Cálculo 1

1.2 - Noção Intuitiva de Limite Limites Laterais

Elano Diniz

Noção IntuitivaSucessões numéricas

Dizemos que:

1, 2, 3, 4, 5, ....Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite

x + Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor

x 1

1, 0, -1, -2, -3, ...Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite

x - Os termos oscilam sem tender a um limite

,.....65,

54,

43,

32,

21

,...7,76,5,

54,3,

32,1

Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto, possivelmente em x0.

Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, então dizemos que a função f tem limite L quando x tende para x0 e escrevemos:

Definição informal de limite

0x xlim f(x) L

x0

LimitesSeja y = f(x) = 2x + 1Aproximação à esquerda Aproximação à direita

x y

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Limites

Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:

3)12(lim)(lim11

xxfxx

Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3

1limx

Limites

No caso da função f(x) = é diferente pois

f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe

e é igual 3.

Ver gráfico a seguir:

122

xxx

Limites

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Limites

Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -

Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +

Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:

[f(x)] = [f(x)] axlim

axlim

Limites Laterais

x f(x) = x + 32 5

1,5 4,5

1,25 4,25

1,1 4,1

1,01 4,01

1,001 4,001

1,0001 4,0001

4)(lim1

xfx

4)(lim1

xfx

Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.

x f(x) = x + 30 3

0,25 3,25

0,75 3,75

0,9 3,9

0,99 3,99

0,999 3,999

Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.

4

1 x

yPela esquerdaPela direita

)(lim1

xfx

Determinar, graficamente,

Dada a função f: IR IR, definida por

1,31,1

)(xparaxxparax

xf

4)(lim1

xfx

2)(lim1

xfx

1

Não existe limite de f(x), quando x tende para 1

2

4

“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.

Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite

2

x 2lim(x ) =4