Fundamentos de Matemática · 2014. 3. 31. · Fundamentos de Matemática Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 2 8 de

Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 2

8 de janeiro de 2014

Aula 2 Fundamentos de Matemática 1

Se A, então B: notações



Notação Exemplo

Se A, então B. Se 0 < a < b, então a2 < b2.

A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.

A implica B. 0 < a < b implica a2 < b2.

A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a2 < b2.

B é condição necessária para A. a2 < b2 é condição necessária para 0 < a < b.



Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.






Notação Exemplo


A⇒ B. 0 < a < b ⇒ a2 < b2.





Demonstrações: direta e por absurdo


Demonstração direta

Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A tambémsatisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença “se A, então B” éverdadeira, pois ela não possui contraexemplos.

Demonstração direta


Demonstração direta: exercício resolvido

Mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m é um inteiro par, então m2 é um inteiro par.

Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é,m = 2 · k para algum inteiro k . Então,

m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).

Segue-se que m2 é divisível por 2. Logo, m2 é um número par.






m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).







m2 = (2 · k)2 = 4 · k2 = 2 · (2 · k2).



Demonstração por absurdo

Nesta técnica, para demonstrar que a sentença “se A, então B” é verdadeira,supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto,usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (porexemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou queuma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, comoem uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos quenosso pressuposto da sentença “se A, então B” ser falsa está errado e, assim,a sentença “se A, então B” deve ser verdadeira.

Demonstração por absurdo


Demonstração por absurdo: exercício resolvido


Se m é um inteiro e m2 é par, então m é par.

Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Entãoela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaza hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiroe m2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que

m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.

Segue-se que m2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímparao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa deque a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que asentença inicial é verdadeira!






m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.







m = 2 · k + 1.

Então m2 = (2 · k + 1)2 = 4 · k2 + 4 · k + 1 = 2 · (2 · k2 + 2 · k) + 1.



A se, e somente se, B



Dizemos que uma sentença


é verdadeira quando as sentenças

“se A, então B” e “se B, então A”

são simultaneamente verdadeiras.

Regras do Jogo


A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa?

m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é um inteiro par.

A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças

se m é um inteiro e m2 é par, então m é um inteiro par

e

m é um inteiro par, então m é um inteiro e m2 é par

são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadasanteriormente).






e








e








e








e








e





m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m · n é um inteiro par.

A sentença é falsa, pois a sentença

se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares

é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente).





















m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9.


se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9





















A se, e somente se, B: notações

Notação Exemplo

A se, e somente se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e somente se, m é par.

A⇔ B. m é um inteiro e m2 é par⇔ m é par.

A se, e só se, B. m é um inteiro e m2 é par se, e só se, m é par.

Outra notação:A é condição necessária e suficiente para B.

Exemplo:m ser um número inteiro e m2 ser um número par é condição necessária e suficiente

para que m seja par.



Notação Exemplo









Notação Exemplo









Notação Exemplo









Notação Exemplo









Notação Exemplo









Notação Exemplo








Quatro observações


Observação 1

O pai de João disse que:

Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.

Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular.Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai?

Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vaiganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) casoJoão não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seupai. Nada podemos afirmar.


Observação 1






Observação 1






Observação 1






Observação 1






Observação 1






Observação 1






Observação 2

A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?

Se x ∈ R e x2 < 0, então x = log10 2.

Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez quenão existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença éverdadeira por vacuidade.


Observação 2





Observação 2





Observação 2





Observação 2





Observação 3


Se x ∈ R e x2 − 5 · x + 6 = 0, então x = 2 ou x = 3 ou x = 5.

Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese(no caso, os números x = 2 e x = 3) também satisfazem a tese.


Observação 3





Observação 3





Observação 3





Observação 3





Observação 4

Proposição é sinônimo de sentença.

Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importânciacentral no desenvolvimento de uma determinada teoria.

Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de umaoutra proposição.

Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma ou-tra proposição.


Observação 4






Observação 4






Observação 4






Uma demonstração por absurdo famosa



Se x ∈ R, x > 0 e x2 = 2, então x não é um número racional

Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x ∈ R tal que x > 0,x2 = 2 e x = m/n, com m,n ∈ N. Sem perda de generalidade, podemossupor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Sex = m/n e x2 = 2, então (m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2.Então, m2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente,concluímos que m deve ser par: m = 2 · k para algum inteiro k . Destamaneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que n2 = 2 · k2.Logo, n2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos quen é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator emcomum (2), uma contradição.






































































Seção de Exercícios


Implicações e Teoria dos Conjuntos


Exemplo

Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta!

x · x = x ⇒ x = 1(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaza hipótese (pois 02 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 6= 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {0,1}

T = {x | x satisfaz a tese } = {1}

Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo


x = 1 ⇒ x · x = x(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois 1 · 1 = 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {1}

T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1}

Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo


x2 = 4 ⇒ x = 2(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = −2 é um contraexemplo! De fato: x = −2satisfaz a hipótese (pois (−2)2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois −2 6= 2).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = {−2,2}


Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo


x = 2 ⇒ x2 = 4(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaza tese (pois (2)2 = 4).


T = {x | x satisfaz a tese } = {−2,2}

Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo


1 > 1/x ⇒ x > 1(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é falsa, pois x = −1 é um contraexemplo! De fato: x = −1satisfaz a hipótese (pois 1 > −1 = 1/(−1)), mas x não satisfaz a tese (pois −1 < 1).

H = {x | x satisfaz a hipótese} = ]−∞,0[ ∪ ]1,+∞[

T = {x | x satisfaz a tese } = ]1,+∞[

Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo






Note que H 6⊂ T !


Exemplo


x (x2 − 2 x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 ou x = 2(aqui x representa um número real)

Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo xque satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0 e x = 1 satisfazem a hipótese), tambémsatisfaz a tese.


T = {x | x satisfaz a tese } = {0,1,2}

Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Exemplo






Note que H ⊂ T !


Moral

Verdadeira ou falsa?

Se A, então B.

Sejam:

H = {x | x satisfaz a hipótese A},

T = {x | x satisfaz a tese B}.

Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos:A sentença “se A, então B” é verdadeira se, e somente se, H ⊂ T .


Moral


Se A, então B.

Sejam:





Moral


Se A, então B.

Sejam:





Moral


Se A, então B.

Sejam:





Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)

H = {x | x satisfaz a hipótese} = ∅

T = {x | x satisfaz a tese } = {log10(2)}

Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H ⊂ Te, portanto, a sentença é verdadeira!

Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabedemonstrar esse fato?


Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Exemplo


x ∈ R e x2 < 0 ⇒ x = log10(2)






Conectivos Lógicos


Conectivo “ou” (∨)

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

p ou q

(a disjunção entre p e q) se x satisfaz pelo menos um dos predicadosp e q. Notação para o conectivo “ou”: ∨.

Regras do Jogo

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?

Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).




p ou q


Regras do Jogo






p ou q


Regras do Jogo


x + 1 = 2 ou x2 = 4 .





p ou q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

ou x2 = 4︸︷︷︸q

.





p ou q


Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},

então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.




p ou q


Regras do Jogo







p ou q


Regras do Jogo







p ou q


Regras do Jogo





Conectivo “e” (∧)


p e q

(a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois pre-dicados p e q. Notação para o conectivo “e”: ∧.

Regras do Jogo


Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1 satisfaz q mas nãosatisfaz p.




p e q


Regras do Jogo






p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2 e x2 = 1 .





p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

e x2 = 1︸︷︷︸q

.





p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

e x2 = 1︸︷︷︸q

.





p e q


Regras do Jogo



então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.




p e q


Regras do Jogo







p e q


Regras do Jogo







p e q


Regras do Jogo





Conectivos e o uso de parêntesis

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicado abaixo?

(x > 0 ou x < 2) e x > 1 .

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.

Moral: os parêntesis são importantes!




(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x > 0︸︷︷︸p

ou x < 2︸︷︷︸q

) e x > 1︸︷︷︸r

.

Resposta: x > 1.


x > 0︸︷︷︸p

ou (x < 2︸︷︷︸q

e x > 1︸︷︷︸r

).

Resposta: x > 0.





(x = 0︸︷︷︸p

ou x = 1︸︷︷︸q

) e 2 = 3︸︷︷︸r

.

Resposta: não existe valores de x ∈ R tais que (x = 0 ou x = 1) e 2 = 3.


x = 0︸︷︷︸p

ou (x = 1︸︷︷︸q

e 2 = 3︸︷︷︸r

).

Resposta: x = 0.





(x = 0︸︷︷︸p

ou x = 1︸︷︷︸q

) e 2 = 3︸︷︷︸r

.



x = 0︸︷︷︸p

ou (x = 1︸︷︷︸q

e 2 = 3︸︷︷︸r

).

Resposta: x = 0.





(x = 0︸︷︷︸p

ou x = 1︸︷︷︸q

) e 2 = 3︸︷︷︸r

.



x = 0︸︷︷︸p

ou (x = 1︸︷︷︸q

e 2 = 3︸︷︷︸r

).

Resposta: x = 0.





(x = 0︸︷︷︸p

ou x = 1︸︷︷︸q

) e 2 = 3︸︷︷︸r

.



x = 0︸︷︷︸p

ou (x = 1︸︷︷︸q

e 2 = 3︸︷︷︸r

).

Resposta: x = 0.



Seção de Exercícios


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