Caderno Apoio Par Passo

Í N D I C E

INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................................... 2

O MANUAL .............................................................................................................................................................. 3

1. Estrutura das unidades ................................................................................................................. 3

2. O manual e as competências essenciais da Matemática............................................................ 4

3. As actividades do manual............................................................................................................. 5

GUIÃO DE UTILIZAÇÃO DAS TRANSPARÊNCIAS ............................................................................................ 11

FICHAS DE DIAGNÓSTICO E FICHAS GLOBAIS................................................................................................ 12

Ficha de Diagnóstico N.o 1 – Sólidos geométricos ......................................................................... 13

Ficha de Diagnóstico N.o 2 – Adição e subtracção de números representados por fracções ........ 15

Ficha de Diagnóstico N.o 3 – Ângulos e triângulos ......................................................................... 17

Ficha de Diagnóstico N.o 4 – Divisão .............................................................................................. 19

Ficha de Diagnóstico N.o 5 – Estatística ......................................................................................... 21

Ficha de Diagnóstico N.o 6 – Áreas e volumes ............................................................................... 23

Ficha Global N.o 1 ............................................................................................................................. 25

Ficha Global N.o 2 ............................................................................................................................. 28

Grelhas de correcção de fichas ........................................................................................................ 31

Í N D I C E

2

P R O G R A M A D E L Í N G U A P O R T U G U E S A

Cabe ao professor a tarefa de envolver os alunos na aprendizagem, como sujeitos activos da construção de sabe-res. Contudo, o contacto diário com os alunos do 6.o ano, no espaço privilegiado que é a sala de aula, tem reveladoque os alunos desta faixa etária demonstram, cada vez mais, pouca capacidade de concentração. Sendo este um anolectivo em que termina um ciclo de ensino, é importante que os alunos apliquem e mobilizem saberes, desenvolvendoas competências correspondentes a este nível de ensino.

Com o manual A Par e Passo pretendemos ajudar a desenvolver o trabalho na sala de aula, esperando contribuirpara um maior envolvimento por parte do aluno.

Este manual tem como objectivos:• criar o gosto pela Matemática; • proporcionar a aplicação da Matemática a situações do quotidiano, despertando os alunos para questões

relevantes de cidadania.

O projecto A Par e Passo integra os seguintes elementos:• Manual do aluno;• Caderno de Exercícios;• Caderno de Apoio ao Professor;• 8 transparências• CD O Sapo Ajuda... Matemática 6.o Ano (Testes de Avaliação).

Em www.projectos.TE.pt encontra-se mais material relacionado com este projecto.

Com o Caderno de Apoio ao Professor pretende-se: • fornecer sugestões metodológicas para rentabilizar a exploração de algumas actividades do manual;• fornecer fichas de diagnóstico para as unidades do manual que implicam que o aluno possua determinados pré-

-requisitos;• oferecer ao professor duas fichas globais, que deverão ser feitas pelos alunos no final do ano lectivo; • mostrar como poderão ser utilizados, para o tratamento estatístico de elementos de avaliação, os ficheiros

Excel «Tratamento testes» e «Tratamento fichas diagnóstico» disponíveis em www.projectos.TE.pt.

As autoras

I N T R O D U Ç Ã O

3

Í N D I C E

1. Estrutura das unidades

«Já sabes…»

Os assuntos referentes a cada unidade são apresentados tendo como ponto de partida aqueles que já são doconhecimento do aluno: a rubrica «Já sabes…» encontra-se no início de cada unidade e pretende salientar algunsassuntos estudados anteriormente e que são essenciais à aprendizagem futura. Esta rubrica termina sempre com umDesafio, que por vezes assume a forma de um jogo, e que tem como objectivo não apenas motivar os alunos para oestudo da nova unidade como também proporcionar-lhes tarefas que permitam a aplicação da Matemática em diver-sas situações do dia-a-dia.

«Aprender» e «Ao trabalho!»

A teoria está sistematizada na rubrica «Aprender», que ocupa sempre uma página, sendo seguida de uma páginacom actividades de aplicação («Ao Trabalho!»).

Cada «Aprender» termina sempre com um «Aprendeste que», onde se apresentam as conclusões e/ou generaliza-ções decorrentes da sequência lógica subjacente à exposição dos novos assuntos e o novo vocabulário daí decorrente.

A propósito da teoria que está a ser estudada, podem surgir na margem pequenas caixas «Repara» ou «Recorda».Nas primeiras chama-se a atenção para determinados aspectos do texto, enquanto nas segundas se relembram, pon-tualmente, alguns assuntos que são indispensáveis à aquisição de novos conhecimentos.

No final de cada unidade encontram-se três rubricas: «Agora já aprendi», «Auto-teste» e «Para ir mais além».

«Agora já aprendi»

Apresenta um resumo dos assuntos estudados na unidade, pretendendo proporcionar aos alunos uma pausa parareflexão. Para lhes facilitar a revisão da matéria, esta rubrica contém remissões de cada assunto para o «Aprender»respectivo.

«Auto-teste»

Colocam-se ao aluno algumas questões que esperamos que possam contribuir para um auto-controlo da aprendiza-gem. Sugere-se que os alunos que pretendam continuar a testar os seus conhecimentos utilizem o CD O Sapo Ajuda...Matemática 6.o Ano (Testes de Avaliação).

«Para ir mais além»

Para que os alunos possam aplicar os conhecimentos adquiridos a situações diversas, frequentemente relaciona-das com o dia-a-dia, cada unidade termina com a rubrica «Para ir mais além». Também se encontram aqui actividadesrelacionadas com a história da Matemática, muitas vezes suplementadas com Curiosidades que enriquecem a activi-dade matemática do aluno e procuram desenvolver o gosto e a confiança pessoal em realizar tarefas intelectuais queenvolvam raciocínio matemático.

O M A N U A L

4

P R O G R A M A D E L Í N G U A P O R T U G U E S A

2. Operações com números racionaisabsolutos: adição e subtracção; multi-plicação

4. Divisão de números racionais

5. Proporcionalidade directa

8. Números inteiros relativos

• Reconhecimento dos conjuntos dos números inteiros e racionais positivos,das diferentes formas de representação dos elementos desses conjuntos edas relações entre eles; compreensão das propriedades das operações emcada um deles e aptidão para as usar em situações concretas.

• Aptidão para trabalhar com valores aproximados de números racionais, demaneira adequada ao contexto do problema ou da situação em estudo.

• Reconhecimento de situações de proporcionalidade directa.

• Aptidão para usar o raciocínio proporcional em problemas diversos.

• Aptidão para trabalhar com percentagens e para compreender e utilizar assuas diferentes representações.

• Aptidão para atribuir um sentido a problemas numéricos e para reconheceras operações que são necessárias à sua resolução.

Unidades Competências essenciais

2.1 Números e cálculo

O estudo dos números e do cálculo é realizado ao longo de quatro unidades diferentes, pretendendo-se que asactividades numéricas sejam apresentadas numa perspectiva unificadora e sugestiva.

As actividades propostas têm como ponto de partida os conhecimentos já adquiridos pelos alunos e relacionam-secom os seus interesses, com situações do dia-a-dia ou com outras disciplinas. Estas actividades pretendem motivar osalunos para o estudo da Matemática, ao mesmo tempo que contribuem para um melhor conhecimento dos números edas operações.

2.2 Geometria

O estudo da geometria é realizado ao longo de três unidades diferentes, pretendendo-se que possa servir desuporte a actividades numéricas.

O incentivo à realização de esboços para concretizar as actividades propostas deverá ser encarado como uma dasvárias técnicas de trabalho úteis para a compreensão e resolução de alguns problemas. Os trabalhos propostos permi-tem, ainda, o aperfeiçoamento do uso de instrumentos de medição e de desenho.

2. O manual e as competências essenciais da Matemática

A estrutura do manual, assim como as actividades propostas, foram organizadas tendo presentes as competênciasessenciais do Currículo Nacional do Ensino Básico. Deste modo, apresentaremos para cada domínio um quadro com asunidades de trabalho que contribuem directamente para o seu desenvolvimento e a sua interligação com as competên-cias essenciais.

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1. Cilindro de revolução; círculo

3. Construção de triângulos; quadriláteros;simetria em relação a uma recta

7. Áreas e volumes

• Predisposição para identificar propriedades de figuras geométricas, nomea-damente de triângulos, quadriláteros e sólidos geométricos, bem comopara justificar e comunicar os raciocínios efectuados.

• Aptidão para realizar construções geométricas, nomeadamente de ângulose triângulos, e para descrever figuras geométricas.

• Aptidão para, em diversos contextos, resolver e formular problemas queenvolvam relações entre os conceitos de área e de volume.

• Aptidão para calcular, em contexto de resolução de problemas e recorrendoa fórmulas, áreas de triângulos, paralelogramos e círculos, assim comovolumes de cilindros.


2.3 Estatística

O primeiro contacto dos alunos com o estudo da estatística deu-se no 5.o Ano de escolaridade. A abordagem suge-rida no 6.o Ano prende-se com actividades ligadas aos interesses dos alunos e a temas da actualidade. Apesar dainformação estatística se limitar a casos simples, pretende-se que os alunos desenvolvam uma atitude crítica face àinformação com que contactam diariamente.

6. Estatística • Compreensão da noção de frequência absoluta e aptidão para calcular esta frequência emsituações simples.

• Compreensão das noções de moda e de média aritmética; aptidão para as determinar e parainterpretar o que significam em situações concretas.

• Sensibilidade para criticar argumentos baseados em dados de natureza quantitativa.


3. As actividades do manual

Vamos agora sugerir diversas propostas metodológicas que o professor poderá, se assim o entender, utilizar emalgumas situações apresentadas no manual.

O trabalho de grupo é uma das metodologias aconselhadas para a aprendizagem da Matemática que torna possíveldesenvolver as competências gerais e transversais de uma forma mais eficaz. De um modo geral, verifica-se que a utiliza-ção do trabalho de grupo nas aulas se revela importante para que a aprendizagem dos alunos seja mais duradoura.Tendo isto presente, sugerem-se aqui algumas fases deste tipo de trabalho para implementação de algumas actividades.

Analisaremos agora os «Desafios» do manual (incluídos na rubrica «Já sabes...») e algumas das tarefas incluídasna rubrica «Para ir mais além», indicando os objectivos a que se propõem e, consequentemente, as competênciasque se pretendem desenvolver nos alunos.

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P O L I G R B O T E

A C O N N D A S C N

R U Q K A N S A O T

E B A S E I F M N A

F O C U B L U S E G

S O L I D I S I M O

E S F E R C A R S N

O R D E I L O P O O

O S P I R A M I D E

Z X C A D A B A S O

Torna-se assim possível reforçar a importância do trabalho de grupo através da colaboração de todos para ummesmo trabalho. Esta actividade poderá ser dinamizada na área de Estudo Acompanhado, devido à sua transversali-dade.

Objectivos da utilização deste desafio:• recordar a nomenclatura interveniente na unidade cujo estudo vão iniciar;• detectar os alunos que têm menor capacidade de concentração e persistência nas actividades de descoberta;• consciencializar os alunos de que a cooperação entre todos poderá ajudar a ultrapassar dificuldades.

Os alunos deverão descobrir as seguintes palavras:

3.1 Desafio da Unidade 1 (pág. 11)

1.a parte: Trabalho individual

O professor deve especificar de quanto tempo os alunos dispõem paradescobrir as palavras (5 minutos, por exemplo). No entanto, o tempoespecificado não deve ser muito alargado, para que faça sentido asegunda parte da actividade.

2.a parte: Trabalho em grupo

Quando o tempo especificado pelo professor terminar os alunos irãoconfrontar entre si as soluções encontradas. Concluirão certamente quenem todos descobriram os mesmos nomes, e que juntando as palavrasencontradas por todos será mais fácil e rápido realizar esta actividade.

S O L I D O C U B P

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O trabalho individual é aquele que mais se adequa a esta actividade. No entanto,o confronto das soluções de cada uma das expressões poderá ser realizada em tra-balho de pares. Proporcionar ao aluno a validação das suas decisões com o seucolega de trabalho garante um maior sucesso da actividade.

Objectivos da utilização deste desafio:• identificar fracções equivalentes a uma fracção dada;• identificar diversas representações do mesmo número;• adicionar e subtrair números racionais representados na forma de fracção;• detectar os alunos que têm menor capacidade de concentração e persistência

nas actividades de descoberta;• detectar os alunos que manifestem dificuldades em realizar tarefas que impliquem coordenação motora (*).


Antes dos grupos iniciarem o jogo o professor pode colocar à consideração dosalunos todas as regras, de modo que eles sintam a necessidade da existência de umcontrolador do jogo que verifique se as respostas dadas são ou não as correctas.

Objectivos da utilização deste desafio:• classificar triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos;• saber que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o;• classificar rectas quanto à sua posição relativa;• favorecer o trabalho cooperativo, de modo a desenvolver o respeito pelas nor-

mas e regras de boa convivência e de trabalho.


Este é um jogo de estratégia, pelo que é importante que os alunos ao jogar este-jam conscientes da necessidade de encontrar uma estratégia vencedora.

(*) Os alunos detectados nesta fase poderão necessitar de uma ajuda extra nas construções geométricas.

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Esta actividade poderá ser mais enriquecedora se for realizada em grupo, pois as vivên-cias familiares dos alunos são importantes para o bom entendimento deste desafio.

Objectivos da utilização deste desafio:• utilizar a noção de proporcionalidade de modo intuitivo;• seleccionar informação e organizar estratégias criativas face às questões colo-

cadas por um problema;• confrontar diferentes perspectivas face a um problema, de modo a tomar deci-

sões adequadas.


1.o passo: Esta actividade poderá ser desenvolvida individualmente, seguida deapresentação à turma das respostas encontradas.

2.o passo: Sugerir aos alunos que indiquem, através da nomenclatura adequada,as coordenadas que não foram alvo de análise e que elaborem questões para oscolegas acerca da informação ainda não tratada.

Objectivos da utilização deste desafio:• utilizar, de modo lúdico, coordenadas para a leitura de uma tabela;• mobilizar os conhecimentos adquiridos sobre gráficos para dar resposta às

questões levantadas;• desenvolver a capacidade de observação;• usar correctamente a língua portuguesa para comunicar.

1.o passo: As equipas jogam, registando num quadro osnúmeros pedidos pelos Vermelhos e os assinalados pelos Verdes.

2.o passo: No final de cada jogo, devem analisar as diferen-tes jogadas com o objectivo de melhorar os seus pedidos na vezseguinte.

Objectivos da utilização deste desafio:• conhecer os divisores de um número;• favorecer o trabalho cooperativo, de modo a desenvolver o respeito pelas normas e regras de boa convivência e

de trabalho;• adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões.

Vermelhos Verdes

9


Antes de iniciar o jogo os alunos poderão recordar as unidades do sistemamétrico e construir uma grelha com as respectivas equivalências. Esta grelha deveficar na posse do controlador de jogo, para ajudar a ultrapassar algumas dúvidasque surjam durante o jogo.

Objectivos da utilização deste desafio:• conhecer as unidades do sistema métrico decimal;• conhecer as respectivas equivalências entre o sistema métrico, as unidades de

capacidade e as unidades de volume;• favorecer o trabalho cooperativo, de modo a desenvolver o respeito pelas nor-

mas e regras de boa convivência e de trabalho;• adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões.


Após o jogo o professor poderá pedir a alguns alunos que indiquem oralmente opercurso que efectuaram, tornando possível iniciar uma abordagem intuitiva à rela-ção de ordem dos números relativos.

Objectivos da utilização deste desafio:• utilizar a noção intuitiva de número negativo;• mobilizar o conceito de escala, distância real e distância no mapa;• favorecer o trabalho cooperativo, de modo a desenvolver o respeito pelas nor-

mas e regras de boa convivência e de trabalho;• adoptar estratégias adequadas à resolução de problemas e à tomada de deci-

sões.

3.9 Rubrica «Para ir mais além»

Nesta rubrica pretende-se que os alunos desenvolvam competências de utilização da matemática no quotidiano. As actividades propostas podem agrupar-se em três categorias: • actividades de investigação; • questões de cidadania; • actividades relacionadas com a história da matemática.

Actividades de investigação

Na realização destas actividades os alunos exploram situações abertas, procuram regularidades, fazem e testamconjecturas, argumentam e comunicam oralmente ou por escrito as suas conclusões. Este tipo de actividades é favo-rável à ligação da matemática com outras áreas curriculares.

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Exemplos destas actividades são:• Embalagens cilíndricas (pág. 20, Unidade 1) – note-se que a forma das embalagens está associada ao transporte

e à segurança (para produtos tóxicos usam-se embalagens cilíndricas);• Investigações (pág. 46, Unidade 2);• Quanto tempo vais ficar à espera? (pág. 133, Unidade 6);• Moinho de vento (pág. 157, Unidade 7).

As actividades de investigação pretendem desenvolver as seguintes competências:• aptidão para elaborar conjecturas e testá-las;• aptidão para escolher e aplicar estratégias de resolução;• predisposição para explicitar, debater e relacionar a pertinência das soluções encontradas em relação aos pro-

blemas e às estratégias adoptadas.

Questões de cidadania

A promoção intencional, dentro da sala de aula, de actividades conducentes à observação e ao questionamento darealidade são um ponto de partida para o desenvolvimento de uma postura, por parte dos alunos, mais consciente eresponsável no que diz respeito aos direitos e deveres do cidadão.

Exemplos destas actividades são:• Uma questão de cidadania (pág. 73, Unidade 3);• As simetrias no código da estrada (pág. 75, Unidade 3);• Preservar as florestas (pág. 117, Unidade 5);• Calendários (pág. 184, Unidade 8).

As questões de cidadania pretendem desenvolver as seguintes competências:• sensibilidade para reconhecer a diversidade (cultural, religiosa ou outra);• predisposição para adquirir uma consciência ecológica conducente à valorização e preservação do património cultural;• aptidão para observar e questionar a realidade através da integração de saberes.

Actividades relacionadas com a história da matemática

A matemática e a sua história, tal como os matemáticos e as suas histórias, são uma fonte de conhecimentosfavoráveis à aprendizagem.

Exemplos destas actividades são:• Fracções com numerador 1 (pág. 47 do manual, Unidade 2);• Os triângulos de Pascal e de Leibniz (pág. 48 do manual, Unidade 2);• Divisão egípcia (pág. 87 do manual, Unidade 4);• Sombras e comprimentos (pág. 112 do manual, Unidade 5).

Com as actividades relacionadas com a história da matemática pretende-se desenvolver as seguintes competências:• aptidão para identificar procedimentos associados à história da matemática e para questionar a sua pertinência

numa sociedade tecnológica;• predisposição para desenvolver actividades matemáticas tendo por base assuntos relacionados com a evolução

do conhecimento matemático.

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G U I Ã O D E U T I L I Z A Ç Ã O D A S T R A N S P A R Ê N C I A S

Unidade 1

Perímetro do círculo

Unidade 2

Multiplicação de núme-ros representados porfracções

Unidade 3

Medir a amplitude deum ângulo com umtransferidor

Unidade 4

Divisão

Unidade 5

Gráficos circulares

Unidade 7

Áreas e volumes

Unidade 8

Adição de númerosinteiros relativos

Pretende-se que os alunos compreendam a diferença entre estimar e calcularcom precisão a medida de um determinado comprimento.Nesta actividade os alunos deverão, em primeiro lugar, indicar o instrumentode desenho que lhes permite identificar uma estimativa para os diâmetros eperímetros dos círculos. Posteriormente, deverão utilizar esse instrumento(o compasso) no acetato para encontrar os comprimentos pedidos.

A exploração deste assunto é feita sobrepondo as duas metades da transpa-rência 2. Pretende-se que os alunos vejam de uma forma mais dinâmica ademonstração geométrica da regra da multiplicação de números representa-dos por fracções.Na transparência 3 pretende-se que os alunos pintem sobre o acetato,demonstrando a sua compreensão deste processo geométrico.

Esta transparência exemplifica as diferentes etapas de utilização de umtransferidor para fazer a leitura da amplitude de um ângulo.Sugere-se que os alunos sigam as etapas, construindo no seu caderno umângulo e medindo a sua amplitude.

Pretende-se com esta transparência proporcionar aos alunos duas situaçõesdo quotidiano onde a divisão se encontra presente, bem como a utilização darepresentação geométrica da regra da divisão.

Actividades de interpretação de gráficos circulares. Esta actividade pode seruma extensão do trabalho realizado na sala de aula, ou até servir de controloda aprendizagem.

Quadro síntese das fórmulas relativas ao cálculo de áreas e volumes, propor-cionando ao professor apoio para enfrentar as dúvidas dos alunos nesteassunto.

Através da exploração da actividade aqui apresentada pretende-se que osalunos, de uma forma intuitiva, possam iniciar o estudo das regras de cálculocom números inteiros relativos. Sugere-se, assim, a realização desta activi-dade antes do estudo da operação adição de números relativos.

1

2

4

5

6

7

8

Transparência Unidade / Assunto Sugestões de utilização

3

12

F I C H A S D E D I A G N Ó S T I C O E F I C H A S G L O B A I S

Fichas de diagnóstico

Nesta secção disponibilizam-se sete fichas de diagnóstico, com o objectivo de fazer um levantamento dos conheci-mentos dos alunos sobre os assuntos estudados no 5.o ano.

As fichas de diagnóstico deverão ser feitas no início da unidade respectiva, cabendo ao professor decidir se as dis-tribui aos alunos antes ou depois de trabalhar a rubrica «Já sabes...».

Fichas globais

Disponibilizam-se ainda duas fichas que poderão servir de base de trabalho, na sala de aula, para familiarizar osalunos com a mobilização de conhecimentos e as competências a desenvolver ao longo do 2.o Ciclo.

Para permitir dois momentos de trabalho, com carácter global, as fichas estão organizadas da seguinte forma:

• Ficha 1 – Engloba assuntos estudados no 2.o Ciclo até à unidade 7 do 6.o ano (Áreas e Volumes);

• Ficha 2 – Engloba todos os assuntos estudados durante o 2.o Ciclo.

13

F I C H A D E D I A G N Ó S T I C O N . o 1 S Ó L I D O S G E O M É T R I C O S

E s c o l a ______________________________________________ D a t a ____________________________

N o m e ________________________________________________ T u r m a __________ N.o ___________

1. Dos sólidos aqui representados, indica os que são:

a) poliedros _________________________ c) pirâmides __________________________

b) não poliedros _____________________ d) prismas ____________________________

2. Diz se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

a) As faces laterais de uma pirâmide são triângulos. ______________________________________

b) Existem prismas com 5 vértices. ____________________________________________________

c) O cilindro é um poliedro porque tem duas bases. _______________________________________

3. Observa as figuras e indica:

a) os polígonos ________________________ c) os pentágonos _______________________

b) os quadriláteros ______________________ d) os hexágonos _________________________

A BC D

E

F G

A

F G H I

B C D E

14

4. Escolhe a opção que completa correctamente cada frase.

a) Um poliedro com 6 vértices, 6 faces e 10 arestas é...

… um prisma pentagonal.

… uma pirâmide pentagonal.

… um prisma hexagonal.

b) Um sólido com 6 faces, 8 vértices e 12 arestas é...

… um prisma triangular.

… uma pirâmide hexagonal.

… um cubo.

c) Um poliedro com 12 vértices, 8 faces e 18 arestas é...

… um prisma hexagonal.

… uma pirâmide octogonal.

… um prisma pentagonal.

5. Observa os esquemas que se seguem e diz quais representam a planificação da superfície de um cubo.

Planificação da superfície de um cubo: ______________________________________________________________

6. Para enviar uma encomenda à sua prima Joana, a Ana utilizou uma caixa com a forma de um cubo. Para ter a cer-teza que a encomenda chegava em boas condições, reforçou as arestas da caixa com fita-cola. Sabendo que cadaaresta da caixa mede 45 cm, quantos centímetros de fita-cola gastou a Ana?

7. Na aula de Ciências da Natureza, colocou-se um caracol dentro da caixa represen-tada ao lado. Se ele se deslocar apenas nas arestas da caixa, qual será a distânciapercorrida?

A B C D E

30 cm

50 cm20 cm

15

F I C H A D E D I A G N Ó S T I C O N . o 2

E s c o l a ______________________________________________ D a t a ____________________________

N o m e ________________________________________________ T u r m a __________ N.o ___________

A D I Ç Ã O E S U B T R A C Ç Ã O D E N Ú M E R O S R E P R E S E N T A D O S P O R F R A C Ç Õ E S

1. Observa as figuras.

Assinala no quadro a fracção que corresponde ao número de:

Sapos que estão fora de água

Crianças que estão de patins

Crianças que estão a lançar papagaios

Meninas que estão na situação C

Rapazes que estão na situação B

Meninas com tranças na situação C

�45

� �26

� �47

� �27

��35

� �37

�

2. Pinta, em cada uma das figuras, a fracção correspondente.

�47

� �34

� �16

� �29

�

A B C

16

3. Faz a correspondência, por meio de setas, entre as fracções que são equivalentes.

um meio • • nove doze avos

três quartos • • dois quartos

quinze terços • • quatro oitavos

oito dezasseis avos • • cinco

dois dezasseis avos • • um oitavo

4. Calcula o valor das seguintes expressões:

a) �15

� + �25

� b) �73

� – �43

� c) �14

� + �34

� d) �82

� – �52

�

5. Completa, de modo a tornar as expressões verdadeiras:

a) �28

� + �8?

� = �68

� b) �84

� – �4?

� = �74

� c) �6?

� – �36

� = �26

� d) �5?

� + �45

� + �5?

� + �5?

� = �150�

6. Assinala a fracção que representa um número menor que �45

�.

�65

� �13

� �1145� �

12

�

7. Assinala a fracção que representa um número maior que �47

�.

�172� �

1211� �

241� �

1201�

8. Assinala a fracção decimal equivalente a �245�.

�1800� �

1160� �

1400� �

11060

�

9. A Carla e a mãe fizeram empadão. Ao jantar a Carla comeu �15

� do empadão e a mãe comeu �130�.

9.1 Que parte do empadão comeram as duas?

9.2 Quanto sobrou do empadão?

17

F I C H A D E D I A G N Ó S T I C O N . o 3 Â N G U L O S E T R I Â N G U L O S

E s c o l a ______________________________________________ D a t a ____________________________

N o m e ________________________________________________ T u r m a __________ N.o ___________

1. Dos ângulos aqui representados, identifica aqueles que são:

a) rectos _____________________________________________________________________________________

b) obtusos ____________________________________________________________________________________

c) agudos _____________________________________________________________________________________

Mede agora, com o auxílio do transferidor, a amplitude dos ângulos aqui representados.

A = __________ ; B = __________ ; C = __________ ; D = __________ ; E = __________ ; F = __________ .

2. Desenha os ângulos seguintes:

a) FÊG = 45o b) DÂG = 130o c) YXZ = 80o

A BC

D

E

F

3. Diz se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

a) Um ângulo de 45o é um ângulo recto. _____________________________________________________________

b) Um ângulo de 91o é um ângulo obtuso. ___________________________________________________________

c) Um ângulo de 25o é um ângulo agudo. ____________________________________________________________

d) A amplitude de um ângulo depende do comprimento das semi-rectas que o formam. _______________________

e) A notação O•X e O

•Z indica os lados do ângulo XZO. __________________________________________________

18

4. Observa os seguintes triângulos e classifica quanto aos ângulos:

a) os triângulos C, E, F e G _______________________________________________________________________

b) os triângulos A, D e H ________________________________________________________________________

c) o triângulo B ________________________________________________________________________________

5. Algumas das etiquetas destes triângulos estão trocadas.

Indica quais e porquê.

_______________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________

A

B C

F G

D E

H

equilátero

escaleno

escalenoequilátero

isósceles

A

B

C

D E

12 : = 3

: 5 = 4

5 : =

14 : =

19

F I C H A D E D I A G N Ó S T I C O N . o 4 D I V I S Ã O

E s c o l a ______________________________________________ D a t a ____________________________

N o m e ________________________________________________ T u r m a __________ N.o ___________

1. Será possível equilibrar um vaso de flores com 1400 gutilizando as caixas representadas no desenho? Explicao teu raciocínio.

2. A D. Dulce tem uma colecção de 180 botões antigos. Para organizar melhor a sua colecção, quer adquirir 12 caixastransparentes. Se os distribuir igualmente pelas diferentes caixas, quantos botões ficarão em cada uma?

3. Completa a tabela, aplicando a identidade fundamental da divisão exacta.

Dividendo Divisor Quociente

:

240

400

500

600

800

1800

3300

2 3 4 10

4. Completa a tabela, calculando mentalmente os quocientes.

20

5. Realiza os cálculos necessários para determinares todos os divisores de 40.

Divisores de 40: ________________________________________________________________________________

6. Completa os espaços, de modo a tornar as relações verdadeiras:

a) D14 = {1, , , }

b) D15 = {1, , 5, }

c) D18 = { , 2, 3, , , 18}

d) D_______ = { , 2, 3, 4, 6, , , 24}

7. Adivinha:

a) Qual é o menor divisor de qualquer número?

b) Qual é o número par com menos divisores?

c) Qual é o primeiro número ímpar com mais que dois divisores?

d) Qual é o divisor que é comum a todos os números pares?

e) Qual é o maior divisor de qualquer número?

21

F I C H A D E D I A G N Ó S T I C O N . o 5 E S T A T Í S T I C A

E s c o l a ______________________________________________ D a t a ____________________________

N o m e ________________________________________________ T u r m a __________ N.o ___________

1. Contou-se o número de crianças que vivem em cada andar de um prédio. A informação recolhida está apresentadano gráfico de barras seguinte:

1.1 Indica em que andar existe o maior número de crianças. ____________________________________________

1.2 Indica em que andar existe o menor número de crianças.

1.3 Quantas crianças vivem nos três primeiros andares?

1.4 Quantas crianças vivem nos três últimos andares?

1.5 Quantas crianças vivem neste prédio?

1.6 Indica dois andares onde o número total de crianças é igual ao número de crianças que vive no 6.o andar.

__________________________________________________________________________________________

1.7 Indica dois andares onde o número total de crianças é igual ao número de crianças que vive no 2.o andar.

__________________________________________________________________________________________

2. Num dia de frio, a Andreia registou num papel a cor do cachecol das pessoas com quem se cruzou no caminho paraa escola.Os registos da Andreia foram os seguintes:

AzulVermelhoVermelho

VerdeAzul

Vermelho

PretoVermelhoCinzento

CinzentoCinzento

Preto

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.° andar 2.° andar 3.° andar 4.° andar 5.° andar 6.° andar

N.°

de

cria

nças

22

2.1 Organiza a informação recolhida pela Andreia na tabela seguinte:

2.2 Apresenta os resultados obtidos pela Andreia num gráfico de barras.

2.3 Consulta o gráfico e responde:

a) Quantas pessoas foram observadas pela Andreia? ______________________________________________

b) Qual a cor de cachecol que a Andreia viu com maior frequência? ___________________________________

c) Qual a cor de cachecol que a Andreia viu com menor frequência? __________________________________

d) Existem cores que foram vistas em igual número? Quais? ___________________________________

e) Se a Andreia tivesse observado a cor do cachecol de mais duas pessoas e no final a cor mais observadafosse o cinzento, qual era a cor do cachecol dessas duas pessoas? _________________________________

Cores Contagem Frequência absoluta

23

1. Observa as figuras:

1.1 Qual é a área da figura A (considera que a unidade de medida é uma quadrícula)? ________________________

1.2 Copia e completa a tabela com as figuras equivalentes que não são geometricamente iguais à figura A e osrespectivos perímetros.

1.3 Copia e completa a tabela com as figuras geometricamente iguais à figura A e os respectivos perímetros.

1.4 Completa as seguintes afirmações, de modo a torná-las verdadeiras.

a) Figuras equivalentes têm perímetros… _______________________________________________________

b) Figuras geometricamente iguais têm perímetros… ______________________________________________

Figuras equivalentesà figura A

Perímetro

Figuras geometricamenteiguais à figura A

Perímetro

AB

C

FED

F I C H A D E D I A G N Ó S T I C O N . o 5 Á R E A S E V O L U M E S

E s c o l a ______________________________________________ D a t a ____________________________

N o m e ________________________________________________ T u r m a __________ N.o ___________

24

2. Atendendo às medidas que se encontram nafigura, calcula:

a) a sua área;

b) o seu perímetro.

3. Calcula o volume desta geleira.

4. O Carlos pretende encher, com um jarro, um aquário.Quantas vezes tem de usar o jarro, sabendo que a suacapacidade é de 1500 cm3?

5. Diz se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas e corrige as falsas.

a) Sólidos equivalentes têm o mesmo volume. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

b) 2300 dm3 = 23 m3 ____________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

c) Um cubo também se pode designar por paralelepípedo. ______________________________________________

___________________________________________________________________________________________

d) Um papalelepípedo também se pode designar por cubo. ______________________________________________

___________________________________________________________________________________________

30 cm

38 cm

25 cm

5 cm

12 cm

2 cm

5 cm

5 cm

41 cm

30 cm

51 cm

1. Na escola da Inês foi feita uma campanha de recolha de papel para reciclagem. A tabela indica o número de quilosrecolhidos por cinco turmas do 6.o ano:

Coloca as turmas por ordem decrescente do número de quilos de papel recolhido.

_____________________________________________________________________________________________

2. Três raparigas e dois rapazes estão sentados numa fila de cinco cadeiras.

De quantas maneiras diferentes podem sentar-se os rapazes de modo a não ficarem sentados lado a lado?

Explica, utilizando palavras ou esquemas, como chegaste à tua resposta.

25

F I C H A G L O B A L N . o 1

E s c o l a ______________________________________________ D a t a ____________________________

N o m e ________________________________________________ T u r m a __________ N.o ___________

Turma Papel recolhido (kg)

A

B

C

D

E

7,15

8,55

7,51

8,5

8,43

26

3. Calcula o valor da seguinte expressão numérica:

�65

� – �14

� + 0,2

Indica todos os cálculos efectuados.

Valor da expressão numérica: ______________________________________________________________

4. Pensa nos sólidos geométricos que conheces e diz qual tem 15 arestas, 10 vértices e 2 bases.

Nome do sólido: ________________________________________________________________________

5. O gráfico seguinte refere-se à reciclagem de diversos materiais, em Portugal, no primeiro semestre de 2004.

5.1 Qual o tipo de material que foi reciclado em maior quantidade? _______________________________________

5.2 Qual o peso total dos materiais recolhidos? _______________________________________________________

5.3 Escreve uma frase que traduza a informação representada pela barra correspondente à madeira.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

0

10

20

30

40

50

60

Vidro Papel e cartão Plástico

Materiais reciclados

Materiais

Peso

(to

nela

das)

Metal Madeira

27

6. Com cubinhos de madeira com 1 cm de aresta construíram-se os sólidos A, B, C e D. Qual dos sólidos construídostem maior volume?

Sólido com maior volume: _________________________________________________________________


�32

� – �25

� × �12

�

Indica todos os cálculos efectuados.

Valor da expressão numérica:

8. O Sr. João pretende colocar ladrilhos no chão de uma sala que tem 3 m de largura e 4 m de comprimento. Quantosladrilhos quadrados com 250 mm de lado são necessários para cobrir todo o chão?

Explica, utilizando palavras, esquemas ou cálculos, como chegaste à tua resposta.

9. Num mapa de Portugal Continental, Guarda e Bragança distam entre si 3 cm. Sabendo que a escala do mapa é de1: 5 000 000, calcula a distância real entre estas duas cidades. Expressa o resultado em quilómetros.

Distância real: _________________________________________________________________________

A CB D

28

F I C H A G L O B A L N . o 2

E s c o l a ______________________________________________ D a t a ____________________________

N o m e ________________________________________________ T u r m a __________ N.o ___________

R1,03

O2,5

M2,45

A1,13

1. Escreve a palavra que obténs se colocares os cartões por ordem crescente dos seus números.

Palavra:

2. Num piquenique realizado por um grupo de amigos, seis levaram batatas fritas, oito levaram uma bebida e cincocomeram sanduíches. Alguns levaram apenas um artigo, enquanto outros levaram dois.Qual será o menor número de pessoas que pode ter participado neste piquenique?

Explica, utilizando palavras, esquemas ou cálculos, como chegaste à tua resposta.

3. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 é possível escrever, sem repetir nenhum algarismo, vários números múltiplos de 2e de 5. Qual é o maior número de seis algarismos que podemos escrever?

104 523 354 210

543 210 534 210


�34

� + 0,3 – �12

�

Valor da expressão númerica:

29

5. Pensa num prisma ou numa pirâmide.

Descreve o sólido em que pensaste, sem especificar o seu nome, de modo que seja possível identificá-lo. Na tuadescrição terás que utilizar as palavras vértices, base(s) e rectângulos.

Descrição:

Escreve agora o nome do sólido que descreveste.

6. O gráfico seguinte refere-se à cor dos olhos dos alunos da turma da Carolina.

6.1 Qual a percentagem de alunos com olhos verdes?

6.2 Sabendo que existem quatro alunos com olhos azuis, indica quantos têm olhos verdes.

6.3 Quantos alunos tem a turma?

6.4 Escreve uma frase que traduza a informação representada pelo sector que corresponde aos olhos castanhos.

Castanhos70%

Azuis20%

VerdesCor dos olhos

7. Com cubinhos de 1 cm3 de volume, construíram-se os sólidos A e B. Quantos cubinhos deves acrescentar ao sólido Apara obter um sólido com o mesmo volume do sólido B?

A B

30


�38

� × �13

� + �23

�

Indica todos os cálculos que efectuares.

Valor da expressão numérica:

9. O António colecciona comboios. A figura representa um dos seus percursos favoritos: calcula, em decímetros, ocomprimento do percurso efectuado pelo comboio.

Explica como chegaste à tua resposta, apresentando todos os cálculos efectuados.

50 cm

10. A tabela seguinte indica as temperaturas registadas, no mesmo dia e à mesma hora, em diferentes cidades:

Classifica as seguintes afirmações como verdadeiras ou falsas.

a) A cidade que registou a temperatura mais baixa foi Faro. ____________________________________________

b) Bragança e Coimbra registaram temperaturas abaixo de zero. ________________________________________

c) Lisboa foi a cidade mais quente. _______________________________________________________________

d) A diferença de temperatura entre Santarém e Bragança foi de 5 oC. ___________________________________

Bragança

–3 oC

Coimbra

–1 oC

Santarém

2 oC

Lisboa

6 oC

Faro

10 oC

31

Grelhas de correcção de fichas

Em www.projectos.TE.pt apresentam-se dois ficheiros Excel destinados ao registo das pontuações resultantesda correcção de fichas. Estas grelhas, uma para a correcção das fichas de diagnóstico e outra para a correcção de tes-tes, nomeadamente dos auto-testes do manual, aproveitam as potencialidades de uma folha de cálculo e do seu trata-mento gráfico, podendo ser reutilizadas em cada ano lectivo (basta apagar os nomes dos alunos e as classificaçõesobtidas).

Ficheiro «Tratamento fichas diagnóstico»

Uma vez que às questões das fichas dediagnóstico não se atribui qualquer cotação,esta grelha deve ser preenchida apenas com osnúmeros 1 e 0: as respostas correctas valem 1e as incorrectas valem 0. Assim, no final é pos-sível obter a situação da turma relativamente acada questão através do total.

À medida que o professor coloca a pontua-ção na grelha da folha «Classificações Fichas»,é construído um gráfico, numa outra folha, como total obtido para cada questão. Se o pro-fessor apagar as pontuações obtidas os grá-ficos voltam a não apresentar as barras,ficando assim prontos para um novo ano lec-tivo.

Em cada gráfico é possível visualizar asquestões em que os alunos mostraram maisou menos dificuldades. O professor poderáimprimir o gráfico e comentar com os alunos oseu desempenho, para que estes iniciem umaauto-avaliação reflexiva.

32

Ficheiro «Tratamento testes»

As grelhas organizadas para este efeito possuemuma coluna destinada a somar automaticamente todasas cotações relativas a cada aluno. Assim, só é necessá-rio colocar os nomes dos alunos, as cotações dasquestões e os valores obtidos pelo aluno em cadaquestão. Após esta tarefa, a tabela apresenta automati-camente o total (100) das cotações e a percentagemobtida por cada aluno.

Os auto-testes do manual podem ser feitos autono-mamente, pelo aluno, ou utilizados pelo professor paratestar os conhecimentos adquiridos no final de uma uni-dade. O ficheiro «Tratamento testes» permite sistemati-zar os resultados obtidos pelos alunos quer nos auto-tes-tes quer nos testes em geral.

À medida que os alunos realizam diferentes fichasos totais obtidos em cada uma são sistematizados numatabela (a primeira da folha «Classificações»), a partir daqual se determina automaticamente a média geral atéao momento.

Simultaneamente, os dados destas tabelas são utili-zados para elaborar gráficos. No gráfico das médias évisível uma barra, por cada aluno, com a média das clas-sificações obtidas em todas as fichas realizadas.

Um outro gráfico disponível é relativo ao desempe-nho do aluno em cada ficha realizada. Neste gráficoé possível visualizar um conjunto de barras de cores dife-rentes que correspondem ao total de fichas realizadas.

CAD

ERN

O D

E AP

OIO

AO

PRO

FESS

OR

– A

PAR

E PA

SSO

– M

ATEM

ÁTIC

A –

6.0

ANO

• 9

72-4

7-27

39-4

IntroduçãoDurante muito tempo, o ensino da Matemática orientou-se essencialmente para a aqui-

sição e treino de técnicas de cálculo e de procedimentos, numa lógica de formação deespecialistas competentes, adequados a uma sociedade onde cada um sabe do seu ofício.

Na sociedade actual, onde a informação é tão variada e abundante, somos constante-mente confrontados com a necessidade de seleccionar e interpretar informação paratomarmos decisões, tanto na vida pessoal como na profissional.

As mudanças que ocorrem nos dias de hoje requerem a formação de cidadãos comcapacidades de adaptação, inovação e criatividade. é neste sentido que apontam asorientações curriculares mais recentes, divulgadas nos documentos oficiais, onde a flexi-bilidade surge como uma palavra-chave.

Dos problemas que seleccionámos, umas, já foram utilizadas nas nossas aulas, outras,foram criadas intencionalmente para esta publicação. Na nossa selecção, tentámosexemplificar:

• problemas que os alunos podem resolver recorrendo a estratégias diversificadas;

• problemas (1, 2, 3, 4 e 11) onde a utilização de esquemas ajuda o aluno a visualizar asituação descrita;

• problemas (4 e 10) onde o uso de materiais manipuláveis melhora a sua compreensão;

• problemas (3, 11, 12, 13, 14 e 15) que apelam à organização e interpretação de dados;

• problemas (4, 12, 13, 14 e 15) que, pela sua natureza exploratória, incentivam oaluno a traçar o seu próprio caminho;

• problemas (9 e 10) que apelam à visualização e ao raciocínio geométrico;

• problemas (6 e 7) onde, operando num sistema de numeração diferente, o alunomelhora o seu conhecimento do sistema de numeração decimal que utiliza.

Não temos a pretensão de ter escrito problemas modelo, pelo contrário, pensamos queeles podem ser reformuladas e adaptadas a cada turma em particular. Com estas ou comoutras tarefas, o importante é envolver o aluno na procura de estratégias de resoluçãodas mesmas, criando-se um ambiente de aprendizagem significativa.

Irene SeguradoMaria João Lagarto

Maria José BóiaMarília Carvalho

Olívia Sousa

Resolver Problemas (fichas fotocopiáveis)

Resolver Problemas • Matemát ica 6 . o Ano


Listagem de Problemas11 – DA PRAIA À CIDADE

Sugestões para o professor

12 – ENCONTRO MARCADOSugestões para o professor

13 – TORNEIO NO CLUBE DE MATEMÁTICASugestões para o professor

14 – DIVIDINDO O VINHOSugestões para o professor

15 – O ALMOÇOSugestões para o professor

16 – NÚMEROS À MODA DO «ANTIGO EGIPTO»Sugestões para o professor

17 – CONTAS À MODA DO «ANTIGO EGIPTO»Sugestões para o professor

18 – SEQUÊNCIAS DE NÚMEROSSugestões para o professor

19 – SEQUÊNCIAS DE FIGURASSugestões para o professor

10 – VISTAS DE UM EDIFÍCIOSugestões para o professor

11 – A MESA DO JARDIMSugestões para o professor

12 – A VISITA DE ESTUDOSugestões para o professor

13 – CONTANDO RECTÂNGULOSSugestões para o professor

14 – TATAMISugestões para o professor

15 – JOGO DO NIMSugestões para o professor

1

Escola __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Nome _______________________________________________________________________________________________________________ Turma __________________ N.o __________________


Da praia à cidadeO Pedro vive numa localidade situada entre a cidade e o mar. A cidade fica a 10 km e o

mar a 42 km. Num fim-de-semana soalheiro, o Pedro foi até à praia fazer surf com unsamigos.

No regresso, depois de ter percorrido 7 km, verificou que só dispunha de gasolina parapercorrer 40 km. A bomba de gasolina mais próxima fica na cidade.

• Será que o Pedro tem gasolina para chegar à cidade?

• Que conselho darias ao Pedro, se estivesses com ele?

1


Este problema situa-se na área dos números. A sua resolução será mais evidente se o aluno recorrera uma estratégia mista envolvendo a elaboração de um esquema e cálculos.

O professor deve dar tempo para que cada aluno desenvolva estratégias pessoais de resolução doproblema. Caso alguns alunos não consigam desenvolver nenhuma estratégia de resolução, o professorpode orientá-los na elaboração de um esquema que permita uma melhor visualização da situaçãodescrita.

Os alunos poderão construir um esquema semelhante ao que se segue:

Os alunos não terão dificuldade em descobrir, a partir do esquema e dos cálculos, que o Pedro nãotem gasolina suficiente para chegar à cidade.

Os conselhos dos alunos ao Pedro poderão ser diversificados. No entanto, importa discutir a suaplausibilidade, respeitando a diversidade de opiniões, desde que devidamente fundamentadas:

• levar o carro até casa e pedir a alguém que lhe traga gasolina da cidade;

• levar o carro até 5 km da bomba de gasolina e ir a pé buscar gasolina; etc.

O professor poderá ainda aproveitar as sugestões dos alunos para debater algumas questões denatureza cívica, como por exemplo, o perigo de andar à boleia e o de andar na beira da estrada.


Casa do Pedro Praia

7 km42 km10 km

Cidade

2

Escola __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Nome _______________________________________________________________________________________________________________ Turma __________________ N.o __________________


Encontro marcadoO Francisco e a Joana vivem à distância de 12 km um do outro. Numa hora, o Francisco

consegue caminhar 4 km e a Joana caminha 3 km. Combinaram encontrar-se a meio docaminho.

• Quem chega primeiro?

• Quanto tempo tem de esperar pelo outro?

2


Os alunos apresentam, com frequência, dificuldade em trabalhar com a recta numérica. Este proble-ma poderá contribuir para atenuar esta dificuldade.

Tratando-se de um problema que envolve raciocínio proporcional, pode ser resolvido através decálculos aritméticos. No entanto, a sua resolução tornar-se-á mais fácil e evidente se os alunos recorre-rem ao esquema seguinte:

Os alunos facilmente compreendem que o Francisco chegará primeiro, uma vez que anda maisdepressa. A partir do esquema, também percebem que a Joana necessita de 2 horas para chegar aolocal do encontro.

Para descobrir quanto tempo é que o Francisco vai esperar pela Joana, é necessário saber primeiro otempo que ele demora a chegar a meio do caminho. Os alunos não terão dificuldade em descobrir estaresposta (1 h e 30 m) observando a sua representação gráfica, podendo de seguida afirmar que oFrancisco vai ter de esperar meia hora pela Joana.

Alguns alunos podem adoptar outras estratégias de resolução do problema. O professor deve pro-porcionar um espaço para que os alunos partilhem as suas estratégias de resolução.


124 km

1 h

3 km

1 h

JoanaFrancisco

0 6

3

Escola __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Nome _______________________________________________________________________________________________________________ Turma __________________ N.o __________________


Torneio no Clube de MatemáticaO Clube de Matemática da escola pensou realizar uma competição entre os seus

elementos.

O jogo escolhido para esta competição exige que se formem equipas de três elemen-tos, tendo sempre de incluir, pelo menos um rapaz e uma rapariga. O número de alunosinscritos é 27, havendo mais onze raparigas do que rapazes.

• Qual o número máximo de equipas que se podem formar?

• Para que todos possam jogar há necessidade de inscrever mais alunos no clube.Qual o número mínimo de alunos necessário? Podem ser só rapazes ou raparigas?Justifica a tua resposta.

CLUBE DE MATEMÁTICA

3


Este problema pode ser resolvido com recurso a estratégias bem diferenciadas: cálculos, esquemas,tabelas, etc. O professor deve dar tempo para que os alunos descubram as suas estratégias de resolu-ção, só intervindo com sugestões quando estes revelarem dificuldade em iniciar uma estratégia.Nestes casos, o professor deve copiá-los questionando os alunos, contribuindo para que estes melho-rem a sua compreensão do problema e apoiando-os na procura da sua própria estratégia de resolução.Pode fazê-lo, formulando questões que abordem alguns aspectos da situação em estudo, nomeada-mente:

• a constituição dos grupos que se podem formar;

• a existência ou não de grupos com diferentes constituições;

• a importância ou não do cálculo do número de raparigas e de rapazes inscritos;

• …

As estratégias, usadas nos dois exemplos seguintes de resolução do problema, situam-se emcampos bastante distintos: utilização exclusiva de cálculos aritméticos e utilização de tabelas.

• 27 – 11 = 16

16 : 2 = 8 (rapazes)

8 + 11 = 19 (raparigas)

É possível formar 8 grupos de 2 raparigas e 1 rapaz, sobrando 3 raparigas.

Nesta estratégia de resolução, os alunos começam por determinar o número de rapazes e deraparigas da turma e, a partir desses valores, determinam o número de grupos.

8 + 16 = 24 alunos. Sobram 3 raparigas.

Nesta estratégia de resolução, os alunos optam por formar grupos constituídos por 2 raparigas e1 rapaz, evidenciando terem utilizado a informação de que há mais raparigas do que rapazes.

Depois de terem encontrado uma estratégia que permita responder à primeira questão, os alunosnão terão dificuldade em concluir que: para que as 3 raparigas que sobram possam entrar na competi-ção, é necessário inscrever, no mínimo, mais 3 rapazes, permitindo formar mais 2 equipas, uma consti-tuída por 1 rapaz e 2 raparigas e a outra constituída por 2 rapazes e 1 rapariga.

Atendendo à diversidade de estratégias de resolução do problema, o professor deve criar um espaçoonde os alunos possam partilhá-las, contribuindo assim para que desenvolvam a sua capacidade decomunicar matematicamente.


M

FF

M

FF

M

FF

M

FF

M

FF

M

FF

M

FF

M

FF

8

16

Rapaz – M

Rapariga – F

4

Escola __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Nome _______________________________________________________________________________________________________________ Turma __________________ N.o __________________


Dividindo o vinhoNum manuscrito do século XIII, escrito pelo abade alemão Albert van Strade, aparece o

seguinte problema:

Em Colónia havia três irmãos monges que tinham nove pipas de vinho. A primeira pipatinha 1 «canada» de vinho, a segunda 2, a terceira 3, a quarta 4, a quinta 5, a sexta 6, asétima 7, a oitava 8 e a nona 9.

Divide o vinho e as pipas igualmente entre os três irmãos, sem misturar o vinho queestá nas pipas.

4


É natural que os alunos sintam alguma dificuldade na compreensão do enunciado do problema, porisso, o professor deve começar por colocar questões que os ajudem a esclarecê-lo, como por exemplo:

• O que pensam que é uma canada de vinho?

• Com quantas pipas ficará cada um dos três monges? Porquê?

• Com quantas canadas de vinho ficará cada um dos três monges? Porquê?

Depois de os alunos terem compreendido que cada monge ficará com três pipas e 15 canadas devinho, é possível que sugiram que o vinho deve ser dividido igualmente pelas três pipas. No entanto, ovinho não pode ser misturado, pois não faz sentido misturar os vários sabores. Caso os alunos optempor esta estratégia de resolução, o professor pode colocar a questão:

• O vinho pode ser misturado? Como sabes?

Os alunos terão então de reformular a sua estratégia.

O professor deve incentivar os alunos a partilharem as suas estratégias de resolução, contribuindoassim para que desenvolvam a sua capacidade de comunicação matemática e discutam as duas solu-ções possíveis do problema.

Sistematize as soluções encontradas pelos alunos, em colunas, obtendo assim o quadrado mágicode ordem 3. Explique que num quadrado mágico a soma dos números das linhas, das colunas e dasduas diagonais é sempre a mesma, neste caso, 15.

Proponha aos alunos outros problemas semelhantes, mudando o valor total das canadas de vinho.Pode encontrar outras variantes deste problema que poderá encontrar na página:

http://www.malhatlantica.pt/mathis/Problemas/Vinho/vinho.htm

Variantes e prolongamentos

Tendo este problema uma origem remota, muitas são as pesquisas que se podem propor aos alunos, porexemplo, pode pedir-se que pesquisem diversos tipos de unidades de medida de capacidade, anteriores aosistema métrico, ou que façam uma pesquisa sobre a «História dos quadrados mágicos». Por outro lado, apartir deste problema podem ser levantadas outras questões que podem ser respondidas com a ajuda doprofessor de História, como por exemplo: Por que é que o problema terá sido escrito por um abade?Em que língua terá sido escrito o problema? Terão sido usados os numerais indo-árabes ou outros numerais?


8

3

4

1

5

9

6

7

2

5

Escola __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Nome _______________________________________________________________________________________________________________ Turma __________________ N.o __________________


O almoçoA Ana, a Inês, a Daniela e a Maria almoçaram numa pizaria.

O almoço para as quatro custou 30,50 euros. Como a Maria se tinha esquecido da car-teira em casa, as outras três amigas pagaram o almoço dela. A Ana pagou 9,50 eurosda despesa, a Inês pagou 10 euros e a Daniela 11,50 euros.

• A quantia que as 3 amigas pagaram corresponde ao total do preço do almoço? Se teparecer que houve engano, procura encontrar uma justificação para o ocorrido erelata-a.

• Quanto dinheiro vai ter que dar a Maria a cada uma das amigas?

5


Os alunos podem começar por calcular quanto é que cada amiga devia ter pago pelo almoço se aMaria não tivesse esquecido a carteira em casa. Irão verificar que não é possível arranjar moedas paradividir 30,50 euros igualmente por 4. Assim se justifica terem optado por 31 euros, quantia que jápermite a partilha igual.

Em seguida, calculam o que cada amiga deu a mais para pagar o almoço da Maria. Os alunos vãoconcluir que a Maria terá que dar 2,25 euros à Inês, 3,75 euros à Daniela e 1,75 euros à Ana. É provávelque surjam estratégias diferentes de resolução do problema, pelo que o professor deve permitir que osalunos as discutam. Muitos alunos, provavelmente, irão trabalhar com milésimas, não percebendo quena prática não é possível considerar esses valores por não existirem moedas que o permitam.


6

Escola __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Nome _______________________________________________________________________________________________________________ Turma __________________ N.o __________________


Números à moda do «Antigo Egipto»No «Antigo Egipto», há cerca de 4000 anos, os sinais que se utilizavam para represen-

tar números eram diferentes dos nossos. Eram os seguintes:

Os egípcios tanto escreviam da esquerda para a direita como da direita para aesquerda ou ainda de cima para baixo.

Assim, por exemplo, o número 265 pode ser escrito na seguinte maneira:

1. Escreve os seguintes números em hieróglifos (sinais egípcios):

83 421 1205

2. Na nossa maneira de escrever os números, para multiplicar por 10 basta acrescentarum zero no final do número. E na maneira de escrever dos egípcios, existirá algumaregra para multiplicar por 10?

3. Imagina que eras um escriba egípcio e querias ensinar os teus aprendizes a multipli-car por dez. Explica como o farias.

106100 00010 0001000100101

Número Número multiplicado por dez

6


Esta tarefa situa-se na área dos números. A sua realização pode contribuir para que os alunosmelhorem o seu conhecimento dos números. Operando num sistema de numeração não posicional, osalunos desenvolvem um melhor conhecimento do sistema de numeração que usam (posicional).

Sugere-se ao professor que comece por orientar uma leitura conjunta da tarefa, colocando questõesno sentido de se certificar que todos os alunos compreendem as informações que lhes são dadas porescrito, nomeadamente as que se referem ao modo como se multiplicava no «Antigo Egipto».

Sugere-se ainda o desenvolvimento da ideia que os símbolos podem ser escritos no modo que maisnos agrade, uma vez que o seu valor não depende da posição que ocupam na representação do número.

Embora hajam indícios de que os egípcios escreviam frequentemente da direita para a esquerda, poruma questão de simplicidade, optamos por escrever os símbolos da esquerda para a direita.No entanto, os alunos podem ser desafiados a representar os números, escrevendo da direita paraesquerda. Neste caso, alguns símbolos devem ser substituídos pelos seus simétricos, por exemplo, osímbolo fica .

É provável que alguns alunos sintam curiosidade em conhecer outros aspectos relativos a este siste-ma de numeração. O professor deve aproveitar essa curiosidade, incentivando-os a fazerem uma inves-tigação sobre este tema.

Com a realização desta tarefa, sobre História da Matemática, pretendemos que os alunos se aperce-bam que a Matemática não é uma ciência estática, isto é, houve outras maneiras de escrever os núme-ros e outros modos de fazer contas, e os algoritmos que hoje utilizamos, e que consideramos os melho-res, não serão mais que «curiosidades dos antigos» num futuro talvez não muito distante.


7

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Contas à moda do «Antigo Egipto»Para multiplicar, os egípcios também não faziam como nós. Não usavam tabuada,

apenas somavam os números.

Repara como multiplicavam 13 por 6:

• escreviam o número 13 e um 1, para indicar que só está uma vez;

• na linha seguinte, escreviam 26, que é o dobro de 13, e um 2;

• na linha seguinte, escreviam 52, que é o dobro de 26, e um 4para indicar que 52 corresponde a somar 13 quatro vezes;

• e não continuavam porque o dobro do quádruplo de 13 corres-ponde a 8 × 13 que é maior do que 6 × 13.

O produto de 13 por 6 é 78. Este valor obtém-se somando 52 (dalinha do 4) com 26 (da linha do 2). Repara que 6 é a soma de 4 com 2.

1326

52

78

12

4

6

Mas os escribas egípcios não usavam os nossos números. Repara então como semultiplica 32 por 12, usando hieróglifos, e completa a sua tradução para a nossamaneira de escrever.

À moda do «Antigo Egipto», tenta agora multiplicar 25 por 17.

1

12

32

64

7


Esta tarefa só deve ser realizada depois da tarefa anterior. As sugestões são as mesmas das doproblema «Números à moda do «Antigo Egipto».


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Sequências de números1. Tenta descobrir a regra que permite passar de um número para o outro nas seguintes

sequências numéricas.Escreve os próximos dois números de cada uma das sequências.

A. 5 8 11 14 …… ……

B. 0,4 1,1 1,8 2,5 …… ……

C. 29 24 19 14 …… ……

D. 99 88 77 66 …… ……

E. 0,2 0,4 0,8 1,6 …… ……

F. 160 80 40 20 …… ……

G. 3 9 27 81 …… ……

H. 6 60 600 6000 …… ……

I. 6 9 8 11 10 13 …… ……

J. 60 180 90 270 …… ……

2. O Joaquim começou a escrever um livro. Durante a primeira semana escreveu10 páginas. Durante a segunda semana escreveu mais 6, ficando com um total de16 páginas. No fim da terceira semana tinha 23 páginas escritas e no final da quarta31. Se ele continuar a escrever neste ritmo, quantas páginas terá o livro no final dasétima semana?

8


Uma sequência é uma sucessão de números ou de desenhos em que está subjacente uma ordem euma lei de formação identificável a partir do conhecimento de alguns termos. O trabalho com sequên-cias numéricas permite desenvolver a sensibilidade para os números e o raciocínio algébrico.

Os alunos tomam contacto desde muito cedo com sequências numéricas. Aprendem a sequência dosnúmeros naturais, dos inteiros positivos, dos pares, dos ímpares, dos múltiplos, etc. Limitar o seuconhecimento unicamente a estas sequências torna-se bastante redutor. Esta tarefa pretende alargar oconhecimento dos alunos nesta área.

Nas sequências de números aqui propostas, os alunos não terão dificuldade em descobrir a sua leide formação, a partir de um certo número de termos.

Na primeira questão, os alunos devem aperceber-se que para passar de um termo para o seguinte,utilizam as seguintes regras:

A. Adicionar 3.

B. Adicionar 0,7.

C. Subtrair 5.

D. Subtrair 11.

E. Multiplicar por 2.

F. Dividir por 2.

G. Multiplicar por 3.

H. Multiplicar por 10.

I. Adicionar 3 e subtrair 1, alternadamente.

J. Multiplicar por 3 e dividir por 2, alternadamente.

Depois de todos os alunos, em pares ou grupos, terem resolvido a tarefa, o professor deve criar umespaço de discussão e apresentação das conclusões dos alunos. Durante esta discussão, o professorpode aproveitar a correcção de cada uma das sequências para aprofundar o conhecimento dos números.Por exemplo, na primeira sequência pode questionar os alunos, contribuindo para que eles se aper-cebam que a sequência é constituída por números ímpares e pares que se sucedem alternadamente,pelo facto de se estar a adicionar um número ímpar.

Na segunda questão, terão de ser os próprios alunos a construir a sequência e perceber a regra deformação implícita, obtendo como resposta 61 páginas.

Prolongamento

Como prolongamento desta actividade, o professor pode propor aos alunos que criem sequênciasnuméricas para que a regra seja descoberta pelos seus colegas. Este trabalho deverá desenvolver-seem grupo.


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Sequências de figuras1. Observa a representação dos três primeiros números quadrados:

2. Continua a seguinte sequência:

3. Como decorarias o quarto cubo de forma a completar a sequência?

Desenha as duas figuras seguintes.

9


Uma sequência é uma sucessão de números ou de figuras a que está subjacente uma ordem e umalei de formação identificável a partir do conhecimento de alguns termos. O trabalho com sequências defiguras permite desenvolver nos alunos a capacidade de visualização e o raciocínio geométrico.

Os alunos tomam contacto desde muito cedo com sequências geométricas. Esta tarefa pretendealargar o seu conhecimento nesta área. Nas sequências de figuras aqui propostas, os alunos poderãodescobrir facilmente a sua lei de formação, a partir de um certo número de termos.

Na primeira questão, os alunos deverão aperceber-se que para construir uma figura têm deacrescentar uma linha e uma coluna de pontos à figura anterior. Assim, a quarta figura é formadapor 16 pontos e a quinta por 25.

Caso os alunos já tenham trabalhado o conceito de potência, o professor pode relacionar estasequência com a dos quadrados perfeitos.

Relativamente às questões 2 e 3, os alunos devem chegar às seguintes soluções.

Prolongamento

Na primeira questão, caso os alunos nunca tenham ouvido falar de números figurados (triangulares,quadrangulares, pentagonais...), o professor poderá introduzir esta temática, se achar conveniente.


1 0

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Vistas de um edifícioA figura representa a vista do lado direito de um edifício.

Quais das vistas, representadas a seguir, podem ser a vista da frente do edifício?

Material: 15 cubinhos e uma folha de papel ponteado isométrico, por grupo.


10

Se os alunos nunca trabalharam com vistas, o professor deve começar por fazer uma construçãocom alguns cubinhos, como por exemplo a da figura seguinte (formada por 9 cubinhos), e explicar aosalunos o que se entende por vista de frente e vista do lado direito.

O professor pode pedir aos alunos que representem as vistas em papel quadriculado. Poderáainda explicar como se representa esta construção em papel ponteado isométrico, recorrendo aoretroprojector.

Depois de os alunos terem compreendido o que são as vistas de uma construção, o professor devedistribuir, a cada grupo, uma folha com o problema e 15 cubinhos.

É natural que cada grupo faça uma construção diferente para cada uma das vistas. O professor devedistribuir uma folha de papel ponteado isométrico, a cada grupo, para registo das construções que vãofazendo, uma vez que, na discussão em grande grupo, vai ser necessário reproduzir todas as constru-ções. Convém que o professor esteja atento e verifique se os desenhos que os alunos fazem no papelcorrespondem às construções efectuadas, antes de estas serem desfeitas.

O professor deve reservar tempo para cada grupo poder apresentar as suas construções e descrevê-lasaos outros grupos, promovendo, deste modo, a discussão sobre a validade de cada uma das construções.



O Sr. José está a decorar o tampo da mesa do jardim com azulejos, porque quando otempo está bom, ele, a mulher e os seus quatro filhos gostam de comer no jardim.

Para cobrir completamente o tampo da mesa, o Sr. José colocou 32 azulejos. Cadaazulejo tem de área 360 cm2.

Faz um esboço da mesa indicando as suas medidas e diz se a família do Sr. José podealmoçar nela confortavelmente, sabendo que cada pessoa ocupa, no mínimo, um espaçode 50 cm.

1 1

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A mesa do jardim


11

Para resolver este problema, a opção por uma estratégia mista, recorrendo a esquemas e cálculo, facilita a suavisualização. Neste problema, os alunos devem trabalhar, a pares ou em grupo de mais elementos, para poderemdiscutir entre si que estratégia adoptar. Podem começar por estudar as medidas possíveis dos azulejos, ou se pre-ferirem pensar primeiro nas várias hipóteses de dispor os 32 azulejos na mesa. Mas também podem começar porcalcular a área da mesa, ou ainda o perímetro mínimo que esta deve ter para que toda a família se possa sentarconfortavelmente.

O estudo das hipóteses de medidas dos azulejos pode ser feito a dois níveis: os alunos podem recolherinformações sobre o tipo de medidas existentes no mercado e trabalhar a partir daí, ou podem fazer umestudo das medidas possíveis, no plano teórico, sendo conduzidos a uma infinidade de hipóteses. O professordeve levar os alunos a reflectirem sobre a inviabilidade de muitas dessas hipóteses, eliminando à partidaos azulejos cujas medidas lhes pareçam pouco reais, como por exemplo, azulejos de dimensões 1 × 360,2 × 180, etc. Poderão usar o seu senso comum sobre a forma quadrada da maior parte dos azulejos e con-siderar apenas três casos de medidas possíveis para os azulejos: 18 × 20, 16 × 22,5 e 15 × 24.

Quanto à disposição dos azulejos na mesa, os alunos não terão dificuldade em encontrar as três for-mas possíveis de dispor os 32 azulejos: 1 × 32, 2 × 16 ou 4 × 8. Pondo de parte a primeira hipótese, porse apresentar pouco real, podem fazer esboços das outras duas disposições possíveis.

Falta apenas saber quais as dimensões mínimas que deve ter a mesapara que as seis pessoas da família se possam sentar confortavelmente.

Uma das soluções possíveis, traduzida no esquema representado aolado, permite concluir que a mesa deve ter um comprimento igual ousuperior a 1 metro e a sua largura não pode ser inferior a 50 centímetros.

A partir daqui, os alunos podem calcular a largura e o comprimento da mesa, para cada uma dasmedidas de azulejos que consideraram viáveis, eliminando os casos em que a família do Sr. José nãose pode sentar confortavelmente. Vejamos algumas das conclusões a que os alunos podem chegar,pendando na mesa de 4 × 8 azulejos:

Os alunos vão obter mesas com diferentes dimensões, dependendo das medidas dos azulejos esco-lhidas e da sua disposição. O professor deve criar um espaço para que os alunos possam apresentar assuas estratégias de resolução do problema e os resultados a que chegaram, aproveitando todas asoportunidades que possam surgir para discutir a plausibilidade de algumas opções e soluções.


Azulejos de 18 cm × 20 cm:Comprimento da mesa: 144 cmLargura da mesa: 80 cmNesta mesa a família do Sr. Josépode almoçar confortavelmente.

Azulejos de 15 cm × 24 cm:Comprimento da mesa: 120 cmLargura da mesa: 96 cmA família do Sr. José pode almo-çar nesta mesa confortavel-mente.

Azulejos de 36 cm × 10 cm:Comprimento da mesa: 288 cm Largura da mesa: 40 cm Podem sentar-se 5 pessoas ao comprimentoda mesa mas nenhuma na largura. Este éum exemplo que o professor pode aproveitarpara discutir com os alunos se é provávelexistir uma mesa assim.


1 2

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Os professores da escola do João decidiram levar ao teatro os 215 alunos que frequen-tam o 6.o ano. Para organizar a ida ao teatro foi necessário pensar no número de profes-sores que iria acompanhar os alunos e no número de autocarros que era preciso alugar.

Por cada grupo de 10 alunos vai um professor a acompanhá-los. Em relação aos auto-carros existem várias hipóteses. A figura seguinte mostra o número de lugares de cadaautocarro.

Quais os autocarros a alugar de modo a ficar o menor número possível de lugaresvagos?

A visita de estudo


12

No início, o professor deve deixar os alunos desenvolverem a sua própria estratégia de resolução doproblema. Deve contudo estar atento ao cálculo do número de professores acompanhantes, pois algunsalunos poderão não considerar 22 professores.

Se o professor notar dificuldade em alguns alunos na organização dos dados, pode propor-lhes aconstrução de uma tabela, com todos os casos possíveis. Se esta dificuldade for comum à maiorparte dos alunos da turma, o professor poderá propor a construção da tabela, em grande grupo,registando-a no quadro. Em seguida deve dar algum tempo para que os alunos a preencham.

Vejamos o exemplo de uma possível tabela a ser trabalhada pelos alunos:

Depois de preenchida a tabela, a sua análise permite aos alunos concluir de que a hipótese queconduz a menos lugares vagos é a de três autocarros de 55 lugares e um de 73 lugares.

O professor deve incentivar os alunos a certificarem-se de que esta é realmente a melhor solução,uma vez que qualquer outra hipótese terá mais lugares vagos.

Prolongamento

O professor pode atribuir preços ao aluguer de cada autocarro e debater com os alunos qual a hipó-tese mais económica, o que provavelmente não irá coincidir com a solução anterior pois o preço dosautocarros não é directamente proporcional ao número de lugares.


N.o de autocarros de cada tipo

73

55

44

N.o de lugaresvagos

4

0

0

55

3

1

0

37

3

0

1

26

2

2

0

19

2

1

1

8

1

3

0

1


1 3

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• Quantos rectângulos de diferentes tamanhos consegues contar na figura abaixo?

• E se a figura for formada por cinco pequenos rectângulos? E por dez? E por vinte?

Contando rectângulos


13

Esta tarefa tem como finalidade desenvolver, nos alunos,as suas capacidades de observação, de organização e de sis-tematização. Numa primeira fase é importante perceber seos alunos compreendem o que é pedido. Muitos alunos fica-rão, provavelmente, satisfeitos com a resposta: 4 rectângu-los. Cabe ao professor ajudá-los a perceber que, nesta figura,é possível contar mais rectângulos e que será importante iremorganizando as suas contagens de rectângulos de diferentestamanhos. Podem fazê-lo como consta na tabela 1.

Caso os alunos comecem a fazer contagens de forma desorganizada,não conseguindo perceber o sentido do que estão a fazer, o professordeve questioná-los de forma a que sintam a necessidade de organizaremos dados. Deve solicitar aos alunos que comecem por desenhar rectângu-los constituídos por 1, 2, 3 e 5 rectângulos pequenos, contando o númerode rectângulos de diferentes tamanhos existente em cada um deles.A organização dos dados, que vão obtendo nas suas contagens, numatabela como a tabela 2, vai permitir aos alunos conjecturar quantos rec-tângulos de diferentes tamanhos existem em rectângulos maiores.

O professor pode formular questões que permitam uma melhor compreensão da tabela. Por exemplo:• Qual a regra de obtenção da sequência do número total de rectângulos?• Quantos rectângulos existem no rectângulo constituído por 7 rectângulos pequenos?• Se existirem 120 rectângulos no rectângulo formado por 15 pequenos rectângulos, quantos exis-

tem no de 16 (136)? E no de 14 (105)?• Que adição deverá ser feita para obter os rectângulos que se podem contar no rectângulo formado

por 10 pequenos rectângulos?• Haverá uma maneira rápida para calcular a soma de números inteiros consecutivos?Poderá ser oportuno o esquema prático descoberto por Gauss para calcular a soma de números

inteiros consecutivos:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ou 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11

11 1211 1211 1211 1211 12

A soma dos 10 primeiros números inteiros consecutivos é 55 (5 × 11).A soma dos 11 primeiros números inteiros consecutivos é 66 (5 × 12 + 6).Compreendida a lei de formação da sequência do número total de rectângulos de diferentes tamanhos,

os alunos não terão dificuldade em calcular, quer pelo processo de Gauss, quer utilizando a calculadora, ououtro processo que descubram, o número de rectângulos contido num rectângulo formado por20 pequenos rectângulos (1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 = 10 × 21 = 210).


Resolver Problemas Mat_6

Númerode

rectângulos

Total de rectângulos

4

3

2

1

10

Tipode rectângulo

4 rectângulos

5 rectângulos

6 rectângulos

…

10 rectângulos

…

Adição

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

Total derectângulos

1

3

6

10

Tabela 2

Tabela 1


1 4

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No Japão, o chão é normalmente coberto por esteiras com duas unidades de compri-mento por uma de largura, denominadas tatami.

A figura seguinte representa um corredor, de uma casa, coberto com cinco tatamis.

• De quantas maneiras diferentes podemos cobrir este corredor com tatamis? (Contaos pares de desenhos simétricos, como dois desenhos diferentes.)

• De quantas maneiras diferentes podes cobrir um corredor, com a mesma largura doanterior, mas onde caiba 1 tatami? 2 tatamis? 3 tatamis? 10 tatamis?Regista os dados que fores obtendo numa tabela e tira conclusões.

Tatami


O desenvolvimento desta tarefa poderá tornar-se mais fácil se for fornecido material aos alunos– pequenos rectângulos cujo comprimento seja o dobro da largura – de forma a estes poderem testarcom facilidade as diferentes hipóteses de disposição dos tapetes. O professor deve clarificar com osalunos o que se entende por desenhos simétricos.

Depois de alguns grupos terem descoberto as 8 maneiras diferentes de cobrir o corredor com os 5 tatamis,o professor deve promover uma discussão com toda a turma, no sentido de serem partilhadas as estra-tégias usadas na procura dessas soluções. Nesta discussão, os alunos devem compreender a importânciade procederem a uma organização e representação sistemática das suas soluções, no sentido de terem acerteza de que obtiveram todas as hipóteses possíveis.

Tendo compreendido a estratégia adoptada para descobrir todas as hipóteses de dispor os 5 tatamis,os alunos podem proceder a uma investigação sistemática acerca do número de hipóteses possíveis dedispor 1, 2, 3, ..., 10 tatamis.

O professor deve incentivar os alunos a procederemao registo sistemático dos resultados da sua investiga-ção, no sentido de tornar mais acessível a análise dosmesmos. Estes registos podem ser feitos numa tabela dotipo da que se apresenta ao lado.

Quando os alunos descobrirem o número de hipóte-ses para tapar o corredor com 6 tatamis, o professordeve sugerir-lhes que parem e observem atentamente osregistos que já efectuaram na tabela, tentando que des-cubram uma forma de determinar o número de hipótesessem ser necessário experimentar ou desenhar todas.

Através da análise da tabela, alguns alunos descobrirão, com relativa facilidade, a lei de forma-ção da sequência do número de hipóteses de dispor uma determinada quantidade de tatamis, ou seja,adicionar os números de hipóteses dos dois casos anteriores.

Depois de terem descoberto a lei de formação da sequência, o professor pode sugerir-lhes que veri-fiquem se ela é válida para o caso do corredor com 7 tatamis.

O número de hipóteses para a disposição de 8 tatamis tornar-se-á então simples de calcular, bas-tando adicionar os números 13 e 21, correspondentes a 6 e 7 tatamis, respectivamente. Para determi-narem o número de hipóteses para 9 e 10 tatamis, os alunos podem usar o mesmo procedimento, che-gando a 55 e 89, respectivamente, e podem até determinar o número de hipóteses para corredores commais de 10 tatamis.

A sequência do número de hipóteses de arranjar tatamis é a sequência de Fibonacci. O professor podemaproveitar para falar aos alunos desta sequência, informando-os que ela lhes irá surgir noutras situações.

14 Sugestões para o professor

Número de tatamis

1

2

3

4

5

6

7

…

10

Número de hipóteses

1

2

3

5

8

13

...


1 5

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Jogo do NimNúmero de jogadores: 2

Material: 20 peças (feijões, botões, etc.)

Regras:

1.o Tirar à sorte quem é o primeiro a jogar.

2.o Cada jogador, na sua vez, retira 1, 2 ou 3 peças.

3.o Ganha o jogador que tirar a última peça.

Descobre uma estratégia ganhadora.(Para perceberes melhor o jogo podes começar por jogá-lo com um menor número depeças.)


15

Este jogo, tal como muitos outros, permite criar um ambiente de carácter lúdico onde, para respondera um desafio, é necessário combinar raciocínio, reflexão e procura de estratégias. Além disso, pode ser-vir ainda para trabalhar múltiplos e ser um ponto de partida para uma actividade de investigação.

O professor deve começar por jogar com um aluno. Pode usar o retroprojector para que todos os alu-nos da turma acompanhem o jogo e compreendam as suas regras. Nesta fase experimental, o professordeve conduzir o jogo de modo a ser sempre o vencedor, para que os alunos se apercebam que não setrata de um jogo de sorte ou azar, mas sim de um jogo em que existe uma estratégia ganhadora.

Em seguida, os alunos devem jogar entre eles para treinarem a sua mecânica. Depois desta primeirafase, que não deverá ultrapassar os 10 minutos, o professor sugere aos alunos que descubram a estra-tégia que permite ganhar sempre o jogo.

Deve reforçar a ideia de que obtêm uma melhor percepção do jogo se começarem por jogar com ummenor número de peças, por exemplo, cinco peças. O professor deve ainda referir a importância doregisto de todas as jogadas, sem o qual será difícil proceder à sua análise e tirar conclusões. Após arealização de alguns jogos, os alunos podem concluir que ganha o primeiro jogador se ele só retirar umapeça, deixando quatro peças ao seu adversário. Para verificarem a validade das suas conclusões, os alu-nos devem jogar de novo mas agora com um número de peças superior, tendo o cuidado de registar as suasjogadas, por exemplo, numa tabela.

Seria óptimo que os alunos descobrissem que podem ganhar o jogo se, na sua vez de jogar, conse-guirem retirar um número de peças de forma a deixarem sempre, ao adversário, um número de peçasmúltiplo de 4.

Esta estratégia ganhadora equivale, no caso em que o jogo se inicia com um número de peças múlti-plo de 4, a retirar um número de peças que, adicionado ao número de peças retiradas pelo adversáriona jogada anterior, dê quatro. Nos casos em que o jogo se inicia com um número de peças que não émúltiplo de 4, o jogador deve retirar um número de peças que lhe permita deixar ao adversário umnúmero de peças múltiplo de 4.

Caso ninguém descubra a estratégia ganhadora, o professor pode voltar a jogar de novo, noretroprojector, com as 20 peças e registar as jogadas numa tabela.


Neste jogo ganhou o professor pelo facto de ter retirado as duas últimas peças.

Prolongamento

O professor pode modificar os dados e as regras do jogo, criando um novo desafio.

Jogadas

1.a

2.a

3.a

4.a

5.a

Aluno

1

3

2

3

2

Professor

3

1

2

1

2

N.o de peças

20

16

12

8

4

0

Armando Solheiro

6.º ano

C I L I N D R O D E R E V O L U Ç Ã O • C Í R C U L O

Matemática 2

Q u e m é q u e m ?

Faz a correspondência entre as imagens e as respectivas legendas:

CC

Círculo

Raio

Centro

Diâmetro

Arco

Semicircunferência

Corda

C I L I N D R O D E R E V O L U Ç Ã O • C Í R C U L O

Matemática 3

P l a n i f i c a ç ã o d o c i l i n d r o

Assinala, com uma cruz, aquelas que não são planificações de um cilindro (considera � = 3,14):

15,7 cm

7,5 cm

5 cm

5 cm

15,7 cm

7,5 cm

5 cm

5 cm

15,7 cm

5 cm

5 cm

6,28 cm

15,7 cm

2 cm 2 cm

7,5 cm

15,7 cm

5 cm 5 cm

15,7 cm

5 cm

5 cm

P a v i m e n t a ç õ e s

Continua este mosaico:

Podes inventar outros mosaicos e fazer mais pavimentações, usando o papel quadriculado da página 13.

O P E R A Ç Õ E S C O M N Ú M E R O S R A C I O N A I S A B S O L U T O S

• A D I Ç Ã O , S U B T R A C Ç Ã O E M U L T I P L I C A Ç Ã O

Matemática 4

M o s a i c o m a t e m á t i c o

Pinta os hexágonos que representam números maiores do que 1 e, com outra cor, pinta os hexágonosque representam números menores do que 1.

O P E R A Ç Õ E S C O M N Ú M E R O S R A C I O N A I S A B S O L U T O S

• A D I Ç Ã O , S U B T R A C Ç Ã O E M U L T I P L I C A Ç Ã O

Matemática 5

H e x á g o n o d o s t r i â n g u l o s

Usando as seguintes fracções:

P o t ê n c i a s e m q u a d r a d o s

Completa:

completa a figura, de modo a que os lados dos triângulos adjacentes representem fracções equivalentes.

�12

� ; �76

� ; �164� ; �

64

� ; �192� ; �

1102� ; �

15

� ; �13

� ; �255� ; �

95

� ; �43

� ; �56

� ; �32

� ; �87

� ; �135� ; �

48

� ; �34

� ; �73

�

=

=

=

=

=

=

X X

=

=

=

=

=

=

X

X X X

X

X

X

X

X

X

X

�18

�

�32

�

�23

�

�53

�

��12

��3

��172��

2

��160��

2

S I M E T R I A S • T R I Â N G U L O S E Q U A D R I L Á T E R O S

Matemática 6

S i m e t r i a s

Desenha, em cada caso, a figura simétrica relativamente ao eixo traçado.

O c r u c i g r a m a d o s t r i â n g u l o s

Resolve o crucigrama.

1. Triângulo com todos os ladosiguais.

2. Triângulo com todos os ângu-los agudos.

3. Triângulo com todos os ladosdiferentes.

4. Triângulo com um ângulo recto.

5. Triângulo com um ângulo ob-tuso.

6. Triângulo com dois lados iguais.

MM M

1.

3.

4.

6.

2.

T

R

I

Â

N

G

U

L

O

5.

S I M E T R I A S • T R I Â N G U L O S E Q U A D R I L Á T E R O S

Matemática 7

Q u a d r i l á t e r o s : q u e m é q u e m ?

Completa a legenda das figuras, recorrendo às etiquetas, como ilustrado na primeira figura.

A E

Lados iguais 2 a 2Ângulos iguais 2 a 2B

2 lados paralelos2 lados não paralelos iguais

F

2 lados paralelosJ

C

Trapézio rectângulo

Losango

2 lados paralelos2 ângulos rectosG

K

4 lados iguaisÂngulos iguais 2 a 2

Trapézio isóscelesD

H

ParalelogramoL

A

E

I

4 lados iguais4 ângulos iguais

Trapézio escaleno

Quadrado

E l e m e n t o i n t r u s o

Em cada grupo de quatro triângulos, há um que não pode ser represen-tado – este é o elemento intruso. Quando o descobrires, pinta-o de umacor à tua escolha.Dentro de cada triângulo, encontram-se as medidas dos seus lados.

Por exemplo, o triângulo encontra-se representado ao lado.3; 4; 5

3 cm 5 cm

4 cm

3; 4; 5 3; 3; 3

3; 4; 3 3; 3; 7

4; 5; 3 5; 4; 3

5; 4; 7 3; 2; 7

2; 2; 2 2; 4; 5

3; 2; 5 2; 3; 2

2; 1; 1 3; 2; 3

1; 1; 1 2; 3; 4

Para resolvereseste passatempo,usa uma régua, umcompasso e o pa-pel ponteado dapágina 12.

D I V I S Ã O E M U L T I P L I C A Ç Ã O

Matemática 8

O p e r a ç õ e s c r u z a d a sCompleta a tabela:

O t a l ã o e m b r a n c o

A Ana foi ao mercado ABC comprar fruta paraa sua avó.

Tendo em conta a tabela de preços acima,completa o talão de compra da Ana, que seencontra ao lado.

:

:

×

× =

===

=

×:

=

★MercadoABC

Laranjas30,50/kg

Bananas31,50/kgMaçãs

31,00/kgAnanás34,00/kg

�56

�

�86

�

�12

� �25

�

�12

�

FRUTA

Mercado ABC

Laranjas800 g . . . . . . . . . 3____,____

Bananas500 g . . . . . . . . . 3____,____

Maçãs1200 g . . . . . . . . 3____,____

Ananás1350 g . . . . . . . . 3____,____

TOTAL: 3____,____

P R O P O R C I O N A L I D A D E D I R E C T A • E S T A T Í S T I C A

Matemática 9

C a r r o s e c o n s u m o s

O pai do António (carro A) e o pai do Bruno (carro B), far-tam-se de viajar.Os seus carros têm consumos diferentes:

• Carro A: consome 5 litros em cada 100 quilómetrospercorridos.

• Carro B: consome 7,5 litros em cada 100 quilómetrospercorridos.

Identifica, com A ou B, os círculos correspondentes aoconsumo de cada um dos carros, tendo em conta os qui-lómetros percorridos, e une-os com segmentos de recta.

800 km60 �

300 km15 �

300 km22,5 �

125 km6,25 �

180 km13,5 �

500 km25 �

P e r c e n t a g e n s

S o p a d e l e t r a s

Para descobrires a palavra escondida, tens de colo-car as barras, que se encontram ao lado, por ordemcrescente (de percentagens).Escreve também a percentagem na caixa abaixo decada barra.Para fazeres este exercício, usa o papel quadri-culado da página 13.

• Matemática

• Certo

• Impossível

• Moda

• Dados

• Estatística

• Possível

• Provável

• Média

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

TÍS ES TA TICA

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

Q

W

S

O

D

A

D

E

D

R

M

P

E

O

H

D

L

C

X

A

F

L

R

S

P

O

D

E

J

T

I

K

A

O

C

M

Z

R

V

I

O

D

I

M

V

O

I

T

U

Í

F

Z

É

C

O

Á

L

O

L

I

S

L

B

M

O

R

V

A

C

I

T

S

Í

T

A

T

S

E

N

I

M

P

O

S

S

Í

V

E

L

A

R

M

L

P

M

A

R

S

O

L

Procura, em todos os sentidos, os seguintes termos relacionados com a Estatística.

Á R E A S E V O L U M E S

Matemática 10

G e o p l a n o

Como podes observar, é possível representar várias figuras equivalentes usando um geoplano.

Copia as figuras anteriores para o geoplano da página 14 e descobre mais figuras equivalentes às dadas.

P ó d i o d o s v o l u m e s

Coloca as seguintes caixas no pódio, ficando em primeiro lugar a que tiver maior volume e assim sucessi-vamente.

B

8 cm

5 cm

5 cm

A8 cm

6 cm

C

6 cm

1.º

2.º

3.º

N Ú M E R O S I N T E I R O S R E L A T I V O S • A D I Ç Ã O E S U B T R A C Ç Ã O

Matemática 11

L a b i r i n t o r e l a t i v o

Liga, com , todos os números, do menor para o maior:

À s v o l t a s c o m o s n ú m e r o s

Completa:

M a i o r e m e n o r

Completa com os símbolos � ou � :

–25

–20

–7

–3

–13

–17

–5

–2

5

–8

–1

0

6

14

25

2

12 –5

0

– 10– 10 – 5– 5 + 10+ 10

– 1– 1+ 8+ 8

+ 4+ 4 – 1– 1

–2

5

8 –1–3

2

1

0

3

–912

–6 –5–4

P A P E L P O N T E A D O

Matemática 12

P A P E L Q U A D R I C U L A D O

Matemática 13

G E O P L A N O

Matemática 14

Quem é quem? (pág. 2)

Planificação do cilindro (pág. 3)

Pavimentações (pág. 3)

Mosaico matemático (pág. 4)

Hexágono dos triângulos (pág. 5)

Por exemplo:

Potências em quadrados (pág. 5)

Simetrias (pág. 6)

O crucigrama dos triângulos (pág. 6)

Quadriláteros: quem é quem? (pág. 7)

S O L U Ç Õ E S

Matemática 15

Círculo

Raio

Centro

Diâmetro

Arco

Semicircunferência

Corda

CC

15,7 cm5 cm

5 cm

7,5 cm15,7 cm

5 cm 5 cm

15

3

4

31

2

4

8 7

3

8

7

5

25 3

4

5

6

1

3 6

4

12

93

2

7

61

5

14

6

10

129

5

� � 31�2

1�2

1�2

1�2

7�12

3�2

3�2

3�2

3�2

2�3

2�3

2�3

2�3

2�3

10�6

10�6

7�12

5�3

5�3

5�3

49�144

25�9

1�8

81�16

32�243��

23

��5

� �210�6

��53

��3

� �27�12

� � 43�2

�12275

�

=

=

=

=

=

=

X X

=

=

=

=

=

=

X

X X X

X

X

X

X

X

X

X

1.

3.

4.

6.

2.

T

R

I

Â

N

G

U

L

O

U L

N

O

U

S

E S

Â

L O

N G U L O

G U L

Á T E R O

OTUC

ACSE

R E C T

O

SÓSI C

B T

E

Â N

L E

A

QE

5.

A E C H B L I J D F G K

– =

+ =1 12 4

34

54

110

56

76

338

37

16

12

813

1718

1615

1910

25

73

712

2839

1415

14

+ =1 46 6

+ =1 22 3

+ =2 18 3

+ 2 =1 3

7 73 5

– =4 83 13

– =6 67 14

1 – = 6 10

– =1 12 4

– =1 22 5

– =12 15 2

– =10 72 8

– =6 110 10

+ =9 715 15

+ =7 213 26

– =3 12 4

– =2 13 2

+ =1 76 9

MM MM MM

AA

A

BB

B

800 km60 �

300 km15 �

300 km22,5 �

125 km6,25 �

180 km13,5 �

500 km25 �

Elemento intruso (pág. 7)

Operações cruzadas (pág. 8)

O talão em branco (pág. 8)

Laranjas (800 g) → ¤ 0,40; Bananas (500 g) → ¤0,75;Maçãs (1200 g) → ¤1,20; Ananás (1350 g) → ¤5,40;Total → ¤7,75.

Carros e consumos (pág. 9)

Percentagens (pág. 9)

Sopa de letras (pág. 9)

Geoplano (pág. 10)

Pódio dos volumes (pág. 10)

1.º lugar – caixa A; 2.º lugar – caixa C; 3.º lugar – caixa B.

Labirinto relativo (pág. 11)

Às voltas com os números (pág. 11)

Maior e menor (pág. 11)

–2

5

8 –1–3

> >>

2

>

<

1

0

3

–9

<

>

12

–6 –5–4

S O L U Ç Õ E S

Matemática 16

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

Q

W

S

O

D

A

D

E

D

R

M

P

E

O

H

D

L

C

X

A

F

L

R

S

P

O

D

E

J

T

I

K

A

O

C

M

Z

R

V

I

O

D

I

M

V

O

I

T

U

Í

F

Z

É

C

O

Á

L

O

L

I

S

L

B

M

O

R

V

A

C

I

T

S

Í

T

A

T

S

E

N

I

M

P

O

S

S

Í

V

E

L

A

R

M

L

P

M

A

R

S

O

L

12 2

– 1

–5

03

– 10

– 2

0

1

– 7 – 7 – 10– 10 – 5– 5 + 10+ 10

– 1– 1+ 8+ 8– 5– 5– 3– 3+ 9+ 9

– 3– 3+ 2+ 2+ 4+ 4 – 1– 1

0%

10%

10% 30% 50% 70% 90%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

TÍSES TA TI CA

–25

–20

–7

–3

–13

–17

–5

–2

5

–8

–1

0

6

14

25

2

3; 4; 5 3; 3; 3

3; 4; 3

4; 5; 3 5; 4; 3

5; 4; 7

2; 2; 2 2; 4; 5

2; 3; 2

3; 2; 3

1; 1; 1 2; 3; 4

�56

�

�35

� �86

� �45

�

�12

� �25

��54

�

�53

� �12

�:

:

×

× =

===

=

×:

=

Documents

Caderno Apoio Par Passo