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FICHA CATALOGRÁFICACoordenador do EventoThiago Porto de Almeida Freitas – IMTec/UFG

Comitê CientíficoAdán José Cocho Fernández – IM/UFRJAli Tahzibi – ICMC/USP-São CarlosElisabete Souza Freitas – DMT/UFMSHemar Teixeira Godinho – MAT/UnBJosé María Espinar Garcia – IMPALuis Gustavo Nonato – ICMC/USPRonaldo Alves Garcia – IME/UFG

Comitê Organizador LocalAna Paula de Araújo Chaves – IME/UFGCelso Vieira Abud – IMTec/UFGCleves Mesquita Vaz – IMTec/UFGCrhistiane da Fonseca Souza – IMTec/UFGÉlida Alves da Silva – IMTec/UFGFernando Kennedy da Silva - IMTec/UFGJosé dos Reis Vieira de Moura Júnior – IMTec/UFGLuciana Vale da Silva Rabelo – IMTec/UFGMárcio Roberto Rocha Ribeiro – IMTec/UFGMarcos Napoleão Rabelo – IMTec/UFGPaulo Roberto Bergamaschi – IMTec/UFGPorfírio Azevedo dos Santos Júnior – IMTec/UFGTânia Maria Nunes Gonçalves – IMTec/UFGThaynara Arielly de Lima – IME/UFGThiago Porto de Almeida Freitas – IMTec/UFGVaston Gonçalves da Costa – IMTec/UFG

Editoração: Celso Vieira Abud, Thiago Porto de Almeida Freitas e Vaston Gonçalves da CostaRevisão: Celso Vieira Abud, Thiago Porto de Almeida Freitas e Vaston Gonçalves da Costa

Autor Coorporativo:Unidade Acadêmica Especial de Matemática e Tecnologia (IMTec)Universidade Federal de Goiás - Regional CatalãoAvenida Dr. Lamartine Pinto de Avelar, 1120, Setor UniversitárioCEP 75704-020 – Catalão (GO)Fone: (64) 3441-5300

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Os artigos foram organizados de acordo com os originais enviados à comissãoorganizadora do evento, sendo portanto, seu conteúdo de responsabilidade de seus autores.

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Sumário

Sessão de Pôsteres 12 Equivalência entre o Axioma da Escolha e Lema de Zorn

Simone A. Delphim, Eduardo da C. Rosario

5 Um Estudo Sobre o Número π

Márcio R. R. Ribeiro, Oliviana X. do Nascimento

7 Uma Interpretação Dinâmica do ResíduoMaurício B. Corrêa Júnior, Clayton C. Silva

9 Sistemas de Raízes e seus Grupos de WeylMarinês Guerreiro, Clayton C. Silva

11 A Preparação de Alunos do Ensino Médio e Técnico Para a OBMEP a Partir da Resolução de ProblemasJéssica Vaz Faria, João Pedro Lacerda Diniz

15 A equação de Korteweg - de Vries como o limite contínuo do modelo de TodaDouglas X. Andrade, Petrus H.R. Anjos, Paulo E.G. Assis

19 O Teorema de Lagrange para SubgruposArthur F. Campos e Fernando A. Freitas

23 Investigações matemáticas e resolução de problemas como veículo de aprendizagem de matemáticaHelaine A. de Oliveira, Amarildo da S. Cunha

25 A utilização de tecnologias nas aulas de matemática: desafios e possibilidadeHelaine A. de Oliveira, Amarildo da S. Cunha

27 Modelagem Matemática da Cinética de Secagem do Endocarpo do Baru ( Dipteryx alata) Submetida a DiferentesTemperaturas.Paulo C. M. Teixeira, Rogerio A. Rocha

31 Fractais: Um Método de Ensino da Geometria no Ensino MédioLorenna G. Silva, Isabel S. B. Santana

33 Número e Índice de Rotação de uma Curva FechadaFlávio Morais de Miranda, Túlio L. Pereira

37 Estimação do número de automóveis frequentadores do estacionamento do Campus Edgard Santos da Universi-dade Federal do Oeste da Bahia - UFOBLeandro de Oliveira Lima, Mateus Rocha Leão

41 Estimação do tamanho populacional animal via modelo bayesiano de captura-recaptura com distribuição a prioride Poisson truncadaMateus Rocha Leão, Leandro de Oliveira Lima

45 Análise dos saberes matemáticos que os alunos ingressantes nos cursos técnicos do IFMT/Campus Juína trazemda Educação BásicaAndre L. Mezz, Marcos Stein, Giseli M. de Souza

47 Estudo das variáveis temperatura e radiação das estações meteorológicas de Uberlândia-MG por meio da Análisede ClusterTaynara Tatiane Rodrigues, Bruna Queiroz de Melo Prado, Janser Moura Pereira, José Waldemar da Silva

51 Analise de variância via Teste de Kruskal-Wallis das variáveis temperatura e radiação pertencentes às estaçõesmeteorológicas deUberlândia-MGTaynara Tatiane Rodrigues, Bruna Queiroz de Melo Prado, Janser Moura Pereira, José Waldemar da Silva

55 Aplicação da Transformada de Laplace ao Sistema Massa-Mola-AmortecedorAlexandre S. Costa, Kélem G. Lourenço

59 Tecnologia e Matemática: o tablet como recurso pedagógico no ensino da Geometria nos Anos Iniciais do EnsinoFundamentalMaria M. Dullius, Marli T. Quartieri

63 OBMEP 2015: relato de experiência sobre a aplicação da primeira etapa numa escola pública estadualNicolas Neia Thomaz da Silva, Eliane F. C. Mota

65 Discalculia: dificuldades na aprendizagem matemática e as possíveis intervenções pedagógicasClaudinéia G. Rocha Silva, Marcia da Luz Morales, Nayara Longo Sartor

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69 A Matemática utilizada no processo de extração de madeira florestal sustentável no estado de Mato GrossoClaudinéia G. Rocha Silva, Marcia da Luz Morales, Wellington Vieira de Lima

73 Matemática e música – uma bela melodiaDionata Jakson G. Bragança, Eudelaine Zocche, Giseli Martins de Souza

77 Atuação do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (Pibid) Interdisciplinar durante a Semanada Matemática em uma escola campo: uma proposta de intervençãoMarilia Clara do V. M Rosa, Tainara Rodrigues Borges, Luciana Aparecida Siqueira Silva

81 Produção de objetos de aprendizagem para Geometria Analítica com foco em vetores no R3 e construção dequádricas.Felipe Augusto Didonet, Brunna Brito Passarinho

85 O Último Teorema de Fermat: Uma introdução ao problema pelo caso n=3.Thiago Guedes Strassemann, Valmecir Antonio dos Santos Bayer

89 Relato de experiência da implantação do pibid no instituto federal campus JuínaAnderson G. Paes, Giseli Martins de Souza, Thiago Lopes de Faria

91 Resolução de Problemas – Uma Experiência em Sala de AulaAndré B. Campos, Daniel F. Machado

95 Valorizações e Corpos de Funções AlgébricasDaniel Alves, Cicero Carvalho

99 Os Jogos Matemáticos na Aprendizagem das CriançasLorenna G. Silva, Glauciele C. da Silva

101 Superfícies Mínimas em H e H2×RWesley da Silva Ruys

105 Compacidade no espaço C(K;Rm): o teorema de Arzelá-AscoliMarcel L. P. Nascimento, Rafaela G. Brito

109 Aplicação de cálculo vetorial na determinação do potencial eletrostático considerando o modelo contínuo dosolventeLeonardo H. F. Silva, Thaís K. Lima

113 Análise de variância multivariada não paramétrica aplicada a estações meteorológicas da Universidade Federalde UberlândiaBruna Queiroz de M. Prado, Taynara Tatiane Rodrigues, José Waldemar da Silva, Janser Moura Pereira

117 Estudo da similaridade entre estações climatológicas por meio das variáveis umidade e precipitaçãoBruna Queiroz de M. Prado, Taynara Tatiane Rodrigues, José Waldemar da Silva, Janser Moura Pereira

121 Cadeias de Toda: das simetrias ao caosMateus C. P. dos Santos, Paulo E. G. Assis

125 Educakids: um jogo educacional para auxílio ao ensino e aprendizagemJosé de Sá Borges Júnior, Luanna Lopes Lobato, Thiago Jabur Bittar

129 A contribuição do PIBID no processo de ensino e aprendizagem Matemática de estudantes do 6 o ao 8 o ano doEnsino FundamentalPaulo Vinícius Pereira de Lima, Phelipe Rocha Cardoso, Daniela Sousa Lima

131 As contribuições da resolução de problemas para a aprendizagem MatemáticaPaulo Vinícius Pereira de Lima, Gabriele Oliveira dos Santos, Ana Cristina Pereira Lima

133 Quadrado mágico e tangram: uma aprendizagem significativa para o ensino de matemática no ensinoFernanda Leite Azevedo, Iale Pinheiro Neves Marques, Camila Soares Sodré

137 Facilitar a Aprendizagem nas Aulas de Matemática: Uma Experiência com a Estratégia de Ensino Júri SimuladoLucy A. Gutiérrez de Alcântara, Nayara Longo Sartor

141 Algumas Relações entre Cálculo 1 e Topologia GeralAssuscena Pires Netto, João Marcos M. Cruz, Lana Ribeiro, Joaby de Souza Jucá

145 Aprendendo propriedades algébricas mediante resoluções de exercícios e produções textuaisGutemberg de Lima

149 Simulação Numérica Bidimensional: Análise da Interação Solo-Estrutura Durante a Remoção de InterferênciaFísica na Linha de Escavação do Túnel do Metrô-DFEliene Simplício, Marcelo L. P. Júnior, Germano R. Filho, Ircílio Chiossolucombe

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153 EDP’s lineares de segunda ordem e aplicações: a equação da ondaJéssica Rodrigues Pedrosa

157 EDP’s lineares de segunda ordem e aplicações: a equação do calorAna Clara Reis Spalado Almeida

161 Sobre Espaço Produto Torcido Gradiente Ricci SolitonRomildo S. Pina, Marcelo A. Souza, Elismar D. Batista

165 Aplicação de Sistemas Abstratos de Reescrita ao Problema do Intruso Para Protocolos Criptográficos de ChavePúblicaDeivid R. Vale

169 O ensino de Matemática para alunos surdos em escolas de ensino regularJuliany de J. Silva, Joanice S. de Almeida

171 Um Estudo Sobre os Logarítmos – História e PropriedadesSilvania Luzia Correia Pinto, Dassael Fabricio dos Reis Santos

175 Um Estudo Sobre O Gráfico Da Função Quadrática Via Análise Da Variação De Seus Parâmetros a, b e cLetícia Alves de Araújo, Dassael Fabricio dos Reis Santos

179 Conceitos Matemáticos presentes numa horta com o formato circularMarcela C. da Cruz

183 A música como proposta pedagógica no ensino de matemáticaMaria de Fátima Nardo Fernandes, Luiz Fernando Hoffmann

187 Uma introdução às simetrias da naturezaJosé N. Oliveira, Paulo E. G. Assis

191 O Ensino da Matemática como Prática SocialJhessica B. S. Frota, Fábio S. Lima

193 Oware: semeando e colhendo conhecimentos na MatemáticaJefferson R. Dias, Fernando R. Barbosa

197 Aprendizagem em matemática com metodologias diferenciadasAdriana R. de Oliveira, Natália M. Tolardo

201 Linguagem de programação como ferramenta para o ensino de sequências de recorrências, progressões aritméti-cas e geométricas no Ensino MédioJosé Antonio S. Ferreira, Jefferson R. Teixeira, Everton S. Cangussú

203 Heurística para Lidar com Decisões de Localização e Roteamento incluindo Restrição de CapacidadeKamyla Maria Ferreira, Thiago Alves de Queiroz

207 Condições de Convergência do Método de Análise de DesvioJéssica Gabriela de Almeida Cunha,Thiago Alves de Queiroz

211 Utilização de Molas para o Controle de Vibrações em uma Estrutura Mecânica do Tipo VigaLudimila Aparecida Louzada, Stéfany Mayara Ferreira de Rezende, Romes Antonio Borges

215 Aplicação da lógica fuzzy nos resultados da adsorção do pesticida Endosulfan pelo compósito HDL/PDMcT/PAniLayla Giovana Girotto, Ingrid da Silva Pacheco, Ana M. A. Bertone

219 Diagrama de Voronoi e GeoGebra: ferramentas de uma modelagem de uma rede de estações de monitoramentoambientalIngrid da Silva Pacheco, Layla Giovanna Girotto, Ana Maria A. Bertone

223 Introdução ao Estudo de Ligas de Memória de FormaStéfany Mayara F. de Rezende, Ludimila A. Louzada, Romes Antonio Borges

227 Exame de Abelhas aplicado no Problema de Roteamento de VeículosJeferson Silva Martins, Thiago Alves de Queiroz

231 Regularização de Campos de Vetores Suaves por Partes Via Problema de Perturbaçãoo SingularMayk Joaquim dos Santos, Durval José Tonon

233 A Teoria do Averaging em Campos de Vetores Suaves por PartesDurval José Tonon, Mariana Queiroz Velter

Sessões Temáticas 235

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236 Grupos metacíclicos como grupos de automorfismosEmerson Ferreira de Melo

239 Grupos Periódicos, Grupos de Expoente Finito e Condições de FinitudeJhone Caldeira

243 Equações Diofantinas Exponenciais Envolvendo Sequências RecorrentesAna Paula Chaves

245 Sobre Séries de Potências Lacunárias com Coeficientes Racionais e uma Questão de MahlerElaine Cristine de Souza Silva

247 Equações de Schrödinger quasi-lineares: uma abordagem dualPaulo César Carrião, Raquel Lehrer, Olímpio Hiroshi Miyagaki

251 Uma família de problemas elípticos com condições de bordo não lineares e singularesNestor F. Castañeda Centurión

255 Ondas Viajantes Para um Problema de EDP Parabólico , Via Perturbação Singular GeométricaJesus Carlos Da Mota, Brayan Mauricio Rodríguez

257 Problemas Elípticos do Tipo Côncavo-Convexo com PesoMarcelo Fernandes Furtado, Bruno Nunes de Souza

261 Dos Desafios do Uso da História da Álgebra nos Livros DidáticosJosimar de Sousa, Carlos Alexandre Ornelas Santos

265 Propostas de Atividades que Exploram as Isometrias e as Homotetias no Plano via Congruência e Semelhançade Figuras Geométricas PlanasRicardo Gomes Assunção, Paulo Roberto Bergamaschi

269 OS JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: uma alternativa motivadora e atrativa para aulas mais prazerosasde matemáticaSamanta Margarida Milani

273 Curvas-de-espelho africanas: uma proposta etnomatemática de tradução culturalLucas S. Passos, Crhistiane F. Souza, Neuza F. V. Melo

277 Formação docente: Design de objeto virtual de aprendizagem para o ensino de função polinomial de 1o e 2o grauLiliane de O. Souza, Cláudio R. M. Benite

281 Ensinar e Aprender Cálculo Diferencial e Integral por meio da Modelagem MatemáticaNayara Longo Sartor, Lucy Aparecida Gutiérrez de Alcântara

285 Geometria Diferencial das Curvas de Interseção Transversal de Duas Superfícies Tipo Espaço no Espaco deLorentz-MinkowskiOsmar Aléssio,Luciana Ávila Rodrigues, Fábio Nunes da Silva

287 Sobre as hipersuperf ıcies de Dupin em R5

Luciana Ávila Rodrigues

289 Differential geometry of transversal intersection curves of two Spacelike hypersurfaces in Lorentz-Minkowski4-SpaceOsmar Aléssio,Luciana Ávila Rodrigues, Fábio Nunes da Silva

293 Lower order eigenvalues of quadratic polynomials of the Drifting LaplacianAdail Cavalheiro, Changyu Xia

295 Prescribed Diagonal Ricci tensor in locally conformally flat manifoldsLevi Rosa Adriano, Mauricio D. Pieterzack, Romildo S. Pina

299 Sobre uma Classe de Superf ıcies Weingarten GeneralizadaDiogo Gonçalves Dias

303 Variedades de Einstein com estrutura de Produto TorcidoRomildo da Silva Pina

305 Sobre Espaço Produto Torcido Gradiente Ricci SolitonRomildo S. Pina, Marcelo A. Souza, Elismar D. Batista

309 Ricci Soliton Gradiente com estrutura de Produto TorcidoMárcio Lemes de Sousa

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311 Generalização do Conceito de Distância e AplicaçõesFagner L. de Santana, Regivan H. N. Santiago

315 Busca de Soluções Pareto via Método Proximal em Otimização MultiobjetivoRogério A. Rocha, Ronaldo M. Gregório, Paulo R. Oliveira, Michael Souza

319 O alargamento de campos vetoriais monótonos e o algoritmo de ponto proximal inexato em variedades deHadamardGlaydston de C. Bento, Orizon P. Ferreira, Edvaldo E. de A. Batista

321 On the global convergence of the inexact semi-smooth Newton method for absolute value equationJ.Y. Bello Cruz, O. P. Ferreira, L. F. Prudente

325 On optimization Methods on Riemannian ManifoldsGlaydston C. Bento

327 A Proximal Point Method for Vector Optimization on Riemannian ManifoldsGlaydston de C. Bento, Orizon P. Ferreira, Yuri Rafael L. Pereira

329 Um Teorema Tipo-Kantorovich Robusto Sobre o Método de Newton Inexato em Variedades RiemannianasTibério Bittencourt

331 Mistura de distribuições Kumaraswamy: identificabilidade e estimaçãoCira E. G. Otiniano, Cátia R. Gonçalves

333 Jitter generation in the production of voiced sounds using a stochastic mathematical modelEdson Cataldo, Vanessa Pimentel, Christian Soize

337 Generalização de um Modelo Estocástico Presa-Predador BidimensionalKélem Gomes Lourenço, Walter Batista dos Santos

341 Bifurcações Genéricas de Sistemas Reversíveis no PlanoDurval José Tonon, João Lopes C. Filho

343 On the number of limit cycles in discontinuous piecewise linear differential systems with two pieces separatedby a straight lineJ. C. Medrado, O. A. Ramírez

345 Sobre órbitas periódicas do sistema Einstein-Yang-MillsClaudio Aguinaldo Buzzi

347 Análise de Bifurcações em Sistemas Autônomos Fuzzy UnidimensionaisMarina T. Mizukoshi, Moiseis S. Cecconello

351 Peixoto’s theorem for vector fields on S 2 with impasse pointsClaudio Buzzi, P. R. Silva

353 Limit cycles of continuous and discontinuous piecewise linear differential systems in R3

Bruno R. de Freitas, João C. Medrado, Jaume Llibre355 On a Model Realizing a Bifurcation Diagram of a Degenerate Cycle in Discontinuous Vector Fields

Kamila S. Andrade, M. A. Teixeira, R. M. Martins, M. R. Jeffrey

357 Pontos parcialmente umbílicos na geometria de campos de vetores em R3

Alacyr J. Gomes, Ronaldo A. Garcia359 Sobre Campos Vetoriais Reversíveis (3,2) em Duas Zonas

Ubirajara Castro, João Carlos Medrado361 Limit Cycles Bifurcating from Perturbations of Quadratic and Cubic Isochronous Centers in Planar Systems

Ricardo M. Martins, Otávio M. L. Gomide363 Perturbações Descontínuas de Sistemas Suaves

Thais B. Damacena365 Equações Diferenciais Binárias Polinomiais de Grau 2 com Quatro Singularidades

Hugo L. S. Belisário

Lista de Autores 367

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Sessão de Pôsteres

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4 Coloquio de Matematica da Regiao Centro OesteUniversidade Federal de Goias

Equivalencia entre o Axioma da Escolha e Lema de Zorn

Simone A. Delphim Eduardo da C. Rosario∗

Universidade Federal do Amapa - UNIFAP

Rod. Juscelino Kubitschek, KM-02 Jardim Marco Zero

68903-419, Macapa, AP

E-mails: [email protected] [email protected]

RESUMO

O axioma da escolha e objeto de controversias e debates desde o seu surgimentoapesar disto, sua relevancia pode ser percebida pela grande quantidade de aplicacoese consequencias apresentadas sobre a forma de enunciados equivalentes. Neste tra-balho, apresenta-se a equivalencia entre o axioma da escolha e o lema de Zorn cujaa historia tambem e cercada de fatos curiosos.

Introducao

Max Augustin Zorn, tem seu nome ligado ao Lema, pois em 1935 propos em umtrabalho sobre princıpios maximais, o chamando de Lema de Zorn. Mais tarde, umacarta abalou a sociedade Matematica das Americas, pois a mesma trazia a notıciade que o Lema da Zorn, nao possuia o nome de seu verdadeiro descobridor. Nestabusca pelas origens do lema de Zorn, foram encontrados documentos que compro-vam alem de contribuicao de diversos autores o seu uso anterior as pesquisas deZorn [1].

Na Presente demonstracao de equivalencia [2], serao usados alguns conceitos dateoria dos conjuntos que passamos a enunciar a seguir.

Axioma de Extensao: Dois conjuntos sao semelhantes se, e somente se, temos mesmos elementos.

Conjunto Parcialmente Ordenado : Uma ordem parcial em um conjuntoE e uma relacao R em E que obedece as seguintes relacoes : Reflexiva, isto e,(a, a) ∈ R para cada a ∈ E; Anti-simetrica, isto e, (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R implicaque a = b; Transitiva, isto e, (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R e (a, c) ∈ R (Tricotomia).

Elemento Maximal: Seja X um conjunto parcialmente ordenado, entao a edenominado elemento maximal em X, se para todo x ∈ X existir um a ∈ X tal quea ≤ x⇒ x = a.

Cadeia: S e uma cadeia se, para todos y, z ∈ S tivermos y ≤ z ou z ≤ y.Funcao Escolha: Seja X um conjunto infinito, entao f : P (X) − ∅ → X e

dita uma funcao escolha para o conjunto X, se f(a) ∈ X para todo a ∈ P (X)−∅.Axioma da Escolha Se I e um conjunto qualquer de ındices e (xi)i∈I e uma

famılia de subconjuntos de um conjunto C tal que xi 6= ∅ , para qualquer que sejai ∈ I, o produto

∏i∈I Xi nao e vazio [4].

Lema de Zorn: Se X e um conjunto parcialmente ordenado tal que para todosubconjunto e totalmente ordenado em X, ha uma cota superior em X, entao Xcontem um elemento maximal. Sua demonstracao pode ser encontrada em [3].

∗Bolsista de Iniciacao Cientıfica CNPq

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Demonstracao da Equivalencia

Para iniciar a demonstracao da equivalencia, tomemos o Lema de Zorn como ver-dade.

Seja X um conjunto e F um conjunto de funcoes de subconjuntos P (X) em X,sendo F = f : D → X, tal que o domınio de f = D ∈ P (X). Consideremos A umsubconjunto de D, e para todo A ∈ D ⇒ f(A) ∈ A,assim a imagem de f ⊂ X ecomo P (X) ⊂ X e o domınio de f ⊂ P (X), temos que a imagem de f pertence aoconjunto do domınio D, isto e, imagem de f ∈ D.

Suponhamos que F e D sejam parcialmente ordenados (≤), assim f1 ≤ f2 ≤f3 ≤ · · · ≤ fn ∈ F e d1 ⊆ d2 ⊆ d3 ⊆ · · · ⊆ dn ∈ D, daı tomando d1 como odomınio de f1 e assim sucessivamente, se e somente se,f1 ≤ f2 ≤ f3 ≤ · · · ≤ fn ed1 ⊆ d2 ⊆ d3 ⊆ · · · ⊆ dn, sendo assim, temos

f2

d1= f1, · · · ,

fndn − 1

= fn−1.

Agora ordenando por extensao F , temos que f3 ⊆ f2 e assim por diante, como F eD sao ordenados parcialmente (≤), claramente percebemos que f1 ≤ f1 e d1 ⊆ d1 oque implica

f2

d1= f1, · · · ,

fndn − 1

= fn−1,

pois e a propriedade Reflexiva, sendo assim F e D possuem tambem a anti-simetricaf3 ≤ f4 ⇒ f4 ≤ f3 e d3 ⊆ d4 ⇒ d4 ⊆ d3, o que os garante d3 = d4 e f3 = f4, podemosperceber que as funcoes de F podem ter o mesmo domınio, pela transitividade, temosf3 ≤ f4 ⇒ f4 ≤ f5 e d3 ⊆ d4 ⇒ d4 ⊆ d5, logo

f3

d1= f1, · · · ,

fnd1

= f1

e assim, F e D sao ordenados.Agora vamos provar que a validade do lema de Zorn implica no Axima da Esco-

lha.Tomando uma cadeia Z, tal que Z = fii∈δ, daı como Z e uma cadeia em F ,

temos fi : Di → X e Di ∈ P (X) como vimos no inicio dessa demonstracao, e para

qualquer que seja A ∈ Di, f(A) ∈ A, pela ordem parcial Dj =⋃

i∈δDi, podemos

definir uma funcao f tal que fj : Dj → X, pois Di ⊆ Dj para todo i, como A ∈ Di

logo A ∈ Dj =⋃

i∈δDi, daı deve existir um i0 em δ em que A ∈ Di0 e pela (≤)

fj(A) = fi0(A) ∈ A e fi0 ≤ fj para qualquer i ∈ δ, logo fj e uma limitante superiorem Z e pelo lema de Zorn, existe fm em F que e o elemento maximal e o dominıode fm ⊂ P (X).

Sendo assim, suponhamos uma funcao escolha onde Dm 6= P (X) − ∅, assimAm deve pertencer a P (X) tal que Am /∈ Dm, logo temos a funcao

fα(A) =

fm, se Am ∈ Dm

λ, se λ ∈ Am e A ∈ Am −Dm

Definimos Dα = Dm ∪ Am e Dm ⊂ Dα, a funcao escolha estende A, a um unicoelemento se fm nao for maximal, e se fm for maximal, entao Am ∈ Dm, comoDα = Dm ∪ Am, teriamos que fm < fα, o que contradiz o lema de Zorn, sendoassim Dm = P (X) − ∅ e F e o conjunto de funcoes f : P (X) − ∅ → X,talque para todo A ∈ P (X)− ∅, teremos f(A) ∈ A.

Portanto, o Axioma de escolha e o Lema de Zorn sao equivalentes.

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Conclusao

Tendo em vista a dificuldade inicial de aceitacao do Axioma da escolha que origina-sedo fato, de que o mesmo postula sobre a existencia de um conjunto, sem estabe-lecer de fato uma forma de construı-lo, consideramos que a presente demonstracaode equivalencia com o lema de Zorn vai de encontro aos anceios, por ferramentamatematica capaz de difundir o uso do Axioma da Escolha, atraves do uso de umteorema de existencia.

Referencias

[1] Campbell,P.J. The origin of Zorn’s Lemma, Historia Mathematica. 1978, pp 77-89.2004.

[2] Grace,A.K.S. Infinitos, Contınuos e Escolha: Teoria dos Conjuntos. 2010,pp 31-32.Dissertacao de (Conclusao de Curso)-Universidade Federal de Sao Carlos, 2010.

[3] Halmos,P.R. Teoria Ingenua dos Conjuntos. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Mo-derna, 2001.

[4] Silva, S.G e Jesus J.P.C Cem anos do axioma de escolha. Revista Matematica Uni-versitaria n42, junho, 2007.

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4˚ Colóquio de Matemática da Região Centro-Oeste

Universidade Federal de Goiás

Um Estudo Sobre o Número π

Márcio R. R. Ribeiro Oliviana X. do Nascimento1

Unidade Acadêmica Especial de Matemática e Tecnologia, UFG

Av. Dr. Lamartine P. de Avelar, 1120 75704-020, Catalão, GO


RESUMO

Este trata-se de um condensado acerca de um texto maior, produzido a partir de um estudo sobre

os seguintes aspectos do número π: história, onde aparece, cálculo e transcendência.

Palavras-chave: número π, transcendente

Um breve histórico

Os primeiros registros sobre π foram deixados pelos povos egípcios e babilônios, há

aproximadamente 4000 anos. Desde essa época até meados do século XVI, o número π assumiu

diversos valores. Dentre eles 3,16 e √10.

Sucedeu após o período marcado pelos diversos valores para π uma outra etapa da história desse

número, que ficou conhecida como período de caça às casas decimais de π, em que se buscavam

ferramentas de cálculo capazes de produzir os dígitos de π de maneira precisa e em quantidades muito

grandes. Essa etapa é marcada pelo surgimento do computador. A partir de então, os esforços para

obtenção das casas decimais de π foram transferidos do ser humano para o computador.

Outros dois importantes fatos, que competem espaço com a procura pelas casas decimais de π,

são a prova, em 1761, de que π é um número irracional e a prova, em 1882, de que π trata-se de um

número transcendente.

Onde aparece o número π

Alguns exemplos de onde o número π aparece são: fórmulas que fornecem o perímetro e área do

círculo, assim como fórmulas que fornecem a área e o volume de algumas figuras da geometria

euclidiana que apresentam algum formato circular como esfera, cilindro circular reto, cilindro

equilátero e cone circular reto; ao lidar com funções trigonométricas que são definidas em termos de

um círculo unitário (seno, cosseno, tangente, cossecante, etc.) e no cálculo das probabilidades de

eventos aleatórios.

Como calcular o número π

Estudiosos, em sua maioria, grandes nomes da história da matemática, dedicaram-se, ao longo

dos séculos, a encontrar maneiras de calcular o número π com uma quantidade muito grande de casas

decimais corretas. Como resultado do empenho desses estudiosos, tem-se, há um tempo, a

possibilidade de calcular o número π com quantidade desejável de casas decimais.

As maneiras de obter o número π, nessas condições, são, em geral, fórmulas que convergem para

o valor de π. Nesse sentido, Sandro M. Guzzo, em seu artigo intitulado O Número “pi”, traz exemplos

de fórmulas de convergência, que produzem o número π com qualquer quantidade de dígitos após a

vírgula. As fórmulas por ele apresentadas tratam-se, em sua maioria, de somas infinitas, quando não,

são produtos infinitos.

1Graduanda em Matemática Industrial

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Tais fórmulas se encaixam bem ao propósito de mostrar como os inúmeros dígitos de π são

produzidos e, por isso, algumas dessas fórmulas foram utilizadas no projeto de estudo do cálculo do

número π.

As fórmulas utilizadas em “Um estudo sobre o número π” foram implementadas

computacionalmente. Os resultados das implementações deram origem a tabelas, que mostram a

convergência das fórmulas utilizadas dado uma determinada quantidade de termos adicionados a soma

ou ao produto e, assim, permitem um comparativo da convergência dessas fórmulas. Dessa maneira,

fica mais fácil perceber qual fórmula produz mais dígitos corretos de π com a menor quantidade de

termos a ela adicionados. Logo, fica também mais fácil discernir qual das fórmulas exibidas é a

melhor para o caso em que se espera obter uma quantidade muito grande de casas decimais de π.

A transcendência do número π

Números irracionais podem ser algébricos ou transcendentes. Um número é algébrico quando é

raiz de algum polinômio não nulo e de coeficientes inteiros. Caso contrário, é transcendente.

Em 1761, o suiço Johann Heinrich Lamberte (1728 – 1777) mostrou pela primeira vez, assim

como assevera Boyer (1996), que 𝜋 é um número irracional em prova apresentada à Academia de

Berlim. Pouco mais de um século depois, em 1882, ainda de acordo com Boyer (1996), C.L.F.

Lindemann (1852 – 1939) em artigo intitulado “ber die Zahl p” mostrou que 𝜋 é também um

número transcendente, portanto, não algébrico. Em sua prova, Lindemann mostrou, primeiro, que a

equação 𝑒𝑖𝑥 + 1 = 0 não pode ser satisfeita se 𝑥 é algébrico. Como Euler tinha mostrado que o

valor 𝑥 = 𝜋 satisfaz a equação, segue que 𝜋 não é algébrico.

Existem artigos (mais recentes) que trazem, assim como no “ber die Zahl p”, demostrações a

cerca da transcendência do número π. “Um estudo sobre o número π” apresenta, por sua vez, uma

demostração de que π é transcendente.

Referências

[1] BOYER, Carl B. História da matemática. 2ed. São Paulo: Edgard Bluncher, 1996.

[2] FIGUEIREDO, D. G. Números Irracionais e Transcendentes. Rio de Janeiro: S.B.M.,

2002.

[3] GUZZO, Sandro M. O Número “pi”. Revista Eletrônica de Matemática, Universidade

Federal de Goiás, n. 2, 2010.

[4] HERNANDES, Leandro Cedeño. MARTIN, María Eugenia. Irracionalidade e

Transcendência dos números π e e, 2007.

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Uma Interpretacao Dinamica do Resıduo

Maurıcio B. Correa Junior Clayton C. Silva∗

Departamento de Matematica, UFV

Avenida Peter Henry Rolfs, s/n - Campus Universitario

36570-900, Vicosa, MG


RESUMO

O noruegues Niels Henrik Abel (1802-1829) foi um matematico dos mais excep-cionais e houve quem dissesse que suas contribuicoes para a Matematica motivariampesquisas por pelo menos 500 anos, o que realmente ocorreu nos seculos XIX e XX.Neste trabalho apresentaremos um dos seus teoremas mais brilhantes: uma visaodinamica do conceito de resıduo na teoria de funcoes analıticas. A utilidade dosresıduos no calculo de integrais definidas e a beleza do resultado em si sao as princi-pais motivacoes para este projeto. Outro importante personagem na historia dessateoria foi o matematico Alexander Grothendieck que generalizou, na decada de 50,a nocao de resıduo para dimensoes superiores.

Nossa principal ferramenta e a expansao de uma funcao holomorfa em seriesde Laurent em torno de uma singularidade. Exibiremos o resıduo sob o ponto devista de Abel utilizando o conceito de deformacao de uma funcao, instrumento bas-tante util em Matematica. Trabalharemos com quocientes de funcoes holomorfasque constituem um dos corpos de funcoes pelos quais Abel se interessava. A de-finicao de resıduos usual, devida a Cauchy, e mais geral, pois inclui os casos defuncoes que possuem singularidades essenciais. Entretanto, o ponto de vista deAbel aqui apresentado pode ser generalizado para dimensoes superiores. Isto foifeito por Grothendieck, como ja mencionado, num trabalho motivado pelo Teoremade Dualidade Local, na decada de 50.

Referencias

[1] GRIFFITHS, Phillip A.; Variations on a Theorem of Abel. Inventiones Math, v. 35,p. 321-390, 1976.

[2] SOARES, Marcio. G.; Calculo em Uma Variavel Complexa. Colecao MatematicaUniversitaria, IMPA, Rio de Janeiro, 2001.

∗Bolsista de Iniciacao Cientıfica PICME/CNPq

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Sistemas de Raızes e seus Grupos de Weyl

Marines Guerreiro Clayton C. Silva∗

Departamento de Matematica, UFV

Avenida Peter Henry Rolfs, s/n - Campus Universitario

36570-900, Vicosa, MG


RESUMO

Um sistema de raızes e um conjunto de vetores de um espaco euclidiano satis-fazendo determinadas propriedades geometricas. Este conceito e fundamental nasteorias de Grupos e Algebras de Lie. Os grupos de Lie (e alguns analogos, taiscomo grupos algebricos) e algebras de Lie se tornaram importantes em muitas par-tes da Matematica durante o seculo XX e os sistemas de raızes tem um papel dedestaque no desenvolvimento dessas teorias. Alem disso, a classificacao de esque-mas dos sistemas de raızes, por diagramas Dynkin, aparece em diversos ramos daMatematica, muitos deles sem ligacoes evidente com a Teoria de Lie (como a Teoriade Singularidades).

O conceito de sistema de raızes foi originalmente introduzido por Wilhelm Killingpor volta de 1889. Ele usou-os em sua tentativa de classificar todas as algebras deLie simples sobre o corpo dos numeros complexos. Killing originalmente cometeuum erro na classificacao, listando dois sistemas de raızes excepcionais de posto 4,quando na verdade existe um so, conhecido como F4. Elie Cartan depois corrigiueste erro, mostrando que os dois sistemas de raızes de posto 4 eram isomorfos.

Neste trabalho, apresentaremos os sistemas de raızes e seus correspondentesgrupos de Weyl, que sao um subgrupo do grupo das isometrias desses sistemas,gerados pelas reflexoes ao longo dos hiperplanos ortogonais as raızes. Os gruposde Weyl formam uma classe de grupos de Coxeter e sao exemplos importantes des-tes. Abordaremos a acao simplesmente transitiva dos grupos de Weyl nas camarasfundamentais.

Alem disso, apresentaremos tambem a classificacao dos sistemas de raızes por di-agramas de Dynkin, as propriedades dos sistemas de raızes irredutıveis e os sistemasde raızes das subalgebras de Cartan das algebras de Lie semissimples de dimensaofinita sobre os complexos. Finalmente, discutiremos brevemente sobre os sistemasde raızes afins das algebras de Kac-Moody.

∗Bolsista de Iniciacao Cientıfica PROBIC/FAPEMIG

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Referencias

[1] CARTER, Roger W.; Lie Algebras of Finite and Affine Type. Cambridge Studies inAdvanced Mathematics, Cambridge University Press, New York, 2005.

[2] HUMPHREYS, James. E.; Introduction to Lie Algebras and Representation Theory.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1972.

[3] HUMPHREYS, James. E.; Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge Uni-versity Press, 1922.

[4] KAC, Victor. G.; Infinite-Dimensional Lie Algebras. Cambridge University Press,Third edition, 1990.

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A Preparação de Alunos do Ensino Médio e Técnico Para a OBMEP a

Partir da Resolução de Problemas

Jéssica Vaz Faria1

Instituto Federal Goiano – Câmpus Urutaí, IF Goiano

Rodovia Geraldo Silva Nascimento Km 2,5. CEP 75790-000 - Urutaí - Goiás - Brasil.

E-mail: [email protected]

João Pedro Lacerda Diniz2

Instituto Federal Goiano – Câmpus Urutaí, IF Goiano

Rodovia Geraldo Silva Nascimento Km 2,5.

CEP 75790-000 - Urutaí - Goiás - Brasil.


RESUMO

A proposta do presente trabalho surgiu em 2014, iniciando neste mesmo ano com o

intuito de auxiliar os alunos do Ensino Médio e Técnico do Instituto Federal Goiano,

Câmpus Urutaí, Goiás, tendo como objetivo principal a preparação para a OBMEP -

Olimpíada Brasileira de Matemática. Além disso, o propósito desta preparação era despertar

um maior interesse dos alunos desta modalidade a partir do alcance de uma boa pontuação na

OBMEP e verificar as situações que ocorrem durante o trabalho docente. Assim, para o

desenvolvimento deste projeto, que foi dividido em duas etapas previstas para 2014/1015,

um grupo de 04 (quatro) alunos do 3º período do curso de Licenciatura em Matemática

organizou-se para dar andamento aos trabalhos no primeiro ano de aplicação das atividades.

Para aplicar o projeto a metodologia utilizada foi a pesquisa-ação onde o pesquisador conduz

e participa do processo. Então, para realizar as atividades propostas foram planejados

encontros semanais com turmas de 40 (quarenta) alunos no Ensino Médio e Técnico. Os

materiais utilizados para estes encontros foram as avaliações da OBMEP. A partir das

questões da prova, as aulas foram contextualizadas por meio da resolução dos problemas. A

adoção desta prática também foi sugerida pelos alunos, pois se verificou a necessidade de

sair dos moldes de aulas tradicionais para o ensino da matemática. Mas, mesmo com a

adoção de uma prática diferenciada adotada pelo grupo de acadêmicos, a cada encontro o

número de participantes reduzia. Inicialmente as turmas que tinham cadastrados 40

(quarenta) alunos, foram diminuindo e, quando questionados, sobre os motivos da

desistência as respostas eram unânimes: a falta de interesse pela disciplina e pela

participação da OBMEP devido a complexidade dos conteúdos. Mesmo com o grande índice

de desistência os acadêmicos permaneceram com o projeto e continuaram trabalhando com

os 15 (quinze) alunos restantes. A dinâmica dos encontros era aplicar uma prova contendo 20

(vinte) questões objetivas. Os 12 (doze) alunos que alcançassem o maior número de

pontuação na prova ficariam classificados. Como resultado, obteve-se 200 (duzentas)

inscrições para a primeira etapa do projeto desenvolvido nos meses de março a agosto de

2014 e, como se observa, a grande maioria dos inscritos não fazia parte da turma que

participava dos encontros preparatórios para a OBMEP/2014. Como resultado desta primeira

fase, 03 (três) alunos que frequentaram os encontros foram classificados, tendo um deles

acertado onze das vinte questões - essa foi a maior a pontuação do IF Goiano - Câmpus

1 Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Goiano - Campus Urutaí e Monitora de Geometria Analítica. 2 Acadêmico do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Goiano - Campus Urutaí e Bolsista do PIBID Interdisciplinar.

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Urutaí. Dentre os classificados, apenas um aluno se recusou a participar da segunda fase da

OBMEP.

A segunda etapa do projeto foi desenvolvida no período de abril a junho de 2015. Para

os trabalhos deste ano o grupo de acadêmicos mudou, ficando com três alunas, do 4º período

e 7º período.

Da mesma forma que no ano anterior, foram inscritos 200 (duzentos) alunos do Ensino

Médio e Técnico do Instituto Federal Goiano, Câmpus Urutaí, Goiás. Os encontros tiveram

início no mês de abril e para nova dinâmica das atividades, os acadêmicos criaram um banco

de questões, onde semanalmente se reuniam e selecionavam de cinco a seis questões. Essas

questões eram elaboradas e selecionadas com o auxílio do professor responsável pelo

projeto.

Conforme a etapa de 2014, no início as aulas tiveram um grande número de alunos

participantes, posteriormente foram acontecendo as desistências. Mesmo assim, o projeto

prosseguiu. Verificou-se que nem todos os alunos se esforçavam para conseguir entender o

que era trabalhado e isso aconteceu mesmo com o auxílio das monitorias. Por outro lado, o

projeto teve alunos muito participativos, que interagiam através de perguntas e ensaios dos

exercícios. As aulas foram ministradas até o dia 27 de junho de 2015, ou seja, uma semana

antes da prova e em agosto as mesmas seriam retomadas para trabalhar as questões

discursivas.

Como resultado, foi possível evidenciar que os alunos mais participativos conseguiram

aprender e atingir um melhor resultado acertando em média de 10 a 12 questões. Que, na

primeira fase, apenas 12 (doze) dos alunos que permaneceram até o final da primeira etapa

(2014), foram selecionados para a segunda etapa do projeto em 2015 e, que mesmo atingindo

este resultado, alguns não quiseram permanecer no projeto na segunda etapa.

Verifica-se portanto, que tal proposta colaborou para o amadurecimento e formação,

pois segundo Nóvoa (1997) aponta novas abordagens a respeito da formação de professores,

saindo de uma perspectiva centrada na dimensão acadêmica para uma perspectiva no terreno

profissional, pessoal e de organização, a partir do contexto escolar. O autor alerta que a

formação de professores tem ignorado o desenvolvimento pessoal, confundindo “formar e

formar-se” (NÓVOA, 1997, p. 26). Assim, este primeiro contato nos proporcionou enxergar

as dificuldades de estar frente a uma sala de aula e ser um mediador de conhecimentos tendo

que ter na prática formas clara e objetiva de transpor os conteúdos para que o interesse e a

aquisição dos conhecimentos sejam despertados, especialmente na disciplina de matemática.

Dessa maneira é preciso cuidado para que o abstraimento não seja um objeto difuso para o

aluno e que tais aplicações na docência não comprometa aspectos afins para a profissão,

visto que, ser professor é muito mais que se pôr a frente de uma sala. Nesse sentido, Bicudo

(2005, p.53), diz que o professor tem por função ajudar o aluno a desvendar, tirar a venda do

mundo e uma dessas formas de desvendamento é o ensino.

Por fim, um dos pontos positivos dessa experiência como professor-monitor foram os

resultados positivos obtidos pelos alunos, atingindo o objetivo principal do projeto: o de

prepará-los para a OBMEP e enquanto acadêmicos, vivenciar as dificuldades do dia a dia.

Uma das maiores gratificações para os professores são as conquistas de seus alunos e

tivemos uma pequena ideia de como é esse sentimento. O contato com os alunos logo cedo

proporcionou mais experiência, pois é só ali, dentro de uma sala de aula, que convivemos

com a realidade e uma dessas realidades é estarmos preparados para o insucesso de alguns.

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REFERÊNCIAS

[2] BICUDO, M. A. V. Educação matemática organizadora. 2. ed. São Paulo: Centauro, 2005.

[2] NÓVOA, Antonio (Coord.). Os professores e sua formação. Lisboa, Portugal: Dom Quixote,

1997.

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A equacao de Korteweg - de Vries como

o limite contınuo do modelo de Toda

Douglas X. Andrade Petrus H.R. Anjos Paulo E.G. Assis

Instituto de Fısica e Quımica

Universidade Federal de Goias

Catalao - GO - Brasil

E-mails: [email protected] [email protected] [email protected]

RESUMO

Neste trabalho mostramos como a equacao de Kortweg e de Vries (KdV) podeser discretizada convenientemente de modo a preservar importantes propriedades.Alem de apresentar as estreitas relacoes entre essa equacao e a chamada rede Toda,tambem investigaremos outros procedimentos capazes de gerar um sistema discretointegravel, a partir do modelo de KdV, como a discretizacao de Hirota.

1 Introducao

Os chamados sistemas exatamente integraveis formam uma area da matematica apli-cada que se notabiliza pelos estreitos lacos com outros ramos de pesquisa, como teoriade grupos, algebra, teoria de representacao, topologia, geometria diferencial, sistemasdinamicos, dentre outras, e que encontra solo fertil na fısica teorica contemporanea.

Seu estudo inicia-se no seculo XIX com uma observacao do engenheiro naval escocesJohn Scott Russell: a existencia de ondas solitarias em canais que podiam se propagar porgrandes distancias com velocidade constante sem dissipar, mantendo sua forma original.Esta onda pode ser descrita por uma equacao proposta por Boussinesq e redescoberta porDiederik Korteweg e Gustav de Vries.

Contudo, foi apenas na segunda metade do seculo passado que sua importancia ma-tematica foi desvendada. Investigacoes conduzidas por Enrico Fermi, John Pasta, Sta-nislaw Ulam e Mary Tsingou, durante o Projeto Manhattan, nos laboratorios de LosAlamos, com os primeiros computadores industriais, mostraram a existencia de leis deconservacao em uma classe sistemas dinamicos nao-lineares. As simetrias responsaveispor esse fenomeno foram aos poucos sendo relacionadas com aquelas responsaveis pormanter a forma das ondas solitonicas, descritas decadas antes, atraves do trabalho deMiura, Gardner, Kruskal, Zabusky, entre outros.

O problema estudado por Fermi, Pasta, Ulam e Tsingou, por incrıvel que pareca, naoe tao independente daquele estudado por Korteweg e de Vries. De fato, o sistema deFermi-Pastta-Ulam pode ser visto como uma aproximacao do chamado modelo de Todae este, como mostraremos nesse trabalho, correponde a uma discretizacao da equacao deKdV.

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2 Resultados

2.1 Uma derivacao para a equacao de KdV

Iniciando com a equacao de onda

∂2φ

∂x2− 1

v2

∂2φ

∂t2= 0, (1)

pode-se observar que ela e linear, nao-dispersiva e nao-dissipativa, bem como notar quesua solucao pode ser escrita como φ(x, t) = ei(kx−ωt). Logo apresenta uma relacao dedispersao do tipo ω(k) = kv e com o intuito de modifica-la, uma das alteracoes maisimediatas a se fazer consiste na introducao um termo dispersivo, substituindo-a por

ω(k) = ( k − β k3 + · · · ) v, (2)

e considerando que a dispersao introduzida e pequena, podemos manter apenas os doisprimeiros termos.

Pode-se entao verificar que a equacao satisfeita por essa onda tem a seguinte forma

∂φ

∂x+ β

∂3φ

∂x3+

1

v

∂φ

∂t= 0. (3)

Por outro lado, a fim de introduzir efeitos de nao linearidade, introduzimos um termoquadratico em φ, e apos uma mudanca de variaveis ela pode ser finalmente escrita como

UT + a U UX + b UXXX = 0, (4)

conhecida como equacao da KdV. Logo, ve-se que tal equacao pode ser vista como umageneralizacao relativamente natural da equacao de onda de D’Alembert para a qual foramintroduzidas deformacoes simples capazes de gerar efeitos dispersivos e nao lineares.

2.2 O limite contınuo para a cadeia de Toda

Os estudos das redes nao-lineares de Fermi, Pasta e Ulam mostraram que as mesmaspossuem comportamento aproximadamente periodico e que poderia ser encontrada umaforc a nao-linear que admita ondas periodicas, e.g. [3]. Em seu trabalho, Toda concluique estas estruturas estarao ligadas a uma interacao exponencial entre as partıculas darede (equacao 3.3.1). A rede de Toda e constituıda de N corpos, onde estes apresentamuma interacao exponencial entre si,

Qn = e(Qn−1−Qn) − e(Qn−Qn+1). (5)

O objetivo devera ser alcancado ao realizar a aproximacao da cadeia de Toda parao limite contınuo. Iniciando pela equacao de Newton para uma partıcula sujeita a umpotencial V , responsavel pela interacao entre vizinhos, que depende da distancia entreas partıculas vizinhas, sendo que as duas primeiras vizinhas exercem forcas em sentidosopostos, temos

∂2yn

∂t2= −V ′(yn − yn−1) + V ′(yn+1 − yn). (6)

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Podemos supor que a interacao pode ser expandidda em termos de um deslocamentorelativo rn = yn+1 − yn de uma forma que generaliza o potencial de Hooke para umaforca elastica linear, agora incluindo termos nao lineares, V (rn) = 1

2k r2

n + 13k α0 r3

n + · · · .Utilizando a forca entre duas partıculas como sendo igual a fn = e−rn − 1, a equacao demovimento expressa-se da seguinte maneira,

∂2

∂t2log(fn + 1) = fn+1 + fn−1 − 2fn. (7)

Finalmente, introduzimos novas mudancas de variaveis

t =τ

h3, x = n h −

(1

h2− h2

)τ, fn = h2un(τ), u(x, τ) = un(τ), (8)

em termos das quais, a equacao para a cadeia exponencial de Toda simplifica-se, no limiteem que o parametro adimensional tende a 0 pelo lado positivo, h → 0+, usarmos expansaoem serie de Taylor, Por fim, usando-se a condicao de que quando x tende ao infinito aamplitude u deve anular-se, nos obtemos a equacao de KdV,

uτ +1

2uux +

1

24uxxx = 0 (9)

Essa e portanto uma maneira alternativa de escrever a equacao de Korteweg e de Vriespara as ondas solitarias em canais como o limite contınuo do modelo de Toda para umacadeia discreta de partıculas que interagem por meio de uma generalizacao dos potenciaisde Hooke e Fermi-Pasta-Ulam.

3 Conclusoes

Neste trabalhos mostramos como ondas solitarias em canais, observadas por Scott-Russel e descritas matematicamente pela equacao de Kortweg e de Vries, estao intima-mente relacionadas as cadeias de massas e molas estudadas numericamente por Fermi,Pasta, Ulam e Tsingou. A conexao entre esses dois problemas aparentemente desconexosda-se por meio do modelo de Toda. Mostramos como o problema de Fermi-Pasta-Ulamcorresponde a uma aproximacao da cadeia de Toda e como o modelo de Toda pode serreescrito, por meio de mudancas de variaveis, como uma discretizacao da equacao deKdV. Discutimos ainda uma segunda possibilidade de discretizacao integravel da equacaode Korteweg-de Vries por meio do metodo de Hirota. Por fim, como exemplo, podemosconstruir explicitamente a conhecida solucao de 1 soliton para esse modelo.

Referencias

[1] BOUSSINESQ, J. (1877), Essai sur la theorie des eaux courantes, Memoires presentespar divers savants, l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII, pp. 1-680.

[2] KORTEWEG, D. J.; de VRIES, G. (1895), On the Change of Form of Long WavesAdvancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves,Philosophical Magazine 39 (240): 422-443.

[3] TODA, M. Theory of Nonlinear Lattice, Springer, 1989.TODA, M. Nonlinear Waves and Solitons, KTK Scientific Publishers, 1989.

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4Colóquio de Matemáti a da Região Centro Oeste


O teorema de Lagrange para subgrupos

Arthur F. Campos

∗Fernando A. Freitas

∗

Fa uldade de Matemáti a, UFU

Av. João Naves de Ávila 2121

38408-100, Uberlândia, MG

E-mails: fernandoaugusto.matgmail. om arthurf 10hotmail. om

Prof. Érika Maria Chio a Lopes

Fa uldade de Matemáti a, UFU

Av. João Naves de Ávila 2121


E-mail: erikafamat.ufu.br

RESUMO

Este trabalho apresenta um resumo de alguns resultados sobre subgrupos, estudo

que se en ontra na fase ini ial de um projeto de ini iação ientí a. Nosso prin ipal

objetivo é apresentar a demonstração do Teorema de Lagrange para subgrupos e

algumas onsequên ias dele, a partir do on eito de lasses à direita de um grupo.

Para tal, iremos pressupor aqui o on eito de grupo, juntamente om algumas de

suas propriedades.

Denição 1. Um sub onjunto H não vazio de um grupo G é um subgrupo de G se

H om a mesma operação que G é também um grupo.

Lema 1. Um sub onjunto H não vazio de um grupo G é um subgrupo se, e somente

se:

1) a, b ǫ H impli a que ab ǫ H.

2) a ǫ H impli a que a−1 ǫ H.

Demonstração: Se H é um subgrupo de G, então é óbvio que (1) e (2) a onte em. Su-

ponhamos por outro lado que H é um sub onjunto de G em que (1) e (2) são válidos.

A m de estabele er que H é um subgrupo, basta veri ar que o elemento neutro

u ∈ H e que a lei asso iativa também é válida para os elementos de H. Como a lei

asso iativa vale para G, ela permane e para H, pois este é um sub onjunto de G. Se

a ǫ H, pelo item 2, a−1 ǫ H e assim pelo item 1, u = aa−1 ǫ H. Provando assim o lema.

Lema 2. Se H é um sub onjunto nito não vazio de um grupo G e H é fe hado sob

a multipli ação, então H é um subgrupo de G.

Demonstração: Pelo Lema 1, basta mostrar que sempre que a ∈ H, temos que

a−1 ∈ H. Suponha que a ∈ H, então a2= aa ∈ H, a3

= a2a ∈ H, · · · , an ∈ H,

· · · , pois H é fe hado. Logo a oleção de elementos a, a2, · · · , an, · · · , deve estar

toda em H, que é um sub onjunto nito de G. Assim deve haver repetições nessa

oleção de elementos, isto é, para alguns inteiros r, s om r > s > 0, ar= as

. Pelo

an elamento em G, ar−s = u (desde que u ǫ G).

∗Dis ente PET Matemáti a - SESu/MEC

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Como r − s − 1 ≥ 0, então ar−s−1 ∈ H e aar−s−1 = ar−s = u. Logo a−1 =ar−s−1 ∈ H, omo queriamos demonstrar.

O lema nos diz que para he ar que um sub onjunto de um grupo nito é um

subgrupo nós apenas temos que ver se é ou não fe hado sob a multipli ação.

Denição 2. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Para a, b ∈ G dizemos que

a é ongruente a b módulo h, es rito omo a ≡ b (mod H) se ab−1 ∈ H.

Lema 3. A relação a ≡ b (mod H)é uma relação de equivalên ia.

Demonstração:

1) Para mostrar que a ≡ a (mod H) nós devemos provar, usando a denição de

ongruên ia mod H, que aa−1 ǫ H. Como H é um subgrupo de G, então aa−1

= u;

2) Suponha que a ≡ b (mod H), isto é ab−1 ǫ H. Nós queremos provar que b ≡ a(mod H), ou equivalentemente ba−1 ǫ H. Como ab−1 ǫ H, que é um subgrupo

de G, isto é (ab−1)−1 ∈ H; Pelas propriedades de grupo, temos que (ab−1)−1

= (b−1)−1a−1= ba−1

, então ba−1 ǫ H;

3) Finalmente nós supomos que a ≡ b (mod H) e b ≡ c (mod H) e queremos

mostrar que a ≡ c (mod H). A primeira ongruên ia nos dá que ab−1 ǫ H, a

segunda que bc−1 ǫ H, usando que H é um subgrupo de G, (ab−1) (bc−1) ǫ H.

Entretanto ac−1= auc−1

= a(b−1b)c−1= (ab−1)(bc−1). Então ac−1 ǫ H, disto

é imediato que a ≡ c (mod H).

Denição 3. Se H é um subgrupo de G e a ∈ G então Ha = ha / h ∈ H. Ha é

hamado de lasse à direita de H em G.

Lema 4. Para todo a ∈ G

Ha = x ∈ G | a ≡ x (mod H).

Demonstração: Vamos denotar [a] = x ∈ G | a ≡ x (mod H).Primeiro devemos mostrar que Ha ⊂ [a]. Se h ǫ H, então a(ha)−1

= a(a−1h−1)= h−1 ǫ H pois H é um subgrupo de G. Pela denição de ongruên ia mod H isto

impli a que ha ǫ [a] e então Ha ⊂ [a].Suponha agora x ǫ [a]. Então ax−1 ǫ H, e (ax−1)−1 = xa−1

está também em H

. Isto é, xa−1= h para algum h ǫ H. Multipli ando ambos os lados por a do lado

direito nós hegamos que x = ha e então x ǫ Ha. Portanto [a] ⊂ Ha. Tendo provadoas duas armações, que [a] ⊂ Ha e Ha ⊂ [a], nós podemos on luir que [a] = Ha.

Lema 5. Há uma orrespondên ia um a um entre quaisquer duas lasses à direita

de H em G.

Demonstração: Dadas duas lasses à direita de H em G, Ha e Hb, denimos a

orrespondên ia um a um a que leva ha em hb.Se h1b = h2b, om h1,h2 ǫ H, então pela lei do an elamento em G, h1 = h2 e

então h1a=h2a. Portanto essa orrespondên ia é um a um.

Teorema 1. (Teorema de Lagrange) Se G é um grupo nito e H é um subgrupo de

G, então o(H) é um divisor de o(G).

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Demonstração: Pelo Lema 5, sabemos que duas lasses à direita de H em G têm

o mesmo número de elementos. Bem, note que H = Hu é também uma lasse à

direita de H, então qualquer lasse à direita de H em G tem o(H) elementos.

Suponha agora que G é um grupo nito e seja k o número de lasses à direita

de H em G. Quaisquer duas lasses distintas à direita de H em G são disjuntas. De

fato, se x ∈ Ha ∩ Hb então pelo Lema 4 a ≡ x (mod H) e b ≡ x (mod H). Agora

pelo Lema 3, temos que b ≡ a (mod H), ou seja, a ∈ Hb. Daí Ha = Hb.

Como qualquer a ∈ G está na úni a lasse à direita Ha, as lasses à direita

ompletam G. Então se k representa o número de lasses à direita de H em G nós

devemos ter que ko(H) = o(G), ou seja, o(H) é um divisor de o(G).

Denição 4. Se H é um subgrupo de G, o índi e de H em G é o número de lasses

à direita que são distintas.

Nós devemos denotar isso por IG(H). No aso que G é um grupo nito, pelo

Teorema de Lagrange IG(H) = o(G)/o(H).

Denição 5. Se G é um grupo e a ǫ G, a ordem(ou período) de a é o menor inteiro

positivo m tal que am= u. Se não existe um inteiro que satisfaz a igualdade nós

dizemos que a é de ordem innita. Nós usamos a notação o(a) para ordem de a.

Corolário 1. Se G é um grupo nito e a ∈ G então o(a) é um divisor de o(G).

Demonstração: Vamos onsiderar o subgrupo í li o gerado por a, que onsiste de

(a) = u, a, a2, .... Armamos que o número de elementos de (a) é o(a). De

fato, omo ao(a) = u, este subgrupo tem no máximo o(a) elementos. Se este ti-

vesse realmente menos do que o(a) elementos, então ai = ajpara alguns inteiros

0 ≤ i < j < o(a). Logo aj−i = u, ainda 0 < j − i < o(a) o que ontradiria o

signi ado de o(a).Então o subgrupo í li o gerado por a tem o(a) elementos e, do

teorema de Lagrange, o(a) é um divisor de o(G).

Corolário 2. Se G é um grupo nito e a ∈ G, então ao(G) = u.

Demonstração: Pelo Corolário 1, o(a) é um divisor de o(G), então o(G) = mo(a).

Portanto, ao(G) = amo(a) = (ao(a))m = um = u.Portanto, on luímos esse trabalho observando que o Teorema de Lagrange é um

resultado importante da teoria de grupos, que rela iona a ordem de um subgrupo

om a ordem do grupo, podendo nos auxiliar na resolução de problemas que envolvem

exemplos de grupos. Além do resultado em si, o lema utilizado em sua demonstração

também traz a informação relevante, de que toda lasse à direita terá o mesmo

número de elementos. Dando ontinuidade a esse projeto de ini iação ientí a,

estudaremos outros on eitos da teoria de grupos e anéis, que utilizarão o Teorema

de Lagrange.

Referên ias

[1 MAC LANE, S.; BIRKHOFF, G. Algebra. Rhode Island: AMS Chelsea Publishing,

1999.

[2 HERSTEIN, I.N. Topi s in Algebra. New York: John Wiley & Sons, 1975.

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____________________________ ¹Pós graduanda em Educação Matemática UFT – Campus Arraias - TO



INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

COMO VEÍCULO DE APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA

Helaine A. de Oliveira¹

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Tocantins - IFTO

Rodovia TO 040 – Km 349

Loteamento Rio Palmeira, Lote 01 77300-000, Dianópolis, TO

Email: [email protected]

Amarildo da S. Cunha

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Tocantins – IFTO

Rodovia Br-153, Km 480

Distrito Agroindustrial 77.600-000 – Paraíso do Tocantins - TO


RESUMO

Este trabalho tem como objetivo fazer uma reflexão teórica metodológica sobre investigações

matemáticas e resolução de problemas como ferramentas para o ensino de matemática, bem

como, analisar quais competências e habilidades são desenvolvidas a partir do trabalho

pedagógico nessa perspectiva. A investigação matemática e a resolução de problemas

mostram-se como propostas que se contrapõem ao que é observado historicamente no ensino

de matemática. Embora, sob o ponto de vista teórico, haja avanços nas pesquisas e debates

acadêmicos acerca do ensino de matemática, as práticas pedagógicas tem sido permeadas por

procedimentos que estimulam a repetição de processos mecânicos e não privilegiam o

desenvolvimento do pensamento matemático e a construção de conhecimento. Ao

desenvolver uma aula na perspectiva das metodologias de resolução de problemas e

investigação matemática, possibilita-se ao aluno a chance de ser o protagonista de sua própria

aprendizagem, de escolher os caminhos a serem percorridos na construção do seu

conhecimento, o que, certamente, pode tornar a aula mais atrativa e significativa para o

mesmo. A resolução de problemas e a investigação matemática são, sem dúvidas, ferramentas

que possibilitam aos alunos ver-se como sujeitos de suas aprendizagens e a verem o

conhecimento como algo que não está pronto e acabado. O desenvolvimento de um projeto de

ensino de matemática tendo como concepção metodológica a investigação matemática e a

resolução de problemas requer que o docente assuma, de fato, a postura de mediador, pois a

aula é concebida como uma construção coletiva de conhecimentos. Adotar essa perspectiva

teórica metodológica, desperta, no aluno, a curiosidade, criatividade, a capacidade de

investigar, testar hipóteses, bem como transforma as aulas de matemática em momentos

desafiadores. A realização deste estudo se deu por meio de pesquisa bibliográfica, tendo como

referencia os trabalhos de Polya (1995), Dante (2010) e Ponte (2005), dentre outros autores.

As análises realizadas nesta pesquisa possibilitam repensar as aulas de matemática de forma a

proporcionar ao aluno uma aprendizagem mais significativa e, portanto, mais útil a ele como

ferramenta para torna-lo sujeito. A partir deste estudo pode-se fazer uma reflexão sobre os

desafios postos para o ensino de matemática nos dias atuais que demandam a formação de

sujeitos autônomos, críticos e reflexivos, e as possíveis causas para que, na prática, o ensino

dessa disciplina escolar não aponte para a superação dos problemas históricos que o envolve.

Referências [1] DANTE, L. R. (2010). Formulação e Resolução de Problemas de Matemática. São

Paulo: Ática.

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____________________________ ¹Pós graduanda em Educação Matemática UFT – Campus Arraias - TO



[2] GAZIRE, E.S. Resolução de Problemas: Perspectivas em Educação Matemática.

Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), Rio Claro: UNESP, 1988.

[3] POLYA, G. A arte de resolver problemas. Trad. e adapt.: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de

Janeiro: Interciência, 1995.

[4] PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de

aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

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__________________________ ¹Pós graduanda em Educação Matemática - UFT/Campus Arraias - TO



A UTILIZAÇÃO DE TECNOLOGIAS NAS AULAS DE MATEMÁITCA:

DESAFIOS E POSSIBILIDADES

Helaine A. de Oliveira¹

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Tocantins -

IFTO Rodovia TO 040 – Km 349

Loteamento Rio Palmeira, Lote 01

77300-000, Dianópolis, TO


Amarildo da S. Cunha

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Tocantins

– IFTO Rodovia Br-153, Km 480

Distrito Agroindustrial

77.600-000 – Paraíso do Tocantins - TO


RESUMO

Este artigo tem como objetivo apresentar uma reflexão teórica a respeito da utilização de

tecnologias como recursos para o ensino aprendizagem de matemática, destacando os desafios

imbuídos e as possibilidades geradas ao se optar por um trabalho pedagógico nessa

perspectiva. Inovação nas práticas pedagógicas tem sido tema de interesse nos debates e nas

pesquisas educacionais. Em meio a isso, a utilização de tecnologias na sala de aula tem

ganhado atenção crescente e sido apontada como uma ferramenta que pode trazer ganhos ao

processo de ensino aprendizagem. Várias são as questões geradas frente às tecnologias como

recursos pedagógicos. Dentre elas, faz-se necessário refletir sobre que dinâmicas adotadas em

sala de aula proporcionam, de fato, ganho ao trabalho pedagógico, sobre qual o papel do

professor e sobre a inserção de ferramentas, como o computador, por exemplo, nas aulas de

matemática. A inserção de tecnologias nas aulas de matemática constitui-se como uma

demanda latente e real, visto que tais ferramentas são frutos da construção humana que

desempenham papel importante na cultura mundial atual. Essas ferramentas tecnológicas,

além de facilitar o acesso aos novos conhecimentos, servem também de base para novas

adaptações aos sistemas variados de transmissão de conhecimento. Pinto (2008), afirma que

para se utilizar as tecnologias no ambiente escolar, é preciso formar professores capacitados

para trabalhar com essas tecnologias, disponibilizando na graduação disciplinas que insiram o

professor nesse novo aprendizado, interagindo com esses artefatos na formação inicial, para

que possa, futuramente, utilizá-los dentro da sala de aula. A utilização de recursos

tecnológicos como ferramenta de ensino, traz uma enorme contribuição para práticas

escolares em qualquer nível de ensino, desde que, o planejamento das ações pedagógicas seja

feito tendo clareza dos objetivos a serem alcançados e da contribuição da ferramenta em si

para tal processo. Ou seja, a presença de um recurso tecnológico na sala de aula, por si só, não

garante uma aprendizagem significativa. Um instrumento que seja moderno e atual pode ser

utilizado para um ensino tradicional e totalmente desprovido de sentido para o aluno.

Referências

[1] GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M. C. “A Aprendizagem da Matemática em

Ambientes Informatizados”, In: Informática na Educação: Teoria e Prática – vol. 1, n. 1,

1998. Porto Alegre: UFRGS – Curso de Pós-Graduação em Informática na Educação.

[2] SOARES, P. F. (2008). Da lousa ao computador: resistência e mudança na formação

continuada de professores para integração das tecnologias da informação e

comunicação. (Tesis inédita de maestría). Universidade Federal de Alagoas, AL.

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Página-26



Modelagem Matemática da Cinética de Secagem do Endocarpo

do Baru (Dipteryx alata) Submetida a Diferentes Temperaturas.

Paulo C. M. Teixeira1 Rogerio A. Rocha

Emails: [email protected] Email: [email protected]

Abraham D G Zuniga

Email: [email protected] Curso de Engenharia de Alimentos, UFT

Av. NS 15, ALCNO 14, Bloco II 77.006-492, Palmas, TO

RESUMO

A secagem tem como objetivo reduzir o teor de água do produto, possibilitando o aumento de

sua vida-de-prateleira, bem como a redução do volume, facilitando o transporte e o armazenamento

(PARK et al., 2001). As curvas de secagem são de fundamental importância para o desenvolvimento

de processos e para o dimensionamento de equipamentos. Com elas, pode-se estimar o tempo de

secagem de certa quantidade de produtos e, com o tempo necessário para a produção, estima-se o

gasto energético que refletirá no custo de processamento e, por sua vez, influenciará no preço final do

produto (VILELA e ARTUR, 2008).

Os modelos matemáticos são ferramentas úteis na estimativa do tempo necessário para redução

do teor de água do produto, sob diferentes condições de secagem, auxiliando nas tomadas de decisão e

contribuindo na melhoria da eficiência do processo (ANDRADE et al., 2003).

O presente trabalho visou determinar a cinética de secagem do Endocarpo do Baru (Dipteryx

alata), nas temperaturas de 50, 60, e 70 °C bem como realizar a modelagem matemática do processo,

definindo o melhor modelo ajustado.

As cinéticas de secagem foram desenvolvidas no Laboratório de Separação de Biomoléculas e

Desidratação de Alimentos-LAPSDEA da Universidade Federal do Tocantins – UFT. As fatias do

Endocarpo foram depositadas em bandejas de aço inox, para facilitar a circulação de ar quente, do

secador a gás. As amostras foram pesadas em intervalos pré-determinados até obterem peso constante.

Os seguintes modelos matemáticos foram ajustados aos dados experimentais: Newton - RU =

exp(-kt); Henderson e Pabis - RU = a.exp(-kt); Logaritmo - RU = a.exp(-kt) + b, em que: RU é a razão

de umidade; k é a constante de secagem por minuto, a, e b são os coeficientes dos modelos; e t é o

tempo de secagem, em minutos.

Para o cálculo da razão de teor de água (RU), nas diferentes temperaturas, utilizou-se: RU= (X -

Xe)/(Xi – Xe); em que: X – teor de água do produto, decimal b.s.; Xi – teor de água inicial do produto,

decimal b.s.; e Xe – teor de água de equilíbrio do produto, decimal b.s.

O ajuste dos modelos matemáticos foram realizados por meio da análise de regressão não linear

pelo método Gauss-Newton, utilizando-se um software de análises estatísticas. Os modelos foram

selecionados considerando a significância dos coeficientes de regressão pelo teste t, adotando nível de

1% de probabilidade, a magnitude do coeficiente de determinação ( ).

O ajuste dos modelos aos dados experimentais de secagem está apresentado na Tabela 1.

1Professor do Curso de Engenharia de Alimentos/UFT.

Página-27



Tabela 1. Valores do coeficiente de determinação ( ) e Parâmetros obtidos dos modelos

ajustados aos dados de secagem de extra do Baru, nas temperaturas de 50, 60 e 70°C.

Na Figura 1, 2 e 3 apresentam-se as curvas de secagem nas temperaturas de 50, 60 e 70 °C,

respectivamente, para Endocarpo do Baru.

Figura 1. Curvas de secagem em função de temperatura 50ºC

Figura 2 . Curvas de secagem em função de temperatura 60ºC

Página-28



Figura 3. Curvas de secagem em função de temperatura 70ºC

Pode-se observar que a umidade diminui ao longo do tempo.

O modelo do Logarítmico foi o que melhor se ajustou aos dados experimentais nas três

temperaturas de secagem testadas.

Referências

[1] ANDRADE, E.T.; BORÉM, F.M.; HARDOIM, P.R. Cinética de secagem do café cereja,bóia e

cereja desmucilado, em quatro diferentes tipos deterreiros. Revista Brasileira de Armazenamento –

Especial Café, Viçosa, v.1, n.7, p.37-43, 2003.

[2] PARK, K.J.; MORENO, M.K.; BROD, F.P.R. Estudo de secagem de pera. Bartlett. Ciência e

Tecnologia de Alimentos, v.21, n.3, p.288- 292, 2001.

[3] VILELA, C. A. A.; ARTUR, P. O. Secagem do açafrão (Curcuma longa L.) em diferentes cortes

geométricos. Ciência e Tecnologiade Alimentos, v.28, p. 387-394, 2008.

Página-29

Página-30

1



Fractais: Um Método de Ensino da Geometria no Ensino Médio

Lorenna G. Silva Isabel S. B. Santana1

Instituto Federal Goiano - Câmpus Urutaí, IF Goiano

Rodovia Geraldo Silva Nascimento Km 2,5 75790-000, Urutaí, GO

Emails: [email protected] [email protected]

Elisabete A. Gonçalves

Instituto Federal Goiano - Câmpus Urutaí, IF Goiano Rodovia Geraldo Silva Nascimento Km 2,5

75790-000, Urutaí, GO


RESUMO

Os fractais são objetos explorados na geometria não euclidiana. Ainda são pouco conhecidos,

mas estão presentes no cotidiano e muitas vezes nem sabemos disso. Os fractais têm como principais

características a autossemelhança, complexidade infinita, processo periódico e dimensões, pois podem

ser utilizadas para demonstrar as formas da natureza. A geometria fractal desperta curiosidade e

criatividade nos alunos pelo fato de mostrar a ligação da matemática com outras disciplinas, como a

Arte devido às formas que utiliza. Enfatizando uma maior compreensão dos fractais geométricos,

foram desenvolvidas oficinas com os alunos da primeira série, do Ensino Médio, do Colégio Estadual

Professor Ivan Ferreira, do município de Pires do Rio - GO. Foram introduzidos conteúdos sobre as

origens da geometria do fractal e a construção de cartões fractais, sendo eles: degraus centrais e

triângulo de Sierpinski, representadas nas figuras 1 e 2.

Figura 1: Degraus Centrais Figura 2: Triângulo de Sierpinski

FONTE: Disponível em <http://www.abed.org.br/congresso2013/cd/256.pdf>. Acesso em: 13

ago.2015.<http://www.pibid.ufpr.br/pibid_new/uploads/matematica2011/arquivo/674/Geometr

ia_Fractal.pdf>. Acesso em: 13 ago. 2015.

Com as atividades propostas nas oficinas, objetivou-se contextualizar noções básicas de

geometria do fractal ampliando os conceitos de segmento de reta, ponto médio, progressão

geométrica, diferenças e áreas de figuras bidimensional e tridimensional. Assim, ampliando o

conhecimento e desenvolvendo melhor os conceitos, habilidades e conteúdos trabalhados, de forma

diferenciada e prazerosa. Para isso, é necessária a participação dos alunos para que explorem os

métodos utilizados.

1 Bolsista do PIBID/CAPES

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2



Contudo, durante o desenvolvimento da pesquisa, percebeu-se que os problemas apresentados no

ensino e na aprendizagem do conteúdo de geometria são sustentados por memorização de fórmulas

algébricas. Ainda que sejam alunos de ensino médio, apresentam dificuldades em números decimais,

que é matéria de sexto ano, do ensino fundamental. Porém, trabalhar essas dificuldades com medição

de segmentos utilizando régua, principalmente quando se trata de números decimais, ainda é bem

vista.

No entanto, com o trabalho aplicado, todos os alunos se empenharam em desenvolver as

atividades propostas, gerando assim, um resultado positivo. Pois, mesmo diante das dificuldades e

limitações, com ajuda, conseguiram cumprir o que foi proposto, aprendendo um método simples de

visualizar a matemática no dia a dia.

Ao analisar o comportamento de cada aluno perante a matemática em sala de aula, observa-se

que poucos gostam da disciplina. A minoria sabe que a matemática faz parte do seu cotidiano quando

encontrada em formas geométricas diferenciadas, como os fractais. Trazer atividades que possibilite

essa visualização, trouxe motivação para a aula. De forma simples, mostrar a importância e a

aplicabilidade das formas geométricas, foi primordial para essa conscientização. Além de despertar

curiosidade e criatividade, o trabalho propiciou interatividade entre os discentes. A experiência foi

satisfatória, tanto por usar a sua aparência chamativa, quanto por favorecer os conteúdos matemáticos.

Esses fatores estimulam o aluno a se envolver com o exercício fazendo com que aprenda melhor os

conceitos envolvidos.

Por fim, percebe-se que a geometria do fractal abrange muitos conteúdos voltados à matemática.

A mesma oferece uma forma prazerosa e diferenciada de trabalhar com os alunos por meio de

construções e visualizações, visando melhor desenvolvimento na aprendizagem, fator este muito

pouco apresentado nos moldes acadêmicos.

Despertar o interesse dos alunos e mostrar que a matemática não se aprende somente através de

fórmulas proporciona melhor adaptação ao conteúdo e à disciplina. Como a matemática faz parte de

nossas vidas, pode ser compreendida de maneira dinâmica, desafiante e divertida, basta direcionarmos

um novo olhar à esta ciência. Portanto, é importante sempre ressaltar que a aprendizagem da

matemática está ligada diretamente à compreensão.

Referências

[1] ASSIS, Thiago Albuquerque de; MIRANDA, José Garcia Vivas; MOTA, Fernando de

Brito. (Org.)et.al. Geometria fractal: propriedades e características de fractais ideais.

Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-

11172008000200005>. Acesso em: 01 jun. 2015.

[2] BEMFICA, Andrios; ALVES, Cassiana. Fractais: Progressão e Série Geométrica. Uma

metodologia de ensino. Disponível em:

<http://professorandrios.blogspot.com.br/2011/06/geometria-fractal-arte-e-matematica-

em.html>. Acesso em: 01 jun. 2015.

[3] FILLIPIN, Gabriela Granzotto. Estudo da geometria fractal e aplicações em sala da aula.

Disponível em:

<http://www.unifra.br/cursos/matematica/downloads/TFG%20FINAL%20GABRIELA%20FI

LLIPIN%20C.pdf>. Acesso em: 05 jun. 2015.

[4] SCHNEIDER, Clarice Lúcia. Matemática: O Processo de Ensino-Aprendizagem.

Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/artigos/a32/p3.php >.Acesso em: 12 jun.

2015.

[5] SOUZA, D. N.; SILVA, G. K. R.; PILATO, M.; PINTO, N. J. B. Oficina de Matemática

Fractais. Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência. Curitiba: Universidade

Federal do Paraná, 2012.

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NUMERO E INDICE DE ROTACAO DE UMA CURVAFECHADA

Flavio Morais de Miranda Tulio L. PereiraInstituto Federal de Goias, IFG

Rua 75, 46 - St. Central

74055-110, Goiania, GO


RESUMO

1 Introducao

Estudamos curvas planas de forma global com ındice de rotacao que mede o numero devoltas (orientadas) que o vetor tangente de α da em torno da origem, quando percorremoso traco de α. A ideia de associar uma curva regular α ao movimento circular do vetortangente unitario T e o vetor unitario normal N, onde podemos observar que T e N diferemapenas por uma rotacao constante de uma angulo π

2, possui uma papel fundamental na

teoria das curvas planas diferenciaveis usada por Gauss no inıcio da Geometria Diferencial.Uma aplicacao interessante e o Teorema Fundamental da Algebra que diz que todo

polinomio de grau n ≥ 1 sobre o corpo de numeros complexos C possui em C pelo menosuma raız complexa.

2 Numero de Rotacao de uma Curva Fechada

2.1 Angulo Orientado

Dados dois vetores v e w nao-nulos de R2, a medida do angulo orientado (ou simples-mente angulo orientado) de v para w, ⟲∢(v, w),e dado por.

⟲∢(v, w) =

⟲∢(v, w) = ∢(v, w), se ⟨v⊥, w⟩ ≥ 0,

⟲∢(v, w) = −∢(v, w), se ⟨v⊥, w⟩ < 0

Observe que ⟲∢(v, w) ∈ (−π, π]. De fato, temos que

| ⟲∢(v, w)| = ∢(v, w)

e portanto, −π ≤⟲∢(v, w) ≤ π. Para verificar que ⟲∢(v, w) > −π, observe que, se∢(v, w) = π,⟨v⊥, w⟩ = 0 e, consequentemente, ⟲∢(v, w) = π.

2.2 Numero de Rotacao de uma curva Fechada.

Teorema Seja α : [a, b] → R2 uma curva contınua, e seja P0 um ponto nao pertencenteao traco de α. Entao existe uma funcao contınua φ : [a, b] → R, tal que

φ(t) =⟲∢(α(a) − P0, α(t) − P0)mod2π,

1

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Figure 1: Numero de rotacao.

para todo t ∈ [a, b], se ψ e uma outra funcao como acima, entao φ e ψ diferem por ummultiplo de 2π, isto e,φ(t) = ψ(t) + 2kπ, para todo t ∈ [a, b] e para algum k ∈ Z fixado.Em particular, existe um unica funcao φ como acima, tal que φ(a) = 0.Proposicao. Seja α : [a, b] → R2 uma curva diferenciavel, e seja P0 um ponto fora dotraco de α. Entao a funcao φ : [a, b] → R2, dada por

φ(t) =

∫ t

a

⟨(α(ξ) − P0)⊥, α

′(ξ)⟩

∥α(ξ) − P0∥2,

e uma funcao angular da curva α, com relacao a P0.Definicao: O numero

W (α, P0) =1

2πφ(b) ∈ Z

e chamado de numero de rotacao de α em relacao a P0.Para encontrar o numero de rotacao de uma curva plana usando a formula acima

podemos representar atraves de figuras para melhor entender os calculos. O numero derotacao de uma curva fechada simples e ±1. A figura 1 nos mostra o numero de rotacaoem volta de um ponto dado fora de α, no sentido anti-horario +1, no sentido horario -1.

2.3 Propriedades do Numero de Rotacao

Proposicao: Seja α : [a, b] → R2 uma curva fechada e contınua. Entao existe R > 0, talque, para todo P ∈ R2 com ∥P∥ ⩾ R, W (α, P ) = 0.

3 Curvas Fechadas e o Indice de Rotacao

Definicao: Seja α : [a, b] → R2 uma curva fechada e regular. O ındice de rotacao de α,Rα, e definido por

Rα = W (α′, (0, 0)).

3.1 Curvatura Total

Definicao: Seja α : [a, b] → R2 uma curva de classe C2. A curvatura total CT (α) dacurva α e dada por

CT (α) =1

2π

∫ b

a

k(ε)∥α′∥dε.

Teorema: Seja α : [a, b] → R2 uma curva fechada, regular e de classe C2. Entao suacurvatura total CT (α) e dada por

CT (α) =1

2π

∫ b

a

k(ε)∥α′(ε)∥d(ε) = Rα,

onde Rα e o ındice de rotacao de α. Em particular, CT (α) e sempre igual a um numerointeiro.

2

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3.2 Indice de Rotacao de Curvas Fechadas Simples

Teorema: (Teorema da Rotacao das Tangentes) Seja α : [a, b] → R2 uma curva regular,fechada, simples e de classe C1. Entao Rα = ±1. Alem disso, se α e de classe C1, entaosua curvatura total CT (α) satisfaz

CT (α) =1

2π

∫ b

a

k(ε)∥α′∥d(ε) = ±1.

3.3 Curvatura Absoluta Total

Definicao. Seja α : [a, b] → R2 uma curva fechada e regular. A curvatura absoluta totalde α e dada por

CA(α) =1

2π

∫

ab

|k(t)|∥α′(t)dt,

onde k e a funcao curvatura de α.

4 Conclusoes

Neste trabalho estudamos as orientacoes de angulos para determinar o sentido de curvasfechadas, utilizando um ponto fora do traco da curva α a fim de determinar uma funcaoangular. O numero de rotacao de uma curva, relacionado com ponto inicial e final, defineuma nova curva contınua, resultado que pode ser estudado em Analise Complexas. Nocaso do numero de rotacao de curvas usando homotopia de caminhos, onde dois caminhosdiferentes γ1 e γ2 com pontos extremos (inicial e final) em comum, conseguimos atravesde uma deformacao contınua que um caminho γ1 torne-se um caminho γ2. Definimostambem um ındice de rotacao de curvas para estudar a regularidade em cada estagio dadeformacao e usamos a curvatura para determinar o numero algebrico de voltas que suaindicatriz tangentes realiza em torno da origem.

References

[1] Alencar, H.; Santos, W.; Geometria das Curvas planas. XII Escola de GeometriaDiferencial. UFG, 2002, 67-145.

[2] Chern, S. S.; Curves and Surfaces in Euclidean Spaces. Studies in Global Geometryand Analysis, The Mathematical Association of America (1967).

[3] do Carmo, Manfredo P. , Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1976.

[4] RUTTER, J. W. Geometry of curves. Chapman & Hall mathematics series, BocaRaton, 2000.

3

Página-35

Página-36



Estimação do número de automóveis frequentadores do

estacionamento do Campus Edgard Santos da Universidade Federal do

Oeste da Bahia - UFOB

Leandro de Oliveira Lima1 Mateus Rocha Leão 1


Marcelo de Paula2


Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias – CCET

Universidade Federal do Oeste da Bahia – UFOB

Barreiras, BA, Brasil

RESUMO

O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo de estimação do número de automóveis frequentadores

do estacionamento do Campus Reitor Edgard Santos da Universidade Federal do Oeste da Bahia, por meio do

método da amostragem por captura-recaptura simples. Inicialmente fazemos um resgate bibliográfico do método

e das principais aplicações no contexto de populações animais. Assumimos que este número de automóveis

frequentadores compõe uma população fechada, isto é, o número N de automóveis é constante ao longo do

tempo. A importância de se estimar a quantidade de automóveis que frequentam uma determinada área de uma

Universidade reside no fato de que isso impacta diretamente na sua infraestrutura. Os planejamentos de expansão

da área de um estacionamento baseados em demandas equivocadas podem gerar problemas de falta de vagas, caso

a demanda seja subestimada, ou ainda podem gerar problemas de custo, caso a demanda seja superestimada.

Embora grande parte das aplicações do método de captura-recaptura são sobre populações animais,

recentemente esta metodologia passou a ser utilizada em diferentes áreas, tais como: estudos sociais e

epidemiológicos, oceanografia, dinâmica de frota de veículos, modelagem de demografia de insetos, para citar

algumas aplicações. As técnicas de captura-recaptura podem ser usadas para populações fechadas ou abertas. Uma

população fechada é aquela que não muda seu tamanho durante o período de estudo.

O método de captura-recaptura mais simples para se estimar o tamanho de uma população fechada é

conhecido como método de Petersen. O biólogo dinamarquês Carl G. J. Petersen (1896) desenvolveu um estudo

na área ecológica, conhecido como "Método de Petersen", que consiste inicialmente na seleção de uma amostra

aleatória sem reposição de tamanho 1n da população. Em seguida os animais capturados são marcados e

devolvidos à população e, após um período de tempo, é selecionada uma segunda amostra aleatória sem reposição

de tamanho 2n da população e observa-se o número m de indivíduos marcados. Ocorre que a segunda amostra

pode apresentar m indivíduos marcados da primeira amostra, isto é, indivíduos recapturados.

Há também o método de captura-recaptura múltipla em que há vários estágios de marcação (ver por

exemplo Castledine, 1981), que é uma extensão do método de captura-recaptura simples.

O Estimador de Petersen: A partir do número m de animais marcados observados na segunda amostra

é possível obter uma estimativa ^

N para o tamanho populacional N , assumindo a igualdade das razões entre o

número de animais marcados na população antes da seleção da segunda amostra e o tamanho da população, Nn /1

, e entre o número de animais marcados na segunda amostra e o tamanho da segunda amostra,2nm . Dessa

maneira, segue imediatamente que o estimador é tal que:

1Bolsistas de Iniciação Científica PIBIC/CNPq. 2Professor Adjunto da UFOB, Doutor em Estatística.

Página-37



m

nnN 21^

O estimador ^

N é conhecido na literatura como estimador de Petersen (Seber, 1982). Contudo, quando

não observarmos nenhum animal marcado durante o processo, ou seja, quando m assume o valor zero, ^

N é

infinito. Um estimador para a variância do estimador de Petersen, proposto por Sekar e Deming (1949) é dado por:

.

3

2121^^

m

mnmnnnNVar

Estimador de Chapman: Como já vimos na Seção anterior, a probabilidade de m assumir o valor zero

é positiva, ou seja, quando não observamos nenhum indivíduo marcado na segunda amostra a estimativa de

Petersen é infinita. Um estimador não viciado para N baseado no estimador de Petersen, proposto por Chapman

(1951), é expresso por:

11

11 21^

m

nnN

Se Nnn 21 , então este estimador é não viciado para o tamanho populacional N . Seber (1970)

e Wittes (1972) propuseram um estimador para a variância do estimador de Chapman, da seguinte forma:

21

112

2121^^

mm

mnmnnnNVar

Além do estimador de Chapman ser não viciado para N quando Nnn 21 , podemos verificar que,

mesmo que m assume o valor zero, a estimativa da variância é sempre finita.

Estimador de Bailey: Para os casos em que a distribuição binomial se constitue numa boa aproximação

da distribuição hipergeométrica, Bailey (1951, 1952) propôs uma alteração no estimador, dado pela expressão:

1

121^

m

nnN

O estimador da variância é da seguinte forma:

21

12

22

2

1^^

mm

mnnnNVar

Área de estudo e coleta de dados: As observações foram coletadas no estacionamento da Universidade

Federal do Oeste da Bahia (UFOB), Campus Reitor Edgard Santos (Campus “Prainha”), durante o mês de março

de 2015. Foi fixado previamente dois dias da semana para realizar a amostragem por captura e recaptura: uma

terça-feira para realizar a captura e uma quinta-feira para realizar a recaptura. Para cada um dos dias, consideramos

os períodos matutino, vespertino e noturno. Os horários da coleta de dados foram 10:00hs, 15:00hs e 20:00hs

respectivamente. Foram determinadas previamente sub-áreas do estacionamento em que seriam anotadas as placas

dos automóveis (marcação de captura). No dia da captura, terça-feira dia 17 de março, foram anotadas as placas

de todos os automóveis estacionados nas sub-áreas, para cada um dos três turnos. No dia da recaptura, quinta-feira

dia 24 de março, foram anotadas as placas dos automóveis obedecendo as sub-áreas delimitadas em que foram

realizadas a captura. Nesse momento foram verificados a quantidade de automóveis recapturados, isto é, a

quantidade de automóveis que já haviam sido observados na primeira amostra. As condições climáticas foram as

mesmas para ambos os dias.

Resultados e discussão: A Tabela 1 apresenta as estimativas pontuais, as estimativas intervalares e a

amplitude dos intervalos de confiança do número de automóveis frequentadores do estacionamento, considerando

os três períodos para cada um dos três estimadores adotados.

Página-38



Tabela 1. Estimativas pontuais e intervalares do número de automóveis frequentadores do estacionamento.

Período

Estimadores Adotados

Petersen Chapman Bailey

Estim.

Pontual

para N

Estimativa

Intervalar3

[95%] e

Amplitude (A)4

Estim.

Pontual

para N

Estimativa

Intervalar

[95%] e

Amplitude (A)

Estim.

Pontual

para N

Estimativa

Intervalar

[95%] e

Amplitude (A)

Matutino 185 [135 ; 235]

(100) 181

[134 ; 228]

(94) 180

[124 ; 236]

(112)

Vespertino 182 [119 ; 245]

(126) 176

[119 ; 233]

(114) 174

[108 ; 240]

(132)

Noturno 99 [45 ; 153]

(108) 93

[50 ; 136]

(86) 91

[42 ; 140]

(98)

Total 466 [369 ; 563]

(194) 450

[365 ; 535]

(170) 445

[346 ; 544]

(198)

Podemos observar que, embora as estimativas pontuais referentes aos períodos matutino e vespertino

sejam próximas para os três estimadores, o período vespertino apresentou as maiores amplitudes nos intervalos de

confiança. Esta maior variação nas estimativas intervalares sugere que o período vespertino apresenta uma maior

rotatividade de automóveis. O período noturno apresentou as menores estimativas pontuais bem como as menores

amplitudes nas estimativas intervalares para os estimadores de Chapman e Bailey. Isso ocorreu porque é o período

em que há o menor número de cursos de graduação oferecidos e, consequentemente, há o menor número de

discentes, docentes e demais categorias. A estimativa pontual total do número de veículos, isto é, a soma das

estimativas dos três períodos, foi de 466N veículos para o estimador de Petersen, 450N veículos para o

estimador de Chapman e 445N veículos para o estimador de Bailey.

A grande importância de se estimar o número de automóveis que frequentam um determinado

estacionamento de uma Universidade reside no fato de que isso impacta diretamente sua infraestrutura. Os

planejamentos de expansão de um estacionamento baseados em demandas equivocadas podem gerar problemas

de falta de vagas, caso a demanda seja subestimada, ou ainda podem gerar problemas de custo, caso a demanda

seja superestimada.

Referências

1. ABUABARA, M. A. P., Jr., M. P. Estimativas da abundância de populações animais. Introdução às técnicas de

captura-recaptura. Nupélia, UEM. Ed. EDUEM, 1997.

2. BAILEY, N. T. J. On estimating the size of mobile populations from recapture data. Biometrika. v.38, p.293-

306, 1951.

3. CASTLEDINE, B. A. Bayesian analysis of multiple-recapture sampling for a closed population. Biometrika,

v.67, p.197-210, 1981.

4. CHAPMAN, D. G. Some properties of the hypergeometric distribution with applications to zoological sample

censuses. University of California Publ. Statist., v.1, p.131-60, 1951.

5. JOLLY, G. M. Explicit estimates from capture-recapture data with both death and immigration - stochastic model.

Biometrika, v.52, p.225-47, 1965.

6. LAPLACE, P. S. Sur les naissances, les mariages et les morts. In: Histoire de LÁcadémie Royale des Sciences,

Paris, p.693, 1783.

7. OTIS D.L., BURNHAM, K.P., WHITE, G.C., ANDERSON, D.R.. Statistical inference from capture data on

closed animal populations. It Wildlife Monographs, bf 62, p.1-135, 1978.

8. PETERSEN, C. G. J. The yearly immigration of young plaice into Limfjord from the German sea, etc, Rept.

Danish Biol. Stn., v.6, p.1-48, 1896.

9. SEBER, G. A. F. The estimation of animal abundance and related parameters. London: Charles Gri¢ n and

Company Ltd-1973, v.4, p.130-31, 1982.

10. SEBER, G. A. F.. A review of estimating animal abundance. Biometrics, v.42, p.267-92, 1986.

11. SEBER, G. A. F.. A review of estimating animal abundance II. Intern. Stat. Review, v.602, p.129-166, 1992.

12. SEKAR, C. C., DEMING, W. E.. On a method of estimating birth and death rates and the extent of registration.

J. Am. Statist. Assoc. (JASA). v.44, p.101-15, 1949.

3 Estimativas intervalares obtidas pela aproximação da distribuição normal. 4 A amplitude é dada pela diferença entre o limite superior e o limite inferior do intervalo de confiança.

Página-39

Página-40



Estimação do tamanho populacional animal via modelo bayesiano de

captura-recaptura com distribuição a priori de Poisson truncada

Mateus Rocha Leão 1 Leandro de Oliveira Lima1

Email: [email protected] Email: [email protected]

Marcelo de Paula2


Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias – CCET

Universidade Federal do Oeste da Bahia – UFOB

Barreiras, BA, Brasil

RESUMO

O interesse na estimação do tamanho de populações surgiu em meados do século XVII (White et al. 1982)

e há essencialmente três abordagens para a estimação do tamanho populacional a partir da amostragem via método

de captura-recaptura: abordagem clássica, abordagem bayesiana e a abordagem por meio da aplicação de modelos

log-lineares para tabelas de contingência incompletas.

Este artigo aborda um estudo sobre a estimação do tamanho populacional animal via amostragem por

captura-recaptura. São apresentadas a construção e o desenvolvimento dos estimadores clássicos de máxima

verossimilhança e de Schnabel, e de dois modelos bayesianos de captura-recaptura com truncamento na

distribuição a priori de Poisson para o primeiro nível. Consideramos dois conjuntos de dados reais e demonstrou-

se que as estimativas a posteriori geradas pelos modelos bayesianos com truncamento na distribuição de Poisson

são próximas aos estimadores clássicos quando a distribuição a priori é não informativa. Os estudos mostraram

que, na ausência de informações a priori do tamanho populacional, é recomendado adotar o modelo bayesiano

hierárquico de dois níveis: Distribuição a priori de Poisson com truncamento para o primeiro nível e distribuição

Gama não informativa para o segundo nível.

A eficiência da estimação de parâmetros populacionais, sob o enfoque da inferência bayesiana, é

evidenciada principalmente quando o pesquisador dispõe de informações a priori a respeito destes parâmetros.

Função de verossimilhança: Sob determinadas condições, a função de verossimilhança é tal que

em que D representa os dados, Nr , 10 jp , para sj ,...,2,1 , e a estatística

s

j

j

s

j

j mnr11

é o número de animais distintos capturados ao longo do processo de amostragem. É evidente que o tamanho

populacional é maior ou igual a estatística r .

Modelo Bayesiano hierárquico com distribuição de Poisson com truncamento: Atribuímos para a

distribuição a priori do tamanho populacional N uma estrutura hierárquica de dois estágios. Para o primeiro

estágio assumimos que N tem uma distribuição a priori de Poisson com parâmetro , truncada em zero expressa

por:

1Bolsistas de Iniciação Científica PIBIC/CNPq. 2Professor Adjunto da UFOB, Doutor em Estatística.

s

j

nN

j

n

jssjj ppmnmnmnPDNL

1

2211 1,;...;,;,|,p

,...3,2,1,1!

NeN

eN

N

Página-41



Para o segundo estágio assumimos que o parâmetro obedeça a uma distribuição Gama com

hiperparâmetros a e b conhecidos, 0a e 0b , ou seja

A partir da distribuição a priori de sppp ,...,, 21p , da distribuição a priori de N , da priori de segundo

nível e da função de verossimilhança, então a distribuição a posteriori conjunta de sppp ,...,, 21p N e

é tal que

Dessa forma, a partir da distribuição a posteriori conjunta temos as distribuições condicionais necessárias para a

implementação do algoritmo Gibbs Sampling e Metropolis Hastings dadas por:

A distribuição condicional de rN dados sppp ,...,, 21p , e os dados é tal que

A distribuição condicional de sppp ,...,, 21p dados N , e os dados é tal que

A distribuição condicional de sppp ,...,, 21p dados N e os dados é tal que

Dados reais de captura-recaptura de peixes da espécie Sunfish: Apresentamos um estudo para estimar

o número de peixes (Sunfish) no Lago Gordy, Indiana (USA), em 14s épocas de capturas (Castledine ,1981).

De acordo com os dados, obtém-se a estatística 13814

1

14

1

j

j

j

j mnr peixes distintos recapturados. Os

tamanhos das amostras significativamente diferentes sugerem que as probabilidades de captura são distintas para

cada uma das 14s épocas de captura. As estimativas clássicas de máxima verossimilhança e de Schnabel

obtidas para estes dados foram 329^

N e 451^

N respectivamente.

A estimativa bayesiana considerando uma distribuição a priori não informativa de Jeffreys para N e

distribuições a priori não informativas Beta para o vetor de probabilidades sppp ,...,, 21p , obtivemos

330| DNE com um intervalo de credibilidade de 95% igual á 425,258 .

A Tabela 1 apresenta as estimativas a posteriori obtidas segundo o modelo bayesiano hierárquico com

distribuição de Poisson truncada em zero para o tamanho populacional N no primeiro nível e distribuição Gama

com hiperparâmetros a e b de tal forma que o valor da variância a priori de se iniciasse pequeno e fosse

aumentando de tal sorte que se tornasse não-informativa. Com relação ao vetor de probabilidades

sppp ,...,, 21p adotamos um produto de distribuições a priori Beta não informativas.

0,exp1

ba

b aa

s

j

nN

j

n

j

baN

jj pprNe

eDN

1

1111

1!1

|,

p

s

j

jpPoissonDrN1

1~,,| p

s

j

nN

j

n

jjj ppDN

1

111,,|

p

!1,,|

11

rNe

eDN

baN

p

Página-42



Tabela 1. Estimativas a posteriori de N e considerando diferentes valores da variância a priori de .

Hiperparâmetros

da priori de

Esperança a

priori de

Variância a

priori de

Estimativas a Posteriori

Parâmetro Parâmetro N

a b E Var DE | %95.CredInt DNE | %95.CredInt

1010 1010 1 10-10 1,00 [1,00; 1,00] 138 [138; 140]

109 109 1 10-9 1,00 [1,00; 1,00] 138 [138; 140]

108 108 1 10-8 1,00 [1,00; 1,00] 138 [138; 140]

107 107 1 10-7 1,00 [1,00; 1,00] 138 [138; 140]

106 106 1 10-6 1,00 [1,00; 1,00] 138 [138; 140]

105 105 1 10-5 1,00 [1,00; 1,01] 138 [138; 140]

104 104 1 10-4 1,01 [0,99; 1,03] 138 [138; 140]

103 103 1 10-3 1,14 [1,07; 1,20] 138 [138; 140]

102 102 1 10-2 2,36 [2,07; 2,67] 139 [138; 140]

101 101 1 10-1 13,81 [11,66; 16,11] 142 [138; 140]

100 100 1 100 83 [70; 98] 166 [154; 140]

10-1 10-1 1 101 222 [179; 273] 244 [206; 140]

10-2 10-2 1 102 310 [235; 403] 313 [247; 140]

10-3 10-3 1 103 323 [248; 439] 329 [255; 140]

10-4 10-4 1 104 331 [248; 441] 331 [256; 140]

10-5 10-5 1 105 331 [249; 439] 331 [256; 140]

10-6 10-6 1 106 331 [248; 442] 331 [256; 140]

10-7 10-7 1 107 331 [248; 442] 331 [256; 140]

10-8 10-8 1 108 331 [248; 442] 331 [256; 140]

10-9 10-9 1 109 331 [248; 442] 331 [256; 140]

10-10 10-10 1 1010 331 [248; 442] 331 [256; 140]

Verificamos novamente que a medida que aumentamos a variância a priori do hiperparâmetro

tornando a distribuição não-informativa, as estimativas a posteriori tanto de N quanto de se aproximam e se

estabilizam em valores próximos aos valores obtidos segundo o modelo bayesiano com priori de Jeffreys para N

. Notamos ainda que, a partir de uma variância a priori acima de 410 , as estimativas a posteriori de N e bem

como seus respectivos intervalos de credibilidade convergem para o mesmo valor. A eficiência da estimação de

parâmetros populacionais, sob o enfoque da inferência bayesiana, é evidenciada principalmente quando o

pesquisador dispõe de informações a priori a respeito destes parâmetros. Neste contexto, Quando usamos uma

distribuição a priori informativa de Poisson para o tamanho populacional, devemos ter uma boa ideia do parâmetro

, caso contrário as estimativas a posteriori dos parâmetros do modelo serão significativamente comprometidas.

Referências Bibliográficas 1. ABUABARA, M. A. P., Jr., M. P. Estimativas da abundância de populações animais. Introdução às técnicas de

captura-recaptura. Nupélia, UEM. Ed. EDUEM, 1997.

2. BAILEY, N. T. J. On estimating the size of mobile populations from recapture data. Biometrika. v.38,

p.293-306, 1951.

3. CASTLEDINE, B. A. Bayesian analysis of multiple-recapture sampling for a closed population. Biometrika,

v.67, p.197-210, 1981.

4. CHAPMAN, D. G. Some properties of the hypergeometric distribution with applications to zoological sample

censuses. University of California Publ. Statist., v.1, p.131-60, 1951.

5. LAPLACE, P. S. Sur les naissances, les mariages et les morts. In: Histoire de LÁcadémie Royale des

Sciences, Paris, p.693, 1783.

6. OTIS D.L., BURNHAM, K.P., WHITE, G.C., ANDERSON, D.R.. Statistical inference from capture data on

closed animal populations. It Wildlife Monographs, bf 62, p.1-135, 1978.

7. PETERSEN, C. G. J. The yearly immigration of young plaice into Limfjord from the German sea, etc,

Rept. Danish Biol. Stn., v.6, p.1-48, 1896.

8. SEBER, G. A. F. The estimation of animal abundance and related parameters. London: Charles Gri¢ n and

Company Ltd-1973, v.4, p.130-31, 1982.

9. SEBER, G. A. F.. A review of estimating animal abundance. Biometrics, v.42, p.267-92, 1986.

10. SEBER, G. A. F.. A review of estimating animal abundance II. Intern. Stat. Review, v.602, p.129-166, 1992.

11. WANG, X. Bayesian Analysis of Capture-recapture Models. Ph.D. Dissertation. University of Missouri,

Columbia. 2002.

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Análise dos saberes matemáticos que os alunos ingressantes nos cursos

técnicos do IFMT/Campus Juína trazem da Educação Básica

Andre L. Mezz1 Marcos Stein2 Giseli M. de Souza3

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATO GROSSO- CAMPUS JUÍNA

Linha J, Quadra 08 – Setor Chácara

78320-000, Juína, MT

Emails: [email protected]; [email protected]; [email protected]

RESUMO

O Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID), passou a atuar no IFMT

Campus Juína no início do ano letivo de 2015. Os bolsistas são incentivados a desenvolver pesquisas

e, em seguida, trabalhos científicos relacionados com os dados coletados. Assim, propôs-se analisar os

saberes matemáticos que os alunos ingressantes, no ano letivo de 2015, do IFMT/Campus Juína

traziam da Educação Básica.

Uma possível falha é a visão do aluno sobre a matemática, que é vista como bicho de seta

cabeças, e assim segue o conceito pré-formado de que a “Matemática é muito Difícil”, como

exemplifica Santos[1]. O autor argumenta que, na vivência escolar, muitos professores relatam que “a

matemática precisa tornar-se fácil”, dando a entender que ela é difícil. Assim, o educando de certa

forma cria uma espécie de barreia emocional por sentir vergonha de não aprender, que o impede de

construir conhecimentos matemáticos pelo medo da disciplina.

Logo é necessário criar modos de inovar o ensino mostrando a real importância dessa área,

incentivando o aluno, e mediando de forma significativa, não dando a resposta, mas conduzindo a um

raciocínio construtivo de seu aprendizado em todos os momentos de dificuldades.

Como a pesquisa pretendia analisar os saberes matemáticos que os alunos ingressantes nos

cursos técnicos do IFMT/Campus Juína traziam da Educação Básica optou-se por aplicar um

questionário com questões-problema de matemática, sendo este uma fonte de diagnóstico para futuras

ações do PIBID/Subprojeto Matemática.

Tratou-se de uma pesquisa qualitativa, pois procurou-se analisar os saberes matemáticos que os

alunos traziam da escola básica, bem como diagnosticar possíveis dificuldades de aprendizagem em

Matemática dos alunos e propor ações no âmbito do PIBID/Subprojeto Matemática.

Os sujeitos da pesquisa foram os alunos de primeiro ano dos cursos Técnicos do IFMT –

Campus Juína, totalizando 107 alunos que responderam ao questionário.

Analisando os dados coletados, 32,71% dos alunos erraram questões de Adição, 42,99% de

Subtração, 52,34% de Multiplicação e 54,20% de divisão.

As questões com maior percentual de erros foram as referentes a problemas de multiplicação e

divisão, correspondendo a um número maior que 50% de erros.

Dos 107 alunos que responderam ao questionário, apenas 14,02% responderam a todas as

questões corretamente, o que considerou-se um percentual baixo.

Referências

[1]Santos, J. A.; França, K. V.; Santos L. S. B.: Dificuldades na Aprendizagem de

Matemática, Centro Universitário Adventista de São Paulo Campus São Paulo, São Paulo,

2007. Disponível em:

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/

Monografia_Santos.pdf. Acesso em: 06 de julho de 2015

1 Licenciando em Matemática do Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína e Bolsista de Iniciação Científica PIBID 2 Licenciado em Matemática pelo Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína e Bolsista de Iniciação Científica PIBID 3 Mestre em Matemática e professora do Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína.

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Página-46

1



Estudo das variáveis temperatura e radiação das estações

meteorológicas de Uberlândia-MG por meio da Análise de Cluster

Taynara Tatiane Rodrigues

1 Bruna Queiroz de Melo Prado¹

Janser Moura Pereira José Waldemar da Silva

Faculdade de Matemática, UFU

Av. João Naves de Ávila, 2121 38408-100, Uberlândia, MG


[email protected] [email protected]

RESUMO

A observação meteorológica de superfície, realizada nas estações meteorológicas, consiste na coleta rotineira de

dados referentes aos diversos elementos meteorológicos, que caracterizam o estado da atmosfera naquele local

em que está instalada. O presente trabalho tem como objetivo analisar as variáveis temperatura e radiação

originadas de quatro estações meteorológicas automáticas localizadas em diferentes regiões do município de

Uberlândia. Para verificar as semelhanças dessas variáveis foi feita a análise de Cluster, ou seja, o agrupamento

das estações meteorológicas de tal forma que cada subgrupo seja internamente homogêneo e que os outros

subgrupos sejam heterogêneos entre si.

Introdução Uma estação meteorológica automática coleta, de minuto em minuto, as informações

meteorológicas (temperatura, umidade, pressão atmosférica, precipitação, direção e

velocidade dos ventos, radiação solar) representativas da área em que está localizada

(INMET, 2011). Das informações registradas pelas estações automáticas foram selecionadas

as variáveis temperatura e radiação solar.

A radiação solar é o principal fator para manutenção da vida na Terra. Ela é a fonte

principal de energia para o aquecimento e para a dinâmica dos ecossistemas terrestres nos

diferentes níveis tróficos. Como fonte de energia para manutenção do equilíbrio energético da

Terra e da vida nos ecossistemas, a radiação solar tem relação com os processos fundamentais

de aquecimento do ambiente, evaporação, transpiração e fotossíntese (MARIN, 2008).

A temperatura do ar é um dos efeitos mais importantes da radiação solar. O

aquecimento da atmosfera próxima à superfície terrestre ocorre principalmente por transporte

de calor, a partir do aquecimento da superfície pelos raios solares (PEREIRA et al., 2007).

Dessa forma, o objetivo do trabalho foi avaliar a semelhança da temperatura e nos

totais mensais da radiação solar em relação às estações em que originaram os dados. Para essa

finalidade, foi feita a análise de Cluster (Cluster Analysis).

Material e Métodos A Análise de Clusters é um procedimento da Estatística Multivariada que tenta

agrupar um conjunto de dados em subgrupos homogêneos, chamados Clusters. O

agrupamento é realizado a partir de similaridades ou distâncias entre seus componentes

(dissimilaridades). Os únicos pré-requisitos são medidas de similaridade ou dados sob os

quais possam ser calculadas similaridades (QUINTAL, 2006).

1Bolsistas de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

Página-47

2



A metodologia foi aplicada a dados coletados de quatro estações meteorológicas

automáticas localizadas em diferentes áreas do município de Uberlândia, sendo uma na área

urbana (bairro Santa Mônica) e as outras três nas fazendas: Água Limpa, Capim Branco e

Glória. Sendo o período de analise de Janeiro de 2011 à Agosto de 2013.

Resultados e Discussão A tabela 1 apresenta as estatísticas descritivas das variáveis temperatura e radiação

mensais, como uma forma de resumo do banco de dados. Já a figura 1 mostra os gráficos das

variáveis temperatura e radiação nas diferentes regiões de Uberlândia em que a estação

automática está instalada, no período de janeiro de 2011 a agosto de 2013.

Tabela 1 – Estatística descritiva referente às variáveis temperatura (°C) e radiação total

(kJ/m²).

Estações

Temperatura Radiação

Média Mínimo Máximo Desvio

Padrão Média Mínimo Máximo

Desvio

Padrão

Santa Mônica 22,83 19,81 26,14 1,577 567400 445900 715800 70657,97

Glória 18,27 21,59 24,83 1,762 474400 85550 682400 152237,00

Água Limpa 21,38 17,55 25,25 1,890 887900 651600 3985000 759748,00

Capim Branco 21,80 18,04 25,33 1,743 854200 549700 2012000 288734,70

Figura 1: Gráficos da temperatura média mensal (°C) e da radiação total mensal (kJ/m²),

durante o período de Janeiro de 2011 à Agosto de 2013.

Na análise de cluster foi utilizada a distância euclidiana, obtida por meio do algoritmo

de Ward. Os dendogramas a seguir agrupam as estações meteorológicas de acordo com a

similaridade das variáveis temperatura e radiação. Cabe ressaltar que as análises estatísticas

foram implementadas no software livre R (R Development Core Team, 2015), onde as

estações foram enumeradas na seguinte sequência: 1 - Santa Mônica, 2 - Glória, 3 - Água

Limpa e 4 - Capim Branco.

Período - janeiro/2011 a agosto/2013

Te

mp

era

tura

(ºC

)

0 5 10 15 20 25 30

18

20

22

24

26

28

30

Santa Mônica

Água Limpa

Capim Branco

Campus Glória

Período - janeiro/2011 a agosto/2013

Ra

dia

çã

o

0 5 10 15 20 25 30

0e

+0

01

e+

06

2e

+0

63

e+

06

4e

+0

6

Santa Mônica

Água Limpa

Capim Branco

Campus Glória

Página-48

3



Figura 2: Resultado da Análise de Cluster das estações meteorológicas considerando as

variáveis temperatura e radiação.

Na figura 2, por meio do método de Ward, obtém-se uma partição em que os grupos

são mais heterogêneos possíveis, de forma que os elementos dentro de cada grupo sejam

homogêneos. Para escolher o número de grupos que define a partição do conjunto de dados

analisado foi utilizado o critério da soma de quadrados entre os grupos (coeficiente R²).

Para a variável temperatura com dois agrupamentos, a estação meteorológica do bairro

Santa Mônica representaria um único grupo e as outras estações comporiam o outro grupo,

com um valor de R² igual a 85,7%. Já para a radiação com dois agrupamentos, o valor de R²

foi de 76,6%, onde a estação da fazenda Água Limpa formou um grupo e as demais estações

formaram outro grupo.

Conclusão Por meio da análise de Cluster, pode-se afirmar que os valores de temperatura da

estação meteorológica do bairro Santa Mônica diferiram significativamente das demais

estações no período analisado. No entanto para a variável radiação, a estação da fazenda Água

Limpa se distanciou dos dados das outras três estações.

Referências

[1] INSTITUTO NACIONAL DE METEOROLÓGIA. Rede de Estações Meteorológicas

Automáticas do INMET. Disponível em:

http://www.inmet.gov.br/portal/css/content/topo_iframe/pdf/Nota_Tecnica-

Rede_estacoes_INMET.pdf. Acesso em: 27/07/2015.

[2] MARIN, F. R. Clima e ambiente: Introdução à climatologia para ciências ambientais. 1.

ed. Embrapa, 2008.

[3] PEREIRA, A. R.; ANGELOCCI, L. R.; SENTELHAS, P. C. Meteorologia Agrícola.

Universidade Federal de São Paulo, 2007.

[4] QUINTAL, G. M. C. C. Análise de clusters aplicada ao Sucesso/Insucesso em

Matemática. Funchal, 2006.

1 3 2 4

23

45

67

89

Cluster Analysis - Temperatura

hclust (*, "ward.D2")

Estações meteorológicas

Dis

tân

cia

Eu

clid

ian

a

3 4 1 20e

+0

01

e+

06

2e

+0

63

e+

06

4e

+0

65

e+

06

6e

+0

6

Cluster Analysis - Radiação

hclust (*, "ward.D2")

Estações meteorológicas

Dis

tân

cia

Eu

clid

ian

a

Página-49

Página-50

1



Analise de variância via Teste de Kruskal-Wallis das variáveis

temperatura e radiação pertencentes às estações meteorológicas de

Uberlândia-MG

Taynara Tatiane Rodrigues

1 Bruna Queiroz de Melo Prado¹

Janser Moura Pereira José Waldemar da Silva

Faculdade de Matemática, UFU

Av. João Naves de Ávila,2121



[email protected] [email protected]

RESUMO

A estatística não paramétrica tem a vantagem de permitir estudar, quanto à significância, dados que são inerentemente

classificados (escala nominal) ou se apresentam em postos (escala ordinal), mesmo quando são violadas as

pressuposições de normalidade, homogeneidade e independência dos resíduos. O presente trabalho objetiva comparar

quatro estações meteorológicas automáticas instaladas em locais distintos da cidade de Uberlândia, em relação às

variáveis temperatura e radiação. Para essa finalidade foi empregado o teste de Kruscal-Wallis, uma alternativa não

paramétrica para a ANOVA. A aplicação desse teste utiliza os valores numéricos transformados em postos e agrupa-os

num só conjunto de dados e assim, indica se há diferença entre pelo menos duas estações meteorológicas.

Introdução Nas estações meteorológicas automáticas os sensores operam com princípios que permitem

a emissão de sinais elétricos, que são captados por um sistema de aquisição de dados (datalogger),

possibilitando o armazenamento e o processamento informatizado dos dados. Apresenta como

principal vantagem o registro contínuo de todos os elementos (temperatura, radiação, pressão,

vento, chuva, umidade, entre outros), com aquisição e saída dos dados em intervalos que o usuário

pode programar (PEREIRA et al., 2007).

A radiação solar é a maior fonte de energia para a Terra, sendo também o principal elemento

meteorológico, pois é ela que desencadeia todo o processo meteorológico afetando todos os outros

elementos. A energia solar é a fonte primária de energia para todos os processos terrestres, desde a

fotossíntese até o desenvolvimento de furacões, tempestades, enfim, pela circulação geral da

atmosfera e oceanos (PEREIRA et al., 2007).

A temperatura é um índice que expressa a energia interna de uma substância ou um corpo

qualquer, vulgarmente associada às sensações de frio e calor, mas que pode ser definida mais

especificamente, como a medida da energia cinética associada ao movimento (vibração) aleatório

das partículas que compõem um sistema num dado meio físico (MARIN, 2008).

Nesse sentido, o presente trabalho tem como objetivo comparar os quatro tratamentos, sendo

estes as quatro estações meteorológicas distribuídas em diferentes regiões de Uberlândia, por meio

do teste de Kruskal-Wallis. Esse teste foi usado com o intuito testar a hipótese nula ( ) de que

todas as estações meteorológicas não diferem significativamente em relação às variáveis

temperatura e radiação, contra a hipótese alternativa ( ) de que ao menos duas das estações

diferem entre si, a um nível de 5% de significância.

1Bolsistas de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

Página-51

2



Material e Métodos

O teste de Kruskal-Wallis consiste em uma ANOVA não paramétrica, pois as

pressuposições da ANOVA paramétrica não foram satisfeitas. O teste nos permite averiguar se não

há diferença entre os tratamentos ou se pelo menos dois tratamentos diferem entre si (CONOVER,

1999).

A execução do teste de Kruskal-Wallis é do tipo RT-1 (ranktransformation1), na qual

atribuem-se postos ao conjunto completo de observações, do menor ao maior, com a menor

observação tendo o posto 1, a segunda menor o porto 2 e assim por diante; postos médios são

atribuídos nos casos de empates de observações (PONTES, 2005).

Nesse contexto, a metodologia foi aplicada a dados reais oriundos de quatro estações

meteorológicas automáticas durante o período de janeiro de 2011 a agosto de 2013, destacando as

variáveis temperatura e radiação. As estações estão localizadas em diferentes regiões do município

de Uberlândia, sendo uma na área urbana (bairro Santa Mônica) e as outras três nas fazendas: Água

Limpa, Capim Branco e Glória.

Resultados e Discussão

Em muitas situações é necessário verificar se existe ou não diferença significativa nas

médias de k tratamentos (k > 2). Uma solução seria o teste F por meio da Análise de Variância

(ANOVA), que nos permite testar conjuntamente as médias dos k tratamentos. No entanto, em

algumas situações as pressuposições do modelo matemático (normalidade, homogeneidade e

independência dos resíduos) não são satisfeitas. Diante disso recomenda-se o uso de testes não-

paramétricos, ou seja, uma metodologia de inferência não-paramétrica.

Na Tabela 1 são apresentados resultados do teste de Kruskal-Wallis, em que os tratamentos

são as quatro estações meteorológicas. As quais estão identificadas de acordo com o local em que

foi instalada sendo, portanto, Santa Mônica (SM), Capim Branco (CB), Glória (GL) e Água Limpa

(AL). Cabe ressaltar que as análises foram realizadas no freeware R (R Core Team, 2015).

Tabela 1 –Resultados do teste de Kruskal-Wallis para as variáveis temperatura e radiação, das

quatro estações meteorológicas.

Variável χ2 (1) p-valor Estações Médias dos ranks(2)

Temperatura 11,38 0,0098

SM 83,00 a

CB 62,69 ab

GL 57,69 b

AL 54,62 b

Radiação 93,77 <0,0000

AL 98,66 a

CB 93,09 a

SM 39,41 b

GL 26,84 b (1)χ2: valor da estatística de qui-quadrado com probabilidade αunicaudal, com (k-1) graus de liberdade sendo k o número de tratamentos; (2)letras

minúsculas distintas na coluna, as médias dos ranks diferem-se entre si pelo teste de Kruskal-Wallis, ao nível de 5% de significância.

De acordo com a tabela 1, para a variável temperatura, o valor da estatística do teste de qui-

quadrado foi de 11,38 e o p-valor foi igual a 0,0098, portanto pode-se rejeitar a hipótese nula de que

todas as estações não diferem entre si em relação a variável temperatura, a um nível de 5% de

significância. Analogamente, para a variável radiação, o valor da estatística do teste de qui-

quadrado foi de 93,77 e como o p-valor apresentou valor inferior a 5% (nível de significância

adotado), rejeita-se a hipótese nula de que as estações meteorológicas não diferem entre si quando é

levada em conta a variável radiação.

Página-52

3



Assim a figura 1 ilustra a atribuição dos postos que agrupam as estações que tem a variável

em análise semelhante entre si.

Figura 1 – Gráficos das variáveis temperatura e radiação referente ao teste de Kruskal-

Wallis para as quatro estações meteorológicas de Uberlândia.

Conclusão Por conseguinte tanto para a variável temperatura como para a radiação, rejeitaram-se a

hipótese nula ( ) de igualdade das médias das variáveis temperatura e radiação nas quatro

estações, ou seja, ao menos duas das estações diferem entre si quando analisadas, a um nível de 5%

de significância. Contudo, a atribuição dos postos na figura 1 mostra que, para a variável

temperatura pode-se observar que as estações Glória e Água Limpa não diferem significamente

entre si por serem identificadas com o mesmo posto, no entanto, essas duas estações diferem da

estação Santa Mônica. Sendo a média de temperatura da estação Santa Mônica maior que as médias

de temperaturas das estações Glória e Água Limpa. Já para a variável radiação as estações que

podem ser consideradas como procedentes da mesma população são as estações Santa Mônica e

Glória, e essas diferem das outras duas estações que pertencem a outro posto são essas, Água Lima

e Capim Branco. Sendo as médias de radiações das estações Água Limpa e Capim Branco maiores

que as médias de radiações das estações Santa Mônica e Glória.

Referências [1] CONOVER, W. J. Practical nonparametric statistics. 3rd., Ed., New York : J. Wiley, 1999. 584

p.

[2] MARIN, F. R. Clima e ambiente: Introdução à climatologia para ciências ambientais. 1. ed.

Embrapa, 2008.

[3] PEREIRA, A. R.; ANGELOCCI, L. R.; SENTELHAS, P. C. Meteorologia Agrícola.

Universidade Federal de São Paulo, 2007.

[4] PONTES, A, C, F. Análise de variância multivariada com a utilização de teste não-

paramétricos e componentes principais baseados em matrizes de postos.2005. 177f. Tese

(Doutorado em Agronomia) - Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, Universidade de

São Paulo, Piracicaba. 2005.

[5] R Core Team (2015). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation

for Statistical Computing. Vienna, Austria. URL: http://www.R-project.org/.

Página-53

Página-54

Aplicação da Transformada de Laplace ao Sistema

MassaMolaAmortecedor

Alexandre S. Costa Kélem G. Lourenço 1

Emails:[email protected] [email protected]

Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística

Campus Samambaia Caixa Postal 131 GoiâniaGO

CEP: 74001970

RESUMO

A transformada de Laplace é uma ferramenta muito utilizada para resolver problemas

de engenharia. Ela pode ser usada para análise de sistemas mecânicos, elétricos, osciladores e sistemas lineares invariantes no tempo. A ideia básica que representa o sistema proposto conforme o esquema abaixo (veja figura 1), consiste em descrever equações diferenciais.

Neste trabalho, temos por objetivo aplicar a transformada de Laplace para resolver um sistema massamolaamortecedor, e, depois, utilizar a linguagem de programação Matlab para visualizar por meio de gráficos a solução da equação numérica. Equações do sistema massamolaamortecedor

Figura1: Representação do sistema massamolaamortecedor.

Fonte: os autores

Consideremos um bloco de massa M preso horizontalmente por uma mola K e um amortecedor B. y(t) é o deslocamento de M. Inicialmente o sistema está em repouso, mas, ao aplicarmos uma força externa x(t) no bloco, causaremos uma distensão na mola e no amortecedor. No mesmo instante a constante de elasticidade K da mola e B do amortecedor reagem, ocasionado na seguinte força resultante

1 Bolsista Procom

Página-55

(t) k b mx = F + F + F (1) Essa equação pode ser reescrita como

(t) y(t) y (t) y (t)x = K + B ′ +M ′′ (2) usando a propriedade da transformada de Laplace de derivadas na equação (2) teremos

(s) S Y (s) SY (s) Y (s)X = M 2 + B +K (3)(s) (s)[MS S ]X = Y 2 + B +K (4)(s) [ ]∗X(s)Y = 1

(MS +BS+K)2 (5) A partir da equação (5), poderíamos utilizar a fórmula de desenvolvimento de

Heaviside que facilita o cálculo de transformadas inversas para encontrar a solução 2

temporal, mas é inviável encontrar sua solução analítica visto que temos cinco variáveis diferentes. Neste caso, vamos adotar valores numéricos para as constantes B, K e M, determinadas arbitrariamente de modo que consigamos gerar uma oscilação.

Resposta do sistema desenvolvido em linguagem Matlab

Nesta seção vamos utilizar a equação (5). Iniciaremos com dados aleatórios para representar dados reais e assim verificar a alteração por meio de gráficos no sistema. Os gráficos foram gerados pelo Matlab com o sinal de entrada impulse . Supondo M=15 kg; B=3 3

Kg/s; K= 9 N/m; x(t)=250 N, teremos a seguinte equação: (s) ]Y = [ 250

(15S +3S +9S)3 2 (6) Figura 2: Gráfico de resposta ao impulso de x(t)=250N.

A figura (2) representa a solução do modelo obtida via matlab considerando os parâmetros fixados anteriormente. Percebemos que após o impulso o sistema tende a zero, voltando ao estado de repouso. Com o passar do tempo a frequência diminui e o período aumenta, devido às constantes de elasticidade de B e K.

2 Sejam P(s) e Q(s) polinômios onde o numerador P(s) tem grau menor do que o denominador Q(s). Supondo que este último tem n zeros distintos (não repetidos), podemos reescrever essa equação como uma soma de frações parciais e assim, facilmente, resolver a equação. 3 A função impulse calcula a resposta de um sistema no domínio do tempo a uma entrada em impulso.

Página-56

Conclusão

O modelo do sistema massamolaamortecedor é representado pela soma das forças conhecidas, resultando numa equação diferencial ordinária de segunda ordem que pode ser reescrita utilizando propriedades da transformada de Laplace. O modelo analítico foi implementado no Matlab a fim de obter as soluções no plano de fase. Neste trabalho mostramos que a aplicação da transformada de Laplace é extremamente útil para se obter a solução analítica e posteriormente este resultado pode ser utilizado no Matlab para exibir as curvas das soluções. Referências [1] BOYCE, W.E., DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Editora LTC, 8 edição. [2] GASPAR, P. D., SANTO, A. E., SOUZA, F. Controlo de Sistemas: apontamento de Matlab. Edição Abril 2002. Acesso em 30/07/2015. [3] HYKIN, S., VEEN, B. V. Sinais e Sistemas. Bookman, 2001. [4] LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares 2. Edição PortoAlegre: Bookman, 2007. [5] SPIEGEL, M. Transformada de Laplace. Coleção Schaum, 1968.

Página-57

Página-58



Tecnologia e Matemática: o tablet como recurso pedagógico no ensino

da Geometria nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental

Maria M. Dullius Marli T. Quartieri

Centro Universitário UNIVATES

Rua Avelino Tallini, 171 95900-000, Lajeado, RS


Lucy A. Gutiérrez de Alcântara1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso, IFMT

Linha J, Quadra 08 – Setor Chácara 78320-000, Juína, MT


RESUMO

Inúmeras pesquisas têm mostrado as contribuições do uso de recursos tecnológicos para a

aprendizagem da Matemática, cuja aplicação apropriada destes recursos pode auxiliar e contribuir de

modo importante para a aquisição do conhecimento pelos alunos. Entretanto, a sua utilização em sala

de aula ainda é um grande desafio aos professores, já que muitos deles não se sentem confortáveis

nesse contexto e precisam se adaptar a novas formas de pensar o ensino.

Para envolver o professor nesse ambiente tecnológico é fundamental que ele seja preparado

pedagogicamente e tecnicamente, para poder se apropriar dos conhecimentos necessários e contribuir

para a aprendizagem dos seus alunos, como afirmam Bittar, Guimarães e Vasconcellos [2]:

“Acreditamos que a verdadeira integração da tecnologia somente acontecerá quando o professor

vivenciar o processo e quando a tecnologia representar um meio importante para a aprendizagem” (p.

86).

Nessa perspectiva, pretendemos discutir neste trabalho algumas possibilidades do uso do tablet

como uma ferramenta pedagógica, tanto em relação ao modo como o professor integra esta tecnologia

nas suas aulas quando ensina Matemática, quanto em relação à aprendizagem dos alunos. Os dados

foram coletados junto a uma professora e sua turma de alunos do 3º Ano dos Anos Iniciais do Ensino

Fundamental, na faixa etária dos oito anos. A professora participou do curso de formação continuada,

intitulado “O uso de tablets nas aulas de Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental”.

Acompanhamos a mesma nas sessões do curso, como formadoras, e também na escola,

auxiliando no planejamento das aulas e no desenvolvimento das mesmas, quando a professora

integrava o tablet nas suas aulas. Essas ações fizeram parte de uma proposta de formação continuada

ancorada na prática que buscou, por meio de um suporte pedagógico dos formadores, integrar as

tecnologias, em especial o tablet, na prática dos professores participantes do curso. Nesse trabalho

trazemos o recorte de uma das aulas em que a professora utilizou o aplicativo “Simply Geometry”,

com o objetivo de trabalhar com os seus alunos algumas noções de geometria plana e geometria no

espaço.

Na sequência didática proposta e desenvolvida pela professora, o conteúdo trabalhado se refere a

formas geométricas planas e tridimensionais. A professora iniciou a aula com a exploração do

aplicativo “Simply Geometry” (disponível em

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.nery&hl=pt_BR), cujo idioma é o inglês e possui

quatro tipos de atividades livres (gratuitas):

A opção Lineup (alinhar) apresenta formas geométricas planas e espaciais e a atividade

proposta é ligar cada uma delas com o seu respectivo nome;

1 Professora EBTT.

Página-59



Na opção Sort (selecionar) a tarefa é identificar formas geométricas que possuem a

característica solicitada. Nessa fase do jogo o aluno percebe algumas diferenças entre as formas 2D e

as 3D, e também é levado a identificar os vértices, chamados no aplicativo por “cantos”;

A opção Patterns (padrões) envolve conceitos de sequência e geometria, cujo objetivo é

completar a sequência que o aplicativo propõe;

A opção Build Matrix (construir matriz) consiste em completar uma tabela com duas

figuras geométricas fornecidas pelo jogo, por meio dessa tarefa, o aluno consegue se localizar na

tabela, identificar linha e coluna e separar as duas formas que constituem a figura geométrica

fornecida.

Durante a exploração do aplicativo a professora circulou na sala orientando os alunos

individualmente, e foi possível perceber que o idioma não limitou a atividade e houve bastante

interação entre os estudantes. Conversou com a turma acerca do jogo e os alunos disseram que

“gostaram muito” e que tinha “várias formas geométricas”. A professora explicou o que seriam as

figuras planas e explorou a questão do número dos “cantos” e que se tratava de formas geométricas

bidimensionais. Também discutiu com a turma as formas tridimensionais, destacando que a diferença

entre as duas é que além da altura e da largura, estas apresentam profundidade.

Na segunda ação a professora dividiu a turma em grupos e a partir de objetos trazidos pelos

alunos, orientou para que os relacionasse com alguns sólidos geométricos, e depois cada grupo

escolheu um objeto e apresentou à turma, destacando as suas características geométricas. Ficou claro

que alguns alunos já conheciam alguns sólidos bem como as formas geométricas planas básicas. A

professora complementou que as figuras espaciais são classificadas como sólidos geométricos e

destacou que as figuras planas compõem as suas faces.

Na terceira ação a professora entregou a cada grupo um sólido de papel, e solicitou que abrissem

estes sólidos para planificá-los, instruindo que pintassem algumas das faces para destacar as figuras

planas que o compõe. Com essa experiência os alunos tiveram a oportunidade de manusear o sólido,

tanto na forma fechada, quanto aberta.

Na quarta ação foi desenvolvida a construção de um cubo utilizando gominhas coloridas e

palitos de madeira. A professora explicou que as gomas eram os vértices, os “cantos” que foram

apresentados no aplicativo, e os palitos eram as arestas. Após solicitou que cada grupo construísse o

sólido que havia planificado, utilizando as balas e os palitos. A aula foi finalizada com a apresentação

dos sólidos construídos por cada grupo, em que descreveram as suas faces, o número de arestas e

vértices.

Conversando com a professora sobre as atividades propostas a partir do uso do tablet, ela

considerou que a aula foi muito produtiva. Em relação à geometria relatou: “[...] a gente acaba não

trabalhando tanto, fica muito aquela questão da Matemática de cálculos, e mais, e menos, as

operações, e o quanto a gente acaba perdendo de outras áreas da Matemática que não são tão

exploradas. E que fazem toda a diferença depois”. Também a mescla entre o aplicativo e as atividades

práticas e de contato com objetos contribuiu na construção do conhecimento dos alunos, como afirma

Vasconcellos [3]: “É preciso proporcionar às crianças diferentes oportunidades para que desenvolvam

habilidades que lhes permitam gradativamente trabalhar com o conhecimento geométrico mais

elaborado” (p. 81).

A distribuição das classes em forma de círculo favoreceu a interação dos alunos. Segundo a

professora, durante a utilização dos tablets eles se comunicaram, trocaram experiências, orientando o

colega de como eles fizeram. Batista, Behar e Passerino [1] expressam que a utilização do tablet como

um recurso pedagógico pode “[...] apoiar situações de aprendizagens colaborativas, nas quais o aluno

tem um papel ativo no processo, construindo o seu conhecimento por meio da interação com o grupo”

(s/p). No entanto, para trazer bons resultados é importante que o tablet seja trabalhado com objetivos

bem claros e definidos, como enfatizou a professora: “Ah, está dando aula com tablet é professor ‘top

de linha’, não, não é! É a ferramenta e o que tu faz com ela. Tem a ferramenta, tudo bem, mas o que tu

está fazendo com ela?”.

Podemos concluir que os alunos participaram ativamente no desenvolvimento de todas as

atividades propostas e foi possível perceber que a sequência didática adotada pela professora

contribuiu na compreensão dos conteúdos de geometria. A mescla entre o aplicativo e as atividades

práticas e de contato com objetos, contribuiu na construção do conhecimento dos alunos. A

comunicação matemática e a discussão de diversas questões surgidas no interior dos grupos foi uma

das dimensões muito relevantes da proposta didática. Os tablets estão se tornando mais acessíveis e

compreender suas potencialidades pedagógicas é fundamental para a formação dos professores.

Certamente, utilizar recursos tecnológicos não significa resolver todos os problemas educacionais,

mas não tirar partido do potencial das tecnologias digitais é correr o risco de manter a escola fora do

contexto atual.

Página-60



Referências

[1] BATISTA, S. C. F.; BEHAR, P. A.; PASSERINO, L. M. Recursos pedagógicos para

dispositivos móveis: uma análise com foco na Matemática. Revista Novas Tecnologias na

Educação, CINTED – UFRGS, Porto Alegre, v. 8 n. 3, dezembro, 2010.

[2] BITTAR, M.; GUIMARÃES, S. D.; VASCONCELLOS, M. A integração da tecnologia

na prática do professor que ensina matemática na educação básica: uma proposta de pesquisa-

ação. REVEMAT – Revista Eletrônica de Educação Matemática, v. 3, n. 8, p. 84-94, UFSC:

2008.

[3] VASCONCELLOS, M. A diferenciação entre figuras geométricas não-planas e planas: o

conhecimento dos alunos das séries iniciais do ensino fundamental e o ponto de vista dos

professores. ZETETIKÉ, v. 16, n. 30, p. 77-106, 2008.

Página-61

Página-62

1



OBMEP 2015: relato de experiência sobre a aplicação da primeira

etapa numa escola pública estadual

Nicolas Neia Thomaz da Silva

Instituto Federal Goiano Campus Urutai , IF Goiano - Urutai

Rodovia Geraldo Silva Nascimento Km 2,5 Cep75790-000, Urutai, GO

Emails: [email protected]

Eliane F. C. Mota

Instituto Federal Goiano Campus Urutai , IF Goiano - Urutai

Rodovia Geraldo Silva Nascimento Km 2,5 Cep75790-000, Urutai, GO


RESUMO

Estar presente em sala de aula para adquirir experiência é fundamental para qualquer aluno da

graduação que pretende atuar na carreira docente, pois é

lá que deparam com situações conflituosas, inesperadas, cotidianas. É nessa

experiência de experiências de ensino que o aluno-mestre irá validar, negar,

desenvolver e consolidar os saberes teóricos, transformando-os em

experienciais a partir de sua prática e de sua experiência individual e coletiva

no ambiente escolar como um todo (SILVA, 2009, p.25).

Uma vez cursando o 3° (terceiro) período do Curso de Licenciatura em Matemática no Instituto

Federal Goiano - Campus Urutaí e ainda participando do PIBID (Programa Institucional de Bolsas de

Iniciação à Docência), a aproximação com a sala de aula se tornou uma constante em minha formação.

O PIBID, de forma geral, proporciona o estar em sala de aula melhorando a qualidade da formação

docente o que faz com que alunos da licenciatura tenham uma experiência docente muito antes do

término da graduação, em alguns casos, antes mesmo do estágio. Uma das experiências por qual

passei e trago nesse relato, foi à aplicação das provas da OBMEP 2015, porém, antes de relatar essa

experiência, segue alguns dados relevantes sobre a OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das

Escolas Pública).

A OBMEP chega em 2015 a sua 11° (décima primeira) edição, onde obteve um alcance de

aproximadamente 99,48% das escolas públicas segundo dados oficiais do site1, configurando a maior

olimpíada cientifica do país, onde 17.970.745 (dezessete milhões novecentos e setenta mil setecentos

e quarenta e cinco) alunos se encontram inscritos no sistema. A olimpíada destina-se a alunos de 6° a

9° ano do ensino fundamental e ensino médio das escolas publicas municipais, estaduais e federais2.

A OBMEP divide-se em duas fases, a primeira composta de prova objetiva (múltipla escolha)

onde todos os alunos inscritos na olimpíada participam e a segunda composta de questões descritivas,

sendo os alunos participantes àqueles que obtiveram a maior pontuação na primeira fase. Os alunos

da segunda fase são avaliados pelos professores responsáveis pela aplicação da prova e os melhores

colocados, ou seja, com melhores índices de acertos são premiados de acordo com sua pontuação, com

bolsas de estudo ou certificados de honra ao mérito ou medalhas. Diante da importância desse evento

para a disciplina de matemática e para formação do aluno, o PIBID/Matemática do IF Goiano Campus

Urutaí se propôs a contribuir com as escolas parceiras na aplicação das provas. Tais escolas são

públicas estaduais, onde uma situa-se em Urutaí e a outra em Pires do Rio. A minha participação se

resumiu na escola situada em Urutaí, cujos alunos são da segunda fase do ensino fundamental.

1 In: http://www.obmep.org.br/obmep_em_numeros.html. Acesso em: 18/08/2015.

2 In: http://www.obmep.org.br/regulamento.html. Acesso em: 18/08/2015.

Página-63

2



O papel dos alunos bolsistas do PIBID, na primeira fase da OBMEP, consistiu na organização da

sala, distribuição das provas, observação e controle das turmas. Dessa forma foi possível observar os

alunos realizando a prova, ou seja, o seu comportamento, o interesse e dificuldades.

Assim trago minhas impressões, em concordância com meus colegas também bolsistas do

PIBID. Ressaltarei o aspecto tanto positivo quanto negativo dessa aplicação da prova.

Como aspecto positivo, ressalto a concentração inicial dos alunos na realização das questões e o

fato de ninguém “recusar” a fazer a prova, ou seja, todos pegaram a prova para resolvê-la.

Como aspecto negativo trago o desinteresse dos alunos após algum tempo de realização da

prova. Acredito que o nível da prova foi superior ao nível em que se encontrava a maioria dos alunos

da turma, sendo isso um fator desestimulante e causando impaciência, pois de certa forma em sua

maioria, os alunos se mostraram indiferentes, ora se viam atrapalhados com as questões.

Não é possível afirmar que tal indiferença também seja reforçada pelo gosto ou não da disciplina

matemática, pois só um estudo mais aprofundado com esses alunos indicaria essa possibilidade. O fato

é que a OBMEP precisa ser melhor trabalhada nessa escola para que ela tenha o seu devido lugar e

importância na formação desses alunos.

Sabe-se que a OBMEP tem como um de seus objetivos principais a aproximação ao conteúdo

para que os alunos desmitifiquem o “monstro” que é considerado a matemática por muitos alunos,

estimulando o estudo na escola e fora dela. Contudo não se sabe ao certo se o objetivo proposto é

alcançado, ao perceber isto o presente resumo teve como propósito relatar as impressões pessoais de

um aluno graduando ao observar a aplicação das provas da primeira etapa. Essa experiência trouxe

ainda algumas questões merecedoras de maiores investigações considerando a finalidade da OBMEP

tais como: “qual a reflexão do aluno quanto a OBMEP?”, “a OBMEP tem o seu objetivo alcançado?”

“os alunos conseguem identificar o real propósito e importância da matemática em suas vidas?”,

“como a escola sensibiliza seus alunos para a realização da OBMEP?”, “quais os reais motivos que

causam o desinteresse dos alunos na resolução das questões da OBMEP?”. Deixo aqui, tais

questionamentos para que uma investigação mais aprofundada possa ser realizada nessa escola.

Contudo, essa experiência, serviu para a reflexão pessoal da prática docente, vislumbrando o papel do

professor nesse contexto, perguntando a mim mesmo “como agir nesse contexto enquanto futuro

professor de matemática?”, “como promover nos alunos o interesse pela OBMEP?”. Espero que esse

relato contribua de alguma forma para que estudos pontuais ocorram também em outras instituições

escolares ou em turmas que de alguma forma se assemelha a essa aqui apresentada.

Referências

SILVA, M. Complexidade da formação de professores: saberes teóricos e saberes práticos.

São Paulo: Cultura Acadêmica, 2009.

Página-64

1



Discalculia: dificuldades na aprendizagem matemática e as possíveis

intervenções pedagógicas

Claudinéia G. Rocha Silva1 Marcia da Luz Morales

Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia de Mato Grosso-Campus Juína

Linha “J” – Quadra 08 – Setor Chácara

78320-000 – Juína/MT


Nayara Longo Sartor

Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia de Mato Grosso-Campus Juína

Linha “J” – Quadra 08 – Setor Chácara 78320-000 – Juína/MT


RESUMO

A educação escolar a longa data é objeto de estudo de vários pesquisadores voltados

especificamente para a área da aprendizagem e as causas que podem dificultar tal desenvolvimento.

Existem várias publicações que mencionam os transtornos relacionados a inúmeras áreas do

conhecimento, dentre elas destacam-se as dificuldades relacionadas ao ensino da matemática.

Buscando proporcionar um maior conhecimento sobre as dificuldades da matemática, este trabalho

visa obter conhecimento sobre discalculia. Será desenvolvido através de pesquisa bibliográfica com

base em revistas, dissertações, periódicos e websites, com o objetivo de compreender as possíveis

causas, suas características e como intervir pedagogicamente com esses alunos em sala de aula.

A importância da escola na formação do indivíduo não restringe-se apenas em transmitir

conhecimento, mas também em perceber causas que interferem no desenvolvimento da aprendizagem

no âmbito escolar. Segundo [2]

É preciso que o professor esteja atento aos questionamentos dos alunos, ou ausência de

participação, bem como se a criança está interagindo, dispersa ou por que não está

aprendendo, de modo que estas observações ao final de um determinado período

contribua para a confecção de um diagnóstico, e essas crianças possam ser encaminhadas à profissionais especializados.

Conforme citado acima apesar do professor identificar as dificuldades apresentadas pelos alunos,

existem aquelas que só podem ser diagnosticada por profissionais especializados, devido à

complexidade das causas.

No estudo em questão, que relaciona o aprendizado da matemática, destaca-se a discalculia.

Segundo [4] os primeiros estudos a respeito foram realizados por Kosc, em 1974 na Bratislava. Em

seguida foram desenvolvidas pesquisas em outros países como: Estados Unidos, Inglaterra, Alemanha,

Suíça e Israel. Considerado um transtorno de aprendizagem que afeta especificamente algumas áreas do

conhecimento matemático, conforme descrito pelo código internacional de doenças (CID 10), os

transtornos de aprendizagem são os quais os padrões normais de aquisição de habilidades são

perturbados desde os estágios iniciais do desenvolvimento. Não é considerado uma consequência de

uma falta de oportunidade de aprender nem decorrentes de qualquer forma de traumatismo ou de doença

cerebral adquirida, e sim considerada um transtorno originado de anormalidade no processo cognitivo.

1Bolsista de Iniciação Científica PIBID

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2



A discalculia é uma dificuldade na habilidade em aritmética conforme descrito no CID 10: F81.2.

Segundo os pesquisadores [3], a discalculia é subdividida em 6 tipos, são elas:

Discalculia Verbal: dificuldade para nomear as quantidades matemáticas, os números, os

termos, os símbolos e as relações;

Discalculia Practognóstica: dificuldade para enumerar, comparar e manipular objetos

reais ou em imagens, matematicamente;

Discalculia Léxica: dificuldades na leitura de símbolos matemáticos;

Discalculia Gráfica: dificuldades na escrita de símbolos matemáticos;

Discalculia Ideognóstica: dificuldades em fazer operações mentais e na compreensão de

conceitos matemáticos; Discalculia Operacional: dificuldades na execução de operações e cálculos numéricos.

De acordo com [1], “...qualquer alteração emocional interfere no controle de determinadas funções

como memória, atenção e percepção, neste caso qualquer transtorno de causa emocional

consequentemente influencia no aprendizado”. Portanto, para a psicologia, indivíduos que apresentem

alguma alteração psíquica está mais propicio a discalculia devido a aprendizagem da matemática ser

complexa e exigir o máximo de atenção do aluno.

Baseado em todos os aspectos que diferem em relação a discalculia, existem fatores que podem

contribuir para o desenvolvimento cognitivo da criança no ambiente escolar. Ha intervenções que

contribuem gradativamente para formação do indivíduo. No âmbito escolar o profissional indicado para

auxiliar tal desenvolvimento é o psicopedagogo. De acordo com o descrito por [4] é indicado que o

professor não descarte a possibilidade de se trabalhar com uma equipe multidisciplinar, pois a

intervenção do psicopedagogo auxilia na elevação da auto estima do aluno, valorizando as atividades

desenvolvidas em sala e a partir dessas observações identificar o processo de aprendizagem da criança

e os procedimentos que devem ser utilizados a fim de colaborar com a aprendizagem do aluno em sala.

O papel do professor é essencial no crescimento do aluno, sendo este o profissional que está

diretamente em contato com o mesmo, é responsável em atender de forma diferenciada, respeitando as

limitações da aprendizagem, sem que haja o constrangimento da criança e mantendo-o incluso no

ambiente escolar. É importante ressaltar que a família também é de estrema importância no processo de

desenvolvimento da criança. Família atenta possibilita que haja uma intervenção precoce. Segundo [5],

O diagnóstico precoce aumenta a hipótese de sucesso na intervenção e minimiza os efeitos

deletérios do transtorno de aprendizagem na criança e em seus familiares. As dificuldades

especificas de cada indivíduo devem ser mapeadas e tornar-se necessário o planejamento

de um ensino eficiente e direcionado às dificuldades especificas, um professor dedicado e uma família acolhedora.

Os métodos que podem contribuir para o aprendizado desses alunos, são alguns conceitos básicos

mas considerado de extrema importância, que capacita o aluno com dificuldades favorecendo o

aperfeiçoamento da área matemática. De acordo com [4] os métodos que podem ser utilizados para

auxiliar na aprendizagem são:

a) Permitir o uso de calculadora e tabela de tabuada;

b) Adotar o uso de caderno quadriculado;

c) Quanto às provas, devem-se elaborar questões claras e diretas, reduzindo-se ao

mínimo o número de questões, sem limite de tempo, aplicando-a de tal solte que o aluno

esteja acompanhado apenas de um tutor para certificar se entendeu o enunciado das

questões;

d) Estabelecer critério em que, por vez, o aluno poderá ser submetido a prova oral,

desenvolvendo as explosões mentalmente, ditando para que alguém as transcreva;

e) Moderar na quantidade dos deveres de casa, passando exercícios repetitivos e

cumulativos,

f) Incentivar a visualização do problema, com desenhos;

g) Prestar a atenção no processo utilizado pela criança, verificando o tipo de

pensamento que ela usa para desenvolver o problema.

h) Ministrar uma aula livre de erros, para esse aluno conhecer o sucesso; e

i) Ter em mente que, para o discalcúlicos, nada é obvio, como é para os demais alunos.

Com base nos estudos realizados no qual refere-se a discalculia percebe-se que, apesar de inúmeras

pesquisas sobre o assunto ainda existem muitas dificuldades em detectar tal transtorno, visto que o seu

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3



diagnóstico é de extrema complexidade e somente pode ser diagnosticado por profissionais

especializados.

Porém, existem fatores que contribuem significativamente na percepção deste transtorno. A ajuda

da família e comunidade escolar é fundamental para a evolução da criança, sendo importante ressaltar

que os indivíduos discalcúlicos podem obter grandes progressos em seu aprendizado desde que seja

oferecido suporte devidamente adequado para suas limitações.

Referências: [1] AMÉRICO, Lucinda Aparecida Discalculia-monografia. 2009. Disponível em:

http://www.biblioteca.ajes.edu.br/arquivos/monografia_20131018213141.pdf

Acessado em: 21/04/2015

[2] JACINTO, Jaime Ferreira. Discalculia: uma limitação na aprendizagem.

Disponível em: http://www.ensino.eb.br/portaledu/conteudo/artigo9359.pdf Acessado

em: 24/05/15.

[3] JOHNSON, D. J.; MYKLEBUST, H.R. Distúrbios de aprendizagem: princípios

praticas educacionais. São Paulo: Pioneira, 1983.

[4] SILVA, Marcelo Carlos da. Dificuldades de aprendizagem em matemática: A

matemática da discalculia. Psicologia. Com.pt O portal do psicólogo. 2008.

Disponível em: https://proftina.pbworks.com/f/A0427.pdf Acessado em: 16/05/2015

[5] WEINSTEIN, Mônica C.A. Considerações sobre a discalculia. Estratégia para

uma aprendizagem com sucesso, número2. Volume 1. São Paulo 2011.

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1



A Matemática utilizada no processo de extração de madeira florestal

sustentável no estado de Mato Grosso

Claudinéia G. Rocha Silva Marcia da Luz Morales1

Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia de Mato Grosso-Campus Juína Linha “J” – Quadra 08 – Setor Chácara

78320-000 – Juína/MT


Wellington Vieira de Lima

Escola Estadual Dr. Artur Antunes Maciel Modulo 02 – Rua: Paulo Carneiro – 121

78320-000 – Juína/MT


RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo mostrar a matemática utilizada no processo de extração de

madeira. Desenvolveu-se através de estudos realizados a partir do plano de manejo florestal sustentável,

caracterizado por documento técnico básico que contém as diretrizes e procedimentos para a

administração da floresta, e visa a obtenção de benefícios econômicos, sociais e ambientais, observada

a definição prevista no art.3º, inciso VI, da lei nº 11284, de 02 de março de 2006. Em síntese o plano de

manejo florestal utiliza-se dos recursos naturais de maneira que venha causar menos impacto ao meio

ambiente preservando a natureza para presentes e futuras gerações.

A atividade madeireira em Mato Grosso teve início há pouco mais de meio século. Sua área é

integrada a Amazônia legal totalizando 419.694,300 milhões de hectares de floresta nativa. O

crescimento econômico de Mato Grosso despertou a atenção de entidades ligadas à conservação

ambiental. Segundo [1] “Mato Grosso possui 60% da sua cobertura florestal conservada por meio dos

3,2 milhões de hectares de manejo florestal sustentável, provando que é possível conciliar

desenvolvimento econômico com conservação ambiental”. Ainda, em [1] é afirmado que “o avanço

poderia ser maior se a liberação das áreas de manejo florestal não demorasse até dois anos,

contradizendo com a necessidade de ter o plano de manejo em apenas seis meses”.

O roteiro seguido para a elaboração do plano de manejo florestal sustentável é realizado através

de inventário florestal que consiste na medição de parte da população, a partir de dados amostrais para

depois extrapolar o resultado para a área total e assim planejar as operações florestais tendo estimativa

da quantidade e da distribuição da madeira disponível [4]. Inicialmente deve-se definir a área e a

delimitação da propriedade a serem manejada. Esses dados são obtidos a partir de medições realizadas

com o auxílio de bússola utilizada para orientação geográfica e teodolito que tem por finalidade realizar

medidas de ângulos verticais e horizontais, facilitando o cálculo de distância e alturas. A medida da área

agrária é dada em ha (hectares), onde um hectare corresponde a 10.000m². Matematicamente para

transformar m² em hectares utiliza-se a seguinte equação:

𝑚2

10000= ℎ𝑎

1Bolsista de Iniciação Científica PIBID

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2



Com a definição da área, inicia-se a etapa de realização das picadas na mata, que são realizadas de

50m em 50m de largura e em seguida também de 25m em 25m em todo o seu comprimento, formando

retângulos de 50m x 25m. Esse método é utilizado com o intuito de facilitar a localização das árvores

que serão selecionadas e etiquetadas de acordo com árvore para corte, remanescente, porta semente e

as proibidas de corte [2].

Árvores para corte: São todas as espécies que podem ser comercializadas no mercado interno e

externo. As mesmas devem apresentar medida de DAP (diâmetro altura do peito) maior ou igual a 50

cm com a casca. Árvores remanescentes: são as que apresentarem DAP medindo entre 30 cm e 50 cm.

Só poderão ser cortadas se na próxima safra, que ocorrerá dali a aproximadamente 25 anos,

apresentarem o DAP na medida ideal. Árvore porta semente: as arvores destinadas a este fim devem

apresentar uma distribuição uniforme na área, ter o DAP maior que 50 cm e apresentar características

fenológicas dentro do padrão técnico dentre esses: i) boa qualidade de fuste; ii) livres de ataque de

pragas e doenças; iii) boa conformação de copa. Além disso, deve-se manter como porta semente 10%

de cada espécie de acordo com o plano de corte. Árvore proibida de corte: é proibido o corte de árvore

como a seringueira, castanheira entre outras, mesmo que apresentem medida ideal para corte, assim

como arvores que se encontram nas APP (área de preservação permanente). As mesmas deverão

permanecer intactas [6].

Para encontrar a medida do DAP (⊘), utiliza-se a equação: 𝑐𝑖𝑟

𝜋= ⊘

Cir. = circunferência da arvore

𝜋 = 3,14

Contudo para a realização das medições volumétricas as medidas do DAP não são suficientes.

Também é necessário que se tenha a medida da altura da arvore. De acordo com [7], a altura total de

uma árvore pode ser definida como a distância do nível do solo até o topo da árvore, ao longo de seu

eixo principal, com aparelhos óticos baseados em princípios trigonométricos ou através de estimativa

visual.

O volume da arvore em pé é dado pela equação geométrica V= 𝜋∗𝐷2

4∗ℎ∗𝐹, Onde:

V = volume em m³ da arvore

D = diâmetro

F = fator de forma (dado como 0,7 para as espécies amazônicas)

h = altura da arvore

Ao realizar a derrubada da árvore, corta-se sua copa e em seguida seu tronco é cortada em vários

comprimentos, de maneira que se tenha um maior aproveitamento e também facilite o processo de

arraste até as esplanadas onde é realizada a medição para o carregamento em caminhões para o

transporte às industrias madeireiras. Conforme [3] Segue a abaixo o método utilizado pelos madeireiros

para a cubagem dos toros para a comercialização. Sendo o comprimento da circunferência indicado

pela letra C.

𝑉 = (𝐶

4)

2

∗ ℎ

Considerando que o raio na metade do tronco seja a média entre as medidas do raio inferior e

superior. Supondo um toro de medidas:

Comprimento do toro 4,8m

Raio inferior 0,25cm e

Raio superior 0,30cm

Então temos:

C= 2(𝑅+𝑟

2) = 2(

0,30+0,25

2) =0,55m

𝑉 = (0,55

4)

2

∗ 4,8 = (0,09075²) m³ ≅ 0,894m³

Conforme [5], que estabelece o seguinte procedimento para a medição de toros, essa medição é

realizada pelo método geométrico, onde realiza duas medidas na ponta mais fina e duas na ponta mais

grossa. A partir de tais medidas obtidas será determinado o diâmetro do toro, conforme as medidas do

toro tomadas anteriormente teremos:

D = ((𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3+𝑑4)/4)²

VG = D*C*0,7854

VG = 3,025*4,8*0,7854

VG = 1,140 M³

Onde:

D = Diâmetro obtido a partir da média da ponta fina e grossa

C = Comprimento do toro

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3



VG = Volume Geométrico

0,7854 = Coeficiente que corresponde a /4.

𝑑1 𝑒 𝑑2, indicam os diâmetros medidos na face menor do toro, de maneira transversal

formando um ângulo de 90º entre eles.

𝑑3 𝑒 𝑑4, indicam os diâmetros medidos na face maior do toro, de maneira transversal formando

um ângulo de 90º entre eles.

Conhecimentos matemáticos são fundamentais no processo de extração de madeira mesmo que

estes não tenham sido adquirido no ambiente escolar, mas sim no dia a dia. São várias os contextos

matemáticos utilizados para o processo de extração e cubagem de madeira: trigonometria para realizar

as medições necessárias para delimitar a área que será manejada, geometria plana que irá definir a área

que deverá ser feita a extração e a geometria espacial que é utilizada para o cálculo do volume.

Referências: [1] CIPEM. Levantamento das Condições de produção do setor de base florestal de

Mato Grosso Plano Safra 2014, Mato Grosso.

[2] CAMARA, M. R. G, ZAPPAROLI, I. D. Plano de manejo florestal em uma

propriedade do Mato Grosso _ A teoria na Pratica, Londrina-PR-Brasil 2008.

[3] BIEMBERGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino- Editora

Contexto, São Paulo 2014.

[4] LEITE, H.G. & ANDRADE, V.C.L. Um método para a condução de inventários

florestais sem o uso de equações volumétricas Revista árvore, viçosa-MG, vol. 26,

nº. 3, pg. 321-328, 2002

[5] MINISTÉRIO PÚBLICO DO ESTADO DE MATO GROSSO, Manual de

procedimentos estocagem, medição e fiscalização de produtos florestais, Mato

Grosso-2013.

[6] MACEDO, R. S. Plano de manejo florestal sustentado de uso múltiplo,

Ariquemes-RO Junho 2009.

[7] SILVA, G. F.; CURTO, R. A.; SOARES, C.P.B; PIASSI, L.C. Avaliação de

métodos de medição de altura em florestas naturais Revista árvore, vol.36 nº 2

Viçosa-MG Mar./Apr.2002.

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1



MATEMÁTICA E MÚSICA – UMA BELA MELODIA

Dionata Jakson G.Bragança1 Eudelaine Zocche

2

Instituto Federal do Mato Grosso, IFMT – Campus Juína Linha J, Quadra 8, s/n

78320-000, Juína, MT


Giseli Martins de Souza3

Instituto Federal do Mato Grosso, IFMT – Campus Juína Linha J, Quadra 8, s/n

78320-000, Juína, MT


RESUMO

A matemática está entre uma das disciplinas que os alunos apresentam maior dificuldade, pois

estes afirmam que a mesma é muito difícil e, deste modo, criam uma barreira para aprender esta

disciplina. E, atualmente, ocorrem mudanças no mundo de modo acelerado e a escola e professores

necessitam preparar-se para moldar suas metodologias de ensino com intuito de acompanhar essa

evolução, uma vez que essas mudanças afetam o público que estes atendem. Porém, se a escolas e

professores não acompanharem essas mudanças, as atividades escolares podem tornar-se pouco

atrativas para o aluno, que irá buscar outros meios para compreender o ambiente no qual estão

inseridos. (PARRA apud ROSSI, 2010, 10-11).

Um dos desafios encontrados pelos professores é fazer com que os alunos superem esta barreira,

sendo assim, despertar o interesse dos alunos pela matemática é de fundamental importância não

apenas para a conclusão do ensino básico, mas como uma ferramenta fundamental para a

compreensão do mundo, uma vez que a mesma está presente em todo cotidiano e é utilizada para

calcular, entender e prever fenômenos.

Com a preocupação com o ensino de matemática surgiram metodologias e propostas

diferenciadas para sanar as dificuldades encontradas para melhorar a qualidade de ensino. Como nos

destaca Pires apud Alves, 2011, 03 “a Matemática deve ser colocada como instrumento de

compreensão e leitura de mundo; tendo o reconhecimento dessa área do conhecimento como

estimuladora do interesse, curiosidade, espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade de

resolver problemas”.

Então como estimular os alunos a desenvolver um raciocínio lógico e ter uma postura diferente

com relação à matemática? Esta questão tornou-se difícil de responder e, também, é difícil trazer estes

alunos para sala de aula numa tentativa de amenizar esta situação.

Segundo o PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), “é consensual a ideia de que não existe um

caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em

particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é

fundamental para que o professor construa sua prática”.

O objetivo deste trabalho é chamar a atenção para o processo ensino-aprendizagem e para a

necessidade pedagógica de metodologias diferenciadas no ensino de matemática, pois nem todos os

alunos gostam de matemática e alegam ser esta uma disciplina muito difícil de compreender. Contudo,

o interessante é que todos tem uma familiarização musical. Sendo assim, no mundo em que vivemos

as pessoas tem uma preferencia por algum estilo musical, como Funk, Samba, Pagode, Sertanejo, Rap,

etc. Estilo musical no mundo em que vivemos é algo que não falta e, desta forma, a música atrai e

1 Licenciando em Matemática do Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína e Bolsista de Iniciação à Docência PIBID

(Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) 2 Licenciando em Matemática do Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína e Bolsista de Iniciação à Docência PIBID

(Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) 3 Mestre em Matemática e professora do Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína.

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2



envolve o interesse dos alunos, assim, busca-se analisar as potencialidades didáticas da música no

ensino de matemática.

Desde a antiguidade a matemática e a música possuem laços intensos, e foi a partir destes laços

harmoniosos que estudiosos começaram a estuda-las. Na história da matemática esta conexão entre

musica e matemática ocorreu por volta do século VI a. C. na Grécia antiga, na Escola Pitagórica.

Desde este tempo a matemática teve uma evolução com passar dos anos, surgindo vários

matemáticos e com eles transformando a maneira e a necessidade de calcular. Entre eles, Pitágoras e

Aristóteles, dos quais o mais conhecido na musica é Pitágoras. E com os experimentos de Pitágoras

contribuiu para a construção do conceito de frações até os dias atuais. Pitágoras criou um instrumento

de uma única corda, na qual deu o nome de monocórdio e foi através deste instrumento pratico e

simples que Pitágoras estabeleceu várias relações entre as frações e os sons obtidos em sua nova

invenção.

Muitas vezes a matemática é trabalhada de forma abstrata, sem aplicação no cotidiano e assim

dificulta o aprendizado de alguns alunos, pois os mesmos acham a matemática muito chata e que não

terá serventia em sua vida. Com isso, o professor tem grande dificuldade em ensinar matemática aos

alunos. Para contribuir com o trabalho pedagógico do professor surgiram vários recursos

metodológicos, dentre eles podemos citar a Música.

O PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) é um projeto da CAPES

desenvolvido por Instituições de Ensino Superior em parceria com as escolas públicas, que visa

instigar acadêmicos dos cursos de Licenciaturas terem acesso em uma sala de aula, vivenciado o dia a

dia do professor.

Com a implantação do PIBID no IFMT- Campus Juína busca-se instigar-nos alunos da escola

parceira uma oportunidade de estudar e aprender matemática de forma mais divertida e diferenciada.

Sendo assim, foi elaborado um projeto de Paródias na área de matemática, no qual os bolsistas do

PIBID irão orientar os alunos a produzir paródias sobre conceitos matemáticos e, tem como intuito

auxilia-los para um bom desempenho no processo de aprendizagem em matemática.

O projeto acontecerá nas sextas-feiras no IFMT- Campus-Juína, e possuirá carga horária igual há

duas horas, sendo ofertadas à somente a um grupo de alunos que estiver interesse em participar. Para

isso vão ser levadas em conta quais as dificuldades e facilidades dos alunos, e observar o interesse dos

alunos pelos assuntos abordados. A avaliação desses alunos será feita pela observação e a criatividade

nas suas composições de todas as paródias, e geralmente estes alunos assistem aula de reforço de

matemática que os bolsistas do PIBID ministram, desta forma observaremos os conhecimentos

adquiridos pelos alunos com o projeto de paródias nas aulas de reforço.

Com esta pesquisa notou-se a necessidade implantar este projeto, mostrando a relação entre

matemática e música, ou seja, uma área auxiliando a outra, tornando as aulas mais envolventes,

dinâmicas, e consequentemente mais eficientes. Entende-se que o desafio será grandioso, mas a

educação matemática deve visar à construção de saberes que ajude os alunos a pensar e refletir sobre o

mundo em que vivem, assim como agir e transformá-lo. Dessa forma, usar a música por meio de

paródias musical será possível que eles encontrem uma razão e um motivo para aprender matemática,

e gostem de explorar estas possibilidades, sendo mais criativos e compor suas próprias paródias, e

com o objetivo de ampliar o conhecimento matemático através da busca por conceitos e definições

para a construção das mesmas.

E fazer com que os alunos tenham gosto pela matemática usando paródias matemáticas como

base de aprendizagem e fazer com que as aulas sejam bem menos cansativas e mais prazerosas.

Espera-se que cada pessoa que ao se envolver neste projeto, possa se interessar no assunto, e ter um

despertar pelo prazer de estudar e aprender matemática. Assim o estudante poderá perceber e

compreender a relações musicais na matemática e relações matemáticas na música.

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3



Referências

ALVES, Renalva Ribeiro. Ensino e aprendizagem da matemática: um estudo de caso no

ensino fundamental. UFT, Talismã, Tocantins, 2011.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.

CAVALCANTI, Valdir de Sousa. LINS, Abigail Fregni. Ensino e aprendizagem da

matemática através da música no ensino médio. X Encontro Nacional de Educação

Matemática: Educação Matemática, Cultura e Diversidade, Salvador - BA, 2010.

CORREIA, Marcos Antônio. A função didático-pedagógica da linguagem musical: uma

possibilidade na educação. Educar, Curitiba, n. 36, p. 127-145, 2010. Editora UFPR.

CRUZ, Antônio Messias Lopes. Matemática e música: compondo um cenário educacional

com harmonia. Cruz. – Ilhéus, BA: UESC, 2013.

ROSSI, José Marcelo. O Ensino da matemática nas séries iniciais do ensino fundamental.

2010.

SOUZA, Carlos Eduardo de. JOLY, Maria Carolina Leme. A importância do ensino musical

na educação infantil. Cadernos da Pedagogia. São Carlos, Ano 4 v. 4 n. 7, p. 96 - 110 , jan -

jun. 2010.

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1



Atuação do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência

(Pibid) Interdisciplinar durante a Semana da Matemática em uma

escola campo: uma proposta de intervenção

Marilia Clara do V. M Rosa¹ Tainara Rodrigues Borges1

Instituto Federal Goiano – Campus Urutai

Rodovia Geraldo Silva do Nascimento, Km 2,5

75790-000, Urutaí, GO


Luciana Aparecida Siqueira Silva2

Núcleo de Ciências Biológicas

Instituto Federal Goiano – Campus Urutai

Rodovia Geraldo Silva do Nascimento, Km 2,5 75790-000, Urutaí, GO


RESUMO

A matemática durante muitos anos foi ensinada de modo que os alunos passaram a ficar cheios

de receios, com aulas que não criavam nenhum estímulo e tornavam a matéria chata e de difícil

aprendizado. “Durante muito tempo confundiu-se ‘ensinar’ com ‘transmitir’ e, nesse contexto, o aluno

era um agente passivo da aprendizagem e o professor não necessariamente presente na necessidade do

alunos”. (ANTUNES, 2011, p. 36)

Com a utilização de novas metodologias de ensino, percebemos a inserção da utilização dos

jogos na sala de aula, com o intuito de melhorar o ensino e facilitar a aprendizagem, chamando a

atenção do aluno para o conteúdo relacionado. A utilização de jogos no contexto escolar permite ao

aluno assimilação de regras, analisando os riscos e possibilidades de cada jogada, auxiliando assim na

produção do conhecimento matemático. (GRANDO, 2000)

O Presente trabalho foi desenvolvido por discentes do curso de Licenciatura em Matemática do

Instituto Federal Goiano – Câmpus Urutaí, participantes do Programa Institucional de Bolsa de

Iniciação à Docência (Pibid) subprojeto Interdisciplinar, que conta com bolsistas dos cursos de

Licenciatura em Matemática, Biologia e Química. A atuação do Pibid é realizada no Colégio Estadual

Rodrigo Rodrigues da Cunha, localizado no município de Pires do Rio, Goiás.

À partir do diagnóstico da realidade escolar, realizado pelas bolsistas, foi detectado que a

Semana da Matemática fazia parte do calendário acadêmico, mas pela dificuldade de realização do

projeto pelos professores que já estão com a carga horária completa, notou-se um importante campo

para atuação do Pibid.

A “Semana da matemática” desenvolveu-se na segunda semana do mês de julho de 2015,

contando com a participação de todos os alunos do período matutino, do nono ano do ensino

fundamental até o terceiro ano do ensino médio. Consistiu-se em duas etapas: divulgação em sala de

aula e aplicação dos jogos.

Para e elaboração do projeto,as bolsistas realizaram um estudo bibliográfico para analisar quais

são as metodologias diferenciadas possíveis para serem trabalhadas em um projeto que visa chamar a

atenção dos alunos para a matemática, uma vez que “o significado da matemática para o aluno resulta

das conexões que ele estabelece com as demais disciplinas, entre ela e o cotidiano e entre os diferentes

temas matemáticos” (BRASIL, 2000, p. 19-20). Também foi realizada uma análise pela professora de

matemática das turmas que participariam do projeto, para averiguar quais seriam as maiores

dificuldades.

Com o objetivo de chamar a atenção dos alunos para a matemática, as bolsistas procuraram

encontrar metodologias que fossem interessantes para que os alunos compreendessem com maior

1Bolsista de Iniciação a docência PIBID/CAPES 2Corodenador de Área: PIBID/CAPES

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2



facilidade o conteúdo e desmistificar o ensino da matemática, trazendo assim uma atividade mais

dinâmica, colocando em foco as maiores dificuldades dos alunos em sala de aula.

Durante o diagnóstico da realidade escolar, notou-se que os alunos possuíam muitas dificuldades

para resolver problemas que envolvessem as operações básicas que são: adição, subtração,

multiplicação e divisão, as últimas apresentavam maiores dificuldades e também em atividades que

exigiam a utilização do raciocínio lógico dedutivo.

A partir disto o primeiro jogo aplicado foi o “Pam Pim Pum” que trabalha o conceito de números

múltiplos. O segundo jogo abordado foi o “Rastros”, sendo este um jogo de raciocínio lógico, e

tomada de decisões. O Jogo “Contig 60” utiliza das quatro operações básicas da matemática, e por

último tivemos aplicação do “Bingo das equações do primeiro grau”, tendo sido trabalhado com o

intuito de mostrar um conteúdo que os alunos vêem dentro de sala de aula de maneira metódica, e

reforçar a explicação do conteúdo.

Durante a aplicação, notamos que no jogo “PamPim Pum” os alunos tiveram muitas dificuldades

de acompanhar o raciocínio lógico e muitas dificuldades na tabuada. Foi um momento no qual

puderam perceber suas dificuldades e refletir sobre sua importância. No jogo “Rastros”, os alunos

assimilaram com muita facilidade o objetivo do jogo e trabalharam com bastante eficácia estratégias

que os levaram à vitória. Notaram que um mesmo problema pode ser trabalhado com resoluções

diferentes para chegar no resultado esperado. No jogo “Contig 60” notamos as dificuldades que os

alunos possuíam quando se tratava de divisão, muitos não conseguiam realizar as contas mais simples,

buscando ajuda na calculadora. No “Bingo” os alunos se identificaram bastante, pois é uma atividade

cultural que pode ser trabalhada para outros fins, os conceitos todos já conheciam, as dificuldades

foram encontradas durante a resolução das equações do primeiro grau.Por ser um conteúdo que já foi

trabalhado em sala de aula, nossa intenção foi mostrá-lo de maneira diferenciada. Os alunos

perceberam que as suas dificuldades os impediram que ganhassem o jogo. E compararam com outros

fatos matemáticos existentes no dia a dia, indagando que a matemática é um objeto de estudo

importante também no cotidiano.

A proposta da utilização dos jogos em sala de aula foi muito importante para o desenvolvimento

social,tanto dos alunos quanto das pibidianas, pois havia muitos alunos que se fechavam, com

vergonha de perguntar sobre determinados conteúdos, de expressar dúvidas, tornando a matemática

um problema para eles. Entretanto com a aplicação do projeto da Semana da Matemática tiveram a

liberdade de expressar suas dúvidas e trabalhar em equipe. Vale ressaltar que para que o jogo atinja

seu potencial didático, deverá ser aplicado de forma contextualizada, não dispensando a atuação do

professor como orientador e articulador durante todo o processo, uma vez que a simples

implementação do jogo didático não garante a aprendizagem (PEDROSO, 2009).

Foi possível a percepção de alguns alunos que tinha muitas dificuldades nos conteúdos realmente

básicos como a divisão, mas também de alunos que surpreenderam com a velocidade que

acompanharam a lógica do jogo, e entenderam o funcionamento da dinâmica. Proporcionando assim

para as bolsistas a oportunidade de aprender a lidar na prática com a diversidade encontrada em sala

de aula.

Segundo Smole, et al (2007) o uso de jogos favorece os alunos nos quesitos de linguagem,

raciocínio lógico e no convívio entre os alunos, uma vez o aluno participante dos jogos tem a

possibilidade de adquirir confiança, raciocínio critico, além defender sua opinião e observar o

andamento do jogo. Diante disso, percebe-se uma melhora no desenvolvimento cognitivo do aluno.

Durante o andamento das aplicações dos jogos, foi possível a observação da melhoria no

desempenho dos alunos, e a mudança de estratégia nos jogos para chegar à vitória, o espírito

competitivo entre uma turma de amigos também foi uma parte que ajudou bastante para a

desenvoltura do trabalho, pois acabou gerando uma disputa entre conhecimentos, o que fez com que

os alunos estivessem ainda mais atentos durante a realização das atividades propostas.Foi possível

ainda perceber o quanto a atuação do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (Pibid)

no cotidiano escolar contribui para a formação do futuro docente. Ao longo do desenvolvimento do

projeto, os licenciandos envolvidos tiveram a oportunidade de idealizar e redigir o projeto, preparar

todo o material para a execução das atividades e, acima de tudo, estar em contato com o ambiente da

sala de aula, interagindo com os estudantes de educação básica, o que tem diminuído a distância entre

o meio acadêmico e a realidade vivida nas escolas.

Página-78

3



Referências

ANTUNES, C. Jogos para estimulação das múltiplas inteligências. Revista Vozes,

Petrópolis, RJ: 2011.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros

Curriculares Nacionais (Ensino Médio). Brasília: MEC, 2000.

GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso dejogos na sala de aula.2000. 239p.

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação. Campinas,

SP,2000.

PEDROSO, C.V. Jogos didáticos no ensino de Biologia: uma proposta metodológica baseada

em módulo didático. ANAIS IX Congresso Nacional de Educação – EDUCARE, III Encontro

Sul de Psicopedagogia, PUC/PR, 2009.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Cardernos do Mathema : Jogos de matemática

de 6° ao 9° ano. Artmed, 2007.

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Página-80



Produção de objetos de aprendizagem para Geometria Analítica com

foco em vetores no R³ e construção de quádricas.

Felipe Augusto Didonet

Escola de Engenharias, PUC-GO

Av. Universitária, 1440

74605-010, Goiânia, GO


Brunna Brito Passarinho

Departamento de Matemática, PUC-GO

Av. Universitária, 1440

74605-010, Goiânia, GO


RESUMO

A aprendizagem tradicional se baseia na descrição do objeto sendo o professor o responsável por

reportar ao aluno determinado conceito teórico e este não tem qualquer interação com a matéria dada,

sendo muitas vezes utilizada pelo aluno a metodologia de memorizar superficialmente o que lhe foi

apresentado. Uma proposta interessante para este problema é o uso do ensino construtivista, no qual o

aluno é estimulado pelo professor que desenvolve um papel de mediador do conhecimento, através de

experiências com objetos visíveis (VAZ; DE JESUS,2014 apud MORETTO (2001)).

O aluno, vindo do segundo grau, ao ingressar na universidade em um curso com formação em

ciências exatas reconhece muito dos conceitos básicos da Geometria Analítica, porém limitado ao

universo bidimensional. Quando se deparam com o conteúdo de Geometria Analítica em um espaço

tridimensional, muitos estudantes tem dificuldade em visualizar os objetos geométricos estudados,

chegando simplesmente a memorizar as figuras, mas sem entender sua perspectiva espacial e como

foram criadas. Essa dificuldade é fruto da limitação dos recursos disponíveis ao professor, visto que

tanto o quadro quanto os livros apresentam figuras estáticas que não demonstram tão bem, como um

plano virtual, a noção tridimensional.

Sendo a matemática uma ciência fundamental para o desenvolvimento e aplicação de

tecnologias, os seus métodos de ensino a partir de uma visão construtivista dependem do

conhecimento da tecnologia aplicada, da matemática propriamente dita e a interação entre estas.

Pensando em facilitar o uso das ferramentas tecnológicas em sala de aula por docentes da matemática

que buscam aplicar um método construtivista, essa pesquisa teve o objetivo de produzir objetos

visíveis que promovem a dinâmica e a interação entre aluno e professor de Geometria Analítica com

foco na apresentação de vetores no R³ e superfícies quádricas.

Para essa pesquisa inicialmente foi selecionado o conteúdo de Geometria Analítica que incluía

vetores no espaço tridimensional e superfícies quádricas, para assim analisar especificamente cada

assunto e verificar qual seria a melhor forma de apresentar esse conteúdo em forma de material

didático. Após discriminação do conteúdo abordado foi gerado uma ordem cronológica para o

desenvolvimento dos objetos seguindo a abordagem de fórmulas do livro sobre vetores e Geometria

Analítica de WINTERLE (2010). A ferramenta utilizada para desenvolver o projeto foi um programa

gratuito denominado Geogebra 5.0.

Com o auxílio do software Geogebra 5.0. foi possível criar gráficos tridimensionais e variações

de parâmetros a partir de equações, muitas delas parametrizadas, algébricas.

Para introduzir os comandos algébricos assim como a apresentação das fórmulas dos temas

abordados foi utilizado o livro.

O resultado foram sete objetos criados no Geogebra 5.0 que abordam os seguintes temas:

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Marcação de pontos no R³;

Compreendendo vetores no espaço;

Operações com vetores;

Superfícies de revolução;

Elipsoide;

Hiperboloide;

Paraboloide.

Com esses objetos é possível aplicar o conteúdo de Geometria Analítica de uma forma mais

dinâmica e interativa, sendo possível que o professor apresente as principais fórmulas matemáticas do

conteúdo proposto, a compreensão de conceitos básicos, fazer simulações e animação gráficas de

interseção de planos nas superfícies quádricas.

As Figuras 1,2,3 e 4 apresentam dois objetos criados com o Geogebra 5.0, sendo primeiramente

representada a interface das ferramentas criadas e logo em seguida sua representação gráfica. Os

objetos tem o objetivo de abordar as operações com vetores no R³ e a superfície Hiperboloide.

Figura 1: Ferramentas do objeto criado através do Geogebra 5.0.

Fonte: O próprio autor via Geogebra.

Figura 2: Representação do objeto criado através do Geogebra 5.0.


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Figura 3 Ferramentas do objeto criado através do Geogebra 5.0.


Figura 4: Representação do objeto criado através do Geogebra 5.0.


Referências

[1] VAZ, D.,A.,F.; JESUS, P.,C.,C.; Uma sequência didática para o ensino da matemática

com o software Geogebra. Estudos, Goiânia v. 41, n. 1, p. 59-75, jan/mar 2014.

[2] WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books,

2000.

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O Ultimo Teorema de Fermat: Uma introducao ao problemapelo caso n=3.

Thiago Guedes Strassemann∗

Universidade Federal do Espırito Santo, Centro de Ciencias Exatas, Departamento de Matematica.

Av Fernando Ferrari, 914, Campus Universitario Goiabeiras

29069-900 - Vitoria, ES - Brasil


Valmecir Antonio dos Santos BayerUniversidade Federal do Espırito Santo, Centro de Ciencias Exatas, Departamento de Matematica.

Av Fernando Ferrari, 914, Campus Universitario Goiabeiras

29069-900 - Vitoria, ES - Brasil


RESUMO365 anos. Esse foi o tempo necessario para que fosse provado o chamado Ultimo

Teorema de Fermat. Essa equacao xn + yn = zn, ao mesmo tempo que carrega umahistoria unica e recheada de grandes nomes da Matematica mundial, tambem trasuma boa carga de conteudo e uma beleza inigualavel. Nesse trabalho, abordaremosuma demonstracao semelhante a de Leohnard Euler para o caso n = 3, e para essabusca teremos como ferramentas o Lema de Thue e mais alguns resultados queaplicam conceitos de funcoes aritmeticas e da Teoria Combinatoria dos Numeros.

1 Introducao

Pierre de Fermat nasceu na Franca no inıcio do seculo XVII. Trabalhava no servico publico,mas, como hobby, estudava Matematica e resolvia os mais variados problemas, o que elefazia com extrema qualidade. E.T. Bell o chamava ”Prıncipe dos Amadores”. Porem,Fermat nao costumava divulgar seus resultados, mesmo os mais sofisticados e arrojados,e muitos deles apenas foram divulgados apos sua morte, pelo seu filho Clement-Samuel.Fermat desenvolveu avancos em varias areas da matematica, desde a Geometria Analıticaate o Calculo Diferencial e a Teoria dos Numeros. Na Teoria dos Numeros, inclusive,que ele contribuiu com um dos mais famosos problemas da historia, o chamado UltimoTeorema de Fermat.Esse Teorema foi escrito na borda de um exemplar da Arithmetica de Diofanto, e diz quee impossıvel encontrarmos tres numeros inteiros positivos x, y e z tais que

xn + yn = zn, com n ∈ Z e n > 2

Porem, junto dessa anotacao, Fermat escreveu mais isto:

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexti hanc marginis exiguitasnon caperet.

∗Bolsista do Programa de Educacao Tutorial - PET

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Que pode ser traduzido como ”Eu tenho uma demonstracao verdadeiramente maravi-lhosa para esta proposicao, mas essa margem e muito estreita para conte-la.”

Apos 365 anos e muitos dos grandes matematicos da historia, como Lehonard Euler,Sophie German, Evariste Galois, dedicarem suas vidas a atacar esse problema, enfim oUltimo Teorema foi provado pelo ingles Andrew Wiles, em 1995.

Nesse texto, faremos uma demonstracao semelhante a de Leonhard Euler1 para o casoem que x, y e z sao elevados a potencia cubica, e para isso construiremos mais tresimportantes resultados que nos ajudam a ter armas para atacar esse problema.

2 Juntando Armas para atacar o Problema

Para comecarmos a nos munir para essa investida, temos esse lema provado pelo NorueguesAxel Thue. Para a demonstracao desse Lema e usado um pouco do conhecimento dafuncao Maior Inteiro e o conhecido Princıpio da Casa dos Pombos de Dirichlet.

Lema 2.1 (Thue) Se m > 1 e numero natural e a ∈ Z tal que (m, a) = 1, entao existemx, y ∈ N∗ tais que x, y <

√m e ax± y ≡ 0 mod m.

O Lema de Thue nos oferece um importante Corolario, que tambem nos servira demeio para chegarmos ao nosso objetivo. Vale lembrar que, nesse caso, a notacao

(ab

)

denota o Sımbolo de Legendre.

Corolario 2.2 Se d ∈ 1, 2, 3, 7 e p 6= 2 e primo tal que(

−dp

)= 1, entao existem

e, f ∈ Z tais que p = e2 + df 2.

O proximo resultado necessita do Corolario 2.2 e sera diretamente usado na demons-tracao do Ultimo Teorema para n = 3.

Lema 2.3 Sejam a, b, s ∈ Z∗+ tais que (a, b) = 1 e s ımpar.

Se s3 = a2 + 3b2, entao

s = m2 + 3n, a = m3 − 9mn2, e b = 3m2n3.

3 O Ultimo Teorema de Fermat para n=3

Agora, utilizando as ferramentas construıdas e principalmente o Lema 2.3, demonstrare-mos o Ultimo Teorema de Fermat para n = 3.

Teorema 3.1 (Fermat/Euler) Nao existem x, y, z ∈ Z∗+ tais que x3 + y3 = z3.

Demonstracao 1 Suponhamos que existem solucoes para a equacao, entao tomemos(x, y, z) tais que o produto xyz e o menor possıvel.Como qualquer fator comum de x e y tambem e fator de z, podemos afirmar que eles saorelativamente primos dois a dois. Mais do que isso, podemos afirmar que um deles e par.Note que x = y e impossıvel, pois senao 2x3 = z3, o que e impossıvel pelo TeoremaFundamental da Aritmetica. Sem perda de generalidade, seja x > y.

1A demonstracao original de Euler para o caso n = 3 e incompleta, pois supoe que todas as extensoesde Z sao domınios de fatoracao unica.

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Suponhamos x, y ımpares e z par. Entao existem p, q ∈ Z∗+ primos entre si e de

diferente paridade tais que x = p + q e y = p− q. Assim,

z3 = x3 +y3 = (x+y)(x2−xy+y2) = 2p((p+q)2− (p+q)(p−q)+(p−q)2) = 2p(p2 +3q2)

Portanto, 2p(p2 + 3q2) e cubo perfeito.Ao supormos z ımpar e x ou y par (sem perda de generalidade, seja x par) e escolhermos

p e q tais que z = p + q e y = p− q, teremos que

x3 = z3 − y3 = 2p((q + p)2 − (q + p)(q − p) + (q − p)2) = 2p(p2 + 3q2),

o que nos garante que 2p(p2 + 3q2) e realmente cubo perfeito.Como p2 + 3q2 e ımpar e 2p(p2 + 3q2) e cubo perfeito, temos que p e par.

Calculando (p, p2 + 3q2)2, temos

(p, p2 + 3q2) = (p, 3q2) = (p, 3) = 1 ou 3,

o que nos leva a dois casos.

1. Se (p, p2 + 3q2) = 1, entao existem m,n ∈ N tais que a3 = 2p e b3 = p2 + 3q2.Pelo Lema 2.3, existem m,n ∈ Z de diferente paridade e primos entre si tais que

b = m2 + 3n2, p = m3 − 9mn2, q = 3m2n− 3n.

Logo a3 = 2m(m − 3n)(m + 3n). Podemos ver que 2m, (m − 3n), e (m + 3n)sao primos entre si (dois a dois), entao existem e, f, g ∈ Z tais que 2m = e3,m− 3n = f 3, e m + 3n = g3, portanto f 3 + g3 = e3.

Sabemos que efg = a3 = 2p ≤ x+ y < xyz, o que contradiz a minimalidade de xyz.

2. Agora, se (p, p2 +3q2) = 3 entao p = 3r, com (r, q) = 1. Entao ou z3 = 18r(3r2 +q2)ou x3 = 18r(3r2 + q2). Sejam entao a, b ∈ Z∗

+ tais que a3 = 18r e b3 = 3r2 + q.Pelo Lema 2.3, existem m,n ∈ Z de diferente paridade e primos entre si tais que

b = m2 + 3n2, r = m3 − 9mn2, q = 3m2n− 3n.

Logo a3 = 27(2n)(m + n)(m− n).Observe que 2n, (m + n), e (m − 3n) sao, dois a dois, primos entre si. Portantoexistem e, f, g ∈ Z tais que 2n = e3, m−n = f 3, e m+n = g3, portanto e3+f 3 = g3.Como efg < a3 < xyz, essa possibilidade tambem e um absurdo, pois contraria aescolha de x, y e z tais que xyz e mınimo.

Referencias

[1] MARTINEZ, F. B.; MOREIRA, C. G.; SALDANHA, N.; TENGAN, E. Teoria dosNumeros: Um passeio com primos e outros numeros familiares pelo mundo inteiro.Rio de Janeiro: IMPA, 2013

[2] SANTOS, J.P. de O. Introducao a Teoria dos Numeros. Rio de Janeiro: IMPA, 2007.

2A notacao (a, b) significa m.d.c entre a e b.

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RELATO DE EXPERIÊNCIA DA IMPLANTAÇÃO DO PIBID NO

INSTITUTO FEDERAL CAMPUS JUÍNA

Anderson G. Paes1

Instituto Federal de Mato Grosso - IFMT

Linha “J”, Quadra 08, Setor Chácara 78320-000, Juína, MT


Giseli Martins de Souza2




Thiago Lopes de Faria3




RESUMO

O PIBID (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação á docência) é um projeto que oferece

bolsas a alunos de cursos de licenciatura que se dediquem a prática do ensino em escolas públicas, o

objetivo do Subprojeto Matemática do IFMT (Instituto Federal de Mato Grosso) Campus Juína é

incentivar e melhorar a formação dos licenciados/futuros professores de Matemática da região

Noroeste de MT, bem como, contribuir para a melhoria da qualidade social da educação, cumprindo

com os objetivos citados pela CAPES [2] referente a formação do professor.

O presente trabalho apresenta ao leitor os resultados prévios da implantação do PIBID –

Subprojeto Matemática no IFMT/Campus Juína e um breve relato das atividades desenvolvidas em

parceria com a escola Estadual Doutor Artur Antunes Maciel do município de Juína. A referida escola

foi a pioneira em receber o projeto no município. Busca-se também mostrar as dificuldades

encontradas durante o período de realização dos trabalhos fazendo uma avaliação das possíveis

contribuições deste projeto para o ensino de matemática na escola.

A pesquisa desenvolvida é de caráter qualitativo e será apresentado um resultado prévio fruto de

seis meses (fevereiro a julho) de implantação do projeto, porém a conclusão do relato será mostrada

em um trabalho posterior diante de um período maior de desenvolvimento do PIBID – Subprojeto

matemática, pois a fase de inserção e adaptação é um processo a longo prazo e somente após todas as

etapas será possível apresentar a conclusão e todos os resultados da implantação durante o ano de

2015.

Assim, busca-se relatar as experiências vivenciadas com a implantação do projeto, como a

atividade de reforço onde o aluno tem a oportunidade de aprender com metodologias diferenciadas

segundo OLIVEIRA 2010 [3] incentivando na busca do conhecimento. Podemos citar também as

atividades que envolvem o jogo de xadrez. Na visão de ALMEIDA 2010 [1] a utilização de jogos no

ensino de Matemática facilita a aprendizagem dos alunos.

1 Licenciando em Matemática do Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína e Bolsista de Iniciação Científica PIBID

(Programa Institucional de Bolsas de Iniciação á docência) 2 Mestre em Matemática e professora do Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína.

3 Coordenador do Subprojeto PIBID/Matemática do município de Juína e professor do Instituto Federal de Mato Grosso –

Campus Juína.

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Para isso, foi realizado o acompanhamento dos alunos e acadêmicos que através de suas

experiências relataram as contribuições dessas atividades e propuseram ações para melhorar seu

desenvolvimento.

Enfim é importante destacar que a proposta de incentivo deste Programa Institucional, só vem a

acrescentar e somar na formação inicial de professores e contribuindo com o ensino da matemática.

Referências

[1] ALMEIDA, José Wantuir Queiroz. O Jogo De Xadrez E A Educação Matemática: Como

E Onde No Ambiente Escolar – Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática),

Centro de Ciências e Tecnologias, Universidade Estadual da Paraíba, 2010. Disponível em:

<http://posgraduacao.uepb.edu.br/ppgecm/download/disserta%C3%A7%C3%B5es/mestrado_

profissional/2010/Jos%C3%A9%20Wantuir%20Queiroz%20de%20Almeida.pdf.>. Acesso

em: 20 Abr. 2015.

[2] CAPES. PIBID - Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência. 2015.

Disponível em: <http://www.capes.gov.br/educacao-basica/capespibid>. Acesso em: 20 Abr.

2015.

[3] OLIVEIRA, B. M. T.; Reforço Escolar: Momento Privilegiado Para O Aprendizado De

Conteúdos Significativos. 2010. Disponível em:

<http://moodle3.mec.gov.br/uft/mod/data/view.php?d=850&advanced=0&paging=&page=17

>. Acesso em: 20 Abr. 2015.

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1

4˚ Colóquio de Matemática da Região Centro-Oeste Universidade Federal de Goiás

Resolução de Problemas – Uma Experiência em Sala de Aula

André B. Campos Daniel F. Machado

Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri, UFVJM/Campus Mucuri

Rua do Cruzeiro, 01, Jardim São Paulo

39803-371, Teófilo Otoni, MG


RESUMO

O objetivo desta comunicação é apresentar os desdobramentos e as principais considerações em

relação à aplicação de uma sequência didática, fundamentada na metodologia de Resolução de Problemas, desenvolvida durante a disciplina de Estágio Curricular Supervisionado II do curso de

licenciatura em Matemática da Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri

(UFVJM/Campus Mucuri), ministrada no segundo semestre de 2014.

Inicialmente, durante as aulas teóricas do estágio, foram estabelecidas algumas discussões acerca

do modelo de ensino mais presente nas salas de aula atualmente: o ensino tradicional. Este, por sua

vez, diz respeito ao que Skovsmose (2000) chama de paradigma do exercício, isto é, aquela aula

dividida em dois blocos: no primeiro momento, o professor apresenta a teoria a partir de uma

definição e/ou fórmulas, as propriedades e, ao final, alguns exemplos de aplicação. O segundo período

é destinado à resolução de exercícios por parte dos alunos, baseados quase sempre nos algoritmos

apresentados pelo professor.

Assim, dessas discussões teóricas, percebeu-se que o ensino tradicional faz com que o aluno, na

maioria das vezes, apenas reproduza aquilo que o professor apresentou em sala de aula. E, normalmente, neste modelo não é estabelecido um espaço que confira aos alunos a oportunidade de

criar outras possibilidades, de descobrir novos caminhos, de estabelecer estratégias inovadoras na

aquisição do conhecimento.

Por outro lado, a essa altura, é importante mencionar que não se quer abolir a prática da aula

tradicional, ou seja, a dupla (teoria + exercícios), pois seu espaço é notadamente reconhecido.

Entretanto, não se pode mais encará-los como o único meio de abordagem de ensino nas salas de aula.

Além disso, não se trata de dizer qual metodologia é melhor ou pior, qual é mais eficiente, qual é mais

promissora, mas apenas de diversificar a forma de se produzir o conhecimento, oferecendo uma visão

mais plural que singular.

Assim, ao estudar e comparar aspectos da Resolução de Problemas proposta por alguns teóricos

que a apresentam como uma possibilidade em relação ao ensino tradicional – Polya (1995), Onuchic (1999), Onuchic e Allevato (2004), Ponte (2005) e Skovsmose (2000) –, optou-se pelas ideias de

Onuchic e Allevato (2004) e Onuchic (1999), pois se identificou uma absorção e a síntese de alguns

aspectos importantes das concepções dos demais teóricos.

Portanto, entende-se a Resolução de Problemas “como um ponto de partida da atividade

matemática a ser desenvolvido na sala de aula” (BRASIL, 1998, p. 59), de forma que o problema

possa ser um elemento disparador de um processo de construção do conhecimento matemático. Sob

este enfoque, problemas são propostos ou formulados para contribuir na formação dos conceitos antes

mesmo de sua apresentação em linguagem matemática.

De posse desses conhecimentos buscou-se uma metodologia que pudesse oferecer ao aluno outra

forma de abordagem e, para tal, elegeu-se a Resolução de Problemas, pois esta pode promover um

ambiente de investigação, pautada em discussões e reflexões, desenvolvendo nos alunos uma postura

mais crítica frente aos conteúdos apresentados. Como consequência, foi construída uma sequência didática, que teve o Círculo e a

Circunferência como conteúdos abordados, para ser trabalhada com os alunos do 9º ano de uma escola

da rede estadual do município de Malacacheta/MG.

Pautados nessas ideias deu-se início ao período de observação da turma do 9º Ano, analisando

atentamente as relações entre professor/aluno, aluno/professor e aluno/aluno, bem como o perfil dos

alunos e do professor e, principalmente, as estratégias de ensino que eram abordadas em sala de aula.

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2



Após essa avaliação, constatado o ensino tradicional como a única metodologia empregada, foi

então proposta a sequência didática que tinha a Resolução de Problemas como ponto de partida. Esta

aconteceu durante 3 aulas de 50 minutos.

Inicialmente, foi requisitado que os alunos formassem grupos com no máximo 5 componentes.

Então, foi entregue um problema para que discutissem. Primeiramente, era intenção que esta discussão

acontecesse no âmbito do grupo apenas, sem a interferência do professor, para que pudessem negociar

suas diferentes interpretações, somarem seus conhecimentos, bem como chegarem a um denominador

comum do caminho que seguiriam na obtenção da solução. Essa prática pode ainda reprimir um pouco

o momento de grande intolerância de opiniões na sociedade atual, buscando dar aos alunos a

oportunidade de trabalharem sob um aspecto mais argumentativo do que simplesmente o da imposição

por meio da força e/ou do grito. Após esse primeiro momento, diante de algum impasse ou dificuldade, o professor pode ser

chamado, mas sua função ali é de intermediador e não de transmissor. Ou seja, ele não está ali para

dizer o que fazer, mas para provocar os alunos (com perguntas, por exemplo), despertando a atenção

para algo que talvez ainda não tivessem considerado.

Porém, observando o desenvolvimento dos alunos no decorrer do trabalho, percebeu-se, por

parte de alguns, o desinteresse na atividade. Tal postura pode ser justificada por alguns fatores: alunos

que já tinham passado de ano e, portanto, não demonstravam mais interesse nos conteúdos; alunos que

já estavam reprovados; alunos que apenas fariam a atividade caso esta fosse avaliada. Contudo,

embora minoria, ainda houve grupos que realmente se interessaram e desenvolveram o problema de

forma colaborativa e cooperativa.

Dando sequência, o próximo passo foi solicitar que cada grupo compartilhasse sua resolução e solução com os outros grupos, escrevendo-a no quadro. A intenção nesse momento é o de promover

discussões entre os grupos, de forma que cada grupo pudesse responder aos questionamentos e/ou

dúvidas dos outros grupos quanto às explicações dadas.

Aqui talvez tenha sido o momento de maior tensão. Embora houvesse por parte dos grupos certa

euforia, mesmo que diluída em meio ao medo do erro, quanto à apresentação dos resultados, ao passar

para o momento de discussão, a sala transformou-se num verdadeiro caos. Observou-se uma total

dificuldade dos alunos em aceitar as devidas explicações dos colegas, demonstrando uma grande

ausência de maturidade para assimilar opiniões e perspectivas diferentes daqueles que julgavam serem

as ideais.

Ainda, nesta fase, é importante considerar que a ênfase não deve ser colocada sobre o

acerto/erro, mas sobre as decisões e considerações que foram levadas em consideração para tomarem

aquela direção e, por consequência, chegar àquele resultado. Isto é, o valor está no processo e não no resultado. Esta postura por parte do professor cria a possibilidade de entender o ponto de vista do

aluno, conferindo então ao docente mais clareza para intervir no processo de ensino e de

aprendizagem.

Entretanto, o principal obstáculo percebido durante a realização da atividade se refere à forma

como os alunos lidavam com os erros. Segundo os próprios estudantes o fazer errado é sinônimo de

avaliações ruins por parte dos professores, sendo este um procedimento muito comum no ensino

tradicional, cuja avaliação muitas vezes assume um caráter mais punitivo do que de diagnóstico.

Em várias ocasiões havia a necessidade por parte dos alunos de saberem se estavam no caminho

certo ou não, mesmo sem ainda terem chegado a algum resultado. Logo, a todo o momento era frisado

aos alunos que não importava o resultado, que não importava o caminho, mas isso não os freava

quanto à ansiedade do acerto ou erro. Por fim, depois de todo o processo descrito até aqui, passa-se aos devidos esclarecimentos, onde

alunos e professor buscam destacar o que de novo se aprendeu e o que foi complementado. Nesse

ponto, acontece a formalização da definição e conceitos, das propriedades, da devida demonstração de

fórmulas e aspectos de generalizações.

Contudo, diante da passividade dos alunos, somado ao medo de errar, não foi possível gerar

considerações que fossem um produto da turma. O que se viu, porém, foi, mais uma vez, alunos

esperando o professor apresentar as definições e as fórmulas.

Assim, o objetivo da atividade proposta na sequência didática, o qual era aprimorar o conceito de

circunferência e círculo, com o objetivo de contextualização do conteúdo, bem como a formalização

do mesmo, e buscando ainda resgatar conceitos de área de figuras planas, percebeu-se que pouco do

que se intencionava alcançar de fato aconteceu.

Nesse caso específico, o método utilizado não foi eficiente, uma vez que os alunos não se sentiram estimulados a resolver os problemas. Além disso, faltou interação entre os colegas, pois não

conseguiram se entender no processo de troca de ideias. Também não tiveram êxito em desvincular a

aprendizagem do método tradicional de ensino, dificultando assim a intervenção pedagógica. Talvez a

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3



dificuldade se explique porque nunca trabalharam sob esta abordagem, uma vez que foram

acostumados num sistema que oferece praticamente tudo pronto e instantâneo. Logo, exigir que

passassem subitamente de observadores a construtores talvez tenha sido pretensão.

Por outro lado, isso mostra ainda mais a necessidade de se apresentar aos alunos outras

metodologias de ensino no sentido de que se habituem a também produzirem conhecimento em

detrimento de uma postura passiva frente àquilo que lhe é apresentado como demanda intelectual.

Outro ponto que ainda merece destaque é o fato de que, embora haja o desejo de experimentar

mudanças no atual sistema de ensino quanto às metodologias, mesmo tendo boas ideias e iniciativa, é

importante considerar que nem todas as partes envolvidas no processo educativo absorverão essas

ideias de forma imediata.

E, isso se justifica pelo fato de que se um sujeito é fruto de um ensino tradicional, isto é, se ele foi forjado e acostumando apenas nesse contexto, torna-se mais complexo assimilar o novo, mesmo

que este novo não queira substituir o tradicional, como dito anteriormente. É sabido que nem sempre o

novo vem para substituir o velho, podendo aquele complementar este último.

Referências

[1] BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino

fundamental: Introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Secretaria de Educação

Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998. 174 p. Disponível em:

<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/introducao.pdf>. Acesso em: 25 de agosto de

2015.

[2] ONUCHIC Lourdes de la Rosa; ALLEVATO, Norma Suely G. Novas reflexões sobre o

ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO,

Maria Ap. Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho. Educação Matemática: pesquisa em

movimento. São Paulo, SP: Cortez, 2004.

[3] ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da

Resolução de Problemas. In BICUDO. M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática:

Concepções e Perspectivas. São Paulo: Editora da UNESP, pp. 199-218, 1999.

[4] POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método

matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995, (p. 01-24). Tradução e adaptação: Heitor

Lisboa de Araújo.

[5] PONTE, João Pedro da. Gestão Curricular em Matemática. In: O professor e o

desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, 2005. (p. 11-34).

[6] SKOVSMOSE, Ole. Cenários para investigação. Bolema (Boletim de Educação

Matemática). Rio Claro: v. 13, n. 14, 2000, p. 66-91.

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Valorizacoes e Corpos de Funcoes Algebricas

Daniel Alves∗ Cicero Carvalho

Faculdade de Matematica, UFU

Av. Joao Naves de Avila, 2121

38408-100, Uberlandia, MG

E-mails: daniel [email protected] [email protected]

RESUMO

Neste trabalho vamos apresentar o conceito de corpos de funcoes algebricas e suasvalorizacoes. Vamos enunciar o teorema de extensoes de valorizacoes, e ilustra-locom um exemplo onde calcularemos as extensoes das valorizacoes do corpo racionalao corpo de funcoes hiperelıpticas. Nossa motivacao para estudar esse tema e aimportancia da teoria de corpos de funcoes no estudo de curvas algebricas naosingulares e tambem no estudo de codigos algebricos de Goppa, um tipo de codigocorretor de erros, que sera o proximo tema de nossa pesquisa (seguindo [3]).

Seja F um corpo. Uma valorizacao de F e uma funcao v : F → R ∪ ∞satisfazendo:

1. v(f) = ∞ ⇐⇒ f = 0;

2. v(fg) = v(f) + v(g), para todos f, g ∈ F;

3. v(f + g) ≥ minv(f), v(g), para todos f, g ∈ F.

Neste contexto, ∞ representa um elemento que nao esta em R tal que ∞+∞ =∞ + x = x + ∞ = ∞, e ∞ > y para todos x, y ∈ R.

Proposicao. Sejam v uma valorizacao de F e f1, . . . , fn ∈ F. Se o mınimo doconjunto v(f1), . . . , v(fn) e assumido uma unica vez, entao v(f1 + · · · + fn) =minv(f1), . . . , v(fn).

Demonstracao. Suponhamos que v(f1) < v(fj), j ∈ 2, . . . , n. Entao v(f1 + · · · +fn) ≥ minv(f1), . . . , v(fn) = v(f1). Por outro lado,

v(f1) = v((f1 + · · · + fn) − f2 − f3 − · · · − fn)

≥ minv(f1 + · · · + fn), v(f2), . . . , v(fn)= v(f1 + · · · + fn).

Portanto, v(f1 + · · · + fn) = v(f1).

Dizemos que v e uma valorizacao discreta se v(F∗) = rZ para algum real positivor. No caso em que v(F∗) = Z, dizemos que v e uma valorizacao normalizada.

Se E ⊇ F sao corpos, uma valorizacao da extensao E|F e uma valorizacao v de Eque e trivial sobre F, isto e, v(F∗) = 0. O conjunto das valorizacoes normalizadasde E|F e denominado superfıcie abstrata de Riemann de E|F, e e denotado porSE|F.

∗Bolsista de Iniciacao Cientıfica PICME/CNPq

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Se E e uma extensao algebrica de F, e possıvel mostrar que SE|F = Ø. Estamosinteressados em superfıcies abstratas de Riemann de um certo tipo de extensoestranscendentes. Se F e um corpo, dizemos que E um corpo de funcoes algebricas(a uma variavel) sobre F se E e uma extensao algebrica finita de F(x), onde x etranscendente sobre F. E = F(x) e chamado de corpo de funcoes racionais sobreF. Os elementos de E transcendentes sobre F podem ser caracterizados da seguinteforma: z ∈ E e transcendente sobre F se, e somente se, [E : F(z)] e finito.

Proposicao. Seja E|F um corpo de funcoes algebricas onde F e algebricamentefechado e seja v ∈ SE|F.

1. Seja f ∈ E tal que v(f) ≥ 0. Entao existe um unico c ∈ F tal que v(f − c) > 0,chamado valor de f em v e denotado por f(v). Se v(f) < 0, definimosf(v) := ∞.

2. Sejam f, g ∈ E tais que v(f) ≥ 0 e v(g) ≥ 0, isto e, f(v) 6= ∞ e g(v) 6= ∞.Entao (f + g)(v) = f(v) + g(v) e (fg)(v) = f(v)g(v).

3. Seja t ∈ E tal que v(t) = 1. Entao para cada f ∈ E∗ existe uma unica serie for-

mal de Laurent

∞∑

n=m

cntn, onde m = v(f), cm 6= 0, tal que v

(f −

j∑

n=m

cntn

)>

j, para cada j ∈ Z, j ≥ m. Identificando 0 ∈ E com a serie nula, temos umaimersao de corpos E ⊆ F((t)), onde F((t)) e o corpo das series formais deLaurent em torno de t.

Seja F um corpo algebricamente fechado e seja E = F(x) onde x e transcendentesobre F. Cada elemento z ∈ E∗ pode ser escrito de forma unica como z = a ·∏

b∈F

(x − b)mb , onde a ∈ F∗, mb ∈ Z e mb = 0 para quase todo b ∈ F. Definimos

vb(z) := mb, para cada b ∈ F, e v∞(z) := −∑

b∈Fmb. E possıvel provar que SE|F =

vb | b ∈ F ∪ v∞.Se E e uma extensao algebrica de F e v e uma valorizacao normalizada de E,

temos que v(F∗) e um subgrupo nao nulo de Z, digamos v(F∗) = eZ, para alguminteiro positivo e. Dizemos que e e o ındice de ramificacao de v sobre F. Assim,1ev e uma valorizacao normalizada de F, isto e, w := v|F e uma valorizacao discretade F com w(F∗) = eZ.

Teorema 1 (Existencia de prolongamento). Se E e uma extensao finita de F, entaopara toda valorizacao discreta v de F existe uma valorizacao discreta w de E queprolonga v, isto e, w(z) = v(z) para todo z ∈ F.

Teorema 2. Seja E e uma extensao finita do corpo algebricamente fechado F, e vuma valorizacao normalizada de F. Entao o numero de prolongamentos de v a E,contados com seus ındices de ramificacao, nao e maior que o grau da extensao E|F.

Seja E e um corpo de funcoes algebricas sobre F, e seja z ∈ E transcendentesobre F. Entao E e uma extensao finita de F(z). Dada v ∈ SE|F, se e e o ındice

de ramificacao de v sobre F(z), entao 1ev ∈ SF(z)|F. Isso nos da uma aplicacao

φ : SE|F −→ SF(z)|F, que e sobrejetora pelo Teorema 1. Assim, uma maneira dedeterminar SE|F e encontrar os prolongamentos das valorizacoes normalizadas docorpo de funcoes racionais F(x)|F a E.

Exemplo. Seja F um corpo algebricamente fechado com caracterıstica diferente de2. Seja E = F(x, y), onde y2 = (x − c1) · · · (x − cn), c1, . . . , cn ∈ F sao distintosentre si, e n e um inteiro positivo ımpar. Esse corpo e chamado de corpo de funcoes

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hiperelıticas. Assim, E e uma extensao de F(x) de grau 2. Vamos estudar a aplicacaoSE|F −→ SF(x)|F = vb | b ∈ F ∪ v∞, onde vb(x − b) = 1 e v∞(1/x) = 1.

Seja v ∈ SE|F. Seja e o ındice de ramificacao de v sobre F(x). Definimos w := 1ev.

w prolonga uma valorizacao normalizada de F(x)|F.

Caso 1w prolonga v∞, isto e, w(1/x) = 1, ou equivalentemente, w(x) = −1. Entaow(y) = 1

2w(y2) = 12v((x − c1) · · · (x − cn)) = −n

2 . Seja f ∈ E, digamos f = g +hy, g, h ∈ F(x). Temos w(g) = v∞(g) ∈ Z∪∞ e w(hy) = v∞(h)+(−n

2 ) /∈ Z,pois n e ımpar. Logo w(f) = minv∞(g), v∞(h) − n

2 . Assim, w e o unicoprolongamento de v∞ a E. Observe que w(E∗) = 1

2Z. Portanto e = 2 ev(f) = min2v∞(g), 2v∞(h) − n.

Caso 2w prolonga vci , isto e, w(x−ci) = 1. Entao w(x−a) = 0 para todo a ∈ Fra ew(y) = 1

2w(y2) = 12w((x−c1) · · · (x−cn)) = 1

2 . Seja f ∈ E, digamos f = g+hy,g, h ∈ F(x). Entao w(g) = vci(g) ∈ Z∪∞ e w(hy) = vci(h)+ 1

2 /∈ Z. Portantow(f) = minvci(g), vci(h) + 1

2. Desta forma, w e o unico prolongamento de va E. Novamente w(E∗) = 1

2Z. Logo, e = 2 e v = min2vci(g), 2vci (h) + 1.Caso 3

w prolonga va, onde a ∈ F r c1, . . . , cn. Neste caso w(x − a) = 1. Emparticular, v(x − a) > 0, isto e, x(v) = a. Temos w(y) = 1

2w(y2) = 12va((x −

c1) · · · (x−cn)) = 0, pois v(x−cj) = 0 para j ∈ 1, . . . , n. Seja b := y(w) ∈ F∗.Como y2 = (x − c1) · · · (x − cn) concluımos que b2 = (a − c1) . . . (a − cn).Escrevemos (x−c1) · · · (x−cn) = b2(1+a1(x−a)+ · · · an(x−a)n), a1, . . . , an ∈F. Formalmente, pela lei binomial de Newton, temos:

y = ±b(1 + a1(x − a) + · · · + an(x − a)n)12

= ±b

[1 +

∞∑

i=1

(12

i

)(a1(x − a) + . . . + an(x − a)n)i

],

onde(m

i

)=

m(m − 1) · · · (m − i + 1)

1 · 2 · · · i . Assim, E = F(x, y) pode ser mergu-

lhado de duas maneiras em F((x−a)). Considere a valorizacao u de F((x−a))

definida como segue: se f =∞∑

n=m

bn(x− a)n ∈ F((x− a))∗ com m ∈ Z, bm 6= 0,

entao u(f) = m. Restringindo u a E, obtemos duas valorizacoes normaliza-das de E|F que prolongam va. Os ındices de ramificacao sao iguais a 1. PeloTeorema 2, va nao possui outros prolongamentos a E.

Referencias

[1] CHEVALLEY, C. Introduction to the theory of algebraic function fields of one vari-able. Amer. Math. Soc. Publications, 1951.

[2] SALVADOR, G. D. V. Topics on the theory of algebraic function fields. Birkhauser,2006.

[3] STICHTENOTH, H. Algebraic Function Fields and Codes. Springer, 2009.

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1



Os Jogos Matemáticos na Aprendizagem das Crianças

Lorenna G. Silva Glauciele C. da Silva

1

Instituto Federal Goiano - Campus Urutaí, IFgoiano



Agda L. Teixeira

Instituto Federal Goiano - Campus Urutaí, IFgoiano



RESUMO

A educação infantil representa uma etapa muito importante no processo de ensino e

aprendizagem na vida da criança. Pois a criança, desde o nascimento, está imersa em um universo do

qual os conhecimentos matemáticos são parte integrante. Elas aprendem fazendo, discutindo,

pensando e interagindo, e são capazes de efetuar operações de acordo com sua idade. Jean Piaget

(1896-1980) contribuiu para o entendimento de como a criança pensa e aprende, Vygotsky (1896-

1934) explica à aprendizagem proximal, através da linguagem.

O aluno aprende se relacionando com o meio, ora interação sujeito objeto ou pela linguagem, e

desde os primeiros anos de vida a criança utiliza seu tempo brincando, e apresenta algumas noções em

comparar quantidades e medidas dos objetos, percepção de espaço, caráter geométrico das figuras,

podendo perceber que a pessoa pode ter a cabeça arredondada, mas não em formato de um circulo,

pois sabem diferenciar uma bola de um circulo.

Para o ensino/aprendizagem das crianças, os jogos são importantes, pois é uma forma divertida e

estimulante para sua aprendizagem, assim como o brinquedo na concepção de Vygotsky, segundo

Oliveira (1991) a criança interage de forma prazerosa, ou seja, a criança adquiri um aprendizado

quando à intervenção de uma outra pessoa que possibilita a construção do conhecimento, sendo assim,

o papel do professor é essencial para a construção do conhecimento que vem sendo adquirido através

dos ensinamentos e da convivência com outras pessoas.

Os jogos auxiliam as crianças a entrarem no mundo simbólico, ou seja, em um mundo onde a

linguagem é essencial para sua aprendizagem e desenvolvimento. Objetivando assim, influenciar os

alunos através dos jogos matemáticos e mobilizar saberes que conduzam novos conhecimentos. Pois é

necessário que a criança seja sujeito de sua própria aprendizagem, e mais, que esteja em contato com

outras experiências para explorar toda a forma de conhecimento possível e para que este

conhecimento aconteça é necessário que o aluno traga sua experiência de conhecimento concebida

através de sua trajetória.

Diante disso, ensinar matemática de forma lúdica, utilizando jogos estimula à aprendizagem dos

alunos, e desmistifica a ideia de “terror” associada à disciplina, pois os jogos são uma forma

descontraída e fácil de aprender brincando.

Sendo os jogos como forma de aprendizagem e desenvolvimento das crianças, Oliveira (1991)

cita alguns jogos como: os jogos de tabuleiro que ajudam as crianças a desenvolverem o raciocínio e

estratégia, exemplo: O Jogo da Cobra, (ele ajuda as crianças terem uma melhor noção das operações

de soma e subtração, onde também são trabalhadas as estratégias de jogo). No entanto, os jogos de

cartas estimulam a memória da criança, como por exemplo: Dominó de cartas, onde os números são

utilizados para estimular a memória da posição de cada dado.

Enfatizando uma melhor compreensão dos jogos, trabalhamos com turmas de Ensino

Fundamental 1. E através do desenvolvimento de oficinas com os jogos citados, estimulou os alunos a

1 Bolsista do PIBID/CAPES

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2



usarem cálculos para solucionar problemas do cotidiano e utilizar de cálculos mentais despertando a

busca de respostas.

Por meio dos jogos, as crianças exercitam sua inteligência e compartilham experiências

(Lippmann, 2009, p. 169). Assim desenvolvendo a autonomia e descobrindo novos objetos e suas

formas, tornando o dia a dia bem mais divertido, pois é através das formas presentes nos jogos que as

crianças observam e diferenciam detalhes a sua volta. Quando a criança brinca, ela cria suas próprias

hipóteses, utiliza seu corpo para solucionar problemas.

Concluímos que os jogos contribuíram para a aprendizagem e desenvolvimento das crianças,

onde elas aprendem de forma prazerosa e divertida a utilização dos números em seu cotidiano. É

importante compreender e conhecer a bagagem que a criança já adquiriu para que isso facilite a forma

de oferecer atividades de acordo com sua visão de meio onde vive.

Por fim, os jogos matemáticos torna o ensino mais dinâmico, e assim melhores resultados são

alcançados pelos alunos, eles aprendem os conceitos com maior facilidade. O professor terá maior

trabalho para planejar suas aulas, entretanto a construção do conhecimento tornar-se muito mais

significativa, produtiva e desafiadora.

Referências

[1] LIPPMANN, Luciane. Ensino da Matemática. IESDE Brasil S.A., 2009.

[2] OLIVEIRA, Marta Khol. Vygotsky: Aprendizado e desenvolvimento um processo sócio

histórico. São Paulo, 1997, pag. 55-65.

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Superfıcies Mınimas em H3 e H2 × R

Wesley da Silva RuysInstituto de Matematica e Estatıtica (IME), UFG

Avenida Esperanca, s/n



RESUMO

Dentre todas as superfıcies com a mesma fronteira, superfıcies mınimas sao aque-las que possuem a menor area. Essas superfıcies possuem uma propriedade especialde que sua curvatura media H e nula em todos os pontos [1]. Isto e,

H =(k1 + k2)

2= 0

Geralmente admitimos que as investigacoes a respeito de superfıcies mınimasem R3 tiveram inicio em 1760 com Lagrange, mas a sua primeira solucao geral paraas equacoes de superfıcies mınimas foi dada por Weierstrass em 1866. Nas ultimasdecadas, surgiu um grande interesse em fazer estudos dessas superfıcies nao somenteem R3 como em outros espacos tridimensionais como por exemplo, H3 e H2×R quese destacam por serem grupos de Lie tridimensionais com metricas invariantes aesquerda [6].

Se considerarmos M uma superfıcie de Riemann, M uma variedade tridimensi-onal, pode se obter o seguinte resultado:

Sejam (M3, g) uma variedade Riemanniana tridimensional com metrica g, x1, x2, x3

coordenadas locais e Fi : Ω ⊂ C −→ R, φi : Ω −→ , 1 ≤ i ≤ 3, solucoes do sistemade equacoes:

φi =∂Fi

∂z3∑

j,k=1

gjkφjφk 6= 0

3∑

j,k=1

gjkφjφk = 0

∂φi∂z

+3∑

j,k=1

Γijkφkφj = 0

(1)

Entao F = (F1, F2, F3) define uma imersao mınima conforme em M3.

Se a variedade Riemanniana for um grupo de Lie com metrica invariante aesquerda, considerando Ei, 1 ≤ i ≤ 3 uma base de campos de vetores ortonormaise invariantes a esquerda e ∂

∂xi, 1 ≤ i ≤ 3 campos de vetores coordenadas em M ,

temos:

Página-101

φ =3∑

i=1

φi∂

∂xi=

3∑

i=1

ψiEi.

Com isso, no caso em que a variedade Riemanniana e um grupo de Lie commetrica invariante a esquerda, podemos reescrever a condicao dada pelo sistema deequacoes (1) da seguinte forma:

Sejam (G, g) um grupo de Lie tridimensional com metrica g, x1, x2, x3 coor-denadas locais e Fi : Ω ⊂ C −→ R, ψi : Ω −→ , 1 ≤ i ≤ 3, solucoes do sistema deequacoes:

φi =∂Fi

∂z, φi =

∑

j

Aijψj

3∑

j,k=1

ψiψi 6= 0

3∑

j,k=1

ψ2j = 0

∂ψi

∂z+

1

2

3∑

j,k=1

φkφjLijk = 0

(2)

Entao F = (F1, F2, F3) define uma imersao mınima conforme em G.

O grupo de Heisenberg e um grupo de Lie que possui a seguinte representacaoem GL3(R):

1 x z + xy

20 1 y0 0 1

O plano hiperbolico H2 = (x1, x2) ∈ R2 : x2 > 0 e um grupo de Lie que possui

a seguinte metrica invariante a esquerda gH =(dx2

1 + dx22)

x22

. Podemos considerar

H2 × R como um grupo com relacao a operacao ∗ dada por

x ∗ y = (x1, x2, x3) ∗ (y1, y2, y3) = (y1x2 + x1, x2y2, x3 + y3)

Em H3, o sistema (2) pode ser escrito como:

φi =∂Fi

∂z, φi =

∑

j

Aijψj

3∑

j,k=1

ψiψi 6= 0

3∑

j,k=1

ψ2j = 0

∂ψ1

∂z+Re(ψ2ψ3) = 0

∂ψ2

∂z−Re(ψ1ψ3) = 0

∂ψ3

∂z− iIm(ψ1ψ2) = 0

(3)

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De forma analoga se obtem de (2) um sistema de equacoes como condicao ne-cessaria para que uma imersao F seja mınima em H2 × R. A tarefa de determinarexemplos de superfıcies mınimas nesses espacos se resume a encontrar imersoes Fque sejam solucoes desses sistemas de equacoes.

Referencias

[1] BARBOSA, J.L.M., COLARES, A. G., Minimal surfaces in R3, Lecture Notesin Mathematics, 1995, Springer-Verlag, Berlin (1986).

[2] CARMO, M. P. DO, Geometria Riemanniana, Impa, Rio de Janeiro (2005).

[3] CHURCHILL, R.V., Variaveis complexas e suas aplicacoes, McGraw-Hill, SaoPaulo (1975), 19-120.

[4] FIGUEROA, C.B., MERCORI, F., PEDROSA, R. H. L., Invariant surfices ofthe Heisenberg group, Ann. Mat. Pura Appl., 177(4), (1999), 173-194.

[5] MARTIN. S., BARREIRA, L. A., Algebras de Lie, Ed. Unicamp, Sao Paulo(1999), 15-35.

[6] MERCORI, F., PIU, P., MOTALDO, S., A Weierstrass Representation formulafor Minimal Surfaces in H3 and H2 × R, Acta Mathematica Sinica, 22n 6,Springer-Velag,(2006), 1603-1612.

[7] NELLI, B., ROSENBERG, H., Minimal surfaces in H2 ×R, Bull. Braz. Math.Soc. (N.s), 33, (2002), 263-292.

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Compacidade no espaco C(K; Rm): o teorema de Arzela-Ascoli

Marcel L. P. Nascimento Rafaela G. Brito∗

Universidade Federal do Amapa - UNIFAP

Rod. Juscelino Kubitschek, KM-02 Jardim Marco Zero

68903-419, Macapa, AP

E-mails: [email protected] rafaella [email protected]

RESUMO

Uma das diferencas marcantes entre o Rn, ou mais geralmente entre um espacode dimensao finita, e C(K; Rm) e sobre a caracterizacao dos conjuntos compactos,por exemplo, um conjunto fechado e limitado de C(K; Rm) nao e necessariamentecompacto. A caracterizacao dos conjuntos compactos de funcoes contınuas e dadapelo Teorema de Arzela-Ascoli e possui diversas aplicacoes. Essa caraterizacao eimportante na demonstracao da existencia de solucoes de equacoes diferenciais eequacoes integrais, bem como em muitos problemas de Analise Matematica.

O Espaco C(K; Rm)

Seja K um subconjunto compacto de Rn e considere

C(K; Rm) = f : K → Rm; f e funcao contınua.

C(K; Rm) e espaco vetorial de dimensao infinita. E a norma natural de C(K; Rm)e a norma ∥ · ∥∞ definida por ∥f∥∞ = max∥f(x)∥;x ∈ K, onde ∥.∥ e uma normaqualquer de Rm. O espaco C(K; Rm) e um espaco de Banach, munido da suanorma natural, ∥.∥∞, dessa forma alguns importantes teoremas de Analise do Rn

sao validos para este espaco tambem.

Teorema de Arzela-Ascoli

Vamos iniciar o estudo do teorema de Arzela-Ascoli com um exemplo que trabalhauma bola fechada que nao e compacta no espaco C([0, 1]; R).Seja a bola fechada B = f ∈ C([0, 1]; R); ∥f∥∞ ≤ 1, este conjunto apesar deser fechado e limitado nao e compacto em C([0, 1]; R). De fato, seja

fk(x) =x2

x2 + (1 − kx)2, x ∈ [0, 1].

Podemos ver que ∥fk∥∞ ≤ 1 e que fk → 0 pontualmente em [0, 1]. Se B fosse com-pacto a sequencia fk admitiria uma subsequencia convergente, necessariamente azero, o que e impossıvel, pois ∥f∥∞ = |fk(1/k)| = 1.Antes de trabalharmos o teorema de Arzela-Ascoli precisamos da seguinte definicaode conjunto equicontınuo.

∗Bolsista de Iniciacao Cientıfica CNPq

1

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Definicao de conjunto equicontınuo: dizemos que X ⊂ C(K; Rm) e equi-contınuo se ∀ε > 0 existe δ > 0 tal que se x, y ∈ K e ∥x − y∥ < δ, entao∥f(x) − f(y)∥ < ε ∀f ∈ X .

Se X ⊂ C(K; Rm), denotamos X (x) = f(x)| f ∈ X.

Exemplo 1 Para n ≥ 2 e t ∈ [0, 1] definimos

xn(t) =

nt, se 0 ≤ t ≤ 1/n;2 − nt, se 1/n ≤ t ≤ 2/n;

0, se 2/n ≤ t ≤ 1.

Seja X = xn; n ≥ 2 ⊂ C([0, 1]) temos que xn(t) → 0 para todo t ∈ [0, 1], mas Xnao e equicontınuo no ponto t0 = 0.

Exemplo 2 Dados [a, b] ⊂ R com a < b e M > 0, o conjunto

X = f ∈ C(1)([a, b]); ∥f ′∥ ≤ M

(onde ∥f ′∥ = supa≤t≤b |f ′(t)|), e equicontınuo. De fato, dado t0 ∈ [a, b], para todo

t ∈ [a, b] e f ∈ X , temos |f(t) − f(t0)| = |∫ t

t0

f ′(s)ds| ≤∫ t

t0

|f ′(s)|ds ≤ |t − t0|M,

donde segue o resultado.

Teorema de Arzela-Ascoli 1 Seja X subconjunto fechado de C(K; Rm). EntaoX e compacto em C(K; Rm) se e somente se X e equicontınuo, e para todo x ∈ K,X (x) e compacto em Rm.

Demonstracao: (⇒) Suponhamos X compacto em C(K; Rm). Seja x0 ∈ K,provaremos que X (x0) e compacto em Rm. Consideremos ξk uma sequencia deX (x0), por definicao, existe fk ∈ X tal que fk(x0) = ξk. Como X e compacto, eC(K; Rm) e um espaco vetorial normado, fk admite subsequencia fki

tal quefki

→ f uniformemente, para algum f ∈ X . Em particular ξki= fki

(x0) → f(x0) ∈X (x0), logo X (x0) e compacto em Rm. Provaremos que X e equicontınuo. Dadoε > 0, consideremos a cobertura Bε(f)f∈X de X , onde

Bε(f) = g ∈ C(K; Rm); ∥g − f∥∞ < ε.

Como X e compacto, existem f1, f2, . . . , fk em X tais que X ⊂ ∪ki=1 Bε(fi). Como

cada fi e contınua em K e K e compacto, entao fi e uniformemente contınua emK, assim: ∃δi > 0 tal que ∥x − y∥ < δi ⇒ ∥fi(x) − fi(y)∥ < ε.Seja δ = minδ1, δ2, . . . , δk. Se f ∈ X , entao f ∈ Bε(fio) para algum i0 = 1, . . . , ke se ∥x − y∥ < δ, entao

∥f(x) − f(y)∥ ≤ ∥f(x) − fi0(x)∥ + ∥fi0(x) − fi0(y)∥ + ∥fi0(y) − f(y)∥≤ 2∥f − fi0∥∞ + ∥fi0(x) − fi0(y)∥.

Mas ∥fi0(x) − fi0(y)∥ < ε/2, pois ∥x − y∥ < δ ≤ δi0 e ∥f − fi0∥∞ < ε/4 poisf ∈ Bε(fi0). Portanto, ∥f(x) − f(y)∥ < ε, logo X e equicontınuo.(⇐) Consideremos fk uma sequencia qualquer de X e X equicontınuo, dado ε >0, ∃δ > 0 tal que

∥x − y∥ < δ ⇒ ∥fk(x) − fk(y)∥ < ε ∀k ∈ N. (1)

Seja Bδ(x)x∈K cobertura de K. Entao existem x1, x2, . . . , xl ∈ K tais que K ⊂∪lj=1 Bδ(xj). Por hipotese X (x1) e compacto, entao fk(x1) ⊂ X (x1) admite uma

2

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subsequencia fki(x1) convergente para um elemento de X (x1). Como X (x2) e

compacto, fk(x2) admite subsequencia fki(x2) convergente para um elemento

de X (x2). E assim sucessivamente, construımos uma subsequencia de fk, fki

que converge pontualmente em xj , ∀j = 1, 2, . . . , l. Logo ∃i0 ∈ N tal que

i, i′ ≥ i0 ⇒ ∥fki(xj) − fk′

i(xj)∥ < ε j = 1, 2, . . . , l. (2)

Tomemos x ∈ K, entao x ∈ Bδ(xj0) para algum j0. Se i, i′ ≥ i0, entao

∥fki(x) − fk′

i(x)∥ ≤ ∥fki

(x) − fki(xj0)∥ + ∥fki

(xj0) − fk′i(xj0)∥ + ∥fk′

i(xj0) − fk′

i(x)∥.

Como ∥x − y∥ < δ, de (1): ∥fki(x) − fki

(xj0)∥ < ε/3 e ∥fk′i(xj0) − fk′

i(x)∥ < ε/3.

Alem disso, de (2) se i, i′ ≥ i0, ∥fki(xj0) − fk′

i(xj0)∥ < ε/3. Como i0 nao depende

de x, concluımos que fki converge uniformemente para algum f ∈ C(K; Rm). Em

particular f ∈ X = X , pois X e subconjunto fechado. Logo X e compacto.

Este teorema pode ser modificado enfraquecendo suas hipoteses, sem que seuresultado perca sua forca e importancia, uma vez que garante que pelo menos acompacidade relativa. Podemos enuncia-lo como segue:

Teorema de Arzela-Ascoli 2 Seja K ⊂ Rn compacto e X ⊂ C(K; Rm). EntaoX e relativamente compacto em C(K; Rm) se e somente se X e equicontınuo e paratodo x ∈ K, X (x) e limitado de Rm.

Conclusao

Como aplicacao do teorema de Arzela-Ascoli, temos o teorema de Cauchy-Peanosobre existencia de solucoes para problemas de valor inicial, que enunciamos a seguir:

“Seja Ω ∈ R2 aberto, f : Ω → R uma funcao contınua e (x0, y0) ∈ Ω. Entaoexiste r > 0 e ao menos uma funcao de classe C1 φ : [x0 − r, x0 + r] → R tal queφ(x0) = y0 satisfazendo φ′(x) = f(x, φ(x)), ∀x ∈ (x0 − r, x0 + r).”Este e apenas um exemplo de aplicacao do teorema estudado neste trabalho. Nossosobjetivos futuros sao a demonstracao do teorema de Cauchy-Peano e um pequenoestudo de algumas aplicacoes do teorema de Ascoli na analise funcional.

Referencias

[1] CIPOLATTI, R. Calculo Avancado I. 2.ed. Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2002.

[2] HONING, C. S. Aplicacoes da topologia a analise. Sao Paulo: Editora Livraria daFısica 2011 - (Colecao textos universitarios do IME - USP; v.4).

[3] LIMA, E. L. Curso de Analise, Vol.2. 11.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2015.

3

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Aplicacao de calculo vetorial na determinacao do potencialeletrostatico considerando o modelo contınuo do solvente

Leonardo H. F. Silva∗ Thaıs K. Lima†

Instituto de Quımica, UFU

Av. Joao Naves de Avila 2121


E-mail:[email protected] [email protected]

Erika Maria Chioca LopesFaculdade de Matematica, UFU

Av. Joao Naves de Avila 2121



Introducao

O estudo de disciplinas como calculo e algebra linear no curso de quımica muitas vezes acontece deforma abstrata, de modo que a ideia de aplicacao de muitos conceitos demonstrados nao e percebidapelos discentes. Um destes assuntos e o calculo vetorial. Queremos com este trabalho apresentar umaaplicacao do calculo vetorial a alguns conceitos da Quımica.

O calculo vetorial nao possui uma aplicacao tao ampla no cotidiano de um laboratorio quımico.Entretanto, e fundamental para a explicacao de conceitos fısicos e teoricos para esclarecer como acontecea solvatacao de uma molecula. Como ciencia que estuda as transforacoes da materia, tais transformacoes,em sua maioria, acontecem na fase lıquida.

A interacao entre soluto e solvente e descrita por uma propriedade termodinamica que mede a afini-dade do soluto com um solvente conhecida como energia livre de solvatacao (∆G∗solv). Essa propriedadeesta relacionada com o potencial eletrostatico gerado pelo soluto e pelo solvente. O objetivo do estudodescrito neste trabalho e determinar o potencial eletrostatico do solvente considerando o modelo contınuodo solvente.

1 Referencial teorico

Considerando ja conhecidos os conceitos de fluxo de um campo vetorial, integral de superfıcie e campoeletrico, vamos enunciar os resultados matematicos e fısicos que serao necessarios a aplicacao que pre-tendemos mostrar.[2]

Teorema da divergencia: O fluxo de um campo vetorial ~F atraves de uma superfıcie S fechada eorientada, no sentido do campo ~n de versores normais exteriores da superfıcie, e igual a integral de ∇· ~Fsobre a regiao D limitada pela superfıcie:

∫ ∫

S

~F · ~n dσ =

∫ ∫ ∫

D

∇ · ~F dV (1)

Propriedade: Seja uma funcao escalar f e uma funcao vetorial ~P , entao:

∇ · (f ~P ) = (∇f) · ~P + f∇ · ~P (2)

Dipolo eletrico (~µ): Duas cargas iguais e opostas, separadas por uma pequena distancia, formam umdipolo eletrico.

O campo eletrico e a distribuicao de potencial produzidos por esta configuracao de carga podem serdeterminados pela Lei de Gauss.

∗Discente Bacharelado em Quımica Industrial†Discente Bacharelado em Quımica Industrial

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Lei de Gauss em um dieletrico: A lei de Gauss estabelece que o fluxo eletrico atraves de umasuperfıcie arbitraria fechada e proporcional a carga total encerrada pela superfıcie.[3]

Sendo ϕdip o potencial eletrostatico gerado por um dipolo em um ponto ~R, onde ~r e a posicao dodipolo e ε0 e a permissividade eletrica no vacuo, temos:

ϕdip(~R) =1

4πε0

~µ · (~R− ~r)|~R− ~r|3

(3)

Ao aplicarmos a lei de Gauss a uma regiao que contem cargas imersas em um dieletrico, devemos tercuidado para incluir todas as cargas na superfıcie gaussiana, tanto a carga de polarizacao, como a cargaimersa no dieletrico (~µ) . A equacao (4) demonstra o potencial eletrostatico gerado por um contınuo

dieletrico ~P em um ponto ~R. ~P e o campo vetorial formado pelos dipolos que atuam na presenca de umcampo eletrico ~E, sendo dado por ~P = χ~E, onde χ e a susceptibilidade eletrica do meio. Assim:

ϕd(~R) =1

4πε0

∫∫∫

d

~P · (~R− ~r)|~R− ~r|3

dV (4)

A equacao (4) representa corretamente o potencial eletrostatico gerado pelo contınuo dieletrico, entre-tanto seria mais util se transformada em uma forma que envolvesse cargas ao inves de dipolos. Umatransformacao deste tipo e possıvel com o auxılio da propriedade descrita pela equacao (2), substituindof por 1

|~R−~r| .

∇ ·[

~P

|~R− ~r|

]=∇ · ~P|~R− ~r|

+ ~P · (~R− ~r)|~R− ~r|3

(5)

Distribuicao de cargas superficial (σ) : e o quociente entre a quantidade de carga distribuıda pela

superfıcie e sua area, isto e, σ = ~P · ~n.

Distribuicao de cargas volumetrica (ρ): e o quociente entre a quantidade de carga distribuıda pela

superfıcie e seu volume, isto e, ρ = −∇ · ~P .

2 Aplicacao

Seja uma molecula de um soluto A uma carga pontual no centro de uma esfera de raio r, soluto estedelimitado por uma superfıcie S1 e imerso em um solvente B que apresente um momento de dipolo (porexemplo: formoldeıdo em solucao aquosa). As moleculas do solvente B se movimentam em volta de A einteragem atraves de interacoes intermoleculares (Figura 1).

Para determinar a energia livre de solvatacao, serao consideradas apenas as interacoes eletrostaticas,considerando o solvente como um contınuo dieletrico, substituindo as moleculas explıcitas do solventepor dipolos pontuais, possuindo um momento de dipolo (~µ).

Figura 1: Molecula do soluto delimitado por S1 interagindo com o solvente ~P . Fonte: os autores.

Substituindo a equacao (5) na equacao (4), temos:

ϕd(~R) =1

4πε0

∫∫∫

d

~∇ ·[

~P

|~R− ~r|

]dV − 1

4πε0

∫∫∫

d

~∇ · ~P|~R− ~r|

dV (6)

Página-110

Considerando que a superfıcie S2 delimita o solvente e o meio exterior, podemos aplicar o teoremada divergencia na primeira integral da equacao (6), obtendo:

ϕd(~R) =1

4πε0

∫∫

S1+S2

~P · ~n|~R− ~r|

dA+1

4πε0

∫∫∫

d

−~∇ · ~P|~R− ~r|

dV (7)

e, usando as definicoes de σ e ρ, podemos reescreve-la como:

ϕd(~R) =1

4πε0

∫∫

S1+S2

σ

|~R− ~r|dA+

1

4πε0

∫∫∫

d

ρ

|~R− ~r|dV (8)

Vamos agora interpretar a equacao (8). No primeiro termo do lado direito, o qual corresponde auma integral de superfıcie, σ e a densidade de carga superficial, com contribuicoes das superfıcies S1

e S2. Ja no segundo termo, ρ corresponde a uma densidade volumetrica de carga, de forma que estaintegral estaria representando o potencial eletrostatico gerado por estas cargas localizadas dentro dodieletrico. Deste modo, o potencial eletrostatico produzido por dipolos e definido pela equacao (4) podeser representado pela equacao (8), na forma de densidade de carga de volume e superfıcie. Este resultadoe muito interessante e util para mais desenvolvimento teorico [1].

Referencias

[1] PLIEGO JR., J. R. Modelos contınuos do solvente: fundamentos. Quımica Nova, v. 29, n. 3, p.535-542, 2006.

[2] THOMAS, G. B. Calculo. v. 2. Sao Paulo: Pearson Education, 2006.

[3] REITZ, J. R.; MILFORD, F. J.; CHRISTY, R. W. Fundamentos da Teoria Eletromagnetica. Riode Janeiro: Editora Campus, 1982.

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1



Análise de variância multivariada não paramétrica aplicada a estações

meteorológicas da Universidade Federal de Uberlândia

Bruna Queiroz de M. Prado1 Taynara Tatiane Rodrigues

Faculdade de Matemática, UFU Faculdade de Engenharia Química, UFU

Av. João Naves de Avila, 2121 Av. João Naves de Avila, 2121

38408-100, Uberlândia, MG 38408-100, Uberlândia, MG Emails: [email protected] [email protected]

José Waldemar da Silva Janser Moura Pereira

Faculdade de Matemática, UFU Av. João Naves de Avila, 2121

38408-100, Uberlândia, MG Emails: [email protected] [email protected]

RESUMO

O clima vem assumindo grande destaque nas últimas décadas, e compreendendo a importância do clima

e suas repercussões na organização do espaço, devem ser destacados estudos que identifiquem a variabilidade

climática. Assim, o objeto do presente trabalho é verificar se existe diferença entre as quatro estações

meteorológicas da Universidade Federal de Uberlândia (UFU), em relação às variáveis climatológicas

precipitação e umidade relativa do ar, por meio da Análise de Variância Multivariada Não Paramétrica

(NPMANOVA), onde foi possível confirmar a diferença entre as estações e verificar, em pares, quais delas

diferem entre si.

Introdução

O clima vem assumindo um posto de destaque nas últimas décadas, sobretudo com a crescente

preocupação com a degradação ambiental e com a contínua depleção dos recursos naturais, sendo considerado

elemento-chave capaz de direcionar as ações do homem, que é o agente, a princípio, teoricamente apto a intervir

no ambiente [3].

Compreendendo a importância do clima e suas repercussões na organização do espaço, devem ser

destacados estudos que identifiquem a variabilidade climática. Somente através da compreensão de tal

comportamento, será possível compreender a influência exercida pelo clima na sociedade [2].

A precipitação é amplamente reconhecida por muitos pesquisadores como a variável climatológica mais

importante na região tropical [5]. Já a umidade relativa do ar tem importância fundamental em muitas áreas de

aplicação, principalmente aquelas direcionadas ao setor agropecuário, como a conservação de

grãos armazenados, a sanidade e o crescimento de plantas, assim como o conforto térmico animal [7].

Os métodos não paramétricos não são limitados pela necessidade de imposição de distribuições

populacionais específicas, tendo assim ampla aplicação na análise de dados. Além disso, em geral as diferenças

existentes entre grupos ou populações não são dependentes apenas de uma variável, e sim de um conjunto delas,

fator esse que evidencia a necessidade de se realizar análises multivariadas sempre que possível [6].

Assim, o objeto do presente trabalho é verificar a diferença existente entre quatro estações

meteorológicas da Universidade Federal de Uberlândia (UFU) em relação às variáveis climatológicas

precipitação e umidade relativa do ar, do período de janeiro de 2011 a agosto de 2013, por meio da Análise de

Variância Multivariada Não Paramétrica, sendo as estações em estudo a estação Santa Mônica, Glória, Água

Limpa e Capim Branco.

1 Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

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2



Metodologia

A Análise de Variância Multivariada tem como finalidade verificar se os vetores de médias

populacionais são significativamente diferentes e, caso sejam, quais os componentes destes vetores diferem

significativamente. As suposições do modelo são a independência das amostras aleatórias de diferentes

populações, matriz de covariâncias comum a todas as populações e a normalidade multivariada para cada

população [6]. Dentre os métodos para detecção de normalidade univariada, um teste bastante citado na literatura é o

de Shapiro & Wilk (1965), que consiste na regressão das observações ordenadas contra os valores das estatísticas

de ordem da distribuição padronizada assumida. Já para a detecção de normalidade multivariada, tem-se o teste

de Shapiro & Wilk multivariado, baseado na generalização do teste univariado [6]. Na Análise de Variância Multivariada Não-Paramétrica (NPMANOVA), não é necessária a

pressuposição de normalidade multivariada dos dados, apenas pressupõe-se que as amostras são independentes e

provenientes de uma mesma distribuição. As inferências são feitas sobre a distribuição, e não sobre os

parâmetros [6]. No software estatístico PAST, a NPMANOVA calcula os valores de F de forma análoga à ANOVA. A

significância é calculada permutando as amostras entre grupos, com 9.999 réplicas, podendo esse número ser

alterado pelo usuário [4]. O método não paramétrico baseado em testes de permutação para a análise de variância

multivariada é calculada diretamente de qualquer distância simétrica ou matriz de dissimilaridade, com os

valores-p obtidos usando permutações.

Esse método não paramétrico utiliza a ideia de que a soma de quadrados entre os pontos e seus

centroides é igual à soma de quadrados das distâncias entre pontos, dividida pelo número de postos, sendo

possível assim obter a subdivisão diretamente das distâncias entre pontos [1]. No presente trabalho a distância

utilizada foi a medida semi-métrica de Bray-Curtis.

Portanto, para realização do teste, calcula-se uma matriz de distâncias entre todos os pares de

observações a partir da matriz dos dados originais, e obtêm-se a soma de quadrados total e dentro dos grupos. A

partir desses dois valores, encontra-se a variação obtida entre grupos. Calculando-se a razão entre a soma de

quadrados entre os grupos dividida pelo seu respectivo grau de liberdade, pela soma de quadrados dentro dos

grupos pelo seu respectivo grau de liberdade [1], tem-se uma pseudo razão F para testar a hipótese de interesse

tanto no caso multivariado quanto no caso univariado.

Assim, tem-se que uma distribuição da estatística F sob a hipótese nula pode ser criada usando

permutações das observações, ou seja, supondo que a hipótese nula é verdadeira e os grupos não diferem em

termos de suas composições, as observações multivariadas podem ser trocadas entre os diferentes grupos. Para

cada uma dessas M permutações, um valor da estatística F (F#) é calculado e comparado com o valor de F obtido

a partir do ordenamento original e o valor-p é dado por P = (nº de F# ≥ F) / M. O número de resultados possíveis

para estatística do teste pode crescer rapidamente e assim utiliza-se um subconjunto aleatório de todas as

possíveis permutações [1].

Resultados e Discussões

O teste de Shapiro & Wilk multivariado foi aplicado aos resíduos a fim de verificar a normalidade

multivariada dos dados, sendo as hipóteses do teste: 𝐻0: Os dados possuem distribuição normal multivariada

versus 𝐻1: Os dados não possuem distribuição normal multivariada. De acordo com o resultado do teste,

considerando um nível de significância de 5%, tem-se a rejeição da hipótese nula (p-valor < 0,001), confirmando

assim que os dados não possuem distribuição normal multivariada, justificando a utilização da técnica não

paramétrica da análise de variância multivariada.

De acordo com os resultados obtidos por meio da NPMANOVA, com permutação das amostras entre

grupos com 9.999 réplicas, quando considera-se um nível de significância de 5% tem-se que as estações

meteorológicas da UFU não apresentam diferença significativa (p-valor = 0,0556), porém, ao nível de

significância de 10%, as estações apresentam diferença significativa em relação às variáveis climatológicas

precipitação e umidade relativa do ar.

Já em relação a quais pares são diferentes significativamente, ao nível de significância de 5%, tem-se

que a estação Santa Mônica se difere das estações Água Limpa e Capim Branco. A estação Santa Mônica não se

difere apenas da estação Glória, e as estações Glória, Água Limpa e Capim Branco não apresentaram diferença

significativa, como mostra a Tabela 1, onde p-valores maiores que 0,05 indicam que não há diferença

significativa entre os pares de estações.

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3



Tabela 1: Resultados da análise de variância multivariada não paramétrica no software Past.

ESTAÇÕES P-VALOR

Santa Mônica × Gloria 0,3552

Santa Mônica × Água Limpa 0,0479

Santa Mônica × Capim Branco 0,0295

Gloria × Água Limpa 0,1584

Gloria × Capim Branco 0,0812

Água Limpa × Capim Branco 0,4620

Conclusão

Por meio da aplicação da análise de variância multivariada não paramétrica foi possível confirmar que

existe diferença entre as quatro estações meteorológicas da Universidade Federal de Uberlândia (UFU) em

relação as variáveis climatológicas precipitação e umidade. De acordo com os resultados par-a-par, tem-se que a

estação Santa Mônica se difere das estações Capim Branco e Água Limpa, e não se difere da estação Glória.

Tem-se ainda que as estações Gloria, Capim Branco e Água Limpa não apresentaram diferença significativa em

relação à essas variáveis.

Referências Bibliográficas

[1] ANDERSON, M. J. A new method for nonparametric multivariate analysis of variance.

Austral Ecology, v. 26, p. 32-46, 2001.

[2] ANDRIUCCI, L. R.; SANTÁNNA NETO, J. L. Valorização Ambiental: uma abordagem

teórica das relações entre estudos climáticos e as análises econômicas. Revista brasileira de

climatologia. Presidente Prudente, SP. v.02. P103-119. 2006.

[3] CUNHA, D. G. F; VECCHIA, F. As abordagens clássica e dinâmica do clima: uma

revisão bibliográfica aplicada ao tema da compreensão da realidade climática. Ciência e

Natureza, UFSM, 29 (1): 137 – 149, 2007.

[4] HAMMER, Ø., HARPER, D.A.T. & RYAN, P.D. 2001. PAST – Palaeontological

statistics. http://folk.uio.no/ohammer/past/ (último acesso em 01/08/2015).

[5] MORAIS, B. C. de; COSTA, J. M. N, da; COSTA, A. C. L. da; COSTA, M. H. Variação

espacial e temporal da precipitação no estado do Pará. Acta Amazonica, v. 35(2), p. 207-214,

2005.

[6] PONTES, A. C. F. Análise de variância multivariada com a utilização de testes não-

paramétricos e componentes principais baseados em matrizes de postos. 2005. Tese

(Doutorado em Estatística Experimental) – Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz,

Universidade de São Paulo, 2005.

[7] SILVA, T. G. F. DA; ZOLNIER, S.; MOURA M. S. B. DE; SEDIYAMA, G. C.;

SOUZA, L. S. B. DE. Umidade relativa do ar: estimativa e espacialização para o estado de

Pernambuco. In: Congresso Brasileiro de Agrometeorologia, 15., 2007, Aracaju. Anais...

Aracaju: Sociedade Brasileira de Agrometeorologia e EMBRAPA/Tabuleiros Costeiros.

2007.

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1



Estudo da similaridade entre estações climatológicas por meio das

variáveis umidade e precipitação

Bruna Queiroz de M. Prado1 Taynara Tatiane Rodrigues

Faculdade de Matemática, UFU Faculdade de Engenharia Química, UFU

Av. João Naves de Avila, 2121 Av. João Naves de Avila, 2121

38408-100, Uberlândia, MG 38408-100, Uberlândia, MG Emails: [email protected] [email protected]

José Waldemar da Silva Janser Moura Pereira

Faculdade de Matemática, UFU Av. João Naves de Avila, 2121

38408-100, Uberlândia, MG Emails: [email protected] [email protected]

RESUMO

O interesse pelo estudo climático tem se intensificado nos últimos anos, em particular nas cidades que

estão mais sujeitas a impactos provenientes das atividades meteorológicas. A análise de agrupamento é uma

técnica multivariada que tem sido utilizada na climatologia para a definição de regiões climáticas homogêneas,

pois busca agrupar elementos de dados de forma a obter-se homogeneidade dentro dos grupos e heterogeneidade

entre eles. Assim, o presente trabalho tem como objetivo analisar por meio da análise de agrupamento a

similaridade entre quatro estações meteorológicas da Universidade Federal de Uberlândia (UFU) em relação às

variáveis climatológicas umidade relativa do ar e precipitação.

Introdução

O interesse pelo estudo climático tem se intensificado nos últimos anos, em particular nas cidades que

estão mais sujeitas a impactos provenientes das atividades meteorológicas. O clima é um dos aspectos que

expressa à relação entre a sociedade e a organização econômica e social do espaço urbano, posto que, eventos

extremos que estejam ligados à temperatura ou às precipitações repercutem na qualidade de vida da população

que habita as grandes cidades [6].

A precipitação é a variável climatológica mais importante nos trópicos, e está diretamente relacionadas

com a convecção local [7]. Já a umidade é um componente importante da atmosfera, por afetar desde o

comportamento e o bem estar dos seres humanos até a qualidade dos bens produzidos e o rendimento dos

vegetais cultivados [4].

A análise de agrupamento tem sido utilizada na climatologia para a definição de regiões climáticas

homogêneas. Abordem desta temática pode ser vista em [3], um trabalho de destaque nesta área, onde os autores

aplicaram o método de Ward no agrupamento dos meses com pluviosidade mensal semelhante. Neste mesmo

trabalho, agrupou-se localidades com pluviosidade similar, formando assim as regiões homogêneas.

Diante do exposto, o objetivo do trabalho é analisar a similaridade de quatro estações meteorológicas da

Universidade Federal de Uberlândia (UFU), sendo essas a Santa Mônica, Capim Branco, Glória e Água Limpa,

em relação as variáveis climatológicas umidade relativa do ar e precipitação, no período de janeiro de 2011 a

agosto de 2013.

Metodologia

A análise de cluster busca agrupar elementos de dados de forma a obter-se homogeneidade dentro dos

grupos e heterogeneidade entre eles. A maioria dos métodos de análise de cluster requer uma medida de

1 Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

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2



similaridade entre os elementos a serem agrupados, normalmente expressa como uma função distância ou

métrica [2]. A maneira mais usual de calcular a distância entre dois pontos a e b no espaço n-dimensional é

conhecida por distância euclidiana (𝑥𝑎𝑏) e é dada por 𝑥𝑎𝑏2 = ∑ (𝑑𝑎𝑗 − 𝑑𝑏𝑗)

𝑛𝑗=1 ².

No chamado método de Ward a formação dos grupos se dá pela maximização da homogeneidade dentro

dos grupos, isto é, o método tenta minimizar a soma de quadrados dentro do grupo. Os grupos formados em cada

passo são resultantes de grupo solução com a menor soma de quadrados [8].

O critério R² semiparcial calcula a redução proporcional na variância devido à junção entre dois

clusters. Valores pequenos indicam que os dois clusters podem ser considerados um só, enquanto valores altos

para o critério R² semiparcial indicam que os clusters unidos são provavelmente diferentes [1].

Resultados e Discussões

Quando se analisa a similaridade entre as quatro estações climatológicas em relação a umidade relativa

do ar, tem-se com a formação de dois clusters a divisão das estações Gloria, Água Limpa e Capim Branco em

um cluster e a estação Santa Mônica em outro cluster. Quando se analisa o R² semiparcial, como mostra a Tabela

1, percebe-se que o valor apresenta um grande salto comparando a formação de dois cluster com a formação de

um cluster, indicando assim que os clusters unidos são provavelmente diferentes. Assim tem-se a seleção de dois

clusters que representam conjuntamente 84% da variabilidade máxima das partições. Logo pode-se dizer que a

estação Santa Mônica se diferencia das demais estações em relação a umidade. Em [5] pode-se ver um trabalho

em que a seleção do número de clusters também se dá por meio da análise dos valores de R² semiparcial e R², na

qual os autores selecionaram quatro clusters que representavam 62% da variabilidade máxima.

Já quando se trata da similaridade das estações em relação a variável precipitação, tem-se com a

formação de dois clusters a divisão das estações Santa Mônica e Gloria em um grupo, e as estações Água Limpa

e Capim Branco em outro grupo. O valor do R² semiparcial apresenta também um grande salto comparando a

formação de dois clusters com a formação de um cluster, indicando que os clusters unidos são diferentes. Dessa

forma, tem-se novamente a seleção de dois clusters, que representam conjuntamente 73% da variabilidade

máxima das partições. Logo, em relação a precipitação, tem-se que a estação Santa Mônica e Gloria são

similares, porém se diferem das estações Água Limpa e Capim Branco, que entre si também apresentam

similaridade.

Tabela 1: Contribuições parciais (𝑅2 semiparcial) para os clusters.

Número de Clusters Umidade Precipitação

R² Semiparcial R² R² Semiparcial R²

3 0,0277 0,9720 0,0879 0,9120

2 0,1288 0,8440 0,1786 0,7330

1 0,8436 0,0000 0,7335 0,0000

A Figura 1 é referente aos dendogramas resultantes da análise, sendo o primeiro dendograma referente

aos clusters formados em relação à variável umidade e o segundo dendograma referente aos clusters formados

em relação à variável precipitação.

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3



Figura 1: Dendogramas referentes as variáveis umidade e a precipitação, respectivamente.

Conclusão

Logo, pode-se dizer que a análise de agrupamento se mostrou bastante eficaz para avaliar a similaridade

entre as quatro estações meteorológicas da Universidade Federal de Uberlândia, onde obteve como resultado que

a estação Santa Mônica se diferencia das demais estações em relação a umidade relativa do ar, enquanto que em

relação a precipitação, as estações Santa Mônica e Glória são similares entre si e diferentes das estações Água

Limpa e Capim Branco, que também são similares entre si.

Referências Bibliográficas

[1] CARVALHO, A. X. Y.; ALBUQUERQUE, P. H. M.; ALMEIDA JUNIOR, G. R.;

GUIMARÃES, R. D.; LAURETO, C. R. Clusterização hierárquica espacial com atributos

binários. Revista Brasileira de Biometria, São Paulo, v. 29, n. 1, p. 147-197, 2011.

[2] DONI, M. V. Análise de cluster: métodos hierárquicos e de Particionamento. São Paulo:

Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo, 2004.

[3] LYRA, G. B., GARCIA, B. I. L., STEFANO, S. M. de P., SEDIYAMA, G.C. &

SENTELHAS, P. C. Regiões homogêneas e funções de distribuição de probabilidade da

precipitação pluvial no Estado de Táchira, Venezuela. R. Pesq. Agropec. Bras., Brasília,

41:205-215, 2006. [4] MARIN, F.R.; ANGELOCCI, L.R.; COELHO FILHO, M.A.; VILLA NOVA, N.A.

Construção e avaliação de psicrômetro aspirado de termopar. Scientia Agricola, v. 58, p.839-

844, 2001.

[5] MAIA, A. G.; QUADROS, W. Dinâmica das ocupações no Brasil em duas décadas de

baixo crescimento econômico. Revista da ABET, v. 9, n. 2, p. 143-161, 2010. [6] MENDES. P. C. A gênese espacial das chuvas na cidade de Uberlândia (MG). Dissertação

(Mestrado em Geografia) – Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2001.

[7] MOLION, L. C. B., BERNARDO, S. O. Dinâmica das Chuvas no Nordeste Brasileiro. XI

Congresso Brasileiro de Meteorologia, 1334 – 1342, 2000.

[8] SHARMA, S. Applied multivariate techniques. New York: John Wiley & Sons, 1996.

Página-119

Página-120


Cadeias de Toda: das simetrias ao caos

Mateus C. P. dos Santos ∗ Paulo E. G. AssisInstituto de Fısica e Quımica




RESUMO

A caracterizacao de um sistema dinamico nao-linear e uma tarefa importantepara a Fısica, contribuindo para os estudos de sistemas praticos complexos. Nestetrabalho damos continuidade ao estudo das cadeias de Toda, um sistema Hamilto-niano exatamente integravel cujas cargas conservadas podem ser construıdas combase no formalismo de Lax. Mais precisamente, gostarıamos de compreender comoproduzir - caso possıvel - um comportamento caotico associado a esse modelo nao-linear. Espera-se que as simetrias escondidas devem inibir um regime turbulento, demodo que seja necessario modificar a dinamica do problema. Nossa atencao estaravoltada as possibilidades de se quebrar a intetegrabilidade do sistema com o intuitode gerar eventualmente o caos.

1 Introducao

O estudo de sistemas compostos por muitas partıculas interagentes, apesar de des-crever importantes fenomenos da natureza, representa um consideravel desafio da Fısicacontemporanea, uma vez que suas respectivas solucoes exatas e simulacoes numericas saolaboriosas. Ha, contudo, uma certa classe de sistemas fısicos nao-triviais constituıdos porinumeros corpos que apresentam a vantagem de poderem ser caracterizados em qualquerinstante de tempo; em outras palavras, possuem solucoes em forma fechada. Estes saochamados de sistemas integraveis.

Outra classe de sistemas dinanicos nao lineares importantes sao os sistemas caoticos,caracterizados pela sensibilidade as condicoes iniciais. Eles foram discutidos primeira-mente pelo matematico frances Henri Poincare, ha mais de 100 anos, mas a origem dopensamento caotico nao tem datas nem autores confirmados. Seu surgimento e ligado aoestudo da dinamica celeste, incluindo entao Newton, Galileu , etc, como possıveis pioneiros[3]. O assunto da dinamica caotica ficou muito tempo adormecido, mas com o surgimentoe avanco das tecnicas computacionais esses modelos tornaram-se muito uteis em descreversistemas reais, apresentando aplicacoes em diversas areas como: meteorologia, modelospara o surgimento de turbulencia, modelos biologicos, crescimento populacional, etc.

Nas proximas secoes revisaremos algumas propriedades do modelo de Toda, com suasformulacoes de Lax e de Hamilton, e discutiremos as propriedades principais dos sistemascaoticos, tendo em mente produzir caos para uma deformacao da cadeia de Toda.

∗Bolsista de Iniciacao Cientıfica PIBIC/Fapeg

Página-121

2 Cadeia de Toda

O modelo de Toda e uma rede unidimensional constituıda por N corpos interagentes,caracterizada pela interacao que depende exponencialmente da distancia entre os corposinterligados [5], sendo descrito pelas seguintes equacoes de movimento:

Qn = Pn, (1)

Pn = e−(Qn−Qn−1) − e−(Qn+1−Qn), (2)

onde Qn e a posicao e Pn e o momento linear do n-esimo corpo da rede.Elas podem ser obtidas atraves do formalismo Hamiltoniano a partir da energia total

do sistema [4],

H =N∑

k=1

[P 2k

2+ e−(Qk+1−Qk)

], (3)

de acordo com as chamadas equacoes de Hamilton,

Qn =∂H

∂Pn, Pn = − ∂H

∂Qn

. (4)

E conveniente, porem, reescrever as equacoes do movimento do modelo em termos dachamada equacao de Lax [1],

dL

dt= [M,L], (5)

onde M e L sao matrizes quadradas N ×N , chamadas de pares de Lax, que sao expressasem termos de Qn e Pn. A vantagem dessa formulacao e que, uma vez conhecidas asformas explıcitas desses objetos, pode-se construir um conjunto de cargas conservadasque garantem estabilidade ao sistema. De fato, tomando-se o traco das potencias damatriz L obtemos objetos que nao variam no tempo,

Jn = TrLn =

N∑

k=1

λnk , (6)

onde λn e o autovalor da matriz L.A forma das cargas conservadas acima e decorrencia - mesmo que de certa forma

indireta - da simetria escondida nos pares Lax. Porem esta nao e uma caracterısticaexclusiva do modelo Cadeia de Toda, existem diversos modelos para os quais podem-seassociar outros tipos de pares de Lax.

2.1 A Cadeia de Toda como um Sistema Caotico

A cadeia de Toda e um sistema integravel e bem comportado, onde podemos des-crever seu comportamento a longo prazo. Porem ao modificar sua lei de formacao, estepode assumir um possıvel comportamento caotico, ou seja, transformar um sistema pre-visıvel em um sistema totalmente turbulento. Embora com a perda da integrabilidadea formulacao de Lax se torne invalida, o fato da cadeia de Toda ser um sistema Ha-miltoniano faz com que consigamos analisar significativamente ainda que com certas li-mitacoes o comportamento do sistema atraves de teoremas como de Liouville e o teoremade Kolmogorov-Arnold-Moser (Teorema KAM) [2].

Página-122

A identificacao de um sistema caotico ainda e um assunto de estudo na dinamica naolinear, onde uma das formas de faze-lo e utilizar os Expoentes de Lyapunov. Este metodofoi proposto pelo matematico russo A. M. Lyapunov e possui a caracterıstica de quantificara sensibilidade de um sistema dinamico as condicoes iniciais [4]. O expoente de Lyapunov(λ) representa o coeficiente de distanciamento medio exponencial entre dois estados deum sistema dinamico por unidade de tempo, onde apos n interacoes o distanciamento ζnentre estes estados sao dados por:

ζn = εenλ, (7)

onde ε e a distancia inicial entre os dois estados.Assim, admitindo os estados como f(x) e f(x+ ε) pode-se mostrar que o expoente de

Lyapunov quando n −→∞ pode ser apresentando como:

λ = limn→∞

1

n

n−1∑

i=0

ln

∣∣∣∣df(xi)

dx

∣∣∣∣ . (8)

A quantificacao do sistema e feita a partir da analise do valor do expoente de Lyapunov,onde λ > 0 indica que o sistema possui uma sensibilidade as condicoes inciais, ou seja,um indicativo de sistema caotico.

3 Conclusao

Neste trabalho vimos que o modelo Cadeia de Toda e um sistema Hamiltoniano cujassimetrias sao suficientes para que este seja caracterizado em todos os instantes de tempo,onde estas nos levaram as quantidades conservadas no tempo.

Tratamos tambem do modelo de Toda do ponto de vista caotico, onde espera-se quemodificando sua lei de formacao, o sistema se comporte de maneira turbulenta, apresen-tando novas propriedades caracterısticas de um possıvel sistema caotico. Tais objetoscitados, foram feitos condicionalmente para sistemas pequenos, porem ha uma serie deaplicacoes em problemas praticos.

Referencias

[1] LAX, P. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm.Pure Applied Math. 1968.

[2] MOREIRA, I.Sistemas Caoiticos em Fısica. Revista Brasileira de Ensino de Fısica,v. 15, 1993.

[3] PALIS, J. Sistemas Caoticos ou Turbulentos. Matematica Universitaria, N9/10. Riode Janeiro: 1989.

[4] THORNTON, S. T.; MARION, J. B. Classical Dynamics of Particles and Systems.Boston, USA: Ed. Brooks/Cole Cengage Learning, 2008.

[5] TODA, M. Theory of Nonlinear Lattice. Springer-Verlag. Berlin: 1989.

Página-123

Página-124



EDUCAKIDS: UM JOGO EDUCACIONAL PARA AUXÍLIO AO

ENSINO E APRENDIZAGEM

José de Sá Borges Júnior, Luanna Lopes Lobato e Thiago Jabur Bittar

Departamento de Ciência da Computação, UFG Av. Dr, Lamartine P. de Avelar, 1120

75704-020, Catalão, GO

[email protected], luannalobato, [email protected]

RESUMO

Nas últimas décadas percebe-se que os avanços tecnológicos estão cada vez mais

próximos ao dia a dia das pessoas, sejam para utilização enquanto necessidade ou

mesmo para entretenimento. Tal avanço possibilitou, de maneira especial, que novos

métodos de ensino pudessem ser inseridos à aprendizagem. Assim, os jogos digitais

educativos podem ser considerados como um instrumento adicional ao ensino e

aprendizagem, possibilitando desenvolver o conhecimento e habilidades do público

para qual é destinado. Neste artigo é apresentado um jogo digital educativo,

desenvolvido para o público infantil, de modo a possibilitar que, por meio deste,

possa haver suporte para o ensino e aprendizagem nas salas de aula para o ensino de

Matemática.

Palavras-chave: Engenharia de Software; Jogos Educativos; Jogos Digitais; Matemática.

1. Introdução

Os jogos digitais Web podem ser utilizados como apoio ao ensino e aprendizagem,

incorporando conteúdos educacionais em seus enredos. Tal recurso tem se mostrado uma

solução viável para o desafio de tornar os métodos de ensino cada vez mais atrativos aos

usuários, proporcionando um ambiente interativo e desafiador, onde são apresentados o

material educativo, o que traz estímulo ao raciocínio. Adicionalmente, por meio dos jogos

digitais, pode-se prover a interação colaborativa com outros jogadores, o que permite que os

mesmos compartilhem conhecimento e sintam-se motivados a utilizar o jogo [Bittar et al.

2009].

Para tanto, este trabalho teve por objetivo o desenvolvimento de um jogo digital

educativo utilizando a plataforma de criação de jogos Stencyl, a qual permite criar jogos para

computadores, dispositivos móveis e Web, com o apoio de outras ferramentas. O

desenvolvimento do jogo foi calculado na relevância do uso de jogos digitais educacionais

para o ensino, tendo como público alvo crianças de 06 à 10 anos. Neste jogo são apresentados

tópicos referentes a Matemática, em que a criança deve ultrapassar os desafios e, com isso,

aprender enquanto joga. Assim, espera-se que com o uso do jogo o raciocínio seja estimulado

por meio de respostas a alguns desafios (perguntas) apresentados.

Página-125



2. Estado da Arte

2.1 Jogos Digitais

Com vistas a facilitar o desenvolvimento dos jogos digitais, diferentes ferramentas ou

plataformas têm sido desenvolvidas, as quais apresentam características em comum e

diferenciadas. Dentre elas pode-se citar o Stencyl, o qual foi utilizado como plataforma para

desenvolvimento do jogo apresentado neste artigo, o Unreal Engine, Unity – Game Engine e

Construct2. A ferramenta a ser utilizada depende das características que se busca alcançar e,

principalmente, da familiaridade do desenvolvedor com esta, de modo que várias plataformas

têm sido propostas e já se encontram estáveis e difundidas na área de desenvolvimento de

software.

2.2 Jogos Digitais Educacionais

Como o mundo está mais tecnológico e os aparelhos eletrônicos estão cada vez mais fazendo

parte da vida de todos, incorporar jogos digitais com a educação parece uma maneira

interessante e atrativa para o ensino e aprendizagem.

No entanto, para se desenvolver jogos de boa qualidade espera-se que haja um estudo

criterioso, por parte dos desenvolvedores e pedagogos, a fim de identificar as melhores

estratégias a serem aplicadas, assim como os temas necessários a serem retratados. Neste

sentido, deve-se buscar uma maior integração entre os desenvolvedores de jogos digitais

educativos com profissionais da área da educação, tendo como objetivo principal agrupar o

prazer de jogar com as práticas educativas e metodologias pedagógicas, fazendo com que os

usuários obtenham no final os resultados esperados, seja em conhecimento adquirido como

em entretenimento.

Para tanto, esta pesquisa contou com o envolvimento de profissionais da área da

Computação e Educação, de modo que ideias pudessem ser compartilhadas para o

desenvolvimento do jogo digital educacional voltado para o ensino da Matemática.

3. Desenvolvimento do Trabalho O jogo desenvolvido é focado no ensino da Matemática, em que o nível de dificuldade é

aumentado a cada nova pergunta. Tal estratégia foi aplicada no jogo para instigar o usuário,

neste caso a criança, a trabalhar com o raciocínio e entretenimento. Se o usuário informar

alguma resposta errada será apresentado uma tela de erro, para mostrar ao usuário que ele

errou, e a resposta correta será exibida, com vistas a prover o conhecimento.

A seguir, uma nova pergunta pode ser apresentada se o usuário desejar continuar no

jogo. Isto foi feito de modo a estimular a criança a continuar e alcançar o objetivo final, que é

ter um maior conhecimento e acertar o máximo de perguntas dentre as 12 elaboradas

inicialmente. O jogo digital educativo é recomendado para auxiliar professores e pais a trazer

conhecimento e diversão para suas crianças enquanto aprendem sobre Matemática.

3.1 O jogo digital educacional desenvolvido

Página-126



Na figura 1 a seguir, é apresentada a tela de uma das fases do jogo. Conforme dito no tópico

inicial 12 fases foram desenvolvidas, porém, devido a limitação de páginas do artigo não

poderão ser apresentadas.

Figura 1 - Jogo EducaKids

4. Análise dos Resultados Durante a realização da fase de testes do jogo, foram identificadas algumas melhorias que

deveriam ser adicionadas ao mesmo, de modo que este pudesse se tornar mais atrativo aos

jogadores. Tendo sido implementado todos os requisitos identificados ao jogo, este por sua

vez, foi testado por usuários. Neste sentido, percebeu-se que o mesmo cumpre com os seus

objetivos, que é trazer conhecimento e diversão para as crianças, possuindo perguntas

relacionadas à Matemática, com um nível fácil e outras que exigem um pouco mais de

conhecimento.

Apesar dos vários benefícios inerentes à utilização de jogos digitais educacionais,

percebe-se que estes precisam ser melhores inseridos no contexto da educação, de modo que

possam, de fato, serem utilizados no dia a dia dos estudantes, não apenas fora da escola e

simplesmente pelo prazer em jogar, mas também, como método auxiliar ao ensino.

5. Conclusões e Trabalhos Futuros Através do desenvolvimento do jogo pode-se concluir que jogos digitais têm uma grande

importância no mundo informatizado de hoje e, sendo educativos, podem ser utilizados como

auxílio na vida educacional. Como trabalho futuro, pretende-se ampliar o jogo desenvolvido

para outros públicos, de modo que aspectos pedagógicos sejam seguidos e perguntas

relacionadas ao ensino da Matemática sejam adicionadas. Adicionalmente, um estudo de caso

será proposto, com o objetivo de medir o nível de aprendizagem do público-alvo.

Referências

BITTAR, T. J. , LOBATO, L. L. , CINTRA, A. R. , PERES, D. A. e BRUM, R. P., (2009).

Desafios Sobre o Desenvolvimento de Jogos Web: Um Estudo Prático. In: Proceedings of

XXXV Latin American Informatics Conference, 2009.

Página-127

Página-128



A contribuição do PIBID no processo de ensino e

aprendizagem Matemática de estudantes do 6 º ao 8 º ano do

Ensino Fundamental

Paulo Vinícius Pereira de Lima1

Graduando em Matemática,

Faculdade Projeção, DF Área Especial 8 - QNG 46, Área Especial 8 - Taguatinga,

Brasília - DF, 72130-460


Phelipe Rocha Cardoso

Especialização em Educação Matemática,

Universidade Católica de Brasília, DF

QS 07, Lote 01, EPCT, s/n - Águas Claras, Brasília - DF, 71966-700


Daniela Sousa Lima

Mestrado em Educação Matemática,

Universidade de Brasília, DF Campus Universitário Darcy Ribeiro, Brasília - DF, 70910-900


RESUMO

O ensino de Matemática vem passando por diversas mudanças significativas, que surgem da

tentativa de superar velhos métodos de ensino que hoje já não são tão eficazes para o processo de

aprendizagem de Matemática. Isso tem contribuído para que o professor busque cada vez mais novas

metodologias, a fim de despertar no aluno o interesse pela disciplina, tornando-se, assim, agente ativo

nesse processo de aprendizagem. D’ Ambrósio (1991, p.1) afirma que “[...] há algo errado com a

Matemática que estamos ensinando. O conteúdo que tentamos passar adiante através dos sistemas

escolares é obsoleto, desinteressante e inútil”. Diante disso, desenvolve-se, desde 2014, o ensino da

Matemática baseado na resolução de problemas com grupos de estudantes, em situação de dificuldade

de aprendizagem, atendidos pelo Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID)

Matemática da Faculdade Projeção. O programa acontece em contra turno, em duas escolas públicas

do Distrito Federal. Decidiu-se trabalhar em grupo, pois, segundo SMOLE e DINIZ (2001, p.27) “em

grupo há possibilidades de se descobrir preferências, negociarem soluções, diluir dificuldades, durante

este processo são evidenciados diferentes modos de pensamento sobre as ideias surgidas nas

discussões, o que permite o desenvolvimento de habilidades de raciocínio, como investigação,

inferência, reflexão e argumentação”. Por meio do trabalho em grupo e da resolução de problemas é

que os estudantes desenvolvem novas habilidades e competências que facilitam o processo de

aprendizagem escolar.

Nesta pesquisa, o foco está no trabalho junto a um grupo de estudantes que cursava do 6º ao 8º

anos do Ensino Fundamental, em que elaboramos uma avaliação diagnóstica a fim de identificar a

1Bolsista de Iniciação Científica CAPES/PIBID.

Página-129



afinidade deste grupo com a Matemática. A avaliação revelou-nos que noventa por cento dos alunos

tinham aversão à Matemática, por acharem a disciplina chata, cansativa, obrigatória, dentre outros

fatores. Diante disso, o projeto tomou por objetivos: 1/ Despertar o interesse pela aprendizagem

Matemática através do ensino com materiais manipuláveis; 2/ Promover aos estudantes condições para

um bom rendimento escolar; 3/ Melhorar e contribuir com o processo de ensino-aprendizagem da

Matemática; 4/ Contribuir para a formação de cidadãos críticos, ativos e participativos perante a

sociedade.

Desta forma, foram analisados os resultados apresentados pelos estudantes durante a

realização do projeto na escola. As atividades foram planejadas e executadas ao longo de um semestre,

com encontros semanais de 1h 30 de duração, tendo como meta a exploração de novos recursos para o

ensino de Matemática. Posteriormente, foi feita uma análise do desenvolvimento dos alunos e das suas

produções, revelando que a maioria dos estudantes apresentou melhoria após participarem do projeto,

quanto ao desempenho em Matemática, e alguns melhoraram, inclusive, o desempenho em outras

disciplinas escolares. Foi possível perceber que os estudantes avançaram conceitualmente ao mesmo

tempo que construíam novas estratégias de aprendizagem matemática, a partir das oportunidades

oferecidas pelo projeto.

Diante disso, entendemos que ensinar Matemática, com ênfase na resolução de problemas e do

trabalho em grupo, possibilita a criação de espaços de reflexão de aprendizagem entre docentes e

estudantes. Tal método mostrou-se altamente eficaz para o desenvolvimento profissional do professor

de Matemática, visto que promove o aprimoramento de sua prática, à medida em que promove a ação

e reflexão a partir da produção matemática de estudantes integrantes do projeto.

Referências

[1] D’AMBRÓSIO, U. Matemática, ensino e educação: uma proposta global. Temas &

Debates,São Paulo, 1991.

[2] DA SILVA, Valeida Anahí; Por que e para que aprender matemática?. São Paulo:

Cortez editora, 2009.

[3] SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Ler, escrever e resolver problemas. Porto

Alegre: Artmed, 2001, p.204.

Página-130



As contribuições da resolução de problemas para a

aprendizagem Matemática

Paulo Vinícius Pereira de Lima Graduando em Matemática,

Faculdade Projeção, DF Área Especial 8 - QNG 46, Área Especial 8 - Taguatinga,



Gabriele Oliveira dos Santos

Graduanda em Matemática,

Faculdade Projeção, DF

Área Especial 8 - QNG 46, Área Especial 8 - Taguatinga, Brasília - DF, 72130-460


Ana Cristina Pereira Lima

Graduanda em Matemática, Faculdade Projeção, DF

Área Especial 8 - QNG 46, Área Especial 8 - Taguatinga,



RESUMO

A matemática nos anos finais do fundamental tem se tornado um desafio tanto para alunos

quanto para professores, pois muitas vezes ela é vista pelos estudantes como uma disciplina

complicada se tornando pouco interessante, o que tem contribuído para que o aluno tenha um papel

passivo e indiferente. Nesse sentido a resolução de problemas vem como uma ferramenta de desafio

proporcionando ao aluno o desenvolvimento de novas habilidades podendo assim tomar gosto pela

disciplina. De acordo com Dante “devemos propor aos estudantes várias estratégias de resolução de

problemas, mostrando-lhes que não existe uma única estratégia. A resolução de problemas não deve se

constituir em experiências repetitivas, através da aplicação dos mesmos problemas (com outros

números) resolvidos pelas mesmas estratégias. O interessante é resolver diferentes problemas com

uma mesma estratégia e aplicar diferentes estratégias para resolver um mesmo problema. Isso

facilitará a ação futura dos alunos diante de um problema novo.” (DANTE, 1991).

Diante disso, temos desenvolvido no PIBID de Matemática da Faculdade Projeção o ensino

matemático baseado na resolução de problemas, na tentativa de que os estudantes se tornem

questionadores e criativos ao solucionarem problemas matemáticos, tomando por objetivo promover

aos estudantes um ensino mais significativo para que se tornem cidadãos críticos, ativos e

participativos perante a sociedade. O projeto foi realizado em 2014, juntamente com estudantes de

uma escola pública do Distrito Federal do 7º e 9º ano do Ensino Fundamental com dificuldades em

aprendizagem matemática, em que levamos oficinas que abordam problemas matemáticos ligados ao

cotidiano dos alunos que são estimulados a resolver esses problemas usando diferentes estratégias para

que dessa maneira possam realmente aprender o conteúdo abordado e aplicar de maneira significativa

quando necessário.

Página-131



Acreditamos que a aprendizagem por meio de resolução de problemas é uma das maneiras

mais acessíveis para que os alunos relacione a realidade vivida por eles com o conteúdo abordado,

pois esse método permite despertar nos alunos a criatividade, a intuição, o interesse por resolver

problemas de várias maneiras e não somente por um modelo padronizado. Segundo os Parâmetros

Curriculares Nacionais (1998) “A importância da resolução está no fato de possibilitar aos alunos

mobilizarem conhecimentos e desenvolverem a capacidade para gerenciar as informações que estão ao

seu alcance dentro e fora de sala de aula. Assim, os alunos terão oportunidades de ampliar seus

conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como do mundo em geral e

desenvolver sua autoconfiança”.

Diante disso, para atingir os objetivos ao qual essa pesquisa se propõe, o projeto foi realizado

no âmbito escolar com estudantes de escola publica, com oficinas e praticas pedagógicas elaboradas

de acordo com a realidade dos estudantes, podendo assim proporcionar uma aprendizagem matemática

eficaz. Após a realização desse trabalho foram feita discussões sobre as resoluções de problemas feitas

pelos alunos a fim de identificar as diversas soluções adotadas por estes, bem como suas principais

dificuldades.

Os resultados mostram que o ensino baseado na resolução de problemas pode despertar a

curiosidade dos alunos em buscar novas estratégias e soluções para um determinado problema e

motivá-los a ter interesse matemático, podendo assim desenvolver a capacidades de solucionar

situações do cotidiano, sendo o professor peça fundamental para que esse processo ocorra de forma

significativa, propondo atividades que despertem o entusiasmo dos estudantes, para que estes possam

ter acesso ao conjunto de conhecimentos necessários ao exercício da cidadania.

Referências

[1] DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 2. ed. São Paulo:

Ática, 1991.

[2] MEC (1998) Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos: apresentação dos

temas transversais – 1998. Secretaria de Educação Fundamental, Ministério da Educação e do

Desporto, Brasília, DF.

[3] SMOLE, Kátia C.S. e CENTURIÓN, Marilia. A matemática de jornais e revistas. RPM n.º

20, 1.º quadrimestre de 1992

Página-132

1


QUADRADO MÁGICO E TANGRAM: UMA APRENDIZAGEM

SIGNIFICATIVA PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO

FUNDAMENTAL II

Fernanda Leite Azevedo1

Universidade Estadual de Feira de Santana, UEFS Avenida Transnordestina, s/n - Novo Horizonte

Feira de Santana - BA, 44036-900 Email: [email protected]

Iale Pinheiro Neves Marques1



Camila Soares Sodré1



RESUMO

Neste pôster, abordaremos duas atividades envolvendo as tendências: Resolução Problemas e História da Matemática. Com relação à Resolução de Problemas aplicamos uma atividade com o quadrado mágico. O quadrado mágico, nesse caso, é constituído por um quadrado 3x3, que a soma de suas diagonais, verticais e horizontais obtêm o mesmo resultado. E com relação à História da Matemática, abordamos o conceito de geometria através da história do tangram. O tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa que consiste de sete peças, das quais cinco triângulos, um quadrado e um paralelogramo. Estas atividades foram desenvolvidas em uma turma de 6º ano\5ª série do ensino fundamental II, regular da Escola Municipal Chico Mendes, na cidade de Feira de Santana. A experiência aqui mencionada foi planejada da seguinte maneira: primeiro momento, a qual as ministrantes apresentaram o quadrado mágico e em seguida aplicaram a atividade com o mesmo. No segundo momento as ministrantes trouxeram a história do tangram e abordaram o assunto de geometria através dele. Inicialmente, as ministrantes solicitaram que os alunos através do quadrado mágico obtivessem a soma de 15, foi entregue para os alunos emborrachados cortados que tinham numeração de 1 a 9. Os alunos tiveram grande dificuldade, pois não sabiam nem somar, muitos ainda usava os dedos, para auxiliar no resultado. Diante disso, as ministrantes interviram, para que os alunos entendessem a proposta. Finalmente os alunos conseguiram. Em seguida, apresentou-se outro quadrado, cujo objetivo dessa vez era obter a soma de 24, com a numeração de 4 a 12. Os alunos, no entanto, não tiveram tanta dificuldade quanto na anterior, em que eles começaram a usar suas próprias técnicas. Em seguida, aplicaram a segunda atividade, na qual apresentaram a história do tangram trazendo também os conceitos de figuras geométricos, envolvendo o tangram, a princípio perguntaram se eles conheciam algumas dessas figuras geométricas. Os alunos apresentaram dificuldades para reconhecer o paralelogramo. Distribuíram o tangram confeccionado pelas ministrantes, a fim de que, os alunos criassem figuram com as sete peças geométricas, trabalhando sua a criatividade e seu

1 Bolsistas do PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência).

Página-133

2


raciocínio, pelo fato que tinham uma série de figuras que poderiam ser formadas com as sete peças sem sobrepor nenhuma. Nessa atividade, podemos verificar que as tendências História da Matemática e Resolução de Problemas fazem com que os alunos busquem maneiras diferentes para resolver questões, além de tornar a aula mais atrativa e através do uso das tendências eles se tornam sujeitos praticantes e não apenas ouvintes, como as aulas expositivas os tornam. Depois dos alunos terem participado de uma aula diferente do que estavam acostumados, podemos perceber que eles interagiram, aprenderam, além de verificar a concentração dos mesmos em meio à atividade, observamos também a empolgação dos alunos. Dentro do que foi exposto aqui, consideramos que a aula com algum recurso pode ser bem mais aproveitável. É necessário que as aulas de matemáticas sejam mais interativas e dinâmicas, fazendo com que os alunos deixem de ser meros copiadores, para que a aula se torne mais participativa, em busca de uma aprendizagem mais significativa. Palavras-chave: Quadrado mágico; Tendências; Tangram. Referências DEMO, Pedro. Educar pela pesquisa. 5 ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2002. OLIVEIRA, José Sávio; ALVES, Angela Xavier; Neves, Sandra do Socorro. História da

matemática: contribuições e descobertas para o ensino-aprendizagem de matemática. Artigo. ONUCHIC, L.; ZUFFI, E. O ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de

problemas e o processo cognitivos superiores. Revista Iberoamericana de matemática, 2007, 79-97.

Página-134

3


ANEXO

Ministrante explicando sobre o quadrado mágico. Quadrado mágico

Apresentação da história do tangram Figura feita por um aluno com Tangram

Página-135

Página-136



Facilitar a Aprendizagem nas Aulas de Matemática: Uma Experiência

com a Estratégia de Ensino Júri Simulado

Lucy A. Gutiérrez de Alcântara1 Nayara Longo Sartor

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Mato Grosso, IFMT

Linha J, Quadra 08 – Setor Chácara 78320-000, Juína, MT


RESUMO

O ensino da Matemática tem como objetivo principal contribuir para a formação da cidadania,

promovendo a inovação e o desenvolvimento da sociedade. No entanto, o insucesso na Disciplina tem

atingido um alto número de alunos em todo o seu percurso acadêmico. Para uma efetiva aprendizagem em

Matemática, é importante que o professor utilize diferentes estratégias de ensino que possam facilitar a

compreensão do discente, tornando as aulas mais dinâmicas e proporcionando a melhoria dos resultados.

A construção do conhecimento é resultado da capacidade do aluno em aprender, e do professor em

ensinar e, por meio desse conhecimento, possibilitar a intervenção e transformação da realidade, recriando-

a, como afirma Freire [3]: “A nossa capacidade de aprender, de que decorre a de ensinar, sugere ou, mais

do que isso, implica a nossa habilidade de apreender a substantividade do objeto aprendido” (p. 67).

Quando faz sentido para o aluno o que está sendo ensinado, podemos evitar a memorização e a mera

transferência de conteúdo; caso contrário, corremos o risco de diminuir a sua curiosidade e impossibilitar a

sua interferência na realidade.

Neste contexto, no processo de aprendizagem, é interessante usar múltiplas técnicas, pois são

múltiplos os objetivos de aprendizagem, que, segundo Masetto [4], são os “[...] de conhecimento, de

habilidades e competências, afetivo-emocionais e de atitudes ou valores” (p. 87). Ele afirma que “não é

possível querermos ajudar os alunos a conseguirem tantos objetivos usando apenas uma ou duas técnicas”

(p. 87). Ao variá-las, podemos proporcionar o aprendizado a todos os discentes, atendendo às diferenças

individuais que formam uma turma. Para o autor, há várias maneiras de o aluno aprender, enquanto uns

aprendem ouvindo, outros aprendem debatendo ou dialogando, também por meio de atividades individuais

ou coletivas. Portanto, “Uma única maneira de dar aulas favorecerá sempre os mesmos e prejudicará

sempre os mesmos” (p. 88). Masetto [4] assegura que a variação de técnicas também contribui na melhoria

da prática do professor, porque, ao variar a sua metodologia, “[...] também para ele o curso se torna

dinâmico, desafiador, na medida em que exige renovação, informação sobre estratégias, flexibilidade,

criatividade ao dar aulas” (p. 88).

São muitas as estratégias que podemos utilizar, mas, neste estudo, será enfocado o Júri Simulado. Esta

é uma estratégia de ensino que permite a discussão dos vários pontos de um mesmo tema, divide opiniões,

auxilia no processo de construção e desconstrução de conceitos, promove o senso crítico, a participação e a

reflexão. Segundo Alves e Anastasiou [1], a estratégia se baseia na simulação de um júri em que o grupo

analisa e avalia um fato real a partir de um problema, com objetividade e realismo, por meio de argumentos

de defesa e de acusação. Os autores expressam que a estratégia do Júri Simulado estimula nos alunos as

operações dos seguintes pensamentos: “Imaginação/ Interpretação/ Crítica/ Comparação/ Análise/

Levantamento de hipóteses/ Busca de suposições/ Decisão” (s/p).

Segundo Alves e Anastasiou [1], a dinâmica da referida estratégia é dividida em três etapas:

1. Partir de um problema concreto e objetivo, estudado e conhecido pelos

participantes.

2. Um estudante fará o papel do juiz e outro o de escrivão. Os demais

componentes da classe serão divididos em quatro grupos: promotoria, de um a

quatro estudantes; defesa, com igual número; conselho de sentença, com sete

estudantes; e o plenário com os demais.

1 Professora da EBTT.

Página-137



3. A promotoria e a defesa devem ter alguns dias para a preparação dos

trabalhos, sob a orientação do professor – cada parte terá 15 min para apresentar

seus argumentos.

O juiz manterá a ordem dos trabalhos e formulará os quesitos ao conselho de

sentença; O escrivão tem a responsabilidade de fazer o relatório dos trabalhos; O

conselho de sentença, após ouvir os argumentos de ambas as partes, apresenta sua

decisão final; O plenário é encarregado de observar o desempenho da promotoria e

da defesa e fazer uma apreciação final sobre a sua desenvoltura (s/p).

Alves e Anastasiou [1] reforçam que a estratégia de um júri simulado permite aos alunos “a

possibilidade da realização de inúmeras operações de pensamento, como: defesa de ideias, argumentação,

julgamento, tomada de decisão, etc.” (s/p). O espírito de dramaturgia deixa a atividade interessante, pois

consegue envolver todos os discentes, independente da função que irão desempenhar. Além disso, como

afirmam as autoras supracitadas, “Essa estratégia envolve todos os momentos da construção do

conhecimento, da mobilização à síntese, possibilitando ainda o envolvimento de todos os estudantes” (s/p).

A estratégia em si pode ser considerada um instrumento de avaliação, pois, durante o seu desenvolvimento,

possibilita ao professor e aos alunos observarem alguns processos cognitivos, tais como: expressão oral,

análise crítica, tomada de decisão, entre outros.

O propósito deste trabalho é analisar a aplicação da estratégia de ensino Júri Simulado, nas aulas de

Matemática, na turma do 2º Ano do Curso Técnico em Meio Ambiente Integrado ao Ensino Médio no

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Mato Grosso (IFMT) – Campus Juína. Com

antecedência, propusemos a estratégia aos 21 alunos da turma, que, para ser aplicada, necessitava de

voluntários para a função de juiz, o qual mediaria a apresentação; quatro advogados, que indicariam,

individualmente, um colega que atuaria como testemunha, que os auxiliaria na resolução das questões

propostas e nas suas defesas, e os demais seriam os jurados, com o poder de, por meio do voto, escolherem

a melhor defesa. Ficou decidido que uma aluna desempenharia o papel de juíza. Também foram indicadas

três duplas masculinas e uma feminina.

No dia combinado, apresentamos duas questões impressas que abordavam dois conteúdos que haviam

sido concluídos: Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG). Estabelecemos em 30 minutos

o tempo para a resolução das questões. Enquanto os quatro advogados, juntamente com as suas

testemunhas e a juíza, resolviam as questões, coube aos demais a organização da sala em formato de

tribunal, dispondo uma carteira à frente para a juíza, quatro de cada lado para os advogados e testemunhas

e, ao fundo, somente cadeiras aos jurados. A estes, apresentamos as questões em Power Point para que

conhecessem o seu teor e elaborassem o seu pensamento.

Decorrido o prazo estipulado, iniciamos o julgamento, momento em que a juíza convocou cada

advogado para fazer a defesa, no quadro, da primeira questão, que era objetiva. Alguns alunos mudaram a

entonação da voz, demonstrando veemência na sua defesa; outros foram mais contidos. O que chamou a

nossa atenção foi que, dentre as resoluções, dois advogados e a juíza acertaram e um advogado e uma

advogada erraram. O fato de esta ter utilizado uma resolução algébrica equacionando o problema, tornando-

a, de certa forma, mais complexa, com maior rigor matemático, impressionou os jurados, fazendo com que

optassem por uma das respostas incorretas. Ela estaria certa se não fosse a interpretação equivocada do

enunciado. Sabemos que, na resolução de questões objetivas, dependendo da interpretação, o discente pode

ser levado a escolher uma resposta que não é a correta dentre as alternativas oferecidas.

Os demais demonstraram de formas diferentes as resoluções e utilizaram, basicamente, a fórmula do

termo geral de uma PG e regra de três para determinar a porcentagem procurada. Na sequência, a juíza

convocou os advogados para defenderem a resolução da segunda questão, que era aberta e tratava-se de um

problema que abordava a soma dos termos de uma PA. Da mesma forma, eles explanaram as suas defesas,

mas, desta vez, os jurados escolheram a única resposta que estava correta. Os outros, juntamente com a

juíza, haviam errado. A escolha dos jurados ocorreu em função da demonstração da resolução e na

coerência do resultado obtido pela dupla, que permitiu verificar, por meio da estimativa, que aquele

resultado era o mais provável.

Além da nossa observação, foi proposta aos alunos uma avaliação em forma de relatório, em duplas,

em que descreveram a estratégia e expressaram suas percepções em relação à metodologia. Seguem abaixo

alguns fragmentos desses relatos.

A dinâmica foi interessante, participativa e eficiente, pois mostra aos alunos que

cada pessoa acha uma maneira de obter um resultado que nem sempre é o certo,

mas convincente. Essa diferença de resultados entre os colegas atiça a curiosidade

e o desempenho do aluno a obter o resultado correto. A dinâmica foi uma maneira

divertida de aprender matemática, interativa (Juíza e Jurada 13).

Página-138



Creio que o modo de resolução das perguntas em forma de debates teve a maior

compreensão dos alunos, e percebemos que os alunos ficaram entretidos com as

atividades propostas pela professora. [...] foi uma atividade interativa, onde todos

os alunos participaram, e não foi uma aula enjoada (Jurado11 e Jurado12).

[...] gostamos da aula, achamos que funcionou legal, assim podemos observar e

debater os resultados. Nós aprovamos, achamos que a dinâmica deveria ser

repetida durante o decorrer do ano. As testemunhas auxiliaram muito bem seus

advogados, houve total compreensão, foi uma forma divertida de aprender (Jurada7

e Jurada8).

Ao analisarmos os relatos, constatamos que a estratégia do Júri Simulado possibilitou a realização de

inúmeras operações de pensamento, além de tornar a aula mais atrativa e envolvente. Os alunos assumiram

um papel mais ativo, ouviram outras opiniões, compartilharam e se sentiram responsáveis pela sua

aprendizagem. Não foram indicadas as respostas corretas pela professora e nem disponibilizadas

informações em relação às questões, estabelecendo, assim, a curiosidade. Dessa forma, acreditamos ter

proporcionado aos alunos a vontade de aprender e, como afirma Arroyo [2], “O ofício de ensinar-aprender

se fundamenta sobretudo na consciência de que as novas gerações e todos nós temos do que não sabemos,

da vontade de saber mais, do que chamamos curiosidade” (p. 55). Ademais, a curiosidade gera a

criatividade, como afirma Freire [3]: “Não haveria criatividade sem a curiosidade que nos move e que nos

põe pacientemente impacientes diante do mundo que não fizemos, acrescentando a ele algo que fizemos”

(p. 33).

Então, aproveitando a curiosidade, propusemos que buscassem na internet os resultados corretos, pois

se tratava de questões de vestibular, e combinamos a correção para a aula seguinte. Na semana

subsequente, nas aulas de Matemática, os alunos interpelaram a docente a respeito da resolução das

questões. Alguns haviam buscado a resolução dos exercícios na internet e a explanaram à turma e à

professora, cabendo a esta apenas complementar as informações.

Durante o desenvolvimento da proposta observamos que a estratégia foi provocadora para a

professora, que, ao adotar uma nova visão, precisava romper com o tradicional para atuar de modo

diferente. Assim, houve a necessidade de modificar a dinâmica da sala de aula e ainda lidar com a incerteza

do resultado, pois a forma de conduzir a aula exigia uma postura ágil e gerenciamento de reações

inesperadas dos alunos, além de controlar o tempo, um fator importante na introdução de novas

metodologias.

Em relação ao ensino da Matemática, possibilitamos um aprendizado além de simplesmente calcular,

pois surgiram discussões capazes de promover um ensino por meio do qual o aluno foi colocado em contato

com desafios que permitiram desenvolver soluções compartilhadas através de situações que o enredaram

em um cenário de criatividade e ludicidade. Consequentemente, a estratégia oportunizou melhorar e

reforçar a aprendizagem dos conteúdos abordados de um modo agradável, pois os alunos expressaram por

meio dos relatos que a aula foi prazerosa, dinâmica e interativa e estimulou a curiosidade, gerando a

vontade de aprender, fazer, buscar a resposta certa.

Referências

[1] ALVES, Leonir P.; ANASTASIOU, Léa das Graças C. Estratégias de Ensinagem, 2003.

Disponível em:

<http://www.dca.iag.usp.br/www/material/ritaynoue/PAE/Estrategias_de_ensinagem_complet

o.pdf>. Acesso em: 12 ago. 2014.

[2] ARROYO, Miguel G. Ofício de Mestre: imagens e autoimagens. 12. ed. Petrópolis RJ:

Vozes, 2010.

[3] FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 43.

ed. São Paulo: Paz e Terra, 2011.

[4] MASETTO, Marcos T. Competências pedagógicas do professor universitário. São Paulo:

Summus, 2003.

Página-139

Página-140


Algumas Relações entre Cálculo 1 e Topologia Geral

Assuscena Pires Netto João Marcos M. Cruz

Lana Ribeiro

Faculdade de Engenharia e Administração, UFG

Av. Dr, Lamartine P. de Avelar, 1120


Emails: [email protected] [email protected] [email protected]

Joaby de Souza Jucá (Orientador)

Unidade Acadêmica Especial de Matemática e Tecnologia, IMTec-UFG




RESUMO

Introdução Espaço topológico é um conjunto munido de certa estrutura que serve, entre outras coisas, para

desenvolver o estudo de conceitos como conexidade, compacidade e continuidade. Estes são

fundamentais para diversos ramos da matemática. Devido à importância deste assunto, foi realizado um

estudo voltado para um melhor entendimento sobre funções contínuas e alguns resultados clássicos do

Cálculo 1, tais como o Teorema do Valor Intermediário e Teorema do Valor Extremo (ou Teorema de

Weierstrass).

Neste resumo apresentaremos algumas das principais definições e características dos objetos

envolvidos, tais como espaço topológico, conjuntos abertos, fechados, conexos, compactos, funções

contínuas entre espaços topológicos, Teorema do Valor Intermediário e Teorema de Weierstrass.

Objetivo Com este trabalho, esperamos despertar nos alunos que já tiveram ou que terrão contato com

Cálculo 1 o interesse e a curiosidade por explorar generalizações de algumas propriedades topológicas

dos números reais, bem como do conceito de continuidade e alguns de seus resultados.

Espaço topológico

Um espaço topológico é um par (X, Y) onde X é um conjunto e Y é uma coleção de conjuntos de

X satisfazendo as seguintes propriedades:

1- O conjunto vazio e o conjunto X são elementos de Y.

2- A intersecção finita de elementos Y é um elemento de Y.

3- A união qualquer de elementos de Y é um elemento de Y.

Página-141

2 4˚ Colóquio de Matemática da Região Centro-Oeste


Satisfeita estas três propriedades podemos dizer que Y é uma topologia em X. Se A pertence a Y,

dizemos que A é aberto em X. Se F é um subconjunto de X tal que seu complementar X-F é aberto em

X, ou seja, X-F pertence a Y, dizemos que F é fechado em X.

Subespaço topológico

Seja (X, Y) um espaço topológico. Se V é um subconjunto de X, então a coleção V ∩ U : U ∈

Y é uma topologia sobre V, denominada topologia induzida em V por X. Os abertos em V, relativos à

essa topologia, são denominados abertos relativos em V. Analogamente se definem os fechados

relativos em V.

Vale ressaltar que um conjunto pode ser aberto (resp. fechado) em V sem que seja aberto (resp.

fechado) em X. Mas isso não ocorre se V é aberto (resp. fechado) em X.

Funções contínuas

Tomando X e Z espaços topológicos, dizemos que uma função f : X →Z é contínua se, para cada

aberto V de Z, o conjunto f −1 (V ) = x ∈ X | f(x) ∈ V é aberto em X. Isto é, a pré-imagem de um

aberto em Z é um aberto em X.

A continuidade de uma função não depende somente da função, mas também da topologia dos

espaços envolvidos como mostra na definição.

Dizemos que f : X→ Z é contínua no ponto x ∈ X se f −¹ (V ) é aberto em X para cada aberto V

em Z que contém o ponto f(x). Pode-se mostrar que uma função f é contínua se, e somente se, f é

contínua em cada um de seus pontos.

Conjuntos conexos

Conjuntos conexos são aqueles que não podem ser “separados” por abertos, ou seja, são

constituídos de uma “única parte”. Mais precisamente, seja X um espaço topológico. Uma cisão não

trivial de X é um par de abertos não-vazios U e V , com U ∩V = ∅ e tais que X = U ∪ V. Dizemos que o espaço X é conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Desta forma X é conexo se, somente

se os únicos conjuntos simultaneamente abertos e fechados em X são ∅ e X.

Teorema 1.1: A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto

conexo.

Conjuntos compactos

Para definir conjuntos compactos é necessário discorrer a respeito de cobertura e subcobertura.

Seja X um espaço topológico. Uma cobertura de X é uma coleção de conjuntos C tal que X está

contido na união dos elementos de C. Uma subcobertura de X dada por C é uma subcoleção C‘⊂ C tal que ainda se tem X contido na união de C‘. Dizemos que C é uma cobertura aberta de X se C é uma cobertura de X constituída por abertos. Finalmente, dizemos que X é um conjunto compacto se toda cobertura aberta de X admite subcobertura finita.

Teorema 1.2: A imagem de um conjunto compacto por uma aplicação contínua é um conjunto

compacto.

Relações entre o Cálculo e a Topologia

O principal objetivo desta seção é apresentar o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema de

Weierstrass para funções contínuas, conhecidos no Cálculo 1, como corolários dos Teoremas 1.1 e 1.2,

respectivamente. Ressaltamos ainda que a definição de continuidade vista em Cálculo 1, por épsilons e

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3 4˚ Colóquio de Matemática da Região Centro-Oeste


deltas, coincide com a definição que demos, se consideramos em R a topologia usual, onde os abertos

são gerados pelos intervalos abertos. Nos Lemas 1.3 e 1.4, bem como nos resultados que os seguem,

consideramos essa topologia.

Lema 1.3: Os únicos conjuntos conexos da reta são os intervalos.

Teorema do Valor Intermediário. Se f: [a, b] → R é uma função contínua e d ∈ R é tal que f(a)

< d < f(b), então existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = d.

Demonstração: A demonstração é consequência do Teorema 1.1 juntamente com o Lema1.3. De

fato, como o domínio de f, o intervalo [a, b], é conexo e f é contínua, o conjunto f([a, b]) é conexo, pelo

Teorema 1.1. Mas, como f([a, b]) ⊂ R, temos pelo Lema1.1 que f([a, b]) é um intervalo. Mas, f(a), f(b)

∈ f([a, b]). Então, se d ∈ R é tal que f(a) < d < f(b), existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = d. Como queríamos.

Para demonstrarmos o Teorema de Weierstrass, precisaremos do seguinte

Lema 1.4: Um intervalo em R é compacto se, e somente se, é limitado e fechado.

Teorema do Weierstrass. Se f: [a, b] →R é uma função contínua, então f possui mínimo e máximo

absolutos. Isto é existem c, d ∈ [a, b] tais que f (c) ≤ f (x) ≤ f (d), ∀x ∈ [a, b].

Demonstração: Pelo Lema 1.4, o intervalo [a, b] é compacto por ser limitado e fechado em R.

Como f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário f([a, b]) é um intervalo; e pelo Teorema 1.2,

f([a,b]) é compacto. Logo, f ([a, b]) é um intervalo limitado e fechado. Ponha f ([a, b]) = [g, h]. Assim,

como g e h pertencem à imagem de f, existem c e d em [a, b] tais que f (c) ≤ f (x) ≤ f (d), ∀x ∈ [a, b].

Como queríamos.

Este teorema é conhecido também como teorema do valor extremo e mostra que o supremo e o

ínfimo da imagem de uma aplicação real definida em um intervalo limitado e fechado são atingidos.

Pode-se mostrar que essa propriedade permanece válida se o domínio de f for somente compacto, sem

que seja necessariamente um intervalo. Para isto utilizamos um argumento de compacidade sequencial,

que foge aos nossos propósitos.

Conclusões

O Cálculo Diferencial e Integral é um ramo muito importante da Matemática, principalmente por

suas aplicações, dentro da própria matemática e também em outras áreas do conhecimento, como por

exemplo em Administração, Biologia, Economia, Estatística, Física, Computação, etc.

Neste trabalho, vimos como o importante conceito de continuidade tem sua forma mais geral em

espaços topológicos e como, a partir de resultados da Topologia Geral, que trata desses espaços,

podemos obter alguns teoremas clássicos do Cálculo como casos particulares.

Para estudos posteriores, podemos entender como os outros dois conceitos fundamentais do

Cálculo, a saber, diferenciação e integração, se generalizam.

Referências

[1] LIMA, E. L. Curso de Análise, vol. 1. 12º ed. Coleção Projeto Euclides. SBM. 2008.

[2] MUNKRES, J. R. Topology, 2º ed. Prentice Hall. 2000.

[3] RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. 3th ed. McGraw-Hill. 1976.

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APRENDENDO PROPRIEDADES ALGÉBRICAS MEDIANTE

RESOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS E PRODUÇÕES TEXTUAIS

Gutemberg de Lima1

Universidade Estadual de Feira de Santana, UEFS

Av. Transnordestina, s/n 44036900, Feira de Santana, BA


RESUMO

Este trabalho tem por objetivo relatar a experiência obtida mediante o desenvolvimento e

aplicação da oficina APRENDENDO PROPRIEDADES ALGÉBRICAS MEDIANTE

RESOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS E PRODUÇÕES TEXTUAIS, realizada no Colégio

Estadual Governador Luiz Viana Filho, localizado na Rua 02 s/nº Cidade Nova, Feira de

Santana, Bahia. Isso foi possível graças ao PIBID da Universidade Estadual de Feira de

Santana (UEFS), que é Financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de

Nível Superior (CAPES) e apoiado pelo Programa de Consolidação das Licenciaturas

(PRODOCENCIA/UEFS), este “visa contribuir para elevar a qualidade dos cursos de

licenciatura, por meio de fomento a projetos institucionais, na perspectiva de valorizar a

formação e reconhecer a relevância social dos profissionais do magistério da educação

básica” (CAPES, 2011). O PIBID tem como objetivo incentivar o magistério superior e elevar

a qualidade das ações acadêmicas voltadas à formação inicial de professores nos cursos de

licenciatura.

Quando iniciei a graduação de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de

Feira de Santana, fui exposto a vários problemáticas e conceitos que tem por intuito melhorar

a formação do professor, tendo como um dos principais objetivos mudar o modelo tradicional

de ensino de matemática no qual, Skovsmose (2000, p. 1) afirma que “a educação matemática

tradicional se enquadra no paradigma do exercício”. Dessa forma, nos deparamos com várias

ferramentas que a nova geração de professores possa usar para melhorar o processo de ensino-

aprendizagem nas aulas de matemática. Das ferramentas apresentadas, a que me causou maior

interesse foi o ler e escrever textos nas aulas de matemática, algo totalmente diferente, digo

até inimaginável, do que foi vivido por mim no período escolar. E, assim, foi que

descobrimos o estudo do processo de matematização mediante o registro escrito, e isto é o que

temos como foco nesta oficina. Considero matematizar um processo construtivo, fortalecido

pela interação pessoa-grupo, no qual as ideias matemáticas constituem diferentes

significações e são por elas constituídas (Lins e Gimenez 1997), a partir do que gesticulam,

desenha, escrevem ou qualquer outra maneira de representar e comunicar nosso pensamento.

Matematizar é um processo natural, peculiar a todo ser humano, que deve ser desenvolvido à

medida que este tome consciência de um evento ou acontecimento matemático e construa para

si diferentes formas de conhecimento.

1Bolsista do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência

Coordenador do projeto de Matemática: Prof. Dr. Wilson Pereira de Jesus

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Elaborar pequenos textos nas aulas de matemática é interessante para a aprendizagem do

estudante e auxilia na análise dessa aprendizagem em andamento. Percebo que se deve

organizar o trabalho em matemática de maneira que permita a conexão com outras áreas do

conhecimento, no caso, a nossa língua materna. Isso se torna uma oferta interdisciplinar, que

propicia e enriquece as distintas competências que engloba a realidade complexa de qualquer

sala de aula.

A ideia de desenvolver esta oficina surgiu através do convívio com os estudantes do 9º ano

do Ensino Fundamental II e 2º ano do ensino médio. Foi observado que os alunos tinham

dificuldades nos conteúdos matemáticos que estavam trabalhando, como, por exemplo:

equação polinomial do segundo grau e trigonometria, respectivamente. A confusão dos

estudantes, analisada na resolução das equações quadráticas, completa ou incompleta, não se

encontrava, propriamente, nos conceitos de tal conteúdo, mas, na resolução do termo elevado

ao quadrado pertencente ao Δ (Discriminante. Onde Δ = b² − 4ac) e, também, em obter a raiz

quadrada, em que, tanto um como o outro fazem parte da conhecida Fórmula de Bhaskara.

Com os estudantes do 2º ano do ensino médio, as dificuldades eram praticamente as mesmas,

a limitação não estava na complexidade do conteúdo, e sim, nas operações com fração,

propriedades de potência e radiciação. Logo, nota-se que o importante a se fazer é esclarecer

as operações com frações, como também, as definições e propriedades da Radiciação e

Potenciação.

A partir do contato com as turmas supracitadas, foi possível analisar os estudantes e

perceber as dificuldades que estes apresentavam nos pré-requisitos dos conteúdos que

estavam trabalhando, como dito anteriormente. Daí, foram selecionados dez estudantes de

cada turma, que se mostraram interessados com a proposta da oficina. Tendo em vista o que

foi observado nas turmas, foi elaborado oito questões, contendo em média 5 itens, que

abrangem as operações com frações, propriedades de potência, radiciação, e as propriedades

associativas, comutativas, distributivas, elemento neutro e inverso.

No primeiro momento, o qual durou uma aula, foi pedido para que cada aluno resolvesse,

com os conhecimentos prévios que possuíam, as questões fornecidas, onde eles deveriam

escrever pequenos textos sobre como resolveram as questões. Se acaso não conseguissem

responder alguma questão deveriam, também, escrever o porquê. Essas questões serviram

para aumentar a profundidade da análise das limitações destes estudantes.

Notado, com maior detalhe, os pontos críticos de cada aluno, foi viável em um segundo

momento, que durou duas aulas, a explicação do conteúdo e exposição de exemplos, podendo

analisar, investigar e, sanar as principais dúvidas que os estudantes apresentaram, usando

como material de apoio uma apostila produzida com base nos capítulos 1 e 2 do livro Pré-

Cálculo: Matemática. Em seguida, retomando as questões dadas no primeiro momento, cada

aluno ficou responsável por rever onde cometeram equívocos, e assim, corrigi-los. Podendo,

desta forma, alterar suas escritas para o novo entendimento e, do mesmo modo, acrescentar

seus entendimentos adquiridos, nos itens que anteriormente não tinham conhecimentos

necessários para solucionar.

Por não estarem acostumados a escrever, os estudantes tiveram dificuldades em transpor

seus pensamentos/ideias para o papel. As produções de textos destes alunos se resumiram em

poucas palavras. Todavia, o objetivo geral da oficina foi alcançado, pois, os estudantes

tiveram a oportunidade de ver ou rever, analisar, tirar dúvidas e pensar sobre as propriedades

que faziam com que estes alunos não tivessem sucesso no desenrolar dos conteúdos

matemáticos que estavam trabalhando em sala.

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Referências

[1] BRENATO, E. M.; NASCIMENTO, A. M. P. PROUÇÃO DE TEXTOS NAS AULAS

DE MATEMÁTICA: RETROSPECTIVA E PERSPECTIVAS. 2013. Disponível em: <

http://sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/2024_717_ID.pdf>. Acessado em: 16

ago. 2015.

[2] CÂNDIDO, Patrícia T. Comunicação em Matemática. In: SMOLE, Kátia Stocco e DINIZ,

Maria Ignez (Organizadoras). Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Artmed,

2001.

[3] DEMANA, Franklin D.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, D.; WAITS, Bert K.

Propriedades básicas da álgebra. In:______. (Org.). Pré-Cálculo: Matemática. São Paulo:

Pearson, 2008. p. 7-20.

[4] LAMONATO, M.; PASSOS, C. L. B. Discutindo resolução de problemas e exploração-

investigação matemática: reflexões para o ensino de matemática. Zetetiké – FE/Unicamp,

Campinas, v. 19, n. 36 – jul/dez 2011.

[5] SKOVSMOSE, O. Cenário para investigação. Bolema - Boletim de Educação

Matemática, Rio Claro, nº 14, pp. 66 - 91, 2000.

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Simulação Numérica Bidimensional: Análise da Interação Solo-Estrutura Durante a Remoção de Interferência Física na Linha de

Escavação do Túnel do Metrô-DF

Eliene Simplício1, Marcelo L. P. Júnior2, Germano R. Filho3 e Ircílio Chiossolucombe.4

Universidade Estadual de Goiás, UEG Av. Universitária Esq. Com a Rua Nagib Simão S/Nº, Bairro: Nordeste

73807-250, Formosa, GO

Emails: [email protected], [email protected], [email protected] e [email protected]

RESUMO

O Metrô-DF possui uma extensão de 42 km de vias, sendo uma via principal com 36 km de extensão ligando a região do Plano Piloto a cidade satélite de Ceilândia e outra secundária de 6 km de extensão que interliga as vias entre as cidades satélites de Águas Claras e Samambaia. Dos 42 km de vias, tem-se 7,2 km de linhas subterrâneas.

Durante a escavação do túnel do Metrô-DF, houve a necessidade da retirada de 4 (quatro) tubulões, que se encontravam na linha de escavação do túnel. Estes tubulões sustentavam a estrutura da Galeria dos Estados.

Neste trabalho será apresentado um estudo numérico bidimensional para analisar a interação solo – estrutura durante a remoção das interferências físicas na linha de escavação do túnel do Metrô-DF. A ferramenta computacional utilizada foi o Programa Plaxis 7.11 [1], desenvolvido na Universidade Técnica de Delft.

A edificação da Galeria dos Estados consiste de uma estrutura rígida de concreto armado, que possui 84,0 m de comprimento e 22,6 m de largura. Esta estrutura localiza-se no subtrecho PP1-GAL (progressivas 6340 a 6369 m) e no interior da mesma existem diversas lojas. A estrutura da Galeria dos Estados é a de um viaduto, construído no final de 1960. A fundação da estrutura é constituída por 42 tubulões, de 16,0 m de comprimento cada. Os tubulões localizados na linha externa da edificação possuem 60,0 cm de diâmetro, enquanto os localizados nas linhas internas da edificação possuem 80,0 cm de diâmetro, suportando uma carga de 1000 e 2000 kN respectivamente (Figura 1).

Figura 1- (a) Interferência física na Galeria dos Estados [2] e (b) planta da Galeria dos Estados (b) [3].

O método dos elementos finitos (MEF) é sem duvida uma das ferramentas numéricas mais

utilizadas na atualidade devido à sua capacidade de simular variadas condições de contorno, etapas construtivas, incorporar diferentes modelos constitutivos, e outras complexidades que envolvem os problemas de engenharia. Inicialmente o MEF foi desenvolvido para análises de problemas estruturais, mas a sua teoria original foi modificada de forma a permitir a análise de problemas

1Bolsita de Iniciação Científica PVIC/UEG

2Bolsista de Iniciação Científica PVIC/UEG

3Bolsista de Iniciação Científica PVIC/UEG

4Docente Orientador de Iniciação Científica - UEG

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envolvendo outros campos da engenharia. Na resolução de um problema pelo MEF usa-se uma das seguintes aproximações: método dos deslocamentos, método de equilíbrio e o método misto. No método dos deslocamentos, as incógnitas principais do problema são os deslocamentos. No método de equilíbrio as incógnitas principais do problema são as tensões, enquanto que os deslocamentos e as tensões são as incógnitas principais em um problema quando se utiliza o método misto.

A formulação matemática e outras informações mais detalhadas relacionadas ao MEF pode ser encontrada no trabalho de Zienkiewicz [4].

As análises foram efetuadas para tentar reproduzir a situação ocorrida no subtrecho onde estava localizada a estrutura da Galeria dos Estados.

A malha bidimensional padrão utilizada nestas análises foi composta por 700 elementos triangulares de 15 nós, 5761 nós e 8400 pontos de Gauss (Figura 2). A malha tinha 100 m de altura e 300 m de largura tendo-se as seguintes condições de contorno: deslocamentos horizontais fixos nas extremidades direita e esquerda; deslocamentos horizontais e verticais fixos na extremidade inferior e deslocamentos superficiais livres.

O modelo constitutivo adotado foi o Mohr-Coulomb que tem como parâmetros principais

a coesão (c = 20 kPa), o ângulo de atrito ( = 26º), o módulo de Young (E = 20 MPa) e o coeficiente

de Poisson ( = 0,33).

Figura 2- Três fases de refinamento da malha de elementos finitos até a situação final utilizada.

A simulação da escavação foi realizada obedecendo, os seguintes estágios: geração das tensões iniciais a partir de Ko (Figura 3); escavação na região de localização da parte enterrada da estrutura (Figura 4); ativação dos elementos estruturais da edificação atribuindo propriedades de concreto com posterior aplicação das cargas concentradas nas estacas (Figura 5); escavação da calota com 50% de relaxação de tensões; escavação das laterais com 50% de relaxação de tensões, e consequente ativação do suporte na calota aplicando os 50% restantes da carga (Figura 6); escavação da bancada e consequente ativação do suporte nas laterais; escavação do arco invertido com 50% de relaxação de tensões, e posterior ativação do suporte do mesmo com aplicação do restante da carga (Figura 7) e remoção da interferência física.

Figura 3- Parcialização da seção de escavação (a) e geração das tensões iniciais a partir de Ko (b e c).

Figura 4- Malha deformada (a), deslocamentos verticais (b) e deslocamentos horizontais (c), fase de

escavação da parte subterrânea da estrutura.

Figura 5- Malha deformada (a), deslocamentos verticais (b) e deslocamentos horizontais (c), fase

de ativação dos elementos estruturais.

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escavação das laterais.


escavação do arco invertido.

No estágio inicial houve um soerguimento devido à rigidez provocada pela ativação dos elementos da estrutura da Galeria dos Estados. O soerguimento em questão é desprezível para fins de avaliação de deslocamentos da estrutura.

Já no estágio posterior com a escavação da Calota do túnel foram verificados recalques máximos de cerca de 22,61 mm. Quando foram escavadas as laterais os recalques subiram significativamente chegando ao valor de 42,10 mm. Quando escavou-se a bancada os valores dos recalques reduziram chegando ao valor de 48,5 mm. Os recalques máximos observados por ocasião do corte dos tubulões foram de cerca de 65 mm.

As análises foram efetuadas para tentar reproduzir a situação ocorrida no subtrecho onde estava localizada a estrutura da Galeria dos Estados. A escavação de um túnel é uma situação tridimensional, desta forma para que fossem efetuadas análises bidimensionais consideradas várias hipóteses simplificadoras, como por exemplo, a equivalência da rigidez axial e a flexão.

Na situação real os recalques máximos ocorridos no maciço após o alargamento da seção foram na ordem de 35 mm. Antes do alargamento o máximo recalque ocorrido na estrutura foi de 10 mm. Este valor sofreu um acréscimo de 8 mm após o alargamento, devido ao desconfinamento dos tubulões que passaram a receber mais carga na base. Os recalques na simulação numérica foram diferentes pelos seguintes: (a) o modelo constitutivo utilizado - Mohr Coulomb não representa fielmente o comportamento da argila porosa de Brasília; não foi simulado o reforço das estruturas como a viga de travamento, o reforço nos tubulões e o arco de concreto especial, ou seja, com Fck superior ao normal.

Referências

[1] Brinkgreve, R.B.J. & Vermeer, P.A. (1998). Finite Element Code for Soil and Rock Analyses. Plaxis Manual. Balkema, Rotterdam, Netherlands.

[2] Pinto, G.M.P. & Maza Jr. (1998). Metrô de Brasília: transferência de carga da Galeria dos Estados. XI Congresso Brasileiro de Mecânica dos Solos e Engenharia Geotécnica, ABMS, Brasília, DF, Vol 2, pp.1469-1474.

[3] Kochen, R., Negro Jr. A., MartinS de Melo, R. & Paula Pinto, G. M. (1998). Interferences affecting the excavation of Brasília South Wing tunnels. Tunnel and Metropolises, Negro Jr. & Ferreira (eds), São Paulo, Brasil, pp. 987-991.

[4] Zienkienwicz, O.C. (1982). El Método de Los Elementos Finitos . Editorial Revert, S.A. Impreso en Espanã. 903 pp.

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EDP’s LINEARES DE SEGUNDA ORDEM E APLICAÇÕES:

A EQUAÇÃO DA ONDA

Jéssica Rodrigues Pedrosa1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás, IFG

Av. Universitária Qd. 01, Lt. 01-A Parque Itatiaia 74968-755, Aparecida de Goiânia, GO


RESUMO

Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que, considerando a variável dependente u (x,

y) nas variáveis independentes x e y, pode ser escrita na forma

onde R é uma função nas variáveis indicadas e nessa função aparece pelo menos uma derivada parcial.

As EDP’s são responsáveis por descrever inúmeros fenômenos físicos como os que ocorrem na ótica,

ondulatória, eletricidade, mecânica, magnetismo entre outros. Dentre as EDP’s destacam-se as lineares de

segunda ordem que apresentam o seguinte formato

Uma EDP é dita linear de segunda ordem se todos os coeficientes A, B, C, D, E, F e G dependerem

somente das variáveis independentes x e y e a derivada de maior grau apresentar expoente 2. As equações

diferenciais parciais lineares de segunda ordem são classificadas de acordo com o discriminante (x, y)

associado a equação

de forma que se:

(a) (x, y) 0, temos uma EDP elíptica também chamada de EDP do potencial ou de Poisson, cuja forma

canônica no plano é dada por

(b) (x, t) = 0, temos uma EDP parabólica também chamada de EDP do calor ou de Fourier, que em uma

dimensão espacial é dada pela equação (c) (x, t) > 0, temos uma EDP hiperbólica também chamada de EDP da onda ou de D’Alembert – tratada

no artigo, que em uma dimensão espacial é dada por

A equação da onda ou d’Alembert foi deduzida e estudada pela primeira vez pelo físico e matemático

D’Alembert em 1746, sendo a equação considerada um dos principais problemas matemáticos do século XVIII.

O método de separação de variáveis consiste basicamente em transformar uma EDP de segunda

ordem em duas equações diferenciais ordinárias (EDO’s), achar a solução não trivial dessas EDO’s e associá-las

de modo que a solução da EDP seja do tipo u(x, t) = F(x) G(t).

Seja uma corda elástica de tamanho l, deslocada de sua posição de equilíbrio e em seguida posta em

movimento no instante t = 0 para vibrar livremente. De modo que o deslocamento vertical u(x, t) tem que

satisfazer a equação da onda

= , 0 < x < l, t > 0 (1)

as condições de contorno são dadas por

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, com t 0

1Graduanda em Engenharia Civil e Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq. Trabalho orientado pelo Prof. Diogo Gonçalves Dias.

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e condições iniciais dadas por

u(x, 0) = f(x), (x, 0) = 0 , com 0 x l,

onde f é uma função dada que descreve a configuração da corda no instante t = 0.

Suponha que a solução da equação da onda é do tipo u(x, t) = F(x) G(t). Voltando na equação da onda

(1), segue que

Para que uma função dependente da variável t seja igual a uma função dependente da variável x,

necessariamente ambas as funções acima tem que ser iguais a uma constante . Assim,

(2)

(3)

Agora, estudaremos os valores que pode assumir para que (6) tenha solução não trivial. = 0 e

> 0, teremos apenas a solução trivial. Para < 0 utilizaremos = -μ², onde μ > 0. Assim, a EDO (2) assume a

seguinte forma Supondo F(x) = , segue que , isto é, . Dessa forma, a solução geral é dada por F(x) = + . Como F(0) = 0, segue que = 0. De

F(l) = 0 segue que . Se = 0 teremos a solução trivial. Fazendo = 0, concluiremos que

. (4)

Portanto,

, n > 1, e a solução geral da EDO (6) é dada por

Para resolver a EDO (3), procederemos de maneira análoga e concluiremos que a solução geral é dada por

Para encontrar a Solução da equação da onda (1) fazemos u(x, t) = F(x) G(t). A menos de constantes, podemos

escrever

sendo a solução geral dada por

∑

Segue das condições iniciais que

∑

Dessa forma, devemos obter os coeficientes tais que a série em senos acima convirja para a função f(x). Mas

observe que a série acima é a série de Fourier em senos de f(x). Logo,

∫

Assim, a solução u(x,t) para a equação da onda (1), com posição inicial f(x) e velocidade inicial nula,

é dada por (5) onde os coeficientes são dados acima.

Consideremos agora que a mesma corda possua uma velocidade inicial h(x) e que sua posição inicial

seja nula, dessa forma o deslocamento vertical u(x, t) tem que satisfazer a equação da onda

= , 0 < x < l, t > 0

Sob as condições de contorno u(0, t) = 0 e u(l, t) = 0, t 0, e condições iniciais

u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) , com 0 x l.

Prosseguindo de maneira análoga ao que fizemos anteriormente, concluiremos que se a solução do PVI acima é

do tipo , então a solução geral é dada por

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∑

Observe que a outra condição inicial nos dá que (x, 0) = h(x). Derivando parcialmente a expressão acima em

relação a variável t, e avaliando-a em x=0, obteremos

∑

Da série de Fourier em senos de h(x), concluiremos que

∫

Portanto, a solução para a equação da onda com velocidade inicial h(x) e posição inicial nula é dada

por (6), onde os coeficientes são dados pela expressão acima.

Se considerarmos uma corda com velocidade e deslocamentos iniciais diferentes de zero, usando o

princípio da superposição, o deslocamento vertical u(x,t) será a soma dos deslocamentos obtidos com a

velocidade nula com os obtidos com o deslocamento inicial nulo. Portanto, a solução para a equação da onda

neste caso será

∑

∑

Para ilustrarmos o que acabamos de desenvolver, resolveremos o problema de vibração de uma corda

elástica supondo as seguintes configurações iniciais:

- = 0, 0 < x < 1, t > 0;

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0;

u(x, 0) = e (x, 0) = 4x (1 – x).

Aplicando os conceitos da solução geral para a equação da onda, calculamos primeiro o deslocamento

vertical da corda com velocidade inicial nula e posteriormente o deslocamento vertical com posição inicial nula.

Para o deslocamento vertical, considerando a velocidade inicial nula, temos que

∫

= 0 para n > 1 e ∫

= 1. Para o deslocamento vertical,

onsiderando o deslocamento inicial nulo, temos que

Agora, o deslocamento vertical

para a corda considerando u(x, 0) = (x, 0) = 4x (1 – x) é

∑

A equação onda apresentada no artigo é responsável por descrever o movimento da onda em uma

dimensão, entretanto existem variações dessa equação para mais dimensões. Já o método de separação de

variáveis utilizado para resolver a equação apesar de não conter erros, mostrou-se bastante longo, sendo talvez

mais interessante o emprego de um método numérico, como por exemplo, o método das diferenças finitas.

Referências

[1] BOYCE, W.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de

Valores de Contorno. 7ª. Edição, LTC, 2002.

[2] DE OLIVEIRA, E. C.; TYGEL, M. Métodos Matemáticos para Egenharia. 2ª. Edição, Coleção Textos Universitários, SBM, 2010.

[3] FIGUEIREDO, D. G. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto

Euclides, IMPA, 1987.

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EDP’s LINEARES DE SEGUNDA ORDEM E APLICAÇÕES:

A EQUAÇÃO DO CALOR

Ana Clara Reis Spalado Almeida 1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás, IFG

Av. Universitária Qd. 01, Lt. 01-A Parque Itatiaia 74968-755, Aparecida de Goiânia, GO


RESUMO

Uma Equação Diferencial Parcial (EDP) é uma equação matemática que envolve derivadas

parciais. Uma solução para uma equação diferencial parcial é uma função cujas derivadas parciais satisfazem a equação. A EDP tem ordem m quando a derivada parcial de ordem mais alta tem ordem m. Algumas equações diferenciais parciais surgem a partir de modelos físicos como, por exemplo, acústica, aerodinâmica, elasticidade, propagação de ondas sísmicas, ótica, entre outros. Serão apresentadas a seguir, EDP’s lineares de segunda ordem, considerando a função incógnita , em duas variáveis independentes x e y, possuindo derivadas parciais continuas até segunda ordem. Essas equações possuem a forma geral:

.

Classifica-se a EDP geral de acordo com o discriminante associado à equação:

. A classificação da EDP pode ser em elíptica, parabólica ou hiperbólica, conforme o

resultado do discriminante for negativo, nulo ou positivo, respectivamente. As formas canônicas para as classificações mencionadas são:

a) Forma canônica da EDP elíptica:

, .

Esta equação é denominada equação do potencial e possui o discriminante negativo, sendo portanto:

. b) Forma canônica da EDP parabólica:

, Esta equação é denominada equação do calor, onde é uma constante positiva

denominada difusividade do material da barra. Possui o discriminante nulo, sendo portanto:

. c) Forma canônica da EDP hiperbólica:

.

Esta equação é denominada equação da onda e possui o discriminante positivo. Supomos

que é constante. Os coeficientes são

, portanto:

1Graduanda em Engenharia Civil e Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq. Trabalho orientado pelo Prof. Diogo Gonçalves Dias.

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Nosso trabalho se concentra somente na análise da equação do calor unidimensional que se classifica como uma EDP do tipo parabólica.

As EDP’s necessitam das condições de contorno para serem resolvidas. Estas condições, especificam o comportamento da solução na fronteira do domínio onde ela deve ser determinada. A junção de uma EDP e suas condições de contorno é chamada de problema a valores de contorno (PVC).

Durante os dois últimos séculos foram desenvolvidos diversos métodos para se resolver equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem. O método mais antigo é o método de separação de variáveis e foi utilizado por D'Alembert, Daniel Bernoulli e Euler, em torno de 1750, em seus estudos sobre ondas e vibrações. Ainda hoje, é considerado um método muito importante e de frequente uso. O estudo de condução de calor iniciou-se por volta de 1800 e continua a atrair a atenção de cientistas modernos.

Considere o problema de condução de calor em uma barra de seção reta uniforme feita com material homogêneo. Conforme observado na Figura 1, o eixo dos x forma o eixo da barra e x = 0 e x = L correspondem às extremidades da barra. Os lados da barra estão isolados, de modo que não há passagem de calor. As dimensões da seção reta são tão pequenas que a temperatura u pode ser considerada constante em qualquer seção reta. Então, u só depende da coordenada axial x e do instante t.

Figura 1 - Uma barra sólida condutora de calor

A variação da temperatura na barra é regida pela equação do calor . A difusividade térmica depende apenas do material do qual é composta a barra e é dado por:

onde é a condutividade térmica, é a densidade e s é o calor específico do material da barra. A distribuição inicial de temperatura na barra é dada, então por:

, , (1)

onde é uma função dada. Supondo, também que é sempre zero quando ou :

, , . (2) O problema de condução de calor é encontrar que satisfaz a equação do calor

para e para , a condição inicial (1) quando e as condições de contorno (2) em e . A solução do problema, via método de separação de variáveis, é:

∑

Com os coeficientes calculados pela equação:

∫

Para obtenção de resultados, aplicou-se o material teórico estudado a um problema

aplicado.

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Considere uma barra com 30 cm de comprimento para a qual . Suponha que a

distribuição inicial de temperatura é dada por e que as condições

de contorno são e . Encontre a temperatura da barra em função da

posição e do tempo.

A temperatura na barra satisfaz o problema de condução de calor com e

[ ] De acordo com a equação (7), temos:

∑

Da equação (4), calculamos:

∫

Desenvolvendo os cálculos para a integral acima, temos que:

[

]

Assim, substituindo o valor de na equação (3), temos:

∑ [

]

O estudo matemático de condução de calor começou por volta de 1800 e se mostra

de grande importância até os dias atuais devido à sua ampla aplicabilidade na resolução de

problemas presentes nas situações cotidianas.

O resultado obtido através dos cálculos executados é satisfatório, visto que o

resultado da equação de apresenta-se bem definido. Entretanto, o emprego de métodos

numéricos vem sendo amplamente utilizado para obtenção de aproximações das soluções de

uma equação diferencial parcial. O estudo destes métodos é a continuação natural do presente

projeto.

Referências

[1] BOYCE, W.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de

Valores de Contorno. 7ª. Edição, LTC, 2002.

[2] BUTKOV, E. Física matemática. Granabara Dois, Rio de Janeiro, 1970.

[3] DE OLIVEIRA, E. C.; TYGEL, M. Métodos Matemáticos para Egenharia. 2ª. Edição, Coleção Textos Universitários, SBM, 2010.

[4] FIGUEIREDO, D. G. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto

Euclides, IMPA, 1987.

[5] KREYSZIG, E. Matemática superior. LTC, Rio de Janeiro, 1985.

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Sobre Espaco Produto Torcido Gradiente Ricci Soliton

Romildo S. Pina Marcelo A. Souza Elismar D. Batista∗

Instituto de Matematica e Estatıstica, UFG

Avenida Esperanca, s/n - Setor Itatiaia



RESUMO. Estudamos o produto torcido M = R×f F gradiente Ricci Soliton,e vimos criterios para que F seja Einstein (ou nao-Einstein gradiente Ricci Soliton)se f11 6= 0 (ou f11 = 0, respectivamente). construimos novos exemplos de gradienteRicci Soliton nao-Einstein com a fibra sendo Einstein ou nao-Einstein gradiente RicciSoliton. Finalmente estudamos o caso em que o produto torcido e Lorentziano oqual obtem -se resultados analogos ao Riemanniano.

1 - Introducao

Uma metrica Riemanniana g em uma variedade Riemanniana completa M e chamadaum Ricci Soliton se existe um campo de vetores diferenciavel X tal que o tensor de Riccisatisfaz a seguinte equacao

Ricg +1

2LXg = ρg (1)

para alguma constante ρ, onde LXg e a derivada de Lie com respeito a X.

Se X = grad h para alguma funcao h em M , entao M e chamada um gradiente RicciSoliton [4]. Neste caso podemos reescrever (1) como

Ricg + Hess h = ρg. (2)

2 - Gradiente Ricci Solitons em espaco produto torcido

Considere o produto torcido M = R ×f F com a metrica g =( 1 0

0 f 2g

)onde

f : R −→ R+ e o que chamamos de funcao torcao e g e uma metrica Riemanniana em F .Seja Ric e RicF os tensores curvatura de Ricci de M e F respectivamente.

Entao temos que:

Ricab = RicF − ff11gab − (n − 1)(f1)2gab

Ric1a = 0, Ric11 = −nf11

f.

(3)

onde f1 = dfdt

, f11 = d2fdt2

, a, b = 2, 3, ..., n + 1 e n e a dimensao de F . Dada uma funcaoh em M , o operador ∇∇ e dada por

∗Bolsista Pro-Qualifica - IFTO

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∇a∇bh = ∇Fa hb + (ff1h1)gab,

∇a∇1h = ∂ah1 − f1

fha, ∇1∇1h = ∇F

1 ∇F1 h

(4)

onde ∇ e ∇F , sao os operadores em M e F respectivamente.

Teorema 1 Seja M = R ×f F um gradiente Ricci Soliton e f11 6= 0, entao F e Einstein.

Prova: Suponha que R ×f F seja um gradiente Ricci Soliton, entao

Ricab = ρgab − ∇a∇bh = ρf 2gab − ∇Fa hb − ff1h1gab,

Ric1a = ρg1a − ∇1∇ah = −∂1ha +f1

fha,

Ric11 = ρg11 − ∇1∇ah = ρ − ∇F1 ∇F

1 h.

(5)

onde ρ e uma constante em M e h1 = dhdt

. Usando (3) e (5), obtemos

RicF − ff11gab − (n − 1)(f1)2gab = ρf 2gab − ∇F

a hb − ff1h1gab,

∂1ha =f1

fha, ∇1∇1h = ρ +

nf11

f.

(6)

Considere o caso em que f11 6= 0 para a funcao torcao f . Assuma que ha = ∂h∂va

6= 0,onde a = 2, 3, ..., n + 1 e va = (v2, ..., vn+1). Entao de (6) temos que:

∂

∂t(ln ha) =

d

dt(ln f), logo

∂2h

∂t2= f11(t)

∫expl(v2,...,vn1 )dva. (7)

Vemos que ∂2h∂t2

depende somente de t, ou seja, o lado direito da segunda equacao em(7) tambem depende somente de t, neste caso,

∫expl(v2,...,vn1 )dv ou e constante ou e uma

funcao de t. Mas isso e impossıvel. Logo ∂h∂va

= 0. Segue que F e Einstein. Considereo caso f11(t) = 0. Entao f e da forma f = b (> 0) onde b ∈ R, pois f e positiva em R.Portanto M e um produto Riemanniano de R e F . Consequentemente:

Teorema 2 Seja M = R ×f F um gradiente Ricci Soliton e f11(t) = 0. Entao F eum gradiente Ricci Soliton.

Em [2] foram obtidos resultados mais gerais, considerando a base uma variedade Rieman-niana qualquer, concluindo que se M = B ×f F e um gradiente Ricci Soliton, entao Fe Einstein.

Se M = R ×f F e um gradiente Ricci Soliton, e f11 6= 0, temos pelo Teorema 1 queF e Einstein. Devido ao Teorema 2 e possıvel estabelecer que F e um gradiente RicciSoliton quando f11 = 0, mas nao podemos decidir quando e Einstein ou nao-Einstein.Seja M = R ×c Sn(r), onde Sn(r) e a n−esfera de raio r, entao por (3) temos que Me um gradiente Ricci Soliton mas nao e Einstein. Assim temos os seguintes exemplos:

Exemplo 1 R×c Sn(r) e um gradiente Ricci Soliton nao-Einstein sendo Sn(r) Einstein.

Exemplo 2 O espaco N = R×(R×cSn(r)) e um gradiente Ricci Soliton, mas R×cSn(r)nao e um espaco Einstein.

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Os Teoremas 1 e 2 dao criterios para determinar se F e Einstein ou gradiente RicciSoliton em relacao a R ×f F via f11.

3 - Gradiente Ricci Solitons em espaco produto torcido Lorentziano

A metrica no produto torcido Lorentziano M = R ×f F e dada por g =( −1 0

0 f 2g

)

onde f : R −→ R+ e a funcao torcao e g e uma metrica Riemanniana em F . Sejam Rice RicF os tensores curvatura de Ricci de M e F respectivamente, logo:

Ricab = RicF + ff11gab + (n − 1)(f1)2gab

Ric1a = 0, Ric11 = −nf11

f.

(8)

Assim temos que e possıvel deduzir expressoes analogas as (4), (5), (6) e (7) para oespaco M = R ×f F Lorentziano. Obtendo assim teoremas analogos aos anteriores

Teorema 3 Seja M = R ×f F um espaco produto torcido Lorentziano gradiente RicciSoliton e f11 6= 0, entao F e Einstein.

Teorema 4 Seja M = R ×f F um espaco produto torcido Lorentziano gradiente RicciSoliton e f11(t) = 0, entao F e um gradiente Ricci Soliton.

Com argumento analogo ao caso Riemanniano temos os seguintes exemplos:

Exemplo 3 O espaco R ×c Sn(r) com uma metrica Lorentziana e um gradiente RicciSoliton nao-Einstein sendo a fibra Sn(r) Einstein.

Exemplo 4 O espaco N = R × (R ×c Sn(r)) com uma metrica Lorentziana e umgradiente Ricci Soliton, mas R ×c Sn(r) nao e um espaco Einstein.

4 - Conclusao

Concluımos com este trabalho que dado um espaco produto torcido Gradiente Ricci So-liton M = R ×f F com a derivada segunda de f nao nula entao, a fibra F e um espacode Einsten. Vimos atraves de exemplos que nao podemos dizer se a fibra F e ou naoEinsten caso f11 = 0. Construımos exemplos de Gradiente Ricci Soliton “Genuıno”, ouseja, Ricci Soliton nao Einsten, visto que Gradiente Ricci Soliton e uma generalizacao deespacos de Einsten. E por fim conseguimos resultados analogos para o caso Lorentziano.Vale observar que na prova do Teorema 1 fica claro que a funcao potencial h definida emM depende somente de R caso M = R ×f F seja Gradiente Ricci Soliton.

Referencias

[1] B. H. Kim, S. D. Lee J. H. Choi, and Y.o. Lee, On Warped product space witha certain ricci condition, Bull. Korean Math. Soc. 50 (2013), No. 5, pp. 1683-1691http://dx.doi.org/10.4134/BKMS.2013.50.5.1683.

[2] L. S. Marcio; P. Romildo, On Warped product gradient Ricci Soliton,http://arxiv.org/abs/1505.03833.

[3] R. Pina and K. Tenenblat, On solutions of the Ricci curvature equation and theEinsten equation, Israel J. Math. 171 (2009), 61-76.

[4] P. Petersen and W. Wylie, On gradient Ricci solitons with symmetry, Proc. Amer.Math. Soc. 137 (2009), no. 6, 2085-2092.

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Aplicacao de Sistemas Abstratos de Reescrita ao Problema doIntruso Para Protocolos Criptograficos de Chave Publica

Deivid R. Vale∗

Instituto de Ciencias Exatas, UnB

Departamento de Matematica

Campus Universitario Darcy Ribeiro - 75704-020, Brasılia-DF


Orientadora: Profa. Dra. Daniele Nantes Sobrinho, UnB


RESUMO

O Objetivo e estudar o Problema da Deducao do Intruso para protocolos crip-tograficos, esse problema algorıtmico e em geral indecidıvel, mas pode ser estudadopara casos particulares, levando-se em conta as propriedades aritmeticas das primi-tivas criptograficas do protocolo de seguranca sendo analisado.

O Problema da Deducao do Intruso (PDI) consiste em responder a seguintepergunta: Dado um conjunto finito T de mensagens (observadas/espionadas) e umamensagem m, e possıvel, para um intruso passivo, obter m de T ?

Todo o estudo sera desenvolvido a partir da hipotese da criptografia perfeita, istoe, nao ha outra maneira de deduzir mensagens sem o conhecimento de uma chave.Motivacao: Considere o seguinte protocolo de chave publica para a troca de umachave simetrica:

0. A→ B : < A, << A,B >,Kab >apriv(A)apub(B) >

1. B → A : segredosKab

Na primeira mensagem A envia para B uma nova chave simetrica Kab para futu-ras comunicacoes. Essa chave foi encriptada usando uma funcao de criptografiaassimetrica (denotada por a ) usando a chave privada de A, (priv(A)). O re-sultado dessa encriptacao e novamente criptografado com a chave publica de B,(pub(B)), assim somente B podera obter Kab. Na segunda mensagem, B envia paraA, o novo segredo, criptografado com a chave simetrica Kab obtida anteriormente.

Observacao 1. Em protocolos de chave publica, as chaves publicas e privadas cor-respondentes sao inversas, isto e, pub(A)−1 = priv(A), alem disso, d(mak, k) = m,onde d e a funcao de descriptografia.

Preliminares: Assume-se uma assinatura de sımbolos F , um conjunto infinito devariaveis X . O conjunto F e particionado em dois subconjuntos, VF das funcoespublicas e PF das funcoes privadas. O conjunto dos termos gerados a partir deF e X e denotado por T (X ,F) e o subconjunto dos termos basicos (termos semvariaveis) sera denotado por T (F).

∗Bolsista do Programa de Educacao Tutorial PETMAT-UnB

Página-165

Definicao 1 (Sistema de Reescrita de Termos (SRT)). Um sistema de reescrita determos R e um conjunto finito de regras de reescrita l → r onde l ∈ T (X ,F) er ∈ T (F ,vars(l)).

Um (SRT) R e dito terminante quando nao ha cadeias de reducao infinitas dotipo t0 → t1 → t2 . . . ; R e dito confluente quando, para todo t0, t1, t2 tais quet1 ← t0 → t2 existe um t3 tal que t1 → t3 ← t2. Um termo t esta na R-formanormal se nao existe s tal que t→ s.

A abordagem ao (PDI) sera feita utilizando um sistema de reescrita para modelaro comportamento do protocolo, no presente trabalho, aplica-se essa abordagem aomodelo do intruso introduzido por Dolev-Yao [2].

Exemplo 1 (Sistema de Reescrita para Teoria Dolev-Yao). O (SRT) seguinte cor-responde a teoria de [2] para o comportamento de protocolos de chave publica.

sd(xsy, y)→ x ad(xay, y−1)→ x

x−1−1 → x ad(xay−1 , y)→ x

πi(< x1, x2 >)→ xi, (i = 1, 2)

Deducao do Intruso Dado um (SRT) R define-se o conhecimento do intrusoIR(T ). Esse conjunto e definido de maneira a conter informacoes que o intrusoderiva da rede de comunicacao e com isso, a decidibilidade para o (PDI) consisteem estudar a saturacao de conjuntos de termos basicos sobre a aplicacao de sımbolosde funcoes em VF e regras de reescrita definidas em R, nesse sentido a aplicacaode regras de reescrita determina o comportamento das funcoes em VF .

Seja T ⊆ T (F), o conhecimento do intruso e o menor subconjunto de T (F) quecontem T , fechado para aplicacoes de ↔R e tal que, para todo t1, . . . , tn ∈ IR(T ) etoda funcao f ∈ VF , tem-se que f(t1, . . . , tn) ∈ IR(T ).

As derivacoes do intruso sao uma n-upla de termos t1, . . . , tn r. Os termost1, . . . tn ∈ T (F ,X ) sao chamados a hipotese do intruso e descrevem toda a in-formacao que o intruso detem de analises passadas, o termo r e chamado de alvodo intruso, e determina o termo que o intruso deseja obter, dado seu conhecimentoprevio. Como a ordem desses termos nao e importante, denota-se por T r, umaderivacao do intruso.

Arvores de Prova Representam o procedimento de deducao do intruso queleva a um termo u ∈ IR(T ). Essas arvores mostram, sistematicamente, o que ointruso pode obter utilizando o conhecimento previo e suas habilidades de raciocınioalgebrico.

Definicao 2. Dado um conjunto finito T ⊆ T (F) e u ∈ T (F), uma prova P deT `R u e uma arvore tal que :

• Toda folha de P e rotulada com v ↓R para algum v ∈ T .

• Todo no interno de P com n descendentes, P1, . . . , Pn, tal que as raızes saorespectivamente rotuladas por v1, . . . , vn e rotulado com f(v1, . . . , vn) ↓R paraalgum sımbolo de funcao f ∈ VF .

• a raiz de P e rotulada com v ↓R, este rotulo e denotado por raiz(P ). OTamanho de uma prova e numero de seus nos.

Página-166

Note que com essa definicao, todo rotulo de uma prova esta na forma R −normal. Uma prova de P `R u, (que nao esta reduzida a uma folha) e chamada deprova de composicao se seus descendentes direto P1, . . . , Pn sao tais que raiz(P ) =f(raiz(P1), . . . , raiz(Pn)) para algum sımbolo f ∈ VF caso contrario e chamada deprova de decomposicao.

Exemplo 2. Seja T = m1k, k,m2, R = d(xy), y)→ x.

T `R m1k T `R k f ∈ VF , e uma prova de decomposicaoT `R d(m1k, k) ↓R= m1

T `R m2 T `R k d ∈ VF , e uma prova de composicaoT `R d(m2k, k)

Estuda-se entao, como o (PDI) pode ser reduzido a resolver sistemas de de-rivacoes do intruso, se todos os termos em T forem termos basicos, obtem-se osresultados abaixo.

Lema 1 (Localidade). Seja T um subconjunto finito de T (F) tal que st(R) ∩NFRT (VF) ⊆ T , 0 ∈ T e um termo u ∈ T (F), entao toda prova minimal Pde T `R e rotulada somente por termos em st(T ↓R ∪u ↓R), alem disso, se P euma prova de decomposicao entao P e rotulada por termos em st(T ↓R)

Se P tem a propriedade de localidade, entao pode-se mostrar o seguinte teorema:

Teorema 1. Seja T um subconjunto finito de T (F) tal que st(R)∩NFRT (VF) ⊆T , 0 ∈ T e um termo u ∈ T (F), entao pode-se decidir em tempo polinomial seu ∈ IR(T ) em termos de ||T ∪ u||d.

Conclusao Este trabalho apresenta uma modelagem abstrata das habilidadesaritmeticas e dedutivas do intruso utilizando um sistema de reescrita, o estudo seconcentra na propriedade de localidade das provas de derivacoes do intruso, e comesse resultado em maos conclui-se que para termos basicos, o (PDI) e decidıvel emtempo polinomial.

Referencias

[1] Delaune, S. and Jacquemard, F. - A Decision Procedure for the Verification ofSecurity Protocols with Explicit Destructors In CCS’04, pages 278-287. ACM Press,2004.

[2] Dolev, D. and Yao, A. - On the Security of Public Key Protocols IEEE Transactionson Information Theory, 29(2):198–208, 1983

[3] Ebbinghaus, H. D , Flum, J. and Thomas, W.j - Mathematical Logic UndergraduateTexts in Mathematics, Springer 1994

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O ensino de Matemática para alunos surdos em escolas de ensino

regular

Juliany de J. Silva1 Joanice S. de Almeida2

Universidade Estadual de Feira de Santana, UEFS

Av. Transnordestina, S/N, Novo Horizonte

44036-900, Feira de Santana, BA


RESUMO

Estudos têm evidenciado que a educação pública no Brasil tem sofrido frequentes transformações

em sua política, na tentativa de reduzir os grandes problemas que são encontrados nas salas de aula. Dentre

os problemas que essa política educacional busca solucionar está a questão da inclusão de alunos com

necessidades especiais e, segundo Maciel (2008), essa crítica é duplamente válida quando se trata do ensino

para surdos.

Estudar matemática não é uma tarefa fácil para quem é ouvinte, quanto mais para quem é surdo.

Neves e Silva (2011, p. 2) afirmam que:

“[...] mediante estas considerações pensamos que a matemática para o surdo deve ser ensinada a

partir da possibilidade de contextualização dos fatos numéricos onde é possível a negociação dos

significados matemáticos favorecendo assim a construção de conceitos. Porém, esta negociação e construção de significados, são possíveis de acontecer mediante o uso dos recursos da linguagem em

diversas situações de interações entre sujeitos.”

Nesse caso, a LIBRAS é o caminho mais viável para que ocorra essa mediação entre o ensino da

matemática e a aprendizagem do aluno surdo. Conquanto nessa escolarização é preciso que se tenha um

profundo domínio da Língua de Sinais, do conhecimento matemático e das metodologias adequadas para

esses educandos terem o real significado da aprendizagem.

No geral, o estudo da matemática exige do aluno saber interpretar na sua língua materna,

principalmente em questões que envolvem resoluções de problemas. Para o ouvinte, nesse caso é a exploração

da língua portuguesa que lhe dará o devido apoio, já com o surdo será a LIBRAS, mas com relevância, quer

dizer, “[...] a escola deve formar bons leitores na Matemática, mediados pela LIBRAS. Se o enunciado dos

problemas for bem interpretado para a LIBRAS, os alunos poderão apresentar seu verdadeiro conhecimento

na área da Matemática.” (NEVES; SILVA, 2011, p. 2).

Dentro desse quadro, ainda que o professor não saiba a LIBRAS, mas com a possível ajuda de um

intérprete (com a política de inclusão espera-se que se tenha intérprete em todas as escolas públicas que tenha

alunos surdos), o aluno precisa saber ler e interpretar os problemas matemáticos na sua língua materna para

facilitar a resolução de problemas. E se esse ainda não tem o domínio da sua própria língua, os materiais

concretos são importantes e o ajudarão a assimilar o seu significado.

1Graduanda em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) 2Graduanda em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS)

Página-169



Analisando todo o contexto desse estudo, percebe-se que a base do desenvolvimento do surdo é o

saber e dominar sua língua materna de ambas as partes. Mas o que vem a ser discutido de fato são os reais

obstáculos que estão presentes no processo de comunicação matemática entre o professor e o aluno surdo em

aulas de matemática, analisando como é que é interpretado e traduzido para a língua de sinais e a linguagem

matemática.

Este estudo teve como objetivo analisar como acontece a inclusão de alunos surdos nas aulas de

matemática no ensino regular e pude constatar que a educação inclusiva ainda precisa de fato ser posta em

prática, há uma série de deficiências nessa inclusão. Mas não é somente a escola a responsável por tal

situação. A família tem uma parcela de culpa nesse parâmetro tão complexo.

Referências

MACIEL, Eliane Maria de Menezes. O ensino de Matemática e as políticas públicas para

a educação de surdos. 2008.

NEVES, Maria Janete B. das. SILVA, Francisco Hermes S. da. Ensino significativo de

matemática para alunos surdos. 2011.

Página-170

1



Um Estudo Sobre os Logarítmos – História e Propriedades

Silvania Luzia Correia Pinto1

Instituto Federal Goiano – Campus Urutaí, IFGoiano



Dassael Fabricio dos Reis Santos

Instituto Federal Goiano – Campus Urutaí, IFGoiano



RESUMO

Este trabalho consiste em fazer um resumo histórico-bibliográfico sobre logaritmos, a fim de

compreender o conceito por meio das características que fundamentam este estudo, uma vez

que o conteúdo é apresentado de maneira superficial nos cursos de Ensino Médio onde alunos

seguem um modelo matemático que se baseia em memorizações de fórmulas, tornando esse

instrumento de cálculo algo insignificante. Sabe-se que a importância do estudo do logaritmo

está estritamente ligada a sua grande aplicabilidade tanto em Matemática quanto nas demais

áreas das ciências, tais como: Química, Biologia, Astronomia e Engenharias. A palavra

logaritmo deriva de duas palavras no latim, logos – razão e arithemos – números. Em [2],

Soares expõe um pouco sobre o surgimento dos logaritmos, descrevendo o método proposto

por Napier através de progressões geométricas e aritméticas e o trabalho de Briggs para o

cálculo de logarítmos na base decimal. Já em [1], Silva trata da definição e propriedades

fundamentais que caracterizam o estudo dos logaritmos.

1. Um pouco de história

No final do século XVI havia contas grandes e de difícil resolução relacionada à astronomia e

navegação, assim John Napier vendo a possibilidade de sistematizar uma simplificação dessas

contas começou a estudar e observar os padrões, e então se fez uma associação entre

progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG), ou seja,

PG 21 22 23 24 25 26 27 28 29 PA 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Observando as progressões geométricas temos: dois como base, os expoentes denota-se como

logaritmo e os resultados da potenciação como logaritmando. Assim, os logaritmos são os

valores dos expoentes que são associados à progressão aritmética. Por exemplo:

𝑙𝑜𝑔2 256 = 8, pois 28 = 256.

1Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/IFGoiano

Página-171

2



De forma geral:

PG 21 22 23 24 25 ... 2𝑚 ... 2𝑛 PA 1 2 3 4 5 ... M ... N

Portanto o conceito de logaritmo é: dado dois números reais 𝑎 e 𝑏, o logaritmo de 𝑏 na base 𝑎

é igual a 𝑚, onde 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 e 𝑏 > 0, ou seja,

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑚, ou 𝑎𝑚 = 𝑏.

Faltando certa clareza na sistematização de Napier para logaritmo de um em qualquer base

Henry Briggs fez a seguinte consideração, o logaritmo de 1 seria 0 e o logaritmo de 10 seria 1,

surgindo assim os logaritmos na base dez. Para calcular os logaritmos na base dez usava-se tal

processo:

𝑙𝑜𝑔 2 = 𝑚 ⇔ 10𝑚 = 2.

De imediato sabemos que

0 < 𝑚 < 1, pois, 100 < 10𝑚 < 101. Utilizando o argumento de aproximação,

210 = 1024 ≅ 1000 = 103. Dividindo os expoentes por 10, temos:

210

10 ≅ 103

10 ⇔ 21 ≅ 100,30.

Então, 𝑚 = 0,30, ou seja,

𝑙𝑜𝑔 2 ≅ 0,30.

Sendo um processo análogo para encontrar os demais logaritmos na base 10. Por fim,

podemos perceber que através da história da fundamentação dos logaritmos tornou-se capaz a

compreensão do conceito de logaritmo de forma produtiva.

2. Propriedades e Demonstrações

Esta seção tem por objetivo apresentar as propriedades principais que constituem e

caracterizam o estudo dos logarítimos. São elas:

Propriedade 1 - Seja 𝑎, 𝑏, c ∈ ℝ ∗+

, com 𝑎 ≠ 1, tem-se 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐.

Demonstração: Considere 𝑥 = log𝑎 𝑏. 𝑐 , 𝑦 = log𝑎 𝑏 e 𝑧 = log𝑎 𝑐. Por definição temos que,

𝑎𝑥 = 𝑏. 𝑐, 𝑎𝑦 = 𝑏 e 𝑎𝑧 = 𝑐. Por substituição, 𝑎𝑥 = 𝑏. 𝑐 = 𝑎𝑦. 𝑎𝑧 = 𝑎𝑦+𝑧. Logo, 𝑥 = 𝑦 + 𝑧.

Assim, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐.


, com 𝑎 ≠ 1, tem-se 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐.

Demonstração: Considere 𝑥 = log𝑎𝑏

𝑐, 𝑦 = log𝑎 𝑏 e 𝑧 = log𝑎 𝑐. Por definição temos que,

𝑎𝑥 =𝑏

𝑐, 𝑎𝑦 = 𝑏 e 𝑎𝑧 = 𝑐. Por substituição, 𝑎𝑥 =

𝑏

𝑐=

𝑎𝑦

𝑎𝑧 = 𝑎𝑦−𝑧. Logo, 𝑥 = 𝑦 − 𝑧. Assim,

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐.


, com 𝑏 ≠ 1, 𝑐 ≠ 1, tem-se 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏.

Página-172

3



Demonstração: Considere 𝑥 = log𝑏 𝑎 , 𝑦 = log𝑐 𝑎 e 𝑧 = log𝑐 𝑏. Por definição temos que,

𝑏𝑥 = 𝑎, 𝑐𝑦 = 𝑎 e 𝑐𝑧 = 𝑏. Por substituição, 𝑏𝑥 = 𝑐𝑦 , 𝑐𝑥𝑧 = 𝑏𝑥e 𝑐𝑦 = 𝑐𝑥𝑧. Logo, x𝑧 =

𝑦 𝑒 𝑥 =𝑦

𝑧. Assim, 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 =

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏.


, com 𝑎 ≠ 1. Então:

(𝒊) 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑚 = 𝑚, para todo 𝑚 real.

Demonstração: Considere 𝑝 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑚, Por definição, temos que 𝑎𝑝 = 𝑎𝑚. Logo, 𝑝 = 𝑚.

Assim, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑚 = 𝑚, para todo 𝑚 real.

(𝒊𝒊) 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏.

Demonstração: Considere 𝑥 = log𝑎 𝑏. Então, 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑎𝑥 = 𝑏.


, 𝑐 ≠ 1 e 𝑚 ∈ ℕ tem-se 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏𝑚 = 𝑚 . 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏.

Demonstração: Pela propriedade 3 temos que, log𝑏 𝑏𝑚 =log𝑐 𝑏𝑚

log𝑐 𝑏. Logo, log𝑐 𝑏𝑚 =

log𝑏 𝑏𝑚 . log𝑐 𝑏. Pela propriedade 4.a segue que log𝑐 𝑏𝑚 = 𝑚. log𝑐 𝑏.

Com base neste estudo, buscaremos solucionar problemas que podem ser modelados em

termos de logaritmos. Além disso, estudaremos aplicações importantes deste estudo tanto

dentro da própria matemática, como, por exemplo, em matemática financeira, quanto em

outras áreas das ciências, como, por exemplo, na biologia e engenharia.

Referências

[1] SILVA, Josiel Pereira. Logaritmos e Aplicações, Universidade Federal de Campina

Grande–Centro de Ciências e Tecnologia. Campina Grande, 2013.

[2] SOARES, Evanildo Costa. A História dos Logaritmos como Contribuição à

Matemática do Ensino Médio, X Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador,

2010.

Página-173

Página-174



Um Estudo Sobre O Gráfico Da Função Quadrática Via Análise Da

Variação De Seus Parâmetros E .

Letícia Alves de Araújo1

Instituto Federal Goiano – campus Urutaí, IFGoiano Fazenda Palmital, Zona Rual

75790-000, Urutaí, GO


Dassael Fabricio dos Reis Santos

Instituto Federal Goiano – campus Urutaí, IFGoiano Fazenda Palmital, Zona Rual

75790-000, Urutaí, GO


RESUMO

Este trabalho tem como objetivo fazer uma análise detalhada sobre o estudo da função

quadrática,

dando foco ao estudo do comportamento do gráfico de tal função uma vez observada a variação dos

coeficientes que a define, que implicam condições sobre a abertura e o comportamento da parábola

uma vez fixado os parâmetros e e variando o parâmetro , e sobre o deslocamento vertical e o

deslocamento horizontal da parábola uma vez fixado o parâmetro e variando os parâmetros e . Em [3], Sousa faz um estudo rigoroso sobre o comportamento do gráfico da função quadrática,

tratando da variação dos parâmetros de forma independente um do outro. Em [2], Lima descreve

definições e propriedades básicas sobre o estudo da função do segundo grau.

Além disso, um objetivo aqui é estudar problemas advindos de tal conceito de forma a auxiliar os

professores a desenvolverem uma metodologia significativa e aprofundada com os alunos em sala de

aula e apontar ao estudante do ensino médio e fundamental a relevância de tal estudo no campo da

matemática, provocando assim a aprimoração e o aperfeiçoamento do conhecimento matemático, pois,

muitas vezes, o estudo da função quadrática não é desenvolvido com grandezas de detalhes nos cursos

de ensino médio e fundamental, isso devido à superficialidade com que o conteúdo é ministrado ou

pela falta de tempo no decorrer do curso ou ainda porque o programa da disciplina não abrange certos

conteúdos.

Ao se tratar de função quadrática, inicialmente deve-se conhecer sua definição. De acordo com [2]

uma função chama-se quadrática quando existem números reais com , tais que

, para todo . O gráfico de uma função quadrática sempre será uma

parábola e, dependendo dos valores atribuídos ao termo , a concavidade da parábola pode estar

voltada para cima ou voltada para baixo. Ou seja, o gráfico de tal função é uma parábola com

concavidade voltada para cima se é positivo e voltada para baixo se é negativo, como pode se

observar na figura 1.

1Bolsista de Iniciação à Docência PIBID/CAPES

Página-175



Figura 1: Concavidades da parábola

Fazendo um estudo sobre a variação dos parâmetros que definem a função quadrática, pode-se

verificar que quando se varia o coeficiente , a parábola faz um movimento de abre e fecha, ou seja, o

nível de abertura da parábola vai variar até o ponto em que o parâmetro troca de sinal e, com isso, a

sua concavidade vai mudar. Esse processo pode ser observado na figura 2. Variando o coeficiente ,

nota-se que a parábola faz um movimento parabólico cuja ligação dos vértices das parábolas obtidas

por meio deste movimento forma uma parábola com concavidade voltada para o lado oposto da

parábola primitiva. Uma noção geométrica deste fato pode ser observada na figura 3. E, por fim, a

variação do coeficiente implica em um movimento vertical da parábola, como pode ser notado na

figura 4.

Figura 2: Variação do coeficiente a

Figura 3: Variação do coeficiente b

Figura 4: Movimento vertical da parábola

A metodologia para a realização deste trabalho consistirá em escolher o tema, buscar referências

bibliográficas e, a partir disso, utilizar artigos acadêmicos, sites de pesquisa, revistas científicas,

programas de computador e os livros didáticos, a fim de delimitar e fundamentar o trabalho, de forma

que o estudo abranja com excelência a área estudada.

Pretende-se, através de pesquisas, questionar o conteúdo que será abordado, formulando

problemas e buscando suas respectivas soluções, utilizando-se do pensamento lógico, da intuição, da

Página-176



capacidade de análise crítica, da criatividade, selecionando-se o procedimento e verificando sua

adequação.

O alvo deste trabalho são alunos do ensino médio e fundamental, uma vez que o estudo abordado

aqui é trabalhado nestes níveis de ensino. Estudo este que, na maioria das vezes, não é trabalhado com

a riqueza de detalhes necessária para o avanço do estudo da matemática do ensino básico. Com isto,

esta pesquisa surge com a tentativa de sanar eventuais falhas e completar o estudo já realizado.

Como parte da conclusão deste trabalho foi-se aplicada oficina no Colégio Estadual Dr. Vasco dos

Reis Gonçalves, em Urutaí – GO, com a turma do 9º ano do Ensino Fundamental. Foram utilizados

softwares matemáticos, tais como Excel e Geogebra, para uma melhor compreensão geométrica do

conteúdo abordado. Os alunos participantes puderam ter uma percepção gráfica aprimorada e após o

uso dos softwares, as dificuldades que os alunos apresentaram foram amenizadas. Vale ressaltar que o

uso desses softwares em sala de aula, são apenas ferramentas para auxiliar no processo ensino-

aprendizagem.

Referências

[1] DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações, volume 1, 1ª edição. Editora Ática,

São Paulo - SP, 2011

[2] LIMA, E. L; CARVALHO. P. C. P; WAGNER. E; MORGADO. C. A Matemática do

Ensino Médio, volume 1. SBM, Rio de Janeiro - RJ, 9ª edição, 2006.

[3] SOUSA, Fábio. A. L. Funções quadráticas: estudo do gráfico das funções quadráticas.

Editora UFG, Goiânia - GO, 2013.

Página-177

Página-178

1



Conceitos Matemáticos presentes numa horta com o formato circular

Marcela C. da Cruz1

Programa de Pós-graduação em Educação, UFF Rua Prof. Marcos Valdemar Freitas Reis, s/n

24210-201 Niterói - RJ


RESUMO

Este trabalho refere-se a uma pesquisa de Dissertação de Mestrado2 em andamento,

que tem por objetivo investigar os saberes culturais e de natureza matemática de um

trabalhador rural que cultiva uma horta de Produção Agroecológica Integrada e Sustentável

(PAIS), que popularmente é conhecida como horta “mandala” ou horta “circular”, alusão

realizada ao seu formato.

O interesse por essa pesquisa surgiu no final do curso de graduação da autora, em

Licenciatura em Matemática, pela Universidade Federal do Espírito Santo. Neste estudo foi

possível articular o conhecimento matemático de um produtor rural que construiu em sua

propriedade uma horta com o formato circular com conteúdos ensinados do sexto ao nono ano

do ensino fundamental. O embasamento teórico dessa investigação está amparado na

Etnomatemática, que se apresenta como uma das tendências da Educação Matemática e

presente como referência nos parâmetros curriculares nacionais (PCN’S) [1].

Nessa investigação foram observados conceitos matemáticos presentes nas atividades

de trabalho desse produtor, tais como: cálculo de áreas, unidades de medida, comprimento da

circunferência, polígonos, ângulos e porcentagens. Esses conceitos foram utilizados para

concretizar a construção da horta e foi então que buscamos investigá-los.

Partindo do que foi observado no local da pesquisa, vamos destacar (03) categorias que

caracterizam os conteúdos presentes na horta circular. A, na figura 1 ilustra como é esse tipo

horta para que o leitor tenha uma visão mais concreta do campo de estudo da pesquisa.

Figura 1: modelo de horta circular

Fonte: Disponível em: http://aldaalvesbarbosa.com/tag/horta-mandala/. Acesso em: 26 ago. 15

1) DO PLANTIO AO CULTIVO

A bandeja de semeadura é um instrumento utilizado para auxiliar na preparação da

semente para se tornar muda. As sementes são plantadas em um substrato composto de adubo

1Bolsista de Mestrado CAPES. 2 Orientadora: Maria Cecilia de Castello Branco Fantinato.

Página-179

2



e terra preta, logo deve-se saber a quantidade de adubo e a quantidade de terra necessária para

encher a sementeira e produzir um determinado número de mudas, ou seja, há uma relação

entre o número de mudas x volume do substrato (terra + adubo), relacionando o volume total

de substrato pela quantidade de sementes.

Figura 1 - Bandeja de Semeadura

Fonte: Arquivo da pesquisadora

Depois depara-se com a situação de prever quantas mudas estariam formadas para o

transplante na horta e quantas estavam prontas para a colheita. Para tal ocasião pode-se

calcular o intervalo de tempo entre a semeadura e o tempo de colheita e após esse período

recomeçar este processo, o qual depende da cultura a ser colhida e plantada.

2) FERRAMENTAS DE TRABALHO

Para dispor as mudas no canteiro, o produtor analisa o tamanho da área do canteiro e

também a distância entre as mudas de modo que não atrapalhem seu crescimento. Para

realizar tal tarefa, o sujeito pesquisado desenvolveu uma ferramenta própria, ilustrada na

figura 3, para facilitar e diminuir seu tempo de trabalho. O improviso desta ferramenta

proporcionou agilidade no trabalho, pois sem a mesma, teria de fazer uma cova por vez,

porém utilizando este arado ele faz quatro covas para mudas de uma só vez.

Figura 2 - Ferramenta de trabalho (tipo de arado com espaçamento de 30cm).

Fonte: Arquivo da pesquisadora

3) O FORMATO DA HORTA

O que chama atenção na horta PAIS é a disposição dos canteiros em formato circular. Em

sua construção foi necessário traçar várias circunferências, delimitar os canteiros circulares,

medir o perímetro e a área do terreno, medir o corredor do galinheiro, encontrar o ponto

central, para então traçar os canteiros em forma circular e ainda manipular unidades de

medida.

Os dados coletados nessa pesquisa levaram a examinar e discutir as relações entre os

saberes do mundo no campo e do mundo na escola, olhar para a vida “lá fora”, permitindo

observar o quanto as situações-problema presentes na horta estavam repletas de matemática

(KNIJNIK, 1996, p.194) [4]. Ao perceber que esta aproximação era possível constatou-se a

necessidade de aprofundamento das investigações de campo dessa pesquisa.

4) CONCLUSÕES

Página-180

3



Observou-se que de modo geral, os conteúdos matemáticos inseridos dentro do

contexto vivido pelo sujeito da pesquisa são de fácil entendimento, porém quando vistos de

forma isolada na escola, podem apresentar mais dificuldade de entendimento e assimilação

onde o próprio produtor relata que,

“Se na época que eu comecei a estudar tivesse uns projetos assim, eu acho que já

chamaria mais atenção, né? Porque lá na escola eu estaria estudando e quando

chegasse aqui (no campo), eu já ia ter noção ‘nossa isso aqui é aquilo que eu tava

vendo lá no livro e tal” (relato do pesquisado).

Este comentário remete a percepção de que as situações vividas auxiliam em outros

momentos do processo de aprendizagem. Obviamente, deve-se considerar que os conteúdos

matemáticos precisam ter embasamentos abstratos, teoria e prática relacionadas

(D’AMBROSIO, 1986) [2].

Partindo do que já foi investigado pretende-se conhecer e compreender os saberes

matemáticos envolvidos na cultura e nas atividades do homem do campo, que trabalha numa

“horta circular”, tal qual a pergunta de pesquisa foi se caracterizando: como as ideias de

natureza matemática são trabalhadas e processadas nas atividades de construção e manejo da

horta circular?

Entretanto, buscou-se responder essa pergunta de investigação, elencando algumas

questões para direcionar a pesquisa. Pretende-se explorar e conhecer as maneiras do homem

do campo organizar seu pensamento matemático, como por exemplo: quais as medidas

utilizadas na preparação do adubo orgânico? O porquê da escolha da horta com esse formato?

Quais as diferenças da horta nesse formato e o formato retangular? Quais as estratégias foram

utilizadas para demarcar a área dos canteiros? A produção é apenas para consumo próprio ou

comercializam? Como calculam o valor dos produtos que serão comercializados? Caso não

comercializem, a produção de hortaliças e leguminosas diminuiu os custos no supermercado?

De que maneira percebem se tiveram lucro ou prejuízo? Como aprenderam esse tipo de

construção? Tiveram alguma formação para isso? Qual o nível de escolaridade desses

produtores? Como fazem o planejamento da colheita e preparação de mudas para que a terra

não fique ociosa?

Dessa forma, buscar-se-á interpretar os fatos narrados por um trabalhador rural, bem

como observar seu modo de lidar com os saberes matemáticos inseridos nas suas atividades,

pois como escreveu Freire (2011, p.11) [3], “Todo aprendizado deve encontrar-se

intimamente associado à tomada de consciência da situação real vivida pelo educando”, essas

palavras fazem muito sentindo do que se espera com essa pesquisa.

Referências:

[1] BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília:

MEC/ SEF, 1997.

[2] D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. São Paulo:

Summus, 1986.

[3] FREIRE, Paulo, 1921-1997, Educação como Prática da Liberdade. Paulo Freire. 14, ed. rev. Atual. Rio e

Janeiro: Paz e Terra, 2011.

[4] KNIJNIK, Gelsa. Excursão e Resistência: educação matemática e legitimidade cultural. Porto Alegre: Artes

Médicas, 1996.

Página-181

Página-182



A música como proposta pedagógica no ensino de matemática

Maria de Fátima Nardo Fernandes Luiz Fernando Hoffmann

Escola Estadual Dr. Artur Antunes Maciel

Rua Paulo Carneiro da Silva, Módulo II, 121 78320-000, Juína, MT


Wanessa Hoffmann1

Instituto Federal de Mato Grosso, IFMT – Campus Juína

Linha J, Quadra 8, s/n 78320-000, Juína, MT


RESUMO

A matemática é vista pelos alunos como uma disciplina muito difícil e os mesmos alegam não ter

utilidade para seu cotidiano. O ensino da mesma tem apresentado muitos desafios constituindo-se em

uma tarefa complexa. Buscando melhorar esta situação, muitos professores utilizam-se de atividades

diferenciadas em suas aulas.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática (1997, p.32), “é consensual a ideia

de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de

qualquer disciplina, em particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de

trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática”. Desse modo, a

música pode ser uma ferramenta de ensino, visto que esta está intimamente relacionada com a

matemática.

A relação entre matemática e música é estudada desde a antiguidade. Pitágoras foi o primeiro a

tomar conhecimento e a realizar pesquisas sobre a mesma. Ele construiu um instrumento conhecido

como monocórdio que foi utilizado como experimento para seus estudos. O monocórdio era

constituído de uma corda esticada entre dois cavaletes fixos sob uma caixa de madeira e com um

cavalete móvel, como mostra a figura 1.

Figura 1 – Monocórdio.

Fonte: LINCK, 2010, p. 12.

Pitágoras descobriu que exercendo determinada tensão sobre a corda, e repetindo o processo,

porém com uma tensão diferente sobre a corda, ao fazê-la vibrar, eram produzidos sons diferentes.

Alterando a posição do cavalete móvel em diferentes frações da corda, de modo que dividisse seu

comprimento, o mesmo efeito acontecia. Ao colocar o cavalete no meio da corda e faze-la vibrar, ele

observou que o som produzido era similar quando a corda vibrava solta, ou seja, presa apenas pelas

extremidades, entretanto com o dobro de vibrações tornando o som mais agudo. E realizando o

mesmo procedimento, mas com as frações

e

do comprimento da corda, ele observou novos sons.

Assim, ele conseguiu estabelecer relações entre os números e os sons, que constituem as notas

musicais.

1 Licenciando em Matemática pelo Instituto Federal de Mato Grosso – Campus Juína e Bolsista de Iniciação à Docência PIBID/CAPES.

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Segundo Pereira (2013, p. 22), “não se sabe ao certo em que tom estava afinado o monocórdio,

mas, isso não tem importância, pois o que realmente interessa é a relação entre a corda tocada solta

(tônica) e as outras notas obtidas pressionando o monocórdio em determinadas posições e fazendo

vibrar a corda [...]”. A partir dessas divisões, originaram-se os primeiros intervalos: a tônica (corda

inteira), a quinta (dois terços da corda), a quarta (três quartos da corda) e a oitava (metade da corda).

Deste modo, surgiram as primeiras notas musicais, sendo elas: DÓ, SOL, FÁ e DÓ, mais agudo em

relação ao primeiro, e assim, constituiu-se a primeira escala musical, a escala Pitagórica. Todavia,

havia outras escalas musicais que foram construídas por diferentes povos seguindo seus próprios

parâmetros.

Com o passar do tempo, foram descobrindo outras notas musicais, seguindo as mesmas

proporções definidas por Pitágoras, sendo elas: RÉ, MI, LÁ e SI. Dessa maneira, foram criadas as sete

notas musicais como se conhece hoje.

Entretanto, o modelo matemático de escala possuía falhas, uma vez que, “o intervalo entre duas

notas da escala, quer dizer, entre a frequência sonora das notas, não era sempre o mesmo. Os

intervalos entre um DÓ e um RÉ, ou entre um RÉ e um MI, não eram os mesmos que os intervalos

entre MI e FÁ ou entre SI e DÓ”. Visando ajustar o intervalo entre as notas, percebeu-se a

necessidade de introduzir novas notas musicais entre as notas originais para que as mesmas fossem

distribuídas igualmente. Deste modo, surgiu a Escala Temperada, composta por doze notas musicais,

na qual o intervalo entre duas notas consecutivas são iguais. As cinco notas introduzidas,

denominadas "acidentes musicais", no sentido ascendente (do mais grave para o mais agudo) são

chamados sustenido (♯) e no sentido descendente (do mais agudo para o mais grave) são chamados

bemol (b). (PEREIRA, 2013, p. 32)

Através do aferimento destes conhecimentos por meio de pesquisas bibliográficas, verificou-se a

possibilidade de emprego da música como ferramenta de ensino de matemática. E a oportunidade de

execução desta proposta como didática de ensino da matemática com música foi implementado na

Escola Estadual Dr. Artur Antunes Maciel, localizada no município de Juína – MT, no projeto

intitulado Seminário EMIEP que agrega a participação dos estudantes de primeiros, segundos e

terceiros anos do Ensino Médio Integrado a Educação Profissional, dos cursos técnicos de

administração e informática. Neste dia, 26 de junho, foram destinadas duas horas para realização de

diversas oficinas, incluindo esta intitulada como “Matemática e Música”, onde os alunos inscritos

voluntariamente participariam.

Esta oficina foi elaborada com o intuito de divulgar o conhecimento acumulado ao longo dos

anos sobre a relação entre a matemática e a música. E, a partir dessa relação, despertar nos alunos o

interesse pela matemática, uma vez que atualmente muitos dos mesmos apresentam dificuldades e

aversão por esta disciplina. A opção por confeccionar um monocórdio surgiu para elucidação da

construção das notas musicais através de frações, constituindo estas, conceitos comuns aos três séries

do ensino médio.

Para dar inicio a oficina foi reproduzido um vídeo onde tocava-se musicas utilizando um

instrumento feito com tubos de PVC. E, neste momento, observou-se que os alunos demonstraram

admiração ao ver o mesmo. Após, foi realizada uma exposição da história entre matemática e música

através da apresentação de slides.

Em seguida, os alunos foram convidados á sair da sala de aula para que pudessem confeccionar

seu próprio monocórdio, em lugar apropriado, e esta atividade exigiu muito tempo. Encontraram

alguns problemas, como prender a corda e os preguinhos que se soltavam no momento de estica-la. Os

alunos foram muito participativos na realização desta atividade e também trabalharam em grupo, uma

vez que, um ajudava o outro quando tinham algum obstáculo.

Posteriormente, eles realizaram o processo de afinação do monocórdio com a utilização de um

aplicativo para celular para que em seguida fosse apresentada a escala pitagórica e a escala temperada

construídas através de frações. Porém, não foi possível construir a escala temperada no tempo

determinado, sendo apresentada apenas a escala pitagórica onde foi possível mostrar o experimento

feito por Pitágoras e relacionar a construção das notas musicais criadas por ele com as frações de um

seguimento de corda.

Sendo assim, observou-se que havia pouco tempo para execução das atividades propostas,

inclusive as complementares, permitindo maior aproveitamento da atividade que foi proposta, visto

que os alunos não tinham conhecimento sobre música e também tinham dificuldade em matemática,

dificultando assim o avanço no conteúdo que foi preparado.

Campos (2009, p. 16) destaca que através da música “há interação com o outro e consigo

mesmo, capacidade de criar e experimentar, dinamizar a aprendizagem de conteúdos formais do

currículo da escola e trazer alegria ao ambiente escolar, estimulando a comunicação, a concentração, a

capacidade de trabalhar e de se relacionar melhor em grupo”. Notou-se que a construção do

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monocórdio atraiu a atenção e estimulou a utilização do conhecimento matemático de forma

prazerosa, o que desperta a curiosidade e a busca pelo conhecimento e, consequentemente, o

aprendizado. A música contribui para o entendimento de vários conceitos matemáticos, como, por

exemplo, o de razão e proporção, trazendo os conhecimentos matemáticos mais próximos do cotidiano

e da prática.

Referências

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:

Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.

CAMPOS, Gean Pierre da Silva. Matemática e Música: práticas pedagógicas em oficinas

interdisciplinares. Dissertação de Mestrado. Vitória, ES. Universidade Federal do Espírito

Santo, 2009. Disponível em:

<http://portais4.ufes.br/posgrad/teses/nometese_165_GEAN%20PIERRE%20DA%20SILVA

%20CAMPOS.pdf>. Acesso em: 14 jan. 2015.

LINCK, Fábio Gomes. Música e Matemática: Experiências didáticas em dois diferentes

contextos. Monografia de Pós-graduação. Porto Alegre, RS. Universidade Federal do Rio

Grande do Sul, 2010. Disponível em: <http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/31592>.

Acesso em: 14 jan. 2015.

PEREIRA, Marcos do Carmo. Matemática e Música: de Pitágoras aos dias de hoje. Tese de

Mestrado. Rio de Janeiro, RJ. PROFMAT – UNIRIO, 2013. Disponível em:

<http://www2.unirio.br/unirio/ccet/profmat/tcc/2011/tcc-marcos>. Acesso em: 14 jan. 2015.

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1.1.1.1. 4 Coloquio de Matematica da Regiao Centro OesteUniversidade Federal de Goias

Uma introducao as simetrias da natureza

Jose N. Oliveira Paulo E. G. AssisInstituto de Fısica e Quımica




RESUMO

1 Introducao

Desde os primordios da civilizacao ocidental atual, na Grecia antiga, associamosas nocoes de beleza e harmonia ao conceito da simetria. Por onde quer que olhemosa nossa volta, podemos abstrair e identificar simetrias nos objetos que nos rodeiam.Sabemos que se refletirmos a imagem frontal de uma pessoa pelo eixo central obte-mos quase a mesma figura. Muitas frutas, similarmente, apresentam um invarianciaquando giradas ao longo do seu eixo principal, mas nao e o caso da carambola, queso preserva sua forma original se a rotacao ao longo do eixo principal for feita emmultiplos inteiros de um angulo mınimo, 360o

5 , por apresentar simetria pentarradial.A teoria de grupos e um ramo da matematica que estuda as estruturas algebricas,

conhecidas como grupos. Sua linguagem e usada tanto na matematica pura quantona aplicada, regulando a formacoes de padroes do mundo natural. Tais grupos saousados geralmente para capturar simetrias internas de estruturas, associada comalgumas propriedades invariantes que sao preservadas por um conjunto de trans-formacoes que, juntamente com a sua operacao de composicao de transformacaoformam o grupo de simetrias. Alguns exemplos de simetria encontrados na Fısicasao: identidade, rotacao, reflexao, inversao espacial, translacao espacial, translacaotemporal, transformacao de Galileu, transformacao de Lorentz e operacao de per-mutacao.

Ao se estudar sobre teoria de grupos, torna-se necessario conhecer algumas de-finicoes e teoremas fundamentais para sua compreensao. Entre elas, vale destacar:

Definicao 1 Um conjunto G consistindo dos elementos a, b, c, ...G = a, b, c, ... ≡G,∗ e chamado de Grupo para uma dada operacao (*), se seus elementos satis-fazem as seguintes propriedades:

a) Condicao de Fechamento: ∀ a , b ∈ G, a∗b = c ∈ G;

b) Condicao de Associatividade: ∀ a , b, c ∈ G, (a∗b)∗c = a∗(b∗c);

c) Elemento Unidade: ∃ e ∈ G, tal que: ∀ a ∈ G, a∗e = e∗a = a;

d) Elemento Inverso de a: ∀ a ∈ G, ∃ a−1 tal que: a∗a−1 = a−1∗a = e.

Se para ∀ a , b ∈ G tem-se a∗b = b∗a, diz-se que o grupo e Comutativo ouAbeliano. O numero de elementos de um grupo e chamado de ordem do grupo.Os grupos podem ser finitos ou infinitos. Um grupo cujos elementos sao caracteri-zados por um numero de parametros contınuos e chamado Grupo Contınuo. Doisgrupos G e G′ sao ditos isomorficos se a cada elemento gi ∈ G corresponde a ume somente um elemento gi ∈ G′ (gi ∈ G ⇔ ∃ g′i ∈ G′) e, ainda, se gigj = gk, entao

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g′ig′j = g′k, para todos os elementos de G e G′. Deste modo: G ≈ G′. Portanto, eles

tem a mesma tabela de multiplicacao. Dois grupos G e G′ sao homomorficos , seos elementos de G podem ser postos em uma correspondencia (nao um a um) com oselementos de G′ e desde que esta correspondencia preserve as leis de multiplicacaodos dois grupos. O conceito de Homomorfismo e muito usado em cristalografia .

As simetrias sao facilmente reconhecidas em varios objetos que apresentam essaspropriedades, mas e importante perceber que as equacoes matematicas e as leis danatureza tambem podem apresentar caracterıstica de simetria com relacao a certastransformacoes. O papel da simetria na Fısica e revelar as transformacoes que levamas invariancias dos objetos de estudo da Fısica, para que se possa entender as leis deconservacao. Assim, o trabalho dos fısicos teoricos consiste, em boa parte, na buscapela compreensao dessas simetrias e, principalmente, de suas leis de conservacaoassociadas.

2 As simetrias e o Teorema de Noether

As leis de Newton formam o arcabouco do estudo do movimento dos corpos, sendo validapara descrever a maioria dos eventos que vemos em nosso cotidiano. No entanto, sabe-se queseu domınio de validade e restrito, deixando de serem apropriadas para se estudar corpos que semovem muito rapidamente - quando comparados a velocidade da luz - ou corpos de dimensoesmuito reduzidas - como eletrons ou protons. Acontece que as leis de conservacao que podem serextraıdas das leis de Newton, como as de energia e de quantidade de movimento, sobrevivem asquebras de paradigmas representadas pela teoria da Relatividade e pela Fısica Quantica e saodiariamente usadas pelos cientistas desbravando as fronteiras do conhecimento atual.

O formalismo Lagrangeano e um conveniente meio para se estudar as simetrias de modosistematico, pois permite derivar as equacoes de movimento de um sistema (seja ele mecanico,eletromagnetico ou outro, como Yang-Mills) a partir de um princıpio variacional, com grandeaplicabilidade e usando coordenadas generalizadas, a fim de especificar a configuracao ou estadodo sistema, demonstrando que a existencia de simetrias Lagrangeanas implicam na existenciade quantidades conservadas.

As coordenadas nao precisam ser necessariamente cartesianas, em alguns casos torna-se maisfacil e conveniente usar outros tipos, a fim de especificar a configuracao ou estado do sistema,na qual denominamos de coordenadas generalizadas, dadas por: qi, i = 1, 2, ..., 3N . A derivadatemporal de qi leva a velocidade generalizada que sera denotada como qi = dqi

dt .Um sistema pode ser caracterizado pela combinacao de sua energia cinetica T com sua energia

potencial V . Sabe-se que a soma corresponde a energia mecanica total E, onde E = T + V .Mas e conveniente introduzir sua diferenca, chamada de funcao Lagrangeana L, a partir daqual e equacao de movimento pode ser escrita em termos da equacao de Euler-Lagrange (E-L):L = T − V . Desse modo pode-se escrever a equacao do movimento em termos da equacao deE-L e supondo L(q, q) = T (q) + V (q), tem-se:

d

dt

∂L∂qi− ∂L∂qi

= 0 ⇔ d

dt

∂T

∂q− ∂V

∂q= 0 (1)

No caso em que o Lagrangeano independe explicitamente de uma coordenada qi, tem-se que:

d

dtpi = 0, onde pi ≡

∂L∂qi

. (2)

Essa equacao e definida como sendo o momentum canonicamente conjugado a uma coorde-nada qi, e que no caso de uma coordenada cıclica ele e conservado. Logo, o sistema do Lagran-geano com respeito a uma coordenada esta ligada a existencia de uma lei de conservacao, compi sendo o momentum associado a uma coordenada generalizada qi qualquer (posicao, angulo,etc.).

Página-188

As simetrias tambem podem ser evidenciadas no formalismo Hamiltoniano, onde um sistemapode ser caracterizado por suas posicoes e momento (~q, ~p), num conjunto comumente chamadode espaco de fase. Mas a conexao formal entre simetrias e leis de conservacao e dado peloteorema de Noether. Este teorema diz que para cada simetria que encontramos em um sistemafısico temos associada uma lei de conservacao, ou seja, uma grandeza do sistema mantem seuvalor (permanece inalterada) quando realizamos a operacao associada a simetria.

3 Resultados

A existencia de simetria num movimento pode ser facilmente identificada num lancamentovertical para cima, de um objeto a partir do solo. No ensino medio convenciona-se que estemovimento ocorre no vacuo, em apenas uma dimensao e, ainda, sob a influencia unicamente dasua forca peso. Para se compreender melhor esta situacao, pode-se analisa-la em duas etapas:um movimento retilıneo retardado na subida e um movimento retilıneo acelerado na descida.

Na subida, tem-se que: ~vy = ~v0y−~g.ts, onde ~vy e a velocidade final, ~v0y a velocidade inicial, ~ga aceleracao da gravidade e ts o tempo gasto na subida. Como no ponto mais alto tem-se ~vy = 0,a equacao final para esta etapa sera v0y = g.ts. Na descida, tem-se que: ~vy1 = ~v0y1 +~g.td, onde~vy1 e a velocidade final, ~v0y1 a velocidade inicial, ~g a aceleracao da gravidade e td o tempo

gasto na descida. Para esta situacao, tem-se que ~v0y1 = 0, a equacao final para esta etapa seravy1 = g.td.

Como o tempo de subida desse objeto e igual ao seu tempo de descida, tem-se que v0y = vy1.

Lembrando que a energia cinetica e dada por Ec = m.~v2

2 , conclui-se que Ec0 = Ecy1, verificando setratar de um movimento simetrico por simetria temporal, pois a energia se manteve constante.Sendo assim, as velocidades de subida e de descida possuem os mesmos modulos e mesmasdirecoes, mas sentidos contrarios.

Nota-se que as simetrias da Lagrangeana implicam a existencia de cargas conservadas, assim:

• Invariancia temporal implica em conservacao de energia

• Invariancia translacional implica em conservacao de momentum linear

• Invariancia rotacional implica em conservacao de momentum angular

• Invariancia de gauge implica em conservacao de carga eletrica

Apesar da simetria possuir um papel fundamental no entendimento das leis de conservacao naFısica, seu ensino nao faz parte do currıculo escolar da educacao basica e raramente e abordadonos anos iniciais dos cursos superiores de ciencias exatas. Neste sentido, este trabalho buscapossibilitar o acesso a esse ensino, consistindo em organizar ferramentas tecnologicas e materialcientıfico, promovendo inclusive um curso on-line sobre simetrias.

Referencias

[1] BASSALO, J. M. F.; CATTANI, M. S. D. Teoria de Grupos para Fısicos. Sao Paulo:Editora Livraria da Fısica, 2008.

[2] FAZZIO, A.; WATARI, K. Introducao a teoria de grupos aplicada em moleculas esolidos. 2. ed.. Santa Maria: Ed. da UFSM, 2009.

[3] OLIVEIRA, G. M. Simetria de moleculas e cristais: fundamentos da espectroscopiavibracional. Porto Alegra: Bookman, 2009.

[4] STEWART, I. Uma historia da simetria na matematica. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.

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O Ensino da Matematica como Pratica Social

Jhessica B. S. Frota Fabio S. Lima∗

Universidade Estadual do Maranhao Centro de Estudos superiores de Imperatriz, UEMA/CESI

Rua Godofredo Viana, 1300

65900-000, Imperatriz, MA


Kaio M. GomesUniversidade Estadual do Maranhao Centro de Estudos superiores de Imperatriz, UEMA/CESI

Rua Godofredo Viana, 1300

65900-000, Imperatriz, MA


RESUMO

Este trabalho apresenta o ensino da matematica como pratica social, tendo emvista que uma grande parte dos problemas na educacao de hoje e a falta de percepcaode que o mundo nao e aquele espaco fechado da sala de aula, segundo D’ Ambrosio“essa matematica fechada da sala de aula e a matematica congelada”[1]. Entende-sepor pratica social como sendo o comportamento que se pratica no intuito de havera socializacao e interacao entre indivıduos, ou seja, ganho de consciencia pela ideiade conhecimento tendo o indivıduo um acrescimo de informacoes privilegiadas doshabitos, costumes e tradicoes do ambiente social no qual estar inserido.

De acordo com Cortella atraves do estudo da matematica o indivıduo podeaprender a integrar-se a qualquer sociedade ou cultura, conectado com a vida diariade maneira que haja uma etica do conhecimento, onde o mesmo possa aplicar o sa-ber adquirido em benefıcio enquanto sociedade[2]. A matematica e um instrumentopoderoso que esta em tudo na vida, logo e necessario utiliza-la adequadamente. Con-forme as ideias de Freire e a etica que protege a solidariedade, forma cidadaos e darciencia na vida coletiva[3]. Tudo isso tornar-se um desafio para o professor enquantoeducador, pois a escola tenta enquadrar o aluno num ambiente muito diferente doseu dia a dia, sendo que muita coisa que poderia ser explorada e examinada, comopor exemplo nas artes, nas profissoes, na natureza, deixa de ser explorada como ins-trumental matematico fazendo com que a escola continue no mesmo mundo fechado.Hoje a preocupacao da grande maioria dos alunos na disciplina de matematica epassar nas provas e parece que tudo e dirigido a se preparar para isso. Enquantoeducacao e muito mais, a mesma tenta entender e explicar o mundo, visando criarrelacionamentos com pessoas o que nao e contemplado nas disciplinas tradicionais.

E importante passarmos para os educandos que todos sao matematicos no mundo,so que nem todos se sentem como tal. Todos os dias, diferente pessoas se utili-zam da matematica para sanarem suas necessidades diarias mesmo sem utilizaremformulas ou regras e isso e o que chamamos de natureza matematica. A naturezamatematica vem como sendo o indivıduo que se utiliza do processo de comparacao,de classificacao, de ordenacao, de medicao e de quantificacao. Tudo isso e muito

∗Graduando em Licenciatura Plena em Ciencias com Habilitacao em Matematica, UEMA/CESI

Página-191

natural sendo o ponto de partida para as ideias matematicas. Alem do professor dematematica, cientistas, medicos, engenheiros, arquitetos, economistas, funcionariosbancarios, funcionarios publicos, polıticos, serralheiros, agricultores, pintores, artis-tas, donas de casa, varredores de rua, futebolistas, desportistas entre muitos outros,usufruem deste saber para poderem realizar as tarefas que lhes sao confiadas. Ma-chado e D’ Ambrosio salientam a aplicacao do conhecimento matematico em be-nefıcio da sociedade vem como ponto chave para grandes mudancas na mentalidadedos educandos[4]. Cada docente devera ter consciencia de que a esperanca do ensinoesta nas criancas e jovens de hoje, uma vez que estes poderao mudar a sociedade econtribuir para um mundo melhor.

Logo a presente proposta pedagogica objetiva inserir no meio escolar a realidadecotidiana do educando, no processo ensino aprendizagem, na qual os conteudos outopicos em matematica serao correlacionados com saberes adquiridos no dia a diado aluno, por meio de transposicao didatica .O aluno levara a realidade da suafamılia ao meio escolar apresentando os conhecimentos matematicos da profissao deseus parentes proximos ou de atividades realizadas diariamente em que se envolva anocao numerica, no qual esta tao inserida no contexto de vida que ja nao se percebecomo calculo, como por exemplo fazer compras.

Considerando-se os conceitos da etnomatematica que como explica Flemming“A etnomatematica leva em consideracao que cada grupo cultural possui identidadepropria ao pensar e agir, possuindo um modo proprio de desenvolver matematica”[5],as escolas envolvidas nesse projeto desenvolveram junto a comunidade local acoescom os familiares dos alunos, em que se faca o planejamento financeiro da famılia,reconhecimento de forma geometrica e conceito de arquitetura nas construcoes da co-munidade e artesanato, seja essa comunidade urbana, rural quilombola ou indıgena.Ainda serao realizados a busca de padroes matematicos em atividades culturais,jogos, dancas, brincadeiras de roda e etc. Verificando tais saberes matematicosnas musicas, figuras e estampas de roupas tıpicas das mais diferentes manifestacoesculturais, e estrategias para pontuacao em jogos recreativos.

Referencias

[1] D’AMBROSIO, U. Educacao Matematica da teoria a pratica. Campinas: Papirus,2009.

[2] CORTELLA, M. S. Educacao, Escola e Docenca: novos tempos, novas atitudes. SaoPaulo: Cortez, 2014.

[3] FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessarios a pratica educativa. SaoPaulo: Paz e Terra, 1996.

[4] MACHADO, N. J.;D’AMBROSIO, U.Ensino de Matematica: pontos e contra pontos.Sao Paulo: Summus Editorial, 2014.

[5] FLEMMING, D.M. Tendencias em educacao matematica. Palhoca: Unisul Virtual,2005.

Página-192

01



Oware: semeando e colhendo conhecimentos na Matemática

Jefferson R. Dias¹ Fernando R. Barbosa

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí – Campus Uruçuí Rodovia PI 247, Km – 07, Portal dos Cerrados

64860000, Uruçuí, PI Emails: [email protected] [email protected]

RESUMO

Buscando uma atividade pedagógica que envolva a cultura e a História dos Povos Africanos,

pensou-se na aplicação de um jogo da família Mancalas, o Oware. Ao se relacionar a Cultura Africana

à Matemática (Etnomatemática), tem-se a oportunidade de: resgatar identidade; criar motivação;

desenvolver técnicas e habilidade de pensar de forma independente; colaborar na construção desta

nova sociedade emergente e potencializar, dessa forma a aprendizagem ao ser apresentado suas

contribuições através do recurso lúdico. As atividades foram aplicadas aos alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental de uma escola localizada em Uruçuí, cidade do estado do Piauí. A coleta dos dados foi

realizada através de registros das aplicações das atividades, em seguida, verificou-se a relevância

dessa proposta de ensino para a aprendizagem da Matemática. Palavras-chave: Mancalas, Etnomatemática, Cultura africana, Aprendizagem

INTRODUÇÃO

Para um melhor desenvolvimento da

aprendizagem do aluno, os professores estão

sempre buscando alternativas para que haja

uma maior motivação e também grande

aproveitamento no decorrer de todo processo

de ensino aprendizagem. Esse procedimento

pode ser conduzido pelo uso de jogos.

A utilização de jogos se constitui

como uma medida de intervenção pedagógica

na construção e formação do conhecimento.

Esse tema vem sendo cada vez mais abordado

nas escolas e dentro da sala de aula, sendo

objeto de estudo de professores e

pesquisadores de diferentes áreas do ensino.

O trabalho aqui exposto aborda

aspectos da aplicação de um tipo de mancala

africano, o Oware, aplicado aos alunos do 8º

ano do Ensino Fundamental da Unidade

Escolar Profª Lourdes Cury durante o

segundo semestre de 2015, com o apoio da

professora da disciplina Matemática, também

supervisora do programa PIBID na referida

unidade de ensino.1

1 Bolsista de Iniciação Científica PIBID/CNPq

ETNOMATEMÁTICA

Segundo dados do Instituto de

Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA) de

2009, no Brasil, os afro-brasileiros

representam 51% da população. De acordo

com a Lei nº 10.639, sancionada em janeiro

de 2003, tornando-se evidente milhares de

jovens negros e brancos aprendendo sobre a

cultura e a história afro-brasileira, resgatando

suas contribuições nas áreas social,

econômica e política, pertinentes à História do

Brasil.

É nesse contexto, por meio da

Etnomatemática, que se insere no âmbito

escolar a cultura africana, sendo de

fundamental importância para entender a

realidade e para quebrar o velho tabu de que a

Matemática é um conhecimento construído

exclusivamente por determinados grupos

sociais ou sociedades mais desenvolvidas

(D’AMBROSIO, 2008). Assim, busca-se em

forma de jogo usos e atividades culturais que

facilitam a aprendizagem e os ensinos da

matemática.

Página-193

02



A IMPORTÂNCIA DOS JOGOS NO

ENSINO DA MATEMÁTICA

Como uma oportunidade de integração

dos indivíduos em grupos, de traçar objetivos

a serem cumpridos, buscar uma cooperação

mútua, procurar estratégias para resolução de

questões e desenvolver aspectos cognitivos,

são algumas das qualidades que o uso de

jogos nos traz como recurso didático-

pedagógico. E também como uma forma de

chamar a atenção do aluno, despertando o seu

senso crítico e investigador, com a ajuda do

professor que é responsável pelo

planejamento.

Com a implementação de atividades

lúdicas, para romper com o tradicionalismo,

fica fácil desenvolver o espírito motivador do

aluno, levando-o a desenvolver técnicas e

habilidade de pensar de forma independente

através deste recurso lúdico, além de

promover uma aprendizagem cooperativa e

impulsionar o desenvolvimento da

comunicação.

Nesta perspectiva, através do jogo

Oware - um tipo de jogo integrante do grupo

mancalas - busca-se disseminar o

conhecimento e a cultura africana dentro da

sala de aula, resultando na melhoria da

qualidade de ensino e preparando o educando

para a cidadania.

MANCALAS

Os mancalas são um conjunto de jogos

provavelmente de origem africana, criados

por negros africanos escravizados, existindo

mais de 400 maneiras de jogar. Podendo ser

jogado em tabuleiros de madeira, cerâmica,

bronze, ouro ou em covas cavadas no chão,

dependendo da região em que se localiza.

O termo mancala origina-se do árabe

naqala, que significa mover, deslocar,

transportar de um lado para o outro. Segundo

alguns pesquisadores evidencia-se que ele

tenha cerca de sete mil anos. É disputado por

dois participantes, simulando o plantio de

sementes, ou seja, os seus movimentos têm

um sentido de colheita (CÂMARA, 2007).

Aparentemente simples, mas o jogo

requer cálculo mental, muita concentração,

esforço intelectual e perceber

antecipadamente algumas jogadas do

adversário.

REGRAS PARA O JOGO OWARE

Montando o tabuleiro: o jogo Oware

é disputado num tabuleiro com 12 pequenas

cavidades (formando duas filas, cada uma

com 6) e duas cavidades maiores para servir

de depósito durante a colheita, cada cavidade

é inicialmente composta por 4 sementes.

Objetivo do jogo: colher o maior

número de sementes possível.

Como jogar: cada jogador é

responsável por 6 cavas pequenas e 1 mancala

(cava maior).

Iniciando a partida: Cada jogador

ficará de frente para a fileira que lhe pertence.

O jogador que iniciar a partida deve apanhar

todas as sementes de uma de suas cavas e

distribuir nas cavas seguintes no sentido anti-

horário sem pular nenhuma cava, o mesmo

para o adversário.

Colhendo as sementes: 1ª REGRA: se a última semeada cair

na cava do adversário e esta possuir um total

de duas ou três sementes, então é permitido

colher todas as sementes da cava;

2ª REGRA: se a(s) casa(s) anterior(es)

a essa também tiver(em) duas ou três

sementes, o jogador captura-as e guarda-as no

seu depósito. A captura é interrompida na

primeira casa que não tenha esse número de

sementes;

3ª REGRA: numa situação em que um

jogador não tenha semente para jogar, sendo a

vez do outro, com a possibilidade de prover

sementes ao adversário, o movimento torna-se

obrigatório;

4ª REGRA: Se um jogador realiza

uma captura e deixa o adversário sem

sementes, é obrigado a jogar novamente, de

forma a introduzir uma ou várias sementes

nas casas dele.

5ª REGRA: Não se pode tirar

sementes de casas que só tenham 1 semente

enquanto houver casas com 2 ou mais.

Fim da partida: Quando um dos

jogadores fica sem sementes e o adversário

não pode introduzir sementes nas cavas desse

Página-194

03



jogador, a partida termina e o adversário

recolhe todas as suas sementes. Ganha quem

tiver o maior número de sementes.

O jogo, de forma geral, possui alguns

objetivos claros: jogar estrategicamente;

obedecer às regras citadas; desenvolver o

raciocínio do aluno; instigar as operações

básicas; tornar as aulas motivadoras e

desafiadoras e a busca incessante para

aprender novas estratégias a serem usadas

para ganhar o jogo.

JOGO OWARE NA ESCOLA

A escola está localizada na Rua

Thomas Pearce, 361 Centro, é uma instituição

de ensino da rede pública municipal da cidade

de Uruçuí, que foi fundada em 1988.

Atualmente, a escola conta com 525 alunos

matriculados no ensino fundamental menor,

maior e EJA e um total de 55 funcionários.

A aplicação do jogo teve duração de 4

horas. O material foi confeccionado com

cartelas de ovos e sementes de feijão. A sala

inicialmente foi dividida em 12 duplas, em

seguida foi apresentado um pouco da cultura e

da História dos Povos Africanos, suas

contribuições e feitos de muita importância

para a formação da sociedade emergente.

Figura 1 - Alunos jogando Oware

Todos os alunos participaram da

atividade, e afirmaram que gostaram da

proposta. Observou-se que alguns alunos, em

primeiro momento tiveram dificuldade para

aprender as regras do jogo, mas não

demoraram muito para estarem todos

adaptados com a brincadeira de semear e

colher sementes.

CONCLUSÕES

Dar um significado a Matemática que

convença o aluno da sua real importância não

é tarefa fácil de ser realizada, mas quando

bem trabalhada, utilizando recursos didáticos

diferentes do tradicional, é possível que

alunos e professores sintam-se mais

motivados a ensinar e a aprender.

A realização dessa atividade trouxe

vários benefícios aos alunos, tanto em matéria

cultural quanto em conhecimento matemático,

estimulando o pensamento lógico-dedutivo, a

imaginação e o cálculo mental, além de

desmistificar a visão preconceituosa da

inteligência africana e promover a valorização

de nossas raízes afrodescendentes.

Concluímos que essa metodologia de

ensino é relevante para ser utilizada em sala

de aula, mas exige empenho tanto do aluno

quando do professor para sua realização e

alcance dos objetivos outrora citados. É

desafiador, mas é satisfatório quando se

promove o conhecimento respeitando a

diversidade e o multiculturalismo, formando

assim cidadãos conscientes, críticos e

solidários.

REFERÊNCIAS

[1] BRASIL. Instituto de Pesquisa

Econômica Aplicada (IPEA). Retrato das

Desigualdades de Raça e de Gênero – 3ª

edição. Brasília: MEC, 2009.

[2] _______. Lei nº 10.639, de 9 de janeiro

de 2003. Altera a Lei no 9.394, de 20 de

dezembro de 1996, que estabelece as

diretrizes e bases da educação nacional, para

incluir no currículo oficial da Rede de Ensino

a obrigatoriedade da temática “História e

Cultura Afro-Brasileira”, e dá outras

providências. Diário Oficial [da] República

Federativa do Brasil. Brasília, DF, 9 jan.

2003.

[3] CÂMARA, Luciene Tavares. Mancala,

Um Jogo Milenar, Contribuindo na

Alfabetização Matemática de Jovens e

Adultos. Brasília, 2007. Disponível em:

<http://www.matematica.ucb.br/sites/000/68/

00000075.pdf>. Acesso em: 14/08/15.

[4] D’AMBROSIO, Ubiratan. O Programa

Etnomatemática: uma síntese. São Paulo,

[S.l.: s.n.], 2008.

Página-195

Página-196



Aprendizagem em matemática com metodologias

diferenciadas

Adriana R. de Oliveira1 Natália M. Tolardo

2

Instituto Federal de Mato Grosso, IFMT Linha J, s/n° - Setor Chácara

78320-000, Juina, MT

Emails: [email protected]. [email protected]

Wellington V. de Lima3

Escola Estadual Doutor Arthur Antunes Maciel Rua Paulo Carneiro da Silva, 121- Centro

78320-000, Juina, MT


RESUMO

O presente artigo tem como intuito relatar a importância do projeto Resgatando a Matemática, que foi

executado pelos alunos do PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência). Tal projeto foi

implantado no ano letivo de 2014, em parceria com uma escola pública do município de Juina-Mato Grosso, no

qual, o professor da escola parceira, após perceber os resultados em sala de aula, nas progressões parciais e nos

reforços escolares, criou o projeto "Resgatando a Matemática", que proporciona aos alunos uma grande

oportunidade de estudo e compreensão significativa da disciplina, e aprimora a gama de conhecimento e

entendimento individual da matéria. Esta é uma maneira criativa de suprir as possíveis falhas do Ensino

Fundamental, para uma parcela significativa dos alunos.

Um de seus objetivos principais é auxiliar, alunos com dificuldade em matemática, com o intuito de

resgatar conhecimento dentro da sala de aula, evitando que o estudante, no final do ano, se depare com a

progressão parcial. Desta forma, o PIBID trabalhou com alunos do Ensino Médio, levando novas informações e

conhecimentos, utilizando atividades extras e jogos matemáticos, sempre os concatenando com os conteúdos

ministrados em sala pelo professor. As aulas do projeto eram realizadas após as atividades corriqueiras da escola,

e consistia em os bolsistas do PIBID realizarem a progressão e a execução do projeto com os alunos da escola

parceira.

Conceber uma proposta pedagógica, com consistência e dimensão de caráter permanente, sempre se

mostra um grande desafio perante a qualificação do principal produto – o ensino – e do aluno. Objetivamente, o

projeto deve refletir os anseios da comunidade escolar. Ele deve servir como elo de confiança entre as vertentes,

representando um conjunto comum de metas e proporcionar um espaço permanente de construção do

pensamento crítico. O foco principal, por parte do idealizador do projeto, é transformar o aluno em cidadão e

modificar a sociedade escolar. Na realidade, o que se encontra são alunos interessados apenas no melhoramento

de notas, não no aprendizado real da disciplina. Apesar disso, mesmo com dificuldades e conflitos ideológicos, o

projeto foi realizado e encontrou alguns alunos com verdadeiro interesse em resgatar e modificar seu estilo de

vida.

Assim, o projeto tem como proposta a importância e a melhoria do ensino da matemática, como

instrumento para concretizar métodos de ensino, principalmente no que tange à matemática básica, mediado por

acadêmicos do PIBID, levando o conhecimento de boa qualidade aos alunos participantes. Certamente, a

matemática é uma disciplina básica e fundamental, e sem ela é como se a alfabetização não fosse plena e assim

não haveria um alcance democrático do ensino. Nesse consenso, acentua Machado (1989):

1Graduando em Licenciatura Plena em Matemática e Bolsista do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência - PIBID

2Graduando em Licenciatura Plena em Matemática e Bolsista do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência - PIBID

3Graduado em Licenciatura Plena em Matemática e Bolsista Supervisor do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência - PIBID

Página-197



[...] A matemática, ao lado da linguagem natural, constitui uma disciplina básica nos currículos escolares desde os primeiros anos de escolaridade, em todos os lugares do mundo,

independentemente de raça, credo ou sistema político. Há um consenso com relação ao fato de que o

ensino da matemática é indispensável e sem ele é como se a alfabetização não se tivesse completado.

Sendo assim, o projeto Resgatando a Matemática, do professor da escola parceira e com o

desenvolvimento dos bolsistas PIBID, visa à aprendizagem pura e simples que perpasse o cotidiano e quebre

paradigmas históricos da matemática, simplificando-a e mostrando aos alunos que a disciplina é para todos e que

sua compreensão se faz necessária para a formação deles.

Contudo, buscar e compreender as dificuldades de cada aluno, para desenvolver trabalhos e

metodologias personalizadas, de forma que a aula não fique metódica e cansativa, são fatores que foram levados

em consideração durante o desenvolvimento do projeto, assim contribuindo para que o sucesso esperado e as

metas fossem alcançadas.

O Projeto Resgatando a Matemática é desenvolvido em parceria com o PIBID, que está vinculado ao

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Mato Grosso – Campus Juína, na totalidade de vinte

bolsistas, divididos entre o próprio instituto e a escola estadual para iniciação á docências. Ele foi criado a partir

do PIBID de Matemática em 2014, sendo executado após o término do 2º bimestre da escola parceira, tendo

início em 01 de setembro de 2014. Este projeto contou um cronograma a serem cumpridos, como os conteúdos,

as aulas e o tempo estimulado. Desta forma, ficou distribuída para cada dupla de bolsistas uma turma a serem

ministradas as aulas.

Embora o conteúdo estabelecido pelo criador e orientador do projeto já era pré estabelecido, poderia

haver uma flexibilização das aulas ministradas, se fosse constatada a necessidade para a compreensão plena da

matemática. As disciplinas abordadas eram as mais básicas assim, buscava sanar déficits trazidos do Ensino

Fundamental e dar condições de um aprendizado de qualidade e humanizado no Ensino Médio.

A melhor metodologia de ensino aplicada foi a que utilizava material didático e jogos, pois buscava

uma aproximação dos alunos de modo que eles se sentissem parte do projeto e assim pudesse buscar situações e

estabelecer relações com os acontecimentos cotidianos, para facilitar o aprendizado.

Em certa medida, é como se o ensino da matemática criasse um paradigma para os alunos, de que é

uma disciplina complexa e complicada. Nesse sentido, afirma Machado (1989):

“A utilidade da matemática, todavia, não é clara. Essa falta de clareza pode ser a principal responsável

pelas dificuldades crônicas do padecer em seu ensino.”

Assim, a necessidade dos alunos de resgatar o interesse e buscar compreensão em sua totalidade, da

"temida" matemática, torna necessária a adequação do ensino na promoção de alunos, que se caracteriza por ter

um currículo dinâmico. A matemática deve ser construída e aplicada dentro do contexto no qual o aluno está

inserido, para que assim o interesse dele seja direcionado para isso. Mas também deve privilegiar o

conhecimento prévio do aluno e seus afazeres cotidianos.

Neste sentido, o projeto de resgatar a matemática e tentar solidificar as estruturas básicas da disciplina,

no conhecimento que o aluno traz no decorrer de sua vida educacional, se torna um fator importante e de

extrema necessidade, uma vez que o público-alvo é oriundo de ensino com defasagem e dificuldades de

compreensão.

A matemática é uma disciplina fundamental no Ensino Médio que possibilita a inclusão do estudante

em uma sociedade capaz de desenvolver problemas, decisões, gerar conhecimentos e aperfeiçoar seu trabalho.

Neste consenso, que o projeto foi desenvolvido e não apenas uma busca na melhoria de notas, mas sim, a

formação que perpassa os bancos escolares para vida. A busca constante do projeto era a compreensão

satisfatória em detrimento as dúvidas oriundas de ensinos anteriores defasados.

Acerca da dimensão política, como relevante e estratégico princípio, o projeto consiste em contribuir

não apenas para sanar dificuldades da base, mas também para a construção do cidadão crítico e pleno, fato esse

destacado por D’Ambrósio (1996):

[...] Naturalmente a matemática tem sua dimensão política, inclusive na definição dos currículos

escolares. E nessa definição pode-se orientar o ensino da matemática para preparar indivíduos subordinados, passivos, acríticos, praticando-se uma educação de reprodução, ou pode-se orientar o

currículo matemático para a criatividade, para a curiosidade e para a crítica e os questionamentos

permanentes. Espera-se que a matemática contribua para a formação de um cidadão na sua plenitude.

O Projeto finaliza no mês de Dezembro de 2014, com aspectos positivos, pois, as metas estabelecidas

foram alcançadas e concebidas e o aprendizado da matemática foi dinamizado. Desta forma, o projeto surgiu

para gerar conhecimento aos alunos e resgatar o princípio da disciplina como um auxílio para compreensão. O

Página-198



número de alunos não foi satisfatório, mas para o primeiro ano de aplicação houve uma aceitação significativa

dos participantes. Poucas evasões e a melhora dentro de sala de aula na questão de compreensão e resolução de

exercícios e testes avaliativos.

De fato, o papel principal do projeto foi de contribuir para tornar a matemática o agente transformador,

norteando seu papel político na base curricular e como objetivo maior, a construção de um novo homem, cidadão

formador de opinião e pessoas com maior capacidade de lidar com problemas.

Sendo assim,, o projeto desenvolvido em 2014 teve um aproveitamento aceitável em relação às

atividades em sala, em que o Resgatando a Matemática auxiliou na base, ou seja, no ensino básico da disciplina,

tendo um efeito positivo. Porém, ele deve ser implementado e ampliado para o próximo ano letivo, tendo em

vista a qualificação do principal produto – o ensino – e do resultado maior – o aluno.

Para o segundo semestre de 2015, o programa será ampliado e serão incluídas novas metas e ações,

buscando o envolvimento e comprometimento dos alunos e dos bolsistas do PIBID e formação de cidadãos

críticos.

Referências

[1] D’AMBRÓSIO, Ubiratan. História da Matemática e Educação. Cadernos Cedes. História

e Educação Matemática nº 40, p.9. Campinas: Papirus, 1996.

[2] MACHADO, N. J. Matemática e Realidade: análise de pressuposos filosóficos que

fundamentam o ensino da matemática. 2ª Ed. São Paulo: Cortez, 1989.

Página-199

Página-200

1


Linguagem de programação como ferramenta para o ensino de

sequências de recorrências, progressões aritméticas e geométricas no

Ensino Médio

José Antonio Silva Ferreira1 Jefferson Rodrigues Teixeira

2 Everton Soares Cangussú

3

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão – IFMA Campus São Luís Monte Castelo – São Luís – MA

Avenida Getúlio Vargas, n° 04 – Monte Castelo

65030-005, São Luís, MA

Emails: [email protected] [email protected] [email protected]

RESUMO

O presente trabalho é fruto do projeto de iniciação científica PIBIC/IFMA, intitulado “Sequências de

recorrências no 1º ano do Ensino Médio com auxílio da linguagem de programação BASIC”,

realizado no período de setembro/2014 a julho/2015 e financiado pelo Instituto Federal de Educação,

Ciência e Tecnologia do Maranhão. O trabalho visa promover uma visão holística (organização dos

dados, encadeamento de ideias, representações matemáticas e computacionais, etc.) ao aluno quanto à percepção de padrões e regularidades, além de ser um modo de consolidação da aprendizagem sobre

sequências numéricas, pois elas “[...] são muito comuns não só na Matemática como também em

Computação, na construção de algoritmos” (NOLIBOS, 2010, p. 72), evidenciando a importância do

raciocínio recursivo. A metodologia abordada compreende a elaboração de programas a fim de julgar

o tipo de sequência numérica decorrente de um problema ou situação inserida em comportamentos

concernentes a sequências numéricas aritméticas (progressões aritméticas – PA), geométricas

(progressões geométricas – PG) ou sequência de Fibonacci, permitindo que esses programas tenham

“[...] [seus] comandos [explorados] que permitir[ão] a manipulação de variáveis numéricas”

(CURSO..., 2014), calculando os resultados solicitados (o valor do n-ésimo termo, a exibição de n

termos, etc.). As linguagens de programação utilizadas são a BASIC e/ou PHP, pois estas

compreendem vários motivos para seu uso: domínio público, fácil utilização, download gratuito, ferramenta prática e dinâmica de aplicação em sala de aula, disponibilidade de tutoriais, comandos

simples, prática elaboração dos algoritmos, introdução no estudo sobre linguagens de programação,

rápida execução nos pequenos programas, mensagens de erro simples, incentivo no aluno ao atrelar a

Matemática e a Informática, desenvolvimento do raciocínio recursivo e da organização lógica, dentre

outros. O público-alvo são alunos do 1º ano do Ensino Médio por possuir o conteúdo de sequências

numéricas em sua matriz curricular, a fim de oferecê-los “[...] habilidade e criatividade essencialmente

matemáticas para desenvolver os métodos necessários [de resolução de problemas]” (BASSANEZI,

2011, p. 26). O processo de reconhecimento ocorrerá da seguinte forma: o programa será formatado

em BASIC e/ou PHP contendo as condições necessárias para que ele reconheça se tal sequência é uma

PA, PG ou sequência de Fibonacci. A partir disso, serão inseridas no programa sequências numéricas

obtidas de problemas que abordam padrões de comportamento numérico, algébrico, geométrico, etc.

Logo após a entrada de dados de certa sequência, o programa exibirá uma mensagem, seguindo algumas condições: se for uma PA, PG ou Fibonacci, o programa avisará que a sequência é um dos

destes três tipos e calculará tal termo que queremos determinar ou a soma de tais termos; se não for

nem PA nem PG nem Fibonacci, ele colocará uma mensagem afirmando que a sequência é uma

sequência de recorrência e, a partir daí, será elaborado um programa específico para tal resolução, em

que os cálculos se darão por sequências de recorrência, “[...] definidas recursivamente (isto é, por

recorrência), ou seja, por intermédio de uma carga que permite calcular qualquer termo em função

do(s) antecessor(es) imediato(s)” (LIMA, 2006, p. 67). Espera-se que o aluno seja capaz de julgar,

1 Colaborador do PIBIC e bolsista iniciação a docência PIBID/IFMA

2 Bolsista iniciação cientifica PIBIC/IFMA

3 Professor orientador DEMAT/IFMA

Página-201

2


identificar e calcular termos de certas sequências, em específico, diferenciar e compreender as sequências numéricas de recorrência, fazendo com que a “[...] linguagem de programação [sirva] para

fortalecer e desenvolver os conceitos de recorrência como forma de abordagem em problemas que

apresentam padrões de comportamento numérico ou geométrico” (CANGUSSÚ, 2013, p. 50).

Referências

[1] BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática:

uma nova estratégia. 3. ed. 3. reimp. São Paulo: Contexto, 2011.

[2] CANGUSSÚ, Everton Soares. O ensino de sequências de recorrências na educação

básica com o auxílio de linguagem de programação. 2013. 71 f. Dissertação (Mestrado

Profissional em Matemática) – Universidade Federal do Maranhão, São Luís, 2013.

Disponível em: <http://bit.profmat-

sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/462/2011_00352_EVERTON_SOARES_CA

NGUSSU.pdf?sequence=1>. Acesso em: 07 jan. 2015.

[3] CURSO de programação de jogos usando os compiladores QBasic e FreeBasic.

Disponível em: <http://www.desenvolvedoresdejogos.blogspot.com.br>. Acesso em: 28 dez.

2014.

[4] LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. v. 2. 6. ed. Rio de Janeiro:

SBM, 2006.

[5] NOLIBOS, Denilson Amaral. Relações de recorrência e aplicações. 2010. 76 f.

Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Universidade Estadual de Campinas,

Campinas, 2010. Disponível em: <http://www.bibliotecadigital.unicamp.br/

document/?down=000478917>. Acesso em: 15 dez. 2014.

Página-202


1

Heurística para Lidar com Decisões de Localização e Roteamento incluindo Restrição de Capacidade

Kamyla Maria Ferreira1 Thiago Alves de Queiroz

Instituto de Matemática e Tecnologia, Regional Catalão, UFG Av. Dr. Lamartine Pinto de Avelar, 1120,

75704-020, Catalão, GO Emails: [email protected] [email protected]

RESUMO

Este trabalho investiga o problema integrado de localização de instalações e roteamento

de veículos na sua versão capacitada, em que os veículos e os depósitos tem capacidade limitada. Determinar a localização de instalações e planejar rotas de veículos são decisões que impactam significativamente nos custos logísticos das empresas. Por isso, muitos estudos vem sendo realizados considerando as decisões de localizar e rotear simultaneamente. O Problema de Localização e Roteamento (PLR) tem como objetivo determinar quais instalações devem ser abertas e estabelecer rotas que, partindo dos depósitos, atendam a demanda dos clientes.

O PLR é considerado NP-difícil por ser uma combinação de dois subproblemas que são NP-difíceis [1]. Assim, não se espera que existam algoritmos exatos de tempo polinomial para resolvê-lo. Por outro lado, as heurísticas geralmente apresentam tempo computacional polinomial, sendo aceitável para aplicações de interesse prático, todavia não garantem a solução ótima como os métodos exatos.

Apresenta-se um heurística baseada no recozimento simulado para resolver o PLR, o qual é definido em um grafo não-orientado G=(V,E), tal que V representa o conjunto de vértices, composto pelos potenciais depósitos em I=1, 2, ..., m e os clientes em J=1+m, 2+m, .., n+m, e E representa todas as arestas que ligam dois vértices de V, com exceção para os de I. Cada aresta e ∈ E tem um custo ce. Além disso, cada cliente j tem demanda dj que deve ser atendida por um único veículo e uma única vez. Cada depósito i tem capacidade Wi e custo de abertura Oi. Um depósito pode atender uma ou mais rotas. Cada rota é realizada por um veículo do conjunto K, que tem capacidade de carga Q e custo fixo de utilização F. O objetivo é minimizar o custo global relacionado às instalações a serem abertas e os custos associados com as rotas que atendem os clientes.

A heurística geral é apresenta no Algoritmo 1, sendo composta por duas fases: gerar uma solução inicial e aplicar os operadores de vizinhança.

Algoritmo 1. Estrutura Geral da Heurística. 1 Gerar uma Solução Inicial X; 2 T← T0; I←0; N←0; Fótima←obj(X,P); Xótimo←X; 3 Faça 4 Faça 5 X'← Escolha com igual probabilidade e aplique um dos Operadores de Vizinhança; 6 Se custo(X', P) < Custo(X, P) então X←X'; 7 Senão 8 Se 𝑟𝑎𝑛𝑑 0,1 < 𝑒𝑥𝑝 −𝛥 𝐾 ⋅ 𝑇 então X←X'; N←0; 9 Se custo(X, P) < Custo(Xótimo, P) então Xótimo←X'; 10 I←I+1; 11 Enquanto 𝐼 ≤ 𝐼𝐼; 12 T← 𝛼 ⋅ 𝑇; I←0; N←N+1; 13 Enquanto 𝑇 ≤ 𝑇! E 𝑁 ≠ 𝑁𝑁;

14 Retorne a solução em Xótimo;

A solução inicial é gerada por um método guloso, composto de três passos, sendo os seguintes:

1Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

Página-203


2

Passo 1: Calcule o valor cc(i) de cada depósito i, o qual corresponde a quantidade de clientes ainda não atribuídos e relacionados ao depósito de menor distância, que é o depósito i. Selecione o depósito com maior cc(i), ou seja, aquele que possui o maior número de clientes candidatos. Passo 2: Adicione os clientes ainda não atribuídos ao depósito i, de acordo com a menor cij. Enquanto a capacidade do depósito não for violada os clientes vão sendo adicionadas. Passo 3: Após a capacidade do depósito i ser violada, retorne ao Passo 1 e repita estes passos até todos os clientes serem atribuídos a algum dos depósitos.

Após a atribuição dos clientes aos depósitos, monta-se a solução inicial, a qual é representa por um vetor. O vetor solução sempre começa por um depósito. Partindo do primeiro depósito de I, adicione-o na primeira posição do vetor e se ele estiver fechado, então é adicionado o próximo depósito de I. Caso contrário, o depósito está aberto e seus clientes vão sendo inseridos no vetor solução respeitando a ordem em que foram atribuídos no método guloso. Este processo é feito até que todos os clientes sejam adicionados ao vetor solução.

A heurística é composta por sete operadores de vizinhança, os quais realizam mudanças na posição dos elementos que estão no vetor solução, sendo eles formados por operações de troca, troca de duas sequências, troca inversa, inserção, inserção de uma sequência, inserção de duas sequências e inversão.

A operação de Inserção consiste em inserir o elemento de um posição i antes de outro na posição j, ambas escolhidas aleatoriamente. Esta operação envolve uma de quatro opções, quais sejam: (a) i e j são ambos depósitos, de modo que o depósito i é fechado; (b) i e j são ambos clientes, tal que i é inserido antes de j; (c) i é depósito e j é cliente, de modo que i atenderá os clientes iniciando em j e os seus antigos clientes serão atendidos pelo depósito que precede i; e, (d) i é cliente e j é depósito, tal que i é inserido antes de j.

A Inserção de Uma Sequência consiste em inserir uma sequência de tamanho aleatório, limitada a metade do tamanho do vetor solução antes de uma posição também escolhida aleatoriamente.

A Inserção de Duas Sequências considera duas sequências de tamanho aleatório cujos tamanhos são limitados a metade do vetor solução. A primeira sequência é divida ao meio, onde a sua primeira metade é inserida antes do início da segunda e a sua outra metade é inserida após o final da segunda sequência.

A Operação de Troca consiste em trocar os elementos que estão nas posições i e j, escolhidas aleatoriamente.

A Troca de Duas Sequências realiza o troca entre duas sequências de tamanho aleatório, sendo que os tamanhos são limitados a metade do tamanho do vetor solução.

A Troca Inversa funciona basicamente igual a operação de troca de duas sequências, porém a troca é realiza em ordem inversa. Por fim, na operação de Inversão os elementos que estão entre as posições de i a j, escolhidas aleatoriamente, são considerados em ordem inversa.

A heurística e os operadores de vizinhança foram codificadas na linguagem C. Os testes computacionais ocorrem em um computador com processador Intel Core i7-4790K de 4.0 GHz, 32 GB de memória RAM e sistema operacional Linux. Nos testes computacionais foram consideradas 30 instâncias de [5]. Os resultados obtidos para estas instâncias estão apresentados na Tabela 1 que contém o nome da instância juntamente com o número n de clientes e m de depósitos. A BKS corresponde a melhor solução conhecida, sendo que as soluções foram obtidas a partir da comparação entre os resultados dos autores [6], [3], [2] e [1]. Além disso, a tabela traz o Valor da Solução de cada instância, o Tempo Gasto em segundos e a diferença relativa (GAP) da heurística comparada com a BKS, em porcentagem. Apresenta-se também o média para o conjunto de clientes e depósitos com o mesmo tamanho e a média global envolvendo todas as instâncias.

Os parâmetros da heurística foram calibrados usando o pacote irace de [4]. O valor de NN e P foram tomados como fixo, sendo NN igual a 100 e P determinado para ser 4 𝑊!

!!!! 𝑚. Após a calibração

dos parâmetros, obteve-se: II= 3287, T0 = 35, Tf = 0,17, K = 0,32, α = 0,97 e semente igual a 1884. A Tabela 1 apresenta os resultados para as instâncias de [5], sendo que os resultados foram obtidos

por meio de uma única execução do algoritmo para cada instância. O número de clientes varia de 20 a 200 e o de depósitos de 5 a 10. Os valores da solução obtidos foram satisfatórios, uma vez que se conseguiu encontrar cinco soluções igual a melhor conhecida e o GAP médio envolvendo de todos as instância foi igual a 2,89%. Além disso o tempo computacional médio gasto para rodar as instâncias foi baixo, com valor de 514,10 segundos.

Para as instâncias contendo 20 clientes e 5 depósitos, obteve-se as mesmas soluções da BKS. As instâncias com 50 clientes e 5 depósitos apresentaram um GAP médio de 2,18%, sendo que duas instâncias tiveram um GAP superior a 4,00%. Para as instâncias com 100 clientes e 5 depósitos, conseguiu-se resultados próximo da melhor solução conhecida, com um GAP médio de 1,79%. As instâncias com 10 depósitos e 100 clientes apresentaram o maior GAP médio, que foi de 6,70%, sendo que duas instâncias tiverem uma diferença maior do que 10,00%. Para as instâncias contendo 200 clientes e 10 depósitos, conseguiu-se um GAP médio de 3,07%, em que apenas a instância 200-10-3b (200x10) teve um GAP superior a 10,00%.

Página-204


3

Tabela 1: Resultados referentes as instâncias de [5]. Instância (n x m) BKS Valor

da Solução Tempo

Gasto (S) GAP (%)

20-5-1 (20x5) 54.793,00 54.793,00 8,00 0,00 20-5-1b (20x5) 39.104,00 39.104,00 7,00 0,00 20-5-2 (20x5) 48.908,00 48.908,00 9,00 0,00

20-5-2b (20x5) 37.542,00 37.542,00 7,00 0,00

Média 7,75 0,00

50-5-1 (50x5) 90.111,00 90.111,00 33,00 0,00 50-5-1b (50x5) 63.242,00 66.171,00 37,00 4,63 50-5-2 (50x5) 88.298,00 90.211,00 37,00 2,17

50-5-2b (50x5) 67.308,00 68.409,00 28,00 1,64 50-5-2bBIS (50x5) 51.822,00 52.523,00 29,00 1,35 50-5-2BIS (50x5) 84.055,00 84.555,00 32,00 0,59

50-5-3 (50x5) 86.203,00 88.453,00 48,00 2,61 50-5-3b (50x5) 61.830,00 64.558,00 29,00 4,41

Média 34,13 2,18 100-5-1 (100x5) 274.814,00 280.321,00 163,00 2,00

100-5-1b (100x5) 213.615,00 217.220,00 109,00 1,69 100-5-2 (100x5) 193.671,00 197.220,00 110,00 1,83

100-5-2b (100x5) 157.095,00 159.054,00 159,00 1,25 100-5-3 (100x5) 200.079,00 202.645,00 156,00 1,28

100-5-3b (100x5) 152.441,00 156.553,00 97,00 2,70 Média 132,33 1,79

100-10-1 (100x10) 287.892,00 319.516,00 166,00 10,98 100-10-1b (100x10) 231.763,00 274.080,00 162,00 18,26 100-10-2 (100x10) 243.590,00 247.251,00 132,00 1,50

100-10-2b (100x10) 203.988,00 209.127,00 174,00 2,52 100-10-3 (100x10) 250.882,00 258.684,00 196,00 3,11

100-10-3b (100x10) 204.317,00 212.131,00 73,00 3,82 Média 150,50 6,70

200-10-1 (200x10) 475.327,00 486.188,00 833,00 2,28 200-10-1b (200x10) 377.327,00 415.683,00 589,00 10,17 200-10-2 (200x10) 449.849,00 453.686,00 763,00 0,85

200-10-2b (200x10) 374.330,00 378.836,00 768,00 1,20 200-10-3 (200x10) 469.433,00 483.918,00 927,00 3,09

200-10-3b (200x10) 362.817,00 365.785,00 819,00 0,82 Média 783,17 3,07

Média Global 223,33 2,89

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro recebido do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás (FAPEG).

Referências [1] CONTARDO, C.; CORDEAU, J.-F.; GENDRON, B. A GRASP+ ILP-based metaheuristic for the capacitated location-routing problem. Journal of Heuristics, v. 20, n. 1, p. 1-38, 2014.

[2] ESCOBAR, J. W.; LINFATI, R.; TOTH, P. A two-phase hybrid heuristic algorithm for the capacitated location-routing problem. Computers & Operations Research, v. 40, n. 1, p. 70-79, 2013.

[3] HEMMELMAYR, V. C.; CORDEAU, J.-F.; CRAINIC, T. G. An adaptive large neighborhood search heuristic for two-echelon vehicle routing problems arising in city logistics. Computers & Operations Research, v. 39, n. 12, p. 3215-3228, 2012.

[4] LOPEZ-IBANEZ, M.; DUBOIS-LACOSTE, J.; STUTZLE T.; BIRATTARI, M. The irace package, iterated race for automatic algorithm configuration. Tr/iridia/2011-004, IRIDIA, Université libre de Bruxelles, Belgium, 2011.

[5] PRINS, C.; PRODHON, C.; RUIZ, A.; SORIAANO, P.; CALVO, W. R. Solving the capacitated location-routing problem by a GRASP complemented by a learning process and a path relinking. 4OR: A Quarterly Journal of Operations Research, v. 4, n. 3, p. 221-238, 2006.

[6] YU, V. F.; LIN, S.-W.; LEE, W.; TING, C.-J. A simulated annealing heuristic for the capacitated location routing problem. Computers & Industrial Engineering, v. 58, n. 2, p. 288-299, 2010.

Página-205

Página-206

1



Condições de Convergência do Método de Análise de Desvio

Jéssica Gabriela de Almeida Cunha1 Thiago Alves de Queiroz

Instituto de Matemática e Tecnologia, Regional Catalão, UFG

Av. Dr. Lamartine P. de Avelar, 1120, 75704-020, Catalão, GO


RESUMO

Esta pesquisa possui como objetivo demonstrar as condições do método de Análise de Desvio

usadas para estimar o tempo de convergência de algoritmos evolutivos. A vantagem deste método é

que ele estima o tempo necessário para que um algoritmo evolutivo convirja por meio da estimativa

do desvio de sua solução atual com relação à solução ótima. Estas condições estão relacionadas com

distância entre a solução gerada pelo algoritmo e a solução ótima do problema.

Alguns estudos sobre este tema foram desenvolvidos na literatura. Por exemplo, o trabalho feito

em [5] demonstrou que o algoritmo evolutivo (1+1), aplicado ao problema ONE-MAX, converge com

tempo O(n log n), em que n é o tamanho do indivíduo na codificação do algoritmo. O estudo feito em

[2] introduziu o método de análise de desvio e através disso, demonstrou que um algoritmo evolutivo

aplicado ao problema da soma de subconjuntos converge no tempo O(n2). Em contrapartida, [1]

constatou que este novo método, apesar de ser uma boa ferramenta, possui um teorema geral de difícil

aplicação e com cálculos matemáticos pesados. Assim, o autor introduziu uma nova técnica com

provas mais simples, utilizando o teorema de desvio multiplicativo.

Para o estudo do método de análise de desvio é preciso de alguns conceitos da teoria de

probabilidade e esperança, segundo [4], e o conceito de martingale, retirado de [3]. Tem-se que um

evento E é um subconjunto do espaço amostral S, o qual contêm todos possíveis eventos do

experimento aleatório que, por sua vez, é um evento que realizado várias vezes em condições iguais,

pode dar resultados diferentes. Assim, a probabilidade diz as chances de ocorrência de um evento em

um experimento aleatório, que pode variar entre nenhuma e a sempre ocorrência, resultando em:

𝑃(𝐸) =𝑛(𝐸)

𝑛(𝑆), (1)

em que n(S) é o número de elementos do espaço amostral S equiprovável, sendo n(S) ≠ Ø, e n(E) é

a quantidade de elementos de E.

A probabilidade condicional representa a probabilidade de que o evento E ocorra dado que F

ocorre e é dada por:

𝑃(𝐸|𝐹) = 𝑃(𝐸∩𝐹)

𝑃(𝐹). (2)

A esperança de uma variável aleatória X, ou seja, uma variável resultante de uma experiência

aleatória, é dada pela média dos possíveis valores que ela pode admitir, no qual cada valor é

ponderado pela probabilidade de que ela assuma esse valor, ou seja:

𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥 𝑝(𝑥)𝑥:𝑝(𝑥)>0 . (3)

A esperança condicional de X, dado que a variável aleatória Y=y ocorre, para todo y com P(Y =

y) > 0, é dada por:

𝐸[𝑋|𝑌] = ∑ 𝑥 𝑃𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)𝑥 . (4)

As principais propriedades de esperança condicional são:

𝐸[𝑐(𝑋)|𝑋] = 𝑐(𝑋), (5)

𝐸[𝑐𝑋|𝑌] = 𝑐𝐸[𝑋|𝑌], (6)

𝐸[𝑋 − 𝑌|𝑋] = 𝐸[𝑋|𝑋] − 𝐸[𝑌|𝑋], (7)

em que c é uma constante, e X e Y são variáveis aleatórias.

A partir da esperança condicional, tem-se o conceito de martingale, que nos diz que a esperança

da observação seguinte Xn+1, condicionada ao acontecimento de uma sequência de variáveis aleatórias

X1, X2, ..., Xn, é igual a última observação. Logo um super-martingale é dado por:

1Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq

Página-207

2



𝐸[𝑋𝑛+1|𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛] ≤ 𝑋𝑛. (8)

A descrição do método de análise de desvio baseia-se no desenvolvimento feito em [2], o qual

segue a partir do problema de otimização: dado um espaço finito S e uma função f(x), com x ∈ S,

objetiva-se encontrar max f(x) | x ∈ S, tal que o valor ótimo é dado por x*, assim fmax = f(x*). Para

resolver este problema, sem perda de generalidade, utiliza-se um algoritmo evolutivo básico, em que

cada passagem por seus passos gera uma nova população k. Assume-se que o tamanho da entrada do

problema seja representado pela variável n. Os passos do algoritmo evolutivo são:

(1) Inicialização: gerar uma população inicial de 2N indivíduos, onde N é inteiro e não negativo,

dada por ξ0 = (x1, ..., x2N). Faça k = 0 e f(ξk) = max f(xi) | xi ∈ ξk.

(2) Geração: produzir uma nova população ξk + ½ descendente do cruzamento e da mutação.

(3) Seleção: obter nova população ξk + S, selecionando 2N indivíduos com base nas

populações ξk + 1/2 e ξk, e na função de aptidão definida.

(4) Avaliação: se f(ξk + S) = fmax, então finalize o algoritmo. Caso contrário, faça ξk + 1 =

ξk + S e k = k + 1. Volte ao passo (2).

A função que mede a distância entre um indivíduo x da população e o indivíduo ótimo x* do

problema é dada por d(x, x*). Caso exista um conjunto S* de indivíduos ótimos, a função é dada por:

𝑑(𝑥) = 𝑑(𝑥, 𝑆∗) = 𝑚𝑖𝑛𝑑(𝑥, 𝑥∗)| 𝑥∗ ∈ 𝑆∗. (9)

A distância da população X á solução ótima é dada por:

𝑑(𝑋) = 𝑚𝑖𝑛𝑑(𝑥)| 𝑥 ∈ 𝑋. (10)

O desvio da sequência aleatória gerada pelo algoritmo, no tempo k, é dado por:

∆(𝑑(𝜉𝑘)) = 𝑑(𝜉𝑘+1) − 𝑑(𝜉𝑘). (11)

O tempo de parada do algoritmo é dado por:

𝜏 = 𝑚𝑖𝑛𝑘| 𝑑(𝜉𝑘) = 0. (12)

A partir destes conceitos, tem-se as condições de desvio para que o tempo de convergência do

algoritmo evolutivo seja limitado por uma função polinomial em n, a saber:

Condição 1. A distância de uma população qualquer à solução ótima é limitada por um

polinômio h0(n) > 0 em função de n, ou seja:

𝑑(𝑋) ≤ ℎ0(𝑛). (13)

Condição 2. A esperança do desvio, para um tempo k ≥ 0, condicionada que a população ξk não

possui uma solução ótima, é limitada inferiormente pelo inverso de um polinômio h1(n) em função de

n, ou seja:

𝐸[𝑑(𝜉𝑘) − 𝑑(𝜉𝑘+1) | 𝑑(𝜉𝑘) > 0] ≥1

ℎ1(𝑛). (14)

Teorema 1. A partir de uma sequência aleatória gerada pelo algoritmo evolutivo que atende as

Condições 1 e 2, e de qualquer população inicial X com d(X) > 0, tem-se que a esperança do tempo de

parada do algoritmo evolutivo, condicionada que a população inicial não possui uma solução ótima, é

limitada por um polinômio h(n) em função de n.

𝐸[𝜏 |𝑑(𝜉0) > 0] ≤ ℎ(𝑛). (15)

Demonstração (Teorema 1). Com base na Condição 2, tem-se que d(ξk), segundo [3], é um

super-martingale. De acordo com a Condição 1, tem-se que:

0 ≤ 𝑑(𝜉𝑘) ≤ ℎ0(𝑛). (16)

Além de que:

𝑙𝑖𝑚𝑘 →∞

𝐸[𝑑(𝜉𝑘)|𝑑(𝜉𝑘) > 0] = 0. (17)

Assim, tem-se que a distância da população na geração ótima 𝜏 é zero, logo:

𝐸[𝑑(𝜉𝜏)|𝑑(𝜉0) > 0] = 0. (18)

Considerando qualquer tempo k ≥ 1, com base na Eq. (11), tem-se:

∆(𝑑(𝜉𝑘−1)) = 𝑑(𝜉𝑘) − 𝑑(𝜉𝑘−1). (19)

𝑑(𝜉𝑘) = 𝑑(𝜉𝑘−1) + ∆(𝑑(𝜉𝑘−1)). (20)

A partir do fato de se ter um super-martingale, chega-se em:

𝐸[𝑑(𝜉𝑘)|𝑑(𝜉0) > 0] = 𝐸[𝐸[𝑑(𝜉𝑘−1) + ∆(𝑑(𝜉𝑘−1))|𝜉𝑘−1]|𝑑(𝜉0) > 0]. (21)

Com base na Condição 2, tem-se para k-1 < 𝜏 que:

𝐸[𝑑(𝜉𝑘−1) + ∆(𝑑(𝜉𝑘−1))|𝜉𝑘−1] ≤ [𝑑(𝜉𝑘−1) −1

ℎ1(𝑛)]. (22)

Ao substituir a Eq. (22) na Eq. (21), chega-se então em:

𝐸[𝑑(𝜉𝑘)|𝑑(𝜉0) > 0] ≤ 𝐸 [𝑑(𝜉𝑘−1) − 1

ℎ1(𝑛)|𝑑(𝜉0) > 0]. (23)

Com base na Eq. (23), nota-se que partindo da população inicial, para chegar à ótima, é

necessária k gerações. Então, por indução sobre k, sabe-se que é preciso 𝜏 passos, resultando em:

𝐸[𝑑(𝜉𝜏)|𝑑(𝜉0) > 0] ≤ 𝐸 [𝑑(𝜉0) − 𝜏

ℎ1(𝑛)|𝑑(𝜉0) > 0]. (24)

Substituindo a Eq. (18) na Eq. (24), tem-se:

Página-208

3



0 ≤ 𝐸 [𝑑(𝜉0) − 𝜏

ℎ1(𝑛)|𝑑(𝜉0) > 0]. (25)

Mediante algumas simplificações matemáticas e propriedades da esperança condicional, tem-se:

𝐸[𝜏|𝑑(𝜉0) > 0] ≤ 𝑑(𝜉0) ℎ1(𝑛). (26)

Da Condição 1, segue que:

𝐸[𝜏|𝑑(𝜉0) > 0] ≤ ℎ0(𝑛) ℎ1(𝑛). (27)

Ao considerar ℎ(𝑛) = ℎ0(𝑛) ℎ1(𝑛), chega-se no resultado desejado, ou seja:

𝐸[𝜏|𝑑(𝜉0) > 0] ≤ ℎ(𝑛). (28)

Logo, nota-se que a aplicação do método de análise de desvio requer definir uma função de

distância d(x), que seja polinomial no tamanho n da entrada do problema, e que satisfaça o Teorema 1.

Para concluir, nesta pesquisa estudaram-se alguns conceitos da teoria de probabilidade e de

esperança, apresentando as duas condições e o teorema geral do método de análise de desvio. Este

método permite analisar a convergência de algoritmos evolutivos em direção a solução ótima do

problema estudado.

Almeja-se, como trabalho futuro, testar a eficácia do método de análise de desvio, aplicando-o

em alguns exemplos de algoritmos evolutivos desenvolvidos para problemas de otimização

combinatória, em especial o problema da mochila 0-1 e suas variantes.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro recebido do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e

Tecnológico (CNPq) e da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás (FAPEG).

Referências

[1] DOERR, B.; GOLDBERG, L. A. Drift analysis with tail bounds. In: Parallel Problem

Solving from Nature, PPSN XI, Springer Berlin Heidelberg, p. 174-183, 2010.

[2] HE, J.; YAO, X. Drift analysis and average time complexity of evolutionary algorithms.

Artificial Intelligence, v. 127, n. 1, p. 57-85, 2001.

[3] NEVEU, J. Discrete-Parameter Martingales. Amsterdam: Elsevier, 1975.

[4] ROSS, S. Probabilidade: um curso moderno com aplicações. 8a ed. Porto Alegre:

Bookman, 2010.

[5] RUDOLPH, G. Convergence Properties of Evolutionary Algorithms. Hamburg: Verlag

Dr. Kovač, 1997.

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Página-210

UTILIZAÇÃO DE MOLAS PARA O CONTROLE DE VIBRAÇÕES EM

UMA ESTRUTURA MECÂNICA DO TIPO VIGA

Ludimila Aparecida Louzada¹ Stéfany Mayara Ferreira de Rezende

Instituto de Matemática e Tecnologia, UFG




Romes Antonio Borges Instituto de Matemática e Tecnologia, UFG




1. INTRODUÇÃO

Atualmente, vários problemas de engenharia e áreas afins são, muitas vezes, bastante

complexos, sendo que a modelagem matemática, implementação computacional são essenciais

para tal análise [1]. Neste sentido, uma das técnicas bastante utilizadas é o Método de Elementos

Finitos (MEF), que se destaca devido sua eficiência e flexibilidade na solução de vários tipos

de problemas.

Os sistemas mecânicos estão sujeitos a vibrações, isto devido às condições iniciais,

ou as excitações internas ou externas. Como registrado na literatura recentemente, vários

pesquisadores buscam técnicas capazes de atenuar as vibrações indesejadas [2].

Neste trabalho, serão utilizadas molas acopladas em uma viga de Euler-Bernoulli com

o intuito de analisar a contribuição destas na atenuação de vibrações na estrutura em estudo.

2. MODELAGEM DO PROBLEMA

Pode ser visualizado na Fig. 1, a viga de Euler-Bernoulli utilizada neste trabalho:

Figura 1: Viga de Euler-Bernoulli sem mola

Supondo que a viga em estudo seja dividida de forma arbitrária em vários elementos,

no qual cada um destes contém dois nós, a equação da energia cinética do elemento é dada por:

𝑇𝑖 =1

2 𝑢𝑖

(𝑒) (𝑡)

𝑇

[𝑀𝑖(𝑒)

] 𝑢𝑖(𝑒)

(𝑡) (1)

x

10

Página-211

em que 𝑢𝑖(𝑒)

é o deslocamento transversal de cada elemento e [𝑀𝑖(𝑒)

] a matriz de massa do

elemento da viga de Euler-Bernoulli.

E a equação da energia potencial do elemento é:

𝑉𝑖 = 1

2 𝑢𝑖

(𝑒)(𝑡)

𝑇

[𝐾𝑖(𝑒)

]𝑢𝑖(𝑒)

(𝑡) − 𝑢𝑖(𝑒)(𝑡)

𝑇

𝑄𝑖(𝑒)(𝑡)

− 𝑢𝑖(𝑒)(𝑡)

𝑇

𝑖(𝑒)(𝑡) (2)

onde [𝐾𝑖(𝑒)

] é a matriz de rigidez de cada elemento, 𝑄𝑖(𝑒)

é o vetor de esforços generalizados

em nível elementar e 𝑖(𝑒)(𝑡) é o vetor de forças transversais.

Essa modelagem permite determinar a resposta dinâmica do sistema. Neste artigo será

realizada a análise transiente para a viga de Euler-Bernoulli apresentada na Fig.1. Para essa

modelagem foi utilizado o Método de Newmark [3].

Para a implementação da viga foi utilizado o software Matlab®, onde considerou-se

uma viga do tipo engastada-livre, em que o comprimento é dado por 𝐶 = 1,00 𝑚, a qual foi

discretizada em 10 elementos, sendo portanto o comprimento de cada elemento é 𝐶𝑒 = 0,1 𝑚,

a largura de cada elemento foi de 𝑙 = 0,025𝑚 e a espessura ℎ = 0,005 𝑚. As propriedades

físicas do material foram determinadas através do módulo de Young 𝐸 = 70𝐺𝑃𝑎 e a densidade

volumétrica 𝜌 = 2700 𝐾𝑔/𝑚^3. Será aplicada uma força de 10 N no último nó, realizando

dois estudos de casos, sendo estes apresentados a seguir:

2.1. Viga de Euler-Bernoulli sem mola

A Fig.2, apresenta a resposta no domínio do tempo para a viga apresentada na Fig.1:

Figura 2: Gráficos das respostas da viga sem mola

2.2.Viga de Euler-Bernoulli Com Molas Acopladas.

Página-212

Nesta situação, com o objetivo de atenuar a vibração da viga em questão, três molas

são acopladas na viga, como mostra a Fig.10:

Figura 3: Viga de Euler-Bernoulli com mola no último nó

Como pode ser visto na Fig.4, a adição das molas ao sistema proporciona uma grande redução da amplitude de deslocamento da viga.

Figura 4: Gráficos das respostas da viga com mola no último nó.

Analisando os resultados obtidos nos dois casos é perceptível ao adicionar molas em pontos estratégicos da viga, tem-se uma grande redução na amplitude de vibração do sistema.

3. CONCLUSÃO

A viga em questão foi modelada utilizando o método dos elementos finitos e a resposta no domínio do tempo foi encontrada utilizando o método numérico conhecido por Método de Newmark. Os métodos numéricos utilizados se mostraram bastante úteis no sentido de modelar e resolver as equações diferenciais do movimento do sistema. De maneira geral, a inserção das molas na estrutura se mostrou bastante eficiente no sentido de controlar as vibrações do sistema.

4. REFERÊNCIA

[1] D. A. RADE, Método dos Elementos Finitos Aplicados à Engenharia Mecânica, Faculdade

de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia – MG, 2011.

[2] R. L. Teixeira, Uma Metodologia de Projeto de controladores Híbridos Inteligente com

Aplicações no Controle Ativo de Vibrações Mecânicas, Dissertação (Mestrado)-Universidade

Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Uberlândia –

MG, 2001.

[3] A. C. GATTI, Análise Dinâmica Linear de Pórticos Planos pelo Método dos Elementos

Finitos, Dissertação (Mestrado)-Universidade Estadual de Minas, Faculdade de Engenharia

Civil, Arquitetura e Urbanismo, São Paulo: [s.n.], 2006.

x

10

Página-213

Página-214



Aplicação da lógica fuzzy nos resultados da adsorção do pesticida

Endosulfan pelo compósito HDL/PDMcT/PAni

Layla Giovana Girotto Ingrid da Silva Pacheco1

Instituto de Ciências Agrarias, UFU


Email: [email protected] [email protected]

Ana M. A. Bertone Faculdade de Matemática, UFU

Av. João Naves de Ávila, 2121



RESUMO

Neste trabalho, se propõe um estudo sobre a utilização da lógica fuzzy (lógica difusa, em

português) com a motivação de fazer predições sobre resultados de adsorção do pesticida

Endosulfan em água pelo compósito HDL/PDMcT/PAni. O contato de decomponentes

químicos, como pesticidas com águas superficiais e subterrâneas gera a poluição das massas de

água, devido às altas concentrações de matéria orgânica presentes nesses. Dessa forma, torna-

se necessário remover estes materiais antes que esses sejam misturados com corpos naturais de

água. Uma forma que vem sendo bastante estudada é a adsorção de poluentes através de

compostos denominados Hidróxidos Duplos Lamelares (HDLs). Além disso, a síntese desses

compostos é relativamente simples, os quais apresentam uma elevada área superficial que,

quando associado aos polímeros condutores, torna-se um material com propriedades

promissoras para adsorção [2].

Seguindo nessa análise, nota-se que a lógica Fuzzy vem sendo aplicada em diversas áreas

do conhecimento. Uns dos métodos de inferência mais usado é o de Sistema Baseado em Regras

Fuzzy (SBRF), de grande sucesso nas áreas de estudo ambiental entre muitas outras. A

inferência fuzzy é um processo de formulação a partir dados de entrada para uma determinada

saída usando o raciocínio lógico difuso[1]. As decisões podem ser feitas em bases da opinião

dos especialistas. No nosso caso, foram feitas analises experimentais no laboratório, as quais

indicaram os universos das variáveis de entrada e saída, as funções de pertinência

correspondentes aos dados de entrada e saída e as regras linguísticas para o sistema de

inferência.

Em uma primeira tentativa, usou-se diretamente o sistema de inferência (single input-

single output) com a finalidade de validar, usando os dados obtidos da experiência de

laboratório, o modelo de ajuste difuso. Esta experiência apresentou resultados satisfatórios,

devido à proximidade dos dados reais (no sentido do máximo da distância) à curva

defuzzificada. Também foi feita mais uma validação do modelo proposto, usando o software

GeoGebra para obter a curva de ajusto pelo clássico método do mínimo quadrado. O Sistema

de inferência Fuzzy construído neste estudo, usa o método de inferência de Mamdani, composto

de uma variável de entrada (single input), concentração, associada com três funções de

pertinência linguísticas (baixa, média e alta) e uma de saída, adsorção, com os mesmos

parâmetros linguísticos. O método de defuzzificação foi o de centro de gravidade

1Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/Cnpq

Página-215



(centróide).

Obtenção dos dados reais de adsorção do pesticida Endosulfan em água

Primeiramente, sintetizou-se o composto HDL do tipo [Co-Al-Cl], respectivamente,

Cobalto, Alumínio e Cloreto. Aplicou-se no HDL, pela intercalação o polímero condutor

(polianilina) no espaço interlamelar do hidróxido duplo lamelar com sistema. Em seguida o

organotiol (DMcT) foi utilizado como “agente ponte” entre as matrizes lamelares de HDL e a

polianilina, pois o PDMcT atua como agente ponte entre a PAni e o HDL, assim sintetizou-se

o compósito (Figura 1), para realizar testes de adsorção em água contaminada pelo Endosulfan.

Figura 1: Estrutura do compósito HDL/PDMcT/PAni.

Fonte: FREITAS, L. L., (2013).

O teste ocorreu no pH 9, com o tempo de contato de 30 minutos e massa do compósito de

HDL/PDMcT/PAni de (100,0 mg), foram realizados ensaios variando a concentração do

Endosulfan em soluções de 0,25 a 4,0 mmol L-1. Na Tabela 1 observam-se as porcentagens de

adsorção das concentrações de Endosulfan a pH 9 onde houve uma maior retenção do pesticida

no compósito HDL/PDMcT/PAni, indicando que a maior adsorção é favorecida quando a

concentração do adsorvato é menor.

Tabela 1: Porcentagens de adsorção das concentrações de Endosulfan.

Concentração / mmol L-1 Porcentagem de adsorção / %

0,25 97,89

0,50 96,37

1 88,56

2 75,72

4 67,91

Elaboração: FREITAS, L. L., 2014.

Aplicação da lógica fuzzy nos resultados da primeira etapa

Usando o toolbox fuzzy do MatLab® construiu-se o sistema de inferência, para isso

aplicou-se valores de entrada (Concetração em mmol.L-1) e saída (porcengem de adsorção).

Figura 2: As variáveis de entrada (à esquerda) e de saída (à direita), com as três funções de pertinencia.

Fonte: desenvolvido pelas autoras.

As três regras utilizadas para a montagem do sistema fuzzy foram:

-R1: Se a concentração é baixa, então a adsorção é alta

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-R2: Se a concentração é média, então a adsorção é média.

-R3: Se a concentração é alta, então a adsorção é baixa.

A “fuzzyficação” avaliou o grau de pertinência da entrada numérica fornecida, ocorrendo

uma ativação das regras fuzzy formando um conjunto de saída, que foi “defuzzyficado” para

gerar um resultado numérico de saída conforme sugerido. O sistema de inferência de Mamdani

é mostrado em detalhe na Figura 4.

Figura 3: Sistema de inferência de Mamdani (à esquerda) e a curva defusificada que ajusta os dados

fornecem a validade do modelo Fuzzy (à direita).

Fonte: desenvolvido pelas autoras

Para validar a modelagem com o SBRF, utilizamos o software GeoGebra para obter a curva de

ajuste polinomial, com os recursos estatíticos deste software como mostra a Figura 4.

Figura 4: Laborátório (Software Geogebra), utilizado para validar a modelagem do ajuste de curva.

Fonte: desenvolvido pelas autoras no software GeoGebra

Conclusões: A construção de um método de predição para o estudo da relação concentração-

adsorção de um pesticida na água foi desenvolvido usando a lógica difusa, em particular um

sistema de inferência do tipo SBRF. Os resultados foram validados em uma análise comparativa

(em termos do máximo da distância euclidiana) pelo curva de ajuste usando o método dos

mínimos quadrados.

Referências [1] BARROS L.C e BASSANEZI; R.C., Tópicos de Lógica Fuzzy Biomatemática, Vol. 5; 2006

[2] FREITAS L.L, Síntese e caracterização do compósito de HDL/PDMcT/PAni e sua aplicação

como adsorvente do pesticida Endosulfan (ES). 2014; Trabalho de Conclusão, Graduação em

Química Industrial, Universidade Federal de Uberlândia.

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Diagrama de Voronoi e GeoGebra: ferramentas de uma modelagem de uma

rede de estações de monitoramento ambiental

Ingrid da Silva Pacheco Layla Giovanna Girotto1

Instituto de Ciências Agrárias, UFU

Av. João Naves de Ávila, 2121



Ana Maria Amarillo Bertone

Instituto de Matemática, UFU



RESUMO

O modelo desenvolvido neste trabalho foi proposto para um grupo interdisciplinar de estudantes

que incluia engenherios ambientais e florestais entre outros, em conjunto com experts e técnicos do

Instituto Brasileiro de Meio Ambiente e dos Recursos Naturais Renováveis (IBAMA). O objetivo do

projeto era a simulação de um monitoramento da biodiversidade e combate a focos de incêndio no

Parque Nacional da Serra da Canastra-MG. Como parte da proposta, um modelo matemático de

tesselagem de uma região limitada por certas condições geográficas, de forma que, conhecendo o

exato local de sete estações de monitoramento, estas verificassem o princípio da “vizinhança mais

perto”. Ou seja, cada estação cuidaria de uma região poligonal em que cada ponto é o mais próximo

da estação encarregada do monitoramento. Com isto, haveria um controle otimizado de cada

subregião e de ação mais eficaz em casos de desastres naturais ou criminais.

A Serra da Canastra é uma espécie de berçário de rios situado bem no divisor de duas bacias

hidrográficas: a do rio Paraná e a do rio São Francisco, em uma área localizada na região sudoeste do

Estado de Minas Gerais que compreende uma área de aproximadamente 200 mil hectares. O grande

objetivo da criação do Parque foi a proteção das nascentes do rio São Francisco e, na atualidade,

outros objetivos se acrescentam, como o desta proposta que é do cuidado e preservação da fauna e

flora do local. No plano geral da simulação, definiu-se que seriam instaladas sete estações onde uma

seria a sede central de monitoramento, em uma área limitada uma elipse cujos focos são os pontos M e

N da Figura 1, pontos pré-estabelecidos pelos técnicos no mapa de simulação do parque.

Figura 1 A imagem mostra a área do Parque Nacional da Serra da Canastra, onde os pontos em verde

representam as estações definidas e em laranja a que seria a estaçãoo principal. FONTE: Google Maps

1Bolsista PROGRAD/DIREN

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Como metodologia para resolver matematicamente o problema proposto, se utilizou o conhecido

diagrama de Voronoi [1]

. O estudo do princípio da vizinhança mais perto remonta ao século XXVII,

estudado por Descartes e usados por Dirichlet (1850) na investigação de formas quadráticas positivas. Eles

também foram estudados por Voronoi em 1907, que estendeu a investigação para maiores dimensões.

Atualmente esses diagramas são conhecidos como diagramas de Voronoi ou tesselação de Dirichlet.

O diagrama de Voronoi, para um conjunto S de n pontos planar é uma partição do plano em n

poligonais Pi, cada um dos quais está associado com algum ponto pi e S com a condição de que o ponto pi é

o ponto mais perto dos pontos de Pi do que a quaisquer outros pontos de S.

Matematicamente, temos P = p1, . . . , pn , onde 2 ≤ n ≤ ∞ e xi ≠ xj para i ≠ j, i, j є In. A região dado

por

Pi = x: | x - xi | ≤ | x - xj | para j ≠ i, i є In ,

onde, |a-b| representa a distância euclidiana entre os pontos a e b do plano R2, é chamado polígono

de Voronoi associado com pi e o conjunto dado por V = P1, . . . ,Pn é chamado de diagrama de Voronoi

gerada por S. Note que esta definiçao, caracteriza um lugar geométrico que é uma tesselagem de plano R2.

A simulação da solução apresentada para os experts foi feita com o software GeoGebra[2]

, como

ferramenta CAD (do inglês: computer aided design). O algoritmo utilizado para obtenção do diagrama, foi

implementado no GeoGebra deu como resultado a divisão do mapa em polígonos limitados pelas linhas

pontilhadas em cor azul da Figura 2.

A área foi limitada pela elipse cujos pontos verificam a propriedade que a soma de distâncias aos

focos é a mínima que geograficamente envolvesse a extensão do parque e vizinhanças perto dos rios da

região. Esta limitação é mostrada na Figura 2 pela figura geométrica pontilhada em cor vermelha.

Figura 2. A região limitada pela elipse e o diagrama de Voroni. Simulação gerada no GeoGebra

Figura 3. O laboratório de simulação no GeoGebra e o resultado final.

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Como conclusão, uma ferramenta matemática sofisticada e uma tecnologia de simples implementação e

codificação, como são o diagrama de Voronoi e o software livre GeoGebra, respectivamente, combinaram em

perfeita harmonia para a obtenção de um modelo de monitoramento ambiental. Esta experiência mostrou aos

alunos participantes o poder da matemática e a tecnologia como ferramentas de modelagem e simulação.

Referências

[1] AURENHAMMER, F. and KLEIN, R. "Voronoi Diagrams." Ch. 5 in Handbook of Computational

Geometry (Ed. J.-R. Sack and J. Urrutia). Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 201-290, 2000.

[2] GeoGebra. Disponível em: <www.geogebra.org>

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIGAS DE MEMÓRIA DE

FORMA

Stéfany Mayara F. de Rezende, [email protected]

Ludimila A. Louzada, [email protected]

Romes Antonio Borges, [email protected]

Instituto de Matemática e Tecnologia, UFG



Resumo. O surgimento de estruturas cada vez mais complexas tem estimulado o interesse em se estudar materiais

que apresentem propriedades diferenciadas, que sejam leves e resistentes o suficiente para suportar diversas

influências de fatores externos e internos, tais como altas cargas, grandes variações de temperatura, entre outras.

Este trabalho tem como objetivo realizar um estudo teórico sobre as ligas de memória de forma buscando uma

compreensão aprofundada deste tipo de material tendo em vista aplicações futuras em estruturas mecânicas não

lineares para atenuação de vibrações.

Palavras-Chave: Materiais Inteligentes, Transformação de Fase, Liga de Memória de Forma.

1. INTRODUÇÃO

O desenvolvimento tecnológico tem motivado a busca por técnicas de atenuação de vibrações e

ruídos em sistemas mecânicos uma vez que tem propiciado a criação de estruturas mais amplas, leves

ou que exigem maiores velocidades de atuação [1]. Neste sentido, visando aperfeiçoar o desempenho

de tais mecanismos, os materiais inteligentes tem-se destacado por possuírem características especiais

capazes de satisfazer as necessidades do mercado [3].

Nas últimas décadas, os materiais inteligentes tem sido bastante empregados em inúmeras

aplicações industriais por exibirem comportamentos distintos quando comparados aos materiais

tradicionais. Dentre estes materiais, destacam-se os materiais piezelétricos, os fluidos eletro/magneto

reológicos, os materiais viscoelásticos e as ligas de memória de forma, que receberão maior destaque

nesta pesquisa.

A liga de memória de forma tem ganhado bastante destaque em pesquisas recentemente por ser

um material que possui uma propriedade peculiar de memorização, este material consegue retomar a

sua forma original quando submetida à aumento de temperatura ou com o término de carregamento

mecânico aplicado [4]. Dentre as aplicações das ligas de memória de forma, pode-se destacar seu uso

na atenuação passiva de vibrações, sendo largamente utilizado nas áreas: médica, odontológica,

aeroespacial, entre outras.

Neste trabalho será apresentado as principais características da liga de memória de forma, bem

como suas transformações de fase e o equacionamento que governa o comportamento deste material

visando sua aplicação em estruturas mecânicas.

2. LIGAS DE MEMÓRIA DE FORMA

A liga de memória de forma (LMF) é um composto capaz de recobrar sua forma original

simplesmente pela retirada de tensão ou pelo aquecimento do material, constituindo-se em um material

bastante promissor apresentando duas propriedades consideravelmente aplicáveis em diversas áreas do

conhecimento, são elas a pseudoelasticidade e o efeito de memória de forma [4].

O efeito pseudoelástico é referente a habilidade que a liga possui de restaurar a sua forma inicial

através do término de carregamento aplicado. Contudo, este reestabelecimento da forma é limitado e

varia de acordo com a taxa de deformação-recuperação de cada material, estando no intervalo de 2 a

10%. Esta recuperação é ainda maior que a alcançada com materiais tradicionais que apresentam taxas

de restauração de 1% [4]. Por outro lado, o efeito de memória de forma é tido quando após a deformação,

a liga reestabelece sua forma primária depois de ser aquecida [4].

A pseudoelasticidade proporciona a capacidade de atenuação de vibrações assim como a

dissipação de energia. Esta propriedade é oriunda das transformações de fase da liga [4]. As fases

assumidas pela liga de memória de forma correspondem à austeníta e à martensíta. A fase austenítica

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possui estabilidade quanto à alta temperatura ao passo que a martensítica é estável a baixas

temperaturas.

Ao se aquecer o material tem-se a transformação da fase martensítica para a fase austenítica em

que ocorre a recuperação da forma (Fig.1(a)). Denota-se por As a temperatura inicial da fase austenítica

em que ocorre a reação e por Af a temperatura final em que a transformação está completada. Sob a

aplicação de carregamento, esta transformação também é factível (Fig.1(b)), ocorrendo em uma

densidade elevada de energia de atuação. O processo de transformação inversa, austeníta para

martensíta, é realizado durante o arrefecimento, iniciando-se de modo semelhante em Ms e finalizando

em Mf [1].

(a)

(b)

Figura 1 - Representação esquemática do efeito de memória de forma de uma liga Niti. (a) Através de acionamento térmico; (b) Através da variação de carregamento mecânico.

A orientação de cada cristal de martensíta, também conhecida como variante, pode assumir duas

configurações, de martensíta maclada sendo induzida pela variação da temperatura a que o material está

sujeito, e de martensíta não-maclada em que é induzida pela variação nos valores da tensão aplicada

[4]. O efeito pseudoelástico apresentado pela liga de memória de forma, é apresentado em maiores

detalhes a seguir.

2.1 Efeito Pseudoelástico

Este efeito ocorre quando a liga é submetida a uma tensão, dando início ao processo de

transformação da austeníta para a martensíta não-maclada conforme pode ser observado na Fig. 2(a).

Partindo do ponto A e finalizando no ponto D. Ao alcançar o ponto C, cuja tensão corresponde a 𝜎𝑀𝑠,

a austeníta apresenta certa instabilidade exibindo uma tendência do material em expor um

comportamento não linear começando a transformação direta de fase, acarretando em altos níveis de

deformação com pequena alteração na tensão até que seja atingido o ponto D, definido pela tensão 𝜎𝑀𝑓.

Nesta zona, a LMF encontra-se totalmente no estado martensíta, observando-se que sob altos níveis de

tensão, a martensíta possui uma rede cristalina estável com comportamento linear. Encerrando-se o

carregamento aplicado, a liga dá início ao processo de transformação de fase inversa, alterando-se de

martensíta não-maclada para austeníta, no ponto B, cuja tensão é dada por 𝜎𝐴𝑠 e finalizando-se no ponto

A ao atingir a tensão 𝜎𝐴𝑓 , reestabelecendo sua forma original sem a existência de qualquer deformação

remanescente. Este processo acarreta na produção de ciclos de histerese (Fig.2(b)) no diagrama tensão-

deformação [1].

(a)

(b)

Figura 2 – (a) Diagrama de fase representando o efeito pseudoelástico das LMF’s; (b) Ciclo de histerese de uma LMF.

O modelo simplificado abordado neste trabalho é conhecido como modelo simplificado de

Lagoudas [2] e possui baixo custo computacional, sendo capaz de representar com muita fidelidade o

efeito pseudoelástico exibido pela liga de memória de forma quando submetida a carregamentos cíclicos

sem variação de temperatura [2].

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2.2 Ciclo Completo de Transformação de Fase

Considerando que a tensão e a deformação de transformação apresentam uma variação linear nas

regiões em que ocorre as transformações bem como um comportamento linear nas regiões em que não

ocorrem, é possível obter o equacionamento para o modelo simplificado conforme apresentado abaixo.

No estado puramente austenítico, a deformação de transformação e a tensão são descritas como na

eq.(1):

𝜀𝑡 = 0; 𝜎 = 𝐸𝐴(𝜀); (1)

Em que 𝐸𝐴 consiste no módulo de elasticidade do material na região da austeníta e 𝜀 é a deformação

total induzida ao material.

A transformação de fase direta, austeníta-martensíta é dada por:

𝜀𝑡 = Λ (𝜀 − 𝜀𝑀𝑠

𝜀𝑀𝑓 − 𝜀𝑀𝑠

) ; 𝜎 = 𝜎𝑀𝑠 + 𝜀𝑡

Λ (𝜎𝑀𝑓 − 𝜎𝑀𝑠); (2)

Onde 𝜀𝑀𝑠 e 𝜎𝑀𝑠 correspondem a deformação de transformação e a tensão do início da

transformação direta, respectivamente, 𝜀𝑀𝑓 e 𝜎𝑀𝑓 equivalem a deformação de transformação e a tensão

no fim da transformação direta, nesta ordem, e Λ consiste no valor máximo em que a tensão e a

deformação de transformação consegue atingir variando-se linearmente.

No estado puramente martensítico tem-se:

𝜀𝑡 = Λ; 𝜎 = 𝜎𝑀𝑓 + 𝐸𝑀 (𝜀 − 𝜀𝑀𝑓); (3)

Cujo parâmetro 𝐸𝑀 corresponde ao módulo de elasticidade do material na região martensítica.

A transformação de fase inversa, martensíta-austeníta pode ser escrita como:

𝜀𝑡 = Λ − Λ (𝜀𝐴𝑠 − 𝜀

𝜀𝐴𝑠 − 𝜀𝐴𝑓

) ; 𝜎 = 𝜎𝐴𝑓 +𝜀𝑡

Λ (𝜎𝐴𝑠 − 𝜎𝐴𝑓); (4)

Em que 𝜀𝐴𝑠 e 𝜎𝐴𝑠 representam a deformação de transformação e a tensão no início da

transformação de fase inversa respectivamente, enquanto que 𝜀𝑀𝑓 e 𝜎𝑀𝑓, equivale a deformação de

transformação e a tensão no término da transformação inversa, nessa ordem.

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS

Neste trabalho procurou-se abordar os fundamentos teóricos sobre as ligas de memória de forma

sobretudo no que tange as transformações de fase da liga e suas aplicabilidades, onde se procurou

descrever suas características principais bem como o equacionamento básico que rege o comportamento

de suas transformações.

O presente estudo foi fundamental no que diz respeito à aquisição de um conhecimento inicial

sobre este tipo de material. Pode-se perceber que as ligas de memória de forma são de grande

importância na modelagem de estruturas modernas de engenharia, principalmente no que diz respeito

ao controle passivo de vibrações.

Como perspectiva de trabalhos futuros, pretende-se aplicar (em andamento) as ligas de memória

de forma no controle de vibrações de estruturas não lineares modeladas via elementos finitos.

REFERÊNCIAS

[1] GUARALDO NETO, B. Modelagem por elementos finitos de sistemas dinâmicos combinando materiais

viscoelásticos e materiais com memória de forma para o controle passivo de vibrações e ruído, Dissertação de

Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia – MG, 2012.

[2] LAGOUDAS, D. C.; MAYES, J. J.; KHAN, M. M. Simplified shape memory alloy (SMA) material

model for vibration isolation. Smart Structures and Material: Modeling, Signal Processing, and Control in Smart

Structures. Proceedings SPIE, v. 4326, n. 452, 2001.

[3] PAULO JÚNIOR, W. L. Modelagem e avaliação numérica de absorvedores dinâmicos de vibrações

sintonizáveis baseados em ligas de memória de forma, Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de

Uberlândia, Uberlândia – MG, 2012.

[4] PINTO, A. A. Estudo teórico e numérico de modelos constitutivos de ligas com memória de forma e

associação com sistemas vibratórios, Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia

– MG, 2011.

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Exame de Abelhas aplicado no Problema de Roteamento de Veículos

Jeferson Silva Martins Thiago Alves de Queiroz

Unidade Acadêmica Especial de Matemática e Tecnologia Universidade Federal de Goiás – Regional Catalão

75704-020, Catalão-GO, Brasil Emails: [email protected] [email protected]

RESUMO Um problema comum, especialmente nas empresas ligadas ao setor logístico, consiste em realizar a entrega

de mercadorias para clientes localizados em uma região geográfica de forma eficiente. Neste contexto, a solução do Problema de Roteamento de Veículos Capacitados (PRVC) busca aperfeiçoar o processo de distribuição de mercadorias, em que o cliente requer rapidez na entrega das mercadorias, enquanto o distribuidor visa economia de recursos [1-2].

O PRVC é um problema NP-Difícil [3], de forma que, até o presente, não existe algum método de resolução exato com tempo polinomial no tamanho da instância. Por isso, heurísticas são uma importante opção para solucionar o PRVC, embora não garantam encontrar uma solução ótima. Uma forma de resolver o PRVC é aplicando o algoritmo que simula um enxame de abelhas. Então, parte-se do trabalho [4] para codificar nossa versão deste algoritmo e, assim, realizar experimentos computacionais em instâncias da literatura com o intuito de comparar resultados e validar o algoritmo.

O PRVC pode ser definido em um grafo completo não direcionado ! = #, % , em que # = 0, 1, 2, … , * é o conjunto de vértices e % = +, , : +, , ∈ # /é o conjunto de arestas. Os vértices 1, 2, …, n representam os clientes, enquanto o vértice 0 representa o depósito, o qual contém uma frota de m veículos idênticos e com capacidade de carga Q. Cada cliente está associado a uma demanda não-negativa 01, que deve ser atendida uma única vez por algum veículo, e a cada aresta 2 ∈ % está associado um custo real não-negativo 34. Busca-se por um conjunto de rotas de forma que: (a) toda rota comece e termine no depósito; (b) os clientes são visitados apenas uma vez e suas demandas devem ser atendidas integralmente; (c) a capacidade total de cada veículo não pode ser excedida; e, (d) o custo total envolvendo a determinação das rotas deve ser minimizado.

A heurística de Enxame de Abelhas Artificiais (EAA) pertence a uma classe de algoritmos inteligentes que se inspira no comportamento de sistemas naturais. Relacionando aos problemas de otimização, isto significa que as buscas são aplicadas na vizinhança e alimentos (soluções) são encontradas explorando um conjunto de fontes disponíveis. As abelhas também se comunicam entre si para diversificar a busca por novos alimentos e a exploração do espaço de busca.

Em termos de otimização, o algoritmo da EAA é iterativo e inicia gerando um conjunto de soluções de forma aleatória (fontes de comida onde abelhas empregadas vão explorar). Então, para cada iteração: novas soluções (fontes de comida) são encontradas a partir da exploração da vizinhança de soluções existentes e comparadas com tais soluções em busca da melhor. Em seguida, cada abelha assistente usa o método um método de seleção (seleção por roleta, por exemplo) para escolher uma solução (fonte de comida) e investigar a sua vizinhança. Neste ponto, comparam-se as soluções obtidas para cada vizinhança em busca da melhor solução, em que as soluções ruins são descartadas, bem como aquelas que não conseguem ser melhoradas dado um número limite de tentativas. Por fim, as abelhas empregadas tornam-se observadoras e buscam aleatoriamente por novas soluções.

Para gerar a solução inicial, criam-se, de forma aleatória, τ soluções (vetores que representam as fontes de comida) de tamanho (n + m). Para criar cada vetor solução, um cliente, escolhido aleatoriamente, é associado ao veículo, que possui até o presente, a rota com o menor custo e que não ultrapassou sua capacidade de carga Q. Assim, cada vetor solução possui um custo associado, tal que 3 é o custo da viagem em todas as rotas e o parâmetro q denota o excesso de capacidade em cada rota, ou seja, que viola a capacidade Q. O custo da viagem é equivalente à soma dos custos 315, associado as arestas (i, j) que são atravessadas por algum veículo. Logo, um dado vetor solução x é avaliado, segundo Szeto et al. (2011), pela função de custo 6 7 = 3 7 + 9: 7 .

O coeficiente α é ajustado a cada nova iteração do algoritmo (nova geração de soluções) como segue: se o número de soluções sem violação de capacidade for maior que ;

<, então este valor é dividido por 1 + δ, senão ele

é multiplicado por 1 + δ.

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No algoritmo do EAA, tem-se um processo de seleção de fontes de comida. Esta seleção consiste em aplicar o método de seleção da roleta, porém seguindo uma probabilidade para cada vetor solução x de acordo com a função: = 7 =

>(@)

>(@B)CBDE

e F 7 =G

H(@).

Os operadores de vizinhança do algoritmo são usados para obter uma nova solução partindo de um vetor solução x. O número de operadores é opcional, de forma que foi codificado os operadores definidos em Szeto et al. (2011). Os operadores são selecionados de forma aleatória e, ao selecionar um operador, ele é executado e um novo vetor solução (fonte de comida) é retornada. Cada operador trabalha de forma isolada seguindo uma sequência de regras. Os seguintes operadores foram usados:

•! Troca aleatória de clientes: seleciona-se, de forma aleatória, um cliente e faz-se a troca com outro cliente, de outra posição, também selecionada aleatoriamente. Em outras palavras, um cliente que estava em uma rota, agora passa a fazer parte de outra rota;

•! Troca aleatória de subsequência: seleciona-se, de forma aleatória, duas sequências de tamanho aleatório e distintas, fazendo a troca entre elas. Cada subsequência envolve clientes e/ou o depósito. Este operador é mais genérico que o anterior.

•! Inserção aleatória de cliente: seleciona-se aleatoriamente um cliente e uma posição no vetor, de forma que o cliente selecionado vai ser retirado de sua posição atual e inserido na nova posição.

•! Inserção aleatória de subsequência: este operador é uma extensão do operador anterior combinado com a seleção aleatória de uma sequência de tamanho aleatório. A sequência é, então, retirada da sua posição original e inserida em uma nova posição escolhida aleatoriamente.

•! Inversão de subsequência: ao selecionar de forma aleatória uma sequência de tamanho aleatório, faz-se a sua inversão dentro do vetor solução. Ou seja, a última posição passa a ser a primeira e assim por diante.

•! Troca aleatória de subsequência com inversão: aplica-se o operador de Troca Aleatória de Subsequência e, em seguida, para cada uma das sequências, faz-se sua respectiva inversão antes da troca de posições.

•! Inserção aleatória de subsequência com inversão: seleciona-se aleatoriamente uma subsequência de tamanho aleatório. Em seguida, faz-se a sua devida inserção em uma posição também selecionada aleatoriamente. Antes da inserção, aplica-se o procedimento de inversão na subsequência escolhida.

Visando estudar o comportamento da heurística EAA, fez-se a sua devida codificação na linguagem de programação C. A código possui uma interface de linhas de comando, cuja entrada solicita um arquivo de dados contendo as informações da instância a ser executada e retorna como saída um arquivo com as rotas encontradas.

Foram usadas instâncias da literatura [1-4] para os testes computacionais. Com isso, dois tipos de instâncias foram testados: simétricas, cujo custo de viagem do cliente i para o j é o mesmo do j para o i; e, assimétricas, em que este custo é diferente. Durante a execução do algoritmo, os parâmetros do EAA usados seguem os estabelecidos em [4] e correspondem a: I = 25; K = 0,001; 9 = 0,1; número máximo de iterações igual à 50.000, limite li igual à 50 vezes o número de clientes na instância de entrada. Os testes ocorreram em um sistema operacional Linux e o computador usado foi um DELL Inspiron 14R, com processador Intel® core i5™ de 2,27 GHz e 4 GB de memória RAM.

Apresentam-se os resultados na Tabela I. Em cada linha desta tabela, tem-se o nome da instância, o número de veículos disponíveis, o número de clientes a atender, a capacidade total Q de cada veículo e o custo das rotas (solução para a instância do PRVC obtida pelo EAA), bem como o tempo total (em segundos) para se chegar a tal solução pelo EAA dados os parâmetros citados anteriormente.

TABELA I. ! RESULTADOS OBTIDOS PARA AS INSTÂNCIAS DA LITERATURA SOBRE O PRVC.

Nome da Instância

Número de veículos

Número de clientes

Capacidade dos veículos

Custo total

Tempo em segundos

A034-02f 2 33 1000 1504,00 8,14 A036-03f 3 35 1000 1693,00 8,50 A039-03f 3 38 1000 1814,00 8,93 A045-03f 3 44 1000 1888,00 10,50 A048-03f 3 47 1000 2163,00 10,99 A056-03f 3 55 1000 1816,00 12,45 A065-03f 3 64 1000 2171,00 13,79 A071-03f 3 70 1000 2415,00 14,87 E022-04g 4 21 6000 369,57 6,23 E023-03g 3 22 4500 595,76 6,30 E026-08m 8 25 48 654,59 8,38 E030-03g 3 29 4500 551,05 7,75

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E031-09h 9 30 68 536,24 9,15 E072-04f 4 71 30000 253,09 15,56 E076-08u 8 75 180 734,04 17,37 E076-14s 14 75 100 996,72 18,80 E101-10c 10 100 200 853,01 22,08 E101C11r 11 100 2043 1020,64 23,64 E101D11r 11 100 1297 1791,24 24,04 E121-07c 7 120 200 814,33 26,20 E200-17c 17 199 200 1317,05 40,04 E253-27k 27 252 1000 1087,81 52,29 E262-25j 25 261 500 5306,03 52,47 E301-28k 28 300 200 1393,39 60,58 E321-30k 30 320 1000 1441,43 64,69 E324-16k 16 323 1000 1201,46 62,67 E361-33k 33 360 200 2056,51 79,80 E386-47t 47 385 65 48094,26 83,06

Observando a Tabela I, nota-se que existem instâncias de pequeno (2 veículos e 33 clientes) até grande porte

(47 veículos e 385 clientes). Para todas elas, a heurística conseguiu retornar uma solução gastando não mais do que 100 segundos. Na verdade, o pior resultado em termos de tempo computacional ocorreu para a instância E386-47t com referência de 83,06 segundos para se chegar na solução final pelo EAA. O número de soluções obtidas em menos de 15 segundos foram de 13 de um total de 28 instâncias. Este número sobe para 24, quando se considera um minuto como tempo máximo de execução.

Naturalmente, se o número máximo de iterações fosse menor, o respectivo tempo de execução diminuiria. Porém, nota-se que o tempo total, na média, não ultrapassou os 30 segundos, sendo, portanto, um tempo muito rápido para se obter uma solução para o problema. Isto permite o tomador de decisões aferir rapidamente sobre uma decisão no contexto prático do problema.

Vale destacar que, como o algoritmo possui rotinas aleatórias, a execução, por mais de uma vez, da mesma instância, pode resultar em soluções com custo total diferentes. Em alguns casos, estes custos podem ser menores do que os apresentados na Tabela 1, por isso, o tomador de decisões, ao usar a heurística EAA, deve considerar várias execuções sobre o mesmo conjunto de dados, em especial, pelo fato dela ser rápida para ter uma solução.

Por fim, este trabalho atendeu aos propósitos iniciais da pesquisa, de forma que a heurística codificada calcula as rotas de forma rápida e aceitável para as aplicações do mundo real. Assim, ela permite um bom feedback para o tomador de decisões quanto as propostas existentes. E, apesar do código computacional ainda não possuir uma interface gráfica, seu manuseio através de linhas de comando é fácil e a solução obtida é sumarizada em um arquivo de saída. Este arquivo pode ser analisado imediatamente, ou armazenado para posteriores análises.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro recebido do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás (FAPEG).

Referências [1]! S. Eilon, C. D. T. Watson-Gandy e N. Christofides. “Distribution Management: Mathematical Modelling

and Practical Analysis”. London: Griffin, 1971. [2]! P. Toth e D. Vigo. “Models, relaxations and exact approaches for the capacitated vehicle routing problem”.

Discrete Applied Mathematics, vol. 123, pp. 487-512, 2002. [3]! M. R. Garey e D. S. Johnson. “Computer and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness”.

San Francisco: Freeman, 1979. [4]! W.Y. Szeto, Yongzhong Wu e Sin C. Ho. “An artificial bee colony algotithm for the capacitated vehicle

routing problem”. European Journal of Operational Research, vol. 215, pp. 126-135, 2011.

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Regularizacao de campos de vetores suaves por partes via

problema de perturbacao singular

Mayk Joaquim dos Santos∗ Orientador: Durval Jose TononInstituto de Matematica e Estatıstica, UFG

Campus II (Samambaia), Caixa Postal 131

74001-970 , Goiania, GO


RESUMO

Atualmente, existe um crescente interesse no estudo local da dinamica de cam-pos de vetores descontınuos (CVD) devido a suas inumeras aplicacoes em diversosramos da ciencia. Existem alguns trabalhos que tratam da analise local da dinamicade CVD bidimensionais (por exemplo [3] e [4]. Nosso objetivo e realizar uma analisequalitativa da estrutura das orbitas de CVD utilizando as tecnicas de regularizacaode CVD (apresentada em [5]), teoria de perturbacao singular (descrita em [2]). Aestrategia sera considerar problemas de perturbacao singular que sao aproximacoesde CVD e aplicaremos o ”blowing-up”para analisarmos a regiao de descontinui-dade, onde este estudo e feito em [1], que estabelece condicoes para que o camporegularizado seja um problema de pertubacao singular.

Referencias

[1] Buzzi C.A., da Silva P.R. and M. A. Teixeira, A singular approach to dis-continuous vector fields on the plane, Journal of Differential Equations, 231 (2006),633-655.

[2] Fenichel N., Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equa-tions, Journal of Differential Equations 31 (1979), 53–98.

[3] Guardia M., Seara T.M. and Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimensionof planar Filippov Systems, Journal of Differential Equations 250, 1967-2023, (2011).

[4] Kuznetsov YU.A., Rinaldi S. and Gragnani A. One-parameter bifurcations in planarFilippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 13, 2003, 2157–2188.

[5] Sotomayor J. and Teixeira M. A.,Regularization of discontinuous vector fields, Inter-national Conference on Dif. Equations 95, (Equadiff-95), Lisbon, World Sc., Singa-pore, N. Jersey, London, 207-223, 1996.

∗Aluno regular do mestrado.

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A Teoria do Averaging em campos de vetores suaves por partes

Durval Jose Tonon Mariana Queiroz Velter∗

Instituto de Matematica e Estatıstica, IME - UFG

Campus Samambaia, CP 131



RESUMO

O Metodo de Averaging e uma ferramenta classica, muito util no estudo docomportamento de sistemas dinamicos suaves. Isso porque a ideia central do metodoconsiste em transformar o problema de encontrar solucoes periodicas de um sistemadinamico, em um problema de encontrar zeros positivos de uma determinada funcao.Essa teoria foi inicialmente apresentada em [2] e aplicada desde entao em diversostrabalhos, sempre resolvendo o problema a respeito do numero e localizacao deciclos, veja [3], por exemplo.

Os resultados classicos para o estudo de solucoes periodicas de sistemas dinamicos,assumem que tais sistemas sejam, no mınimo, de classe C2 . Recentemente, uti-lizando principalmente a Teoria do Grau de Brouwer, o Metodo de Averaging foiestendido para o estudo de solucoes periodicas de sistemas dinamicos assumindosomente a hipotese de continuidade do sistema.

Por outro lado, o campo da matematica que versa sobre os sistemas dinamicosdescontınuos, chamados frequentemente de Sistemas de Filippov, teve nos ultimosanos um rapido desenvolvimento. Tal campo, se tornou, certamente, uma das in-tersecoes entre a Matematica, a Fısica, a Engenharia e outras areas afins. Apesar dorapido desenvolvimento que essa area da matematica vem tendo, existem ainda pou-cas ferramentas para se trabalhar com os Sistemas de Filippov, bem como, inumerosproblemas em abertos.

Sendo assim, estudaremos uma extensao do Metodo de Averaging que nos per-mite estudar solucoes periodicas de uma classe de Sistemas de Filippov. Explana-remos sob quais condicoes o metodo pode ser aplicado e como aplica-lo. Em suma,o principal objetivo desse trabalho e apresentar a teoria do averaging no contextodos campos de vetores suaves e tambem, principalmente, no contexto dos camposde vetores suaves por partes evidenciando o seu potencial. Para isso, usaremosexemplos.

Referencias

[1] Artes J. C., Dumortier F. and Llibre J., Qualitative Theory of Planar DifferentialSystems, Springer-Verlag, 2006.

[2] Buica A. and Llibre J., Averaging methods for finding periodic orbits via Brouwerdegree, 2nd. ed. Addison-Wesley Bull Sci.Math 128, 7-22, 2004.

∗Bolsista de Mestrado CAPES

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Sessões Temáticas

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Grupos metacıclicos como grupos de automorfismos

Emerson Ferreira de MeloDepartamento de Matematica, IFGoiano

BR-153, Km 633, Zona Rural

75650-000, Morrinhos, GO


RESUMO

Seja G um grupo e φ um elemento do grupo de automorfismos de G. Denotamospor CG(φ) o subgrupo formado pelos pontos fixos de φ em G, que e

CG(φ) = x ∈ G ; xφ = x.

O subgrupo CG(φ) tambem e chamado de centralizador de φ em G. No caso parti-cular em que CG(φ) = 1, dizemos que φ e livre de pontos fixos em G.

De maneira analoga, dado um subgrupo A do grupo de automorfismos de G,definimos o centralizador de A em G como

CG(A) = x ∈ G ; xa = x para todo a ∈ A

e dizemos que A e livre de pontos fixos em G, sempre que CG(A) = 1.E bem conhecido que propriedades do subgrupo CG(φ) possuem influencia sobre

a estrutura de todo o grupo G. Por exemplo, temos o famoso Teorema de Thompson[6] que diz que se um grupo finito G admite um automorfismo de ordem prima plivre de pontos fixos, entao G e nilpotente. Neste caso, por um resultado de Higman[1] sabemos que a classe de nilpotencia de G depende apenas do numero primo p.

Nesta apresentacao discutimos alguns resultados recentes sobre grupos finitosadmitindo um grupo metacıclico como grupo de automorfismos. Esses resultadosforam motivados pelo Problema 17.72 do Kourovka Notebook [7] e por trabalhospublicados por Khukhro, Makarenko e Shumyatsky sobre grupos finitos com umgrupo de Frobenius de automorfismos, veja por exemplo [2]. Na verdade, aqui con-sideramos a seguinte famılia de grupos metacıclicos como grupos de automorfismos:Seja M = FH um grupo finito o qual e um produto de dois subgrupos cıclicos F eH, onde F e um subgrupo normal e todos os elementos de M \ F possuem ordemprima p. Exemplos de tais grupos sao:

1) os grupos de Frobenius com nucleo cıclico F e complemento H de ordem primap;

2) os grupos diedrais, onde usando a notacao do paragrafo anterior, F = ⟨αβ⟩ eH e o subgrupo gerado por um elemento fora de F .

Recordamos que o subgrupo de Fitting F (G) de um grupo finito G e definidocomo o maior subgrupo normal nilpotente de G e a serie de Fitting de G e definidado seguinte modo: fixamos F0(G) = 1 e definimos

Fi+1(G)/Fi(G) = F (G/Fi(G)),

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para i ≥ 1. Se G e um grupo soluvel, o menor valor h = h(G) tal que G = Fh(G) echamado de altura de Fitting de G.

O seguinte resultado foi apresentado em [4] e [5].Teorema 1: Seja M = FH um grupo finito o qual e um produto de dois

subgrupos cıclicos F e H, onde F e um subgrupo normal e todos os elementos deM \ F possuem ordem prima p. Suponha que M aja sobre um grupo finito G detal maneira que CG(F ) = 1. Entao Fi(CG(H)) = Fi(G) ∩ CG(H), para todo inteiropositivo i e h(G) ≤ h(CG(H)) + 1.

Como um corolario do teorema acima provamos que se M age sobre um grupofinito G de tal maneira que CG(F ) = 1 e CG(x) e nilpotente, para todo x ∈ M \ F ,entao G e nilpotente.

Discutimos tambem outros resultados que dizem respeito a classe de nilpotenciae ao expoente de grupos finitos com um grupo metacıclico de automorfismos. Oseguinte resultado foi apresentado em [5].

Teorema 2: Seja M = FH um grupo finito o qual e um produto de doissubgrupos cıclicos F e H, onde F e um subgrupo normal e todos os elementos deM \ F possuem ordem prima p. Suponha que M aja sobre um grupo finito G detal maneira que CG(F ) = 1 e o expoente de CG(x) divide e para todos os elementosx ∈ M \ F . Entao o expoente de G e (e, |M |)-limitado.

Para o caso onde M e um grupo diedral, discutimos um resultado mais geral doque o resultado anterior. O seguinte teorema foi provado em [3] e [5].

Teorema 3: Seja D = ⟨α, β⟩ um grupo diedral gerado por duas involucoes αe β. Suponha que D aja sobre um grupo finito G de tal modo que CG(αβ) = 1 eambos CG(α) e CG(β) satisfazem uma lei positiva de grau k. Entao G satisfaz umalei positiva de grau limitado somente por k e |D|.

Referencias

[1] HIGMAN, G. Groups and rings which have automorphisms without non-trivial fixedelements. J. London Math. Soc. v. 32 , p. 321-334, 1957.

[2] KHUKHRO, E. I.; MAKARENKO, N. Y.; SHUMYATSKY, P. Frobenius groups ofautomorphisms and their fixed points. Forum Math. v. 26, p. 73-112, 2014.

[3] MELO, E. Positive laws in finite groups admitting a dihedral group of auto-morphisms. Journal of Group Theory, v. 16, p. 767-778, 2013.

[4] MELO, E. Fitting height of a finite group with a metabelian group of automorphisms.Communications in Algebra, v. 43, n. 11, p. 4797-4808, 2015.

[5] MELO, E. Grupos Finitos com um Grupo Metacıclico de Automorfismos. 71 f. Tese deDoutorado, Departamento de Matematica, Universidade de Brasılia, Brasılia, 2015.

[6] THOMPSON, J. G. Finite groups with fixed-point-free automorphisms of prime or-der. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, v. 45, p. 578-581, 1959.

[7] Unsolved Problems in Group Theory. The Kourovka Notebook, no. 17, Institute ofMathematics, Novosibirsk, 2010.

2

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Grupos Periodicos, Grupos de Expoente Finito eCondicoes de Finitude

Jhone Caldeira∗


Campus Samambaia, CP 131



RESUMO

As discussoes que apresentamos estao relacionadas aos seguintes problemas, quegeneralizam o Problema Restrito de Burnside (PRB). Sejam n um inteiro positivoe w uma palavra.

1. Seja X a classe de todos os grupos G satisfazendo a identidade wn ≡ 1 e tendoo subgrupo verbal w(G) localmente finito. Sera que X e uma variedade?

2. Suponhamos que G e um grupo residualmente finito tal que todo w-valor temordem dividindo n. Sera que o subgrupo verbal w(G) e localmente finito?

No caso em que w = x, temos exatamente o PRB que, de acordo com Zel-manov, tem resposta positiva. Apresentamos um breve historico sobre problemasenvolvendo grupos periodicos e de expoente finito, desde 1902, exibindo exemplosobtidos por pesquisadores consolidados e discutimos resultados que trazem respos-tas para outras palavras w. No desenvolvimento, somos levados a aplicar as tecnicasLie-teoricas introduzidas por Zelmanov.

Grupos Periodicos, Grupos Localmente Finitos e de Expoente Finito

Um grupo G e dito periodico (ou de torcao) se todo subgrupo cıclico de G e finito,ou seja, se todo elemento de G tem ordem finita. Um grupo G e dito localmente finitose todo subgrupo finitamente gerado de G e finito. Assim, todo grupo localmentefinito e periodico.

Em 1902, William Burnside, levantou o conhecido Problema Geral de Burnside:

(I) E verdade que todo grupo periodico e localmente finito?Equivalentemente,(II) E verdade que todo grupo periodico finitamente gerado e finito?

Esta questao permaneceu em aberto por algum tempo ate que, em 1964, Golod[4] apresentou um contraexemplo. Esta tinha sido a primeira resposta negativa para(II) e outros contraexemplos surgiram por meio de diferentes tecnicas, com: Aleshinem 1972 utilizando a teoria dos automatas [2], Sushchansky em 1979 utilizando gru-pos de permutacoes [16], Grigorchuk em 1980 utilizando tecnicas de analise funcional[5], Gupta e Sidki em 1983 utilizando automorfismos de arvores [6].

Quando as ordens dos elementos de G sao finitas e limitadas, dizemos que Gtem expoente finito. Assim, G tem expoente n se xn = 1, para todo x ∈ G. Seja Fm

o grupo livre com m geradores e consideremos N o subgrupo normal de Fm geradopelo conjunto xn : x ∈ Fm (o subgrupo verbal correspondente a palavra w(x) =

∗Este trabalho foi parcialmente financiado por CNPq and Capes.

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xn, x ∈ Fm). Denotemos por B(m, n) o quociente Fm/N , geralmente chamado deGrupo Livre de Burnside m-gerado de expoente n. Qualquer grupo G m-gerado deexpoente n e uma imagem homomorfica de B(m,n). Alem disso, o grupo B(m,n) elivre na variedade dos grupos de expoente n. Com estas consideracoes, apresentamosoutra versao de (I) conhecida como O Problema de Burnside.

Esta versao tambem despertou grande interesse da comunidade cientıfica e aescrevemos de algumas maneiras, todas equivalentes:

(III) E verdade que todo grupo de expoente n e localmente finito?

(IV) E verdade que todo grupo de expoente n finitamente gerado e finito?

(V) E verdade que B(m,n) e finito?

Observamos que respostas negativas para (III), (IV) e (V) implicam respostasnegativas para (I) e (II) e que respostas afirmativas para (I) e (II) nao implicamrespostas afirmativas para (III), (IV) e (V).

E facil ver que B(1, n) e B(m, 2) sao ambos finitos. Burnside provou em 1902 queB(m, 3) e finito; Sanov [12], em 1940, mostrou que B(m, 4) e finito; e ja em 1958,Marshall Hall Jr. [9] mostrou que B(m, 6) e finito. A resposta para O Problemade Burnside tambem e negativa e o primeiro contraexemplo apareceu com Novikove Adian [10], em 1968. Em 1975, Adian [1] melhora este ultimo resultado. Outrosresultados neste sentido foram obtidos, por exemplo, com trabalhos de Olshanskii[11], Ivanov [7] e Lysionok [8]. Muitos pesquisadores se dedicaram a investigacaoda finitude ou nao de B(m,n), procurando descobrir quais valores de m e n leva-riam a grupos finitos e quais poderiam levar a grupos infinitos. Contudo, ainda haproblemas em aberto.

O Problema Restrito de Burnside

Vimos que a resposta para O Problema de Burnside e negativa, ou seja, B(m,n)em geral e infinito. Sendo assim, podemos apresentar outra pergunta:

Sera que existe apenas um numero finito de quocientes finitos nao isomorfos deB(m,n)?

Em outras palavras, sera que dados inteiros m,n ≥ 2, existe apenas um numerofinito de grupos m-gerados de expoente n que sao finitos? Esta questao ficouconhecida como O Problema Restrito de Burnside e foi respondida afirmativamenteem 1989 com um trabalho premiado de Zelmanov [17, 18].

A seguir apresentamos formas equivalentes de se escrever o Problema Restritode Burnside.

(VI) E verdade que todo grupo finito m-gerado de expoente n tem ordem limitadapor uma funcao que depende apenas de m e n?

(VII) E verdade que todo grupo residualmente finito de expoente n e localmentefinito?

(VIII) E verdade que a classe de todos os grupos localmente finitos de expoenten e uma variedade?

Entendemos por variedade de grupos uma classe de grupos definida por equacoes.Por um Teorema de Birkhoff, variedades sao aquelas classes de grupos fechadas comrespeito a subgrupos, quocientes e produtos cartesianos de seus membros. Buscandoobter certas generalizacoes para o PRB [3, 13, 14, 15], discutimos os Problemas 1 e2 apresentados no inıcio.

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Referencias

[1] ADIAN, S. I. The Burnside problem and identities in groups, Izdat. “Nauka”,Moscow, v. 335, 1975.

[2] ALESHIN, S. V. Finite automata and the Burnside problem for periodic groups,Math. Notes, v. 11, p. 199-203, 1972.

[3] CALDEIRA, J.; SHUMYATSKY, P. On Verbal Subgroups in Residually FiniteGroups, Bull. Austr. Math. Soc., v. 84, p. 159-170, 2012.

[4] GOLOD, E. S. On nil-algebras and finitely approximable p-groups, Izv. Akad. NaukSSSR Ser. Mat., v. 28, p. 273-276, 1964.

[5] GRIGORCHUK, R. I. On the Burnside problem for periodic groups, Funct. Anal.Appl., v. 14, p. 53-54, 1980.

[6] GUPTA, N.; SIDKI, S. On the Burnside problem for periodic groups, Math. Z., v.182, p. 385-388, 1983.

[7] IVANOV, S. V. On the Burnside problem on periodic groups, Bull. Amer. Math.Soc. (N.S.), v. 27, p. 257-260, 1992.

[8] LYSIONOK, I. G. Infinite Burnside groups of even period, Izv. Ross. Akad. NaukSer. Mat., v. 60, p. 3-224, 1996.

[9] HALL JR., M. Solution of the Burnside problem for exponent six, Illinois J. Math.,v. 2, p. 764-786, 1958.

[10] NOVIKOV, P. S.; ADIAN, S. I. Infinite periodic groups I, II, III, Izv. Akad. NaukSSSR Ser. Mat., v. 32, p. 212-244, 251-524, 709-731, 1968.

[11] OLSHANSKII, A. Yu. On a geometric method in the combinatorial group theory,Proceedings of the Int. Congress of Math., v. 1, 2, Warsaw, p. 415-424, 1984.

[12] SANOV, I. N. Solution of Burnside’s problem for exponent 4, Leningrad StateUniv. Annals (Uchenye Zapiski), Math. Ser., v. 10, p. 166-170, 1940.

[13] SHUMYATSKY, P.; SILVA, J. C. The Restricted Burnside Problem forMultilinear Commutators, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., v. 146, p. 603-613, 2009.

[14] SHUMYATSKY, P.; SILVA, J. C. Engel Words and the Restricted Burnside Problem,Monatsh. Math., v. 159, p. 397-405, 2010.

[15] SHUMYATSKY, P.; SILVA, J. C. Varieties of Groups and the Restricted BurnsideProblem, Ischia Group Theory 2008, World Scientific, 2008.

[16] SUSHCHANSKY, V. I. Periodic p-elements of permutations and the general Burn-side problem, Dokl. Akad. Nauk SSSR, v. 247, p. 447-461, 1979.

[17] ZELMANOV, E. The solution of the Restricted Burnside Problem for groups of oddexponent. Math. USSR Izvestija, v. 36, p. 41-60, 1991.

[18] ZELMANOV, E. The solution of the Restricted Burnside Problem for 2-groups, Math.Sb., v. 182, p. 568-592, 1991

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Equacoes Diofantinas Exponenciais Envolvendo SequenciasRecorrentes

Ana Paula ChavesInstituto de Matematica e Estatıstica, UFG

Campus Samambaia

74001-970, Caixa Postal 131, Goiania, GO


RESUMO

Seja (Fn)n a sequencia de Fibonacci dada por Fn+2 = Fn+1 + Fn para n ≥ 0,onde F0 = 0 e F1 = 1. Existem varias identidades interessantes envolvendo ostermos desta sequencia, como por exemplo a identidade quadratica

F 2n + F 2

n+1 = F2n+1 , para todo n ≥ 0 .

Isso nos diz que a soma de quadrados de dois numeros de Fibonacci consecutivoscontinua sendo um numero de Fibonacci. Tendo em vista estudar o comportamentode somas mais gerais, em 2010, Marques e Togbe [?] mostraram que se s > 2, entaoexiste apenas uma quantidade finita de numeros de Fibonacci da forma F s

n + F sn+1

e, em 2011, Luca e Oyono [?] encontraram todos esses exemplos. Seja (F(k)n )n a

sequencia de k-bonacci dada pelos k valores iniciais F(k)−k+2 = 0, . . . , F

(k)0 = 0, F

(k)1 =

1 , e tal que os demais termos sao iguais a soma dos k termos anteriores:

F (k)n = F

(k)n−1 + F

(k)n−2 + . . .+ F

(k)n−k .

Nesta palestra, discutiremos uma generalizacao do resultado de Luca e Oyono: aequacao diofantina

(F (k)m )s + (F

(k)m+1)s = F (k)

n .

Mostramos que para s = 2, ao contrario da sequencia de Fibonacci, esta equacaonao possui solucoes inteiras positivas n,m e k para m > 1 e k ≥ 3 [?]. Para s ≥ 3,mostramos, sobre certas condicoes, que essa equacao tambem nao possui solucoesinteiras nao triviais [?]. Alem disso, provamos, em particular, que se (Gm)m euma sequencia recorrente linear (sob hipoteses fracas) e Gs

n + · · ·+Gsn+k ∈ (Gm)m

para infinitos inteiros n > 0, entao s e limitada por uma constante efetivamentecalculavel, que depende apenas de k e dos parametros de Gm [?].

Referencias

[1] MARQUES, D; TOGBE, A. On the sum of powers of two consecutive Fibonaccinumbers. Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., v. 86, N. 10, 174-176. 2010

Página-243

[2] LUCA, F; OYONO, R. An exponential Diophantine equation related to powers oftwo consecutive Fibonacci numbers Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. v. 87, N. 4,45-50. 2011

[3] CHAVES, A. P.; MARQUES, D. A Diophantine equation related to the sum ofsquares of consecutive k-generalized Fibonacci numbers. The Fibonacci Quarterly, v.52, p. 70–74, 2014.

[4] CHAVES, A. P.; MARQUES, D. A Diophantine Equation Related to the Sum ofPowers of Two Consecutive k−Generalized Fibonacci Numbers. Journal of NumberTheory, v. 156, p. 1–14, 2015.

[5] CHAVES, A. P.; MARQUES, D.; TOGBE, A. On the Sum of Powers of Terms ofa Linear Recurrence Sequence. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, v.43:397 – 406, 2012.

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1



Sobre Séries de Potências Lacunárias com Coeficientes Racionais e

uma Questão de Mahler

Elaine Cristine de Souza Silva1

Departamento de Matemática, UNB

Campus Universitário Darcy Ribeiro 70910-900, Brasília, DF


RESUMO

Em 1844, Liouville [1] exibiu os primeiros exemplos de números transcendentes, hoje

conhecidos como números de Liouville. Em 1906, Maillet [3] provou que a imagem de um número de

Liouville por uma função racional (com coeficientes racionais) não constante é um número de

Liouville. Funções racionais são exemplos de funções algébricas. Em 1984, Mahler [2] perguntou

sobre a existência de funções transcendentes com essa propriedade. Nessa palestra falaremos sobre

uma condição suficiente para responder essa questão dada por Marques e Moreira [4] e também

provaremos um resultado que diz que a condição dada por eles não é satisfeita por séries de potências

lacunárias com coeficientes racionais.

Referências

[1] LIOUVILLE, J. Remarques relatives à des classes très-étendues de quantités dont la

valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques, C. R. Acad. Sci.

Paris, 18 (1844), 883-885.

[2] MAHLER, K. Some suggestions for further research, Bull. Austral. Math. Soc. 29 (1984),

101–108.

[3] MAILLET, E. Introduction à la Théorie des Nombres Transcendants et des Propriétés

Arithmétiques des Fonctions. Gauthier-Villars, Paris (1906).

[4] MARQUES, D.; MOREIRA, C. G. On a question proposed by K. Mahler concerning

Liouville numbers. Bull. Austral. Math. Soc. 91 (2015), 29-33.

[5] MARQUES, D.; RAMIREZ, J.; SILVA, E. A note on lacunary power series with rational

coefficients. to appear in Bull. Austral. Math. Soc.

1Bolsista CAPES

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Equacoes de Schrodinger quasi-lineares: uma abordagem dual

Paulo Cesar CarriaoDepartamento de Matematica, UFMG

Av. Pres. Antonio Carlos, 6627

31270-901, Belo Horizonte, MG

E-mail:[email protected]

Raquel Lehrer

Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas - Unioeste

Rua Universitaria, 2069

85819-110, Cascavel, PR


Olımpio Hiroshi MiyagakiDepartamento de Matematica - UFJF

Rua Jose Lourenco Kelmer, s/n

36036-330, Juiz de Fora, MG

E-mail:[email protected]

RESUMO

Neste trabalho investigamos a nao-existencia de uma solucao de energia mınimae a existencia de uma solucao positiva para uma classe de equacoes de Schrodingernao-homogeneas assintoticamente lineares em Rn atraves da variedade de Pohozaev.Depois de uma mudanca de variaveis, o operador quasi-linear se torna um operadorsemi-linear nao-homogeneo. A tecnica utilizada emprega metodos variacionais res-tringidos a variedade de Pohozaev, juntamente com resultados de concentracao decompacidade, similarmente aos metodos empregados em [?]. Mais especificamente,consideramos a equacao

−∆u−∆(u2)u+ λu = a(x)g(u) em Rn, (1)

e as seguintes condicoes sobre a funcao g:

(g0) g ∈ C1(R+,R+) e lims→0

g(s)

s= 0;

(g1) lims→∞

g(s)

s2= 1;

(g2) Se G(s) =

∫ s

0g(t)dt e Q(s) = 1

4g(s)s−G(s), entao existe uma constante D ≥ 1

tal que0 < Q(s) ≤ DQ(t), para todo 0 < s ≤ t,

e lims→∞

Q(s) = +∞,

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Sobre a funcao a consideramos :

(a1) a ∈ C2(Rn,R+), com infx∈Rn

a(x) > 0 ;

(a2) lim|x|→∞

a(x) = a∞ > λ ;

(a3) ∇a(x) · x ≥ 0, para todo x ∈ Rn,

(a4) a(x) + ∇a(x)·xn < a∞, para todo x ∈ Rn;

(a5) ∇a(x) · x + x·H(x)·xn ≥ 0, para todo x ∈ Rn, onde H representa a matriz

Hessiana da funcao a.

Seguindo as ideias de [?], fazemos a mudanca de variaveis u = f(v), onde f euma funcao real tal que

f ′(t) =1√

1 + 2f2(t)e f(0) = 0.

Diversas propriedades para esta funcao f podem ser encontradas em [?].Temos assim o seguinte funcional I associado a equacao (??), ja apos a mudanca

de variaveis

I(v) =1

2

∫

Rn

|∇v|2dx−∫

Rn

K(x, v)dx,

onde K(x, v) = a(x)G(f(v))− λf2(v)2 , e G(s) =

∫ s

0g(t)dt.

Associada a equacao (??), apos a mudanca de variaveis, temos tambem a Iden-tidade de Pohozaev

n− 2

2

∫

Rn

|∇v|2dx = n

∫

Rn

(a(x) +

∇a(x) · xn

)G(f(v))− λf

2(v)

2dx. (2)

Definimos a variedade de Pohozaev como

P :=v ∈ H1(Rn) \ 0 ; v satisfaz (??)

.

Nosso primeiro resultado e:Teorema 1: Assuma que (g0)−(g2) e (a1)−(a4) sao validas. Entao p = inf

v∈PI(v)

nao e um nıvel crıtico para o funcional I. Em particular, o ınfimo p nao e atingido.

Considerando um resultado de concentracao de compacidade, feito na forma deum lema de splitting, fazendo uso da funcao baricentro, como em [?], e assumindomais algumas condicoes tecnicas (vide [?]) podemos mostrar o seguinte resultado:

Teorema 2: Entao a equacao (??) possui uma solucao positiva.A demonstracao de tais resultados pode ser encontrada em [?].

Referencias

[1] CARRIAO, P. C.; LEHRER, R., MYIAGAKI, O. H. Existence of solutions to a classof asymptotically linear Schrodinger equations in Rn via Pohozaev manifold. Journalof Mathematical Analysis and Applications, v.428, p. 165-183, 2015.

Página-248

[2] COLIN, M., JEANJEAN, L. Solutions for a quasilinear Schrodinger equation: a dualapproach. Nonlinear Analysis, v. 56, p.213-226, 2004.

[3] LEHRER, R.; MAIA, L. A. Positive solutions to asymptotically linear equations viaPohozaev manifold. Journal of Functional Analysis, v.266, p.213-246, 2014.

[4] MIYAGAKI, O. H.; MOREIRA, S. I.Nonnegative solution for quasilinear Schrodin-ger equations involving supercritical exponent with nonlinearities indefinite in sign.Journal of Mathematical Analysis and Applications, v. 421, p.643-655, 2015.

Página-249

Página-250


Uma famılia de problemas elıpticos com condicoes de bordo naolineares e singulares∗

Nestor F. Castaneda CenturionDepartamento de Ciencias Exatas e Tecnologicas, UESC

Rodovia Jorge Amado, Km. 16

45662-900, Ilheus, BA


RESUMOProblemas elıpticos com condicoes de fronteira nao lineares sao amplamente

estudados em suas diversas formas. Nosso interesse e desenvolver uma abordagemvia transformada de Fourier para problemas de fronteira, onde nao e possıvel aplicarde forma direta esta transformada no espaco todo, e que permita tratar potenciaissingulares na fronteira. Como veremos mais adiante em (2), o pano de fundo etransformar o problema elıptico em uma EDP de evolucao (ou equacao integral)com carater essencialmente parabolico. Consideramos o seguinte problema no semi-espaco, com termos de fronteira contendo potenciais singulares e nao linearidades,

−∆u = A1up + V1u, em Rn+ = x = (x′, xn) ∈ Rn : xn > 0

B1∂u

∂ν+B2u = g(x′) + V2(x′)u+A2u

q, em ∂Rn+ = Rn−1,(1)

onde n ≥ 3, p, q > 1 sao inteiros, ν = −en e a normal exterior a ∂Rn+ e, Ai, Bi ∈ Rpara cada i = 1, 2, sendo que, B1 e B2 nao se anulam simultaneamente e o pro-duto B1B2 ≥ 0. Alem disso, V1 e V2 podem ser potenciais singulares. Para evitarincompatibilidades, impomos V2 ≡ 0 se B1 = 0. Escolhemos o problema com essaquantidade de parametros para mostrar a abrangencia do metodo com relacao a di-versidade de problemas que podem ser considerados: problemas nao lineares com ousem potenciais, u funcao harmonica (∆u = 0) no interior, e condicoes de fronteiranao homogeneas que podem ser de Dirichlet, de Neumann ou de Robin, incluindonao linearidades e potenciais singulares. Os resultados cobrem potenciais super-crıticos com relacao ao Metodo Variacional.

Na busca de uma formulacao funcional para o problema (1), destacamos avariavel xn (a qual pode ser interpretada como o “tempo”), escrevendo ∆ = ∆x′ +∂2xnxn em (1). Depois, aplicamos a transformada nas n− 1 primeiras variaveis. Isso

nos leva a uma EDO, que pode ser expressa na seguinte forma integral:

u(ξ′, xn) =

∫ +∞

0G(ξ′, xn, t)

[A1up(ξ

′, t) + V1u(ξ′, t)]dt

+ G(ξ′, xn)[g(ξ′) + V2u(ξ′, 0) +A2uq(ξ

′, 0)],

(2)

∗Este trabalho faz parte da minha tese de doutorado concluıda em abril de 2015 no IMECC-UNICAMPsob a orientacao do Prof. Dr. Lucas Catao de Freitas Ferreira.

1

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onde as expressoes para G e G sao dadas a seguir:

G(ξ′, xn, t) =(2π|ξ′|B1 +B2)e−2π|ξ′||xn−t| + (2π|ξ′|B1 −B2)e−2π|ξ′|(xn+t)

4π|ξ′|(2π|ξ′|B1 +B2)(3)

G(ξ′, xn) =1

2π|ξ′|B1 +B2e−2π|ξ′|xn . (4)

Dessa forma, u(·, xn) e uma famılia de distribuicoes indexadas por xn. Esta pareceser a primeira vez que tal tipo de abordagem e usada para tratar um PVF elıpticonao linear com fronteira nao vazia.

Nossa analise se baseia em considerar distribuicoes em subespacos (de Banach)de L∞([0,+∞);PMk) com a condicao de serem fracamente contınuas no sentido deS ′ em [0,+∞). Aqui, para cada 0 ≤ k < n o espaco PMk = PMk(Rn) e definidopor

PMk = u ∈ S ′(Rn) : u ∈ L1loc(Rn) e ess sup

ξ∈Rn|ξ|k|u(ξ)| < +∞. (5)

Usando uma tecnica de Ponto Fixo, conseguimos resultados de existencia, unicidadee regularidade da solucao para o problema (2).

Considerando o potencial de Kato na fronteira, nossa abordagem cobre o pro-blema

−∆u = 0, em Rn+∂u

∂ν= g +

λ

|x′|u, em ∂Rn+ = Rn−1.(6)

Cabe mencionar que (6) e a contrapartida estacionaria natural do problema compotencial de Hardy

ut −∆u = λ

|x|2u, em Rn+1

u(x, 0) = u0(x) em Rn.(7)

No importante trabalho de Baras e Goldstein [1], e demonstrado que o problema(7) e bem-posto em L2(Rn) se 0 ≤ λ ≤ (n− 2)2/4 e mau-posto para λ > (n− 2)2/4.A constante (n− 2)2/4 e o melhor valor para λ na desigualdade de Hardy em L2, asaber,

λ

∫

Rn

u2

|x|2 ≤ ‖∇u‖2L2(Rn).

Nessa direcao mencionamos [2], onde esta constante e obtida usando uma abordagemvia transformada de Fourier e espacos PMk, para a equacao do calor com potencialem todo o espaco Rn.No nosso caso, demonstramos que o problema (6) possui solucao sempre que 0 ≤λ < λ∗, onde

λ∗ = 2Γ2(n4 )

Γ2(n−24 )

.

2

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A constante λ∗ e justamente a melhor para a desigualdade de Kato, a saber,

∫

Rn+

|∇ϕ|2 ≥ λ∗∫

∂Rn+

ϕ2

|x| , ∀ϕ ∈ C∞c (Rn+). (8)

A otimalidade de λ∗ foi mostrada em [3] e boas referencias sobre o assunto sao[4], onde interpola-se as desigualdades de Hardy e Kato, e, [5] onde, entre outrascoisas, e dada uma prova alternativa da otimalidade da constante. Por outro lado,em [6] e provado, usando a desigualdade de Kato, um resultado onde a constanteλ∗ e o limiar de existencia em uma classe de solucoes positivas e contınuas em Rn+(no interior) para a versao parabolica de (6) e com dado inicial pertencente a C∞c .Desde que nao utilizamos a desigualdade de Kato, e como os espacos utilizadossao diferentes daquele em [6], e reobtemos o mesmo valor limiar, o resultado indicaque tal constante e instrınseca ao problema e independente do espaco e abordagemutilizados. Cabe tambem mencionar que o framework utilizado aqui cobre potenciaisque nao sao considerados em [6].

Referencias

[1] BARAS, P.; GOLDSTEIN, J. The heat equation with a singular potential. Trans.Amer. Math. Soc., v. 284, p. 121-139, 1984.

[2] FERREIRA, L. C. F.; MESQUITA, C. A. A. S. Hardy inequality for the linear heatequation with singular potential. to appear in Communications in ContemporaryMathematics, 2015.

[3] HERBST, I. W.; SLOAN, A. D. Perturbation of Translation Invariant Positivity Pre-serving Semigroup on L2(RN). Transactions of the American Mathematical Society,v. 236, p. 325-360, 1978.

[4] ALVINO, A.; VOLPICELLI, R.; FERONE, A. Sharp Hardy inequalities in the halfspace with trace remainder term. Nonlinear Anal., v. 75, N. 14, p. 5466-5472, 2012.

[5] DAVILA, J.; DUPAIGNE, L; MONTENEGRO, M.. The extremal solution of a boun-dary reaction problem. Commun. Pure Appl. Anal., v. 7, p. 795-817, 2008.

[6] ISHIGE, K.; ISHIWATA, M. Heat equation with a singular potential on the boundaryand the Kato inequality. J. Anal. Math., v. 118, p. 161-176, 2012.

3

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Ondas Viajantes Para um Problema de EDP Parabolico , ViaPerturbacao Singular Geometrica

ao 4 Coloquio de Matematica da Regiao Centro Oeste

Jesus Carlos Da Mota Brayan Mauricio Rodrıguez∗

Instituto de Mateatica e Estadıstica, UFG

Campus II (Samambaia)



06 de Setembro de 2015

RESUMO

O objetivo da sessao tematica e estudar e mostrar a existencia de solucoesdo tipo ondas viajantes para um sistema de Equacoes Diferencias Parciais Pa-rabolico (EDPP’s), associado a um modelo de combustao in-situ para recuperacaode petroleo de um reservatorios petrolıferos. O sistema pode ser resolvido fazendouma mudanca de variaveis apropriada de modo que o sistema de EDPP’s se trans-forme em um sistema de Equacoes Diferencias Ordinarias (EDO’s), de tal modoque a existencia de uma orbita que conecte dois equilıbrios deste ultimo sistema, iracorresponder a existencia de uma onda viajante do sistema de EDPP’s. Na provada existencia destas orbitas sao utilizadas ferramentas basicas da Teoria Qualitativade Equacoes Diferencias Ordinarias, Sistemas Dinamicos, Teoria da Perturbacao eTeoria de Ondas Viajantes, ressaltando dentro da teoria da perturbacao a tecnica daPerturbacao Singular Geometrica e o Metodo de Melnikov, os quais sao essenciaisnas provas de existencia e unicidade. O sistema de EDPP’s e deduzido a partir dasleis de conservacao da fısica envolvendo o escoamento de um fluido multifasico nummeio posoro. O trabalho esta baseado teoricamente no artigo [?]

Referencias

[1] Da Mota, J. C., and S. Schecter Combustion Fronts in a Porous Medium withtwo Layers, Journal of Dynamics and Diferential Equations, Vol. 18 No 3, pp. 616 -665, 1987. July 2006.

[2] Da Mota, J. C., Dantas, W., and Marchesin, D. . Traveling for combustionin porous media . Int. Ser. Num. Math. Birkhauser, 129, 177-187, (1999).

[3] Fenichel, N.,Geometric Singular Perturbation Theory for ordinary differentialequations, J. Diff. Eqs. 31, 53-98.

[4] Jones C. K. R. T, Geometric singular perturbation theory. Dunamical Systems,Lecture Notes in Math. Vol. 1609, Springer, Berlin, (1994) 44-118.

∗Bolsista CAPES

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[5] T. J. Kaper, An introduction to geometric methods and dymnamical systems the-ory for singular perturbation problems,Proceedings od Symp. in App. Math., Vol 56,1999.

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40 Coloquio de Matematica da Regiao Centro-Oeste


———————————————–

Problemas Elıpticos do TipoConcavo-Convexo com Peso

Marcelo Fernandes FurtadoUniversidade de Brasılia, Departamento de Matematica

70910-900, Brasılia-DF, Brasil

[email protected]

Bruno Nunes de SouzaUniversidade Federal do Triangulo Mineiro, ICTE

38064-200, Uberaba-MG, Brazil

[email protected]

RESUMO

Neste trabalho estudamos a existencia de solucao nao negativa para o problema

(PC)

−div(p(x)∇u) = b(x)|u|q−2u+ c(x)|u|r−2u, x ∈ Ω,

u = 0, x ∈ ∂Ω,

em que Ω ⊂ RN e um domınio suave e limitado, N ≥ 4 e 1 < q < 2 < r ≤ 2∗ =

2N/(N − 2). Para s > 1, denotamos por s′ o expoente conjugado de s, a saber

s′ = s/(s− 1). A funcao p satisfaz:

(p1) p ∈ H1(Ω) ∩ C(Ω);

1

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(p2) existe um ponto a ∈ Ω tal que

p(a) = p0 := minp(x) : x ∈ Ω > 0;

(p3) existe k > 0, βk > 0 e θ tais que, numa vizinhanca de a, a funcao p e da forma

p(x) = p0 + βk|x− a|k + θ(x)|x− a|k,

com limx→a

θ(x) = 0,

e os potenciais b e c satisfazem

(b1) b ∈ Lσq(Ω) para algum (r

q

)′< σq ≤

(2

q

)′;

(c1) c ∈ L∞(Ω), com c 6≡ 0.

Neste caso, nossa principal referencia e o trabalho de autoria de Ambrosetti,

Brezis e Cerami [1], de 1994, no qual estudaram o caso em que b(x) ≡ µ e um

parametro e p(x) ≡ c(x) ≡ 1, provando que existe uma constante Λ ∈ (0,+∞)

tal que o problema (PC) tem duas solucoes se µ < Λ, pelo menos uma solucao

se µ = Λ e nenhuma solucao se µ > Λ. Posteriormente, de Figueiredo, Gossez e

Ubilla [2], generalizaram esses resultados permitindo que os potenciais b e c fossem

nao constantes e mudassem de sinal. Outros resultados foram estudados para este

problema, a saber [3, 5].

Nosso primeiro resultado trata do caso subcrıtico:

Teorema 1 Suponha que 1 < q < 2 < r < 2∗, a funcao p satisfaz (p1) − (p3)

com k > 2, as funcoes b e c satisfazem (b1) e (c1). Se |b|σq e suficientemente

pequeno, entao o problema (PC) tem pelos menos duas solucoes nao negativas u0 e

u1, satisfazendo u0, u1 6= 0.

O segundo resultado trata do caso crıtico. A prova se torna um pouco mais

complicada e precisamos da seguinte condicao tecnica:

(bc1) existe δ > 0 tal que Bδ(a) ⊂ (Ω+b ∩ Ω+

c ) e

|c|∞ − c(x) ≤M |x− a|γ,

2

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q.t.p. em Bδ(a), em que Ω+b := x ∈ Ω : b(x) > 0, Ω+

c := x ∈ Ω : c(x) > 0,M > 0 e γ > (N − 2)/2.

Provamos o seguinte

Teorema 2 Suponha que r = 2∗, p satisfaz (p1) − (p3) com N < (2k + 2), as

funcoes b e c satisfazem (b1), (c1) e (bc1). Se |b|σq e suficientemente pequeno, entao

o problema (PC) tem pelos menos duas solucoes nao negativas u0 e u1, satisfazendo

u0, u1 6= 0.

Estes resultados generalizam os resultados de [2] pois consideramos o caso em que

p(x) nao e constante. Alem disso usamos algumas estimativas de [6] para completar

o resultado.

Referencias

[1] Ambrosetti, A., Brezis, H. and Cerami, G., Combined effects of concave and

convex nonlinearities in some elliptic problems, J. Funct. Anal. 122(1994), 519−543.

[2] Figueiredo, D.G. Gossez, J.P. and Ubilla, P., Local superlinearity for indefinite

semilinear elliptic problems, J. Funct. Anal. 199 (2003), 452− 467.

[3] Figueiredo, D.G. Gossez, J.P. and Ubilla, P., Multiplicity results for a family of

semilinear elliptic problems under local superlinearity and sublinearity, J. Eur.

Math Soc. 8, (2006) 269− 286.

[4] Figueiredo, D.G., Semilinear elliptic systems. Nonlinear Funct. Anal. Appl.,

held at ICTP of Trieste, (April 21-May 9, 1997).

[5] Furtado, M.F., Ruviaro, R. and Silva, J.P., Two solutions for an elliptic equa-

tion with fast increasing weight and concave-convex nonlinearities, J. M. A. A.

- 416, (2014), 698-709.

[6] Hadiji, R., Yazidi, H., Problem with Critical Sobolev Exponent and with Weight,

Chinese Annals of Mathematics, 28 (2007), 327-352.

3

Página-259

Página-260


DOS DESAFIOS DO USO DA HISTÓRIA DA ÁLGEBRA NOS

LIVROS DIDÁTICOS

Josimar de Sousa Carlos Alexandre Ornelas Santos 1

Universidade do Estado de Mato Grosso, UNEMAT

Av. Tancredo Neves, 1095 - Cavalhada II


RESUMO

Sabendo que a Álgebra ocupa um lugar de destaque, tanto na sua importância na estrutura curricular, bem como no fato de os alunos apresentarem uma singular dificuldade de assimila-la. Esse trabalho tem

por objetivo analisar a abordagem da História Álgebra como recurso de didático nos livros didático

utilizados no oitavo ano das Escolas Públicas do Brasil no período de 2014 a 2016, pois é nessa fase

que a maioria dos alunos tem contato pela primeira vez com a Álgebra. Observando se e como tal

conceito é abordado. Sabendo também que o Livro Didático é a ferramenta mais presentes nas salas de

aulas, pois de acordo com Schaffer (2003 p. 144), os livros didáticos “mantém-se como o recurso mais

presente em sala de aula, quando não a própria aula, a voz principal do ensino”. Dada importância do

papel do livro didático no Ensino da Matemática e História da Matemática sendo um valioso recurso

para o processo de ensino e aprendizagem, nada mais necessário que ambos andem em conjunto fazendo

com que, através do conhecimento histórico, não só o ensino se torne mais eficaz, como atrativo e

contextualizado, essa pesquisa se mostra necessária tanto para observar a utilização da história, bem

como apresentar pontos em que sua abordagem pode e deve ser explorada.

Palavras – chave: História da Matemática, Livro Didático, Ensino e Aprendizagem

Introdução

A importância da utilização da História da Matemática como recurso didático é

apontada por diversos estudiosos, sendo esta uma ferramenta que só agrega valor à temática

abordada em sala de aula. Entre os estudiosos que apontam para essa importância estão Nobre

(1996), Miguel (1997), D’Ambrosio (1996, 1999), Struik (1985), Baroni e Nobre (1999),.

Sendo a história da Matemática um recurso importantíssimo para ensino e aprendizagem da

Matemática utilizando essa ferramenta, o professor possui um meio de desenvolver, no aluno,

maior interesse no conhecimento matemático. Passando, este, reconhecer a Matemática como

uma produção humana, que surgiu a partir da necessidade daquele momento histórico,

conhecendo as preocupações dos vários povos em diferentes momentos, identificando a

utilização da Matemática em cada um deles e consequentemente podendo estabelecer

comparações entre os conceitos e processos de resoluções do passado e do presente.

O ensino de Álgebra, por sua vez, como uma parte da matemática que trabalha com o

abstrato pode se valer dessa ferramenta pedagógica. Compartilhando com os alunos que a

necessidade humana e a sua tendência a generalizações, transformaram pouco a pouco a

aritmética em conceitos abstratos convergindo na Álgebra que conhecemos. Claro que o campo

algébrico, hoje em dia, vai muito além de generalizações, mas partiu desse princípio. E a

história da Álgebra e sua utilização como recurso didático podem e devem serem abordados

nos livros didáticos nacionais.

1Professor do Ensino Básico Rede Pública Goiás

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Relação entre livro didático e história da Álgebra

A distribuição nacional de livros para as escolas públicas é feita pelo Ministério de

Educação e Cultura (MEC), através do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) que é o

mais antigo dos programas voltados à distribuição de obras didáticas aos estudantes da rede

pública de ensino brasileira e iniciou-se, com outra denominação, em 1929. Ao longo desses

quase 70 anos, o programa teve diferentes nomes e formas de execução. O PNLD é voltado

principalmente para o ensino fundamental público, mas nos últimos anos passou a atender

gradativamente o Ensino Médio, a educação de Jovens e Adultos (EJA) e com necessidades

especiais. As escolas estaduais, municipais e federais, bem como unidades filantrópicas

voltadas para a educação especial, recebem um guia com livros pré-selecionados pelo MEC,

cabendo, as mesmas, a escolha dos livros que mais se identifiquem com suas políticas

pedagógicas. Para nosso estudo utilizamos o guia do livro didático de Matemática do ano de

2014, pois como os livros não são consumíveis sua durabilidade, esperada, é até o ano de 2016.

Este guia contém 10 coleções de livros previamente selecionados para a educação do 5° ao 8°

ano. O Guia do Livro Didático (GLD) além de trazer a lista dos livros a serem escolhidos,

contém recomendações sobre a importância de tal escolha, possuindo um capítulo destinado a

abordagem da Álgebra nesses livros.

Conclusões

Com base nas informações coletadas vemos que existe sim uma abordagem da História

da Álgebra, porém, alguns livros, fazem uma abordagem pontual e muitas vezes isolada,

surgindo no final ou no começo de cada capítulo e mesmo estando de relacionado com o tema

do capítulo, não tem uma relação direta com ele, tendo a função de ilustrar ou informar sobre

algo histórico. E esse é o grande problema pois sempre que a história da Álgebra é apresentada

é feita a parte do conteúdo e não em sincronia com o mesmo, ou seja, primeiro é apresentado o

conteúdo em questão e somente ao final do capítulo é abordado sua história ou um texto é

lançado no começo do capítulo e o conceito a que ele se refere está várias páginas depois.

Tais livros poderiam relacionar os textos com a matéria e entre si, citando, por exemplo,

quanto tempo decorreu entre os últimos fatos mencionados e qual foi a necessidade

(questionamento), que acabou resultando nessa nova produção de conhecimento.

Felizmente em meio a tantos livros com abordam de forma pontual surgem aqueles que

dão uma abordagem mais significativa, tanto em textos para situar o leitor no período em que

aquele conhecimento foi sintetizado, como em situações problemas visando que o aluno seja

protagonista no desenvolvimento de uma possível solução.

Referências

[1]BARONI, R. L. S. e NOBRE, S. A Pesquisa em História da Matemática e Suas Relações

com a Educação Matemática. In: BICUDO, M. A.(org.). Pesquisa em Educação Matemática:

concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.p. 129-136.

[2]BICUDO, Maria, Aparecida V. Pesquisa em educação matemática: concepções e

perspectivas. São Paulo: Unesp, 1999.

[3]BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1991.

[4]Brasil. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.

Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática. Brasília: Mec, 2004. Disponível em

<http//:www.fnde.gov.br>. Acesso: 18 out. 2013

[5]DÁMBROSIO, U. A história da matemática: questões historiográficas e políticas e

reflexos na Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação

Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. p. 97-115.

Página-262


[6]D’AMBROSIO, U. História da Matemática e Educação. In: Cadernos CEDES 40. História

e Educação Matemática. 1ª ed. Campinas, SP: Papirus. 1996.p.7-17.

[7]SEBASTIANI, Eduardo. Como usar a história da matemática na construção de uma

educação matemática com significado. In: SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA

MATEMÁTICA, 3, 1999, Vitória. Anais. p. 22-23.

[8]MIGUEL, A. As potencialidades pedagógicas da História da Matemática em questão:

argumentos reforçadores e questionadores. In: ZETETIKË-CEMPEM,-FE/UNICAMP, - V. 5-

N. 8-Ju.l/Dez. de 1997, p. 73-103.

[9]NOBRE, S. Alguns “porquês” na História da Matemática e suas contribuições para a

Educação Matemática. In: Cadernos CEDES 40. História e Educação Matemática. 1ª ed.

Campinas, SP: Papirus. 1996.p.29-35.

[10]SCHAFFER, Neiva, Otero. O livro didático e o desempenho pedagógico: anotações de

apoio a escolha do livro texto. In: Boletim Gaúcho de Geografia (Porto Alegre), 1988.

[11]STRUIK, D. J. Por Que Estudar História da Matemática? Trad. De Célia Regina A.

Machado e Ubiratan D’Ambrosio. In: História da técnica e da tecnologia: textos básicos. Ruy

Gama (org.). São Paulo: T. A. Queiroz e EDUSP, 1985. p.191-215.

LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA ANALIZADOS NESTE ESTUDO

ANDRINI, Álvaro. VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática, vol 8.São Paulo:

Editora do Brasil, 2012.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini vol 8. São Paulo: Moderna, 2011.

BIGODE, Antônio José Lopes. Projeto velear matemática, vol 8. São Paulo: Scipione, 2012.

CENTURIÓN, Marília. JAKUBOVIC, José. Matemática teoria e contexto, vol 8. São Paulo:

Saraiva, 2012.

DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris Matemática, vol 8. São Paulo: Ática, 2012.

IEMENES, Luiz Márcio. LELLIS, Marcelo. Matemática: Iemenes e Lellis, vol 8. São Paulo:

Moderna, 2012.

MORI, Iracema. ONAGA, Dulce Satiko. Matemática ideias e desafios, vol 8. São Paulo:

Saraiva, 2012.

Projeto Araribá Matemática; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela editora

Moderna. vol 8. São Paulo: moderna, 2010.

SOUZA, Joamir Roberto de. PATARO, Patrícia Moreno. Vontade de saber matemática, vol 8.

São Paulo: FTD, 2012.

MAZZIEIRO, Alceu dos Santos. MACHADO, Paulo Antônio F. Descobrindo e aplicando a

matemática, vol 8. São Paulo: Dimensão, 2012.

Página-263

Página-264



Propostas de Atividades que Exploram as Isometrias e as Homotetias

no Plano via Congruência e Semelhança de

Figuras Geométricas Planas

Ricardo Gomes Assunção1

Núcleo de Educação Matemática, Matemática e Matemática Aplicada, IFGoiano – Campus Urutaí

Rodovia Geraldo Silva Nascimento, Km 2,5

75790-000, Urutaí, GO


Paulo Roberto Bergamaschi

Unidade Acadêmica Especial de Matemática e Tecnologia, UFG – Regional Catalão




RESUMO

Este trabalho é resultado dos estudos realizados para a elaboração do Trabalho de Conclusão de

Curso do Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT), cursado na

Universidade Federal de Goiás – Regional Catalão e finalizado no primeiro semestre de 2015.

O trabalho tem, primordialmente, o objetivo de resgatar e alavancar o ensino de geometria na

educação básica, por meio de materiais didáticos manipuláveis e tecnologias da informação. O assunto

escolhido para ser trabalhado, foram as transformações geométricas no plano, as isometrias e as

homotetias, via congruência e semelhança de figuras planas.

Na maioria dos livros didáticos de matemática, em qualquer esfera da educação, a congruência e

a semelhança de figuras planas aparece restrita à de triângulos, sempre sob a ótica dos lados e ângulos

internos desses triângulos. Afim de exemplificar, vamos citar a definição de congruência de triângulos

dada por Babosa (2006). Ele afirma que “dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer

uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos correspondentes

sejam congruentes” (p. 45).

Já Muniz Neto (2013) apresenta uma definição de congruência de triângulos que destoa dessas

definições tradicionais encontradas nos livros de matemática e que inspira o trabalho desenvolvido.

Ele assegura que “dois triângulos são congruentes se for possível mover um deles pelo espaço, sem

deformá-lo, até fazê-lo coincidir com o outro” (p. 25). O que garante a movimentação desses

triângulos pelo plano são as isometrias. Lima (2007) faz um estudo minucioso sobre essas isometrias.

Para ele, a translação, a reflexão em relação a uma reta, a rotação em trono de um ponto e a reflexão

deslizante são as isometrias que geram todas as isometrias no plano.

Sobre a semelhança de triângulos, Muniz Neto (2013) diz que “fisicamente, dois triângulos são

semelhantes se pudermos dilatar e/ou girar e/ou refletir e/ou transladar um deles, obtendo o outro ao

final de tais operações” (p. 148). Isto é, o autor apresenta novamente uma definição diferenciada em

relação à grande maioria dos livros de matemática. O que garante a dilatação desses triângulos no

plano são as homotetias, cujo importante estudo foi feito por Lima (2006, 2013). Toda homotetia é

caracterizada por um ponto do plano, chamado de centro da homotetia, e uma constante real, chamada

de razão de homotetia. Essa constante é responsável por aumentar ou reduzir as figuras.

Conclusão, sempre que tivermos dois triângulos congruentes (ou semelhantes) é possível

movimentar (e/ou aumentar e/ou reduzir) um deles até que coincida com o outro. Nesse trabalho, a

palavra ‘triângulos’ foi substituída por ‘figuras geométricas’, afim de abranger a definição para todas

as figuras geométricas no plano. Assim sendo, as atividades propostas para que as isometrias e

homotetias sejam trabalhadas seguem a seguinte metodologia: pares de figuras congruentes (ou

1Bolsista do PROFMAT/CAPES

Página-265



semelhantes) são dadas no plano e os estudantes tem que deslocar uma delas até a outra, identificando

quais foram as isometrias e/ou a homotetia utilizadas nessas movimentações.

Para fazer a movimentação desses pares de figuras foram propostas atividades que exploram um

material didático manipulável, criado exclusivamente para esse fim e denominado plano isométrico, e

atividades que exploram tecnologias da informática, no caso, o software GeoGebra.

O plano isométrico é constituído, basicamente, de uma placa de metal, de dimensões 38 cm por

27 cm, pintada em cinza, e um adesivo, de dimensões 37 cm por 26 cm, cuja estampa branca é um

quadriculado preto de 1 cm por 1 cm, como um sistema de coordenadas, fixada na placa de metal.

Ainda faz parte desse material diversos pares de figuras geométricas feitas em folhas de Espuma

Vinílica Acetinada (EVA), de diversas cores, que tem na parte inferior, um adesivo imantado fixado.

O objetivo desse adesivo é “prender” as figuras na placa de metal. A Figura 1 exibe o plano

isométrico, com dois triângulos fixados.

Figura 1: O plano isométrico.

Mas porque uma placa de metal e figuras imantadas? O material foi pensado assim para que as

figuras, ao serem deslocadas pelo plano, não se “desprendam” do plano, garantindo que a

movimentação das figuras de fato aconteça. Além disso, a ideia é trabalhar com o plano na vertical,

como se ele fizesse o papel do quadro negro.

O objetivo desse material é explorar as isometrias no plano. O que estimula pensar um material

desse tipo é provocar nos alunos a curiosidade e a descoberta das isometrias via a experimentação,

pois quando é colocado no plano isométrico um par de figuras geométricas imantadas e o aluno tem

que deslocar uma delas até a outra, sem que elas se desprendam do plano (a menos da reflexão), ele

vai identificando cada uma das isometrias, entendo suas características e identificando as propriedades

inerentes a cada uma. Um exemplo pode ser observado na Figura 1, onde o aluno deve fazer uma

simples reflexão para “levar” um triângulo no outro.

Essa ideia de “aprender experimentando” vai ao encontro do que pensa Lorenzato (2012) quando

alega que “para o aluno, mais importante que conhecer essas verdades matemáticas, é obter a alegria

de descoberta, a percepção da sua competência, a melhoria da autoimagem, a certeza de que vale a

pena procurar soluções e fazer constatações, a satisfação do sucesso, ....” (p. 25). A dica para os

professores de matemática que se interessarem por esse material didático manipulável é que façam

diversas figuras geométricas diferentes, bem como várias configurações com os pares dessas figuras,

algumas mais sofisticadas, para que todas as isometrias e composição delas sejam trabalhadas. A

razão de se trabalhar com diferentes figuras é para desvincular a congruência somente para os

triângulos.

Quanto às atividades que exploram as isometrias e as homotetias no GeoGebra, elas seguem a

mesma metodologia das atividades desenvolvidas no plano isométrico, isto é, pares de figuras

geométricas congruentes ou semelhantes são propostos, e os alunos têm que identificar quais

isometrias e homotetias que deslocam uma figura até a outra, de modo a garantir essa congruência ou

semelhança. É importante citar que o GeoGebra, um software livre de matemática dinâmica que

trabalha, principalmente, geometria, foi o escolhido para o desenvolvimento dessas atividades por ter

uma plataforma simples e com diversas ferramentas, inclusive algumas específicas para as isometrias

e as homotetias, embora qualquer outro software matemático que contenha ferramentas que

possibilitam desenvolver essas atividades pode ser utilizado.

Claramente que o fato de se utilizar o computador tem o mesmo objetivo do de se empregar o

plano isométrico, isto é, chamar a atenção do aluno para o assunto estudado e oportunizar que aprenda

as isometrias e as homotetias com atividades práticas e desprendidas da teorização e das aulas

Página-266



expositivas. Borba (2010) é um defensor dessa ideia de se utilizar tecnologias de informática no

ensino de matemática. Para ele “uma nova mídia, como a informática, abre possibilidades de

mudanças dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma ressonância entre uma dada

pedagogia, uma mídia e uma visão de conhecimento” (p. 45).

Novamente chamamos a atenção dos professores que se interessarem por essas propostas para

fazerem configurações de pares de figuras geométricas congruentes ou semelhantes com grau de

dificuldade cada vez maior, para explorar ao máximo as isometrias e as homotetias e, uma vez

aplicada as atividades e, na certeza de que os alunos compreenderam cada uma das isometrias e

homotetias, é chegada a hora de formalizar esses conceitos, pois as atividades são somente um

componente inicial na exploração de um determinado conteúdo.

Essas atividades, tanto no plano isométrico quanto no GeoGebra, foram aplicadas para uma

turma de 38 alunos do primeiro ano do curso técnico de informática integrado ao ensino médio do

Instituto Federal Goiano – Campus Urutaí e apresentaram resultados favoráveis no que tange ao

envolvimento da turma nas atividades e compreensão do tema estudado, no caso, isometrias e

homotetias (e por consequência a congruência e semelhança de figuras planas). Essa turma foi

escolhida devido ao fato de o conteúdo de congruência e semelhança de triângulos fazer parte da

grade curricular do ensino fundamental, embora esse material pode ser utilizado no ensino

fundamental e até mesmo no ensino superior, como em disciplinas de Geometria Euclidiana Plana e

Geometria Analítica do cursos de Licenciatura em Matemática.

O fato é que essas propostas se apresentam como alternativas claras para que os professores de

matemática melhorem sua prática em sala de aula, principalmente pelo fato delas estarem dentre essas

novas tendências em educação matemática, que buscam alavancar o ensino e por conseguinte,

impactar positivamente a aprendizagem dos alunos.

Referências

[1] BARBOSA, João L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do professor de

matemática, Rio de Janeiro-RJ, SBM, 2006.

[2] BORBA, Marcelo de C.; PENTEADO, Mirian G. Informática e Educação Matemática.

Belo Horizonte-MG, Autêntica, 2010.

[3] LIMA, Elon L. colaboração CARVALHO, Paulo C. P. e GUIMARÃES FILHO, Florêncio

F. Coordenadas no Plano com as soluções dos exercícios. Coleção do professor de

matemática, Rio de Janeio-RJ, SBM, 2013.

[4] LIMA, Elon L. Isometrias. Coleção do professor de matemática, Rio de Janeio-RJ, SBM,

2007.

[5] LIMA, Elon L. Media e Forma em Geometria comprimento, área, volume e semelhança.

Coleção do professor de matemática, Rio de Janeio-RJ, SBM, 2006.

[6] LORENZATO, Sergio. Laboratório de ensino de matemática e materiais manipuláveis.

In: LORENZATO, Sergio. (organizador) O Laboratório de Ensino de Matemática na

Formação de Professores. Coleção formação de professores, Campinas-SP, Autores

Associados, 2012.

[7] MUNIZ NETO, Antonio, C. Geometria. Coleção PROFMAT, Rio de Janeiro-RJ, SBM,

2013.

Página-267

Página-268



OS JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: uma alternativa

motivadora e atrativa para aulas mais prazerosas de matemática

Samanta Margarida Milani1

Instituto Federal de Rondônia IFRO

Rodovia RO 257, Km13 - Zona Rural, Ariquemes - RO, 76870-000


RESUMO

Atualmente o mundo vivencia a Era Tecnológica e com tantas informações ao mesmo tempo,

nossos alunos estão perdendo cada vez mais a curiosidade, vontade, motivação e concentração de se

aprender pela forma tradicional a matemática. Sendo assim, cabe a nós docentes encontrarmos

práticas pedagógicas diferenciadas que estimulem o desejo de aprender por meio de aulas mais

significativas.

Com o objetivo de contribuir com as discussões a respeito da temática jogos, elaborei este

trabalho de pesquisa bibliográfica, fundamentado nas teorias de Borin (1996), Grando (2000) e dos

Parâmetros Curriculares Nacionais. O trabalho faz uma análise a respeito das vantagens de se ensinar

por meio desse recurso e também aborda os cuidados que o professor tem que observar ao escolher

essa metodologia para não transformar essa prática diferenciada de aprendizagem em uma simples

brincadeira.

Autores como [1] destacam que o jogo é um meio de diversão que acaba por motivar,

desenvolver habilidades, estimular o raciocínio, a capacidade de compreensão dos conteúdos

matemáticos e de outras áreas de conhecimento. Além disso, se trabalhado em grupo despertam

aspectos emocionais, morais e sociais, proporcionando aos alunos um raciocínio lógico de uma forma

mais divertida, provocando uma maior interação entre aluno/professor e aluno/aluno, pois desta

forma todos podem expressar melhor seu pensamento e entendimento do que foi proposto.

Para as crianças, estudar é algo obrigatório, mas jogar ou brincar é algo prazeroso, elas se

entregam de tal forma que perdem a noção do tempo e da realidade dando espaço às fantasias. Nesse

sentido,

[...] O jogo propicia um ambiente favorável ao interesse da criança, não apenas

pelos objetos que o constituem, mas também pelos desafios das regras impostas

por uma situação imaginária que, por sua vez, pode ser considerada como um

meio ao desenvolvimento do pensamento abstrato (GRANDO, 2004, P. 18).

De acordo com este pensamento, brincadeiras e jogos estimulam a curiosidade de aprender das

crianças, facilitando dessa forma o aprendizado e deixando assim explícito a importância do brincar no

processo de desenvolvimento das mesmas.

Os jogos matemáticos podem ser usados para apresentar, explorar ou até mesmo se aprofundar

em um determinado conteúdo, entretanto devemos lembrar que ele não serve como passatempo ou

como alguma atividade recreativa, sua maior utilidade é como um instrumento facilitador, ajudando a

trabalhar as dificuldades e os bloqueios que os educandos apresentam em alguns conteúdos. [1],

afirma que,

Outro motivo para o introdução de jogos nas aulas de matemática é a

possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos

que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la. Dentro da

situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a motivação é

grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos falam matemática,

1 Professora de matemática do Instituto Federal de Rondônia-campus Ariquemes

Página-269



apresentam também um melhor desempenho de atitudes mais positivas frente a

seus processos de aprendizagem (1996, p.9).

Conforme [2] um dos aspectos relevantes nos jogos é o fato de provocarem nos alunos um

desafio genuíno, gerando ao mesmo tempo mais interesse e prazer pela disciplina. Por isso é tão

importante sua implantação na cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a

potencialidade educativa dos mais variados tipos de jogos existentes, e ainda o aspecto curricular que

se deseja desenvolver. São inúmeras as vantagens apresentadas pelo uso de jogos, como método de

aprendizagem, ainda de acordo com [2], podemos destacar que:

Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois

permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a

criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções, além

de possibilitar a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez

que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma

natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas (1998, p.46).

Quando se fala na palavra jogo, uma das primeiras coisas que surgem na mente é a vontade de

ganhar, vontade esta que desperta desafios de ir além, de buscar soluções e de derrubar barreiras.

Dessa forma, a inserção do jogo no contexto de ensino de matemática representa uma atividade lúdica,

que envolve o desejo e o interesse do jogador pela própria ação do jogo, e mais, envolve a competição

e o desafio que motivam o jogador a conhecer seus limites e suas possibilidades de superá-los na

busca da vitória, adquirindo confiança e coragem para se arriscar, como sugere [3].

Ao jogar, os alunos perdem toda aquela tensão que se tem ao tentar resolver um problema de

matemática, possibilitando, dessa forma, expressar seus pensamentos e suas dúvidas, rompendo assim

seus medos e acabam até mesmo, sem perceber, buscando solucionar os desafios encontrados ao longo

do jogo, promovendo também a socialização entre os próprios alunos em conjunto com o professor.

Um dos maiores desafios encontrados pelos professores em sala de aula é de como conseguir

detectar as dificuldades de cada aluno e também do modo que devemos corrigir cada um em sua

forma de interpretar erroneamente os conteúdos. De acordo com [1] ao observar um grupo de alunos

por um período de forma sistematizada, constatou que:

O jogo desenvolveu nos alunos o hábito de explorar as possibilidades ao acaso,

sem a preocupação de achar uma fórmula pronta, sem uma técnica específica,

exatamente como se inicia a pesquisa. Essa postura foi ressaltada sempre,

fazendo com que a adotassem normalmente nas aulas em qualquer

circunstância. Os bloqueios que alguns alunos apresentavam em relação à

Matemática, a ponto de se sentirem incapazes de aprendê-la, foram aos poucos

sendo eliminados. O sentimento da autoconfiança foi sendo desenvolvido, pois

todos tinham oportunidades, em algumas situações, de se destacar em relação

aos outros (1996, p.26).

Em geral o trabalho com jogos pedagógicos traz uma variedade de benefícios, [3] destaca alguns,

tais como:

a) Desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas “desafios dos

jogos”; b) O jogo requer a participação ativa do aluno na construção do seu

próprio conhecimento; c) Dentre outras coisas, o jogo favorece o

desenvolvimento da criatividade, do senso crítico, da participação, da

competição ‘sadia’, da observação, das várias formas de uso da linguagem e do

resgate do prazer em aprender (p. 31-32).

Antes de aplicar uma atividade lúdica é preciso que os alunos estejam cientes de que o objetivo

não é o simples fato de brincar e o professor tem que ter pleno domínio e conhecimento do que está

fazendo. O docente tem que deixar explícito que os objetivos da atividade não são apenas sair da

rotina e sim o aprendizado de cada aluno e, para que isso ocorra, as intervenções pedagógicas por

parte do mesmo são sempre necessárias. Uma má jogada constitui uma excelente oportunidade de

intervenção do professor, voltando-se para analisar os erros.

Em relação à intervenção pedagógica com jogos no ensino de matemática, [3] propõe sete

momentos distintos:

1) familiarização com o material do jogo;

2) reconhecimento das regras;

Página-270



3) jogar para garantir regras;

4) intervenção pedagógica verbal;

5) registro do jogo;

6) intervenção escrita;

7) jogar com competência.

Todos esses momentos proposto pelo autor são significativos para o bom andamento do inicio e

de um término bem sucedido de um jogo, além disso, cada momento tem sua hora e é necessário cada

um deles para que se tenha o aproveitamento desejado.

A aplicação de jogos como um método pedagógico de ensino e aprendizagem nas aulas de

matemática, como já vimos até aqui, é um meio viável para tentar diminuir as dificuldades

encontradas ao longo do caminho, porém para o professor atingir o resultado desejado, o mesmo tem

que ter o compromisso de antes planejar, para que não se perca o real objetivo.

Por vários séculos, a matemática foi apresentada como uma matéria isolada, sem contexto, abstrata

e foi ensinada dessa mesma forma. Para se aprender matemática tinha que repetir várias vezes o mesmo

processo até que o exercício se tornasse algo decorativo. Atualmente está sendo ressaltada outra maneira

de se ensinar essa disciplina, uma maneira menos decorativa, sem tantas repetições e com um sentido

maior que é pelo método de resolver problemas.

Nesse contexto podemos destacar,

Ensinar matemática através da Resolução de Problemas é uma abordagem

consistente com as recomendações do Conselho Nacional de Professores de

Matemática e dos PCN, pois conceitos e habilidades matemáticos são aprendidos

no contexto da Resolução de Problemas. O desenvolvimento de processos de

pensamento de alto nível deve ser promovido através de experiências em

Resolução de Problemas e o trabalho de ensino de matemática deve acontecer num

ambiente de investigação orientada em Resolução de Problemas. (ONUCHIC;

ALLEVATO, 2004, P.222).

O jogo desperta nos alunos criatividade, motivação, curiosidade e vontade em aprender, vontade

esta que quase não se encontra nos educando, vontade esta que nós docentes temos o dever de tentar

resgatar, pois nós estamos cada dia formando indivíduos que têm preguiça de pensar, preguiça de

solucionar um problema sozinho e toda essa falta de atitude está tornando nossos alunos sujeitos

dependentes.

O ato de ensinar exige do docente constante processo de pesquisa, formação e reflexão sobre a

prática pedagógica na tentativa de melhorar o processo de ensino-aprendizagem, sendo assim cabe a nós

professores acompanharmos a evolução da sociedade e perceber que temos a necessidade de mudar

velhos hábitos de ensino, entre eles cito o ensino da matemática por meio de jogos para motivar nossos

alunos ao aprendizado.

Referências

[1] BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática.

São Paulo – SP: IME-USP 1996.

[2] BRASIL, Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Média e Tecnológica.

Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (PCN+). Brasília: MEC/SEMT, 2002.

[3] GRANDO, R. C., O conhecimento matemática e o uso de jogos na sala de aula. Tese

doutorado, Faculdade de educação, 2000.

[4] ONUCHIC, L. de la R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-

aprendizagem de matemática através de Resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.;

BORBA, M. C. (org). Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez,

2004.

Página-271

Página-272

1



Curvas-de-espelho africanas: uma proposta etnomatemática de

tradução cultural

Lucas S. Passos

Mestrando no Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, UFG

Av. Contorno, Planetário, s/n 74055-140, Goiânia, GO


Crhistiane F. Souza

Unidade Acadêmica Especial de Matemática e Tecnologia, UFG/RC

Av. Dr, Lamartine P. de Avelar, 1120 75704-020, Catalão, GO


Neuza F. V. Melo

Unidade Acadêmica Especial de Letras e Linguística, UFG/RC




RESUMO

O interesse pelas curvas-de-espelho africanas, conjugado com o interesse pelos Estudos da

Etnomatemática e pelos Estudos da Linguagem, sobretudo do discurso, representa um acinte na vida

acadêmica e de pesquisa intercruzada dos três sujeitos desse trabalho (PASSOS et al., 2014; PASSOS,

2014). A apreciação centrada nesse objeto data de pelo menos quatro anos atrás, quando conhecemos

a obra Da etnomatemática a arte-design e matrizes cíclicas do nomeado pesquisador Paulus Gerdes

(2010). Com um olhar interdisciplinar, investigamos as curvas-de-espelhos africanas apresentadas

pelo autor e, em diversos momentos e parcerias, mobilizamos esforços para construir atividades que,

no rastro da própria obra, levassem a uma ruptura do idealismo matemático e da dicotomia entre

Matemática e Arte. No final da graduação, quando, na intenção de conseguir o título de Licenciado

em Matemática, pela Unidade Acadêmica Especial de Matemática e Tecnologia, da Universidade

Federal de Goiás, Regional Catalão — UFG/RC, o primeiro autor (PASSOS, 2014), sob a orientação

da professora Crhistiane da Fonseca Souza e coorientação da professora Neuza de Fátima Vaz de

Melo, uma das nossas atividades de nossa pesquisa se focou exclusivamente na apresentação e

construção prática das referidas curvas, levando os sujeitos a produzir criticamente Lunda-designs e

Lunda-mosaicos.

Se tratando os participantes da pesquisa de um grupo de alunos bolsistas e professoras

supervisoras do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID), subprojeto da

Matemática, da referida universidade, propusemos uma instrumentalização das questões apresentadas

por Gerdes (2010) observando como as mesmas levavam a uma significação (cultural) dos povos

africanos e uma desconstrução discursiva da Matemática, em termos de estrutura fixa, neutra e a-

histórica. Todos esses esforços de apresentar e reapresentar as curvas-de-espelho africanas da cultura

sona, a partir da referida obra, ainda continuam a existir no presente e, quando do recente ingresso do

primeiro autor no mestrado do Programa de Pós-graduação em Ciências e Matemática, as questões

que sempre trabalhamos voltaram cada vez mais fortes em termos de Ensino e Formação de

Professores.

Em nível de esclarecimento, Da etnomatemática a arte-design e matrizes cíclicas é o nome do

livro de Paulus Gerdes, publicado em 2010 pela Autêntica Editora, como o número 19 da Coleção em

Educação Matemática. Trata-se de uma coleção dirigida para futuros e atuais professores que buscam

de diversas maneiras refletir sobre a práxis da Educação Matemática em suas várias vertentes, de

forma que o trabalho de Gerdes parte de sua própria vivência com vários povos da África e como

professor dos mesmos, para expor pontos de satura entre a Matemática e a Arte, além de apresentar de

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2



forma geral, a riqueza dos artefatos e mentefatos da cultura africana. É um trabalho etnomatemático,

onde conhecemos povos desde a tradição Tonga e Makwe em Moçambique e as tradições Cokwe em

Angola, povos compreendidos no interior de uma região denominada reino Lunda. São povos que

produzem cestas e esteiras (mpáango) com tiras trançadas, que produzem desenhos no solo com

curvas carregadas de significado e particularidades, que fabricam kolam e estampam em lenços, em

pedras, mosaicos e outros elementos ornamentais.

Destaquemos ainda que a referida obra de Gerdes (2010) sintetiza uma fração de um longo

trabalho de 30 anos, principalmente no contexto de formação de professores. O próprio autor esclarece

que o interesse pela arte africana surge quando, no contexto de atuação do primeiro curso de formação

de professores de Matemática de uma Moçambique libertada da colonização, percebe que aos seus

alunos, a Matemática parece uma disciplina esotérica e pouco útil, com fortes implicações

colonizadoras. Assim, seu esforço foi o de apontar aos alunos desmotivados como a Matemática, num

renascimento cultural, poderia dialogar com seus próprios artefatos e práticas culturais.

No cenário contemporâneo, sobretudo no educacional brasileiro, sabemos que cada vez mais tem

se discutido a exclusão de minorias e de seus saberes — entre os quais podemos destacar os povos e

conhecimentos de raízes africanas —, e pensado em políticas de inclusão das diversidades. Tanto é

que a Lei 10639/2003 (BRASIL, 2003) estabelece que a história e cultura afro-brasileira e africana

deverão ser incorporadas no âmbito de todo currículo escolar. No campo da Etnomatemática — ao

qual Ubiratan D’Ambrosio é considerado o fundador e Paulus Gerdes um de seus seguidores —, essa

tem sido uma demanda muito forte, pois o mesmo tem exposto como a Matemática está ligada aos

processos de capitalismo, colonialismo e imperialismo cultural, sendo necessário um diálogo cultural

a fim de visibilizar as formas de saber e fazer marginalizadas (D’AMBROSIO, 2011). Nesses

contextos, que exigem e carecem de um novo pensar, prática e material, o trabalho de Paulus Gerdes

certamente tem um aspecto prometedor e pode ser usado a fim de objetivos proveitosos.

O trabalho que hora se apresenta, visa explanar a nossa experiência nesse campo que se definiu

como uma das nossas áreas de atuação, mostrando como o trabalho de Gerdes (2010) com as curvas-

de-espelho africanas pode ser cada vez mais reformulado em uma proposta etnomatemática de

tradução cultural e, portanto, como uma proposta de ensino para a Matemática. Percebemos que

através de movimentos de releitura e reescrita, de repetição e diferença, podemos construir propostas

que tanto — e, ao mesmo tempo — suscite uma linguagem matemática, em termos de Geometria,

Aritmética, Álgebra e Teoria dos Números, quanto uma linguagem política e de reconhecimento, em

termos de cultura, discurso, saber e poder. A tradução cultural como um gesto pós-estruturalista e

pós-colonialista, tal como escreve a pensadora Judith Butler (2003, 2006), obriga a linguagem

dominante a ceder suas categorias fundamentais e se transformar com a linguagem marginalizada, já

que nenhuma das duas deve permanecer centrada e fechada em si mesma. Entendemos que o ensino

de Matemática, desde as denúncias e demandas etnomatemáticas, deve buscar apreender o Outro num

dinamismo político a favor da transformação ética e social, sendo o trabalho de Gerdes (2010) um

ótimo recurso para construir essa transformação.

Referências

[1] BRASIL. Presidência da República. Lei n. 10.639, de 9 de janeiro de 2003. Altera a Lei nº

9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional,

para incluir no currículo oficial da Rede de Ensino a obrigatoriedade da temática "História e

Cultura Afro-Brasileira", e dá outras providências. Brasília, 2003. Disponível em:

<http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/2003/L10.639.htm>. Acesso em: 20 jul. 2015.

[2] BUTLER, J. Deshacer el género. Buenos Aires: Paidós, 2006.

[3] BUTLER, J. Reescinificación de lo universal: hegemonía y límites del formalismo. In:

Butler, J.; LACLAU, E.; ŽIŽEK, S. Contingencia, hegemonía, universalidad: diálogos

contemporáneos em la izquierda. Buenos Aires, Fondo de Cultura Econômica, 2003.

[4] D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 3. ed. Belo

Horizonte: Autêntica, 2011.

[5] GERDES, P. Da etnomatemática a arte-design e matrizes cíclicas. Belo Horizonte:

Autêntica Editora, 2010.

Página-274

3



[6] PASSOS, L. S.; VICENTE, E. R.; SANTANA, T. M. N.; SOUZA, C. F. Da arte do Outro

à 'nossa' Matemática, avante e além: ressignificando através do GeoGebra, os mosaicos como

signos culturais. In: VI Simpósio de Matemática e Matemática Industrial, Catalão,

SIMMI'2014: Anais do VI Simpósio de Matemática e Matemática Industrial, 2014, v. 1. p.

58-73.

[7] PASSOS, L. S. Movimentos à margem da Matemática: perturbações e deslocamentos na

ordem do discurso. 2014. 133f. Trabalho Final de Curso (Licenciatura em Matemática) –

Unidade Acadêmica Especial de Matemática e Tecnologia, Universidade Federal de Goiás,

Regional Catalão.

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1


Formação docente: Design de objeto virtual de aprendizagem para o

ensino de função polinomial de 1º e 2º grau

Liliane de O. Souza1 Cláudio R. M. Benite

Mestrado em Educação em Ciências e Matemática, UFG

Av. Contorno, nº 900,Parque Mutirama, Setor Central

CEP: 74055-140, Goiânia-Go


RESUMO A presença das TIC’s na sociedade contemporânea vem acontecendo num ritmo de constante crescimento, tanto

qualitativo como quantitativo, não sendo diferente na Educação. A tecnologia tem se mostrado com inúmeros

benefícios, como auxiliar e potencializar o ensino e aprendizagem de Matemática, possibilitando ao aluno uma

construção, visualização e aplicação dos conteúdos, dando-lhe condições a construção de um conhecimento

efetivo. Com etapas da pesquisa participante esta investigação tem como estudo o processo formativo de

professores para o uso das TIC’s no ensino de Matemática em ambiente presencial (disciplina de Mídias Digitais

em Educação Matemática) e virtual (Moodle), tendo como sistematização da aprendizagem a elaboração de

objetos virtuais de aprendizagem. Uma disciplina do curso de professores foi reestruturada visando à formação

docente com o foco no planejamento e design de objetos virtuais de aprendizagem (OVA) para serem aplicados

em aulas contextuais da educação básica, envolvendo conteúdos matemáticos. Nossos resultados apontam para uma formação docente atualizada, reflexiva e pela pesquisa, resultando no planejamento e desenvolvimento de

um material didático virtual simulador de fatos reais e contextualizados, cujo objetivo deste é o ensino de

Matemática de maneira prazerosa e significativa.

Palavras-chave: Ensino de matemática, TIC’s, Formação de professores.

Ensino contextualizado de Matemática por meio de objetos virtuais de

aprendizagem: uma nova proposta As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) tornam crescentes as tendências para o

surgimento de uma sociedade moderna e conectada aos diversos recursos que estas nos oferecem. Entretanto, se

o uso da tecnologia tem mudado alguns aspectos da sociedade, a escola como parte importante da construção da

vida em sociedade vem sofrendo alterações visíveis no processo de ensino e aprendizagem. Logo podemos

buscar meios de inseri-la no ambiente escolar, pois a mesma apresenta diversas ferramentas que nos permite

trabalhar o ensino de matemática de forma lúdica, contextualizada, dinâmica e motivadora, permitindo que o

aluno aprenda os conteúdos de forma ativa e autônoma.

Os professores precisam repensar o seu papel e a de sua interação com seus alunos e com as inovações

atuais, sendo que o docente é considerado fator importante para assegurar a integração e a inserção das novas tecnologias no currículo escolar. Portanto, deve-se dar atenção especial a formação nesta área, por ser primordial

para o sucesso da implantação de recursos tecnológicos, em especial o computador, como ferramenta didática.

Como ressalta Moran (et al. 2002, p. 142):

Para nós professores, essa mudança de atitude não é fácil. Estamos acostumados e

sentimo-nos seguros com o nosso papel de comunicar e transmitir algo que

conhecemos muito bem. Sair dessa posição, entrar em diálogo direto com os alunos,

correr o risco de ouvir uma pergunta para a qual no momento não tenhamos

respostas, e propor ao aluno que pesquisemos junto para buscarmos a resposta –

tudo isso gera um grande desconforto e uma grande insegurança.

Entretanto, uma formação qualitativa tem sido exigência de toda a sociedade, logo docentes precisam

mudar suas práticas pedagógicas e se aperfeiçoarem de acordo com as exigências e necessidades desta sociedade moderna, pesquisando e construindo novas metodologias utilizando recursos eletrônicos, sem deixar de valorizar

seus alunos no processo de aprendizagem e levar em consideração a realidade e o contexto escolar que

1 Mestranda em Educação em Ciências e Matemática pela Universidade Federal de Goiás (MECM – UFG). Docente do curso de Licenciatura

em Matemática na Universidade Estadual de Goiás/ Campus Goiás.

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pertencem. Como material didático, os OVAs são construídos e projetados em etapas e sequências lineares, contendo também curiosidades, fatos históricos, exemplos e desafios com a intenção de contribuir com as

situações de aprendizagem. O objeto desta pesquisa foi construído no Power Point, utilizando das características

e ferramentas desse sistema, os conceitos de Matemática são apresentados em níveis, contextos e características

diferentes. Wiley (2001) nos diz que;

Os objetos de aprendizagem são elementos de um novo tipo de instrução baseada em

computador apoiada no paradigma da orientação a objetos da informática. A

orientação a objetos valoriza a criação de componentes (chamados “objetos”) que

podem ser reutilizados em múltiplos contextos (p. 3).

Em decorrência desses fatores e de uma formação inicial deficitária, este trabalho surge com o

objetivo de contribuir para minimizar a falta de conhecimento dos futuros professores de Matemática para que estes, quando atuantes em sala de aula, tenham possibilidades de trabalhar o ensino com recursos tecnológicos

promovendo assim uma aprendizagem efetiva, contribuindo para a formação cidadã. Partindo desses

pressupostos, este trabalho traz o estudo do processo formativo de professores para o uso das TIC’s no ensino de

Matemática em ambiente presencial (disciplina de Mídias Digitais em Educação Matemática) e virtual (Moodle),

tendo como sistematização da aprendizagem a elaboração de objetos virtuais de aprendizagem (OVA) para

serem aplicados em turmas de ensino fundamental e/ou médio de escola pública na Cidade de Goiás, GO.

Metodologia Visando um contato mais direto e estreito com os sujeitos pesquisados, este trabalho contém

elementos de uma pesquisa participante (PP) que, de acordo com Le Boterf (1984), busca encontrar formas de

solucionar situações problemas em conjunto com os sujeitos pesquisados, isto é, são atividades integradas que

combina investigação social, trabalho educacional e ação.

Baseados em Demo (2008), a PP pode ser desenvolvida em três fases: “exploração” geral da comunidade (nesta pesquisa ocorreu a partir da escolha do público alvo e feita uma investigação quanto aos seus

conhecimentos referentes ao uso da tecnologia nas aulas de Matemática); identificação das necessidades básicas

(diagnosticou-se a partir da investigação feita uma necessidade formativa, no entanto a proposta é minimizar este

problema por meio de um trabalho voltado para o uso das tecnologias em sala de aula em uma disciplina do

curso tendo como complemento discussões em um ambiente virtual-moodle) e a elaboração de uma estratégia

educativa (propôs-se a construção de um OVA, a aplicação do mesmo em turmas de ensino fundamental e/ou

médio e promover discussões e reflexões acerca dos resultados alcançados). (Demo, 2008, p. 93)

A identificação da necessidade formativa para o uso das TIC’s no ensino de Matemática (o problema)

do grupo pesquisado surgiu a partir de um estudo anterior realizado pela pesquisadora. Foi aplicado um

questionário para 17 alunos do 1º e 2º ano do curso, constatando que 56% desses alunos não estavam aptos a

trabalhar com as TIC’s em suas aulas, 100% destes não conheciam nenhum software/programa que permita a

construção de um material didático virtual, afirmando necessitar de formação nessa área e 94% acreditam que o uso das TIC’s pode contribuir para o ensino de Matemática, mas não sabem como relaciona-los. Baseados nos

dados apresentados, identificamos a necessidade formativa para o uso das TIC’s no ensino de Matemática.

Desenvolvimento da pesquisa Os sujeitos da pesquisa são alunos do curso de licenciatura em Matemática, em formação inicial, que

estão cursando no 3º ano a disciplina de Mídias Digitais em Educação Matemática. Importante dizer que a

ementa dessa disciplina tem como foco “Promover a identificação e a análise das diversas mídias digitais que

podem ser utilizadas na Educação Matemática. Refletir sobre as implicações didático-metodológicas destas

mídias, em relação à construção dos conceitos matemáticos, o perfil do aluno e o contexto social. Desenvolver

projetos de aprendizagem por meio da reflexão crítica e da possibilidade de intervenção na escola”.

O Moodle (Modular Object Oriented Dynamic Learning) utilizado pela professora para a realização

de trabalho complementar à disciplina, é um sistema de gerenciamento de ambientes virtuais de aprendizagem,

destinado à comunicação online disponibilizado pela Universidade. Os fóruns aconteciam semanalmente, pois os diálogos, discussões e interações, aconteciam em função do que havíamos trabalhado nas aulas presenciais,

acerca das dificuldades de compreensão do real papel das TIC’s no ensino de Matemática. Defendemos que os

fóruns de discussão no Moodle possibilitaram organizar, desenvolver, elaborar e socializar as produções,

permitindo uma flexibilidade e interação em ambiente virtual de acordo com a disponibilidade de cada sujeito.

A possibilidade do uso das TIC’s no ensino de Matemática por meio da construção do OVA, vem

contrapor à educação formal desenvolvida ainda hoje em grande parte das escolas de educação básica. Neste

formato de educação, os conteúdos são lecionados de forma fragmentada e distante dos contextos científicos e

sociais. Abordagem refletida no OVA construído, tal sugestão torna-se relevante no ensino de Matemática, “já

que se propõe a situar e relacionar os conteúdos escolares a diferentes contextos de sua produção, apropriação e

utilização” (KATO e KAWASAKI, 2011, p.36). Partindo deste pressuposto, foi proposto ao grupo pesquisado a

construção dos objetos, pois defendemos que os OVA’s são ferramentas materiais que:

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podem se configurar por recursos digitais que trazem informações apresentadas em

diferentes formas, tais como imagens, sons e gráficos e que possuem objetivos

educacionais. Encontramos a designação learning object (objeto educacional)

descrevendo a utilização de materiais educacionais construídos e projetados em

pequenos blocos com intuito de maximizar as situações de aprendizagem (Benite et

al., 2011, p.76)

O contexto de um dos OVA’s teve como foco o planejamento e orçamento de um evento. O tema foi

escolhido pelos alunos, pelo fato de nós brasileiros vivenciarmos muito momentos como estes. O referido OVA

objetiva trabalhar por meio de atividades baseadas em um orçamento de buffet, explorando então os conceitos,

representações algébricas e gráficas das funções de 1º e 2º grau, dentre outros.

Figura 1. Apresentação do conceito de função polinomial do 1º grau

Importante dizer que não houve discurso de autoridade durante o planejamento e elaboração dos

OVA’s, os alunos tiveram autonomia na escolha dos conteúdos e os contextos que seriam abordados,

característica própria da PP. Ao término de cada fase da pesquisa os backups dos fóruns eram analisados à luz da

teoria para que feedbacks fossem realizados, visando a relação teoria-prática em busca da melhoria da formação

dos envolvidos. Segundo Brandão (1984, p.43), esta etapa é denominada de retroalimentação, ou seja, o plano de

ação e sua implementação deve também dar lugar a uma discussão e a uma avaliação permanentes de sua

orientação, de seu conteúdo e de sua execução.

Apoiamo-nos em Moran (2002) assumimos que as TIC’s podem auxiliar o professor a planejar,

lecionar e avaliar suas aulas de modo diferente do processo tradicional, porém tal desafio envolve conhecimentos

teóricos, práticos e habilidades técnicas que devem ser oferecidos durante a formação inicial nos cursos de

licenciatura. Nesta perspectiva, nossos resultados apontam que a disciplina oferecida em ambiente presencial e

virtual possibilitou aos participantes se apropriarem de conhecimentos necessários para a criação de recursos educacionais visando discutir conceitos a partir de situações reais.

Considerações Espera-se que com a experiência de produzir o objeto virtual de aprendizagem para o ensino de

Matemática a tecnologia possa contribuir na compreensão de conceitos e ideias e na simulação de fatos reais e

contextualizados, pois com esse material didático é possível ampliar o universo dos conteúdos e seus contextos,

tornando o ensino de matemática mais dinâmico, interessante e próximo ao cotidiano do aluno. Temos

consciência que as TIC’s não resolvem todos os problemas de ensino, porém a mesma disponibiliza diversas

ferramentas e recursos, que se bem estudados e planejados, corroboram para um ensino e aprendizagem

significativos.Portanto, o domínio das TICs pelo professor de Matemática, é fator importante também para os

processos sociais, políticos, econômicos e culturais do mundo moderno, e o espírito inovador e pesquisador do

professor refletirá nos futuros docentes e discentes que se permitirão juntos descobrir, compreender, interagir e

contribuir de maneira impar, para solucionar alguns problemas que cerca nossa sociedade.

Referências [1] WILEY, D. A. Connecting learning objects to instructional design theory: a definition a metaphor, and a

taxonomy. 2001. Disponível em: http://reusability.org/read/chapters. Acessada em março 2015.

[2] KATO, D. S.; KAWASKI, C. S. As concepções de contextualização do ensino em documentos curriculares

oficiais e de professores de Ciências. Ciência & Educação, v. 17, n. 1, p. 35-50, 2011.

[3] BENITE, A. M. C.; BENITE, C. R. M.; FILHO, S. M. da S. Educação em Química e Multimídia.

Cibercultura em Ensino de Química: Elaboração de um Objeto Virtual de Aprendizagem para o Ensino de

Modelos Atômicos. Química Nova na Escola, V.33, n.2, 2011.

[4] BRANDÃO, C. R. (orgs). Repensando a Pesquisa Participante. Editora Brasiliense, São Paulo, 1984.

[5] DEMO, P. Pesquisa Participante: Saber pensar e intervir juntos. Série Pesquisa v. 8, 2ª edição. Brasília, 2008.

[6] MORAN, J. M: MASETTO, M. T: BEHRENS, M. A. Novas Tecnologias e Mediação Pedagógica. 5. ed. São

Paulo: Papiros, 2002.

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Ensinar e Aprender Cálculo Diferencial e Integral por meio

da Modelagem Matemática

Nayara Longo Sartor1 Lucy Aparecida Gutiérrez de Alcântara

Instituto Federal de Mato Grosso – IFMT

Linha J, s/n, Setor Chácara 78320-000, Juína – MT


RESUMO

A Matemática é uma ciência milenar, que faz parte do cotidiano das pessoas, pois está presente em

tudo. Aprendê-la, infelizmente, tornou-se algo oneroso, pois apesar de tanta aplicabilidade, as pessoas não

conseguem associá-la à suas vidas. Segundo Ogliari [6], o aluno vê a matemática como uma disciplina

desnecessária e de difícil compreensão, e essa crença é proveniente da própria sociedade.

Ensinar Matemática, por sua vez, é em geral, um desafio. Seja no ensino fundamental, médio ou

superior, várias são as variáveis que podem influenciar nos processos de ensino e de aprendizagem. Além dos

problemas que interferem na aprendizagem dos alunos como em qualquer outra disciplina, os conteúdos de

Matemática são todos interligados. Dessa maneira, aprendê-la é um processo contínuo, que tem início mas não

tem fim, no qual qualquer interrupção é prejudicial para o desenvolvimento do processo.

Assim, um aluno que apresentou dificuldade em aprender Matemática no ensino básico levará essa

defasagem para a graduação. Caso escolha um curso que lhe exija domínio em disciplinas da área de exatas, terá

em sua grade curricular, disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, e provavelmente, encontrará obstáculos ao

cursar as mesmas, causando pendências e o atraso na conclusão dos seus estudos.

Cálculo Diferencial e Integral é um conjunto de disciplinas presentes na matriz curricular dos cursos

da área de Ciências Exatas. Para cursá-las é preciso ter como conhecimento prévio muitos conceitos básicos de

Matemática, tais como funções, operações com polinômios, resolução de problemas, geometria analítica, plana e

espacial, entre tantos outros.

Apesar de essenciais, geralmente registra-se altos índices de retenção e evasão nessas disciplinas.

Corrobora com a afirmação, Araújo [1], quando expressa que durante os quatro semestres que trabalhou com o

Cálculo I observou que havia muitos problemas envolvendo a disciplina que se manifestavam no grande número

de reprovações e desistências, entre outros. Santos Júnior et al. [7] relatam que dos alunos que participaram da

primeira fase da pesquisa feita para determinar os obstáculos no processo ensino-aprendizagem nos cursos de

graduação da UFRPE – Universidade Federal Rural de Pernambuco, quanto ao Cálculo I, 70% já haviam sido

reprovados pelo menos uma vez na disciplina. Para Godoy e Faria [3] “Esta rotina está gerando uma cultura no

meio acadêmico de que o insucesso dos alunos, [...], principalmente na disciplina de Cálculo Diferencial e

Integral, é um fator natural” (pág. 01). Morelatti [5] observa que a disciplina é apresentada de maneira

desinteressante, obsoleta e inútil, e que é conhecida por seu alto índice de reprovação e de evasão. Por isso, causa

aos alunos “[...] certa apreensão e expectativa negativa, predispondo-os ao insucesso” (pág. 02).

Assim, essas disciplinas, em geral, são vistas como obstáculos nos cursos de graduação e tudo começa

pelo “terrorismo” criado por alunos que já passaram por elas, ou que já reprovaram e ainda não conseguiram

superá-las, e às vezes sustentado por alguns professores dessas disciplinas. No entanto, o problema não é

superficial, como muitos pensam. A grande dificuldade encontrada por muitos ao cursá-las se deve

principalmente à base que tiveram em algum momento da sua vida escolar, seja no ensino fundamental ou

médio, como afirma Machado Júnior [4]: “O ensino da Matemática sempre foi alvo das atenções sociais e

atualmente, ocupa lugar de destaque, [...], pois têm provocado preocupações a professores, alunos, pais e à

sociedade, diante do baixo rendimento escolar” (pág. 16).

De acordo com Santos Júnior et al. [7], “[...] alunos e professores concordam com a ausência, nos

primeiros, da maioria dos conteúdos que servem de pré-requisito para a melhor compreensão dos conteúdos do

Cálculo I” (pág. 02). Ou seja, há lacunas no conhecimento dos alunos, em relação aos conteúdos da Matemática

do Ensino Médio.

1 Professora EBTT.

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Outro fator apontado por Santos Júnior et al. [7], Araújo [1] e Morelatti [5] é a metodologia adotada

pelos professores. Durante sua pesquisa, Santos Júnior et al. [7] apresentaram a sugestão de “[...] uma revisão

dos procedimentos metodológicos do professor no andamento de suas aulas [...]”(pág.10). Além disso, para eles

“[...] a prática do professor é fator decisivo para os obstáculos de aprendizagem [...]” (pág.11). Para Araújo [1], a

utilização de problemas de aplicações no Cálculo Diferencial e Integral reforça a aprendizagem dos conteúdos já

estudados e mostra a utilidade desses conteúdos em aplicações relacionadas com a futura profissão dos

estudantes. No entanto, os alunos não sabem interpretar esses problemas para traduzi-los para a linguagem

matemática. Ainda segundo a autora, os professores o fazem e os alunos apenas aplicam a técnica do cálculo, o

que “[...] não significa, necessariamente, dizer que eles tinham compreendido o conteúdo estudado” (pág. 03).

Morelatti [5] afirma que

[...] a metodologia usada pela maioria dos professores prioriza

exclusivamente a aula expositiva, centrada na fala do professor, com

conteúdos apresentados como prontos e incontestáveis. Os alunos,

após a aula, resolvem mecanicamente uma série de exercícios que

enfatizam as técnicas de resolução em vez de conceitos e estratégias

de resolução. [...] (pág. 02).

Além disso, alguns professores das disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral não conhecem ao

certo a aplicabilidade daquilo que estão ensinando, e até se confundem ao resolver um problema aplicado por

não saber interpretar o que está sendo pedido e o que aquela resposta representa de fato. Calculam limites,

derivadas, integrais, equações diferenciais, de variados graus de complexidade, e nem sabem ao certo para quê,

reforçando o fato de os alunos não encontrarem sentido em estudar Cálculo Diferencial e Integral. Eles não

enxergam a aplicabilidade da disciplina em sua futura profissão, e isso os desmotiva. Já para alunos que são

fascinados por cálculos, não é necessário estímulo algum, pois o desafio de resolvê-los é suficiente. Para alunos

de Licenciatura em Matemática, a resposta do questionamento “Onde vou usar isso?” é fácil de responder, afinal

quem o está ensinando, geralmente, é um licenciado em Matemática. Mas e para os demais? O que responder?

Essa falta de resposta também é desmotivadora e aliada aos demais fatores acabam por contribuir com a

desistência do curso.

Durante sua pesquisa, Santos Junior et al. (2007) afirmam, por meio de dados coletados via

questionário, a evidência de que os alunos não entendem a função que a disciplina tem em seu curso. Dessa

forma, concluíram que é necessária a apresentação da aplicabilidade da disciplina ao curso. Segundo Morelatti

[5], os “[...] alunos não são envolvidos afetivamente com a disciplina e muitas vezes questionam a importância

desta dentro do curso por não entenderem seus objetivos. [...]” (pág. 02). A autora completa explicando que isso

ocorre porque o conteúdo da disciplina é trabalhado de maneira descontextualizada, sem relação com situações

reais.

Diante do exposto, a Modelagem Matemática pode ser uma ferramenta para a mudança desse cenário

desanimador, pois contextualiza o assunto de forma significativa e eficaz. É uma estratégia que vem sendo muito

difundida entre os professores. Alguns até aplicam-na como método de ensino sem saber, quando, por exemplo,

iniciam a abordagem de um determinado tema a partir da apresentação de um problema real, que somente será

resolvido ao final do desenvolvimento do conteúdo.

Segundo Biembengut e Hein [2], Modelagem Matemática não é uma ideia nova, e sua essência esteve

presente na criação de teorias científicas e matemáticas. Para os autores, a modelagem matemática é uma arte,

que formula, resolve e elabora expressões a partir de uma situação real, e a generaliza, para que sejam usadas

como suporte para outras aplicações e teorias.

Segundo Araújo [1], o principal objetivo da Modelagem Matemática é a representação de uma

situação real não-matemática ou na resolução de algum problema real não-matemático através do uso da

Matemática. Para Biembengut e Hein [2], independente da situação, quando a resolução de um problema

envolve quantidades, é necessária uma formulação matemática detalhada. Sendo assim, modelo matemático é o

conjunto de símbolos e as relações matemáticas que transcreve o fato em questão ou o problema gerado a partir

de uma situação real. E reforçam que Modelagem Matemática é o processo da obtenção deste modelo.

Para Machado Junior (2005), Modelagem Matemática é um processo rico e criativo que pode ser a

solução para a crise no ensino, já que dá sentido ao estudo da Matemática e apresenta “uma forma de construção

de conhecimento que flui de maneira natural e não por imposição, facilitando o entendimento e as relações com

o cotidiano do aluno” (pág. 19). Nesse sentido, associar Cálculo Diferencial e Integral à Modelagem Matemática

pode facilitar os processos de ensino e de aprendizagem dessas disciplinas, já que vem contextualizar os seus

conteúdos e torná-los mais concretos. Quando se fala em cursos de licenciatura, é possível ensinar o aluno de

duas maneiras: a ementa da disciplina e a didática de ensiná-la. Didática esta que pode ser aproveitada pelo

futuro professor no desenvolvimento de suas atividades.

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Dessa forma, apresentar a Modelagem Matemática ao professor de Cálculo Diferencial e Integral, e

capacitá-lo para que a utilize no desenvolvimento de suas aulas, pode ser de grande valia para que alunos de

quaisquer cursos da área de Ciências Exatas se envolvam com o assunto e tenham um melhor aproveitamento

dessas disciplinas.

Este trabalho é uma reflexão que embasa a proposta de um projeto de pesquisa ao nível de doutorado

que será desenvolvido em contextos de formação inicial de professores na Licenciatura de Matemática, cujo

objetivo é tentar contribuir no avanço dos processos de ensino e de aprendizagem nas disciplinas de Cálculo

Diferencial e Integral, tanto em relação aos futuros professores, quanto aos professores em exercício que atuam

no ensino das Ciências Exatas.

Referências

[1] ARAÚJO, J. de L.. Cálculo, Tecnologias e Modelagem Matemática: as discussões dos

alunos. 2002, f. 173. Tese de Doutoramento. (Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática) – Universidade Estadual Paulista, 2002.

Acesso em: 11 de agosto de 2014

Disponível em: <www.mat.ufmg.br/~jussara/tese/tese.pdf>

[2] BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N.. Modelagem Matemática no Ensino. 3ª Ed. São Paulo:

Contexto, 2003.

[3] GODOY, L. F. S. de; FARIA, W. C.. O cálculo Diferencial e Integral e suas Aplicações

no Ensino da Engenharia: Uma Análise de Currículo. In: CONGRESSO DE INICIAÇÃO

CIENTÍFICA DO INATEL. Anais... 2012.


Disponível em: <www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2011/sessoestec/art2000.pdf>

[4] MACHADO JÚNIOR, A. G.. Modelagem Matemática no Ensino-Aprendizagem: Ação e

Resultados. 2005, f. 133. Dissertação. (Mestrado em Ciências e Matemáticas) – Universidade

Federal do Pará, 2005.

Acesso em: 31 de julho de 2014

Disponível em: <www.ufpa.br/npadc/gemm/documentos/docs/Doc_12.pdf>

[5] MORELATTI, M. R. M.. A abordagem Construcionista no Processo de Ensinar e

Aprender Cálculo Diferencial e Integral. In: CONGRESSO IBEROAMERICANO, 6.,

SIMPOSIO INTERNACIONAL DE INFORMÁTICA EDUCATIVA, 7., TALLER

INTERNACIONAL DE SOFTWARE EDUCATIVO, 7. 2002. Anais... Vigo. IE;

Universidade de Vigo. 2002.


Disponível em: <lsm.dei.uc.pt/ribie/docfiles/txt2003729173959paper-258.pdf>

[6] OGLIARI, L. N. A Matemática no Cotidiano e na Sociedade: Perspectivas do Aluno do

Ensino Médio. 2008, f. 145. Dissertação. (Programa de Pós-Graduação em Educação em

Ciências e Matemática) – Pontífica Universidade Católica do Rio Grande do Sul, 2008.


Disponível em: < repositorio.pucrs.br/dspace/.../1/000400012-Texto%2BCompleto-0.pdf>

[7] SANTOS JÚNIOR, V. B. dos; MENEZES, J. E.; BRITO, J. de S.; MIALARET JÚNIOR,

M. A. T.. Os Obstáculos no Processo Ensino-Aprendizagem nos Cursos de Graduação da

UFRPE: A disciplina Cálculo I. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA, 9., 2007. Belo Horizonte. Anais..., Belo Horizonte: UFMG, 2007.


Disponível em: <www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Poster/.../PO19453574449eT.doc>

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Geometria Diferencial das Curvas de Intersecao Transversal deDuas Superfıcies Tipo Espaco no Espaco de Lorentz-Minkowski

Osmar AlessioUniversidade Federal do Triangulo Mineiro, UFTM

Av.Frei Paulino, 30

38025-180, Uberaba, MG

E-mails: [email protected]

Luciana Avila RodriguesDepartamento de Matematica, UnB

Campus Universitario Darcy Ribeiro

70910-900, Brasılia, DF


Fabio Nunes da SilvaCentro das Ciencias Exatas e das Tecnologias, UFOB

Rua Jose Seabra de Lemos,316

47.808-021, Barreiras, BA


RESUMO

Neste trabalho, estudamos as propriedades da curva de intersecao transversalde duas superfıcies tipo espaco no espaco de Lorentz-Minkowski E3

1. O objetivoprincipal e determinar quando existe a curvatura, a torcao, a curvatura normal,curvatura geodesica e a torcao geodesica da curva de intersecao em ponto dado dacurva de intersecao de duas superfıcies tipo espaco definidas na forma parametricaou implıcita.

Estudamos o espaco E31, definindo e caracterizando os vetores, os subespacos

vetoriais, os planos, as curvas tipos espaco e as superfıcies tipo espaco. Definimos oespaco de Lorentz-Minkowski, como sendo o espaco Euclidiano tridimensional E3,munido com a metrica de Lorentz denotada por

〈u, v〉1 = −u1v1 + u2v2 + u3v3.

Assim, considerando um vetor v em E31, este vetor e chamado:

• tipo tempo, se 〈u, v〉1 < o;

• tipo espaco, se 〈u, v〉1 > 0, ou v e um vetor nulo;

• tipo luz, se 〈u, v〉1 = 0 e v 6= 0.

Dizemos que, um subespaco de E31 e tipo espaco (ou tipo tempo, ou tipo luz), se a

metrica induzida e tipo tempo (ou tipo espaco, ou tipo luz). Definimos que umacurva em E3

1 e tipo espaco, se a direcao tangente a curva e tipo espaco, e que, uma

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superfıcie e tipo espaco se a sua direcao normal e tipo tempo. Considerando umacurva tipo espaco, de forma que, a segunda derivada e uma direcao nao nula, elapode ser tipo tempo, tipo espaco ou tipo luz; caso seja tipo espaco ou tipo tempo,podemos definir um triedro de Frenet ortonormal, curvatura, torcao, triedro deDarboux, curvatura geodesica, curvatura normal e torcao geodesica; o caso em quea segunda derivada e uma direcao tipo luz nao conseguimos definir a curvatura, bemcomo, um triedro ortonormal.

Consideramos um ponto p que esta na intersecao de duas superfıcies tipo espaco,escrita na forma parametrica ou implıcita e calculamos quando possıvel a curvatura,a torcao, a curvatura normal, a curvatura geodesica e a torcao geodesica da curvade intersecao. Primeiramente, definimos o vetor tangente da curva de intersecao us-ando os vetores normais das superfıcies dadas, em seguida, determinamos a segundaderivada e a terceira derivada da curva em funcao dos elementos das superfıcies.Caso as superfıcies estejam na forma parametrica, as informacoes da curva em cadaponto dado estao em funcao da primeira e segunda forma fundamental das respec-tivas superfıcies. Se as superfıcies estiverem na forma implıcita, as informacoes dacurva em cada ponto dado estao em funcao da matriz hessiana e de elementos quedependem derivadas das funcoes que define as superfıcies dadas. Se uma das su-perfıcies estiver na forma parametrica e outra na forma implıcita, as informacoesda curva em cada ponto dado podem depender da superfıcie na forma parametricae/ou da superfıcie na forma implıcita.

Exemplificamos os metodos de encontrar cada uma das informacoes da curvade intersecao em um ponto dado, para cada um dos tres casos (parametrica -parametrica, parametrica - implıcita e implıcita - implıcita).

References

[1] ALESSIO, O.; GUARDALUPE, I. V. Determination of a transversal intersectioncurve of two spacelike surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space L3, Hadronic Journal,Vol.30(2), 315-342, 2007.

[2] DO CARMO, M. P. Differential Geometry of Curves and Surface, Prentice Hall,Englewood Cliffs, NJ, 1976.

[3] KUHNEL, W. Differential Geometry: curves-surfaces-manifolds, 2nd ed. Studentmathematical library vol. 16. A. M.S., Providence, RI, 2006.

[4] LOPEZ, R. Differential Geometry of curves and surfaces in Lorentz-Minkowski space,International Electronic Journal of Geometry, Vol. 7 , 44-107, 2014.

[5] OZDEMIR, M.; ERGIN, A.A. Spacelike Darboux curves in Minkowski 3-space. Difer-ential Geometry-Dynamical Systens, Vol. 9, pp. 131-137, 2007.

[6] YE, X.; MAEKAWA, T. Diferential geometry of intersection curves of two surfaces,Computer Aided Geometric Design, Berlin, Heidelberg, New York, 2002.

[7] UGURLU, H.H.; KOCAYIGIT, H. The Frenet and Darboux Instantaneous RotationVectors of Curves on a Time-Like Surfaces, Mathematical & Computational Aplica-tions,Vol. 1 (2), 133-141, 1996.

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Sobre as hipersuperfıcies de Dupin em R5

Luciana Avila Rodrigues∗

Departamento de Matematica, UnB

Campus Darcy Ribeiro

70910-900 Brasılia - DF


RESUMO

Uma hipersuperfıcie, Mn−1 em Rn e de Dupin se cada curvatura principal econstante ao longo de sua correspondente linha ou superfıcie de curvatura. A hi-persuperfıcie de Dupin e chamada prpria se satisfaz a condicao adicional de que onumero de curvaturas principais distintas e constante em M. Consideramos hipersu-perfıcies de Dupin em R5, parametrizadas por linhas de curvatura e com quatro cur-vaturas principais distintas. Provamos uma caracterizacao de tais hipersuperfıciesem termos das curvaturas principais e de funcoes vetoriais que dependem de uma sovariavel. Mostramos que essas funcoes vetoriais descrevem curvas planas. Para mos-trar tal caracterizacao usamos a teoria dos invariantes de Laplace. Para o caso emque um dos invariantes de Laplace e nulo, mostramos em [3] que nao existem hiper-superfıcies de Dupin parametrizadas por linhas de curvatura. Supondo pelo menosum dos invariantes de Laplace nao nulos obtivemos, em [1] e [2], a caracterizacao lo-cal completa de tais hipersuperfıcies e fornecemos exemplos de tais hipersuperfıciesde Dupin que sao irredutıveis.

Estes resultados foram obtidos em colaboraccao com os professores Keti Tenenblat(UnB) e Marcelo Ferro (UFG).

Referencias

[1] Ferro, M. L. ; Rodrigues, L. A. ; Tenenblat, K . On a class of Dupin hypersurfacesin R5 with nonconstant Lie curvature. Geometriae Dedicata, v. 169(2014), 301-321.

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parametrized by lines of curvature.( pre-print).

[3] Riveros, C.M.C.; Rodrigues, L.A.; Tenenblat, K. On Dupin hypersurfaces with cons-tant Moebius curvature, Pacific J. Math. 236 (2008), 89-103.

∗Parcialmente financiado por PROCAD/CAPES

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Differential geometry of transversal intersection curvesof two Spacelike hypersurfaces in Lorentz-Minkowski

4-Space

Osmar AlessioUniversidade Federal do Triangulo Mineiro-UFTM, Uberaba, MG, Brasil

[email protected]

Luciana Avila RodriguesUniversidade de Brasilia-UnB, Brasılia,DF,Brasil

[email protected] Nunes da Silva

Universidade Federal do Oeste da Bahia-UFOB, [email protected]

25 de Agosto de 2015

RESUMO

In this paper, we compute the Frenet vectors and the curvatures of the inter-section curve of three spacelike hypersurfaces. We derive t, n, b1, b2 vectors, cur-vatures (k1, k2, k3), normal curvatures, geodesics curvatures and geodesic torsionfor transversal intersections of the intersection for all three types of intersectionproblems. The hypersurface–hypersurface–hypersurface intersection (SSSI), is afundamental problem in computational geometry and geometric modelling of com-plex shapes. In this paper, we worked with implicit and parametric hypersurfacesin E4

1 , then the problem (SSSI) for intersection curves is the same as finding acurve defined implicitly by the equations S1 ∩ S2 ∩ S3 where Si = f(x, y, z, w) = 0or Si = F (u, v, w) = (x1(u, v, w), x2(u, v, w), x3(u, v, w), x4(u, v, w)) that means tofind parametric equations for the curve, i.e., α(s) = (x1(s), x2(s), x3(s), x4(s)). Ifa set of parametric equations for the curve cannot readily be obtained, then, atleast, the geometric properties are desired in each point. For general hypersurfaceintersections, the most commonly used methods include subdivision and marching.Marching-based algorithms begin by finding a starting point on a intersection curve,and proceed to march along the curve. Most marching methods make use of thelocal differential geometry or Taylor series expansions around each point of the in-tersection curve in order to give a direction and a control over each step in theprocedure.

In the present paper we study the differential geometry of a transversal intersec-tion spacelike curve resulting from the intersection of of two types of hypersurfaces,parametric and implicit, are commonly used in geometric modelling systems. Thosekinds of hypersurfaces lead to four types of hypersurface-hypersurface-hypersurfaceintersection problems: parametric-parametric-parametric, implicit-implicit-implicit,

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parametric-implicit-implicit and parametric-parametric-implicit. In general, whatit is wanted in such problems is to determine the intersection curve between threegiven hypersurfaces. To compute the intersection curve with precision and effici-ency, approaches of superior order are necessary, that is, it is necessary to obtainthe geometric properties of the intersection curves.

If the normal vectors of the surfaces in E3 and hypersurfaces in En, n ≥ 4 arelinearly independent, we have transversal intersection; and are linearly dependent,we have non-transversal intersection at the intersection point. The type of intersec-tion may vary point to point along the intersection curve. When the intersection istransversal at a point, the tangential direction at that point can be obtained easilyby cross product of the normal vectors. However, when the intersection is non-transversal at an intersection point, the tangential direction can not be determinedby this method.

We can find the geometric properties of parametric curves in the classical li-terature on differential geometry in Euclidean space E3 (do Carmo, 1976; Spivak,1975; Stoker, 1969; Struik, 1950; Wilmore, 1959). Also, the higher curvatures ofcurves in Euclidean space can be found in textbooks such as (Guggenheimer, 1963;Klingenberg, 1978; Kuhnel, 2006; Spivak, 1999). There is not a textbook with asystematic stufy of curves and surfaces in Lorentz-Minkowski space such as it oc-curs in the Euclidean space. Some of the topics of this paper can be found in somebooks [11, 13] and thesis in Minkowski space [14].

Differential geometry of intersection curves of (n − 1) hypersurfaces in Eucli-dean space En, n ≥ 3 can be found in several articles, on the other hand, thereis very little or almost nothing literature for differential geometry of transversalintersection curves of (n − 1) hypersurfaces in Lorentz-Minkowski space En

1 , n ≥ 3and I think there is no tangential intersection curve of (n − 1) hypersurfaces inLorentz-Minkowski space En

1 , n = 3, 4.For the transversal intersections in Euclidean space E4, we can find vari-

ous studies which compute the differential geometry properties of the intersectioncurve: Goldman [10] provides closed formulas for computation of the curvaturesof the intersection curve of two implicit surfaces in E3 and the first curvature ofthe intersection curve in (n + 1)-dimensions. By using the Implicit Function The-orem and the method of Ye and Maekawa; Alessio[2] obtains Frenet apparatus ofthe transversal intersection curve of three implicit hypersurfaces in E4. Duldul andCaliskan [4] compute geodesic torsion and the geodesic curvature of intersectioncurve of two regular surfaces given by parametric-parametric and implicit-implicitequations. Duldul [6] gives the method for computing the Frenet vectors and thecurvatures of the transversal intersection curve of three parametric hypersurfacesin E4. Nassar et al [12] in CAGD provide a method for computing the Frenet vec-tors and the curvatures of the transversal intersection curve of implicit-parametric-parametric and implicit-implicit-parametric hypersurfaces in E4. Uyar Duldul andDuldul [7] extend the above Willmore’s method into 4-space. Alessio [3] obtainesthe normal curvature, the first geodesic curvature and the first geodesic torsion ofthe transversal intersection curve of n− 1 implicit hypersurfaces in En.

Differential geometry of the intersection curves for the transversal intersecti-ons in Lorentz-Minkowski space E3

1 and E41, can be [1, 5, 8]. Alessio and Gua-

dalupe [1] present formulas for curvature, geodesic torsion and geodesic curvaturefor the intersection curve of two spacelike hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski3-space. Duldul and Caliskan [5] compute the Frenet vectors and the curvatures ofthe spacelike intersection curve of three spacelike hypersurfaces given by their pa-rametric equations in four-dimensional Minkowski space E4

1. Engin As and AyahanSarioglugil [8] studied some characteristic properties of ruled surfaces which are

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gene-rated by the Darboux frame of the transversal intersection timelike curve oftwo timelike surfaces were studied in Lorentz-Minkowski 3-Space.

Referencias

[1] Alessio, O. and Guadalupe, I. V., 2007. Determination of a transversal intersectioncurve of two spacelike surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space L3, Hadronic Journal,Vol.30(2), 315-342.

[2] Alessio, O., 2009. Differential geometry of intersection curves in R4 of three implicithypersurfaces, Computer Aided Geometric Design, Volume 26(4), 455-471.

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[5] Duldul, B. U. and Caliskan, M., 2013. Spacelike intersection curve of three spacelikehypersurfaces in E4

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[6] Duldul, M., 2010. On the intersection curve of three parametric hypersurfaces, Com-puter Aided Geometric Design, Volume 27(1), 118-127.

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[14] Walrave, J. (1985), Curves and surfaces in Minkowski space. Doctoral Thesis, K.U.Leuven. Fac. Science, Leuven.

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Lower order eigenvalues of quadratic polynomials of the

Drifting Laplacian

Levi R. Adriano

Instituto de Matemática e Estatística, UFG740001-900, Goiânia, GOEmail: [email protected]

Adail Cavalheiro Changyu Xia

Departamento de Matemática, UnB70910-900, Brasília, DF


ABSTRACT

We present some lower order inequalities for the eigenvalues of quadratic polynomials of the

drifting laplacian operator in bounded domains of complete Riemannian manifolds. Some gener-

alizations for the works of Xia, Ma-Zhang and others are obtained.

References [1] F. Du, C. Wu, G. Li and C. Xia, Estimates for eigenvalues of the bi-drifting Laplacian operator, Z. Angew. Math. Phys. 66, 703-726 (2015)

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[8] H.J. Sun and X.R. Qi, Eigenvalue estimates for quadratic polynomial operator of the Laplacian, Glasgow Math. J. 53, 321-332 (2011).

[9] C. Xia and H. Xu, Inequalities for eigenvalues of the drifting Laplacian on Riemannian manifolds. Ann. Glob. Anal. Geom. 45, 155-166 (2014)

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Prescribed Diagonal Ricci tensor in locally conformallyflat manifolds

Levi Rosa Adriano Mauricio D. PieterzackRomildo S. Pina


Campus Samambaia



Resumo

In the Euclidean space (Rn, g), with n ≥ 3, gij = δij , we considera diagonal (0,2)-tensor T =

∑i fi(x)dx2

i . We obtain necessary andsufficient conditions for the existence of a metric g, conformal to g,such that Ricg = T , where Ricg is the Ricci curvature tensor of themetric g.

The solution to this problem is given explicitly for special casesof the tensor T , including singular tensors and cases where the me-tric g is complete on Rn. Similar problems are considered for locallyconformally flat manifolds.

In [1] Milnor considered the problem of understanding Ricci curvature asa fundamental problem of present-day mathematics. One basic question is todetermine which symmetric covariant tensors of rank two can be Ricci tensorsof Riemannian metrics. Therefore we formulate the following problem:

(P)Given a symmetric (0,2)-tensor T , defined on a manifold Mn,n ≥ 3, does there exist a Riemannian metric g, such thatRicg = T?

Studying problem (P) corresponds to solving a system of nonlinear second-order differential equations. There are the same number of equations as unk-nowns in the system because g and T are both symmetric n × n matrices.

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However there is a complicating factor since, according to [5], any solutionof Ricg = T must also satisfy the Bianchi identity given by

Bian(g, T ) = gab(Tam;b −1

2Tab;m) = 0.

DeTurck showed in [2] that, whenever n ≥ 3, problem (P) admits a localsolution when the given tensor T is nonsingular. Moreover, he presentedexamples of singular tensors T for which there is not a metric g satisfyingRicg = T even locally. More results can be found in [3], [4], [5], [6] and[7]. Pina and Tenenblat have obtained results for the problem (P) for spe-cial classes of tensors T and conformal metrics (see [8] and [9] and theirreferences).

In [10], we consider a diagonal (0,2)-tensor T on the Euclidean space(Rn, g), n ≥ 3, and provide necessary as well as sufficient conditions, for theexistence of a metric conformal to g, whose Ricci tensor is the given tensorT . Moreover, we extend the theory to locally conformally flat manifolds. Asa consequence of these results we exhibit examples of tensors T for whichthere exists a complete metric g, conformal to the Euclidean metric, suchthat Ricg = T , including a case where T is singular.

In the Euclidean space (Rn, g), n ≥ 3, we consider a diagonal (0,2)-

tensor T =∑

i

fi(x)dx2i , with fi(x) smooth functions. We seek necessary and

sufficient conditions on the tensor T for the existence of a metric g =1

ϕ2g

such that Ricg = T . That is, given the tensor T , we want to solve the problem

g =1

ϕ2g

Ricg = T(1)

for the function ϕ.Since g is the Euclidean metric on Rn, n ≥ 3, studying the problem (1)

when T =∑

i

fi(x)dx2i , fi(x) are smooth functions, is equivalent to studying

the following system of equations

(n− 2)ϕ,xixi

ϕ+

∆gϕ

ϕ− (n− 1)

‖∇gϕ‖2

ϕ2= fi, for i = 1, . . . , n.

ϕ,xixj= 0, ∀ i 6= j.

(2)

From the second equation of (2). it follows that ϕ can be expressed as asum of functions, each of which depends only on one of the variables xi, so

we will write ϕ(x) =n∑

i=1

ϕi(xi). Set τ = tr(T ) =n∑

i=1

fi. We will study the

system (2) with the additional condition that τ(x) 6= (n− 1)(fi(x) + fj(x)),for all x ∈ Rn and all i 6= j and obtained necessary and sufficient conditionsfor problem (1) to have a solution.

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Referencias

[1] J. Milnor, Problems of present-day mathematics (§XV. Differential Ge-ometry), Proc. Sympos. Pure Math., 28 (Mathematical DevelopmentsArising from Hilbert Problems), Amer. Math. Soc., (1973), 54-57.

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[8] R. Pina and K. Tenenblat, Conformal Metrics and Ricci Tensors on theSphere, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), 3715- 3724.

[9] R. Pina and K. Tenenblat, On solutions of the Ricci curvature equationand the Einstein equation, Israel J. Math. 171 (2009), 61-76.

[10] R. Pina, L. Adriano and M. Pieterzack, Prescribed diagonal Ricci tensorin locally conformally flat manifolds, J. Math. Anal. Appl.421 (2015),893-904.

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Sobre uma Classe de Superfıcies Weingarten Generalizada

Diogo Goncalves Dias∗

Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia de Goias - IFG

Av. Universitaria Qd. 01 Lt. 01-A Pq. Itatiaia

74968-755, Aparecida de Goiania - GO


RESUMO

Uma superfıcie orientada S ⊂ R3 e dita uma superfıcie Weingarten se existe umarelacao diferenciavel W entre as curvaturas media H e Gaussiana K de S tal queW (H,K) ≡ 0. A classificacao geral das superfıcies Weingarten e ainda uma questaoaberta. No caso em que o funcional W e linear, isto e, a+bH+cK = 0 para a, b e cconstantes, as superfıcies sao chamadas de superfıcies Weingarten linear. Exemplossimples de superfıcies Weingarten linear sao as superfıcies de curvatura Gaussianaconstante (c 6= 0 e b = 0) e as superfıcies de curvatura media constante (b 6= 0 ec = 0).

Seja S ⊂ R3 uma superfıcie orientada pela normal de Gauss N . Dado ν ∈ R3, asfuncoes Ψν ,∆ν : S → R3 dadas por Ψν(p) =< p−ν,N(p) >,∆ν(p) =< p−ν, p−ν >,p ∈ S, onde < ., . > denota o produto escalar euclidiano em R3, sao chamadas defuncao suporte e funcao distancia quadratica em relacao a ν ∈ R3, respectivamente.Geometricamente, Ψν(p) mede a distancia (com sinal) de ν ao plano tangente TpSde S em p e ∆ν(p) calcula a distancia quadratica de p a ν.

Definicao 1 Dizemos que uma superfıcie S ⊂ R3 e uma superfıcie Weingartengeneralizada do tipo suporte distancia (ou, por abreviacao, uma superfıcie WGSD),se existe um ponto fixo ν ∈ R3 tal que a curvatura media H e a curvatura GaussinaK satisfazem

A(Ψν ,Λν) +B(Ψν ,Λν)H + C(Ψν ,Λν)K = 0, (1)

para todo p ∈ S, onde A,B,C : R2 → R sao funcoes diferenciaveis que dependemda funcao suporte Ψν e da funcao distancia quadratica Λν .

No caso em que A, B e C sao funcoes lineares, diremos que a superfıcie e WGSD-linear (ou, por abreviacao, superfıcie WGSDL). E importante ressaltar que as su-perfıcies WGSDL sao invariantes pelas isometrias de R3, mesmo que o ponto fixo νnao necessariamente permaneca invariante. Dessa forma, a menos de uma isometria,ν sera a origem 0 ∈ R3 e escreveremos Ψ0 = Ψ e Λ0 = Λ.

O proximo resultado estabelece condicoes para que uma superfıcie WGSDL sejainvariante por inversoes e dilatacoes.

Teorema 1 Uma superfıcie WGSDL S e invariante por inversoes e dilatacoes se,e somente se, sua curvatura media H e sua curvatura Gaussiana K satisfazem

2ΨH + ΛK = c (2)

para uma constante a ∈ R.

∗Trabalho em conjunto com Armando M. V. Corro

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A partir de agora iremos estudar as superfıcies que satisfazem (2) para c =0. Diremos que uma superfıcie orientada S e uma superfıcie WGSD especial (ou,superfıcie WGSDE) se 2ΨH + ΛK = 0.

Exemplos simples de superfıcies WGSDE ocorrem quando a curvatura GaussianaK e identicamente nula. Com efeito, se S uma superfıcie WGSDE conexa comK ≡ 0, entao HΨ ≡ 0. Se a curvatura media H ≡ 0, S e parte de um plano. SeΨ ≡ 0, S e parte de um cone generalizado. No caso em que ΨH ≡ 0 mas ambasfuncoes nao sao identicamente nulas, a superfıcie WGSDE com K ≡ 0 pode nao seranalıtica.

Agora iremos apresentar o principal resultado deste trabalho, isto e, a repre-sentacao tipo Weierstrass das superfıcies WGSDE. Antes disso, sejam C∞ a esferade Riemann e M uma superfıcie de Riemann. Identificaremos a normal de GaussN da imersao X : M → R3 com sua projecao estereografica, denotada por g.

Teorema 2 Seja M uma superfıcie de Riemann siplesmente conexa e X : M → R3

uma imersao com curvatura Gaussiana K 6= 0. Entao X(M) e uma superfıcieWGSDE se, e somente se, existem funcoes holomorfas g : M → C∞ e f : M → C,com g′ 6= 0, tais que, a menos de uma dilatacao, X(M) e localmente parametrizadapor

X =h

2|g′|2(2f ′g′ +

(2ω − |f ′|2

)g, 2ω − |f ′|2

)(3)

onde h = e〈1,f〉, T = 1 + |g|2,

ω =1

2T

(|f ′|2 + |f ′g − 2g′|2

)e Ω = f ′

g′′

g′− (f ′)2

2− f ′′. (4)

A condicao de regularidade P , a curvatura media H e a curvatura Gaussiana Ksao dados, respectivamente, por

P =

(Th

|g′|2)2

(ω2 − |Ω|2) 6= 0 (5)

H =−2|g′|2ω

Th(ω2 − |Ω|2)(6)

K =4|g′|4

T 2h2(ω2 − |Ω|2). (7)

Os coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais de X sao dados por

E = 〈X,1, X,1〉 =h2

|g′|2 |Ω− ω|2 (8)

F = 〈X,1, X,2〉 =2h2

|g′|2 〈i,Ω〉ω (9)

G = 〈X,2, X,2〉 =h2

|g′|2 |Ω + ω|2 (10)

L = −〈X,1, N,1〉 =−2h

T(ω − 〈1,Ω〉) (11)

M = −〈X,1, N,2〉 =−2h

T〈i,Ω〉 (12)

N = −〈X,2, N,2〉 =−2h

T(ω + 〈1,Ω〉) (13)

Utilizando o Teorema 2 classificaremos as superfıcies WGSDE de rotacao.

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Teorema 3 Seja S uma superfıcie WGSDE conexa e orientavel. Entao S e derotacao se, e somente se,

a) S e parte de um plano passado pela origem ou parte de um cone circular comvertice na origem (quando K ≡ 0);

b) S e parte de uma esfera passando pela origem, ou parte de uma superfıciecom uma singularidade isolada ou parte de uma superfıcie cujas singularidadesestao em um cırculo (quando K 6= 0). Estas superfıcies podem ser localmenteparametrizadas por,

Xab(u1, u2) =e(a−1)u1+b

1 + e2u1

([a+ e2u1(2− a)

](cosu2 + i sinu2), 2eu1(1− a)

)(14)

onde a, b ∈ R, a 6= 1 e (u1, u2) ∈ U com

b1) U = R2 caso a = 0 ou a = 2;

b2) U = R2 \

(u1, u2) ∈ R2 : u1 = 12 ln

∣∣∣ a2−a

∣∣∣

caso a /∈ 0, 2.Este trabalho foi parcialmente financiado pela FAPEG e os resultados apresen-

tados sao parte do artigo [5].

Referencias

[1] Appell, P. Surfaces telles que l’origine se projette sur chaque normale au milieudes centres de courbure principaux. American Journal of Mathematics, 10: 175–186, 1888.

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Variedades de Einstein com estrutura de Produto Torcido

Romildo da Silva PinaInstituto de Matematica e Estatıstica, UFG

Caixa Postal 131



RESUMONesta palestra vamos caracterizar as variedades produto torcido semi-Riemanniana

Einstein, considerando o caso em que a base e conforme ao espaco pseudo-Euclidianon-dimensional e invariante sob a acao de um grupo de translacoes (n-1)-dimensional.Em particular vamos classificar as metricas produto torcido Einstein, com curvaturade Ricci zero quado a fibra e Ricci-flat. Alem disso, obtemos solucoes explıcitas, nocaso de vacuo, para a equacao de campo de Einstein.

Referencias

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[3] BROZOS-VASQUEZ, M.; GARCIA-RIO, E.; VASQUEZ-LORENZO, R. Warpedproduct metrics and locally conformally flat structures, Matematica Contemporanea,SBM, vol 28, 91–110.

[4] CHEN, D. Examples of Einstein manifolds in odd dimensions, Ann. Global Anal.Geom. 40 (2011), no 3, 339–377.

[5] CHEN, Q.; HE, C. On Bach flat warped product Einstein manifolds, Pacific J. Math.265 (2013), no 2, 313–326.

[6] HE, C.; PETERSEN, P.; Wylie, W. On the classification of warped product EinsteinMetrics, Comm. Anal. Geom. 20 (2012), no 2, 271–311.

[7] HE, C.; PETERSEN, P.; WYLIE W. Warped product Einstein metrics over spaceswith constant scalar curvature, Asian J. Math., 18 (2014), no 1, 159–189.

[8] KUHNEL, W. Conformal Transformation between Einstein spaces, Aspects of Math.,vol. E12 (1988), Braunschweig, 105–146.

[9] O’neil, B. Semi–Riemannian Geometry with Applications to Relativity. (AcademicPress, New York).

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SOBRE ESPACO PRODUTO TORCIDOGRADIENTE RICCI SOLITON

Romildo S. Pina Marcelo A. Souza Elismar D. Batista∗


Avenida Esperanca, s/n - Setor Itatiaia


RESUMO. Este trabalho se baseou no artigo [1] onde partimos de um espacoproduto torcido M = R ×f F gradiente Ricci Soliton, e estudamos criterios paraque a fibra F seja Einstein (ou nao-Einstein gradiente Ricci Soliton) atraves deinformacoes a respeito da segunda derivada de f se e nao nula (ou nula, respec-tivamente). Usando os principais teoremas podemos construir novos exemplos deespacos nao-Einstein gradiente Ricci Soliton com a fibra sendo Einstein ou nao-Einstein gradiente Ricci Soliton. Finalmente estudamos o caso em que o produtotorcido e Lorentziano o qual obtem -se resultados analogos aos anteriores.

1 - Introducao

Uma metrica Riemanniana g em uma variedade Riemanniana completa M e chamadaum Ricci Soliton se existe um campo de vetores diferenciavel X tal que o tensor de Riccisatisfaz a seguinte equacao

Ricg +1

2LXg = ρg (1)

para alguma constante ρ, onde LXg e a derivada de Lie com respeito a X.

Se X = grad h para alguma funcao h em M , entao M e chamada um gradiente RicciSoliton [4]. Neste caso podemos reescrever (1) como

Ricg + Hess h = ρg. (2)

2 - Gradiente Ricci Solitons em espaco produto torcido

Considere o produto torcido M = R ×f F com a metrica g =( 1 0

0 f 2g

)onde

f : R −→ R+ e o que chamamos de funcao torcao e g e uma metrica Riemanniana em F .Seja Ric e RicF os tensores curvatura de Ricci de M e F respectivamente.

Entao nos temos que:

Ricab = RicF − ff11gab − (n − 1)(f1)2gab

Ric1a = 0, Ric11 = −nf11

f.

(3)

∗Bolsista Pro-Qualifica - IFTO

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onde f1 = dfdt

, f11 = d2fdt2

, a, b = 2, 3, ..., n + 1 e n e a dimensao de F . Dada uma funcaoh em M , o operador ∇∇ e dada por

∇a∇bh = ∇Fa hb + (ff1h1)gab,

∇a∇1h = ∂ah1 − f1

fha, ∇1∇1h = ∇F

1 ∇F1 h

(4)

onde ∇ e ∇F , sao os operadores em M e F respectivamente.

Teorema 1 Seja M = R ×f F um gradiente Ricci Soliton e f11 6= 0, entao F e Einstein.

Prova: Suponha que R ×f F seja um gradiente Ricci Soliton, entao

Ricab = ρgab − ∇a∇bh = ρf 2gab − ∇Fa hb − ff1h1gab,

Ric1a = ρg1a − ∇1∇ah = −∂1ha +f1

fha,

Ric11 = ρg11 − ∇1∇ah = ρ − ∇F1 ∇F

1 h.

(5)

onde ρ e uma constante em M e h1 = dhdt

. Usando (3) e (5), nos obtemos

RicF − ff11gab − (n − 1)(f1)2gab = ρf 2gab − ∇F

a hb − ff1h1gab,

∂1ha =f1

fha, ∇1∇1h = ρ +

nf11

f.

(6)

Considere o caso em que f11 6= 0 para a funcao torcao f . Assuma que ha = ∂h∂va

6= 0,onde a = 2, 3, ..., n + 1 e va = (v2, ..., vn+1). Entao de (6) nos temos que:

∂

∂t(ln ha) =

d

dt(ln f), Logo

∂2h

∂t2= f11(t)

∫expl(v2,...,vn1 )dva. (7)

Portanto vemos que ∂2h∂t2

depende somente de t. Entao o lado direito da segundaequacao em (7) tambem depende somente de t, ou seja neste caso,

∫expl(v2,...,vn1 )dv ou

e constante ou e uma funcao de t. Mas isso e impossıvel. Portanto temos que ∂h∂va

= 0.Sendo assim segue que F e um espaco de Einstein. Agora considere o caso f11(t) = 0.Entao f e da forma f(t) = at + b, onde a e b sao constantes. Como f e positiva em R, fso pode ser da forma f = b (> 0). Entao M e um produto Riemanniano de R e F . Entaoconstatamos que:

Teorema 2 Seja M = R ×f F um gradiente Ricci Soliton e f11(t) = 0. Entao F eum gradiente Ricci Soliton.

Em [2] foram obtidos resultados mais gerais, considerando a base uma variedade Rieman-niana qualquer, concluindo que se o produto torcido M = B ×f F e um gradiente RicciSoliton, entao F e Einstein.

No espaco produto torcido com M = R ×f F um gradiente Ricci Soliton, e f11 6= 0,temos pelo Teorema 1 que F e Einstein. Devido ao Teorema 2 e possıvel estabelecerque F e um gradiente Ricci Soliton quando f11 = 0, mas nao podemos decidir quandoe Einstein ou nao-Einstein. Se consideramos o espaco M = R ×c Sn(r), onde Sn(r) e an−esfera de raio r. Entao por (3) temos que M e um gradiente Ricci Soliton mas naoe Einstein. Assim temos os seguintes exemplos

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Exemplo 1 R×c Sn(r) e um gradiente Ricci Soliton nao-Einstein sendo Sn(r) Einstein.

Considere o espaco N = R × (R ×c Sn(r)). Entao N e um gradiente Ricci Soliton,mas R ×c Sn(r) nao e um espaco Einstein.

Exemplo 2 O espaco N = R×(R×cSn(r)) e um gradiente Ricci Soliton, mas R×cSn(r)nao e um espaco Einstein.

Temos entao que os Teoremas 1 e 2 nos dao um criterio para determinar se a fibra F eEinstein ou um gradiente Ricci Soliton em relacao ao produto torcido R ×f F medianteo calculo da f11.

3 - Gradiente Ricci Solitons em espaco produto torcido Lorentziano

A metrica no produto torcido Lorentziano M = R ×f F e dada por g =( −1 0

0 f 2g

)

onde f : R −→ R+ e a funcao torcao e g e uma metrica Riemanniana em F . Seja Ric eRicF os tensores curvatura de Ricci de M e F respectivamente.

Ricab = RicF + ff11gab + (n − 1)(f1)2gab

Ric1a = 0, Ric11 = −nf11

f.

(8)

Assim temos que e possıvel deduzir expressoes analogas as (4), (5), (6) e (7) para oespaco M = R ×f F Lorentziano. Obtendo assim teoremas analogos aos anteriores

Teorema 3 Seja M = R ×f F um espaco produto torcido Lorentziano gradiente RicciSoliton e f11 6= 0, entao F e Einstein.

Teorema 4 Seja M = R ×f F um espaco produto torcido Lorentziano gradiente RicciSoliton e f11(t) = 0, entao F e um gradiente Ricci Soliton.

Com argumento analogo ao caso Riemanniano temos os seguintes exemplos:

Exemplo 3 O espaco R ×c Sn(r) com uma metrica Lorentziana e um gradiente RicciSoliton nao-Einstein sendo a fibra Sn(r) Einstein.

Exemplo 4 O espaco N = R × (R ×c Sn(r)) com uma metrica Lorentziana e umgradiente Ricci Soliton, mas R ×c Sn(r) nao e um espaco Einstein.

Referencias

[1] B. H. Kim, S. D. Lee J. H. Choi, and Y.o. Lee, On Warped product space witha certain ricci condition, Bull. Korean Math. Soc. 50 (2013), No. 5, pp. 1683-1691http://dx.doi.org/10.4134/BKMS.2013.50.5.1683.

[2] L. S. Marcio; P. Romildo, On Warped product gradient Ricci Soliton,http://arxiv.org/abs/1505.03833.

[3] R. Pina and K. Tenenblat, On solutions of the Ricci curvature equation and theEinsten equation, Israel J. Math. 171 (2009), 61-76.

[4] P. Petersen and W. Wylie, On gradient Ricci solitons with symmetry, Proc. Amer.Math. Soc. 137 (2009), no. 6, 2085-2092.

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Ricci Soliton Gradiente com estrutura de Produto Torcido

Marcio Lemes de SousaInstituto de Ciencias Exatas e da Terra - CUA, UFMT

Av. Valdon Varjao, 6.390

78600-000, Barra do Garcas, MT

E-mail: marcio [email protected]

RESUMO

Nesta paletra, consideraremos M = B ×f F variedades semi- Riemannianasproduto torcido que sao Ricci solitons gradiente. Provamos que a funcao potencialdepende apenas da base e a fibra necessariamente e uma variedade de Einstein.Fornecemos todas as solucoes, no caso de Ricci soliton gradiente steady, quandoa base e conforme ao espaco pseudo-Euclidiano n-dimensional e invariante sob aacao de um grupo de translacoes (n− 1)-dimensional e a fibra sendo uma variedadeRicci-flat. Esses exemplos nao sao localmente conformemente flat.

Referencias

[1] BARBOSA, E.; PINA, R.; TENENBLAT, K. On Gradient Ricci Solitons conformalto pseudo-Euclidean space. Israel J. Math., 200 (2014), no 1, 213–224.

[2] BATAT, W.; BROZOS-VASQUES, M.; GARCIA-RIO, E.; GAVINO-FERNANDEZ,S. Ricci solitons on Lorentzian manifolds with large isometry groups. Bull. LondonMath. Soc., 43 (2011), no 6, 1219-1227.

[3] BROZOS-VASQUES, M.; CALVARUSO, G.; GARCIA-RIO, E.; GAVINO-FERNANDEZ, S. Three dimension Lorentzian homogeneous Ricci solitons, Israel.J. Math.s, 188 (2012), 385 - 403.

[4] BROZOS-VASQUES, M.; GARCIA-RIO, E.; GAVINO-FERNANDEZ, S. Locallyconformally flat Lorentzian gradient Ricci solitons, Journal of Geometric Analysis,23 (2013), no. 3, 1196 - 1212.

[5] BROZOS-VASQUEZ, M.; GARCIA-RIO, E.; VASQUEZ-LORENZO, R. Some re-marks on locally conformally flat static spacetimes, J. Math. Phys. 46 (2), 022501(2005), 11 pp.

[6] BROZOS-VASQUEZ, M.; GARCIA-RIO, E.; VASQUEZ-LORENZO, R. Warpedproduct metrics and locally conformally flat structures, Matematica Contemporanea,SBM, vol 28, 91–110.

[7] CAO, H. D.; CHEN, Q. On locally conformally flat steady gradient solitons, Trans.Amer. Math. Soc., 364 (2012), no. 5, 2377 - 2391.

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[8] CHOW, B.; CHU, S.-C.; GLICKENSTEIN, D., GUENTHER, C.; ISENBERG, J.;IVEY, T.; KNOPF, D.; LU, P.; LUO, F.; NI, L. The Ricci flow: techniques andapplications. Part I: Geometric Aspects., Math. Surveys and Monographs, vol 135,AMS, Providence, RI, 2007.

[9] O’neil, B. Semi–Riemannian Geometry with Applications to Relativity. (AcademicPress, New York).

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Generalizacao do Conceito de Distancia e Aplicacoes

Fagner L. de Santana Regivan H. N. Santiago

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Campus Universitario Lagoa Nova, 59078-970, Natal, RN


RESUMO

Neste trabalho apresentamos uma proposta de generalizacao do conceito ma-tematico de distancia baseada na modificacao do espaco de valoracao das funcoesdistancia. Tal generalizacao sera chamada de i-distancia. A ideia de generalizar oconceito de distancia desta forma nao e nova e ja em 1942, Menger propos o que elechamou de metrica estatıstica, na qual o valor da distancia entre dois objetos erauma distribuicao de probabilidade (ver [4]). Outras generalizacoes foram propostas.Por exemplo, em [1] os autores proposuram uma nocao na qual o valor da distancia eum conjunto fuzzy. Com respeito a nossa proposta, mostramos aqui como obter umatopologia a partir de uma i-distancia e apresentamos dois exemplos de i-distancias.O primeiro e de uma distancia entre intervalos compactos cujo valor e tambemum intervalo compacto. Esta i-distancia foi aplicada ao problema de agrupamentode dados intervalares obtendo resultados melhores do que os resultados usando-sedistancias usuais. Tal trabalho foi publicado no periodico Transactions on FuzzySystems da IEEE. O segundo exemplo e de uma i-distancia entre strings (cadeiasde caracteres) o qual foi aplicado ao problema de reconhecimento de escrita a maoe submetido ao periodico Information Sciences e qua ja se encontra na segunda fasede revisoes.

Este trabalho usa conceitos basicos de teoria da ordem e introduz alguns con-ceitos novos. O primeiro conceito novo e apenas o dual do conhecido conceito deconjuntos dirigidos (no qual quaisquer dois elementos de um conjunto ordenadopossuem cota superior), o qual chamamos de conjunto d-dirigido. O segundo e o derelacao semi-auxiliar para uma relacao de ordem ≤ em um conjunto A. Trata-se deuma relacao binaria R em A tal que se aRb, entao a ≤ b e se a ≤ b, bRc e c ≤ d,entao aRd.

A ideia de relacao semi-auxiliar e a de fazer o papel da ordem estrita para umadada ordem, a qual e definida por a < b ⇔ (a ≤ b) e (a = b). Em alguns casos, aordem estrita nao e a mais adequada para representar a ideia de “menor estrito”.Por exemplo, pensando na ordem de inclusao entre conjuntos, se A ⊆ B, sendoambos infinitos e existindo apenas um elemento de B que nao esta em A, temosA ⊂ B. De qualquer forma, a ordem estrita < tambem e uma relacao semi-auxiliar.

Um outro conceito importante e de menor elemento separavel: Uma estru-tura formada por um conjunto ordenado com menor elemento ⊥ e uma relacaosemi-auxiliar R, ⟨A, ≤, R, ⊥⟩, e dito ter menor elemento separavel, quando A ed-dirigido e para cada par de elementos a, b ∈ A, com ⊥Ra e ⊥Rb, existe uma cotainferior c de a, b tal que ⊥Rc. Nem toda estrutura como a mencionada acima temmenor elemento separavel. Por exemplo, considere N∗ = 1, 2, ..., a ordem parciala ≤d b ⇔ a|b e sua ordem estrita <d. O menor elemento de ⟨N∗,≤d⟩ e 1. Note que1 ≺ 2, 3 ≺ 3, mas a unica cota inferior de 2, 3 e o numero 1.

1

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A estrutura de valoracao para as i-distancias sera chamada Valoracao de i-Distancias (VID) e sera do tipo ⟨A, ≤, R, ⊥⟩, na qual R e uma relacao semi-auxiliar para ≤ e ⟨A, ≤, R, ⊥⟩ e um conjunto ordenado d-dirigido com menor ele-mento separavel.

Definicao 1 Seja M um conjunto nao-vazio e V = ⟨A, ≤, R, ⊥⟩ uma VID. Umafuncao d : M × M −→ A e chamada i-metrica V-valorada (ou em relacao a VIDV) quando satisfaz:

1. d(a, b) = ⊥ se, e somente se, a = b;

2. d(a, b) = d(b, a), para quaisquer a, b ∈ M ;

3. Se d(a, b)Rε, para algum ε ∈ A com ⊥Rε, entao existe δ ∈ A, com ⊥Rδ, talque d(b, c)Rδ ⇒ d(a, c)Rε.

A partir de uma i-metrica, podemos construir uma topologia, partindo tambemdo conceito de bola aberta, a qual e definida usando-se a relacao semi-auxiliar.A condicao de V ter menor elemento separavel e usada na demonstracao de quea intersecao de dois conjuntos abertos e tambem um aberto e a condicao 3. dei-metrica (desigualdade triangular generalizada) e usada para provar que as bolasabertas sao conjuntos abertos e, com isso, formam uma base para a topologia gerada.Considerando a VID V = ⟨[0, +∞), ≤, <, 0⟩, mostra-se que uma metrica usual e umai-metrica. Outras nocoes de distancias como as quasi-metricas, pseudo-metricas, etc.tambem possuem suas versoes generalizadas. No caso, as i-quasi-metricas satisfazemas condicoes 1. e 3. das i-metricas.

A seguir, apresentamos dois exemplos de i-distancias e mencionamos suas aplicacoes.Para o primeiro exemplo, considere os conjuntos IR dos intervalos compactos

da reta e IR+ dos intervalos compactos com extremos nao-negativos, a ordem deKulish-Miranker ([2]) definida por [a, b] ≤km [c, d] ⇔ (a ≤ c) e (b ≤ d) e a relacaosemi-auxiliar ≪∗ para ≤km definida por [0, a] ≪∗ [0, b], se 0 < a < b, [a, b] ≪∗ [c, d],se 0 < a < c e b < d e [0, 0] ≪ [a, b], se b > 0. A estrutura ωKM = ⟨IR+, ≤km

, ≪∗, [0, 0]⟩ e uma VID. Dessa forma, a funcao dKM : IR × IR −→ IR+ definida

por dKM (X, Y ) =

[0, 0] , se X = YDXY , se X = Y

, onde DXY = dE(x, y) : x ∈ X and y ∈Y = [min DXY , max DXY ], e uma i-metrica ωKM -valorada.

O uso de intervalos compactos em aplicacoes (ver [5]) surge da necessidade deconsiderar as incertezas (ou erros) cometidos durante os processos, os quais podemvir da imprecisao dos instrumentos de medicao, limitacao de maquinas, etc. Comisso, um intervalo nos da a informacao de que o numero exato que querıamos e umde seus elementos, sem que tenhamos certeza de qual deles. Com isso em mente,se queremos a distancia entre dois intervalos, devemos considerar que a melhormaneira de representa-la e tambem com um intervalo, o qual deve conter todos ospossıveis valores de distancia entre um elemento de um dos intervalos e um elementodo outro. Para o caso em que os dois intervalos sao distintos e exatamente isso quea funcao acima faz, o que nos da uma ideia de corretude desta i-metrica em relacaoa metrica euclidiana dE . Note que esta i-metrica tambem tem uma caracterısticade otimalidade, ja que cada um dos numeros no intervalo dKM (X, Y ) e o valor dedE(x, y) para algum x ∈ X e algum y ∈ Y . Esta funcao foi aplicada com exito emproblemas de agrupamento de dados em [7]. Outro fato interessante sobre dKM eque a topologia gerada por ela e Hausdorff e regular, porem nao e metrizavel. Paraprovar este fato usamos o teorema de Nagata-Smirnov (ver [6]).

Aqui, cabe-nos falar sobre a desigualdade triangular de i-metricas. Em [5] foidefinida a soma de intervalos, a qual nada mais e do que a soma de conjuntos (emgrupos, por exemplo): [a, b] ⊕ [c, d] = [a + c, b + d]. Essa soma e compatıvel com

2

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a orde ≤km. Poderıamos entao considerar uma desigualdade triangular similar ausual pondo d(X,Z) ≤km dKM (X, Y ) ⊕ dKM (Y,Z). Porem a funcao dKM acimanao satisfaz esta desigualdade. De fato, basta tomarmos X = [0, 1], Y = [1, 2] eZ = [2, 3], assim dKM (X, Y ) = [0, 2], dKM (X,Z) = [1, 3] e dKM (Y, Z) = [0, 2], logodKM (X, Z) = [1, 3] ≤KM [0, 4] = [0, 2] ⊕ [0, 2] = dKM (X,Y ) ⊕ dKM (Y, Z). Comoa funcao dKM tem as caracterısticas importantes do ponto de vista da MatematicaIntervalar mencionadas acima, outra desigualdade triangular se fez necessaria, o quenos levou a condicao 3 de i-metrica.

Para o segundo exemplo, considere o alfabeto∑

= a1, a2, ..., an e o conjunto∑∗ de todas as strings sobre∑

. Seja ≤l a ordem lexicografica em Z+ × Z+,a qual e definida por (a, b) ≤l (c, d) ⇔ a < c ou a = c e b ≤ d. Temos queV = ⟨Z+ × Z+, ≤l, <l, (0, 0)⟩ e uma VID. Dadas duas strings w e t, usando apenasremocoes e insercoes de caracteres e possıvel transformar t em w. Sendo assim, o

conjunto Twt = (x, y) ∈ Z+ × Z+; ∃ T(x)(y) tal queT

(x)(y) (t) = w e nao vazio. A funcao

µs :∑∗ ×∑∗ −→ Z+ × Z+ definida por µs(w, t) = min≤l

Twt, onde min≤lsignifica

o mınimo em relacao a ≤l e uma i-quasi-metrica V-valorada.A distancia entre strings mais usada e a chamada distancia de edicao (de), ou de

Levenshtein([3]). Essa distancia calcula o numero mınimo de operacoes de edicao(remorcoes e insercoes de caracteres) necessario para transformar uma string naoutra. Uma das vantagens de µs em relacao a esta e que com o simples calculo dadistancia e possıvel determinar se uma string e ou nao subsequencia da outra (defato, w e subsequencia de t se, e somente se, µs(w, t) = (0, y). Estudando as propri-edades da funcao µs formulamos um algoritmo que a calcula, o qual tem o mesmocusto computacional do algoritmo que calcula a distancia de edicao. A propostadesta distancia µs, assim como o seu algoritmo e uma aplicacao ao problema declassificacao de dıgitos escritos a mao(a qual apresentou vantagens de µs sobre de)foram submetidos a revista Information Sciences e encontram-se na segunda rodadade revisoes.

Referencias

[1] KRAMOSIL, I.; MICHELEK, J. Fuzzy Metric and Statistical Metric Spaces, Kyber-netika, v. 11, p. 336-344, 1975.

[2] KULISCH, U.; MIRANKER, W. Computer Arithmetic in Theory and Practice, NewYork: Academic press, 1981.

[3] LEVENSHTEIN, V. I. Binary Codes Capable of Correcting Deletions, Insertions andReversals, Cybernetics and Control Theory, v. 10, n. 8, 1966.

[4] MENGER, K. Statistical Metric, Proceedings of Nat. Acad. Sci., v. 28, p. 535 − 537,1942.

[5] MOORE, R. E. Automatic Error Analysis in Digital Computation. Technical ReportLMSD84821, Lockheed Missiles and Space Division Co., 1959.

[6] NAGATA, J. Modern General Topology, North-Holland Mathematical Library, 1986.

[7] SILVA, L.; MOURA, R.; CANUTO, A.; SANTIAGO, R.; BEDREGAL, B. AnInterval-Based Framework for Fuzzy Clustering Applications. IEEE Transactions onFuzzy Systems, p. 1-1, 2015.

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Busca de Solucoes Pareto via Metodo Proximal em OtimizacaoMultiobjetivo

Rogerio A. Rocha

Curso de Ciencia da Computacao, UFT

ALC NO 14 (109 Norte) AV.NS.15 S/N

77001-090, Palmas, TO


Ronaldo M. GregorioDepartamento de Tecnologia e Linguagens, UFRRJ

Rua Capitao Chaves, Nr. 60, Centro, Nova Iguacu

26221-010, Rio de Janeiro, RJ


Paulo R. OliveiraDepartamento de Engenharia de Sistemas e Computacao, COPPE/UFRJ

Cidade Universitaria, Centro de Tecnologia, bl. H, sl. 319

21945-970, Rio de Janeiro, RJ


Michael SouzaDepartamento de Estatıstica e Matematica Aplicada, UFC

Campus do Pici

60455-760, Fortaleza, CE


RESUMO

Este trabalho considera o problema de otimizacao multiobjetivo (POM) irres-trito

MINIMIZE F (x) | x ∈ Rn (1)

onde F = (F1, F2, ..., Fm)T : Rn → Rm satisfaz as seguintes hipoteses: (H1) F econvexa, i.e., Fi : Rn → R e convexa para todo i ∈ 1, ..., m e (H2) F possuipelo menos uma de suas funcoes objetivo coerciva, i.e., existe r ∈ 1, ..., m tal quelim‖x‖→+∞ Fr(x) = +∞.

A importancia da otimizacao multiobjetivo pode ser conferida em uma grandevariedade de aplicacoes presentes na literatura. White [5] oferece uma bibliografiade 504 artigos descrevendo varias aplicacoes que abordam, por exemplo, problemasrelacionados a agricultura, servicos bancarios, servicos de saude, energia e agua.Mais informacoes, com respeito a otimizacao multiobjetivo, podem ser conferidasem Miettinen [3].

Considere a ∈ Rn. (a) a e dito ser uma solucao Pareto fraco (ou fracamenteeficiente) para o problema (1) se nao existe x ∈ Rn tal que Fi(x) < Fi(a), ∀i =1, ..., m. (b) a e dito ser uma solucao Pareto (ou eficiente) para o problema (1) se

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nao existe x ∈ Rn satisfazendo Fi(x) ≤ Fi(a), ∀i = 1, .., m e Fi0(x) < Fi0(a) paraalgum i0 ∈ 1, ..., m. E facil ver que toda solucao Pareto e tambem uma solucaoPareto fraco.

Gregorio e Oliveira [1] apresentaram um metodo de escalarizacao ponto proximalpara o problema (1). Neste trabalho os autores provam a convergencia do metodopara solucoes Pareto fraco. Este metodo de Gregorio e Oliveira foi generalizado porRocha et al. [4] onde foi considerado uma quase-distancia em substituicao ao termoquadratico do metodo de Gregorio e Oliveira. Assim como Gregorio e Oliveira,Rocha et al. provam a convergencia de seu metodo para solucoes Pareto fraco.

Neste trabalho, mostraremos que o metodo proximal de Rocha et al. [4] converge,na verdade, para solucoes Pareto. Neste sentido, concluiremos tambem que o mesmoocorre com o algoritmo de Gregorio e Oliveira [1].

A principal justificativa da importancia deste trabalho e que, em aplicacoes reais,e frequente o caso em que apenas solucoes Pareto sao de interesse (ver, por exemplo,Secao 2.3 em [2]). Alem disto, como para os metodos de Gregorio e Oliveira [1] eRocha et al. [4] e garantido somente convergencia para solucoes Pareto fraco, nossotrabalho estende estes trabalhos anteriores em relacao ao conceito de solucao.

Em seguida, uma breve descricao do metodo de Gregorio e Oliveira [1]:Dados os pontos iniciais x0 ∈ Rn e z0 ∈ Rm

++ e sequencias βk, µk > 0, k = 0, 1, ...,o metodo gera uma sequencia (xk, zk) ⊂ Rn × Rm

++ via o seguinte procedimentoiterativo:

(xk+1, zk+1) ∈ arg min f(x, z) + βkHzk(z) +αk

2‖x − xk‖2 | x ∈ Ωk, z ∈ Rm

++ (2)

onde Ωk = x ∈ Rn | F (x) ≤ F (xk), Hzk : Rm++ → R e a funcao definida por

Hzk(z) = 〈z/zk−log(z/zk)−e, e〉, com e = (1, ..., 1) ∈ Rm, z/zk = (z1/zk1 , ..., zm/zk

m)e log(z/zk) = (log(z1/zk

1 ), ..., log(zm/zkm)) e f : Rn × Rm

+ → R satisfaz as seguintespropriedades:

(P1) f e limitada inferiormente por algum α ∈ R;

(P2) f e convexa em Rn × Rm+ ;

(P3) f e uma representacao escalar de F , com respeito a x, i.e.,

F (x) ≤ F (y) ⇒ f(x, z) ≤ f(y, z) e F (x) < F (y) ⇒ f(x, z) < f(y, z)

para todos x, y ∈ Rn e z ∈ Rm+ ;

(P4) f e diferenciavel, com respeito a z e ∂∂zf(x, z) = h(x, z), onde h e uma aplicacao

contınua de Rn × Rm para Rm+ .

Uma aplicacao quase-distancia (q.d.) em Rn e uma aplicacao q : Rn × Rn → R+

tal que, para todos x, y, z ∈ Rn,

q(x, y) = q(y, x) = 0 ⇐⇒ x = y e q(x, z) ≤ q(x, y) + q(y, z).

Segue que se uma q.d. satisfaz tambem a propriedade de simetria entao ela e umadistancia. Logo, quase-distancias generalizam distancias. O algoritmo de Rocha etal. [4] considera em (2) uma q.d. q em substituicao ao termo quadratico, isto e, oprocedimento iterativo do metodo de Rocha et al. e da seguinte forma:

(xk+1, zk+1) ∈ arg min f(x, z) + βkHzk(z) +αk

2q2(x, xk) | x ∈ Ωk, z ∈ Rm

++.

Finalmente, com o auxılio de exemplos numericos, testamos as convergenciasdos metodos para solucoes Pareto.

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Referencias

[1] GREGORIO, R.; OLIVEIRA, P.R. A Logarithmic-quadratic proximal point scalari-zation method for multiobjective programming, Journal of Global Optimization, v.49, p. 281-291, 2011.

[2] JAHN, J. Theory of vector maximization: Various concepts of efficient solutions,in Multicriteria Decision Making, Advances in MCDM Models, Algorithms, Theory,and Applications, T. Gal, T. J. Stewart, and T. Hanne, eds., v. 21, Kluwer, Boston,p. 37-68, 1999.

[3] MIETTINEN, K.M. Nonlinear multiobjective optimization. Kluwer, Boston, 1999.

[4] ROCHA, R.A., OLIVEIRA, P.R.; GREGORIO, R. A proximal scalarization methodwith logarithm and quasi distance to multiobjective programming. In: XLIIISimposio Brasileiro de Pesquisa Operacional, 2011, Ubatuba/SP. Anais XLIII SBPO.

[5] WHITE, D.J. A bibliography on the applications of mathematical programmingmultiple-objective methods, Journal of the Operational Research Society, v. 41, n.8,669-691, 1990.

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O alargamento de campos vetoriais monotonos e o algoritmo deponto proximal inexato em variedades de Hadamard

Glaydston de C. Bento Orizon P. FerreiraInstituto de Matematica e Estatıstica, UFG, Campus Samambaia


74690-900, Goiania-GO


Edvaldo E. de A. Batista∗

Instituto de Matematica e Estatıstica, UFG, Campus Samambaia




RESUMO

Desigualdades variacionais em Rn sao uma poderosa ferramenta para estudarproblemas de otimizacao restritos e problemas de equilıbrio, bem como problemasde complementaridade, e tem sido um campo de pesquisa muito ativo recentemente.Em [1] foi introduzido o alargamento de um operador monotono em Rn para resolvero problema de desigualdade variacional usando um algoritmo de ponto proximalinexato.

Tome X : M → TM e Ω ⊂ M convexo e fechado. O problema de desigual-dade variacional VIP(X,Ω) consiste em encontrar p∗ ∈ Ω tal que exista u ∈ X(p∗)satisfazendo

〈u, exp−1p∗ q〉 ≥ 0, ∀ q ∈ Ω. (1)

Problemas de desigualdades variacionais em variedades Riemannianas foram intro-duzidos e estudados em [5] por Nemeth para campos vetoriais ponto a ponto emvariedades de Hadamard. O resultado de existencia de solucoes para o VIP obtidoem [5] foi generalizado para variedades Riemannianas em [3] por Li et al. O famosoalgoritmo de ponto proximal para problemas de otimizacao e para problemas dedesigualdades variacionais em espacos de Hilbert foi extendido ao conjunto de Vari-edades de Hadamard, respectivamente, em [2] e [4], onde a boa definicao e resultadosde convergencia para o algoritmo ponto proximal em variedades de Hadamard foiestabelecido.

Seguindo as ideias apresentadas em [1], introduzimos o alargamento de camposvetoriais monotonos no contexto de variedades de Hadamard e apresentamos umalgoritmo ponto proximal inexato para resolver o VIP.

∗Aluno de doutorado do IME/UFG

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Referencias

[1] Burachik, R. S.; Iusem, A. N.; Svaiter, B. F. Enlargement of monotone operators withapplications to variational inequalities. Set-Valued Analysis, vol. 5, n. 2, p. 159-180,1997.

[2] Ferreira, O. P.; Oliveira,P. R. Proximal point algorithm on Riemannian manifolds.Optimization, vol. 51, n. 2, p. 257-270, 2002.

[3] Li, S. L.; Li, C.; Liou, Y. C.; Yao, J. C. Existence of solutions for variational ine-qualities on Riemannian manifolds. Nonlinear Analysis, vol. 71, n. 11, p. 5695-5706,2009.

[4] Li, C.; Lopez, G.; Martın-Marquez, V. Monotone vector fields and the proximal pointalgorithm on Hadamard manifolds. Journal of the London Mathematical Society, vol.79, n.3, p. 663-683, 2009.

[5] S. Z. Nemeth. Variational inequalities on Hadamard manifolds. Nonlinear Analysis,vol. 52, n. 5, p. 1491-1498, 2003.

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On the global convergence of the inexact semi-smooth Newton

method for absolute value equation

J.Y. Bello Cruz O. P. Ferreira L. F. PrudenteIME/UFG, Campus II – Caixa Postal 131, Goiania, GO, 74001-970, Brazil.


RESUMO

In this work, we investigate global convergence properties of the inexact nonsmoothNewton method for solving the system of absolute value equations (AVE). Global Q-linear convergence is established under suitable assumptions. Moreover, we presentsome numerical experiments designed to investigate the practical viability of theproposed scheme.

Keywords: Absolute value equation, inexact semi-smooth Newton method, globalconvergence, numerical experiments.

1 Introduction

Recently, the problem of finding a solution of the system of absolute value equations(AVE)

Ax − |x| = b, (1)

where A ∈ Rn×n and b ∈ Rn ≡ Rn×1, has been received much attention from optimizationcommunity. It is currently an active research topic, due to its broad application to manysubjects. For instance, linear complementarity problem, linear programming or convexquadratic programming can be equivalently reformulated in the form of (1) and thussolved as absolute value equations; see [3, 4, 6, 8]. As far as we know, since Mangasarianand Meyer [5] established existence results for this class of absolute value equations (1),the interest for this subject has increased substantially.

Several algorithms have been designed to solve the systems of AVEs. In [2], Manga-sarian applied the nonsmooth Newton method for solving AVE obtaining global Q-linearconvergence and showing its numerical effectiveness. However, each semi-smooth Newtoniteration requires the exact solution of a linear system, which has an undesired effect onthe computational performance of this method. The exact solution of the linear system,at each iteration of the method, can be computational expensive and may not be justified.A well known alternative is to solve the linear systems involved approximately.

Following the ideas of [1] and [2], we use the inexact nonsmooth Newton method forsolving absolute value equations and present some computational experiments designedto investigate its practical viability.

2 Inexact Semi-smooth Newton Method

The exact semismooth Newton method [7] for finding the zero of the semismooth function

F (x) := Ax − |x| − b, (2)

Página-321

with starting point x0 ∈ Rn, is formally defined by

F (xk) + Vk (xk+1 − xk) = 0, Vk ∈ ∂F (xk), k = 0, 1, . . . ,

where ∂F (x) denotes the Clarke generalized subdiferential of F at x ∈ Rn. Letting

D(x) := diag(sgn(x)), x ∈ Rn, (3)

we obtain from (2) that A−D(x) ∈ ∂F (x). Hence, the exact semi-smooth Newton methodfor solving the AVE in (1), which was proposed by Mangasarian [2], generates a sequenceformally stated as

[A − D(xk)] xk+1 = b. (4)

To solve (1), following the ideas of [1], we propose an inexact semi-smooth Newton method,starting at x0 ∈ Rn and residual relative error tolerance θ ≥ 0, by

‖[A − D(xk)] xk+1 − b‖ ≤ θ ‖F (xk)‖ , k = 0, 1, . . . . (5)

Note that, in absence of errors, i.e., θ = 0, the above iteration retrieves (4). The nextresult establishes the convergence properties of the inexact semi-smooth Newton method.

Theorem 1 Let A ∈ Rn×n be a invertible matrix, b ∈ Rn. Assume that

∥∥A−1∥∥ <

1

3. (6)

Then, the inexact semi-smooth Newton sequence xk, for solving (1), with any startingpoint x0 ∈ Rn and residual relative error tolerance θ ≥ 0, is well defined. Moreover, if

0 ≤ θ <1 − 3 ‖A−1‖

‖A−1‖ (‖A‖ + 3), (7)

then xk converges Q-linearly to x∗ ∈ Rn, the unique solution of (1), as follows

‖xk+1 − x∗‖ ≤ ‖A−1‖1 − ‖A−1‖ [θ (‖A‖ + 3) + 2] ‖xk − x∗‖, k = 0, 1, . . . . (8)

3 Computational Results

In order to verify the effectiveness of our approach, we compared the performance ofthe exact and inexact semi-smooth Newton methods for solving several AVEs. In a firstgroup of tests, A is supposed to be a large-scale sparse matrix. The influence of thecondition number and density of A were also investigated. In many considered cases theperformance of the inexact semi-smooth Newton methods is remarkably better than thatof the exact one.

4 Final Remarks

In this work we dealt with the global Q-linear convergence of the inexact Newton methodfor solving AVE in (1). The proposed method shows the advantage over the exact onein many considered cases, namely, sparse and large scale problems. Additional numericaltests indicate that our sufficient condition for convergence can be relaxed, which deserverto be investigate. Finally, we hope that this study serves as a basis for future research onother more efficient variants for solving AVE and its variations.

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Referencias

[1] R. S. Dembo, S. C. Eisenstat, and T. Steihaug. Inexact Newton methods. SIAM J.Numer. Anal., 19(2):400–408, 1982.

[2] O. L. Mangasarian. A generalized Newton method for absolute value equations.Optim. Lett., 3(1):101–108, 2009.

[3] O. L. Mangasarian. Absolute value programming. Comput. Optim. Appl., 36(1):43–53, 2007.

[4] O. L. Mangasarian. Linear complementarity as absolute value equation solution.Optim. Lett., 8(4):1529–1534, 2014.

[5] O. L. Mangasarian and R. R. Meyer. Absolute value equations. Linear Algebra Appl.,419(2-3):359–367, 2006.

[6] O. Prokopyev. On equivalent reformulations for absolute value equations. Comput.Optim. Appl., 44(3):363–372, 2009.

[7] L. Q. Qi and J. Sun. A nonsmooth version of Newton’s method. Math. Programming,58(3, Ser. A):353–367, 1993.

[8] J. Rohn. A theorem of the alternatives for the equation Ax + B|x| = b. LinearMultilinear Algebra, 52(6):421–426, 2004.

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Página-324


On optimization Methods on Riemannian Manifolds

Glaydston C. BentoInstituto de Matematica e Estatıstica

Universidade Federal de Goias, Campus II



ABSTRACT

In this talk will be presented an approach on optimization methods in Rieman-nian context. In particular, without any restrictive assumption about the sign ofthe sectional curvature of the manifold, is obtained full convergence of any boundedsequence generated from the proximal point method, see [1, 2], when the objectivefunction satisfies the Kurdyka-Lojasiewicz inequality. Moreover, is extended theapplicability of the proximal point method to solving any problem which may beformulated as the of minimizing a definable function (e.g. analytic) restricted to acompact manifold whose sign of the sectional curvature not is necessarily constant.

Referencias

[1] Bento, G. C.; Cruz Neto, J. X. Finite termination of the proximal point method forconvex functions on Hadamard manifolds. Optimization 63 (2014), no. 9, 1281-1288.

[2] G. C. Bento.; A. Soubeyran . A Generalized Inexact Proximal Point Method forNonsmooth Functions that Satisfies Kurdyka Lojasiewicz Inequality. Set-Valued andVariational Analysis 23 (2015), no. 3, 501-517.

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A Proximal Point Method for Vector Optimization onRiemannian Manifolds

Glaydston de C. Bento Orizon P. FerreiraInstituto de Matematica e Tecnologia, UFG, Campus Samambaia




Yuri Rafael L. Pereira∗

Instituto de Matematica e Tecnologia, UFG, Campus Samambaia




RESUMO

In this paper, we extend the proximal point algorithm in vector optimizationto the context in Riemannian Manifolds, by assuming an iterative process whichuses a variable nonlinear scalarization function. Supposing convexity of the objec-tive function, we prove that the sequence generated from the algorithm is limited,furthermore we show that the whole sequence converge to a weakly efficient point.Then, we show that any sequence generated by this new algorithm reach a weaklyefficient point after a finite number of iterations under the assumption that theweakly efficient point set is weak sharp for the vectorial problem.

Referencias

[1] G. C. Bento, J. X. Cruz Neto, and A. Soubeyran. A proximal point-type method formulticriteria optimization. Set-Valued Var. Anal., 22(3):557573.

[2] G. C. Bento, O. P. Ferreira, and P. R. Oliveira. Unconstrained steepest descentmethod for multicriteria optimization on Riemannian manifolds. J. Optim. TheoryAppl., 154(1):88107, 2012.

[3] O. P. Ferreira, P. R. Oliveira, Proximal point algorithm on Riemannian manifolds,Optimization, 51(2002)257-270.

[4] S. Xu and S. J. Li. Weak I-sharp minima in vector optimization problems. FixedPoint Theory Appl., pages Art. ID 154598, 10, 2010.

∗Aluno de doutorado do IME/UFG

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UM TEOREMA TIPO-KANTOROVICH ROBUSTO SOBREO METODO DE NEWTON INEXATO EM VARIEDADES

RIEMANNIANAS

Tiberio BittencourtInstituto de Ciencias Exatas e da Terra, UFMT

Avenida Valdon Varjao, 6.390

78600-000, Barra do Garcas, MT


RESUMO

Definimos o metodo de Newton no contexto Riemanniano para encontrar umasingularidade de um campo de vetores diferenciavel definido em uma variedade Ri-emanniana completa e conexa. Nosso objetivo e apresentar uma versao do teoremade Kantorovich sobre o metodo de Newton Inexato com erro relativo. Neste tra-balho, o chamado passo (exato) de Newton e substituıdo por um passo qualquerque obedeca a uma certa condicao prescrita. Para tanto, precisamos de algumasdefinicoes preliminares:

Definicao 1 Considere M uma variedade Riemanniana. Seja R > 0, n ∈ N\0, p0 ∈M e seja G3(p0, R) a classe de todas as curvas geodesicas por partes ξ : [0, T ] → M paraalgum T > 0 que satisfaz as seguintes condicoes:

1. ξ(0) = p0 e o comprimento de ξ nao e maior que R;

2. Existem c0, c1, c2, c3 ∈ [0, T ] com c0 = 0 ≤ c1 ≤ c2 ≤ c3 = T tais que ξ|[c0, c1], ξ|[c1, c2]

sao geodesicas minimizantes e ξ|[c2, c3]e uma geodesica.

Definicao 2 Seja M uma variedade Riemanniana, Ω ⊆ M um conjunto aberto e R > 0uma constante escalar. Uma funcao continuamente diferenciavel f : [0, R) → R e ditaser uma funcao majorante no ponto p0 ∈ Ω para um campo de vetores continuamentediferenciavel X : Ω → TM com respeito a G3(p0, R) se ∇X(p0) e invertıvel, B(p0, R) ⊂ Ωe

∥∥∇X(p0)−1 [Pξ,b,0 ∇X(ξ(b))Pξ,a,b − Pξ,a,0∇X(ξ(a))]

∥∥ ≤ f ′ (ℓ[ξ, 0, b]) − f ′ (ℓ[ξ, 0, a]) ,

para toda ξ ∈ Gn(p0, R) com a, b ∈ dom(ξ) e 0 ≤ a ≤ b. Alem disso, f satisfaz as seguintescondicoes:

h1) f(0) > 0 e f ′(0) = −1;

h2) f ′ e convexa e estritamente crescente;

h3) f(t) = 0 para algum t ∈ (0, R).

Tambem precisaremos da seguinte condicao sobre a funcao majorante f que sera consi-derada valida apenas quando dito explicitamente

h4) f(t) < 0 para t ∈ (0, R).

Página-329

Definicao 3 Seja p ∈ M e rp o raio de injetividade em p. Defina a quantidade

Kp := sup

d(expq u, expq v)

∥u − v∥ : q ∈ B(p, rp), u, v ∈ TqM, u = v, ∥v∥ ≤ rp, ∥u − v∥ ≤ rp

.

A partir das definicoes anteriores, apresentamos o principal resultado do trabalho,

Teorema 4 Seja M uma variedade Riemanniana Ω ⊆ M um conjunto aberto e Ω seufecho, X : Ω → TM um campo de vetores contınuo e continuamente diferenciavel em Ω,R > 0 uma constante escalar e f : [0, R) → R uma funcao continuamente diferenciavel.Tome p0 ∈ Ω. Suponha que ∇X(p0) seja invertıvel e que f seja uma funcao majorantepara X em p0 com respeito a G3(p0, R) satisfazendo h4 e a inequacao

∥∥∇X(p0)−1X(p0)

∥∥ ≤ f(0).

Defina Γ := sup−f(t) : t ∈ [0, R). Seja 0 ≤ ρ < Γ/2 e defina

κρ := supρ<t<R

−(f(t) + 2ρ)

|f ′(ρ)|(t − ρ), λρ := supt ∈ [ρ,R) : κρ + f ′(t) < 0,

Θρ :=κρ

2 − κρ

.

Entao para qualquer θ ∈ [0, Θρ] e q0 ∈ B[p0, ρ], a sequencia gerada pelo metodo de Newtoninexato para resolver a equacao X(p) = 0 com ponto inicial q0 e tolerancia de erro residualrelativa θ: for k = 0, 1, ...,

qk+1 = expqkSk,

tal que Sk ∈ TqkM satisfaz

∥∇X(q0)−1Pξk,1,0[X(qk) + ∇X(qk)Sk]∥ ≤ θ∥∇X(q0)

−1Pξk,1,0X(qk)∥,

onde ξk : [0, 1] → M e uma geodesica minimizante ligando p0 to qk, e bem definido paraqualquer escolha particular de cada Sk ∈ Tqk

M,

∥∇X(q0)−1Pξk,1,0X(qk)∥ ≤

(1 + θ2

2

)k

[f(0) + 2ρ], k = 0, 1, ...

a sequencia qk esta contida em B(q0, λρ) e converge para um ponto p∗ ∈ B[p0, t∗], quee o unico zero de X em B(p0, t∗∗). Alem disso, se(h5) λρ < R − ρ,

entao a sequencia qk satisfaz, para k = 0, 1, ...,

d(qk+1, p∗) ≤ Kp∗

[1 + θ

2

D−f ′(λρ)

|f ′(λρ)|d(qk, p∗) + θ

f ′(λρ + ρ) + 2|f ′(ρ)||f ′(λρ + ρ)|

]d(qk, p∗).

Se, adicionalmente, 0 ≤ θ < κρ/[Kp∗(4 + κρ)] entao qk converge Q-linearmente comsegue

d(qk+1, p∗) ≤ Kp∗

[1 + θ

2+

2θ

κρ

]d(qk, p∗), k = 0, 1, ....

Referencias

[1] Bittencourt, T.; Newton’s methods under the majorant principle on Rimannian ma-nifolds. Tese de Doutorado, UFG, Goiania-GO, 2015.

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Mistura de distribuicoes Kumaraswamy: identificabilidade eestimacao

Cira E. G. Otiniano∗

Dept. of Statistics, University of Brasilia

Brasilia- DF

70910-900, Brazil.


Catia R. GoncalvesDept. of Mathematics, University of Brasilia

Brasilia- DF

70910-900, Brazil.


RESUMO

Modelos de mistura de distribuicoes sao muitas vezes utilizados para estudarpopulacoes heterogeneas em diversas areas (McLachlan e Peel (2000)). Um modelofinito de mistura e uma combinacao convexa de funcoes de distribuicao de probabili-dade. Mais precisamente, se F e uma famılia de funcoes de distribuicao acumuladas(f.d.a.) e F1, . . . , Fk ∈ F , entao

H(x; Θ) =

k∑

ℓ=1

pℓFℓ(x; θℓ)

e uma mistura finita de k - componentes F1, . . . , Fk, com pesos

p1 > 0, . . . pk > 0, tais que

k∑

ℓ=1

pℓ = 1,

e Θ = (θ1, . . . , θk, p1, . . . pk) vetor dos parametros. Definimos

H =

H : H(x; Θ) =

k∑

ℓ=1

pℓFℓ(x; θℓ); Fℓ(x; θℓ) ∈ F

como a classe de todas as misturas finitas da famılia F .A mistura de duas distribuicoes Kumaraswamy tem sua f.d.a.

H(x; Θ) = p1F1(x; Θ1) + p2F2(x; Θ1), p1 + p2 = 1, (1)

e sua funcao de densidade de probabilidade (f.d.p.)

h(x; Θ) = p1f1(x; Θ1) + p2f2(x; Θ1), p1 + p2 = 1, (2)

∗

Página-331

sendo Θ = (Θ1, Θ2, p1), Θℓ = (aℓ, bℓ) e Fℓ(x; Θℓ) a ℓ = 1, 2 esima componente dadapor

Fℓ(x; aℓ, bℓ) = 1 − (1 − xaℓ)bℓ , x ∈ (0, 1), (3)

cuja f.d.p. correspondente e

fℓ(x; aℓ, bℓ) = aℓbℓxaℓ−1(1 − xaℓ)bℓ−1, x ∈ (0, 1), (4)

com a > 0 e b > 0 parametros de forma. A mistura (2) e uma alternativa paratratar populacoes heterogeneas no [0, 1] que normalmente sao modelados por mis-tura de distribuicoes, porque a f.d.a. (4) tem muitas das mesmas Propriedades dadistribuicao beta, beta (a, b), cuja f.d.p. e

g(x; a, b) =1

B(a, b)xa−1(1 − x)b−1, x ∈ (0, 1), a > 0, b > 0 (5)

e

B(α, β) =

∫ 1

0tα−1(1 − t)β−1dt, α > 0, β > 0 (6)

a funcao Beta. Ambas as densidades, Beta e Kumaraswmy, sao densidades uni-modal, uniantimodal, crescentes, decrescentes ou constante dependendo dos valoresde a e b em relacao o 1. Propriedades de distribuicao de Kumaraswamy pode serencontrado em por exemplo, Jones (2009).

A principal vantagem do modelo de mistura Kumaraswamy e devido a sua formafechada simples, pois a f.d.a. da distribuicao Beta e uma funcao beta incompleta,assim, a funcao quantile e funcao de taxa de risco nao sao facilmente trataveis.

Neste trabalho, discutimos algumas medidas importantes da mistura de dis-tribuicao de dois Kumaraswamy como momentos, funcao geratiz de momentos ,funcao de taxa de falha e a identificabilidade da classe de todos mistura finita deKumaraswamy, provada de acordo com a teoria de Aienza (2006). O algoritmo EMproposto por Dempster et ai. (1977) e utilizado para estimar o vector de parametrosdesconhecidos do modelo. Por fim, realizamos algumas simulados Monte MetodoCarlo para testar a metodologia.

Referencias

[1] JONES, M.C. Kumaraswamy’s distribution: A beta-type distribution with sometractability advantages. Statistical Methodology , v.6, p. 70 - 81, 2009.

[2] RAFAELLA,C. Downturn Loss Given Default: Mixture distribution estimation Eu-ropean Journal of Operational Research, v. 237(1), p. 271 - 277, 2014.

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Jitter generation in the production of voiced sounds using a

stochastic mathematical model

Edson Cataldo Vanessa PimentelGMA, PPGEET, Universidade Federal Fluminense, UFF

Rua Passo da Patria, 156

24210-240, Niteroi, RJ


Christian SoizeUniversite Paris-Est

Laboratoire Modelisation et Simulation Multi Echelle, MSME UMR 8208 CNRS, 5 Bd Descartes

77454, Marne-La-Vallee, France

ABSTRACT

The quasi-periodic oscillation of the vocal folds causes perturbations in thelength of the glottal cycles which are known as jitter. The observation of the glottalcycles variations suggests that jitter is a random phenomenon described by randomdeviations of the glottal cycle lengths in relation to a corresponding mean value and,in general, its values are expressed as a percentage of the duration of the glottalpulse. The jitter has been the subject for researchers due to its important applicati-ons such as identification of pathological voices (nodulus in the vocal folds, paralysisof the vocal folds, or even, the vocal aging, among others). The objective of thispaper is to construct a stochastic model of jitter using a mechanical model of thevocal folds. The probability density functions of the fundamental frequency relatedto the voices produced are constructed and compared for different levels of jitter.Some samples of synthesized voices in these cases are obtained.

1 Deterministic model used

The deterministic model used as start is the nonlinear model proposed by Flanagan andLandgraf [3] to generate voice. Figure. 1 illustrates a sketch of the model):

Figura 1: Sketch of the Flanagan and Landgraf model (1968).

The model is composed of three main parts: Coupling equation; Sound acoustic pro-pagation equation and Vocal folds dynamic equation. The details about these equationscan be found in [1].

Página-333

Coupling equation. This coupling nonlinear equation in ug and u1, for which coefficientsdepend on x(t), is written as

Rv(x(t)) + Rk(x(t), ug(t)) ug(t) + Lg(x(t)) + L1dug(t)

dt+

1

c1

∫ t

0

ug(τ) − u1(τ) dτ − ps(t) = 0 ,(1)

where the coefficients Rv(x(t)), Rk(x(t), ug(t)), and Lg(x(t)) are defined by

Rv(x(t)) = 12 µ d ℓ2 [Ag(x(t))]−3 , (2)

Rk(x(t), ug(t)) = 0.44 ρ |ug(t)| [Ag(x(t))]−2 , (3)

Lg(x(t)) = ρ d [Ag(x(t))]−1 , (4)

in which Ag(x(t)) is the glottal area that depends on x(t) and that is written as

Ag(x(t)) = Ag0 + ℓ x(t) , (5)

with ℓ the length of each vocal fold, and where Ag0 is such that the critical value x0 iswritten as

x0 = −Ag0/ℓ . (6)

In Eqs. (2) to (4), µ is the air kinematic viscosity, d is the vocal fold thickness, and ρ isthe air density. In Eq. (1), ps(t) is the subglottal pressure that is given and the coefficientsc1 and L1 are defined hereinafter. When the glottis is closed at a time t, Eq. (1) becomes

1

c1

∫ t

0

ug(τ) − u1(τ) dτ − ps(t) = 0 .

Sound acoustic propagation equation. We consider the configuration of the vocal tractproposed by [2]. The vocal tract is represented as a transmission line of cylindrical tubes.Vocal folds dynamic equation. The nonlinear differential equation in x for the vocal foldsdynamics, which is coupled with the vocal-tract (through ug(t)) is written as

md2x(t)

dt2+ c + c∗(x(t)) dx(t)

dt+ k x(t) + a1 pB(x(t), ug(t)) = a2 ps(t) , (7)

2 Jitter modeling

Let K(t), t ∈ R be a stochastic process indexed by the real line R, with values inR+, which models stiffness k in Eq. (7). The following properties of the stochastic processK(t), t ∈ R are introduced in order to obtain a suitable solution for stochastic equations:(i) For all t, 0 < k0 ≤ K(t) a.s. , where k0 is a positive constant; (ii) K(t), t ∈ R is astationary stochastic process (for the reason given before); (iii) K(t), t ∈ R is a second-order stochastic process, mean-square continuous, with mean value k = EK(t) > k0 >0. The centered stochastic process Kc is such that K(t) = Kc(t)+k and (iv) For all fixedt in R, the random variable K(t) is written as K(t) = k0 + (k − k0)(z + Z(t))2 .

The stochastic process Z and the real constant z must be constructed in order that,for all t in R, E(z + Z(t))2 = 1 and E(z + Z(t))4 < +∞.

A stochastic differential equation is then constructed and solved.

Página-334

3 Simulations

Two voice signals are simulated corresponding to different levels of the jitter and theassociated pdf’s to the fundamental frequency are constructed (Fig. 2).

132 134 136 138 140 142 144 1460

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Frequency (Hz)

Figura 2: Probability density functions of the fundamental frequency considering twodifferent levels of Jitter: a = 40 (continuous line) and a = 160 (dashed line).

Some results obtained with the vowels synthesis, in the deterministic case, and withtwo different levels of jitter (a = 0, a = 40 and a = 160) can be found and heard inhttps://www.dropbox.com/s/mwaq3u6ad96po7x/male140Hz.zip?dl=0.

4 Conclusions

An approach has been proposed for constructing a stochastic model for creating jitter ina mechanical model that allows for producing voice. Such a model considers the stiffnessrelated to the vocal folds as a stochastic process and the corresponding voice signalshave been simulated. The probability density function of the fundamental frequencyconstructed for different values of the parameters associated to the stochastic model canthen be estimated. The comparison between the probability density functions shows thatthe fundamental frequency has variations in relation to a mean value, showing that jitterhas effectively been generated.

5 Acknowledgments

This work was supported by CNPq, CAPES (bolsista da CAPES - PROC. No BEX2623/15-3) and FAPERJ.

Referencias

[1] CATALDO, E.; SOIZE, C.; SAMPAIO, R. Uncertainty quantification of voice signalproduction mechanical model and experimental updating. Mechanical Systems andSignal Processing , 40, 718–726, 2013.

[2] FANT, G. The acoustic theory of speech production. Mouton, The Hague, 1960.

[3] FLANAGAN, J.; LANDGRAF, L. Self-oscillating source for vocal-tract synthesizers.IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics , AU-16 (1), 1968.

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Generalizacao de um Modelo EstocasticoPresa-Predador Bidimensional

Kelem Gomes Lourenco Walter Batista dos SantosInstituto de Matematica e Estatıstica, UFG

Campus Samambaia



RESUMO

Neste trabalho vamos estender os resultados em [5] considerando um modelopresa-predador tridimensional. Modelos presa-predador sao utilizados para inves-tigar se, sob apropriadas hipoteses, as relacoes entre duas populacoes resultam emextincao de alguma especie ou se coexistirao no mesmo habitat. O modelo presa-predador foi originalmente proposto por Lotka A. J. e Volterra V. na decada de20. Este modelo e bem conhecido e apresentado nos cursos de equacoes diferenciaisordinarias e e relativamente simples sua formulacao. O primeiro modelo presa-predador que ficou conhecido com modelo de Lotka-Volterra e dado por

dx(t)

dt= αx(t)− βx(t)y(t)

dy(t)

dt= γx(t)y(t)− δy(t)

(1)

onde α, β, γ e δ sao constantes positivas que representam as taxa de nascimentoe mortalidade de presas, taxas de nascimentos e de mortalidade de predadores,respectivamente. No sistema de equacoes diferenciais (1), x(t) representa o tamanhoda populacao de presas no tempo t e y(t) representa o tamanho da populacao depredadores no tempo t, conforme [1].

Em [5], foi proposto uma versao estocastica do modelo (1). Nesta versao saopermitidas flutuacoes aleatorias nos tamanhos das populacoes de presas e preda-dores. Tais flutuacoes aleatorias sao consideradas sobre as taxas de nascimentos emortes das duas especies. Assim, ao inves de considerar o tamanho da populacao depresas e predadores, no tempo t, como x(t) e y(t), respectivamente, e consideradaa probabilidade da populacao de presas e predadores, no tempo t, ser igual a i e j,respectivamente. Escrevemos Pi,j(t) = P (X(t) = i, Y (t) = j), i, j = 0, 1, . . ., paraindicar a probabilidade conjunta das populacoes de presas e predadores no tempot.

Neste contexto, X(t) e Y (t) sao processos estocasticos a tempo contınuo e avalores discretos, conforme [4].

No trabalho de Swift [5] foi mostrado que o modelo estocastico associado aosistema (1), sob apropriadas hipoteses, pode ser estudado atraves de um sistemade equacoes diferenciais parecido com (1). A diferenca e que, neste novo sistema,sao consideradas as taxas de variacoes medias do numero de presas e predadores no

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tempo t dadas por

∂E[X(t)]

∂t= αE[X(t)]− βE[X(t)Y (t)]

∂E[Y (t)]

∂t= −δE[Y (t)] + γE[X(t)Y (t)],

(2)

onde E[X(t)] e E[Y (t)] sao as medias do numero de presas e predadores, respecti-vamente, no tempo t. Para fazer a transicao entre o sistema determinıstico (1) e osistema estocastico (2) foi utilizada a funcao geradora de probabilidades conjuntade X e Y , estabelecido em [2].

Afim de conseguir o proposito deste trabalho vamos considerar o modelo tridi-mensional composto por duas presas e um predador e dado por

dx(t)

dt= x(t)(b1 − x(t)− αy(t)− εz(t))

dy(t)

dt= y(t)(b2 − βx(t)− y(t)− µz(t))

dz(t)

dt= z(t)(−b3 + dεx(t) + dµy(t)),

(3)

onde x, y e z sao os tamanhos das populacoes de duas especies de presas e umpredador, respectivamente, bi (i = 1, 2, 3) sao as taxas intrınsecas de crescimentoou decrescimento das especies, e α, β, ε, µ, d sao coeficientes representando astaxas de crescimento intra-especıfica e inter-especıfica, conforme [3, 6]. Todas asconstantes sao consideradas sendo positivas.

Seguindo como em [5], e fazendo as devidas adaptacoes, obtivemos que a versaoestocastica associada ao sistema (3) pode ser estudada a partir do sistema deter-minıstico

∂E[X(t)]

∂t= (b1 − 1)E[X(t)]− E[X2(t)]− αE[X(t)Y (t)]− εE[X(t)Z(t)]

∂E[Y (t)]

∂t= (b2 − 1)E[Y (t)]− βE[X(t)Y (t)]− E[Y 2(t)]− µE[Y (t)Z(t)]

∂E[Z(t)]

∂t= −b3E[Z(t)] + dεE[X(t)Z(t)] + dµE[Y (t)Z(t)]

(4)Do ponto de vista da complexidade, o sistema (4) apresenta o mesmo nıvel de

dificuldade que (2) pois ambos contem as esperancas de produtos de dois processosestocasticos.

Referencias

[1] Boyce W. E.; Diprima R. C.; Equacoes diferenciais elementares e problemas devalores de contorno. Nona Edicao, Rio de Janeiro: LTC, 2010.

[2] James B. R.; Probabilidade: um curso em nıvel intermediario. Segunda Edicao, Riode Janeiro: Impa, 2009.

[3] Parrish J. D.; Saila S. B.; Interspecific Competition, Predation and Species Diversity.J. theor. Biol., v. 27, p. 207-220, 1970.

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[4] Ross S.; Stochastic Processes. Wiley, 1996.

[5] Swift, R. J.; A stochastic Predator-Prey Model. Irish Math. Soc. Bulletin, v. 48, p.57-63, 2002.

[6] Takeuchi Y.; Global Dynamical Properties of Lotka-Volterra Systems. World Scien-tific, 1996.

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Bifurcacoes Genericas de Sistemas Reversıveis no Plano

Durval Jose Tonon Joao Lopes C. Filho∗


Campus Samambaia



RESUMO

Neste trabalho estamos interessados em bifurcacao generica de campos vetori-ais reversıveis, na vizinhanca de um ponto crıtico simetrico. Apresentamos umatecnica que nos permite classificar, de uma maneira simples, as singularidades deuma grande classe de campos reversıveis. Seguindo esta ideia classificamos as singu-laridades genericas em famılias de campos a dois parametros, no plano. Na realidadetal metodo e aplicavel para dimensoes maiores. Resumidamente, fazemos uma mu-danca de coordenadas na vizinhanca da singularidade e em seguida analisamos ocontato entre o novo sistema e uma subvariedade de Rn entao descrevemos o com-portamento da singularidade estabelecendo a relacao com aquelas singularidades queoriginam-se a partir do contato entre o campo e o espaco de simetria.Apresentaremostodos os tipos topologicos de singularidades simetricas,em sistemas reversıveis noplano, de codimensoes 0,1 e 2, suas respectivas formas normais e desdobramentos.

Referencias

[1] Junior J. P, de Melo W., Introducao aos Sistemas Dinamicos, Projeto Euclides.Instituto de Matematica Pura e Aplicada, 1978.

[2] Perko L., Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathe-matics, vol. 7, Springer, 2000.

[3] Sotomayor J.., Licoes de Equacoes Diferenciais, Projeto Euclides. Instituto deMatematica Pura e Aplicada, 1979.

[4] Teixeira M. A., Generic bifurcations in manifolds with boundary, J. Differ. Eqs.25 (1977) 65-79.

[5] Teixeira M. A., Singularities of reversible vector fields, Phys. D 100 (1997) 101-118.

[6] Teixeira M.A., Perturbation Theory for Non-smooth Systems, Meyers: Encyclope-dia of Complexity and Systems Science, vol.152, 2008.

∗Bolsista CAPES

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On the number of limit cycles in discontinuous piecewise lineardifferential systems with two pieces separated by a straight line

J. C. Medrado O. A. Ramırez∗

IME, UFG


ABSTRACT

In this paper we study the problem of Lum and Chua extended to a class ofpiecewise linear planar vector fields defined on two zones Σ+,Σ− separated by astraight line Σ, i.e., X(p) = XR(p) if p ∈ Σ+ and X(p) = XL(p) if p ∈ Σ−, whereXR, XL are linear planar vector fields. We prove that the maximum number ofcrossing limit cycles of piecewise vector field X in this class is two if the productdivergences of XR and XL is non–negative. In addition we show that the maximumnumber of crossing limit cycles is also two if XR or XL has an equilibrium point atΣ or if it has neither invariant straight lines nor equilibrium points. Also we provethat Relay systems on the plane have at most two limit cycles and the maximumnumber of limit cycles of Morris-Lecar equations is two.

Referencias

[6] E. Freire, E. Ponce, F. Rodrigo and F.Torres, Bifurcation Sets of Continuous Pi-ecewise Linear Systems with Two Zones, International Journal of Bifurcation andChaos, vo. 8, 2073-2097, (1998).

[1] E. Freire, E. Ponce and F.Torres, A general mechanism to generate three limit cyclesin planar Filippov systems with two zones, Nonlinear Dynamics, An InternationalJournal of Nonlinear Dynamics and Chaos in Engineering Systems, vol 78, 251–263,(2014).

[2] E. Freire, E. Ponce and F.Torres, Canonical discontinuous planar piecewise linearsystems, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., SIAM Journal on Applied Dynamical Systems,vol. 11, 181–211, (2012).

[3] R. Euzebio, and J Llibre, On the number of limit cycles in discontinuous piecewiselinear differential systems with two pieces separated by a straight line, J. Math. Anal.Appl., Journal of Mathematical Analysis and Applications, vo. 424, 475–486,(2015).

[4] S. Huan and X. Yang, Existence of limit cycles in general planar piecewise linearsystems of saddle-saddle dynamics, Nonlinear Anal., Nonlinear Analysis. Theory,Methods Applications. An International Multidisciplinary Journal. Series A: Theoryand Methods, vol. 92, 82–95, (2013).

∗The author is partially supported by the FAPEG

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Sobre orbitas periodicas do sistema Einstein-Yang-Mills

Claudio Aguinaldo Buzzi

IBILCE – UNESP

Sao Jose do Rio Preto – SP


RESUMO

As equacoes do sistema estatico e esfericamente simetrico Einstein-Yang-Mills,com constante cosmologica a ∈ R sao dadas por

r = rN,

W = rU,

N = (k −N)N − 2U2,

k = s(1− 2ar2) + 2U2 − k2,

U = sWT + (N − k)U,

T = 2UW −NT,

(1)

onde (r,W,N, k, U, T ) ∈ R6, s ∈ −1, 1. Para maiores detalhes sobre esse sistemade equacoes nos recomendamos [1] e suas referencias. Aqui neste trabalho, baseadoem [2], provaremos que o sistema (1) nao possui solucoes periodicas quando r > 0.

Referencias

[1] P. Breitenloher, B. Forgacs and D. Maison, Classification of static, sphe-rically symmetric solutions of the Einstein-Yang-Mills theory with positive cosmo-logical constant, Comm. Math. Phys. 261 (2006), 569–611.

[2] C. A. Buzzi and J. Llibre, On the periodic solutions of the static, spheri-cally symmetric Einstein-Yang-Mills equations, Journal of Mathematical Physics53 (2012), no. 12, 122703, 5pp.

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Analise de Bifurcacoes em Sistemas

Autonomos Fuzzy Unidimensionais

Marina T. MizukoshiInstituto de Matematica e Estatıstica, UFG

Campus II, Samambaia



Moiseis S. Cecconello∗

DMAT-ICET, UFMT

Av. Fernando C. da Costa, 267, Nova Esperanca

78060-900, Cuiaba, UFMT


RESUMO

A modelagem de fenomenos reais por meio de sistema de equacoes diferenci-ais determinısticas quase sempre esta incompleta, pois os valores dos coeficientesdas equacoes diferenciais ou das condicoes iniciais geralmente nao sao precisamenteconhecidas.

As incertezas foram formalmente admitidas nas ciencias ha tres seculos e desdeentao a modelagem de incertezas tem sido dominado pelos metodos estocasticos.No, entanto, no seculo atual, temos testemunhado uma ordem crescente de teorias emetodos alternativos para se estudar as incertezas e o concomitante decrescimentono pensamento probabilıstico, embora existam casos onde a teoria estocastica seja amais indicada. Surgem entao, outras aproximacoes para o estudo das equacoesvariacionais com incertezas, dentre as quais destacamos: a Teoria de InclusoesDiferenciais[9] que surgiu por volta de 1930 e teve um grande desenvolvimento como surgimento do Princıpio de Pontryagin; a Teoria de conjuntos fuzzy, introduzidapor Lotfi A. Zadeh em 1965[8] e a Teoria de Inclusoes Diferenciais Fuzzy que foiinicialmente estudada por Baidosov e Aubin[5].

Em [7], verificou-se que a extensao de Zadeh do fluxo determinıstico satisfaz aspropriedades de semigrupo e assim, podemos dizer que ele e um fluxo em F(U),onde F(U) ⊂ Rn e um aberto. Alem disso, estabeleceu-se o conceito de equilıbriofuzzy e a teoria de estabilidade para o Problema do Valor Inicial Fuzzy de siste-mas autonomos. Em [6] mostra-se que solucao determinıstica estendida tambem esolucao do Problema do Valor Inicial (PVI) com condicao inicial fuzzy. Alem disso,como consequencia temos que se o parametro e a condicao inicial do (PVI) sao da-dos por subconjuntos fuzzy a solucao determinıstica estendida ainda esta contidana solucao obtida via teoria de inclusoes diferenciais fuzzy.

Considere o sistema dinamico

x′ = f(x, µ), (1)

∗Financiado pela Fapemat

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onde x ∈ Rn e o vetor estado e µ e o vetor de parametros e fµ : Rn → Rn euma funcao de classe C1, isto e, contınua com derivada primeira contınua. Noteque o sistema dinamico depende continuamente do parametro µ, partindo das mes-mas condicoes iniciais, o fluxo segue por caminhos diferentes para cada conjunto deparametros. Uma variacao de µ causa uma mudanca no sistema dinamico. Uma va-riacao do parametro podera gerar pequenas mudancas, ou ainda, abruptas, podendoocasionar a perda da estabilidade estrutural, levando ate a fluxos caoticos. Assimsendo, o estudo de sistemas dinamicos que possuem estas caracterısticas exigem umnumero muito amplo de ferramentas matematicas para a sua analise.

A analise de bifurcacao de sistemas dinamicos incertos e em geral mais complexo,ja que a discussao sobre a conceito de bifurcacao no contexto determinıstico aindanao esta fechada. A definicao mais comumente aceita de bifurcacao e a mudancaqualitativa do sistema quando um parametro varia.

Em [2] estuda-se bifurcacao de sistemas dinamicos fuzzy atraves de aplicacoescelulares generalizadas fuzzy utilizadas para o estudo de sistemas dinamicos naolineares com parametros fuzzy. O autor ambem cita alguns trabalhos que fazemestudos em contextos similares.

Em [3] estuda-se bifurcacao do modelo discreto logıstico dentro do contextofuzzy. Posteriormente, [4] aprofunda o estudo sobre a dinamica deste modelo, esta-belecendo o conceito de ciclo fuzzy.

Neste trabalho estuda-se a dinamica de bifurcacoes existentes nos modelos unidi-mensionais de sistemas dinamicos fuzzy autonomos. Pede-se tambem que o campoque define a equacao seja monotona, pois neste caso a solucao via inclusao dife-rencial e a solucao via extensao de Zadeh da solucao determinıstica sao identicas,veja [1]. O estudo de bifurcacao fuzzy e feito considerando a analise da estabilidadequando o parametro µ e variado.

Referencias

[1] KALEVA, O. A note on fuzzy differential equations. Nonlinear Analysis, v. 64, p.895–900, 2006.

[2] HONG, L.; SUN, J.-Q. Bifurcations of fuzzy nonlinear dynamical systems. Commu-nications in Nonlinear Science ans Numerical Simulation, v. 11, p. 1–12, 2006.

[3] BASSANEZI, R.C.; BARROS, L.C.; TONELLI,P. Attractors and asymptotic stabi-lity for fuzzy dynamic systems. Fuzzy Sets and Systems, V. 113,473-483, 2000.

[4] MAGNAGO, K.F. Abordagem Fuzzy em Modelos Populacionais Discretos: metapo-pulacao de moscas varejeiras. Tese de Doutorado, Unicamp,2005.

[5] AUBIN, J. P.;CELLINA, A. Differential Inclusions, Set-Valued Maps and ViabilityTheory, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

[6] MIZUKOSHI,M. T.; CHALCO-CANO, Y.; BARROS,L. C.; BASSANEZI, R.C.Fuzzy Differential equations and the extension principle.Information Sciences,v. 177, 3627–3635, 2002.

[7] MIZUKOSHI, M.T., BARROS,L. C., BASSANEZI, R. C.,Stability of Fuzzy Dyna-mic Systems, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-BasedSystems, v. 17, 69–83, 2009.

Página-348

[8] ZADEH, L.A., Fuzzy Sets, Information and Control, v. 8, 338–353,1965.

[9] AUBIN, J. P.Fuzzy differential equation, Problems of Control and Information The-ory,v. 19,55–67,1990.

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Peixoto’s theorem for vector fields on S2 with impasse points

Claudio Buzzi, P. R. SilvaIBILCE – UNESP

Sao Jose do Rio Preto – SP


Joao MedradoIME – UFG

Goiania – Goias


RESUMOThe structural stability of vector fields with impasse regular curves on S2 is

studied and a version of the Peixoto’s Theorem is established. Moreover a globalanalysis of normal forms of the constrained systems

A(x).x = F (x), x ∈ R3, A ∈ M(3), F : R3 → R3

in the Poicare ball (i.e. in the compactification of R3 with the sphere S2 of theinfinity) is made.

Referencias

[1] Cima, A. and Llibre,J. (1990). Bounded polynomial vector fields, Trans. Amer. Math.Soc. 318, 557–579.

[2] Llibre, J., Messias, M. and Silva, P.R. (2010). Global dynamics of the Lorenz systemwith invariant algebraic surfaces. International Journal of Bifurcation and Chaos inApplied Sciences and Engineering, 20, p. 3137-3155.

[3] Llibre, J. and Sotomayor, J. (1998). Structural Stability of Constrained PolynomialSystems, Bull. London Math. Soc. 30, 589–595.

[4] Llibre, J., Sotomayor, J. and Zhitomirskii, M. (2002). Impasse Bifurcations of Cons-trained Systems. In Fields Inst. Commun., Lisbon, 2000, Amer. Math. Soc., Provi-dence, RI.

[5] Rabier, P.J. and Rheinboldt, W.C. (1994). On Impasse Points of QuasilinearDifferential-Algebraic Equations, J. Math. Anal. and Appl. 181, 429–454.

[6] Sotomayor, J. (1997). Structurally stable Differential Systems of the Form A(x)x′ =F (x). In Proceedings of Qualitative Theory of Planar Vector Fields, Delft. DifferentialEquations and Dynamical Systems 5, 415–422.

[7] Sotomayor, J. and Zhitomirskii, M. (2001). Impasse Singularities of Differential Sys-tems of the Form A(x)x′ = F (x). J. Diff. Equations 169, n. 2, 567–587.

[8] Zhitomirskii, M. (1993). Local Normal Forms for Constrained Systems on 2-Manifolds. Bol. Soc. Bras. Mat. 24, 211–232.

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Limit cycles of continuous and discontinuous piecewise linear

differential systems in R3

Bruno R. de Freitas Joao C. MedradoInstituto de Matematica e Estatıstica, UFG

74001–970 Goiania, Goias


Jaume LlibreUniversitat Autonoma de Barcelona, UAB

08193 Bellaterra, Barcelona, Catalonia, Spain.


RESUMO

We study the limit cycles of two families of piecewise linear differential systems inR3 with two pieces separated by a plane Σ. In one family the differential systems areonly continuous on the plane Σ, and in the other family they are only discontinuouson the plane Σ.

The usual tool for studying these limit cycles is the Poincare map, but herewe shall use recent results which extend the averaging theory to continuous anddiscontinuous differential systems.

Referencias

[1] FILIPPOV, A. F. Differential equations with discontinuous righthand sides. Mathe-matics and its Applications (Soviet Series), v. 18, 1988.

[2] FREIRE.; PONCE.; TORRES. Canonical Discontinuous Planar Piecewise LinearSystems. SIAM J. Applied Dynamical Systems v. 11, p. 181–211, 2012.

[3] FREIRE.; PONCE.; TORRES. A general mechanism to generate three limit cyclesin planar Filippov systems with two zones. Nonlinear Dynamics v. 78, p. 251–263,2014.

[4] LLIBRE, J.; NOVAES D. On the periodic solutions of discontinuous piecewise diffe-rential systems. preprint, 2014.

[5] LLIBRE, J.; NOVAES D.; TEIXEIRA, M. Higher order averaging theory for findingperiodic solutions via Brouwer degree Nonlinearity, v.27, n.3, p. 563–583, 2014.

[6] LLIBRE, J.; M. ORDONEZ.; PONCE E. On the existence and uniqueness of limitcycles in a planar piecewise linear systems without symmetry, Nonlinear AnalysisSeries B: Real World Applications v. 14, p. 2002–2012, 2013.

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On a Model Realizing a Bifurcation Diagram of a Degenerate

Cycle in Discontinuous Vector Fields

Kamila S. Andrade∗ M.A.Teixeira R. M. MartinsIMECC, UNICAMP

Rua Sergio Buarque de Holanda, 651

13083-859 , Cidade Universitaria Zeferino Vaz, Distr. Barao Geraldo, Campinas, SP


M. R. JeffreyDepartment of Engineering Mathematics

University of Bristol

Woodland Road, Bristol BS8 1UB, England


ABSTRACT

In this work we consider planar discontinuous vector fields (see [1] and [2])having a straight line as the set of discontinuity. We are interested in bifurcationsof a degenerate cycle passing through a hyperbolic saddle point which is on thediscontinuity set. More specifically, we present the study of a class of vector fieldspresenting this kind of cycle and their bifurcation diagrams. The following step isto analyse a model presenting this kind of cycle. In this context, we present a modelthat realizes all regions of one of the bifurcation diagrams for this type degeneratecycle.

References

[1] Filippov, A.F., Differential Equations with Discontinuos Righthand Sides, KluwerAcademic Publishers, Dordrecht, first edition, 1988.

[2] Guardia, M.; Seara, T.M.; Teixeira, M.A., Generic Bifurcations of Low Codi-mension of Planar Filippov Systems, Journal of Differential Equations, 250 (2011)1967-2023.

∗PhD Student. FAPESP: 2013/07523-9

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Pontos parcialmente umbılicos na geometria de campos de

vetores em R

3

Alacyr J. Gomes Ronaldo A. Garcia


E-mail:[email protected] E-mail:@ufu.br

RESUMO

Dado um campo de vetores η = (η1(s, v, w), η2(s, v, w), η3(s, v, w)) nao nuloem R

3, definimos a curvatura normal de η na direcao dr = (ds, dv, dw), por

kn(dr) = −< dη, dr >

dr2, onde dr e um vetor do plano < η, dr >= 0, ver [2]. Ana-

logamente a teoria de superfıcies, a funcao kn(dr) que depende da direcao dr temdirecoes crıticas, que sao denominadas direcoes principais, as curvas tangentes aessas direcoes sao denominadas linhas de curvaturas cujo sistema de equacoes queas caracterizam e

2(dη, dr, η)+ < η, rot η > dr2 = 0

< η, dr >= 0. (1)

Os pontos onde duas direcoes crıticas sao iguais, sao denominados pontos parci-almente umbılicos e podem ser determinados como as singularidades do sistema deequacoes diferenciais implıcitas do tipo

L(s, v, w)dw2 +M(s, v, w)dwdv +N(s, v, w)dv2 = 0.

η1(s, v, w)ds + η2(s, v, w)dv + η3(s, v, w)dw = 0, (2)

que aparece em trabalho como [1].Iremos fazer um breve estudo das singularidades do sistema de equacoes (2). Ou

melhor iremos mostrar como se comporta as folheacoes determinadas pelo sistema(2), na vizinhanca de seus pontos singulares genericos.

Referencias

[1] LOPES, D.; SOTOMAYOR,J.; GARCIA, R. Partially umbilic singularities of hyper-surfaces of R4. Bull. Sci. Math., v. 139, n. 4, p. 431-472, 2015.

[2] AMINOV Y. The Geometry of Vector Fields. Gordon and Breach Science Publishers,The Netherlands, 2000.

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Sobre Campos Vetoriais Reversıveis (3,2) em Duas Zonas

Ubirajara Castro∗ Joao Carlos Medrado†


Campus II (Samambaia), Caixa Postal 131


E-mails: ubirajara [email protected] [email protected]

RESUMO

Usualmente, os modelos usados em muitos problemas relacionados com engenha-ria, biologia, teoria do controle, design de circuitos eletricos, sistemas mecanicos,ciencias economicas e medicina sao expressos por campos vetoriais os quais nao saoanalıticos e nem direrenciaveis. A principal ferramenta para descrever a dinamicaenvolvida nestes modelos e o estudo de sistemas diferenciaveis por partes. em [1],temos uma boa selecao de modelos e aplicacoes reais. Tipicamente, as classes de sis-temas envolvidas sao obtidas usando dois ou mais campos vetoriais que sao definidosem diferentes regioes separadas por hipersuperfıcies de descontinuidade.

Os sistemas diferenciaveis por partes pertencem a classe de Sistemas Dinamicosnao suaves, ou descontınuos. Neste trabalho falaremos sobre os campos vetoriaisreversıveis por partes, em duas zonas, definidos em R3, quando a codimensao davariedade de pontos fixos da involucao associada ao campo tem dimensao 2, isto e,codimensao 1.

0.1 Preliminares

0.1.1 Campos Vetoriais por Partes em duas Zonas

Nesta secao definimos os Campos Vetoriais Suaves por Partes em duas zonas, usandoa abordagem de Filippov([2]).

Seja U ⊂ R3 um aberto contendo a origem e f : U → R uma funcao suave quetenha 0 como valor regular. Definimos a Variedade de Transicao, Σ como sendo oconjunto

Σ = f−1(0) = p ∈ R3|f(p) = 0.Dessa forma, Σ e uma subvariedade de R3 de codimensao 1, que divide U em duasregioes conexas:

Σ+ = p ∈ U |f(p) > 0 e Σ− = p ∈ U |f(p) < 0.

Denotemos por Xr(R3), ou simplesmente, Xr, o conjunto dos campos vetoriaisde classe Cr, r ≥ 1, definidos em R3 e consideremos dois campos X ∈ Xr e Y ∈ Xr.Definimos o Campo Suave por Partes Z = (X,Y ), da seguinte maneira:

Z(p) =

X(p) = (X1(p),X2(p),X3(p)), se p ∈ Σ+,Y (p) = (Y1(p), Y2(p), Y3(p)), se p ∈ Σ−.

(1)

∗Doutorando em Matematica - UFG†Orientador

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Nestas condicoes, dado o campo vetorial suave por partes em duas zonas, Z =(X,Y ), seguindo a terminologia estabelecida por Filippov [2], distinguimos as se-guintes regioes em Σ:

• Regiao de Costura, Σc, que e o conjunto dos pontos de Σ em que os camposvetoriais X e Y apontam para baixo, ou aqueles em que X e Y apontam paracima, isto e, Σc = p ∈ Σ|Xf(p).Y f(p) > 0;

• Regiao de Escape, Σe, que e o conjunto dos pontos onde o campo vetorialX aponta para cima e o campo vetorial Y aponta para baixo, isto e, Σe =p ∈ Σ|Xf(p) > 0 e Y f(p) < 0;

• Regiao de Deslize, Σs, que e o conjunto dos pontos de Σ onde o campo veto-rial X aponta para baixo e Y aponta para cima, isto e, Σs = p ∈ Σ|Xf(p) <0 e Y f(p) > 0,

onde

Xf(p) =

3∑

i=1

Xi(p) · ∂

∂xif(p)

e

Y f(p) =3∑

i=1

Yi(p) · ∂

∂xif(p).

As definicoes dessas regioes excluem os pontos de tangencia, que sao aquelespontos p ∈ Σ em que X(p).f(p) = 0 e\ou Y (p).f(p) = 0, isto e, aqueles pontosonde os campos vetoriais X e Y sao tangentes a variedade de transicao, Σ, e pontossingulares de X e Y.

0.1.2 Campos Vetoriais Reversıveis (3,2) em Duas Zonas

Seja R : R3 → R3 uma involucao, isto e, RR = Id e det(DR) = −1. Dizemos queum Campo Vetorial Suave em duas Zonas, Z = (X,Y ), em R3, com variedade detransicao Σ e R - reversıvel do tipo (3, 2) ou, simplesmente, R-reversıvel, se vale:

1. DRX = −Y R e;

2. A variedade de pontos fixos da involucao R, que chamaremos de S, estivercontida em Σ,

onde 2 e a dimensao da variedade dos pontos fixos da involucao R (ver [3], [4]).

Referencias

[1] DI BERNARDO, M.; BUDD, C.J.; CHAMPNEYS, A.R. ; KOWALCZYK,P.Piecewise Smooth Dynamical Systems. Theory and Applications, Applied Mathe-matical Sciences, vol. 163, Springer Verlag London, London, 2008.

[2] FILIPPOV, A.F. Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides, Mathe-matics and its Applications (Soviet Series), vol. 18, Kluwer Academic PublihsersGroup, Dordrecht, 1988.

[3] JACQUEMARD, A.; TEIXEIRA, M.A. Invariant varieties of discontinuous vectorfields, Nonlinearity, 18 (2005),21-43.

[4] MEDRADO, J.C.R.; TEIXEIRA, M.A. Symmetric singularities of reversible vectorfields in dimension three, Physica D., Nonlinear Phenomena, 112,n.1-2 (1998), 122-131.

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Limit Cycles Bifurcating from Perturbations of

Quadratic and Cubic Isochronous Centers in Planar Systems

Ricardo M. Martins Otavio M. L. Gomide∗

Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica , UNICAMP


13083-859, Campinas, SP


RESUMO

The study of minimal sets is a very active research topic in the qualitative theoryof dynamical systems. In this work we investigate the existence of limit cycles inpolynomial planar systems through the averaging theory.

We obtain a maximum number of limit cycles (detected by first order averaging)bifurcating from some classes of isochronous quadratic and cubic centers, throughpolynomial perturbations of degree n (for some values of n), and we conjecture theupper bound in the general case.

Referencias

[1] BUICA, A.; LLIBRE, J. Averaging methods for finding periodic orbits via Brouwerdegree. Bulletin des Sciences Mathematiques, v. 128, p. 7-22, 2004.

[2] CHAVARRIGA, J.; SABATINI, M. A survey of isochronous centers. Qualitative The-ory of Dynamical Systems, v. 1, p. 1-70, 1999.

[3] CHICONE, C.; JACOBS, M. Bifurcation of limit cycles from quadratic isochrones.Journal of Differential Equations, v. 91, p. 268-326, 1991.

[4] MARTINS, R.; MEREU, A.; OLIVEIRA, R. An estimation for the number of li-mit cycles in a Lienard-like perturbation of a quadratic nonlinear center. NonlinearDynamics, v. 79, p. 185-194, 2015.

[5] MURDOCK, J.; SANDERS, A.; VERHULST, F. Averaging methods in nonlineardynamical systems. Springer, 2007.

∗Bolsista de Doutorado CAPES

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Perturbacoes Descontınuas de Sistemas Suaves

Thais B. Damacena ∗

IMECC,UNICAMP


13083-859, Campinas/SP

E-mails:[email protected]

RESUMO

Na modelagem de certos fenomenos por meio de equacoes diferenciais, faz-senecessario utilizar equacoes descontınuas (por exemplo, quando temos mudancasrepentinas no estado do sistema). Matematicamente, se χr e o espaco de todos oscampos vetoriais de classe Cr sobre uma variedade N com bordo M , dotada coma topologia Cr, X ∈ χr, f : M → R uma funcao C∞ tendo 0 como valor regular ef−1(0) = M , entao podemos considerar o mergulho natural i : χr → Ωr = χr × χr

(X ∈ χr → (X,X) ∈ Ωr). Seguimos a convencao de Filippov para trajetorias sobreM .

O principal objetivo aqui e o estudo de perturbacoes de Z = (X,X) sobre Ωr.Tambem estamos interessados em estudar perturbacoes de Z = (X,X) ∈ Ωr sobreo conjunto de todos os sistemas com refracao (ou seja, sobre o conjunto Ωr

Ref =Z = (X,Y ) ∈ Ωr;Xf(p) = Y f(p) ∀ p ∈ M.

Referencias

[1] FILIPPOV, A.F., Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides.Kluwer, 1988.

[2] GUARDIA, M.;SEARA, T.M., TEIXEIRA, M.A., Generic bifurcations of low codi-mension of planar filippov Systems Journal of Differential Equations, 2011.

∗Bolsista de Doutorado CNPq

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Equacoes Diferenciais Binarias Polinomiais deGrau 2 com Quatro Singularidades

Hugo L. S. Belisario∗

Instituto Federal de Goias, Campus Inhumas.

Av. Universitaria, SN. Vale das Goiabeiras.

75400-000, Inhumas, GO, Brasil.

[email protected]

RESUMO

Dada a equacao diferencial,

w := P (u, v)(dv2 − du2) + 2Q(u, v)dudv = 0. (1)

onde P e Q sao polinomios de grau 2 nas variaveis u e v. Uma configuracao associadaa w e uma terna F1,F2, S, onde F1 e F2 sao folhacoes formadas por curvasintegrais da equacao (1) em todo ponto regular de w e S = (P 2 + Q2)−1(0) =P−1(0)∩Q−1(0) e o conjunto formado pelos pontos singulares de w. Neste trabalho,apresentamos um estudo sobre equacoes do tipo (1) com quatro pontos singulares.

Referencias

[1] GUINEZ, V. Positive Quadratic Differential Forms and Foliations with Singularitieson Surfaces. Transactions of the American Mathematical Society, v. 309, no. 2, p.477-502, 1988.

[2] GARCIA, R. SOTOMAYOR, J. Diferential Equation of Classical Geometry, a Qua-litative Theory, 270 CBM. IMPA, Rio de Janeiro, 2009.

∗Orientador: Ronaldo A. Garcia (IME/UFG) - [email protected]

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Lista de Autores

Adriano, Levi R., 295Alcântara, Lucy A. G., 281Alcântara, Lucy A. G. de, 137Almeida, Ana C. R. S., 157Almeida, Joanice S. de, 169Almeida, Jéssica G., 207Alves, Daniel, 95Aléssio, Osmar, 285, 289Andrade, Douglas X., 15Andrade, Kamila S., 355Anjos, Petrus H. R., 15Araújo, Letícia A. de, 175Assis, Paulo E. G., 15, 121, 187Assunção, Ricardo G., 265Azevedo, Fernanda L., 133

Barbosa, Fernando R., 193Batista, Edvaldo E., 319Batista, Elismar D., 161, 305Bayer, Valmecir A. dos S., 85Belisário, Hugo L. S., 365Benite, Cláudio R. M., 277Bento, Glaydston C., 319, 325, 327Bergamaschi, Paulo R., 265Bertone, Ana M. A., 215, 219Bittar, Thiago J., 125Bittencourt, Tibério, 329Borges, Romes A., 211, 223, 227Borges, Tainara R., 77Bragança, Dionata J. G., 73Brito, Rafaela G., 105Buzzi, Claudio, 351Buzzi, Claudio A., 345

Caldeira, Jhone, 239Campos, André B., 91Campos, Arthur F., 19Cangussú, Everton S., 201Cardoso, Phelipe R., 129Carrião, Paulo C., 247Carvalho, Cicero, 95Castro, Ubirajara, 359Cataldo, Edson, 333Cavalheiro, Adail, 293Cecconello, Moises S., 347Centurión, Nestor F. C., 251Chaves, Ana Paula, 243Chiossolucombe, Ircílio, 149Costa, Alexandre S., 55Cruz, J. Y. B., 321Cruz, João M. M., 141Cruz, Marcela C. da, 179Cunha, Amarildo da S., 23, 25

Damacena, Thais B., 363

de Oliveira, Helaine A., 23, 25Delphim, Simone A., 1Dias, Diogo Gonçalves, 299Dias, Jefferson R., 193Didonet, Felipe A., 81Diniz, João Pedro Lacerda, 11Dullius, Maria M., 59

Faria, Jéssica Vaz, 11Faria, Thiago L. de, 89Fernandes, Maria de F. N., 183Ferreira, José Antonio S., 201Ferreira, Kamyla M., 203Ferreira, O. P., 321Ferreira, Orizon P., 319, 327Filho, Germano R., 149Filho, João L. C., 341Freitas, Bruno R., 353Freitas, Fernando A., 19Frota, Jhessica B. S., 191Furtado, Marcelo F., 257

Garcia, Ronaldo A., 357Girotto, Layla Giovana, 215, 219Gomes, Alacyr J., 357Gomide, Otávio M. L., 361Gonçalves, Cátia R., 331Gregório, Ronaldo M., 315Guerreiro, Marinês, 9

Hoffmann, Luiz F., 183

Jeffrey, M. R., 355Jucá, Joaby de S., 141Júnior, José de S. B., 125Júnior, Marcelo L. P., 149Júnior, Maurício B. C., 7

Lehre, Raquel, 247Leão, Mateus R., 41Leão, Mateus R. L., 37Lima, Ana C. P., 131Lima, Daniela S., 129Lima, Fábio S., 191Lima, Gutemberg de, 145Lima, Leandro de O., 37, 41Lima, Paulo V. P. de, 129, 131Lima, Thaís K., 109Lima, Wellington V. de, 69Llibre, Jaume, 353Lobato, Luanna L., 125Lourenço, Kélem G., 55, 337Louzada, Ludimila A., 211, 223,

227

Machado, Daniel F., 91

Marques, Iale P. N., 133Martins, R. M., 355Martins, Ricardo M., 361Medrado, João C., 343, 353, 359Melo, Emerson F., 235Melo, Neuza F. V., 273Mezz, Andre L., 45Milani, Samanta M., 269Miranda, Flávio M. de, 33Miyagaki, Olímpio H., 247Mizukoshi, Marina T., 347Morales, Marcia da L., 65, 69Mota, Eliane F. C., 63Mota, Jesus C., 255

Nascimento, Marcel L. P., 105Nascimento, Oliviana X. do, 5Netto, Assuscena P., 141

Oliveira, Adriana R., 197Oliveira, José N., 187Oliveira, Paulo R., 315Otiniano, Cira E. G., 331

Pacheco, Ingrid da Silva, 215, 219Paes, Anderson G., 89Passarinho, Brunna B., 81Passos, Lucas S., 273Pedrosa, Jéssica R., 153Pereira, Janser M., 47, 51, 113, 117Pereira, Túlio L., 33Pereira, Yuri R. L., 327Pieterzack, Maurício D., 295Pimentel, Vanessa, 333Pina, Romildo S., 161, 295, 303,

305Pinto, Silvania L. C., 171Prado, Bruna Q. de M., 47, 51, 113,

117Prudente, L. F., 321

Quartieri, Marli T., 59Queiroz, Thiago A., 203, 207

Ramírez, O. A., 343Rezende, Stéfany M. F., 211, 223,

227Ribeiro, Lana, 141Ribeiro,Márcio R. R., 5Rocha, Rogerio A., 27Rocha, Rogério A., 315Rodrigues, Luciana A., 285, 287,

289Rodrigues, Taynara T., 47, 51, 113,

117

Rodrígues, Brayan M., 255Rosa, Marilia C. do V. M., 77Rosario, Eduardo da C., 1Ruys, Wesley da S., 101

Santana, Fagner L., 311Santana, Isabel S. B., 31Santiago, Regivan H. N., 311Santos, Carlos A. O., 261Santos, Dassael F. dos R., 171, 175Santos, Gabriele O. dos, 131Santos, Mateus C. P. dos, 121Santos, Mayk J., 231Santos, Walter B., 337Sartor, Nayara L., 65, 137Sartor, Nayara Longo, 281Silva, Claudinéia G. R., 65, 69Silva, Clayton C., 7, 9Silva, Elaine C. S., 245

Silva, Fábio N., 285, 289Silva, Glauciele C. da, 99Silva, José W. da, 113, 117Silva, José W. da , 47, 51Silva, Juliany de J., 169Silva, Leonardo H. F., 109Silva, Lorenna G., 31, 99Silva, Luciana A. S., 77Silva, Nicolas N. T. da, 63Silva, P. R., 351Simplício, Eliene, 149Sodré, Camila S., 133Soize, Christian, 333Sousa, Josimar, 261Sousa, Márcio L., 309Souza, Bruno N., 257Souza, Crhistiane F., 273Souza, Giseli M. de, 73, 89

Souza, Giseli M. de , 45Souza, Liliane de O., 277Souza, Marcelo A., 161, 305Souza, Michel, 315Stein, Marcos, 45Strassemann, Thiago G., 85

Teixeira, Jefferson R., 201Teixeira, M. A., 355Teixeira, Paulo C. M., 27Tolardo, Natália M., 197Tonon, Durval J., 231, 233, 341

Vale, Deivid R., 165Velter, Mariana Q., 233

Xia, Changyu, 293

Zocche, Eudelaine, 73

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