedilotildees geometria e coordenadas transformaccedilotildees geomeacutetricas criptografia

5O meacutetodo chinecircs sistemas lineares dois por dois equaccedilotildees lineares sistemas de equaccedilotildees lineares soluccedilatildeo

classificaccedilatildeo escalonamento equivalecircncia discussatildeo

unidade 3

6

Poliacutegonos regulares inscritos na circunferecircncia aacuterea de figuras planas ideia intuitiva quadrado 1cmX1cm como

unidade de medida aacuterea quadrado retacircngulo paralelogramo triacircngulo trapeacutezio losango poliacutegono regular ciacuterculo

e setor circular e sua relaccedilatildeo com o nuacutemero caacutelculo aproximado razatildeo entre aacutereas de poliacutegonos semelhantes

7Posiccedilotildees relativas entre ponto e reta ponto e plano entre retas no espaccedilo dois planos reta e plano determinaccedilatildeo

de um plano projeccedilatildeo ortogonal distacircncias

8Poliedros convexos natildeo convexos relaccedilatildeo de Euler regulares prisma e piracircmide definiccedilotildees aacuterea de superfiacutecie

volume princiacutepio de Cavalieri

unidade 4

9Anaacutelise Combinatoacuteria princiacutepio fundamental da contagem fatorial permutaccedilotildees arranjos combinaccedilotildees nuacutemero

binomiais triacircngulo de Pascal binocircmio de Newton

10

Probabilidade fenocircmenos aleatoacuterios espaccedilo amostral eventos evento certo impossiacutevel eventos mutuamente

exclusivos caacutelculo da probabilidade definiccedilatildeo probabilidade condicional eventos independentes meacutetodo

binomial aplicaccedilatildeo agrave geneacutetica


1Histoacuteria do dinheiro matemaacutetica financeira porcentagem fator de atualizaccedilatildeo juros simples e compostos juros e

funccedilotildees equivalecircncia de taxas

2Estatiacutestica termos de uma pesquisa tabelas graacuteficos medidas de tendecircncia central medidas de dispersatildeo

estatiacutestica e probabilidade

46

unidade 2

3 Cilindro cone e esfera definiccedilotildees seccedilotildees tronco de cone aacuterea de superfiacutecies volume

4

Geometria analiacutetica introduccedilatildeo histoacuterica sistema cartesiano distacircncia entre pontos ponto meacutedio de um segmento

condiccedilatildeo de alinhamento reta inclinaccedilatildeo coeficiente angular equaccedilotildees posiccedilotildees relativas entre retas distacircncia de

ponto a reta aacuterea de uma regiatildeo triangular aplicaccedilotildees agrave geometria plana

5Circunferecircncia definiccedilatildeo e equaccedilatildeo posiccedilotildees relativas entre retas e circunferecircncia problemas de tangecircncia

aplicaccedilotildees agrave geometria plana

unidade 3

6 Seccedilotildees cocircnicas paraacutebola elipse e hipeacuterbole noccedilotildees definiccedilotildees elementos equaccedilotildees Fermat e a geometria analiacutetica

7Conjuntos numeacutericos nuacutemeros complexos usos conjunto forma algeacutebrica conjugado divisatildeo representaccedilatildeo

geomeacutetrica moacutedulo forma trigonomeacutetrica operaccedilotildees aplicaccedilatildeo agrave geometria

unidade 4

8 Polinocircmios definiccedilatildeo funccedilatildeo polinomial valor numeacuterico igualdade raiz operaccedilotildees

9Equaccedilotildees algeacutebricas definiccedilatildeo elementos teorema fundamental da aacutelgebra decomposiccedilatildeo relaccedilatildeo de Girard

equaccedilotildees algeacutebricas de grau maior que 3 raiacutezes racionais e complexas

10Relaccedilotildees e equaccedilotildees trigonomeacutetricas identidades foacutermulas de adiccedilatildeo do arco duplo e do arco metade equaccedilotildees

trigonomeacutetricas

anaacutelise da obra

ltorganizaccedilatildeo dos conteuacutedosgt

COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO

nuacutemeros e operaccedilotildees aacutelgebra geometria estatiacutestica e probabilidades

0 20 60 80 10040

47

Na coleccedilatildeo a seleccedilatildeo dos conteuacutedos dos diferentes campos da matemaacutetica escolar eacute satisfatoacuteria Em relaccedilatildeo agrave distribuiccedilatildeo dos temas de estudo no volume do 1ordm ano verifica-se uma atenccedilatildeo maior no trabalho com aacutelgebra em prejuiacutezo dos conteuacutedos de estatiacutestica e probabilidade Nos demais volumes a distribuiccedilatildeo dos conteuacutedos por campo eacute equilibrada

ltabordagem dos conteuacutedosgtltnuacutemerosgtNo volume 1 haacute um tratamento adequado das representaccedilotildees e simbologias relativas aos conjuntos O estudo dos conjuntos numeacutericos eacute feito por sistematizaccedilotildees mas quase sempre baseadas em de-finiccedilotildees e em poucos exemplos

O estudo do nuacutemero irracional se inicia no volume 1 por meio da exploraccedilatildeo intuitiva de alguns exemplos e referecircncias histoacutericas Demonstra-se apropriadamente a irracionalidade do nuacutemero radic2 No volume 3 trabalha-se a ideia de que a necessidade de ampliaccedilatildeo do conjunto dos nuacutemeros reais motivou o desenvolvimento dos complexos Esses nuacutemeros satildeo explorados em suas representaccedilotildees algeacutebrica geomeacutetrica e trigonomeacutetrica Algumas articulaccedilotildees entre aacutelgebra geometria e trigonome-tria satildeo apontadas Mas o tratamento das operaccedilotildees com nuacutemeros complexos eacute essencialmente algeacutebrico feito com base em definiccedilotildees e aplicaccedilotildees de foacutermulas sem aplicaccedilotildees relevantes

A anaacutelise combinatoacuteria eacute desenvolvida por meio de problemas diversificados e atuais O princiacutepio multiplicativo e os diagramas de aacutervore satildeo usados na resoluccedilatildeo de problemas e na explicaccedilatildeo de procedimentos de contagens em situaccedilotildees que envolvem noccedilotildees de permutaccedilatildeo e arranjos Isto favorece a compreensatildeo dos conceitos e de foacutermulas por exemplo

ltaacutelgebragtO estudo da aacutelgebra inicia-se com a abordagem de funccedilotildees apoiada na histoacuteria da Matemaacutetica O conceito eacute explorado de modo pertinente como expressatildeo da relaccedilatildeo de dependecircncia entre duas grandezas ou entre elementos de dois conjuntos

As funccedilotildees afim quadraacuteticas exponencial e logariacutetmica satildeo desenvolvidas com base em contextua-lizaccedilotildees e sistematizaccedilotildees pertinentes As funccedilotildees seno e cosseno por sua vez satildeo sistematizadas e apresentadas como modelos aproximados de fenocircmenos perioacutedicos o que contribui para a atribui-ccedilatildeo de significados a ambas

Acertadamente sequecircncias numeacutericas satildeo definidas como funccedilotildees e as progressotildees aritmeacuteticas e geo-meacutetricas satildeo relacionadas com as funccedilotildees afim e exponencial respectivamente As noccedilotildees de matemaacute-tica financeira satildeo relacionadas a contextos histoacutericos e a situaccedilotildees cotidianas Aleacutem disso satildeo feitas boas associaccedilotildees entre juros simples e a funccedilatildeo afim e entre juros compostos e a funccedilatildeo exponencial

No estudo das matrizes recorre-se a tabelas de dupla entrada que mostram dados de situaccedilotildees reais Abordam-se as aplicaccedilotildees na criptografia e exemplos de transformaccedilotildees geomeacutetricas no pla-no cartesiano No trabalho com sistemas lineares haacute interpretaccedilotildees geomeacutetricas interessantes e mostram-se boas aplicaccedilotildees agrave Quiacutemica e agrave Biologia

48

ltgeometriagtEm geometria plana estuda-se inicialmente a noccedilatildeo de semelhanccedila de triacircngulos que eacute utilizada na deduccedilatildeo das relaccedilotildees meacutetricas e trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo incluindo o teorema de Pitaacutegoras A demonstraccedilatildeo do teorema de Tales eacute feita para segmentos de medidas racionais observando-se que o resultado tambeacutem eacute vaacutelido para segmentos incomensuraacuteveis O caacutelculo de distacircncias eacute bem contextualizado historicamente mas haacute poucas sugestotildees de atividades que fa-voreccedilam experimentos praacuteticos

As noccedilotildees da geometria espacial de posiccedilatildeo satildeo bem sistematizadas mas exploradas de forma ex-cessiva e sem atividades significativas No estudo dos soacutelidos geomeacutetricos exploram-se as relaccedilotildees entre seus elementos aleacutem dos processos de caacutelculo da aacuterea de superfiacutecies e o caacutelculo do volume de soacutelidos Neste uacuteltimo parte-se da foacutermula que permite calcular o volume de blocos retangulares para em seguida usando o Princiacutepio de Cavalieri serem deduzidas foacutermulas para os volumes da maior parte dos outros soacutelidos estudados o que contribui para a construccedilatildeo do conhecimento pelos estudantes

O estudo da geometria analiacutetica eacute iniciado com referecircncias histoacutericas que enfatizam a importacircncia da integraccedilatildeo entre a geometria e a aacutelgebra Os conceitos de ponto reta circunferecircncia elipse hi-peacuterbole e paraacutebolas satildeo desenvolvidos em discussotildees apropriadas ressaltando-se as articulaccedilotildees entre os aspectos geomeacutetricos e algeacutebricos dessas figuras

ltestatiacutestica e probabilidadegtAs noccedilotildees baacutesicas da estatiacutestica satildeo desenvolvidas em situaccedilotildees contextualizadas relativas agrave anaacutelise e agrave organizaccedilatildeo de dados em tabelas e graacuteficos No entanto poucas atividades se voltam agrave consolidaccedilatildeo das etapas de uma pesquisa e faltam discussotildees sobre que tipo de graacutefico eacute mais adequado a cada situaccedilatildeo

As medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo satildeo trabalhadas por meio de atividades contextu-alizadas e ecircnfase nos procedimentos de caacutelculo Mas os seus significados natildeo satildeo discutidos o que dificulta o entendimento de qual das medidas eacute a mais apropriada para cada circunstacircncia

A probabilidade eacute abordada de modo intuitivo Natildeo haacute poreacutem reflexotildees significativas sobre a ldquoincer-tezardquo conceito fundamental para a compreensatildeo daquele conceito As ideias de espaccedilo amostral e evento satildeo estudadas em contextos de lanccedilamento de dados culminando com as apresentaccedilotildees da definiccedilatildeo de probabilidade e de algumas de suas propriedades A exploraccedilatildeo da ideia de estimativa da probabilidade com o uso da frequecircncia relativa para fazer previsotildees eacute acertada

ltmetodologia do ensino e aprendizagemgtNa abertura dos capiacutetulos imagens e pequenos textos buscam despertar o interesse dos estudantes pelo que seraacute estudado A apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos eacute feita por meio de explanaccedilotildees teoacutericas se-guidas de exerciacutecios resolvidos de fixaccedilatildeo ou de aplicaccedilatildeo Haacute questotildees que datildeo oportunidade para os estudantes argumentar formular hipoacuteteses e generalizar No entanto poucas satildeo as oportunida-des de construccedilatildeo autocircnoma dos conceitos

49

Haacute boas articulaccedilotildees entre o conhecimento novo e o jaacute abordado como entre progressotildees geomeacutetri-cas e funccedilotildees exponenciais A integraccedilatildeo entre os campos da matemaacutetica escolar eacute igualmente bem explorada em especial entre conteuacutedos de nuacutemeros e de geometria com os de aacutelgebra

Satildeo propostas questotildees interessantes baseadas em contextos sociais ou da proacutepria Matemaacutetica que favorecem o debate e a interaccedilatildeo entre os estudantes No entanto nem sempre satildeo oferecidos subsiacutedios para tais discussotildees em especial as de cunho social

Os usos de recursos tecnoloacutegicos como softwares satildeo tratados nas seccedilotildees denominadas Matemaacutetica e tecnologia mas natildeo se discute a sua utilizaccedilatildeo em situaccedilotildees mais desafiadoras A calculadora eacute geral-mente empregada para a realizaccedilatildeo de caacutelculos em especial no trabalho com a matemaacutetica financeira

ltcontextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridadegtAs conexotildees na proacutepria Matemaacutetica satildeo bastante enfatizadas na obra mas tambeacutem satildeo feitas suges-totildees de um trabalho interdisciplinar em especial com a Fiacutesica A compreensatildeo da Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo social de diversas culturas ao longo da histoacuteria estaacute presente nas apresentaccedilotildees dos conteuacutedos e em seccedilotildees especiacuteficas

ltformaccedilatildeo para a cidadaniagtNa coleccedilatildeo satildeo apresentados atividades e textos variados que podem favorecer o desenvolvimento criacutetico do estudante e a formaccedilatildeo para a cidadania como os que trazem reflexotildees sobre a poluiccedilatildeo sonora e a automedicaccedilatildeo No entanto a maioria deles eacute apenas pretexto para a exploraccedilatildeo dos as-pectos matemaacuteticos focalizados

ltprojeto editorial projeto graacutefico e linguagemgtEm geral as paacuteginas mostram uma hierarquizaccedilatildeo adequada no que diz respeito a tiacutetulos intertiacutetu-los sinalizaccedilatildeo de itens e boxes de conteuacutedos No entanto a maioria delas eacute carregada de textos ou de exerciacutecios o que natildeo favorece a leitura As imagens satildeo numerosas pertinentes e trazem legen-das informativas Mas nem sempre contribuem para deixar as paacuteginas mais leves

ltmanual do professorgtO Manual do Professor traz reflexotildees interessantes sobre o papel do Ensino Meacutedio na formaccedilatildeo do estudante Haacute tambeacutem discussotildees relevantes sobre questotildees educativas eacuteticas e de cunho social Destacam-se ainda os textos sobre a histoacuteria da Matemaacutetica a interdisciplinaridade e praacuteticas de con-sumo Na parte especiacutefica para cada volume encontram-se sugestotildees de atividades complementares mas satildeo raras as orientaccedilotildees para o uso do Livro do Estudante que auxiliem efetivamente na dinacircmica do trabalho a ser efetuado em sala de aula

50

em sala de aula

Alguns aspectos dos toacutepicos matemaacuteticos propostos satildeo imediatamente tratados por meio de uma ati-vidade resolvida Assim eacute aconselhaacutevel que o docente inclua em seu planejamento questotildees que pos-sam contribuir para uma participaccedilatildeo mais ativa do estudante na construccedilatildeo dos conceitos explorados

Em todos os livros encontram-se atividades e sugestotildees de leituras de textos baseados em temas sociais e da atualidade mas que natildeo contribuem diretamente para o desenvolvimento de posturas criacuteticas e voltadas para a formaccedilatildeo cidadatilde do estudante Em vista disso eacute recomendaacutevel a elaboraccedilatildeo de atividades complementares ou questionamentos que favoreccedilam de fato essas posturas

Especialmente nas seccedilotildees denominadas Matemaacutetica e tecnologia haacute atividades que incentivam o uso de recursos tecnoloacutegicos No entanto eacute importante que o professor busque formas de enriquecer as discussotildees e possa elaborar questotildees que propiciem um uso mais significativo dessas ferramentas e natildeo o simples manuseio

51

No conjunto dos trecircs livros eacute satisfatoacuteria a atenccedilatildeo dedicada a cada um dos quatro campos da ma-temaacutetica escolar Contudo quando se examina cada livro individualmente a aacutelgebra se concentra demasiadamente nos dois primeiros volumes e a geometria no terceiro Aleacutem disso em face de sua relevacircncia para a formaccedilatildeo do estudante os conteuacutedos de estatiacutestica e probabilidade poderiam re-ceber maior espaccedilo na obra

Haacute pontos com abordagens criativas No estudo das funccedilotildees por exemplo destacam-se a translaccedilatildeo de graacuteficos e as articulaccedilotildees entre conceitos como as realizadas entre juros e proporcionalidade Entretanto em outros momentos observa-se excessiva valorizaccedilatildeo da aplicaccedilatildeo de foacutermulas

A importacircncia do uso das tecnologias no ensino e aprendizagem eacute ressaltada ao final de cada volume em seccedilotildees com formato tutorial As orientaccedilotildees estatildeo voltadas ao emprego da calculadora cientiacutefica e de um software gratuito No entanto pouco se integram aos conteuacutedos abordados na obra

DIEGO PRESTES

EDUARDO CHAVANT

0070P18023

SM


QUADRANTE - MATEMAacuteTICA

visatildeo geral

52


Cada volume eacute organizado em quatro unidades iniciadas com a apresentaccedilatildeo dos temas a serem es-tudados Cada unidade eacute composta por capiacutetulos estruturados em toacutepicos que contecircm a explanaccedilatildeo dos conteuacutedos os exemplos e a seccedilatildeo Atividades resolvidas Os capiacutetulos incluem ainda as seccedilotildees Atividades Encontram-se ao longo dos livros da coleccedilatildeo as seccedilotildees especiais Valores em accedilatildeo em que satildeo abordados temas da sociedade contemporacircnea Ampliando fronteiras com textos de divul-gaccedilatildeo cientiacutefica relacionados agrave Matemaacutetica Verificando rota em que satildeo feitas revisotildees do conteuacutedo da unidade e Matemaacutetica em accedilatildeo com propostas de atividades praacuteticas Ao final dos volumes encontram-se as seccedilotildees Ferramentas que incluem exerciacutecios para emprego da calculadora cientiacutefica e do software gratuito LibreOffice Calc Leitura e Pesquisa com sugestotildees de livros e sites para apro-fundamento dos estudos Gabarito e Referecircncias Bibliograacuteficas

O Manual do Professor inclui uma coacutepia do Livro do Estudante e um suplemento pedagoacutegico com Orientaccedilotildees gerais para o professor comum aos volumes da coleccedilatildeo e as seccedilotildees Comentaacuterios e Su-gestotildees Atividades Complementares Resoluccedilatildeo das Atividades que satildeo especiacuteficas para cada volume

Os conteuacutedos explorados na coleccedilatildeo satildeo

1ordm ano ndash 4 unidades ndash 10 capiacutetulos ndash 288 ppunidade 1

1

Conjuntos noccedilatildeo representaccedilotildees pertinecircncia inclusatildeo igualdade uniatildeo interseccedilatildeo diferenccedila complementar

cardinalidade produto cartesiano ndash conjuntos numeacutericos naturais inteiros racionais irracionais reais reta real

intervalos conjunto soluccedilatildeo de equaccedilotildees e inequaccedilotildees de 1o grau conjunto soluccedilatildeo de equaccedilotildees do 2o grau

2

Funccedilatildeo noccedilotildees domiacutenio contradomiacutenio conjunto imagem sistema cartesiano ortogonal de coordenadas graacutefico

de funccedilotildees funccedilatildeo real crescente decrescente constante zero injetora sobrejetora bijetora composta sinais ndash

grandezas incomensuraacuteveis e nuacutemeros irracionais

unidade 2

3

Funccedilatildeo afim definiccedilatildeo graacutefico crescente decrescente coeficientes zero translaccedilotildees do graacutefico proporcionalidade

e funccedilatildeo linear taxa de variaccedilatildeo sinais de uma funccedilatildeo afim graacuteficos de linha e de setores ndash sistema de inequaccedilotildees

do 1o grau com uma incoacutegnita funccedilatildeo afim e juro simples ndash equaccedilatildeo cartesiana de uma reta representaccedilatildeo

cartesiana de um sistema de equaccedilotildees polinomiais do 1o grau com duas incoacutegnitas

4 Moacutedulo de um nuacutemero real ndash funccedilatildeo modular definiccedilatildeo graacutefico sinais translaccedilotildees do graacutefico

5Funccedilatildeo quadraacutetica definiccedilatildeo zeros forma canocircnica graacutefico translaccedilotildees do graacutefico coeficientes conjunto imagem

valores maacuteximo e miacutenimo sinais fenocircmeno de queda livre de um corpo

unidade 3

6Potecircncia real de base real positiva ndash funccedilatildeo exponencial definiccedilatildeo graacutefico equaccedilatildeo e inequaccedilatildeo exponenciais

funccedilatildeo exponencial e juro composto

7Logaritmo de um nuacutemero real positivo propriedades mudanccedila de base inversa de uma funccedilatildeo definiccedilatildeo graacutefico

funccedilatildeo logariacutetmica definiccedilatildeo graacutefico equaccedilatildeo e inequaccedilatildeo logariacutetmicas Lei de Benford

53

unidade 4

8

Sequecircncia definiccedilatildeo termo geral definida por recorrecircncia de Fibonacci triacircngulos de Sierpisnki Torre de

Hanoacutei progressatildeo aritmeacutetica definiccedilatildeo representaccedilatildeo na reta real termo geral soma dos termos de uma PA

finita progressatildeo aritmeacutetica e funccedilatildeo afim progressatildeo geomeacutetrica definiccedilatildeo termo geral taxa de crescimento

representaccedilatildeo na reta real soma dos termos de uma PG finita e de uma PG infinita progressatildeo geomeacutetrica e funccedilatildeo

exponencial

9Estatiacutestica populaccedilatildeo e amostra variaacutevel estatiacutestica graacuteficos de barras de barras muacuteltiplas de linhas de setores

piracircmide etaacuteria pictogramas medidas de tendecircncia central meacutedias aritmeacutetica e ponderada mediana moda

10

Teorema de Tales ndash trigonometria relaccedilotildees meacutetricas e trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo seno cosseno

tangente definiccedilotildees inter-relaccedilotildees valores de acircngulos notaacuteveis relaccedilotildees trigonomeacutetricas em um triacircngulo

qualquer Lei dos senos Lei dos cossenos aacuterea de um triacircngulo tamanho aparente dos astros Curva de Koch


1

Circunferecircncia medida e comprimento de um arco de circunferecircncia circunferecircncia trigonomeacutetrica arcos

congruentes 1a determinaccedilatildeo positiva seno cosseno e tangente de um arco trigonomeacutetrico acircngulos notaacuteveis

reduccedilatildeo ao 1o quadrante funccedilotildees trigonomeacutetricas seno cosseno dos tipos f(x) = a + bsen(cx + d) e f(x) = a + bcos(cx

+ d) equaccedilotildees trigonomeacutetricas ondas sonoras

unidade 2

2Anaacutelise combinatoacuteria princiacutepio fundamental da contagem fatorial permutaccedilotildees simples arranjos simples

combinaccedilotildees simples permutaccedilatildeo com repeticcedilatildeo Binocircmio de Newton

3

Experimento aleatoacuterio espaccedilo amostral e eventos probabilidade eventos equiprovaacuteveis definiccedilatildeo eventos certos

impossiacuteveis disjuntos complementares probabilidade condicional probabilidade da interseccedilatildeo de eventos Lei

binomial das probabilidades probabilidade e estatiacutestica probabilidade e geneacutetica

unidade 3

4Equaccedilatildeo linear com mais de uma incoacutegnita soluccedilatildeo sistemas de equaccedilotildees lineares soluccedilatildeo classificaccedilatildeo sistema

linear 2 x 2 escalonamento de um sistema linear

5Matriz definiccedilatildeo tipo especiais igualdade de matrizes transposta de uma matriz matriz simeacutetrica operaccedilotildees com

matrizes matriz inversa matriz associada a um sistema linear

6

Determinantes de matrizes de ordens 1 2 e 3 propriedades determinante da transposta de uma matriz Teorema de

Binet Teorema de Jacobi matriz invertiacutevel e determinante caacutelculo do determinante e escalonamento de uma matriz ndash

determinantes e geometria analiacutetica condiccedilatildeo de alinhamento de trecircs pontos equaccedilatildeo da reta por dois pontos aacuterea

de um triacircngulo ndash resoluccedilatildeo de sistemas lineares e determinantes sistemas lineares e circuitos eleacutetricos

unidade 4

7Matemaacutetica financeira percentagem acreacutescimos e descontos sucessivos empreacutestimo juros simples juros

compostos sistemas de amortizaccedilatildeo Price amortizaccedilatildeo constante (SAC)

8Aacuterea de figuras planas conceito de aacuterea aacuterea de poliacutegonos retacircngulo paralelogramo triacircngulo losango trapeacutezio

poliacutegonos regulares aacuterea do ciacuterculo aacuterea e semelhanccedila de figuras planas

54


1

Geometria espacial de posiccedilatildeo conceitos baacutesicos posiccedilotildees relativas de duas retas de uma reta e um plano de

dois planos perpendicularidade projeccedilatildeo ortogonal vistas ortograacuteficas distacircncia de ponto a ponto de ponto a

reta entre duas retas paralelas de ponto a plano entre reta e plano paralelo entre dois planos paralelos

2

Poliedros noccedilotildees iniciais convexos e natildeo convexos relaccedilatildeo de Euler regulares de Platatildeo prisma definiccedilatildeo

tipos elementos aacuterea da superfiacutecie Princiacutepio de Cavalieri volume piracircmide definiccedilatildeo tipos elementos aacuterea da

superfiacutecie Princiacutepio de Cavalieri volume tronco de piracircmide de bases paralelas aacuterea da superfiacutecie volume

3

Corpos redondos noccedilotildees iniciais cilindro definiccedilatildeo tipos elementos seccedilotildees aacuterea da superfiacutecie de um cilindro

reto Princiacutepio de Cavalieri volume cone definiccedilatildeo tipos elementos seccedilotildees aacuterea da superfiacutecie de um cone reto

Princiacutepio de Cavalieri volume tronco de bases paralelas esfera definiccedilatildeo Princiacutepio de Cavalieri volume aacuterea da

superfiacutecie esfeacuterica cunha esfeacuterica e fuso esfeacuterico empilhamentos de superfiacutecies e impressatildeo 3D

unidade 2

4

Plano cartesiano ortogonal ponto distacircncia entre dois pontos ponto meacutedio de segmento de reta baricentro

de triacircngulo equaccedilotildees da reta posiccedilotildees relativas de duas retas retas perpendiculares acircngulo de duas retas

concorrentes distacircncia de ponto a reta inequaccedilatildeo polinomial do 1o grau representaccedilatildeo graacutefica

5

Circunferecircncia definiccedilatildeo elementos equaccedilotildees posiccedilotildees relativas de ponto e circunferecircncia de reta e

circunferecircncia de duas circunferecircncias elipse definiccedilatildeo elementos equaccedilatildeo reduzida hipeacuterbole definiccedilatildeo

elementos equaccedilatildeo reduzida paraacutebola definiccedilatildeo elementos equaccedilatildeo reduzida trilateraccedilatildeo e GPS

unidade 3

6

Estatiacutestica descritiva distribuiccedilatildeo de frequecircncias frequecircncia absoluta relativa acumulada acumulada relativa

histograma medidas de tendecircncia central meacutedia aritmeacutetica moda mediana medidas de dispersatildeo desvio meacutedio

desvio padratildeo

7

Nuacutemeros complexos histoacuteria definiccedilatildeo conjunto representaccedilotildees algeacutebricas e geomeacutetrica adiccedilatildeo e multiplicaccedilatildeo

conjugado divisatildeo potecircncias da unidade imaginaacuteria moacutedulo representaccedilatildeo trigonomeacutetrica coordenadas polares

multiplicaccedilatildeo divisatildeo e potenciaccedilatildeo na forma trigonomeacutetrica

unidade 4

8

Funccedilatildeo polinomial complexa definiccedilatildeo valor numeacuterico igualdade polinocircmio complexo definiccedilatildeo raiacutezes operaccedilotildees

com polinocircmios adiccedilatildeo subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo divisatildeo divisatildeo por (x ndash a) Teorema do Resto Teorema de

DrsquoAlembert

9

Equaccedilotildees polinomiais raiz Teorema Fundamental da Aacutelgebra multiplicidade de uma raiz Relaccedilotildees de Girard

raiacutezes complexas de equaccedilotildees polinomiais com coeficientes reais raiacutezes racionais de equaccedilotildees polinomiais com

coeficientes inteiros paraacutebola e polinocircmio do 2o grau

55



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

Quando se considera a coleccedilatildeo como um todo os campos de nuacutemeros aacutelgebra e geometria ocupam espaccedilo adequado mas a estatiacutestica e a probabilidade recebem insuficiente atenccedilatildeo Aleacutem disso ao longo de cada volume natildeo haacute uma distribuiccedilatildeo adequada dos conteuacutedos matemaacuteticos Por exemplo no primeiro volume cerca de dois terccedilos das paacuteginas satildeo dedicadas aos conteuacutedos de aacutelgebra em detrimento dos demais campos No segundo volume a atenccedilatildeo dispensada agrave aacutelgebra continua maior do que o desejaacutevel No livro do 3ordm ano nota-se um excesso de conteuacutedos de geometria

ltabordagem dos conteuacutedosgtltnuacutemerosgtA abordagem dos toacutepicos relativos agrave teoria dos conjuntos e aos conjuntos numeacutericos eacute adequada No entanto mesmo natildeo sendo recomendado um tratamento formal de tais conceitos nesse estaacutegio de escolaridade em alguns momentos observa-se excesso de informalidade o que pode compro-meter a aprendizagem O estudo da anaacutelise combinatoacuteria eacute iniciado de maneira significativa com a exploraccedilatildeo do princiacutepio fundamental da contagem e de aacutervores de possibilidades Poreacutem as estra-teacutegias natildeo formais satildeo gradativamente substituiacutedas pela aplicaccedilatildeo de foacutermulas Haacute boas conexotildees entre os nuacutemeros complexos e conteuacutedos da geometria analiacutetica e da trigonometria Contudo as atividades propostas natildeo satildeo desafiadoras pois muitas vezes requerem apenas aplicaccedilotildees diretas dos conteuacutedos apresentados

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ltaacutelgebragtNo trabalho com funccedilotildees haacute boas articulaccedilotildees com os conceitos de juros simples e de proporciona-lidade entre outros O estudo da funccedilatildeo quadraacutetica eacute elogiaacutevel por ressaltar a representaccedilatildeo geral do trinocircmio do segundo grau e destacar as coordenadas do veacutertice Eacute igualmente adequado o estudo da translaccedilatildeo de graacuteficos mas feito de maneira pouco usual

Na obra satildeo focalizadas apenas as funccedilotildees trigonomeacutetricas seno e cosseno Mas no Manual do Pro-fessor indica-se a possibilidade de exploraccedilatildeo das demais funccedilotildees trigonomeacutetricas Tal abordagem permite tratar de modo adequado as funccedilotildees do tipo f(x) = a + bsen(cx + d) e f(x) = a + bcos(cx + d) e do efeito da variaccedilatildeo dos paracircmetros nos graacuteficos dessas funccedilotildees

Merece destaque a discussatildeo do fato de o conjunto soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo depender do conjunto universo admitido Por exemplo uma equaccedilatildeo com coeficientes e incoacutegnitas no conjunto dos inteiros tem conjunto soluccedilatildeo vazio se todas suas soluccedilotildees satildeo racionais natildeo inteiros Igualmente eacute elogiaacutevel a articulaccedilatildeo da resoluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees de duas variaacuteveis com posiccedilotildees relativas de retas no plano cartesiano

Os sistemas lineares satildeo classificados e resolvidos por diversos meacutetodos incluindo-se o de escalo-namento Matrizes e determinantes satildeo apresentados com base em situaccedilotildees da praacutetica social mas no desenvolvimento das noccedilotildees predominam as aplicaccedilotildees de foacutermulas No estudo da matemaacutetica financeira ressalta-se a escolha do trabalho com diferentes sistemas de amortizaccedilatildeo e pela frequecircn-cia destes em transaccedilotildees comerciais

Embora na apresentaccedilatildeo das funccedilotildees polinomiais se destaquem aquelas estudadas anteriormente no livro como as funccedilotildees quadraacutetica e afim geralmente sua abordagem eacute muito formal ou procedimental

ltgeometriagtEste campo eacute iniciado pelo estudo de relaccedilotildees meacutetricas e trigonomeacutetricas poreacutem natildeo satildeo feitas demonstraccedilotildees completas As noccedilotildees baacutesicas da trigonometria satildeo ampliadas no trabalho com a circunferecircncia trigonomeacutetrica destacando-se de maneira devida apenas o seno o cosseno e a tan-gente No iniacutecio do estudo de aacutereas salientam-se os conceitos baacutesicos em particular a necessida-de da escolha de uma unidade de medida No entanto na sequecircncia da abordagem satildeo priorizadas as foacutermulas de aacutereas de diversos poliacutegonos e suas deduccedilotildees Aleacutem disso a passagem da foacutermula da aacuterea de um poliacutegono regular para a foacutermula da aacuterea do ciacuterculo pode ser de difiacutecil compreensatildeo para os estudantes

A geometria espacial de posiccedilatildeo eacute estudada apenas no uacuteltimo volume com destaque para a aborda-gem de projeccedilotildees ortogonais e de vistas Ainda nesse livro estudam-se os soacutelidos geomeacutetricos por meio de caacutelculos de aacutereas de superfiacutecies e de volumes Na geometria analiacutetica o estudo da reta da circunferecircncia e das secccedilotildees cocircnicas eacute conduzido de maneira tradicional

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ltestatiacutestica e probabilidadegtAcertadamente o estudo desse campo inicia-se pelas noccedilotildees de populaccedilatildeo e de amostra bem como de variaacuteveis estatiacutesticas quantitativas e qualitativas A abordagem valoriza diversas representaccedilotildees graacuteficas de informaccedilotildees mas natildeo satildeo exploradas as representaccedilotildees de dados natildeo agrupados em quadros e tabelas o que reduz as possibilidades de articulaccedilotildees entre representaccedilotildees Os procedi-mentos relacionados a cada uma das medidas de tendecircncia central satildeo apresentados sem a neces-saacuteria valorizaccedilatildeo de seus significados O estudo de dados agrupados e de distribuiccedilatildeo de frequecircncias tambeacutem estaacute presente na obra discutindo-se medidas de tendecircncia central e medidas de dispersatildeo No entanto tambeacutem nesse momento sente-se falta da discussatildeo de significados para tais conceitos No trabalho com probabilidade acertadamente discute-se a utilizaccedilatildeo de dados previamente obti-dos como forma de determinar uma probabilidade

Na seccedilatildeo Valores em Accedilatildeo podem ser encontradas aplicaccedilotildees significativas da estatiacutestica na anaacutelise de questotildees sociais da atualidade

ltmetodologia do ensino e aprendizagemgtCada uma das unidades inicia-se com um pequeno texto que busca conectar a Matemaacutetica com temas sociais cientiacuteficos ou tecnoloacutegicos Os conteuacutedos satildeo abordados por meio de explanaccedilotildees teoacutericas acompanhadas de exemplos de atividades resolvidas e propostas Nessas atividades predomina a aplicaccedilatildeo direta do que foi ensinado

Haacute incentivo agrave interaccedilatildeo entre estudantes e desses com o professor tanto por meio de discussotildees so-bre temas que relacionam a Matemaacutetica a questotildees sociais relevantes quanto em exerciacutecios a serem resolvidos em grupos ou em atividades de seccedilotildees especiais

Satildeo raras as situaccedilotildees que possibilitam a anaacutelise ou a comparaccedilatildeo de diferentes estrateacutegias de reso-luccedilatildeo para um mesmo problema Tambeacutem haacute poucas indicaccedilotildees de exploraccedilatildeo de recursos didaacuteticos na obra poreacutem ao final dos volumes na seccedilatildeo Ferramentas daacute-se destaque a novas tecnologias

ltcontextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridadegtNas seccedilotildees Ampliando fronteiras e Matemaacutetica em accedilatildeo em especial buscam-se contextualizaccedilotildees em outras aacutereas do conhecimento No entanto os conteuacutedos dessas seccedilotildees por serem primordial-mente ilustrativos natildeo propiciam uma efetiva interaccedilatildeo entre os conceitos e procedimentos mate-maacuteticos e os conteuacutedos das outras ciecircncias

ltformaccedilatildeo para a cidadaniagtNa coleccedilatildeo observam-se incentivos a atitudes cidadatildes em particular na seccedilatildeo Valores em accedilatildeo que trata de temas como quantidade de lixo dignidade no trabalho hipertensatildeo arterial orccedilamento domeacutestico qualidade do ar entre outros Tambeacutem satildeo dadas oportunidades para que os estudantes forneccedilam suas opiniotildees e desenvolvam o pensamento criacutetico

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ltprojeto editorial projeto graacutefico e linguagemgtO projeto graacutefico-editorial eacute bem estruturado Observa-se ainda a diversidade de gecircneros textuais tais como tabelas tirinhas graacuteficos e imagens Em geral a linguagem adotada na coleccedilatildeo eacute adequada agrave faixa etaacuteria a que se destina No entanto em alguns momentos haacute excesso de informalidade e em outros emprega-se uma linguagem demasiadamente teacutecnica

ltmanual do professorgtNo Manual o professor encontraraacute oacutetimas sugestotildees para aprimorar o uso do Livro do Estudante En-tre elas destacam-se as propostas de uso de estrateacutegias de ensino e de recursos didaacuteticos diversifi-cados bem como as reflexotildees sobre os ganhos pedagoacutegicos do trabalho interdisciplinar e articulado com outras aacutereas de conhecimento

Satildeo apresentadas ainda sistematizaccedilotildees e demonstraccedilotildees que natildeo constam do Livro do Estudante Aleacutem disso encontram-se sugestotildees de atividades extras que podem ser utilizadas para motivar o estudo de conceitos a serem trabalhados Jaacute as atividades que buscam ampliar os conhecimentos adquiridos nem sempre satildeo desafiadoras

em sala de aula

Recomenda-se ao professor que inclua em seu planejamento atividades exploratoacuterias que contri-buam para a participaccedilatildeo do estudante na construccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico O Manual do Professor traz sugestotildees para esse planejamento

Sugere-se ao docente que procure realizar atividades com o uso de ambientes computacionais pou-co valorizadas em cada livro exceto na sua seccedilatildeo final intitulada Ferramentas Por outro lado para melhor aproveitar essa seccedilatildeo seraacute importante providenciar o material necessaacuterio e testar as orien-taccedilotildees propostas tendo em vista as diferenccedilas entre calculadoras

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Uma caracteriacutestica da obra eacute o estiacutemulo ao desenvolvimento da argumentaccedilatildeo em matemaacutetica In-centiva-se tambeacutem o estudo de inter-relaccedilotildees dessa aacuterea com outras disciplinas e com situaccedilotildees da vida cotidiana Satildeo trabalhadas igualmente conexotildees significativas com histoacuteria da Matemaacutetica Haacute um equiliacutebrio razoaacutevel entre a exploraccedilatildeo de noccedilotildees intuitivas e a formalizaccedilatildeo dos conteuacutedos embora por vezes a nomenclatura seja utilizada em excesso

O estudo das funccedilotildees eacute bem desenvolvido em geral com equiliacutebrio e articulaccedilatildeo entre as represen-taccedilotildees graacutefica e algeacutebrica Satildeo exploradas conexotildees pertinentes com outros campos da matemaacutetica escolar e com diferentes aacutereas do saber aleacutem de aplicaccedilotildees do conceito em situaccedilotildees do cotidiano

Encontram-se atividades que envolvem temas de grande relevacircncia para a vida em sociedade Mas as possibilidades que esses temas sejam incentivadores para a formaccedilatildeo da cidadania natildeo satildeo bem ex-ploradas Os subsiacutedios gerais e especiacuteficos oferecidos no Manual do Professor podem ser de grande valia para o trabalho do professor em sala de aula

DAVID DEGENSZAJN

GELSON IEZZI

NILZE DE ALMEIDA

OSVALDO DOLCE

ROBERTO PEacuteRIGO

0082P18023

SARAIVA EDUCACcedilAtildeO


MATEMAacuteTICA CIEcircNCIA E APLICACcedilOtildeES

visatildeo geral

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Os livros satildeo organizados em capiacutetulos dedicados a toacutepicos da matemaacutetica escolar por sua vez or-ganizados em subtoacutepicos Agrave apresentaccedilatildeo e ao desenvolvimento dos temas em estudo seguem-se exemplos exerciacutecios resolvidos e propostos Cada capiacutetulo eacute permeado por algumas das seccedilotildees es-peciais Um pouco de histoacuteria Aplicaccedilotildees com textos que visam aprofundar alguns conteuacutedos ou es-tabelecer relaccedilotildees da Matemaacutetica com outras aacutereas de conhecimento Troque ideias com atividades para serem trabalhadas em grupo Desafio e Um pouco mais sobre Satildeo encontrados ainda os boxes Pense nisto que visa chamar a atenccedilatildeo sobre algum assunto que estaacute sendo abordado e Observa-ccedilotildees com lembretes mais informaccedilotildees teoacutericas sobre o assunto em estudo e questotildees propostas um Iacutendice remissivo Sugestotildees de tiacutetulos de livros e viacutedeos aleacutem das Referecircncias bibliograacuteficas

O Manual do Professor traz uma coacutepia do Livro do Estudante acrescida de alguns comentaacuterios e um suplemento intitulado Orientaccedilotildees Didaacuteticas Este suplemento eacute iniciado com Comentaacuterios gerais que incluem os objetivos gerais e a estrutura da coleccedilatildeo acompanhados de textos a respeito dos pressupostos teoacuterico-metodoloacutegicos da obra e reflexotildees sobre a avaliaccedilatildeo entre outros Seguem--se os Comentaacuterios especiacuteficos que tratam dos conteuacutedos visados em cada volume nos campos da matemaacutetica escolar com sugestotildees sobre abordagens avaliaccedilatildeo e atividades complementares A resoluccedilatildeo das atividades de cada volume finaliza essa parte especiacutefica

Os conteuacutedos trabalhados na obra satildeo

1ordm ano ndash 13 capiacutetulos ndash 288 pp

1 Conjuntos introduccedilatildeo igualdade subconjuntos interseccedilatildeo reuniatildeo diferenccedila

2 Conjuntos numeacutericos naturais inteiros racionais irracionais reais intervalos razatildeo proporccedilatildeo e porcentagem

3Funccedilatildeo noccedilatildeo domiacutenio contradomiacutenio conjunto imagem graacutefico plano cartesiano sinal crescimento

e decrescimento maacuteximos e miacutenimos simetrias taxa meacutedia de variaccedilatildeo

4Funccedilatildeo afim definiccedilatildeo graacutefico grandezas diretamente proporcionais zero taxa meacutedia de variaccedilatildeo crescente

e decrescente sinal funccedilatildeo linear graacutefico funccedilatildeo constante inequaccedilotildees do 1ordm grau

5Funccedilatildeo quadraacutetica graacutefico zeros veacutertice da paraacutebola conjunto imagem esboccedilo da paraacutebola sinal inequaccedilotildees

do 2ordm grau

6Funccedilatildeo definida por mais de uma sentenccedila graacutefico moacutedulo de um nuacutemero real funccedilatildeo modular equaccedilotildees

e inequaccedilotildees modulares

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Potenciaccedilatildeo definiccedilotildees propriedades notaccedilatildeo cientiacutefica radiciaccedilatildeo definiccedilotildees propriedades potecircncias de

expoente racional e irracional funccedilatildeo exponencial definiccedilatildeo graacutefico nuacutemero ldquoerdquo propriedades translaccedilatildeo

de graacuteficos equaccedilatildeo exponencial

8Logaritmo definiccedilatildeo sistemas de logaritmos propriedades mudanccedila de base funccedilatildeo logariacutetmica definiccedilatildeo graacutefico

funccedilatildeo exponencial e funccedilatildeo logariacutetmica equaccedilotildees exponenciais

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9

Sequecircncias numeacutericas termo geral lei de recorrecircncia progressatildeo aritmeacutetica definiccedilatildeo classificaccedilatildeo termo geral

soma dos n-primeiros termos PA e funccedilatildeo afim progressatildeo geomeacutetrica definiccedilatildeo classificaccedilatildeo termo geral soma

dos n-primeiros termos soma dos termos de uma PG infinita PG e funccedilatildeo exponencial

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Semelhanccedila de figuras semelhanccedila de triacircngulos razatildeo de semelhanccedila Teorema de Tales teorema

fundamental da semelhanccedila criteacuterios de semelhanccedila triacircngulo retacircngulo semelhanccedila relaccedilotildees meacutetricas Teorema

de Pitaacutegoras

11 Trigonometria no triacircngulo retacircngulo razotildees trigonomeacutetricas seno cosseno e tangente acircngulos notaacuteveis

12Aacutereas de figuras planas retacircngulo quadrado paralelogramo triacircngulo losango trapeacutezio poliacutegono regular ciacuterculo

setor e coroa circular

13 Estatiacutestica populaccedilatildeo amostra etapas da pesquisa amostragem variaacutevel tabela de frequecircnciarepresentaccedilotildees graacuteficas


1Circunferecircncia arcos e acircngulos medida de comprimento de arco unidades de medidas de arcos e de acircngulos

circunferecircncia trigonomeacutetrica simetria

2Razotildees na circunferecircncia trigonomeacutetrica seno cosseno tangente relaccedilotildees entre seno cosseno e tangente

arcos complementares

3 Trigonometria em triacircngulos quaisquer lei dos senos lei dos cossenos

4 Funccedilotildees trigonomeacutetricas arcos cocircngruos funccedilotildees perioacutedicas funccedilatildeo seno funccedilatildeo cosseno

5 Matriz definiccedilatildeo representaccedilatildeo tipos transposta igualdade de matrizes operaccedilotildees com matrizes inversa

6Equaccedilatildeo linear definiccedilatildeo soluccedilatildeo sistemas lineares 2 x 2 representaccedilatildeo interpretaccedilatildeo geomeacutetrica soluccedilatildeo

classificaccedilatildeo m x n escalonamento determinantes sistemas homogecircneos

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Geometria espacial de posiccedilatildeo noccedilotildees postulados determinaccedilatildeo de planos posiccedilotildees relativas entre dois planos

de uma reta e um plano de duas retas propriedades acircngulos formados entre retas projeccedilotildees ortogonais

distacircncia teoremas fundamentais

8Poliedro definiccedilatildeo elementos prisma e piracircmide definiccedilotildees elementos classificaccedilotildees aacutereas de superfiacutecies

volumes Princiacutepio de Cavalieri soacutelidos semelhantes tronco de piracircmide Relaccedilatildeo de Euler poliedros de Platatildeo

9 Cilindro cone e esfera definiccedilotildees elementos classificaccedilotildees partes aacutereas de superfiacutecies volumes seccedilotildees

10Anaacutelise combinatoacuteria princiacutepio fundamental da contagem fatorial permutaccedilotildees arranjos combinaccedilotildees

permutaccedilotildees com elementos repetidos

11Probabilidade experimento aleatoacuterio espaccedilo amostral eventos frequecircncia relativa e probabilidade Probabilidade

claacutessica espaccedilo amostral equiprovaacutevel definiccedilatildeo da uniatildeo de dois eventos condicional da intersecccedilatildeo de dois eventos


1Ponto representaccedilatildeo no plano cartesiano distacircncia entre dois pontos ponto meacutedio de segmentos condiccedilatildeo de

alinhamento de trecircs pontos

2Reta equaccedilotildees inclinaccedilatildeo coeficiente angular funccedilatildeo afim e equaccedilatildeo reduzida da reta paralelismo

perpendicularidade distacircncia entre ponto e reta aacuterea do triacircngulo inequaccedilotildees do 1ordm grau

3Circunferecircncia equaccedilotildees posiccedilotildees relativas entre ponto e circunferecircncia entre reta e circunferecircncia entre duas

circunferecircncias inequaccedilatildeo do 2ordm grau com duas incoacutegnitas

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4Elipse hipeacuterbole e paraacutebola definiccedilotildees elementos equaccedilotildees translaccedilatildeo de sistemas interseccedilotildees de cocircnicas

paraacutebolas e funccedilotildees quadraacuteticas

5Estatiacutestica populaccedilatildeo amostra variaacutevel frequecircncia classes representaccedilotildees graacuteficas amplitudes medidas de

tendecircncia central e medidas de dispersatildeo para dados natildeo agrupados e agrupados

6Matemaacutetica financeira aumento e descontos variaccedilatildeo percentual juros simples e compostos e juros compostos

com taxa de juros variaacutevel juros e funccedilotildees

7Nuacutemeros complexos definiccedilatildeo conjunto propriedades operaccedilotildees forma algeacutebrica conjugado quociente moacutedulo

argumento forma trigonomeacutetrica

8Polinocircmio definiccedilatildeo coeficientes nulo funccedilatildeo polinomial valor numeacuterico raiz igualdade de polinocircmios

operaccedilotildees com polinocircmios principais teoremas

9Equaccedilatildeo polinomial definiccedilatildeo raiacutezes teorema fundamental da aacutelgebra teorema da decomposiccedilatildeo multiplicidade

de uma raiz relaccedilotildees de Girard raiacutezes complexas teorema das raiacutezes racionais



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

Na coleccedilatildeo cada um dos quatro campos da matemaacutetica escolar ocupa o espaccedilo esperado em uma obra para o Ensino Meacutedio embora estatiacutestica e probabilidade natildeo sejam suficientemente exploradas Quanto agrave distribuiccedilatildeo pelos volumes observa-se uma tendecircncia a condensar em grandes blocos conteuacutedos de apenas um campo da Matemaacutetica o que pode dificultar a articula-ccedilatildeo entre eles No volume 1 por exemplo a aacutelgebra eacute privilegiada em sete capiacutetulos No livro 2 eacute a geometria que recebe maior atenccedilatildeo com seis capiacutetulos

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ltabordagem dos conteuacutedosgtltnuacutemerosgtOs conteuacutedos deste campo em sua maioria satildeo trabalhados com base na resoluccedilatildeo de problemas o que favorece o desenvolvimento e a compreensatildeo dos conceitos e procedimentos O estudo dos conjuntos numeacutericos eacute sinteacutetico e de modo geral claro A argumentaccedilatildeo construiacuteda apoia-se na ampliaccedilatildeo progressiva dos conjuntos numeacutericos exigida para que seja possiacutevel efetuar operaccedilotildees No trabalho com nuacutemeros irracionais satildeo considerados outros nuacutemeros diferentes de radic2 radic3 π com a apresentaccedilatildeo do nuacutemero aacuteureo (nuacutemero de ouro) e de nuacutemeros construiacutedos por padrotildees que indicam produzir uma representaccedilatildeo decimal infinita e natildeo perioacutedica Eacute igualmente acertado o uso da calculadora na exploraccedilatildeo do caacutelculo de aproximaccedilotildees racionais de nuacutemeros irracionais

O tratamento da anaacutelise combinatoacuteria inclui o princiacutepio fundamental da contagem e a exploraccedilatildeo de situaccedilotildees por meio de aacutervores de possibilidades o que eacute elogiaacutevel No entanto a presenccedila de sequecircncias de exerciacutecios em seccedilotildees dedicadas aos diferentes agrupamentos pode levar o estudante a privilegiar o uso das foacutermulas

ltaacutelgebragtA noccedilatildeo de funccedilatildeo eacute apresentada de forma intuitiva com base em exemplos que exploram relaccedilotildees entre grandezas e formalizada como um tipo especial de relaccedilatildeo entre conjuntos De modo geral no trabalho com as funccedilotildees haacute equiliacutebrio e articulaccedilatildeo entre as representaccedilotildees graacutefica e algeacutebrica Satildeo exploradas conexotildees pertinentes com outros campos da matemaacutetica escolar e com diferentes aacutereas do saber aleacutem de aplicaccedilotildees do conceito em situaccedilotildees do cotidiano

As sequecircncias numeacutericas satildeo tratadas adequadamente como funccedilotildees cujo domiacutenio estaacute contido no conjunto dos nuacutemeros naturais Poreacutem o trabalho com as progressotildees aritmeacuteticas e geomeacutetricas eacute realizado por meio de atividades pouco significativas que envolvem classificaccedilatildeo uso do termo geral e foacutermulas de somas

Acertadamente haacute boas articulaccedilotildees entre as noccedilotildees de funccedilatildeo afim de progressotildees aritmeacuteticas e de juros simples Tambeacutem eacute elogiaacutevel a associaccedilatildeo entre as noccedilotildees de funccedilatildeo exponencial progressotildees geomeacutetricas e juros compostos

No estudo das matrizes sistemas lineares e equaccedilotildees algeacutebricas privilegiam-se os aspectos teacutecnicos como uso da nomenclatura aplicaccedilatildeo de propriedades e de procedimentos de caacutelculo Aleacutem disso satildeo poucas as situaccedilotildees que envolvem contextos significativos

ltgeometriagtO trabalho com a geometria contribui para a atribuiccedilatildeo de significado aos conteuacutedos do campo e especialmente para o desenvolvimento da capacidade de argumentaccedilatildeo No estudo da geometria espacial de posiccedilatildeo percebe-se uma tentativa de articular e equilibrar as abordagens intuitiva e formal De modo geral a exploraccedilatildeo dos poliedros e corpos redondos eacute feita por meio de situaccedilotildees que envolvem classificaccedilatildeo e exploraccedilatildeo de relaccedilotildees numeacutericas e meacutetricas entre seus elementos

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como os caacutelculos de aacutereas de superfiacutecies e de volumes O estudo da geometria analiacutetica eacute realizado de maneira adequada com referecircncias agrave histoacuteria da Matemaacutetica e associaccedilotildees pertinentes com as noccedilotildees de funccedilatildeo

ltestatiacutestica e probabilidadegtEm estatiacutestica e probabilidade conteuacutedos importantes satildeo abordados com pertinecircncia e de forma bem contextualizada embora o estudo do campo ocupe pouco espaccedilo nos livros da coleccedilatildeo Satildeo trabalhados temas como procedimentos de coleta e organizaccedilatildeo de dados representaccedilotildees de dados estatiacutesticos noccedilatildeo de probabilidades medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo margem de erro e niacutevel de confianccedila de pesquisas estatiacutesticas Destacam-se na seccedilatildeo Aplicaccedilotildees boas articulaccedilotildees entre os conceitos desenvolvidos nos capiacutetulos deste campo

ltmetodologia do ensino e aprendizagemgtNa apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos em geral parte-se de explanaccedilotildees teoacutericas seguidas de exem-plos exerciacutecios resolvidos e propostos Essa escolha metodoloacutegica privilegia a memorizaccedilatildeo de procedimentos e resultados em prejuiacutezo da construccedilatildeo do conhecimento e de uma maior auto-nomia de estudo ao estudante Satildeo poucas as explanaccedilotildees teoacutericas precedidas por abordagens intuitivas nas quais satildeo dadas oportunidades para a observaccedilatildeo a exploraccedilatildeo e a classificaccedilatildeo por parte do estudante

Nas seccedilotildees Aplicaccedilotildees e nos boxes Pense nisto poreacutem haacute incentivo agrave participaccedilatildeo ativa do estudan-te Nesses boxes por exemplo os estudantes satildeo convidados a explorar possibilidades e a verificar hipoacuteteses assim como avaliar criticamente produccedilotildees e estrateacutegias utilizadas por colegas

Na obra natildeo haacute incentivo ao uso de materiais concretos apesar de haver diversas possibilidades para o seu uso Em relaccedilatildeo ao uso de tecnologias aleacutem das instruccedilotildees sobre algumas funcionalida-des de diferentes modelos de calculadoras cientiacuteficas frequentemente eacute solicitado o uso da calcula-dora cientiacutefica mas sem maiores exploraccedilotildees que conduzam o estudante a reflexotildees a ecircnfase recai em seu uso como instrumento de caacutelculo Os softwares de geometria dinacircmica satildeo mencionados em geral junto agrave exposiccedilatildeo de alguns graacuteficos de funccedilotildees ou das cocircnicas traccedilados com o Geogebra Contudo natildeo haacute sugestotildees para que os estudantes utilizem esses softwares

ltcontextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridadegtUma contribuiccedilatildeo importante da obra eacute a possibilidade de utilizar a Matemaacutetica para melhor enten-dimento de temaacuteticas de grande relevacircncia social Observam-se contextualizaccedilotildees significativas que propiciam boas articulaccedilotildees com a histoacuteria da Matemaacutetica com praacuteticas sociais extraescolares com a proacutepria Matemaacutetica e com outras aacutereas do saber especialmente nas seccedilotildees Um pouco de histoacuteria Troque Ideias e Aplicaccedilotildees Tais atividades podem contribuir para despertar a curiosidade dos estu-dantes em relaccedilatildeo aos temas trabalhados e para favorecer as reflexotildees sobre o papel do conheci-mento matemaacutetico em diversos contextos

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ltformaccedilatildeo para a cidadaniagtDiferentes tipos de atividades propiciam o desenvolvimento da reflexatildeo sobre questotildees sociais am-bientais poliacuteticas e de sauacutede relevantes na atualidade Mas de modo geral a reflexatildeo criacutetica sobre os dados estudados eacute pouco estimulada

ltprojeto editorial projeto graacutefico e linguagemgtA legibilidade graacutefica e a linguagem empregada satildeo de modo geral adequadas ao niacutevel de escolari-dade a que se destina a obra Haacute uma grande variedade textual como balotildees de texto infograacuteficos e mapas As ilustraccedilotildees presentes na obra satildeo adequadas

ltmanual do professorgtO Manual contribui para a atuaccedilatildeo dos professores por meio de sugestotildees de atividades complemen-tares e de instrumentos de avaliaccedilatildeo articulados com as competecircncias visadas no Ensino Meacutedio Haacute tambeacutem indicaccedilatildeo de empecilhos e erros frequentes na aprendizagem de alguns conteuacutedos As suges-totildees de fontes a serem consultadas pelo professor satildeo variadas relevantes e atualizadas As escolhas de organizaacute-las por temas e de trazer breves comentaacuterios para cada livro revista ou site contribuem para auxiliar o docente em seu processo de desenvolvimento profissional

O Manual traz indicaccedilotildees de conexotildees possiacuteveis com outras disciplinas como Fiacutesica Quiacutemica e Biologia mas as conexotildees com ciecircncias humanas e sociais restringem-se quase todas agraves que satildeo realizadas com temas de economia Essa lacuna prejudica a exploraccedilatildeo de situaccedilotildees voltadas ao exerciacutecio da cidadania em que temaacuteticas de relevacircncia social satildeo tratadas de maneira superficial sem estimular a reflexatildeo criacutetica sobre as mesmas

em sala de aula

A opccedilatildeo por uma abordagem diretiva dos conteuacutedos pouco contribui para o desenvolvimento de maior autonomia do estudante Nesse sentido sugere-se ao professor que propicie aos estudantes oportunidades de expressar seus conhecimentos preacutevios e extraescolares antes das explanaccedilotildees teoacutericas dos assuntos e que fortaleccedila as conexotildees entre as abordagens intuitivas e a formalizaccedilatildeo dos conteuacutedos

Do mesmo modo eacute recomendaacutevel que sejam valorizadas as estrateacutegias pessoais de resoluccedilatildeo de pro-blemas e a confrontaccedilatildeo entre as mesmas para impulsionar o papel ativo dos estudantes na aprendi-zagem

De modo geral o professor deve estar atento para diversificar os recursos didaacuteticos como jogos e softwares os quais natildeo satildeo suficientemente explorados na obra Aleacutem disso eacute importante que ele natildeo se restrinja a apresentar os recursos tecnoloacutegicos aos estudantes mas lhes decirc oportunidade de

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utilizar efetivamente tais recursos Sugere-se ainda que o professor planeje situaccedilotildees que envol-vam contextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridade fortalecendo a conexatildeo com as ciecircncias humanas e sociais e incentivando a reflexatildeo criacutetica sobre as questotildees de relevacircncia social

O Manual do Professor conteacutem subsiacutedios importantes para a atuaccedilatildeo do professor no trabalho de sala de aula com orientaccedilotildees para abordagem de algumas seccedilotildees especiais No entanto haacute instru-ccedilotildees contidas no Livro do Estudante que natildeo satildeo suficientes para o trabalho sendo necessaacuteria com-plementaccedilatildeo por parte do professor

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Na obra os conteuacutedos satildeo organizados em unidades que se iniciam com um texto um problema ou algum contexto histoacuterico geralmente instigante Segue-se a abordagem teoacuterica do tema em estudo alguns exemplos e atividades para os estudantes

O estudo das funccedilotildees favorece o entendimento das aplicaccedilotildees o que o torna mais significativo Os temas de estatiacutestica e probabilidade satildeo abordados com base em discussotildees e anaacutelises de situa-ccedilotildees diversas e isso favorece um trabalho articulado com as praacuteticas sociais Em geometria analiacutetica prioriza-se a representaccedilatildeo algeacutebrica em prejuiacutezo de maior compreensatildeo dos objetos geomeacutetricos representados

As novas tecnologias satildeo utilizadas em seccedilotildees especiacuteficas que satildeo bastante frequentes na coleccedilatildeo Satildeo propostas situaccedilotildees motivadoras com o uso do computador e da calculadora Tambeacutem se dis-cutem questotildees do ENEM ou de vestibulares que incluem anaacutelises das possiacuteveis estrateacutegias de re-soluccedilatildeo aleacutem de boas sugestotildees para um trabalho em conexatildeo com outras aacutereas do conhecimento

KAacuteTIA STOCCO SMOLE

MARIA IGNEZ DINIZ

0096P18023



MATEMAacuteTICA PARA COMPREENDER O MUNDO

visatildeo geral

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Os volumes da coleccedilatildeo satildeo organizados em quatro unidades subdivididas em capiacutetulos Na abertura das unidades duas paacuteginas com textos e imagens buscam dar destaque aos temas que seratildeo trata-dos Os conteuacutedos abordados nos capiacutetulos estruturam-se em uma pequena apresentaccedilatildeo seguida das seccedilotildees De olho na resoluccedilatildeo Fazer e aprender Aprender a aprender Por dentro do Enem e dos vestibulares destinadas aos exerciacutecios Ao longo dos capiacutetulos encontram-se outras seccedilotildees Foco Mundo plural e Entre saberes em que satildeo trabalhadas situaccedilotildees cotidianas ou relacionadas a outras aacutereas do conhecimento e Projeto com propostas de atividades diferenciadas Os volumes satildeo encer-rados com Tabela Trigonomeacutetrica Indicaccedilotildees de leitura para os estudantes Referecircncias bibliograacuteficas e Significado das siglas e Respostas

O Manual do Professor inclui a coacutepia do Livro do Estudante com algumas sugestotildees de trabalho e o caderno intitulado Orientaccedilotildees Didaacuteticas Este conteacutem uma parte com textos comuns a todos os volu-mes alguns voltados agrave formaccedilatildeo geral do docente e outra especiacutefica para cada volume Ao final vecircm as resoluccedilotildees das atividades e as referecircncias bibliograacuteficas



1Conjuntos numeacutericos naturais inteiros racionais irracionais e reais reta real notaccedilatildeo cientiacutefica intervalos

operaccedilotildees com conjuntos

2 Estatiacutestica coleta e organizaccedilatildeo de dados porcentagem frequecircncias graacuteficos de frequecircncias

unidade 2

3Sistema cartesiano funccedilatildeo domiacutenio contradomiacutenio conjunto imagem graacutefico domiacutenio de uma funccedilatildeo de variaacutevel

real

4 Funccedilatildeo afim graacutefico elementos identidade crescente e decrescente estudo do sinal e inequaccedilotildees

5 Funccedilatildeo quadraacutetica graacutefico maacuteximo ou miacutenimo estudo do sinal e inequaccedilotildees

unidade 3

6 Sequecircncia lei de formaccedilatildeo progressotildees aritmeacutetica e geomeacutetrica termo geral e soma dos termos

7 Funccedilatildeo exponencial definiccedilatildeo propriedades graacutefico equaccedilotildees e inequaccedilotildees exponenciais

8 Logaritmo histoacuteria definiccedilatildeo propriedades logaritmos decimais mudanccedila de base funccedilatildeo logariacutetmica

unidade 4

9 Funccedilotildees operaccedilotildees composiccedilatildeo inversas funccedilotildees definidas por partes funccedilatildeo modular

10 Trigonometria do triacircngulo retacircngulo teoremas de Pitaacutegoras e de Tales seno cosseno e tangente

11 Leis dos senos e dos cossenos

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1 Trigonometria acircngulos e arcos de circunferecircncia acircngulo central medida de arcos ciacuterculo trigonomeacutetrico

2 Funccedilotildees seno cosseno e tangente variaccedilatildeo graacutefico conjunto imagem relaccedilotildees trigonomeacutetricas

3 Equaccedilotildees e inequaccedilotildees trigonomeacutetricas funccedilotildees trigonomeacutetricas soma e diferenccedila de arcos arco duplo

unidade 2

4Estatiacutestica linguagem representaccedilotildees de dados amostra distribuiccedilatildeo de frequecircncias medidas de tendecircncia

central agrupamento de classes

5 Contagem princiacutepio fundamental permutaccedilotildees arranjos simples combinaccedilotildees simples

6 Probabilidade linguagem conceito da uniatildeo da interseccedilatildeo condicional probabilidade e contagem

unidade 3

7Poliedros elementos classificaccedilatildeo prismas e piracircmides elementos classificaccedilotildees planificaccedilotildees poliedros

convexos e regulares

8 Cilindro e cone elementos classificaccedilotildees planificaccedilotildees esfera elementos posiccedilotildees relativas

9Geometria meacutetrica nos poliacutegonos semelhanccedila de triacircngulos prisma piracircmides e corpos redondos medida de aacuterea

e volume

unidade 4

10 Equaccedilotildees lineares sistemas lineares meacutetodos de resoluccedilatildeo classificaccedilatildeo

11 Matriz definiccedilatildeo tipos igualdade operaccedilotildees matrizes e resoluccedilatildeo de sistemas lineares

12 Determinante definiccedilatildeo resoluccedilatildeo de sistemas lineares sistemas lineares homogecircneos


1 Matemaacutetica financeira linguagem porcentagem juros simples e compostos

2 Estatiacutestica organizaccedilatildeo em classes representaccedilatildeo graacutefica medidas de tendecircncia central medidas de dispersatildeo

3 Probabilidade conceito frequecircncia relativa distribuiccedilatildeo normal

unidade 2

4 Pontos meacutedio baricentro distacircncia entre dois pontos aacuterea de um triacircngulo condiccedilatildeo de alinhamento de trecircs pontos

5 Reta equaccedilotildees posiccedilotildees relativas perpendicularidade feixe de retas inequaccedilatildeo do 1ordm grau

6 Circunferecircncia equaccedilatildeo posiccedilotildees relativas

7 Elipse hipeacuterbole e paraacutebola elementos equaccedilotildees

unidade 3

8 Polinocircmios funccedilatildeo polinomial polinocircmios operaccedilotildees fatoraccedilatildeo equaccedilotildees

9 Nuacutemeros complexos definiccedilatildeo forma algeacutebrica e forma trigonomeacutetrica operaccedilotildees e propriedades

10Equaccedilotildees polinomiais Teorema Fundamental da Aacutelgebra e Teorema da decomposiccedilatildeo relaccedilotildees de Girard raiacutezes

imaginaacuterias e racionais

unidade 4

11Funccedilotildees trigonomeacutetricas histoacuteria ciacuterculo trigonomeacutetrico reduccedilatildeo ao 1ordm quadrante arcos complementares

e suplementares

12 Taxas de variaccedilatildeo meacutedia e instantacircnea funccedilatildeo derivada sinal pontos de maacuteximo e de miacutenimo

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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

Observa-se na coleccedilatildeo uma quantidade excessiva de conteuacutedos embora alguns deles sejam assina-lados como opcionais Os assuntos trabalhados natildeo se distribuem de maneira completamente satis-fatoacuteria especialmente no volume 1 em que a aacutelgebra eacute muito privilegiada Nos livros 2 e 3 haacute maior equiliacutebrio no estudo da estatiacutestica e probabilidade bem como de geometria e de nuacutemeros Mas a abor-dagem de alguns temas esgota-se em um uacutenico capiacutetulo ou unidade caso da matemaacutetica financeira e da geometria analiacutetica entre outros o que natildeo eacute recomendaacutevel

ltabordagem dos conteuacutedosgtltnuacutemerosgtNo campo o estudo dos conjuntos eacute feito sem excesso de formalismo sendo acessiacutevel aos estudan-tes O estudo da anaacutelise combinatoacuteria inicia-se com a exploraccedilatildeo de diferentes formas de represen-taccedilatildeo como aacutervores esquemas e tabelas Entretanto avanccedila-se rapidamente para a aplicaccedilatildeo direta de foacutermulas o que eacute priorizado nos exerciacutecios resolvidos e propostos Acertadamente os nuacutemeros complexos satildeo apresentados no volume 3 por meio de uma abordagem histoacuterica associada agrave reso-luccedilatildeo de equaccedilatildeo de 3ordm grau O caacutelculo mental eacute incentivado nas seccedilotildees intituladas Caacutelculo Raacutepido presentes ao final de alguns capiacutetulos No entanto a complexidade de algumas das propostas pode desencorajar o estudante a desenvolvecirc-las

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ltaacutelgebragtO estudo da aacutelgebra eacute bastante amplo na coleccedilatildeo No trabalho bem conduzido com funccedilotildees as repre-sentaccedilotildees graacutefica e algeacutebrica satildeo articuladas Com base em situaccedilotildees natildeo convencionais utilizam-se tabelas e propriedades das curvas que representam cada tipo de funccedilatildeo o que enriquece a atribui-ccedilatildeo de significados a esse conceito matemaacutetico Particularmente no caso das funccedilotildees trigonomeacutetri-cas destacam-se as representaccedilotildees graacuteficas de inequaccedilotildees com apoio no ciacuterculo trigonomeacutetrico

Vale destacar a boa escolha de abordar equaccedilotildees e sistemas lineares antes do estudo das matrizes e dos determinantes assim como as interessantes conexotildees estabelecidas no estudo de grafos e de matrizes No entanto o excesso de denominaccedilotildees e classificaccedilotildees poderia ser evitado pelo risco de deslocar a atenccedilatildeo dos estudantes para os termos teacutecnicos em prejuiacutezo do entendimento dos pro-cessos matemaacuteticos ali existentes

ltgeometriagtAlguns conceitos de geometria plana satildeo retomados no volume 1 mas os processos dedutivos natildeo satildeo enfatizados como pode ser visto nos Teoremas de Pitaacutegoras e de Tales O estudo dos poliedros limita-se a definiccedilotildees classificaccedilotildees e fixaccedilatildeo das nomenclaturas de elementos o que torna a abordagem restrita No trabalho com volumes o Princiacutepio de Cavalieri eacute aplicado adequadamente

Em geometria analiacutetica observa-se uma abordagem que privilegia o uso de foacutermulas As atividades propostas satildeo de uma forma geral aplicaccedilotildees diretas desse tipo de sistematizaccedilatildeo Diferentemen-te o estudo das cocircnicas eacute feito por meio de uma abordagem que explora tanto a obtenccedilatildeo de suas representaccedilotildees algeacutebricas quanto de suas interpretaccedilotildees geomeacutetricas Observa-se neste toacutepico excesso de conteuacutedos

ltestatiacutestica e probabilidadegtOs conteuacutedos de estatiacutestica satildeo estudados muitas vezes interligados a questotildees voltadas para as praacuteticas sociais o que enriquece a abordagem Encontram-se atividades instigantes e bem estrutura-das a serem desenvolvidas com o uso de softwares como as planilhas eletrocircnicas

De forma interessante exploram-se medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo em integraccedilatildeo com o desenvolvimento de projetos e de pesquisas Aleacutem disso satildeo feitas discussotildees pertinen-tes de amostras Haacute observaccedilotildees importantes sobre as relaccedilotildees entre as diferentes medidas de tendecircncia central e isso contribui para a interpretaccedilatildeo conjunta de meacutedia mediana e moda em determinadas situaccedilotildees

O estudo de probabilidade eacute bem feito e apresentado em linguagem acessiacutevel Por outro lado em alguns momentos observa-se ecircnfase em foacutermulas e nomenclatura A exploraccedilatildeo de temas como a Lei dos Grandes Nuacutemeros e Curva Normal amplia o trabalho proposto

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ltmetodologia do ensino e aprendizagemgtA abordagem inicial dos conteuacutedos eacute feita por meio de textos instigantes seguidos de explanaccedilatildeo teoacuterica de atividades jaacute resolvidas e de aplicaccedilatildeo As propostas de atividades que promovem a interaccedilatildeo entre os estudantes satildeo poucas mas o uso de conhecimentos envolvendo as praacuteticas sociais eacute frequente

O iniacutecio ou final dos capiacutetulos satildeo retomadas de conteuacutedos jaacute estudados Outras boas praacuteticas satildeo as listas de termos palavras-chave mapas conceituais e resumos do que foi abordado Em diversos momentos o estudante eacute incentivado agrave memorizaccedilatildeo agrave formulaccedilatildeo de problemas e agrave verificaccedilatildeo de resultados e processos No entanto haacute poucas situaccedilotildees que envolvem a anaacutelise de diferentes estrateacutegias de resoluccedilatildeo de problemas o que soacute ocorre nas demonstraccedilotildees de exerciacutecios resolvidos

ltcontextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridadegtOs conhecimentos matemaacuteticos aparecem contextualizados nos exerciacutecios e em atividades sugeridas em seccedilotildees especiacuteficas encontradas na maioria dos capiacutetulos dos trecircs volumes No entanto por vezes essas seccedilotildees natildeo oferecem reflexotildees importantes sobre o papel da Matemaacutetica na leitura e compre-ensatildeo desses contextos

Episoacutedios da histoacuteria da Matemaacutetica estatildeo presentes na apresentaccedilatildeo de alguns capiacutetulos na explo-raccedilatildeo inicial dos conteuacutedos como logaritmos e nuacutemeros complexos ou em atividades na seccedilatildeo Para Complementar Poreacutem frequentemente eacute feito um uso artificial e natildeo pedagoacutegico de tais trechos

ltformaccedilatildeo para a cidadaniagtA coleccedilatildeo favorece a formaccedilatildeo para a cidadania dos estudantes por meio de situaccedilotildees ou textos abordados nas atividades com temas voltados agraves questotildees socioambientais No entanto tais situa-ccedilotildees satildeo pouco exploradas em termos de aprofundamento ou ampliaccedilatildeo do conhecimento matemaacute-tico ficando a tarefa a cargo do professor

ltprojeto editorial projeto graacutefico e linguagemgtO projeto graacutefico-editorial eacute bem realizado A linguagem eacute adequada para uma obra de Ensino Meacutedio e satildeo explorados diferentes gecircneros textuais Em geral as imagens cumprem a funccedilatildeo de ilustrar um texto auxiliar na contextualizaccedilatildeo de um assunto ou tornar as paacuteginas mais agradaacuteveis agrave leitura

ltmanual do professorgtFaltam comentaacuterios mais abrangentes sobre dificuldades que os estudantes podem enfrentar em atividades que pressupotildeem o uso de tecnologia em alguns exerciacutecios mais complexos ou em per-guntas abertas Com respeito a essas encontram-se no Manual do Professor apenas indicaccedilotildees de ldquorespostas pessoaisrdquo sem sugestotildees de possiacuteveis encaminhamentos que orientem o professor nas discussotildees em sala de aula

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em sala de aula

Ao adotar a coleccedilatildeo seraacute interessante planejar aulas e atividades mais exploratoacuterias pouco presen-tes na obra que incentivem o estudante a participar da construccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico Os textos sugeridos nas seccedilotildees Para Complementar Entre Saberes e Mundo Plural podem favorecer um trabalho interdisciplinar

Nas seccedilotildees Foco na Tecnologia Computador e Calculadora encontram-se atividades exploratoacuterias que possibilitam a ampliaccedilatildeo ou o aprofundamento dos conhecimentos matemaacuteticos Entretanto seraacute importante verificar previamente se as calculadoras dos estudantes realizam as funccedilotildees reque-ridas Da mesma forma recomenda-se ao docente que antes de propor a realizaccedilatildeo das atividades com o uso de ambientes computacionais leia as orientaccedilotildees do Manual do Professor sobre eventuais dificuldades que podem surgir no percurso

Eacute preciso atenccedilatildeo aos toacutepicos identificados como opcionais pois alguns dos temas ali trabalhados satildeo preacute-requisitos para o estudo de outros conteuacutedos

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Uma das caracteriacutesticas da coleccedilatildeo eacute a seleccedilatildeo de diferentes temas cujo objetivo eacute evidenciar a pre-senccedila de conceitos matemaacuteticos no cotidiano Observa-se tambeacutem a presenccedila de referecircncias histoacute-ricas Entretanto essas contextualizaccedilotildees natildeo satildeo devidamente exploradas

A metodologia adotada oferece poucas oportunidades para um papel mais autocircnomo do estudante na aprendizagem Isso decorre do fato de que em geral os conteuacutedos satildeo tratados a partir de siste-matizaccedilotildees seguidas de atividades resolvidas e propostas

No entanto o Manual do Professor apresenta sugestotildees de atividades que podem favorecer uma accedilatildeo mais ativa do estudante em sala de aula Conteacutem ainda boas proposiccedilotildees para a construccedilatildeo e o uso de materiais concretos como os de desenho

descriccedilatildeo da coleccedilatildeo

Os livros dividem-se em oito unidades cada uma delas dedicada a um conteuacutedo matemaacutetico que por sua vez eacute subdividido em toacutepicos Nestes haacute textos explanatoacuterios acompanhados de atividades resolvidas e propostas aos estudantes Uma caracteriacutestica da obra satildeo as variadas seccedilotildees destacadas nas unidades Algumas delas tecircm denominaccedilotildees especiacuteficas Produccedilatildeo Textual Calculadora Trata-

RODRIGO BALESTRI

0127P18023

LEYA


MATEMAacuteTICA INTERACcedilAtildeO E TECNOLOGIA

visatildeo geral

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mento da Informaccedilatildeo Desafio Em Grupo Aleacutem dessas encontram-se as seccedilotildees Como funciona em que usam-se situaccedilotildees relacionadas aos toacutepicos como forma de contexto Conexatildeo tecnoloacutegica com indicaccedilatildeo de softwares Sobre a unidade destinada agrave autoavaliaccedilatildeo do estudante entre outras aleacutem de boxes com definiccedilotildees e teoremas Ao final de cada livro satildeo oferecidas Sugestotildees de livros e sites as respostas das atividades propostas e a bibliografia da obra

O Manual do Professor inclui uma coacutepia do Livro do Estudante com as respostas das atividades pro-postas algumas orientaccedilotildees ao docente e tambeacutem um suplemento denominado Assessoria Pedagoacute-gica Este conteacutem as Orientaccedilotildees Gerais sobre a coleccedilatildeo as Referecircncias Bibliograacuteficas e trecircs seccedilotildees especiacuteficas por volume O trabalho com as unidades Paacuteginas para Reproduccedilatildeo Siglas utilizadas no volume e Resoluccedilatildeo das atividades

1ordm ano ndash 08 unidades ndash 267 p

1Conjuntos ideia subconjuntos operaccedilotildees conjuntos numeacutericos intervalos sequecircncia de Fibonacci ndash frequecircncia

absoluta interpretaccedilatildeo de tabelas e graacutefico de colunas

2

Funccedilatildeo ideia o triacircngulo de Sierpinski domiacutenio contradomiacutenio e imagem definida por mais de uma sentenccedila

plano cartesiano graacutefico zero valor maacuteximo valor miacutenimo sinal crescentes decrescentes taxa meacutedia de variaccedilatildeo

par iacutempar injetora sobrejetora bijetora inversa composta

3Funccedilatildeo afim definiccedilatildeo graacutefico zero sinal crescente decrescente translaccedilatildeo do graacutefico funccedilatildeo linear e

proporcionalidade sistema de inequaccedilotildees do 1o grau

4Funccedilatildeo quadraacutetica definiccedilatildeo forma canocircnica zeros valor maacuteximo valor miacutenimo sinal taxa meacutedia de variaccedilatildeo

movimento uniformemente variado estudo dos coeficientes ndash ponto meacutedio de um segmento de reta

5

Funccedilatildeo modular definiccedilatildeo graacutefico translaccedilatildeo do graacutefico equaccedilatildeo e inequaccedilatildeo ndash graacutefico de linhas ndash funccedilatildeo

exponencial revisatildeo de potenciaccedilatildeo definiccedilatildeo graacutefico equaccedilatildeo e inequaccedilatildeo logaritmo definiccedilatildeo propriedades

operatoacuterias equaccedilatildeo funccedilatildeo logariacutetmica definiccedilatildeo graacutefico

6

Sequecircncias definiccedilatildeo ndash frequecircncia relativa graacutefico de setores ndash progressatildeo aritmeacutetica definiccedilatildeo termo geral

interpolaccedilatildeo aritmeacutetica progressatildeo aritmeacutetica e funccedilotildees afim e quadraacutetica soma dos termos de uma PA progressatildeo

geomeacutetrica definiccedilatildeo termo geral progressatildeo geomeacutetrica e funccedilatildeo exponencial soma dos termos de uma PG

limite da soma dos termos de uma PG infinita PA PG e a origem dos logaritmos

7Estatiacutestica coleta e organizaccedilatildeo de dados tabelas graacuteficos censo distribuiccedilatildeo de frequecircncias intervalos de

classes medidas de tendecircncia central

8

Trigonometria Teorema de Tales Teorema de Pitaacutegoras relaccedilotildees meacutetricas no triacircngulo retacircngulo distacircncia entre

dois pontos no plano relaccedilotildees trigonomeacutetricas seno cosseno tangente identidades tabela trigonomeacutetricas

acircngulos notaacuteveis Lei dos Senos Lei dos Cossenos ndash aacuterea de um triacircngulo


1Circunferecircncia trigonomeacutetrica conceitos baacutesicos comprimento de arco medida angular de um arco seno e

cosseno reduccedilatildeo ao 1ordm quadrante tangente

2Funccedilatildeo seno graacutefico funccedilotildees do tipo f(x)=a+bsen(cx+d) funccedilatildeo cosseno graacutefico seno

cosseno e tangente da soma e da diferenccedila de arcos identidades trigonomeacutetricas equaccedilotildees trigonomeacutetricas

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3 Sistemas lineares e matrizes meacutetodos de resoluccedilatildeo escalonamento de sistemas lineares matrizes operaccedilotildees inversa

4 Determinantes definiccedilatildeo propriedades Teoremas de Binet e de Jacobi sistemas lineares e Regra de Cramer

5Anaacutelise combinatoacuteria princiacutepio fundamental da contagem princiacutepio aditivo fatorial permutaccedilatildeo simples arranjo

simples combinaccedilatildeo simples permutaccedilatildeo com elementos repetidos triacircngulo de Pascal binocircmio de Newton

6Probabilidade experimento aleatoacuterio espaccedilo amostral probabilidade de um evento e da uniatildeo de dois eventos

frequecircncia relativa graacuteficos e tabelas probabilidade condicional eventos independentes lei binomial

7 Estatiacutestica populaccedilatildeo e amostra estatiacutestica e probabilidade medidas de tendecircncia central medidas de dispersatildeo

8 Matemaacutetica financeira acreacutescimos e descontos sucessivos juros simples e compostos juros e funccedilotildees amortizaccedilotildees


1Geometria espacial noccedilotildees baacutesicas posiccedilotildees relativas de duas retas de uma reta e um plano e de dois planos

perpendicularidade no espaccedilo projeccedilotildees ortogonais distacircncia

2Poliedros conceitos iniciais de Platatildeo regulares aacutereas de figuras planas prismas aacuterea da superfiacutecie Princiacutepio de

Cavalieri e volume piracircmides aacuterea da superfiacutecie volume tronco

3

Corpos redondos conceitos iniciais cilindro circular aacuterea do ciacuterculo do setor e da coroa circular cilindro reto

aacuterea da superfiacutecie volume cone circular reto aacuterea da superfiacutecie volume tronco de cone reto aacuterea da superfiacutecie

volume esfera volume aacuterea da superfiacutecie

4Estatiacutestica graacuteficos e tabelas medidas de tendecircncia central medida de tendecircncia central para dados agrupados em

classes medidas de dispersatildeo desvio meacutedio variacircncia desvio padratildeo

5

Geometria analiacutetica plano cartesiano ortogonal distacircncia entre dois pontos coordenada do ponto meacutedio de

um segmento baricentro de um triacircngulo condiccedilatildeo de alinhamento de trecircs pontos equaccedilotildees da reta posiccedilotildees

relativas entre duas retas e sistemas de equaccedilotildees 2 x 2 acircngulo entre duas retas distacircncia de ponto a reta aacuterea de

um triacircngulo inequaccedilotildees do 1deg grau com duas incoacutegnitas

6Circunferecircncia equaccedilatildeo posiccedilotildees relativas de ponto e circunferecircncia de reta e circunferecircncia e de duas

circunferecircncias elipse hipeacuterbole e paraacutebola definiccedilotildees equaccedilotildees

7Nuacutemeros complexos ideia definiccedilatildeo conjunto moacutedulo representaccedilotildees algeacutebrica e geomeacutetrica representaccedilatildeo

trigonomeacutetrica operaccedilotildees

8Polinocircmios funccedilatildeo polinomial operaccedilotildees equaccedilotildees polinomiais raiacutezes relaccedilotildees de Girard multiplicidade de uma

raiz raiacutezes complexas


ltorganizaccedilatildeo dos conteuacutedosgtOs campos de nuacutemeros e de estatiacutestica e probabilidade satildeo distribuiacutedos satisfatoriamente na cole-ccedilatildeo Por outro lado haacute predominacircncia do campo aacutelgebra nos livros dos 1ordm e 2ordm anos Em particular o estudo de funccedilotildees abrange mais da metade do 1ordm volume A geometria eacute abordada na sua maior parte no livro do 3ordm ano estando aiacute incluiacutedos os conteuacutedos de geometria espacial e de geometria analiacutetica Os assuntos relativos aos diferentes campos estatildeo quase sempre concentrados em uma uacutenica unidade podendo prejudicar a articulaccedilatildeo entre os conceitos

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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

ltabordagem dos conteuacutedosgtltnuacutemerosgtNo campo os conjuntos numeacutericos satildeo focalizados com apoio na histoacuteria da Matemaacutetica tanto no que diz respeito ao seu surgimento quanto agrave sua ampliaccedilatildeo Observa-se inadequaccedilatildeo na repre-sentaccedilatildeo dos conjuntos numeacutericos por diagrama de Venn No estudo dos nuacutemeros complexos satildeo apresentadas boas articulaccedilotildees entre as representaccedilotildees algeacutebrica geomeacutetrica e trigonomeacutetrica As mediccedilotildees como aproximaccedilotildees das medidas teoacutericas satildeo pouco exploradas na coleccedilatildeo

Na abordagem inicial do estudo da anaacutelise combinatoacuteria satildeo utilizados diversos esquemas para mapeamento das possibilidades como diagramas de aacutervore e tabelas de dupla entrada O princiacutepio multiplicativo tambeacutem eacute valorizado

ltaacutelgebragtO trabalho com o campo algeacutebrico estaacute presente nos trecircs volumes da obra Satildeo explorados alguns pa-drotildees e regularidades que podem levar os estudantes a levantarem conjecturas sobre generalizaccedilotildees matemaacuteticas Eacute interessante a relaccedilatildeo estabelecida entre os conceitos de funccedilatildeo equaccedilotildees e inequa-ccedilotildees Destaca-se igualmente a abordagem articulada das funccedilotildees afim quadraacutetica e exponencial com juros simples e compostos PA e PG Destaca-se o uso de softwares livres para a construccedilatildeo e o estudo de graacuteficos das funccedilotildees No estudo dos sistemas de equaccedilotildees lineares a ecircnfase dada ao meacutetodo do escalonamento pode favorecer a compreensatildeo do tema

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ltgeometriagtA geometria eacute apresentada de modo satisfatoacuterio apesar da concentraccedilatildeo dos temas no volume 3 O estudo de trigonometria na circunferecircncia eacute iniciado com a retomada de alguns conceitos trabalha-dos em anos anteriores Na abordagem da geometria analiacutetica satildeo adequadamente priorizadas as relaccedilotildees entre as representaccedilotildees geomeacutetricas e algeacutebricas Aleacutem disso satildeo feitas vaacuterias articulaccedilotildees desse conhecimento com outros campos da matemaacutetica escolar As transformaccedilotildees geomeacutetricas (ro-taccedilatildeo reflexatildeo e translaccedilatildeo) assim como os conceitos de congruecircncia e de semelhanccedila satildeo bem ex-plorados em associaccedilatildeo com diversos conteuacutedos Por vezes o estudo de acircngulos eacute relacionado com situaccedilotildees praacuteticas Observa-se tambeacutem que em sua maioria as figuras geomeacutetricas satildeo apresenta-das apenas em posiccedilotildees prototiacutepicas o que restringe a compreensatildeo dos conhecimentos envolvidos O estudo da reta eacute bem discutido por meio do uso de sistemas lineares Entretanto natildeo satildeo feitas conexotildees entre retas e a funccedilatildeo afim como seria recomendaacutevel

ltestatiacutestica e probabilidadegtEm estatiacutestica utilizam-se diversos contextos para o tratamento de conteuacutedos como organizaccedilatildeo e apresentaccedilatildeo de dados em tabelas e em diferentes tipos de graacuteficos variaacuteveis qualitativa e quantita-tiva medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo Mas haacute poucas atividades que incentivam a apli-caccedilatildeo das ferramentas estatiacutesticas na coleta e anaacutelise de dados a serem realizadas pelos estudantes

A abordagem inicial de probabilidade vale-se de exemplos claacutessicos de lanccedilamento de dados e de moedas por intermeacutedio de tais recursos satildeo discutidos os conceitos de experimento aleatoacuterio e de espaccedilo amostral (equiprovaacutevel) Em algumas atividades resolvidas recorre-se a diagramas de aacutervore para a constituiccedilatildeo do espaccedilo amostral evidenciando-se as relaccedilotildees entre os conteuacutedos matemaacuteti-cos de diversos campos

ltmetodologia do ensino e aprendizagemgtTodas as unidades iniciam-se com textos e imagens cujo objetivo eacute auxiliar o professor na apresenta-ccedilatildeo contextualizada dos conteuacutedos explorados Ao longo da coleccedilatildeo as explanaccedilotildees teoacutericas acom-panhadas de exemplos e de exerciacutecios resolvidos ou propostos podem levar a uma accedilatildeo pedagoacutegica diretiva Contudo as seccedilotildees Como funciona e Seccedilatildeo especial incluem atividades que favorecem uma construccedilatildeo mais autocircnoma dos conhecimentos por parte do estudante Tambeacutem no Manual do Pro-fessor encontram-se algumas sugestotildees de atividades complementares aleacutem de orientaccedilotildees para a construccedilatildeo e o uso de materiais didaacuteticos

Haacute na obra um uso satisfatoacuterio de tecnologias da informaccedilatildeo e softwares A calculadora eacute igualmen-te bem utilizada como instrumento para verificar e comparar resultados estabelecendo-se relaccedilotildees entre eles Apesar de o Livro do Estudante trazer poucas atividades que necessitem de materiais de desenho para sua resoluccedilatildeo no Manual tambeacutem podem ser encontradas sugestotildees com esse fim

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ltcontextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridadegtPercebe-se na coleccedilatildeo a importacircncia dada agrave Matemaacutetica como instrumento para a soluccedilatildeo de pro-blemas relacionados a praacuteticas sociais como caacutelculos de custos de produccedilatildeo ou o papel do trata-mento da informaccedilatildeo na elaboraccedilatildeo dos censos demograacuteficos No entanto em sua maioria essas articulaccedilotildees satildeo simples aplicaccedilotildees de algoritmos sem muitas oportunidades para o levantamento de ideias ou questionamentos por parte dos estudantes

No Manual do Professor encontram-se diversos exemplos de relaccedilotildees da Matemaacutetica com outras diversas aacutereas do saber entre as quais Fiacutesica Quiacutemica Biologia Geografia e Sociologia No geral as propostas de interdisciplinaridade buscam evidenciar a aplicaccedilatildeo da Matemaacutetica em outras aacutereas do conhecimento

ltformaccedilatildeo para a cidadaniagtNa abordagem de diversos conteuacutedos estatildeo presentes questotildees socioambientais (consumo racional da aacutegua diminuiccedilatildeo da emissatildeo de poluentes no ar) de sauacutede (os malefiacutecios do consumo do aacutelcool e da nicotina no organismo) e de mobilidade (acessibilidade desigualdade social) Entretanto natildeo satildeo estimuladas discussotildees que contribuam para a formaccedilatildeo da cidadania Em grande parte esses temas servem apenas de pretexto para a aplicaccedilatildeo de modelos matemaacuteticos

ltprojeto editorial projeto graacutefico e linguagemgtA linguagem utilizada eacute adequada a um livro voltado para o Ensino Meacutedio No geral a obra eacute visualmente agradaacutevel e conteacutem uma boa variedade de textos entre os quais tirinhas balotildees de texto infograacuteficos e mapas As imagens graacuteficas apresentam clareza precisatildeo e adequaccedilatildeo agraves finalidades pretendidas

ltmanual do professorgtOs textos comuns aos trecircs volumes satildeo variados embora bastante geneacutericos A despeito disso haacute boas sugestotildees de leituras complementares para o docente Jaacute na parte especiacutefica dos livros en-contram-se muitos comentaacuterios didaacuteticos apropriados sobre o desenvolvimento dos conteuacutedos das unidades Satildeo apresentadas tambeacutem estrateacutegias de resoluccedilatildeo das atividades para auxiliar o profes-sor na sistematizaccedilatildeo dos conteuacutedos e fichas de avaliaccedilatildeo e de autoavaliaccedilatildeo estas a serem preen-chidas pelos estudantes O Manual inclui ainda propostas de trabalhos interdisciplinares a serem desenvolvidos mediante a abordagem dos conteuacutedos matemaacuteticos e nele eacute apontada a importacircncia das atividades em grupo para incentivar a socializaccedilatildeo a comunicaccedilatildeo a argumentaccedilatildeo e o senso de cooperaccedilatildeo dos estudantes

80

em sala de aula

Em diversas passagens da obra enfatiza-se a importacircncia dos conhecimentos matemaacuteticos para a soluccedilatildeo de problemas e demandas da sociedade contemporacircnea Recorre-se agrave histoacuteria da Matemaacuteti-ca na abordagem de diversos conceitos e satildeo destacadas as conexotildees dessa ciecircncia com outras aacutereas do saber Mas como as relaccedilotildees estabelecidas geralmente satildeo pouco exploradas recomenda-se ao professor que se antecipe e planeje maneiras de trataacute-las de modo mais significativo

O docente deve estar atento agrave distribuiccedilatildeo dos conteuacutedos em cada volume pois observa-se em al-guns momentos uma sequecircncia de unidades de um mesmo campo Em especial nos volumes 1 e 3 sugere-se alternar as unidades quando possiacutevel

Seraacute necessaacuterio aprofundar a exploraccedilatildeo de alguns conceitos e procedimentos tornando mais claro por exemplo que mediccedilotildees nunca satildeo exatas Aleacutem disso no campo de estatiacutestica e probabilidade sugere-se ampliar as propostas de atividades de coleta e de anaacutelise de dados

81

O incentivo a que os estudantes elaborem problemas eacute um destaque na coleccedilatildeo Ela tambeacutem se ca-racteriza por apresentar uma consideraacutevel variedade de textos que possibilitam contextualizaccedilotildees e atividades interdisciplinares No entanto especialmente na abertura dos capiacutetulos haacute conexotildees artificiais e pouco relacionadas aos temas abordados em seguida

Os conteuacutedos satildeo frequentemente abordados com base em definiccedilotildees atividades resolvidas e pro-postas Satildeo feitas generalizaccedilotildees mas de maneira raacutepida e sem o devido rigor

O Manual do Professor conteacutem sugestotildees de atividades complementares que podem enriquecer o trabalho docente em sala de aula como o estudo das funccedilotildees quadraacuteticas com o uso do software Geogebra Aleacutem disso apresenta a deduccedilatildeo das equaccedilotildees das cocircnicas o que complementa o Livro do Estudante


Os volumes desta coleccedilatildeo satildeo divididos em capiacutetulos nos quais se trabalham conteuacutedos referen-tes a um dos campos da matemaacutetica escolar Todos os capiacutetulos principiam com imagens diversas e textos relacionados a alguma situaccedilatildeo do cotidiano ou tema interdisciplinar que servem como

JOAMIR SOUZA

JACQUELINE GARCIA

0155P18023

FTD


CONTATO MATEMAacuteTICA

visatildeo geral

82

ponto de partida para o desenvolvimento dos conhecimentos matemaacuteticos Sucedem-se atividades identificadas como Contexto Atividades resolvidas Atividades Calculadora e Desafio Ao final de alguns capiacutetulos a seccedilatildeo denominada Ser consciente traz propostas de articulaccedilatildeo da Matemaacutetica com questotildees relativas agrave cidadania Os livros encerram-se com as seccedilotildees Acessando tecnologias em que satildeo apresentados dois softwares livres algumas orientaccedilotildees sobre como os utilizar e exemplos de atividades que podem ser resolvidas com eles sugestotildees de leitura para o professor endereccedilos de sites respostas aos exerciacutecios propostos e as referecircncias bibliograacuteficas

O Manual do Professor conteacutem uma coacutepia do Livro do Estudante e orientaccedilotildees didaacutetico-metodoloacutegi-cas divididas em uma parte comum aos trecircs volumes e outra especiacutefica a cada um deles Na primeira encontram-se textos gerais sobre o Ensino Meacutedio o ENEM programas de acesso ao ensino superior o trabalho interdisciplinar no Ensino Meacutedio avaliaccedilatildeo o papel do professor recursos didaacuteticos o computador e o ensino da Matemaacutetica e transversalidade A segunda parte traz objetivos comentaacute-rios e sugestotildees relativos aos conceitos e agraves atividades trabalhados em cada capiacutetulo Em seguida haacute sugestotildees de leitura para o professor e resoluccedilotildees das atividades O volume 2 inclui algumas paacuteginas a serem reproduzidas e distribuiacutedas aos estudantes

Na obra satildeo desenvolvidos os seguintes conteuacutedos


1 Conjuntos noccedilotildees baacutesicas propriedades operaccedilotildees conjuntos numeacutericos intervalos

2 Funccedilatildeo noccedilatildeo intuitiva produto cartesiano conceito domiacutenio graacutefico raiacutezes crescente

3Funccedilatildeo afim definiccedilatildeo linear constante identidade graacutefico raiz coeficientes translaccedilatildeo degraacuteficos crescimento

decrescimento sinal funccedilatildeo linear e proporcionalidade inequaccedilatildeo do 1deg grau

4Funccedilatildeo quadraacutetica definiccedilatildeo graacutefico coeficientes raiacutezes veacutertice e eixo de simetria da paraacutebola maacuteximo e miacutenimo

sinal inequaccedilatildeo do 2deg grau

5Potenciaccedilatildeo definiccedilatildeo e propriedades notaccedilatildeo cientiacutefica funccedilatildeo exponencial e seu graacutefico equaccedilatildeo e

inequaccedilatildeo exponencial

6Logaritmo definiccedilatildeo condiccedilatildeo de existecircncia propriedades mudanccedila de base funccedilatildeo logariacutetmica e seu graacutefico

funccedilatildeo logariacutetmica e funccedilatildeo exponencial equaccedilatildeo e inequaccedilatildeo logariacutetmica

7Moacutedulo de um nuacutemero distacircncia entre dois pontos na reta funccedilatildeo modular e seu graacutefico translaccedilatildeo do graacutefico

equaccedilatildeo e inequaccedilatildeo modular

8Sequecircncias progressotildees aritmeacuteticas e geomeacutetricas definiccedilatildeo termo geral razatildeo soma de termos de progressotildees

finitas PA e funccedilatildeo afim PG e funccedilatildeo exponencial soma de PG infinita

9Teorema de Tales teorema de Pitaacutegoras trigonometria no triacircngulo retacircngulo seno cosseno e tangente acircngulos

notaacuteveis tabela trigonomeacutetrica lei dos senos lei dos cossenos aacuterea de um triacircngulo

83

2ordm ano ndash 08 capiacutetulos ndash 288 p

1

Trigonometria na circunferecircncia arcos medidas de arco circunferecircncia trigonomeacutetrica acircngulos cocircngruos

reduccedilatildeo ao primeiro quadrante funccedilotildees trigonomeacutetricas seno cosseno e tangente transformaccedilotildees relaccedilotildees e

equaccedilotildees trigonomeacutetricas

2Matrizes definiccedilotildees tipos operaccedilotildees inversa determinantes matrizes de ordem 1 a 3 Teorema de Jacobi e de

Binet regra de Chioacute

3Equaccedilatildeo linear sistema linear definiccedilotildees tipos matriz associada equivalecircncia discussatildeo de sistema 2 x 2

escalonamento sistema 3 x 3 discussatildeo interpretaccedilatildeo geomeacutetrica

4Princiacutepio fundamental de contagem fatorial combinatoacuteria arranjos permutaccedilotildees e combinaccedilotildees simples

permutaccedilatildeo com repeticcedilatildeo binocircmio de Newton triacircngulo de Pascal

5Probabilidade experimento aleatoacuterio espaccedilo amostral evento probabilidade de um evento da uniatildeo de dois eventos

e condicional eventos dependentes e independentes lei binomial das probabilidades estatiacutestica e probabilidade

6Aacuterea de figuras planas aacuterea de poliacutegonos razatildeo entre aacutereas de figuras planas aacuterea do ciacuterculo do setor e da

coroa circular

7Geometria espacial de posiccedilatildeo posiccedilotildees relativas entre pontos retas e planos propriedades de paralelismo e de

perpendicularidade projeccedilatildeo ortogonal no plano distacircncias no espaccedilo

8

Figuras geomeacutetricas espaciais poliedros convexos e natildeo convexos relaccedilatildeo de Euler poliedros de Platatildeo poliedros

regulares definiccedilotildees e volumes de prismas retos princiacutepio de Cavalieri aacuterea da superfiacutecie e volume de um prisma

qualquer piracircmide natildeo poliedros cilindro cone troncos e esfera


1Matemaacutetica financeira porcentagem taxa acreacutescimos e descontos sucessivos juros simples e compostos juros e

funccedilotildees amortizaccedilatildeo

2

Geometria analiacutetica no plano plano cartesiano distacircncia entre dois pontos coordenadas de ponto meacutedio de

segmento e de baricentro de triacircngulo condiccedilatildeo de alinhamento de trecircs pontos equaccedilotildees geral e reduzida de reta

posiccedilatildeo relativa entre duas retas discussatildeo de sistemas acircngulo entre retas distacircncia entre ponto e reta inequaccedilatildeo

do 1deg grau com duas variaacuteveis

3Cocircnicas circunferecircncia posiccedilotildees relativas entre ponto retas e circunferecircncias elipse hipeacuterbole paraacutebola

definiccedilotildees elementos equaccedilotildees e representaccedilotildees graacuteficas

4Estatiacutestica variaacuteveis populaccedilatildeo amostra tabelas e graacuteficos medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo

distribuiccedilatildeo de frequecircncia intervalo de classe

5Nuacutemeros complexos definiccedilatildeo conjuntos operaccedilotildees moacutedulo conjugado produto como rotaccedilatildeo representaccedilotildees

algeacutebrica geomeacutetrica e trigonomeacutetrica

6

Polinocircmios definiccedilatildeo operaccedilotildees teorema do Resto e de dacuteAlambert dispositivo de Briot-Ruffini equaccedilotildees

polinomiais definiccedilatildeo teorema fundamental da aacutelgebra relaccedilotildees de Girard multiplicidade de uma raiz raiacutezes

racionais e complexas

84



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

Os conteuacutedos apresentados satildeo os esperados em uma coleccedilatildeo destinada ao Ensino Meacutedio Nos volumes entretanto a distribuiccedilatildeo dos campos da matemaacutetica escolar natildeo eacute equilibrada com exceccedilatildeo de nuacutemeros

No volume 1 observa-se atenccedilatildeo excessiva agrave aacutelgebra em detrimento dos demais campos A geo-metria recebe mais atenccedilatildeo no livro do 2ordm ano mas se manteacutem em equiliacutebrio no volume 3 com o estudo da geometria analiacutetica Os temas de estatiacutestica e probabilidade satildeo pouco valorizados com a abordagem de probabilidade concentrada em um capiacutetulo do livro 2 enquanto estatiacutestica aparece em apenas um capiacutetulo no volume 3

ltabordagem dos conteuacutedosgtltnuacutemerosgtNo campo merece destaque o estudo da anaacutelise combinatoacuteria Ele eacute pautado em situaccedilotildees-proble-mas que envolvem e valorizam o princiacutepio fundamental da contagem bem como em representaccedilotildees das possibilidades feitas por meio do diagrama de aacutervore e tabelas de dupla entrada Por outro lado alguns conceitos recebem muita atenccedilatildeo em prejuiacutezo de outros Eacute o caso de operaccedilotildees e simbologia de conjuntos cuja abordagem eacute privilegiada enquanto os conjuntos numeacutericos satildeo reapresentados no livro do 1ordm ano poreacutem de maneira aligeirada Em geral haacute poucas discussotildees mais aprofundadas

85

sobre nuacutemeros irracionais Os nuacutemeros complexos satildeo apresentados no volume 3 de forma direta sem preocupaccedilatildeo com a linguagem utilizada e com ecircnfase no tratamento algeacutebrico em detrimento do geomeacutetrico Eacute elogiaacutevel a articulaccedilatildeo entre os nuacutemeros complexos e a eletrodinacircmica realizada nas seccedilotildees Contexto As propostas de algumas verificaccedilotildees e demonstraccedilotildees a serem realizadas pelo estudante tambeacutem satildeo oportunas e estimulantes

ltaacutelgebragtA aacutelgebra eacute amplamente focalizada na obra com destaque para o estudo de funccedilotildees no volume 1 A abordagem inicial desse conceito eacute bem contextualizada em praacuteticas sociais mas seu tratamento como uma relaccedilatildeo entre conjuntos eacute inadequado A apresentaccedilatildeo de muitos graacuteficos com uso de translaccedilotildees eacute elogiaacutevel como se verifica na passagem das funccedilotildees lineares para as funccedilotildees afim Os graacuteficos das funccedilotildees logariacutetmicas satildeo traccedilados usando-se os das funccedilotildees exponenciais entre outros exemplos Na seccedilatildeo Contextos haacute contribuiccedilotildees significativas para o estudo de funccedilotildees com exem-plos de aplicaccedilotildees em assuntos como criptografia radioatividade e em exames de pressatildeo arterial Em matemaacutetica financeira satildeo elogiaacuteveis as discussotildees sobre acreacutescimos e descontos sucessivos sistemas de amortizaccedilatildeo e inflaccedilatildeo Apesar da boa contextualizaccedilatildeo dos assuntos privilegia-se o uso de foacutermulas em atividades como no estudo de juros simples e compostos

ltgeometriagtNas abordagens dos conceitos geomeacutetricos satildeo frequentes as contextualizaccedilotildees e as referecircncias his-toacutericas como ocorre nas demonstraccedilotildees dos teoremas de Tales e Pitaacutegoras e no estudo das leis dos senos e dos cossenos no volume 1 No volume 2 merece destaque a exploraccedilatildeo de meacutetodos pouco convencionais para mediccedilotildees de aacuterea O princiacutepio de Cavalieri eacute utilizado frequentemente e de for-ma apropriada na obtenccedilatildeo de foacutermulas para caacutelculo de volumes de figuras espaciais No livro 3 as cocircnicas satildeo acertadamente apresentadas como cortes de um cone Suas equaccedilotildees satildeo dadas sem demonstraccedilatildeo poreacutem seus desenvolvimentos estatildeo presentes no Manual do Professor A geometria analiacutetica estaacute concentrada no livro do 3ordm ano poreacutem a articulaccedilatildeo dos conteuacutedos com outros campos da matemaacutetica escolar eacute bem realizada No estudo da reta por exemplo haacute referecircncias agrave funccedilatildeo afim e a conexotildees com soluccedilotildees de um sistema linear No entanto quando se trata da paraacutebola explora-se pouco a inter-relaccedilatildeo com as funccedilotildees quadraacuteticas

ltprobabilidade e estatiacutesticagtNota-se uma boa articulaccedilatildeo entre os conceitos do campo mesmo com a abordagem concentrada de probabilidade no livro 2 e de estatiacutestica no volume 3 No estudo de probabilidades recorre-se a jogos de RPG e de campo minado Aleacutem disso satildeo frequentes as aplicaccedilotildees dos conteuacutedos em contextos extraescolares e na exploraccedilatildeo de temas atuais como anemia e geneacutetica entre outros Satildeo propostas atividades de pesquisa a serem desenvolvidas pelos estudantes mas natildeo se realizam discussotildees sobre coleta e tratamento de dados ou sobre a melhor maneira de representar dos resul-tados obtidos o que limita o estudo Satildeo abordados diferentes tipos de graacuteficos estatiacutesticos e suas caracteriacutesticas mas ao estudante natildeo eacute solicitado analisaacute-los mesmo que concisamente

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ltmetodologia do ensino e aprendizagemgtO incentivo agrave elaboraccedilatildeo de problemas por parte do estudante eacute um destaque na obra Muitas ativi-dades resolvidas ou propostas tambeacutem satildeo instigantes e podem contribuir para o desenvolvimento de habilidades como observaccedilatildeo exploraccedilatildeo e memorizaccedilatildeo No entanto a formulaccedilatildeo de hipoacutete-ses generalizaccedilatildeo e argumentaccedilatildeo natildeo satildeo incentivadas como seria desejaacutevel

Satildeo muitas as propostas de contextualizaccedilatildeo e as abordagens interdisciplinares dos assuntos mas nem todas cumprem satisfatoriamente o objetivo de dar mais significado aos conteuacutedos matemaacuteti-cos Especialmente nas aberturas dos capiacutetulos as imagens e os textos que visam despertar o inte-resse dos estudantes para os temas a serem tratados nem sempre estatildeo associados diretamente aos conceitos explorados que se seguem Tanto no Livro do Estudante quanto no Manual do Professor haacute boas sugestotildees de uso de calculadora e de dois softwares livres

ltcontextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridadegtEm todos os livros encontram-se sugestotildees e orientaccedilotildees apropriadas para o trabalho conjunto com professores de outras aacutereas assim como propostas de realizaccedilatildeo de experimentos Haacute exemplos de uso de modelos matemaacuteticos de diferentes tipos relacionados a diversas aacutereas do conhecimento como Economia Geografia Artes Fiacutesica Biologia

A apresentaccedilatildeo de meacutetodos matemaacuteticos que natildeo satildeo comumente usados como a cubaccedilatildeo da terra e o meacutetodo de Francon eacute uma maneira elogiaacutevel de explorar a histoacuteria da Matemaacutetica e ainda ampliar o universo cultural dos estudantes

ltformaccedilatildeo para a cidadaniagtTemas voltados agrave diversidade brasileira ao meio ambiente e agrave sauacutede estatildeo presentes em textos e atividades variadas nas seccedilotildees Contexto e Ser consciente Reciclagem planejamento urbano e con-gestionamento de veiacuteculos envelhecimento da populaccedilatildeo dengue e doenccedilas associadas agrave alimen-taccedilatildeo errada satildeo alguns dos assuntos focalizados Percebe-se ainda o papel relevante das imagens presentes na coleccedilatildeo pois complementam satisfatoriamente os textos e as informaccedilotildees

ltprojeto editorial projeto graacutefico e linguagemgtA linguagem utilizada na coleccedilatildeo eacute adequada tanto em relaccedilatildeo ao vocabulaacuterio empregado quan-to ao uso de vaacuterios tipos de texto Algumas vezes palavras que podem ser desconhecidas para os estudantes de Ensino Meacutedio satildeo explicadas na lateral da paacutegina De modo geral haacute clareza nas apresentaccedilotildees de conceitos e enunciados de atividades

ltmanual do professorgtAs atividades complementares contidas no Manual do Professor podem contribuir para uma abor-dagem mais significativa de alguns dos temas estudados Tambeacutem permitem enriquecer o estudo das funccedilotildees quadraacuteticas pois apresentam sugestatildeo de atividade sobre o assunto com o uso do sof-tware Geogebra Aleacutem disso apresentam a deduccedilatildeo das equaccedilotildees das cocircnicas o que complementa o Livro do Estudante

87

Sente-se falta de orientaccedilotildees mais especiacuteficas e detalhadas sobre as resoluccedilotildees das atividades propos-tas no Livro do Estudante Poucas vezes haacute antecipaccedilatildeo de possiacuteveis estrateacutegias desenvolvidas pelos estudantes As reflexotildees sobre as escolhas didaacuteticas adotadas na coleccedilatildeo e as discussotildees sobre o tra-balho do professor satildeo resumidas A maioria das deduccedilotildees loacutegicas presentes no Manual do Professor precisa ser repensada antes de sua apresentaccedilatildeo em classe de maneira a natildeo inibir o papel ativo do estudante e a estimular a sua participaccedilatildeo na construccedilatildeo de demonstraccedilotildees

em sala de aula

Sugere-se ao professor aproveitar a variedade de textos que possibilitam um trabalho interdiscipli-nar para em conjunto com docentes de outras aacutereas elaborar atividades interessantes

Eacute preciso estar atento agraves demonstraccedilotildees apresentadas no Livro do Estudante especialmente nos casos de deduccedilotildees feitas de forma aligeirada muitas vezes sem justificativas e sem o rigor necessaacuterio Tam-beacutem eacute oportuno discutir com os estudantes a diferenccedila entre verificaccedilotildees numeacutericas e demonstraccedilotildees

Eacute recomendaacutevel ainda planejar com antecedecircncia o desenvolvimento das atividades que utilizam softwares livres para que realmente possam favorecer a aprendizagem

88

O Manual do Professor eacute um destaque na coleccedilatildeo pois aleacutem da concepccedilatildeo de avaliaccedilatildeo apresentada conteacutem sugestotildees de encaminhamentos para a abordagem dos conceitos com atividades e questio-namentos que natildeo estatildeo presentes no Livro do Estudante

Os temas de estudo satildeo apresentados por meio de situaccedilotildees contextualizadas logo em seguida sis-tematizados com uso adequado da linguagem matemaacutetica

A distribuiccedilatildeo dos conteuacutedos natildeo eacute feita de forma equilibrada nos volumes da coleccedilatildeo o que dificulta a articulaccedilatildeo entre os diferentes campos da matemaacutetica escolar

Ressalta-se o uso de softwares tanto no estudo da aacutelgebra quanto da geometria


Na coleccedilatildeo cada volume eacute dividido em 10 capiacutetulos nos quais o conteuacutedo eacute organizado em toacutepi-cos com explicaccedilotildees e exemplos seguidos das seccedilotildees Exerciacutecios Resolvidos Exerciacutecios Propostos Criando problemas Conectado Questotildees para reflexatildeo e Mentes brilhantes com a apresentaccedilatildeo de fatos histoacutericos relacionados ao conteuacutedo trabalhado Aleacutem disso encontram-se as seccedilotildees Exerciacutecios

MANOEL PAIVA

0180P18023

MODERNA


MATEMAacuteTICA - PAIVA

visatildeo geral

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complementares Trabalhando em equipe que se subdividem em Anaacutelise da resoluccedilatildeo e Matemaacutetica sem fronteiras com aplicaccedilotildees dos conceitos estudados e Preacute-requisitos para o capiacutetulo seguinte Ao final de cada volume haacute Indicaccedilotildees de leituras complementares Respostas das atividades propostas Lista de siglas e a Bibliografia O livro do 2ordm ano inclui um Apecircndice com moldes de planificaccedilotildees de soacutelidos geomeacutetricos

O Manual do Professor estaacute dividido nas denominadas Parte Geral e Parte Especiacutefica A primeira traz os pressupostos teoacuterico-metodoloacutegicos e a proposta didaacutetico-pedagoacutegica da coleccedilatildeo as caracteriacutesti-cas e a organizaccedilatildeo do Livro do Estudante e a concepccedilatildeo de avaliaccedilatildeo adotada Conteacutem ainda leitu-ras para o professor e para o estudante e sugestotildees de atividades de desenvolvimento do pensamen-to cientiacutefico Ao final satildeo discutidos a organizaccedilatildeo dos conteuacutedos e os objetivos de cada um de seus capiacutetulos A Parte Especiacutefica eacute composta por trecircs toacutepicos os quais incluem atividades e sugestotildees para o trabalho em sala de aula nas seccedilotildees Sugestotildees para o desenvolvimento dos capiacutetulos e Suges-totildees para o desenvolvimento dos infograacuteficos Por fim haacute a seccedilatildeo Resoluccedilatildeo de exerciacutecios propostos



1

Conjunto notas histoacutericas conceitos primitivos representaccedilotildees unitaacuterio e vazio finito e infinito subconjunto

igualdade de conjuntos universo operaccedilotildees cardinalidade conjuntos numeacutericos naturais inteiros racionais

irracionais reais eixo real intervalo real

2Equaccedilotildees e inequaccedilotildees polinomiais do 1ordm grau sistemas de equaccedilotildees polinomiais do 1ordm grau equaccedilotildees polinomiais

do 2ordm grau matemaacutetica financeira porcentagem juros simples juro composto montante

3

Geometria notas histoacutericas poliacutegono definiccedilatildeo convexo regular triacircngulo classificaccedilatildeo elementos acircngulos

propriedades segmentos proporcionais Teorema de Tales semelhanccedila de figuras planas semelhanccedila de triacircngulos

relaccedilotildees meacutetricas no triacircngulo retacircngulo

4

Circunferecircncia e ciacuterculo arcos e cordas posiccedilotildees relativas entre reta e circunferecircncia entre duas circunferecircncias

Circunferecircncia acircngulos periacutemetro aacuterea unidades retacircngulo quadrado paralelogramo triacircngulo hexaacutegono

regular trapeacutezio losango ciacuterculo setor e coroa circular

5Sistema de coordenadas funccedilatildeo conceito representaccedilotildees imagem funccedilatildeo real de variaacutevel real domiacutenio e

contradomiacutenio zero variaccedilatildeo taxa meacutedia de variaccedilatildeo funccedilotildees inversas

6Funccedilatildeo afim graacutefico funccedilatildeo linear propriedades proporcionalidade funccedilatildeo definida por mais de uma sentenccedila

variaccedilatildeo do sinal de funccedilatildeo afim inequaccedilotildees produto e quociente

7 Funccedilatildeo quadraacutetica graacutefico pontos notaacuteveis da paraacutebola maacuteximo e miacutenimo variaccedilatildeo do sinal inequaccedilotildees do 2ordm grau

8Distacircncia entre dois pontos do eixo real moacutedulo de um nuacutemero real propriedades do moacutedulo equaccedilotildees

inequaccedilotildees funccedilotildees

9

Potecircncia de expoente inteiro definiccedilatildeo propriedades notaccedilatildeo cientiacutefica radiciaccedilatildeo de nuacutemeros reais definiccedilatildeo

propriedades simplificaccedilatildeo operaccedilotildees potecircncia de expoente racional e irracional funccedilatildeo exponencial definiccedilatildeo

graacutefico propriedades equaccedilatildeo exponencial

10Logaritmo notas histoacutericas definiccedilatildeo decimal propriedades funccedilatildeo logariacutetmica definiccedilatildeo propriedades funccedilotildees

logariacutetmica e exponencial equaccedilotildees logariacutetmicas

90


1

Sequecircncia definiccedilatildeo termos lei de formaccedilatildeo progressatildeo aritmeacutetica definiccedilatildeo classificaccedilatildeo foacutermula do termo

geral propriedades representaccedilatildeo geneacuterica soma dos n primeiros termos progressatildeo aritmeacutetica e funccedilatildeo afim

progressatildeo geomeacutetrica definiccedilatildeo classificaccedilatildeo foacutermula do termo geral propriedades representaccedilatildeo geneacuterica

soma dos n primeiros termos soma dos infinitos termos progressatildeo geomeacutetrica e a funccedilatildeo exponencial

2Trigonometria no triacircngulo retacircngulo fatos histoacutericos razotildees trigonomeacutetricas relaccedilotildees entre seno cosseno e

tangente acircngulos notaacuteveis

3

Circunferecircncia trigonomeacutetrica radiano transformaccedilotildees de unidade arcos trigonomeacutetricos arcos cocircngruos relaccedilatildeo com

os nuacutemeros reais simetrias seno e cosseno de um arco trigonomeacutetrico variaccedilatildeo de sinal do seno e cosseno reduccedilatildeo ao

1ordm quadrante relaccedilatildeo fundamental da trigonometria equaccedilotildees trigonomeacutetricas

4

Tangente de um arco trigonomeacutetrico definiccedilatildeo variaccedilatildeo como razatildeo do seno pelo cosseno reduccedilatildeo ao 1ordm

quadrante equaccedilotildees trigonomeacutetricas secante cossecante cotangente seno cosseno e tangente da soma de arcos

do arco duplo

5

Funccedilotildees trigonomeacutetricas definiccedilotildees graacutefico do seno e do cosseno periacuteodo movimentos perioacutedicos definiccedilatildeo relaccedilatildeo

com as funccedilotildees trigonomeacutetricas movimento circular e movimento perioacutedico ndash resoluccedilatildeo de triacircngulos Lei dos senos e

dos cossenos aacuterea de um triacircngulo

6Anaacutelise combinatoacuteria princiacutepio fundamental da contagem princiacutepio aditivo de contagem fatorial definiccedilatildeo

propriedades

7 Contagem arranjos permutaccedilotildees permutaccedilotildees com elementos repetidos combinaccedilotildees simples

8

Geometria reta plano figuras planas e natildeo-planas o espaccedilo e suas partes posiccedilotildees relativas entre duas retas

determinaccedilatildeo de um plano posiccedilotildees relativas entre reta e plano dois planos perpendicularidade projeccedilatildeo ortogonal

sobre um plano acircngulos no espaccedilo poliedros poliedros regulares

9

Prisma definiccedilatildeo elementos seccedilatildeo transversal nomenclatura classificaccedilatildeo aacutereas lateral e total do prisma

paralelepiacutepedo reto-retacircngulo cubo medida da diagonal aacuterea total volume unidade de paralelepiacutepedo reto-

retacircngulo cubo volume de um prisma Princiacutepio de Cavalieri piracircmide definiccedilatildeo elementos seccedilatildeo transversal

aacutereas lateral e total classificaccedilatildeo piracircmide regular volume tronco de piracircmide

10

Cilindro definiccedilatildeo elementos seccedilotildees classificaccedilatildeo propriedades aacutereas lateral e total volume cone definiccedilatildeo

elementos seccedilotildees classificaccedilatildeo propriedades cone circular reto relaccedilatildeo com teorema de Pitaacutegoras aacutereas lateral e

total volume tronco esfera definiccedilatildeo posiccedilotildees relativas entre um plano e uma esfera volume aacuterea da superfiacutecie

esferas tangentes fuso esfeacuterico e cunha esfeacuterica


1Probabilidade fatos histoacutericos experimentos aleatoacuterios espaccedilo amostral evento definiccedilatildeo eventos

complementares propriedades adiccedilatildeo condicional eventos independentes multiplicaccedilatildeo

2

Estatiacutestica conceitos preliminares planejamento de uma pesquisa populaccedilatildeo amostra variaacutevel organizaccedilatildeo e

representaccedilatildeo de dados distribuiccedilatildeo de frequecircncias em tabelas e graacuteficos para variaacuteveis qualitativas em classes

unitaacuterias e dados agrupados medida de tendecircncia central meacutedia aritmeacutetica meacutedia aritmeacutetica ponderada moda

mediana medidas de dispersatildeo desvio absoluto meacutedio variacircncia desvio padratildeo

91

3Matriz fatos histoacutericos definiccedilatildeo representaccedilatildeo tipos de matrizes igualdade entre matrizes operaccedilotildees com

matrizes

4Equaccedilatildeo linear definiccedilatildeo classificaccedilatildeo sistema linear definiccedilatildeo classificaccedilatildeo representaccedilatildeo graacutefica resoluccedilatildeo

sistemas lineares equivalentes escalonamento

5Determinante fatos histoacutericos de ordem 2 de ordem 3 generalizaccedilatildeo discussatildeo de um sistema linear sistema

linear homogecircneo

6

Geometria Analiacutetica fatos histoacutericos distacircncia entre dois pontos ponto meacutedio de um segmento reta determinaccedilatildeo

condiccedilatildeo de alinhamento entre trecircs pontos equaccedilatildeo fundamental bissetrizes dos quadrantes e retas horizontais e

verticais

7 Reta equaccedilatildeo geral equaccedilatildeo reduzida equaccedilotildees parameacutetricas

8Distacircncia entre ponto e reta aacuterea de um triacircngulo condiccedilatildeo de alinhamento de trecircs pontos representaccedilatildeo graacutefica

de uma inequaccedilatildeo do 1ordm grau

9Circunferecircncia equaccedilatildeo reduzida equaccedilatildeo geral posiccedilotildees relativas entre ponto e circunferecircncia reta e

circunferecircncia intersecccedilatildeo entre uma reta e uma circunferecircncia

10 Cocircnicas seccedilotildees do cone fatos histoacutericos elipse hipeacuterbole paraacutebola



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

Os conteuacutedos dos campos da matemaacutetica escolar satildeo abordados na obra No entanto a sua distri-buiccedilatildeo em cada um dos livros mostra-se inadequada Tanto geometria analiacutetica quanto estatiacutestica

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e probabilidade estatildeo presentes apenas no volume 3 Aleacutem disso o campo dos nuacutemeros natildeo eacute estu-dado neste uacuteltimo volume Essa escolha dificulta a articulaccedilatildeo entre os conhecimentos de campos matemaacuteticos distintos Conveacutem observar ainda a ausecircncia de conceitos comumente presentes no Ensino Meacutedio como os nuacutemeros binomiais e o binocircmio de Newton polinocircmios e equaccedilotildees polino-miais de grau maior do que 3

ltabordagem dos conteuacutedosgtltnuacutemerosgtNo campo dos nuacutemeros recorre-se adequadamente a diferentes tipos de representaccedilotildees para a abor-dagem e demonstraccedilatildeo de propriedades em especial no estudo de conjuntos Acertadamente o estudo dos irracionais inicia-se com a determinaccedilatildeo do comprimento da diagonal do quadrado de lado unitaacuterio Contudo natildeo se esclarece que tal medida natildeo se refere ao mundo fiacutesico apenas agrave teoria matemaacutetica

No trabalho realizado com a anaacutelise combinatoacuteria haacute atenccedilatildeo apropriada a aspectos conceituais dos diferentes tipos de agrupamentos ao uso do princiacutepio fundamental da contagem e ao trabalho com conjecturas sobre foacutermulas de arranjos combinaccedilotildees e permutaccedilotildees Entretanto na resoluccedilatildeo de problemas natildeo satildeo incentivadas estrateacutegias diversificadas como a listagem de possibilidades e o diagrama de aacutervores

ltaacutelgebragtOs conceitos relacionados a funccedilotildees satildeo apresentados de maneira clara por meio de situaccedilotildees con-textualizadas com destaque para os infograacuteficos presentes na abertura de alguns capiacutetulos Aleacutem disso eacute acertado o uso de diferentes representaccedilotildees de funccedilotildees Tambeacutem satildeo elogiaacuteveis a escolha de atividades e situaccedilotildees-problema diversificadas e instigantes bem como a utilizaccedilatildeo de softwares que favorecem a percepccedilatildeo de regularidades das funccedilotildees

As articulaccedilotildees feitas entre diferentes sequecircncias e o conceito de funccedilatildeo satildeo apropriadas A partir daiacute aprofunda-se o estudo das progressotildees aritmeacuteticas e geomeacutetricas com uso de boas situaccedilotildees-problema As demonstraccedilotildees de propriedades e a obtenccedilatildeo de foacutermulas satildeo igualmente feitas de maneira clara

Eacute acertada a aplicaccedilatildeo do meacutetodo de escalonamento para a resoluccedilatildeo de sistemas lineares Poreacutem natildeo haacute a desejaacutevel articulaccedilatildeo desse tema com o conceito de matriz discutido anteriormente

ltgeometriagtNeste campo as demonstraccedilotildees satildeo frequentes e realizadas com o rigor adequado o que contribui para a aprendizagem do meacutetodo axiomaacutetico-dedutivo Isso ocorre tanto no estudo das foacutermulas das aacutereas de poliacutegonos e de propriedades trigonomeacutetricas quanto na aplicaccedilatildeo do princiacutepio de Cavalieri para o estudo do volume dos soacutelidos geomeacutetricos Poreacutem durante a explanaccedilatildeo das foacutermulas natildeo eacute dada atenccedilatildeo necessaacuteria aos casos em que as medidas dos segmentos satildeo irracionais

No volume 2 a trigonometria eacute abordada em excesso Aleacutem disso ao trabalhar-se a trigonometria no triacircngulo retacircngulo as situaccedilotildees mesmo as que envolvem contextos sociais e matemaacuteticos se redu-zem ao caacutelculo de distacircncias e de comprimento de segmentos desconhecidos o que natildeo eacute pertinente

93

Na geometria analiacutetica o estudo da reta eacute feito de maneira satisfatoacuteria com diversas integraccedilotildees entre figuras e suas representaccedilotildees algeacutebricas Por vezes haacute ecircnfase demasiada em regras e foacutermulas

ltestatiacutestica e probabilidadegtOs conceitos da probabilidade claacutessica satildeo abordados de forma clara Poreacutem natildeo se discute adequa-damente a diferenccedila entre possibilidade e chance Satildeo propostas prioritariamente atividades com um contexto limitado de experimentos entre os quais o lanccedilamento de uma moeda ou de um dado e a retirada de bolas coloridas de um recipiente Observa-se ainda o uso exagerado de foacutermulas

Em estatiacutestica satildeo bem apresentadas as ideias de universo de amostra e de variaacuteveis estatiacutesticas Tambeacutem satildeo focalizados os vaacuterios tipos de graacuteficos e de tabelas poreacutem sente-se falta de uma discus-satildeo mais aprofundada dos criteacuterios para a escolha de qual deles eacute mais apropriado para a represen-taccedilatildeo de diferentes dados De maneira satisfatoacuteria satildeo discutidas algumas etapas do planejamento de uma pesquisa estatiacutestica como a escolha do tema e do universo amostral a organizaccedilatildeo e a apre-sentaccedilatildeo dos dados coletados Entretanto o estudante natildeo eacute incentivado a colocar em praacutetica tais noccedilotildees As medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo satildeo discutidas de maneira elogiaacutevel sendo ressaltados seus benefiacutecios suas limitaccedilotildees e complementaridades

ltmetodologia do ensino e aprendizagemgtNo iniacutecio dos capiacutetulos abordam-se situaccedilotildees que visam contextualizar os conteuacutedos e motivar os estudantes para o estudo A formalizaccedilatildeo dos conceitos e das propriedades desses conceitos eacute se-guida de exerciacutecios resolvidos e outros a resolver As atividades propostas favorecem o desenvolvi-mento de competecircncias importantes como observaccedilatildeo compreensatildeo generalizaccedilatildeo investigaccedilatildeo de hipoacuteteses e argumentaccedilatildeo Nessas atividades tambeacutem eacute adequada a diversidade de situaccedilotildees e habilidades envolvidas que apresentam diferentes niacuteveis de dificuldade

As interaccedilotildees entre os estudantes e destes com o professor satildeo incentivadas nas seccedilotildees Trabalhando em equipe Destaca-se o uso sistemaacutetico de recursos tecnoloacutegicos na resoluccedilatildeo de atividades esco-lha que favorece o ensino e a aprendizagem

ltcontextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridadegtAo longo da coleccedilatildeo enfatiza-se o papel relevante da Matemaacutetica para a resoluccedilatildeo de problemas re-lacionados a praacuteticas sociais e a diferentes aacutereas do saber Poreacutem as contribuiccedilotildees dessas aacutereas para o desenvolvimento de modelos matemaacuteticos natildeo satildeo abordadas adequadamente Jaacute o uso da histoacuteria da Matemaacutetica eacute bem feito o que pode beneficiar a formaccedilatildeo do estudante e contribuir efetivamen-te para a compreensatildeo desta ciecircncia como uma criaccedilatildeo social de diversas culturas

ltformaccedilatildeo para a cidadaniagtA diversidade eacutetnica de gecircneros e de faixa etaacuteria transparece ao longo da coleccedilatildeo em especial nas ilustraccedilotildees Temas socioambientais de sauacutede e de mobilidade satildeo contexto para diversas das atividades propostas No entanto eacute importante salientar que algumas delas mantecircm seu foco estri-tamente em discussotildees matemaacuteticas

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ltprojeto editorial projeto graacutefico e linguagemgtO projeto graacutefico da coleccedilatildeo eacute bem organizado Satildeo apresentados satisfatoriamente sumaacuterios tiacutetulos e subtiacutetulos que facilitam a leitura aleacutem dos elementos necessaacuterios para a identificaccedilatildeo das fontes das diversas imagens e graacuteficos A linguagem utilizada eacute clara e precisa

ltmanual do professorgtO Manual eacute um oacutetimo apoio agrave atuaccedilatildeo em sala de aula e agrave formaccedilatildeo continuada do professor Haacute uma boa discussatildeo sobre o papel do estudo da Matemaacutetica no desenvolvimento do estudante e o tema da avaliaccedilatildeo recebe atenccedilatildeo especial Isso ocorre tanto em reflexotildees teoacutericas quanto em sugestotildees de encaminhamentos em sala de aula como a perspectiva da anaacutelise de erros Aleacutem da correccedilatildeo detalhada de todos os exerciacutecios encontram-se sugestotildees de atividades extras e encaminhamentos metodoloacutegicos a serem desenvolvidos com os estudantes No entanto sente-se falta de reflexotildees sobre possiacuteveis dificuldades que os estudantes podem enfrentar no estudo dos conceitos

em sala de aula

Eacute importante que o professor decirc atenccedilatildeo agraves seccedilotildees Questotildees para Reflexatildeo e Anaacutelise de Resolu-ccedilatildeo que podem incentivar a postura investigativa e argumentativa dos estudantes a respeito dos conteuacutedos estudados

Devido ao enfoque matemaacutetico predominante nas atividades as temaacuteticas de contextualizaccedilatildeo in-terdisciplinaridade formaccedilatildeo cidadatilde e espiacuterito criacutetico merecem atenccedilatildeo no trabalho em sala Vale a pena propor questionamentos e reflexotildees que natildeo estatildeo presentes na obra

Alguns temas normalmente focalizados no Ensino Meacutedio natildeo satildeo tratados na coleccedilatildeo por exemplo os nuacutemeros binomiais e o binocircmio de Newton polinocircmios e equaccedilotildees polinomiais de grau maior do que 3 Assim sugere-se ao docente buscar auxiacutelio em outras fontes para o desenvolvimento dos conteuacutedos caso esses conceitos estejam previstos em seu planejamento

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A coleccedilatildeo se destaca pela contextualizaccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico no que diz respeito agraves praacute-ticas sociais e a outras aacutereas do conhecimento que eacute feita de forma a auxiliar o estudante a ampliar sua compreensatildeo sobre esses contextos No entanto na abordagem dos conteuacutedos por vezes essa contextualizaccedilatildeo natildeo eacute problematizada dando-se mais ecircnfase aos aspectos procedimentais Inova-se ao incluir a seccedilatildeo Autoavaliaccedilatildeo na qual o estudante tem um recurso que pode auxiliaacute-lo a identificar os conteuacutedos que precisa rever e ampliar Isso contribui para que ele desenvolva sua autonomia

O Manual do Professor traz boas contribuiccedilotildees para a formaccedilatildeo continuada docente especialmente em relaccedilatildeo agrave vantagem da perspectiva interdisciplinar associada agrave gestatildeo do tempo agrave aprendizagem dos estudantes e agrave visatildeo global e articulada dos conteuacutedos


Os livros da coleccedilatildeo estatildeo organizados em capiacutetulos subdivididos em toacutepicos A abertura dos ca-piacutetulos eacute composta de imagens e textos com a apresentaccedilatildeo dos objetivos a serem alcanccedilados O desenvolvimento dos toacutepicos inicia-se com uma explanaccedilatildeo do assunto seguida de exemplos exer-ciacutecios resolvidos e propostos Todos os capiacutetulos incluem apoacutes os toacutepicos de conteuacutedos as seccedilotildees Exerciacutecios complementares e Autoavaliaccedilatildeo Em alguns deles tambeacutem estatildeo presentes outras seccedilotildees

FABIO MARTINS DE LEONARDO

0195P18023

MODERNA


CONEXOtildeES COM A MATEMAacuteTICA

visatildeo geral

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Pesquisa e accedilatildeo com atividades para serem realizadas em grupos e Compreensatildeo de texto que rela-ciona assuntos de determinados capiacutetulos a outros contextos Ao longo dos capiacutetulos encontram-se ainda os boxes Observaccedilatildeo Reflita e Explore Ao final dos volumes haacute sugestotildees de leitura respostas das atividades propostas uma lista de siglas de instituiccedilotildees de ensino e a bibliografia da obra

O Manual do Professor traz a coacutepia do Livro do Estudante com respostas dos exerciacutecios propostos e algumas orientaccedilotildees de trabalho Tambeacutem inclui o suplemento denominado Guia do professor que se divide em uma parte geral a todos os volumes e outra especiacutefica a cada um deles Na primeira satildeo apresentados pressupostos teoacutericos e objetivos da coleccedilatildeo organizaccedilatildeo e estrutura da obra sugestotildees de consulta para o professor e de leitura para o estudante aleacutem de textos para reflexotildees sobre a educaccedilatildeo a importacircncia do livro didaacutetico a interdisciplinaridade a avaliaccedilatildeo a formaccedilatildeo e o desenvolvimento profissional Na segunda parte encontram-se atividades extras para o estudante e resoluccedilotildees para todas as atividades propostas organizadas por capiacutetulos


1Razatildeo proporccedilatildeo criteacuterios de arredondamento porcentagem - estatiacutestica populaccedilatildeo amostra variaacuteveis

organizaccedilatildeo de dados em tabelas e graacuteficos distribuiccedilatildeo de frequecircncia

2Conjuntos noccedilotildees baacutesicas operaccedilotildees conjuntos numeacutericos naturais inteiros racionais irracionais e reais

intervalos

3 Funccedilatildeo conceito graacutefico polinomial definida por mais de uma sentenccedila inversa

4 Funccedilatildeo afim definiccedilatildeo graacutefico inequaccedilotildees do 1ordm grau identificaccedilatildeo do domiacutenio de uma funccedilatildeo afim

5Funccedilatildeo quadraacutetica definiccedilatildeo graacutefico inequaccedilotildees do 2ordm grau identificaccedilatildeo do domiacutenio de uma funccedilatildeo

quadraacutetica

6Moacutedulo de um nuacutemero real funccedilatildeo modular definiccedilatildeo e graacuteficos equaccedilotildees modulares inequaccedilotildees modulares

identificaccedilatildeo do domiacutenio de uma funccedilatildeo modular

7Potenciaccedilatildeo definiccedilotildees e propriedades funccedilatildeo exponencial definiccedilatildeo graacuteficos crescimento e decrescimento

equaccedilotildees exponenciais e sistemas inequaccedilotildees exponenciais

8Logaritmo definiccedilatildeo e propriedades funccedilatildeo logariacutetmica definiccedilatildeo e graacutefico crescimento e decrescimento relaccedilatildeo

com a funccedilatildeo exponencial equaccedilotildees logariacutetmicas e sistemas inequaccedilotildees logariacutetmicas

9Sequecircncias numeacutericas e padrotildees progressotildees aritmeacuteticas termo geral interpretaccedilatildeo graacutefica soma de termos

progressotildees geomeacutetricas termo geral interpretaccedilatildeo graacutefica soma de termos problemas que envolvem PA e PG

10Proporcionalidade entre segmentos teorema de Tales semelhanccedila de poliacutegonos semelhanccedila de triacircngulos

teorema de Pitaacutegoras

11Razotildees trigonomeacutetricas seno cosseno e tangente relaccedilatildeo fundamental da trigonometria seno cosseno e tangente

de acircngulos notaacuteveis tabela trigonomeacutetrica

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1Arcos de circunferecircncia comprimento medida angular grau e radiano ciclo trigonomeacutetrico seno cosseno e

tangente relaccedilatildeo fundamental da trigonometria equaccedilotildees trigonomeacutetricas

2 Funccedilotildees perioacutedicas ciclo trigonomeacutetrico funccedilatildeo seno funccedilatildeo cosseno funccedilatildeo tangente construccedilatildeo de graacuteficos

3Trigonometria em um triacircngulo qualquer lei dos senos lei dos cossenos secante cosseno e cotangente equaccedilotildees

trigonomeacutetricas adiccedilatildeo de arcos

4Poliacutegonos regulares e circunferecircncia relaccedilotildees meacutetricas - aacutereas de superfiacutecies planas quadrilaacuteteros triacircngulos e

poliacutegonos regulares comprimento da circunferecircncia e aacuterea do ciacuterculo

5Geometria espacial ideias gerais noccedilotildees primitivas postulados e teoremas posiccedilotildees relativas entre retas planos

retas e planos paralelismo e perpendicularidade projeccedilotildees ortogonais e distacircncias acircngulos e diedros

6

Soacutelidos geomeacutetricos e figuras planas poliedros definiccedilatildeo elementos convexos e natildeo convexos relaccedilatildeo de Euler

planificaccedilatildeo prismas e piracircmides definiccedilatildeo elementos classificaccedilatildeo relaccedilotildees meacutetricas planificaccedilatildeo aacuterea de

superfiacutecies e volumes princiacutepio de Cavalieri tronco de piracircmide elementos volume

7Corpos redondos ideia cilindro cone e esfera definiccedilatildeo elementos classificaccedilatildeo planificaccedilatildeo secccedilotildees relaccedilotildees

meacutetricas aacuterea de superfiacutecies e volumes tronco de cone elementos e volume

8Matriz representaccedilatildeo igualdade tipos especiais adiccedilatildeo subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo por um nuacutemero real

multiplicaccedilatildeo de duas matrizes determinante

9Equaccedilotildees lineares sistemas de equaccedilotildees lineares ideias definiccedilatildeo soluccedilotildees classificaccedilotildees sistema homogecircneo

matrizes associadas a um sistema escalonamento sistemas equivalentes

10Combinatoacuteria contagem situaccedilotildees representaccedilotildees princiacutepio multiplicativo fatorial de um nuacutemero permutaccedilotildees

simples e com elementos repetidos arranjos simples combinaccedilotildees simples

98


1Matemaacutetica financeira taxa percentual aumentos e descontos sucessivos lucro e prejuiacutezo montante juro simples

juro composto

2

Experimento aleatoacuterio espaccedilo amostral eventos simples certo e impossiacutevel definiccedilatildeo de probabilidade

eventos complementares mutuamente exclusivos probabilidade condicional definiccedilatildeo eventos dependentes e

independentes meacutetodo binomial

3Estatiacutestica populaccedilatildeo amostra variaacuteveis frequecircncias absoluta relativa e acumulada distribuiccedilatildeo de frequecircncias

para dados agrupados representaccedilotildees graacuteficas frequecircncia relativa e probabilidade

4Medidas de tendecircncia central meacutedia mediana moda para dados agrupados em intervalos medidas de dispersatildeo

desvio meacutedio variacircncia e desvio padratildeo para dados agrupados em intervalos

5

Plano cartesiano ponto distacircncia entre pontos coordenadas do ponto meacutedio condiccedilotildees de alinhamento retas

equaccedilotildees inclinaccedilatildeo e coeficiente angular posiccedilatildeo relativa entre duas retas no plano acircngulos formados entre retas

concorrentes distacircncia a um ponto inequaccedilotildees do 1ordm grau com duas incoacutegnitas - aacuterea de uma superfiacutecie triangular

6Circunferecircncia lugar geomeacutetrico plano equaccedilotildees posiccedilotildees relativas entre ponto e circunferecircncia reta e

circunferecircncia duas circunferecircncias

7 Seccedilotildees cocircnicas elipse paraacutebola e hipeacuterbole definiccedilotildees elementos e equaccedilotildees

8Nuacutemeros complexos unidade imaginaacuteria representaccedilatildeo algeacutebrica igualdade conjunto operaccedilotildees conjugado

representaccedilotildees geomeacutetricas vetorial e trigonomeacutetrica operaccedilotildees na forma trigonomeacutetrica

9Polinocircmios grau valor numeacuterico igualdade operaccedilotildees teoremas do resto e de DrsquoAlambert equaccedilotildees polinomiais

raiz Teorema Fundamental da Aacutelgebra Teorema da decomposiccedilatildeo relaccedilatildeo de Girard

99



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

Na coleccedilatildeo satildeo trabalhados os conteuacutedos dos campos da matemaacutetica escolar com maior atenccedilatildeo ao estudo de aacutelgebra e geometria como eacute esperado para o Ensino Meacutedio No entanto a aacutelgebra recebe tratamento acima do desejaacutevel no 1ordm livro e a geometria no 2ordm Os conteuacutedos de estatiacutestica e probabilidade por sua vez natildeo satildeo explorados no volume do 2ordm ano concentrando-se no livro 3 O campo de nuacutemeros eacute o que se distribui de maneira mais uniforme na coleccedilatildeo Essa forma de organizaccedilatildeo pode comprometer o trabalho de articulaccedilatildeo interna agrave matemaacutetica escolar

ltabordagem dos conteuacutedosgtltnuacutemerosgtOs conjuntos numeacutericos satildeo abordados de modo sucinto em especial no que concerne agraves necessi-dades funcionalidades e caracteriacutesticas de cada um Assim satildeo exploradas acertadamente tanto as diferentes representaccedilotildees dos nuacutemeros racionais como a noccedilatildeo de subconjuntos dos nuacutemeros reais por meio de intervalos Recorre-se agrave histoacuteria da Matemaacutetica na obtenccedilatildeo de radic2 e a uma demonstraccedilatildeo apropriada de sua irracionalidade para iniciar o estudo dos nuacutemeros irracionais As noccedilotildees e opera-ccedilotildees com nuacutemeros complexos satildeo desenvolvidas com maior ecircnfase no trabalho com as representaccedilotildees algeacutebrica e trigonomeacutetrica O estudo da anaacutelise combinatoacuteria eacute bem conduzido por meio de situaccedilotildees significativas e sistematizaccedilotildees que partem sempre de casos particulares antes das generalizaccedilotildees

100

ltaacutelgebragtO trabalho com aacutelgebra baseia-se na exploraccedilatildeo de problemas interessantes adequados e contextu-alizados que oferecem informaccedilotildees atualizadas O estudo das noccedilotildees e representaccedilotildees das funccedilotildees afim quadraacutetica exponencial logariacutetmicas e trigonomeacutetricas assim como o das sequecircncias numeacuteri-cas e da matemaacutetica financeira satildeo desenvolvidos de modo equilibrado Em geral os conteuacutedos ma-temaacuteticos satildeo articulados entre si com situaccedilotildees praacuteticas e com outras aacutereas do conhecimento Por exemplo haacute boas relaccedilotildees entre as noccedilotildees de funccedilatildeo afim juros simples e sequecircncias em progressatildeo aritmeacutetica Os exerciacutecios de modo geral permitem identificar conexotildees e perceber regularidades que favorecem a compreensatildeo de conceitos procedimentos e propriedades Incentiva-se o uso de softwares para a construccedilatildeo e anaacutelise de graacuteficos de funccedilotildees e haacute orientaccedilotildees de como utilizaacute-los Entretanto no estudo das noccedilotildees de matrizes sistemas lineares e equaccedilotildees polinomiais satildeo privile-giados os aspectos teoacutericos e procedimentais

ltgeometriagtNo volume 1 conceitos de geometria plana satildeo retomados e aprofundados articulando-se aplicaccedilotildees praacuteticas e representaccedilotildees dos objetos matemaacuteticos Satildeo elogiaacuteveis as propostas de validaccedilotildees empiacute-ricas e dedutivas como eacute feito na abordagem do teorema de Pitaacutegoras Os soacutelidos geomeacutetricos como prismas piracircmides cilindros cones e esferas satildeo estudados de maneira adequada As atividades propostas enfatizam a exploraccedilatildeo de relaccedilotildees numeacutericas e meacutetricas entre seus elementos e o caacutelculo de aacutereas de superfiacutecies e de volumes

As noccedilotildees de geometria analiacutetica satildeo trabalhadas exclusivamente no volume 3 com ecircnfase na explo-raccedilatildeo das equaccedilotildees algeacutebricas de retas circunferecircncias e cocircnicas e em aplicaccedilatildeo de foacutermulas obtidas

ltestatiacutestica e probabilidadegtA abordagem da estatiacutestica inicia-se com a exploraccedilatildeo de noccedilotildees preliminares como coleta e organiza-ccedilatildeo de dados Eacute desenvolvida com base em exemplos de situaccedilotildees praacuteticas e tambeacutem em informaccedilotildees de cunho socioeconocircmico ou poliacutetico Haacute boas explicaccedilotildees sobre as caracteriacutesticas dos graacuteficos e sobre qual deles eacute o mais adequado para cada tipo de variaacutevel O trabalho com planilhas eletrocircnicas para a construccedilatildeo dos graacuteficos eacute bem orientado No estudo de medidas de posiccedilatildeo e de dispersatildeo satildeo discuti-das as condiccedilotildees necessaacuterias para a escolha de uma das medidas em detrimento de outras

Os conceitos de probabilidade satildeo desenvolvidos por meio da ideia de incerteza e das noccedilotildees de experimentos aleatoacuterios e de espaccedilo amostral o que contribui significativamente para o desenvolvi-mento do pensamento probabiliacutestico

ltmetodologia do ensino e aprendizagemgtA metodologia da coleccedilatildeo se caracteriza por iniciar a apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos por meio de uma situaccedilatildeo resolvida seguida de explanaccedilatildeo e sistematizaccedilatildeo dos conhecimentos estudados e de exer-ciacutecios resolvidos e propostos Tal abordagem de ensino pode induzir o estudante a uma postura pouco reflexiva sobre sua aprendizagem Apesar disso nas atividades a serem resolvidas haacute boas situaccedilotildees em que o estudante eacute chamado a elaborar hipoacuteteses testaacute-las e manifestar suas conclu-

101

sotildees de forma escrita ou oral Satildeo exemplos as orientaccedilotildees para o uso de planilhas eletrocircnicas e de softwares encontradas em diferentes passagens As interaccedilotildees entre os estudantes e entre estes e o professor satildeo incentivadas por meio de questionamentos discussotildees de ideias e de resultados o que tambeacutem contribui para uma participaccedilatildeo mais ativa do estudante

ltcontextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridadegtEspecialmente nas seccedilotildees Pesquisa e Accedilatildeo e Compreensatildeo de texto informaccedilotildees de outras aacutereas do conhecimento satildeo utilizadas para ampliar a compreensatildeo do estudante a respeito de questotildees so-ciais ambientais e econocircmicas por meio da aplicaccedilatildeo dos conceitos matemaacuteticos Por outro lado a histoacuteria da Matemaacutetica eacute quase sempre utilizada como pretexto para se apresentar pessoas fatos e datas sem contribuir para a compreensatildeo dos conceitos

ltformaccedilatildeo para a cidadaniagtEm diversas passagens da obra haacute textos e contextos relativos a situaccedilotildees praacuteticas socioeconocircmi-cas ou poliacuteticas que podem contribuir significativamente para a formaccedilatildeo cidadatilde do estudante No entanto satildeo raras as problematizaccedilotildees feitas com esse intuito seja na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos ou na proposiccedilatildeo das atividades

ltprojeto editorial projeto graacutefico e linguagemgtA estrutura editorial e o projeto graacutefico da coleccedilatildeo satildeo apropriados aos objetivos didaacutetico-peda-goacutegicos da obra As ilustraccedilotildees satildeo atuais e estatildeo bem distribuiacutedas A linguagem eacute clara e acessiacute-vel e vaacuterios gecircneros textuais satildeo trabalhados

ltmanual do professorgtEncontram-se no Manual reflexotildees gerais sobre os benefiacutecios da perspectiva interdisciplinar no que diz respeito agrave gestatildeo do tempo agrave aprendizagem dos estudantes agrave visatildeo global e articulada dos con-teuacutedos No entanto natildeo eacute evidenciada a forma de planejar desenvolver e avaliar as propostas de ati-vidades interdisciplinares feitas na coleccedilatildeo A funccedilatildeo da avaliaccedilatildeo no processo de aprendizagem dos estudantes incluindo-se o papel do erro como recurso didaacutetico eacute amplamente discutida Haacute ricas su-gestotildees de leituras que podem favorecer a formaccedilatildeo e a atualizaccedilatildeo do professor com reflexotildees sobre a praacutetica docente com destaque para aquelas que envolvem temas transversais

No entanto na parte destinada agraves atividades a serem desenvolvidas em cada capiacutetulo natildeo haacute informa-ccedilotildees para o docente sobre o que se pode avaliar ou como eacute possiacutevel realizar tal avaliaccedilatildeo Tambeacutem ali satildeo raras as orientaccedilotildees que podem auxiliar o professor no processo de sistematizaccedilatildeo dos conteuacutedos trabalhados bem como indicaccedilatildeo especiacutefica de avaliaccedilatildeo para cada capiacutetulo

102

em sala de aula

Na coleccedilatildeo satildeo oferecidas boas instruccedilotildees para o trabalho com softwares e planilhas eletrocircnicas mas o uso de calculadoras restringe-se a viabilizar e acelerar os caacutelculos Vale a pena o professor buscar complementos para explorar as calculadoras de modo que o estudante possa tambeacutem elabo-rar e validar conjecturas necessaacuterias para construccedilatildeo do conhecimento matemaacutetico

Como a abordagem dos conteuacutedos predominante na coleccedilatildeo eacute diretiva recomenda-se planejar e fazer questionamentos que possibilitem ao estudante participar de maneira ativa do processo de sistematizaccedilatildeo antes de iniciar a resoluccedilatildeo das atividades propostas

Uma leitura atenta do Manual do Professor poderaacute auxiliar o docente a fazer as escolhas didaacuteticas que orientem o desenvolvimento das atividades Mas eacute recomendaacutevel buscar subsiacutedios em outras fontes que o auxiliem a planejar desenvolver e avaliar o trabalho interdisciplinar

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ltparte i ndash identificaccedilatildeo e menccedilatildeogt

dados de identificaccedilatildeo

Coacutedigo da Coleccedilatildeo

Menccedilatildeo da coleccedilatildeo

Coacutedigo do parecerista

ltparte ii ndash descriccedilatildeo da coleccedilatildeo impressagtlt1 descriccedilatildeo da coleccedilatildeo impressa (ld800 toques mp 800 toques)gtDescreva aqui

lt2 conteuacutedo por volume (sumaacuterio 3000 toques)gtNa coleccedilatildeo satildeo trabalhados os conteuacutedos

xx ano ndash xx capiacutetulos ndash xxx pp

1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp

ficha de avaliaccedilatildeo

104

ltparte iii ndash anaacutelise da coleccedilatildeogt

nocriteacuterios

SIM NAtildeO

Para o item a seguir indique SIM ou NAtildeO

1 ndash organizaccedilatildeo dos conteuacutedos

11Na coleccedilatildeo os campos da matemaacutetica escolar ndash nuacutemeros aacutelgebra geome-tria e estatiacutestica e probabilidade ndash recebem atenccedilatildeo adequada

Em caso negativo descreva sumariamente o tipo de organizaccedilatildeo

DESCREVA AQUI

no

criteacuterios SIM NAtildeO

Para cada item a seguir indique Plenamente (PL) Satisfatoriamente (SA) ou Raramente (RR)

PL SA RR

12

Na obra os conteuacutedos dos campos da matemaacutetica escolar citados no item 11 satildeo escolhidos de modo a garantir atenccedilatildeo equilibrada a cada um deles e adequada agraves demandas da sociedade atual

13

Esses campos satildeo distribuiacutedos de maneira pertinen-te ao longo dos volumes da coleccedilatildeo e no interior de cada livro

avaliaccedilatildeo (Espaccedilo livre de toques pode-se inserir figuras)

AVALIE AQUI

texto siacutentese para o parecer e a resenha

ESCREVA AQUI

105

no criteacuteriosSIM NAtildeO

PL SA RR

2 ndash abordagem dos conteuacutedos matemaacuteticos

21

A abordagem do campo dos nuacutemeros contribui para de-senvolver a compreensatildeo dos conceitos e procedimentos e para a capacidade de resoluccedilatildeo de problemas em toacutepicos tais como noccedilotildees elementares da teoria dos conjuntos nuacutemeros reais operaccedilotildees de potenciaccedilatildeo e de radiciaccedilatildeo reta real notaccedilatildeo cientiacutefica mediccedilatildeo de grandezas incer-teza das mediccedilotildees erro de mediccedilatildeo aproximaccedilatildeo numeacuteri-ca grandezas fiacutesicas nuacutemeros complexos plano complexo operaccedilotildees forma polar princiacutepios de contagem princiacutepio multiplicativo princiacutepio da casa dos pombos permutaccedilotildees arranjos combinaccedilotildees Binocircmio de Newton


AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

22

A abordagem do campo da aacutelgebra contribui para desen-volver a compreensatildeo dosconceitos e procedimentos e para a capacidade de resoluccedilatildeo de problemas em toacutepicos taiscomo sequecircncias funccedilatildeo como relaccedilatildeo entre grande-zas funccedilatildeo no contexto dos conjuntosfunccedilatildeo afim e afim por partes funccedilatildeo modular funccedilatildeo quadraacutetica funccedilatildeo polinomialmatemaacutetica financeira funccedilotildees exponencial e logariacutetmica funccedilotildees trigonomeacutetricaspolinocircmios e equa-ccedilotildees polinomiais matrizes e determinantes sistemas de equaccedilotildees meacutetodode escalonamento


AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

106

23

A abordagem do campo da geometria contribui para de-senvolver a compreensatildeo dosconceitos e procedimentos e para a capacidade de resoluccedilatildeo de problemas em toacutepi-cos taiscomo geometria plana introduccedilatildeo ao meacutetodo axiomaacutetico-dedutivo congruecircncia esemelhanccedila Teore-ma de Tales Teorema de Pitaacutegoras Lei dos senos e dos cossenosgeometria espacial retas e planos paralelepiacutepe-dos prismas piracircmides poliedros cilindrocone esfera grandezas geomeacutetricas comprimento abertura (amplitude) de acircngulo aacutereavolume Princiacutepio de Cavalieri visualizaccedilatildeo representaccedilotildees graacuteficas do espaccedilo e dosobjetos noccedilotildees de perspectiva diferentes modos de validaccedilatildeo do conheci-mento geomeacutetrico(experimentaccedilatildeo uso de imagens graacuteficas e argumentaccedilatildeo loacutegica) transformaccedilotildeesgeomeacutetricas (rota-ccedilatildeo reflexatildeo translaccedilatildeo) geometria analiacutetica plana reta circunferecircnciacocircnicas vetores


AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

24

A abordagem do campo da estatiacutestica e probabilidade contri-bui para desenvolver acompreensatildeo dos conceitos e proce-dimentos e para a capacidade de resoluccedilatildeo de problemasem toacutepicos tais como planejamento de pesquisa populaccedilatildeo e amostra coleta e organizaccedilatildeode dados apresentaccedilatildeo e in-terpretaccedilatildeo de dados em tabelas e graacuteficos distribuiccedilotildees defrequecircncia medidas de tendecircncia central e de dispersatildeo e suas aplicaccedilotildees distribuiccedilatildeonormal probabilidade noccedilotildees baacutesicas definiccedilatildeo claacutessica e frequentista caacutelculo deprobabi-lidade de eventos probabilidade geomeacutetrica


AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

107

no criteacuterios SIM NAtildeO

3 ndash correccedilatildeo e atualizaccedilatildeo dos conceitos informaccedilotildees e procedimentos

31 Na coleccedilatildeo conceitos informaccedilotildees baacutesicas procedimentos e imagens satildeo apresentados ou utilizados sem erro conceitual induccedilatildeo a erro ou contradiccedilotildees internas


AVALIE AQUI

4 ndash metodologia de ensino e aprendizagem

no criteacuterios

41

A metodologia adotada na coleccedilatildeo caracteriza-se predominantemente por

Introduzir os conteuacutedos por explanaccedilatildeo teoacuterica seguida de atividades resolvidas e pro-postas de cunhoaplicativo

Introduzir o conteuacutedo apresentando um ou poucos exemplos seguidos de alguma siste-matizaccedilatildeo edepois de atividades de aplicaccedilatildeo

Propor um projeto a partir do qual conteuacutedos da Matemaacutetica satildeo estudados

Iniciar por atividades propostas seguidas da sistematizaccedilatildeo sem dar oportunidade ao aluno de tirarconclusotildees proacuteprias

Constituir-se de uma lista de atividades propostas e deixar a sistematizaccedilatildeo dos conteuacute-dos a cargo doprofessor

Outras modalidades

ESCREVA AQUI

108

42

Na abordagem teoacuterico-metodoloacutegica adotada na coleccedilatildeo valoriza-se e incentiva-se

421O uso de conhecimentos extraescolares

EXEMPLO (1000 TOQUES)

422

A articulaccedilatildeo entre o conhecimento novo e o jaacute tra-balhado


423

A integraccedilatildeo entre conhecimentos dos diversos campos da Matemaacutetica escolar


424

A articulaccedilatildeo entre conceitos representaccedilotildees eou procedimentos


425A interaccedilatildeo entre alunos e destes com o professor



AVALIE AQUI

no



PL SA RR

109

43

A metodologia adotada na coleccedilatildeo contribui de forma coerente e adequada para favore-cer odesenvolvimento de competecircncias cognitivas como

431Observaccedilatildeo exploraccedilatildeo e classificaccedilatildeo


432Compreensatildeo e memorizaccedilatildeo


433Investigaccedilatildeo anaacutelise siacutentese registro e comunicaccedilatildeo


434

Formulaccedilatildeo de hipoacuteteses generalizaccedilatildeo e argumentaccedilatildeo



AVALIE AQUI

110

44

A coleccedilatildeo apresenta situaccedilotildees que envolvem

441

Utilizaccedilatildeo de diferentes estrateacutegias na resoluccedilatildeo de problemas


442

Comparaccedilatildeo de diferentes estrateacutegias na resoluccedilatildeo de problemas


443Verificaccedilatildeo de processos e resultados pelo estudante


444Formulaccedilatildeo de problemas pelo estudante


445Questotildees com falta ou excesso de dados


446

Problemas com nenhuma soluccedilatildeo ou com vaacuterias soluccedilotildees



AVALIE AQUI

111

45

Na obra incentiva-se a utilizaccedilatildeo de recursos didaacuteticos diversificados tais como

451Materiais concretos e jogos


452

Recursos das tecnologias da informaccedilatildeo e da comu-nicaccedilatildeo como softwares ambientes compartilhados e colaborativos


453Calculadora


454Instrumentos de desenhos


455Leituras complementares



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

112

5 ndash contextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridade

51

Na abordagem adotada na coleccedilatildeo a apresentaccedilatildeo e a utilizaccedilatildeo dos conteuacutedos satildeo feitas de modo afavorecer

511

A importacircncia da Matemaacutetica como instrumento para a resoluccedilatildeo de problemasrelativos agraves praacuteticas sociais e agraves outras aacutereas do conhecimento


512

O reconhecimento das contribuiccedilotildees de outras aacutereas do saber para a elaboraccedilatildeo demodelos matemaacuteticos


513

A aprendizagem da Matemaacutetica por meio de contextos de praacuteticas sociais e de outrasaacutereas de conhecimento


514

A compreensatildeo da Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo social de diversas culturas ao longoda histoacuteria tanto do ponto de vista contemporacircneo quanto histoacuterico


515

O uso da matemaacutetica para o desenvolvimento criacutetico cidadatildeo



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

no



PL SA RR

113

6 ndash formaccedilatildeo para a cidadania

61

A coleccedilatildeo natildeo veicula conteuacutedos que contrariam de alguma for-ma a legislaccedilatildeo vigentecomo Constituiccedilatildeo da Repuacuteblica Federa-tiva do Brasil Lei de Diretrizes e Bases da EducaccedilatildeoNacional (Lei nordm 939496) com as posteriores alteraccedilotildees Estatuto da Crianccedila e doAdolescente (Lei nordm 80691990) com as respectivas alteraccedilotildees Diretrizes CurricularesNacionais para o Ensino Meacutedio Resoluccedilatildeo no 2 de 30 de janeiro de 2012 e ParecerCNECEB nordm 52011 Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Educaccedilatildeo BaacutesicaResoluccedilatildeo nordm 4 de 13 de julho de 2010 e Parecer CNECEB nordm 72010 Resoluccedilotildees ePareceres do Conselho Nacional de Educaccedilatildeo em especial Parecer CEB nordm 15 de04072000 - Trata da pertinecircncia do uso de imagens comerciais nos livros didaacuteticos ParecerCNECP nordm 3 10032004 e Resoluccedilatildeo CNECP nordm 01 de 17062004 Parecer CNECP nordm 14de 06062012 e Resoluccedilatildeo CNECP nordm 2 15072012 - Estabelece as Di-retrizes CurricularesNacionais para a Educaccedilatildeo Ambiental (DCNEA)

62

A coleccedilatildeo eacute livre de estereoacutetipos e de preconceitos de condiccedilatildeo so-cial regional eacutetnicoracialde gecircnero de orientaccedilatildeo sexual de idade ou de linguagem assim como de qualqueroutra forma de discrimi-naccedilatildeo ou de violaccedilatildeo de direitos

63A coleccedilatildeo eacute isenta de doutrinaccedilatildeo religiosa e poliacutetica respeitando o caraacuteter laico e autocircnomo do ensino puacuteblico

64A coleccedilatildeo apresenta-se sem publicidade e sem difusatildeo de marcas produtos e serviccedilos comerciais


AVALIE AQUI

nocriteacuterios

SIM NAtildeO


114

65

Na coleccedilatildeo a abordagem dos conteuacutedos contribui para a formaccedilatildeo do cidadatildeo quanto

651

Ao respeito agrave diversidade de gecircnero regionais etno-cultural e de idade inclusiverepresentando-se nas ilustraccedilotildees a diversidade eacutetnica da populaccedilatildeo brasi-leira e apluralidade social e cultural do paiacutes


652A questotildees socioambientais


653A questotildees de sauacutede e de mobilidade



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

no



PL SA RR

115

no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO

Para cada item a seguir indique Sim Parcialmente (PARC) ou Natildeo

7 ndash projeto editorial projeto graacutefico e linguagem

71

No que concerne ao projeto graacutefico-editorial a coleccedilatildeo apresenta

711Sumaacuterio que reflita claramente a organizaccedilatildeo e a lo-calizaccedilatildeo das informaccedilotildees

712Tiacutetulos e subtiacutetulos claramente hierarquizados por meio de recursos graacuteficoscompatiacuteveis

713

Legibilidade graacutefica adequada para o niacutevel de esco-laridade visado do ponto de vistado desenho e do tamanho das letras do espaccedilamento entre letras palavras e linhasdo formato dimensotildees e disposi-ccedilatildeo dos textos na paacutegina

714 Impressatildeo em preto do texto principal

715 Isenccedilatildeo de erros de revisatildeo e impressatildeo

716Referecircncias bibliograacuteficas e indicaccedilatildeo de leituras complementares

717Conhecimentos jaacute abordados sem repeticcedilatildeo exces-siva sem gerar ampliaccedilatildeodesnecessaacuteria no total de paacuteginas das coleccedilotildees

718Nuacutemero de paacuteginas eacute compatiacutevel com as caracteriacutes-ticas inerentes ao processo deensino e de desenvol-vimento dos estudantes do ensino meacutedio

719Textos quando mais longos de forma a natildeo desen-corajar a leitura


AVALIE AQUI

116

72

Na coleccedilatildeo as ilustraccedilotildees

721Satildeo claras precisas e adequadas agraves finalidades para as quais foram elaboradas

722Satildeo distribuiacutedas nas paacuteginas de forma adequada e equilibrada

723Retratam adequadamente a diversidade eacutetnica da populaccedilatildeo brasileira a pluralidadesocial e cultural do paiacutes

724Respeitam as proporccedilotildees entre objetos ou seres re-presentados quando de caraacutetercientiacutefico

725Apresentam tiacutetulos fontes e datas no caso de graacutefi-cos e tabelas

726

Apresentam legendas escala coordenadas e orien-taccedilatildeo em conformidade com asconvenccedilotildees carto-graacuteficas no caso de mapas e outras representaccedilotildees graacuteficas doespaccedilo


AVALIE AQUI

73

A linguagem utilizada na coleccedilatildeo eacute adequada ao aluno a que se destina quanto

731 Ao vocabulaacuterio

732Agrave clareza na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos e na for-mulaccedilatildeo das instruccedilotildees

733 Ao emprego de vaacuterios tipos de texto


AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

117

8 ndash manual do professor

81

O Manual do Professor explicita os objetivos da proposta didaacutetico--pedagoacutegica efetivadae os pressupostos teoacuterico-metodoloacutegicos por ela assumidos

82

Haacute coerecircncia entre os pressupostos teoacutericos explicitados no Ma-nual do Professor e oconjunto de textos atividades exerciacutecios etc que configuram o Livro do Aluno

83

O Manual do Professor explicita claramente a perspectiva interdisci-plinar explorada pelacoleccedilatildeo bem como indica formas individuais e coletivas de planejar desenvolver e avaliarprojetos interdisciplinares

avaliaccedilatildeo (espaccedilo livre de toques pode-se inserir figuras)

AVALIE AQUI

nocriteacuterios

SIM NAtildeO


118

84

No que concerne agrave orientaccedilatildeo do docente para uso adequado da coleccedilatildeo e para a sua atualizaccedilatildeo o Manual do Professor

841Descreve a organizaccedilatildeo geral da coleccedilatildeo tanto no conjunto dos volumes quanto na estruturaccedilatildeo interna de cada um deles

842 apresenta orientaccedilotildees sobre o uso adequado dos livros inclusive no que se refere agravesestrateacutegias e aos recursos de ensino a serem empregados

843 indica as possibilidades de trabalho interdisciplinar na escola a partir do componentecurricular abordado no livro

844 discute diferentes formas possibilidades recursos e instrumentos de avaliaccedilatildeo queo professor poderaacute uti-lizar ao longo do processo de ensino-aprendizagem

845 propicia a reflexatildeo sobre a praacutetica docente favore-cendo sua anaacutelise por parte doprofessor e sua inte-raccedilatildeo com os demais profissionais da escola

846 sugere textos de aprofundamento e propostas de atividades complementares agraves doLivro do Aluno


AVALIE AQUI

no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO


119

85

O Manual do Professor traz subsiacutedios para a atuaccedilatildeo do professor em sala de aula apre-sentando

851 Objetivos das unidades e atividades

852 Discussatildeo das escolhas didaacuteticas pertinentes

853Antecipaccedilatildeo dos possiacuteveis caminhos de desenvolvi-mento do aluno e de suasdificuldades

854Indicaccedilotildees de modificaccedilotildees de atividades a fim de ade-quaacute-las a sua realidade local

855Auxiacutelio ao professor na sistematizaccedilatildeo dos conteuacute-dos trabalhados

856 Possiacuteveis estrateacutegias de resoluccedilatildeo das atividades

857 Indicaccedilotildees sobre a avaliaccedilatildeo


AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

120

9 ndash falhas pontuais

no criteacuterios

91 A coleccedilatildeo eacute isenta de falhas pontuais


AVALIE AQUI

Preencha a tabela indicando o que se pede LA ou MP volume e paacutegina tipologia (conceito correccedilatildeo de link gabarito logomarca visiacutevel imagem gramaacuteticagrafia erro de transcriccedilatildeo de aacuteudio diagra-maccedilatildeo supressatildeo outras) como estaacute e como deve ser alterado

la ou mp volume paacutegina tipologia como estaacute como deve ser alterado

10 ndash outras observaccedilotildees

pontue aqui os aspectos positivos e negativos da obra

121

BRASIL Cataacutelogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Meacutedio ndash PNLEM2005 ndash Matemaacutetica Brasiacutelia SEMTECFNDE 2004

BRASIL Guia de livros didaacuteticos PNLD 2012 ndash Matemaacutetica Brasiacutelia MECSEB 2011

BRASIL Diretrizes Curriculares Nacionais da Educaccedilatildeo Baacutesica Brasiacutelia MECSEBDICEI 2013


referecircncias

122

ministeacuterio da educaccedilatildeo secretaria de educaccedilatildeo baacutesica Esplanada dos Ministeacuterios Bloco L Sala 500

CEP 70047-900

BrasiacuteliaDF

Dados Internacionais de Catalogaccedilatildeo na Publicaccedilatildeo (CIP)

Centro de Informaccedilatildeo e Biblioteca em Educaccedilatildeo (CIBEC)

Bibliotecaacuterios responsaacuteveis Mayara Cristoacutevatildeo da Silva CRB-1 2812 e Tiago de Almeida Silva CRB-1 2976

Brasil Ministeacuterio da Educaccedilatildeo PNLD 2018 matemaacutetica ndash guia de livros didaacuteticos ndash

Ensino Meacutedio Ministeacuterio da Educaccedilatildeo ndash Secretaacuteria de Educaccedilatildeo Baacutesica ndash SEB ndash

FundoNacional de Desenvolvimento da Educaccedilatildeo

Brasiacutelia DF Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaacuteria de Educaccedilatildeo Baacutesica 2017

122 p

ISBN 978-85-7783-237-8

1 Educaccedilatildeo Escolar ndash TBE 2 Livro Didaacutetico ndash TBE 3 Ensino Meacutedio ndash TBE

4 Matemaacutetica ndash TBE

I Ministeacuterio da Educaccedilatildeo II Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educaccedilatildeo

III Tiacutetulo

CDU 51

B823p

ministeacuterio da educaccedilatildeosecretaria de educaccedilatildeo baacutesica ndash seb

diretoria de apoio agraves redes de educaccedilatildeo baacutesica ndash dare

coordenaccedilatildeo-geral de materiais didaacuteticos ndash cogeam

fundo nacional de desenvolvimento da educaccedilatildeo ndash fnde

diretoria de accedilotildees educacionais ndash dirae

coordenaccedilatildeo-geral dos programas do livro ndash cgpli

equipe da sebCleidilene Brandatildeo Barros

Cristina Thomas de Ross

Edivar Ferreira de Noronha Juacutenior

Fabiacuteola Carvalho Dionis

Frederico Ozanam Arreguy Maia

Joseacute Ricardo Albernaacutes Lima

Leila Rodrigues de Macecircdo Oliveira

Lenilson Silva de Matos

Samara Danielle dos Santos Zacarias

Tassiana Cunha Carvalho

equipe do fndeClarissa Lima Paes de Barros

Geovaacute da Conceiccedilatildeo Silva

Joseacute Carlos Lopes

Karina de Oliveira Scotton Aguiar

Nadja Cezar Ianzer Rodrigues

Wilson Aparecido Troque

design coordenaccedilatildeo de designHana Luzia

projeto graacuteficoBreno Chamie

diagramaccedilatildeo de conteuacutedoGabriela Arauacutejo








































e Antropologia









e Arte Barroca




Matemaacutetica





Matemaacutetica







Cientiacuteficas










Matemaacutetica


Matemaacutetica










Matemaacutetica








e Matemaacutetica








Matemaacutetica





e Tecnologia








Puacuteblica










Nuacutemeros




Manual do Professor

12

17

36

13

19

38

14

18

40

40

10

12

17

sumaacuterio

8

Resenhas










Referecircncias

43

67

51

74

59

81

88

95

42

103

121

8









9



Bom trabalho

10







11














12










13












14















15










16














17









18








e no PNLD 2018

pnld 2012 2015 2018

Volume 1 359 306 285

Volume 2 364 320 268

Volume 3 293 261 259

Total 1017 887 812


19






r 0(= D) r 1 r 2 r n


20







21






π = ab + (ndash 1)(34)





22


00588235294117647


0121212 = 1299 = 433












23



A = 4 x 5 = 20 m 2


A = 4m x 5m = 20m 2










24










25


1 0 ndash1 0 s in nπ2 n = 1 2 3 4





a n = (n ndash 1) n = 1 2 3



26




Im ( f ) Dom (g)




27





28










29







30







31






32







33






34







35








36







37








38







39







40








41


43




LUIZ ROBERTO DANTE

0008P18023

EDITORA AacuteTICA



visatildeo geral

44










unidade 2

3






unidade 3




45

unidade 4









unidade 2





unidade 3

6








unidade 4



10









46

unidade 2


4






unidade 3




unidade 4








COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

47









48








49








50

em sala de aula




51




DIEGO PRESTES

EDUARDO CHAVANT

0070P18023

SM



visatildeo geral

52






1




2




unidade 2

3








unidade 3





53

unidade 4

8





exponencial



10





1





unidade 2



3




unidade 3





6





unidade 4





54


1




2




3





unidade 2

4




5




unidade 3

6



desvio padratildeo

7




unidade 4

8



DrsquoAlembert

9




55



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



56








57








58




em sala de aula



59




DAVID DEGENSZAJN

GELSON IEZZI

NILZE DE ALMEIDA

OSVALDO DOLCE

ROBERTO PEacuteRIGO

0082P18023




visatildeo geral

60













do 2ordm grau



7






61

9




10



de Pitaacutegoras















7


















62















COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040


63








64







65





em sala de aula




66



67





MARIA IGNEZ DINIZ

0096P18023




visatildeo geral

68









unidade 2


real



unidade 3




unidade 4




69





unidade 2





unidade 3





e volume

unidade 4








unidade 2





unidade 3





unidade 4


e suplementares


70



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



71








72








73

em sala de aula




74






RODRIGO BALESTRI

0127P18023

LEYA



visatildeo geral

75






2








5




6







8









76














3






5













77

COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040




78






79






80

em sala de aula




81






JOAMIR SOUZA

JACQUELINE GARCIA

0155P18023

FTD



visatildeo geral

82





















83


1













coroa circular



8







2











6




84



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040




85





86








87


em sala de aula




88







MANOEL PAIVA

0180P18023

MODERNA



visatildeo geral

89





1






3




4











9






90


1







3




4



do arco duplo

5





propriedades


8




9





10








2





91


matrizes





6



verticais









COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040


92









93








94



em sala de aula




95






0195P18023

MODERNA



visatildeo geral

96







intervalos




quadraacutetica













97











6












98



juro composto

2








5











99



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



100







101







102

em sala de aula




103









1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


104


nocriteacuterios

SIM NAtildeO





DESCREVA AQUI

no



PL SA RR

12


13



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

105


PL SA RR


21



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

22



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

106

23



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

24



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

107





AVALIE AQUI


no criteacuterios

41







Outras modalidades

ESCREVA AQUI

108

42




422



423



424






AVALIE AQUI

no



PL SA RR

109

43








434




AVALIE AQUI

110

44


441



442









446




AVALIE AQUI

111

45




452



453Calculadora







AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

112


51


511



512



513



514



515




AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

no



PL SA RR

113


61


62





AVALIE AQUI

nocriteacuterios

SIM NAtildeO


114

65


651








AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

no



PL SA RR

115

no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO



71




713









AVALIE AQUI

116

72







726



AVALIE AQUI

73






AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

117


81


82


83



AVALIE AQUI

nocriteacuterios

SIM NAtildeO


118

84









AVALIE AQUI

no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO


119

85










AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

120


no criteacuterios



AVALIE AQUI





121





referecircncias

122








































e Antropologia









e Arte Barroca




Matemaacutetica





Matemaacutetica







Cientiacuteficas










Matemaacutetica


Matemaacutetica










Matemaacutetica








e Matemaacutetica








Matemaacutetica





e Tecnologia








Puacuteblica










Nuacutemeros




Manual do Professor

12

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36

13

19

38

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sumaacuterio

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Resenhas










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Bom trabalho

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e no PNLD 2018

pnld 2012 2015 2018

Volume 1 359 306 285

Volume 2 364 320 268

Volume 3 293 261 259

Total 1017 887 812


19






r 0(= D) r 1 r 2 r n


20







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π = ab + (ndash 1)(34)





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00588235294117647


0121212 = 1299 = 433












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A = 4 x 5 = 20 m 2


A = 4m x 5m = 20m 2










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1 0 ndash1 0 s in nπ2 n = 1 2 3 4





a n = (n ndash 1) n = 1 2 3



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Im ( f ) Dom (g)




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LUIZ ROBERTO DANTE

0008P18023

EDITORA AacuteTICA



visatildeo geral

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unidade 2

3






unidade 3




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unidade 4









unidade 2





unidade 3

6








unidade 4



10









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unidade 2


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unidade 3




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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

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0 20 60 80 10040

47









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em sala de aula




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DIEGO PRESTES

EDUARDO CHAVANT

0070P18023

SM



visatildeo geral

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1




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unidade 2

3








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unidade 4

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exponencial



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unidade 2



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1




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unidade 2

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unidade 3

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desvio padratildeo

7




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DrsquoAlembert

9




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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



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em sala de aula



59




DAVID DEGENSZAJN

GELSON IEZZI

NILZE DE ALMEIDA

OSVALDO DOLCE

ROBERTO PEacuteRIGO

0082P18023




visatildeo geral

60













do 2ordm grau



7






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9




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de Pitaacutegoras















7


















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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

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0 20 60 80 10040


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em sala de aula




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MARIA IGNEZ DINIZ

0096P18023




visatildeo geral

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unidade 2


real



unidade 3




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unidade 2





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e volume

unidade 4








unidade 2





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e suplementares


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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

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0 20 60 80 10040



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em sala de aula




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RODRIGO BALESTRI

0127P18023

LEYA



visatildeo geral

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2








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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

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1deg ANO


0 20 60 80 10040




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em sala de aula




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JOAMIR SOUZA

JACQUELINE GARCIA

0155P18023

FTD



visatildeo geral

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1













coroa circular



8







2











6




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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

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0 20 60 80 10040




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em sala de aula




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MANOEL PAIVA

0180P18023

MODERNA



visatildeo geral

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1






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1







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do arco duplo

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propriedades


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matrizes





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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

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0 20 60 80 10040


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em sala de aula




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0195P18023

MODERNA



visatildeo geral

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intervalos




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juro composto

2








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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

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em sala de aula




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1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


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nocriteacuterios

SIM NAtildeO





DESCREVA AQUI

no



PL SA RR

12


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AVALIE AQUI


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PL SA RR


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AVALIE AQUI


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AVALIE AQUI


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AVALIE AQUI


no criteacuterios

41







Outras modalidades

ESCREVA AQUI

108

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AVALIE AQUI

no



PL SA RR

109

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110

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no



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nocriteacuterios

SIM NAtildeO


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no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO



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nocriteacuterios

SIM NAtildeO


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no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO


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no criteacuterios



AVALIE AQUI





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referecircncias

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Matemaacutetica








e Matemaacutetica








Matemaacutetica





e Tecnologia








Puacuteblica










Nuacutemeros




Manual do Professor

12

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38

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10

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sumaacuterio

8

Resenhas










Referecircncias

43

67

51

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59

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88

95

42

103

121

8









9



Bom trabalho

10







11














12










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14















15










16














17









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e no PNLD 2018

pnld 2012 2015 2018

Volume 1 359 306 285

Volume 2 364 320 268

Volume 3 293 261 259

Total 1017 887 812


19






r 0(= D) r 1 r 2 r n


20







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π = ab + (ndash 1)(34)





22


00588235294117647


0121212 = 1299 = 433












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A = 4 x 5 = 20 m 2


A = 4m x 5m = 20m 2










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1 0 ndash1 0 s in nπ2 n = 1 2 3 4





a n = (n ndash 1) n = 1 2 3



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Im ( f ) Dom (g)




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LUIZ ROBERTO DANTE

0008P18023

EDITORA AacuteTICA



visatildeo geral

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unidade 2

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unidade 2


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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

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em sala de aula




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DIEGO PRESTES

EDUARDO CHAVANT

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SM



visatildeo geral

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COLECcedilAtildeO

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DAVID DEGENSZAJN

GELSON IEZZI

NILZE DE ALMEIDA

OSVALDO DOLCE

ROBERTO PEacuteRIGO

0082P18023




visatildeo geral

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do 2ordm grau



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de Pitaacutegoras















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COLECcedilAtildeO

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MARIA IGNEZ DINIZ

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visatildeo geral

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COLECcedilAtildeO

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RODRIGO BALESTRI

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LEYA



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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

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JOAMIR SOUZA

JACQUELINE GARCIA

0155P18023

FTD



visatildeo geral

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1













coroa circular



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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

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MANOEL PAIVA

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MODERNA



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do arco duplo

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juro composto

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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

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em sala de aula




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nocriteacuterios

SIM NAtildeO





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no criteacuterios

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Outras modalidades

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no criteacuterios



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referecircncias

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Nuacutemeros




Manual do Professor

12

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sumaacuterio

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Resenhas










Referecircncias

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Bom trabalho

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e no PNLD 2018

pnld 2012 2015 2018

Volume 1 359 306 285

Volume 2 364 320 268

Volume 3 293 261 259

Total 1017 887 812


19






r 0(= D) r 1 r 2 r n


20







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π = ab + (ndash 1)(34)





22


00588235294117647


0121212 = 1299 = 433












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A = 4 x 5 = 20 m 2


A = 4m x 5m = 20m 2










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1 0 ndash1 0 s in nπ2 n = 1 2 3 4





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Im ( f ) Dom (g)




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LUIZ ROBERTO DANTE

0008P18023

EDITORA AacuteTICA



visatildeo geral

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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

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em sala de aula




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DIEGO PRESTES

EDUARDO CHAVANT

0070P18023

SM



visatildeo geral

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unidade 2

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COLECcedilAtildeO

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DAVID DEGENSZAJN

GELSON IEZZI

NILZE DE ALMEIDA

OSVALDO DOLCE

ROBERTO PEacuteRIGO

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visatildeo geral

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COLECcedilAtildeO

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MARIA IGNEZ DINIZ

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COLECcedilAtildeO

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RODRIGO BALESTRI

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JOAMIR SOUZA

JACQUELINE GARCIA

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COLECcedilAtildeO

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COLECcedilAtildeO

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nocriteacuterios

SIM NAtildeO





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no criteacuterios

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Outras modalidades

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103

121

8









9



Bom trabalho

10







11














12










13












14















15










16














17









18








e no PNLD 2018

pnld 2012 2015 2018

Volume 1 359 306 285

Volume 2 364 320 268

Volume 3 293 261 259

Total 1017 887 812


19






r 0(= D) r 1 r 2 r n


20







21






π = ab + (ndash 1)(34)





22


00588235294117647


0121212 = 1299 = 433












23



A = 4 x 5 = 20 m 2


A = 4m x 5m = 20m 2










24










25


1 0 ndash1 0 s in nπ2 n = 1 2 3 4





a n = (n ndash 1) n = 1 2 3



26




Im ( f ) Dom (g)




27





28










29







30







31






32







33






34







35








36







37








38







39







40








41


43




LUIZ ROBERTO DANTE

0008P18023

EDITORA AacuteTICA



visatildeo geral

44










unidade 2

3






unidade 3




45

unidade 4









unidade 2





unidade 3

6








unidade 4



10









46

unidade 2


4






unidade 3




unidade 4








COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

47









48








49








50

em sala de aula




51




DIEGO PRESTES

EDUARDO CHAVANT

0070P18023

SM



visatildeo geral

52






1




2




unidade 2

3








unidade 3





53

unidade 4

8





exponencial



10





1





unidade 2



3




unidade 3





6





unidade 4





54


1




2




3





unidade 2

4




5




unidade 3

6



desvio padratildeo

7




unidade 4

8



DrsquoAlembert

9




55



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



56








57








58




em sala de aula



59




DAVID DEGENSZAJN

GELSON IEZZI

NILZE DE ALMEIDA

OSVALDO DOLCE

ROBERTO PEacuteRIGO

0082P18023




visatildeo geral

60













do 2ordm grau



7






61

9




10



de Pitaacutegoras















7


















62















COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040


63








64







65





em sala de aula




66



67





MARIA IGNEZ DINIZ

0096P18023




visatildeo geral

68









unidade 2


real



unidade 3




unidade 4




69





unidade 2





unidade 3





e volume

unidade 4








unidade 2





unidade 3





unidade 4


e suplementares


70



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



71








72








73

em sala de aula




74






RODRIGO BALESTRI

0127P18023

LEYA



visatildeo geral

75






2








5




6







8









76














3






5













77

COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040




78






79






80

em sala de aula




81






JOAMIR SOUZA

JACQUELINE GARCIA

0155P18023

FTD



visatildeo geral

82





















83


1













coroa circular



8







2











6




84



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040




85





86








87


em sala de aula




88







MANOEL PAIVA

0180P18023

MODERNA



visatildeo geral

89





1






3




4











9






90


1







3




4



do arco duplo

5





propriedades


8




9





10








2





91


matrizes





6



verticais









COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040


92









93








94



em sala de aula




95






0195P18023

MODERNA



visatildeo geral

96







intervalos




quadraacutetica













97











6












98



juro composto

2








5











99



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



100







101







102

em sala de aula




103









1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


104


nocriteacuterios

SIM NAtildeO





DESCREVA AQUI

no



PL SA RR

12


13



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

105


PL SA RR


21



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

22



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

106

23



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

24



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

107





AVALIE AQUI


no criteacuterios

41







Outras modalidades

ESCREVA AQUI

108

42




422



423



424






AVALIE AQUI

no



PL SA RR

109

43








434




AVALIE AQUI

110

44


441



442









446




AVALIE AQUI

111

45




452



453Calculadora







AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

112


51


511



512



513



514



515




AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

no



PL SA RR

113


61


62





AVALIE AQUI

nocriteacuterios

SIM NAtildeO


114

65


651








AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

no



PL SA RR

115

no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO



71




713









AVALIE AQUI

116

72







726



AVALIE AQUI

73






AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

117


81


82


83



AVALIE AQUI

nocriteacuterios

SIM NAtildeO


118

84









AVALIE AQUI

no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO


119

85










AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

120


no criteacuterios



AVALIE AQUI





121





referecircncias

122

8









9



Bom trabalho

10







11














12










13












14















15










16














17









18








e no PNLD 2018

pnld 2012 2015 2018

Volume 1 359 306 285

Volume 2 364 320 268

Volume 3 293 261 259

Total 1017 887 812


19






r 0(= D) r 1 r 2 r n


20







21






π = ab + (ndash 1)(34)





22


00588235294117647


0121212 = 1299 = 433












23



A = 4 x 5 = 20 m 2


A = 4m x 5m = 20m 2










24










25


1 0 ndash1 0 s in nπ2 n = 1 2 3 4





a n = (n ndash 1) n = 1 2 3



26




Im ( f ) Dom (g)




27





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30







31






32







33






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LUIZ ROBERTO DANTE

0008P18023

EDITORA AacuteTICA



visatildeo geral

44










unidade 2

3






unidade 3




45

unidade 4









unidade 2





unidade 3

6








unidade 4



10









46

unidade 2


4






unidade 3




unidade 4








COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040

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50

em sala de aula




51




DIEGO PRESTES

EDUARDO CHAVANT

0070P18023

SM



visatildeo geral

52






1




2




unidade 2

3








unidade 3





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unidade 4

8





exponencial



10





1





unidade 2



3




unidade 3





6





unidade 4





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1




2




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unidade 2

4




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unidade 3

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desvio padratildeo

7




unidade 4

8



DrsquoAlembert

9




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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



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em sala de aula



59




DAVID DEGENSZAJN

GELSON IEZZI

NILZE DE ALMEIDA

OSVALDO DOLCE

ROBERTO PEacuteRIGO

0082P18023




visatildeo geral

60













do 2ordm grau



7






61

9




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de Pitaacutegoras















7


















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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040


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em sala de aula




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MARIA IGNEZ DINIZ

0096P18023




visatildeo geral

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unidade 2


real



unidade 3




unidade 4




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unidade 2





unidade 3





e volume

unidade 4








unidade 2





unidade 3





unidade 4


e suplementares


70



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



71








72








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em sala de aula




74






RODRIGO BALESTRI

0127P18023

LEYA



visatildeo geral

75






2








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6







8









76














3






5













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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040




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em sala de aula




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JOAMIR SOUZA

JACQUELINE GARCIA

0155P18023

FTD



visatildeo geral

82





















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1













coroa circular



8







2











6




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COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040




85





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em sala de aula




88







MANOEL PAIVA

0180P18023

MODERNA



visatildeo geral

89





1






3




4











9






90


1







3




4



do arco duplo

5





propriedades


8




9





10








2





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matrizes





6



verticais









COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040


92









93








94



em sala de aula




95






0195P18023

MODERNA



visatildeo geral

96







intervalos




quadraacutetica













97











6












98



juro composto

2








5











99



COLECcedilAtildeO

3deg ANO

2deg ANO

1deg ANO


0 20 60 80 10040



100







101







102

em sala de aula




103









1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


1 Liste aqui xx pp

2 Liste aqui xx pp


104


nocriteacuterios

SIM NAtildeO





DESCREVA AQUI

no



PL SA RR

12


13



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

105


PL SA RR


21



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

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AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

106

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AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

24



AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

107





AVALIE AQUI


no criteacuterios

41







Outras modalidades

ESCREVA AQUI

108

42




422



423



424






AVALIE AQUI

no



PL SA RR

109

43








434




AVALIE AQUI

110

44


441



442









446




AVALIE AQUI

111

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452



453Calculadora







AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

112


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511



512



513



514



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AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

no



PL SA RR

113


61


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AVALIE AQUI

nocriteacuterios

SIM NAtildeO


114

65


651








AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

no



PL SA RR

115

no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO



71




713









AVALIE AQUI

116

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726



AVALIE AQUI

73






AVALIE AQUI


ESCREVA AQUI

117


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AVALIE AQUI

nocriteacuterios

SIM NAtildeO


118

84









AVALIE AQUI

no criteacuterios

SIM PARC NAtildeO


119

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ESCREVA AQUI

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no criteacuterios



AVALIE AQUI





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referecircncias

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