CırculosMODULO 1 - AULA 7

Aula 7 – Cırculos

Objetivos

• Apresentar as posicoes relativas entre retas e cırculos.

• Apresentar as posicoes relativas entre dois cırculos.

• Determinar a medida de um angulo inscrito.

Introducao

O cırculo e considerado por muitos como a forma geometrica plana

mais perfeita possıvel. Relacionados aos cırculos estao grandes problemas da

Geometria, como o da quadratura do cırculo e o da determinacao do valor

do numero π.

Daremos, agora, a definicao formal de cırculo.

Definicao 18

Cırculo e uma figura geometrica formada por todos os pontos do plano que

estao a uma mesma distancia de um ponto fixado no plano. O ponto fixado

e chamado centro do cırculo, e a distancia de qualquer ponto do cırculo ao

centro e chamada raio do cırculo. Tambem chamamos de raio a qualquer

segmento que liga o centro a um ponto do cırculo. Veja a figura 112.

O

c

Fig. 112: Cırculo de centro O e raio c

79 CEDERJ

Cırculos

Qualquer segmento ligando dois pontos de um cırculo e chamado de

corda. Uma corda que passa pelo centro e chamada de diametro.

A medida de um diametro e tambem chamada de diametro. Veja a

figura 113.

O

A

B

C

D

Fig. 113: Cordas de um cırculo.

Um cırculo divide o plano em duas regioes: interior do cırculo e exterior

do cırculo. Um ponto esta no interior (ou dentro) de um cırculo de raio r

se a distancia desse ponto ao centro do cırculo for menor do que r. Se essa

distancia for maior do que r, o ponto esta no exterior (ou fora) do cırculo.

Arcos e medida de arcos

O numero π e a quadratura

do cırculo

O π e um numero com

caracterısticas muito

especiais. Uma delas e ser

transcendente, ou seja, nao e

um numero algebrico, pois

nao e raiz de nenhum

polinomio com coeficientes

racionais.

A possibilidade de

construcao com regua e

compasso de um quadrado

de area igual a de um cırculo

dado e chamado de

problema da quadratura do

cırculo. A solucao desse

problema dependia

inteiramente de o π ser ou

nao algebrico. O teorema de

Lindemann provou entao a

transcendencia do π e que o

problema da quadratura do

cırculo e impossıvel pelas

regras da Geometria grega.

Portanto, a transcendencia

do π implica que nao existe

uma construcao com regua e

compasso para construir um

quadrado com area igual a

de um cırculo dado.

Considere um angulo ˆBAC e, com centro em A, trace um cırculo de

raio qualquer, como na figura 114.

A

B

C

B 1

C 1

Fig. 114: O angulo BAC divide o cırculo em dois arcos.

Esse cırculo intersecta os lados de ˆBAC em pontos B1 e C1. O anguloˆBAC divide o cırculo em dois arcos. Como denotar cada um desses arcos?

Note que os dois tem como extremidade os mesmos pontos B1 e C1. Quando

houver duvida, consideraremos dois outros pontos, X e Y , um em cada arco,

e usaremos a notacao_B1XC1 para designar o arco que contem X, e

_B1Y C1

para designar o arco que contem Y (veja a figura 115).

CEDERJ 80

CırculosMODULO 1 - AULA 7

A

B

C

B 1

C 1

X

Y

Fig. 115: Arcos determinados pelo angulo A.

Voce sabia que...

Carl Louis Ferdinand

von Lindemann

1852-1939 d.C. Alemanha.

Lindemann foi o primeiro a

provar que π e

transcendental. Naquela

epoca ja havia sido provado

que o numero e e

transcendental. Usando

metodos similares aos usados

para o numero e, Lindemann

provou que π e

transcendental.

Consulte:

http://www-groups.dcs.

st-nd.ac.uk/~history/

Mathematicians/Lindemann.

html

Quando ˆBAC mede 180o, dizemos que o arco_B1XC1 (e tambem

_B1Y C1)

assim determinado e um semicırculo. Melhor dizendo, cada um dos arcos de-

terminados por uma reta que corta o cırculo passando pelo centro e um

semicırculo. A medida de um semicırculo, por definicao, e 180o e de um

cırculo inteiro (de raio qualquer) e 360o. E claro que essa maneira de medir

nao da o “comprimento”do cırculo (que certamente depende do tamanho do

raio, e que esta relacionado com o numero π que mencionamos anteriormente

- para entender melhor, veja a figura 116).

A

C B B 1 C 1

Y

X

180 o

Fig. 116: Medida em graus de um cırculo: 360o.

Definiremos, a seguir, a medida de um arco qualquer.

Definicao 19

Dado um angulo agudo BAC e um cırculo centrado em A, a medida do

menor arco determinado por BAC e a mesma medida de BAC e a medida

do maior arco determinado por BAC e 360o −BAC.

Usaremos a mesma notacao para designar o arco e a sua medida. Por

exemplo, chamaremos a medida do arco_B1XC1 de

_B1XC1.

81 CEDERJ

Cırculos

Posicoes relativas entre retas e cırculos

Dados uma reta r e um cırculo Γ no plano, existem tres possibilidades:

r nao intersecta Γ ( r e exterior a Γ), r intersecta Γ em dois pontos (r e

secante a Γ) ou r intersecta Γ em apenas um ponto (r e tangente a Γ). Veja

essas possibilidades na figura 117.

r

(a)

r

(b)

r

(c)

Γ Γ Γ

Fig. 117: a) Reta exterior. b) Reta tangente. c)Reta secante.

Voce sabia que...

Hipparkhus (ou Hiparco)

nasceu em Niceia, na

Bitınia, viveu em

Alexandria, mas trabalhou

sobretudo em Rodes, entre

161 e 126 a.C. Destacou-se

pelo metodo e rigor de suas

observacoes. Hipparkhus foi

um dos cientistas mais

representativos da epoca

alexandrina. Como os

babilonios, ele tambem

acreditava que a melhor base

para realizar contagens era a

base 60. Os babilonios nao

haviam escolhido a base 60

por acaso. O numero 60 tem

muitos divisores e pode ser

facilmente decomposto num

produto de fatores, o que

facilita muito os calculos,

principalmente as divisoes.

Consulte:

http://www-groups.dcs.

st-and.ac.uk/~history/

Mathematicians/

Hipparchus.html

Considere agora um cırculo Γ de centro no ponto O, um ponto A ∈ Γ

e o segmento OA que liga o centro do cırculo ao ponto A. Seja r a reta

que passa por A e e perpendicular ao segmento OA (veja figura 118). Vamos

mostrar a seguir que r e tangente ao cırculo Γ. De fato, se tomarmos qualquer

outro ponto B em r e considerarmos o triangulo OAB, veremos que o angulo

BAO, que mede 90o, e o seu maior angulo. Como o lado oposto a ele e OB,

esse segmento e maior que OA. Como a medida de OA e o raio do cırculo,

o ponto B esta fora de Γ. Mostramos entao que um ponto de r que nao seja

A esta fora de Γ, ou seja, que A e o unico ponto na intersecao de r e Γ.

Portanto r e tangente a Γ.

B

A

O

r

Fig. 118: Reta que passa por A e e perpendicular a OA.

Qualquer reta que passe por A diferente de r intersecta Γ em dois

pontos. Embora esse fato seja bastante intuitivo, ele necessita de uma prova.

No Apendice apresentamos uma prova deste fato. Podemos entao afirmar que

uma reta passando por A e tangente a Γ se, e somente se, e perpendicular a

OA. Destacamos este resultado logo a seguir.

CEDERJ 82

CırculosMODULO 1 - AULA 7

• Toda reta tangente a um cırculo e perpendicular ao raio no

ponto de tangencia.

• Toda reta perpendicular a um raio em sua extremidade e tan-

gente ao cırculo.

Trataremos, agora, das posicoes relativas entre cırculos.

Posicoes relativas entre cırculos

Dados dois cırculos, temos as seguintes possibilidades: os dois cırculos

nao se intersectam, os dois cırculos se intersectam em um ponto ou os dois

cırculos se intersectam em dois pontos. Porem, cada um desses casos pode

ser subdividido, como veremos a seguir.

Cırculos que nao se intersectam

Para o caso em que os cırculos nao se intersectam, ha duas possibilida-

des: cada cırculo esta contido no exterior do outro (veja figura 119) ou um

dos cırculos esta contido no interior do outro (veja figura 120).

O O'

Γ Γ

1 2

Fig. 119: Cırculo exterior a outro cırculo.

O O'

Γ

Γ

1

2

Fig. 120: Cırculo interior a outro cırculo.

Cırculos secantes

Dizemos que dois cırculos sao secantes quando eles se intersectam em

dois pontos (veja figura 121).

83 CEDERJ

Cırculos

O O'

Γ

Γ

1

2 A

B

Fig. 121: Cırculos secantes.

Nesse caso, prova-se que a reta que liga os dois centros O e O′ e a

mediatriz do segmento determinado pelos pontos de intersecao dos cırculos.

Com efeito, tracando-se os segmentos OA, OB, O′A, O′B e AB, for-

mamos os triangulos isosceles OAB e O′AB, ambos de base AB (veja figura

122). Mas sabemos do exercıcio 15 da aula 6 que num triangulo isosceles a

mediatriz da base passa pelo vertice oposto. Assim, a mediatriz de AB passa

por O e por O′, ou seja, a reta←−→OO′ e mediatriz de AB.

O O'

Γ

Γ

1

2 A

B

O O'

Γ

Γ

1

2 A

B

O O'

Γ

Γ

1

2 A

B

Fig. 122: A reta contendo O e O′ e mediatriz de AB.

Cırculos tangentes

Dizemos que dois cırculos sao tangentes quando eles se intersectam em

um ponto.

Para cırculos tangentes temos dois casos a considerar: cırculos tangen-

tes exteriormente e cırculos tangentes interiormente.

No primeiro caso, os dois cırculos intersectam-se em um ponto e todos

os outros pontos de cada um deles esta no exterior do outro (veja figura 123).

O O'

Γ

Γ

1

2

Fig. 123: Cırculos tangentes exteriormente.

CEDERJ 84

CırculosMODULO 1 - AULA 7

Nesse caso, o ponto de encontro pertence ao segmento OO′ e a reta

perpendicular a reta←−→OO′ no ponto de encontro e tangente aos dois cırculos

(veja o exercıcio 7). O ponto de encontro e chamado de ponto de tangencia.

Veja a figura 124.

O O'

Γ

Γ

1

2

r

T

Fig. 124: r e tangente aos dois cırculos.

No caso de cırculos tangentes interiormente, os dois cırculos intersectam-

se em um ponto e todos os outros pontos de um deles esta no interior do outro

(veja a figura 125).

O

Γ

Γ

1

2

O'

Fig. 125: Cırculos tangentes interiormente.

Nesse caso, O, O′ e o ponto de encontro sao colineares e a reta tangente

a um dos cırculos no ponto de encontro e tambem tangente ao outro (veja

o exercıcio 8). O ponto de encontro e chamado ponto de tangencia (veja a

figura 126).

O

Γ

Γ

1

2

O'

r

T

Fig. 126: r e tangente aos dois cırculos.

85 CEDERJ

Cırculos

Angulos centrais e angulos inscritos

Vamos agora ver algumas definicoes de angulos relacionadas a cırculos.

Definicao 20 (Angulo central)

Um angulo central de um cırculo e um angulo com vertice no centro do

cırculo.

Definicao 21 (Angulo inscrito)

Um angulo inscrito e um angulo com vertice sobre o cırculo e cujos lados sao

semi-retas tangentes ou secantes ao cırculo (veja a figura 127).

O A

B C

O A

B

C

Fig. 127: Angulos inscritos.

Dado um angulo inscritoBAC de um cırculo Γ, o arco de cırculo contido

na uniao do interior com os lados de BAC e chamado arco subentendido por

BAC. Diz-se tambem que BAC subentende tal arco (veja figura 128).

O A

B

C

D

Fig. 128:_BDC e o arco subentendido por ˆBAC.

Voce sabia que...

Eratostenes

276-194 a.C. Cirene, Grecia.

Geografo, matematico,

astronomo, poeta e filosofo

grego. Eratostenes viveu

parte da juventude em

Atenas. Foi um atleta

bastante popular,

destacando-se em varias

modalidades esportivas.

Autor de muitos livros de

Astronomia e Geometria,

escreveu ainda poesias e

textos para teatro. Nenhuma

de suas obras, porem, chegou

ate nos. Tudo o que sabemos

sobre Eratostenes e atraves

de outros autores. Uma das

questoes que desafiaram os

matematicos e astronomos

da Antiguidade foi a

determinacao do tamanho do

Sol e da Lua. Para chegar a

essas medidas, era necessario

conhecer o tamanho da

circunferencia da Terra.

Muitos matematicos daquela

epoca se dedicaram a medir

a Terra, mas foi Eratostenes

quem fez a demonstracao

mais interessante.

Consulte:

http://www-groups.dcs.

st-and.ac.uk/~history/

Mathematicians/

Erastostenes.html

CEDERJ 86

CırculosMODULO 1 - AULA 7

Medida do angulo inscrito

Podemos agora determinar a medida de um angulo inscrito atraves da

seguinte proposicao:

Proposicao 15

A medida de um angulo inscrito e a metade da medida do arco que ele

subentende.

Prova:

Seja BAC um angulo inscrito em um cırculo Γ centrado em O. Divi-

diremos a prova em varios casos, dados pela figura 129. Faremos a prova de

alguns casos e deixaremos os demais como exercıcio.

A

B

C A

B

C

O O A

B C

O

A

B

C

O

C

O

B C

O

B

C

O

B

Fig. 129: Diversas configuracoes de angulos inscritos.

Caso 1: Um dos lados do angulo BAC e tangente ao cırculo e

o outro passa pelo centro.

Suponha que−→AB seja o lado tangente e

−→AC o lado que passa por O.

Nesse caso ja vimos que BAC mede 90o. Como o arco subentendido por

BAC e um semicırculo (mede 180o), nao ha o que provar.

Caso 2: Os dois lados de BAC sao secantes ao cırculo e um

deles passa pelo centro.

Suponha que−→AC seja o lado que passa por O e trace o segmento BO,

como na figura 130.

87 CEDERJ

Cırculos

O A

B

C

Fig. 130: Caso 2.

Sabemos que BAO + ABO + AOB = 180o. Assim,

BAO + ABO = 180o − AOB = BOC

Como BOC e um angulo central, sua medida e a mesma do arco que

ele subentende. Como o triangulo OAB e isosceles com base AB (pois AO e

BO sao raios), temos que BAO = ABO, e, portanto, BAC mede a metade

do arco que ele subentende.

Caso 3: Um dos lados de BAC e tangente ao cırculo e o ponto

O esta fora de BAC.

Suponha que−→AB seja o lado tangente e trace a semi-reta

−→AO. Seja D

o ponto em que essa semi-reta intersecta Γ e escolha um ponto X em Γ que

esteja no interior de ˆDAC (figura 131).

O A

C

D

X

B

Fig. 131: Caso 3.

Pelo caso 1, ˆBAD = 90o. Pelo caso 2, ˆCAD = m(_CXD )

2. Daı, como

ˆBAC = ˆBAD − ˆCAD, temos

ˆBAC = 90o − m(_CD )

2=m(_ACD)−m(

_CXD)

2.

Daı concluımos que a medida de BAC e a metade da medida do arco

que ele subentende.

CEDERJ 88

CırculosMODULO 1 - AULA 7

Caso 4: Um dos lados de BAC e tangente ao cırculo e o ponto

O pertence ao interior de BAC.

Suponha que−→AB seja o lado tangente e trace a semi-reta

−→AO. Chame

de D ao outro ponto onde−→AO intersecta Γ (figura 132).

O A

C

D

X

B Y

Fig. 132: Caso 4.

Segue dos casos 1 e 2 desta demonstracao que BAD = 90o e ˆDAC =

m(_DXC)

2, onde X e um ponto de Γ no interior do angulo DAC.

Logo,

BAC = BAD +DAC

= 90o +m(_DXC)

2

=m(_AYD)

2+m(_DXC)

2

=m(_ADC)

2.

Os dois proximos casos tem demonstracao muito parecida com a deste

caso: em ambos deve ser tracada a semi-reta−→AO. Vamos deixar as de-

monstracoes como exercıcio. Procure usar os casos anteriores para prova-los.

Abaixo seguem os enunciados.

Caso 5: Os dois lados de BAC sao secantes e o ponto O esta

no interior de BAC (figura 129).

Caso 6: Os dois lados de ˆBAC sao secantes e o ponto O esta

no exterior de BAC (figura 129).

Caso 7: Os dois lados de BAC sao tangentes a Γ.

Nesse caso, ˆBAC e um angulo raso (180o) e o arco subentendido por

BAC e a circunferencia inteira (3600). Veja a figura 129.

89 CEDERJ

Cırculos

Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• Quais as posicoes relativas entre retas e cırculos.

• Quais as posicoes relativas entre dois cırculos.

• Que uma reta e tangente a um cırculo em um ponto se, e somente se,

ela e perpendicular ao raio que passa por esse ponto.

• Qual a medida de um angulo inscrito.

Exercıcios

1. Faca as provas dos casos 5 e 6 da proposicao 15.

2. Na figura 156, o arco_AXD mede 110o e o arco

_BY C mede 40o. De-

termine a medida do angulo E.

X

C

B

A

D

Y

E

Fig. 133: Exercıcio 2.

3. Na figura 157, o arco_BXD mede 90o e o arco

_AY C mede 40o. Deter-

mine a medida do angulo ˆBED.

X

B C

A

D

Y

E

Fig. 134: Exercıcio 3.

CEDERJ 90

CırculosMODULO 1 - AULA 7

4. Determine o valor do angulo A na figura 135, sabendo que AB e tan-

gente ao cırculo.

B

A

C

D

90 130 o

o

Fig. 135: Exercıcio 4.

5. Determine os valores dos angulos A e B da figura 136.

B

A

C

D 60 o

70 o

Fig. 136: Exercıcio 5.

6. Na figura 158, O e o centro do cırculo, AB, AC e PR sao tangentes ao

cırculo e A = 28o. Determine ˆPOR.

B

C

O

P

Q

R

A

Fig. 137: Exercıcio 6.

91 CEDERJ

Cırculos

7. Sejam Γ1 e Γ2 cırculos tangentes exteriormente em um ponto T . Sejam

O o centro de Γ1 e O′ o centro de Γ2. Prove que T pertence ao segmento

OO′ e que a reta perpendicular a OO′ em T e tangente aos dois cırculos.

8. Sejam Γ1 e Γ2 cırculos tangentes interiormente em um ponto T . Sejam

O o centro de Γ1 e O′ o centro de Γ2. Prove que O, O′ e T sao colineares

e que a reta tangente a Γ1 em T e tambem tangente a Γ2.

9. Seja AB uma corda (que nao e um diametro) de um cırculo. Prove que

a mediatriz de AB passa pelo centro do cırculo.

10. Sejam AB uma corda de um cırculo centrado em O e A′B′ uma corda

de um cırculo centrado em O′. Se os dois cırculos tem o mesmo raio e

AB ≡ A′B′, prove que os angulos centrais AOB e A′O′B′ sao congru-

entes.

11. Sejam Γ um cırculo e r uma reta. Seja Γ′ a figura formada pelos reflexos

de todos os pontos de Γ em relacao a r. Prove que Γ′ e um cırculo.

12. (Desafio) Seja AB um segmento e r uma reta paralela a reta←→AB, como

na figura 138.

B

C

A

Fig. 138: Exercıcio 12.

Determine o ponto C ∈ r para que o angulo ACB seja o maior possıvel.

CEDERJ 92

CırculosMODULO 1 - AULA 7

Apendice: Para saber mais...

Nos argumentos abaixo, voce encontra uma prova do seguinte fato: “Se

uma reta r corta um cırculo de centro O no ponto A, e r nao e perpendi-

cular ao segmento OA entao r corta o cırculo tambem em um outro ponto C ”.

Seja OA um segmento e seja−→AB uma semi-reta tal que OAB seja um

angulo agudo (figura 139). Mostre que existe um ponto C 6= A em−→AB tal

que OA ≡ OC.

O A

B

Fig. 139:

Como consequencia, se A e um ponto de um cırculo Γ centrado em O

e r for qualquer reta que passe por A e nao seja perpendicular a←→OA, entao

r corta o cırculo em dois pontos (figura 140).

A

C

O

r

A

C

O

r

Fig. 140:

93 CEDERJ