CA3-2014

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

ESCOLA POLITÉCNICA

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

CONCRETO ARMADO III

Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos

[email protected]

- 2014 -

2

SUMÁRIO PÁGINA

1. CARACTERÍSTICAS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 3

- Verificação da segurança. Definição dos estados limites.

- Coeficientes de ponderação.

- Características dos aços.

- Características do concreto.

- Hipóteses básicas no dimensionamento à flexão composta no estado limite último

2. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA RETA 14

- Dimensionamento na flexão composta reta

- Planilhas de dimensionamento. Ábacos de interação

3. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 25

- Cálculo pela formulação aproximada da NBR 6118

- Cálculo exato

- Exemplos

4. CRITÉRIOS DE PROJETO DE PILARES 28

- Cargas atuantes nos pilares de edifícios.

- Classificação das estruturas relativamente à sua deformabilidade horizontal

- Métodos de análise dos efeitos de 2a ordem

- Pilares-parede.

- Verificação ao cisalhamento.

5. DETALHAMENTO DOS PILARES E PILARES-PAREDE 40

6. EXEMPLO NUMÉRICO COMPLETO 46

7. TORÇÃO 67

ANEXOS – Ábacos adimensionais para dimensionamento na flexão composta reta 69

3

1. CARACTERÍSTICAS DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

1.1. Verificação da segurança. Definição dos estados limites.

1.1.1. Condições construtivas e analíticas de segurança

Na verificação da segurança das estruturas de concreto, devem ser atendidas as condições

construtivas e as condições analíticas de segurança (item 12.5 da NBR 6118).

Do ponto de vista das condições construtivas, devem ser atendidos os requisitos definidos na

NBR 14931 (“Execução de estruturas de concreto – Procedimento”).

Do ponto de vista das condições analíticas, define-se que as resistências disponíveis não podem

ser menores que as solicitações atuantes, com relação a todos os estados limites e a todos os

carregamentos (os de Norma e os específicos para a construção considerada).

Simbolicamente, Rd ≥ Sd.

1.1.2. Estados limites últimos e de serviço

Define-se que uma estrutura ou parte dela atinge um estado limite quando, de modo efetivo ou

convencional, se torna inutilizável, ou deixa de satisfazer às condições previstas para a sua utilização.

Segundo a NBR 6118, em seus itens 3.2 e 10.2, devem ser considerados no projeto estados

limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). Simbolicamente, Rd = Fd em um estado limite.

Os estados limites últimos estão relacionados ao colapso, ou a outra forma de ruína estrutural

que determine a paralisação do uso das estruturas.

Os estados limites de utilização (de serviço), de abertura de fissuras, de deformações excessivas

e de vibrações excessivas devem ser atendidos em todas as estruturas de concreto armado.

1.1.3. Ações a considerar

A NBR 6118, em seu item 11.2.1, define que deve ser considerada a influência de todas as

ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança estrutural, levando-se em conta

todos os possíveis estados limites últimos e de serviço, de acordo com esta norma e das condições

peculiares a cada edificação.

Simbolicamente, as ações em uma estrutura de concreto armado podem ser expressas como:

p = g + q + (carga total = carga permanente + carga variável + efeitos de deformações

próprias e impostas)

A NBR 6120 define as cargas gravitacionais para o cálculo de estruturas de edificações. Outras

normas brasileiras de cargas podem ser citadas, como a NBR 6123 para as ações de vento.

No caso de obras industriais, deve ser considerado o peso dos equipamentos a serem instalados

na edificação e as cargas variáveis que poderão ocorrer durante as diferentes fases de montagem,

operação e manutenção da instalação. Na avaliação das cargas variáveis, estas devem ser consideradas

as suas posições mais desfavoráveis.

Cargas durante as fases construtivas devem ser verificadas, inclusive os esforços decorrentes da

montagem de peças pré-moldadas e os que apareçam durante a fase de escoramento.

Cargas excepcionais são também previstas no item 11.5 da NBR 6118 (impacto, tornados, etc.),

devendo ser consideradas se exigências específicas de segurança forem definidas no projeto de uma

determinada estrutura ou quando definidas por Norma Brasileira específica.

A Norma Brasileira NBR 15421 define as cargas sísmicas a serem consideradas no projeto

estrutural de edifícios.

4

1.2. Coeficientes de ponderação

A NBR 6118, em seus itens 11.6.1 e 12.2, define os valores característicos para as grandezas

envolvidas nas verificações dos estados limites (ou seja, as ações e as resistências).

1.2.1 Valores característicos para as resistências

Os valores característicos fk a serem considerados para as resistências de um material são

definidos como os valores que têm uma probabilidade de apenas 5% de não serem atingidos em um

determinado lote do material. Admite-se uma distribuição normal para estas resistências.

fck = fcm - 1,65 sc

fk = fm - 1,65 s fyk = fym - 1,65 sy

1n

)ff(

s

n

1i

2

mi

A NBR 6118, em seu item 8.2.1, define classes de resistência em MPa para o concreto. Para

superestruturas de concreto armado, o concreto deve ser no mínimo de classe C20 (fck = 20 MPa). Para

estruturas de fundações e em obras provisórias, o concreto pode ser de classe C15 (fck = 15 MPa). A

NBR6118, em sua versão 2014, é aplicável para concretos de classe até C90.

A resistência característica do aço à tração, fyk (ou à compressão, fyck) é definida em função da

tensão mínima de escoamento, real ou convencional, fixada como sendo a tensão correspondente à

deformação específica permanente de 0,2%, determinada de acordo com a NBR 6152. Os aços para

concreto armado são classificados pela NBR 7480, de acordo com o valor característico da sua

resistência de escoamento, nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60.

1.2.2 Valores de cálculo para as resistências

As resistências de cálculo são estabelecidas pela NBR 6118, no seu item 12.3, a partir dos

respectivos valores característicos e dos coeficientes de ponderação das resistências.

Estes coeficientes levam em conta a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos, as

diferenças entre resistências medidas em corpos de provas e nas estruturas, desvios ocorridos na

construção das estruturas e aproximações feitas no projeto, do ponto de vista das resistências.

Para verificações estruturais realizadas com concreto de idade igual ou superior a 28 dias, as

expressões abaixo se aplicam.

fcd = fck /c fctd = ftk / c fyd = fyk / s fycd = fyck / s

Os coeficientes de minoração (c e s) são definidos na NBR 6118, item 12.4.1 :

Concreto: c = 1,4 em condições normais.

c = 1,2 em condições de construção.

Aço: s = 1,15 em condições normais ou em condições de construção.

1.2.3 Valores característicos e valores representativos para as ações e solicitações

Os valores característicos a serem considerados para as ações Fk são definidos nas diversas

Normas Brasileiras pertinentes, em função de uma probabilidade de estes valores serem ultrapassados

durante a vida útil da construção.

Para as cargas permanentes, a NBR 8681 define os valores característicos como os seus

próprios valores médios.

Para as cargas acidentais, os valores característicos são aqueles que têm de 25% a 35% de

probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável em 50 anos, o que corresponde a

períodos de recorrência de, respectivamente 174 e 117 anos. Não se dispondo de dados estatísticos

5

suficientes, como é o caso em geral para as ações variáveis, os valores característicos a serem

considerados são os valores nominais fixados pelas Normas Brasileiras específicas, para cada tipo de

carregamento.

Para vento e sismo, as probabilidades de ultrapassagem em 50 anos são fixadas nas Normas

NBR 6123 e NBR 15421 em 63% e 10%, respectivamente, o que corresponde a períodos de

recorrência de 50 e 475 anos.

1.2.4 Valores de cálculo para as ações e solicitações

A NBR 6118, no seu item 11.7, define valores de cálculo para as ações, por meio de

coeficientes de majoração f, que levam em conta a variabilidade das ações, a simultaneidade da atuação das ações, desvios gerados na construção não explicitamente considerados no cálculo e as

aproximações feitas no projeto do ponto de vista das solicitações.

Os valores de cálculo das ações são genericamente, os valores das ações representativas vezes

os coeficientes de majoração:

Fd = f .Fk

Nos casos em que os pilares e pilares-parede tenham sua menor dimensão entre 14 e 19 cm,

deverá ser considerado um coeficiente adicional de majoração de cargas n = 1,95 – 0,05. b, sendo b a menor dimensão da seção transversal do pilar em cm, de acordo com o item 13.2.3 da NBR 6118. Este

coeficiente adicional é justificado pela maior probabilidade de falhas de construção em peças esbeltas

e da maior importância relativa dos desvios construtivos, por exemplo, nos cobrimentos. Pilares de

14x60, 16x24 e 18x20 terão, respectivamente, n = 1,25 , n = 1,15 e n = 1,05.

1.2.5 Ponderação das ações nos estados limites últimos (ações variáveis de só um tipo):

Fd = 1,4 Fgk + 1,4 F qk + 1,2 Fk. (condições normais, quando as ações são desfavoráveis)

(ou 1,0 Fgk , 0,0 F qk , 0,0 Fk.) (condições normais ou de construção, quando as ações são

favoráveis)

Fd = 1,3 Fgk + 1,2 F qk + 1,2 Fk. (condições de construção, quando as ações são desfavoráveis)

(Fgk - ação permanente característica, Fqk - ação variável característica, Fk. - ação característica

devida a deformações próprias e impostas: recalques de apoio, retração, temperatura, etc.)

No caso dos efeitos da carga variável decorrerem da atuação simultânea de cargas acidentais e

de vento, considera-se a baixa probabilidade dos dois carregamentos atingirem simultaneamente o seu

valor máximo. Neste caso, se considera a soma dos efeitos máximos de um carregamento, com o outro

reduzido por um fator ψ0 (aplica-se uma redução também para os efeitos de temperatura):

qk0qqjkj0k1qqgkgd F..)F.F.(F.F

As seguintes combinações devem ser verificadas (Tabela 11.3 da NBR 6118):

- Edifícios residenciais:

Combinação 1: carga acidental com ψ0 = 0,5, com vento total e temperatura com ψ0 = 0,6

- Edifícios comerciais, de escritórios, públicos e estações:


- Bibliotecas, arquivos, oficinas, estacionamentos:


- Para os três tipos de edifício:

Combinação 2: carga acidental total, com vento com ψ0 = 0,6 e temperatura com ψ0 = 0,6

6

Além disso, para o projeto de pilares e fundações de edifícios residenciais e comerciais (não

destinados a depósito), também se considera a baixa probabilidade das cargas acidentais atingirem seu

valor máximo simultaneamente em todos os pavimentos. Sendo assim, pode ser aplicado um

coeficiente de redução nas cargas acidentais nos pavimentos inferiores das edificações, conforme

tabela da NBR 6120.

1.2.5.1 Exemplo numérico 1:

Em um edifício residencial, definir as diversas combinações de momentos fletores para o

dimensionamento à flexão na seção extrema de uma viga. Os momentos característicos atuantes são:

Cargas permanentes: Mgk = - 78,6 kN.m;

Cargas acidentais: Mqak = - 45,3 kN.m;

Cargas de vento: Mqvk = 69,7 kN.m (pode assumir sinal positivo ou negativo).

- Combinação 1a – momento de vento negativo com carga variável de vento dominante:

Md = - 78,6 . 1,4 – 45,3 . 0,5 . 1,4 – 69,7 . 1,4 = - 239,33 kN.m.

- Combinação 1b – momento de vento positivo com carga variável de vento dominante:

Md = - 78,6 . 1,0 – 45,3 . 0,0 + 69,7 . 1,4 = + 18,98 kN.m.

- Combinação 2 – momento de vento negativo com carga acidental dominante:

Md = - 78,6 . 1,4 – 45,3 . 1,4 – 69,7 . 1,4 . 0,6 = - 232,01 kN.m.

A combinação com momento de vento positivo não dominante não é crítica.

1.2.5.2 Exemplo numérico 2:

Em um edifício de oito pavimentos, a carga aplicada em um pilar por piso tem uma parcela

permanente Ngk = - 238,6 kN e uma parcela acidental de Nqk = - 157,1 kN.

Avaliar a carga de cálculo para o dimensionamento do pilar, em cada pavimento.

(1-RP) é o percentual da carga acidental a ser considerada, conforme definido acima.

Pavimento (1-RP)

Ngk

(total no piso)

Nqk. (1-RP)

(total no piso)

Nd

(total no piso)

8º 100% - 238,6 - 157,1 - 553,98

7º 100% - 477,2 - 314,2 - 1107,96

6º 100% - 715,8 - 471,3 - 1661,94

5º 80% - 954,4 - 502,72 - 2039,97

4º 60% - 1193,0 - 471,30 - 2330,02

3º 40% - 1431,6 - 377,04 - 2532,10

2º 40% - 1670,2 - 439,88 - 2954,11

1º 40% - 1908,8 - 502,72 - 3376,13

7

1.2.5.3 Exemplo 3:

Seja um pilar de concreto simples, de área igual a Ap em que a força normal de compressão é:

Np = Ng + Nq

A tensão de compressão atuante no concreto é de:

A tensão de rutura em um dado corpo de prova padronizado do concreto do pilar é de:

Onde Ne é a força de compressão que rompe o corpo de prova e Ae é a área do corpo de prova.

A verificação de segurança ( é ilustrada na figura abaixo:

1.2.6 Ponderação das ações nos estados limites de serviço:

Pode ser sempre conservadoramente considerado:

Fd = Fgk +F qk + Fk

Ou seja, nos estados limites de serviço, pode-se tomar f =1,0. Coeficientes de redução para

cargas acidentais, de vento e de temperatura podem ser considerados, conforme item 11.7.2 da NBR

6118.

1.3 Características dos aços

Para o cálculo nos estados limites últimos, considera-se o diagrama tensão-deformação bilinear

genérico para os aços, definido pela NBR 6118 em seu item 8.3.6. O patamar de escoamento é bem

definido e sem acréscimo de tensões após a deformação de escoamento. A aplicação dos critérios de

dimensionamento que serão a seguir detalhados leva ao diagrama tensão-deformação de projeto dado a seguir.

8

Considera-se, para todos os tipos de aço, Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm2 = 21 . 10

7 kN/m

2.

No caso, por exemplo, do aço CA-50:

fyd = fycd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2

yd = fyd / Es = 43,48/21000 = 0,002070 = 2,070 0/00

Os valores de fyd e yd para os três tipos de aço são fornecidos na tabela abaixo:

As bitolas da tabela a seguir são as das barras normalizadas pela NBR 7480 (“Barras e fios

destinados a armaduras para concreto armado”). É fornecida também a área em cm2 de cada bitola.

9

Os fios são fornecidos em rolos até a bitola de 9,5 mm e as barras a partir da bitola de 4,2 mm.

As barras são fornecidas em comprimentos de 12 m. O aço CA-60 é fornecido em fios e barras.

Diâmetros padronizados com bitolas inferiores a 5 mm não têm aplicação como armadura estrutural

em pilares.

O aço CA-50 é utilizado em todos os tipos de armadura estrutural. O aço CA-60 pode ser

empregado nas armaduras das lajes e nas armaduras de estribos de vigas e de pilares. O aço CA-25,

por ser o único que depois de dobrado, pode ser redobrado para sua conformação inicial, é usado em

detalhes construtivos especiais.

As barras podem ser também classificadas, conforme a NBR 6118, item 9.3.2.1, de acordo com

a conformação superficial (nervuras), em barras lisas (CA-25), barras entalhadas (CA-60) e barras de

alta aderência (CA-50 e CA-60), ver item 9.3.2.1 da Norma. As nervuras têm sua configuração

geométrica definida na NBR 7480.

1.4 Características do concreto

A resistência característica do concreto à compressão é determinada a partir dos resultados de

ensaios em corpos de prova cilíndricos, de 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, moldados de acordo

com a NBR 5738, com a idade de 28 dias, com procedimento estatístico de acordo com a NBR 5739.

A resistência do concreto à tração pode ser determinada pelo ensaio de compressão diametral,

de acordo com a NBR 7222. Na ausência de ensaios, seus valores médio e característicos (inferior e

superior) podem ser estimados em função da resistência à compressão fck como:

fct,m = 0,3 fck 2/3

(fck ≤ 50 MPa); fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck) (fck 50 MPa);

ftk,inf = 0,7 fct,m ; fctk,sup = 1,3 fct,m

Exemplo:

fck = 20 MPa, fct,m = 0,3.202/3

= 2,21MPa, fctk,inf = 0,7. 2,21 = 1,55MPa

O diagrama tensão-deformação idealizado, a ser usado nas análises no estado limite último,

para o concreto à compressão, é definido a seguir, de acordo com a NBR 6118, item 8.2.10.1.

Os valores a serem adotados para os parâmetros c2 (deformação específica de encurtamento

do concreto no início do patamar plástico) e cu (deformação específica de encurtamento do concreto na

ruptura) são definidos a seguir:

10

para concretos de classes até C50: c2 = 2,0

0/00

cu = 3,50/00

para concretos de classes de C50 até C90: c2 = 2,0

0/00 + 0,085

0/00.(fck - 50)

0,53

cu = 2,60/00 + 35

0/00.[(90 - fck)/100]

4

Estimativa para o módulo de elasticidade inicial (item 8.2.8 da Norma), a ser utilizado nas análises globais de uma estrutura, quando não forem realizados ensaios para a determinação deste parâmetro

(unidade, MPa):

Eci = E. 5600 ckf , para fck de 20 MPa a 50 MPa;

Eci = 21,5.103 . E .

3/1

ck 25,110

f, para fck de 55 MPa a 90 MPa.

O parâmetro E depende da rocha matriz da brita empregada: E = 1,2 para basalto e diabásio

E = 1,0 para granito e gnaisse

E = 0,9 para calcário

E = 0,7 para arenito

Estimativa para o módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises locais e seccionais de uma estrutura:

Ecs = i . Eci

i = 0,8+0,2 .80

ckf ≤ 1,0

11

Curva para E = 1,0:

Coeficiente de Poisson = 0,2 (item 8.2.9 da Norma)

Coeficiente de dilatação térmica = 10-5

/0C (item 8.2.3 da Norma)

3.4 Hipóteses básicas no dimensionamento à flexão simples no estado limite último.

O dimensionamento de uma peça composta de um material homogêneo, com comportamento

suposto como elástico linear, pode ser efetuado pelo método das tensões admissíveis. Por exemplo,

para uma viga de seção retangular (b x h), submetida à flexão simples (momento fletor igual a M), as

tensões máximas de compressão e de tração são ambas iguais a = 6M/bh2, devendo esta tensão ser

comparada com um valor de tensão admissível definido para este material.

Para o dimensionamento do concreto armado, o problema é bem mais complexo, devendo ser

considerados os diagramas não-lineares tensão-deformação já definidos para o concreto e para o aço, e

as hipóteses básicas a seguir enunciadas.

d

cu

00,2

%

c2

x

0,85 fcd

y=λx

αc fcd ou 0,9 αc fcd

(Domínio 3) s

12

As hipóteses para o dimensionamento à flexão, no estado limite último do concreto armado,

segundo a NBR 6118, em seu item 17.2.2 são:

as seções transversais se mantêm planas após a deformação;

a deformação das barras deve ser o mesma do concreto em seu entorno;

as tensões de tração no concreto, devem ser desprezadas no ELU;

a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com tensão máxima a 0,85 fcd. Esse diagrama pode ser substituído por um retângulo de profundidade

y = λx, onde o valor do parâmetro λ pode ser tomado igual a:

λ = 0,8 para fck ≤ 50 MPa; ou

λ = 0,8 – (fck - 50)/400 para fck 50 MPa.

A tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada igual a:

αc fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;

0,9 αc fcd no caso contrário.

sendo αc definido como:

para concretos de classes até C50; αc = 0,85

para concretos de classes de C50 até C90: αc = 0,85 . [1,0 - (fck - 50) / 200]

a tensão nas armaduras é obtida dos diagramas tensão-deformação definidos no item 3.3.

consideram-se, na flexão, os limites de x/d :

x/d ≤ 0,45 - para concretos com fck ≤ 50 MPa;

x/d ≤ 0,35 - para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa.

Valores de λ e αc

os estados limites últimos são caracterizados quando a distribuição de deformações na seção

transversal atingir uma das configurações definidas nos diversos domínios de dimensionamento à

compressão, tração e flexão simples ou composta, normal ou oblíqua, estabelecidos pela Norma

(ver figura a seguir).

13

Deformação plástica excessiva:

reta a : tração uniforme.

domínio 1 : tração não uniforme, sem compressão.

domínio 2 : flexão simples ou composta, sem ruptura à compressão do concreto, aço a 100/00

Ruptura:

domínio 3 : flexão simples (seção sub-armada) ou composta, com ruptura à compressão do

concreto, e com escoamento do aço.

domínio 4 : flexão simples (seção super-armada) ou composta, com ruptura à compressão do

concreto, e com aço tracionado sem escoamento.

domínio 4a : flexão composta com armaduras comprimidas.

domínio5 : compressão não uniforme, sem tração.

reta b : compressão uniforme.

14

2. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA RETA

2.1 Dimensionamento na flexão composta reta – fck ≤ 50 MPa

As diversas possibilidades de dimensionamento e verificação das seções de concreto armado na

flexão composta reta se realizam quando os diversos domínios de deformações específicas no estado

limite último são percorridos: tração simples, flexão composta com tração, flexão simples, flexão

composta com compressão e compressão simples. Durante este desenvolvimento, a profundidade da

linha neutra assume os valores:

Domínio 1: de - ∞ a 0

Domínio 2: de 0 a 0,259d

Domínios 3 e 4: de 0,259d a d

Domínio 4a: de d a h

Domínio 5: de h a + ∞

A retangularização do diagrama tensão-deformação do concreto só será considerada para

concretos com fck ≤ 50 MPa. Para concretos com resistência superior a esta, a retangularização leva a

resultados muito imprecisos, obrigando à consideração dos diagramas tensão-deformação reais.

São inicialmente definidas as notações a serem seguidas, através das figuras abaixo:

d’’

As2

d h

Md Nd

Asi

h/2

As1 d’

Seção longitudinal

b

d’’

As2

t2 c d h

Asi

t i As1

t1

Seção transversal

d’

15

De acordo com a figura, as seguintes designações foram definidas, para uma seção retangular:

b, h - largura e altura total da seção de concreto.

As1 e As2 – armaduras mais próximas, respectivamente, da face inferior e superior da seção (em

uma viga em flexão simples seriam, respectivamente, as armaduras principais de tração e compressão).

d', d'' - distâncias dos centros de gravidade das armaduras As1 e As2 às faces do concreto mais

próximas.

d = h - d' - “altura útil” da seção.

c = d - d'' - distância entre centros de gravidade das armaduras As1 e As2.

Asi e ti – armadura genérica e sua respectiva distância à face inferior da seção.

Nd e Md – esforço normal e momento fletor de cálculo referidos ao centro de gravidade da seção

retangular.

As forças normais positivas são as de tração e os momentos fletores positivos tracionam a face

inferior da seção. Da mesma forma, na seção resistente, forças e tensões de tração são positivas e as de

compressão são negativas.

2.1.1 Equações para o Domínio 1

O Domínio 1 corresponde às situações de tração pura (reta a) e às de tração composta com

flexão em que as deformações no concreto são todas positivas, ou seja, as tensões no concreto são

nulas. Neste caso, o par de esforços Nd e Md é resistido pelas forças de tração nas armaduras. O estado

limite se caracteriza pelo esgotamento da capacidade de deformação específica do aço (s = 100/00).

O Domínio 1 é definido pelas seguintes condições de deformação específica:

s1 = 100/00; c = 10

0/00 a 0

0/00

s1 e c - deformações específicas da seção, respectivamente aos níveis da armadura mais inferior e da fibra correspondente à face superior do concreto.

As deformações específicas no nível da armadura genérica i são obtidas, por relações

geométricas, com o auxílio da figura a seguir:

d''

h d c

d'

b

As2

Asi

As1

c

s2 F s2

Md

Nd

si F si

s1= 100/00 F s1

εs1-εc εc

εs1-εsi εsi d

εs1 ti–d’

c1s

c

d

x

x c1s

c.dx

16

cs

sisi

d

'dt

1

1

d

)'dt).(( icsssi

1

1 d

)'dt).(( icsi

1010

Já que no caso específico do Domínio 1, s1 = 100/00.

De acordo com o diagrama tensão-deformação definido no item 2.3, as tensões na armadura

serão:

ydsiyd

si

sisi f.

se ; ydsisissi .E se , com E s = 21000 kN/cm

2

A força Fsi (de tração) na armadura genérica i é dada por:

Fi = Asi . σsi

O equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas leva aos esforços externos

equilibrantes:

id FN ; iidd t.Fh

.NM2

Nas peças submetidas à tração pura ou composta com flexão é necessária a verificação à

fissuração, de acordo com o item 17.3.3, da NBR 6118.

A NBR 6118 (versão 2007), em seu item 17.3.3, fornece uma alternativa ao cálculo analítico da

abertura esperada de fissuras. Para os diversos diâmetros das barras, é definida uma tensão máxima nas

mesmas, em condições de serviço, e um espaçamento máximo das armaduras. Desta forma, esperam-

se aberturas máximas de fissuras da ordem de 0,3 mm. É atendido desta forma o estado limite de

fissuração. Estes valores são definidos na tabela a seguir.

Diâmetro da

armadura (Ф)

Tensão máxima em

serviço (σs), em MPa

Espaçamento máximo

(smax), em cm

Acréscimo da

armadura (CA-50)

10 360 5 1,00

12,5 320 10 1,00

16 280 15 1,11

20 240 20 1,29

25 200 25 1,55

32 160 30 1,94


O Domínio 2 corresponde a diversas condições de equilíbrio em que a parte superior da seção

está comprimida e as armaduras superiores encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite

se caracteriza pelo esgotamento da capacidade de deformação específica do aço (s = 100/00);

corresponde a diversas situações de flexão composta com tração, flexão simples e flexão composta

com compressão.

17


s = 100/00; c = 0

0/00 a -3,5

0/00

Profundidade da linha neutra x:

1sc

c.dx

; no caso particular do Domínio 2, s1 = 10

0/00.

O limite para o Domínio 2 corresponderá a c = -3,50/00 ou 2593,0

d

xk max

max,x

Para o cálculo das deformações específicas no nível da armadura genérica i, vale a expressão

apresentada para o Domínio 1, observando-se que, neste caso, c tem sinal negativo. As tensões e

forças nas armaduras também são determinadas com as expressões do Domínio 1.

A força de compressão Fc, resultante das tensões de compressão atuantes no concreto, é

determinada com a expressão a seguir, devendo Fc ser tomado com o sinal negativo (compressão):

x.,.b.f.,F cdc 80850

Para o equilíbrio de momentos é necessário definir a distância do ponto de aplicação da força

Fc à face inferior da seção:

x.,htc 40

O equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas leva aos esforços externos

equilibrantes:

icd FFN ;

0t.Ft.F2

h.NM iiccdd iiccdd t.Ft.F

h.NM2



está comprimida e as armaduras encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite se

caracteriza pelo esgotamento da capacidade de encurtamento do concreto, suposto com sua máxima

deformação específica (c = - 3,50/00); a deformação específica do aço na armadura mais inferior (As1) é

no mínimo igual à de escoamento (yd). Este estado limite corresponde a diversas situações de flexão

simples e flexão composta com compressão.


s = 100/00a yd; c = - 3,5

0/00

O cálculo da profundidade de linha neutra é igual ao do Domínio 2, sendo que no Domínio 3,

deve-se considerar que c = - 3,50/00.

O limite do Domínio 3, para aço CA-50, com yd = 2,070/00 será 6284,0

d

xk max

max,x

As expressões do Domínio 2 para o cálculo das deformações específicas no nível da armadura

genérica i, de tensões e forças nas armaduras, da força de compressão no concreto e de equilíbrio entre

forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas.

2.1.4 Equações para os Domínios 4 e 4a


está comprimida e as armaduras encontram-se tracionadas ou comprimidas. O estado limite se

caracteriza pelo esgotamento da capacidade de encurtamento do concreto, suposto com sua máxima

deformação específica (c = -3,50/00); a deformação específica do aço na armadura mais inferior (As1) é

inferior à de escoamento (yd).

18

Este estado limite corresponde a diversas situações de flexão composta com compressão. Como

o aço não atinge à sua tensão de escoamento, a seção romperá por ruptura frágil (compressão do

concreto). Por esta razão, a NBR 6118 não permite a utilização do domínio 4 na flexão simples (seções

super-armadas).


s = yd a 00/00; c = - 3,5

0/00

As expressões do Domínio 3 para o cálculo da profundidade da linha neutra, das deformações

específicas no nível da armadura genérica i, de tensões e forças nas armaduras, da força de compressão

no concreto e de equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas.

O Domínio 4a corresponde a uma transição matemática entre os Domínios 4 e 5, quando surge

uma pequena compressão na armadura As1. Este caso pode ser tratado, conservadoramente, com as

expressões do Domínio 4.


O Domínio 5 corresponde a diversas condições de equilíbrio em que a seção está totalmente

comprimida, estando as armaduras também comprimidas. O Domínio 5 corresponde a diversas

situações de flexão composta com compressão e de compressão simples.


c = -3,50/00 a – 2,0

0/00 e

3

414 cinf,c

.

o que corresponde a 3/7h = -2

0/00 a h

7

3

Sendo inf,c a deformação específica na face inferior do concreto, devendo ser consideradas

ambas as deformações com seus respectivos valores negativos.

Profundidade da linha neutra x:

147

3

c

c

inf,cc

c

.

..h.hx

As deformações específicas no nível da armadura genérica i são obtidas, por relações

geométricas, com o auxílio da figura a seguir:

x

hxt.

hxt

x icsi

isi

c

19

Substituindo 147

3

c

c

.

..hx

, vem:

)147/().h.3(

h)147/().h.3(t.

cc

ccicsi

c

ccicicsi

.h.

h..h..h.t..t..

3

1473147

h.

h..h.t..t. cicisi

3

144147

As expressões do Domínio 3 para tensões e forças nas armaduras, da força de compressão no

concreto e de equilíbrio entre forças externas aplicadas e forças internas permanecem válidas.

20

2.2 Planilhas de dimensionamento. Ábacos de interação (fck ≤ 50 MPa)

A formulação apresentada no item 2.1 é sistematizada através de planilhas EXCEL. Estas

planilhas têm um formato que permitem a verificação de uma seção retangular qualquer submetida à

flexão composta reta. Também com estas planilhas serão geradas tabelas adimensionais, que expressas

graficamente, permitirão o dimensionamento através de ábacos de interação.

Estas planilhas consideram a retangularização do diagrama tensão-deformação do concreto,

considerada como adequada para concretos com fck ≤ 50 MPa.

2.2.1 Exemplo de dimensionamento. Duas camadas, armadura simétrica.

É apresentada, nas páginas seguintes, a planilha correspondente ao primeiro exemplo (arquivo

“FlexãoComposta-Dimensionamento ou FlexãoComposta-Dimensionamento-Bitolas”).

A planilha EXCEL da página seguinte fornece os seguintes dados e resultados, sendo cada

linha correspondente às diversas configurações deformadas, nos diversos Domínios da NBR 6118:

x(m) – profundidade da linha neutra. No Domínio 5, foi limitada, para viabilizar o cálculo automático da compressão no concreto, a h/0,8.

c (0/00), s1 (

0/00), s2 (

0/00) – deformações específicas a nível da face superior do

concreto e das armaduras As1 e As2.

s1 (kN/cm2) e s1 (kN/cm

2) – tensões nas armaduras As1 e As2.

pares de valores resistentes Nd, Md para a armadura fornecida e para As = 0 e valores

atuantes na seção.

Na figura em página posterior, estes valores de Nd e Md são plotados em curvas de interação.

Observar que, com a armadura adotada, os valores atuantes estão na região segura (interna) do ábaco.

É traçada uma linha reta, unindo dois pares de valores com a mesma posição de linha neutra, para a

armadura fornecida e para As = 0, passando próximo ao ponto correspondente ao par de esforços

atuante. Observar, que nesta reta, os acréscimos nos pares de esforços resistentes são proporcionais à

armadura adotada, permitindo assim uma interpolação (ou extrapolação). A adoção deste

procedimento no exemplo leva às armaduras As1 = As2 = 3cm2, o que é uma excelente aproximação

para a solução exata.

Resolvendo pelos ábacos de interação adimensionais, a serem apresentados no item 2.2.2,

considerando o ábaco Adimensional 3:

117,04,1/20000.3,0.6,0

90

f.h.b

M;233,0

4,1/20000.3,0.6,0

600

f.h.b

N2

cb

2

d

cd

d

Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco, ω = 0,1.

Como: 2

s

cd

ydscm9,5

15,1/50

4,1/20000.3,0.6,0.1,0A;

f.h.b

f.A ,

o que confirma que a armadura acima avaliada.

21

Seção Transversal Concreto Aço CA50A

b (m) 0,6 d'(m) 0,05 fck (MPa) 20 fyk (kN/cm2) 50

h (m) 0,3 d''(m) 0,05 fcd (kN/m2) 14286 Es (kN/cm

2) 21000

d(m) 0,25 yd (‰) 2,070

Disposição das Armaduras fyd (kN/cm2) 43,48

Camadas Asi (cm2) ti (m) Nd(kN) = -600,0

1 5 0,05 Md(kN.m) = 91,00

2 5 0,25

3

4

5

6

7

SOMA = 10

As dado As = 0

Domínios x (m) c (‰) s1 (‰) s2 (‰) s1 (kN/cm2) s2 (kN/cm

2) Nd (kN) Md (kN.m) Nd (kN) Md (kN.m)

Domínio 1 10,00 10,00 10,00 43,48 43,48 435 0 0 0

s1 = 10‰ 8,00 10,00 8,40 43,48 43,48 435 0 0 0

6,00 10,00 6,80 43,48 43,48 435 0 0 0

4,00 10,00 5,20 43,48 43,48 435 0 0 0

2,00 10,00 3,60 43,48 43,48 435 0 0 0

0,00 10,00 2,00 43,48 42,00 427 1 0 0

Domínio 2 0,012 -0,50 10,00 1,60 43,48 33,60 316 15 -69 10

s1 = 10‰ 0,023 -1,00 10,00 1,20 43,48 25,20 211 28 -132 19

0,033 -1,50 10,00 0,80 43,48 16,80 111 39 -190 26

0,042 -2,00 10,00 0,40 43,48 8,40 17 50 -243 32

0,050 -2,50 10,00 0,00 43,48 0,00 -74 60 -291 38

0,058 -3,00 10,00 -0,40 43,48 -8,40 -161 69 -336 43

0,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -244 77 -378 47

Domínio 3 0,065 -3,50 10,00 -0,80 43,48 -16,80 -244 77 -378 47

c = 3,5‰ 0,070 -3,50 9,00 -1,00 43,48 -21,00 -296 82 -408 50

0,076 -3,50 8,00 -1,20 43,48 -25,20 -352 87 -443 53

0,083 -3,50 7,00 -1,40 43,48 -29,40 -415 93 -486 57

0,092 -3,50 6,00 -1,60 43,48 -33,60 -487 99 -537 61

0,103 -3,50 5,00 -1,80 43,48 -37,80 -572 106 -600 65

0,117 -3,50 4,00 -2,00 43,48 -42,00 -673 113 -680 70

0,135 -3,50 3,00 -2,20 43,48 -43,48 -785 119 -785 75

0,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 123 -916 80

Domínio 4 0,157 -3,50 2,07 -2,39 43,48 -43,48 -916 123 -916 80

c = 3,5‰ 0,159 -3,50 2,00 -2,40 42,00 -43,48 -935 123 -927 80

0,175 -3,50 1,50 -2,50 31,50 -43,48 -1080 119 -1020 82

0,194 -3,50 1,00 -2,60 21,00 -43,48 -1246 114 -1133 82

0,219 -3,50 0,50 -2,70 10,50 -43,48 -1440 107 -1275 80

0,250 -3,50 0,00 -2,80 0,00 -43,48 -1675 95 -1457 73

Domínio 5 0,300 -3,50 -0,58 -2,92 -12,25 -43,48 -2027 68 -1749 52

0,343 -3,20 -0,87 -2,73 -18,20 -43,48 -2307 38 -1998 26

0,375 -2,90 -1,15 -2,55 -24,15 -43,48 -2524 10 -2186 0

0,375 -2,60 -1,43 -2,37 -30,10 -43,48 -2554 7 -2186 0

0,375 -2,30 -1,72 -2,18 -36,05 -43,48 -2583 4 -2186 0

0,375 -2,00 -2,00 -2,00 -42,00 -42,00 -2606 0 -2186 0

Curva de Interação (Nd x Md)

0

20

40

60

80

100

120

140

-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500

Nd (kN)

Md (

kN

.m)

As=0

As dado

Nd,Md

22

2.2.2 Desenvolvimento de ábacos de interação adimensionais.

O dimensionamento com auxílio de ábacos adimensionais segue os mesmos procedimentos já

descritos, desenvolvendo-se as planilhas para uma seção retangular com b = h = 1,00m;

fcd =1,00 kN/m2; fyd = 1 kN/cm

2; Es = 21000/fyd. Os parâmetros adimensionais para entrada nos ábacos

são o esforço normal adimensionalizado η e o momento adimensionalizado μ; os resultados são em

termos da percentagem mecânica de armadura ω, válidos para CA-50.

cd

yds

cd

d

cd

d

f.h.b

f.A;

f.h.b

M;

f.h.b

N

2

A retangularização do diagrama tensão-deformação do concreto só é considerada para

concretos com fck ≤ 50 MPa. São traçados também ábacos para fck = 90 MPa, obtidos considerando-se

os diagramas tensão-deformação reais. Para valores intermediários de fck, pode-se recorrer à

interpolação de resultados.

Os ábacos adimensionais definidos a seguir são apresentados no ANEXO (todos para aço CA-

50).

Seção TIPO 1 – C50 Armadura simétrica com d’/h = 0,05 e As1 = As2 = 0,5 As (Ábaco Adimensional 1)

Armadura simétrica com d’/h = 0,10 e As1 = As2 = 0,5 As (Ábaco Adimensional 2)




Seção TIPO 2 – C50 Armadura simétrica com d’/h = 0,05, com As1 = As2 = As3 = As4 = 0,25As (Ábaco Adimensional 6)

Armadura simétrica com d’/h = 0,10, com As1 = As2 = As3 = As4 = 0,25As (Ábaco Adimensional 7)



Seção TIPO 3 – C50

Armadura simétrica com d’/h = 0,05, com As3 = As4 = 0,5As (Ábaco Adimensional 10)


Seção TIPO 4 – C90 Seção circular com d’/d = 0,05 (Ábaco Adimensional 12)

Seção circular com d’/d = 0,10 (Ábaco Adimensional 13)

Seção TIPO 1 – C90 Armadura simétrica com d’/h = 0,05 e As1 = As2 = 0,5 As (Ábaco Adimensional 14)












23

2.2.3 Exemplo numérico resolvido 1

210041300006060

9704670

41300006060

360022

,,/.,.,f.h.b

M;,

,/.,.,f.h.b

N

cb

d

cd

d

Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco, ω = 0,4.

Como: 27115150

4130000606040cm

,/

,/.,.,.,A;

f.h.b

f.As

cd

yds ,

o que confirma que a armadura adotada (75,36 cm2) é suficiente.


0

200

400

600

800

1000

1200

-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000

Nd (kN)

Md (

kN

.m)

As=0

As dado

Nd,Md

Seja verificar um pilar quadrado, conforme esquematizado na

figura ao lado, com dimensões de 60 cm x 60 cm, considerando o concreto

com fck = 30 MPa e aço CA-50. A armadura consiste em 24 barras de

diâmetro 20 mm, com d’= d’’= 6 cm.

Os esforços de cálculo são Nd = -3600 kN e Md = 970kN.m. A

aplicação direta da planilha de dimensionamento indica que este par de

esforços está na região segura do ábaco (ver abaixo).

Verificação, aplicando o Ábaco Adimensional 7:

24

Exemplo resolvido 2

Pilar circular, com d = 0,60m; fck = 18 MPa; d’= 0,03cm

Esforços atuantes: Nd = -5082 kN, Md = 102 kNm.

037,04,1/18000.6,0

102

f.d

M;098,1

4,1/18000.6,0

5082

f.d

N3

cd

3

d

2

cd

2

d

Com este par de valores, encontra-se, por interpolação, no Ábaco Adimensional 12, ω = 0,584.

Como: 22

s

cd

2

ydscm2,62

15,1/50

4,1/18000.6,0.584,0A;

f.d

f.A (14 barras de 25mm)

2.2.4 Exemplos numéricos propostos

a) 20x60, d’=5cm, fck = 25 MPa, As3 = As4 = 0;

Ngk = -20 kN, Nqk = -30 kN, Mgk = 80 kNm, Mqk = 120 kNm. R: As = 24cm2.

b) 20x80, d’=4cm, fck = 15 MPa, As3 = As4 = 0;

Nk = -1050 kN, Mk = 100 kNm. R: As = 10cm2.

c) 25x60, d’=3cm, fck = 18 MPa, As3 = As4 = 0;

Ngk = -140 kN, Nqk = -217 kN, Mgk = 56 kNm, Mqk = 87 kNm. R: As = 7,6cm2.

d) 25x60, d’=3cm, fck = 18 MPa, As3 = As4 = 0; Nd = -250 kN, Md = 175 kNm. R: As = 8,8cm2.

e) 20x80, d’=3cm, fck = 22 MPa, As1 = As2 = 0;

Ngk = -500 kN, Nqk = -800 kN, Mgk = 80 kNm, Mqk = 115 kNm.

R: As = 17,3cm2 (16Ф12,5 mm)

f) 20x80, d’=5cm, fck = 20 MPa, As1 = As2 = 0;

Nk = 1000 kN, Mk = 200 kNm. R: As = 51,1cm2.

Para atender à fissuração: As = 79,3cm2

(2 x 8 Ф 25 mm c 10 = 80cm2)

Tensão aproximada: MPacm/kN,.,.,

,.s 198819

8041151

15150 2 (OK)

Outra solução possível: (2 x 11 Ф 20 mm c 7 = 69cm2)

g) Seção circular, com d = 0,60m; fck = 25 MPa; d’= 0,06 m; Armadura = 8 Ф20 mm

Qual o Nd máximo para uma excentricidade e = 0,015 + 0,03.d= 0,033m

R: .055,0).(d

e;169,0

4,125000.6,0

15,150.14,3.8

f.d

f.A2

cd

2

yds

Pelo Ábaco 13: 036,0;648,0 ; 4,1

25000.6,0).648,0(N 2

d -4165 kN

25

3. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA

3.1. Cálculo pela formulação aproximada da NBR 6118

A figura abaixo define as notações empregadas para a verificação de uma seção retangular de

concreto, de dimensões b e h, submetida aos esforços de cálculo Nd, Mxd e Myd. A área total de aço é

igual a As = As1 + As2 + As3 + As4.

A NBR 6118, em seu item 17.2.5.2, permite a verificação da flexão composta oblíqua através

da seguinte expressão de interação aproximada:

1

yy,Rd

y,Rd

xx,Rd

x,Rd

M

M

M

M (no Estado Limite Último; ≤1 na verificação de segurança)

Onde:

MRd,x e MRd,y – componentes segundo os eixos x e y do momento admitido como resistente, para

o valor de esforço normal atuante NSd.

MRd,xx e MRd,yy – são os momentos resistentes segundo os eixos x e y, em flexão composta reta,

para o valor de esforço normal NSd .

α - fator que em geral pode ser tomado como α = 1,0 e no caso de seções retangulares, como

α = 1,2.

3.1.1. Exemplo numérico resolvido 3

Seja verificar um pilar retangular, com dimensões de

b = 40 cm, h = 60 cm, considerando o concreto com fck = 25 MPa e

aço CA-50. A armadura consiste de 16 barras de diâmetro 20 mm,

com d’= d’’= d’’’= d’’’’= 5 cm. Os esforços solicitantes de cálculo são

Nd = -2400 kN; Mxd = 300 kN.m e Myd = 220 kN.m.

A disposição das armaduras é indicada no esquema ao lado.

A verificação na flexão composta reta, com Nd = -2400 kN

fornece MRd,xx = 569 kN.m e MRd,yy = 388 kN.m.

26

A respectiva curva de interação, de acordo com o processo aproximado da NBR 6118, é

apresentada na figura a seguir. O par de esforços atuante se encontra na parte segura (interna) do

ábaco. A seguinte expressão deve ser empregada, em planilha EXCEL, para expressar MRd,y em

função de MRd,x:

21121

211

,/,

xx,Rd

x,Rd,

yy,Rdy,RdM

M.MM

Analiticamente:

)OK(,,,

,,

970510460388

220

569

3002121

3.2. Cálculo exato.

A análise das curvas de interação obtidas com programas de computador indica que o critério

proposto pela NBR 6118 é adequado. O cálculo exato é possível através de programas de computador

ou por um processo iterativo bastante trabalhoso, em que vai se ajustando por tentativas a posição da

linha neutra e o ângulo por ela formado com os eixos X e Y. É possível também a aplicação dos ábacos

de interação encontrados na literatura (por exemplo, os conhecidos ábacos de Montoya).

O seguinte “site” da Universidade Federal do Paraná disponibiliza o programa OBLÍQUA, para

o traçado de curvas de interação na flexão composta oblíqua (fck ≤ 50 MPa):

http://www.cesec.ufpr.br/etools/oe3/

(objetos educacionais, sistemas estruturais, concreto armado e protendido, “Oblíqua 1.0”)

O programa pode ser aplicado a seções de forma qualquer.

Como exemplo de comparação, analisa-se um pilar retangular, dimensões de b = 30 cm, h = 35

cm, considerando o concreto com fck = 25 MPa e aço CA-50. A armadura consiste de 4 barras de

diâmetro 20 mm nos cantos do pilar, com os d’ iguais a 5 cm. Os esforços solicitantes de cálculo são

Nd = -90,16 kN, MSxd = 48,5 kN.m e MSyd = 36,8 kN.m

Curva de Interação Aproximada na Flexão Oblíqua

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 100 200 300 400 500 600

M xd

My

d Valores

admissíveis

Valores

dados

388

366

324

272

APROXIMADO EXATO

202

109

569

27

A verificação na flexão composta reta, com Nd = -90,16 kN fornece MRd,xx = 85,0 kN.m e

MRd,yy = 70,0 kN.m.

Analiticamente, pela NBR 6118:

)OK(00,149,051,070

6,38

85

5,482,12,1

Com o programa OBLÍQUA se obtém a curva de interação exata, mostrada a seguir.

O par de esforços correspondente à formulação aproximada (Nd = -90,16 kN; MRd,xx = -48,5

kN.m e MRd,yy = 38,6 kN.m) se encontra internamente à curva da formulação exata. A linha tracejada

representa a expressão aproximada de interação da NBR 6118. No caso analisado a formulação

aproximada forneceu valores bastante mais seguros do que a formulação exata.

3.3. Exemplos numéricos propostos

a) 30x50, d’= 3cm, fck = 20 MPa, As1 = As2 = As3 = As4 ; As = 37,68 cm2(12 Ф 20 mm)

Nk = -1000 kN, Mxk = 80 kNm, Myk = 100 kNm.

R: )Ábaco(,);Ábaco(,;,;, xx 728206306076406530

MRdxx = 328 kNm, MRdyy = 181 kNm; 0,28+0,73=1,01 (~OK, passa no método exato)

b) 60x20, d’= 3cm, fck = 22 MPa, As3 = As4 = 0 ; As =21,98 cm2(28 Ф 10 mm)

Nk = -1000 kN, Mxk = 30 kNm, Myk = 100 kNm. R: )10(172,0);3(202,0;507,0;742,0 ÁbacoÁbaco yx

MRdxx = 76,4 kNm, MRdyy = 195 kNm; 0,49+0,67=1,16 (Não OK, passa no método exato)

28

4. CRITÉRIOS DE PROJETO DE PILARES

4.1. Cargas atuantes nos pilares de edifícios.

4.1.1. Cargas a considerar

As cargas a serem consideradas no projeto foram resumidas no item 1.1.3. As cargas atuantes

nos pilares são, basicamente, as decorrentes de seu peso próprio e as cargas permanentes e acidentais,

mais as decorrentes da atuação das cargas horizontais de vento, impostas pelas vigas.

4.1.2. Engastamento das vigas em pilares extremos

De acordo com o item 14.6.7.1 da NBR 6118, caso não for realizado o cálculo analítico exato

da influência da solidariedade das vigas com os pilares de extremidade, o momento negativo mínimo a

ser considerado na viga, é avaliado em função do momento de engastamento perfeito e das relações

entre a rigidez da viga, do pilar abaixo e do acima do apoio:

Momento na viga:

supinfvig

supinf

engvigrrr

rr.MM

ri = Ii / Li (inércia/comprimento)

Nos pilares acima e abaixo do apoio aplicam-se os momentos correspondentes que equilibram o nó:

supinfvig

sup

engsuprrr

r.MM

supinfvig

infenginf

rrr

r.MM

Na avaliação da rigidez dos pilares, toma-se como comprimento efetivo a metade de seu

comprimento real, conforme Fig. 14.8 da Norma.

Exemplo:

3m L = 6m (3x) 3m

p = 10 kN/m2 (3x)

(Viga:15x90)

3m (Pilar: 20x60, 60 no plano do quadro) 3m

29

4.1.3 Imperfeições geométricas

As construções de concreto são intrinsecamente imperfeitas. Nas estruturas podem existir, por

exemplo, imperfeições geométricas na forma e dimensões das seções transversais e no posicionamento

das armaduras. Muitas destas imperfeições são cobertas pelos coeficientes de ponderação. Não é este o

caso das imperfeições nos eixos dos pilares, que devem ser explicitamente consideradas no cálculo.

De acordo com a NBR 6118, item 11.3.3.4, as imperfeições geométricas, para efeito de cálculo,

podem ser divididas em imperfeições globais e locais.

4.1.3.1 Imperfeições geométricas globais

O desaprumo dos elementos verticais de um prédio deve ser considerado, conforme a figura:

θ1 min= 1/300 em estruturas reticuladas e para imperfeições geométricas locais;

θ1 max= 1/200;

θ1 = 1/200 para pilares isolados em balanço;

θa m= θ1 max= 1/200 para lajes lisas e cogumelo.

A sobreposição de vento e desaprumo não é necessária quando o menor valor entre eles não

ultrapassar 30% do maior valor. Essa comparação pode ser feita com os momentos totais na base da

construção e em cada direção e sentido da aplicação da ação do vento. Nesta comparação, deve-se

considerar o desaprumo correspondente a θ1, não se considerando θ1mín.

Quando a superposição for necessária, deve-se combinar com o vento o desaprumo

correspondente a 1, não se considerando 1mín. Se o efeito de desaprumo for predominante, o valor

do ângulo deve ser 1mín. Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações atuando na

mesma direção e sentido como equivalentes ao vento, amplificado para cobrir a superposição.

4.1.3.2 Imperfeições geométricas locais

A figura a seguir ilustra os momentos que são introduzidos em um trecho de pilar por uma

imperfeição geométrica localizada (ver item 15.4.3 da NBR 6118).

30

O elemento de travamento pode ser a laje de piso funcionando como diafragma.

O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas

pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem igual a:

)h.,,(NM dmin,d 03001501

Onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. A este

momento devem ser acrescentados os momentos de 2ª ordem, quando for o caso.

4.2 Classificação das estruturas relativamente a sua deformabilidade horizontal

4.2.1 Contraventamento

Em todo edifício deve ser definido um sistema estrutural que resistirá às solicitações

horizontais como as de vento. Estes sistemas são chamados de sistema de contraventamento, e são

compostos pelos elementos da estrutura com maior rigidez relativamente às forças horizontais. Em

edifícios de concreto armado, estes sistemas são compostos por pórticos (compostos por pilares e

vigas) e/ou por pilares-parede (presentes, por exemplo, em caixas de elevadores e escadas). A

distribuição das forças horizontais entre os diversos elementos de um sistema de contraventamento é

feita proporcionalmente à rigidez de cada um destes elementos relativamente às forças horizontais,

usualmente através de um modelo analisado com um programa de análise estrutural.

Os pilares não pertencentes aos sistemas de contraventamento, são chamados de pilares

contraventados. Estes pilares devem estar adequadamente fixados aos sistemas de contraventamento.

As estruturas de contraventamento podem ser classificadas como de nós fixos e de nós móveis

conforme definido no item 15.4.2 da NBR 6118.

4.2.2 Estruturas de nós fixos e de nós móveis

As estruturas podem ser classificadas como de nós fixos quando os deslocamentos horizontais

dos nós são relativamente pequenos. Neste caso, os efeitos globais de 2ª ordem podem ser desprezados

(devendo ser inferiores a 10% dos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem, no entanto, ser

considerados os efeitos locais de 2ª ordem.

As estruturas que não atenderem à condição definida acima são classificadas como de nós

móveis, devendo ser projetadas considerando-se esforços globais e locais de 2ª ordem.

A NBR 6118, em seu item 15.5, apresenta dois critérios para a avaliação se uma determinada

estrutura pode ser classificada como de nós fixos.

4.2.2.1 Critério do parâmetro de instabilidade

Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como de nós fixos, se α ≤ α1, sendo:

)I.E/(N.H Cciktot

n,, 10201 se n ≤ 3;

7060501 ,;,;, , se n ≥ 4, para estruturas de contraventamento em edifícios compostas,

somente por pórticos; ou associações de pórticos e pilares-parede; ou somente pilares-parede.

n – número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo;

Htot – altura total da estrutura em metros, medida a partir do mesmo nível de referência;

Nk – valor característico da soma de todas as cargas verticais atuantes na estrutura, também

computadas acima do mesmo nível de referência;

Ic – inércia de um pilar equivalente, com seção constante, engastado na base e livre no topo,

com comprimento igual a Htot, que quando submetido à combinação de cargas preponderante para o

projeto da estrutura, forneça o mesmo deslocamento horizontal no topo.

Eci – módulo de elasticidade do concreto, que pode ser tomado como o tangente inicial,

conforme estabelecido no item 15.5.2.

31

4.2.2.2 Critério do coeficiente γz

É definido um coeficiente γz de importância dos esforços de segunda ordem globais, a ser

aplicado para estruturas reticuladas de no mínimo quatro pavimentos. Para uma determinada

combinação de cargas:

d,tot

d,totz

M

M

1

1

Mtot,d – momento de tombamento, soma dos momentos provocados por todas as forças

horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura;

ΔMtot,d – acréscimo de segunda ordem no momento de tombamento, soma dos momentos

correspondentes aos produtos das forças verticais da combinação considerada, com seus valores de

cálculo, vezes os deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos em uma

análise de 1ª ordem.

Nesta avaliação, os seguintes valores de rigidez devem ser tomados:

- Vigas: (EI)sec = 0,4 . Eci . Ic (caso usual em que as armaduras das vigas não são simétricas);

- Pilares: (EI)sec = 0,8 . Eci . Ic

Nestas definições, Eci é módulo de elasticidade tangente do concreto e Ic é o momento de

inércia da seção bruta do concreto.

Se γz ≤ 1,1 , a estrutura é considerada como de nós fixos.

Deve ser evitada uma situação em que γz > 1,3 , o que indica uma deformabilidade excessiva da

estrutura. Neste caso, análises muito complexas, envolvendo análises não-lineares física e geométrica

devem ser aplicadas, tendo em vista que os métodos simplificados aceitos pela Norma não poderão ser

aplicados.

4.2.2.3 Exemplo: análise dos efeitos globais de segunda ordem em um prédio

- Critério do coeficiente γz

m.kN5143490.2

60.60000.4,1.NM;

490

1

2

311.

400

1;

400

1;

774

1

60100

1

globaissgeométricaperfeiçõesIm

fixosnós1,1034,17560025201

1;m.kN75600

2

60.30.4,1

2

H.q.M

m.kN2520206,0.60000.4,1.N.4,1M

medddAmin,11

z

22

fd,tot

medkd

- Critério do parâmetro de instabilidade

q = 1 kN/m2. 30 m = 30 kN/m

30m 20x3m= Nk = 10 kN/m2. 20 pav. 10m . 30m = 60000kN

H=60m Supondo na cobertura o deslocamento δ= 0,06m

cci

4

I.E.8

H.q ; fck = 25 MPa ; Eci = 28000MPa

10m 1kN/m2

Ic = 28,9 m4 ; Eci.Ic = 8,1.10

8 kN.m

2

PLANTA VISTA )4n(5,0516,010.1,8

60000.60 18

- Não OK!

32

4.3 Métodos de análise dos efeitos de 2a ordem

4.3.1 Flambagem elástica

Considere-se uma barra bi-rotulada de comprimento l, submetida a uma força de compressão P,

com excentricidade e. A barra tem liberdade para se deslocar horizontalmente. O sistema de eixos XY

está posicionado na posição final deformada da barra. δ é o deslocamento máximo, na posição final

deformada, do ponto do centro do eixo.

Em x =l /2 deve-se ter )/l(y 2 , o que leva a:

2

21

klcos

)kl

cos(e

e

2

1

klcos

)kxcos(ey

Verifica-se então que, mesmo para valores infinitesimais de excentricidade e, a deformada fica

instável (o que se chama de flambagem elástica) para valores de 02

klcos , ou seja,

212

2

)n(

kl .

Na prática, só há interesse no valor n = 0, o que leva a kl .

Como EI

Pk 2

, 2

2

l

EIPcrit

, sendo Pcrit o valor da força normal que leva à instabilidade.

Pode também ser definida uma tensão de instabilidade:

2

2

2

2

E

)i/l(

E

A

Pcritcrit , sendo i o raio de giração na direção considerada,

A

Ii e o

índice de esbeltezi

l .

Os índices de esbeltez λ, no caso de seções retangulares, nas duas direções, são definidos como:

Nas seções circulares: d

l.4

i

l;

d.

4.

64

d.i ee

x2

4

A flambagem no concreto não é só geométrica, envolve também a não linearidade física.

A relação momento-curvatura da Resistência dos

Materiais pode ser escrita na forma abaixo, sendo o sinal do

momento definido de forma a ter compatibilidade com o

sinal da curvatura:

)ye.(PMdx

ydEI

2

2

ou:

).(22

2

2

ekykdx

yd com

EI

Pk 2

A solução é da forma abaixo, que pode ser verificada

por substituição:

)kxcos).(e(y 1

33

4.3.2 Índice de esbeltez

Para efeito da aplicação da NBR 6118, os trechos de pilar são considerados como bi-rotulados:

Na definição do comprimento equivalente le é considerada a situação geométrica abaixo:

4.3.3 Análise de estruturas de nós fixos e de nós móveis.

Nas estruturas de nós fixos, todos os elementos podem ser analisados como isolados, ou seja,

como vinculados aos elementos estruturais que concorrem em suas extremidades. Aos efeitos de 1ª

ordem determinados em uma análise estrutural, devem ser somados os efeitos locais de 2ª ordem,

conforme explicitado a seguir. Os efeitos localizados de 2ª ordem surgirão em pilares parede.

Nas estruturas de nós móveis, aos efeitos de 1ª ordem devem ser somados os efeitos globais e

locais de 2ª ordem. Nos casos em que γz ≤ 1,3 , os efeitos globais de 2ª ordem podem ser avaliados

através da multiplicação dos efeitos de 1ª ordem das cargas horizontais por 0,95.γz. A estes efeitos

majorados somam-se os efeitos locais de 2ª ordem, da mesma forma que é feito para as estruturas de

nós fixos.

4.3.4 Análise dos pilares em função de sua esbeltez

Os métodos de cálculo aplicáveis aos pilares dependem de seu índice de esbeltez em cada uma

das duas direções. Os métodos simplificados prescritos pela NBR 6118 pressupõem pilares de seção

constante e armadura constante ao longo do eixo.

34

4.3.4.1 Pilares muito curtos (λ ≤ 35) e curtos (35 ≤ λ ≤ λ1)

Para os pilares muito curtos, nenhuma verificação de efeitos de segunda ordem precisa ser feita.

Para a avaliação da necessidade desta verificação em pilares curtos, define-se o parâmetro λ1,

que depende do valor dos momentos nas extremidades do pilar, variando entre 9035 1 .

Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice

de esbeltez em uma direção for inferior ao valor limite λ1:

b

h/e.,

1

1

51225 , onde: 9035 1 e e1 é a excentricidade de 1ª ordem:

N

Me A1

Os valores de b são avaliados como:

a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais:

400400600001 ,M

M.,,,

A

Bb

Onde MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, na direção considerada.

Considerar que MA é o momento de maior valor absoluto e que os dois momentos têm o mesmo sinal

quando tracionarem o mesmo lado do pilar.

AbCBA M.MMM

b) Para pilares bi-apoiados com cargas transversais significativas ao longo de seu

comprimento:

001,b

c) Para pilares em balanço:

850200800001 ,M

M.,,,

A

Bb

d) Para pilares em que os momentos de 1ª ordem são menores que o momento mínimo

definido no item 5.1.3.2:

001,b

Neste último caso, a verificação à flexão oblíqua pode ser substituída por duas verificações de

flexão composta reta, considerando-se o momento máximo em uma direção simultaneamente com o

momento nulo na outra, e vice-versa. Considerar, neste caso, que a excentricidade adicional não

ocorrerá com seu valor máximo simultaneamente nas duas direções.

Definição do parâmetro αb

0

0,5

1

-1 -0,5 0 0,5 1β=MB/MA

αb

NB-1

Teórico

35

4.3.4.2 Pilares medianamente esbeltos: λ1 ≤ λ ≤ 90

Para estes pilares, considerando que tenham seção constante e armadura simétrica constante ao

longo de seu eixo, dois métodos aproximados baseados no pilar-padrão podem ser empregados, ver

NBR 6118, item 15.8.3.3.

4.3.4.2.1 O Pilar-Padrão

No pilar padrão, a linha deformada real é substituída pela senóide definida como:

e

maxl

x.sen.y)x(y

Da Geometria Diferencial, a curvatura do pilar deformado é dada aproximadamente por:

e

max

el

x.sen.y

lx

y

r

2

2

2

21 , ou max

emax

ylr 2

21 , ou

max

emax

r.

ly

12

2

Nd

Y

y le/2

ymax

le/2

Nd

X

d

A1

As

c dφ

r

E F

z

C D

s ds

Considerando-se a seção central fletida, em um

trecho infinitesimal ds:

CD = (r + z) dφ = EF + z dφ

ds

dz.ds

1

CD = s.ds 1 , então: rds

d

z

s 1

Como, por semelhança de triângulos:

r

1

dz

css

, tem-se:

dr

1 cs

36

4.3.4.2.2 Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada

A NBR 6118 considera, neste método, um momento de segunda ordem igual a Nd.ymax.

Arredondando-se π2 para 10, o momento total máximo no pilar pode ser calculado pela expressão:

MIN,dA,d

e

dA,dbtot,d MeMr

.l

.NM.M 11

2

1

1

10

O valor da curvatura 1/r na seção crítica é avaliado pela expressão aproximada:

h

,

),.(h

,

r

0050

50

00501

(estas duas condições prevalecem quando, 50, e 50, )

Nestas expressões, h é a altura da seção na direção considerada e )f.A/(N cdcSd .

4.3.4.2.3 Método do Pilar-Padrão com rigidez κ aproximada

Este método busca uma avaliação mais precisa para a curvatura.

De acordo com o item 15.3.1 da NBR 6118, a rigidez secante (EI)sec é definida como a relação

entre momento e curvatura, para um certo nível de força normal:

r/

M)EI( Rdsec

1

A Norma define a rigidez secante adimensional como:

cd

Rd

cdc

sec

f.h.b).r/(

M

fhA

)EI(32 1

, já que Ac é a área de concreto (válido para pilares retangulares)

O momento total máximo no pilar, incluindo os efeitos de 2ª ordem pode ser calculado a partir

da majoração do momento de 1ª ordem pela expressão:

MIN,d1A,d12

A,d1b

tot,d MeM

/1201

M.M

O valor da rigidez adimensional aproximada κ é dado pela expressão:

.N.h

M..

d

tot,d

5132 , sendo )f.A/(N cdcSd .

As grandezas têm o mesmo significado definido acima. Nd entra com sinal positivo na

compressão.

A substituição de segunda equação na primeira conduz a uma equação de segundo grau tendo

como incógnita Md, tot:

A (Md, tot)2 + B (Md, tot) + C = 0

dbddb

ed

d MhNCMhlN

NhBhA 1

2

1

2

2 ..;..5320

..;.5

Com isso, é evitado o cálculo interativo citado pela NBR 6118.

No caso de pilares submetidos à flexão composta oblíqua, a aplicação do Método do Pilar-

Padrão com curvatura aproximada não é permitida. O Método do Pilar-Padrão com rigidez κ

aproximada pode ser aplicado simultaneamente nas duas direções, quando λ ≤ 90.

37

4.3.4.3 Pilares esbeltos (90 ≤λ≤ 140)

Para estes pilares é obrigatória a consideração da fluência, de acordo com o item 15.8.4 da

NBR 6118. É permitido o uso do pilar padrão melhorado, conforme o item 15.8.3.3.4 da Norma.

O roteiro de cálculo abaixo deve ser seguido, de acordo com o item 15.3.1 da NBR 6118. É

reproduzida a seguir a Figura 15.1 da NBR 6118, que ilustra o procedimento recomendado (γf 3 =1,1).

As relações entre momento e curvatura são obtidas, por exemplo, pelo programa M-K-UFRJ,

desenvolvido pelo Engº Fábio Orsini, com base nos diagramas tensão-deformação do concreto e do

aço definidos na NBR 6118, conhecidas as resistências de cálculo do concreto e do aço, as armaduras e

as dimensões da seção transversal.

A curva tracejada, obtida com os valores de cálculo usuais das resistências do concreto e do

aço, é utilizada para definir o momento fletor resistente MRd em função de NSd. A curva cheia é obtida

substituindo-se a resistência do concreto 0,85 fcd por 1,1 fcd, para a força normal de cálculo igual a

NSd/1,1. A rigidez secante é obtida na segunda curva para o momento de cálculo igual a MRd/1,1. A

curva cheia AB, a favor da segurança é linearizada pela reta AB.

A rigidez secante adimensional κ e o momento total no pilar são, conforme já definido:

r

MEI Rd

/1

1,1/)( sec ;

cd

2

c

sec

fhA

)EI( ; MIN,d1A,d12

A,d1b

tot,d MeM

/1201

M.M

A fluência é considerada através de uma excentricidade adicional ecc, a ser adicionada à

excentricidade de primeira ordem e1 , conforme definido a seguir:

2

e

ccie

I10EN

;

a

Sg

Sg

cc eeee Sge

Sg

N

M;1718,2. 1

NN

N

1

;

ea é a excentricidade devida a imperfeições locais, conforme Figura 11.2 da NBR 6118;

Msg e Nsg são os esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente, ver Tabela 11.4

da NBR 6118;

é o coeficiente de fluência; tem sido correntemente tomado igual a 2,00. Ic é a inércia da seção na direção considerada.

A consideração do efeito de 2a ordem deve ser feita conforme os procedimentos já descritos,

sendo a excentricidade de primeira ordem e1 previamente acrescida de ecc.

4.3.4.4 Pilares muito esbeltos (140 ≤ λ ≤ 200)

Para estes pilares é também obrigatória a consideração da fluência, de acordo com o item

15.8.4 da NBR 6118. O método geral, descrito no item 15.8.3.2 da Norma deve ser seguido. A análise

dos pilares muito esbeltos transcende os objetivos deste curso.

38

4.4 Pilares-parede.

Os pilares-parede são aqueles em que a maior dimensão excede cinco vezes a menor. A

verificação para momentos mínimos segue o mesmo critério aplicado nos pilares usuais; do ponto de

vista prático, é suficiente a verificação em torno do eixo de menor inércia do pilar. Na verificação para

momentos aplicados deve-se considerar que estes momentos atuarão de forma localizada, apenas em

um trecho do pilar. Este trecho é definido com os critérios definidos a seguir.

4.4,1 Dispensa de análise dos efeitos localizados de 2ª ordem.

De acordo com o item 15.9.2 da NBR 6118, em cada trecho do pilar parede pode ser verificada

a dispensa para a verificação dos efeitos localizados de 2ª ordem se:

- a base e o topo de cada trecho estiverem convenientemente fixados às lajes do edifício e se

estas conferirem ao conjunto o efeito de diafragma horizontal;

- a esbeltez λi de cada trecho, avaliada de acordo com a expressão a seguir, for inferior a 35:

i

eii

h

l.,463 , sendo:

hi a espessura da peça e lei o comprimento equivalente, avaliado conforme definido abaixo:

Se o topo e a base puderem ser considerados como engastados e 1bl , os valores de λi podem

ser multiplicados por 0,85.

4.4.2 Processo aproximado para avaliação dos efeitos localizados de 2ª ordem.

Nos trechos de pilares-parede em que 90i pode ser aplicado o procedimento aproximado

aqui descrito para avaliação dos efeitos localizados de 2ª ordem. Para os efeitos locais, os mesmos

procedimentos aplicados para pilares usuais devem ser seguidos. Na análise dos efeitos localizados

com momentos mínimos, não é necessário se adotar valores de αb superiores a 0,6.

Os pilares-parede são decompostos em faixas verticais de comprimento ai, que serão analisadas

como pilares isolados, submetidos aos esforços Ni e Myid, sendo:

ai ≤ 3h ≤ 100 cm

yidN é a resultante das forças verticais na faixa i, determinada a partir da força linear )x(nd , que

é avaliada em função de Nd e M1xd. Os valores extremos de )x(nd são avaliados como:

39

max,dn , min,dn =2

16

b

M

b

N xdd

iyd1yid a.mM é o momento fletor atuante na faixa i; yd1m é o momento por metro atuando na

direção yy.

4.5 Verificação ao cisalhamento.

É considerado o Modelo de Cálculo I, de acordo com a NBR 6118, item 17.4.2.2:

Os estribos dos pilares são horizontais ( = 900).

A força cortante de cálculo máxima para efeito de compressão na biela (30 45) é: VRd2 = 0,27 (1- fck /250) fcd bw d

Armadura transversal na flexão simples:

CSdywdsw VVf.d.9,0.s

A

VC = 0 em elementos tracionados quando a linha neutra está fora da seção

VC = VC0 na flexão simples e flexo-tração, quando a linha neutra está na seção.

VC = VC0 (1 + M0 / Msd max) ≤ 2 VC0 na flexo-compressão.

VC0 = 0,6 fctd bw d

Msd,max é o valor do momento fletor de cálculo máximo no trecho analisado

M0 é o valor do momento que anula a compressão na borda da seção tracionada por Msd, max,

calculada com γf = 1,0 :

60

h.NM k

fctd = fctk,inf / c ; fctk,inf = 0,7 fct,m ; fct,m = 0,3 fck 2/3

(MPa)

Segundo o item 17.4.1.1.2 da NBR6118, a armadura mínima de cisalhamento pode ser

dispensada se a tensão de tração avaliada no Estádio I, para a combinação mais desfavorável no estado

limite último, não ultrapassar fctk e também se VSd ≤ VC.

Um exemplo de verificação a cisalhamento é apresentado no item 6.8. Utilizando este mesmo

exemplo, de forma que resulte em uma armadura menor que a mínima, considere-se VSd = 95 kN.

Para um estribo de 8 mm, têm-se Asw = 2.0,503 = 1,006 cm2 (duas pernas).

CSdywdsw VVf.d.9,0.s

A

m082,03,4295

15,150.11,0.9,0.006,1s

Estribo de 8 mm cada 7,5 cm.

40

5. DETALHAMENTO DOS PILARES E PILARES-PAREDE

5.1. Cobrimentos

As armaduras devem ser protegidas contra a corrosão durante a vida útil de uma estrutura. A

proteção das armaduras é função da qualidade do concreto (compacidade e impermeabilidade) e da

espessura dos cobrimentos. Observar que na definição da espessura do cobrimento devem-se

considerar as barras efetivamente mais externas da armadura, incluindo a eventual presença de

estribos, armaduras secundárias ou construtivas.

A compacidade do concreto depende da trabalhabilidade do concreto por ocasião de seu

lançamento e dos cuidados tomados no lançamento e na vibração. A impermeabilidade depende da

definição do fator água-cimento, adequado a cada construção e da dosagem do concreto, incluindo a

eventual utilização de aditivos e do adequado processo de cura.

As armaduras são protegidas da corrosão causada pela agressão de agentes externos nocivos,

mecanicamente, pela espessura do cobrimento e quimicamente, pelo fenômeno da passivação do aço.

Esta decorre da grande alcalinidade do concreto. Neste ambiente, é formada na superfície das barras de

aço, uma película passivadora, formada por uma camada microscópica de óxido de ferro, que impede a

corrosão. Existem dois mecanismos principais iniciadores da corrosão das armaduras:

- Despassivação do concreto por carbonatação, que é a despassivação da armadura pela ação do

gás carbônico da atmosfera sobre a armadura. O hidróxido de cálcio e outros reagem com o CO2

precipitando carbonato de cálcio. Aumenta com a relação água-cimento.

- Despassivação por ação de cloretos, que consiste na ruptura local da camada de passivação

por elevado teor de íon cloro.

A expectativa da despassivação do concreto a partir do cobrimento é de 2 cm em 50 anos e de

2,5 cm em 100 anos. Medidas preventivas consistem em dificultar o ingresso dos agentes agressivos ao

interior do concreto. O adequado cobrimento das armaduras e o controle da fissuração minimizam este

efeito.

A definição dos cobrimentos adequados a cada construção deverá, portando considerar

características específicas da obra e a agressividade do meio ambiente. Segundo a NBR 6118, item

7.4.7, os cobrimentos a serem considerados na construção são os cobrimentos nominais (cnom), sendo

esta grandeza definida como:

cnom = c + cmin

c é a tolerância de execução, igual a 10mm nas obras correntes.

cmin é o cobrimento mínimo a ser aceito na construção, definido pela Norma, em suas Tabelas

6.1 e 7.2, em função da classe de agressividade ambiental a que a estrutura está exposta. A Norma

define os seguintes valores para cnom (com cnom ≥ ø barra):

cnom = 20 mm (lajes) ou cnom = 25 mm (vigas ou pilares) - (Classe I – Peças submersas; peças

em zona rural; peças em zona urbana com ambientes internos secos: salas, dormitórios, banheiros,

cozinhas e áreas de serviço em edificações residenciais e comerciais ou em ambientes com concreto

revestido com argamassa e pintura; peças em zonas urbanas em regiões de clima particularmente seco,

conforme definição da Norma: umidade relativa média anual inferior a 65% e ambiente protegido da

ação direta da chuva).

cnom = 25 mm (lajes) ou cnom = 30 mm (vigas ou pilares) - (Classe II – Peças em zona urbana

não enquadradas na Classe I, como em ambientes internos úmidos ou com ciclos de molhagem e

secagem: vestiários, banheiros, cozinhas e lavanderias industriais e garagens; peças em zona marinha

ou industrial com ambientes internos secos: salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço

em edificações residenciais e comerciais; peças em zonas industriais em regiões de clima

particularmente seco).

41

cnom = 35 mm (lajes) ou cnom = 40 mm (vigas ou pilares) - (Classe III - Peças em zona marinha

ou industrial com ambientes internos úmidos ou com ciclos de molhagem e secagem: vestiários,

banheiros, cozinhas e lavanderias industriais e garagens).

cnom = 45 mm (lajes) ou cnom = 50 mm (vigas ou pilares) - (Classe IV – Peças em zona

industrial em ambientes quimicamente agressivos; peças sujeitas a respingos de maré).

As definições das diversas Classes encontram-se resumidas na tabela a seguir.

Clima

particularmente

seco

Outras condições climáticas

Ambientes internos secos ou

internos com revestimento

de argamassa e pintura

Ambientes

externos ou

internos úmidos

Peças submersas I I I

Zona rural I I I

Zona urbana I I II

Zona industrial II II III

Zona marinha III II III

Zona industrial com ambiente

particularmente agressivo.

IV III IV

Zona com respingos de maré IV IV IV

5.2. Fenômeno da aderência.

A viabilidade do concreto armado é assegurada pela aderência entre o concreto e o aço, que

impede o escorregamento da armadura com relação ao concreto que a envolve, assim como garante a

transferência de forças e tensões entre os dois materiais. A aderência tem basicamente três parcelas:

adesão, por atrito e mecânica.

A aderência entre o aço e o concreto é medida experimentalmente, em ensaios de arrancamento

de barras de aço de um bloco de concreto.

Considera-se, por simplicidade, que ocorra uma distribuição simplificada uniforme, de tensões

de aderência fbd, entre o concreto e o aço. Supondo que o comprimento de ancoragem é lb, e que haja

ruptura simultânea por escoamento da barra e por aderência da barra no concreto, pode-se escrever a

expressão:

bdbyd

2

f).l..(f.4

.

ou

bd

yd

bf.4

f.l

Os valores a serem tomados para fbd são definidos no item 9.3.2.1 da NBR 6118:

fbd = 1 2 3 fctd

42

Os valores a serem tomados para 1 são de 1,0 , 2,25 e 1,4 , respectivamente para os aços CA-

25, CA-50 e CA-60; os valores a serem tomados para 2 são de 1,0 e 0,7 , respectivamente para

situações de boa e má aderência; os valores a serem tomados para 3 são de 1,0 para bitolas até 32 mm

e de 3 = (132 - )/ 100 para bitolas superiores a 32 mm. Pode-se definir fctd pelas expressões do item

8.2.5 da Norma:

fctd = fctk,inf / c fctk,inf = 0,7 fct,m fct,m = 0,3 fck 2/3

(MPa)

5.3. Zonas de boa e má aderência

Todas as barras devem ser ancoradas no concreto para garantir que possam resistir, com

segurança, aos esforços para as quais foram calculadas. Além das características das barras, a

qualidade do concreto na zona de ancoragem é também importante para se garantir uma boa aderência.

A NBR 6118 identifica duas situações distintas (zonas de boa e de má aderência), para a consideração

da aderência entre o aço e o concreto. Estas duas situações estão associadas a condições mais ou

menos favoráveis para a vibração e o adensamento do concreto, reconhecendo-se que, no caso de

peças concretadas horizontalmente, a perda de água durante a pega (exudação) é mais intensa nas

regiões superiores das peças (ver NBR 6118, item 9.3.1).

São consideradas como pertencentes às zonas de boa aderência as barras com inclinação não

inferior a 450

com a horizontal e as barras com inclinação inferior a 450

com a horizontal, localizadas a

não mais de 30 cm da face inferior da peça ou junta de concretagem (peças com menos de 60 cm) ou a

mais de 30 cm da face superior (peças com mais de 60 cm). As demais são consideradas como

pertencentes às zonas de má aderência. As barras verticais dos pilares e pilares-parede podem,

portanto, ser sempre consideradas como pertencentes a zonas de boa aderência.

5.4. Ancoragem

Todas as barras devem ser ancoradas no concreto para garantir que possam resistir, com

segurança, às forças que as solicitam. O mecanismo de transmissão de forças do aço para o concreto

introduz tensões de tração transversais no concreto é esquematizado na figura abaixo:

Estes esforços transversais tendem a destruir a ligação existente entre os dois materiais,

prejudicando a eficiência da ancoragem. Esta pode ser então melhorada, com a redução da fissuração

transversal, pela presença de compressão transversal (por exemplo, nas zonas de apoio das bielas

inclinadas de compressão do concreto), por um cintamento helicoidal ou por uma armadura transversal

de costura.

O comprimento de ancoragem é de (NBR 6118, item 9.4.2.5):

lb,nec = 1 lb As calc /As,ef lb,min onde:

25f.4

f.l

bd

yd

b

O comprimento de ancoragem básico lb pode, então, ser reduzido na relação entre a área de

armadura calculada As calc e a área existente As,ef . O comprimento de ancoragem adotado lb,nec não

pode ser, no entanto, inferior a lb,min que é o maior entre os valores: 0,3 lb, 10 e 10cm.

A presença de ganchos padronizados permite a aplicação do coeficiente 1, no comprimento de

ancoragem, igual a (1,0 ou 0,7) nos casos respectivamente da ausência de ganchos, ou na sua presença

com cobrimento mínimo no plano normal ao do gancho, de 3. Nos casos das barras de alta aderência, age basicamente a ancoragem mecânica nas nervuras,

que não é destruída pelo incipiente escorregamento longitudinal, impedido pela ação dos ganchos.

Nestes casos, os ganchos são menos importantes. As ancoragens nos estribos são garantidas através de

seus ganchos.

43

As barras comprimidas serão ancoradas com barras sem ganchos, prejudiciais nestes casos,

pelas concentrações de tensões que introduzem nas extremidades das barras. O comprimento de

ancoragem é o mesmo das barras tracionadas. Esta definição de norma é conservadora, já que na

ancoragem de barras comprimidas, existe maior integridade do concreto, em virtude da compressão no

sentido longitudinal da ancoragem e pela resistência na ponta das barras. Esta pode ser significativa,

pois a resistência do concreto carregado em áreas parciais pequenas atinge valores elevados.

As trações transversais presentes ao longo do comprimento de ancoragem devem ser

consideradas, exceto quando houver compressão suficiente no concreto na zona de ancoragem, o que é

o caso de ancoragens comprimidas transversalmente por reações de apoio. Podem-se considerar estas

trações como resistidas pelo próprio concreto, desde que haja um cobrimento mínimo da barra

ancorada de 3 e que a distância entre as barras ancoradas seja pelo menos igual a 3 (NBR 6118, item 9.4.1.1). Caso contrário, para barras de diâmetro inferior a 32 mm, deve ser disposta armadura, ao

longo do comprimento de ancoragem, capaz de resistir a 25% do esforço ancorado em uma das barras.

Todas as barras transversais à região de ancoragem, como os estribos, podem ser computadas nesta

armadura. Para barras de diâmetro igual ou superior a 32 mm, o item 9.4.2.6.2 da Norma deve ser

consultado.

5.5. Emendas por traspasse

Da mesma forma que para as ancoragens, as emendas por traspasse introduzem tensões de

tração transversais no concreto:

Estas tensões são maiores nas barras de maior diâmetro. Não são permitidas emendas por

traspasse para bitolas maiores que 32 mm nem em tirantes ou pendurais. Os comprimentos de emenda

são determinados com as mesmas hipóteses e tem os mesmos valores numéricos dos comprimentos de

ancoragem. No entanto, devido ao efeito prejudicial das tensões transversais, mais ou menos críticas

em função do arranjo das emendas, ou seja, da distância entre elas e da percentagem das barras

emendadas em uma única seção, é introduzido um fator 0t, definido na Tabela 9.4 da Norma, abaixo

parcialmente reproduzida, que majora os comprimentos de ancoragem em barras tracionadas.

O comprimento de traspasse de barras tracionadas é de (NBR 6118, item 9.5.2.2.1):

l0t = 0t lb,nec l0t min onde lb,nec tem a mesma definição dada para as ancoragens

O comprimento de traspasse adotado l0t não pode ser inferior a l0t min , que é o maior entre os

valores: 0,3 0t lb, 15 e 20cm. No caso das barras terem diâmetro diferente, o comprimento de

traspasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro. Nos casos usuais em que o carregamento é

predominantemente estático, a porcentagem máxima de barras emendadas em uma única seção é

definida na Tabela a seguir.

44

As barras comprimidas podem ser todas emendadas em uma única seção. O comprimento de

traspasse de barras comprimidas é de (NBR 6118, item 9.5.2.3):

l0C = lb,nec l0C min

O comprimento de traspasse adotado l0C não pode ser inferior a l0C min, que é o maior entre os

valores: 0,6 lb, 15 e 20 cm.

Deverá sempre haver armadura transversal às emendas por traspasse. No caso usual em que a

percentagem de barras emendadas em uma mesma seção for maior ou igual que 25%, esta armadura

deverá ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emendada. Esta armadura deverá ser

distribuída nos terços extremos das emendas, com espaçamento máximo de 15 cm.

A armadura deverá ser fechada, se a distância livre entre as duas barras mais próximas de duas

emendas em uma mesma seção for menor ou igual que 10. Adicionalmente, nas emendas de barras

comprimidas, uma das barras transversais, em cada lado da emenda, deverá estar posicionada 4 além

de cada extremidade da emenda (ver NBR 6118, itens 9.5.2.4.1 e 9.5.2.4.2).

5.6. Detalhamento dos pilares

NBR 6118, item 18.4.1 - Nos pilares, a maior dimensão não excederá cinco vezes a menor.

Item 13.2.3 - a menor dimensão dos pilares e pilares-parede não será inferior a 19 cm. Excepcionalmente, dimensões entre 14 cm e 19 cm podem ser utilizadas, devendo ser aplicado

o coeficiente adicional de cargas γn. Em nenhum caso o pilar poderá ter seção transversal

inferior a 360 cm2.

Item 17.3.5.3 - A área mínima de armadura dos pilares deve atender às duas condições:

As, min = (0,15 Nd /fyd) e As, min = 0,4% Ac

A percentagem máxima de armadura é de 8% da seção real de concreto, inclusive no trecho das emendas, o que na prática limita esta percentagem a 4%, a menos quando utilizadas emendas

mecânicas.

Item 18.4.2 - a armadura longitudinal deve ter bitola de pelo menos 10 mm, não superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal. No contorno dos pilares, a armadura vertical deverá

ter espaçamento máximo de 40 cm e de duas vezes a menor dimensão no trecho considerado; o

espaçamento mínimo livre entre as faces das barras, inclusive na região das emendas, será o

maior valor entre 2 cm, o diâmetro da barra e 1,2 vezes o diâmetro do agregado graúdo. Os

estribos cobrirão toda a altura do pilar, inclusive a região de cruzamento com as vigas. Seus

diâmetros deverão ser de pelo menos 5 mm e de 1/4 do diâmetro da armadura principal. Seu

espaçamento não excederá nenhum dos valores: 20 cm, menor dimensão da seção, 24 para

CA-25 e 12 para CA-50 ( - diâmetro da armadura principal).

Item 18.2.4 - os estribos retangulares usuais protegerão contra a flambagem da armadura longitudinal, além das barras dos cantos, mais duas barras em cada face do pilar, desde que a

mais distante delas esteja no máximo a 20 t ( t – diâmetro do estribo) do canto do estribo.

Para as barras não cobertas, deverão ser colocados estribos adicionais, aos quais se aplicará a

mesma regra enunciada. No caso da utilização de grampos suplementares em lugar de estribos

adicionais, todas as barras não cobertas deverão ser envolvidas.

45

5.7. Detalhamento dos Pilares-parede

Item 18.5 - os pilares-parede devem atender aos requisitos de detalhamento definidos para os pilares. Se houver flexão transversal, os requisitos definidos para lajes se aplicam. A armadura

secundária, perpendicular às cargas, deve ter seção transversal de pelo menos 25% da principal.

5.8. Exemplo de armadura mínima em pilar (Pilar de 40 x 100).

46

6. EXEMPLO NUMÉRICO COMPLETO

Serão dimensionados os pilares do 1º pavimento do edifício esquematizado abaixo.

6.1. Planta e elevação do edifício

47

6.2. Cargas e reações

6.2.1. Cargas consideradas nas vigas:

V1, V3, V4, V6 – p = 12 kN/m

V2, V5 – p = 36 kN/m

Os pilares são considerados como contraventados, sendo os momentos atuantes decorrentes do

engastamento das vigas nos pilares.

6.2.2. Análise das vigas:

Considerando inicialmente as vigas como engastadas nos extremos:

12

2L.pMMM cba

V1 = V3: L = 4,995 m; m.kN,MMM cba 9524 ;

V2: L = 4,92 m; m.kN,MMM cba 6172

V4 = V6: L = 5,045 m; m.kN,MMM cba 4525 ;

V5: L = 5,02 m; m.kN,MMM cba 6075

6.2.3. Momentos mínimos nos pilares extremos:

Considerando-se que os pilares têm a mesma seção, ao longo da altura do prédio, teremos a

avaliação aproximada dos momentos:

supinf

sup

infsup .rrr

rMMM

vig

eng

; ri = Ii / Li (inércia/comprimento, sendo que para os pilares é

considerado a metade do comprimento)

Cálculos de Msup = Minf (conservadoramente, as vigas não são consideradas como “T”).

V1, V3: 333

000312809954

1250015012m,

,

/,.,

L

/h.br

i

vig

333

00013470451

1225015012m,

,

/,.,

L

/h.brr

i

infsup

mkNMmkNMM vig .55,11;.77,50001347,0.20003128,0

0001347,0.95,24infsup

Com este momento na viga, as reações são:

kN3,653,27.2995,4.0,12.2R.2l.p.2R

kN3,27995,4

)55,1195,24(

2

995,4.0,12

l

)MM(

2

plRR

ab

abca

48

Diagrama final de momentos no vão a e nos pilares:

V2: 3

33

0007320924

1260020012m,

,

/,.,

L

/h.br

i

vig

3

33

0007360451

1240020012m,

,

/,.,

L

/h.brr

i

infsup

m.kN,M;m.kN,,.,

,.,MM viginfsup 49482524

000736020007320

00073606172

Reações: kN,R;kN,RR bca 9186783

V4, V6: 333

000309700455

1250015012m,

,

/,.,

L

/h.br

i

vig

333

00004850451

1225015012m,

,

/,.,

L

/h.brr

i

infsup

m.kN,M;m.kN,,.,


00004850200030970

000048504525


V5: 333

0007170025

1260020012m,

,

/,.,

L

/h.br

i

vig ;

333

0001840451

1240020012m,

,

/,.,

L

/h.brr

i

infsup

m.kN,M;m.kN,,.,


000184020007170

0001840675


6.2.4. Cargas nos pilares, incluindo o peso próprio:

Em um pavimento:

P1=P3=P7=P9 – N = - (25.2,90. 0,15. 0,25+27,3+26,4) = - 56,4 kN

P2=P8 – N = - (25.2,90. 0,20. 0,40+65,3+80,4) = - 151,5 kN

P4=P6 – N = - (25.2,90. 0,20. 0,40+83,7+68,2) = - 157,7 kN

P5 – N = - (25.2,90. 0,30. 0,50+186,9+200,6) = - 398,4 kN

49

Em cinco pavimentos:

P1=P3=P7=P9 – N = - 282,0 kN; Nd = 1,4 . 1,2 (-282,0) = - 473,8 kN

(considerado o fator adicional n = 1,95-0.05 b = 1,95 – 0,05. 15 = 1,20) P2=P8 – N = - 757,5 kN; Nd = 1,4 . (-757,5) = - 1060,5 kN

P4=P6 – N = - 788,5 kN; Nd = 1,4 . (-788,5) = - 1103,9 kN

P5 – N = - 1992 kN; Nd = 1,4 . (-1992) = - 2788,8 kN

6.3. Dimensionamento de P1 = P3 = P7 = P9

6.3.1. Comprimento equivalente do pilar:

O comprimento equivalente le do pilar, em cada direção, é o menor entre os dois valores:

le = l0 + hpilar ou le = l0 + hviga

Para a direção XX:

le = 2,40 + 0,15 ou le = 2,40 + 0,50, então (le)x = 2,55m

Para a direção YY:

le = 2,40 + 0,25 ou le = 2,40 + 0,50, então (le)y = 2,65m

6.3.2. Cálculo dos índices de esbeltez:

150

5521212

,

,.

h

lxe

x 58,89

7236

250

6521212 ,

,

,.

b

lye

y

6.3.3. Momentos mínimos de primeira ordem:

)b.03,0015,0(NM);h.03,0015,0(NM dYYmin,,d1dXXmin,,d1

Na direção xx (em torno de X): m.kN,),.,,.(,M min,dx 239150030015084731

Na direção yy (em torno de Y): m.kN,),.,,.(,M min,dy 6610250030015084731

6.3.4. Momentos de cálculo advindos do engastamento das vigas (considerado o fator

adicional n = 1,20):

m.kN,,.,.,M dx 09503321411

m.kN,,.,.,M dy 69977521411

6.3.5. Dimensionamento para os momentos mínimos:

35626001

1500195051225512251

11

x

bx

xx ,

,

,/,.,h/e.,

(considerar efeitos de 2ª ordem)

351,2600,1

25,0/0225,0.5,1225b/e.5,1225y1

by

y1

y1


Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx pelo Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada:

Avaliação do valor da curvatura 1/r na seção crítica pela expressão:

h

,

),.(h

,

r

0050

50

00501

ou

150

0050

507070150

00501

,

,

),,.(,

,

r

02760

1,

r

50

Já que 70704125000250150

8473,

,/.,.,

,

f.A

N

cdc

Sd

O momento total máximo é calculado pela expressão:

m.kN,,.,

.,,.,r

.l

.NM.M edA,dbtot,d 731702760

10

5528473239001

1

10

22

1

Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx pelo Método do Pilar-Padrão com rigidez κ aproximada:

Usando a formulação direta:

A (Md, tot)2 + B (Md, tot) + C = 0

40982391508473

8952390011505320

552847384731505

320

75015055

2

1

2

22

1

2

2

,,.,.,M..h.NC

,,.,.,.,.,

,.,M..h.l.N

N.hB

,,.h.A

dbd

dbed

d

Md, tot = 16,03 kN.m

Será utilizado, somente nesta verificação, o momento obtido com o Método do Pilar-Padrão

com rigidez κ aproximada, que é a princípio é o mais preciso.

Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção yy pelo Método do Pilar-Padrão com curvatura

aproximada:

Avaliação do valor da curvatura 1/r na seção crítica:

b

,

),.(b

,

r

0050

50

00501

ou

250

0050

507070250

00501

,

,

),,.(,

,

r

01660

1,

r

Já que 7070, .


m.kN18,160166,0.10

65,2.8,47366,10.00,1

r

1.

10

l.NM.M

22

edA,d1btot,d

Verificações para a armadura selecionada:

A armadura selecionada (8 Φ 12,5 mm = 9,84 cm

2) é verificada, considerando-se flexão

composta reta nas duas direções:

a) Nd = - 473,8 kN; Mxx = 16,03 kN.m;

b) Nd = - 473,8 kN; Myy = 16,18 kN.m.

As respectivas curvas de interação são

mostradas abaixo, nos sentidos X e Y,

respectivamente.

51

6.3.6. Dimensionamento para os momentos de engastamento das vigas:

bybx 400400600 ,M

M.,,

A

A

; 40,bybx

76440

15084730955122551225 11 ,

,

,/),/,.(,h/e.,

bx

xx

(não considerar efeitos de 2ªordem)

1,654,0

25,0/)8,473/69,9.(5,1225b/e.5,1225

bx

x1y1

(não considerar efeitos de 2ª ordem)

A verificação da flexão composta oblíqua é realizada com a expressão aproximada:


0

5

10

15

20

25

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400

Nd (kN)

Md (

kN

.m)

As=0

As dado

Nd,Md


0

5

10

15

20

25

30

35

40

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400

Nd (kN)

Md (

kN

.m)

As=0

As dado

Nd,Md

52

1442,08,31

69,9

4,19

09,5

M

M

M

M2,12,12,1

y,Rd

y,d

2,1

x,Rd

x,d

Já que os momentos atuantes são: Md,x = 5,09 kN.m e Md,y = 9,69 kN.m e os momentos resistentes em flexão composta reta com o esforço normal Nd = -473,8 kN são:

MRd,x = 19,4 kN.m e MRd,y = 31,7 kN.m .

Resolução com o programa OBLÍQUA:

6.3.7. Verificação pelo Método do Pilar Padrão Melhorado

Apesar de não ser obrigatória para este pilar, já que o pilar é medianamente esbelto nas duas

direções, será apresentada, a título de exemplificação, a verificação pelo Método do Pilar Padrão

Melhorado para a situação crítica, que é Momento Mínimo, direção xx.

É processado o programa M-K-UFRJ com os seguintes parâmetros:

kN7,4301,1

8,473N;MPa435

15,1

500f;MPa214,23

4,1

25.3,1f Sdydcd (positivo no programa)

Para: 1

Rd m02071,0r

1;kNm63,17

1,1

4,19M

50,564,125000.15,0.25,0

3,851

fb.h

)EI(;m.kN3,851

02071,0

63,17)EI(

3

cd

3

sec2

sec

53

m.kN45,14

707,0

50,56.120

89,581

23,9.00,1

.120

1

M.M

22

x

A,d1b

tot,d

Consideração da fluência:

),(381

1

5,14.100

1;5,14;0195,0 1 fixosnósOKmHm

N

M

Sg

Sg

mHe ia 00761,09,2.381

1.1

kPaMPaEmeee ciccSge

Sg

7

1

NN

N

1 10.8,225.5600;02711,000761,00195,0;1718,2.

2

57

2

e

cciee

453

c55,2

10.03,7.10.8,2.10I.E.10N;m55,2;2;m10.03,7

12

15,0.25,0I

3027kN

mkNM

meekNN ccSg

.92,12)00776,00195,0.(8,473

;00776,0)1.(002711,0;4.3384,1

8,473

min

4,3383027

4,338.2

mkNM totd .23.20

707,0

50,56.120

89,581

92,12.00,12,

Este momento não é resistido pela seção, conforme pode ser verificado no ábaco da página

anterior. A armadura do pilar deveria ser redimensionada.

A saída gráfica e um trecho da listagem do programa M-K-UFRJ são apresentados na página

seguinte.

6.4. Dimensionamento de P2 = P8


O comprimento equivalente le do pilar, em cada direção, é o menor entre os dois valores:

le = l0 + hpilar ou le = l0 + hviga






200

5021212

,

,.

h

lxe

x 43,30

2524

400

8021212 ,

,

,.

b

lye

y (não considerar efeitos de 2ª ordem)




54

==================================================================

* * * ANALISE NAO-LINEAR FISICA DE SECOES DE CONCRETO ARMADO * * *

==================================================================

SECAO TRANSVERSAL:

bw [cm] = 25.00

h [cm] = 15.00

fcd [MPa] = 23.21

fyd [MPa] = 435.00

DISPOSICAO DAS ARMADURAS:

CAMADA | As [cm2] | d [cm]

1 4.92 4.00

2 4.92 11.00

RESULTADOS DA ANALISE:

FORCA NORMAL [kN] | MOMENTO FLETOR [kN.m] | CURVATURA [1/1000.m] | kx (x/h) | EPS CONC [1/1000] | EPS ACO [1/1000]

-430.72 17.67 20.71828 0.66 -2.047 0.232

17,63kN.m

20,71‰

55

6.4.4. Momento de cálculo advindos do engastamento das vigas:

m.kN,,.,M dx 95178212411


35326001

200021051225512251

11

x

bx

xx ,

,

,/,.,h/e.,


Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx:

Será utilizado o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada:

h

,

),.(h

,

r

0050

50

00501

ou

200

0050

507420200

00501

,

,

),,.(,

,

r

02010

1,

r

Já que 74204125000400200

51060,

,/.,.,

,

f.A

N

cdc

Sd


m.kN,,.,

.,,.,r

.l


10

502610602722001

1

10

22

1



0

10

20

30

40

50

60

-1750 -1500 -1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500

Nd (kN)

Md (

kN

.m)

As=0

As dado

Nd,Md

A armadura selecionada (8 Φ 12,5 mm =

9,84 cm2) é verificada, considerando-se flexão


a) Nd = - 1060,6 kN; Mxx = 35,59 kN.m;

b) Nd = - 1060,6 kN; Mxx = 28,63 kN.m.


mostradas abaixo, nos sentidos X e Y.

56

6.4.6. Dimensionamento para o momento de engastamento das vigas:

bx 400400600 ,M

M.,,

A

A

; 40,bx

16540

2006106095175122551225 11 ,

,

,/),/,.(,h/e.,

bx

xx

(não considerar efeitos de

2ªordem)

Não há necessidade de se verificar a flexão composta, já que o momento de engastamento é

inferior ao momento mínimo total.

6.5. Dimensionamento de P4 = P6







200

6021212

,

,.

h

lxe

x 45,03

3823

400

7021212 ,

,

,.

b

lye






0

25

50

75

100

-1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400

Nd (kN)

Md (

kN

.m) As=0

As dado

Nd,Md

57

6.5.4. Momento de cálculo advindos do engastamento das vigas:

m.kN,,.,M dy 95332524411


35326001

200021051225512251

11

x

bx

xx ,

,

,/,.,h/e.,


Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx:

Será utilizado o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada:

h

,

),.(h

,

r

0050

50

00501

ou

200

0050

507730200

00501

,

,

),,.(,

,

r

01960

1,

r

Já que 77304125000400200

91103,

,/.,.,

,

f.A

N

cdc

Sd


m.kN,,.,

.,,.,r

.l


10

602911031823001

1

10

22

1



0

10

20

30

40

50

60

70

-1750 -1500 -1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500 750

Nd (kN)

Md (

kN

.m)

As=0

As dado

Nd,Md

A armadura selecionada (10 Φ 12,5mm = 12,3

cm2) é verificada, considerando-se flexão composta

reta nas duas direções:

a) Nd = - 1103,9 kN; Mxx = 37,81 kN.m;

b) Nd = - 1103,9 kN; Mxx = 29,81 kN.m.

As curvas de interação são mostradas abaixo,

nos sentidos X e Y, respectivamente.

58

6.5.6. Dimensionamento para o momento de engastamento das vigas:

Não há necessidade de se considerar efeitos de 2ª ordem na direção YY (ver 6.5.2).

A verificação pode ser feita com a curva mostrada acima, usada para os momentos mínimos,

para os esforços: Nd = - 1103,9 kN; Myy = 33,95 kN.m (OK).

6.6. Dimensionamento de P5







300

6021212

,

,.

h

lxe

x 30,02 (não considerar efeitos de 2ª ordem)

4019

500

8021212 ,

,

,.

b

lye







0

25

50

75

100

125

-1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

Nd (kN)

Md (

kN

.m) As=0

As dado

Nd,Md

A armadura selecionada (8 Φ 20 mm =



a) Nd = - 2788,8 kN; Mxx = 66,93 kN.m;

b) Nd = - 2788,8 kN; Mxx = 83,66 kN.m.


mostradas abaixo, nos sentidos X e Y.

59


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000

Nd (kN)

Md (

kN

.m)

As=0

As dado

Nd,Md


0

50

100

150

200

250

300

-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000

Nd (kN)

Md (

kN

.m) As=0

As dado

Nd,Md

60

6.7. Dimensionamento de P2 e P4 como pilar-parede

De forma a apresentarmos exemplos de dimensionamento de pilar-parede, suporemos que os

pilares P2 e P4 passem a ter dimensão tenha dimensões h = 14 cm e b = 90 cm. Neste exemplo, será

dimensionada a armadura mais desfavorável entre os dois pilares.

6.7.1. Reavaliação da carga vertical no pilar:

P2 - Em um pavimento: N = - (25.2,90. 0,14. 0,90+65,3+80,4) = - 154,8 kN

P2 - Em cinco pavimentos: N = - 774,2 kN; Nd = 1,4 . 1,25 (-774,2) = - 1354,9 kN

P4 - Em um pavimento: N = - (25.2,90. 0,14. 0,90+83,7+68,2) = - 161,1 kN

P4 - Em cinco pavimentos: N = - 805,2 kN; Nd = 1,4 . 1,25 (-805,2) = - 1409,1 kN

(considerado o fator adicional: n = 1,95-0.05 b = 1,95 – 0,05. 14 = 1,25)

6.7.2. Momentos de cálculo advindos do engastamento das vigas (considerado n = 1,25):

P2: m.kN44,2282,12.25,1.4,1M dx1

P4: m.kN44,4225,24.25,1.4,1M dy1

6.7.3. Comprimento equivalente do pilar e índice de esbeltez:

lex = 2,90m ;

14,0

90,2.12

h

l12 xe

x 71,76 (considerar efeitos de segunda ordem)

6.7.4. Dimensionamento considerando os efeitos locais de segunda ordem

Momentos mínimos de primeira ordem:

);h.03,0015,0(NM dXXmin,,d1

P2: m.kN01,26)14,0.03,0015,0.(9,1354M min,dx1

P4: m.kN05,27)14,0.03,0015,0.(1,1409M min,dx1

Cálculo dos efeitos de 2ª ordem para a direção xx pelo Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada, momentos mínimos, P4:

626,04,1/25000.90,0.14,0

1,1409 ;

14,0

005,0

)5,0626,0.(14,0

005,0

r

1

0317,0

r

1


m.kN62,640317,0.10

90,2.1,140905,27.00,1

r

1.

10

l.NM.M

22

edA,d1btot,d

Para os momentos mínimos (P2):

602,04,1/25000.90,0.14,0

9,1354 ;

14,0

005,0

)5,0602,0.(14,0

005,0

r

1

0324,0

r

1

m.kN92,620324,0.10

90,2.9,135401,26.00,1

r

1.

10

l.NM.M

22

edA,d1btot,d

Para os momentos aplicados (P2):

m.kN89,450324,0.10

90,2.9,135444,22.40,0

r

1.

10

l.NM.M

22

edA,d1btot,d (não crítico)

A direção YY é considerada como não crítica neste exemplo, para as imperfeições locais.

61

Verificação para a armadura selecionada:

6.7.5. Dimensionamento considerando os efeitos localizados de segunda ordem

Os pilares são divididos no menor número possível de faixas, no caso três faixas, com b = 0,30m

a) P2

max,dn , min,dn =2

16

b

M

b

N ydd = 090,0

9,1354 ; Ni=

32

1 b.

nn ii

1505,4 (kN/m)

451,6 451,6 451,6 (kN)

Considera-se o momento aplicado pela viga V5 )m.kN44,22M( dx1 atuando somente na faixa

central.

0

20

40

60

80

-4000 -3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Md

(kN

.m)

Nd (kN)


As=0

As dado

Nda,Mda

Nda,Mda

4 cm (típ)

Horizontal:

24 Φ 16 Φ 8 c 7,5

A armadura selecionada (24 Φ 16 mm =


composta reta:

a) Nd = - 1409,1 kN; Mxx = 64,62 kN.m;

a) Nd = - 1354,9 kN; Mxx = 62,92 kN.m

A respectiva curva de interação é mostrada

abaixo, no sentido X.

62

602,04,1/25000.30,0.14,0

6,451

14,0

005,0

)5,0602,0.(14,0

005,0

r

1

0324,0

r

1

m.kN44,22m.kN28,210324,0.10

90,2.6,45144,22.4,0

r

1.

10

l.NM.M

22

edA,d1btot,d

Não há necessidade de considerar o momento mínimo nesta verificação de efeitos localizados, já

que neste caso seria reproduzida a mesma situação dos efeitos locais

b) P4

max,dn , min,dn =2

16

b

M

b

N ydd =290,0

44,42.6

90,0

1,1409 ; Ni=

32

1 b.

nn ii

1251,3 1460,9 1670,4 1880,0 (kN/m)

406,8 469,7 532,6 (kN)

Momentos mínimos:

Normal máximo: m.kN23,10)14,0.03,0015,0.(6,532M min,dx1

710,04,1/25000.30,0.14,0

6,532 ;

14,0

005,0

)5,0710,0.(14,0

005,0

r

1

0295,0

r

1

m.kN35,190295,0.10

90,2.6,53223,10.6,0

r

1.

10

l.NM.M

22

edA,d1btot,d

Normal mínimo: m.kN81,7)14,0.03,0015,0.(8,406M min,dx1

542,04,1/25000.30,0.14,0

8,406 ;

14,0

005,0

)5,0542,0.(14,0

005,0

r

1

0343,0

r

1

m.kN42,160343,0.10

90,2.8,40681,7.6,0

r

1.

10

l.NM.M

22

edA,d1btot,d

6.7.6. Verificação da armadura selecionada

A armadura selecionada (8 Φ 16 mm = 16,12 cm2 por faixa) é verificada, considerando-se

flexão composta reta:

a) P2: Nd = - 451,6 kN; Mxx = 22,44 kN.m (momento aplicado);

b) P4: Nd = - 532,6 kN; Mxx = 19,35 kN.m (normal máximo, momento mínimo);

c) P4: Nd = - 406,8 kN; Mxx = 16,42 kN.m (normal mínimo, momento mínimo).

A respectiva curva de interação é mostrada abaixo, no sentido X, mostrando que a rmadura

adotada é suficiente.

63

6.8 Verificação do cisalhamento

Somente para os pilares P1, P3, P7, P9 será efetuada uma verificação do cisalhamento, para as

forças transversais ao pilar (Fy), pelo Modelo de Cálculo I.

Esforços de cálculo: Nd = - 473,8 kN; Nk = 282,0 kN; m.kN,M dx 0951

Força cortante de cálculo:

.kN,,

,.Vd 513

92

0952

Força cortante de cálculo máxima para efeito de compressão na biela:

VRd2 = 0,27 (1- fck /250) fcd bw d =

= 0,27.(1- 25 /250) . 25000/1,4 . 0,25 . 0,11 = 119,3 kN (OK)

fct,m = 0,3 fck 2/3

= 0,3 .25 2/3

= 2,564 MPa;

fctk,inf = 0,7 fct,m = 0,7 . 2,564 = 1,795 MPa; fctd = fctk,inf / c = 1,795/1,4 = 1,282 MPa = 1282 kPa

VC0 = 0,6 fctd bw d = 0,6 . 1282 . 0,25 .0,11 = 21,15 kN ;

m.kN,,.,h.N

M k 0576

1500282

60

VC = VC0 (1 + M0 / Msd max) = 21,15 (1 + 7,05/5,09) ≤ 2 VC0 ; VC = 2VC0 = 42,30 kN

Armadura transversal na flexão simples:

(Asw / s) 0,9 d f ywd = VSd - VC ≤ 0 (armadura mínima de estribo)

Verificação adicional para dispensa de armadura mínima de cisalhamento:

Tensão máxima de tração:

(compressão, OK)

0

5

10

15

20

25

30

-1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

Md

(kN

.m)

Nd (kN)


As=0

As dado

Nda,Mda

Ndb,Mdb

Ndc,Mdc

64

6.9. Detalhamento das armaduras

6.9.1. Dimensões

Quando utilizadas dimensões entre 14 cm e 19 cm, deve ser aplicado o coeficiente adicional de

cargas γn (OK).

Em nenhum caso o pilar poderá ter seção transversal inferior a 360 cm2. Como a menor

dimensão adotada para os pilares é de 15 cm x 25 cm, OK.

6.9.2. Cobrimentos adotados:

cnom = 25 mm, válido para pilares em ambiente com Classe de Agressividade I. É suposto que a

estrutura está em zona urbana com ambientes internos secos. Pode ser verificado que no caso mais

crítico, que é do pilar P5, o parâmetro d’= 4 cm adotado é adequado:

d’ = 25 mm (cobrimento) + 5 mm (estribo) +20 mm/2 (barra principal) = 40 mm (OK)

6.9.3. Comprimentos de emenda:

Pilares e pilares-parede pertencem a zonas de boa aderência. Considera-se barras sem gancho,

aço CA-50 c fck = 25 MPa.

fbd = 1 2 3 fctd = 2,25 . 1,0 . 1,0 . 1,282 = 2,885 MPa

32

ck

c

32

ck321

yd

bd

yd

bnec,bf.3,0.7,0.0,1.25,2.0,1

4,1.

15,1

500.

4f.3,0.7,0...

f.

4f.4

f.ll

fyd = 500/1, 15 = 434,8 MPa; ou 3/2

ck

bf

.322l

(MPa)

O comprimento de traspasse de barras comprimidas é de (NBR 6118, item 9.5.2.3):

l0C = lb,nec l0C min

Para Ф = 10 mm, l0C = 38 cm; para Ф = 12,5 mm, l0C = 47 cm; para Ф = 20 mm, l0C = 75 cm

Número mínimo estribos a ser disposto nas emendas, considerando que 50% deles irá a cada

um dos dois terços:

Para Ф = 10 mm, 4 Ф 5 mm; para Ф = 12,5 mm, 8 Ф 5 mm; para Ф = 20 mm, 16 Ф 5 mm.

Observar que o espaçamento entre estribos neste último caso fica da ordem de 3 cm.

6.9.4. Armaduras principais:

A percentagem mínima de armadura dos pilares deve atender às duas condições:

ρmin = 0,15 . Nd /(Ac . fyd ) e ρmin 0,004

Verificação (fyd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2):

P1, P3, P7, P9 – Nd = - 473,8 kN. ρmin = 0,15 . 473,8/(15 . 25 . 43,48) = 0,0044 ρmin = 0,0044

ρ = (8 x 1,23)/(15 . 25) = 0,026 (OK).

P2, P8 – Nd = -1060,5 kN. ρmin = 0,15 . 1060,5/(20 . 40 . 43,48) = 0,0046 ρmin = 0,0046

ρ = (8 x 1,23)/(20 . 40) = 0,0123 (OK)

P4, P6 – Nd = -1103,9 kN. ρmin = 0,15 . 1103,9/(20 . 40 . 43,48) = 0,0048 ρmin = 0,0048

ρ = (10 x 1,23)/(20 . 40) = 0,0153 (OK)

P5 – Nd = - 2788,8 kN. ρmin = 0,15 . 2788,8/(30 . 50 . 43,48) = 0,0064 ρmin 0,0064

ρ = (8 x 3,14)/(30 . 50) = 0,0167 (OK)

65

A percentagem máxima de armadura é de 8% da seção real de concreto (OK). A armadura

longitudinal deve ter bitola de pelo menos 10 mm, não superior a 1/8 da menor dimensão da seção

transversal (OK).

No contorno dos pilares, a armadura vertical deverá ter espaçamento máximo de 40 cm e de

duas vezes a menor dimensão no trecho considerado; o espaçamento mínimo livre entre as faces das

barras, fora da região das emendas, será o maior valor entre 2 cm, o diâmetro da barra e 1,2 vezes o

diâmetro do agregado.

Verificação:

Espaçamento livre entre barras fora da região das emendas (cobrimento de 2,5 cm e estribos de

5 mm):

P1, P3, P7, P9: e = (25 – 2 . 2,5 - 2 . 0,5 – 4 . 1,25) / 3 = 4,7 cm (OK).

P2, P8: e = (40 – 2 . 2,5 - 2 . 0,5 – 4 . 1,25) / 3 = 9,7 cm (OK).

P4, P6: e = (40 – 2 . 2,5 - 2 . 0,5 – 5 . 1,25) / 4 = 6,9 cm (OK).

P5: e = (50 – 2 . 2,5 - 2 . 0,5 – 4 . 2,0) / 3 = 12,0 cm (OK).

Na região das emendas, estes valores passam a ser:

P1, P3, P7, P9: e = (25 – 2 . 2,5 - 2 . 0,5 – 8 . 1,25) / 3 = 3,0 cm (OK).

P2, P8: e = (40 – 2 . 2,5 - 2 . 0,5 – 8 . 1,25) / 3 = 8,0 cm (OK).

P4, P6: e = (40 – 2 . 2,5 - 2 . 0,5 – 10 . 1,25) / 4 = 5,4 cm (OK).

P5: e = (50 – 2 . 2,5 - 2 . 0,5 – 8 . 2,0) / 3 = 9,3 cm (OK).

6.9.5. Estribos

O diâmetro dos estribos (t) deverá ser de pelo menos 5 mm e de 1/4 do diâmetro da armadura principal (OK). Seu espaçamento não excederá nenhum dos valores: 20 cm, menor dimensão da seção

e 12 (CA-50, - diâmetro da armadura principal), o que leva ao espaçamento máximo de 15 cm para

P1 a P4 e P6 a P9 e de 20 para P5.

Os estribos retangulares usuais protegerão contra a flambagem da armadura longitudinal, além

das barras dos cantos, mais duas barras em cada face do pilar, desde que a mais distante delas esteja no

máximo a 20t do canto do estribo. Para as barras não cobertas, deverão ser colocados estribos suplementares, aos quais se aplicará a mesma regra enunciada. Desta forma, já que a cobertura máxima

a partir do canto do estribo é de 20 . 0,5 = 10 cm, é necessário prever estribos duplos para P2, P5 e P8

e de estribos duplos mais um grampo de amarração em P4 e P6.

6.9.6. Exemplo de detalhamento –P1

47

Φ5 c15

4Φ5

16+15+16

4Φ5

66

6.9.7. Pilares-parede:

Percentagem mínima de armadura:

Nd = - 1521,8 kN. ρmin = 0,15 . 1521,8/(14 . 90 . 43,48) = 0,0042 e ρmin = 0,004

ρ = (24 x 2,01)/(14 . 90) = 0,0382 (OK), também menor que a porcentagem máxima 0,04 (OK).

A armadura longitudinal deve ter bitola de pelo menos 10 mm, não superior a 1/8 da menor

dimensão da seção transversal ( OK).

Espaçamento livre entre barras na região das emendas:

e = (90 – 2 . 2,5 - 2 . 0,8 – 24 . 1,6) / 11 = 4,09 cm (OK).

Deverá haver grampos em todas as barras, à exceção das protegidas por serem diretamente

vizinhas a estribos.

Armadura principal por metro: m/cm8,2690,0

01,2.12a 2

s

Armadura secundária: (Φ 8 mm c 7,5) = 0,503/0,075 = 6,71 cm2/m, ≥ 25% da principal, OK.

67

7. TORÇÃO

7.1. Modelo biela-tirante para a torção

Dimensionamento à torção (=45)(Ver Leonhardt, Vol.1, pg.233):

Força nos estribos por metro:

e

dd90

A.2

T)

b

1.(

a2

TF ( Ae = a . b)

Força na armadura longitudinal por metro:

e

ddsl

A.2

T)

b

1.(

a2

TF

Segundo a NBR 6118, item 17.5.1.6, para =45:

ywde

d

e

sl90

f.A.2

T

u

A

s

A ; ue =2 (a+b)

De acordo com o item 17.5.1.5 da NBR 6118:

2sen.h.A.f..5,0T eecd2vSd

he é a espessura da parede: 1ee c.2h;u

Ah

com c1, distância do eixo das barras longitudinais à face e A e u, área e perímetros externos da seção

)250

f1( ck

2v

As armaduras de torção devem ser somadas às de flexão e de cisalhamento.

A verificação da combinação de tensões de compressão diagonal do concreto é feita com:

0,1T

T

V

V

2Rd

Sd

2Rd

sd

Td .1 . b

2b a

Td / 2a

Td / 2b

b

Td

b Td / 2a

b

Td / 2b a

Td /2a Td / 2a

68

1

7.2. Exemplo numérico

Seja uma varanda em que a laje é rebaixada com relação à laje do prédio principal, e engastada

na viga de fachada. Em seção esquemática:

A viga de fachada tem um vão de 10m. O momento de cálculo transmitido pela laje à viga é

igual a 34 kN.m/m. A viga de fachada é considerada como engastada à torção nas suas extremidades,

gerando o seguinte diagrama de momentos torsores:

A seção retangular da viga será então dimensionada para o momento de torção máximo, igual a

Td= 170KN.m. Considerar aço CA-50 e concreto com fck = 20 MPa.

- Cálculo da espessura de parede equivalente

1ee c.2h;u

Ah

A = 0,60 . 0,90 = 0,54 m2 ; u = 2.(0,60 + 0,90) = 3,00 m; c1 = d’ = 0,04m

m04,0.2h;m18,000,3

54,0m08,0h ee

- Verificação da compressão diagonal no concreto (θ=45º)

2senh.A.f..50,0T .eecd2V2Rd

92,0)250

201(2V ; kPa142864,120000fcd ;

2

e m4264,082,0.52,0A

)OK(kN2,22400,1.08,0.4264,0.14286.92,0.50,0T 2Rd

- Cálculo das armaduras (θ=45º)

CA50: 2

ywd cm/kN48,4315,150f

m/cm584,448,43.4264,0.2

170

f.A.2

T

u

A

s

A 2

ywde

d

e

sl90

Armadura transversal:

Para Φ = 8mm (0,503cm2), espaçamento s=10,97cm (Φ 8mm cada 10)

Armadura longitudinal:

Como ue = 2.(0,52 + 0,82) = 2,68m: Asl = 12,29 cm2 (16 Φ 10mm)

69

ANEXOS

ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA A FLEXÃO COMPOSTA RETA (para aço CA-50)











Seção TIPO 3 – C50 Armadura simétrica com d’/h = 0,05, com As3 = As4 = 0,5As (Ábaco Adimensional 10)


Seção TIPO 4 – C90 Seção circular com d’/d = 0,05 (Ábaco Adimensional 12)

Seção circular com d’/d = 0,10 (Ábaco Adimensional 13)











Seção TIPO 3 – C90 Armadura simétrica com d’/h = 0,05, com As3 = As4 = 0,5As (Ábaco Adimensional 23)


70

Seção TIPO 1 - d’/h = 0,05 e As1 = As2 = 0,5 As - Ábaco Adimensional 1 – C50

71


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5

0,4

0

0,4

5

0,5

0

0,5

5 -2,0

0-1

,75

-1,5

0-1

,25

-1,0

0-0

,75

-0,5

0-0

,25

0,0

00

,25

0,5

00

,75

1,0

0

Momento adimensional (µ)

No

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ad

imen

sio

nal (η

)

Grá

fico

de In

tera

ção

Ad

imen

sio

nal

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o 1

-d

'/h

= 0

,10 -

C50

ω =

0

ω =

0,2

ω =

0,4

ω =

0,6

ω =

0,8

ω =

1,0

72


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5

0,4

0

0,4

5

0,5

0 -2,0

0-1

,75

-1,5

0-1

,25

-1,0

0-0

,75

-0,5

0-0

,25

0,0

00

,25

0,5

00

,75

1,0

0


No

rma

l a

dim

en

sio

na

l (η

)

Grá

fic

o d

e In

tera

ção

Ad

ime

ns

ion

al

-Tip

o 1

-d

'/h

= 0

,15

-C

50

ω =

0

ω =

0,2

ω =

0,4

ω =

0,6

ω =

0,8

ω =

1,0

73


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5

0,4

0

0,4

5 -2,0

0-1

,75

-1,5

0-1

,25

-1,0

0-0

,75

-0,5

0-0

,25

0,0

00

,25

0,5

00

,75

1,0

0


No

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ad

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nal (η

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Grá

fico

de In

tera

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sio

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o 1

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= 0

,20 -

C50

ω =

0

ω =

0,2

ω =

0,4

ω =

0,6

ω =

0,8

ω =

1,0

74


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5 -2,0

0-1

,75

-1,5

0-1

,25

-1,0

0-0

,75

-0,5

0-0

,25

0,0

00

,25

0,5

00

,75

1,0

0


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= 0

,25

-C

50

ω =

0

ω =

0,2

ω =

0,4

ω =

0,6

ω =

0,8

ω =

1,0

75

Seção TIPO 2 - d’/h = 0,05 e As1 = As2 = As3 = As4 = 0,25 As - Ábaco Adimensional 6 – C50

0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5

0,4

0

0,4

5 -2,0

0-1

,75

-1,5

0-1

,25

-1,0

0-0

,75

-0,5

0-0

,25

0,0

00

,25

0,5

00

,75

1,0

0


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= 0

,05

-C

50

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0

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0,2

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0,4

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0,6

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0,8

ω =

1,0

76


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5

0,4

0 -2,0

0-1

,75

-1,5

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,25

-1,0

0-0

,75

-0,5

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,25

0,0

00

,25

0,5

00

,75

1,0

0


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l a

dim

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sio

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)

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= 0

,10

-C

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0

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0,2

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0,4

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0,6

ω =

0.8

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1,0

77


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5 -2,0

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,75

-1,5

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,25

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,75

1,0

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C5

0

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0

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0,2

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0,4

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0,6

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0,8

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1,0

78


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0

0,0

5

0,1

0

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5

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0,2

5

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0

0,3

5 -2,0

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,75

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,75

-0,5

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,25

0,0

00

,25

0,5

00

,75

1,0

0


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0,2

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C5

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0

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0,2

ω =

0,4

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0,6

ω =

0,8

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1,0

79


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5 -2,0

0-1

,75

-1,5

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,75

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,25

0,0

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,25

0,5

00

,75

1,0

0


No

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sio

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)

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0,0

5 -

C50

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0

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0,6

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0,8

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1,0

80


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5 -2,0

0-1

,75

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,25

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,25

0,5

00

,75

1,0

0


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)

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0,1

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C5

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0

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0,2

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0,4

ω =

0,6

ω =

0,8

ω =

1,0

81

Seção TIPO 4 - d’/h = 0,05 – Seção Circular -Ábaco Adimensional 12 – C50

Seç

ão C

ircu

lar

- Grá

fico

de

Inte

raçã

o A

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ensi

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al -

d'/d

= 0

,05

0,00

0,05

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,50

-1,2

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,00

-0,7

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,50

-0,2

50,

000,

250,

500,

751,

00

No

rmal

ad

imen

sio

nal

Momento adimensional

ω =

0

ω =

0,2

ω =

0,4

ω =

0,6

ω =

0,8

ω =

1,0

82

Seção TIPO 4 - d’/d = 0,10 – Seção Circular -Ábaco Adimensional 13 –C50

83


0,0

0

0,0

5

0,1

0

0,1

5

0,2

0

0,2

5

0,3

0

0,3

5

0,4

0

0,4

5

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5 -2,0

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,75

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,75

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0


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0,6

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1,0

84


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5

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5

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0

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00

,75

1,0

0


No

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1,0

85


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0

0,0

5

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0

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5

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0

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,25

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,75

1,0

0


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)

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fico

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C90

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0

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0,8

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1,0

86


0,00

0,05

0,10

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Documents

CA3-2014