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Cálculo I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 1
28 de agosto de 2007
Aula 1 Cálculo I 1
Conteúdo do curso
Funções de uma variável real.Limites.Continuidade.Derivadas.Estudo da variação de funções.Antiderivação.
Aula 1 Cálculo I 3
Bibliografia
Howard Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte, volume 1,Sexta edição, Editora Bookman, 2000.
Aula 1 Cálculo I 4
Bibliografia
Iaci Malta, Sinésio Pesco e Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável, volume 1:Uma Introdução ao Cálculo. Editora PUC-Rio, 2002.
Iaci Malta, Sinésio Pesco e Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável, volume 2:Derivada e Integral. Editora PUC-Rio, 2002.
Aula 1 Cálculo I 5
Bibliografia
James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, EditoraPioneira, 2001.
Aula 1 Cálculo I 6
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Aula 1 Cálculo I 7
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Aula 1 Cálculo I 8
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Aula 1 Cálculo I 9
Um primeiro exemplo
Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais
2 x − 4 > 0.
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42
⇔ x > 2
Resposta: S = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Aula 1 Cálculo I 11
Um primeiro exemplo
Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais
2 x − 4 > 0.
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42
⇔ x > 2
Resposta: S = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Aula 1 Cálculo I 12
Um primeiro exemplo
Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais
2 x − 4 > 0.
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42
⇔ x > 2
Resposta: S = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
Aula 1 Cálculo I 13
Outro exemplo
Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais2 x − 6x − 1
< 1.
CUIDADO!
2 x − 6x − 1
< 1AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1 ⇔ 2 x − x < −1 + 6 ⇔ x < 5
Existe algo errado neste desenvolvimento? Sim!
Aula 1 Cálculo I 14
Outro exemplo
Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais2 x − 6x − 1
< 1.
CUIDADO!
2 x − 6x − 1
< 1AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1 ⇔ 2 x − x < −1 + 6 ⇔ x < 5
Existe algo errado neste desenvolvimento? Sim!
Aula 1 Cálculo I 15
Outro exemplo
Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais2 x − 6x − 1
< 1.
CUIDADO!
2 x − 6x − 1
< 1AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1 ⇔ 2 x − x < −1 + 6 ⇔ x < 5
Existe algo errado neste desenvolvimento? Sim!
Aula 1 Cálculo I 16
Outro exemplo
Determine o conjunto dos valores de x ∈ R para os quais2 x − 6x − 1
< 1.
CUIDADO!
2 x − 6x − 1
< 1AQUI!
⇔ 2 x − 6 < x − 1 ⇔ 2 x − x < −1 + 6 ⇔ x < 5
Existe algo errado neste desenvolvimento? Sim!
Aula 1 Cálculo I 17
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 18
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 19
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 20
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 21
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 22
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 23
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 24
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 25
Estudo do sinal
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)
x − 1< 0 ⇔ x − 5
x − 1< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
x { 1
Sinal de
(x { 5)/(x { 1)
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} = ]1, 5[ = (1, 5).
Aula 1 Cálculo I 26
Estudo do sinal
x − 51− x
< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
1 { x
Sinal de
(x { 5)/(1 { x )
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 5} =]−∞, 1[∪]5,+∞[= (−∞, 1)∪(5,+∞).
Aula 1 Cálculo I 27
Estudo do sinal
x − 51− x
< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
1 { x
Sinal de
(x { 5)/(1 { x )
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 5} =]−∞, 1[∪]5,+∞[= (−∞, 1)∪(5,+∞).
Aula 1 Cálculo I 28
Estudo do sinal
x − 51− x
< 0
Sinal de
x { 5
Sinal de
1 { x
Sinal de
(x { 5)/(1 { x )
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 5} =]−∞, 1[∪]5,+∞[= (−∞, 1)∪(5,+∞).
Aula 1 Cálculo I 29
Desigualdades envolvendo expressões quadráticas
x2 − 6 x + 8 ≤ 0 ⇔ x ∈ S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4} = [2, 4]
Aula 1 Cálculo I 30
Desigualdades envolvendo expressões quadráticas
x2 − 6 x + 8 ≤ 0 ⇔ x ∈ S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4} = [2, 4]
Aula 1 Cálculo I 31
Desigualdades envolvendo expressões quadráticas
x2 − 6 x + 8 ≤ 0 ⇔ x ∈ S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 4} = [2, 4]
Aula 1 Cálculo I 32
Desigualdades envolvendo expressões quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
≤ 0(Exercício)
⇔ x ∈ S =]−∞, 2] ∪ [4, 5[
2 4
Aula 1 Cálculo I 33
Desigualdades envolvendo expressões quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
≤ 0(Exercício)
⇔ x ∈ S =]−∞, 2] ∪ [4, 5[
2 4
Aula 1 Cálculo I 34
Desigualdades envolvendo expressões quadráticas
x2 − 6 x + 8x − 5
≤ 0(Exercício)
⇔ x ∈ S =]−∞, 2] ∪ [4, 5[
2 4
Aula 1 Cálculo I 35
Desigualdades envolvendo expressões quadráticas
Não existe x ∈ R tal que x2 − x + 1 < 0, isto é, S = ∅.
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)
x2 + 1 > 0 ⇔ x ∈ S = R
(Note que ∆ = (0)2 − 4 · (1) · (1) = −4 < 0)
Aula 1 Cálculo I 36
Desigualdades envolvendo expressões quadráticas
Não existe x ∈ R tal que x2 − x + 1 < 0, isto é, S = ∅.
(Note que ∆ = (−1)2 − 4 · (1) · (1) = −3 < 0)
x2 + 1 > 0 ⇔ x ∈ S = R
(Note que ∆ = (0)2 − 4 · (1) · (1) = −4 < 0)
Aula 1 Cálculo I 37
O módulo de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 1 Cálculo I 39
O módulo de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 1 Cálculo I 40
O módulo de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 1 Cálculo I 41
O módulo de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 1 Cálculo I 42
O módulo de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 1 Cálculo I 43
O módulo de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 1 Cálculo I 44
O módulo de um número real
|x | ={
x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.
Definição
Exemplos:
|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,
|x − 1| ={
x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.
Aula 1 Cálculo I 45
Interpretação geométrica
0{3 {2 {1 1
ADE BC
2 3
d(A, B) = +2 d(B, C) = +1 d(B, E) = +5 d(D, E) = +2
Aula 1 Cálculo I 46
Interpretação geométrica
0{3 {2 {1 1
ADE BC
2 3
d(A, B) = +2 d(B, C) = +1 d(B, E) = +5 d(D, E) = +2
Aula 1 Cálculo I 47
Interpretação geométrica
0{3 {2 {1 1
ADE BC
2 3
d(A, B) = +2 d(B, C) = +1 d(B, E) = +5 d(D, E) = +2
Aula 1 Cálculo I 48
Interpretação geométrica
0{3 {2 {1 1
ADE BC
2 3
d(A, B) = +2 d(B, C) = +1 d(B, E) = +5 d(D, E) = +2
Aula 1 Cálculo I 49
Interpretação geométrica
0{3 {2 {1 1
ADE BC
2 3
d(A, B) = +2 d(B, C) = +1 d(B, E) = +5 d(D, E) = +2
Aula 1 Cálculo I 50
Interpretação geométrica
a b
d(a, b) =
{b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a
= |b − a|.
Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.
Aula 1 Cálculo I 51
Interpretação geométrica
a b
d(a, b) =
{b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a
= |b − a|.
Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.
Aula 1 Cálculo I 52
Interpretação geométrica
a b
d(a, b) =
{b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a
= |b − a|.
Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.
Aula 1 Cálculo I 53
Interpretação geométrica
a b
d(a, b) =
{b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a
= |b − a|.
Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.
Aula 1 Cálculo I 54
Duas propriedades importantes
|p| < a ⇔ −a < p < a
|p| > a ⇔ p < −a ou p > a
Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.
0
ap{a
Aula 1 Cálculo I 55
Duas propriedades importantes
|p| < a ⇔ −a < p < a
|p| > a ⇔ p < −a ou p > a
Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.
0
ap{a
Aula 1 Cálculo I 56
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52
< x < −12
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 1 Cálculo I 57
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52
< x < −12
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 1 Cálculo I 58
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52
< x < −12
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 1 Cálculo I 59
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52
< x < −12
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 1 Cálculo I 60
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52
< x < −12
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 1 Cálculo I 61
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52
< x < −12
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 1 Cálculo I 62
Aplicação
Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.
|3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸ ︷︷ ︸p
< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3
⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52
< x < −12
S =
]−5
2,−1
2
[
Aula 1 Cálculo I 63
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 1 Cálculo I 64
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 1 Cálculo I 65
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 1 Cálculo I 66
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 1 Cálculo I 67
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 1 Cálculo I 68
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 1 Cálculo I 69
Aplicação
Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.
|2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
| > 3 ⇔ 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
< −3 ou 2 x + 5︸ ︷︷ ︸p
> 3
⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5
⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2
⇔ x < −4 ou x > −1
S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[
Aula 1 Cálculo I 70
Outras propriedades do módulo
|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.
|a · b| = |a| · |b|.
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
, com b 6= 0.
|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
√x2 = |x |. CUIDADO!
Aula 1 Cálculo I 71
Outras propriedades do módulo
|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.
|a · b| = |a| · |b|.
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
, com b 6= 0.
|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
√x2 = |x |. CUIDADO!
Aula 1 Cálculo I 72
Outras propriedades do módulo
|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.
|a · b| = |a| · |b|.
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
, com b 6= 0.
|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
√x2 = |x |. CUIDADO!
Aula 1 Cálculo I 73
Outras propriedades do módulo
|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.
|a · b| = |a| · |b|.
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
, com b 6= 0.
|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
√x2 = |x |. CUIDADO!
Aula 1 Cálculo I 74
Outras propriedades do módulo
|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.
|a · b| = |a| · |b|.
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
, com b 6= 0.
|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
√x2 = |x |. CUIDADO!
Aula 1 Cálculo I 75
Outras propriedades do módulo
|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.
|a · b| = |a| · |b|.
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
, com b 6= 0.
|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
√x2 = |x |. CUIDADO!
Aula 1 Cálculo I 76
Outras propriedades do módulo
|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.
|a · b| = |a| · |b|.
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
, com b 6= 0.
|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
√x2 = |x |. CUIDADO!
Aula 1 Cálculo I 77
Outras propriedades do módulo
|a| = b ⇔ a = b ou a = −b.
|a · b| = |a| · |b|.
∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
, com b 6= 0.
|a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).Se a = 2 e b = −2, então |a + b| = 0 < 4 = |a|+ |b|.
∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.
√x2 = |x |. CUIDADO!
Aula 1 Cálculo I 78
Funções reais
Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em umsubconjunto D de R faz corresponder exatamente um elementochamado f (x), em um subconjunto C de R.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Aula 1 Cálculo I 80
Funções reais
Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em umsubconjunto D de R faz corresponder exatamente um elementochamado f (x), em um subconjunto C de R.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Aula 1 Cálculo I 81
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2 �.
Aula 1 Cálculo I 82
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2 �.
Aula 1 Cálculo I 83
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2 �.
Aula 1 Cálculo I 84
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2 �.
Aula 1 Cálculo I 85
Exemplo
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2 �.
Aula 1 Cálculo I 86
Imagem de uma função real
A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos y ∈ C para os quais existe pelo menos um x ∈ D talque f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Imagem de f = R
Aula 1 Cálculo I 87
Imagem de uma função real
A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos y ∈ C para os quais existe pelo menos um x ∈ D talque f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Imagem de f = R
Aula 1 Cálculo I 88
Imagem de uma função real
A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos y ∈ C para os quais existe pelo menos um x ∈ D talque f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x
Imagem de f = R
Aula 1 Cálculo I 89
Imagem de uma função real
A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos y ∈ C para os quais existe pelo menos um x ∈ D talque f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
g : R → Rx 7→ g(x) = x2
Imagem de g = [0,+∞)
Aula 1 Cálculo I 90
Imagem de uma função real
A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos y ∈ C para os quais existe pelo menos um x ∈ D talque f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
g : R → Rx 7→ g(x) = x2
Imagem de g = [0,+∞)
Aula 1 Cálculo I 91
Imagem de uma função real
A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos y ∈ C para os quais existe pelo menos um x ∈ D talque f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
h : R → Rx 7→ h(x) = sen(x)
Imagem de h = [−1,+1]
Aula 1 Cálculo I 92
Imagem de uma função real
A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos y ∈ C para os quais existe pelo menos um x ∈ D talque f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
h : R → Rx 7→ h(x) = sen(x)
Imagem de h = [−1,+1]
Aula 1 Cálculo I 93
Gráfico de uma função real
O gráfico de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos (x , y) ∈ R2 tais que x ∈ D e y = f (x):
Gráfico de f = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f (x)}.
Definição
Aula 1 Cálculo I 94
Domínio maximal
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio maximal de f é D = R− {0}.
Aula 1 Cálculo I 98
Domínio maximal
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio maximal de f é D = R− {0}.
Aula 1 Cálculo I 99
Domínio maximal
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função.
Convenção
Exemplo: f (x) =1x
.
O domínio maximal de f é D = R− {0}.
Aula 1 Cálculo I 100
Domínio maximal
Qual é o domínio maximal de f (x) =1√
|x | − x?
|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou
O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.
Aula 1 Cálculo I 101
Domínio maximal
Qual é o domínio maximal de f (x) =1√
|x | − x?
|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou
O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.
Aula 1 Cálculo I 102
Domínio maximal
Qual é o domínio maximal de f (x) =1√
|x | − x?
|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou
O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.
Aula 1 Cálculo I 103
Domínio maximal
Qual é o domínio maximal de f (x) =1√
|x | − x?
|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou
O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.
Aula 1 Cálculo I 104
Domínio maximal
Qual é o domínio maximal de f (x) =1√
|x | − x?
|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou
O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.
Aula 1 Cálculo I 105
Domínio maximal
Qual é o domínio maximal de f (x) =1√
|x | − x?
|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou
O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.
Aula 1 Cálculo I 106
Domínio maximal
Qual é o domínio maximal de f (x) =1√
|x | − x?
|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou
O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.
Aula 1 Cálculo I 107
Domínio maximal
Qual é o domínio maximal de f (x) =1√
|x | − x?
|x | − x > 0 ⇔ |x | > x ou⇔ x < −x ou x > x⇔ 2 x < 0 ou x − x > 0⇔ x < 0 ou 0 > 0⇔ x < 0 ou
O domínio maximal de f é D =]−∞, 0[.
Aula 1 Cálculo I 108
Função par
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função par:
f : R → Rx 7→ f (x) = 1− x4 .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).
Aula 1 Cálculo I 110
Função par
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função par:
f : R → Rx 7→ f (x) = 1− x4 .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).
Aula 1 Cálculo I 111
Função par
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função par:
f : R → Rx 7→ f (x) = 1− x4 .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).
Aula 1 Cálculo I 112
Função ímpar
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função ímpar:
f : R → Rx 7→ f (x) = x5 + x
.
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).
Aula 1 Cálculo I 114
Função ímpar
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função ímpar:
f : R → Rx 7→ f (x) = x5 + x
.
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).
Aula 1 Cálculo I 115
Função ímpar
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função ímpar:
f : R → Rx 7→ f (x) = x5 + x
.
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).
Aula 1 Cálculo I 116
Observações
Existem funções que não são pares e nem ímpares:
f : R → Rx 7→ f (x) = 2− x3 .
De fato:
f (−1) = 3 6= 1 = f (1) e f (−1) = 3 6= −1 = −f (1).
Aula 1 Cálculo I 118
Observações
Existem funções que não são pares e nem ímpares:
f : R → Rx 7→ f (x) = 2− x3 .
De fato:
f (−1) = 3 6= 1 = f (1) e f (−1) = 3 6= −1 = −f (1).
Aula 1 Cálculo I 119
Observações
Existe um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo?
Sim! A função identicamente nula definida em R!
Toda função definida em R se escreve como soma de uma funçãopara e uma função ímpar:
f (x) =f (x) + f (−x)
2︸ ︷︷ ︸par
+f (x)− f (−x)
2︸ ︷︷ ︸ímpar
.
Aula 1 Cálculo I 120
Observações
Existe um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo?
Sim! A função identicamente nula definida em R!
Toda função definida em R se escreve como soma de uma funçãopara e uma função ímpar:
f (x) =f (x) + f (−x)
2︸ ︷︷ ︸par
+f (x)− f (−x)
2︸ ︷︷ ︸ímpar
.
Aula 1 Cálculo I 121