Humberto José Bortolossi · De fato: x = 0 satisfaz a hipótese ... naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são ... 1000 eka dva tri catur panca sas

Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 3

15 de março de 2010

Aula 3 Pré-Cálculo 1

Soluções dos exercícios


Exercício [07]: errosSe x ∈ R e x2 = 4, então x = 2.

Solução. A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: x = −2. De fato:x = −2 satisfaz a hipótese uma vez que −2 ∈ R e (−2)2 = 4; e x = −2 não satisfaz atese uma vez que −2 �= 2.

Problemas de organização e erros frequentes:


Exercício [06]: errosSe a ∈ R, b ∈ R e a · b = 1, então a = 1 ou b = 1.

Solução. A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: a = 2 e b = 1/2. Defato: a = 2 e b = 1/2 satisfazem a hipótese uma vez que 2 ∈ R, 1/2 ∈ R e (2)·(1/2) = 1;e a = 2 e b = 1/2 não satisfazem a tese uma vez que 2 �= 1.



Exercício [22]: errosSe x ∈ R e x2 = x , então x = 1.

Solução. A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: x = 0. De fato: x = 0satisfaz a hipótese uma vez que 0 ∈ R e (0)2 = 0; e x = 0 não satisfaz a tese uma vezque 0 �= 1.



Exercício [01]: errosSe m e n são inteiros ímpares, então m · n é ímpar.

Solução. A sentença é verdadeira. De fato: se m e n são inteiros ímpares, entãom = 2 · k + 1 e n = 2 · l + 1 para alguns inteiros k e l . Assim,

m · n = (2 · k + 1) · (2 · l + 1) = 4 · k · l + 2 · k + 2 · l + 1 = 2 · (2 · k · l + k + l) + 1.

Logo, m · n é um número ímpar.



Exercício [01]: errosSe m e n são inteiros ímpares, então m · n é ímpar.

Solução. A sentença é verdadeira. De fato: se m e n são inteiros ímpares, entãom = 2 · k + 1 e n = 2 · l + 1 para alguns inteiros k e l . Assim,

m · n = (2 · k + 1) · (2 · l + 1) = 4 · k · l + 2 · k + 2 · l + 1 = 2 · (2 · k · l + k + l) + 1.

Logo, m · n é um número ímpar.



Exercício extra


Exercício extra

Verdadeiro ou falso? Justifique!

Se x ∈ R e2 · x − 1

x − 5> 1, então 2 · x − 1 > x − 5.

Resposta: A sentença é falsa. x = −5 é um contraexemplo, poisx = −5 satisfaz a hipótese, uma vez que

2 · (−5)− 1(−5)− 5

=−11−10 =

1110

> 1

mas x = −5 não satisfaz a tese, uma vez que

2 · x − 1 = −11, x − 5 = −10 e − 11 < −10.


Números


O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.



Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).

Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).

Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).

Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).

Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).



Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.


Números naturais


Números naturais

númerosnaturais

númerosordinais

númeroscardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como


Números naturais como números ordinais

N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.

Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de Xainda pertence a X , então X = N.

Axiomas de Peano


Números naturais como números ordinaisN = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.

2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...

......

Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]


Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n ∪ {n}0 ∅

1 {∅} 0 ∪ {0}2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...

......

n (n − 1) ∪ {n − 1}



Sucessor de n é {n}0 ∅

1 {∅} {0}2 {{∅}} {1}3 {{{∅}}} {2}...

......

n {n − 1}



Escrita Cuneiforme Babilônica



Escrita Maia



Escrita Chinesa



Escrita Romana

1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M



Escrita Egípcia


Números naturais como números ordinais: símbolosEscrita Egípcia


Números naturais como números ordinais: operações

� n + 1 é, por definição, o sucessor de n.� n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.� n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.� n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

� n · 1 é, por definição, n.� n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.� n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.� n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.


Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m, n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.

Ordem

� (Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.� (Tricotomia) Se m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.

� (Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.

� (Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)


Números naturais como números cardinais

X Y



X Y



A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições



X Y



Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)



Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)



O Hotel Infinito de Hilbert


Um pequeno comentário gramatical

Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, aspalavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, doismeses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” nãosão substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numerale que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar adiferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, eo seu emprego como números cardinais.

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]


Semelhança dos nomes dos números

SânscritoGregoAntigo

Latim Alemão Inglês Francês Russo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

1000

eka

dva

tri

catur

panca

sas

sapta

asta

nava

daca

cata

sehastre

en

duo

tri

tetra

pente

hex

hepta

octo

ennea

deca

ecaton

xilia

unus

duo

tres

quatuor

quinque

sex

septem

octo

novem

decem

centum

mille

eins

zwei

drei

vier

fünf

sechs

sieben

acht

neun

zehn

hundert

tausend

one

two

three

four

five

six

seven

eight

nine

ten

hundred

thousand

un

deux

trois

quatre

cinq

six

sept

huit

neuf

dix

cent

mille

odyn

dva

tri

chetyre

piat

shest

sem

vosem

deviat

desiat

sto

tysiaca


Giuseppe Peano

Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)


David Hilbert

Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)


Leitura extraclasse


Leitura extraclasse

Capítulos 1, 2 e 3.

Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado.A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.


Vídeos das aulas do curso do IMPA no YouTube

http://www.youtube.com/watch?v=DbsF7YIb6cw http://www.youtube.com/watch?v=GB4AnKspnSY http://www.youtube.com/watch?v=WzQSGpJwtbI


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Humberto José Bortolossi · De fato: x = 0 satisfaz a hipótese ... naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são ... 1000 eka dva tri catur panca sas