Continuidade e Limiteeach.uspnet.usp.br/acsouzafilho/calLCN20131/aula13-16...Estudo da Continuidade de Funções Funções Contínuas Limites Cálculo de Limites Continuidade e Limite

AssuntoEstudo da Continuidade de Funções

Funções ContínuasLimites

Cálculo de Limites

Continuidade e Limite

Antônio Calixto de Souza Filho∗

Escola de Artes, Ciências e Humanidades∗Universidade de São Paulo

17 de maio de 2013

A. C Souza Filho Cálculo para LCN



Cálculo de Limites

1 Estudo da Continuidade de FunçõesNoção Intuitiva de ContinuidadeContinuidade em um PontoExemplos de Funções Não-continuas

2 Funções Contínuas

3 LimitesExemplos de LimitesSequências e Séries

4 Cálculo de LimitesLimites de funções contínuasPropriedades dos limitesLimites com indeterminação removívelAplicação de limites:derivadas




Cálculo de Limites

Noção Intuitiva de ContinuidadeContinuidade em um PontoExemplos de Funções Não-continuas

subject1 Estudo da Continuidade de Funções


2 Funções Contínuas3 Limites

Exemplos de LimitesSequências e Séries





Cálculo de Limites


Uma motivação prática para estudo da Continuidade é ocálculo de imposto de renda recolhido na fonte;Uma motivação teórica é o estudo de funçõescrescentes/decrescentes que são contínuas.




Cálculo de Limites


Uma motivação prática para estudo da Continuidade é ocálculo de imposto de renda recolhido na fonte;Uma motivação teórica é o estudo de funçõescrescentes/decrescentes que são contínuas.




Cálculo de Limites


Controle da variação local de uma função: considere uma funçãoL, cujo domínio seja a produção e o contra-domínio o lucroassociado a uma certa produção x . Para um certo valor de lucrol0 = L(x0), pode ser importante determinar como deve variar aprodução em torno do valor de x0, para que o lucro varie de modocontrolado em torno de l0. Veremos que funções com estacaracterística são denominadas funções constantes.




Cálculo de Limites


Cálculo de raízes de polinômios ou de zeros de funções: Outrapropriedade desejável para uma função f é conseguir determinarum intervalo onde exista um zero da função, ou seja I um intervalo,onde x0 ∈ I e f (x0) = 0, por exemplo, a função f (x) = x2 − 2x .Como f (−1) = 1

2 e f (0) = −1, sabemos que existe x0 ∈]− 1, 0[ talque f (x0) = 0. Este resultado é conhecido por Teorema davariação do sinal, que veremos vale se a função for contínua.




Cálculo de Limites


Consideremos as seguintes funções:

f (x) =

0 se 0 < x < 1500x ∗ 5

100 se 1500 ≤ x < 3000x ∗ 10

100 se 3000 ≤ x < 6000x ∗ 15

100 se 6000 ≤ x < 10000

g(x) =

0 se 0 < x < 1500x ∗ 5

100 − 75 se 1500 ≤ x < 3000x ∗ 10

100 − 225 se 3000 ≤ x < 6000x ∗ 15

100 − 525 se 6000 ≤ x < 10000Se estas funções representam, digamos, o imposto devido paraestas faixas de valores, as situações limites não estão pagandoum valor justo do imposto no caso da função f .




Cálculo de Limites


Consideremos as seguintes funções:

f (x) =

0 se 0 < x < 1500x ∗ 5

100 se 1500 ≤ x < 3000x ∗ 10

100 se 3000 ≤ x < 6000x ∗ 15

100 se 6000 ≤ x < 10000

g(x) =

0 se 0 < x < 1500x ∗ 5

100 − 75 se 1500 ≤ x < 3000x ∗ 10

100 − 225 se 3000 ≤ x < 6000x ∗ 15

100 − 525 se 6000 ≤ x < 10000Se estas funções representam, digamos, o imposto devido paraestas faixas de valores, as situações limites não estão pagandoum valor justo do imposto no caso da função f .




Cálculo de Limites


Com efeito, observe que f (1499) = 0, enquanto quef (1500) = 75, ou seja o imposto pago para x = 1499, 99 énulo, enquanto que uma variação mínima de um centéssimo,para cima, provoca um aumento de 75 no imposto.considerando que L(x) = x − f (x) seja o valor sem o imposto,teríamos que L(1499, 99) = 1499, 99, enquanto queL(1500) = 1475, embora os valores brutos diferem muitopouco.Podemos fazer uma análise semelhante para a função g(x) econcluir que isso não ocorre. Mais que isso, podemos afirmarque L é uma função crescente!Veremos que uma das diferenças entre as duas funções estáno fato que f não é contínua, enquanto g é contínua.




Cálculo de Limites






Cálculo de Limites






Cálculo de Limites






Cálculo de Limites


DefiniçãoSeja f : A −→ B uma função. Dizemos que f é contínua em umponto x0 ∈ A se dado um número real positivo ε, existe umnúmero real positivo δ que satisfaz a seguinte propriedade:

|x − x0| < δ ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε

ExemploA função f (x) = x2 é contínua em x0 = 0.




Cálculo de Limites


ExemploPara fixarmos, inicialmente considere 1 > ε = 0.01, vejamos queexiste um δ positivo para o qual a definição vale. Primeiro,devemos entender o significado de ε = 0.01: estamos querendosaber como podem variar os elementos do domínio, em torno dex0 = 0, de modo que a imagem destes elementos não se distanciede f (0) mais que 0.01. Visto de uma outra forma, a hipótese|x − x0| < δ equivale a x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ e como consequênciaqueremos que f (x) ∈]f (x0)− ε, f (x0) + ε[. Para este caso, é tudomuito simples, pois se escolhermos δ < ε, como f (0) = 0, temosapenas que garantir a condição x ∈]− δ, δ[⇒ f (x) ∈]− ε, ε[.




Cálculo de Limites


Continuação do exemplo

ExemploOra, como f (x) = x2, se x ∈]− δ, δ[, então ou x > 0, e portantox < δ ou x < 0 e portanto −δ < x, nos dois casos ocorre quex2 < δ2. Como escolhemos δ < ε = 0.01, então δ2 < ε2 = 0.0001,pois são números positivos, daí f (x) = x2 < δ2 < ε2 = 0.0001 < ε,portanto f (x) < ε2 < ε, logo f (x) ∈]− ε, ε[. Assim f é contínuaem x0 = 0. E percebemos que isso ocorre para qualquer ε < 1.Para 1 ≤ ε, procedemos da mesma forma, porém δ =

√ε, pois

assim f (x) = δ2 < ε e |f (x)| < ε.




Cálculo de Limites


No exemplo acima (f (x) = x2), podemos fazer o teste paraqualquer x0. Tomemos x0 = 10. Dado um ε, queremosmostrar que existe um delta de modo que|x − 10| < δ ⇒ |f (x)− 100| < ε.Neste exemplo, veremos que δ não pode depender apenas deε.Uma maneira de confirmar isso é observar o gráfico de x2,próximo a x0 = 10.




Cálculo de Limites






Cálculo de Limites






Cálculo de Limites


A hipótese |x − 10| < δ, pode ser escrita como10− δ < x < 10+ δ. Vamos primeiro considerar x < 10+ δ eusar que f é crescente próxima a (10, 100), então é suficienteverificar que f (x) < 100+ ε (pois deve ser óbvio que100− ε < f (x). Ora, se x < 10+ δ a pior situação seriax = 10+ δ.Assim, basta encontrar δ de modo quef (x) = (10+ δ)2 < 100+ ε e isso ocorre quando10+ δ <

√100+ ε. Assim δ <

√100+ ε− 10 verifica a

condição e portanto x2 é contínua em x0 = 10.




Cálculo de Limites


A hipótese |x − 10| < δ, pode ser escrita como10− δ < x < 10+ δ. Vamos primeiro considerar x < 10+ δ eusar que f é crescente próxima a (10, 100), então é suficienteverificar que f (x) < 100+ ε (pois deve ser óbvio que100− ε < f (x). Ora, se x < 10+ δ a pior situação seriax = 10+ δ.Assim, basta encontrar δ de modo quef (x) = (10+ δ)2 < 100+ ε e isso ocorre quando10+ δ <

√100+ ε. Assim δ <

√100+ ε− 10 verifica a

condição e portanto x2 é contínua em x0 = 10.




Cálculo de Limites


Deve também ficar claro que estamos utilizando fatos como10+ δ e 10+ ε serem números positivos!Como os cálculos não dependem do particular valor de x0,então para qualquer valor x0 > 0, o número delta deve sermenor que

√x2

0 + ε− x0.Uma das principais dificuldades para as funções contínuas é ocálculo do valor de δ. Há outras dificuldades teóricas tãoimportantes quanto esta.




Cálculo de Limites



√x2





Cálculo de Limites



√x2





Cálculo de Limites


Exemplo

A função f (x) =

1 se x > 00 se x = 0−1 se x < 0

Esta função não é contínua em x0 = 0. Para ver isso, bastaconsiderar ε = 1

2 , ou qualquer número menor que 1, comomostrado a seguir.




Cálculo de Limites


Isto ocorre porque não conseguimos encontar algum valor δ,dependendo do valor de εSe ε = 2, é fácil ver que qualquer δ > 0 serve (verifique isso!)Mas, se ε = 0.5, não conseguimos este δ ... como podemosver isso?Supomos por absurdo que o δ existe! Neste caso, à direita dex0 = 0, f (x) = 1, que não está no intervalo ]− 1

2 ,12 [. À

esquerda de x0 = 0, f (x) = −1, que não está no intervalo]− 1

2 ,12 [. Assim não existe δ que verifique a propriedade de

continuidade.




Cálculo de Limites



2 ,12 [. À



continuidade.




Cálculo de Limites



2 ,12 [. À



continuidade.




Cálculo de Limites



2 ,12 [. À



continuidade.




Cálculo de Limites


De modo análogo, a função f da alíquota de impostos não écontínua, isto é,

f (x) =

0 se 0 < x < 1500x ∗ 5

100 se 1500 ≤ x < 3000x ∗ 10

100 se 3000 ≤ x < 6000x ∗ 15

100 se 6000 ≤ x < 10000Não é contínua em x ∈ {1500, 3000, 6000}Basta considerar ε < 75, que é o menor dos saltos que afunção sofre e proceder como no exemplo anterior.




Cálculo de Limites


A funçao f (X ) =

{1x se x 6= 010 se x = 0 , não é contínua em x = 0,

porém é contínua em todos os pontos x0 6= 0Vamos verificar este fato em x0 = 0.Considere ε = 1 e suponha que exista um δ que|x − 0| < δ ⇒ |f (x)− 10| < 1. Como −δ < x < δ,equivalente a x ∈]− δ, δ[, então existe algum número naturaln, tal que 1

n ∈]− δ, δ[.Assim, vamos considerar x = − 1

n , de modo que f (x) = −n eportanto, |f (x)− 10| = | − n − 10| = n + 10 < ε = 1, logon < −9, um absurdo, pois n é natural. Portanto f não écontínua.




Cálculo de Limites


A funçao f (X ) =








Cálculo de Limites


A funçao f (X ) =








Cálculo de Limites


A funçao f (X ) =








Cálculo de Limites


ObservaçãoA estratégia acima pode ser simplificada do seguinte modo:próximo a x0 = 0, para todo ε, existe n ∈ N que satisfaz ainequação | 1n − 10| < ε. Mas, considerando x = −1

n a imagemf (x) = −n não fica no intervalo ]f (x)− ε, f (x) + ε[. Esteargumento, no entanto, não funcionaria se f (x) = 1

|x | , quandox 6= 0. Neste caso, o argumento também é simples, ou seja, bastaconsiderar x = 1

n . Então 10− ε < n < 10+ ε de modo quequalquer número natural n > 10+ ε e 1

n < δ resulta em umaimagem fora do intervalo ]f (x)− ε, f (x) + ε[. Como este resultado,em particular, engloba o exemplo anterior, verifique quen = 12 > 11 também mostra que f não é contínua em x0 = 0.




Cálculo de Limites


A funçao f (X ) =

{x2−1x+1 se x 6= −1−1 se x = −1

, não é contínua em

x0 = −1Seja ε = 1 e suponha que existe um δ, tal que,|x − (−1)| < δ ⇒ |f (x)− (−1)| < 1.Então x ∈]− 1− δ,−1+ δ[. Sendo δ > 0 existeh ∈]− 1− δ,−1+ δ[ e h < −1 (por exemplo h = −1− δ

2).Então |f (x) + 1| = |h2−1

h+1 + 1| = |h − 1+ 1| = |h| < 1,absurdo pela escolha de h.




Cálculo de Limites


A funçao f (X ) =

{x2−1x+1 se x 6= −1−1 se x = −1



2).Então |f (x) + 1| = |h2−1





Cálculo de Limites


A funçao f (X ) =

{x2−1x+1 se x 6= −1−1 se x = −1



2).Então |f (x) + 1| = |h2−1





Cálculo de Limites


1 A funçao f (X ) =

{x2−1x+1 se x 6= −1−2 se x = −1

é contínua em

x0 = −1.2 Agora, temos que provar que para qualquer ε, existe δ, tal que|x + 1| < δ ⇒ |f (x) + 2| < ε.

3 Basta considerar δ < ε.4 Vejamos isso: seja |x + 1| < δ. Podemos supor que x 6= −1

(caso x = −1 é trivial que f (−1)− f (−1) = 0 < ε). Então|f (x) + 2| = |x − 1+ 2| = |x + 1|. Ora, sabemos que|x + 1| < δ e pela escolha de δ < ε (item 3), obtemos que|f (x) + 2| < ε.




Cálculo de Limites



{x2−1x+1 se x 6= −1−2 se x = −1

é contínua em







Cálculo de Limites



{x2−1x+1 se x 6= −1−2 se x = −1

é contínua em







Cálculo de Limites



{x2−1x+1 se x 6= −1−2 se x = −1

é contínua em







Cálculo de Limites


ExercícioExplique se a função

f (x) ={

−3x2+2x+83x3+4x2−6x−8 se x 6= −4

3−10 se x 6= −4

3

é contínua em x0 = −43




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Cálculo de Limites

DefiniçãoSeja f : A −→ B uma função. Dizemos que f é contínua se ocorrerque f seja contínua em todos os pontos de seu domínio.




Cálculo de Limites

Assim, se ocorrer que a função f não seja contínua em um únicoponto de seu domínio, ela não será uma função contínua




Cálculo de Limites

O exemplo a seguir é de uma função que não é contínua emtodos seus pontos do domínio, chamada função de Dirichlet.

Funçao de Dirichlet f (X ) =

{1 se x ∈ Q−1 se x /∈ Q




Cálculo de Limites

O exemplo a seguir é de uma função que não é contínua emtodos seus pontos do domínio, chamada função de Dirichlet.

Funçao de Dirichlet f (X ) =

{1 se x ∈ Q−1 se x /∈ Q




Cálculo de Limites

Propriedade das funções contínuas

Suponha que as funções f e g sejam contínuas e K seja umaconstante.

1 A função Kf é contínua.2 A função f + g é contínua.3 A função f ∗ g ou fg é contínua.4 A função f ◦ g cuja imagem de x é f (g(x)) é contínua




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Cálculo de Limites







Cálculo de Limites







Cálculo de Limites







Cálculo de Limites

Vamos verificar P1.Dado ε > 0 queremos verificar que existe δ > 0 tal que|x − x0| < δ ⇒ |Kf (x)− Kf (x0)| < ε.Observemos que |Kf (x)− Kf (x0)| = |K | ∗ |f (x)− f (x0)| e nacondição de f ser contínua, então |f (x)− f (x0)| < ε.Assim, para conseguirmos nosso objetivo devemos tomar δc ,para o qual ε

|K | seja o valor dado.Portanto |x − x0| < δc ⇒ |Kf (x)− Kf (x0)| < ε, pois paraeste valor |f (x)− f (x0)| < ε

|K | , e desse modo,|Kf (x)− Kf (x0)| = |K | ∗ |f (x)− f (x0)| < |K | ∗ ε

|K | = ε.




Cálculo de Limites




|K | = ε.




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|K | = ε.




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|K | = ε.




Cálculo de Limites




|K | = ε.




Cálculo de Limites

Vejamos um esboço de verificação da propriedade 2, suponhaque u = f + gDado ε > 0 queremos verificar que existe δ > 0 tal que|x − x0| < δ ⇒ |u(x)− u(x0)| < ε. sendo u(x) = f (x) + g(x),|u(x)− u(x0)| = |(f (x) + g(x))− (f (x0) + g(x0))| =|(f (x)−f (x0))+(g(x)−g(x0))| < |f (x)−f (x0)|+|g(x)−g(x0)|.Segundo o ε dado, a continuidade de f diz que existe δf , demodo que |x − x0| < δf ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε.Analogamente, existe δg , de modo que|x − x0| < δg ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε.




Cálculo de Limites





Cálculo de Limites





Cálculo de Limites





Cálculo de Limites

Retomamos a expressão|u(x)− u(x0)| < |f (x)− f (x0)|+ |g(x)− g(x0)|, porém com acondição que δ =mínimo {δf , δg}.Assim |u(x)− u(x0)| < |f (x)− f (x0)|+ |g(x)− g(x0)| < 2ε.Mas queremos que a desigualdade seja com ε não 2ε.Então refazemos os cálculo para as funções f e g com ε

2 .Dado ε

2 , existem δfc e δgc , onde o índice c indica corrigido, talque, se δ =mínimo {δfc , δgc}, então|u(x)− u(x0)| < 2 ∗ ε

2 = ε, portanto u = f + g é contínua.




Cálculo de Limites


2 .Dado ε






Cálculo de Limites


2 .Dado ε






Cálculo de Limites


2 .Dado ε






Cálculo de Limites

Exemplo

As funções f (x) = x e g(x) = x2, são contínuas. Dado ε > 0,para f existe δf < ε; para g existe δg <

√x2

0 + ε− x0.As funções u(x) = bx e v(x) = ax2, serão contínuas paraδu <

ε|b| e δv <

√x2

0 + ε|a| − x0.

Assim, a função f (x) = ax2 + bx será contínua paraδuc <

ε2|b| e δvc <

√x2

0 + ε2|a| − x0, ou seja

δ =mínimo { ε2|b| ,

√x2

0 + ε2|a| − x0}




Cálculo de Limites

Exemplo


√x2


ε|b| e δv <

√x2

0 + ε|a| − x0.


ε2|b| e δvc <

√x2

0 + ε2|a| − x0, ou seja


√x2

0 + ε2|a| − x0}




Cálculo de Limites

Exemplo


√x2


ε|b| e δv <

√x2

0 + ε|a| − x0.


ε2|b| e δvc <

√x2

0 + ε2|a| − x0, ou seja


√x2

0 + ε2|a| − x0}




Cálculo de Limites

Exemplo


√x2


ε|b| e δv <

√x2

0 + ε|a| − x0.


ε2|b| e δvc <

√x2

0 + ε2|a| − x0, ou seja


√x2

0 + ε2|a| − x0}




Cálculo de Limites

Podemos estudar um primeiro resultado importante sobre asfunções contínuas: o Teorema da Variação do Sinal




Cálculo de Limites

TeoremaSeja f uma função contínua, definida em um intervalo fechado. Seocorrem que x1 e x2, elementos do domínio, verificamf (x1) ∗ f (x2) < 0, então, existe x0 ∈ Domf , tal que f (x0) = 0

idéia/esboço.Podemos supor que x1 < x2, calcular o termo médio xm1 = x1+x2

2 esua imagem f (xm1). Sempre irá ocorrer que ou f (x1) ∗ f (xm1) ≤ 0ou f (xm1) ∗ f (x2) ≤ 0. O fato é que o tamanho do intervalox2 − x1 fica reduzido à metade. Assim, sucessivamente, paraqualquer número natural n temos a seguinte condição em umintervalo In = [en, dn], ocorre que f (en) ∗ f (dn) ≤ 0 edn − en = x2−x1

2n . Observe que garantimos que o intervalo In ficacada vez menor, mas não temos controle sobre a imagem.




Cálculo de Limites

continuação.Geometricamente, se um intervalo tem comprimento próximo dezero, deve ocorrer no limite que este intervalo tenha um únicoponto. No caso de nossa construção os intervalos são da forma:I1 ⊃ I2 ⊃ I3 · · · ⊃ In, intervalos encaixantes. Como f é contínua eos intervalos são encaixantes, o tamanho da imagem tambémdeverá ser decrescdente, isso ocorre porque f assume um valormáximo em um intervalo fechado. Como In vai diminuindo, omesmo ocorre com o tamanho do intervalo da imagem de In.Como conceito a seguir de limites, veremos que no limite, quando ocomprimento de In for zero, In = [xen, xdn] e portantoxen = xdn = xr . Mas vimos de 0 ∈ f [In], assim, f (xr ) = 0,portanto xr é uma raiz da função f .




Cálculo de Limites

ExemploA função f (x) = x2 − 2x tem, pelo menos, uma raíz no intervalo[−2, 0]. Isso ocorre porque f (−2) = 15

4 e f (0) = −1. No entanto,

para a função f (x) ={

x − 2 se x < 1x + 1 se 1 ≤ x ocorre que f (0) = −2,

f (1) = 2, porém a função f não tem raízes.




Cálculo de Limites










Cálculo de Limites


O conceito de limites é importante em vários aspectos, entre eles,a própria idéia de limites. Veremos que este conceito estárelacionado com a continuidade de funções, derivadas e esboço degráfico de funções, entre outros.




Cálculo de Limites


A necessidade do cálculo de limites aparece quando desejamosavaliar determinados objetos matemáticos, como a imagem de umcerto elemento próximo a valores não definidos no domínio dafunção, determinar se certas sequências ou séries são convergentes,e quando possível o número para o qual convergem, representar,com aproximação qualquer, um número real em forma decimal,resolver equações entre outras coisas.




Cálculo de Limites


Limite é antes de tudo um número real.Uma idéia importante do cálculo de limites é que, emboraestejamos interessados em obter um certo resultado para umadeterminada condição, em geral próximo a um número realqualquer, nem sempre é possível consideramos a condiçãoexata para aquele valor.Tal situação será expressa pelo termo tende a, assim dizer quex tende a 3 significa que x está próximo quanto se queira, ouseja, vamos considerar que x ∈]3− δ, 3+ δ[∩D, para qualquerδ positivo, porém para os valores possíveis de x , o conjuntoD, que estão neste intervalo. Em geral D é o domínio dafunção que queremos calcular o limite.




Cálculo de Limites






Cálculo de Limites






Cálculo de Limites


O cálculo de limites é útil em diversas aplicações ouformulações teóricas.As situações que iremos estudar envolvem o cálculo de limitespara funções reais.Tais situações estão relacionadas ao estudo de sequências eséries, estudo da continuidade de funções, taxa instantânea devariação, derivadas e integrais.




Cálculo de Limites






Cálculo de Limites






Cálculo de Limites


Limites reais

A definição dada a seguir aplica-se diretamente ao casoquando desejamos estimar o limite em torno de um númeroreal e o resultado deste limite é um número real.Como número real, neste contexto, referimo-nos a números αnão infinitos, ou seja α /∈ {−∞,∞}




Cálculo de Limites


Limites reais

A definição dada a seguir aplica-se diretamente ao casoquando desejamos estimar o limite em torno de um númeroreal e o resultado deste limite é um número real.Como número real, neste contexto, referimo-nos a números αnão infinitos, ou seja α /∈ {−∞,∞}




Cálculo de Limites


DefiniçãoSeja f uma função. Definimos limite de f , quando x tende ax0 ∈ R, pelo número L ∈ R que satisfaz a seguinte condição:

Para todo ε > 0, existe um número positivo δ tal que

|x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε

Tal condição é denotada por limx→x0 f (x) = L.Assim, se limx→x0 f (x) = L, então para todo ε > 0, existe umnúmero positivo δ tal que |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.




Cálculo de Limites


Observações

Observe que não há necessidade de escrever a condiçãox ∈ Domf , pois isso está implícito da expressão f (x), ou seja,apenas onde seja possível calcular a imagem f (x) que é nodomínio da função.A condição |x − x0| < δ, a hipótese sobre os possíveis valoresde x , representa os números reais x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, ou sejaos números em torno do valor x0.




Cálculo de Limites


Observações

Observe que não há necessidade de escrever a condiçãox ∈ Domf , pois isso está implícito da expressão f (x), ou seja,apenas onde seja possível calcular a imagem f (x) que é nodomínio da função.A condição |x − x0| < δ, a hipótese sobre os possíveis valoresde x , representa os números reais x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, ou sejaos números em torno do valor x0.




Cálculo de Limites


Observações

Já a tese, ou consequência da hipótese, representada pelacondição |f (x)− L| < ε conclui que para os valoresx ∈]x0 − δ, x0 + δ[, a imagem f (x) ∈]L− ε, L+ ε[ deve ficarpróxima do valor do limite L, com a precisão ε que fordesejada.Dizer que o limite L existe, equivale a satisfazer o itemanterior, ou à expressão limx→x0 f (x) = L




Cálculo de Limites


Observações

Já a tese, ou consequência da hipótese, representada pelacondição |f (x)− L| < ε conclui que para os valoresx ∈]x0 − δ, x0 + δ[, a imagem f (x) ∈]L− ε, L+ ε[ deve ficarpróxima do valor do limite L, com a precisão ε que fordesejada.Dizer que o limite L existe, equivale a satisfazer o itemanterior, ou à expressão limx→x0 f (x) = L




Cálculo de Limites


ExemploSeja f : [0, 3] −→ R a função f (x) = x. limx→3 f (x) = limx→3 x,ora, quando x → 3, isso significa que 6= 3 está tão próximo de 3,quanto quisermos, ou seja dado ε > 0, basta que δ = ε, de modoque limx→3 f (x) = limx→3 x = 3.




Cálculo de Limites


Exemplolimx→1 x2 − 1 = 0, isto porque, para valores muito próximos de 1,o quadrado também é próximo de 1. Ou, dado um ε > 0, existeδ > 0, tal que, se x ∈]1− δ, 1+ δ[, então f (x) ∈]− ε, ε[. Porexemplo, basta considerar δ = ε

3 , x ∈]1−ε3 , 1+

ε3 [, como f é

crescente em x > 0, próximo a 1, basta considerar o maior valor,que é x = 1+ ε

3 ,f (x) = (1+ ε

3)2 − 1 = 2ε

3 + ε2

9 = ε9(6+ ε) < 7ε

9 < ε




Cálculo de Limites


Exemplo

Afirmação: limx→1x2−1x−1 = 2. Dado um ε > 0, temos que exibir um

δ > 0, tal que x ∈]1− δ, 1+ δ[, então f (x) ∈]2− ε, 2+ ε[. Porexemplo, basta considerar δ < ε, x ∈]1− δ, 1+ δ[. Como f écrescente em x > 0, próximo a 1, basta considerar o maior valor,que é x = 1+ δ, f (x) = (1+δ)2−1

(1+δ)−1 = δ + 2. Sendo δ < ε, entãof (x) = δ + 2 < ε+ 2, logo f (x) ∈]2− ε, 2+ ε[.




Cálculo de Limites


Exemplo

Afirmação: limx→1x3−1x−1 = 3. Dado um ε > 0, temos que exibir um

δ > 0, tal que x ∈]1− δ, 1+ δ[, então |f (x)− 2| < ε. Nesteexemplo, vamos estimar um possível valor de δ. Seja o númerox = 1+ δ o maior valor do intervalo ]1− δ, 1+ δ[; sua imagem éf (x) = f (1+ δ) = 1+3∗δ+3∗(δ)2+(δ)3−1

(1+δ−1) cujo resultado éδ(3+3δ+δ2)

δ , simplificando obtemos f (1+ δ) = δ(3+ 3δ+ δ2), assim,calculamos |f (x)− L| = |f (1+ δ)− 3| = 3δ + δ2 < 4 ∗ δ, uma vezque, quando δ < 1, δ2 < δ. Assim, se, para o ε dado, usarmosδ = ε

4 , teremos que |f (x)− L| < ε, então o limite acima é 3.




Cálculo de Limites


Exemplolimx→0

x|x | não existe. Suponha que o limite exista e seja um certo

L ∈ R. Se ε = 1, deve existir algum δ > 0, tal que x ∈]− δ, δ[,então f (x) ∈]L− 1, L+ 1[. Sendo x ∈ R, ou x é positivo ou x énegativo. Se x < 0, f (x) = x

|x | = −1 ∈]L− 1, L+ 1[ e portanto−2 < L < 0; se x > 0, f (x) = x

|x | = 1 ∈]L− 1, L+ 1[, logo0 < L < 2. Assim, L teria que ser positivo e negativo, logo nãoexiste L, portanto não existe o limite.




Cálculo de Limites


Uma noção de sequência pode ser uma ordenação de númerosos quais sempre é possível obter algum termo da sequênciasem necessariamente todos termos anteriores a ele.Assim 1, 1

2 ,13 , · · · ,

1n , · · · e

12 ,

23 , · · · ,

nn+1 , · · · são sequências

infinitas.a0, a0 + r , a0 + 2r , · · · , a0 + nr , · · · é a sequência aritmética.a0, a0q, a0q2, · · · , a0qn, · · · a sequência geométrica.a0 = 0, a1 = 1 e an = an−1 + an−2, n > 1, a sequência deFibonacci, não permite obter um termo qualquer, sem calcularos anteriores.




Cálculo de Limites



2 ,13 , · · · ,

1n , · · · e

12 ,

23 , · · · ,






Cálculo de Limites



2 ,13 , · · · ,

1n , · · · e

12 ,

23 , · · · ,






Cálculo de Limites



2 ,13 , · · · ,

1n , · · · e

12 ,

23 , · · · ,






Cálculo de Limites



2 ,13 , · · · ,

1n , · · · e

12 ,

23 , · · · ,






Cálculo de Limites


Estamos interessados em sequências convergentes, isto é, amedida que a sequência aumenta seus termos vão ficandocada vez mais próximos e além disso têm a tendência deestabilizar próximo a um valor.É o que ocorre com a sequência 1, 1

2 ,13 , · · · ,

1n , · · · que tende

para 0.E a sequência 1

2 ,23 , · · · ,

nn+1 , · · · que tende para 1.

Porém nenhum termo da sequência é igual ao valor para oqual converge!




Cálculo de Limites



2 ,13 , · · · ,



2 ,23 , · · · ,






Cálculo de Limites



2 ,13 , · · · ,



2 ,23 , · · · ,






Cálculo de Limites



2 ,13 , · · · ,



2 ,23 , · · · ,






Cálculo de Limites


Assim, dada uma sequência a0, a1, · · · , an, · · · , dizemos que asequência converge se existe um número L, o quallimn→∞ an = L.A dificuldade no limite acima é compreender o significado den→∞.Não há mais sentido em considerar os números n em torno de∞, pois sempre serão menores que ∞Dizemos que n→∞, quando para qualquer número naturalN, ocorrer que n > N




Cálculo de Limites






Cálculo de Limites






Cálculo de Limites






Cálculo de Limites


Definiçãolimn→∞ f (n) = L, quando para todo ε > 0, existe um natural N,tal que n > N ⇒ |f (n)− L| < ε.




Cálculo de Limites


ExemploA sequência an = n+1

n converge para 1.




Cálculo de Limites


Não há nenhuma restrição em considerar para an a funçãof (n) = n+1

n = 1+ 1n .

Queremos mostrar que limn→∞n+1

n = 1. (0 Cálculo de limitesserá visto à frente)Dado ε, existe N ∈ N, tal que ε < 1

NSe n > N, então 1

n <1N < ε. Assim f (n)− 1 = 1

n < ε.




Cálculo de Limites



n = 1+ 1n .



NSe n > N, então 1

n <1N < ε. Assim f (n)− 1 = 1

n < ε.




Cálculo de Limites



n = 1+ 1n .



NSe n > N, então 1

n <1N < ε. Assim f (n)− 1 = 1

n < ε.




Cálculo de Limites



n = 1+ 1n .



NSe n > N, então 1

n <1N < ε. Assim f (n)− 1 = 1

n < ε.




Cálculo de Limites


ExemploA sequência an = 3+ 1

n + 3, para n > 0 é tal que an ∈]3, 4]. Assimlimn→∞ f (n) = limn→∞ 3+ 1

n + 3 = 3.




Cálculo de Limites


Séries

DefiniçãoDada uma sequência a0, a1, · · · , an, · · · , definimos série pelasequência de termos An = a0 + a1 + · · ·+ an. Também denotamosAn =

∑i=ni=0 an




Cálculo de Limites


O conceito de limite, portanto, permite calcular calcular aconvergência, ou não de séries.Vejamos o cálculo de uma série construída a partir de umasequência geométrica.Seja a0, a0q, a0q2, · · · , a0qn, · · ·Consideramos a série Sn = a0 + a0q + a0q2 + · · ·+ a0qn,denominada Série GeométricaPodemos calcular Sn − qSn = a0 − a0qn+1 e obterSn = a0 ∗ 1−qn+1

1−q , o termo geral da série.




Cálculo de Limites







Cálculo de Limites







Cálculo de Limites







Cálculo de Limites







Cálculo de Limites


TeoremaSeja S0,S1, · · · Sn, · · · uma série geométrica e q a razão daprogressão geométrica que gera a série. Se |q| < 1, então Snconverge para 1

1−q .




Cálculo de Limites


O teorema equivale a calcular limn→∞ Sn = limn→∞1−qn

1−qVeremos, a seguir, o cálculo de limites.O que podemos fazer, até este ponto, é verificar quelimn→∞

1−qn

1−q = 11−q , que fica como exercício.




Cálculo de Limites




1−qn





Cálculo de Limites




1−qn





Cálculo de Limites

Limites de funções contínuasPropriedades dos limitesLimites com indeterminação removívelAplicação de limites:derivadas









Cálculo de Limites


Vimos que a notação x → x0 em limites, significa valores próximosde x0, porém nunca iguais a x0. A seguir, um resultado importanteque permite calcular limites de funções contínuas.




Cálculo de Limites


TeoremaSe f é uma função contínua, então limx→x0 f (x) = f (x0).

DemonstraçãoBasta considerar as definições de função contínua e de limites.De fato, sendo f contínua, para todo x0 ∈ Domf ,

dado ε > 0 existe δ > 0, talque , se|x − x0| < δ então |f (x)− f (x0)| < ε

Queremos determinar o número real L = limx→x0 f (x), ou seja,

dado ε > 0 existe δ > 0, talque , se|x − x0| < δ então |f (x)− L| < ε

A expressão acima será verdadeira se L = f (x0), assimlimx→x0 f (x) = f (x0).




Cálculo de Limites


Exemplo

Se k ∈ R é uma constante, limx→x0 k = k, isso porque a funçãoconstante f (x) = k é uma função contínua.limx→− 2

3108x3 + 72x2 − 13 = f (−2

3), porquef (x) = 108x3 + 72x2 − 13 é contínua, assimlimx→− 2

3= 108 ∗ (−2

3)3 + 72 ∗ (−2

3)2 − 13 =

108 ∗ −827 + 72 ∗ 4

9 − 13 = −4 ∗ 8+ 8 ∗ 4− 13 = −13limx→−2

x−1x2+1 = f (−2), porque a função f (x) = x−1

x2+1 é contínuaem x = −2, logo limx→−2

x−1x2+1 = −1−1

(−1)2+1 = −1.




Cálculo de Limites


As propriedades dos limites, permitem que façamos cálculos dealguns limites.

Suponha que existam os limites: limx→x0 f (x) = L elimx→x0 g(x) = M

1 Se k ∈ R é uma constante,limx→x0 kf (x) = k limx→x0 f (x) = kL

2 limx→x0(f (x) + g(x)) = L+M3 limx→x0(f (x) ∗ g(x)) = L ∗M4 para M 6= 0, limx→x0

f (x)g(x) =

LM

5 Se M ∈ Domf , limx→x0 f (g(x)) = f (limx→x0 g(x)) = f (M)




Cálculo de Limites






f (x)g(x) =

LM





Cálculo de Limites






f (x)g(x) =

LM





Cálculo de Limites






f (x)g(x) =

LM





Cálculo de Limites






f (x)g(x) =

LM





Cálculo de Limites






f (x)g(x) =

LM





Cálculo de Limites


Exemplo

Sabendo-se que limn→∞1n = 0, então limn→∞

nn+1 pode ser

calculado. Porém, é necessário que a expressão esteja nascondiçoes da propriedade. No caso, não podemos dizer quelimn→∞

nn+1 = limn→∞ n

limn→∞ n+1 , pois estes limites não são númerosreais. Devemos observar que n

n+1 = 1nn+

1n= 1

1+ 1n, assim

limn→∞n

n+1 = 11+ 1

n= limn→∞ 1

limn→∞ 1+ 1n= 1




Cálculo de Limites


Exemplo

limx→−2x−1x2+1 . Podemos calcular este limite de dois modos:

modo 1: sabemos que limx→−1 x − 1 = f (−1), pois f (x) = x − 1 écontínua, da mesma forma limx→−1 x2 + 1 = g(−1) eg(−1) = 2 6= 0. Assim limx→−2

x−1x2+1 = −2

2 = −1.modo 2: como no exemplo do teorema anterior




Cálculo de Limites


A indeterminação que iremos estudar é representata por 00

Se o limite limx→x0f (x)g(x) apresenta indeterminação tipo 0

0 , issosignifica que x0 é um zero das funções f e g . Neste caso, oteorema anterior e as propriedades não se aplicam.Se as funções forem polinômios, ou certos tipos de funçõesirracionais, é possível utilizar um caso clássico de fatoração.Para os polinômios, se f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 ef (x0) = 0, então f (x) = an(x − x0) ∗ p(x), onde o grau dep(x) é n − 1.Por exemplo, limx→−1

x+13x2+5x+2 , apresenta a indeterminação

00 . Estamos interessados nos casos em que estaindeterminação possa ser removida. Veremos que essacondição está direta, ou indiretamente relacionada ao conceitode derivada.




Cálculo de Limites










Cálculo de Limites










Cálculo de Limites










Cálculo de Limites


No exemplo acima, se f (x) = 3x2 + 5x + 2, ocorre quef (−1) = 0, ou seja, x = −1 é uma raiz de f .Isso significa que f (x) = 3(x − (−1)) ∗ p(x). Em geral, parapolinômios, há vários modos de determinar p(x).Todos mostram que p(x) = (x + 2

3) e assimf (x) = 3x2 + 5x + 2 = 3(x + 1)(x + 2

3)

Como consequência, podemos calcularlimx→−1

x+13x2+5x+2 = limx→−1

x+13(x+1)(x+ 2

3 )= L, assim

L = limx→−11

3(x+ 23 )

= limx→−11

3x+2 = −1, assimlimx→−1

x+13x2+5x+2 = −1.




Cálculo de Limites



3) e assimf (x) = 3x2 + 5x + 2 = 3(x + 1)(x + 2

3)


x+13x2+5x+2 = limx→−1

x+13(x+1)(x+ 2

3 )= L, assim

L = limx→−11

3(x+ 23 )

= limx→−11


x+13x2+5x+2 = −1.




Cálculo de Limites



3) e assimf (x) = 3x2 + 5x + 2 = 3(x + 1)(x + 2

3)


x+13x2+5x+2 = limx→−1

x+13(x+1)(x+ 2

3 )= L, assim

L = limx→−11

3(x+ 23 )

= limx→−11


x+13x2+5x+2 = −1.




Cálculo de Limites



3) e assimf (x) = 3x2 + 5x + 2 = 3(x + 1)(x + 2

3)


x+13x2+5x+2 = limx→−1

x+13(x+1)(x+ 2

3 )= L, assim

L = limx→−11

3(x+ 23 )

= limx→−11


x+13x2+5x+2 = −1.




Cálculo de Limites


Vamos discutir o caso mais simples que é a função de segundograu.Se f (x) = ax2 +bx + x e ocorre que f (x0) = 0, então f possuiraízes reais. Neste caso −b±

√b2−4ac

2a são as raízes, x1 e x2.Assim, f (x) = a(x − x1)(x − x2)

No exemplo anterior f (x) = 3x2 + 5x + 2 e f (−1) = 0 aoutra raiz é 2

3 . Então f (x) = 3(x − (−1)(x − 23).




Cálculo de Limites



√b2−4ac



3 . Então f (x) = 3(x − (−1)(x − 23).




Cálculo de Limites



√b2−4ac



3 . Então f (x) = 3(x − (−1)(x − 23).




Cálculo de Limites



√b2−4ac



3 . Então f (x) = 3(x − (−1)(x − 23).




Cálculo de Limites


Para um polinômio p(x), se x0 é uma raiz vamos apresentar trêsmétodos para fatorar o polinômio, isto é, p(x) = an(x − x0)q(x)




Cálculo de Limites


Se p(x) = an(x − x0)q(x), então (x − x0) deve dividir p(x) e oquociente será q(x). Por exemplo p(x) = 2x3 − 3x + 10 tem −2como raiz, ou seja f (−2) = −16+ 6+ 10 = 0, assim,x − (−2) = x + 2 divide p(x).2x3 +0x2 −3x +10 x + 2−2x3 −4x2 2x2 − 4x + 50 −4x2 −3x +100 +4x2 +8x0 0 5x +100 0 0 0p(x) = (2x3 − 3x + 10) = (x + 2)(2x2 − 4x + 5)




Cálculo de Limites


DefiniçãoSeja f uma função real. Se x0 ∈ Domf , definimos o limitelimx→x0

f (x)−f (x0)x−x0

como sendo a derivada da função f no ponto x0,que denotamos por f ′(x0).

Observe que o limite acima SEMPRE resulta em umaindeterminação tipo 0

0




Cálculo de Limites


Exemplo

Se f (x) = 2x3 − 3x + 1, então f ′(−2) = limx→−2f (x)−f (−2)

x−(−2) ,calculamos f (−2) = 2(−2)3 − 3(−2) + 2 = −16+ 6+ 1 = −9, ef ′(−2) = limx→−2

2x3−3x+1−(−9)x+2 = limx→−2

2x3−3x+10x+2 , que

resulta em um indeterminação. Pelo exemplo anterior, podemosfatorar (2x3 − 3x + 10) = (x + 2)(2x2 − 4x + 5) e calcular olimite: f ′(−2) = limx→−2

(x+2)(2x2−4x+5)x+2 =

limx→−2 2x2 − 4x + 5 = 2(−2)2 − 4(−2) + 5 = 8+ 8+ 5 = 21.


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