Embed Size (px)
Citation preview
Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 13
18 de junho de 2010
Aula 13 Pré-Cálculo 1
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
Aula 13 Pré-Cálculo 2
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 3
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 4
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 5
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 6
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 7
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 8
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 9
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 10
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 11
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 12
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 13
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 14
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 15
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 16
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 17
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 18
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 19
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 20
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 21
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 22
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 23
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 24
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 25
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 26
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 27
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 28
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 29
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 30
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 31
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 32
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 33
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 34
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 35
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 36
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 37
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 38
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 39
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 40
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 41
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 42
Revisão: funções da forma x elevado a n
Aula 13 Pré-Cálculo 43
A função raiz n-ésima
Aula 13 Pré-Cálculo 44
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 45
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 46
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 47
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 48
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 49
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 50
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 51
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 52
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 53
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 54
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0 que,elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 55
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 56
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 57
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 58
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 59
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 60
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 61
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 62
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 63
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 64
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 65
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se a ∈ R, então n√
a é o único número real que, elevado an, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 66
A função raiz n-ésima
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 67
Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 68
Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 69
Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 70
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 71
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 72
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 73
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 74
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 75
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 76
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 77
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 78
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 79
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 80
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 81
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 82
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 83
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 84
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 85
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 86
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 87
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 88
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 89
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 90
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 91
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 92
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 93
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 94
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 95
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 96
