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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 6
18 de janeiro de 2012
Aula 5 Fundamentos de Matemática 1
Números
Aula 5 Fundamentos de Matemática 2
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 3
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 4
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 5
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 5 Fundamentos de Matemática 6
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
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O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
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O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 9
Números naturais
Aula 5 Fundamentos de Matemática 10
Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.
Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de Xainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
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Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.
Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de Xainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 27
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 5 Fundamentos de Matemática 33
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
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Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Aula 5 Fundamentos de Matemática 37
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Aula 5 Fundamentos de Matemática 38
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Romana
1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M
Aula 5 Fundamentos de Matemática 39
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 5 Fundamentos de Matemática 40
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 5 Fundamentos de Matemática 41
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Braille
Aula 5 Fundamentos de Matemática 42
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 51
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 52
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 53
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 55
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 56
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 57
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 58
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 59
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 60
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 61
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 62
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 63
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 64
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 65
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 66
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativase distributivas.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 67
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 68
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 69
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 70
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 71
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 72
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 73
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, parasignificar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é osucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendoiterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintesalternativas: m = n, m < n ou n < m.(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintesdesigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menorelemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 74
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 5 Fundamentos de Matemática 75
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 5 Fundamentos de Matemática 76
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 5 Fundamentos de Matemática 77
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 5 Fundamentos de Matemática 78
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 5 Fundamentos de Matemática 79
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 5 Fundamentos de Matemática 80
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 5 Fundamentos de Matemática 81
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 5 Fundamentos de Matemática 82
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 5 Fundamentos de Matemática 83
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 5 Fundamentos de Matemática 84
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 5 Fundamentos de Matemática 85
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 5 Fundamentos de Matemática 86
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 5 Fundamentos de Matemática 87
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 5 Fundamentos de Matemática 88
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 89
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 90
Números naturais como números cardinais
O Hotel Infinito de Hilbert
Aula 5 Fundamentos de Matemática 91
Um pequeno comentário gramatical
Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, aspalavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, doismeses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” nãosão substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numerale que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar adiferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, eo seu emprego como números cardinais.
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 5 Fundamentos de Matemática 92
Semelhança dos nomes dos números
SânscritoGrego
AntigoLatim Alemão Inglês Francês Russo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
eka
dva
tri
catur
panca
sas
sapta
asta
nava
daca
cata
sehastre
en
duo
tri
tetra
pente
hex
hepta
octo
ennea
deca
ecaton
xilia
unus
duo
tres
quatuor
quinque
sex
septem
octo
novem
decem
centum
mille
eins
zwei
drei
vier
fünf
sechs
sieben
acht
neun
zehn
hundert
tausend
one
two
three
four
�ve
six
seven
eight
nine
ten
hundred
thousand
un
deux
trois
quatre
cinq
six
sept
huit
neuf
dix
cent
mille
odyn
dva
tri
chetyre
piat
shest
sem
vosem
deviat
desiat
sto
tysiaca
Aula 5 Fundamentos de Matemática 93
Giuseppe Peano
Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 94
David Hilbert
Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)
Aula 5 Fundamentos de Matemática 95
Leitura extraclasse
Aula 5 Fundamentos de Matemática 96
Leitura extraclasse
Capítulos 1, 2 e 3.
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado.A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
Aula 5 Fundamentos de Matemática 97
Vídeos das aulas do curso do IMPA no YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=DbsF7YIb6cw http://www.youtube.com/watch?v=GB4AnKspnSY http://www.youtube.com/watch?v=WzQSGpJwtbI
Aula 5 Fundamentos de Matemática 98
