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Cálculo I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 17
13 de novembro de 2007
Aula 17 Cálculo I 1
Ainda sobre derivadas de funçõestrigonométricas
Aula 17 Cálculo I 2
A função seno
Se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Aula 17 Cálculo I 3
A função cosseno
Se y = f (x) = cos(x), então f ′(x) = − sen(x).
Aula 17 Cálculo I 4
A função tangente
Se y = f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x), então f ′(x) = sec2(x).
Aula 17 Cálculo I 5
A função secante
Se y = f (x) = sec(x) =1
cos(x), então f ′(x) = sec(x) · tg(x).
Aula 17 Cálculo I 6
A função cossecante
Se y = f (x) = cossec(x) =1
sen(x), então f ′(x) = − cossec(x) · cotg(x).
Aula 17 Cálculo I 7
A função cotangente
Se y = f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x), então f ′(x) = − cossec2(x).
Aula 17 Cálculo I 8
Identidades trigonométricas
cos2(x) + sen2(x) = 1, 1 + tg2(x) = sec2(x) e
1 + cotg2(x) = cossec2(x).
Aula 17 Cálculo I 9
A função arco seno
Se y = f (x) = arcsen(x), então f ′(x) =1√
1− x2.
Aula 17 Cálculo I 10
A função arco cosseno
Se y = f (x) = arccos(x), então f ′(x) = − 1√1− x2
.
Aula 17 Cálculo I 11
A função arco tangente
Se y = f (x) = arctg(x), então f ′(x) =1
1 + x2 .
Aula 17 Cálculo I 12
Qual é o formato de um cabo suspenso?
Aula 17 Cálculo I 13
As funções hiperbólicas
Aula 17 Cálculo I 14
A função cosseno hiperbólico
Se y = f (x) = cosh(x) =ex + e−x
2, então f ′(x) = senh(x) =
ex − e−x
2.
Aula 17 Cálculo I 15
A catenária
Aula 17 Cálculo I 16
A catenária
Aula 17 Cálculo I 17
A catenária
Aula 17 Cálculo I 18
A função seno hiperbólico
Se y = f (x) = senh(x) =ex − e−x
2, então f ′(x) = cosh(x) =
ex + e−x
2.
Aula 17 Cálculo I 19
A função tangente hiperbólica
Se y = f (x) = tgh(x) =senh(x)
cosh(x), então f ′(x) = sech2(x) =
1cosh2(x)
.
Aula 17 Cálculo I 20
A função secante hiperbólica
Se y = f (x) = sech(x), então f ′(x) = − sech(x) tgh(x).
Aula 17 Cálculo I 21
Identidades
cosh2(x)− senh2(x) = 1 e 1− tgh2(x) = sech2(x).
Aula 17 Cálculo I 22
Sistemas de computação simbólica
Aula 17 Cálculo I 23
Maple
Aula 17 Cálculo I 24
Maxima
Aula 17 Cálculo I 25
Polinômios de Taylor
Aula 17 Cálculo I 26
Polinômios de Taylor de ordem 1
Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?
É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!
Usaremos os critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).
Aula 17 Cálculo I 27
Polinômios de Taylor de ordem 1
Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?
É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!
Usaremos os critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).
Aula 17 Cálculo I 28
Polinômios de Taylor de ordem 1
Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?
É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!
Usaremos os critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).
Aula 17 Cálculo I 29
Polinômios de Taylor de ordem 1
Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?
É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!
Usaremos os critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).
Aula 17 Cálculo I 30
Polinômios de Taylor de ordem 1
Qual é a melhor reta y = l(x) = a x + b que aproxima umafunção y = f (x) perto de um ponto p?
É necessário algum critério para decidirqual reta é “melhor” do que a outra!
Usaremos os critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p).
Aula 17 Cálculo I 31
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 32
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 33
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 34
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 35
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 36
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 37
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 38
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 39
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 40
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 41
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 42
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 43
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 44
Polinômios de Taylor de ordem 1
Critérios:
(1) l(p) = f (p) e (2) l ′(p) = f ′(p),
onde y = l(x) = a x + b.
De (1) temos que a p + b = f (p) e, de (2), temos que a = f ′(p).
Assim, a = f ′(p) e b = f (p)− a p = f (p)− f ′(p) p.
Logo:
y = a x + b = f ′(p) x + f (p)− f ′(p) p = f (p) + f ′(p) (x − p)
é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f (p))!
Aula 17 Cálculo I 45
Polinômios de Taylor de ordem 2
Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?
Critérios:
(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).
Contas mostram que:
y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)
2(x − p)2.
Aula 17 Cálculo I 46
Polinômios de Taylor de ordem 2
Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?
Critérios:
(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).
Contas mostram que:
y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)
2(x − p)2.
Aula 17 Cálculo I 47
Polinômios de Taylor de ordem 2
Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?
Critérios:
(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).
Contas mostram que:
y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)
2(x − p)2.
Aula 17 Cálculo I 48
Polinômios de Taylor de ordem 2
Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?
Critérios:
(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).
Contas mostram que:
y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)
2(x − p)2.
Aula 17 Cálculo I 49
Polinômios de Taylor de ordem 2
Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?
Critérios:
(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).
Contas mostram que:
y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)
2(x − p)2.
Aula 17 Cálculo I 50
Polinômios de Taylor de ordem 2
Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?
Critérios:
(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).
Contas mostram que:
y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)
2(x − p)2.
Aula 17 Cálculo I 51
Polinômios de Taylor de ordem 2
Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?
Critérios:
(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).
Contas mostram que:
y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)
2(x − p)2.
Aula 17 Cálculo I 52
Polinômios de Taylor de ordem 2
Qual é a melhor parábola y = q(x) = a x2 + b x + c que aproximauma função y = f (x) perto de um ponto p?
Critérios:
(1) q(p) = f (p), (2) q′(p) = f ′(p) e (3) q′′(p) = f ′′(p).
Contas mostram que:
y = q(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) +f ′′(p)
2(x − p)2.
Aula 17 Cálculo I 53
Polinômios de Taylor de ordem n
Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é
y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+
f ′′′(p)
3!(x−p)3+
f (4)(p)
4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)
n!(x−p)n.
Usando a notação de somatórios:
y =nX
i=0
f (i)(p)
i!(x − p)i .
Aula 17 Cálculo I 54
Polinômios de Taylor de ordem n
Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é
y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+
f ′′′(p)
3!(x−p)3+
f (4)(p)
4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)
n!(x−p)n.
Usando a notação de somatórios:
y =nX
i=0
f (i)(p)
i!(x − p)i .
Aula 17 Cálculo I 55
Polinômios de Taylor de ordem n
Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é
y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+
f ′′′(p)
3!(x−p)3+
f (4)(p)
4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)
n!(x−p)n.
Usando a notação de somatórios:
y =nX
i=0
f (i)(p)
i!(x − p)i .
Aula 17 Cálculo I 56
Polinômios de Taylor de ordem n
Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é
y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+
f ′′′(p)
3!(x−p)3+
f (4)(p)
4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)
n!(x−p)n.
Usando a notação de somatórios:
y =nX
i=0
f (i)(p)
i!(x − p)i .
Aula 17 Cálculo I 57
Polinômios de Taylor de ordem n
Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é
y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+
f ′′′(p)
3!(x−p)3+
f (4)(p)
4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)
n!(x−p)n.
Usando a notação de somatórios:
y =nX
i=0
f (i)(p)
i!(x − p)i .
Aula 17 Cálculo I 58
Polinômios de Taylor de ordem n
Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é
y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+
f ′′′(p)
3!(x−p)3+
f (4)(p)
4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)
n!(x−p)n.
Usando a notação de somatórios:
y =nX
i=0
f (i)(p)
i!(x − p)i .
Aula 17 Cálculo I 59
Polinômios de Taylor de ordem n
Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é
y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+
f ′′′(p)
3!(x−p)3+
f (4)(p)
4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)
n!(x−p)n.
Usando a notação de somatórios:
y =nX
i=0
f (i)(p)
i!(x − p)i .
Aula 17 Cálculo I 60
Polinômios de Taylor de ordem n
Mais geralmente, o polinômio de Taylor de y = f (x) no ponto p é
y = tn(x) = f (p)+f ′(p) (x−p)+f ′′(p)
2(x−p)2+
f ′′′(p)
3!(x−p)3+
f (4)(p)
4!(x−p)4+ · · ·+ f (n)(p)
n!(x−p)n.
Usando a notação de somatórios:
y =nX
i=0
f (i)(p)
i!(x − p)i .
Aula 17 Cálculo I 61
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 62
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 63
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 64
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 65
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 66
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 67
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 68
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 69
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 70
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 71
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 72
Exemplo
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 3 de y = f (x) = ex noponto p = 0. Em seguida, use-o para obter uma aproximação
de f (0.01) = e0.01.
Solução. Se f (x) = ex , então f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = ex e, desta maneira,f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1. Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3de f no ponto p = 0 é
y = t4(x) = f (0) + f ′(0) (x − 0) +f ′′(0)
2(x − 0)2 +
f ′′′(0)
3!(x − 0)3
= 1 + x +12
x2 +16
x4.
Usando este polinômio, obtemos a aproximação e0.01 = f (0.01) ≈ t4(0.01) =1+0.01+(1/2) (0.01)2+(1/6) (0.01)3 = 1.010050166666666666 . . . . Agora,o oráculo diz que e0.01 = 1.010050167084168057 . . ..
Aula 17 Cálculo I 73
Exemplo
Aula 17 Cálculo I 74
Exemplo: y = f (x) = cos(x)
Aula 17 Cálculo I 75
Exemplo: y = f (x) = tg(x)
Aula 17 Cálculo I 76
Exemplo: y = f (x) =√
1 + x
Aula 17 Cálculo I 77
