CADERNO DIDÁTICO DE SISTEMAS DE CONTROLE 1 - Prof. Hélio Leães Hey

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM CENTRO DE TECNOLOGIA - CT DEPARTAMENTO DE ELETRNICA E COMPUTAO - DELC

PROJETO REENGE - ENG. ELTRICA

CADERNO DIDTICO DE SISTEMAS DE CONTROLE 1

ELABORAO: Prof. Hlio Lees Hey, Dr. Eng. DIGITAO: Patrick , bolsista

AGOSTO - 1997

APOSTILA DE SISTEMAS DE CONTROLE 1 NDICE CAPTULO 1 - GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE1.1- INTRODUO ___________________________________________________________ I-1 1.2- DEFINIES BSICAS ___________________________________________________ I-1 1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA___________________ I-2 1.3- CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE __________________________ I-3 1.4- COMENTRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA _____________ I-4

CAPTULO 2 - REVISO MATEMTICA2.1- INTRODUO ___________________________________________________________ II-1 2.2- DEFINIO DE VARIVEL COMPLEXA E FUNO COMPLEXA ____________ II-1 2.3- FUNES ANALTICAS __________________________________________________ II-2 2.4- TEOREMA DE EULER ____________________________________________________ II-2 2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE __________________________________________ II-3 2.5.1- OBTENO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNES __________ II-3 a) Funo Exponencial___________________________________________________________ II-3 b) Funo Degrau ______________________________________________________________ II-4 c) Funo Rampa_______________________________________________________________ II-4 d) Funo Senoidal _____________________________________________________________ II-4 e) Funo Co-senoidal___________________________________________________________ II-5 2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE__________________________ II-6 a) Funo Transladada___________________________________________________________ II-6 b) Funo Pulso ________________________________________________________________ II-7 c) Funo Impulso ______________________________________________________________ II-7 d) Multiplicao de f(t) por e-t ____________________________________________________ II-8 e) Mudana de escala de tempo____________________________________________________ II-8 f) Demonstrao do teorema da diferenciao ________________________________________ II-8 g) Teorema do Valor Final ______________________________________________________ II-10

h) Teorema do Valor Inicial______________________________________________________ II-11 2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ________________________________ II-11 2.6.1- MTODO DE EXPANSO EM FRAES PARCIAIS_______________________ II-12 DETERMINAO DOS RESDUOS ASSOCIADOS AOS PLOS _____________ II-12 a) Plos Reais e Distintos _______________________________________________________ II-12 b) Plos Reais Mltiplos_______________________________________________ II-14 c) Plos Complexos Conjugados _________________________________________________ II-15 2.7- SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO ATRAVS DE T.L. ___________________________________________________ II-16

CAPTULO 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS3.1- INTRODUO __________________________________________________________ III-1 3.2- FUNO DE TRANSFERNCIA___________________________________________ III-1 COMENTRIOS SOBRE FUNO DE TRANSFERNCIA _______________________ III-1 3.3- DIAGRAMA DE BLOCOS ________________________________________________ III-2 - Blocos e Fluxo de Sinais _______________________________________________________ III-2 - Ponto de Soma ______________________________________________________________ III-2 - Pontos de Ramificaes________________________________________________________ III-2 3.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA _________ III-3 3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAES_____________ III-4 3.6- REGRAS DA LGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS ______________________ III-5 3.7- GRFICOS DE FLUXO DE SINAL _________________________________________ III-6 DEFINIES DOS TERMOS USADOS EM GRF. DE FLUXO DE SINAIS __________ III-7 LGEBRA DO GRFICO DE FLUXO DE SINAIS_________________________________ III-7 3.8- FRMULA DO GANHO DE MASON _______________________________________ III-8 3.9- INTRODUO A TEORIA DE MODELOS DE VARIVEIS DE ESTADO _______ III-9 3.10- FORMA PADRO DE REPRESENTAO DO MODELO DE VARIVEIS DE ESTADO DE UM SISTEMA________________________________ III-12 3.11- OBTENO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS EQUAES DIFERENCIAIS_________________________________________________ III-13

3.12- OBTENO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA FUNO DE TRANSFERNCIA _____________________________________________ III-13 3.13- OBTENO DA FUNO DE TRANSFERNCIA DE UM SISTEMA, A PARTIR DAS EQUAES DE ESTADO _______________________________________________ III-14 3.14- TRANSFORMAO DE EQUAES DE ESTADO E VARIVEIS DE ESTADOIII-15

CAPTULO 4 - MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS DINMICOS4.1- INTRODUO __________________________________________________________ IV-1 4.2- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOS ________________ IV-1 - Massa _____________________________________________________________________ IV-1 - Fora ______________________________________________________________________ IV-2 - Torque_____________________________________________________________________ IV-2 - Deslocamento, Velocidade e Acelerao __________________________________________ IV-2 - Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Acelerao Angular______________________ IV-2 LEIS DE NEWTON ___________________________________________________________ IV-3 - Segunda lei de Newton (Translao) _____________________________________________ IV-3 - Segunda lei de Newton (Rotao)________________________________________________ IV-3 4.2.1- SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLAO______________________________ IV-3 - Elemento de Inrcia (Massa)____________________________________________________ IV-3 - Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ IV-4 - Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________ IV-4 4.2.2- SISTEMAS MECNICOS DE ROTAO _________________________________ IV-6 - Elementos de inrcia (Momento de Inrcia) ________________________________________ IV-7 - Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ IV-7 - Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________ IV-7 4.3- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS ELTRICOS _________________ IV-8 4.3.1- CIRCUITO RLC________________________________________________________ IV-8 4.4- SISTEMAS ANLOGOS __________________________________________________ IV-9 4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELTRICOS E MECNICOS_______________ IV-9 a) Analogia Fora-Tenso _______________________________________________________ IV-9 b) Analogia Fora-Corrente_____________________________________________________ IV-10 4.5 - SISTEMAS ELETROMECNICOS _______________________________________ IV-11

4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTNUA __________________________ IV-11 4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC ______________ IV-12 4.5.1.2- GERADOR CC ______________________________________________________ IV-16 4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS ________________________________ IV-17 4.7- LINEARIZAO DE MODELOS MATEMTICOS NO-LINEARES _________ IV-18

CAPTULO 5 - AES BSICAS DE CONTROLE E CONTROLADORES AUTOMTICOS INDUSTRIAIS5.1- AES BSICAS DE CONTROLE _________________________________________ V-1 5.1.1- AO DE CONTROLE ON-OFF OU DE DUAS POSIES ___________________ V-1 5.1.2- AO DE CONTROLE PROPORCIONAL__________________________________ V-2 5.1.3- AO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________ V-2 5.1.4- AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL ______________________ V-3 5.1.5- AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO ____________________ V-4 5.1.6- AO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO_________ V-4 5.2- CONTROLE PROPORCIONAL APLICADO A UM SISTEMA DE 1a ORDEM _____ V-5 5.2.1- IMPLEMENTAO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL ________________ V-6 5.2.2- IMPLEMENTAO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO___ V-6 5.2.3- IMPLEMENTAO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL _____ V-7 5.3- EFEITOS DAS AES DE CONTROLE INTEGRAL E DERIVATIVA NO DESEMPENHO DO SISTEMA _________________________________________________ V-8 5.3.1- AO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________ V-8 5.3.2- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE PROPORCIONAL A PERTURBAO _____________________________________________________________ V-9 5.3.3- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE P-I A PERTUBAES ____ V-9

CAPTULO 6 - ANLISE DA RESPOSTA TRANSITRIA, DO ERRO DE REGIME PERMANENTE E DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS6.1- INTRODUO __________________________________________________________ VI-1

6.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM________________________________________ VI-1 a) Resposta ao degrau __________________________________________________________ VI-1 b) Resposta a Rampa Unitria ____________________________________________________ VI-2 6.3- SISTEMAS DE 2a ORDEM ________________________________________________ VI-3 a) Plos Reais ________________________________________________________________ VI-3 b) Plos Complexos____________________________________________________________ VI-3 1o Caso: SISTEMA SUBAMORTECIDO __________________________________________ VI-3 2o Caso: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO _______________________________ VI-4 3o Caso: SISTEMA SUPERAMORTECIDO ________________________________________ VI-5 6.3.1- ESPECIFICAES DO TEMPO DE RESPOSTA ___________________________ VI-6 - Tempo de Subida tr _________________________________________________________ VI-6 - Tempo de Pico tp___________________________________________________________ VI-6 - Tempo de Acomodao ts ____________________________________________________ VI-6 - Overshoot Mximo Mp ______________________________________________________ VI-6 6.4- SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR / RESPOSTA TRANSITRIA _____________ VI-8 6.5 - ERRO DE REGIME PERMANENTE PARA UM SISTEMA DE 2a ORDEM ASSOCIADA A UM COMPENSADOR PROPORCIONAL _______________________________________ VI-9 6.6- CONTROLADOR P-D APLICADO A UM SISTEMA DE 2a ORDEM _________ VI-10 6.7- CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ_____________________ VI-11 6.8- ERROS EM REGIME PERMANENTE _____________________________________ VI-12 6.8.1- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU UNITRIO _____________ VI-13 6.8.2- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO RAMPA UNITRIA_______________ VI-13 6.8.3- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO PARBOLA _____________________ VI-14 QUADRO RESUMO _________________________________________________________ VI-15

CAPTULO 7 - ANLISE DO LUGAR DAS RAZES

7.1- INTRODUO _________________________________________________________ VII-1 7.2- MTODO DO LUGAR DAS RAZES ______________________________________ VII-1 7.2.1- PRINCPIOS BSICOS DO MTODO DO LUGAR DAS RAZES____________ VII-1 7.2.2- DEFINIO GERAL DO LUGAR DAS RAZES ___________________________ VII-3

7.3- REGRAS GERAIS PARA CONSTRUO DOS LUGARES ___________________ VII-5

CAPTULO 8- ANLISE DO MTODO DA RESPOSTA EM FREQNCIA8.1- INTRODUO _________________________________________________________ VIII-1 8.2- PRINCPIO BSICO ____________________________________________________ VIII-1 8.3- DIAGRAMA DE BODE __________________________________________________ VIII-4 8.3.1- GANHO CONSTANTE K _____________________________________________ VIII-5 8.3.2 - PLOS E ZEROS NA ORIGEM_________________________________________ VIII-5 8.3.3- PLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO_______________________ VIII-6 8.3.4- PLOS E ZEROS COMPLEXOS ________________________________________ VIII-7 8.4- CRITRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST _____________________________ VIII-9 Teorema de Cauchy: _________________________________________________________ VIII-10 8.4.1- VANTAGEM DO CRITRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST SOBRE O CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ _______________________ VIII-11 8.4.2- APLICAES DO CRITRIO DE NYQUIST ____________________________ VIII-11 8.5- ESTABILIDADE RELATIVA E DIAGRAMA DE BODE_____________________ VIII-12 Margem de Ganho: __________________________________________________________ VIII-12 Margem de Fase: ____________________________________________________________ VIII-12 8.6- DIAGRAMAS DE NYQUIST - CASOS ESPECIAIS _________________________ VIII-14

Projeto Reenge - Eng. Eltrica Apostila de Sistemas de Controle I

I-1

&$378/2 , GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE 1.1- INTRODUOEmbora muitas vezes no percebemos, todos os dias participamos ativa ou passivamente de diversos sistemas de controle. Sempre que o ser humano participa de um determinado processo com a funo de monitor-lo, est participando do fechamento de uma malha. Como exemplos de sistemas de controle, pode-se citar: Ato de guiar um automvel (malha fechada); Ato de utilizar um liqidificador (malha fechada); Ato de utilizar um mquina de lavar (malha aberta); Ato de utilizar um microondas (malha aberta).

Atualmente os sistemas de controle tm assumido um papel progressivamente importante no desenvolvimento da civilizao moderna. Praticamente todos aspectos de nossa atividade diria so afetados por algum tipo de sistema de controle. A busca da qualidade, eficincia e preciso, praticamente exige a presena de sistemas de controle em malha fechada sem a presena do operador humano, isto , CONTROLE AUTOMTICO. O primeiro dispositivo que utilizava controle em malha fechada que se tem notcia, o relgio de gua inventado dois sculos antes de cristo. O tempo era medido pelo volume de gua acumulada no reservatrio inferior, o qual recebia os pingos de gua com uma vazo constante de um reservatrio para o outro. Isto era conseguido, graas a vlvula flutuante do primeiro reservatrio que possua a funo de garantir sempre o mesmo nvel de gua no primeiro reservatrio. Esta vlvula apresentava as funes de sensor e atuador do sistema.

1.2- DEFINIES BSICASA seguir so introduzidas as definies bsicas a respeito das denominaes utilizadas na teoria de controle. - Planta: A planta de um sistema de controle definida como sendo a parte do sistema a ser controlada. Ex: reator qumico, caldeira, gerador, etc. - Processo: O processo definido como sendo a operao a ser controlada na planta. Ex: processo qumico, fsico, biolgico, etc.


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- Perturbaes: So sinais que tendem a afetar o valor da sada de um sistema. Se a perturbao gerada dentro do sistema, ela denominada interna. Caso contrrio, considerada como um sinal de entrada do sistema. - Controle Realimentado: a operao que na presena de perturbaes externas, tende a reduzir a diferena entre a sada do sistema e a entrada de referncia. - Sistema de Controle Realimentado: um sistema que tende a manter uma relao preestabelecida entre o sinal de sada e a entrada de referncia, comparando-as e utilizando a diferena entre estes sinais como um meio de controle do sinal de sada. Ex: sistema de controle de temperatura de uma sala. Pela comparao da temperatura da sala (sada) com a temperatura desejada (entrada), um termostato abre ou fecha, com o objetivo de igualar os sinais. Outro exemplo o controle de velocidade de um automvel pelo motorista. Para que o automvel no ultrapasse uma velocidade predefinida, o motorista deve comparar continuamente a velocidade do veculo (sada) com a velocidade estabelecida (entrada). - Servo Mecanismo: um sistema de controle realimentado no qual a sada do sistema uma posio mecnica, velocidade ou acelerao. - Sistema Regulador Automtico: um sistema de controle cujas sada e entrada de referncia so constantes, ou variam lentamente, e o objetivo do sistema manter a sada em um valor desejado mesmo na presena de perturbaes. Ex: controle de presso e temperatura em um processo qumico.

1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTAO controle em malha fechada o mesmo que controle realimentado. A diferena entre o sinal de entrada (referncia) e o sinal de sada realimentado, chamado de sinal de erro, introduzido no controlador que atua na planta ou no processo de forma a reduzir o erro e manter a sada em um valor desejado. Conforme j foi mencionado anteriormente, existem dois tipos de controle em malha fechada (realimentado), definidos como controle manual e controle automtico. No controle automtico, o operador substitudo por dispositivos que desempenham as suas funes de formas mais eficientes e precisas.

J nos sistemas de controle em malha aberta, a sada no tem efeito na ao de controle, isto , a sada no medida nem realimentada para comparao com a entrada. Para cada entrada de referncia haver uma condio preestabelecida de operao. Qualquer sistema que opere em uma base de tempo um sistema em malha aberta. A operao em malha aberta deve ser usada, quando se conhece a relao entre entrada-sada e o sistema no apresentar nenhum tipo de perturbao.


I-3

Nem sempre, os sistemas em malha fechada so aconselhveis. Nos sistemas em que as entradas so conhecidas e no esto sujeitas a perturbaes, a operao em malha aberta deve ser preferida. Entretanto, quando o sistema estiver sujeito a perturbaes e variaes imprevisveis devese preferir a operao em malha fechada. Porm, estes sistemas devem ser analisados e projetados com bastante cuidado, visto que outros problemas podem ser gerados como por exemplo, instabilidade e oscilaes.

1.3- CLASSIFICAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE - Sistemas de Controle Linear e No-LinearPraticamente todos os sistemas fsicos existentes na prtica so no-lineares. Entretanto, quando os mdulos dos sinais dos sistemas de controle so limitados a uma certa faixa de valores, na qual os componentes do sistema exibem caractersticas lineares, o sistema dito linear. Quando os mdulos dos sinais se estendem fora da faixa linear de operao, o sistema dever ser considerado como no-linear. No geral o sistema dito linear, quando o princpio da superposio pode ser aplicado.

- Sistemas de Controle Invariante no tempo e Variante no tempoUm sistema de controle dito invariante no tempo quando seus parmetros so estacionrios com relao ao tempo, isto , no variam com o tempo. A resposta do sistema independe do instante de tempo no qual a entrada aplicada. Por outro lado, um sistema de controle dito variante no tempo, quando um ou mais parmetros variam com o tempo e a resposta do sistema depende do instante de tempo no qual a entrada aplicada. Um exemplo de um sistema de controle variante no tempo o controle de um mssil teleguiado, no qual a massa do mesmo diminui com o tempo, j que combustvel consumido durante o vo.

- Sistemas de Controle Contnuos e DiscretosUm sistema dito contnuo, quando todas as variveis do sistema so conhecidas em todos os instantes de tempo. Um sistema dito discreto, quando pelo menos uma varivel do sistema s conhecida em alguns instantes de tempo.

- Sistemas de Controle uma entrada - uma sada e vrias entradas - vrias sadasUm exemplo claro de um sistema uma entrada - uma sada o sistema de controle de velocidade de um motor eltrico, onde a entrada a velocidade desejada e a sada a velocidade atual. Como exemplo de sistemas vrias entradas - vrias sadas pode-se citar o controle de presso e temperatura de um caldeira, que apresenta duas grandezas de entrada e de sada (presso e temperatura).

- Sistemas de Controle Clssico e Sistemas de Controle ModernoA teoria de controle clssico utiliza exaustivamente o conceito de funo de transferncia, onde a anlise e o projeto de um sistema so feitos no domnio de freqncia, isto , no domnio S. Esta teoria fornece resultados satisfatrios somente para sistemas do tipo uma entrada - uma sada.


I-4

A teoria de controle moderno baseado na abordagem de espao de estado, que utiliza exaustivamente os conceitos de matriz de transferncia e a anlise e o projeto de um sistema so feitos no domnio do tempo.

1.4- COMENTRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA - Requisitos de um Sistema de ControleA exigncia fundamental de um sistema de controle ser estvel, isto , apresentar estabilidade absoluta. Deve tambm, apresentar um boa estabilidade relativa, isto , a velocidade de resposta deve ser rpida e esta resposta deve apresentar um bom amortecimento. O sistema de controle deve ser capaz de reduzir os erros para zero ou para algum valor pequeno tolervel. As exigncias de uma tima estabilidade relativa e erro zero em regime, muitas vezes so incompatveis. Deve-se portanto buscar um ponto timo entre estas exigncias.

- Modelagem MatemticaOs componentes e dispositivos presentes nos mais diversos sistemas de controle so geralmente de natureza totalmente distintas, como por exemplo, eletromecnicos, hidrulicos, pneumticos, eletrnicos, etc. Para que haja uma uniformidade na anlise estes componentes e/ou dispositivos so substitudos pelos seus modelos matemticos. Um dos primeiros problemas que nos deparamos quando vamos projetar um sistema de controle, na obteno de modelos matemticos precisos para os dispositivos fsicos. Estes modelos devem representar os aspectos essenciais destes dispositivos. A anlise do desempenho do sistema baseado no seu modelo matemtico deve ser razoavelmente precisa. Sistemas aparentemente diferentes podem ser descritos pelo mesmo modelo matemtico. baseado neste fato que a teoria de sistemas de controle uma abordagem nica e interdisciplinar. Devido a facilidade de se manipular e analisar os sistemas lineares, muitos dispositivos em que a relao entre entrada-sada no so lineares, normalmente so linearizados em torno do ponto de operao atravs das tcnicas disponveis.

- Anlise, Projeto e Sntese de um Sistema de ControleA anlise de um sistema de controle significa a investigao do desempenho do sistema, cujo modelo matemtico conhecido sob certas condies especificadas. Esta, deve comear pela descrio matemtica de cada dispositivo que o compe. Uma vez que o modelo matemtico do sistema obtido, a anlise do mesmo independe de sua natureza fsica (eletrnico, pneumtico, etc.). No geral, a anlise de um sistema feita sob dois aspectos: anlise da resposta transitria e anlise de regime permanente. Projetar um sistema, significa determin-lo de modo a desempenhar uma dada tarefa. Se as caractersticas da resposta transitria e do regime permanente no forem satisfatrias, deve-se adicionar um componente ao sistema, com o objetivo de compensar o desempenho indesejado do mesmo. Este componente adicional conhecido como compensador. Em geral o projeto de um compensador, na teoria de controle clssico, baseado nos mtodos da resposta em freqncia e/ou do lugar das razes. Sntese de um sistema, a sua determinao atravs de um procedimento direto que faa com que funcione com uma caracterstica especfica. Geralmente, este procedimento puramente matemtico. Atualmente, os computadores tm tido um papel importante na anlise, projeto e operao de sistema de controle, tanto na parte de simulao do sistema e projeto orientado, como tambm fazendo parte do sistema atuando como um controlador digital.

- Abordagem Bsica para Projetos de Sistema de Controle


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Geralmente o projeto de um sistema de controle envolve mtodos de tentativa e erro. Isto se deve principalmente, as no-linearidades do sistema e tambm as imprevises e simplificaes adotadas na determinao dos modelos caractersticos dos dispositivos do sistema. Na prtica, o projetista de posse da planta a ser controlada, projeta o resto do sistema para que atenda as especificaes solicitadas, como por exemplo, Amortecimento, Preciso em Regime Permanente, Confiabilidade e Custo. As especificaes podem ser solicitadas explicitamente ou no. Caso sejam solicitadas, o projetista deve, dentro do possvel, obt-las. Caso contrrio, deve obter as especificaes que julgar conveniente. As especificaes devem ser analisadas em termos matemticos. Deve-se salientar, que as especificaes devem ser realsticas.

- Metodologia de projetoDe posse da planta a ser controlada, deve-se escolher qual o melhor sensor e atuador a ser utilizado. Aps, deve-se obter os modelos matemticos da planta , sensor e atuador. A seguir, define-se o modelos matemtico do controlador, para que o sistema em malha fechada satisfaa as especificaes do projeto. Uma vez que o projetista tenha em mos o modelo matemtico completo do sistema, deve simul-lo para avaliar o seu desempenho em relao a variaes do sinal de entrada e tambm na presena perturbaes. Nesta fase que devem ser feitos os ajustes no sistema, para que a resposta do mesmo atenda as especificaes solicitadas. Aps, deve-se construir o prottipo fsico do sistema, para que o mesmo seja testado e para que sejam feitos os ajustes prticos.


II-1

&$378/2 ,,REVISO MATEMTICA2.1- INTRODUOEste captulo tem por objetivo revisar alguns fundamentos matemticos necessrios para o estudo da teoria de controle. Inicialmente, defini-se o que vem a ser uma varivel complexa e uma funo complexa. Aps, revisa-se os teoremas de Euler. Por fim revisa-se os conceitos relativos a Transformao de Laplace. O domnio da Transformao de Laplace fundamental para o entendimento da teoria de Controle Clssico.

2.2- DEFINIO DE VARIVEL COMPLEXA E FUNO COMPLEXA - Varivel Complexa um nmero complexo, cujas partes real e ou imaginria so variveis. A varivel complexa S expressa em coordenadas retangulares, como mostrado a seguir: S1 = 1 + j1 Onde: = Re(s) = Im( s)

- Funo ComplexaUma funo complexa F(s), uma funo de S com parte real e imaginria; podendo ser expressa como: F(s) = Fx + jFy Ex: VARIVEL COMPLEXA FUNO COMPLEXA Onde: Fx e Fy so reais

Plano S F(s) = FX 2 + FY 2 Fy = tg1 FX O conjugado da funo Complexa F(s) : F(s)= Fx jFy

Plano F(s)

2.3- FUNES ANALTICASProf. Hlio Lees Hey - 1997


II-2

Uma funo dita Analtica, quando ela e suas derivadas so definidas para um dado valor de S ou um dado ponto no plano S. Quando a funo F(s) ou suas derivadas tendem ao infinito para um dado valor de S, diz-se que a funo no analtica para aquele ponto. 1 Seja a seguinte funo F(s): F(s) = (S + 1) A derivada desta funo em relao a S, dada por: 1 d F(s) = dS (S + 1) 2 Tanto a funo F(s), como sua derivada, so definidas para todos os pontos do plano S, exceto para o ponto S = 1. Neste ponto, F(s) e sua derivada se aproximam do infinito. Portanto, a funo F(s) Analtica em todo o Plano S, exceto no Ponto S = 1. Os pontos no plano S, onde a funo F(s) analtica so chamados PONTOS ORDINRIOS, enquanto que os pontos onde F(s) no analtica, so chamados PONTOS SINGULARES. Os pontos singulares so tambm chamados de PLOS DA FUNO (S = 1 um plo da funo F(s)). Seja uma funo F(s) qualquer. Se F(s) tende a infinito quando S = p e se a funo F(s).(s + p) n onde n = 1, 2, 3..., um valor finito no nulo para o ponto S = p, ento: S = p chamado de PLO DE ORDEM n. - Se n = 1 Plo simples; - Se n = 2 Plo de 2a ordem; - Se n = 3 Plo de 3a ordem. Os valores de S em que a funo F(s) igual a zero, so chamados de ZEROS DA FUNO. Ex: F(s) = K(S + 2)(S + 10) S(S + 1)(S + 5)(S + 15) 2

Esta funo tem zeros em S = 2 e S = 10 e plos simples em: S = 0, S = 1 e S = 5 e um plo de 2a ordem em S = 15. Caso S , G (s) = K e G (s) = 0. Portanto, se forem considerados pontos no infinito, a s3 S S funo passa a ter 5 zeros sendo um de 3a ordem, em S = .

2.4- TEOREMA DE EULERO teorema de Euler, definido por: e j = cos+ j sen Pelo uso deste teorema, podemos expressar funes em seno e co-seno, na forma de uma funo exponencial. Se e-j = cos - j sen ento, e-j o conjugado complexo de ej .

Prof. Hlio Lees Hey - 1997


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Utilizando-se o teorema de Euler, pode-se definir as seguintes expresses para o sen e para o cos . 1 1 cos = e j + e j sen = ( e j e j ) j2 2

(

)

2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE - T.L.A transformada de laplace, a ferramenta matemtica utilizada para converter um sinal do domnio de tempo em um funo de variveis complexas. Diversas funes, como por exemplo funes senoidais, exponenciais, etc.., podem ser convertidas para funes algbricas da varivel complexa S. O uso do mtodo de transformada de laplace, simplifica os clculos para a obteno da resposta do sistema. Operaes complicadas no domnio de tempo, como por exemplo integrao e diferenciao, so substitudas por operaes algbricas bsicas no domnio da freqncia (plano complexo). Uma vez resolvida a expresso algbrica no domnio S, a resposta da equao diferencial no domnio de tempo obtida atravs do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas tcnicas de expanso em fraes parciais. A transformada de laplace, caracteriza completamente a resposta exponencial de uma funo linear invariante no tempo. Esta transformao gerada atravs do processo de multiplicao de um sinal linear f(t) pelo sinal e-St e integrando-se este produto, no intervalo de tempo compreendido entre (0, +). Sejam as seguintes definies: f(t) uma funo no domnio de tempo Linear e Invariante no tempo, tal que f(t) = 0 para t < 0.

/

S

Varivel Complexa. Operador transformada de laplace. Indica que a funo temporal f(t) associada, ser transformada pela integral de Laplace:

+

0

e ST dt .

F(s) Transformada de laplace da funo f(t).

/ {f ( t)} = F(s) = e 0

ST

dt{f ( t )} = 0 f ( t )e ST dt

Obs:

No esquecer que S = + j . Se as funes f(t), f1(t) e f2(t) apresentam T.L., ento:

* / {A f ( t )} = A./ {f ( t)} * * / {f ( t) + f1 2

( t )} =

/ {f (t )} + / {f (t )} *1 2

2.5.1- OBTENO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNES a) Funo Exponencialf (t ) = 0 T f ( t ) = A. e para t < 0 para t 0

A, so constantes.



II-4

/ {f ( t)} = / {A.e / {A.e- t

t

} = 0 e -st . dt. A. e -t

= A 0 e - S+ . dt

(

)t

( ) ( ) ( ) }= ( . e - S + t = . ( e - S + - e - S + ) 0 - S + ) -( S + ) 0 1

A

A

/ {A. eb) Funo Degrauf (t ) = 0 f ( t ) = A . ( t ) 0

- t

}=

A S+

para t < 0 para t 0 St

/ {A.(t)} = A. (t ).e

dt =

A. ( t ) St A S. ( e e S.0 ) = .e 0 S S 0 1

/ {A. (t )} = A Sc) Funo Rampaf (t) = 0 f ( t ) = A. t para t < 0 para t 0 St

/ {A.t} = A. t. e0

dt

Utilizando a definio de Integrao por partes tem-se: Seja: = t d = dt A. 0 t. e

.d = . dt t t 0 0 0

e 0

St d = e St dt = e S

St

e St . dt = A. t. S St

0

0

e St . dt S A / {A. t} = S

/ {A. t} = A . eS S d) Funo Senoidalf (t ) = 0 f ( t ) = A.sen t

A 1 = . S S 0

2

para t < 0 para t 0

Utilizando o teorema de Euler, tem-se: sen = 1 1 .( e j e j ) sen t = ( e jt e jt ) j2 j2



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/ {f ( t)} = A.sen t.e0

St

dt

/ {f ( t)} = A2(e j 0

jt

e jt . e St . dt

)

/ {f ( t)} = /

0

A A (S j )t S + j t .e . dt . e ( ) . dt 0 j2 j2

A e (S j ) t e (S j )t {f ( t )} = . j2 (S j ) 0 (S + j ) +

{

0

}2

/ {f ( t)} = A2 . S 1j S +1j = A2 . S 2+j j j 2

/ {A.sent} = S A+. 2

2

e) Funo Co-senoidalf (t) = 0 f ( t ) = A.cos t

para t < 0 para t 0

cost =

1 jt e + e jt 2

(

)

/ {f ( t)} = A (e 20

jt

+ e jt . e St . dt

)

/ {f ( t)} =

0

A A (S j )t + e . dt + e (S j )t . dt 0 2 2 (S j ) t

/ {f ( t)} = A e(S j) 2

+

0

e (S j )t (S + j ) 0 +

/ {f ( t)} = A S 1j + S +1j = A S 2 2

2

2S + 2

/ {A.cos t} = S A+.S 2

2

Embora o procedimento para a obteno da transformada de laplace de funes temporais seja simples, existem tabelas prontas para as funes que freqentemente aparecem na anlise de sistemas de controle. Ex: Dada a funo f(t) abaixo, obtenha a T.L. da mesma.Prof. Hlio Lees Hey - 1997


II-6

f (t ) = 5. . (t ) + 3. e 2 t

/ {f (t )} = / {5. .(t )} + / {3. e }2 t

a)

5 / {5. .(t )} = S 5 3 / {f (t )} = S + S + 2

b)

3 / {3. e } = S + 22 t

8 / {f (t )} = S(SS++10) 2

2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE a) Funo TransladadaSejam as funes f(t) e f(t - ), mostradas a seguir:

Sabendo-se que (t) a funo Degrau unitrio, podemos escrever as funes f(t) e f(t-) como: f(t) = f(t). (t) e f(t-) = f(t-)..(t-)

A transformada da funo f(t-)..(t-) dada por:

/ {f (t ).(t )} = / {f ().()} =

0

f (t ).(t ). e st . dt

Chamando t = , tem-se: d = dt, j que uma constante.

f (). ( ). e

s( + )

d

Como a funo s vlida para t > , ento quando substitu-se t , deve-se trocar o limite inferior da integral 0 . Porm, quando t = +, = 0. Portanto:

/ {f ().()} = / {f ().()} =

0

f ( ). (). e1

s( + )

. d

0

f ( ). e s . e s . d



II-7

/ {f ().()} = e s

0

f ( ). e s . d = e s . F(s) s

/ {f (t ). (t )} = eCaso particular: =0 .

. F(s)

/ {f ( t) (t )} = F(s)

Comparando-se as expresses acima, conclu-se que transladar no tempo uma funo f(t) qualquer, significa multiplicar a transformada de laplace de f(t), F(s), por e-S onde , significa a translao sofrida por f(t).

b) Funo Pulsof(t) = A f(t) = 0 0 < t < t0 t < 0 e t > t0

f(t) = A.(t) - A. (t - t0) (t) = 1(t) e (t - t0) = 1(t - t0)

/ {f ( t)} = / (A.1.( t)) / (A.1.(t t ))0

/ (A.1( t)) = A S

e

/ (A.1.(t t )) = A .e S0

S .t 0

/ {f ( t)} = A (1 e ) S S.t 0

c) Funo ImpulsoA Funo Impulso um caso especial da funo pulso, onde o perodo de durao do impulso tende a zero(t0), e a amplitude tende a infinito A . Se f(t) a funo impulso, a sua transformada t ser: 0

/ {f ( t)} = OL tAS (1 e ) P t S .t 00 0

0.

/1.Prof. Hlio Lees Hey - 1997

d A 1 e S.t 0 {f ( t )} = t 00. d. t 0 d t 0. S d. t 0

OL P

((

))

=

A. S =A S

Esta funo chamada de FUNO IMPULSO UNITRIO ou FUNO DELTA DE DIRAC, se A =


II-8

d) Multiplicao de f(t) por e- (t)

ou

(t-t0) ( S+ ) t

t

/ {e / {eEx: Seja:

t

. f ( t) =

} }

0

e t . f ( t ). e st . dt = f ( t ). e0 (S + ) t

.

dt

t

. f ( t ) = f ( t ). e0

. dt = F(S + )

f(t) = sen t Portanto: f1(t) = e t .sen t

F( s) =

(S + 2 )2

F( S + ) =

( S + ) 2 + 2

e) Mudana de escala de tempot t Se o tempo t modificado para , a funo f(t) alterada para f . Seja a seguinte transformao de Laplace.t t / {f ( )} = f ( ). e 0 St

( )

. dt

Seja = t 1 e S = S1, onde uma constante. Desta forma:t / {f ( )} = f (t ).e 0 1 S1 .t 1

t

. d (. t 1 ) . dt 1 = . F(S1 )

t / {f ( )} = f (t ).e0 1

S1 .t 1

t / {f ( )} = . F(S)

Ex: Seja f(t) = e-t e

t f 5 = e 0 , 2 t

()

/ {f ( t)} = S 1 1 +

;

/ {f (5t )} = 5.S5+ 1

f) Demonstrao do teorema da diferenciaoSeja a T.L. da derivada primeira da funo f(t):



II-9

d / dt . f (t ) = S. F(s) f (0) Seja tambm, a funo f(t).

/ {f ( t)} = f ( t). e 0 t t t

St

. dt = F(s)

Integrando-se por partes a expresso acima, temos:

d = d0 0 0

d = df ( t ) e St d = e St dt = S 0

f ( t) =

F(s) = f ( t ).

e St S

0

e St dt . d.f ( t ). dt S St d e . dt . f ( t ) . dt S

e St F(s) = f ( t ). S F(s) = f (0) 1 + . S S

0

0

d / dt . f ( t)

d / dt . f ( t) = S. F(s) f (0)

Para a derivada segunda, temos:

/

d2 , 2 2 . f ( t ) = S F(s) Sf (0) f (0) dt d .f ( t ) dt

Seja: g(t ) = Portanto:

/

d2 2 . f ( t) = dt

d / dt . g(t )

d d / dt . g( t) = S. G(s) g(0) G (s) = / {g( t)} = / dt . f (t); g( 0) = d , f (0) = f ( 0) dt

/ /

d2 2 . f ( t ) = S. dt

d / dt . f ( t) f ,(0)

d2 , 2 . f ( t ) = S.{S. F(s) f (0)} f (0) dt



II-10

d / dt

2 2

, . f ( t ) = S 2 . F(s) S. f ( 0) f (0)

g) Teorema do Valor FinalEste teorema, permite que se conhea o valor da funo f(t) no tempo t = , atravs da funo F(s), isto , o comportamento de f(t) em regime permanente igual ao comportamento de S.F(s) na vizinhana de S = 0. Entretanto, este teorema s aplicvel se e somente se: f ( t ) existir. O

OL Pt

OL Pt

f ( t ) existe, se todos os plos de S.F(s) estiverem no semi-plano esquerdo do plano S.

Se S.F(s) tiver plos no eixo imaginrio ou no semi-plano direto, a funo f(t) ser oscilatria ou crescer exponencialmente. Portanto o f ( t ) no existir.

OL Pt

Um exemplo, bastante elucidativo deste fato, so as funes sen t e cos t, onde S.F(s) apresenta plos em S = j. d O Teorema do Valor Final, diz que: se f(t) e f ( t ) so transformveis segundo Laplace, se dt o existe e F(s) a T.L. de f(t), ento: f ( t)

OL Pt

OL f (t ) = OL S. F(s) P Pt S 0

PROVA: Seja a seguinte T.L. da funo g( t ) = d f ( t ) : dt d / dt . f (t ) = Se S tender a zero, resulta: d g( t ). e St dt = . f ( t ) . e St . dt 0 dt

0

OL dt . f ( t) e P d S 0 0

St

dt onde:

OL .e PS 0

St

=1

Portanto:

OL dt . f ( t) . e P d S 0 0 S 0 0

St

dt = 1 St

0

d . f ( t ). dt = f ( t ) 0 dt

OL dt . f (t) .e P d Por outro lado:

dt = f () f (0)

1

OL dt . f ( t) . e P d S 0 0

St

dt =

OL {S. F(s) f (0)} PS 0 S 0

OL dt . f ( t) . e P d S 0 0

St

dt =

OL S. F(s) f (0) P

2



II-11

1 = 2 Ex: Seja a seguinte T.L.: F(s) = Qual o valor de

f () =

OL f (t ) =OL .S. F(s) P Pt 0 S 0

3

OL f ( t) ? Pt

1 S(S + 1)

OL P

A funo S.F(s), apresenta um plo no semi-plano esquerdo do plano S e portanto, f ( t ) existe. Ento, utilizando a expresso 3 , acima resulta: t

OL . f ( t) = OL .S. F(s) = OL S 1 1 = 1 P P P+t S 0 S 0

Este resultado, pode ser verificado aplicando-se transformao inversa de Laplace, onde: f(t) = 1 - e-t e

OL f ( t) = 1 Pt

h) Teorema do Valor InicialAo contrrio do teorema do valor final, este no apresenta limitaes quanto a posio dos plos de S.F(s). Atravs deste teorema, possvel que se conhea o valor de uma funo f(t) no instante t = 0+, diretamente da T.L. de f(t). df ( t ) Se a funo f(t) e so transformveis por Laplace e se S. F(s) existe, ento: s dt

OL P

f (0 + ) = PROVA: Seja a funo g(t) = d . f ( t ) e: dt g( t ).e St dt = + + 0

OL S. F(s) Ps

/

+ {g ( t )} = 0

d . f ( t ) .e St dt dt

OL / PS S

+ {g( t )} =

OL P+

+ S 0

d . f ( t ) . .e St dt = S. F(s) f (0 + ) = 0 S dt

OL { P

}

OL {S. F(s) f (0 ) } = 0 P

f (0 + ) =

OL S. F(s) PS

2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

{/ }1

o processo inverso da transformao de Laplace, isto , a partir de uma expresso no domnio S encontra-se a expresso no domnio de tempo correspondente.

/Prof. Hlio Lees Hey - 1997

1

{F(s)} = f ( t ) = 21 j c j F(s). e St dS

c + j


II-12

Embora o procedimento matemtico que permite encontrar a transformada inversa de Laplace seja um pouco complicado, esta pode ser encontrada atravs do uso das tabelas de transformadas de Laplace. Porm, isto requer que a funo F(s) esteja na tabela. Muitas vezes isto no acontece, fazendo com que seja necessrio expandir F(s) em fraes parciais, tornando a funo F(s) formada por termos simples e conhecidos.

2.6.1- MTODO DE EXPANSO EM FRAES PARCIAISGeralmente na anlise de sistemas de controle, a funo F(s) aparece na seguinte forma: F(s) = ; Se F(s) expandido em partes, ento: F(s) = F1 (s) + F2 (s) +.........+ Fn (s) B(s) A (s) Onde: A(s), B(s) - So polinmios em S; - O grau de B(s) sempre menor que A(s)

/

1

(F(s) ) = / 1 (F1 (s) ) + / 1 (F2 (s)) +.........+/ 1 (Fn (s))

f ( t ) = f1 ( t ) + f 2 ( t ) +..........+ f n ( t ) B(s) , necessrio A (s) que o grau do polinmio B(s) seja menor que o grau do polinmio A(s). Se isto no ocorrer, necessrio que se divida os polinmios com o objetivo de diminuir o grau do numerador. Qualquer funo racional B( s) , onde B(s) e A(s) so Polinmios, com o grau de B(s) Porm para que possamos aplicar este mtodo numa funo do tipo F(s) =

A (s)menor que o grau de A(s), pode ser escrito como a soma de funes racionais (fraes parciais), tendo as seguintes formas: A ou ( aS + b) R

( aS2 + b S+ c ) R

AS+ B

Onde: R = 1, 2, 3,....

Encontrando-se a transformada inversa de laplace para cada frao, temos a DETERMINAO DOS RESDUOS ASSOCIADOS AOS PLOS

/

1

B(s) . A (s)

a) Plos Reais e DistintosSeja a funo F(s) = B(s) K( S + Z1 )( S + Z 2 ) ......( S + Z m ) = A (s) (S + P1 )(S + P2 ) ....... (S + Pn ) Onde: m < n

Se os plos de F(s) so distintos, ento F(s) pode ser expandido em :



II-13

F( s) =

a1 a2 an + +......... (S + P1 ) (S + P2 ) (S + Pn )

O coeficiente ai chamado de resduo do plo S = Pi . B(s) a i = (S + Pi). A (s) S = Pi Ex1: F(s) = F(s) = S+ 3 ( S + 1)( S + 2) a1 a + 2 S+1 S+2 S + 3 a1 = =2 S + 2 S = 1

(S + 3) a 1 = (S + 1). (S + 1)(S + 2) S=1

( S + 3) S + 3 +1 = a2 = = 1 a 2 = (S + 2). (S + 1)(S + 2) S=2 S + 1 S=2 1 Portanto: F(s) = 2 1 S+1 S+2

/

1

2 t = 2. e S + 1 f ( t ) = 2. e t e 2 t

/

1

1 2 t = 1. e S + 2

t0

Ex2: F( s) = S3 + 5S2 + 9S + 7 (S + 1)(S + 2) Como o numerador apresenta um grau superior ao denominador, deve-se dividir os Polinmios.

S 3 + 5S 2 + 9S + 7 S 2 + 3S + 2 3 2 S+2 S 3S 2S 2S 2 + 7S + 7 2S 2 6S 4 S+ 3 Com isto a funo F(s), escrita da seguinte forma:



II-14

F( s) = (S + 2) + Portanto:

S+3 (S + 1)(S + 2 ) S+3 (S + 1)(S + 2)

/ / / /

1

{F(s)} = / 1 {S} + / 1 {2} + / 1 {S}

1

/

1

{S.1}

/

diferenciao1

{S.1} =

d ( t ) dt

CTE1

impulso unitrio1

{2}

/

{2.1} = / 1 {2.1} = 2. ( t )impulso unitrio

1

(S + 3) = Esta parcela igual ao exemplo anterior. (S + 1)(S + 2) f ( t ) = 2( t ) + d ( t ) + 2e t e 2 t dt0 t

b) Plos Reais MltiplosSeja a seguinte funo F( s) = B( s) B(s) = A (s) (S + P1 ) 3 (S + P2 )

Ento F(s), ser expandido na seguinte forma: F(s) = Onde: B(s) a 13 = (S + P1 ) 3 . A (s) S = P1 3 B( s) 1 d2 a 11 = 2 ( S + P1 ) . 2! dS A (s) S= P

a 13 a 12 a 11 a2 + 3 + 2 + (S + P1 ) (S + P2 ) (S + P1 ) (S + P1 ) a 12 = 1d 3 B( s) (S + P1 ) . 1! dS A (s) S = P1

1

B(s) a 2 = (S + P2 ). A (s) S= P2 Ex: a 13 a 12 a 11 S 2 + 2. S + 3 = F(s) = 3 3 + 2 + (S + 1) (S + 1) (S + 1) (S + 1) S 2 + 2S + 3 ( S + 1) 3 a 13 = (1) 2 2.1 + 3 a 13 = 2 a 13 = 3 (S + 1) S=1



II-15

a 12

1 d S 2 + 2S + 3 ( S + 1) 3 = a 12 = ( 2S + 2) S=1 a 12 = 0 1! dS (S + 1) 3 S=1

1 d2 1 S 2 + 2S + 3 ( S + 1) 3 a 11 = 2 a 11 = ( 2) S=1 a = 1 3 2! dS (S + 1) S=1 2 F(s) = 2 0 1 3 + 2 + (S + 1) (S + 1) (S + 1)0

1 2 L1 {F(s)} = L1 (S + 1) 3 + L1 (S + 1) f ( t ) = (1 + t 2 )e t f(t) = t 2 e t + e tt0

c) Plos Complexos ConjugadosSeja a seguinte funo: F(s) = K1 K2 + S + a jb S + a + j. b

A definio dos termos K1 e K2, dada por: K 1 = {(S + a jb). F(s)} S= a + jb = M = Me j K 2 = {(S + a + jb). F(s)} S= a jb = M = Me j Desta forma: F(s) = Me j Me j + (S + a jb) (S + a + jb)

/ / /

1

{F(s)} = M. e j . e ( a jb ) t + M. e j . e ( a + jb ) t{F(s)} = M. e at .{e j( bt +) + e j( bt+ ) }. {F(s)} = 2 M. e at . 2 2

1

1

e j( bt + ) + e j( bt + ) 2



II-16

/

1

{F(s)} = 2 M. e at cos( bt + )

2.7- SOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO ATRAVS DE T.L.Nos mtodos clssicos para obteno de soluo de equaes diferenciais h a necessidade da determinao das constantes de integrao atravs do uso das condies iniciais. O uso da T.L. na soluo das equaes diferenciais elimina esta dificuldade, uma vez que as condies iniciais so automaticamente includas. Para a obteno da T.L. de um equao diferencial cujas condies iniciais so nulas, sim2 plesmente substitui-se d por S, d 2 por S2 e assim sucessivamente. dt dt Dada uma equao diferencial linear e invariante no tempo, acha-se inicialmente a T.L. de cada termo que a compe, transformando-se uma equao diferencial em uma equao algbrica. Aps, deve-se manipular a expresso algbrica resultante isolando-se a varivel dependente. Uma vez solucionada esta expresso, atravs da aplicao da T.I.L obtm-se a soluo da equao diferencial dada. Ex: 1) Ache a soluo para x(t) da equao diferencial, mostrada abaixo: (t) + 3 (t) + 2 (t) = 0

Onde: (0) = a (0) = b

X(s) = X(s) =

aS + b + 3a aS + b + 3a X(s) = 2 (S + 1)(S + 2) S + 3S + 2 A B + S+1 S+ 2 A = b + 2a

aS + b + 3a a + b + 3a A= A = S + 2 S=1 1

aS + b + 3a 2a + b + 3a B = b a B= B= S + 1 S=2 1 X(s) = 2 a + b (a + b ) (S + 1) S + 2 ( t ) = (2a + b). e t (a + b). e 2 t

2) Ache a soluo para x(t) da equao diferencial: + 2 + 5 = 3 (0) = 0 , (0) = 0

Soluo: x(t) =

3 3 t 3 . e . sen2 t . e t .cos 2 t . 5 10 5



III-1

&$378/2 ,,,CONCEITOS FUNDAMENTAIS3.1- INTRODUOInicialmente neste captulo, estuda-se o conceito de funo de transferncia, o qual a base da teoria de controle clssico. Aps, estuda-se a representao de sistemas atravs de diagrama de blocos, bem como a lgebra de blocos e suas simplificaes. tambm apresentado o grfico de fluxo de sinais e a obteno da funo de transferncia de um sistema utilizando a frmula do ganho de Mason. Finalizando este captulo, apresentada uma introduo a abordagem de modelo de variveis de estado para representao de sistemas.

3.2- FUNO DE TRANSFERNCIAA funo de transferncia de um sistema linear invariante no tempo definida como sendo a relao entre a transformada de laplace da sada (funo resposta) e a transformada de laplace da entrada (funo excitao), considerando-se nulas todas as condies iniciais. Seja a seguinte expresso: a0 d n y( t ) d n 1 y( t ) dy( t ) d m ( t ) d m 1 ( t ) d ( t ) + a1 ...+ a n 1 + a n . y( t ) = b 0 + b1 ...+ b m1 + b m . ( t ) n n 1 m m 1 dt dt dt dt dt dt Onde: n m ( t ) entrada e y( t ) sada Aplicando-se a transformao de laplace na expresso acima, temos:

( a .S0

n

+ a 1Sn 1 +....+ a n 1.S + a n ) Y (s) = ( b0 .Sm + b1.Sm1 +....+ b m 1.S + b m ) X( s)

Utilizando o conceito de funo de transferncia, resulta: Y (s) b0 .Sm + b1.Sm 1 +....+ b m 1.S + b m G (s) = = X( s) a 0 .Sn + a 1.Sn 1 +....+ a n 1 .S + a n FUNO DE TRANSFERNCIA (de um sistema de ordem n)

COMENTRIOS SOBRE FUNO DE TRANSFERNCIA A funo de transferncia de um sistema uma propriedade do sistema, independendo da natureza e da magnitude da entrada; Utilizando-se o conceito de funo de transferncia, possvel representar um sistema dinmico em termos de expresses algbricas da varivel complexa S; Embora a funo de transferncia de um sistema inclua as informaes necessrias para relacionar a entrada com a sada, ela no fornece informaes a respeito da estrutura fsica do sistema. Isto significa que a funo de transferncia de sistemas fisicamente diferentes podem ser idnticas;Prof. Hlio Lees Hey - 1997


III-2

Se a funo de transferncia de um sistema conhecida, a resposta do mesmo pode ser analisada para diferentes formas de excitao (entrada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportamento do sistema; Se a funo de transferncia de um sistema no conhecida, ela pode se obtida experimentalmente pela introduo de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as respostas obtidas. Uma vez obtida, a funo de transferncia fornece uma descrio completa das caractersticas dinmicas do sistema.

3.3- DIAGRAMA DE BLOCOSO diagrama de blocos de um sistema, a representao grfica das funes desempenhadas pelos componentes que compe o sistema, juntamente com o fluxo de sinais dentro do sistema. O diagrama de blocos, ao contrrio da representao matemtica do sistema, fornece uma viso grfica global do sistema indicando realisticamente a finalidade dos componentes dentro do sistema, e como ocorre o fluxo de sinais entre os blocos. A seguir so apresentados os componentes que compe um diagrama de blocos e uma descrio sobre os mesmos.

- Blocos e Fluxo de Sinais uma representao simblica para a operao matemtica, na qual o sinal de sada do bloco produzido pelo sinal de entrada deste mesmo bloco, multiplicado pelo ganho do bloco (funo de transferncia do bloco). Os fluxos de sinais so flechas que indicam o sentido em que os sinais de entrada e sada dos blocos so interligados. Y (s) = X(s) . G (s)

A representao de um sistema atravs de diagramas de blocos, permite que se saiba qual a contribuio de cada bloco (componente) no desempenho global do sistema.

- Ponto de SomaOs pontos de soma em um diagrama de blocos indicam como os sinais devem ser somados ou subtrados. Deve-se observar que os sinais a serem somados ou subtrados, devem ter as mesmas dimenses e unidades.

- Pontos de RamificaesSo pontos nos quais, um mesmo sinal flui em direes diferentes.



III-3

3.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADAQuando em um diagrama de blocos de um sistema em malha fechada, a sada realimentada para um ponto de soma para comparao com o sinal de entrada, necessrio converter o sinal de sada para a unidade do sinal de entrada (ex: tenso, fora, posio, etc.). Esta converso feita por um elemento de realimentao, cuja funo de transferncia H(s). Na maioria das vezes, este elemento de realimentao , um sensor que mede a grandeza de sada Y(s), fornecendo como sada um sinal proporcional B(s), porm de mesma natureza que o sinal de entrada X(s). O sinal E(s) o sinal de erro atuante do sistema.

Para o diagrama de bloco mostrado acima, as funes de transferncias associados so: Funo de transferncia de malha-aberta: F.T.M.A Funo de transferncia direta: F.T.D Y(s) = G (s) E(s) Y(s) G (s) = X(s) 1 + G (s). H (s) B(s) = G (s). H (s) E(s)

Funo de transferncia de malha-fechada: F.T.M.F

A funo de transferncia de malha-fechada pode ser obtida como segue: Y(s) = G (s). E(s) E(s) = X(s) B(s) B(s) = H (s). Y(s) Y(s) = G (s).{X(s) H (s). Y(s)} Y(s)(1 + G(s).H(s)) = G (s).X(s) Y(s) G (s) Y(s) F. T. D = = X(s) 1 + F. T. M. A X(s) 1 + G (s). H (s) Ex: Seja o circuito abaixo representado; onde ei(t) o sinal de entrada e e0(t) o sinal de sada. Obtenha o diagrama de blocos correspondente. Aps obtenha a funo de transferncia de malha fechada do circuito, utilizando o conceito visto. Obs: Para a obteno do diagrama de blocos de um determinado sistema, deve-se inicialmente obter as equaes que descrevem cada componente. Aplica-se T.L., admitindo-se condies iniciais nulas. Represente cada equao pelos blocos correspondentes. Ento junte os blocos e tenha o diagrama de blocos completo.Prof. Hlio Lees Hey - 1997


III-4

ei (t) e0 (t) R d.e (t) i(t) = C. 0 dt i(t) = I(s) = E1(s) E 0(s) R I(s) = CS. E 0 (s) E 0 (s) = I(s) CS

G (s) =

1 RCS

e

H (s) = 1

Sabendo-se que:

E0(s) G (s) = , resulta: E1(s) 1 + G (s) H (s) 1 E0(s) RC = E1(s) S + 1 RC

E0(s) 1 = E1(s) 1 + RCS

3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAES

No sistema acima representado, temos dois sinais de entrada, isto , a prpria entrada do sistema X(s) e uma perturbao N(s). Quando temos um sistema sujeito a entradas diferentes podemos obter independentemente as respostas para cada uma das entradas, utilizando-se o teorema da superposio, e aps adicion-las resultando na resposta completa. Para o sistema mostrado, considere que: Y(s) = YN(s) + YX(s) Onde:Prof. Hlio Lees Hey - 1997


III-5

Y(s) = resposta completa do sistema; YN(s) = resposta do sistema devido a entrada N(s) (perturbao); YX(s) = resposta do sistema devido a entrada X(s) (ent. principal); YN (s) G 2(s) = N (s) 1 + G 2(s). G1(s). H (s) YX(s) G1(s). G 2(s) = X(s) 1 + G1(s). G 2(s). H (s) Y(s) = G 2(s). N (s) G1(s). G 2(s). X(s) + 1+. G1(s)G 2(s). H (s) 1 + G1(s). G 2(s). H (s) Y(s) = G 2(s) + {N (s) + G1(s). X(s)} 1+. G1(s)G 2(s). H (s)

Se G1(s). G 2(s). H (s) >>> 1 e G1(s). H (s) >>> 1 ento: YN (s) 0 YX(s) 1 . X(s) H (s) Y(s) = X(s) H (s)

Com isto, conclu-se que: Se o ganho G1(s).H(s) elevado, os efeitos que as perturbaes poderiam causar na resposta do sistema, so desprezados. Se o ganho G1(s).H(s) elevado, a funo de transferncia do sistema independe das variaes em G1(s) e G2(s) e inversamente proporcional ao ganho H(s). Se o ganho da realimentao unitrio, ento o sistema em malha fechada, tende a igualar a sada com a entrada.

3.6- REGRAS DA LGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOSGeralmente, diagramas de blocos complicados envolvendo diversos laos de realimentao, vrios blocos em srie, pode ser simplificado atravs da manipulao de blocos no diagrama, utilizando-se as regras da lgebra de blocos mostrados a seguir:



III-6

Observaes: - Em toda simplificao a ser feita, o produto das funes de transferncia diretas deve permanecer inalterado. Isto tambm vale para funes de transferncia em um lao. - Para a correta simplificao de um diagrama de blocos deve-se inicialmente deslocar-se pontos de soma e juno, permutar pontos de soma e, ento, reduzir-se os laos de realimentao internos.

3.7- GRFICOS DE FLUXO DE SINALDa mesma forma que o diagrama de blocos, o grfico de fluxo de sinais usado para a representao grfica de uma funo de transferncia. No grfico de fluxo de sinais, os blocos so substitudos por setas e os pontos de soma por ns. Porm, os ns tambm representam as variveis do sistema. Cada seta indica a direo do fluxo de sinal e tambm o fator de multiplicao que deve ser aplicado a varivel de partida da seta (ganho do bloco). Ex:


C(s) = G (s). E(s)


III-7

DEFINIES DOS TERMOS USADOS EM GRFICO DE FLUXO DE SINAIS N: Representa uma varivel. Ganho de Ramo: o ganho entre dois ns. Ramo: uma reta interligando dois ns. N de Entrada: So os ns que possuem apenas ramos que saem do n. Corresponde a uma varivel de controle independente. N de Sada: So os ns que possuem apenas ramos que chegam ao n. Corresponde a uma varivel dependente. N Misto: So os ns que apresentam ramos saindo e chegando ao n. Caminho: uma trajetria de ramos ligados no sentido das flechas. Caminho Aberto: aquele em que nenhum n cruzado mais de uma vez. Caminho Fechado: aquele em que termina no mesmo n em que comeou. Caminho Direto: o caminho desde um n de entrada at um n de sada, cruzando cada n uma nica vez. Lao: um caminho fechado. Ganho do Lao: o produto dos ganhos dos ramos que fazem parte do lao. Laos que no se tocam: So laos que no apresentam ns comuns.

LGEBRA DO GRFICO DE FLUXO DE SINAIS



III-8

3.8- FRMULA DO GANHO DE MASONA frmula do ganho de Mason permite que se determine o ganho de um sistema em malha fechada diretamente do diagrama de blocos ou do grfico de fluxo de sinais, sem a necessidade de reduo dos mesmos. Embora seja um procedimento simples, a aplicao desta tcnica deve ser usada com extremo cuidado para que os termos que compe a frmula do ganho no sejam trocados. Ex: Seja o seguinte sistema:

A definio dos caminhos diretos e dos ganhos dos laos envolvidos mostrado abaixo. CAMINHOS DIRETOS: G1 ,G2 ,G3 ,G4 ,G5 G6 ,G4 ,G5 LAOS: G2 H1 G4 H2 Seja T, o ganho do grfico acima, isto , a sua funo de transferncia. A frmula do ganho de Mason dada por: T= Onde: Determinante do grfico 1 ( dos ganhos dos laos individuais) + ( dos produtos de ganhos de todas as possveis combinaes de dois laos que no se tocam) ( dos produtos de ganhos de todas as possveis combinaes de trs laos que no se tocam) + ( dos produtos de ganhos de todas as possveis combinaes de quatros laos que no se tocam) (........ 1 L + L. La a b ,c b c d ,e ,f d

1 P 1 1 MK. K = M. 1 + M 2 . 2 +......+ M p . p K=

(

)

L. L. L +.....e f

MK = ganho do K-simo caminho direto; K = o determinante associado ao K-simo caminho direto. obtido de , removendo-se os laos que tocam este K-simo caminho direto. Para o exemplo mostrado, resulta: M1 = G1, G2, G3, G4, G5 M2 = G6, G4, G5 L1 = - G2H1 L2 = - G4H2Prof. Hlio Lees Hey - 1997

Ganho dos caminhos Diretos;

Ganhos dos laos individuais;


III-9

L1. L2 = G2H1.G4H2

Ganho de 2 laos que no se tocam;

= 1 - (- G2H1 - G4H2) + (G2H1.G4H2) 1 = 1 2 = 1 + G2H1 T= M 1 1 + M 2 2 T=

(G G1

2

G 3 G 4 G 5 ).1 + ( G 6 G 4 G 5 ). (1 + G 2 H 1 )

1 + G 2 H1 + G 4 H 2 + G 2 H1.G 4 H 2

3.9- INTRODUO A TEORIA DE MODELOS DE VARIVEIS DE ESTADOA tendncia dos sistemas modernos de que cada vez mais aumente sua complexidade. Isto se deve principalmente a necessidade de uma boa preciso, aliada a prpria complexidade das tarefas a serem executadas pelo sistema. Nestes sistemas tem-se vrias-entradas e vrias-sadas que geralmente podem ser variantes no tempo. Esta complexidade fez com que os sistemas de controle fossem analisados segundo uma nova abordagem, que o modelo de variveis de estado. Esta abordagem uma ferramenta fundamental na teoria de sistemas de controle moderno, sendo aplicvel a sistemas com mltiplas entradas e sadas, lineares ou no, variantes ou invariantes no tempo. Esta abordagem feita no domnio de tempo. Vale lembrar que a abordagem de controle clssico, baseada no conceito de funo de transferncia, vlida para sistemas lineares, invariantes no tempo e uma entrada-uma sada e feita no domnio freqncia. A seguir so feitas algumas definies necessrias para a abordagem de ESPAO DE ESTADO.

- Estado:O estado de um sistema dinmico o menor conjunto de variveis (de estado), tal que o conhecimento destas variveis em t = t0, juntamente com a entrada para t t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t0.

- Variveis de Estado o menor conjunto de variveis que determina o estado de um sistema dinmico. Se pelo menos n variveis ( 1 ( t ), 2 ( t ),.... n ( t )) so necessrias para descrever completamente o comportamento de um sistema dinmico, ento estas n variveis so um conjunto de variveis de estado. Embora no seja necessrio, interessante que as variveis de estado sejam grandezas facilmente mensurveis devido a aplicao das de de controle que necessitam da realimentao destas variveis.

- Vetor de EstadoSe n variveis de estado so necessrias para descrever o comportamento de um sistema, ento estas n variveis podem ser consideradas como n componentes de um vetor X 1 ( t ) , chamado VETOR DE ESTADO.Prof. Hlio Lees Hey - 1997


III-10

- Modelo de Variveis de Estado um conjunto de equaes diferenciais de 1a ordem, escritas na forma matricial que permite, alm de representar as relaes entre as entradas e as sadas do sistema, permite representar tambm algumas caractersticas internas do sistema. Como caracterstica desta abordagem, pode-se citar: - Como o sistema pode ter mais de uma entrada, possvel enviar para dentro do modelo mais informaes a cerca da planta; - Vrios modelos de variveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema. Visto que depende da escolha das variveis de estado; - As teorias de controle moderno so desenvolvidas para esta abordagem; - Para simulao de sistemas, geralmente necessita-se do seu modelo de variveis de estado. Ex: Seja o sistema mostrado abaixo. Obtenha a equao diferencial de segunda ordem que o define, a sua funo de transferncia e duas representaes por modelo de variveis de estado. i( t ) c( t ) R1 di ( t ) c( t ) 0( t ) = L. 2 dt dc( t ) i 1 ( t ) i 2 ( t ) = C. dt i1 ( t) = 2 c( t ) = 0( t ) + L. 1, 2, 4 3 i( t ) c( t ) 0( t ) d L d = + + C. 0( t ) + . . 0( t ) R1 R1 R2 dt R 2 dt 6 di 2 ( t ) dt 5 0( t ) = R 2 . i 2 ( t ) 1 2 3 4

i( t ) 0( t ) L d 0( t ) 0( t ) d 0( t ) LC d 2 0( t ) = + + + C. + . . R1 R1 R1R 2 dt R2 dt R2 dt 2 L + CR 1R 2 R1 + R 2 LCR1 . 0( t ) + . 0( t ) + . 0( t ) = i( t ) R2 R2 R2 8

7

A expresso acima representa o sistema mostrado, atravs da equao diferencial de 2a ordem que o define.

- Funo de TransfernciaPara a obteno da funo de transferncia deste sistema, deve-se obter a razo entre as transformaes de laplace dos sinais de entrada e sada.Prof. Hlio Lees Hey - 1997


III-11

Entrada: i( t ) Vi( s)

Sada: 0 ( t ) V0 ( s) 9

L + CR 1 R 2 R1 + R 2 LCR 1 2 . S V0( s) + . SV0( s) + V0 ( s) = Vi( s) R2 R2 R2 Seja: A= LCR 1 ; R2 B= L + CR 1 R 2 ; R2 R1 + R2 ; R2

C=

V 0(s) 1 = 2 Vi (s) AS + BS + C

10

- 1o Modelo de Variveis de EstadoPara a obteno do modelo de variveis de estado, deve-se inicialmente definir quem so as variveis de estado; sinais de entrada e sinais de sada. Entrada: i( t ) Variveis de Estado: 0( t ), Desta forma, tem-se que: 1 ( t ) = 0( t ) Variveis de estado 2 ( t ) = 0( t ) y( t ) = 0( t ) = 1( t ) Sinal de sada 0( t )

Sada: 0 ( t )

L + CR 1 R 2 R1 + R 2 LCR 1 . 1 ( t ) + . 1( t ) = i( t ) . 1 ( t ) + R2 R2 R2 mas, 1 ( t ) = 2 ( t ) . Desta forma, resulta que:

11

L + CR 1 R 2 R1 + R 2 LCR 1 . 2 ( t) + . 1( t ) = i( t ) . 2 ( t ) + R2 R2 R2 Seja: D= R1 + R 2 ; LCR 1 E= L + CR 1 R 2 ; L + CR 1 F= R2 ; LCR 1

12

1( t ) 0 1 1( t ) 0 = ( t ) D E . ( t ) + F.i( t ) 2 2

13

1(t ) y ( t ) = [1 0] . 2 (t )

14

- 2o Modelo de Variveis de Estado



III-12

Sejam agora as variveis de estado, a tenso do capacitor e a corrente do indutor. Entrada: i( t ) Sada: 0 ( t ) Variveis de Estado: 1 (t ) = c ( t ) 2 ( t ) = i 2 ( t ) 1( t ) =

1 1 1 .i( t ) . 1( t ) . 2 ( t ) R 1C R 1C C 1 1 1 1( t ) 2 ( t ) + i( t ) R 1C C R 1C 17

15

1( t ) =

16

R 2 ( t ) = 1 1( t ) 2 . 2 ( t ) L L y(t ) = R 2 .2 (t )

1 1 1 1( t ) R C C 1( t ) 1 + R C .i( t ) . ( t) = 1 R 2 2 ( t) 1 2 0 L L 1 (t ) y ( t ) = [ 0 R 2 ] . 2 (t )

3.10- FORMA PADRO DE REPRESENTAO DO MODELO DE VARIVEIS DE ESTADO DE UM SISTEMAA forma padro para representao do modelo de variveis de estado para um sistema qualquer mostrado abaixo. X (t ) = A. X (t ) + B. U( t ) Equao de Estado Y (t ) = C. X( t ) + D. U( t ) Equao de Sada

Onde: X(t) Vetor de Estado; A Matrix de Estado; B Matrix de Entrada; C Matrix de Sada; D Matrix de Transmisso direta; Y(t) Vetor de Sada.



III-13

U(t) Vetor de Entrada;

Geralme nte, a Matrix de Transmisso Direta nula, visto que quase sempre existe uma dinmica em todas as ligaes entrada e sada dos sistemas. A obteno do modelo de variveis de estado de um sistema, geralmente pode ocorrer atravs de uma das formas apresentadas abaixo - Equaes Diferenciais do Sistema: Geralmente as variveis de estado so variveis fsicas do sistema. - Funo de Transferncia: Geralmente no so variveis fsicas do sistema.

3.11- OBTENO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS EQUAES DIFERENCIAISSeja o seguinte sistema de equaes, onde y1(t) e y2(t) so as sadas do sistema e 1(t) e 2(t) as entradas do sistema. y 1 ( t ) + K 1 y 1 ( t ) + K 2 y 1 ( t ) = 1 ( t ) + K 3 2 ( t ) y 2 ( t ) + K 4 y 2 ( t ) + K 5 y 1 ( t ) = K 6 1 ( t )

- Variveis de Estado 1 (t ) = y 1 ( t ) 2 (t ) = y 1 (t ) ( t ) = y ( t ) 2 3 Desta forma, substituindo as variveis de estado no sistema de equaes, resulta: 1 ( t) = 2 (t ) 2 ( t ) = K 1 2 ( t ) K 2 1 ( t ) + 1 ( t ) + K 3 2 ( t ) 3 ( t ) = K 5 2 ( t ) K 4 3 ( t ) + K 6 1 ( t ) 1 (t ) (t ) = 2 3 (t )

0 K 2 0

1 K1 K5

0 1 ( t ) 0 0 . 2 (t ) + 1 K 4 3 (t ) K 6

0 1 ( t) K 3 . ( t ) 2 0



III-14

1 (t ) y 1 ( t ) 1 0 0 y (t ) = 0 0 1. 2 ( t ) 2 3 (t)

3.12- OBTENO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA FUNO DE TRANSFERNCIASeja a seguinte Funo de Transferncia: ( s) b 2 S 2 + b 1S + b 0 Y (s) . 1 = G (s) = 3 2 1 (s) U (s) S + a 2 S + a 1S + a 0 Y (s) = b 2 S 2 1 (s) + b 1S 1 (s) + b 0 1 (s) U (s) = S 3 1 (s) + a 2S 2 1 (s) + a 1S 1 (s) + a 0 1 (s)

Definindo-se: S 1 (s) = 2 (s) S 2 1 (s) = S 2 (s) = 3 (s)

Aplicando-se a transformao inversa de laplace no sistema de equaes acima, resulta que : Y( t ) = b 2 3 ( t ) + b 1 2 ( t ) + b 0 1 ( t ) e: 3 ( t ) = a 2 3 (t ) a 1 2 (t ) a 0 1 ( t ) + (t ) 1 (t ) = 2 (t ) 2 (t ) = 3 (t )



III-15

1 (t ) (t ) = 2 3 (t )

0 0 a 0

1 0 a 1

0 1 (t ) 0 1 . 2 (t ) + 0. ( t ) a 2 3 (t ) 1

y ( t ) = [b 0

b1

1 (t ) b 2 ]. 2 ( t ) 3 ( t)

3.13- OBTENO DA FUNO DE TRANSFERNCIA DE UM SISTEMA, A PARTIR DAS EQUAES DE ESTADOSeja a representao de estado, mostrada abaixo: X (t ) = A. X (t ) + B. (t ) Y ( t ) = C. X ( t ) + D. ( t ) Aplicando a transformao de laplace nestas equaes e considerando nulas as condies iniciais, resulta: SX (s) = AX( s) + BU( s) Y ( s) = CX ( s) + DU( s)matrix identidade

(SI A ). X( s) = BU( s) X( s) = (SI A ) 1 . BU( s) Substituindo a expresso de X(s) na equao de Y(s), resulta: Y(s) = {C.(SI A ) 1 . B + D}. U(s) Com isto, tem-se: Y(s) = G (s) = C.(SI A ) 1 . B + D U(s)Prof. Hlio Lees Hey - 1997


III-16

3.14- TRANSFORMAO DE EQUAES DE ESTADO E VARIVEIS DE ESTADOSeja a seguinte representao de estado: X( t ) = A. X( t ) + B. U( t ) Y( t ) = C. X( t ) + D. U( t )

Definindo-se um outro Vetor de Estado V(t) = Q.X(t), onde Q uma matrix qualquer, resulta. X( t ) = Q 1 . V (t ) Onde: Q 1 = P ; P Matrix de Transformao; X( t ) = P. V ( t ) X( t ) = P. V ( t ) Substituindo-se as expresses de X(t) e X( t ) na representao mostrada, tem-se: P. V( t ) = A. P. V( t ) + B. U( t ) Y( t ) = C. P. V( t ) + D. U( t ) V( t ) = P 1 . A. P. V( t ) + P 1 . B. U( t ) Y( t ) = C. P. V( t ) + D. U( t ) V( t ) = Av.V( t ) + Bv. U( t ) NOVA REPRESENTAO DE ESPAO DE ESTADO Y( t ) = Cv.V( t ) + D. U( t )

Ex: Dado G ( s) = 1 obtenha: S + 3S + 22

- Uma representao por Espao de Estado; - Uma representao por Espao de Estado para a seguinte transformao:

1( t ) = 1 ( t ) + 2 ( t ) 2( t ) = 1 ( t ) + 2. 2 ( t )Utilizando-se o procedimento mostrado no tem 3.12, o modelo de estado para este sistema obtido como mostrado abaixo: X 1 ( t ) 0 1 X 1 ( t ) 0 = . + . ( t ) X 2 ( t ) 2 3 X 2 (t ) 1



III-17

X1 Y( t ) = [1 0] . X 2 O novo conjunto de variveis de estado V(t), em funo das variveis de estado X(t), dado por: 1 1 X1 ( t ) V( t ) = . Onde: 1 2 X 2 ( t ) Sendo P-1=Q, resulta que: 1 1 P 1 = Q = 1 2 Com isto, temos que: 1 1 0 1 2 1 2 2 2 1 2 0 P 1 . A. P = . . = . = 1 2 2 3 1 1 4 5 1 1 3 1 e: 1 1 0 1 P 1 . B = . = 1 2 1 2 2 1 C.P = [1 0] . = [ 2 1] 1 1 P = Q 1 = Adj. Q Q 2 1 P = 1 1 1 1 Q= 1 2 e Q = +1 2 1 e Adj. Q = 1 1

Finalizando, o novo modelo de variveis de estado dado por: V1 ( t ) 2 0 V1 ( t ) 1 = . + . ( t ) V2 ( t ) 3 1 V2 ( t ) 2

V1 ( t ) Y( t ) = [ 2 1] . V2 ( t )



IV-1

&$378/2 ,9MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS DINMICOS4.1- INTRODUOInicialmente necessrio que se defina o que sistema, sistema dinmico e sistema esttico. Um SISTEMA uma combinao de componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivo especificado. O sistema dito ESTTICO, quando a sada atual do sistema depende somente da entrada atual. A sada do sistema s varia se a sua entrada variar. O sistema dito DINMICO, se a sua sada depende da entrada e dos valores passados da entrada. Num sistema dinmico a sada varia se ela no estiver num ponto de equilbrio, mesmo que nenhuma entrada esteja sendo aplicada. O modelo matemtico de um sistema dinmico definido como sendo o conjunto de equaes que representam a dinmica do sistema com uma certa preciso. O modelo matemtico de um dado sistema no nico, isto , um sistema pode ser representado por diferentes modelos dependendo da anlise que se deseja fazer. Na obteno do modelo matemtico para um dado sistema deve-se ter um compromisso entre a simplicidade do modelo e a sua preciso. Nenhum modelo matemtico, por mais preciso que seja, consegue representar completamente um sistema. Em geral deve-se obter um modelo matemtico, que seja adequado para solucionar o problema especfico que esta em anlise. Porm, importante ressaltar que os resultados obtidos desta anlise sero vlidos somente para os casos em que o modelo vlido. Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos algumas propriedades fsicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam na resposta do sistema so pequenos, ento uma boa semelhana entre os resultados da anlise matemtica e os resultados prticos do sistema obtido. Em geral os sistemas dinmicos so no lineares. Porm, os procedimentos matemticos para a obteno de soluo de modelos lineares so muito complicados. Por isto, geralmente substitu-se o modelo no linear por um modelo linear, com validade somente em uma regio limitada de operao, ou para um ponto de operao. A obteno dos modelos que representam um dado sistema, so baseados nas leis que regem aquele sistema. Por exemplo, na modelagem de um sistema mecnico, deve-se ter em mente as leis de Newton; na modelagem de sistemas eltricos deve-se ter em mente as leis das correntes e das tenses de Kirchoff; na modelagem de sistemas trmicos deve-se ter mente as leis que regem os fenmenos trmicos, isto , conduo, radiao e conveno, etc... Neste captulo, nos preocupamos com a modelagem de sistemas mecnicos de translao e rotao e sistemas eletromecnicos. A modelagem de outros sistemas fsicos, tais como, sistemas trmicos e sistemas hidrulicos no sero objeto de anlise.

4.2- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS MECNICOSOs sistemas mecnicos so divididos em dois grupos, isto , sistemas mecnicos de translao, e sistemas mecnicos de rotao. A seguir, alguns conceitos importantes relativos a sistemas mecnicos, sero revisados.

- MassaA massa de um corpo, a quantidade de matria deste corpo, a qual constante. Fisicamente, a massa de um corpo responsvel pela inrcia do mesmo, isto , a resistncia mudana de movimento de um corpo. O peso de um corpo, a fora com a qual a terra exerce atrao deste corpo.Prof. Hlio Lees Hey - 1997


IV-2

m=

g

Onde: m massa (Kg) o peso (Kgf) g a acelerao da gravidade ( 9,81 m/s2)

Embora o peso de um corpo possa variar de um ponto para outro, a massa do mesmo no varia.

- ForaA fora definida como a causa que tende a produzir uma mudana na posio de um corpo, no qual a fora est atuando. As foras, podem ser classificadas de duas formas, FORAS DE CONTATO e FORAS DE CAMPO. As foras de contato so aquelas que tem um contato direto com o corpo, enquanto as foras de campo no apresentam contato direto com o corpo, como por exemplo, fora magntica e fora gravitacional.

- TorqueO torque, definido como qualquer causa que tende a produzir uma mudana na posio angular (rotacional) de um corpo, no qual o torque esteja atuando.

- Deslocamento, Velocidade e AceleraoO deslocamento ( t ) a troca de posio de um ponto, tomado como referncia, para outro. A velocidade a derivada temporal do deslocamento ( t ) . ( t) = d ( t ) = ( t ) dt

A acelerao a derivada temporal da velocidade: d ( t ) d 2 ( t ) a( t ) = = a( t ) = ( t ) = ( t ) dt dt 2

- Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Acelerao AngularO deslocamento angular (t), definido como a troca de posio angular, sobre um eixo, de um ngulo tomado como referncia e outro. medido em radianos. A direo anti-horrio tomada como positiva. A velocidade angular (t), a derivada temporal do deslocamento angular (t). ( t ) = d( t ) = ( t ) dt

A acelerao angular (t), a derivada temporal da velocidade angular . d( t ) d 2 ( t ) ( t ) = = ( t ) = ( t ) = ( t ) dt dt 2



IV-3

Obs: Se a velocidade ou a velocidade angular medida em relao a uma referncia fixa, ento chamamos de velocidade absoluta ou velocidade angular absoluta. Caso contrrio sero grandezas relativas. O mesmo vlido para a acelerao. LEIS DE NEWTON Das trs leis que foram formuladas por Newton, a segunda lei a mais importante, para a obteno de modelos matemticos de sistemas mecnicos.

- Segunda lei de Newton (Translao)A acelerao adquirida por de qualquer corpo rgido diretamente proporcional as foras que atuam neste corpo, e inversamente proporcional a massa deste corpo.

foras = m.a- Segunda lei de Newton (Rotao)A acelerao angular de qualquer corpo rgido diretamente proporcional aos torques que atuam neste corpo, e inversamente proporcional ao momento de inrcia deste corpo.

T = JOnde: J Momento de inrcia;

4.2.1- SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLAONos sistemas mecnicos de translao, h trs elementos mecnicos envolvidos que so: elemento de inrcia, elemento de amortecimento, elemento de elasticidade.

- Elemento de Inrcia (Massa)

M massa; f (t) fora aplicada; (t) deslocamento.

assumido que a massa rgida. Desta forma a conexo superior, no deve se mover em relao a conexo inferior, isto , ambas conexes se deslocam segundo (t). d ( t ) d 2 ( t ) =M f ( t ) = M. a ( t ) = m dt 2 dt Onde: a(t) acelerao; (t) velocidade; (t) deslocamento.Prof. Hlio Lees Hey - 1997


IV-4

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor)No caso deste elemento existe um deslocamento relativo entre o ponto de conexo superior e o ponto de conexo inferior. Portanto, existe a necessidade de duas variveis deslocamento para descrever este elemento. A realizao fsica deste elemento a frico viscosa associada ao leo ou ar. d 1 ( t) d 2 (t ) f ( t ) = B dt dt

Fora de Amortecimento

f(t) = B(1(t)- 2(t))

B Coeficiente de amortecimento; 1(t) Velocidade relativa ao deslocamento 1 ( t ) 2(t) Velocidade relativa ao deslocamento 2 ( t ) .

- Elemento de Elasticidade (Mola)

Este elemento, pode ser deformado por uma fora externa, tal que a deformao diretamente proporcional a esta fora. f ( t ) = K( 1 ( t ) 2 ( t )) Fora de elasticidade

Uma vez que os elementos mecnicos dos movimentos de translao esto definidos, as equaes de sistemas mecnicos de translao podem ser escritas seguindo as leis de Newton. Ex1: d 2 ( t ) d ( t ) = f ( t) B K ( t) M 2 dt dt

Neste sistema, trs foras exercem influncias sobre a massa M: fora aplicada f(t), a fora de amortecimento e a fora de elasticidade. A funo de transferncia , pode ser obtida, considerando-se a fora aplicada como entrada e o deslocamento ( t ) como sada. F(s) = MS2X(s) + BSX(s) + KX(s) X(s) 1 = G (s) = = 2 F(s) MS + BS + KProf. Hlio Lees Hey - 1997

1M B K S2 + S + M M


IV-5

Ex2:

Este sistema mecnico, o modelo simplificado de um sistema de suspenso de uma das rodas de um automvel, onde: M1 Massa do automvel; M2 Massa do roda; K1 Cte de elasticidade (mola); K2 Cte de elasticidade (pneu); B Cte de amortecimento (amortecedores). Se observarmos a figura, existem 2 deslocamentos independentes 1 ( t ) e 2 ( t ) . Isto significa que, conhecer o deslocamento 1 ( t ) no implica em conhecer o deslocamento 2 ( t ) . Portanto devese escrever 2 equaes. d. 1 ( t ) d. 2 ( t ) d 2 1 ( t) = K1 ( 1 ( t ) 2 ( t ) ) B M1 dt dt dt 2 1

d 2 ( t ) d 1( t ) d 2 2 (t ) K 2 2 ( t) = f ( t ) K 1 ( 2 ( t ) 1 ( t )) B M2 2 dt dt dt

2

Supondo que deseja-se obter a funo de transferncia entre a fora aplicada f(t) e o deslocamento do carro 1 ( t ) . M1S2X1(s) = - K1(X1(s) - X2(s)) - B(SX1(s) - SX2(s)) 3 4

M2S2X2(s) = F(s) - K1(X2(s) - X1(s)) - B(SX2(s) - SX1(s)) - K2X2(s) Pela equao 3; resulta X1(s)(M1S2 + K1 + BS) = X2(s)(K1 + BS) X 1 (s) = BS + K 1 . X (s) M 1S 2 + BS + K 1 2 5

Pela equao 4, resulta X2(s)(M2S2 + K1 + K2 + BS) = F(s) + (K1 + BS)X1(s) X 2 (s) = BS + K 1 1 . F(s) + X (s) 2 M 2 S + BS + K 1 + K 2 M 2 S + BS + K 1 + K 2 12

6

X 1 (s) = G 1 (s). X 2 (s)

5 6

X 2 (s) = G 2 (s). X 1 (s) + G 3 (s). F(s)

As equaes 5 e 6 fornecem as seguintes representaes:Prof. Hlio Lees Hey - 1997


IV-6

Diagrama de blocos

Grficos de fluxo de sinais

Caminho direto: M1 = G1. G3 Laos individuais: La = G1. G2 Determinante do sistema: = 1 G 1G 2 Funo de transferncia: Onde: G1G 2 =1

X1 G 1G 3 = F 1 G 1G 2 BS + K 12

(M S (M S1

+ BS + K 1 ) ( M 2 S + BS + K 1 + K 2 )2

.

BS + K 1

G1G 3 =

BS + K 12

+ BS + K 1 ) ( M 2 S + BS + K 1 + K 2 )2

.

1

Com isto, a funo de transferncia deste sistema dada por:

( M 1S + BS + K 1 ).( M 2S 2 + BS + K 1 + K 2 ) X 1 (s) = F( s) ( M 1S 2 + BS + K 1 )( M 2 S2 + BS + K1 + K 2 ) ( BS + K1 ) 22

BS + K 1

(M S1

2

+ BS + K 1 )( M 2S 2 + BS + K 1 + K 2 )

X1 (s) BS + K 1 = 4 3 F(s) M 1 M 2 S + (M 1 + M 2 )BS + (M 1 K 1 + M 1 K 2 + M 2 K 1 )S 2 + BK 2S + K 1 + K 2 Esta funo de transferncia, descreve completamente, a dinmica do sistema apresentado. Uma vez conhecido, a massa do carro M1, massa da roda M2 e a elasticidade do pneu K2, a suavidade ou conforto do carro determinado pela definio dos valores de K1 e B.(B amortecedor; K1 mola). Como o coeficiente de amortecimento B varia com o desgaste do amortecedor, a funo de transferncia tambm varia com o tempo mudando o conforto do carro.

4.2.2- SISTEMAS MECNICOS DE ROTAOOs elementos mecnicos envolvidos nos sistemas mecnicos de rotao, so os mesmos j definidos para os sistemas mecnicos de translao. A diferena que agora os deslocamentos so angulares.Prof. Hlio Lees Hey - 1997


IV-7

- Elementos de inrcia (Momento de Inrcia)T( t ) = J ( t ) = J d( t ) d 2 ( t ) =J T(t) = J( t ) dt dt 2

Onde:

J Momento de inrcia; T(t) Torque aplicado; (t) Deslocamento angular. (t) Acelerao angular; (t) Velocidade angular.

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor)

T(t ) = B 1 ( t ) 2 ( t )

(

)

1 ( t ) 2 ( t ) = Velocidade Relativa;

T = Torque aplicado; B = Coef. de amortecimento Rotacional.

- Elemento de Elasticidade (Mola)T(t ) = K( 1 ( t ) 2 ( t )) T (t) = Torque aplicado; 1(t) - 2(t) = Desloc. angular relativo.

Exemplos: 1) Considere o sistema mecnico rotacional, mostrado a seguir: J( t ) = T( t )

J ( t ) = T(t ) B ( t ) T(t ) = J ( t ) + B ( t )

Aplicando T.L, resulta: T(s) = JS.(s) +B.(s) 1 (s) = T(s) J .S + B 2) Considere o sistema mecnico rotacional, mostrado a seguir: Este sistema um exemplo de relgios de pndulo. O momento de Inrcia do pndulo, representado por J; a frico entre o pndulo e o ar representado por B, e a elasticidade do pndulo representada por K. J( t ) = T( t ) JProf. Hlio Lees Hey - 1997

d 2 ( t ) d ( t ) = T(t ) B K( t ) 2 dt dt


IV-8

Aplicando T.L, resulta: J . S 2 (s) = T(s) BS. (s) K. (s) A funo de transferncia, ser ento: (s) 1 = 2 T(s) J.S + B.S + K

4.3- MODELAGEM MATEMTICA DE SISTEMAS ELTRICOSA modelagem de sistemas eltricos baseada nas leis das tenses e das correntes de Kirchoff. Devido a nossa familiaridade com circuitos eltricos, a modelagem dos mesmos torna-se facilitada. Os elementos envolvidos nos circuitos eltricos so: Resistores, Indutores, Capacitores, amplificadores, etc...

4.3.1- CIRCUITO RLCdi( t ) + Ri( t ) + c( t ) = ei( t ) dt dc( t ) i( t ) = C dt L Aplicando a T.L nas expresses acima, resulta: L.S.I(s) + R.I(s) + Vc(s) = Ei(s) I(s) = C.S.Vc(s) Substituindo-se a expresso de I(s) na primeira equao, tem-se: L.S.C.S.Vc(s) + R.C.S.Vc(s) + Vc(s) = Ei(s) Como: Vc(s) = E0(s) LCS2. E0(s) + R.CSE0(s) + E0(s) =Ei(s) E 0 (s) 1 = 2 Ei(s) L. C. S + R. C.S + 1 Obs: Em invs trabalharmos com o elemento eltrico podemos trabalhar com o circuito de impedncia complexa, facilitando a obteno da Funo de Transferncia. ELEMENTO R L CProf. Hlio Lees Hey - 1997

IMPEDNCIA CARACTERSTICA R LS 1/CS


IV-9

2)

E 0 (s) =

1 . I 2 (s) C2S

Ei (s) + R 1 I 1 (s) +

1 (I 1 (s) I 2 (s)) = 0 C 1S

I 1 (s) I 2 (s) = Ei(s) R 1 I 1 (s) C 1S I 1 (s) I 2 (s) = E 0 (s) + R 2 I 2 (s) C 1S I 2 (s) = C 2 SE 0 (s)

1 (I 1 (s) I 2 (s)) + R 2 I 2 (s) + E 0 (s) = 0 C 1S I 1 (s) = C 1SEi(s) + C 2 SE 0 (s) 1 + R 1 C1S

C SEi (s) + C 2 SE 0 (s) Ei (s) R 1 . 1 = E 0 (s) + R 2 C 2 SE 0 (s) 1 + R 1C 1S Ei (s)(1 + R 1C 1S R 1C 1S) + R 1C 2 SE 0 (s) = (1 + R 1C 1S)(1 + R 2 C 2 S)E 0 (s) E0 1 = Ei (1 + R 1C 1S)(1 + R 2 C 2 S) + R 1C 2 S

4.4- SISTEMAS ANLOGOSSistemas anlogos, so sistemas que embora apresentem caractersticas fsicas diferentes, so descritos pelos mesmos modelos matemticos. A existncia deste conceito muito utilizada na prtica. Uma vez que um determinado sistema fsico esteja estudado e analisado, um outro sistema anlogo a este tambm estar. Em virtude da construo de um prottipo de um sistema mecnico, hidrulico, etc, ser mais complicado, estes sistemas podem se estudados e analisados atravs do circuito eltrico anlogo.

4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELTRICOS E MECNICOSEntre os sistemas eltricos e mecnicos, existem dois tipos de analogias: Analogia Fora-Tenso; Analogia Fora-Corrente.

a) Analogia Fora-TensoAbaixo mostrado as grandezas anlogas entre os sistemas Eltricos e Mecnicos para este caso.



IV-10

SISTEMA ELTRICO Tenso (t) Indutncia L Resistncia R Inverso da Capacitncia 1/C Carga Eltrica q(t) Corrente i(t)

SISTEMA MECNICO DE TRANSLAO Fora F(t) Massa M Coef. de Atrito B Coef. de Elasticidade K Deslocamento ( t ) Velocidade ( t )

SISTEMA MECNICO DE ROTAO Torque T(t) Momento de Inrcia (J) Coef. de Atrito B Coef. de Elasticidade K Desloc. Angular (t) Veloc. Angular ( t ) = ( t )

Sejam os sistemas eltricos e mecnicos, abaixo representados.

Para o sistema mecnico, tem-se que: d 2 ( t ) d( t ) +B + K ( t ) = f M dt dt Para o sistema eltrico, tem-se que: 1 di( t ) + Ri( t ) + i( t )dt = ( t ) L C dt dq 2 ( t ) dq ( t ) 1 dq ( t ) +R + q(t ) = (t ) L mas, i( t ) = 2 C dt dt dt onde: q(t) Cargas eltricas. As equaes diferenciais 1 e 2 so idnticas e portanto os dois sistemas apresentados so anlogos. 2 1

b) Analogia Fora-CorrenteSejam os sistemas eltricos e mecnicos, abaixo representados.



IV-11

A equao que define o sistema mecnico j foi obtida acima, em 1. Para o sistema eltrico, tem-se que: iL(t) + iR(t) + iC(t) = is(t) 3

( t ) 1 d( t ) ( t ) dt + R + C dt = is( t ) L mas: ( t ) = d ( t ) ; dt C onde: fluxo magntico.

d 2 ( t ) 1 d( t ) 1 + + ( t ) = is( t ) R dt L dt 2

4

As equaes 1 e 4, so idnticas e portanto os dois sistemas apresentados so anlogos. Abaixo mostrado as grandezas anlogas entre os sistemas eltricos e mecnicos para o caso da analogia Fora-Corrente. SISTEMA ELTRICO Corrente i(t) Capacitncia C Inverso da Resistncia 1/R Inverso da Indutncia 1/L Fluxo Magntico (t) SISTEMA MECNICO DE TRANSLAO Fora F(t) Massa M Coef. de Atrito B Coef. de Elasticidade K Deslocamento ( t ) SISTEMA MECNICO DE ROTAO Torque T(t) Momento de Inrcia (J) Coef. de Atrito B Coef. de Elasticidade K Desloc. Angular (t)

4.5 - SISTEMAS ELETROMECNICOSOs sistemas eletromecnicos a serem analisados so o servomotor de corrente contnua e o gerador de corrente contnua.

4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTNUAUm servomotor de corrente contnua um motor de corrente contnua, com caractersticas dinmicas especiais, para serem usados em sistemas realimentados. As caractersticas desejveis de um servomotor de CC so: Inrcia reduzida; Mxima acelerao possvel; Alta relao torque-inrcia; Constante de tempo extremamente pequena.

Os servomotores CC de baixas potncias so usados em equipamentos computacionais como acionadores de disco, impressoras, acionadores de fita e tambm em instrumentao. J os servomotores CC de mdias e altas potncias so usados em sistemas robotizados, controles de posio, etc... O modelo bsico de um servomotor CC, mostrado a seguir:Prof. Hlio Lees Hey - 1997


IV-12

a(t) Tenso aplicada na armadura; Ra Resistncia de armadura; La Indutncia de armadura; Ea(t) Fora eletromotriz ia(t) Corrente da armadura; Lf Indutncia de campo; Rf Resistncia de campo; f(t) Tenso aplicada no campo; if(t) Corrente de campo; T(t) Torque desenvolvido pelo motor; Lf, Rf Enrolamento de campo; Ra, La Enrolamento de armadura. Este servomotor pode ser acionado de 2 formas, que so: Controle da Armadura; Controle de Campo; No CONTROLE DE ARMADURA, o enrolamento de campo excitado separadamente. A corrente de campo mantida constante e o controle do motor exercido pela corrente de armadura. No CONTROLE DE CAMPO, a corrente de armadura mantida constante e a velocidade controlada pela tenso de campo. O controle pelo campo dos servomotores, apresenta como desvantagens, o fato de trabalhar com constantes de tempo maiores e tambm a maior dificuldade de obteno de uma fonte de corrente contnua.

4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CCConsid

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CADERNO DIDÁTICO DE SISTEMAS DE CONTROLE 1 - Prof. Hélio Leães Hey