PCC fundamentos de Matemática 1

Universidade Federal de Santa Catarina

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CINCIAS DA EDUCAO DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DE ENSINO CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMTICA DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMTICA I MTM PROFESSOR: NEREU ESTANISLAU BURIN E CARMEM S. C. GIMENES TUTORES A DISTNCIA: CARLA MRSCHBCHER E GILBERTO SOUTO TUTORES PRESENCIAIS: SHIRLEI A. GAUL E JOO CSAR DE SOUSA EQUIPE: ANGLICA FONTOURA ABDALLA MATRCULA: 09402037 ARION CARLOS FEY MATRCULA: 09402041 VANESSA C. NASCIMENTO FEY MATRCULA: 09402387 VIVIANE APARECIDA PEDRO MATRCULA: 09402398 PLO: INDAIAL

ESTUDO COMPARATIVO DOS CONTEDOS DA DISCIPLINA COM OS CONTEDOS DO ENSINO FUNDAMENTAL

INDAIAL 2009

Universidade Federal de Santa Catarina

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ANGLICA NEVES FONTOURA ALVES ABDALLA ARION CARLOS FEY MATRCULA VANESSA C. NASCIMENTO FEY VIVIANE APARECIDA PEDRO

ESTUDO COMPARATIVO DOS CONTEDOS DA DISCIPLINA COM OS CONTEDOS DO ENSINO FUNDAMENTAL

Prtica como Componente Curricular apresentada disciplina de Fundamentos de Matemtica I PCC do Curso de Licenciatura Plena em Matemtica na Modalidade a Distncia do Centro de Cincias da Educao da Universidade Federal de Santa Catarina, no semestre 01. Orientador: Nereu Estanislau Burin

INDAIAL 2009

Universidade Federal de Santa Catarina SUMRIO

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1 INTRODUO......................................................................................................................4 2 A DISCIPLINA DE FUNDAMENTOS DA MATEMTICA I FACE AOS CONTEDOS DO ENSINO FUNDAMENTAL...................................................................8 2.1 A COLEO........................................................................................................................8 2.2 ANLISE............................................................................................................................11 2.2.1 Abordagem dos contedos...............................................................................................11 2.2.2 Contextualizao..............................................................................................................13 2.3 MANUAL DO PROFESSOR.............................................................................................13 2.4 EM SALA DE AULA.........................................................................................................13 2.5 ETAPA II RESOLUO DETALHADA DOS SEGUINTES PROBLEMAS:.............25 3 CONSIDERAES FINAIS..............................................................................................30 REFERNCIAS.....................................................................................................................32

Universidade Federal de Santa Catarina4

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INTRODUO O livro didtico de Matemtica, ao longo dos ltimos anos, e, notadamente aps a

avaliao realizada pelo MEC, vem passando por mudanas significativas quer no contedo selecionado quer na abordagem que vem sendo dada a esses contedos. Percebe-se, e concordamos com isso, que, ao longo das ltimas dcadas, alguns livros didticos de matemtica, foram sendo escritos sem muita preocupao com as questes pedaggicas ou matemticas. Um autor tomava o livro anterior e, ao reproduzi-lo, acrescentava alguma informao nova, ou retirava outra informao. Um autor repetia o mesmo procedimento sobre o texto anterior. Outros autores optavam por modificar apenas a ordem de apresentao do contedo. O pior que esse fato, s vezes, acontecia com o mesmo autor. (VARIZO, 1999, p.135). Assim, com essas mudanas, muitos livros, embora tenham ficado mais atraentes no sentido grfico, foram perdendo a qualidade e o rigor matemtico necessrios. Aps a avaliao do MEC, houve uma ntida melhora na qualidade dos livros didticos, mas ainda percebem-se alguns problemas em relao abordagem de determinados contedos, conforme se pode ler no Guia 2002 (MEC: 2002 148-149): A reviso e ampliao dos conceitos de nmeros naturais e fracionrios superficial. Nesta fase da escolaridade, seria necessrio contemplar e interrelacionar as vrias interpretaes das fraes, bem como introduzir a notao cientfica de forma contextualizada. As equaes e inequaes tm tido tratamento formal, sem que se perceba

preocupao com a construo do significado da linguagem algbrica e sua articulao com situaes do contexto fsico, social e cultural. O tratamento da Geometria tem sido estereotipado, privilegiando a

nomenclatura e a apresentao de formas cannica. As sistematizaes so inadequadas, pois partem dos conceitos de ponto, reta e plano, sem se preocupar com a explorao de conceitos e de propriedades geomtricas. No se explora tambm a potencialidade deste campo da matemtica para descrever o mundo e resolver problemas mais concretos. Em Geometria, no h equilbrio nem inter-relao entre as representaes

experimental, intuitiva e formal. As demonstraes nem sempre so claras e, freqentemente,


apresentam erros. Alem disso, no surgem naturalmente como um desenvolvimento e refinamento de consideraes intuitivas. A introduo das unidades de medida comumente feita por meio de sistemas

completos e de regras para transformao de unidades, no havendo explorao da dimenso real dessas unidades e das relaes entre elas, nem nfase nas mais usuais. Tambm no h uma construo gradativa dos conceitos de rea e volume distribudos pelos ciclos do Ensino Fundamental... Esses so apenas alguns problemas que comprometem a qualidade das vrias colees e que exigem, do professor de matemtica, cuidados redobrados para identific-los e corrigilos. Apesar dos esforos das universidades na capacitao de educadores matemticos, por meio de cursos de especializao, mestrado e doutorado que, infelizmente, beneficia uma minoria desses profissionais, a formao dos professores de matemtica, nos cursos de licenciatura, no vem acompanhando esse processo de mudanas. Em muitos cursos de graduao, assuntos como avaliao de livros didticos, fundamentos de matemtica, formao e evoluo de conceitos, entre outros, no so tratados, sequer em seminrios ou mesmo nas disciplinas de prtica de ensino. Assim, os professores esto saindo de suas graduaes sem uma base terica que lhe d condies para escolher seu livro, critic-lo e interpret-lo em sala de aula (VARIZO, 1999: 138). Sabemos que, hoje em dia, o livro didtico o principal, se no o nico, instrumento utilizado pelo professor de matemtica na elaborao de suas aulas. Assim, ele exerce grande influncia sobre o processo de ensino aprendizagem, na medida em que , a partir dele, que o professor seleciona os contedos que vo ser ministrados e a maneira como sero abordados esses contedos (VARIZO, 1999). Na realidade, na maioria das vezes, o prprio livro quem faz essa seleo, uma vez que o professor se acha na obrigao de trabalhar o livro de capa a capa. Segundo se l em Freitag (FREITAG, 1997), o livro didtico, no serve aos professores como simples fio condutor de seus trabalhos, ou seja, como um instrumento auxiliar para conduzir o processo de ensino e transmisso do conhecimento, mas como um modelo-padro. Por tudo isso, importante que o professor disponha de uma diversidade de livros de qualidade, e que se adqe as vrias realidades sociais e regionais do Brasil.


Ao analisamos a evoluo do livro didtico de matemtica, a partir da comparao dos contedos selecionados e da abordagem dos mesmos, pretendemos resgatar o vigor e a correo conceitual que, muitas vezes, se perdeu ao longo das diversas alteraes sofridas pelos livros, apontando pontos falhos e alternativas de abordagem que favoream a aprendizagem do aluno. Assim, em nosso trabalho, pretendemos contribuir com a melhoria do ensino da matemtica, fornecendo subsidias que de ordem conceitual quer de ordem metodolgica, que possam auxiliar professores e autores de livros didticos a desenvolver um trabalho de qualidade. Hoje nos valemos de opinies como as de Freitag j citadas anteriormente, para compreend-la, mas no aceit-la. Afinal, como pode o professor utilizar os livros didticos como modelo-padro, deixando o livro assumir o carter de critrio de verdade e ltima palavra sobre o assunto se, ao analisarmos os livros didticos que se encontram no mercado, podemos perceber que muitos deles encontram-se cheios de impropriedades. Perceber essas impropriedades, muitas vezes, difcil para professores que no foram preparados, sequer alertados para isso, nos cursos de licenciatura. E, muitos desses cursos no abordam, em sua grade curricular, temas relacionados aos livros didticos. Segundo Molina (MOLINA, 1988: 10), O professor, sem tempo para ler, pesquisar e atualizar-se, com um nmero muito grande de aulas por dia, sem muito parmetro para analisar os contedos de ensino, com muitas turmas para atender, sem motivao ou entusiasmo para sair da rotina, com as editoras lhe facilitando as coisas, ao professor restava apenas seguir mecanicamente as lies inscritas nos livros didticos.... Sabemos das restries ligadas s condies de trabalho do professor. Mas, mesmo assim, podemos questionar a maneira como esses profissionais esto utilizando os livros didticos em suas salas de aulas. Ser que o professor no est utilizando o seu tempo disponvel para planejar devidamente suas aulas? Ser que ele, professor, est seguindo mecanicamente as lies inscritas nos livros didticos? Quais critrios o professor de matemtica vem utilizando na sua escolha de livros didticos? Ser que so, como afirma Freitag (FREITAG, 1997), apenas aspectos grficos ou a facilidade de receber esses livros nas editoras? Isso parece ser o que acontece com milhares de professores no Brasil e no mundo. Para mudar este estado de coisas, para melhorar o ensino de matemtica, os professores devem perceber que o livro didtico apenas um complemento de seu trabalho em sala de aula e passar a analisar e perceber, com mais argcia, as impropriedades que esto presentes nos livros em circulao no pas.


Segundo Soares (SOARES, 1996: 52-64) se analisados historicamente os livros para uma determinada disciplina ou rea de ensino, verifica-se que o contedo vai se alterando, pois reflete a natureza dos conhecimentos em cada momento disponvel, o nvel de desenvolvimento em que se encontrem esses conhecimentos, e tambm as expectativas da sociedade em relao a esses conhecimentos para a formao das novas geraes. Portanto, acreditamos que, ao tratar da evoluo histrica da abordagem de alguns conceitos matemticos, tomando como base o livro didtico de matemtica, estamos no s promovendo a anlise de um dos recursos materiais mais utilizados pelos professores no processo de ensino-aprendizagem, mas, tambm, possibilitando a estes uma viso do momento exato em que algumas das impropriedades mencionadas surgiram, bem como, em alguns casos, explicitando essas impropriedades. Alm do que, tal anlise histrica pode nos revelar mudanas significativas, ao longo das dcadas, no que diz respeito abordagem desses contedos. Assim, acreditamos que um trabalho dessa natureza pode estimular e auxiliar o professor na sua tarefa de analisar os livros didticos, sendo de suma importncia para a melhoria do ensino de matemtica. Dentre os contedos que acreditamos merecem um maior cuidado e que iremos abordar nesse trabalho, citamos a passagem do caso racional para o caso irracional quer na ampliao dos conjuntos numricos, quer no estudo do Teorema de Tales, ou, ainda, no clculo de reas uma vez que, nos livros didticos, a preocupao com os nmeros irracionais tem se limitado ao trabalho, muitas vezes exaustivo e desnecessrio, com radicais.


2

A DISCIPLINA DE FUNDAMENTOS DA MATEMTICA I FACE AOS CONTEDOS DO ENSINO FUNDAMENTAL

A pesquisa analisa os contedos curriculares da disciplina de Fundamentos da Matemtica I face aos contedos do Ensino Fundamental propostos pelos PCNs na escola pblica catarinense at o momento da pesquisa. So objetivos da pesquisa, analisar: a) b) c) atual. Coleo de livros do Ensino Fundamental utilizada na elaborao da tabela: LONGEN, Adilson. Matemtica em movimento: 5 srie a 8 srie. So Paulo: Editora do Brasil, 1999. O livro sistemtico, de fcil compreenso, estimula o raciocnio lgico do aluno, prope exerccios direcionados ao contedo que so apresentados por meio de situaes divididas em diferentes graduaes, faz uma conexo entre os conhecimentos bsicos que antecedem o contedo, o assunto em questo e as situaes futuras que tero como base o contedo. a importncia conferida pelos PCNs ao ensino da disciplina; se as competncias e habilidades propostas incorporam os conhecimentos mais a possibilidade de superao da fragmentao dos contedos, conforme a crtica

avanados da Matemtica;

2.1

A COLEO Os livros esto estruturados em captulos, subdivididos em unidades, que iniciam com

uma explanao do contedo a ser abordado, seguida das sees: Aplicando os conhecimentos com exerccios de aplicao; Matemtica em Movimento com problemas mais complexos; Respondendo questes com perguntas de natureza terica; Pesquisando significados, que solicita a busca de significados de termos. H, ainda, as atividades intituladas Para pensar e Para discutir, sugeridas para trabalho individual ou em grupo. Os livros da 5 e da 7 sries incluem inmeras sees Fazendo estimativas, enquanto nos da 6 e da 8 sries so freqentes as sees Descobrindo os nmeros. Ao final de cada volume, existem sugestes de leituras complementares para o aluno.


O manual do professor contm uma cpia do livro do aluno e um suplemento pedaggico, dividido em itens com textos comuns a todos os livros e outros que so especficos por volume. Entre os primeiros esto: uma fundamentao terica, pautada nas recomendaes dos Parmetros Curriculares Nacionais; os objetivos; a organizao e a estrutura da coleo; a metodologia de ensino-aprendizagem utilizada na obra e propostas para o trabalho em sala de aula; a avaliao e sugestes para acompanhamento da aprendizagem dos alunos; sugestes de leitura para o professor; e referncias bibliogrficas da obra. Os textos especficos incluem uma sntese dos contedos, aplicaes e complementaes por captulos, e um glossrio. Finalmente, encontram-se as respostas s questes propostas no livro do aluno. 5 srie 9 captulos 272 pp. mmc e mdc planificao Medidas: conceito; sistema mtrico decimal; permetro; Massa. rea de figuras planas Volume e capacidade. Fraes: conceito; equivalncia; operaes Representao decimal dos racionais: conceito; operaes; dzimas Geometria: retas e ngulos; quadrilteros; diviso da circunferncia; Sistemas de numerao: histria; sistemas de numerao decimal e romano Nmeros naturais: representao, operaes e propriedades Divisibilidade: critrios; nmeros primos; decomposio em fatores primos;

6 srie 7 captulos 239 pp. Os nmeros negativos e positivos Nmeros inteiros: reta numrica; operaes Nmeros racionais: reta numrica; operaes Equaes do 1 grau: introduo lgebra; a linguagem dos smbolos; Inequaes do 1 grau Propores: razo; proporcionalidade entre nmeros e grandezas; regra de trs

igualdade; equaes com uma incgnita e com duas incgnitas; sistemas com duas incgnitas

simples e composta; porcentagem


Medida de ngulos: grau; adio e subtrao; multiplicao e diviso por

nmeros naturais; ngulos em grficos estatsticos. 7 srie 11 captulos 245 pp. Nmeros irracionais: conceito; notao decimal Nmeros reais: introduo; operaes Monmios Polinmios Produtos notveis, fatorao, simplificao Plano cartesiano: interpretao grfica de uma equao do 1 grau com duas ngulos: paralelas e transversais Polgonos: ngulos; diagonais Tringulos: construo; congruncia Quadrilteros: ngulos internos; paralelogramos Esfera; crculo e circunferncia; retas e circunferncias; arco e ngulo central;

incgnitas e de um sistema do 1 grau

ngulo inscrito numa circunferncia. 8 srie 11 captulos 287 pp. funes Fraes e probabilidades Nmeros reais: potncias; propriedades; notao cientfica Radiciao: propriedades; operaes com radicais Equaes do 2 grau: quadrados perfeitos, produtos notveis; propriedades das Segmentos comensurveis e incomensurveis; Teorema de Tales Semelhana de figuras planas: ampliaes e redues; semelhana de Tringulo retngulo; Teorema de Pitgoras Razes trigonomtricas no tringulo retngulo; tabelas trigonomtricas Circunferncia e crculo; comprimento da circunferncia e de arcos; rea do Funes: relao entre grandezas variveis; idia de funo; grficos de

razes; equaes irracionais

tringulos e de polgonos

crculo e de setores; polgonos inscritos e circunscritos; rea de polgonos regulares


Estatstica: a linguagem estatstica; pesquisas e grficos.

2.2 1.1.1

ANLISE Seleo e distribuio dos contedos

A coleo enfatiza os contedos de nmeros e operaes e de lgebra. Alm disso, em cada volume, h concentrao excessiva de um ou dois campos. A geometria est concentrada na 7 srie. As atividades com o tratamento da informao so escassas e limitam-se ao livro da 8 srie. O conceito de probabilidade estudado em uma unidade do mesmo volume. H outra dedicada ao desenvolvimento de noes de estatstica, com leitura, interpretao e construo de grficos e tabelas. No entanto, os conceitos de freqncia e de mdia no so abordados. Outros contedos importantes para essa fase da escolaridade, como matemtica financeira, so abordados superficialmente, enquanto h muitos assuntos que recebem demasiada ateno, embora pudessem ser tratados posteriormente. o caso das equaes irracionais, do clculo com radicais e das operaes com os submltiplos do grau. 2.2.1 Abordagem dos contedos O modo como so explorados os sistemas de numerao antigos contribui para o entendimento e a organizao da escrita do nmero em nosso sistema indo arbico. Os conjuntos numricos so ampliados de forma a evidenciar a necessidade de novos nmeros para resolver certos tipos de problemas. No entanto, a cada introduo de um novo conjunto, percebe-se nfase e repetio nas propriedades das operaes. pouco apropriada a relao estabelecida entre nmero irracional, valor aproximado e nmero no-exato. A linguagem algbrica introduzida, desde a 5 srie, de forma gradativa. O aluno levado a perceber sua articulao com a linguagem materna e a observar a presena de smbolos em diversas situaes da vida cotidiana. H, porm, uso abusivo e desnecessrio do simbolismo e da linguagem de conjuntos, tanto na formalizao de alguns conceitos geomtricos quanto na resoluo de inequaes.


A geometria est bastante presente na coleo, em especial nos volumes de 7 e 8 sries, e usada tambm no trabalho com a lgebra. No entanto, seu desenvolvimento bastante formal, com valorizao de simbologia e classificaes. Destaca-se a abordagem das figuras geomtricas a partir do estudo dos slidos, que feito por meio de cortes, planificaes e vistas. Observa-se inadequao na introduo do estudo de ngulos e de ngulos inscritos em uma circunferncia. A construo com rgua e compasso est presente, mas, algumas vezes, usada apenas para validar resultados em prejuzo da construo do raciocnio dedutivo, como na apresentao dos casos de congruncia de tringulos. Alm disso, resultados, como o Teorema de Tales, as frmulas da rea do retngulo e do volume do paraleleppedo, so validados em casos particulares e generalizados a partir destes, sem que os alunos sejam alertados para este fato. No final do livro da 5 srie, iniciado o trabalho com grandezas e medidas, com um pouco da histria destas e com atividades de medies para serem feitas a partir de padres no-convencionais. As estimativas de medida tambm so valorizadas na seo Fazendo estimativas. H ateno exagerada ao estudo das medidas de ngulo, principalmente no que se refere a operaes com os submltiplos do grau. Observa-se, ainda, inadequao ao se relacionar o uso de unidade-padro e medida exata e ao se associar um tipo de figura com a unidade de rea. O tratamento da informao aparece com maior nfase no volume da 8 srie, no qual so apresentadas algumas noes de combinatria, probabilidade e estatstica, sem que haja uma explorao apropriada dos conceitos envolvidos. Nos demais volumes, as tabelas e grficos so usados apenas como suportes para atividades de clculo numrico ou algbrico. Na obra, valoriza-se a construo do conhecimento pelos alunos e h incentivo interao destes, na sala de aula. Busca-se apresentar o contedo com base na contextualizao histrica ou em exemplos de sua aplicao. Em seguida, so propostas atividades, seguidas de um conjunto de questes problematizadoras, para o aluno responder e registrar suas concluses. Essas questes possibilitam a ampliao dos contedos estudados e sua sistematizao pelos alunos. Algumas vezes, porm, a linguagem pouco clara, o que pode prejudicar a construo do conhecimento.


2.2.2

Contextualizao A coleo procura contextualizar os conceitos apresentados, na maioria das vezes,

dentro da prpria Matemtica. Exemplo disso so as situaes em que a geometria empregada para auxiliar a compreenso de conceitos da aritmtica e da lgebra. A Histria da Matemtica usada de forma significativa e coerente para iniciar o estudo de alguns contedos. E, muitas vezes, o desenvolvimento de conceitos apia-se em temas atuais, como endemias e crescimento populacional, entre outros. 2.3 MANUAL DO PROFESSOR Contm orientaes para o uso da coleo e para a abordagem de contedos, alm de apresentar sugestes de atividades complementares e para a avaliao. O manual discute a relao entre contedos e mtodos e enfatiza a importncia de se levar o aluno a refletir sobre os temas estudados. Tambm chama a ateno para os novos papis que o professor precisa assumir como organizador, facilitador, mediador, incentivador e avaliador. 2.4 EM SALA DE AULA A coleo incentiva a participao do aluno na construo de seu conhecimento e a interao na sala de aula, por meio de atividades que propem a discusso de idias matemticas. H varias questes desafiadoras que permitem a ampliao e a sistematizao dos contedos, mas que precisam de orientaes planejadas pelo professor. Recomenda-se ateno do professor s atividades que pedem o uso da calculadora, de materiais concretos e de desenho. Tambm aconselhvel planejar atividades complementares envolvendo o tratamento da informao e matemtica financeira, que esto pouco presente na obra. CONTEDOS ESTUDADOS 1. Elemento s da Histria dos Nmeros SRIE DO EN. FUNDAMENTAL 5 srie SEMELHANAS Os mecanismos criados pelo homem para quantificar. DIFERENAS No especificou os diferentes sistemas de smbolos para cada grupo de coisas contadas entre os babilnios, egpcios, gregos antigos e romanos.


1.2 Sistemas 5 srie posicionais: bases de sistemas de numerao 1.2 Sistemas 7 srie posicionais: bases de sistemas de numerao 1.2.2 Sistema de numerao posicional em bases diferentes da base decimal No encontrado na coleo

A identificao das classes de cada um dos algarismos. (Decomposio dos nmeros) Apresentao polinomial dos nmeros -

1.2.3 Operaes nos sistemas de numerao de diferentes bases

No encontrado na coleo

-

2. Conjunto dos nmeros Naturais

5 srie

Continua utilizando a decomposio dos nmeros ao realizar clculos com nmeros naturais

No apresentou a representao polinomial dos nmeros e nem explicou o fundamento da base decimal de numerao Introduo dos contedos aps evidenciar as superfcies de um slido geomtrico, usando a planificao deste. Estudamos os nmeros decimais em diferentes bases, e mostramos como determinar a representao polinomial de um nmero numa base dada. Tambm exploramos os algoritmos das operaes de adio, multiplicao e subtrao em bases diferentes da decimal. Estudamos os nmeros decimais em diferentes bases, e mostramos como determinar a representao polinomial de um nmero numa base dada. Tambm exploramos os algoritmos das operaes de adio, multiplicao e subtrao em bases diferentes da decimal. No faz nenhuma meno aos axiomas

2.1.1 Que operaes esto definidas no conjunto dos nmeros naturais?

5 srie

Apresenta as No verificamos propriedades da diferenas significativas Adio e da neste contedo. Multiplicao e comea a apresentar a linguagem matemtica utilizando letras como variveis. Apresenta a rvore


das possibilidades para representar a multiplicao dos nmeros naturais. Apresenta de forma natural dividendo=(divisor). (quociente) + resto 2.1.2 Definio da Relao de ordem 5 srie Comea a fazer o aluno pensar no x como a quantidade que falta ao nmero a para atingir b. Ex. do livro: x um nmero tal que 10 x 99. 2.2 Conjunto dos 6 srie nmeros inteiros uma ampliao dos nmeros naturais Apresenta que a subtrao entre dois nmeros inteiros efetuada pela adio do primeiro ao oposto do segundo. Ex. do livro: -(+150) o oposto de +150 No apresenta subconjuntos de Z, com sua respectiva representao, os quais so destacados em diferentes situaes de aprendizagem. Inteiros no negativos Inteiros positivos Inteiros no positivos Inteiros negativos No apresenta de maneira clara as propriedades da Adio e Multiplicao. De modo algum fala em teses, hipteses e demonstraes.

2.2.1 Operaes 6 srie em Z. Em Z esto definidas as operaes de adio, a multiplicao e a subtrao. 2.2.2 Proposies 6 srie em Z

Verificamos pouca semelhana com o livro-texto de Fundamentos de Matemtica I. Fica um tanto quanto vago as explicaes das propriedades. Apresenta a adio ou subtrao de um mesmo nmero membro a membro para manter a igualdade, porm, atem-se apenas ao princpio multiplicativo e aditivo sem

Nosso livro apresenta as proposies e demonstraes atravs de hipteses e teses apresentando cada passo para manter a igualdade na equao.


2.2.3 Relao de ordem em Z 2.2.4 Valor absoluto em Z 2.2.5 Princpio da Boa ordem em Z 2.2.6 Princpio do Menor Inteiro em N (PMI) Captulo 3 Divisibilidade e Algoritmo da Diviso 3.1 Divisibilidade em N e em Z

No encontrado na coleo No encontrado na coleo No encontrado na coleo No encontrado na coleo 5 e 6 sries

pormenores. -

-

5 e 6 sries

3.2 Algoritmo da Diviso em N e em Z 3.3 Consequncias do Algoritmo da Diviso 3.4 Mximo Divisor Comum e Mnimo divisor Comum

No encontrado na coleo No encontrado na coleo 5 srie

Apresenta na 5 srie apenas a diviso em N e na 6 srie a diviso em Z Apresenta conceito de divisor e divisores, mltiplos e fatores O autor indica que as propriedades importantes na divisibilidade, como se a e b so mltiplos de m, ento (a+b) mltiplo de m de forma informal. -

Apresenta de maneira conjunta todos os critrios de divisibilidade. No apresenta a definio de divisibilidade nem faz uso de smbolos para escrever matemtica, nem mesmo smbolos dos conjuntos numricos N e Z. No apresenta as propriedades da divisibilidade. -

3.4.1 Mximo divisor comum (mdc)

5 srie

Faz a introduo do tema da mesma maneira que em nosso livro-texto, com um problema de diviso de um terreno em quadrados iguais Faz a mesma abordagem que nosso livro-texto em que o problema dividir um terreno em quadrados pequenos e de tamanhos iguais determinando assim o

No apresenta as notaes matemticas e as definies de mdc e mmc.

No apresenta a definio nem traz as notaes e propriedades. J apresenta a curiosidade de que o mdc de dois nmeros naturais o produto dos fatores primos


3.4.2 Propriedades do mdc em N 3.4.3 O Algoritmo de Euclides para o clculo do mdc 3.4.4 Mximo divisor comum de vrios nmeros

No encontrado na coleo No encontrado na coleo 5 srie

maior espao possvel comuns com o menor dos entre os quadrados. seus expoentes. -

S encontramos uma citao a nvel de curiosidade que o mdc entre dois ou mais nmeros o produto dos fatores primos comuns com o menor de seus expoentes.

3.4.5 Mximo divisor comum resultados importantes 3.4.6 Mximo divisor comum em Z

5 srie


3.4.7 Definies e resultados sobre mdc em Z 3.4.8 Consequncias da Identidade de Bzout: Resoluo de Equaes Diofantinas

No encontrado na coleo No encontrado na coleo

Nosso livro apresenta de forma clara e objetiva que quando queremos obter o mdc de vrios nmeros, por exemplo o mdc(42,96,58) escolhemos dois destes para comear, 96 e 42, por exemplo, assim mdc(96,42)=6 e em seguida calculamos o mdc (58,6)=2. Portanto conclumos que o mdc(42, 96,58)=mdc(6,58)=2. Apresenta os No faz meno com nmeros primos e sua relao a nmeros definio relativamente primos ou primos entre si, muito menos proposies. Nosso livro-texto apresenta de maneira lgica e simples, que calculando o mdc de nmeros inteiros obteremos o mesmo resultado que nos nmeros naturais e garante isso atravs de proposies. Nosso livro-texto apresenta o teorema Identidade de Bzout Apresenta a receita para resolver certos tipos de equaes chamadas Equaes Diofantinas e faz meno a Diofanto. Apresenta as proposies e explica como chegar a resoluo de determinados problemas atravs da soluo geral do


3.5 Mnimo Mltiplo Comum em N (mmc)

5 srie

3.6 Mnimo Mltiplo Comum em Z (mmc)


Apresenta a definio e duas formas de obter o mmc, pelos fatores primos e pela decomposio simultnea. No entanto tal descrio feita numa seo que assume carter de curiosidade, ficando a critrio do professor a possibilidade de abordar o contedo com mais detalhes. Apresenta a definio bem como as proposies e exerccios para fixao. Mostra que ao sabermos o mdc de dois nmeros, podemos calcular o seu mmc. Como j sabemos um algoritmo para o clculo do mdc (o Algoritmo de Euclides), basta calcular o mmc e utilizar a igualdade mdc(a,b).mmc(a,b)=a.b para encontrar o mmc. Apresenta tambm o corolrio 2 que continuar vlido em Z.

problema. Este assunto deveria ser abordado no Ensino Fundamental pois j existem diversas situaes-problema que so acessveis compreenso do estudante e cujas solues so facilitadas com o conhecimento dessa receita de resoluo de problemas. A simbologia matemtica inexistente. No menciona nada sobre o uso do Algoritmo de Euclides para calcular o mmc.

3.7 A relao de Congruncias


-

Apresenta a definio, a notao e as proposies,


mdulo m 4. Teorema Fundamental da Aritmtica 5 srie

4.1 Nmeros primos em N e em Z: diferenas, semelhanas e propriedades

5 srie

4.2 O Teorema Fundamental da Aritmtica

5 srie

4.3 Aplicaes da 5 srie Fatorao

bem como exerccios de raciocnio. O autor apresenta os Apresenta o Teorema nmeros primos, a Fundamental da decomposio em Aritmtica e suas fatores primos, porm aplicaes. os clculos do mdc e mmc so utilizados na simplificao e operaes com frao Apresenta atravs de Novamente nos exemplos (formar deparamos com a falta de quadradinhos com definies atravs das retngulos) os notaes matemticas. divisores dos Nosso livro traz nmeros e defini os proposies que podem nmeros primos. Faz ser testadas as hipteses e meno aos nmeros demonstrar se a tese compostos e observa verdadeira sempre. Outra que o nmero 1 por diferena, a coleo no possuir apenas 1 apresenta os nmeros divisor no primo primos em Z nem composto. Demonstra que A diferena que notamos quando obtemos os que a coleo no divisores de um apresenta como fatorar nmero, estamos nmeros inteiros negativos encontrando fatores e ainda apresenta a nvel do correspondente. de curiosidade que uma Comea por dividir das maneiras de cada um dos fatores chegarmos ao mdc entre sucessivamente e dois nmeros ou mais apresenta em seguida obtido pelo produto dos a decomposio do fatores primos comuns nmero atravs do com o menor dos seus trao vertical. expoentes. No menciona nenhum teorema da aritmtica. A coleo apresenta Vimos atravs de nosso de maneira bem livro-texto que quando rpida e sem muitos decompomos em nmero pormenores que em fatores primos quando dois nmeros podemos tambm obter a possuem um nico quantidade de divisores divisor comum, so deste atravs da denominados primos quantidade de vezes que entre si. cada um deles aparece. E atravs da anlise da fatorao tambm


5. Princpio da Induo


-

5.1 Princpio da Induo


-

6. Nmeros Racionais

5 e 6 srie

O estudo dos nmeros racionais inicia partindo da ideia de frao.

6.1Nmeros Racionais

5 e 6 srie

Traz a notao: Um nmero ser denominado racional quando o quociente entre dois nmeros inteiros(divisor diferente de zero). Em outras palavras, todo nmero que pode ser colocado na forma de frao em que o numerador e o denominador (diferente de zero)

obtemos informaes como se um nmero um quadrado, um cubo ou outra potncia. Nosso livro apresenta o Princpio da Induo como um mtodo de demonstrao de teoremas aritmticos, ou mais rigorosamente, de resultados referentes s propriedades gerais dos nmeros naturais. Muitas vezes, este o nico instrumento adequado para a demonstrao de um resultado. Neste captulo vimos que Uma proposio pode ser vlida em uma srie de casos particulares e no ser vlida em geral. O Princpio da Induo se mostra uma forma adequada e eficiente para fazer demonstraes. Apresenta ao leitor o que ser visto neste captulo: as operaes e a relao de ordem sero trabalhadas nas duas representaes: decimal e fracionria. Tambm apresenta as propriedades relativas s operaes. Podemos observar em nosso livro-texto que a introduo do assunto se d atravs da histria dos nmeros racionais, fazendo com que o estudante possa fazer a transio de modo natural, destacando as diferentes representaes de um nmero racional.


6.2 A ideia de construo do conjunto dos nmeros racionais

5 e 6 srie

so nmeros inteiros chamado de nmero racional. Podemos observar na coleo que, assim como em nosso livrotexto, o autor retoma a ideia da construo dos conjuntos destacando que o homem percebeu que faltava ainda uma forma para dar significado diviso entre naturais cujo resultado no era um nmero natural.

6.3 Operaes em Q

5 e 6 srie

6.3.1 Adio em Q E 6.3.2 Subtrao em Q

5 e 6 srie

6.3.3 Multiplicao

5 e 6 srie

Uma grande e significativa diferena que percebemos que a coleo no apresenta a ideia de numerador e denominador, no faz meno ao estudante sobre o que significa frao (porque o estudante j deve vir com esse conhecimento das sries anteriores) e j inicia clculos com fraes equivalentes, fraes com o mesmo denominador e com denominadores diferentes. A coleo no Observamos em nosso apresenta de forma livro-texto uma organizada as abordagem natural ao operaes em Q. Traz iniciar as operaes em Q todas as operaes de mostrando ao estudante maneira conjunta que faremos operaes de como se o estudante trs para frente: fosse capaz de considerando que as absorver todo o propriedades de Z se conhecimento de uma mantm em Q. s vez. A coleo faz uma Uma das diferenas pequena meno observadas e bastante sobre fraes significativas trata do fato equivalentes e j da coleo no trazer a apresenta exerccios definio e exemplos que para os estudantes fazem sentido ao leitor. As calcularem a soma propriedades e das fraes. demonstraes so fundamentais para o discernimento dos leitores e interpretao dos exerccios. Nosso livrotexto ainda aborda o fato de no precisarmos do mmc ao observarmos que as fraes so equivalentes. Apresenta uma srie Novamente podemos de exemplos destacar que a coleo no


em Q

6.4 Fraes Irredutveis

5 srie

6.5 Sobre a simplificao de fraes

5 srie

6.6 Sobre a nomenclatura das fraes

5 srie

6.7 Relao de ordem em Q

5 srie

chamando a ateno de como proceder com is sinais do produto na multiplicao de nmeros racionais. Em um nico momento o autor menciona: Acabamos de efetuar a simplificao de fraes, ou seja, obtivemos fraes equivalentes de termos menores. Os termos 1 e 2 da frao resultante no podem mais ser simplificados, por esse motivo a frao dita irredutvel. O autor novamente especifica que simplificar uma frao dividir seus termos (numerador e denominador) por um nmero natural diferente de zero, at sua forma irredutvel, ou seja, os termos so primos entre si (possuem como nico divisor comum o nmero 1) Da mesma maneira que em nosso livrotexto, o autor menciona apenas nos enunciados dos exerccios as denominaes das fraes, no se atendo muito a essas denominaes. Encontramos na coleo a forma correta de representarmos na

apresenta definies e propriedades da multiplicao em Q.

Nosso livro-texto apresenta definies e propriedades demonstrando a representao irredutvel de um nmero racional.

Vimos que quando o professor deseja que o aluno simplifique uma frao ele apenas deve dizer explicitamente: d a soluo em sua forma irredutvel, assim o aluno j estar efetuando as simplificaes possveis.

No encontramos diferenas entre a coleo analisada e o livro-texto.

As definies e propriedades encontradas em nosso livro nos levam a comparar as fraes


6.7.1 Propriedades da relao de ordem 6.8 Valor absoluto (ou mdulo)


reta os nmeros racionais, porm achamos de difcil entendimento aos leitores por no fazerem comparao das fraes, ficou um tanto quanto vaga a explicao do livro sobre qual frao maior ou menor. -

reduzindo-as ao mesmo denominador, usando assim, fraes equivalentes, facilitando a localizao dos nmeros racionais na reta, mantendo a ordem dos inteiros.

5 srie

6.9 Densidade


No encontramos semelhanas entre a coleo e o livrotexto. A coleo apresenta a frao como sendo a representao de uma diviso dos nmeros naturais. -

Aqui nos foi apresentada as proposies e demonstraes de Q da mesma forma que vimos em Z Aqui nos foi apresentada as proposies e demonstraes de Q da mesma forma que vimos em Z.

6.10 A representao decimal

5 srie

Constatamos aqui que dados dois nmeros racionais diferentes, sempre possvel encontrar outro nmero racional entre eles; na verdade, possvel encontrar uma infinidade de nmeros racionais entre eles. Aqui o autor faz Apresenta o procedimento relao com o de representao de um sistema de numerao nmero racional na forma decimal (base 10) decimal e a maneira de indicando que os encontrar essa algarismos tm representao.Faz relao valores posicionais e com a progresso cada posio tem 10 geomtrica (PG). vezes o valor da posio imediatamente sua direita. Mostra ao leitor a forma correta de utilizar a vrgula e como proceder na


6.10.1 Existncia 5 srie da representao decimal finita

6.11 Potncias em Q

5 srie

6.11.1 No encontrado na Propriedades coleo das potncias em Q 6.12 Existncia No encontrado na de nmeros que coleo no so racionais

diviso dos nmeros racionais. A coleo apresenta uma diviso que no exata e que se continuarmos dividindo os restos se repetem periodicamente e os quocientes prolongam-se indefinidamente. Observa-se o destaque do autor a geratriz: frao que gerou a dzima peridica. Da mesma maneira que em nosso livro, o autor apresenta que a potenciao de um nmero racional efetuada elevando-se o numerador e o denominador ao expoente correspondente. -

O livro-texto nos mostra que a vantagem da representao decimal usar os mesmos algoritmos das operaes dos inteiros; no entanto, preciso que fique claro que isso possvel para representaes decimais finitas e que para efetuar uma soma como 0,88888... com 0,7777... devemos usar a representao fracionria destes nmeros. Novamente observamos a falta de notaes matemticas na coleo observada, bem como a definio e o uso de sua representao na forma negativa.

-

Apresenta-nos que as propriedades das potncias em Q permanecem as mesmas que em Z; entretanto agora podemos usar potncias inteiras. O livro-texto nos mostra que existem situaes em que o conjunto dos nmeros racionais no suficiente, logo precisamos de outras maneiras de resolv-las.


2.5

ETAPA II RESOLUO DETALHADA DOS SEGUINTES PROBLEMAS:

GRUPO31) 108 crianas da 5 e 6 sries vo fazer um passeio a uma caverna. So formados grupos iguais com mais de 5, porm, menos de 20 alunos. Com relao ao nmero de estudantes por grupo, de quantas formas diferentes eles podem ser feitos?

Resoluo:Na prtica determinamos todos os divisores de um nmero utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar todos os divisores de 108


1) decompomos o nmero em fatores primos;

2) traamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele divisor de qualquer nmero;

3) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores j obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;

4) os divisores j obtidos no precisam ser repetidos. 5) ento, fazemos a diviso de 108 por seus divisores, 108:2=54, 108:3=36, 108:4=27, 108:6=18, 108:9=18, 108:12=9, 108:18=6, 108:27=4, 108:36=3 e 108:54=2

2.1=2 2.2=4 2.3=6 2.9=18 2.27=54 3.1=3 3.2=6 3.3=9 3.9=27 4.2=8 4.3=12 4.9=36 4.27=108 Ento, os divisores de 108 so: {1,2,3,4,6,8,12,18,27,36,54,108} O nmero de estudantes por grupo, porm, com mais de 5 e menos de 20 alunos pode ser: 6, 9 ,12 ou 18.

Resposta: Os grupos podem ser feitos de 4 maneiras diferentes.2) Se o resto da diviso do nmero ab ( a o algarismo das dezenas e b o algarismo das unidades) por sete quatro, e o resto da diviso do nmero ba ( b o algarismo das dezenas e a o algarismo das unidades) por sete tambm quatro, quais podem ser os nmeros ab e ba ?


Resoluo:Sejam: a b = 10a + b = 7q1 + 4 b a = 10b + a = 7q2 + 4 Os mltiplos de 7 somados com 4, com 2 algarismos: 11 | 11 = 7.1 + 4 serve! 18 | 81 = 7.11 + 4 serve! 25 | 52 = 7.7 + 3 no serve! 32 | 23 = 7.3 + 2 no serve! 39 | 93 = 7.13 + 2 no serve! 46 | 64 = 7.9 + 1 no serve! 53 | 35 = 7.5 + 0 no serve! 60 67 | 76 = 7.10 + 6 no serve! 74 | 47 = 7.6 + 5 no serve! 81 | 18 = 7.2 + 4 serve! 88 | 88 = 7.12 + 4 serve! 95 | 59 = 7.8 + 3 no serve!

Resposta: Os nmeros so 11, 18, 81 e 88.3) A construtora Caribe encarregou duas instituies financeiras de vender seus apartamentos em dois prdios. O valor de cada apartamento vista era 50 000 coroas. O primeiro financiador, Morada Fcil, anunciou que oferece no seu prdio o financiamento de 30 anos, com juros anuais (calculados sobre o total no incio do contrato) de 6,6%. O segundo, Exclusividade, usando a mesma metodologia de clculo de juros, ofereceu um plano 100 de financiamento em 100 meses, com juros anuais de 8%. Calcule o valor da prestao para ambos os tipos de contrato.

Resoluo:


Financiador Morada Fcil Valor do apartamento: 50.000 coroas Juros ao ano: 6,6 Total de anos: 30 50.000 : 30 = 1.666,67 valor pago ao ano sem juros 1.666,67 x 6,6% = 109,99 valor do juro ao ano 1.666,67 + 109,99 = 1.776,66 valor total pago ao ano com juros 1.776,66 : 12 = 148,05 valor da prestao mensal Financiador Exclusividade Valor do apartamento: 50.000 coroas 100 meses correspondentes a 8,33 anos 50.000 : 8,33 = 6.002,40 valor sem juros 6.002,40 x 8% = 480,19 valor do juro ao ano 6.002,40 + 480,19 = 6.482,59 valor total pago ao ano com juros 6.482,59 : 12 = 540,21 valor da prestao mensal

Resposta: O valor da prestao mensal da Financiadora Morada Fcil de R$ 148,05e o valor da prestao mensal da Financiadora Exclusividade R$540,21. 4) Uma escola vai organizar um passeio ao Zoolgico. H duas opes de transporte. A primeira alugar vans: cada van pode levar at 6 crianas e seu aluguel custa R$60,00. A segunda opo contratar uma empresa para fazer o servio: a empresa usa nibus com capacidade para 48 crianas e cobra R$237,00, mais R$120,00 por nibus utilizado. A escola deve preferir a empresa de nibus se forem ao passeio pelo menos N crianas. Qual o valor de N?

Resoluo:Valor da Van = R$ 60,00 e pode levar at 06 crianas Valor do nibus R$ 237,00 e pode levar at 48 crianas + 120,00 por nibus utilizado.


Se utilizarmos um nibus, pagaremos R$ 237,00 + R$120,00 = R$357,00 para levar at 48 crianas. Como R$ 357,00 so suficientes para pagarmos 5 vans, mas no 6, temos que mais vantajoso utilizar nibus se forem necessrias pelo menos 6 vans, o que acontece quando levamos pelo menos 5 . 6 + 1 = 31 crianas. Logo N = 31.

Resposta: O valor de N 31.


3

CONSIDERAES FINAIS A coleo que analisamos destaca-se por uma metodologia que leva o aluno a

compreender a Matemtica como cincia construda historicamente. Sugestes de atividades que envolvem discusses coletivas e trabalho em equipe podem contribuir para o aluno refletir, ampliar e sistematizar os conceitos estudados. No entanto, a seleo dos contedos falha, por no incluir, na medida desejvel, temas relevantes como matemtica financeira e tratamento da informao, e por dar ateno excessiva a outros contedos menos importantes na formao social do aluno, como clculo com radicais e equaes irracionais. H, ainda, inadequao no tratamento de alguns contedos, como os de nmero irracional e de ngulo, e tambm na construo do raciocnio dedutivo que, se bem cuidados pelo professor, no invalidam a utilizao da obra. Percebemos assim a importncia do professor enquanto mediador do conhecimento e no simples repassador de contedos. Cabe ao professor enfatizar determinados assuntos e abandonar outros que no so fundamentais aos estudantes naquele momento. A ideia de desenvolvermos uma pesquisa comparativa com os livros didticos de matemtica do Ensino Fundamental fez-nos refletir sobre o atual sistema de ensino. Relembramos que as aulas de Matemtica eram ministradas por um mesmo professor que invariavelmente utilizava a mesma didtica: escrevia no quadro o assunto matemtico da aula, apresentava alguns exemplos e indicava os exerccios da pgina tal a serem completados. Passado o tempo predeterminado para a resoluo, o professor corrigia no quadro os exerccios e indicava a pgina do livro didtico que apresentava outra srie de exerccios semelhantes para serem feitos em casa. Eis o que podemos chamar de didtica tradicional do ensino de matemtica e que no muito se difere da atualidade. Enquanto estudantes, acreditvamos, que a aplicao correta das regras e procedimentos expressos pelo professor garantiria nossos conhecimentos acerca dos assuntos e, consequentemente, bons resultados nas provas, trabalhos e feiras de matemtica aos quais participvamos. No adiantava perguntar ao professor: -Quando utilizaremos isso em nossa vida? porque j sabamos que a resposta seria: - Quando vocs fizerem uma faculdade de engenharia, ou de matemtica, ou de... Isso acabava desmotivando-nos por no ser algo aplicvel. Nossos estudos se resumiam em refazer, mecanicamente os exerccios conforme o exemplo do professor. Agindo dessa forma, obtnhamos excelentes notas e pensvamos que entendamos matemtica.


Ao ingressarmos na Graduao de Matemtica, percebemos que a metodologia de ensino difere totalmente daquela tradicional que estvamos habituados. A nfase dada pelo livro-texto e pelos professores est na compreenso dos conceitos e na interpretao dos resultados dos problemas e no na aplicao de algoritmos sem significado. Hoje percebemos os quo despreparados alguns de nossos professores esto. A pergunta que fazamos ainda so feitas e a resposta continua a mesma. Porm ns, agora j sabemos aplicar muitos dos conhecimentos obtidos. Sabemos que uma equao de 1 grau com duas incgnitas nada mais do que uma equao diofantina que nos d uma soluo para muitos dos problemas dirios. No se trata apenas de repetir o exemplo do professor e obter boas notas. Analisando essa coleo de livros didticos levou-nos a concluir que os assuntos tratados no Ensino Fundamental devem ser ensinados de maneira diferente. Nosso papel enquanto professor de matemtica levar os alunos a descobrir quais propriedades dos nmeros justificam as transformaes operadas na equao para a resoluo.


REFERNCIAS BRASIL. MEC. Secretaria de Educao Fundamental. Programa Nacional do Livro Didtico. Guia de Livros Didticos de 5 a 8 srie. Braslia MEC/SEF, 2002. FREITAG, Brbara, Valeria Rodrigues Motta, Wanderley Ferreira da Costa. O livro didtico em questo. 3. edio, So Paulo: Cortez, 1997. (Biblioteca de Educao, Srie 8 Atualidades em Educao, v. 3 LONGEN, Adilson. Matemtica em movimento: 5 srie. So Paulo: Editora do Brasil, S.d. 5.s.. 272 p.: il., 27 cm. ISBN 8510024022. 1 Ex. LONGEN, Adilson. Matemtica em movimento: 6 srie. So Paulo: Editora do Brasil, S.d. 6.s.. 239 p.: il., 27 cm. ISBN 8510024049. 1 Ex. LONGEN, Adilson. Matemtica em movimento: 7 srie. So Paulo: Editora do Brasil, S.d. 7.s.. 245 p.: il., 27 cm. ISBN 8510024065. 1 Ex. LONGEN, Adilson. Matemtica em movimento: 8 srie. So Paulo: Editora do Brasil, S.d. 8.s.. 287 p.: il., 27 cm. ISBN 8510024081. 1 Ex. SOARES, Magda Becker. In Presena pedaggica. V. 2, n 12, nov-dez/ 1996. p.52-64. VARIZO, Zira da Cunha Melo. O Livro Didtico. Ontem e Hoje. In: Cadernos de pesquisa do Programa de Ps-Graduao em Educao Matemtica da Universidade Federal do Esprito Santo. V. 1, n 1 Vitria: UFES/PPGE, 1995. Pg. 125-140. Artigo UMA ANLISE DA ABORDAGEM DE ALGUNS CONCEITOS MATEMTICOS NOS LIVROS DIDTICOS DE MATEMTICA PARA O SEGUNDO SEGMENTO DO ENSINO FUNDAMENTAL NOS LTIMOS 30 ANOS - ANA CAROLINA COSTA PEREIRA Acesso em : 11 de dez.2009.

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