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Cálculo I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 15
8 de maio de 2008
Aula 15 Cálculo I 1
Mais derivadas
Aula 15 Cálculo I 2
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 3
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 4
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 5
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 6
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 7
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 8
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 9
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 10
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = 2x?
Solução. Temos que
f (x) = 2x = eln(2x ) = ex ·ln(2).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(2)
]= ex ·ln(2) · d
dx[x · ln(2)] = ex ·ln(2) · ln(2) = 2x · ln(2).
Aula 15 Cálculo I 11
Exemplo
Mais geralmente, se y = f (x) = ax , com a > 0, então
dfdx
(x) =ddx
[ax ] = ax · ln(a).
Aula 15 Cálculo I 12
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 13
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 14
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 15
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 16
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 17
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 18
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 19
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 20
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = xx?
Solução. Temos que
f (x) = xx = eln(xx ) = ex ·ln(x).
Assim, usando a regra da cadeia:
dfdx
(x) =ddx
[ex ·ln(x)
]= ex ·ln(x) · d
dx[x · ln(x)]
= ex ·ln(x) ·(
ln(x) + x · 1x
)= xx · (ln(x) + 1).
Aula 15 Cálculo I 21
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = log10(x)?
Solução. Temos que
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)=
1ln(10)
· ln(x).
Assim,
dfdx
(x) =ddx
[1
ln(10)· ln(x)
]=
1ln(10)
· 1x
=1
x · ln(10).
Aula 15 Cálculo I 22
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = log10(x)?
Solução. Temos que
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)=
1ln(10)
· ln(x).
Assim,
dfdx
(x) =ddx
[1
ln(10)· ln(x)
]=
1ln(10)
· 1x
=1
x · ln(10).
Aula 15 Cálculo I 23
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = log10(x)?
Solução. Temos que
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)=
1ln(10)
· ln(x).
Assim,
dfdx
(x) =ddx
[1
ln(10)· ln(x)
]=
1ln(10)
· 1x
=1
x · ln(10).
Aula 15 Cálculo I 24
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = log10(x)?
Solução. Temos que
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)=
1ln(10)
· ln(x).
Assim,
dfdx
(x) =ddx
[1
ln(10)· ln(x)
]=
1ln(10)
· 1x
=1
x · ln(10).
Aula 15 Cálculo I 25
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = log10(x)?
Solução. Temos que
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)=
1ln(10)
· ln(x).
Assim,
dfdx
(x) =ddx
[1
ln(10)· ln(x)
]=
1ln(10)
· 1x
=1
x · ln(10).
Aula 15 Cálculo I 26
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = log10(x)?
Solução. Temos que
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)=
1ln(10)
· ln(x).
Assim,
dfdx
(x) =ddx
[1
ln(10)· ln(x)
]=
1ln(10)
· 1x
=1
x · ln(10).
Aula 15 Cálculo I 27
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = log10(x)?
Solução. Temos que
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)=
1ln(10)
· ln(x).
Assim,
dfdx
(x) =ddx
[1
ln(10)· ln(x)
]=
1ln(10)
· 1x
=1
x · ln(10).
Aula 15 Cálculo I 28
Exemplo
Qual é a derivada de y = f (x) = log10(x)?
Solução. Temos que
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)=
1ln(10)
· ln(x).
Assim,
dfdx
(x) =ddx
[1
ln(10)· ln(x)
]=
1ln(10)
· 1x
=1
x · ln(10).
Aula 15 Cálculo I 29
Exemplo
Mais geralmente, se y = f (x) = logb(x), com b > 0 e b 6= 1, então
dfdx
(x) =ddx
[logb(x)] =1
x · ln(b).
Aula 15 Cálculo I 30
Novos itens na tabela de derivadas!
ddx
[au] = au · ln(a) · dudx.
ddx
[logb(u)] =1
u · ln(b)· du
dx.
Aula 15 Cálculo I 31
Diferenciação implícita
Aula 15 Cálculo I 32
Motivação
x2 + y2 = 2
Este círculo não é gráfico de uma função que depende de x !
Aula 15 Cálculo I 33
Motivação
x2 + y2 = 2
Este círculo não é gráfico de uma função que depende de x !
Aula 15 Cálculo I 34
Motivação
x2 + y2 = 2
Este círculo não é gráfico de uma função que depende de x !
Aula 15 Cálculo I 35
Motivação
x2 + y2 = 2⇓
y2 = 2− x2
⇓
y = f1(x) = +√
2− x2 ou y = f2(x) = −√
2− x2.
Aula 15 Cálculo I 36
Motivação
x2 + y2 = 2⇓
y2 = 2− x2
⇓
y = f1(x) = +√
2− x2 ou y = f2(x) = −√
2− x2.
Aula 15 Cálculo I 37
Motivação
x2 + y2 = 2⇓
y2 = 2− x2
⇓
y = f1(x) = +√
2− x2 ou y = f2(x) = −√
2− x2.
Aula 15 Cálculo I 38
Motivação
x2 + y2 = 2⇓
y2 = 2− x2
⇓
y = f1(x) = +√
2− x2 ou y = f2(x) = −√
2− x2.
Aula 15 Cálculo I 39
Motivação
Como calcular a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2no ponto p = (1,1)?
Uma saída: use a função y = f1(x) = +√
2− x2!
Aula 15 Cálculo I 40
Motivação
Como calcular a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2no ponto p = (1,1)?
Uma saída: use a função y = f1(x) = +√
2− x2!
Aula 15 Cálculo I 41
Derivação implícita
A equação da reta tangente ao gráfico de y = f1(x) = +√
2− x2
no ponto p = (1,1) é:
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1)
⇓
y = 1 +
[−x√
2− x2
]∣∣∣∣x=1· (x − 1)
⇓
y = 1 + [−1] · (x − 1)
⇓
y = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 42
Derivação implícita
A equação da reta tangente ao gráfico de y = f1(x) = +√
2− x2
no ponto p = (1,1) é:
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1)
⇓
y = 1 +
[−x√
2− x2
]∣∣∣∣x=1· (x − 1)
⇓
y = 1 + [−1] · (x − 1)
⇓
y = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 43
Derivação implícita
A equação da reta tangente ao gráfico de y = f1(x) = +√
2− x2
no ponto p = (1,1) é:
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1)
⇓
y = 1 +
[−x√
2− x2
]∣∣∣∣x=1· (x − 1)
⇓
y = 1 + [−1] · (x − 1)
⇓
y = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 44
Derivação implícita
A equação da reta tangente ao gráfico de y = f1(x) = +√
2− x2
no ponto p = (1,1) é:
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1)
⇓
y = 1 +
[−x√
2− x2
]∣∣∣∣x=1· (x − 1)
⇓
y = 1 + [−1] · (x − 1)
⇓
y = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 45
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 46
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 47
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 48
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 49
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 50
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 51
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 52
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 53
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 54
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 55
Derivação implícita
Outra saída: use derivação implícita! Lembrando que y é uma funçãof1 de x , temos que:
x2 + y2 = 2 ⇒ ddx
[x2 + y2
]=
ddx
[2] ⇒ 2 x + 2 y y ′ = 0.
Quando x = 1, temos que y = 1 e, portanto,
2 (1) + 2 (1) y ′ = 0 ⇒ y ′ = f ′1(1) = −1.
Desta maneira, a equação da reta tangente ao círculo x2 + y2 = 2 noponto p = (1,1) é dada por
y = f1(1) + f ′1(1) · (x − 1) = 1 + (−1) · (x − 1) = 2− x .
Aula 15 Cálculo I 56
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 57
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 58
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 59
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 60
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 61
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 62
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 63
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 64
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 65
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 66
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 67
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 68
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 69
Nem sempre é fácil isolar y !
Calcule a equação da reta tangente ao fólio de Descartesx3 + y3 = 6 xy no ponto p = (3,3).
Solução. Usando derivação implícita, temos que:
x3+y3 = 6 xy ⇒ ddx
[x3 + y3
]=
ddx
[6 xy ] ⇒ 3 x2+3 y2 y ′ = 6 y +6 xy ′.
Quando x = 3, temos que y = 3 e, portanto,
3 (3)2 + 3 (3)2 y ′ = 6 (3) + 6 (3)y ′ ⇒ 27 + 27 y ′ = 18 + 18 y ′
⇒ y ′ = f ′1(3) = −1.
Assim, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy noponto p = (3,3) é dada por
y = f (3) + f ′(3) · (x − 3) = 3 + (−1) · (x − 3) = 6− x .
Aula 15 Cálculo I 70
Nem sempre é fácil isolar y !
O fólio de Descartes x3 + y3 = 6 xy e a reta tangente y = 6− xno ponto p = (3,3).
Aula 15 Cálculo I 71
Taxas relacionadas
Aula 15 Cálculo I 72
Exemplo
Uma escada de 10 m de comprimento está apoiada sobre uma parede. Se abase da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade constantede 1 m/s, com que velocidade o topo da escada está escorregando para baixona parede quando a base da escada está a 6 m da parede?
Aula 15 Cálculo I 73
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 74
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 75
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 76
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 77
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 78
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 79
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 80
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 81
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 82
Exemplo
Solução. De acordo com a figura anterior, seja x = x(t) a distância da base da escada até aparede e seja y = y(t) a altura do topo da escada. Sabemos que:
dxdt
(t) = constante = 1 m/s e [x(t)]2 + [y(t)]2 = 102 = 100.
O problema pede para calcular
dydt
(t) no instante de tempo t onde x(t) = 6 m.
Agora, para t ∈ [0,10),
[x(t)]2 + [y(t)]2 = 100 ⇒ ddt
[[x(t)]2 + [y(t)]2
]=
ddt
[100]
⇒ 2 x(t)dxdt
(t) + 2 y(t)dydt
(t) = 0
⇒ dydt
(t) = −x(t)y(t)
dxdt
(t).
Assim, quando x(t) = 6 m, temos que y(t) =√
100− [x(t)]2 =√
100− 36 =√
64 = 8 e,portanto,
dydt
(t) = −68
1 = −34
m/s.
Aula 15 Cálculo I 83
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 84
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 85
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 86
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 87
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 88
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 89
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 90
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 91
Exemplo
Bombeia-se ar para dentro de um balão esférico e seu volume crescea uma taxa constante de 100 cm3/s. O quão rápido está crescendo oraio do balão quando o seu raio é 25 cm?
Solução. Sejam V = V (t) o volume e r = r(t) o raio do balão no tempo t . Sabemos que:
dVdt
(t) = constante = 100 cm3/s e V (t) =43π [r(t)]3.
O problema pede para calcular
drdt
(t) no instante de tempo t onde r(t) = 25 cm.
Agora
V (t) =43π [r(t)]3 ⇒ d
dt[V (t)] =
ddt
[43π [r(t)]3
]⇒ dV
dt(t) = 4π [r(t)]2
drdt
(t)
⇒ drdt
(t) =1
4π [r(t)]2dVdt
(t).
Assim, quando r(t) = 25 cm, temos quedrdt
(t) =1
4π [25]2100 =
125π
cm/s.
Aula 15 Cálculo I 92
