Cálc_Mom_Inércia-Prof_Everton Santana

5/12/2018 Cálc_Mom_Inércia-Prof_Everton Santana - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/calcmominercia-profeverton-santana 1/8

Cálculo de momentos de inércia

ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusivenas simulações. A página original, que considero muito boa é:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm

Autor: (C) Ángel Franco García

Sólido rígido

Dinâmica de rotação Equação da

dinâmica de rotação Momentos de inércia

Dinâmica de rotação e balanço energético Pêndulo de torção Pêndulo composto O balanço Atrito no movimento de rotação O oscilador de"Atwood" Varinha inclinada Lápis que cai (I) Lápis que cai (II) Escada que desliza Escada, estática e dinâmica

Momento de inércia de uma distribuição de massas pontuais

Momento de inércia de uma distribuição contínua de massa

Nesta página, são resolvidos os problemas mais habituais de cálculo de momentos deinércia:

Momento de inércia de uma distribuição de massaspontuais

Temos que calcular a quantidade

onde xi é a distância da partícula de massa m

iao eixo de rotação.

Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. São colocados 5massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos.Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo perpendicular a varinha quepassa através de

Um extremo

Da segunda massa

Do centro de massa

O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular avarinha e que passa pela primeira partícula é

I A

=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2

O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a

Page 1 of 8Cálculo de momentos de inércia

1/12/2010file://C:\Data\Airton\Technical Documentation\Resistência dos Materiais\Momentos de In...



Em vez de calcular de forma direta os momentos de inércia, podemos calcular de formaindireta empregando o teorema de Steiner. Conhecido I

C podemos calcular I

Ae I B

, sabendo

as distâncias entre os eixos paralelos AC=0.5 m e BC=0.25 m.

A fórmula que temos que aplicar é

I=I C +Md 2

I C é o momento de inércia do sistema relativo a um eixo que passa pelo centro de

massa

I é o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior

M é a massa total do sistema

d é a distância entre os dois eixos paralelos.

I A= I C +5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.

I B

= I C

+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

Momento de inércia de uma distribuição contínua demassa

Passamos de uma distribuição de massas pontuais a uma distribuição contínua de massa. Afórmula que temos que aplicar é

dm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotação

Resolveremos vários exemplos divididos em duas categorias

Aplicação direta do conceito de momento de inércia

Partindo do momento de inércia de um corpo conhecido

varinha e que passa pela segunda partícula é

I B

=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2

O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular avarinha e que passa pela terceira partícula (centro demassas) é

I C =1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2





Momento de inércia de uma varinha

A massa dm do elemento de comprimento da varinha compreendido entre x e x+dx é

O momento de inércia da varinha é

Momento de inércia de um discoVamos calcular o momento de inércia de um disco de massa M e raio R relativo a um eixoperpendicular ao plano do disco e que passa por seu centro.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um anel deraio x e de largura dx. Se recortamos o anel e o estendemos, é convertido em um retângulo

de comprimento 2π x e largura dx, cuja massa é

Vamos calcular o momento de inércia de umavarinha de massa M e comprimento L relativo a

um eixo perpendicular a varinha que passa pelocentro de massas.

Aplicando o teorema de Steiner, podemos calcular omomento de inércia da varinha relativo a um eixoperpendicular a mesma que passa por um de seusextremos.





O momento de inércia do disco é

Momento de inércia de um cilindro

Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M , raio R e comprimento L relativo a seu eixo.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é uma camadacilíndrica cujo raio interno é x, externo x+dx, e de comprimento L, tal como é mostrada nafigura. A massa dm que contém esta camada é

O momento de inércia do cilindro é

Momento de inércia de uma placa retangular

Vamos calcular o momento de inércia de uma placa retangular

delgada de massa M de lados a e b relativo ao eixo que passa pelaplaca.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação.O elemento é um retângulo de comprimento a de largura dx. Amassa deste retângulo é





O momento de inércia da placa retangular é

Momento de inércia de um disco

O momento de inércia do disco é

Fazendo a mudança de variável

x=R·cos y=R·sen

Chegamos a integral

Momento de inércia de uma esfera

Vamos calcular o momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R relativo a um deseus diâmetros

Vamos calcular o momento de inércia de um disco demassa M e raio R, relativo a um de seus diâmetros.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo derotação. O elemento é um retângulo de comprimento 2 y de largura dx. A massa deste retângulo é





Dividimos a esfera em discos de raio x e de espessura dz. O momento de inércia de cadaum dos discos elementares é

A massa de cada um dos discos é

O momento de inércia da esfera, é a soma dos momentos de inércia de todos os discoselementares.

Para resolver a integral temos que relacionar a variável x com a z. Como vemos na figura

x2+z2=R2

Momento de inércia de um cilindro

Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M , raio R e comprimento L,relativo a um eixo perpendicular a sua geratriz e que passa por seu centro.





Dividimos o cilindro em discos de raio R e espessura dx. O momento de inércia de cada umdos discos relativo a um de seus diâmetros é

Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia deste disco, relativo aum eixo paralelo situado a uma distância x.

O momento de inércia do cilindro é

Momento de inércia de um paralelepípedo

Vamos calcular o momento de inércia de um paralelepípedo de massa M e de lados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas faces.

Dividimos o paralelepípedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx.

O momento de inércia de cada uma das placas relativo seu eixo de simetria é





Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia desta placa relativo aum eixo paralelo situado a uma distância x é

O momento de inércia do sólido em forma de paralelepípedo é



Documents

Cálc_Mom_Inércia-Prof_Everton Santana