Aula 07 – Limite e Continuidade Idéia intuitiva e definição de limites

Aula 07 – Limite e Continuidade

Idéia intuitiva e definição de limites.

A Definição de Limite

Para chegarmos a definição precisa de limite consideremos inicialmente a função

Intuitivamente, se está próximo de 3, mas , então está próximo de 5, ou seja,

2 1, se 3( )

6 , se 3

x xf x

x

x3x ( )f x

3lim ( ) 5.xf x


Quão próximo de 3 deverá estar para que esteja próximo de 5?

Ou, a que distância deverá estar de 3, para que a distância entre e 5 seja cada vez menor?

x ( )f x

x( )f x


Ou ainda, dada uma distância (qualquer) de a 5, podemos encontrar a que distância deve estar de 3?

A distância de a 3 é representada matematicamente por , da mesma forma que a distância de a 5 é representada por

x

( )f x3x

( ) 5 .f x

( )f x

x


Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos

se, para todo , existir , tal que se então

L

limx a

f x L

0 0 .f x L 0 x a

f

( )f x,a a

x a



2 1, se 3( )

6 , se 3

x xf x

x

3lim ( ) 5xf x

Exemplo

Demonstre que 3

lim(4 5) 7.x

x

Limites Laterais

Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto à esquerda de . Então dizemos que o limite de quando tende a pela esquerda é , e escrevemos


L

limx a

f x L

0 0 .f x L a x a

f

( )f xa

x a

Limites Laterais

Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto à direita de . Então dizemos que o limite de quando tende a pela direita é , e escrevemos


L

limx a

f x L

0 0 .f x L a x a

f

( )f xa

x a

Teorema

existe e será igual a se e somente se e existirem e forem iguais a .

limx a

f x

L

L

limx a

f x

limx a

f x

Exemplos

1

2

Limites Infinitos



limx a

f x

0M 0 ( ) .f x M0 x a

f

( )f x,a a

x a

Limites Infinitos



limx a

f x

0M 0 ( ) .f x M 0 x a

f

( )f x,a a

x a

Exemplos

Determine:

0

1) limx

ax

0

1) limx

bx

Função Contínua no Ponto

Diremos que a aplicação é

contínua no ponto , se

:f

p

i f p

limx p

iii f x f p

limx p

ii f x

fy

x

L

px

f x

lim écontínua emx p

f x L f p f p

Função Contínua no Ponto

fy

x

L

px

f x

f p

lim nãoécontínua emx p

f x L f p f p

Função Descontínua no Ponto

fy

x

L

px

f x

limnãoécontínua em

Nãoexiste

x pf x L

f pf p

Função Descontínua no Ponto

f

y

x

L

px

f x

f p

Nãoexiste lim nãoécontínua emx p

f x f p

f x

p Função Descontínua no Ponto

Função Contínua

A aplicação é contínua, se a

mesma for contínua em todos os pontos

do seu domínio.

:f

Exemplos de Funções Contínuas

4

1) lim 3 4 3 1 4x

x f

2 2

12) lim 3 1 3 4 1

xx f

3 2 3 2

13) lim 3 1 1 3 1 1 3 3 1

xx x f

4 2 4 2

04) lim 3 0 0 3 3 0

xx x f

Exemplos de Funções Contínuas

5) limsen senx p

x p

6) limcos cosx p

x p

7) lim ,com e 0 1x p

x pa a a a

8) limln ln ,com e 0 1x p

x p p p

Outros Exemplos de Limites

1) lim tg tg , e2x p

x p p k k

2) limcotg cot g , ex p

x p p k k

4) limsec sec , e2x p

x p p k k

3) limcossec cossec , ex p

x p p k k

Exemplo

Determine os pontos de descontinuidade da função cujo gráfico é mostrado a seguir, justificando.

Exemplo

Determine o valor de L para que a função

abaixo seja contínua no ponto p=0.

2

cos se 0( ) se 0

1 se 0

x xf x L x

x x

Seja uma aplicação definida por

, cujo o esboço do gráfico é

dado a seguir:

Limite Fundamental da Trigonometria

:f

senxf x

x

2 323

1y

x

Limite Fundamental da Trigonometria

2 323

1y

x

0x 0 x

f x

0

senlim 1x

x

x

Exemplo

Calcule 0

sen3limx

x

x

0

sen3limx

x

x 0

sen3lim3

3x

x

x

u

0

senlim3u

u

u

1

3

0 0x u

Exemplo

Calcule sen

limx

x

x

senlimx

x

x u

x u x u 0x u

0

sen( )limu

u

u

sen( ) sen cos sen cosu u u 1 0

0

senlimu

u

u

1

senu

Limite fundamental

(1 1/ )xxx

1

10

100

1.000

10.000

2

2,5937

2,7048

2,71812,7182

e

1lim 1

x

xe

x

Exemplo

Mostre que

De modo análogo obtemos

1

0lim(1 )hh

h e

1 1x h

h x

1lim 1

x

x x

0h x 1

0lim (1 )hh

h

1lim 1

x

x x

e

1

0lim (1 )hh

h e

1

0lim(1 )hh

h e

Exemplo

Mostre que 0

1lim 1

h

h

e

h

1 ln( 1)hu e h u 1

ln( 1)

he u

h u

1

1ln( 1)uu

1

1

ln( 1)uu

0 0h u

10 0

1 1lim lim

ln( 1)

h

h hu

e

hu

1

ln e 1

Propriedades Operatórias de Limite

Suponhamos que existem os limites

e . Se , então:

limx p

f x

limx pg x

,

1) lim lim limx p x p x p

f x g x f x g x

2) lim limx p x p

f x f x

Propriedades Operatórias de Limite

Suponhamos que existem os limites

e . Se , então:

limx p

f x

limx pg x

,

3) lim lim limx p x p x p

f x g x f x g x

lim4) lim , desde que lim 0

limx p

x p x px p

f xf xg x

g x g x

Teorema: Limite de Função Composta

Sejam e duas

funções tais que . Se e

é contínua em , então

:f A :g B

Im f B limx p

f x L

g L

lim limx p x pg f x g f x g L

Se existe, então:

Corolário: Limite de Função Composta

) lim lim , sendon nx p x p

ii f x f x n

) lim lim , sendon

n

x p x pi f x f x n

limx p

f x

Se é par,supomos lim 0.x p

n f x

Se existe, então:

Corolário: Limite de Função Composta

) limln ln lim ,sendolim 0x p x p x p

iv f x f x f x

lim

) lim x pf xf x

x piii a a

limx p

f x

Atividade

Determine caso exista os limites abaixo:

6

2) lim 3 4x

i x

Solução:

66

2 2lim 3 4 lim 3 4x x

x x

63.2 4 62

64

Atividade


62

1) lim 3 4 2x

ii x x

Solução:

662 2

1 1lim 3 4 2 lim 3 4 2x x

x x x x

623.1 4.1 2 61 1

Atividade


) lim sen 2x

iii x x

Solução:

lim sen 2 lim sen 2x x

x x x x

2sen

0

Atividade

Determine caso exista os limites abaixo:2 4

2

2) lim3

x

x

xiv

Solução:

22

2

44 lim2 ?2

2lim3 3 3

x

xxxx

x

Calculando . 2

2

4lim

2x

x

x

Atividade

Calculando temos: 2

2

4lim

2x

x

x

2

2 2 2

2 24lim lim lim 2 4

2 2x x x

x xxx

x x

Logo

22

2

44 lim2 42

2lim3 3 3 81

x

xxxx

x

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