GMADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

GMAPRIMEIRA VERIFICACAO DE APRENDIZAGEM

Calculo Aplicado I

Humberto Jose Bortolossi

http://www.professores.uff.br/hjbortol/

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[01] (2.0) Resolva a inequacaox (x2 − x+ 1)

x+ 1<

x (3 x− 2)

x+ 1. De sua resposta usando in-

tervalos.

Solucao. Observe que

x (x2 − x+ 1)

x+ 1<

x (3 x− 2)

x+ 1⇔ x (x2 − x+ 1)

x+ 1− x (3 x− 2)

x+ 1< 0 ⇔

x (x2 − x+ 1− (3 x− 2))

x+ 1< 0 ⇔ x (x2 − 4 x+ 3)

x+ 1< 0.

Vamos agora estudar o sinal da expressao E(x) = x (x2 − 4 x+ 3)/(x+ 1).

Sinal dex

Sinal dex2 − 4 x+ 3

Sinal dex+ 1

Sinal dex (x2 − 4 x+ 3)/(x+ 1)

−1

−1

0

0

1

1

3

3

Assim, o conjunto solucao da inequacao e S =]− 1, 0[∪]1, 3[.[02] (a) (0.5) Faca um esboco do grafico de f(x) =

√4− x2.

(b) (1.5) Considere a funcao y = g(x) =√−x2 + 6 x− 5. Determine o domınio

natural da funcao g e faca um esboco do grafico da funcao g.

Solucao.

(a) O grafico de f e um semicırculo superior de centro dem (0, 0) e raio 2 (ver a figuraa seguir). O domınio natural da funcao f e Df = [−2, 2].

(b) Completando quadrados, vemos que

g(x) =√−x2 + 6 x− 5 =

√−(x2 − 2 x (3) + 9) + 9− 5

=√−(x− 3)2 + 4 =

√4− (x− 3)2 = f(x− 3).

1

Assim, o grafico de g e obtido a partir do grafico de f fazendo-se uma translacaohorizontal de 3 unidades para a esquerda (ver a figura a seguir). O domınionatural da funcao g e, portanto, Dg = [1, 5].

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

0

f g

x

y

[03] (a) (1.0) Quando uma funcao f : D → C e inversıvel? De a definicao!

(b) (0.5) Desenhe o grafico da funcao f : [0, π] → [−1, 1] definida por f(x) = cos(x)(isto e, desenhe o grafico da funcao cosseno restrita ao intervalo [0, π]).

(c) (1.0) No mesmo sistema de eixos coordenados onde voce desenhou o grafico dafuncao f do item anterior, desenhe tambem o grafico da inversa f−1 de f . Quale a relacao geometrica entre os graficos de f e f−1?

Solucao.

(a) Dizemos que uma funcao f : D → C e inversıvel se existe uma funcao g : C → Dtal que (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = x para todo x ∈ C e (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = x paratodo x ∈ D.

(b) Ver a figura a seguir.

(c) Se uma mesma escala foi usada para os dois eixos coordenados, entao os graficosde f e f−1 sao simetricos com relacao a reta y = x.

x

y

[04] (2.0) Faca um esboco do grafico de

y = h(x) =

∣∣∣∣|2 x− 4| − 2

∣∣∣∣

2

a partir do grafico da funcao y = f(x) = |x| usando alongamentos, compressoes,translacoes e reflexoes. Em cada etapa, especifique qual transformacao voce empre-gou e faca um esboco do grafico da funcao intermediaria correspondente, indicandoexplicitamente as intersecoes com os eixos coordenados, caso existam.

Solucao. Seja y = f(x) = |x|, cujo grafico e apresentado na Figura ??.

Etapa 1. y = g1(x) = f(x − 4) = |x − 4|: o grafico de g1 e obtido fazendo-se umatranslacao horizontal de 4 unidades para a direita do grafico de f (Figura ??).

Etapa 2. y = g2(x) = g1(2 x) = |2 x − 4|: o grafico de g2 e obtido fazendo-se umacompressao horizontal de fator 2 do grafico de g1 (Figura ??).

Etapa 3. y = g3(x) = g2(x)−2 = |2 x−4|−2: o grafico de g3 e obtido fazendo-se umatranslacao vertical de 2 unidades para baixo do grafico de g3 (Figura ??).

Etapa 4. y = h(x) = |g3(x)| = ||2 x − 4| − 2|: para os valores de x onde g3(x) ≥ 0,o grafico de h coincide com o grafico de g3 e, para valores de x onde g3 < 0,o grafico de h e a reflexao do grafico de g3 com relacao ao eixo x (Figura ??).

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

0 x

y

Figura 1: Grafico de y = f(x) = |x|.

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

0 x

y

Figura 2: Grafico de y = g1(x) = f(x− 4) = |x− 4|.

3

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

0 x

y

Figura 3: Grafico de y = g2(x) = g1(2 x) = |2 x− 4|.

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

0 x

y

Figura 4: Grafico de y = g3(x) = g2(x)− 2 = |2 x− 4| − 2.

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

0 x

y

Figura 5: Grafico de y = h(x) = |g3(x)| = ||2 x− 4| − 2|.

[05] (1.5) Considere todos os troncos de cilindros circulares retos com volume constante

4

igual a V = 250 cm3. Escreva a medida A(r) da area superficial do tronco de cilindroem funcao da medida r de sua base circular.

h

r

Solucao. Uma vez que V = πr2h = 250, segue-se que h = 250/(πr2). A area dasuperfıcie do tronco de cilindro e composta pela area lateral do tronco de cilindro maisas areas das duas superfıcies circulares que o compoem.

h

r

Assim,

A(r) = 2 πr2 + 2 πrh = 2 πr2 + 2 πr250

πr2= 2 πr +

500

r,

para r ∈ A =]0,+∞[.

Texto composto em LATEX2e, HJB, 09/06/2013.

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