C) MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

C) MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

AUTORESWALDEMAR ANTÔNIO DA ROCHA DE SOUZA

KLEOMARA GOMES CERQUINHO

122

MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

IntroduçãoA Matemática Aplicada à Administração é a primeira disciplina

do grupo das disciplinas de Administração Financeira que você está encontrando no curso de Administração.

Sua finalidade é proporcionar conhecimentos elementares de matemática para que o aluno possa acompanhar com maior facilidade as demais disciplinas do grupo financeiro do curso de administração.

Na primeira unidade, estarão os tópicos básicos de matemática que formam a parte instrumental da disciplina; na segunda unidade, você encontrará a teoria dos conjuntos, base fundamental para o estudo das outras unidades da disciplina; na terceira unidade, você irá visualizar as funções e representações gráficas que trabalham com as definições, possibilitando apresentar os principais elementos e os critérios de representações gráficas de funções; na quarta unidade, apresentaremos as funções e curvas usuais, crescentes, decrescentes e inversas. Com elas mostraremos como representar, funcionalmente, os principais tipos de funções e curvas, com ênfase nos mais usuais; na quinta unidade, apresentaremos as funções e curvas exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, as quais formam base importante da análise matemática em casos concretos; na sexta unidade, apresentaremos os limites e continuidade de funções que servem para aplicação em diversos problemas matemáticos; na sétima unidade, veremos as derivadas e diferenciais que possibilitam diversas abordagens e análises aprofundadas de situações em Administração; na oitava unidade, com as regras de derivação e derivadas de funções mostraremos a utilização de problemas e casos reais em Administração; na nona unidade, serão identificados os máximos e mínimos de funções; e na décima unidade, mostraremos casos práticos de matemática aplicada em administração que encerram esta disciplina.

Palavras dos autoresPrezados estudantes,Chegamos a mais uma etapa, e estamos novamente construindo,

com este caderno, novos conhecimentos no curso de graduação em Administração. Nele apresentaremos alguns conceitos e um corpo de definições da disciplina Matemática Aplicada à Administração.

Mas por que estudar Matemática? A Matemática disponibiliza um imenso instrumental analítico para diversas áreas do conhecimento. Em Administração, conforme será visto ao longo do curso, a Matemática (a Matemática Aplicada à Administração aí inclusa) possibilita várias abordagens práticas para a correta interpretação e o amplo entendimento das situações práticas das empresas e mercados.

Conjuntos: união – junção de dois ou mais conjuntos; interseção – dizer que um

elemento está na interseção de dos ou mais conjuntos

significa dizer que este elemento está em todos estes conjuntos; complementação

– a operação de pegar elementos que estão em um conjunto mais não estão em outro; produto cartesiano –

elementos formado por pares ou coordenadas, onde cada

coordenada pertence ao seu respectivo conjunto.

123


Como realizar essas abordagens? Antes de elas acontecerem, você, aluno, terá que aprender a Matemática de forma ativa, com lápis e papel na mão, fazendo e refazendo os exercícios relacionados aos conceitos matemáticos aqui apresentados, repetindo-os até o completo entendimento deles. Depois, serão mostrados, a você, conceitos matemáticos, os quais oportunizarão abordar assunto administrativos de forma mais adequada, mais científica.

Deseja-se que todos aproveitem ao máximo a atual oportunidade de aprender essas importantes e estratégicas práticas operacionais.

Quaisquer que forem as dúvidas sobre os conteúdos (conceitos) e exercícios a serem feitos, neste caderno, por favor, procure-nos. As dúvidas devem ser postadas no ambiente.

Bom estudo.Waldemar Antonio da Rocha de Souza

Kleomara Cerquinho

Orientações para estudoEste é seu caderno de Matemática Aplicada à Administração.

Nele você encontrará assuntos pertinentes aos princípios matemáticos que nortearão a seqüência de disciplinas do grupo financeiro do curso.

Procure sempre fazer a leitura deste material acompanhado de livros de matemática, pois sempre há necessidade de que você reveja conceitos (pré-requisitos) para que consiga entender os conteúdos que serão abordados em cada unidade deste caderno.

As dúvidas, assim mesmo, poderão ocorrer ao longo do uso deste caderno. Se eles ocorrerem, elas devem ser colocadas, primeiro, para os aos tutores presenciais – no pólo, conforme os horários pré-definidos – e, depois, a distância – pelas formas usuais que você já vem utilizando no AVEA. E, como dissemos anteriormente, neste último caso elas deverão postadas no ambiente.

Após a leitura de cada unidade, façam as atividades constantes na coluna de indexação. Se houver dúvidas para a realização das mesmas ajam como recomendamos quando falamos sobre as dúvidas em relação à leitura.

Para um melhor aproveitamento deste caderno, sugerimos ao aluno, abaixo, roteiro de estudo:

a) Primeiro, faça a leitura de cada unidade individualmente;b) Depois, exponha ao tutor-presencial o seu entendimento e

dúvidas;c) Tendo entendido o conteúdo da unidade, passe às atividades.Para os trabalhos em grupo, há necessidade de reunião entre

colegas de equipe e tutor presencial para realizar a atividade proposta;

124


Para os trabalhos individuais, após realizar os itens “a” e “b”, leia e elabore a atividade proposta.

Atenção: algumas palavras ou expressões serão apresentadas, no texto em azul. Elas estão explicadas na coluna ao lado do texto correspondente.

Bom estudo.

Ementa Tópicos elementares. Conjuntos. Funções e gráficos. Curvas exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Limites e continuidade. Derivadas e diferenciais. Máximos e mínimos. Aplicações à administração.

Objetivos de ensino-aprendizagem1. Capacitar o aluno para o acompanhamento das outras disciplinas

do grupo de financeiro do Curso de Administração.2. Elaborar mapas conceituais;3. Refazer os mapas conceituais após realizar as demonstrações

matemáticas.

Tópicos básicos de Matemática

1

Síntese: Nesta unidade, apresentamos os fundamentos matemáticos, as definições e os conceitos básicos da disciplina, os quais formam o arcabouço instrumental das análises e abordagens que serão introduzidas no decorrer do curso.


126

1.1 Números reaisA representação das variáveis matemáticas utiliza diversas

simbologias para expressar algumas características particulares. Dessa forma, temos que, para os números naturais, formados pelos números inteiros e positivos:

N = { 1, 2, 3, ...}No entanto, o conjunto dos números inteiros inclui os valores

negativos, positivos e nulos (zero):Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Quanto aos números racionais, esses formam o conjunto dado

pelas frações da forma p/q, onde p e q pertencem a Z e q ≠ 0:Q = { p/q; p e q são elementos de Z e q ≠ 0 }Existem alguns números que possuem propriedades distintas,

como, p.ex: 2 , e (base neperiana = 2, 718281), logaritmos, dentre outros. Esses são denominados números irracionais.

Em sendo assim temos: o conjunto dos números reais (ℜ) engloba os números naturais, inteiros, racionais e irracionais, sendo denominado matematicamente de corpo ordenado completo:

ℜ = conjunto que contém N, Z, Q e os irracionais= { } 3, ,e,, 2, ,,3, ,2, 1, 0, 1,- ,,2- ,3 -, ,-2, ,-e, 3,- ,

Tendo mostrado a classificação dos números reais, mostraremos agora como os racionais podem se transformar em inteiros e vice-versa, e assim por diante.

1.2 Transformações Transformações: são modalidades de expressões algébricas,

denominadas através de uma ou mais formas. Exemplos:4/5 = 0,8 1/3 = 0,3333 0,525252...= 52/99 0,32444... =

73/225Como se transforma frações em números decimais? Dividindo-

se de modo usual o numerador pelo denominador, trans forma-se as frações em números decimais. Caso a divisão não seja exata, o resultado adota o critério de aproximação usual. Exemplos:

8/3 = 2, 6667 10/13 = 0, 769231 15/35 = 0, 428571 1/20 = 0, 05

Vejamos, agora, como acontece a transformação dos números decimais em frações. Para transformar números decimais em números fracionários podemos utilizar o seguinte raciocínio: observando que os números estão escritos na base 10, multiplicamos o valor x a ser transformado sucessivamente pelas potências positivas da base 10 até obtermos dois números com as partes decimais idênticas. Por

Conjunto dos números reais – o conjunto

formado pelos números racionais e irracionais.

Logaritmos – função definida por uma

igualdade exponencial.

Unidade 1

127

subtração eliminamos as partes decimais obtendo o número escri to na forma fracionária. Exemplo: transformar em número fracionário: 23, 453434...

Temos que:x = 23,453434...l0x = 234,53434...100x = 2.345,34343434...1.000x = = 23.453,434343...10.000x == 234.534,3434...Note que as equações de 100x e 10.000x têm a mesma parte

periódica 0, 343434... . Assim, subtraindo estas duas equações, obtemos:10.000x == 234.534,3434- 100x =2.345,34349.900x == 234.534 -2.3459.900x =232.189 → x = 232.189 / 9.900 .Para a determinação das geratrizes das dízimas periódicas temos

as seguintes regras:

Regra 1 - A geratriz de uma dízima periódica simples (DPS, de parte inteira nula) é uma fração que tem para numerador o período e para denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Esquematicamente, DPS = P.P. / 9...9 (p.p.)Exemplo: 0, 525252... = 52 / 99Regra 2 - A geratriz de uma dízima periódica composta (parte

inteira nula) é uma fração que tem para numerador a dife rença entre o número formado pela parte não periódica (p.n.p.), acompanhada de um período (p.p) e a parte não periódica (p.n.p.); e, para denominador, um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período (p.p.), seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica (p.n.p.).

Esquematicamente teremos a seguinte fração:

.)..(

)0(

.).(

)9(.)..(.)..)(..(

pnp

K

pp

Kpnppppnp

↓↓

−

Exemplo: 22573

900292

9003232432444,0

Observa-se que as dízimas periódicas de período 9 não têm geratrizes no sentido acima. Neste caso procedemos, por definição, como segue:


128

0, 999... = 1 e 25

16110064444,6439999,6

Note que no nosso primeiro exemplo para converter o número x= 23, 453434... em fração, poderíamos também proceder da seguinte forma: 453434,02323,453434 x . Assim na dízima 0, 453434...,

temos que 99004489

990045-4534 0,453434 K .

Assim,.

9900232189

99004489990023

9900448923 453434,023

Kx

1.3 Cálculo do valor de expressões numéricas Cálculo do valor de expressões numéricas são expressões

numéricas, maneiras de descrever diversas operações entre os números reais, explicitados de forma inteira, fracionária ou irracional, as quais são redutíveis a um valor ou solução final única. Exemplos:

1) 39,1021,36,133,21-3,44 3,21 - 0,4) 3 ( 4

2) 354,210002354

10107

100227,100,22 4 0,3)-(11 0,22

1.4 Cálculo de porcentagemAs porcentagens servem para facilitar a expressão de taxas,

relativizações, impactos cruzados, além de ajudarem as transformações algébricas dos algarismos. São expressas em percentuais, sendo o símbolo delas %. Exemplos:

1) 10% de 29 + 4,2% de 17 = 614,3714,09,217042,0291,017100

2,42910010

2) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,76 = 88401,076,2034,045,18053,0

3) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432 = 122,68517432036,025,143904,0

1.5 PotenciaçãoAs potenciações são expressões onde um valor ou expressão

algébrica serve de base, e o outro de expoente. Exemplos:1) an = a . a . a . ... a (n vezes) 2) a0 = 1 3) a1 = a 4) n

n

aa 1

=− , a ≠ 0

5) an . am = an+m 6) an : am = a n-m, a ≠ 0

Porcentagem – relação de proporção com uma parte

inteira.

Potenciação – operação de multiplicação

sucessiva pelo mesmo número.

Valor de expressões numéricas – valor

calculado com as devidas operações da expressão.

Unidade 1

129

7) (am)n = amn

8) n

nn

ba

ba

=

, b ≠ 0

1.6 Equações do 1º e 2º graus

Elas são formas de expressões, relações algébricas entre variáveis reais. Dividem-se em equações do 1º e do 2º graus, dependendo da potência do termo avaliado, denominado por x; se a potência for 1 (um) a equação será do primeiro grau, se for 2 (dois) será do segundo. Conceitualmente:

Equações do 1º grau: forma geral: Ax = B, com A ≠ 0, solução: x = B / A (observar que a potência de x é igual a 1 – um ).

Exemplos:

1) 24884 ==⇒= xx

2) 23

12

43

21

43

43

21

=×==⇒= xx

3) 424691539153999

53

1

xxxxxxxx

Equações do 2º grau: forma geral: Ax2 + Bx + C = 0, com A ≠ 0, B ≠ 0 e C ≠ 0 (observar que a potência do primeiro x é igual a 2 – dois). A Solução Geral é dada por:

AACBBx

242

Se Δ = B2 -4AC > 0, a equação tem duas raízes reais distintas:

ABx

2∆+−

= e A

Bx2

∆−−=

Se Δ = B2 -4AC = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais:

ABx

2−

=

Se Δ = B2 -4AC < 0, a equação não tem raízes reais.

Exemplo:x2 -7x + 12 = 0 → A= 1, B= -7 e C = 12 → Δ = B2 -4AC = 1

Assim, ⇒

±=

±=

∆±−=

217

217

2ABx x = 4 e x = 3

Equações do 1º e 2º graus – expressões de igualdade com polinômios de 1º e 2º graus para encontrar o valor da variável em questão.


130

1.7 Inequações do 1º e 2º grau As inequações são expressões algébricas onde a relação entre os

termos se exprimem pelas desigualdades >, ≥, < e ≤ . Formas gerais:

Inequações do 1º grau: Ax ≥ B → x ≥ B/A se A >0; x ≤ B/A se A < 0

Ax ≤ B → x ≤ B/A se A >0; x ≥ B/A se A < 0.Exemplos: 4x ≥ 8 → x ≥ 8/4 = 2 → x ≥ 210 x ≤ 40 → x ≤ 40/10 = 4 → x ≤ 4

Inequações do 2º grau: Ax2 + Bx + C ≥ 0, solucionamos através da mesma metodologia para as equações do 2º grau, utilizando o estudo do sinal. As inequações são representadas pelas desigualdades: >, <, ≥ ou ≤. A solução será um intervalo do conjunto dos números reais, ℜ∣ ∣.

Exemplo: x2 – 3x +6 > 0 → x2 – 3x +6 = 0 de forma similar a uma

equação de 2º grau: x´= 1, x´´ = 2 . Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do gráfico e ver para quais valores de x isso ocorre:

Vemos que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2, sendo então o conjunto solução {x €ℜ|x<1 ou x>2}.

1.8 Sistemas de equações do 1º grauEstes sistemas servem para a resolução de problemas que

apresentam duas incógnitas, com dois termos desconhecidos. Quando assim, utilizamos um sistema de equações:

Ax + By = C e Dx + Ey = FA solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par

ordenado (x, y) de números reais que satisfaz as duas equações acima. Existem três métodos para solucionar o sistema: adição, substituição e comparação.

1.8.1 Método da adição Como construirmos este método? Eliminamos uma das variáveis,

através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável. Exemplo: x+y=12 e x-y=4:

Função: constante, linear, valor absoluto,

quadrática, polinomial, racional e de potência

simples – são tipos especiais mais comuns

de funções.

Inequações do 1º e 2º grau – são expressões com polinômios de 1º

e 2º graus contendo desigualdades.

Sistemas de equações do 1º grau – conjunto de duas

ou mais equações do 1 grau.

Unidade 1

131

Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y); Basta somar as duas equações, obtendo: 2x =16 e então, x = 8 ; eSubstituir o valor encontrado para x em uma das equações;y = 12-x=12 – 8 = 4; o par ordenado (x, y) = (8, 4) é a solução

do sistema.

1.8.2 Método da substituição Este método consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando

seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substituí-la na outra. No exemplo anterior, escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor: x+y=12 → x=12-y:

Substituimos na outra equação: (12-y) - y = 4 → 12-2y = 4 → -2y = -8 → y=4 ;

Substituindo o valor encontrado em uma das equações: x+4=12 → x=12-4 x=8.

A solução do sistema será: S = {(8,4)}.

1.8.3 Método da comparaçãoEste método consiste em compararmos as duas equações

do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações: No exemplo anterior, comparamos as duas equações: x = 12 - y e x = 4 + y → 12 – y = 4 + y → y = 8/2 → y = 4 → x = 12 – 4 → x =

Solução: (x, y) = (8, 4).

1.9 Logaritmos Definição de logaritmo: Seja a > 0, a ≠1 e x > 0. O número real

y tal que ay = x denomina-se logaritmo de x na base a e escreve-se: y = logax .

Em termos simplificados, o logaritmo de um número N, na base b, é o número x ao qual devemos elevar a base b para obtermos N. Exemplos:

log24= 2 → 22 = 4 ; log1010 = 1 → 101 = 10 ; log5125 = 3 → 53 = 125

Em particular, se a = 10, dizemos que y é o logaritmo decimal de x e, neste caso, escrevemos:

y = log x. Os logaritmos decimais podem ser calculados com o auxílio de

uma TÁBUA DE LOGARITMOS, que em geral contém as necessárias instruções para os cálculos a serem realizados. Diversas máquinas eletrônicas permitem a obtenção direta dos logaritmos decimais.


132

Quando a = e (e = 2, 718281), dizemos que y é o logaritmo natural de x e escrevemos:

y = ln xO cálculo dos logaritmos naturais pode ser feito com o auxílio

de uma TÁBUA DE LOGARITMOS NATURAIS ou a partir dos logaritmos decimais por mudança de base, ou ainda com o emprego de uma máquina calculadora.

Mudança de base:

bx

xa

ab log

loglog =

Propriedades dos logaritmos:loga1 = 0logaa = 1Logaritmo do produto: loga (x1.x2) = loga x1 + loga x2Logaritmo do quociente: loga (x1/x2) = loga x1 – loga x2Logaritmo de uma potência: xnx a

na loglog ⋅= , onde a > 0, a ≠1.

Vá ao ambiente virtual e realize as atividades

referentes a esta unidade.

Teoria dos conjuntos

2

Síntese:Mostramos, nesta unidade, os conceitos, notações principais, propriedades e operações da teoria dos conjuntos.


134

2.1 Conceito e notações Notações se constituem em um conjunto (ou coleção), o qual é

formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação básica entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos Ax ∈ . Se, porém, x não é um dos elementos do conjunto A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos

Ax ∉ . Exemplos:1. Seja A o conjunto dos triângulos retângulos. O conjunto A está

bem definido: um objeto x pertence a A quando é um triângulo e, além disso, um dos seus ângulos é reto. Se x não for um triângulo, ou se x for um triângulo que não possui ângulo reto, então x não pertence a A;

2. B = { 1, 0, 2, 3} → B é o conjunto cujos elementos são os números 1, 0, 2 e 3;

3. C = { 4 } → C é o conjunto cujo único elemento é o número 4.

2.2 Subconjuntos Expliquemos o que sejam os subconjuntos. Por exemplo, dados

dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é elemento de B. Utiliza-se a notação A C B (A está contido em B), e indica que A é um subconjunto de B. Se A não é subconjunto de B, escrevemos: BA ⊄ . Exemplos:

Se A={1, 2, 3} e B={0, 1, 2, 4, 3}, então A C B, pois todo ele-mento de A é elemento de B. Por outro lado, se A ={2, 4, 5} e B={1, 4, 5}, então BA ⊄ pois A∈2 e B∉2 .

2.3 Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando A e B têm os mesmos elementos. Assim, os conjuntos:

• A ={2, 2, 4, 3} e B={2, 4, 3} são iguais; • A = {0, 1} e B = {0, 2} são distintos, pois não têm os mesmos

elementos; • A ={4, 5, 6} e B={4, 6, 5} são iguais.

2.4 Propriedades definidoras de conjuntos As propriedades definidoras de conjuntos se constituem em um

símbolo que representa indistintamente qualquer um dos ele mentos de um conjunto, recebendo o nome de variável no conjunto. Assim, se A é o conjunto A ={2, 3, 4, 5}, a notação Ax ∈ significa que x pode assumir qualquer dos valores 2, 3, 4 ou 5. Portanto, x é uma variável em A.

Igualdade de conjuntos – dois conjuntos são iguais

se um conjunto contém o outro e vice-versa.

Subconjunto – uma parte contida em um conjunto

maior.

Unidade 2

135

Os elementos de um conjunto A, que satisfazem a uma dada pro priedade, constituem um subconjunto de A, definido por esta propriedade. Por exemplo, seja A={2,3,4,5,6}; o conjunto B={2,4,6} é o subconjunto de A constituído pelos elementos de A que são números pares. Então, podemos escrever que: B={ |Ax ∈ x é par} (B é o conjunto dos elementos x pertencentes a A tais que x é par). O fato “x é par” foi a propriedade utilizada para explicitar os elementos do subconjunto B. Por outro lado, ao definirmos D ={ |Ax ∈ x < 0 } → D = { }= Φ → conjunto vazio; inexiste elemento de A que tenha essa propriedade.

2.5 Operações com conjuntos Sejam A e B subconjuntos de um mesmo conjunto E. Definimos

a seguir as principais operações entre eles:

2.5.1 União A união ou reunião de A e B é o conjunto dos elementos de E,

que pertencem a A ou a B. A união de A e B será indicada pela notação A U B (A união B). Assim,

A U B= { |Ex ∈ Ax ∈ ou Bx ∈ }

Nas figuras abaixo, a parte hachurada representa a reunião dos conjuntos A e B.

Exemplo: A={4,5,3}; B={0,3,1} → A U B={4, 5, 3, 0,1I}

2.5.2. Propriedades: 1) A U B=B U A (comutativa) 2) (A U B) U C = A U (B U C) (associativa) 3) A U A =A 4) A U Φ =A 5) A U E=E, se EA ⊂ .

2.6 Intersecção A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto dos elementos de

E, que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos. A intersecção de A e B será indicada pela notação: A ∩B (A intersecção B ou A inter B). Assim:

A ∩ B= { |Ex ∈ Ax ∈ e Bx ∈ }.


136

Nas figuras abaixo, a parte hachurada (sombreada) é a intersecção dos conjuntos A e B.

A A B

B A∩ B = { }

Exemplo: A = {3,4,5,6} e B ={2, 4, 0, 6}. Portanto, A∩B={4,6}. Propriedades: 1) A ∩ B=B ∩ A (comutativa) 2) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativa) 3) A ∩ A =A 4) A ∩ Φ =A 5) A ∩ E= A, se EA ⊂

6) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (distributiva)7) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) (A ∩ C) (distributiva)

2.7 Diferença A diferença A - B é o conjunto dos elementos de E, que pertencem

a A e não pertencem a B, ou seja: A-B= { |Ex ∈ Ax ∈ e Bx ∉ }.Nas figuras seguintes a parte hachurada indica a diferença de A e

B:

Exemplo: A = {4, 5, 3, 1} e B = {4, 2, 1} → A – B = {5, 3}.

2.8 ComplementaçãoSe A está contido em B, a diferença B - A recebe o nome de

complementar de A em relação a B. Anotação CBA indica o comple-mentar de A em relação a B. Assim:

CBA = B - A = { |Ex ∈ Ax ∉ e Bx ∈ }.

Na figura abaixo a parte hachurada representa CBA:

Unidade 2

137

Exemplo: A = {4, 5, 6} e B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7} → CBA = {0, 1, 2, 7}.

Propriedades: se EA ⊂ , temos que:1) CA ∩A = Φ2) CΦ =E3) ( CA) U A = E4) (CE) = Φ5) C (CA) = A6) C (A ∩B) = (CA) U (C B) (Primeira Lei de Morgan)7) C (A U B) = (CA) ∩ (CB) (Segunda Lei de Morgan)

2.9 Produto cartesiano Sejam A e B dois conjuntos formados por (a, b), onde a € A e b

€ B, os quais são denominados de par ordenado. O conjunto de todos os pares ordenados (a, b) recebe o nome de produto cartesiano de A e B, sendo indicado pela notação: A x B (A cartesiano B ou A vezes B). Assim:

A x B = { (a,b) | a € A e b € B }.

Exemplo: A = {0, 1}, B = {3, 4} → A x B = {(0,3), (0,4), (1,3), (1,4)}.

2.10 Conjuntos numéricos importantes • Conjunto dos números inteiros naturais: N = { 1, 2, 3, ...} • Conjunto dos números inteiros relativos: Z = { ..., -3, -2, -1,

0, 1, 2, 3, ...}• Conjunto dos números racionais: Q = { p/q; p e q são

elementos de Z e q ≠ 0 }• Conjunto dos números reais: ℜ = conjunto que contém N, Z,

Q e os irracionais.

2.11 Subconjuntos da reta Dentre os subconjuntos da reta, alguns merecem uma

consideração especial. Sejam a e b dois números reais, com a < b, e consideremos os seguintes intervalos:

[a, b] = {x € R | a ≤ x ≤ b }, intervalo fechado de extremos a e b:

“/////////////, a b ]a, b[={X € R | a<x<b}, intervalo aberto de extremos a e b:

O////////////’O a b


138

[a, b [ = {x € R | a ≤ x < b}, intervalo semi-aberto à direita, de extremos a e b:

( ////////////O • a b

] a, b] = {x € R | a < x ≤ b}, intervalo semi-aberto à esquerda, de extremos a e b:

0’/////////////1

a b

Adicionalmente, temos: {x € R | x ≥ a} → [a, +∞[ ; {x € R | x> a} → ]a, +∞[ ;{x € R | x ≤ a} → ]-∞, a] ; {x € R | x < a} → ]-∞, a[ ; R → ] -∞, -∞[.

2.12 Aplicações O uso de conjuntos, de suas propriedades e operações, serve para

diversas análises de situações práticas em Administração. Exemplo: Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de

200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados:

• 20 responderam que consumiam os três produtos; 30 disseram que consumiam os produtos P1 e P2, 50 os produtos P2 e P3, 60 os produtos P1 e P3, 120 o produto P1, 75 o produto P2.

• Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se: a) quantas consumiam somente o produto P3? b) quantas consumiam pelo menos dois dos produtos?

Solução: considera-se que o número de pessoas que consumem os três produtos é n(A∩B∩C) = 20;

O número de pessoas que consumem os produtos P1 e P2 é n(A∩B) = 30;

O número de pessoas que consumem os produtos P2 e P3 é n(B∩C) = 50;

O número de pessoas que consumem os produtos P1 e P3 é n(A∩C)=60;

O número de pessoas que consumem o produto P1 é n(A) = 120; O número de pessoas que consumem o produto P2 é n(B) = 75,

onde A,B e C = conj. Dos consumidores de P1, P2 e P3 respectivamente, temos então:

Unidade 2

139

i. número total de consumidores é n(AUBUC)=200. Temos a regra:

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C).

Assim,200=120+75+n(C)-30-60-50+20.

Então 200=75+n(C), e daí n(C)=125 é o número de pessoas que consomem o produto P3.

O número de pessoas que consomem pelo menos dois dos produtos é = n(A∩B) + n(A∩C) + n(B∩C) - 2*n(A∩B∩C) = 30 + 60 + 50 - 2*20 = 140 - 40 = 100.

Vá ao ambiente virtual e realize as atividades referentes a esta unidade.

Funções e representações gráficas

3

Síntese:Apresentamos, aqui, as definições, os principais elementos e critérios para a representação gráfica de funções, os quais formam base importante da metodologia descritiva da disciplina, com diversos usos para a caracterização de problemas práticos.


142

3.1 Conceito Uma função f: A → B consta de três partes: um conjunto A,

chamado o domínio da função (ou o conjunto onde a função é definida); um conjunto B, chamado o contradomínio da função, ou o conjunto onde a função toma valores; e uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento x € A, um único elemento f(x) € B, chamado o valor que a função assume em x (ou no ponto x). Usa-se a notação x → f (x) para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x). Exemplo:

Seja A o intervalo [0, 10] e consideremos a correspondência x → x2, isto é, a correspondência que associa a todo ponto x € A o número real y = x2. Fica assim definida em A a função f tal que f(x) = x2, isto é, tal que o valor de f num ponto x qualquer de A é x2. Deste modo,

f (0) = 02 = 0; f (5) = 52= 25; f (10) = 102 = 100.

3.2 Principais funções elementares Relacionamos abaixo algumas funções básicas e os seus domínios,

observando a forte participação do conjunto ℜ como domínio das funções:

f (x) A (conjunto domínio)

x

1/x { x € | x ≠ 0 }

a, a≠ 0

(f.constante)

{ x € | x = a }

1 / (x+1) { x € | x ≠ -1 }

Raiz (x)

1/Raiz(x+1) { x € | x ≠ -1 }

xa., a≠ 0

Ax

Ax + B (f.linear afim)

Unidade 3 Funções e

representações gráficas

Unidade 3 Funções e

representações gráficas

3.2.1 Funções do 1º e 2º graus As funções do primeiro grau associam ao domínio um conjunto

de correspondência cujo expoente é unitário. Exemplos:

f(x) = xf(x) = x + 4 → Forma Geral: ax + b , onde a, b ≠ 0f(x) = 3x + 10

Unidade 2

143

As funções do segundo grau associam ao domínio um conjunto de correspondência cujo expoente é igual a dois. Exemplos:

f(x) = x2

f(x) = x2 + 4 → forma geral: ax2 + b , onde a, b ≠ 0f(x) = 3x2 + 10

3.2.2 Função racional e função potênciaFunção racional: é uma razão de polinômios. Para uma simples

variável x, uma função racional é, portanto

onde P e Q são polinômios, tendo x como indeterminado e 0)( ≠xQ para todo x no domínio da função. Exemplos:

P(x) = x; Q(x) = x+3 → f(x) = x / (x+3), com x ≠ -3P(x) = 2x2; Q(x) = x3 + 3x - 4 → f(x) = 2x2 / (x3 + 3x - 4), com x ≠ 1

3.2.3 Função potência Fórmula geral: f(x) = a x b, onde a, b ≠ 0. Para diferentes valores

de a e b, temos que:

a b f(x)

1 1 x

2 2 2x2

3 3 3x3

1 2 x2

1 3 x3

3.3 Igualdade de funções Sejam duas funções de x, f(x) e g(x), ambas com o mesmo domínio.

As duas funções se dizem iguais quando em todo o ponto do domínio de f e g, no conjunto x existir uma única correspondência tal que f(x) = g(x), para todo e qualquer x.

Ainda, podemos definir: sejam f e g duas funções definidas, respectivamente em A1 e A2. Dizemos que f e g são iguais quando A1 = A2 e f(x) = g(x), para todo x € A1.


Função racional e potência – função racional é a divisão de duas funções e a função potência é quando tomamos potências de uma certa base.

Igualdade de funções – duas funções são iguais se seus domínios forem iguais e se assumem os mesmos valores para os correspondentes pontos do domínio.


144

Exemplos: •As funções f, definida em [0, 10] e tal que f(x) = x2, e g, definida

em [0, 5] e tal que g(x) = x2, são distintas, pois A1 ≠ A2; •As funções f, definida em [-100, 100] e tal que f(x) = x3, e g,

definida em [-100, 100] e tal que g(x) = x3, são iguais, pois A1 = A2.

3.4 Operações com funções As funções são submetidas às operações algébricas usuais, a saber,

soma, subtração, produto e quociente. Sejam f e g funções definidas num mesmo conjunto D, então temos que:

Soma: a função s definida em D e tal que s(x) =f(x) + g(x) recebe o nome de função soma de f e g. Exemplo:

•Se f(x) = x2 e g(x) = 2x + 1, com x € ℜ, então a função s defi-nida em ℜ e tal que s(x) = x2 + 2x + 1 é a soma de f e g.

Produto: a função p definida em D e tal que p (x) = f(x) . g(x) é a função produto de f e g. Exemplo :

•Sejam as funções f(x) = x e g(x) = 3x2 + 4 com x € ℜ; a função p definida em ℜ e tal que p(x) = x(3x2 + 4) = 3x3 + 4x é o produto de f e g.

Quociente: se g(x) ≠ 0, para todo x € D, a função q definida em D e tal que q(x)=f(x)/g(x) é o quociente de f e g. Exemplo:

•Sejam f(x) = x2 e g(x) = x2 + 1, com x € ℜ. A função definida em ℜ é tal que q (x) = x2 / (x2 +1) é o quociente das funções f e g.

3.5 Domínio de funções Vimos que ao definir uma função começamos por mencionar

explicitamente o seu domínio D, pois este procedimento faz parte da definição da função. Consideremos agora a correspondência x → y = 1/x, que pode definir funções distintas dependendo do subconjunto D fixado.

Por exemplo, se D = [1, 5] tal correspondência define em D a função f tal que f(x) = 1/x. Se D = [3, 10] a correspondência x → y = 1/x define, em D, a função g tal que g(x) = 1/x e, de acordo com a definição de igualdade de funções, f ≠ g, pois seus domínios são distintos.

Ao mencionarmos a função f definida por uma correspondência do tipo x → y = 1/x sem que o conjunto D seja fixado explicitamente, x fica estabelecido que estaremos nos referindo à função f, cujo domínio D é o conjunto de todos os números reais x tais que y = 1/x é também x um número real. No caso D ={ x € ℜ | x ≠ 0}. Em vista desta convenção, vamos referir-nos à função f acima como função dada por y = 1/x.

Domínio de funções – conjunto onde é possível

determinar a função.

Unidade 4

145

Como outro exemplo, a função dada por xy = é a função f definida no intervalo [0, + ∞ [ e tal que xxf =)( .

3.6 Representação gráfica de funções

Seja f uma função definida num subconjunto D da reta. O conjunto dos pontos (x, y) do plano em que x € D e y = f(x) constitui a repre sentação gráfica da função f.

Uma representação gráfica aproximada da função f pode ser conseguida marcando-se no plano xy um conjunto de pontos (x, y) em que x € D e y = f(x). Para isto, construímos uma tabela (x, y), atribuindo a x valores convenientes. Exemplos:


146

3.7 Aplicações O gasto estimado (em bilhões de dólares) por firmas em

equipamentos e serviços de segurança de computadores de 1987 a 1993 é dado na tabela a seguir. Os números incluem gastos para a proteção contra criminosos de computador, que roubam, apagam, ou alteram dados, juntamente com proteção contra incêndios, falhas elétricas e desastres naturais.

Ano Gasto

1987 0,491988 0,591989 0,661990 0,731991 0,811992 0,931993 1,02

Um modelo matemático fornecendo uma aproximação do gasto no período em questão é dado por:

S(t) = 0,0864t + 0,4879

onde t é medido em anos, com t = 0 correspondendo a 1987. a) Assumindo que a tendência tenha se mantido, qual foi o gasto

em equipamentos e serviços de segurança de computadores em 1995 (t = 8)?

b) Qual é a taxa de crescimento da despesa anual do período em questão?

Solução:a) O gasto estimado em 1995 é de S (8) = 0,0864(8) + 0,4879

≈ 1,1791ou seja, aproximadamente $ 1,18 bilhão. b) A função S é linear, e assim concluímos que o crescimento

anual nas despesas é dado pela declividade da reta representada por S, que é de aproximadamente $ 0,09 bilhão por ano.



Funções e curvas usuais, crescentes, decrescentes e

inversas

4

Síntese:Nesta unidade, introduzimos os conceitos e critérios comuns para a representação funcional dos principais tipos de funções e curvas, bem como os critérios de avaliação evolutiva: crescimento, decrescimento e inversão de funções.


148

4.1 Função constante: y = k Seja k um número real qualquer. A função f definida em ℜ e dada

por y = k recebe o nome de função constante. O gráfico da função constante, y = k, é a reta paralela ao eixo x de equação y = k.

4.2 Função linear: y = Ax A função f definida em ℜ e dada por y = Ax, onde A é um número real não nulo, recebe o nome de função linear. O gráfico de y = Ax é uma reta inclinada em relação ao eixo x que passa pelo ponto (0,0). Exemplos:

4.3 Função linear afim:

Seja a função: y = Ax + B. A função f definida em ℜ e

dada por y = Ax + B, em que A e B são números reais não nulos, denomina-se função linear afim. Seu gráfico é uma reta inclinada em relação ao eixo x que passa pelo ponto (0, B).

Unidade 4

149

Observações (1) Se B = 0, a função linear afim se reduz à função linear y = Ax. (2) Se A = 0, a função linear afim se reduz à função constante y = B. (3) Se A = 0 e B = 0, a função linear afim se reduz à função

constante y = 0.

4.4 Função valor absoluto A função f, definida em ℜ, e dada por y = | x |, recebe o nome

de função valor absoluto ou função módulo. Considerando que:| x | = x se x ≥ 0| x | = -x se x < 0

resulta que o gráfico de y = | x | é formado por duas semi-retas que partem da origem, conforme a figura seguinte:

Exemplo:

4.5 Função quadrática Seja a função: y = Ax2 + Bx + C Sejam A, B e C números reais quaisquer com A ≠ 0. A função

f definida em ℜ e dada por y = Ax2 + Bx + C recebe o nome de função quadrática. Exemplo:


150

4.6 Função polinomial Sejam A0, A1 , ... , An-l, An números reais quaisquer com A ≠ 0. A

função f definida em ℜ e dada por: y = A0xn + A1xn-1 + ... + A n-1 x + An

onde n é um inteiro não negativo e recebe o nome de função polinômio de grau n. Exemplo:

4.7 Função racional

Seja a função: y = P / Q Sejam P e Q dois polinômios. Seja D o conjunto dos números reais x para os quais Q(x)≠0. A função f, definida em D, e dada

por )()(

xQxPy recebe o nome de função racional. Exemplo:

434

2

x

xy

4.8 Função de potência simples

Seja a função: Sejam m e n números inteiros positivos. À função dada por

mnnm

xxy daremos o nome de função potência de expoente racional positivo. Se m ou n forem negativos, chamamos de função potência de expoente racional negativo. Exemplos:

1) 31

xy = → expoente racional positivo, domínio é o conjunto ℜ;2) expoente racional negativo, domínio é o conjunto {x € ℜ | x

≠ 0}.

4.9 Composição de funções usuaisSejam u e v duas funções com u definida em D1 e v em D2 e

suponhamos que u(x) € D2, qualquer que seja x € D1. Podemos, então, considerar a função h, definida em D1, e tal que h (x) = v(u(x)) para todo x € D1. A função h assim definida recebe o nome de composta das funções v e u.

Unidade 4

151

Exemplos: consideremos as funções u(x) = x2 + 1 com x € ℜ e

xxv =)( com x ≥0. Neste caso temos: D1 = ℜ e D2 = { x € ℜ I | x ≥

0}. Como u(x)=x2 + 1, então u(x) ≥ 1 qualquer que seja x € ℜ resulta

que u(x) € D2. A função h definida em ℜ é tal que a composta de v e u

será dada por:

1)())(()( 2 +=== xxuxuvxh )

Composição de Funções

Y u (x) y (u(x))x2 x2-1 (x2-1)2

x-2 x2-1 (x2-1)-2

x1/2 2x-1 (2x-1)1/2

2x x+1 2x+2Log (x) x-1 Log (x-1)

Tabela de exemplos

4.10 Função crescente, decrescente e inversa Seja I um intervalo qualquer da reta e f uma função definida em

I. Sejam x1 e x2, com x1 < x2, dois pontos quaisquer de I.f é crescente em I quando f(x1) < f(x2);f é decrescente em I quando f(x1) > f(x2);f é não-decrescente em I quando f(x1) ≤ f (x2);f é não-crescente em I quando f(x1) ≥ f(x2).

Exemplos:y = x2 → é decrescente no intervalo ]-∞, 0] e crescente no intervalo

[0, +∞ [.xy = → é crescente no intervalo [0, +∞ [.

4.11 Função inversaSeja u uma função definida num

intervalo I, crescente ou decrescente em I.

Seja B={ u (x) € ℜ | x € I }. A função v definida em B e tal que v(u(x)) = x recebe o nome de inversa de u.

A expressão que define em B a função v pode ser obtida isolando-se a variável x na expressão que define em I a função u. Exemplo ao lado:

Função crescente – função onde seus valores aumentam conforme aumentam os pontos no domínio.

Função decrescente - função onde seus valores diminuem conforme aumentam os pontos no domínio.

Função inversa – funções que quando compostas com a função principal dão a função identidade.


152

4.12 Aplicações As funções de demanda/oferta por certa marca de aparelho

celular são dadas por

p = d(x) = -0,01x2 – 0,2x + 8 - demandap = s(x) = 0,01x2 + 0,1x + 3 - oferta

onde p é expresso em reais e x é medido em milhares. Determinar a quantidade e o preço de equilíbrio.

Solução: igualando as duas equações, temos que x = -25 ou x = 10 → x = 10.000 unidades de aparelho celular;substituindo em p(x) → p(10) = R$ 5 por aparelho celular. Gráfico:



Funções e curvas exponenciais e logarítmicas

5

Síntese:Nesta unidade, apresentamos nesta unidade conceitos principais aspectos e critérios para a representação gráfica de funções e curvas exponenciais e logarítmicas, as quais formam base importante da análise matemática, com diversos usos para a identificação de casos concretos.


154

5.1 Função exponencial Seja a um número real positivo, a ≠ 1. A função dada por y=ax

com x € R, recebe o nome de função exponencial de base a.

Observações:1. A função dada por y=ax assume somente valores positivos. 2. Se a > 1, y=ax cresce com x e se a < 1, y=ax decresce quando

x cresce. 3. Se x = 0, y = a0 = 1.

5.2 Função logaritmoSeja a um número real positivo, a ≠ 1. Se x é um número real

positivo existe um único número real y tal que ay = x. O número y assim obtido recebe o nome de logaritmo de x na base a, e escrevemos: y = logax e recebe o nome de função logaritmo de base a. Exemplo:

Observações:1. y = loga 1 = 0, isto é, o gráfico de y = logax intercepta o eixo x,

no ponto de abscissa x = 1.

2.Se a > l, então, logax > 0 para x > l e logax < 0 para 0<x<1.

3. Se a < l, então, logax < 0 para x > l e logax > 0 para 0<x<1.

Unidade 5

155

Em particular, se a = 10, a função dada por y = log10 x é chamada função logaritmo decimal e será indica da simplesmente por y = log x. Se a = e ( ≈ 2,7), escrevemos y=lnx, para indicar a função logaritmo na base e, ou seja, para indicar a função logaritmo natural.

5.3 Aplicações Existem diversos usos de funções logarítmicas e exponenciais em

Administração, em particular em Administração Financeira. Exemplos:Juros compostos continuamente: A = Pert, onde• A = montante acumulado ao final de t anos;• P = principal;• r = taxa de juros anual continuamente composta• t = tempo em anos.

Exemplos: 1. Calcule o montante acumulado após 3 anos de R$ 1.000,00,

investidos à taxa de 8%, composta continuamente. Solução:

P = R$ 1.000,00, r = 0,08 e t = 3 → A = 1000 e (0,08)(3) = R$ 1.271,25

2. A Companhia de Investimento Blakely possui um edifício comercial localizado na área comercial de uma cidade. Como resultado do contínuo sucesso de um programa de reestruturação urbana, os negócios locais estão crescendo espantosamente. O valor de mercado da propriedade de Blakely é de

2000.300)(t

etV =

onde V(t) é medido em dólares e t é o tempo em anos contado do presente em diante. Se a taxa de inflação continuamente composta, esperada para os próximos 10 anos, é de 9%, encontre uma expressão para o valor presente do preço de mercado da propriedade, válido para os próximos 10 anos. Obter P(7), P(8) e P(9) e interprete os resultados.


156

Solução: usando a Fórmula P = Ae-rt com A = V(t) e r = 0,09, temos que o valor presente de mercado da para um período de t anos, contados a partir de hoje, é

P(t) = V(t)e-0,09t = 300.000e -0,09t+Raiz(t) /2

Fazendo t = 7, 8 e 9, respectivamente, temos que P(7) = 599.837; P(8) = $ 600.640 P(9) = $ 598.115 à parece cair

após crescimento.

Limites e continuidade de funções

6

Síntese:Apresentaremos, nesta unidade, as definições, conceitos, características principais dos usos e aplicações de limites e análise da continuidade de funções, os quais possuem caráter determinante para aplicação em diversos problemas e situações concretas administrativas.


158

6.1 Limite da função no ponto Desejamos descrever o comportamento dos valores de uma

função f nas proximi dades de um ponto b. Diremos que f está definida à direita de b se estiver definida num intervalo ] b, c [ ; do mesmo modo diremos que f está definida à esquerda de b quando estiver definida num intervalo ]a, b [ .

1º caso: Limite finito: seja f a função cujo gráfico está na figura abaixo, definida à direita e à esquerda de b.

Observemos que, quando x assume valores que se aproximam do ponto b, pela direita, isto é, por valores maiores que b, os correspondentes valores f(x) se aproximam do número L1. Para descrever este comporta mento dizemos que o limite lateral direito de f, no ponto b, é o número L1 e escrevemos:

lim f(x) = L1 x → b+

(limite de f(x) para x tendendo a b pela direita igual a L1).

Observemos, por outro lado, que quando x assume valores que se aproximam de b pela esquerda, isto é, por valores menores que b, os correspondentes valores f(x) se aproximam do número L2.· De novo, para descrevermos este comportamento dos valores f(x), dizemos que o limite lateral esquerdo de f, no ponto b, é o número L2 e escrevemos:

lim f(x) = L2 x → b-

(limite de f(x) para x tendendo a b pela esquerda, igual a L2).

No presente caso, os limites laterais L1 e L2 não são iguais. No próximo exemplo, os limites laterais existem e são iguais, e daí diz-se que o limite de f é quando x se aproxima de b, ou seja, Lxfbx =→ )(lim .

Limite da função no ponto – idéia de

aproximação da função quando se aproximam

pontos no domínio.

Unidade 6

159

6.2 Limite infinito Podemos utilizar as definições e conceitos vistos anteriormente

para definir o limite infinito ∞=→ )(lim xfbx , quando ao x se aproximar de b. f(x) assume valores cada vez maiores.

6.3 Limite da soma, produto e quocienteSuponha que c é uma constante, e os limites )(lim xfbx→ e

)(lim xgbx→ existem. Então:

1. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf bxbxbx →→→ +=+

2. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf bxbxbx →→→ −=−

3. )(lim)(lim xfcxfc bxbx →→ ⋅=⋅

4. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf bxbxbx →→→ ⋅=⋅

5.)(lim)(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

bx

bxbx

→

→→ = , se 0)(lim ≠→ xgbx .

6.4 Teorema da permanência do sinal

Se )()( xgxf ≤ quando x está próximo de b, e os limites

)(lim xfbx→ e )(lim xgbx→ existem, então )(lim)(lim xgxf bxbx →→ ≤ .

6.5 Continuidade e descontinuidade de funções: definição

Uma função f é contínua no ponto x = b se as seguintes condições

são satisfeitas:

• f(b) está definido;

• )(lim xfbx→ existe ;

• )()(lim bfxfbx =→

Portanto, uma função f é contínua, no ponto x = b, se o limite de f, naquele ponto existe e é igual a f(b). Geometricamente, f é contínua no ponto x = b se a proximidade de x a b implica a proximidade de f(x) e f(b). Se f não é contínua em x=b, dizemos que f é descontínua em x=b. Se f é contínua num intervalo, será contínua em todos os pontos daquele intervalo.

Exemplos:1) f(x) = x + 2 → contínua2) f(x) = -1, se x , 0 e 1 se x ≥ 0 → descontínua em 0

Continuidade e descontinuidade de funções - uma função f é contínua num ponto b, se possui limite igual a f(b) quando x tende a b. A função é descontínua caso contrário.

Limite infinito – a função cresce ou decresce indefinidamente quando no domínio aproximamos de um certo ponto.


160

6.6 Emprego de limites no traçado de gráficos de funções Os limites são utilizados para se analisar e estudar os intervalos

e pontos onde possam existir descontinuidades das funções, como no exemplo 2 acima. Nos pontos onde o limite da função inexiste, a função será descontínua, o que serve para avaliar pontos de ruptura, situações críticas, dentre outros aspectos.



Derivadas e diferenciais

7

Síntese:Nesta unidade, descrevemos as principais características, conceitos, variações dos usos e aplicações de derivadas e diferenciais de funções que possibilitam diversas abordagens e análises aprofundadas de situações em Administração.


162

7.1 Taxa média de variaçãoSeja f uma função definida num conjunto D; sejam xo e xo+Δx dois

pontos de D. Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo+Δx sofrendo uma variação dx, o correspondente valor da função passa de f(x0) para o valor f(x0 + dx) sofrendo, portanto, uma variação

dy =f(x0 + dx) - f(x0)

conforme a figura ao lado:

O quociente

dxxfdxxf

dxdy )()( 00

recebe o nome de taxa média

de variação da função quando x passa do valor xo para o valor xo+dx e expressa a variação média sofrida pelos valores da função entre estes dois pontos.

7.2 Derivada da função num ponto Seja f uma função definida num intervalo aberto ]a, b[ e xo um

ponto deste intervalo. O limite, então será

0

0000

)()(lim)()(lim0 xx

xfxfdx

xfdxxfxxdx

quando existe, i.e., quando é um número real, recebe o nome de derivada da função f no ponto xo. Neste caso, dizemos também que f é derivável no ponto xo , e o limite é denotado por )( 0

' xf ou dx

xdf )( 0 . Pela noção de limite, diz-se que a derivada )( 0

' xf é a taxa instantânea de variação da função em 0xx = .

A definição anterior nos conduz a uma importante interpretação do significado da derivada de uma função num ponto, de que a derivada

)( 0' xf é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto

))(,( 00 xfxP :

Derivada – é a aproximação por

limites dos quocientes de Newton da função.

Também pode ser o limite das taxas de

variação.

Tangente - função trigonométrica

fundamental.

Unidade 7

163

Observemos, também, que a variação dy da função, entre os pontos xo e xo+dx dada aproximadamente por f´(xo) dx, para pequenas variações dx.

Exemplo: seja y = f(x) = x2 e x0=2. A taxa de variação média entre os pontos 2 e 2 + dx é dada por:

dxdx

dxdxdx

dxdx

fdxfdxdy

4422)2()2( 222

.

Assim, a derivada da função no ponto x0=2 é taxa de variação instantânea em x0=2 dada por:

44lim)2()2(lim)2( 00'

dx

dxfdxff dxdx .

7.3 Função derivadaSeja f uma função derivável em todo ponto x de um intervalo

aberto I. A função que a todo x associa o número f´(x) recebe o nome de função derivada de f em I . A derivada também pode ser escrita como

dxxdf )(

.

Exemplo: Se 2)( xxf = , temos que:

.22lim2lim

lim)()(lim)(

0

2

0

22

00'

xdxxdx

dxxdxdx

xdxxdx

xfdxxfxf

dxdx

dxdx

Portanto, f é derivável em todo ponto x € ℜ e a derivada f´(x) = 2x.

7.4 Derivadas das funções usuais

o Função constante: y = k → y´ = 0

Exemplo: y = 5 → y´ = 0

o Função linear: y = Ax → y´ = A

Exemplo: y = 9x → y´= 9

o Função linear afim: y = Ax + B → y´ = A

Exemplo: y = 5x + 9 → y´ = 5

o Função quadrática: y = Ax2 + Bx + C → y´ = 2Ax + B

Exemplo: y = 5x2 + 9x + 7 → y´= 10x + 9


164

o Função exponencial: y = ex → y´= ex

Exemplo: y = 5ex → y` = 5ex

o Função: y = xn → y´ = n.x n-1, n> 0

Exemplo: y = x5 → y´ =5x4

o Função: y = Axn → y´ = n . A . xn-1

Exemplo: y = 2x3 → y´ = 6x2

o Função: nxy1

= → n nxn

y1

' 1−⋅

= , x ≠ 0

Exemplo: 31

xy = → 323 2

'

3

13

1

xxy

⋅=

⋅= .

7.5 Diferenciabilidade e continuidade

Se f é derivável num ponto x0, então, f é contínua em x0; a recíproca

não é verdadeira, ou seja, nem toda função contínua é derivável .

Exemplo: A função modular definida por f(x)=|x| é contínua

em todo número x real. Porém sua derivada lateral, à direita, no ponto

x=0, é igual a +1, ou seja, temos que para valores de x maiores que 0,

|x|=x e daí,

1lim||lim|0|||lim0

)0()(lim 0000 ===−

=−−

++++ →→→→ xx

xx

xx

xfxf

xxxx

A derivada lateral, à esquerda, no ponto x = 0, é igual a -1, ou seja,

temos que para valores de x menores que 0, |x|= -x e daí,

1lim||lim|0|||lim0

)0()(lim 0000 −=−

==−

=−−

−−−− →→→→ xx

xx

xx

xfxf

xxxx

Isto significa que tais derivadas laterais em x=0 são diferentes,

portanto a função f(x)=|x| não é derivável em x=0. Para todo x não

nulo, as derivadas laterais à esquerda e à direita coincidem, e f(x)=|x| é

derivável nestes pontos. Abaixo o gráfico da função modular:

Unidade 7

165

7.6 Aplicações Existem diversas aplicações dos conceitos de derivadas e

diferenciais apresentados.Exemplo 1: As perdas (em R$ milhões) em razão de empréstimos

mal administrados feitos pelo Banco PBR, principalmente aos setores da agricultura, imobiliário, transportes e telecomunicações, podem ser estimadas pela seguinte função:

A = f(t) = - t2 + 10 t + 30 ( 0 ≤ t ≤ 10)

onde t é o tempo em anos (t=0 corresponde ao início de 1994). A que velocidade se acumulavam os prejuízos, no início de 1997? E no início de 1999? A que velocidade os prejuízos se acumulavam no início de 2001? Interpretar os resultados.

Solução:A taxa de variação dos prejuízos é dada por: f´(t) = -2t + 10

[derivada de f(t)]

• Em 1997 → t = 3 → f´(3) = 4 → R$ 4 milhões por ano• Em 1999 → t = 5 → f´(5) = 0 → zero de prejuízos no ano• Em 2001 → t = 7 → f´(7) = - 4 → - R$ 4 milhões por ano

Conclusão: os prejuízos decrescerão à taxa de R$ 4 milhões por ano.

Exemplo 2: Custo de produção de pranchas: o custo total C(x) (em dólares) que a Companhia Aloha tem ao fabricar x pranchas de surfe por dia é dado por

C(x)=-l0x2 +300x+130 (0≤ x ≤15).

Calcular C´(x). Qual é a taxa de variação do custo total quando o nível de produção é de dez pranchas por dia? Qual é o custo médio que a Aloha tem ao fabricar dez pranchas de surfe por dia?

Solução:C´(x) = -20x + 300 ; C´(10) = 100 C(x)médio = C(x)/x = (- l0x2 + 300 + 130)/x ; C(10)médio=57.

Exemplo 3: O efeito da publicidade nas vendas: o lucro trimestral (em milhares de dólares) da Cunninghan Realty é dado por

3073

)(2

xxxP , (0 ≤ x ≤ 50),


166

onde x (em milhares de dólares) é a quantidade de dinheiro que a Cunninghan gasta em publici dade por trimestre.

Calcular P’(x). Qual é a taxa de variação do lucro trimestral da Cunninghan se a quantia que ela gasta em publicidade é de $ 10.000/trimestre (x = 10) e de $ 30.000/trimestre (x = 30)?

Solução:

73

2)(' +=xxP : P´(10) = $ 13.667 / trimestre ; P´(30) = $ 27.000



Regras de derivação e derivadas de funções

8

Síntese:Apresentamos, nesta unidade, os conceitos, características, casos especiais das regras de derivação e derivadas de funções, metodologia de ampla utilização na abordagem de problemas e casos reais em Administração.


168

8.1 Regras de derivaçãoExplicitaremos a seguir as principais regras para a derivação de

funções, supondo que u e v são funções deriváveis num ponto x:• Derivada da soma: (u + v)´ = u´ + v´ Exemplo: y = x4 + x3 → y´ = 4x3 + 3x2

• Derivada do produto: (uv)´ = uv´ + u´vExemplo: y = xex → y´ = xex + ex

• Derivada do produto de uma constante por uma função: y=Au(x) → y´= A u´ (x)

Exemplo: y = 5x3 → y´ = 15x2

• Derivada da potência inteira positiva de uma função:y = (u(x))n → y´= n (u(x))n-1u´(x), n inteiro, positivo

Exemplo: y = (x2-4x)3 → y´= 6(x2-4x)2(x-2)

• Derivada da potência fracionária: y = xm/n → 1' −

= nm

xnmy

Exemplo: y = x3/4 →4

41

41

'

43

4

343

xxxy ===

−.

• Derivada do quociente: 1

''

)()(

)(1

nn xvxnv

xv .

Exemplo: 72 )5(1+

=x

y → 8282'

)5(14

)5()2(7

x

xx

xy .

• Derivada do quociente (razão de funções): 2

'''

vvuuv

vu ⋅−⋅

=

Exemplo: x

xy−

=1

→ 22 )1(1

)1()1(1)1(

xxxxy

−=

−−⋅−⋅−

= .

• Regra de derivação das funções compostas (Regra da Cadeia):

y = v(u(x)) → y´= v´(u(x)).u´(x)

Exemplo: y = (x/3 + 1)4 → y´ = 4(x/3 + 1)3

3Aplicações da regra de derivação das funções compostas:• Derivada da função: y = eu(x) → y´= eu(x).u´(x)Exemplo: y = e-x3 → y´= -3e-x3 x2

• Derivada da função: y = au(x) → y´= au(x) u´(x) . ln aExemplo: y = 3x2 → y´ = (2 ln 3) x 3x2

• Derivada da função: y = ln (u(x)) → y´ = u´(x)_ u(x)Exemplo: y = ln(x3) → y´= 3/x• Derivada da função: y = loga (u(x)) → y´ = u´(x) u(x) . ln aExemplo: y = log2 x

3 → y´= 3 x2 ln2

Unidade 8

169

• Derivada da função: y = (u(x))α → y´ = α(u(x))α-1u´(x)

Exemplo: y = (ln x)4 → y´= 4(ln x)3

x

8.2 Tabela de derivação

1. 0)( cdxd

2. )()( ' xfcxfcdxd

3. )()()()( '' xgxfxgxfdxd

4. )()()()( '' xgxfxgxfdxd

)())(())(( '' xgxgfxgfdxd

5. )()()()()()( '' xgxfxgxfxgxfdxd

(Regra do Produto)

6. 2

''

)()()()()(

)()(

xgxgxfxgxf

xgxf

dxd

(Regra do Quociente)

7. )())(())(( '' xgxgfxgfdxd

(Regra da Cadeia)

8. 1 nn xnxdxd

(Regra da Potência)

9. xx eedxd

)(

10. aaadxd xx ln)(

11. x

xdxd 1)(ln , onde x>0

12. ax

xdxd

a ln1)(log

, onde x>0

13. )cos())(( xxsendxd

14. )())(cos( xsenxdxd

15. )(sec))(( 2 xxtgdxd

16. )(cot)sec(cos))sec((cos xgxxdxd

17. )()sec())(sec( xtgxxdxd

18. )(seccos))((cot 2 xxgdxd

Unidade 8 Regras de

derivação e derivadas de

funções


170

8.3 Derivadas sucessivas Seja f´ a função derivada de uma função f, num intervalo aberto I.

Se f é derivável em I, podemos considerar a função f´´, derivada de f´ em I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I. De modo análogo, podemos definir as derivadas terceira, quarta, etc., de f em I. A derivada de ordem n será indicada por uma das notações:

)(xf n ou n

n

dxxfd )(

. Em geral, a derivada de ordem n da função

f(x) será dada por '1 ))(()( xfxf nn −= .

Exemplo: Considere a função 752)( 234 +−++= xxxxxf, definida para todo x real. Vamos encontrar as derivadas até quarta ordem da função f(x):

24)(1224)(

21212)(5264)(

)4(

'''

2''

23'

xfxxf

xxxfxxxxf

8.4 Aplicações práticas1. Seja CT(x) = 1000 + 3x + 1/20x2 a função custo total associada

à produção de um bem, e na qual x representa a quantidade produzida. Determinar: a) a função custo marginal CMg(x) = dCT(x)/dx; b) o custo marginal ao nível de 20 unidades; c) Caso existam, os valores de x para os quais o CMg é zero. Solução:a) CMg(x) = 3 + x/10b) CMg(20) = 5c) Inexiste x>0 tal que CMg(x) = 0

2. Se x = 10 – 0,2p é a função de demanda de um bem, onde x é a quantidade demandada e p o preço, determinar:

a) a função receita total, RT(x); b) a função receita marginal RMg(x); c) a receita marginal no ponto x = 8 unidades. Solução:a) RT(x) = p.x = 10-x2

0,2

b) RMg(x) = 10 – 2x 0,2c) RMg(10) = - 50



Derivadas sucessivas – para achar uma derivada

de ordem n, basta derivar a derivada de

ordem n-1.

Funções de receita: total, média, marginal - funções

que avaliam o faturamento total, médio e de unidades

adicionais produzidas.

Máximos e mínimos

9

Síntese:Mostramos, nesta unidade, os conceitos e definições, assim como as metodologias para a identificação de pontos de máximo e mínimo de funções, a caracterização de curvaturas e pontos de inflexão, para a aplicabilidade em situações da Administração.


172

9.1 Máximos e mínimos absolutos e relativos Seja f uma função definida num conjunto D e x0 um ponto de D.Máximos e mínimos relativos: diremos que x0 é um ponto de

máximo relativo, ou simplesmente um ponto de máximo (P.M.) de f quando existir um intervalo aberto I centrado em x0 e tal que:

f(x) ≤ f(x0), para todo x € I ∩D → f(x0) é o valor máximo de fNas mesmas condições se:f(x) ≥ f(x0), para todo x € I ∩D → f(x0) é o valor mínimo de fDiremos que x0 é um ponto de mínimo relativo, ou simplesmente

um ponto de mínimo (P.m.) de f.

Máximos e mínimos absolutos: Se x0 é um ponto de D tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x € D, x0 é

um ponto de máximo absoluto (P.M.A.) de f (valor máximo absoluto de f).

Do mesmo modo, se f(x) ≥ f(x0) para todo x € D, x0 é um ponto de mínimo absoluto (P.m.A.) de f (valor mínimo absoluto de f).

Gráfico:

Na função cujo gráfico está acima, temos que:x1, x3 e x5 → pontos de máximox2, x4 e x6 → pontos de mínimox5 → máximo absolutox2 → mínimo absoluto

9.2 Determinação de máximos e mínimos, crescimento e decrescimento de funções

Seja f uma função definida num intervalo fechado [a, b]. Se f é derivável no intervalo aberto ]a, b[, então existe um ponto θ € ]a, b[ tal que:

f(b) – f(a) = f´ (θ) (b-a)

Determinação de máximos e mínimos – método que utilizam as

informações das derivadas de 1ª e 2ª ordem da função.

Máximos e mínimos absolutos e relativos – valores extremos da

função.

Unidade 8

173

Ainda, temos que, se f´(x) > 0 para todo x € ]a, b[, então f é estritamente crescente (E.C.) em ]a, b[. Similarmente, se f´(x) < 0 para todo x € ]a, b[, então f é estritamente decrescente (E.D.) em ]a, b[.

Decorre então o critério para a localização de pontos de máximo ou mínimo:

Critério do P.M. de f: sea) f´(x) > 0, para todo x € ]a, c[;b) f´(x) < 0, para todo x € ]c, b[;c) f é contínua em c, então c é o P.M. de f.Gráfico:

Critério do P.m. de f: sea) f´(x) < 0, para todo x € ]a, c[;b) f´(x) > 0, para todo x € ]c, b[;c) f é contínua em c, então c é o P.m. de f.

Gráfico:

Exemplos:

1. y = x2, x € R → y ´= 2x → y´ > 0, se x>0; y´<0, se x< 0 → P.m.: x=0 → y = 0 (valor mínimo)

2. y = -x2 + 4x, x € ℜ → y´= -2x+4 → y´ > 0, se x<2; y´<0, se x>2 → P.M.: x=2 → y=4(valor máximo)


174

9.3 Concavidade e pontos de inflexão Seja f uma função derivável num ponto x0. Seja

T(x) = f(x0) + f´( x0)(x- x0)A equação da reta tangente ao gráfico f no ponto P = (x0, f(x0)).

Definições:• Concavidade voltada para cima (C.V.C.):Diremos que f tem concavidade voltada para cima (C.V.C.) em

x0 quando existe um intervalo aberto I centrado em x0 e tal que

f(x) > T(x) para todo x € I, x ≠ x0, isto é, o gráfico de f está “acima” da tangente para todo x€I, x ≠ x0.

Gráfico:

• Concavidade voltada para baixo (C.V.B):Diremos que f tem concavidade voltada para baixo (C.V.B.)

em x0 quando existe um intervalo aberto I centrado em x0 e tal que

f(x) < T(x) para todo x € I, x ≠ x0,

isto é, o gráfico de f está “abaixo” da tangente para todo x € I, x ≠ x0.

Gráfico:

Concavidade – aparência do gráfico da função medido pela segunda

derivada.

Unidade 8

175

• Ponto de inflexão (P.I): Se f tem concavidades de nomes distintos nos intervalos ]a, c[ e ]

c, d[ e é contínua no ponto c, dizemos que c é um ponto de inflexão (P.I.) de f.

Gráfico:

9.4 Critérios para a pesquisa de máximos e mínimos e representação gráfica

Critério geral: Passo 1 – determinação dos candidatos, isto é, dos possíveis

pontos de máximo ou de mínimo: determinar x0 tal que f´( x0) = 0 ; Passo 2 – classificação dos candidatos: i. f´´( x0) >0 → x0 é P.m. de f ;ii. f´´ (x0) < 0 → x0 é P.M. de f.Representação gráfica: para a representação gráfica de uma

função f sugerimos o seguinte roteiro, que facilitará bastante o esboço do gráfico de f :

1. o domínio de f (caso ele não venha especificado); 2. os intervalos da reta nos quais f é estritamente crescente (E.C.)

e aqueles nos quais f é estritamente decrescente (E.D.); 3. os pontos de máximo (P.M.) e os pontos de mínimo (p.m.) de f,

caso existam, e os respectivos valores máximos e mínimos; 4. os intervalos da reta nos quais f tem concavidade voltada para

cima (C.V.C.) e aqueles nos quais f tem concavidade voltada para baixo (C.V.B.);

5. os pontos de inflexão (p.I.), caso existam, e os respectivos valores de f;

6. os limites laterais de f nos pontos de descontinuidade, caso tais pontos existam;

7. os limites para x → +∞ e x → -∞, caso isto seja possível no domínio de f .


Ponto de inflexão – ponto onde muda a concavidade da função.

Casos práticos de matemática aplicada em administração

10

Síntese:Utilizamos, nesta unidade, os principais conceitos, definições e metodologias apresentados nas demais unidades do curso na análise de problemas e casos reais em Administração.


178

1. Preço-oferta: suponha que a quantidade x dos pneus Super Titan colocados à venda por semana pela Companhia Super Titan está relacionada com o preço de venda unitário pela equação:

p – 1/2x2 =48

onde x está medido em milhares e p em dólares. Com que rapidez a oferta semanal dos pneus Super Titan colocados à venda no mercado varia quando x = 6, p = 66 e, o preço por pneu diminui a uma razão de $ 3/semana?

Solução: De p – 1/2x2 =48 → )48(2 px )48(2

1

pdp

dx

Como dp = -$3/semana e p = 66 → dx =- 0,5 (a variação será de -0,5 na quantidade de pneus por cada -$3 no preço por semana).

2. Preço-demanda: a equação de demanda para certa marca de CDs de áudio é:

100x2 + 9 p2 = 3600

onde x representa o número (em milhares) de pacotes de 10 CDs, demandado semanalmente quando o preço unitário é de $ p. Com que rapidez a quantidade demandada aumenta quando o preço unitário do pacote de 10 CDs é de $ 14, e o preço de venda do pacote diminui a uma razão de $ 0,15 por semana?

Solução: resolvendo a equação para x quando p = 14: x ≈ 60 unidades

10093600100

92p

pdpdx

→ dp = -0,15→ dx = 0,29 (a variação será de

+0,29 na quantidade de CDs para cada -$0,15 no preço por semana).

3. Efeito do preço na oferta: suponha que o preço por atacado p de certa marca de ovos (preço da caixa em dólares) está relacionado com a oferta semanal x (milhares de caixas) pela equação:

625p2 - x2 =100

Se no início de certa semana 25.000 caixas de ovos são oferecidas, e se o preço está caindo a uma razão de 2 centavos/caixa/semana, com que razão a oferta está diminuindo?

Unidade 10

179

Solução:x = 25(25.000 caixas) → p = $ 1,08 ; temos que

100625625

2

pp

dpdx

substituindo, dp = - 0,02 → dx = -0,54=-540 caixas / semana.

4. Taxa de variação: um estudo elaborado pela Associação Nacional de Agências Imobiliárias estima que o número de novas construções na região sudeste, N(t) (em milhões), nos próximos 5 anos está relacionado com a taxa de financiamento r(t) (por cento ao ano) através da equação:

9N2 + r = 36.

Qual a taxa de variação no tempo do número de novas construções quando a taxa de financiamento é de 11 % ao ano e aumenta à razão de 1,5% ao ano?

Solução:São dados que r = 11 e dr/dt=1,5 em certo instante de tempo e

nos é pedido determinar dN /dt . Inicialmente, substituindo r = 11 na equação dada, encontramos

9N2 +11=36 → N2 = 25/ 9

ou seja, N = 5/3 (não consideramos a raiz negativa). Em seguida, diferenciando ambos os lados da equação dada

implicitamente com relação a t, obtemosdt

ddtdr

dtNd )36()9( 2

,e daí,

018 dtdr

dtdNN

Então, substituindo N = 5/3 e dr/dt = 1,5 nesta equação obtemos 18 (5/3)dN/dt + 1,5 = 0

Resolvendo esta equação para dN/dt encontramos:

dN/dt = 1,5/30 ≈ -0,05

No instante considerado, as novas construções estão diminuindo a uma razão de 50.000 unidades por ano.

5. A função lucro da Empresa Softmaster é dada por:P(x) = -0,02x2 + 300x- 200.000 reais, onde x é o número de

programas aplicativos Softmaster, modelo F produzidos. Encontre onde a função P é crescente e onde é decrescente.

Função lucro – função que calcula o lucro de acordo com certas variáveis.

MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO- Referências

180

Solução: A derivada P´da função P é :

P’(x) = -0,04x+ 300 = -0,04(x-7500)

logo, P’(x) = 0 quando x = 7500. Além disso, P’(x) > 0 para x no intervalo (0, 7500), e P’(x) < 0 para x no intervalo (7500, ∞). Isto significa que a função lucro P é crescente em (0, 7500) e decrescente em (7500, ∞). No gráfico abaixo, verificamos que a função lucro é crescente em (0, 7500) e decrescente em (7500, ∞):

ReferênciasBOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v.1.

FIGUEIREDO, D.G. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1974.

GOLDSTEIN, L.J.; LAY, D.C.; SCHNEIDER, D.I. Matemática aplicada. Porto Alegre: Bookman, 2000.

HOFFMAN, L.D.; BRADLEY, G.L. Cálculo – um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999.

LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, 1988.

LIMA, E.L. Curso de análise I. Rio de Janeiro: Instituto de Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2007.

_____. Curso de análise II. Rio de Janeiro: Instituto de Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2007.

_____. Elementos de topologia geral. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1976.

_____. Logaritmos. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1996.

MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO- Currículo

181

MORETTIN, P.A.; BUSSAB, W.O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.

RUDIN, W. Princípios de análise matemática. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1971.

SILVA, S. Medeiros da. Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999. v.1.

TAN, S.T. Matemática aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Pioneira, 2001.

THOMAS, B.G. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2002. v.1.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS. Pró-reitoria de Ensino de Graduação. Centro de Educação a Distância. Guia de referência para produção de material didático em educação a distância. Organizado por Zeina Rebouças Corrêa Thomé. Manaus: EDUA, 2007.

WEBER, J.E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 1986.

Currículo dos autoresWaldemar Antonio da Rocha de Souza é doutorando em Economia Aplicada pela UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO – Piracicaba (SP), Mestre em Economia pela ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA DA FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS - Rio de Janeiro (RJ), ambas as instituições com grau de avaliação 6 (seis) pela CAPES, no triênio 2007-2010. Professor concursado da Universidade Federal do Amazonas (UFAM), na área de concentração de Finanças, com ênfase em Análise Financeira e Métodos Quantitativos Financeiros. Desenvolve pesquisas da tese doutoral na área de mercados futuros de commodities agrícolas, com ênfase na produção de soja no centro-oeste brasileiro, focando a formação de “discovery prices” nas diversas regiões produtoras e o uso de contratos futuros. Foi assessor da Presidência do Banco do Brasil, em Brasília (DF), atuando na área de estudos econômicos, possuindo larga experiência na área financeira e no mercado de capitais do País e do exterior, participando de relevantes operações do mercado financeiro brasileiro, além de estágios e visitas técnicas em instituições financeiras norte-americanas. Fundador, líder e pesquisador do NUFEO - GRUPO DE ESTUDO DE FINANÇAS E ESTRATÉGIAS OPERACIONAIS, da UFAM. Atuou como

MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO - Currículo

182

pesquisador-visitante no Departamento de Economia, Administração e Sociologia e no Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA), da USP/ESALQ, efetuando análises e estudos na área de mercados futuros de commodities agrícolas. Fundador e Pesquisador do CEBPSAM - GRUPO DE PESQUISAS DA SOJA NA AMAZÔNIA, destinado a estudos e análises da cadeia produtiva da soja na Amazônia brasileira. Áreas de interesse: Finanças Empíricas, Econometria Financeira, Derivativos, Corporate Finance, Análise Financeira.

Kleomara Gomes Cerquinho é graduada em Administração pela Universidade Federal do Amazonas, UFAM, Manaus, e em Direito pela Universidade Paulista; mestre em Administração pela Universidade Federal de Santa Catarina, UFSC, Florianópolis, Brasil; possui mestrado profissionalizante em Gestão Empresarial (Fundação Getúlio Vargas - RJ, FGV-RJ, Rio de Janeiro, Brasil); especialização em Produção em Material Didático para Educação a Distância (Universidade Federal do Amazonas, Manaus, Brasil); é professora assistente na UFAM (graduação e pós-graduação); tem artigos completos publicados em periódicos (A Consultoria e os Consultores Dogberts. Cadernos EBAP., 2000), capítulos de livros publicados (Hidrovia:investimentos em infra-estrutura no Estado do Amazonas In: Estudos de Transporte e Logística na Amazônia.1 ed.Manaus : Novo Tempo, 2006, v.1, p. 136-144) e artigos em jornal de notícias (A consultoria e os consultores Dogberts. A Gazeta Mercantil -AM. Manaus, p.2 - 2, 1999).

Documents

C) MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO