BUFFON

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788)Educado em Medicina e DireitoEscreveu Historie Naturelle, 44 volumes e Les Epoques de la Nature.

Agulhas de Buffon

A experiência de Buffon consiste em jogar ao acaso agulhas em um grid de retas paralelas. Sabendo-se a distância entre elas e o comprimento da agulha, calcula-se a probabilidade delas se cruzarem e, com o valor obtido, estima-se a constante π.A Teoria

Existem três possibilidades:

1. L<W

2. L=W

3. L>W

Neste trabalho estaremos considerando apenas as duas primeiras, como Buffon em sua experiência

A Experiência

Agulhas de BuffonCaso I

Seja L<W

Se a agulha cair formando um ângulo radianos com a direção das retas, então, na verdade, o comprimento da agulha é lsin.

E, dado , temos:

n = ƒ()= l sin /w

Onde n é o número de vezes que a agulha cruza uma das retas.

Só é necessário considerar no intervalo (0, π).

Assim temos:

Pr=ƒ()p()d

= (lsin / w)*( 1/π)*d

= (l/πw)*[-cos]π

= 2l/ πw

Essa é a probabilidade da agulha cruzar uma das retas no caso 1. Sabendo o número de vezes que isso acontece, faz-se os cálculos e estima-se π.

Agulhas de BuffonCaso II

Seja L=W.

Digamos, como exemplo, que L=W=1. Então:

Como na situação anterior, estaremos considerando θ no intervalo (0, π).

Vemos pelo desenho que a agulha cruzará a reta se:

D ½sinθ

Mas qual é a probabilidade disso ocorrer?

Agulhas de BuffonCaso II

Plotando D na ordenada e ½ sinθ calculado com θ no intervalo de 0 a π na abcissa, temos o gráfico abaixo, com a curva representando o “acerto”. Assim, a probabilidade do acerto é a porção azul sobre todo o retângulo.

A área da parte azul é encontrada calculando-se:

Aa= ½*sinθ*dθ = 1

A área do retângulo inteiro é:

At=½*π

Então, a probabilidade desse acerto é:

Pr=1/(π/2) = 2/π

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